Teknik Şartname için Tıkla

DAĞILIM FONKSİYONU
X , olasılık fonksiyonu P olan ve örnek uzayı S'de tanımlanmış bir
rastgele değişken olsun. Herhangi bir gerçel değer x için X'in birikimli
dağılım fonksiyonu gerçel sayılar kümesinde x'e eşit veya ondan küçük
değeri olan ve S örnek uzayında X rastgele değişkeni ile ilişkili olan
olasılıktır.
f(x) olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip X rastgele değişkenin
dağılım fonksiyonu,
f(x) = P( X  x ) =
f(x).dx olarak tanımlanır.
x
-
Daha önce a ve b (    a  b   ) arasında bulunma olasılığın P(a
< x < b) ile göstermiştik. olasılık da f(x) eğrisi, x ekseni ve x=a , x=b
doğrularıyla sınırlanan alana eşittir.Yani; P( a  x  b )
b

f ( x )dx  F(b)  F(a) dır. Ayrıca X sürekli rastlantı değişkeni için a < x
a
< b, a  x  b,
a  x  b,
a  x  b aralıklarına gelen olasılıklar aynı
idi.
Not: X sürekli bir rastgele değişken ise F fonksiyonu da bütün x
değerleri için süreklidir.
Örnek: X rastgele değişkenin olasılık fonksiyonu,
2x
f (x)  
0
0<x<1
aralığın dışındaki x’ ler için
birikimli dağılım fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm:
X0
0,
ise
x 2s ds = x2 0 < x 1 ise
1
x

, x1
ise
2sds  x 2 ise
F(x)
0
2
S2
2
x

x
2
0
x  X2
2
X
Teorem: F(x)’ in dağılım fonksiyonu ise aşağıdaki şartlar sağlanır.
i)
F artan bir fonksiyondur.Yani x1 x2 ise F(x1) F(x2)
ii)
F(x)=0 ve lim F(x) = 1
lim
x 
x 
( Genellikle F(-) = 0 ve F() = 1 diye yazılır.)
İspat:
i) A ve B olaylarını şöyle tanımlayalım:
A=
X  x1
, B=
X  x2
O halde,x1 x2 olduğundan A  B
yazılır. Burada p(A)  p(B) olduğu görülür.
p(A) = p(X  x1) = F(x1)
p(A) = p(X  x2) = F(x2) yazılabileceğinden
F(x1)  F(x2) bulunur.
ii) Sürekli halde F(x) = xf(x) dx olduğunu biliyoruz.
Böylece;
lim F( x )  lim
x 
x 
x

f ( x )dx  lim
x 


 f ( x).dx  0 olur.

Diğer yandan
lim F( x )  lim
x 
x 
x



f ( x )dx  f ( x ).dx  1 olduğu f(x)’ in olasılık

yoğunluk fonksiyonu olmasından yazılır.
Teorem
a) X sürekli
rastgele değişkeninin olasılık fonksiyonu f , dağılım
fonksiyonu F olsun. O halde bütün x değerlerinde diferansiyellenebilir F
fonksiyonu için;
f(x) 
d
Fx  yani F' ( x)  f ( x) olduğu görülür.
dx
ab
olmak üzere herhangi a ve b gerçel sayıları için
p(a  x  b)  F(b)  F(a) dıı
b) X , x1 < x2 < .......... Gibi sıralı x1,x2, .......... Değerlerini alabilen
kesikli rastgele değişken olsun. F(x) , X'in dağılım fonksiyonu ise bu
takdirde f(x1) = F(x1) ve f(xj) = p(x - xj) = F(xj) - F(xj - 1)'dir
Örnek: X rastgele değişkeninin dağılım fonksiyonu
0 , x<1
1/3 , 1x
F(x) = 1/2 , 4  x
5/6 , 6 x <10
1
, x  10
olsun
a) Dağılım fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
b) P(2 < x olasılığını bulunuz.
c) P( x = 4) olasılığını bulunuz.
d) X'in olasılık fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm:
b- p(2  x  6) 
5 1 3 1
  
6 3 6 2
c- f ( 4)  p( x  4)  F( 4)  F(3) 
d- f (1) 
1
3
f ( 4)  F( 4)  F(3) 
F(6)  F(6)  F(5) 
1 1 1
 
2 3 6
1
6
5 1 2 1
  
6 2 6 3
f (10)  F(10)  F(9)  1 
5 1

6 6
X
1
4
6
10
F(x)
1/3
1/6
1/3
1/6
Örnek: X sürekli rastgele değişkeni için yoğunluk fonksiyonu
x , 0< x < 1 için
F(X) =
2 - x ,  x < 2
0 , başka yerde
verilsin dağılım fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm:
x  0için
0

2

x

0 < x < 1 için
2
F( x )
2
2x  x  1 1  x  2 için
2


1
x  2 için
f(x) in elde edilişini gösterelim.
1
1
0
0
 f ( x)dt  
1

0
x

0
2
tdt 
2
x
x2
f (  )dx 
2

0
x
0
x2

(0  x  1) için
2
1
2
x

 x2  
t2 
1
x2 3
(2   )dt   2t     2x    2    2x 

2
2
2
2
2



1 

olduğundan,
1

x
xdx 
1
' in eklenmesiyle 1  x  2 için
2
1
x2 3
x2
F( x )   2x 
  2x 
 1 olacaktır.
2
2 2
2
Örnek: Dağılım fonksiyonu aşağıdaki verilsin, olasılık fonksiyonunu
bulalım

F(x)

Dağılım fonksiyonun tanımlı olduğu aralıklarda türev alınırsa f(x) olasılık
fonksiyonu bulunduğundan,
F1(x)=f(x)=
Grafiği;
İKİ BOYUTLU RASSAL DEĞİŞKENLER
Bazı devrelerde birden fazla rastgele değişken bulunabilir. Örneğin
seçilen bazı kişilerin boy ve ağırlıkları verilsin. Eğer biz bu kişilerin
sadece boylarıyla ilgileniyorsak tek ir rastgele değişken alırız. Fakat
seçilmiş bu kişilerin boy uzunluklarını (x) ve ağırlıklarını (y) birlikte
inceliyorsak iki boyutlu rastgele değişkeni göz önüne almamız gerekir.
Tanım: S bir denemenin örnek uzayı olsun. Her gerçel s  S için
X=x (s) ve Y=y (s) rastgele değişkenleri tanımlansın. (x,y)’ye iki boyutlu
rastgele değişken denir.
Tanım: (x,y) nin olası değerleri sonlu yada sayılabilir sonsuzlukta
ise, (x,y) nin olası değeri
{ (x i , yj) = (i= 1,2, .......,m) , (j= 1,2,.....,m)}
biçiminde tanımlanır.
Tanım: (x,y) nin olası değerleri öklid düzlemde sonsuz bir küme
oluşturuyorsa; (x,y) iki boyutlu sürekli rastgele değişkendir.
Örnek: İki taraflı para atıldığında, T tura Y yazı olmak üzere örnek uzayı;
S={ (T,T), (Y,T), (Y,Y), (T,Y)} olur. Burada x1 birinci, x2 ikinci paraya
karşılık gelir.
x1 , x2
1 Tura
0 Yazı şeklinde ele alalım.
X= (x1, x2) iki boyutlu bir rastgele değişken olur. Bu durumda
X(TT) = (1,1) ,
X (T,Y) = (1,0) ,
X (Y,T) = (1,0)
X (Y,Y) = (0,0) olur.
Buradan x rastgele değişkenin değer kümesi
A= { (1,1,), (1,0), (0,1), (0,0)} bulunur.
Şimdi olasılıkları x ile gösterelim;
P (ikiside tura) = P (x1 =1, x2= 1)
P (biri yazı ise) = P (x1=0, x2=1) veya (x1 =1, x2= 0)
P (birinci tura) = P (x1 =1, x2= 0) veya P (x1 =1, x2= 1)
P (2.sinin yazı geldiği bilindiğinde 1.tura) = P (x1 =1, x2= 0) ve benzer
şekilde diğer olasılıklarda yazılabilir.
İKİ BOYUTLU RASSAL DEĞİŞKENLERİN FONKSİYONLARI
X ve y rassal değişkenler olup, z= U (x,y) fonksiyonuna sahip
olsunlar. Z’nin de bir rassal değişken olduğunu daha önce incelemiştik.
Çoğu kez z=x+y, z= x.y, x=x/y,
z= min (x,y),
z= max (x,y) olarak tanımlanmış rassal değişkenler ve
bunların fonksiyonları incelenebilir. Bir başka ifadeyle bu bölümde X ve
Y’nin ortak olasılık fonksiyonu verildiğinde Z= U (x,y)’nin olasılık
dağılımının nasıl bulunacağını ele alacağız.
ORTAK OLASILIK FONKSİYONU
Birden fazla rassal değişkenin tanımlandığı bir çok deney veya
problem vardır. Öğrencilerin almış olduğu notlar ile yaşları arasındaki bir
ilişkiyi ortaya koymak için bir araştırma yaparken, meslek grupları ile
oturulan konut büyüklüklerinin arasındaki ilişkiyi incelerken, partilerin
illere göre oy dağılımının araştırmasını yaparken ve bunun gibi birçok
olayları incelerken ortak olasılık fonksiyonunu kullanırız.
(x,Y) iki sayısal karakter olan X ve Y ile ölçülmüş bir rassal deneyin
sonucunu
gösteriyorsa,
o
iki
boyutlu
rassal
değişkendir.
(x,y)
birleşiminden birisi kesikli olurken diğeri sürekli olabilir. Ama biz bu
çalışmada yalnızca ikisininde ya kesikli yada sürekli olacağını kabul
edeceğiz.
TANIM - KESİKLİ ORTAK OLASILIK FONKSİYONU
X ve Y aynı örnek uzayda tanımlanmış, iki kesikli rassal değişken
olsun. X ve Y’nin ortak olasılık fonksiyonu Pxy (x,y) ile gösterilir ve
aşağıdaki gibi tanımlanır.
Pxy (x,y) = P (x,y)
=P({sS
X (s) x, Y(s) = y} )
= P (X=x, Y=y)
P (x,y)’nin bileşik olasılık dağılım fonksiyonu olabilmesi için aşağıda
verilen üç eşitliği sağlaması gerekir.
a) P (xi, yj) = 0
,  (xi, yj)  S için
b) P (xi, yj)  0
,  (xi, yj)  S için
c)
 
