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 Devoir de vacances de mathématiques
Nom : No : Année 2013/2014
Classe : 5e
SEMAINE 1 : Exercice 1 : Choisir deux nombres a)
b)
c)
d)
Trouve deux nombres relatifs dont le produit est positif et la somme est négative. Trouve deux nombres relatifs dont le produit est négatif et la somme est positive. Trouve deux nombres relatifs dont le produit et la somme sont positifs. Trouve deux nombres relatifs dont le produit et la somme sont négatifs. Exercice 2 : Calculer A  5 2  8 2  2  (0,25) 4  4 4
B  (4 2  2 2 )  3  2  (3)  2 3
C  (19  6  3) 8  2  5 2  (7  3) 2
D  13  6  8  5  2  3  3,1  2,5
E  8,1  0,1  5,2  2   11   2 
F  132  11  10  4  2,5
Exercice 3 : ˆ  60 . ˆ  70 et ACB
ABC est un triangle tel que : BC=4cm, ABC
ˆ coupe [BC] en J. ˆ coupe [AC] en I et celle de l’angle BAC
La bissectrice de l’angle ABC
Les deux bissectrices se coupent en M. ˆ ; BAJ
ˆ ; ABI
ˆ . ˆ ; BCM
Calculer la mesure des angles BAC
Exercice 4 : On donne les expressions algébriques suivantes : A  4 x 3  2 x 2  x  4 ; B  2 x 2  3 x  5 ; C   x 3  x  2 Calculer : R=A+B, S=A‐B, T=A‐C+B et 2R‐3S. Exercice 5 : Si on ajoute 4 au triple de la note prise par Karim sur son devoir de mathématiques, j’aurai 40. Quelle est sa note ? Exercice 6 : Soient [AB] et [EF] deux diamètres perpendiculaires d'un cercle de centre O et de rayon 4cm. ˆ F coupe le cercle en M. Soit H le projeté orthogonal de M sur (AB). La bissectrice de BO
a) Quelle est la nature du triangle OEM. b) Montrer que (HM) // (OE) En déduire que [ME) est bissectrice de OMˆ H c) Montrer que (AF) et (OM) sont parallèles. d) (BM) et (AF) se coupent en P. Montrer que APˆ B  ABˆ P SEMAINE 2 : Exercice 1 : Le compte est bon Avec les nombres proposés, retrouve les résultats annoncés ! Tu ne peux utiliser chaque nombre qu'une seule fois. Toutes les opérations sont autorisées. Avec – 3 ; – 5 ; 25 ; – 100 et 7, trouve – 650 ! Avec – 7 ; – 25 ; 10 ; – 8 et – 75, trouve 730 ! Exercice 2 : a)
Factoriser chacune des expressions suivantes : A  5a  x  8  10b x  8
B   y  1   y  13 y  2  C  25 x 3 y 4  75 x 4 y 3  125 x 2 y 3
D   x  32 x  1   x  33 x  2  E  2 x  7   3 y 2 x  7 
b) Développer et réduire : 

A   x  3 x  1   x  2  1  x 2
B  2a  3a  1  3a  1a  2
C  2 x  1 x  3  2 x  33 x  2
D   x  6  x  1   x  32 x  1  2 x x  5
Exercice 3 : On veut tracer un triangle tel que son périmètre mesure 16 cm et deux de ses angles mesurent 64° et 46°. a. Fais un dessin à main levée de ce triangle et calcule la mesure de son troisième angle. 

b. Trace un segment [DE] mesurant 16 cm et place A tel que : ADE = 32° et AED = 23° (on a pris les moitiés de 64° et 46°). c. Place un point B sur le segment [DE] à égale distance de A et de D puis un point C sur le segment [DE] à égale distance de A et E. Indique la nature des triangles ABD et ACE ? d. Calcule les mesures des angles des triangles ABD et ACE. e. Démontre que le périmètre et les angles du triangle ABC correspondent bien à ceux du triangle cherché. 

