1 演習問題 1 statistical_physics/quiz/演習 1.docx 【1】サイコロをふって

演習問題 1
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【1】サイコロをふって,出た目の数を x とすると, x = 1,2, 3, 4,5,6 である.そ
れぞれの目が出る確率は等しく, 1 / 6 である.
1) x の期待値 x
を求めよ.
2) x 2 を求めよ.
3) ( x − x
)
2
=
35
を示せ.
12
サイコロを N 回ふる. j 回目のサイコロの目を x j として,次式を定義する.
N
X = x1 + x2 + ...+ x N = ∑ x j
j=1
4) X を求めよ.
5) ( X − X
)
2
を求めよ.
(
)
6) X の平均値 X からの相対誤差が, O 1 / N であることを示せ.
【2】図のように体積 V の容器に気体が封入されている.気体の分子数を N と
する.この容器内に,体積 v の小領域を考え,小領域内の気体分子の数を n とす
る.
1) n の期待値 n を求めよ.
2) ( n − n
)
2
を求めよ.
(
)
3) n の平均値 n からの相対誤差が, O 1 / N であることを示せ.
1
<解答>
【1】1) x =
2) x 2 =
1
7
× (1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 ) =
6
2
1
91
× (12 + 2 2 + 32 + 4 2 + 5 2 + 6 2 ) =
6
6
3) ( x − x
)
2
2
= x2 − x
N
=
2
91 ⎛ 7 ⎞
35
−⎜ ⎟ =
6 ⎝ 2⎠
12
N
7 7
= N
2
j=1 2
4) X = ∑ x j = ∑
j=1
5)
N
N
N
N
j=1
i=1 j( ≠i )
X 2 = ∑ ∑ xi x j = ∑ x 2j + ∑ ∑ xi
i=1 j=1
右辺第2項では, i ≠ j のとき xi x j = xi
xj
xj
であることを用いた.
1)の結果より, xi = 7 / 2 ,また,2)の結果より x 2j = 91 / 6 だから
X2 =
91
49
49 2 35
N+
N ( N − 1) =
N +
N
6
4
4
12
6) X の分散は
(X −
X
)
2
= X2 − X
2
=
49 2 35
49 2 35
N +
N−
N =
N
4
12
4
12
よって,相対誤差は
(X −
X
X
)
2
=
35
N
12 = 5 × 1 ∝ 1
7
21
N
N
N
2
【2】1)1つの気体分子が小領域内にある確率は p =
n = Np =
v
だから,
V
v
N
V
2
2)N 個の気体分子のうち,j 番目の気体分子が小領域に存在する状態を,n j = 1
とあらわす.小領域に存在しない場合は, n j = 0 である.この変数 n j を用いる
と,小領域内に存在する気体分子の数 n は,次式で書ける.
N
n = ∑ nj
j=1
明らかに, n j = p .また, n 2j = 12 × p + 0 2 × (1− p ) = p である.これらを用い
ると
N
N
N
n 2 = ∑ ∑ ni n j = ∑ n 2j + ∑ ni n j = Np + N ( N − 1) p 2
i=1 j=1
j=1
i≠ j
よって
(n − n )
2
= n2 − n
2
= Np + N ( N − 1) p 2 − N 2 p 2 = Np (1− p )
3)前問の結果より,
(n − n )
n
2
=
Np (1− p )
1− p 1
1
=
∝
Np
p
N
N
3