j 1
P (xi, yj) = 1 ,  (xi, yj)  S için
i 1
Örnek: Bir torbada 3 beyaz, 5 siyah top vardır. İadeli olarak arka arkaya
iki top çekiliyor. X rassal değişkeni birinci ve Y de ikinci çekiliş sonunda
elde edilen topların rengini göstersin.
X=
Y=
1
, çekilen top beyaz ise
0
, değilse
1
, çekilen top beyaz ise
0
, değilse
a) Çekilen topların ortak olasılık fonksiyonunu bulunuz.
b) Toplam olasılığın bir olduğunu gösteriniz.
Çözüm:
a) Çekilişler iadeli olduğu için,
P (x=0, y=0) = 5/8 . 5/8 = 25/64
; P (x=0, y=1) = 5/8 . 3/8 = 15/64
P (x=1, y=0) = 3/8 . 5/8 = 15/64
; P (x=1, y=1) = 3/8 . 3/8 = 9/64
Ortak olasılık dağılım fonksiyonu tablosu;
X
0
1
Y
0
25/64 15/64
1
15/64 9/64
b)
1
1
y 0
x 0
 
p(x,y)
= P(x=1, y=0) + P(x=1, y=1) + P(x=0, y=0) +
P(x=0, y=1)
= 25/64 + 15/64 + 9/64 + 15/64 = 1
Örnek: Bir para üç defa atılıyor. X rassal değişkeni ilk atışta para yazı
ise 0 değerini, tura ise 1 değerini alıyor. Y rassal değişkeni ise gelen
yazıların değerini gösteriyor. Ortak olasılık dağılım fonksiyonunu yazınız.
Çözüm: Örnek uzayımız
S= { TTT, TTY, TYT, TYY, YYY, YYT, YTY, YTT}
X rassal değişkeni paranın yazı ve tura gelmesini gösterdiğine göre 0,1,2
ve 3 değerlerini alır. X ve Y rassal değişkenlerinin ortak olasılık dağılım
fonksiyonu şöyledir;
Y
0
1
2
3
0
0
1/8
2/8
1/8
1
1/8
2/8
1/8
0
X
MARJİNAL OLASILIK FONKSİYONLARI
Değişkenlerin
biri
sabit
tutulup,
sadece
diğeri
üzerinden
hesaplanan olasılıklara marjinal olasılık denir.
(X,Y) kesikli tesadüfi değişkenlerin ortak olasılık fonksiyonu f(x,y)
ise X ve Y tesadüfi değişkenlerinin marjinal olasılık fonksiyonlarını
sırasıyla h(x) , g(y) ile gösterebiliriz. O halde bu fonksiyonları f(x,y)
yardımıyla,
m

h(xi) = Pr { x= xi, ∞ < Y } =
f (xi, yj) , j=1,2,....m)
j 1
n

g(yi) = Pr { y= yi, ∞ < X } =
f (xi, yj) , i=1,2,....m)
i 1
bulabiliriz.. Bu fonksiyonlar aşağıdaki özelliklere sahiptir.
X’in marjinal olasılık fonksiyonu h(xi):
m
i)
h(xi) =

f (xi, yj)
j 1
n
ii)

h(xi) = 1
i 1
iii)
h(xi) ≥ 0
dır. Aynı özellikler Y’nin marjinal olasılık fonksiyonu g(yi):
n
i)
g(yi) =

f (xi, yj)
i 1
m
ii)

g(yi) = 1
j 1
iii)
g(yi) ≥ 0 olarak yazılır.
Örnek: X ve Y rassal değişkenlerinin ortak olasılık fonksiyonu aşağıdaki
gibi bulunmuştur.
Y
0
1
2
3
f(x)
0
1/8
2/8
1/8
4/8
X
0
1
1/8
2/8
1/8
0
4/8
f(y)
1/8
3/8
3/8
1/8
1
X ve Y değişkenlerinin marjinal olasılıklarını bulunuz?
Çözüm:
Y rassal değişkeni 0,1,2 ve 3 değerlerini aldığına göre,

P (y=0) =
1
P (x, y=0) =

P (x, y=0)
x 0
x
= P (x=0, y=0) + P ( x=1, y=0)
= P (0,0) + P ( 1,0) = 0 + 1/8 = 1/8
Benzer şekilde;
1
P (y=1) =  P (x, y=1) = P (0,1) + P ( 1,1) = 1/8 + 2/8 = 3/8
x 0
1
P (y=2) =  P (x, y=2) = P (0,2) + P ( 1,2) = 2/8 + 1/8 = 3/8
x 0
1
P (y=3) =  P (x, y=3) = P (0,3) + P ( 1,3) = 1/8 + 0 = 1/8
x 0
Bu durumda P(y) ;
y
0
1
2
3
Toplam
Aynı şekilde işlem yaparak P(x) de şöyle bulunur.
x
0
1
Toplam
P(x)
4/8
4/8
8/8
Örnek: P (x,y) aşağıdaki gibi verilsin,
P(x,y)=
1/30 (x+y) , x=0,1,2 ve y= 0,1,2,3 için
0
, diğer durumlarda
X ve Y rassal değişkenlerinin marjinal olasılık fonksiyonunu bulunuz.
X rassal değişkeninin marjinal olasılık fonksiyonu,
3

P(x) =
1/30 (x+y)
y 0
= 1/30 [ (x+0) + (x+1) + (x+2) + (x+3)] = 4x+6 / 30
olur. O zaman;
4x+6 , x=0,1,2 için
30
h (x) =
0
, diğer durumlarda
Y’nin marjinal olasılık fonksiyonu;
2
P(y) =

P(x,y) = 1/30 [ (0+y) + (1+y) + (2+y)]
x 0
1/30 (3y+3) = y+1
10
y+1
P(y) =
, y = 0,1,2,3
10
0
, diğer durumlarda
Örnek: Bir istatistik enstitüsünde bulunan hesap makinelerinin %40’ı
elektrikli ve sağlam, %20’si elektrikli ama bozuk, %10’u elle çalışıyor ve
sağlam, %30’u elle çalışıyor ama bozuktur.
a) Ortak olasılık fonksiyonunu oluşturunuz.
b) Marjinal olasılık fonksiyonlarını bulunuz.
X rassal değişkeni elektrikli ise 1
Elle çalışıyorsa 0 değerini,
Y rassal değişkeni sağlamsa 1
Bozuksa 0 değerini alsın.
a)
P(x=0, y=0) = 0,3
P(x=1, y=0) = 0,2
P(x=0, y=1) = 0,1
P(x=1, y=1) = 0,4
Y
0
1
Toplam
0
0,3
0,1
0,4
1
0,2
0,4
0,6
Toplam
0,5
0,5
1
X
b) Satır ve sütun toplamları marjinal olasılık fonksiyonunu verdiğinden;
X=x
P(x) = P (X=x)
Y=y
0
0,4
0
0,5
1
0,6
1
0,5
1
P(y) = P (Y=y)
1
Tanım – Sürekli Ortak Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu:
(X,Y) düzlemin bir D bölgesinde (sayılabilir olmayan bir küme
içinde) tüm değerleri alabilen sürekli bir rastgele bir değişken olsun.
Aşağıdaki koşulları sağlayan f fonksiyonuna (X,Y)’ nin ortak olasılık
yoğunluk fonksiyonu (0,0,y,f) denir. Ve şu koşulları sağlamalıdır.
a)
f (x, y)  0 tüm (x, y)  D
b)   f (x, y)dxdy  1
NOT: b koşulu z = f (x,y) denklemleriyle verilen yüzeyin altındaki hacmin
1’ e eşit olduğunu belirtir. f (x,y) fonksiyonunun düzlemdeki bütün (x,y)
değerleri için tanımlandığı düşünülürse b koşulu
 
  f (x, y) dxdy 1
 
Örnek: İki boyutlu sürekli (x,y) rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk
fonksiyonu
 2
F (x,y) = x  3
xy

