BÖLÜM 7 - bilgisayarıma indir

BÖLÜM 7
MATRSĐ METODLARI
BÖLÜM 7
1. MATRĐS METODLARI
Yapı sistemlerinin çözümü için çeşitli yöntemler geliştirilmiştir. Bilgisayarın kullanılmaya başlamasıyla
bu çözüm yöntemleri bilgisayar destekli yöntemlere doğru hızla kaymış ve bugün tamamı bilgisayarla
yapılır hale gelmiştir. Yapı sistemlerinin çözüm seyrine bakıldığında da bilgisayara en uygun yöntemin
matrislerle yapıldığı görülmektedir. Bundan dolayı adı matris metodları olarak devam etmektedir. Yapı
sistemleri, maruz kaldıkları statik ve dinamik dış etkiler altında yapmış oldukları şekil değiştirmeler ve
bunun sonucu olarak da oluşan kesit tesirlerine göre boyutlandırılan elemanlardır. Bu sistemlerinin
servis ömrü boyunca emniyetli bir davranış sergilemeleri, maruz kaldıkları ve kalmaları muhtemel olan
dış etkilerin ve bu etkiler altındaki şekil değiştirmelerin gerçeğe yakın olarak belirlenmesiyle
mümkündür. Elemanların ve dolaysıyla sistemin boyutlandırılması öngörülen dış etkileri emniyetle
karşılaması yapı malzemesinin gerçek davranış modelinin boyutlandırmada hesaba katılması gerekir.
Aksi halde sistemin dış yükleri karşılaması beklenilemez. Yapı elemanlarına dış etkilerden dolayı
gelen şekil değiştirmelerin ve uç kuvvetlerinin belirlenmesinde bir çok yöntem vardır. Bunların bazıları
yaklaşık bazıları ise kesin yöntemlerdir. Matris metodu da bu yöntemlerden biri olarak bilgisayar ağının
gelişmesiyle yöntemlerin en çok kullanılanı olmuş durumumdadır. Matris yöntemi bilgisayar sistemine
uygun olması, çözümün kısa olması, bir çok etkinin göz önüne alınması ve diğer yöntemlerde çözümü
geciktirici olduğu için hesaba katılmayan kabullerinde hesaba katılması bakımından diğer yöntemlere
göre daha gerçekçi bir çözüm yapılmaktadır.
Eksenel yüklü çubuktaki uzama ve kısalmalar aşağıdaki şekilde açıklanmaktadır.
y
P1 u1
1
P2 u2
2
x
u2
P1
u1=0
1
P2
2
u1
P2
u2=0
P1
2
1
Çekme kuvvetine maruz bir çubuktaki birim uzama ve kuvvet, u2 =
P2L
EA
Basınç kuvvetine maruz bir çubuktaki birim kısalma ve kuvvet, u1 = −
Yukarıdaki bağıntılar matris formunda aşağıdaki şekilde yazılır.
1
P1
P2
P
=
2
EA
L
EA
−
L
=
[P] = [K] [u]
EA
L
EA
L
u1
−
K
x
u2
x
u
(1)
358
P1L
EA
P2 =
u2EA
L
P1 = −
u1EA
L
BÖLÜM 7
MATRSĐ METODLARI
Sadece eksenel yüke maruz elamanlarda; çubuğun kesit alanı A, elastisite modülü E ve boyu L olmak
EA
üzere eksenel rijitliği, k =
olur.
L
1
2
1
2
EA
L
EA
−
L
P1
=
P2
EA
L
EA
L
−
P
u1
P1
u2
P2
u
P
K
=
k11
-k12
u1
-k21
k22
u2
K
u
Sistemin düzlem olması durumunda eksen takımı
y
Lokal eksen
x
y
P3
P4
P3
x
θ x = cos θ =
x 2 − x1
x 2 − x1
=
2
2
L
[ x2 − x1 ] + [ y2 − y1 ]
θ y = sinθ =
y2 − y1
y2 − y1
=
2
2
L
[ x 2 − x1 ] + [ y2 − y1 ]
P4
y
x
y2
y P2
P1
φ
P2 P1
x2
x1
Global eksen
x
y1
Sistemin üç boyutlu olması durumunda eksen takımı
Py2
y’ [v’]
y2
Pz1
′
Px1
Px2
θx = cos θ =
Pz2
x 2 − x1
=
L
θ
Px1
y1
(Lokal eksen)
′
Px2
2
θ
′
Py1
x’ [u’]
′
Py2
y [v]
x [u]
1
θy = cos θ =
y 2 − y1
=
L
θz = cos θ =
z2 − z1
=
L
z’ [w’]
z1
z2
x2
θ x

