Etude du mouvement dans un champ

Physique - 7 ème année - Ecole Européenne
Chapitre n° 3 : MOUVEMENT DANS UN CHAMP
I) Mouvement d’un satellite dans le champ de gravitation d’un astre :
1) Les deux premières lois de Képler :
Kepler (1571-1630), astronome allemand, fut l'assistant de Tycho Brahé à la fin de sa vie.
Après la mort de son maître en 1601, il étudia avec minutie les relevés des positions des
planètes établis par celui-ci.
Par un travail acharné d'analyse et de réflexion, mené pendant une quinzaine d'années, il
mit en évidence trois lois, largement en accord avec les observations, et qui décrivent le
mouvement des planètes. Il faut souligner que ces lois résultent non de l'application d'une
théorie générale, mais de l'observation de régularités dans les valeurs numériques résultant
de longs calculs : ce ne sont pas des lois théoriques, mais des lois empiriques.
- Loi des orbites elliptiques (1605) :
Dans un référentiel héliocentrique, les planètes décrivent des ellipses dont le centre S du
Soleil est l'un des foyers. Ces orbites sont planes.
Remarque : Le cercle est une orbite elliptique particulière dont le Soleil S est le centre.
- Loi des aires (1604) :
→
Pendant une durée ∆t, le rayon vecteur SP qui joint le centre
S du Soleil au centre d'une planète balaie une aire A
constante, quelle que soit la position de la planète.
Remarque : Le rapport A/∆t ne dépend que de la planète
considérée.
Remarque : Le mouvement circulaire n'est donc qu'un cas
particulier que nous allons considérer.
2) Orbite circulaire :
a) Troisième loi de Kepler :
On étudie le mouvement d'un satellite (S), de masse m, en orbite autour de la Terre dans
un référentiel géocentrique dont l'origine est au centre O de la Terre.
→
Le satellite (S) n'est soumis qu'à la force de gravitation F qu'exerce la Terre qui est une
force centrale (toujours dirigée vers O).
L’orbite la plus générale du satellite est une ellipse. Nous allons considérer le cas
particulier d’une orbite circulaire : le satellite a un mouvement circulaire de centre O.
La relation fondamentale de la dynamique s'écrit :
→
→
→
→
F = m. a où a comme F est dirigé suivant SO.
→
La vitesse v du satellite est tangente au cercle
trajectoire donc orthogonale à SO.
→
L'accélération a étant centrale (et pas seulement
centripète) n'a pas de composante tangentielle, donc
dv
aT = 0 =
et a = aN
dt
te
D'où l'on déduit que la mesure de la vitesse est constante v = c .
Le satellite a donc un mouvement circulaire uniforme.
On peut mettre la relation fondamentale de la dynamique sous la forme : F = m. aN
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T
D’où K. m.M
= m. v , on en déduit la relation : r = RT + h = K. M2T indépendante de m.
r
v
r2
2. π. r
Soit T la période de rotation du satellite de mouvement circulaire uniforme : v =
T
2
3
te
r = K. MT = c
d'où r = K. MT .2T 2 soit
T2
4.π2
4.π .r
2
Remarque : C'est l'expression de la 3
éme
loi de Kepler ou loi des périodes !
b) Satellite géostationnaire :
Un satellite est géostationnaire si son orbite est équatoriale, sa trajectoire circulaire et son
mouvement géosynchrone.
Le satellite est géosynchrone (même période que la Terre) si T = 1 j = 86400 s.
2
6 x1024 x(8,64 x10 4 )2
= 42 298 km
D'où un rayon de l'orbite : r = 3 K . MT .T2 = 3 6,67 x10 −11 x
4 xπ2
4.π
Si r = RT + h est la distance SO, h l'altitude du satellite et RT le rayon de la Terre :
2
h = r − RT = 3 K . MT .T2 − RT = 42 298 − 6 380 = 35 918 km
4.π
II) Mouvement d’un objet dans le champ de pesanteur uniforme de la Terre :
1) Lois horaires :
→
→
On considère un projectile de masse m lancé, à la date t = 0, avec une vitesse v(0) = v 0
faisant un angle α avec l'horizontale.
→
Au voisinage de la surface de la Terre, le champ de pesanteur g est considéré comme
→
→
uniforme : g = g0 . On néglige les frottements de l'air.
→
→
→
On étudie le mouvement de chute libre du projectile dans un repère (O, i , j , k ) lié au
référentiel terrestre (R) considéré comme galiléen.
→
→
→
→
k est vertical dirigé vers le haut, et le plan défini par i et k contient v 0 .
Pour simplifier, l'origine O du repère est choisi à l'endroit où est lancé le
projectile.
Exprimons les conditions initiales du mouvement du projectile :
A la date t = 0 s on a donc :