; 0  x  1, 0  y  2
; Başka yerlerde
0
Olsun. B = x  y  1olayının olasılığını bulunuz.
Çözüm. Önce
 
  f (x, y) dxdy 1 kontrol edelim:
 
2
1
2
 2 xy 
   x 3 dxdy  
y 0 x 0
y0
x
 x2 x2y 


 3  6 

x
1
0
dy
2
1
y 2 12 
1 y
 1
=    dy   y 

3
6
3



y 0
y 0
2
B olayının P(B) olasılığını hesaplarken aşağıdaki eşitliği kullanabiliriz:
P(B)=1 – P( B ı )
Burada B ı olayı B ı = x  y  1’ dir.
x 1  x 2
65
1 y
P(B)  1      dydx  1    x  
dx 
3 6
6
72
x 0 y 0 
0
1 1 x
1
Örnek: (X,Y) süreli rastgele değişkeni verilen,
cy 2
f (x)  
 0
0  x  2 , 0  y  1 için
diğer x,y değerleri için,
a) f (x,y) fonksiyonunun olasılık fonksiyonu olabilmesi için c sabiti ne
olmalıdır?
1
b) P1  x  2 , 0  y   olasılıklarını bulunuz?

2
Ortak
a)
2
1
 
olasılık
yoğunluk
fonksiyonu
olabilmesi
cy 2 dxdy  1 olmalıdır.
x  y y 0
2
c
1
 
y dxdy  c
2
x 0 y 0
3 2
 y
f ( x , y)   2
 0

x 0
,
y3
3
1
2
dx 
0

x 0
1
2
3
dx  c  1  c  olmalıdır.
3
3
2
0  x  2 , 0  y 1
Diğer x,y değerleri için
için,
b)
2 1/ 2
1

P1  x 2, 0  y    
2

x 1
 3 y3 
=   . 
2 3 
x 1 
2
1/ 2
2
dx 
0

x 1
3 2
y dxdy
2

y 0
1 1
1
bulunur.
. dx 
2 8
16
Örnek:

c x 2  y
f ( x , y)  
0


0  y  1  x 2 için
Diğer x,y değerleri için
a) Yukarıda verilen f(x,y) fonksiyonunun ortalık olasılık yoğunluk
fonksiyonu olabilmesi için c = ?
b) P 0  x  1 / 2 olasılığını bulunuz.
 
  f x, y dxdy  
Çözüm:
 
f ( x, ydxdy
S
1 1 x 2
2
  cx  ydxdy  1
x  1 y 0
1

c
12
1
 c
1
1x

y2
 2
 x y  2

2
1


dx

c


1


1 x4
1   x5
dx  c 
 x 
2
2 5


1
1
c  1  4c
ise
1  
2 5 5
5
c  bulunur.
4

4c
 1 olmalıdır. Buradan da
5
1

P 0  x   
2

1/ 2

1 x
2
 
x 0 y 0


f ( x , y)dxdy
S

 
2

 x2 1 x2  1 x

2

5 2
x  y dxdy
4

2

dx



5 1/ 2 
1 x2


y 
2
dx   1  x 4 dx
  x y 
4 x 0
4 
8
2
5 1/ 2
1/ 2
5
x 5 
5  1 1  79
 x 
   
8 
5 
8  2 60  26
bulunur.
0
Tanım – Ortak Dağılım Fonksiyonu
(X.Y) iki boyutlu kesikli veya sürekli bir rastgele değişken olsun,
ortak olasılık fonksiyonu da f (x,y) olsun. Aşağıdaki gibi tanımlanan F(x,y)
fonksiyonuna ortak dağılım fonksiyonu ya da birikimli ortak olasılık
fonksiyonu denir.
F (x,y) = P X  x, Y  y  
y
x
 
f (t, z)dtdz
 
Not: (X,Y), f (x,y) olasılık yoğunluk fonksiyonu ve F(x,y) dağılım
fonksiyonuna sahip iki boyutlu sürekli rastgele değişken ise F’ nin
diferansiyellenebilir olduğu yerde
 2 F( x, y)
 f ( x, y)' dir.
xy
Örnek: (x,y) rastgele değişkeninin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu
aşağıda verilmiştir.
,0  x  1,
2( x  y _ 2xy
0

f ( x , y)  
0  y  1 için
diğer x,y değerleri için
a) f (x,y) fonksiyonunun dağılım fonksiyonunu bulunuz
b) Ortak dağılım fonksiyonundan yararlanarak
Px  0,5 ; 0,5  y  0,7 olasılığını bulunuz.
Çözüm:
y
x
 
F(x,y)
2t  z  2 tz)dtdz
t 0 z 0
y

z2
z 2 

 2  tz 
 2t
dt

2
2 
t 0 
z 0
x
12
y2 t 2 2 
 2 y  t
 y 
2
2
 2

 x y  xy  x y
2
2
2 2
x
0
c) P x  0,5
;
0,5  y  0,7= ?
bulunur. O halde ortak dağılım
fonksiyonumuz;
0

 2
F(x,y)= x y  xy 2  x 2 y 2

1

, x<0 , y<0
0  x  1 , 0  y  1 için
, x>1
, x>1 için
x’ in üst sınırını bulabiliriz. x  1’ dir. 0  x  olarak verilmiştir. O halde,
x 2  1' dir. x1  0,5 isteniyor.
Y’ nin sınırları ise kesin bir şekilde verilmiştir. O halde;
Px,  x  x 2 , y1  y  y 2   F(x 2 y 2 )F(x 2 y1 )  (x1 , y1 )
P0,5  x  1 , 0,5  y  0,7
 Px  1, y  0,7  Px  0,5 , y  0,7
 Px  1, y  0,7  Px  0,5, y  0,5
 F1,0,7   F0,5,0,7  F(1,0,5  F(0,5,0,5)

 0,5  (0,5)

 (0,5)  (0,5) (0,5)  (0,5).(0,5) .(0,5) 
 0,7   0,7 2  0,7 2  0,52 0,7  0,50,7 2  (0,5) 2  (0,5) 2 (0,7) 2
2
2
2
2
2
 0,7  0,42  0,1225  0,5  0,25  0,0625  0,09 bulunur.
Tanım: Marjinal Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu:

İki
boyutlu
sürekli
(x,y)
rastgele
değişkeninin ortak olasılık fonksiyonu f olsun. X ve Y’ nin marjinal olasılık
yoğunluk fonksiyonları g ve h sırasıyla;


gx    f ( x, y)dy
,

h ( y)   f ( x, y)dx olarak tanımlanır.

