2 学年物理「人工衛星」 5.1 第一宇宙速度 5.2 人工衛星

2 学年
物理
「人工衛星」
5.1 第一宇宙速度
図に示すように，山の頂上から水平方向に物体を投げることを考える．初
速度が小さい場合には，物体は地球に引かれてすぐに地表に落ちるだろう．
徐々に速度を大きくしていくと，物体はもっと遠くまで届くようになり，最
後には地球を 1 周するようになる．物体に何も抵抗力がはたらかない場合に
は，物体は人工衛星となる．
山の高さは，地球の半径に比べて無視できるほど小さいとして，地球を
一周するのに必要な初速度を求める．空気の抵抗が無いとすると，物体は等
速円運動をする．このときの向心力は，物体と地球の間にはたらく万有引力
である．地球の質量を，物体の質量を，物体の速さをとすると，物体
の運動方程式は，
である．これより，速さは，
と求まる．このときの初速度を[
]という．
5.2 人工衛星
人工衛星
さきほどは，地表において人工衛星となるための初速度を求
めた．地表から離れた位置で物体を投げると，地球と物体の間
h
の距離は長くなるため，その間にはたらく万有引力は弱まる．
図に示すように，地表からの高さにおいて，物体が人工衛星
となるために必要な初速度を求める．さきほどと同じように，
R
v
物体の運動方程式を立てる．ただし，地球と物体の間の距離は
となる．
地球
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例題 5-1
地表での重力加速度の大きさを 9.80 m/s2，地球の半径を 6.37×106 m とする．以下の各問いに答えよ．
(1) 第一宇宙速度の大きさを求めよ．
(2) (1)で求めた速度で地球を周回する人工衛星の周期は何時間か求めよ．
例題 5-2
地表から高さの赤道上空を，地球の自転と同じ周期で周回している人工衛星は，地上から見ると上空の 1
点に静止しているように見える．このような人工衛星を「静止衛星」という．以下の各問いに答えよ．ただし，
地球の半径を 6.37×106 m，地球の質量を 5.99×1024 kg，万有引力定数
を 6.67×10-11 N・m2/kg とする．
(1) 人工衛星の周期は何秒か求めよ．
(2) 人工衛星の角速度は何 rad/s か求めよ．
(3) 人工衛星の質量をとして，運動方程式を書け．
(4) 高さは何 m か求めよ．
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5.2 万有引力による位置エネルギー
1 年生では，重力による位置エネルギーを学んだ．
図に示すように，地上から高さにある質量の物
体を考える．いま，物体を地面まで移動させると，
重力のした仕事は[
]となる．し
たがって，高さにある物体には，重力による位置
エネルギー[
]をもっている．この
とき，基準点は地面とした．
同じように，地球と物体の間にはたらく万有引力
で位置エネルギーを求める．ただし，万有引力は距
離の二乗に反比例して変化するため，位置エネルギ
ーを求めるのは容易ではない．図に示すように，質
量の物体が，地球の中心から距離だけ離れた
位置にあるとする．このとき，物体にはたらく万有
引力の大きさは[
]と表される．
この物体を地表まで移動させたときに，万有引力が
物体にした仕事を求める．地表面での万有引力は
[
]と表される．グラフに示し
た面積が，万有引力が物体にした仕事に相当する．
この求め方は，次のページで示す．計算結果を示す
と，以下のようになる．
以上から，質量の物体が，地球の中心から距
離だけ離れた位置にあるとき，物体は以下の万有
引力による位置エネルギーを持っている．
ただし，この式は，地表を位置エネルギーの基準とした．
重力の大きさをで表していたときは，重力がどの場所においても一定であるため，位置エネルギーの基準
を自分で設定する必要があった．万有引力の大きさは，距離の二乗に反比例するため，十分に距離を離せば，
その大きさはほとんど無視できる．この位置を位置エネルギーの基準にとることが多い．基準点は，物体間の
距離を十分離した[
]にとるという．離れた位置にある質量の物体の位置エネルギー
は以下のように表される．
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5.3 万有引力による位置エネルギー 2
右図に示すように，質量
の物体が，地球の中心か
ら距離だけ離れた位置に
あるとする．この物体を地
表まで移動させたときに，
万有引力が物体にした仕事
を計算する．まず，から
の範囲を，非常に小さい幅
Δで等分に分割する．分
割したそれぞれの面積（長
方形）を求めて，そのすべ
てを足し合わせる．このと
き，Δが非常に小さければ，
求めた面積と，仕事はほ
ぼ等しくなる．
まず，との範囲に囲
まれている長方形の面積
Δを求める．長方形の縦の
長さは万有引力の大きさか
ら求める．横の長さはΔで
あるから，
と表せる．ここで，
≅ と近似すると，以下のように表せる．
これをからの範囲で全て足し合わせる．
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例題 5-3
質量の人工衛星を，地表から宇宙へ向けて初速度で打ち上げた．地球の引力を振り切るのに必要な最小の
初速度（第二宇宙速度）を，地球の質量，地球の半径，万有引力定数
を用いて表せ．
例題 5-4
半径 r の円軌道上を周回する人工衛星 (質量 m) を，地上から打ち上げるのに必要な運動エネルギー
を求めよ。ただし，地球の自転は無視し，地上での重力加速度の大きさを g，地球の半径を R とする。
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