dx 
 v x (0) =  = v 0 .cos α
dt  0

 x(0) = x0 = 0
→ 

→
→
dy 
r(0)  y(0) = y 0 = 0 et v(0) = v 0  v y (0) =  = 0
dt  0


 z(0) = z0 = 0

dz 
 v z (0) = dt  = v 0 .sin α

0
Après son départ, le projectile n'est soumis qu'à son poids, et le théorème du centre d'inertie
→
→
→
→
→
→
s'écrit : F = m. a mais ici F = P = m. g0 où g0 est le vecteur champ de pesanteur uniforme
→
→
→
→
dirigé vers le bas. On a donc : m. a = m. g0 soit a = g0
Le projectile a un mouvement à accélération constante.
On a déjà étudié ce mouvement en cinématique on doit donc retrouver les mêmes résultats.
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 ax (t) = 0
→

Soit a  a y ( t ) = 0
d'où v( t)
 a z ( t ) = −g0

→
 v x ( t ) = v 0 . cos α
→

puis r( t)
 v y (t) = 0
 v z ( t ) = −g0 .t + v 0 . sin α

 x( t ) = v 0 . cos α.t

 y( t ) = 0
 z( t ) = − 1 g0 .t 2 + v 0 . sin α.t
2

Seules deux coordonnées du projectile varient au cours du temps :
→
Le projectile à un mouvement plan dans le plan vertical contenant v 0 .
2) Définitions balistiques :
- Equation de la trajectoire : en éliminant t entre x(t) et z(t) on trouve l'équation de la
trajectoire pour une valeur de α différente de π/2 (projectile lancé verticalement).
De x(t) on tire : t = x/(v0.cosα) que l'on porte dans z(t) on obtient :
g0
z(x) = -.x2 + tanα.x
2.v 02 . cos2 α
Le projectile a une trajectoire parabolique dont la concavité est tournée vers le bas, la
parabole est contenue dans un plan vertical.
- Portée du tir : c'est la distance d au bout de laquelle le projectile repasse par la même
altitude que celle de départ (ici z = 0).
g0
Il faut résoudre l'équation du second degré en x : -.x2 + tanα.x = 0.
2
2
2.v 0 . cos α
tan α.2.v 02 . cos2 α
2.v 02 . sin α. cos α
Une solution est x = 0, la 2ème valeur est : d = xP =
=
g0
g0
2
v . sin(2.α )
d = xP = 0
g0
La portée xPmax sera maximale lorsque sin(2.α) = 1
v2
Donc quand : 2α = π et α = π = 45 ° ⇒ xPmax = 0
2
4
g0
- Angle de tir : c'est la valeur qu'il faut donner à α pour que le
projectile atteigne un point d'abscisse xP donnée.
Il faut résoudre l'équation trigonométrique :
x .g
 x .g 
sin(2.α) = P 2 0 soit α = 21 . arcsin P 2 0 
v0
 v0 
te
Interprétation : soit 2.α = β = c , deux angles β satisfont cette équation, β et β' = π − β
supplémentaires, il existe donc deux angles α = β/2 et α' = π/2 − β/2 complémentaires qui
satisfont l'équation. α + α' = π/2 : si α < π/4 on a un tir tendu, si α > π/4 on a un tir plombé
ou en cloche. On a vu que si α = α' = π/4, la portée est maximale.
- Flèche du tir : c'est l'altitude h = zmax maximale atteinte par le projectile.
On a deux façons équivalentes de déterminer h :
dz( x )
* à partir de l'équation de la trajectoire, h est la valeur de z pour laquelle xS annule
dx
g
dz( x )
soit
= -- 2 0 2 .xS + tanα = 0
v 0 . cos α
dx
2
2
v 2 . sin( 2.α )
tan α.v 0 . cos α
v 2 . sin α. cos α
d'où
xS =
= 0
= 0
= xP
g0
g0
2.g0
2
2
2
v . sin α
On remplace dans z(x) :
h = zmax = 0
2.g0
* on retrouve le même résultat en partant de l'équation horaire z(t). On cherche la valeur
tmax de la date pour laquelle la composante de la vitesse sur l'axe vertical vz(tmax) = 0.