Örnek:
3 2
 y
f x , y    2
 0
,
0  x  2 , 0  y  1 için
,
diğer x.y değerleri için
fonksiyonları veriliyor.
a) f (x,y) ortak olasılık yoğunluk fonksiyonumudur.
b) X ve Y’ nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonlarını bulunuz
Çözüm:
a) Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu olabilmesi için;
2
1
 
x, ydxdy  1 olmalıdır.
x 0 y 0
2 1

0 0
2
3 2
3
y dxdy  
2
20
 y2

 3

1
0
2

dx  3 . 1 dx  1

2 3 0

O halde f (x,y) bir olasılık fonksiyonudur.
b) X’ in marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu;
1
h( x ) 

y 0
1

h( x )   2
 0
3 2
3 y3
y dy  .
2
2 3
1

0
1
2
, 0  x  1 için
, Diğer x değerli için
Y’ nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu;
gy  
2

x 0
3 2
3
y dx  y 2 x
2
2
1
 3y 2
0
, 0  y  1 için
3 y 2
g( y )
 0
, Diğer y değerli için
Not: Örnekten de görüldüğü üzere X’ in marjinal olasılık yoğunluk
fonksiyonunun apsis değeri x olan dikey doğru üzerinde y’ ye göre
integrali alınarak; Y’ nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu da ortak
olasılık yoğunluk fonksiyonunun ordinat değeri integral alınarak bulunur.
Örnek: (X,Y) iki boyutlu rastgele değişkenin aşağıda görüldüğü şekilde S
bölgesinde üniform dağıldığını varsayalım.
Çözüm:
a) f (x,y) =
1
, x, y   S
S(bö lg e)
o halde
4
S(bö lg e) 
 3( x)  f ( x)dx
1  x  4 için g( x )  f ( x )
,
1
 x  ( x  2) dx  
4

4
2
1
(5x  x 2  4)dx 
1
9
2
bulunur. Buna göre,
f ( x, y ) 
1 2

9 9
2
2

f ( x, y )   9

0
, x, y   S
, x, y   S
b) X’ in marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu;
yazılır.

h( x ) 

x
f ( x, y )dy 

2
2
dy  (5x  x 2  4)
9
9
( x  2 )2

bulunur. Buna göre,
2
 (5 x  x 2  4 )
h( x )   9

0

, 1 x  4
, diğer x değerleri için’ dir.
Y’ nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu;
y2

g( y ) 


f ( x, y )dx 

2

g( y )   9

y

y 2y

2
2
dx 
9
9


y  2  y bulunur. Buna göre,
, 0y4
, diğer y değerleri için’ dir.
0
c)
x
f ( x, y ) 
 
t 0 z 0
 0
2
f ( x, y )   xy
9
 1
2
2
dtdz  xy
9
9
, x<1,y<0 için
, 1  x  4, 0  y  4 için
, x>4, y>4 için
olarak bulunur.
Tanım – Marjinal Dağılım Fonksiyonu
f(x,y) , (X,Y) rastgele değişkeninin ortak dağılım fonksiyonu olsun.
X’ in dağılım fonksiyonu;
H( x)  PX  x, Y  
lim f ( x, y)  F  x,
y 
Y’ nin dağılım fonksiyonu;
G(y)= PX  , Y  y
lim f ( x, y)  F  , y 
y 
Örnek:

0
 1
F( x, y )  
xy ( x 2  y )
156
1

x<0, y<0
0  x  3, 0  y  4
x > 3 , y > 4 için
X’ in ve Y’ nin marjinal dağılım fonksiyonunu bulunuz
Çözüm:
X’ in marjinal dağılım fonksiyonu;
H( x )  lim
y 4



1
1
x 3 y  xy 2 
4x 3  16x
156
156

buna göre,

0
 1
H( x )  
4 x 3  16x
156
1


,x<0

0x3
,x > 3
Y’ nin marjinal dağılım fonksiyonu;
G( y )  lim
x 3



1
1
x 3 y  xy 2 
27y  3y 2
156
156

buna göre,

0
 1
G( y )  
(27y  3 y 2
156
1

,x<0
0x3
,x > 3
Tanım – Kesikli Değişkenler İçin Koşullu Olasılık Fonksiyonu:
h(x) ; X’ in marjinal olasılık fonksiyonu,
g(y) ; Y’ nin marjinal olasılık fonksiyonu ise
X=x verilmişken Y’ nin koşullu olasılık fonksiyonu:
gy / X  x  
f ( x, y )
h( x )
,
h( x )  0
Y=y verilmişken X’ in koşullu olasılık fonksiyonu:
f ( x / Y  y) 
f ( x, y )
g( y )
,
g( y )  0
h(x) ve g(y) marjinal olasılıklar olduklarından bu fonksiyonları
koşullu olasılık fonksiyonları türünden şu şekilde yazabiliriz.
h( x )   f ( x, y )   f ( x / Y  y ) g ( y )
y
y
g( y )   f ( xy )   g( y / X  x ) h( x )
x
x
Örnek: (X,Y) iki boyutlu kesikli rastgele değişkenin ortak olasılık
fonksiyonu;
 2  x  y  1  2 x  y

f ( x, y )   3   3 

0

x=(0,1) , y=(0,1) için
diğer x,y değerleri için
a) f ( x / Y  y)  f ( x / y) koşullu olasılık fonksiyonunu bulunuz.
b) g( y / X  x)  f ( y / x) koşullu olasılık fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm:
f ( x, y )
g( y )
a) f ( x / Y  y ) 
, g( y )  0
önce g(y)’ yi bulalım,
1
g( y )  
x 0
2
 
3
xy
2
 
3
 1
 
3
xy
2xy
 1
 
3
2
 
3
2xy
1 y
 1
 
3
2 y
 1
 
3
1 y
y
1y
 2   1 2  1   2 
       
 3  3 3   3   3 
olarak bulunur.
f ( x / Y  y) 
2
 
3
xy
 1
 
3
b) g( y / X  x ) 
 1
 
3
1 y
2 x  y
2
 
3
f ( x, y )
h( x )
x
y
,
 2  1
   
3 3
1 x
,
h( x )  0
h(x)’ i bulalım,
1
h( x )  
y 0
2
 
3
xy
 1
 
3
2 x  y
x
 2  1
   
3 3
1 x
bulunur.
x  0,1y  0,1 için
g( y / X  x ) 
2
 
3
xy
 1
 
3
x
 2  1
   
3 3
2 x  y
y
1 x
 2  1
   
3 3
1 y
, x  0,1, y  0,1
Tanım – Sürekli Değişkenler İçin Koşullu Olasılık Fonksiyonu
h(x) ; X’ in marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu,
g(y) ; Y’ nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu ise
X = x vermişken Y’ nin koşullu olasılık fonksiyonu;
g( y / X  x )  g( y / x ) 
f ( x, y )
g( y )
,
g( y )  0
h(x), g(y) marjinal olasılığı koşullu olasılıklar cinsinden yazalım

h( x ) 
g( y ) 


f ( x, y )dy 






f ( x, y )dx 


g( y )f ( x / Y  y )dy
h( x )g( y / X  x )dx

Örnek: (x,Y) iki boyutlu rastgele değişkeninin ortak olasılık yoğunluk
fonksiyonu;
3x
f ( x, y )  
0
0<y<, 0<x01 için
diğer, x,y değerleri için
a) X’ in ve Y’ nin koşullu olasılık fonksiyonunu bulunuz.
b) H(x)’ in marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm:
a) Y=y verilmişken X’ in koşullu olasılık fonksiyonu
f ( x / Y  y)  f ( x / y) 
1
g( y ) 

3xdx 
x 0
3
2
f ( x, y )
g( y )
,
,
g( y )  0
f ( x / Y  y) 
3x
 2x
3
2
buna göre;
2x
f ( x / Y  y)  
0
0<y<x , 0<x<1
diğer x,y değerleri için
X=x verilmişken Y’ nin koşullu olasılık fonksiyonu
g( y / X  x ) 
f ( x, y )
h( x )
,
h( x )  0
x
h( x ) 

3xdy  3x 2
,
g( y / x ) 
y 0
3x
1

2
x
3x
buna göre
1

g( y / X)  x(   x
 0
0<y<x , 0<x<1
diğer x,y değerleri için


h(x) 
g( y )f ( x / Y  y )dy
-
b)
x


0
3 x 2
h( x )  
 0
3
2xdy  3x 2
2
0<x<1
diğer x değerleri için
bulunur.
Tanım – Bağımsız Değişkenler:
a) (X,Y), bir S örnek uzayında iki boyutlu kesikli, rastgele değişken
olsun. (xj,yj) i = 1,2,.......,M; j= 1,2,......,N (X.Y)’ nin olanaklı sonuçları ise
X ve Y rastgele değişkeninin bağımsız olmaları için gerek ve yeter koşul
tüm (xj,yj) çiftleri için
P(X=xi, yj) = P (X = xi) P(Y=yj) olmasıdır.
c) (X,Y), iki boyutlu sürekli rastgele değişken olsun. X ve Y’ nin
bağımsız rastgele değişkenler olabilmeleri için gerek yeter koşul bir
S örnek uzayındaki tüm (x,y) değerleri için f(x,y) = g(x) h(y)
olmalıdır. Burada f ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu, g ve h
sırasıyla X ve Y’ nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonlarıdır.
d) Bağımsız olmayan rastgele değişkenlere bağımlıdırlar.
Örnek: (X,Y) rastgele değişkeninin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu
2xe  y
f ( x, y )  
 0
0  x 1
,
0  y   için
diğer x,y değerleri için
şeklinde veriliyor. X ve Y rastgele değişkenleri istatistiksel olarak
bağımsız mıdır?
Çözüm: X’ in marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu,


h( x ) 

y
y
2xe dy  2x( e )
0
 2x
0
Y’ nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu ise,

g( y ) 