f. Trace un triangle RST de périmètre 20 cm tel que RST = 36° et STR = 68°. P a g e 2 |8 Exercice 4 : • Ce nombre est très bizarre : que je le multiplie par – 2 ou par – 7, j'obtiens le même résultat ! Quel est ce nombre ? • Quand je me multiplie par moi‐même, cela donne mon opposé ! Qui suis‐je ? Exercice 5 : Deux nombres ont pour somme 400. Calcule ces deux nombres sachant que l’un deux est le triple de l’autre. SEMAINE 3 : Exercice 1 : Anne‐Cécile rend visite à plusieurs amis à son retour d'Australie. A chaque fois, ses amis lui offrent gentiment un morceau de son gâteau préféré. Le premier jour, gourmande, elle mange un demi‐gâteau chez Sophie. Le lendemain, Marie lui donne un quart de gâteau. Plus raisonnable, le troisième jour, elle prend juste un huitième de gâteau avec Mathieu et le quatrième jour, un seizième avec Franck. Le cinquième jour, elle prend juste un trente deuxième de gâteau chez Hafid, pour lui faire plaisir. a. Quelle proportion de gâteau a‐t‐elle mangée en cinq jours ? b. En continuant ainsi, parviendra‐t‐elle à manger un gâteau entier ? Exercice 2: ˆ  50 . Tracer un triangle ABC rectangle en A tel que ACB
Construire la médiatrice de [AC] ; elle coupe [BC] en I. a) Quelle est la nature du triangle IAC ? b) Calculer IAˆ B et IBˆ A . c) En déduire qu’IA=IB. d) Déduire que le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle est le milieu de son hypoténuse. Exercice 3: Calculer et donner la réponse finale sous forme d’une fraction irréductible : 1 2
A  3 2  3
3 3
2 3 1
B  
5 5 2 7  10
3 2
C
 2
10  7
2
Exercice 4 : ˆ =60º, on place un point A. Sur la bissectrice [OU) d’un angle xOy
P a g e 3 |8 La perpendiculaire en A à [OU) coupe [Ox) en E et [Oy) en F. a) Faire la figure. b) Montrer que A est le milieu de [EF]. c) Montrer que OFA  OEA . d) Quelle est la nature du triangle OFE ? ˆ
ˆ
Exercice 5 : À un jeu télévisé, la première bonne réponse rapporte 100 €. Le gain double à chaque bonne réponse. Le candidat veut gagner plus de 100 000 €. À combien de questions doit‐il répondre au minimum ? Détaille tes recherches. Exercice 6 : La somme de trois entiers consécutifs est 102. Trouve ces nombres. SEMAINE 4 : LES PARALLELOGRAMMES (d) et (d') sont 2 droites sécantes en B. Soit A un point sur (d) et C un point sur (d') et O le milieu du segment [AC]. Soit D le symétrique de B par rapport à O. 1) En expliquant la réponse, quelle est l'image par la symétrie centrale de centre O:  De la droite (d)  De la droite (d') Retenir Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux 2) Citer alors des longueurs égales et des angles de même mesure. Explique tes réponses.
A
Retenir Un parallélogramme a un centre de symétrie qui est le point de rencontre de ses diagonales. Cette symétrie centrale permet en particulier d'affirmer que, dans un parallélogramme : Les côtés opposés ont Les angles opposés ont Les diagonales ont la même longueur la même mesure. le même milieu A
P a g e 4 |8 éthodes: Construire le quatrième sommet d'un parallélogramme. Enoncé: a) Construire un triangle ABC tel que BC = 4cm, BA = 2,5 cm et CA = 3,5cm. Construire le point D tel que ABCD soit un parallélogramme. b) Calculer le périmètre de ce parallélogramme Solution a) Une fois le triangle ABC construit:  On situe la position approximativement de D, en tenant compte de l'ordre des points dans le nom du parallélogramme;  On trace un arc de cercle de centre A et de rayon BC (4cm);  On trace un arc ce cercle de centre C et de rayon BA (2,5cm); b) Les côtés opposés d'un parallélogramme ont  On place D à l'intersection des deux arcs. On sait que le quadrilatère obtenu est un la même longueur, donc: parallélogramme car " si un quadrilatère AD = BC = 4cm et AB = DC = 2,5 cm non croisé a ses côtés opposés de même 2  4  2  2,5  13 longueur, alors c'est un parallélogramme". Le périmètre de ABCD est de 13 cm. Construire un parallélogramme à partir de ses diagonales. Enoncé: Construire un parallélogramme ABCD de centre O tel que: M
ˆB
OA = 3cm, OB =2cm et AO
Solution  140 . Justifier cette construction.  On trace la diagonale [AC] de longueur 6cm et on place son milieu O.  On trace la demi‐droite [Ox) tel que AOˆ x  140 .  On place B sur [Ox) à 2cm de O.  On place le point D symétrique de B par rapport à O. Les diagonales [AC] et [BD] du quadrilatère construit ont le même milieu O, donc c'est bien un parallélogramme. On sait que: "Si un quadrilatère a ses diagonales de même milieu, alors c'est un parallélogramme.
