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2. POMPE DE CIRCUIT HYDRAULIQUE D’AUTOMOBILE
Considérons le mécanisme transformateur de mouvement : excentrique-poussoir .
y
Pompe Xantia
8 pistons
(L3)
S0
S2
II
y1
x1
(L2)
S1
C
z
θ
x
O
(L1)
La modélisation adoptée pour en mener l’étude
est décrite ci-dessous :
→ → →
Soit R(O; x , y , z ) un repère lié au bâti (S0) .
→
L'excentrique (S1 ) est assimilé à un cylindre de révolution d'axe (C, z ), de rayon a .
→
(S1 ) fait l’objet d’une liaison pivot (L1) d'axe (O; z ) avec (S0).
→ → →
→ →
→
Soit R1 (O, x 1, y 1, z 1) un repère lié à (S1 ) tel que : y .OC = e x 1 , (e >0) .
→ →
On pose : θ = ( x , x 1).
Le poussoir (S2) , cylindrique de révolution , fait l’objet d’une liaison pivot glissant (L3) d'axe
→
(O, y ) avec (S0)
→
→
(S1) fait l’objet d’une liaison linéaire rectiligne (L2) de contact (I, z ) de normale y avec(S2).
y
Q1- Compléter le schéma cinématique
(L3)
Q2- Ecrire la fermeture cinématique de la chaîne
continue fermée (S0) - (S1) - (S2) - (S0) .
 γ 1 ⋅ z 
V 1/0 = 

(L1 )
0



O
V 2/1
(L 2 )
 0

=  β2
γ
I  2
V0/2 =
(L 3 )
u2
0
w2
S2
I
(L2)




 B0
C
S1
θ
 β 3 ⋅ y 


v
⋅
y

3


O
PSI T.D. de SII Théorie des mécanismes
x1
S0
1
O
(L1)
Corrigé
x
Calcul de V 2 / 1 exprimé au point O.
y
(L 2 )
V( O , 2 / 1 ) = V( I , 2 / 1 ) + O I ∧ Ω 2 / 1 =
(L 2)
x1
y1
θ
(L 2)
(L 2)
u2 ⋅ x + w2 ⋅ z + (e ⋅ x1 + a ⋅ y) ∧ ( β 2 ⋅ y +γ 2 ⋅ z ) =
x
u2 ⋅ x + w2 ⋅ z + e ⋅ β 2 ⋅ x1 ∧ y + e ⋅ γ 2 ⋅ x1 ∧ z + a ⋅ β 2 ⋅ y ∧ y + a ⋅ γ 2 ⋅ y ∧ z =
u2 ⋅ x + w2 ⋅ z + e ⋅ β2 ⋅ cosθ ⋅z + e ⋅ γ 2 ⋅ ( − y1 ) + a ⋅ γ 2 ⋅ x =
En projection dans B0 :
y1 = -sin θ ⋅ x + cosθ ⋅ y
⇒ V ( O , 2 / 1 ) = ( u 2 + e ⋅ γ 2 ⋅ sin θ
(L 2)
+ ( w 2 + e ⋅ β 2 ⋅ co sθ
x1
y1
x
Cθ
-Sθ
y
Sθ
Cθ
+ a ⋅ γ 2 ) ⋅ x − e ⋅ γ 2 ⋅ cosθ ⋅ y
) ⋅z
Forme du système d’équations :
Nc = 7
rc = 5
mc = 2
mu = 1
1 équation
« perdue »
mi = 1
h=1
rc = 5
Déterminer le degré de mobilité
Pour pouvoir résoudre, on se donne le mouvement d’entrée ⇒
γ1
connu.
Il faut de donner une autre inconnue correspondant à une mobilité interne ⇒
V 1/0
(L1 )
γ ⋅ z 
=  1 
 0 
O 
V 2/1
(L 2 )
 0