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III) Mouvement d’une particule chargée dans un champ électrique uniforme :
On considère une particule ponctuelle, de masse m et de charge q, plongée dans un champ
→
électrique uniforme E , créé entre deux plaques A et B, parallèles, distantes de d et entre
lesquelles on applique une tension UAB = VA − VB, donc E = UAB/d.
→
→
La particule n'est soumise qu'à la force de Coulomb : F = q. E (on néglige son poids).
1) Accélération d'une particule chargée :
a) Conditions initiales :
La particule, initialement au repos, est mise en mouvement par le champ électrique.
On suppose que la particule part de la plaque A sans vitesse initiale et on cherche la
vitesse qu'elle atteint en arrivant sur la plaque B (instant final).
b) Théorème de l'énergie cinétique :
Le travail de la force électrostatique appliquée à la particule entre deux instants est égal à
la variation d'énergie cinétique de la particule entre ces deux instants.
→
W( F ) = q.(VA − VB) = 21 .m.v B2 − 21 .m.v 2A
Avec vA = 0 pour que la particule soit accélérée il faut que q.(VA − VB) > 0.
Exemple : Cas de l'électron :
Pour l'électron q = − e et (VA − VB) = UAB < 0 (VA pôle −).
Posons − UAB = U0 > 0 tension accélératrice et me la
masse de l'électron.
Le théorème de l'énergie cinétique s'écrit : e.U0 = 21 .m.v B2
2.e.U0
me
C'est le principe de fonctionnement du canon à électron d'un tube cathodique
d'un téléviseur ou d'un oscilloscope. Ordre de grandeur : dans un oscilloscope,
Avec me = 9,11.10−31 kg, U0 = 2000 V, on obtient vB = 26505 km.s−1 !!
Exemple : Cas du proton :
Pour un proton q = + e donc (VA − VB) = UAB > 0 (VA chargé positivement).
Posons UAB = U'0 > 0 tension accélératrice et mp la masse du proton.
On trouve :
v 'B = 2.e.U'0
mp
−27
Avec mp = 1,67.10 kg, U'0 = 2000 V, on obtient vB = 619 km.s−1.
Les protons, ainsi produits à faible vitesse (!!), sont ensuite "injectés" dans un
accélérateur par exemple, pour étudier la structure intime de la matière.
vB =
Soit
2) Déviation d’une particule chargée :
a) Etude de la trajectoire :
Nous étudions la déviation d'un électron dans un champ électrique uniforme créé par
deux plaques (N, P) parallèles et horizontales d'un tube cathodique.
Nous considérons que l'électron de charge q = − e et de masse me pénètre dans le champ
→
avec une vitesse initiale v 0 (calculée plus haut) parallèle au plan des plaques
(horizontale) en un point O équidistant des deux plaques. Soit l la longueur des plaques, d
la distance entre les plaques et D la distance entre le milieu d'une plaque et l'écran du
tube cathodique.
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→
→
→
Soit (O, i , j ) tel que i est parallèle aux
→
plaques et j est perpendiculaire.
Le champ électrique entre les plaques a pour
→
→
U
expression : E = − E. j , avec E = PN
d
→
→
La loi fondamentale s'écrit : q. E = m. a soit
→
→
→
e.E →
(− e).(− E). j = m. a donc a =
.j
m
a x = 0
→
On peut donc écrire : a 
par
e.E
a y = m
v x = v 0
→
→
"intégration", on tire v 
. On obtient enfin les lois horaires : r
e
.
E
 v y = m .t
e.E
La trajectoire est une parabole d'équation : y =
.x2
2
2.m.v 0
 x = v 0 .t
y = 1 . e.E .t 2
2