0
 x2
2xe dx  2e 
 2
y
y



1
 e y
0
olarak bulunur.
f(x,y(=h(x).g(y)
den,
2xe y  2x.e  y
eşitliği sağlanır ki bu da X ve Y’ nin bağımsız olduğunu gösterir.
BİR RASTGELE DEĞİŞKENİNİN BEKLENEN DEĞERİ
Tanım:
X=x
f(x) = P (X = x)
x1
x2
xN
f(x1)
f(x2)
f(xN)
X, yukarıdaki olasılık fonksiyonuna sahip kesikli bir rastlantı değişkeni
olsun. X değişkenini E(x) ile gösterilen beklenen değeri aşağıdaki gibi
tanımlanır:
N
E( X)  x 1f ( x 1 )  x 2  .......  x N f ( x N   x 1f ( x 1 )
i 1
X rastlantı değişkeni sayılabilir sonsuzluktaki x1, x2 ,.....xn,.... değerini
alıyorsa

E( X)  x 1f ( x 1 )  x 2 f ( x 2 )  .....  x N f ( x N )  .......   x i f ( x i)
i 1
olur. Bu E(X), X’ in mümkün değerlerinin ortalamasıdır. Beklenen değeri
veya ortalamayı  ile göstereceğiz. X, Y,... gibi birden fazla rastlantı
değişkeni ile çalışırken karışıklık olmaması için x= E(X), y = E(Y)
yazacağız.
Örnek: Düzgün bir zar atıldığında üste gelen noktaların beklenen değeri
nedi?
Çözüm: X zarının geldiği sayıları gösteren rassal değişken olsun.
Alabileceği değerler 1,2,3,4,5 ve 6’ dır.
X=x
1
2
3
4
5
6
Toplam
P(X=x)
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
6/6
Tanıma göre beklenen değer
n
E( X)   x i .P( x i )  1.
i 1
1
1
1
1
1 21
 2.  3.  4.  5. 
 3,5
6
6
6
6
6 6
Örnek: İçinde 3 beyaz ve 2 siyah top bulunan bir kavanozdan çekileni
yerine koyma şartıyla iki top çekilmiştir. Çekilen her beyaz top için 100
lira kazanılacak ve çekilen her siyah top içinde 50 lira kaybedilecektir. Bu
oyunda beklenen kar nedir.
Çözüm: X rassal değişkeni kazanılan liranın sayısı olsun. X’ in beklenen
değerini bulursak problemi çözeriz. Aşağıdaki tablo ile mümkün
sonuçların örnek uzayına, karşılık gelen olasılıklar ve kar gösterilmiştir.
Tanım: f(x), X sürekli rastlantı değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu
olsun. X’ in beklenen değeri E(X) ile gösterilir ve

E( X) 

xf ( x )dx

ile tanımlanır.
Örnek: X rassal değişkeni aşağıdaki gibi olasılık yoğunluk fonksiyonuna
sahip olsun,
0<x<1
6x(1  x )
f ( x)  
0

diğer durumlarda
E(X)’ i bulunuz
Çözüm: X sürekli bir rassal değişken olduğu için beklenen değeri,
1
E( x ) 

xf ( x )dx
0
olarak bulunur. O zaman
1
E( x ) 

0
1
x.6 x(1  x )dx  6  x 2 (1  x )dx
0
x3 x4 1 
 6  ( x  x )dx  6 


4 0 
 3
0
 1 1 6
 6   
 0,5 olarak bulunur.
 3 4  12
1
2
3
Örnek: X sürekli rastlantı değişkeni ve
 e x
f (x)  
 0
x0
x0
X’ in olasılık yoğunluk fonksiyonu olsun.  = E(X)’ i bulunuz
Çözüm: Tanım gereğince ve x<0 için f(x) = 0 olduğundan,

  E( X) 

xe  x dx 



xe  x dx' tir.
0
Bu integrali kısmi integrasyon metodu ile hesaplayacağız.
nx
dv  e  x
du  dx v  e  x


olur. Buradan E( X)   xe dx  xe
Hospital kuralının uygulanması ile
0
x

  e  x dx bulunur
x
0
0
lim xe
x
x 
 lim
x 

x
1
ex
 0 ve böylece

x
E( X)   xe dx   e dx  e
0
x
0

 1.
0
Beklenene Değerin Özellikleri:
Tanım – 1 (Kesikli Rastgele Değişkeninin Beklenen Değeri)
X kesikli rastgele değişkeni için olasılık fonksiyonu
X=x
x1
F (x) = P (X = x) f(x1)
x2
xn
f(x2)
f(xn)
Olarak verilsin. X,Y’ in fonksiyonun olsunç Y = g(X)’ in beklenen değeri
ya da ortalaması
Eg( X)  g( x1 )f ( x1 )  g( x 2 )f ( x 2 )  .....  g( x n )f ( x n )
yada
E( Y )  EgX   g( x i )f ( x N )
N
i1
olarak tanımlanır.
Tanım – 2 (Sürekli Rastgele Değişkenin Beklenen Değeri):
X sürekli rastgele değişkeni için olasılık fonksiyonu
X=x
x1
F (x) = P (X = x) f(x1)
x2
xn
f(x2)
f(xn)
olarak verilsin Y, X’ in fonksiyonu olsun. Y=g(X) in beklenen değeri yada
ortalaması

Eg( X)  E( Y )   g( x )f ( x )dx

olarak tanımlanır.
Örnek: Bir zarın atılması ile ilgili bir deneyde X rastlantı değişkeninin
fonksiyonu,
X=x
1
2
3
4
5
6
F(x) P(X=x)
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
Olarak veriliyor. Aşağıda verilen her fonksiyon için beklenen değerleri
bulunuz
a) E(X2) (ya da g(X) = X2)
b) E(3) (ya da g(X) = 3)
c) E(2X) (ya da g(X) = 2X)
d) E(2X-1) (ya da g(X) = 2X –1)
Çözüm:
a) X2’ nin olanaklı değerleri ve karşılık gelen olasılıklar
X=x
1
2
3
4
5
6
F(x) P(X=x)
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
 x 2  E( X 2 )  1.
1
1
1
1
1
1
91
bulunur
 4.  9.  16.  25.  36.  
6
6
6
6
6
6
6
Not: Dikkat edilirse E( X 2 )  E( X)2 yani kareler ortalaması, onların
ortalamalarının karesine eşit değildir.
b) 3’ ün olanaklı değerleri ve karşılık gelen olasılıklar
X=x
1
2
3
4
5
6
F(x) P(X=x)
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
 3  E(3)  3.
1
1
1
1
1
1 18
 3.  3.  3.  3.  3. 
3
6
6
6
6
6
6
6
bulunur.
c) 2X’ in olanaklı değerleri ve karşılık gelen olasılıklar
X=x
2
4
6
8
10
12
f(x) P(X=x)
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
 2x 1  E(2X  1)  2.
1
1
1
1
1
1 42
 4.  6.  8.  10.  12. 
7
6
6
6
6
6
6
6
bulunur.
d) (2X-1)’ in olanaklı değerleri ve karşılık gelen olasılıklar
X=x
1
3
5
7
9
11
f(x) P(X=x)
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
 2x 1  E(2X  1)  1.
1
1
1
1
1
1 36
 3.  5.  7.  9.  .11 
6
6
6
6
6
6
6
6
bulunur.
Örnek: X kesikli bir rassal değişken olup fonksiyonu aşağıdaki gibi olsun
X
-2
1
2
P(x)
5/8
1/8
2/8
a) X rassal değişkeninin beklenen değeri E(X)’ yi bulunuz
b) Y=X2 + 4 olarak tanımlandığına göre E(Y)’ yi bulunuz
Çözüm:
a) Beklenen değerin tanımına göre hareket edilirse
5
5
 1
 2  10 1 4
E8x )  2.   1.   2.  
     0,625
8
8
8
8 8 8 8
olarak bulunur.
b) Y = U(x2+4) olarak tanımlandığına göre

 58  1
E( Y )  E( X 2  4)   2 2  4
2
4
 81  2
2
4
5 16 61
 82  40
 

 7,625
8 8 8
8
olarak bulunur.
Örnek: X rassal değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda
verilmiştir.
2x
f (x)  
0
0 < x < 1 için
diğer durumlarda
a) Y = U (x) = ex ise, E(Y)’ yi bulunuz
b) Y = U(x) = 4x + 1 ise, E(Y)’ yi bulunuz.
Çözüm:
1
1
0
0
a) E(Y)  E(U(x))  E(e x )   x.2.e x dx   xe x dx
Kısmi integral yöntemine göre bu integral çözülürse
x=u
dv = exdx
dx = du
v = ex
olur. O zaman
 udv  u.v   v du formülüne göre.

