Structure de la matière - MP*1

MP*1- 2014/2015
Solides cristallins
1) Le bronze :
Le cuivre cristallise dans le système cubique à faces centrées. Le paramètre de maille
est 𝑎 = 3.60.10−10 𝑚.
1) Dessiner la maille.
2) Donner le nombre d’entités par maille.
3) Décompter les sites octaédriques et tétraédriques. Sont-ils réguliers ?
4) Quelle est la masse volumique du cuivre ? Quelle est la compacité du cristal ? (on
supposera le contact entre entités de cuivre supposées sphériques).
5) Quelle condition doit vérifier le rayon d’un atome étranger qui pourrait se loger
dans un site tétraédrique ?
6) L’étain peut être incorporé au cuivre pour former du bronze de pourcentage en
atomes de cuivre : 97 % et en atomes d’étain : 3 %. Y-a-t-il substitution ou insertion ? Quels
sont les pourcentages en masse ?
On donne le rayon atomique de l’étain :
𝑟(𝑆𝑛) = 151𝑝𝑚 ; 𝑀(𝐶𝑢) = 63,55 𝑔. 𝑚𝑜𝑙 −1 ; 𝑀(𝑆𝑛) = 118,69 𝑔. 𝑚𝑜𝑙 −1.
2) La fluorine :
La description la plus commode de la fluorine 𝐶𝑎𝐹2 consiste à faire jouer le rôle
principal aux cations 𝐶𝑎2+ , structure c,f,c., avec occupation de tous les sites tétraédriques par
des ions 𝐹 − .
1) représenter la maille ; déterminer la population et la coordinence.
2) Ecrire la condition de tangence anions-cations. En déduire le paramètre de la maille
sachant que 𝑟(𝐶𝑎2+ ) = 112 𝑝𝑚 et 𝑟(𝐹 − ) = 131 𝑝𝑚.
3) Déterminer la densité du cristal et comparer à la valeur expérimentale 𝑑 = 3,18.
On donne 𝑀(𝐶𝑎𝐹2 ) = 78,1 𝑔. 𝑚𝑜𝑙 −1.
3) L’oxyde de bismuth :
A l’état solide, l’oxyde de bismuth (𝐼𝐼𝐼), présente une structure cubique telle que les
ions oxydes occupent les centres de arêtes et les centres des faces du cube alors que les ions
Bi 3 ont pour coordonnées : (1/4 ; 1/4 ; 3/4) ; (1/4 ; 3/4 ; 1/4) ; (3/4 ; 1/4; 3/4) ; (3/
4 ; 3/4 ; 1/4). On admettra une tangence anion-cation.
1) Dessiner cette structure ; vérifier la stœchiométrie de l’oxyde et préciser la
coordinence de chaque ion par rapport à l’autre.
2) Déterminer la masse volumique de l’oxyde de bismuth (III). On donne
𝑟(𝐵𝑖) = 140 𝑝𝑚 et 𝑟(𝑂) = 108 𝑝𝑚.
3) Calculer la compacité de cet oxyde.
4) La blende :
Le principal minerai de zinc est le sulfure de zinc de type blende. Dans le cristal de
blende, les ions 𝑍𝑛2+ et 𝑆 2− jouent des rôles symétriques. On peut ainsi décrire la maille de
ce cristal comme constituée d’un réseau cubique à faces centrées d’ions 𝑆 2− avec occupation
de la moitié des sites tétraédriques par les ions 𝑍𝑛2+
1) Dessiner la maille conventionnelle et donner la coordinence des ions 𝑍𝑛2+ et des
ions 𝑆 2−
2) Donner la formule littérale de la masse volumique 𝜌 de la blende en fonction du
paramètre 𝑎 de la maille, de la constante d’Avogadro 𝑁𝐴 et des masses molaires de zinc et du
soufre.
3) Calculer la plus petite distance entre les ions 𝑍𝑛2+ et 𝑆 2− dans la structure de la
blende en fonction du paramètre a de la maille. La comparer aux rayons ioniques donnés et
interpréter ce résultat.
Structure de la blende : paramètre de maille : 𝑎 = 540 𝑝𝑚 ; rayons ioniques 𝑟(𝑍𝑛2+ ) =
74 𝑝𝑚 et 𝑟(𝑆 2− ) = 184 𝑝𝑚.
5) Le diamant :
Le diamant cristallise dans un système cubique à faces centrées ; on notera 𝑎 son
paramètre de maille. Dans cette structure particulière, quatre
des huit cubes d’arête 𝑎/2 comportent un atome au centre,
comme le montre la projection cotée de la figure ci-contre.
1) Déterminer le nombre d’atomes de carbone par
maille, le nombre de plus proches voisins de chaque atome
(coordinence) et la forme géométrique dessinée par ces plus
proches voisins.
2) La longueur de la liaison carbone-carbone est de
154 𝑝𝑚. En déduire la valeur du paramètre de maille 𝑎.
3) Calculer la compacité de cette structure. Existe-t-il des structures plus compactes ?
Préciser.
4) Citer deux propriétés physiques du diamant directement générées par sa structure
électronique parfaitement covalente.
Solutions :
1) Le bronze :
2) 2 atomes/maille ; 3) 8 sites tétraédriques et 4 sites octaédriques ; 4)
4M (Cu )
 (Cu ) 
 9050kg.m 3 ; 5) le rayon r de l’atome doit
N Aa3
a 3
pour être insérer dans un
4
 a 2 ; soit
vérifier la relation suivante : rx  rCu 
site octaédrique. De plus 4rCu