m
b) Application à l'oscilloscope :
Après la sortie du champ électrique au point S, la trajectoire est rectiligne car les électrons
ne sont plus soumis à aucune force. La partie rectiligne de la trajectoire se raccorde
tangentiellement à la partie parabolique et fait un angle α avec Ox.
e.E.l
e.E
dy 
On a :
tanα =
.x S =
 =
2
dx S m.v 0
m.v 02
La tangente en S à la
parabole coupe Ox en C,
milieu de OH (c'est une
propriété de la parabole).
y
Donc tanα = S .
CH
Dans un oscilloscope le
faisceau vient frapper un
écran pour former un
"spot" en M, calculons
l'ordonnée Y du spot M.
y
e.E.l
Y
Y
Géométriquement on a : tanα = S = , d'où : tanα =
=
2
D
D
CH
m.v 0
e.E.l .D
e.l .D
et
Y=
=
.UPN
2
m.v 0
m.v 02 .d
La déviation est proportionnelle à la tension appliquée entre les plaques horizontales
(c'est le principe de fonctionnement des plaques déviatrices d'un oscilloscope).
2.e.U0
Ordre de grandeur : dans un oscilloscope la vitesse des électrons en O est : v 02 =
me
l .D
d'où
Y=
.UPN
2.U0 .d
Avec U0 = 2000 V, l = 1 cm, h = 0,5 cm et D = 20 cm on a : Y = 10−4.UPN
Pour une tension de 100 V on n'obtient qu'une déviation de 1 cm !
Pour mesurer des tensions plus faibles l'oscilloscope doit disposer d'un préamplificateur.
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A RETENIR
I) Mouvement d’un satellite dans le champ de gravitation d’un astre :
1) Les deux premières lois de Képler :
- Loi des orbites elliptiques (1605) :
Dans un référentiel héliocentrique, les planètes décrivent des ellipses dont le centre S du
Soleil est l'un des foyers. Ces orbites sont planes.
- Loi des aires (1604) :
→
Pendant une durée ∆t, le rayon vecteur SP qui joint le centre S du Soleil au centre d'une
planète balaie une aire A constante, quelle que soit la position de la planète.
1) Orbite circulaire :
a) Troisième loi de Kepler :
dv
et a = aN
dt
Le satellite a donc un mouvement circulaire uniforme.
v 2 d'où : r = RT + h = G. MT indépendante de m.
T
F = m. aN donne G. m.M
=
m.
r
r2
v2
2. π. r
Soit T la période de rotation du satellite de mouvement circulaire uniforme : v =
T
3
La troisième loi de Kepler s'écrit : r 2 = G. MT2 = cte
T
4.π
Dans le cas d'un mouvement circulaire : aT = 0 =
b) Satellite géostationnaire :
Un satellite est géostationnaire si son orbite est équatoriale, sa trajectoire circulaire et son
mouvement géosynchrone.
Le satellite est géosynchrone (même période que la Terre) si T = 1 j = 86400 s.
2
6 x1024 x(8,64 x10 4 )2
D'où :
r = 3 G. MT .T2 = 3 6,67 x10 −11 x
= 42 298 km
4 xπ2
4.π
h = r − RT =
Et
3
G. MT .T2
4.π
2
− RT = 42 298 − 6 380 = 35 918 km
II) Mouvement d’un objet dans le champ de pesanteur uniforme de la Terre :
1) Lois horaires :
→
→
On considère un projectile de masse m lancé, à la date t = 0, avec une vitesse v(0) = v 0
faisant un angle α avec l'horizontale.
Le projectile a un mouvement à accélération constante.
 x( t ) = v 0 . cos α.t
 a x (t) = 0
 v x ( t ) = v 0 . cos α