=  β2
γ
I  2
u2
0
w2




 B0
β3
V0/2 =
(L 3 )
connu.
 β 3 ⋅ y 


v
⋅
y


3
O 
Q4 Le degré d’hyperstatime est de 1,
Q5 Il faudrait introduire une mobilité en rotation de direction x .
Par exemple sur la liaison (L2) qui devient alors une liaison ponctuelle de normale (I, y).
PSI T.D. de SII Théorie des mécanismes
2
Corrigé
Q6 Exprimer les torseurs de la modélisation proposée.
L1 
X1


M1 
 Y1
1→ 2 =
0→ 1 =
(L
(L 1 )

2 )
0  B
I
O  Z1
τ
τ
0
X3

 0
0→ 2 =
(L 3 )

O Z3
τ
 0

Y 2
 0

L3 

0 
N 3  B
0
L2
0
0




 B0
y
x1
y1
θ
M O 1 → 2 = M I 1 → 2 + OI ∧ R1 → 2
= L2 ⋅ x + (e ⋅ x1 + a ⋅ y) ∧Y2 ⋅ y = L2 ⋅ x + e ⋅ Y2 ⋅ x1 ∧ y = L2 ⋅ x + e ⋅ Y2 ⋅ cosθ ⋅ z
⇒ Nouvelle écriture du torseur :
Q7-On isole le solide (S1)
B.a.m.e. :
L1
X1

M1
 Y1
0→ 1 =
(L 1 )

0
O  Z1
τ
τ 1→ 2
(L 2 )
 0

=
 -Y 2

O  0
τ 1→ 2
(L 2 )
 0

=
Y 2

O  0
L2
0
e ⋅ Y 2 ⋅ c o sθ




 B0
I
y




 B0
-L 2
0
x1
C
S1
-e ⋅ Y 2 ⋅ c o sθ
θ




 B0
O
x
y
Avec en plus, les actions extérieures connues
P.F.S. Voir le système d’équations page suivante
S2
Q8-On isole le solide (S2)
B.a.m.e. :
τ 1→ 2
(L 2 )
 0

=
Y 2

O  0
I
L2
0
e ⋅ Y 2 ⋅ c o sθ




 B0
τ 0→3
(L 3 )
X3

=
 0

O Z3
L3 

0 
N 3  B
0
x
Avec en plus, les actions extérieures connues
P.F.S. Voir le système d’équations page suivante
PSI T.D. de SII Théorie des mécanismes
3
Corrigé
Efforts extérieurs
Ils ne constituent pas
des inconnues de
liaison
Ns = 11 inconnues de liaisons
rs = 10
h=1
+ Xext = 0
X1
PFS
appliqué
à (S1)
+Yext = 0
Y1 -Y2
+ Z ext = 0
+ Lext = 0
+ M ext = 0
Z1
L1 - L2
Es =12
rs = 10
PFS
mc = 2
appliqué
à (S2)
M1
-e ⋅ Y2 ⋅ cosθ
2 équations
linéairement
dépendantes
+ N ext = 0
+ X'ext = 0
+Y'ext = 0
+ Z'ext = 0
+ L'ext = 0
+ M'ext = 0
X3
Y2
Z3
+ L3
L2
e ⋅Y2 ⋅ cosθ
+ N3
Equation perdue
+ N'ext = 0 pour les inconnues
de liaisons.
Q9 Y-a-t-il des équations de perdues ?
On perd deux équations ⇒ rs = 12 – 2 ⇒ rs = 10
Q10 Quelles équations statiques peut-on se donner pour rendre le modèle isostatique ?
On a 11 inconnues ⇒ On se donne l’inconnue hyperstatique L2 (ou L1 ou L3 )
Avec L = 0, la liaison (L2) devient une ponctuelle de normale (I, y)
2
Q11-Exprimer les efforts du modèle isostatique
Calcul des composantes des torseurs des efforts :


 0 ( L→ ) 1  =

1



2 =
 0 (→
 L3 ) 
X1

 Y1

O  Z1
X3

 0
Z
O  3
L1 

M1
0  B
0


2 =
 1(→
 L2 ) 
Suppression de
l’inconnue
hyperstatique
 0

Y 2

I  0
0
0
0




 B0
L3 

0 
N 3  B
0
PSI T.D. de SII Théorie des mécanismes
4
Corrigé

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