θ y
θ
z
k = T T k′ T = 
0

0
0

 θx θy θz 0 0 0 
T=

0 0 0 θ x θ y θz 
u1
θ2x
K = TT k’ T
Kij
EA
L
0 

0 
0  EA

θx  L

θy 
θz 
θy θ x
w1
θx θz
2
y 2 − y1
[ x2 − x1]
2
+ [ y 2 − y1 ] + [ z2 − z1 ]
2
2
z2 − z1
[ x2 − x1]
2
+ [ y 2 − y1 ] + [ z2 − z1 ]
2
2
v2
w2
- θx θz
- θy θz
- θ2z
- θx θz
- θy θz
- θ2z
P1x
θx θz
θx θz
P2x
θy θ x
θy θz
θy θz
P2y
θx θz
θ2z
θ2z
P2z
u2
- θ2x
θy θ x
θ2y
θy θz
θx θz
θy θz
θ2z
- θ2x
- θy θ x
- θ2y
- θy θz
- θx θz
- θy θz
- θ2z
- θy θ x
- θx θz
2
2
 1 − 1 θx θy θz 0 0 0 



 −1 1  0 0 0 θx θy θz 
1
v1
Düğüm
Deplasman
2
(global eksen)
θ Py1
x1
x 2 − x1
[ x 2 − x1 ] + [ y2 − y1 ] + [ z2 − z1 ]
359
- θy θ x
- θy θ x
- θ2y
Pi
P1y
Düğüm
1
P1z
2
BÖLÜM 7
MATRSĐ METODLARI
ÖRNEK 1.1: Şekilde verilen sistemde ve nolu elemanların açılarının (θ
θx θy) bulunması
y

y’
y1=y4=-4m

y’
x’
x’
4m
y’

