一様定常乱流の統計性における高分子の影響

平成 23 年度創成シミュレーション工学専攻修士論文梗概集
計算応用科学分野
一様定常乱流の統計性における高分子の影響
学籍番号 22413546 氏名杉本大輝
指導教員渡邊威准教授
1
乱流中に高分子を加える事で，乱流と固体面と
の摩擦が減少する摩擦低減効果はよく知られてお
り，乱流中の乱れを抑える作用がある．この効果
は，流体中の物体輸送や，配管内の流体輸送の効
率向上のために実用化されている．高分子を添加
する事で，乱流の特性にどのような影響を及ぼす
かを十分に理解する事ができれば，それらの効果
をより有効に活用できる事に繋がる．そこで，本
研究は，壁から十分に離れた空間内で高分子モデ
ルが，乱流の基本統計量及びラグランジュ統計量
に及ぼす影響を理解する事を目的とする．
解析方法は，高分子モデルが流れ場に影響を及
ぼさない場合 (1-way) と及ぶ場合 (2-way) の二通り
の結果を比較する事で，高分子からの影響を考
察する．高分子モデルは，２つのブラウン粒子
が有限伸長性を持つ非線形弾性バネで繋がれた
FENE(Finitely Extensible Nonlinear Elastic) ダンベル
モデルを扱う．計算手法は，乱流場の直接数値計
算及び，大多数の高分子モデルのブラウン動力
学計算を結合した計算を行う．また，乱流と高
分子モデル集団の運動を，MPI(Massage Passing
Interface) 通信を用いた並列計算で計算し，その並
列化効率についても議論する．
2
2.1
fs (z) = (1 − z2 )−1 .
はじめに
数値解析法
一様定常乱流の数値計算
扱う乱流場は，一様等方性を持つ定常な乱流で
ある．一辺が 2π の立方体中で周期的に広がる空間
において，一様等方性を持つ初期速度場を作り，ポ
リマーストレステンソルによる項を加えた Navierstokes 方程式 (1) を，非圧縮条件と共に解いていく．
空間微分はスペクトル法で計算し，時間微分に関し
ては２次の Runge-Kutta 法を用いる．外力は統計的
に定常な流れをつくるため，エネルギー注入率 εin が
一定となるように a(t) を設定し，式 (2) で求める．
∇ · u = 0,
1
1
∂u
+ u · ∇u = − ∇p + ν∇2 u +
f + ∇ · T P . (1)
∂t
ρf
ρf
{
a(t)u(x，t) for kl ≤ |k| < kh ,
f (x，t) =
(2)
0
otherwise.