→ 
→
→

D'où a  a y ( t ) = 0
d'où v( t)  v y ( t ) = 0
puis r( t)  y( t ) = 0
 z( t ) = − 1 g .t 2 + v . sin α.t
 a ( t ) = −g
 v ( t ) = −g .t + v . sin α
0
0
0
0
 z
 z
2 0

→
Le projectile à un mouvement plan dans le plan vertical contenant v 0 .
2) Définitions balistiques :
g0
.x2 + tanα.x
2
2.v . cos α
Le projectile a une trajectoire parabolique dont la concavité est tournée vers le bas.
- Equation de la trajectoire :
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z(x) = --
2
0
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- Portée du tir : c'est la distance d au bout de laquelle le projectile repasse par la même
altitude que celle de départ (ici z = 0).
v 2 . sin( 2.α )
d = xP = 0
g0
La portée xPmax sera maximale lorsque sin(2.α) = 1
π
v 02
Donc quand :
α=
= 45 ° ⇒ xPmax =
4
g0
- Angle de tir : c'est la valeur qu'il faut donner à α pour que le projectile atteigne un point
d'abscisse xP donnée.
 x .g 
α = 21 . arcsin P 2 0 
 v0 
Si α < π/4 on a un tir tendu, si α > π/4 on a un tir plombé ou en cloche. On a vu que si
α = α' = π/4, la portée est maximale.
- Flèche du tir : c'est l'altitude h = zmax maximale atteinte par le projectile.
v 2 . sin 2 α
h = zmax = 0
2.g0
III) Mouvement d’une particule chargée dans un champ électrique uniforme :
1) Accélération d'une particule chargée :
Le travail de la force électrostatique appliquée à la particule entre deux instants est égal à la
variation d'énergie cinétique de la particule entre ces deux instants.
→
W( F ) = q.(VA − VB) = 21 .m.v B2 − 21 .m.v 2A
Avec vA = 0 pour que la particule soit accélérée il faut que q.(VA − VB) > 0.
Cas de l'électron :
Pour l'électron q = − e et (VA − VB) = UAB < 0 (VA pôle −).
Posons − UAB = U0 > 0 tension accélératrice et me la masse de l'électron.
Le théorème de l'énergie cinétique s'écrit : e.U0 = 21 .m.v B2
vB =
Soit
2.e.U0
me
2) Déviation d’une particule chargée :
→
→
Le champ électrique entre les plaques a pour expression : E = − E. j , avec E =
→
→
→
→
→
La loi fondamentale s'écrit : q. E = m. a soit (− e).(− E). j = m. a donc a =
a x = 0
→
a y = e.E par "intégration", on tire v

m
 x = v 0 .t
→
enfin les lois horaires : r 
1 e.E 2
y = 2 . m .t
e.E
La trajectoire est une parabole d'équation : y =
.x2
2
2.m.v 0
→
On peut donc écrire : a
Ecole Européenne de Francfort
UPN
d
→
e.E
.j
m
v x = v 0
 v y = e.E .t . On obtient