eleman
düğüm

x’
4
x1=-4m
x4=4m
θ x = cosθ =
nolu elemanın açıları
θ x = cosθ =
θ y = sinθ =
y’
x3 − x4
4−0
=
= 0.707
2
2
L
[4] + [4]
x’
y3 − y 4
0−4
=
= −0.707
2
2
L
[4] + [4]
θ y = sinθ =
nolu elemanın açıları
x
4m
m
x 3 − x1
−4 − 0
=
= −0.707
2
2
L
[4] + [4]
y’
x’
y3 − y1
−4 − 0
=
= −0.707
2
2
L
[4] + [4]
aynı eleman yön olarak 3 den 1’e doğru alınırsa; θx =0.707 ve
θy=0.707 olarak bulunur. Yani
elemanların belirlenmesinde kabul edilen yön hem global hem de lokal eksenlerde aynı kullanılmalıdır.
Aksi halde sonuçlarda değişmeler olur. Lokal eksenlere göre eleman rijitlik matrisi
1
1
2
2
′
Px1
EA
L
0
′
Py1
0
′
Px2
′
Py2
=
-
EA
L
0
0
0
0
EA
L
0
EA
L
0
u′2
0
0
0
0
v′2
P′
-
y
Lokal eksen
x'
y
u1′
P y2
P x2
P4
v1′
K’
u’
[P’] = [K’] [u’]
′ = P x1 cosθ + P y1 sinθ
Px1
1 düğümünde lokal eksen x’ ne göre denge
′ = P x2 cosθ + P y2 sinθ
Px2
2 düğümünde lokal eksen x’ ne göre denge
′ = −P x1 sinθ + P y1 cos θ
Py1
1 düğümünde lokal eksen y’ ne göre denge
′ = −P x2 sinθ + P y2 cos θ
Py2
2 düğümünde lokal eksen y’ ne göre denge
360
P3
x
y
x
y ' P y1
P1
x1
y2
φ
P2 P x1
x2
Global eksen
x
y1
BÖLÜM 7
MATRSĐ METODLARI
Bu denklemler matris formunda düzenlenerek aşağıdaki şekilde elde edilir. Buradaki matrise global
eksenden lokal eksene dönüşüm veya transformasyon matrisi denir.
1
1
cosθ
sinθ
0
0
Px1
′
Py1
-sinθ
cosθ
0
0
Py1
0
0
cosθ
sinθ
Px2
0
0
-sinθ
cosθ
Py2
=
′
Px2
2
2
′
Px1
′
Py2
P′
T [tranformasyon]
P
Transformasyon matrisinin işlemlerinin kolay olması için θx=cosθ
θ ve θy=sinθ
θ kısaltması yapılmıştır.
θx=cosθ θy=sinθ
1
1
′
Px1
θx
θy
0
0
Px1
′
Py1
-θy
θx
0
0
Py1
0
0
θx
θy
Px2
0
0
-θy
θx
Py2
=
′
Px2
2
2
′
Py2
P′
T [tranformasyon]
P
Transformasyon matrisinin aşağıdaki özellikleri mevcuttur.
T
1. [I] = [T] [T] özelliği θ = 30o için aşağıda yapılmıştır.
[T]T
0.866
-0.5
0
0.5
0.866
0
0
0
0
0
0.866
-0.5
0
0
0.5
0.866
0.866
0.5
0
0
0.999956
0
0
0
-0.5
0.866
0
0
0
0.999956
0
0
0
0
0.866
0.5
0
0
0.999956
0
0
0
-0.5
0.866
0
0
0
0.999956
[I]= [T] [T]T
[T]
T
2. [T] = [T]
-1
özelliği
θ = 60 o için aşağıda yapılmıştır.
0.5
0.866
0
0
0.5
-0.866
0
0
-0.866
0.5
0
0
0.866
0.5
0
0
0
0
0.5
0.866
0
0
0.5
-0.866
0
0
-0.866
0.5
0
0
0.866
T
0.5
[T]
[P’] = [T] [P]
=
0.500 -0.866
0
0
0.866 0.500
0
0
0
0
0.500 -0.866
0
0
0.866
-1
[T]
-1
0.500
[T]
T
[P] = [T] [P’] = [T] [P’]
Lokal eksendeki deplasmanları elde etmek için transformasyon matrisiyle global eksendeki
deplasmanlar çarpılır.
[u’] = [T] [u]
TP = K’ u’ = K’ T u
-1
T
’
P = [T] K’ T u = T K T u = K u
361
BÖLÜM 7
MATRSĐ METODLARI
T
Eleman rijitlik matrisi,
K
’
θx -θy 0 0
θy θx 0 0
0
0
−
EA
L
0
θx
θy
0
0
0
0
0
-θ
θy
θx
0
0
EA
−
L
0
EA
L
0
0
0
θx
θy
0
0
0
0
0
0
-θ
θy
θx
0
−
EAθx
L
0
EAθ2x
EAθ y θ x
EAθ2x
L
L
0
−
EAθy θx
EAθ2y
EAθx
L
EAθy
L
0
0 θx -θy −
0
0 θy θx −
T
EA
L
K = T K’ T
EAθx
L
0
EAθy
0
L
T
EAθy
L
EAθx
L
EAθy
L
0
0
L
−
0 −
EAθ2x
L
EAθy θx
L
T
−
L
−
−
EAθy θx
−
L
EAθ y θ x
L
−
T
EAθy θx
L
−
EAθ2y
EAθ2x
L
EAθy θx
EAθ2y
EAθy θx
EAθ2y
L
L
L
L
T
T K’
vi
uj
vj
θ2x
θ yθ x
- θ2x
- θ yθ x
θ2y
- θ yθ x
- θ2y
- θ2x
- θ yθ x
θ2x
θ yθ x
- θ yθ x
- θ2y
θ yθ x
θ2y
EA θ yθ x
Kij = L
L
L
ui
Eleman rijitlik matrisi,
T K’ T
T
K = T K’ T
Sistemin rijitlik matrisi,
a. Her noktanın bir düşey (v) bir yatay (u) deplasmanı olacağından düğüm noktasının [n] iki katı
boyutunda bir boş kare matris [2xn] oluşturulur (n düğüm sayısı)
b. Bu matrise elemanların rijitlik matrisleri adreslerine göre yazılarak sistem rijitlik matrisi elde
 n

