線形代数 I: クラメルの公式

線形代数 I: クラメルの公式
定理 (クラメルの公式). 2 元連立 1 次方程式
{
a11 x + a12 y = b1
a21 x + a22 y = b2
¯
¯
¯
¯a
¯ 11 a12 ¯
において, ¯
¯ ̸= 0 ならば, 解は
¯a21 a22 ¯
¯
¯b
¯ 1
¯
¯b2
x = ¯¯
¯a11
¯
¯a21
¯
a12 ¯¯
¯
a22 ¯
¯,
a12 ¯¯
¯
a22 ¯
¯
¯a
¯ 11
¯
¯a21
y = ¯¯
¯a11
¯
¯a21
¯
b1 ¯¯
¯
b2 ¯
¯
a12 ¯¯
¯
a22 ¯
と書ける.
3 元連立 1 次方程式


 a11 x + a12 y + a13 z = b1
a21 x + a22 y + a23 z = b2

 a x+a y+a z=b
31
32
33
3
¯
¯
¯a
¯
¯ 11 a12 a13 ¯
¯
¯
において, ¯a21 a22 a23 ¯ =
̸ 0 ならば, 解は
¯
¯
¯a31 a32 a33 ¯
¯
¯b
¯ 1
¯
¯b2
¯
¯b3
x = ¯¯
¯a11
¯
¯a21
¯
¯a31
と書ける.
¯
a12 a13 ¯¯
¯
a22 a23 ¯
¯
a32 a33 ¯
¯,
a12 a13 ¯¯
¯
a22 a23 ¯
¯
a32 a33 ¯
¯
¯a
¯ 11
¯
¯a21
¯
¯a31
y = ¯¯
¯a11
¯
¯a21
¯
¯a31
¯
b1 a13 ¯¯
¯
b2 a23 ¯
¯
b3 a33 ¯
¯,
a12 a13 ¯¯
¯
a22 a23 ¯
¯
a32 a33 ¯
¯
¯a
¯ 11
¯
¯a21
¯
¯a31
z = ¯¯
¯a11
¯
¯a21
¯
¯a31
¯
a12 b1 ¯¯
¯
a22 b2 ¯
¯
a32 b3 ¯
¯
a12 a13 ¯¯
¯
a22 a23 ¯
¯
a32 a33 ¯
例.


 3x + 2y + 6z = 1
x + y + 2z = 0

 2x + 2y +
=1
の解をクラメル公式で求める. 係数行列の行列式は
¯
¯
¯3 2 6¯
¯
¯
¯
¯
|A| = ¯1 1 2¯ = −4 ̸= 0
¯
¯
¯2 2 0¯
なので, 公式より
¯
¯1 2
¯
¯
¯0 1
¯
¯1 2
x=
|A|
¯
6¯¯
¯
2¯
¯
0¯
3
= ,
2
y=
¯
¯
¯3 1 6¯
¯
¯
¯
¯
¯1 0 2¯
¯
¯
¯2 1 0¯
|A|
= −1,
z=
¯
¯
¯3 2 1¯
¯
¯
¯
¯
¯1 1 0¯
¯
¯
¯2 2 1¯
|A|
=−
1
4
である.
(公式の解説). まず逆行列の公式を思い出す. 連立方程式の係数を使って, 3 × 3
行列


a11 a12 a13


A = a21 a22 a23 
a31 a32 a33
とおくと, 連立方程式は
   
x
b1
   
A y  = b2 
z
b3
と書ける. ここで |A| ̸= 0 なので, 逆行列の公式より,
 
 
 
b1
x
b1
1  
 
−1  
Ã b2 
y  = A b2  =
|A|
b3
z
b3
が成り立つ. ここで,
 ¯¯
¯a22
 ¯¯a
 32


 ¯
 ¯a
 ¯ 21
Ã = − ¯
 ¯a31


 ¯
 ¯
 ¯a21
¯
¯a31
¯
a23 ¯¯
¯
a33 ¯
¯
a23 ¯¯
¯
a33 ¯
¯
a22 ¯¯
¯
a32 ¯
¯
¯
¯
¯a
a
¯ 12 13 ¯
−¯
¯
¯a32 a33 ¯
¯
¯
¯
¯a
a
¯ 11 13 ¯
¯
¯
¯a31 a33 ¯
¯
¯
¯
¯a
a
¯ 11 12 ¯
−¯
¯
¯a31 a32 ¯
¯ 
¯
¯
¯a
a
¯ 12 13 ¯
¯
¯
¯a22 a23 ¯ 