a
3  2  0.28.10 10 m ; 6) il y a substitution et non inversion. % massique en cuivre
4
= 94.5%.
2) La fluorine :
rx 
2) La maille contient N=4 motifs de CaF2 avec 4 Ca2+ par maille et
8 F- par maille ; la coordinence est de 4 pour les anions (4 voisins
𝐶𝑎2+ pour un 𝐹 − ) et 8 pour les cations (8 voisins 𝐹 − pour un 𝐶𝑎2+ ) ;
4𝑀(𝐶𝑎𝐹 )
3) 𝑟(𝐶𝑎2+ ) + 𝑟(𝐹 − ) = 𝑎√3/4 ; 𝑎 = 561 𝑝𝑚 ; 3) 𝑑 = 𝜌 𝑁 𝑎2 3
𝑒𝑎𝑢 𝐴
3) L’oxyde de bismuth :
1) dans une maille élémentaire on a 6𝑂2− par maille et 4𝐵𝑖 3+ ; coordinence de 𝐵𝑖 3+ =
a 3
6 ;coordinence de 𝑂2− = 4 ; 2) on admet une tangence anion-cation :
 2r   r   ;
2
4 4r 3  6r 3
 0.45 .
𝑎 = 554 𝑝𝑚 ; 𝜌 = 8240.7 𝑘𝑔. 𝑚−3 ; 3) compacité=
3
a3
4) La blende :
2) Il y a 4 ion 𝑍𝑛2+ et 4 ions 𝑆 2− par maille d’où :
4( M ( Zn)  M ( S ))
; 3) La plus petite distance 𝑍𝑛2+ /

3
N Aa
3
 236 pm ;
4
or 𝑟(𝑍𝑛2+ ) + 𝑟(𝑆 2− ) = 250 𝑝𝑚 > 236 𝑝𝑚 ; le modèle
proposé n’est pas correct.
𝑆 2− est le quart de la diagonale du cube soit : a
5) Le diamant :
1) 8 atomes par maille ; coordinence 4 ; la forme dessinée par les
3
plus proches voisins est celle d’un tétraèdre ; 2) a
 d c c ;
4
3
4 d 
4.   
3 2
𝑎 = 356 𝑝𝑚 ; 3) compacité 
 0.34 ; 4) le diamant
3
aD
est un isolant ; les liaisons covalentes sont très solides ce qui explique sa dureté.

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