m
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Etude du mouvement dans un champ
POUR S'ENTRAÎNER
I) Etude d'un plongeon. ()
On donne l'intensité du champ de pesanteur : g = 9,8 m.s--2.
On se propose d'étudier le mouvement du
centre d'inertie G d'un plongeur au cours d'un
saut modélisé, type "saut de l'ange". On
négligera dans tout l'exercice le mouvement de
rotation du plongeur autour de son centre
d'inertie ainsi que les frottements avec l'air.
Le repère d'étude xOy est défini à partir du
schéma ci-contre.
Après s'être lancé, le plongeur quitte le tremplin
à l'instant de date t = 0 avec un vecteur vitesse
→
V 0 incliné de α = 40 ° sur l'horizontale.
Son centre d'inertie est alors au point G0 de
coordonnées x0 = 0 et y0 = 6,0 m.
a) i. A l'aide d'un schéma clair, faire le bilan des forces extérieures appliquées au plongeur
après son départ du tremplin.
ii. Appliquer la loi fondamentale (3ème loi de Newton) et en déduire l'expression des
composantes ax et ay de l'accélération de G sur les deux axes définis dans l'énoncé.
iii. Donner l'expression des composantes vx(t) et vy(t) de la vitesse à chaque instant.
iv. Etablir les équations horaires x(t) et y(t) du mouvement de G.
v. Etablir l'équation littérale y = f(x) de la trajectoire du plongeur en fonction des données.
b) Le sommet de la trajectoire étant atteint au point F d'abscisse xF = 1,0 m, en déduire la
mesure v0 de la vitesse initiale.
c) Le plongeur pénètre dans l'eau en un points H.
i. A partir des composantes de la vitesse exprimées au a) iii. exprimer la mesure vH de la
vitesse de G au points H puis calculer sa valeur.
ii. En appliquant le théorème de l'énergie cinétique, retrouver l'expression de la mesure vH de
la vitesse de G au point H.
II) Troisième loi de Kepler.
Dans cet exercice, les mouvements étudiés sont rapportés à des repères qu'on admet être
galiléens. Seules les interactions gravitationnelles sont prisent en compte. Les mobiles
concernés (astres ou satellites) présentent une répartition de masse à symétrie sphérique.
Dans un repère galiléen (R), on considère deux astres ou satellites : (A) (de masse M ) et (B)
(de masse m). La masse M est très grande devant m. En un point P de (R) où se trouve (B),
→
→
→
→
tel que OP = r = r. u où u est le vecteur unitaire porté par la droite passant par O et P et
→
orienté de O vers P, (A) exerce sur (B) une force F :
→
M.m →
F = − G. 2 . u où G est la constante de gravitation universelle.
r
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→
a) i. En appliquant la deuxième loi de Newton, exprimer la mesure a de l'accélération a de (B)
en fonction de sa distance r au centre de l'astre (A) et de sa masse m, puis en fonction de
G, M et r.
→
ii. Exprimer la mesure v de la vitesse v de (B) gravitant sur une trajectoire circulaire de
rayon r autour de (A).
iii. Exprimer la période T de révolution de (B) (r est grand par rapport aux dimensions de (B)).
b) i. Montrer que le rapport T2/r3 est indépendant de m.
ii. En déduire une expression de M en fonction de T, r et G.
c) Calculer le rapport MT/MS de la masse de la terre à la masse du soleil.
d) i. Sachant qu'un satellite géostationnaire gravite sur une orbite équatoriale circulaire à la
distance rT = 4,217.107 m du centre de la terre et que la constante de gravitation vaut
G = 6,67.10−11 S.I., déterminer la masse MT de la terre.
ii. Déterminer la masse du soleil MS.
e) Déterminer le rayon de l'orbite de Mars (la trajectoire sera considérée comme circulaire).
Pour les applications numériques on prendra :
- rayon de l'orbite terrestre
DT = 1,50.1011 m
- rayon de l'orbite de la lune
DL = 3,84.108 m
- période de révolution de la terre
TT = 1 a = 365,25 j = 3,156.107 s
- période de révolution de la lune
TL = 27,25 j = 2,354.106 s
7
- période de révolution de Mars
TM = 1 a 322 j = 5,938.10 s
- durée du jour sidéral
1 J = 23 h 56 mn = 86160 s
- durée du jour solaire