¯
¯
¯
¯a
¯ 11 a13 ¯
−¯
¯
¯a21 a23 ¯


¯ 
¯
¯ 
¯a
¯ 11 a12 ¯ 
¯
¯
¯a21 a22 ¯
である. いま,
¯
¯
¯
¯a
¯
¯a
¯ 22 a23 ¯
¯ 12
b
−
b
¯
¯
¯
1
2
 ¯a
¯a32

32 a33 ¯

  

¯
¯
¯
b1

¯a
¯
¯a
  
¯ 21 a23 ¯
¯ 11
Ã b2  = −b1 ¯
¯ + b2 ¯

¯a31 a33 ¯
¯a31

b3

 ¯
¯
¯
 ¯
¯a
 ¯a21 a22 ¯¯
¯ 11
b1 ¯
¯ − b2 ¯
¯a31
¯a31 a32 ¯

¯
¯
¯
¯a
¯
a13 ¯¯
¯ 12 a13 ¯
¯ + b3 ¯
¯
¯a22 a23 ¯ 
a33 ¯



¯
¯
¯
¯a
¯
a13 ¯¯
¯ 11 a13 ¯
¯ − b3 ¯
¯
¯a21 a23 ¯
a33 ¯


¯
¯
¯
¯
¯a
a12 ¯¯
¯ 11 a12 ¯ 
¯
¯ + b3 ¯
¯a21 a22 ¯
a32 ¯
であり, 1 行目は
¯
¯
¯
¯a
¯a
¯
a
¯ 22 23 ¯
¯ 12
b1 ¯
¯ − b2 ¯
¯a32
¯a32 a33 ¯
¯
¯b
¯ 1
¯
= ¯0
¯
¯0
¯
¯
¯a
a13 ¯¯
¯ 12
¯ + b3 ¯
¯a22
a33 ¯
¯ ¯
a12 a13 ¯¯ ¯¯ 0
¯ ¯
a22 a23 ¯ + ¯b2
¯ ¯
a32 a33 ¯ ¯ 0
¯
a13 ¯¯
¯
a23 ¯
¯ ¯
¯ ¯
¯
a12 a13 ¯¯ ¯¯ 0 a12 a13 ¯¯ ¯¯b1 a12 a13 ¯¯
¯ ¯
¯ ¯
¯
a22 a23 ¯ + ¯ 0 a22 a23 ¯ = ¯b2 a22 a23 ¯
¯ ¯
¯ ¯
¯
a32 a33 ¯ ¯b3 a32 a33 ¯ ¯b3 a32 a33 ¯
となる (余因子展開を用いる) ので,
¯
¯
¯b a
¯
a
1
12
13
¯
1 ¯¯
¯
x=
¯b2 a22 a23 ¯
¯
|A| ¯
¯b3 a32 a33 ¯
が成り立つ. y については 2 行目を計算すると,
¯
¯
¯
¯
¯
¯a
¯
¯a
¯
¯a
¯ 21 a23 ¯
¯ 11 a13 ¯
¯ 11
− b1 ¯
¯ + b2 ¯
¯ − b3 ¯
¯a31 a33 ¯
¯a31 a33 ¯
¯a21
¯ ¯
¯
¯ ¯
¯a
¯ 11 b1 a13 ¯ ¯a11
¯ ¯
¯
= ¯a21 0 a23 ¯ + ¯a21
¯ ¯
¯
¯a31 0 a33 ¯ ¯a31
より,
¯
a13 ¯¯
¯
a23 ¯
¯
¯ ¯
¯ ¯
0 a13 ¯¯ ¯¯a11 0 a13 ¯¯ ¯¯a11 b1 a13 ¯¯
¯
¯ ¯
¯ ¯
b2 a23 ¯ + ¯a21 0 a23 ¯ = ¯a21 b2 a23 ¯
¯
¯ ¯
¯ ¯
0 a33 ¯ ¯a31 b3 a33 ¯ ¯a31 b3 a33 ¯
¯
¯
¯
¯a
11 b1 a13 ¯
¯
1 ¯
¯
y=
¯a21 b2 a23 ¯
¯
|A| ¯
¯a31 b3 a33 ¯
が成り立つ. z についてもと同様である.

Download Report