E( Y )  2 x.e x

1
0
1

  e x dx  2(e  0)  (e  1)  2e  2e  2  2

0
olarak bulunur.
1
1
0
0
b) E( Y)  E( 4x  1)   x.2(4x  1)dx  2 (4x 2  x )dx
 x3
 24.
 3
1
0
x2

2
1
 4 1  22
  2   
 3,666
6
3 2

0
olur.
Teorem: a ve b sabitler ve X rastgele değişkeni ise
E(aX+b)=a.E(X)+b
şeklindedir.
İspat: g(X) = aX+b alalım. Kesikli rastlantı değişken tanımından
N
Eg( X)  E(aX  b)   (axi  b).f ( x i )
i1
 (ax1  b)f ( x )  (ax 2i1  b)f ( x i f ( x i2 )  ... x i .  (af ( x )  b. xN  b)f ( xN )
N
N
i
i1
Şeklindedir.
 a. x i f ( x )  b. f ( x i )
Sağ
yandaki
N
E( X)   x i f ( x )
i1
nedenle E(aX+b) = aE(X)+b
N
ve ikinci toplam

i1
ilk
toplam
f ( x i )  1’ dir. Bu
Bulunur.
 Bu teoremin özel hallerinden şu sonuçları çıkarabiliriz.
Sonuç-1: a = 0  E(b) = b’ dir.
Sonuç-2: a = 1  E(X+b) = E(X) + b’ dir.
Yani, bir rastgele değişkenin bir sabitle toplamının ortalaması,
rastgele değişkenin ortalaması ile aynı sabitin toplamına eşittir.
Sonu-3: b = 0  E(aX) = a.E(X)’ tir.
Yani bir rastgele değişkeninin sabitle çarpımının ortalama değeri,
sabit değerle rastgele değişkenin ortalamasının çarpımına eşittir.
Sonu-4: a = 1, b = -E(X) = -  E[X-E(X)]=E(X-)= 0’ dır.
Yani, X rastgele değişkenin kendi ortalamasından sapmasının
ortalaması sıfırdır.
ORTAK OLASILIK FONKSİYONLARININ BEKLENEN DEĞERİ
Şimdiye kadar tek değişkenli rassal değişkenlerin beklenene değeri
ile onların özellikleri incelenmiştir. Bu bölümde iki ve ikiden çok rassal
değişkenin beklenen değeri incelenecektir.
Tanım – Beklenen Değer: X ve Y rassal değişkenleri sırasıyla ile
f(x) f(y) olasılık fonksiyonları da (f x,y) olsun. O zaman E(X) şöyle
bulunur.
   x.P( x, y )
 x y
E( X)  
x.f ( x, y )dydx
 
R x R y
X ve Y kesikli rassal değişken ise
X ve Y sürekli rassal değişken ise
Bu eşitlikler, X ve Y’ nin marjinal dağılımları biliniyorsa aşağıda
olduğu gibi de tanımlanabilir.
E( X)    x.P( x, y )   x  P( x, y )
x

y
P( x, y )  P( x )
x
olduğundan
y
E(X)   xP( x )
x
y
olur
Benzer şekilde sürekli değişkenler için de bu işlemler yapılabilir. Y
rassal değişkeninin beklenen değeri de aynı şekilde bulunabilir.
   y.P( x, y )
 x y
E( Y )  
y.f ( x, y )dydx
 
R
R
x
y

X ve Y kesikli rassal değişken ise
X ve Y sürekli rassal değişken ise
Tanım-Ortak Olasılık Fonksiyonlarının Beklenen Değeri
X ve Y iki rassal değişken ve bunların olasılık fonksiyonu da f(x,y)
olsun. U(x,y) bu rassal değişkenlerinin ortak olasılık fonksiyonu ise U(x,y)
nin beklenen değeri
   U( x, y ).P( x, y ) Kesikli olasılık fonksiyonu için
 x y
EU( x, y )  
U( x, y ).f ( x, y )dydx Süreli olasılık fonksiyonu için
 
R x R y
ORTAK OLASILIK FONKSİYONLARININ BEKLENEN DEĞER
İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ
Teorem:
X ve Y iki rassal değişken ve bunların ortak olasılık fonksiyonları da
f(x,y) olsun. O zaman;
E( Y)  E( X)  E( Y) olur.
İspat:
X ve Y sürekli rassal değişkenler ise,
E( X  Y ) 
 
( x  y )f ( x, y )dxdy 
Rx Ry

 
xf ( x.y )dxdy 
Ry Rx
 
yf ( x, y )dxdy
Ry Rx
f ( x, y )dy  f ( x )


y  f ( x, y )dx dy
R

 x


ve
Ry
E( X  Y ) 
( xf ( x, y )  yf ( x, y ))dxdy
Ry Rx


 f x.y dy dx 
x
 


Rx  Ry
Ry


 
f ( x, y )dx  f ( y ) olduğundan
Rx

Rx
xf ( x )dx 

Ry
, yf ( y )dy  E( X)  E( Y ) olur
Benzer şekilde, bu eşitliğin kesikli rassal değişkenler içinde doğru
olduğu gösterebilir.
Teorem: X ve Y iki rassal değişken ve bunların ortak olasılık
fonksiyonu da f(x,y) olsun a ve b sabit sayılar olmak üzere,
E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)
olur. Eğer genelleştirecek olursak


E  a i X i   b j Yj    a iE( X i )   b jE( Yj )
i
 i

şeklinde yazılabilir.
İspat:
E(aX  bY) 

(aX  bY)f ( x, y )dxdy
RxRy


a


axf ( x, y )dxdy 
RxRy
byf ( x, y )dxdy
RxRy
xf ( x, y )dxdy  b 
RxRy

yf ( x, y )dxdy
RxRy
tanım gereğince
E(aX + bY) = aE(x) + bE(Y) olur
Teorem: X ve Y bağımsız iki rassal değişken olsun. Bunların ortak
olasılık fonksiyonu f(x,y) olarak verildiğine göre
E(XY) = E(X) E(Y)
eşitliği sağlanır.
İspat: X ve Y bağımsız ve sürekli rassal değişkenler ise f(x,y) = f(x)
f(y) olur.
E( XY ) 

x.yf ( x, y )dxdy 
RyRx

Rx

x.yf ( x ).f ( y )dxdy
RyRx


x.f ( x )  y.f ( y )dy dx   x.f ( x )E( Y )dx
Ry

Rx
 E( Y )  x.f ( x )dx  E( X)E( Y ) olur
Rx
KOŞULLU BEKLENEN DEĞER
Koşullu olasılık fonksiyonları, değişkenlerden biri bilindiğinde, diğer
değişkenin olasılık fonksiyonunun nasıl bilinebileceği konusunda değişik
avantajlar sağlıyordu. Koşullu dağılımların beklenen değerine, koşullu
beklenen değer denir.
Tanım-Koşullu Beklenen Değer:
f(x) > 0 ve f(x,y) tanımlı olmak üzere X ve Y rassal değişkenler
olsun. O zaman, Y verildiğinde X’ in koşullu beklenen değeri
aşağıdaki gibi tanımlanır
  x.P( x / y )
 y
E( X / Y  y )  
  x.f ( x / y )dx
Rx
P(x/y) kesikli ise
f(x/y) süreli ise
Benzer şekilde X = x verildiğinde Y’ nin koşullu beklenen değeri de
tanımlanabilir.
Teorem:
X ve Y rassal değişkenleri f/x)>0ve f(y)>0 olmak üzere bağımsız
rassal değişkenler olup, ortak olasılık fonksiyonları f(x,y) olsun. O zaman,
E(Y/x)=E(Y)
ve
E(X/y)=E(X) olur.
İspat:
X ve Y bağımsız değişkenler olduklarından
f ( x / y) 
f ( x, y ) f ( x ).f ( y )

 f ( x)
f ( y)
f ( y)
yazılır. Buradan
E(X/Y=y)   x.f ( x / ydx 
Rx

x.f ( x )dx  E( X) bulunur.
Rx
Tanım-Bir Fonksiyonun Koşullu Beklenen Değeri:
X ve Y rassal değişkenler olup K=U(x) tanımlansın. X rassal
değişkeninin olasılı fonksiyonu f(x) > 0 olmak üzere Y=y verildiği zaman,
K = U(x)’ in koşullu beklenen değeri şöyle hesaplanır.
  U( x ).P( x / y )

EU( x ) / Y  y    x
  U( x ).f ( x / y )dx
Rx
P(x/y) kesikli ise
f(x/y) sürekli ise
Örnek: Düzgün bir paranın 3 atılışta
gelen tura toplam sayısı X, ilk iki atıştaki turaların sayısı Y rastgele
değişkeni olsun. S örnek uzayı X, Y’ ye karşılık gelen değerleri tablo

üzerinde gösterelim
S’ nin
öğesi
Y’ nin
X’ in Öğesi
a) E(X)
ortalama değerlerini
b) E(Y)
bulunuz
c) E(X.Y)
d X ve Y rastgele değişkenleri
bağımsız mıdır?
Öğesi
TTT
3
2
TTY
2
2
TYT
2
1
YTT
2
1
TYY
1
1
YTY
1
1
YYT
1
0
YYY
0
0
Çözüm: X ve Y rastgele değişkenlerinin
ortak olasılık fonksiyon tablosu
P(X =
X=x\Y=y
0
1
2
0
1/8
0
0
1/8
1
1/8
1/4
0
3/8
2
0
1/4
1/8
3/8
3
0
0
1/8
1/8
P(Y = y)
1/4
1/2
1/4
1
x)
Şeklindedir.
a)
3
E(X) =  x.f ( x )  0.
x 0
b) E( Y) 
2

y 0
1
3
3
1 12 3
 1.  2.  1. 