1 j = 24 h = 86400 s.
III) Principe de fonctionnement d’un oscilloscope.
Un oscilloscope comporte un tube cathodique qui se divise en quatre parties (figure 1) :
- un canon à électrons où le faisceau d’électrons est créé et les électrons accélérés,
- un condensateur plan C1 d’armatures (ou plaques) verticales, à l’intérieur duquel les électrons
sont déviés horizontalement.
- un condensateur plan C2 d’armatures (ou plaques) horizontales, à l’intérieur duquel les
électrons sont déviés verticalement.
- un écran fluorescent, sur lequel l’impact du faisceau laisse une trace lumineuse : le spot.
Dans cet exercice, on se propose d’analyser quelques éléments du fonctionnement d’un
oscilloscope. On étudie le système {électron}, dans le référentiel du laboratoire supposé
galiléen, la charge de l’électron est notée q = − e, avec e = + 1,6.10−19 C.
La masse d’un électron est notée m (m = 9.10−31 kg).
L’effet du poids de l’électron sera toujours négligé.
Ecole Européenne de Francfort
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Etude du mouvement dans un champ
a) Etude du canon à électrons : Le canon à électrons est constitué d’un filament qui, lorsqu’il
est porté à haute température, émet des électrons de vitesse initiale négligeable. Ces
électrons sont ensuite accélérés à l’intérieur d’un condensateur plan dont les armatures sont
verticales et distantes de dAB (plaques A et B figure 1).
La différence de potentiel entre les deux plaques est UAB = − 1,8 kV.
i. Rappeler les trois caractéristiques du vecteur champ électrique dans un condensateur.
ii. Montrer à l’aide du théorème de l’énergie cinétique que la tension UAB aux bornes du
condensateur doit être négative pour permettre à un électron d’être accéléré.
iii. Déterminer l’expression de la vitesse v0 d’un électron lorsqu’il parvient à la plaque B du
condensateur en fonction de e, m et UAB. Un raisonnement rigoureux est attendu.
iv. Calculer la valeur de cette vitesse.
b) Etude de la déflexion due au condensateur C2 :
Pour simplifier l’étude, la tension aux bornes du condensateur C1 est considérée comme
nulle. On ne s’intéresse qu’à la déviation du faisceau dans le condensateur C2, celui-ci est
soumis à une tension UFE = U > 0. On considère que le mouvement de l’électron est plan et
s’effectue dans le plan Oxz.
→
Un électron arrive en O avec la vitesse v 0 de direction Ox à la date t0 = 0.
On appelle M la position de l’électron à la date t.
i. En utilisant le théorème du centre d’inertie, exprimer, en fonction de e, U, d et m les
→
composantes du vecteur accélération a de l’électron sur les deux axes Ox et Oz.
ii. En déduire :
→
- les expressions des coordonnées du vecteur vitesse v de l’électron.
→
- les expressions des coordonnées du vecteur position OM à l’intérieur de C2.
- l’équation de la trajectoire.
→
iii. L’électron sort du condensateur C2 en un point S, avec une vitesse v S faisant un angle α
avec l’horizontale, puis vient frapper l’écran en un point I. On appelle H la projection
orthogonale de S sur l’écran. On définit la distance h = HI.
Soit D, la distance du point I au centre P de l’écran, appelée déflexion.
On note l la longueur d’une plaque, d la distance entre les plaques et L la distance OP
(voir figure 2).
- Quelle est la nature de la trajectoire entre S et I ? Justifier.
- En exploitant 2) b), exprimer les composantes du vecteur vitesse au point S. En déduire
une expression de tanα en fonction de e, U, l, m, d et v0.
- Exprimer tanα en fonction de h, L et l à l’aide de la figure 2. A partir des expressions
obtenues, exprimer h.
iv. On peut montrer que la
déflexion D a pour
expression :
l
e.U.l
D=
(L − )
2
2
d .m .v 0
Cet appareil peut être
utilisé comme voltmètre.
Justifier cet emploi à
partir de l’expression
donnée ci-dessus.
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Christian BOUVIER

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