Exercice1 : a) Construire un triangle ABC tel que : BC = 5,4 cm, BA = 3,2 cm et CA = 4,6cm. Construire le point D tel que ABCD soit un parallélogramme. b) Calculer le périmètre de ce parallélogramme. P a g e 5 |8 Exercice 2 : ˆ  55 a) Construire un triangle ABC tel que : BC = 5m, BA = 6cm et ABC
Construire le point D tel que ABCD soit un parallélogramme. b) Calculer le périmètre de ce parallélogramme. ˆ ? Pourquoi ? c) Quelle est la mesure de l’angle ADC
Exercice 3 : ˆ  70 Construire un parallélogramme ABC de centre O tel que : OA = 3,5cm, OB = 4cm et AOB
Justifier cette construction. Exercice 4 : Construire un parallélogramme ROSE de centre C tel que : OC = 5cm, CS = 4cm et OS = 6cm. Justifier cette construction. Exercice 5 : ˆ  75 Construire un parallélogramme ABCD de centre O tel que : AC = 10cm, BD = 6cm et AOB
Justifier cette construction. Exercice 6 : Construire un parallélogramme PAUL tel que : PU = 8cm, LA = 5cm et LU = 3cm. Justifier cette construction SEMAINE 5 : Exercice 1 : Sur la médiatrice (xy) d’un segment [AB] et de part et d’autre de ce segment, on place deux points M et N. Sur les segments [MA] et [MB], on considère, respectivement, les points C et D tels que MC=MD. Sur les segments [NA] et [NB], on considère, respectivement, les points E et F tels que NE=NF. a) Démontrer que CA=DB et que (CD) est parallèle à (AB). b) Démontrer que EA=FB et que (EF) est parallèle à (AB). c) Déduire que (EF) est parallèle à (CD). d) Démontrer que les deux triangles ACE et BDF sont superposables. Exercice 2 : Résoudre a) 2 x  5  4 x  2 b) 3x  1  x  2 x  3 P a g e 6 |8 1
4
b
2
2x
 x 1
d)
 1  2   3
3 2
x
e) 2  1  0 5 
c) 2b   Exercice 3 : ˆ  110 , AC=4cm et AB=7cm. Tracer un triangle ABC tel que BAC
ˆ
Placer un point E sur [AB] tel qu’AE=AC. La bissectrice de BAC coupe la médiatrice de [BC] en M. a) Quelle est la nature du triangle MCB ? Justifier. b) Démontrer que les deux triangles MCA et MEA sont superposables. En déduire que ME=MC. c) Montrer que ME=MB. Exercice 4: Boris a gagné au jeu « Megariche » le week‐end dernier. Il décide de partager la somme avec ses amis. Il donne un huitième des gains à Marc et un sixième à Fabrice. Il propose un cinquième de ce qu'il n'a pas encore distribué à Bruno. Le reste, il le garde pour lui. Quelle fraction du gain reste‐t‐il à Boris ? Exercice 5 : Sami a 4ans de plus que Ziad. Chadi en a autant que Sami et Ziad réunis. La somme de leurs trois âges est 48 ans. Quel est l’âge de chacun ? Exercice 6 : Un père de 34 ans a deux enfants Karim et Walid âgés respectivement de 12 ans et 8 ans. Dans combien d’années la somme des âges des enfants sera‐t‐elle égale à l’âge du père ? Exercice 7 : Tracer un segment [BC] de longueur 6cm. 1) Construis un point A tel que la distance de A à (BC) soit égale à 5cm. 2) Construis le point D tel que ABDC soit un parallélogramme. SEMAINE 6 : Exercice 1 : a) Construis un rectangle ABCD tel que AB = 4 cm et AD = 3 cm. b) Place le point E tel que les points B, C et E soient alignés dans cet ordre et que CE = 3 cm. c) Place le point F tel que les points D, C et F soient alignés dans cet ordre et que CF = 4 cm. d) Démontre que les triangles BCD et ECF sont symétriques par rapport à C. e) Déduis‐en que DB = FE. Que peux‐tu dire des droites (DB) et (FE) ? Justifie ta réponse P a g e 7 |8 Exercice 2: Calculer la valeur numérique de chacune des expressions suivantes : 3
2
a) A  3a  2a  6 pour a = 2. ( a  b )c
pour a = 3, b = ‐2 et c = ‐4. b) B 
a  bc
Exercice 3 : ˆ C  45 et ACˆ B  60 Soit un triangle ABC tel que BC = 6cm, AB
On trace la médiane [CM] et on place le point D symétrique de C par rapport à M. a) Montrer que les triangles MBC et MAD sont superposables. En déduire que les droites (AD) et (BC) sont parallèle. b) On trace la hauteur [AH] du triangle ABC. ˆ H . Montrer que [AB) est la bissectrice de DA
c) Soit K le projeté orthogonal de M sur (BC); (MK) coupe (AD) en P. Montrer que: MK = MP. d) Montrer que: BH = PK. Exercice 5 : Un professeur de mathématiques propose à un élève 16 problèmes et lui promet 5 points par problème juste à condition que l’élève lui donnera 3 points par problème faux. Il arrive que le professeur et l’élève ne doivent rien. Trouve le nombre de problèmes justes. Exercice 6 : (d) et (d’) sont deux droites sécantes en O. J est un point qui n’appartient ni à (d) ni à (d’). Soit K le symétrique de O par rapport à J. La parallèle à (d’) passant par K coupe (d) en A et la parallèle à (d) passant par K coupe (d’) en B. a)Quelle est la nature du quadrilatère AOBK ? b) En déduire que J est le milieu de [AB]. Bonnes Vacances !
P a g e 8 |8 
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