8
8
8
8
8
2
y.f ( y )  0.
1
1
1 4
 1.  2.   1
4
2
4 4
3
2
c) E( XY )   xy.f ( x, y )
i0 j0
0,0.

1
1
1
1
1
1
 0,1.0  0.2.0  1.0.  1.1.  1.2.0  2.1.  2.2.1.  3.0.0  3.1.0  3.2.
8
8
4
4
8
8
1 2 4 6
   2
4 4 8 8
c) E(X.Y)=2, E(X) =
3
, E(Y) = 1 olarak bulundu. Böylece E(XY) ≠
2
E(X) E(Y)’ dir. O halde X ve Y değişkenleri bağımsız değillerdir.
Örnek: X ve Y sürekli rastgele değişkenler olup, f (x.y) ortak olasılık
fonksiyonuna sahip olsunlar.
, 0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 1 için
2x (x+y-2xy)
f(x,y)=
, diğer durumlarda
0
a) f(x) ve f(y)’yi bulunuz.
b) f(x|y) koşullu olasılık fonksiyonunu bulunuz.
c) E(x) ve E(Y)’yi bulunuz.
d) E(5x-1) ve E(2Y+2) değerlerini bulunuz.
e) E(XY) yi bulunuz.
f) X ve Y rastgele değişkenleri bağımsız mıdır?
Çözüm:
a) f ( x ) 

f ( x, y )dy
olduğuna göre
R1

1

0

2( x  y  2xy )dy  2xy

1
0
y2

2
1
1


  2 x   x   1
2



0
bu durumda
1
f ( x)  
0
0  x  1 için
diğer durumlarda
benzer şekilde
0  x  1 için
diğer durumlarda
1
f ( y)  
0
b) f ( x / y ) 
f ( x, y )
ve f ( y )  0 olduğundan,
f ( y)
2( x  y  2xy )
f ( x / y)  
0

0  x  1 ; 0  y  1 için
diğer durumlarda
1
11
1
0
00
0
c) E(X)   x.f ( x )dx    x.f ( x, y )dx  
E(X) 
x2
x.1dx 
2
1

0
1
2
1
1
bulunur. Aynı şekilde, E( Y )  olur.
2
2
1
2
d) E(5X - 1)  5.E(X) - E(1)  5.E(X) - 1  5.  1 
3
olur.
2
ve E(2Y  2)  2E( Y)  E(2)  2E( Y)  2  1  2  3 olarak elde edilir.
11
e) E(XY)    x.y f ( x, y )dxdy eşitliğinden giderek
00
E(XY) 
11

2xy ( x  y  2xy )dxdy 
00
11

(2x 2 y  2xy 2  4 x 2 y 2 )dxdy
00
1
1
2
3
 2x 3
4 2
2
2 x
2 x 
2




y

2
y

4
y
dy

 y  y  y dy
  3


2
3  0
3
3 
0 
0 

 2 y 2 y 3 4 y 3  1  1 1 4 2
 

 .      
3
2
3
3 3  0  3 3 9 9 bulunur



1
f) E( X / Y  1) 

x.f ( x / y  1)dx olduğundan
Rx
f ( x / y  1)  2( x  1  2x )  2(1  x ) dir.
E( X / Y  1) 
1

x.2(1  x )dx  2
0
x2
2
1
2
0
x3
3
1
 1
0
2 1

3 3
bu problem doğrudan çözüldükten sonra bulunan sonuca Y=1 değeri
konularak da bulunabilirdi.
E( X / Y  1) 
1

x.2( x  y  2xy )dx 
0
Y = 1 değeri konulursa E(X / Y = 1=
2
4
y y
3
3
1
bulunur.
3
g) X ve Y rastgele değişkenlerinin bağımsız olup olmadıklarını
aşağıdaki üç yaklaşımdan birisi ele alınarak çözümlenebilir.
i.
E(XY) = E(X).E(Y)
ii.
f(x,y) = f(x).f(y)
iii.
E(X / Y) = E(X)
Bu eşitlikten herhangi biri sağlanırsa, X ve Y rastgele değişkenleri
bağımsızdır denir.
Örneğin;
E/XY) ≠
1 1
olduğundan X ve Y rastgele değişkenleri bağımlı
.
2 2
değişkenlerdir.
Örnek: X ve Y rastgele değişkenlerinin ortak olasılık fonksiyonu,
 3 x 2  xy


3
f ( x, y )  


0
0 < x 1 ve
0<y<2
diğer durumlarda
olarak veriliyor.
a) E(X) ve E(Y)’ yi
b) E(XY)’ yi
c) E(X / Y)’ yi
d) E(X / Y = 2)’ yi
Çözüm:
a) E(X) 

x.f ( x )dx
Rx
olduğundan
fonksiyonu
öncelikle
X
rastgele
değişkeninin
olasılık
yoğunluk
f (x) 
2

bulunmalıdır.
f ( x, y )dy
0
f (x) 
2

3x
2
0

 xy
4x
dy  2x 2 
3
6
 2 4x
2x
f (x)  
6
 0
0 < x < 1 için
diğer durumlarda
bu durumda
E( X) 
1

x.f ( x )dx 
0
1

0
4x 
13

x 2 x 2 
değeri elde edilir.
dx 
6 
18

Benzer yaklaşımla, E( Y ) 
b)
E( XY ) 

10
değeri de bulunabilir.
9
xyf ( x, y )dxdy olduğundan
R xR y
E( XY ) 
21

00
xy 

xy  x 2 
dxdy 
3 

 1 y2 1 y3
  .
 .
4 2 9 3
c) E(X / Y) 





2

0
2

0
 x 4 y 2 x 3  1 
 y

.   dy 
3 3  0 
 4

1

0
 y y2 
 

 4 9 dy


1 8
25  16 43



 0,79 bulunur.
2 27
54
54
x.f(x / y )dx
Rx
olduğundan, önce f(y) ve daha sonra da f(x/y) koşullu olasılık yoğunluk
fonksiyonu bulunmalıdır.
f ( y) 
1

0
x3 y x2
 2 xy 
 .
x 
dx 
3 
3 3 2

1

0
1 y 2y
 
3 6
6
3 x 2  xy
f ( x, y )
6 x 2  2xy
3
f ( x / y) 


2y
f (y)
y2
6
1
2
 6 x  2xy 
dx  9  4t olur
E( X / Y )   x

12  6 y
 y2 
0
e) E(X / Y = 2) değeri bir önceki koşullu beklenen değerde Y = 2
değeri konularak bulunur.
E(X / y = 2) =
98
17

12  12 24
RASTGELE DEĞİŞKEN KAVRAMI
Rastgele Değişken :
Belirli bir tanım aralığında hangi değeri alacağı önceden bilinmeyen
ve bu değeri belli olasılıklarla alabilen değişkendir.Şu durumda rastgele
değişkenin aldığı her değer için belirli olasılıklar vardır.
X rastgele değişken ve X1,X2,X3.....Xn
rastgele değişkenin
alabileceği değerler olsun; X rastgele değişkenin herhangi bir x değerini
alma olasılığı,Pr {x=X} şeklinde gösterilir. Bu X'in dağılım ya da olasılık
fonksiyonu olarak adlandırılır.
Rastgele değişkenler alacakları değerler bakımından sürekli ya da
kesikli rastgele değişkenler olarak adlandırılırlar.
Kesikli Rastgele Değişkenler :
Eğer X rastgele değişkeni sonlu veya sayılabilir sonsuzlukta
değerler alabiliyorsa buna kesikli rastgele değişkenler denir.
Şöyle gösterilir :
n