( (n) )
Nt  (n) (n)
3
∑

 Ri R j
νη Lbox
|R |
p
 2
T i j (x，t) =
fs
− δi j  δ(x − r(n)
g ),
τs Nt n=1
req
Lmax
(3)
(
)2
ここで，η = ΦV 3req /4a ，ΦV = 2Nt (4π/3)(a/Lbox )3 , req =
1
(kB T/k) 2 である．また，rg はダンベルモデルの重
心ベクトル， R(n) は末端間ベクトルである．
2.2 FENE ダンベルモデル
図1
高分子鎖のモデル（ダンベルモデル）．高分子鎖の末端間
の弾性力をバネの弾性力で表現する．2 つのブラウン粒子は独立
してブラウン運動する．
FENE ダンベルモデルの２つの球の運動はラン
)
(
(n)
(n)
ジュバン方程式で表され， r(n)
g = x1 (t) + x2 (t) /2 と
(n)
(n)
R(n) (t) ≡ x1 (t) − x2 (t) を用いて，以下の運動方程式に
従う．
))
(
)
dr(n)
req ( (n)
1 ( ( (n) )
g
u x1 , t + u x(n)
=
W 1 + W (n)
2 ,t + √
2 (, 4)
dt
2
8τs
( (n) )
(n)
(
)
(
)
dR
1
|R | (n)
(n)
= u x(n)
f
R
1 , t − u x2 , t −
dt
2τs
Lmax
)
req ( (n)
+√
W 1 − W (n)
. (5)
2
2τs
⟩
⟨ (n) ⟩
⟨
(n)
(s)
= δmn δαβ δi j δ(t − s),
W i (t) = 0， Wα(m)
(t)W
β， j
，i
(
)
α, β = 1, 2， i, j = 1, 2, 3, n, m = 1, 2 · · · Nt ．
ここで，球の質量が十分に小さいとして慣性項を
0 と近似している．また，希薄な高分子溶液を想
定しているために高分子間の相互作用を無視し，
内部間の衝突は無いものとする．球の位置での流
(n)
体場の速度 u(xi (t)，t) は，球の周りの格子点から
3 次精度の TS(Taylor Series)13 スキーム (3) を用いて
補間して求める．時間発展は上記の式 (4)，(5) を 2
次精度の Adams-Bashforth 法を用いて解いていく．
このとき，数値積分においてバネの最大伸び長さ
Lmax を超えるのを防ぐため，|R(n) | > Lmax /2 の場合，
1 − |R(n) |/Lmax について陰解法解き，e(n) = R(n) /|R(n) |
は陽解法で解く．また，|R(n) | > 0.9Lmax の場合には，
ダンベルの時間刻み幅 ∆t p = ∆t/10 として，より精
度を高くする．
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計算応用科学分野
0.6
計算条件
0.5
表 1 流体場及び高分子ダンベルモデルの計算条件
0.4
_
ε(t)
ダンベルモデルの各パラメータはポリアクリ
ルアミドを想定し，慣性半径 Rg = 0.5µm，バネの
最大伸び長さ Lmax = 77µm を用いた．高分子モデ
ルの重要な無次元パラメータである Weissenberg
数 Wi = τs /τK は，1-way で Wi = 5.0 程度となるよう
にバネの緩和時間 τs を定めた．そして，高分子
と流体場の体積比 ΦV = 2Nt (4π/3)(a/Lbox )3 を設定す
るため，実際に数値計算で解くダンベルモデル
の数 Ñt を b 倍した数 Nt = bÑt を本計算で扱う高分
子の総数とみなす．また，ダンベルモデルの計
算は，乱流が統計的に定常な状態となった時刻
において計算領域に分散させ開始する．
ダンベルモデルのパラメータ及び，流体場の
計算条件を，表 1 に示す．本計算では，体積比
ΦV = 5ppm(×10−6 )，25ppm，50ppm の三通りの計算
を行った．
0.3
0.2
1-way
0.1
動粘性： ν f
1.0 × 10−2
エネルギー散逸率： εin
エネルギー注入範囲
1 ≤ |k| < 2
Weissenberg 数： Wi
5.0
ダンベルモデルの数：Ñt
108
体積分率： ΦV
4
0.5
5ppm,25ppm,50ppm
計算結果
表 1 の計算条件において，乱流場のエネルギー
散逸率 ε̄(t) = 2ν⟨(∇u)2 ⟩ 及び運動エネルギースペク
トル E(k) を 1-way と 2-way で比較した結果を，図
1，図 2 に示す．図 1 より，エネルギー散逸率の低
減が見られる．これは，流体場の粘性により散
逸する運動エネルギーの一部が，流れにより引
き延ばされたダンベルの弾性エネルギーとなる
からである．また，図 2 より，スペクトルの低波
数において，1-way と比較して 2-way の場合は値
が低くなり，高波数において値が高くなってい
る．従って，乱流に注入されたエネルギーは高
分子により輸送するため，高分子添加により低
波数領域でのエネルギーが減少し，高波数領域
でのエネルギーが増加される事が分かる．
120
130
t
140
150
160
170
180
102
101
100
10-1
10-2
10-3
10-5
128
4.0 × 10−3
110
103
3
時間刻み幅： ∆t
100
図 1 エネルギー散逸率 ε̄(t) = 2ν f ⟨(∇u)2 ⟩ の時間推移．t =
100 で Ñt = 108 個の FENE ダンベルモデルを計算領域に一様に
分散させ，ΦV =5ppm,25ppm,50ppm と変化させた時の様子．
10
格子点数： N
2-way(ΦV=25ppm)
2-way(ΦV=50ppm)
-4
3
2-way(ΦV= 5ppm)
0
90
____ _
ln (E(k,t)t ε-2/3 lK-5/3)
3
1-way
2-way(ΦV= 5ppm)
2-way(ΦV=25ppm)
2-way(ΦV=50ppm)
0.1
ln (k lK)
1
図 2 エネルギースペクトル E(k, t) の時間平均値（縦軸：
t
t
t
(ε̄(t) )2/3 (lK (t) )5/3 ，横軸：lK (t) で無次元化）．高波数側は，エ
√
イリアシング誤差除去のため，2 2N/3kmax ≤ k で E(k, t) = 0 で
ある．
5 まとめ
本計算により，一様定常乱流中に高分子モデ
ルを加える事で，乱流のエネルギー散逸低減効
果や加速度のラグランジュ時間相関が減少する
事を確認した．また，実験結果と比較する事で
結果の妥当性を示し，本計算に用いたプログラ
ムの並列計算の効率を検討する事ができた．今
後は，計算する高分子モデルの数の増加やダン
ベルモデルを鎖モデルに拡張するなど物理的効
果が本研究結果にどのような影響を及ぼすか検
討していく.
参考文献
1) T. Watanabe and T. Gotoh， Phys. Rev. E 81，
066301(2010)
2) A. M. Crawford， N. Mordant， H. Xu and E. Bodenschatz，New J. Phys. 10，123015(2008)
3) P. K. Yeung and S. B. Pope， J. Comp. Phys. 79，373-
416(1988)
4) T. Watanabe and T. Gotoh, preprint(2012)

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