P (X =x) = 1
i 1
ÖRN : Bir paranın 2 kez atılması deneyini düşünelim.Bunun için
rastlantı değişkeni bulunuz.
ÇÖZÜM :Bu deneyin örneklem uzayı :
S:
YY,YT,TY,T
T
şeklindedir.
X raslantı değişkeni bulunan turaların sayısını göstermek üzere; X (YY)
=0 , X (YT) =1 , X (TY) =1 , X (TT) =2
olur.Böylece X rastlantı değişkeninin alabileceği değerler 0,1,2'dir.O
halde X sonlu değerler aldığından kesikli rastgele değişkendir.
X'in alabileceği değerler x'le gösterilmek üzere; X'in x değerlerini
alma olasılığı f (x) ile gösterilir.
f (x) = P(X =x)'dir
f (0) = P(0) =1/4
f(1) = P(1) =1/2
f(2) = P(2) =1/4
X=x
0
1
2
f (x) = P(X =x)
¼
½
¼
şeklindedir.X'in alabileceği değerler için;
f(0) + f(1) +f(2) =1'dir.
Sürekli Rastgele Değişkenler :
Eğer X rastgele değişkeni sonsuz değerler alıyorsa artık kesikli
değil sürekli rastgele değişken var demektir.
Örneğin;X =1,2,3 değerlerini alıyor olsun.Bunu şeklinde de
yazabiliriz. Burada X’in aldığı sayılar sayılabilirdir. Eğer X, sürekli
değişken olsaydı o zaman aralığında sonsuz değerler alacaktı.
Sürekli bir rastgele değişkeninin her
aralığında sonsuz sayıda değer vardır.Değişkenin bunlar içerisinden her
hangi birisini değer olarak alma olasılığı 1/  = 0’dır. Bu yüzden,sürekli
bir değişkenlere ait olasılık fonksiyonu, bu değişkenin belirli bir değeri
alma olasılıklarının hesaplanmasına imkan vermez.
OLASILIK FONKSİYONU
Bir değişkenin alabileceği değerlerle bu değerleri alma olasılıkları
arasındaki bağlantıyı gösteren fonksiyona denir.
f(X i) = 0 Pr
= Pi biçiminde gösterilir.
X =xi
f(X i) 'in olasılık fonksiyonu olması için şu koşulları sağlanmalıdır.
i) f(Xi) =0
  i   için
ii) 0  f(Xi)  1   i   için
n
iii)

f(Xi) 1   i   için
R
Bu
koşulları
sağlayan
f(x)
fonksiyonuna
X
rastgele
değişkeninin olasılık fonksiyonu veya kesikli olasılık fonksiyonu
denir.
Tablo olarak şu şekilde gösterilir.
X = xi
f(xi)
x1,x2............xn
f(x1),f(x2).............f(xn)
ÖRN :
Bir balıkçının günde tuttuğu balık miktarını gösteren X değişkeninin
f(x) =
1/100 x, x =1,2,........,10 için
1/100 (20-x), x=11,12,......20 için
0,
diğer değerler için
Bu balıkçının ; a) Tam 8 balık tutması
b) 8'den az balık tutması
c) 8'den fazla balık tutması
d) 6-18 arası balık tutması olasılıklarını bulunuz.
ÇÖZÜM:
a) Pr
b) Pr
c) Pr
x=8
x<8
= 1/100 x 8 = 0,08
7

=
x>8  =
1/100x = 0.28
x 1
10
20
1/ 10 x  1/ 100 (20  x )  64 / 100  0,64
x 9
x 11
Pr x<8
+Pr x=8 +Pr x>8
fonksiyonu olma koşulunu sağlar.
d) Pr

10
=

x 6
= 1 olduğu görülür.Buda olasılık
18
1
1
x 
(20  x )
100
x 11 100
40
45

 0,85
100 100
ÖRNEK: X rastlantı değişkeninin olasılık fonksiyonu aşağıdaki gibi olsun:
X=x 0 1 2 3 4 5
6
7
2
2
F(x) 0 C 2c 2c 3c C 2C 7C2+c

a) c değişkenini hesaplayınız.
b) p( x  k )  1/ 2  k ’ nın minimum değeri
Çözüm: olasılık fonksiyonu olma koşulundan;
n
i)  f ( x )  1 olması gerekir
i1
0  c  2c  2c  3c  c 2  2c 2  7c 2  c  1
 10c 2  9c  1 c  1/ 10 değerini alır
ii) c değeri yerine yazılırsa
X=x 0
1
2
3
4
5
6
7
F(x) 0 1/10 2/10 2/20 3/10 1/100 2/100 17/100
Buradan;
100
P(0)  P(1) 
1
1

10 2
P(0)  P(1)  P(2)  0 
1
2
3
1



10 10 10 2
1
2
2
5
1




10 10 10 10 2
1 2
2
2
3
8
1
P(0)  P(1)  P(3)  P( 4)  0  





2 10 10 10 10 10 2
olduğundan
1
F( 4)  P( x  4)  k  4 bulunur.
2
SÜREKLİ OLASILIK FONKSİYONU
P(0)  P(1)  P(2)  0 
Sürekli değişkenlerdeki olasılık fonksiyonuma sürekli olasılık
fonksiyonu veya yoğunluk fonksiyonu denir.
Sürekli rastgele bir değişkenin a ve b gibi sabit 2 sayı arasında kalan
aralıkta bir değer alma olasılığı, bu değişkenin olasılık yoğunluk
fonksiyonunun bu aralıktaki integralinin alınması ile bulunur.
f(x)
Pr a  x  b 
b
 f ( x ).dx
a
0
b
a
F(x) fonksiyonu aşağıdaki koşulları sağlar.
i)
f(x) ‘ in integrali alınabilir ve f(x)  0, xi  Ri için
ii)
f ( x)  0, xi  Ri yada    x   için

iii)
 f ( x).dx  1 ya da  f ( x )  1
R

ÖRNEK: f(x) fonksiyonu aşağıdaki gibi verilsin.
3 / 7 x 2
1 x  2
f ( x )
 0
diğer x’ ler için
a) f(x) fonksiyonu olasılık yoğunluk fonksiyonudur.
b) F(x)’ in grafiği
ÇÖZÜM:
a)
i)xi  Ri değerleri için f(x) = 0 olduğu açıktır.
ii) f ( x)  0'
Xi  R için
dir

iii)
 f ( x ).dx  1olmalı
2

2
1
1
 f ( x).dx  
3 x3
3 / 7x .dx  .
7 3
2
1
2
1
f(x) olasılık yoğunluk fonksiyonudur.
b)
f(x)
1
0,43
ÖRN:
x
1
2
f(x) fonksiyonu aşağıdaki biçimde tanımlansın.
1
3x5
 x
f ( x ) 8
diğer x değerleri için
 0
a) f(x) olasılık fonksiyonu mudur?
b) f(x)'in grafiği
ÇÖZÜM:
a) Olasılık yoğunluk fonksiyonu olması için şu koşullar sağlanmalıdır.
x i  Ri için R  3  X  5
xiR için
i) f(x) = 0'dır.
ii) f(x)'dır.
iii)
5
5
3
3
 f ( x ).dx  
1
1 x2
xdx 
8
8 2
5
 1 olduğundan bir olasılık
3
fonksiyonudur.
b)

f(x)’ in grafiği
DAĞILIM FONKSİYONU
X rastgele değişken olsun.X'in verilen bir değere eşit ya da daha küçük
olması olasılığını veren fonksiyona dağılım fonksiyonu denir ve F(x) ile
gösterilir.
F(x) = Pr
X x
0 F(x)  aralığı olmalıdır.
ÖRNEK: Düzgün 6 yüzlü bir zar bir kere atılıyor.Üste gelen yüzdeki
noktaların sayısının olasılık fonksiyonunu bulunuz.
S  1,2,3,4,5,6
X=x 1 2 3 4 5
1 1 1 1 1
F(x)
6 6 6 6 6
Dağılım Fonksiyonu:
6
1
6
X=x 1
1
F(x)
6
6
6
6
2
2
6
3
3
6
4
4
6
5
5
6
X’ in değer aldığı a  x  b aralığı için;
Pa  x  b
olasılığı
P(a  x  b  f (b)  f (a) ’ dır.
Örnek:Düzgün 2 zarın atılması deneyinde X değişkeni elde edilen
sayıların toplamı olmak üzere toplamın en az 4 en çok 8 olma olasılığı
nedir?
=x
X
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
1 2 3 4 5 6 5 4 2 2 1
36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36
1 3 6 10 15 21 26 30 33 35 36
F(x)
36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36
f(x)
Buna göre P3  x  8  F(8)  F(3)

26
3
23


 0,6388 ’ dir.
36
36 36

Download Report