K ij 
edilir 


 i =1

c. Elde edilen rijitlik matrisinin eşitliğinde deplasman [PP] ve dış yüklerden [PR] oluşan bir kolon
matris oluşturulur
∑
Çubukların uç noktalarındaki
birim dönme ve deplasmanlar
sonucu elde edilen rijitlik
değerleri
Sistemdeki
düğümlerin
dönüş ve
deplasmanları
K11
K12
UP
K21
K22
UR
Düğümlere uygulanan dış
kuvvetler, ankastrelik
momentleri ve kesme
kuvvetleri
=
PP
PR
Buradaki parametreler,
[
[ ] ]
−1
[PP ]
UP : mesnet şartları dışındaki serbest uçtaki deplasmanlar UP = K 11
UR : mesnet tepkileri yönündeki deplasmanlar (mesnetlerde çökme yok ise sıfır)
PR : bilinmeyen mesnet tepkileri
PP : verilen dış yükler
d. Sonra sistemin rijitlik matrisinde mesnet şartları mesnet tepkileri yönündeki deplasmanların
bulunduğu kolon ve satırları silinir.
362
BÖLÜM 7
MATRSĐ METODLARI
Çubukların uç noktalarındaki
birim dönme ve deplasmanlar
sonucu elde edilen rijitlik
değerleri [simetrik]
Sistemde serbest olan dönüş
ve deplasmanlar yönündeki
uygulanan dış kuvvetler,
ankastrelik momentleri ve
ankastrelik kesme kuvvetleri
Sistemde serbest
olan dönüş ve
deplasmanlar
K11
K12
UP
K21
K22
UR-mesnet
PP
=
PR-mesnet
e. Geriye kalan matris çözülerek düğüm [UP] ve mesnetlerdeki [UR] şekil değiştirmeler bulunur.
Bunlar numaralandırmaya göre karışık olarak da bulunur.
ui 
 
vi 
ϕi 
 
UP DÜĞÜM  .... 
U=
= 
....
UR MESNET   
un 
 
vn 
ϕ 
 n
f. Bulunan deplasmanlar kullanılarak elemanların global [UGi] ve lokal deplasmanları [u′i = TiUGi ]
elde edilir.
Global
deplasmanlar
uG1
vG1
uG2
vG2
θy
θx
0
0
u1′
0
0
θy
θx
Lokal
deplasmanl
ar
θx
-θy
0
0
0
0
θx
-θy
v1′
u′2
v ′2
T
T UG
g.
Pi′ = k ′i u′i bağıntısıyla çubuk kuvvetleri hesaplanır.
Eleman rijitlik matrisi
k ′i
EAθ2x
EAθ yθx
L
EAθ yθx
L
EAθ2y
L
=
EAθ2x
L
EAθy θx
−
−
L
−
L
EAθy θx
−
−
−
EAθ2x
L
EAθy θx
L
EAθ2y
EAθ2x
L
EAθ yθx
L
L
L
Uç kuvvetleri
−
EAθy θx
u′1
L
−
EAθ2y
L
EAθ yθx
L
EAθ2y
L
[ ]
x
v ′1
Px′ 1
=
u′2
Px′ 2
v ′2
Py′ 2
h.
−1
[PP ] = [K 21 ][UP ] bağıntısıyla mesnet tepki kuvvetleri hesaplanır.
PR = [K 21 ] K 11
i.
ΣPx=0 ve ΣPy=0 düğüm dengesi yazarak sonuçlar kontrol edilir.
363
Py′1
BÖLÜM 7
MATRSĐ METODLARI
ÖRNEK 1.2: Şekildeki kafes sistemin çubuk ve mesnet tepki kuvvetlerinin hesabı.
y
v3
y
1 kN
P3y
v1
u3

2m
2m
y
u1
P3x
eleman
düğüm

x
2m
P4y
v2

u4
x
u2
x
2m
P4x
ÇÖZÜM: 1. Global koordinat sistemi seçilerek düğüm noktaları, deplasmanlar, çubuk eksen açıları ve
elemanlar numaralandırılır.
E (kN/m2)
Kesit (m2)
Eleman

L
-5
7.07 10
7
1.10
-5
¡
¡
¡
¡
¡
¡
2
2.83
2
2.83
2
2
10-4
10-4
Yönü
(m)
7.07 10
10-4
10-4
θx
θy
1
0.707
0
0.707
1
0
0
0.707
-1
-0.707
0
-1
2. Her elemanın lokal rijitlik matrisi kurulur (Denk. 1)
K=
EA / L
−EA / L
−EA / L
EA / L
k2= k4
107 x7.0710 −5
2 2
1
-1
-1
1
=
250
-250
-250
250
k1= k3= k5= k6
107 x10 −4
2
1 -1 500
-500
-1 1 -500
500
T
3. Her elemanın global rijitlik matrisi kurulur. (θ
θx=1 θy=0 K = T K’ T)
K 500
ui
vi
θ2x
θy θ x
- θy θ x
- θ2x
- θy θ x
θ2x
θy θ x
- θy θ x
- θ2y
θy θ x
θ2y
1
=
-
0
0
0 500
0
0
0 -500
K =
3 (düğüm)
K
500
0
-500
0
0
0
0
0
-500
0
500
0
0
0
0
0
1
2
0
0
0
0
1
3
θ2y
1
3
K
- θy θ x
θy θ x
125 -125 -125
4
125 -125 -125
-125 125 125
1
-125 125 125
0
0
0
0
vj
θ2x
θ2y
4
125
125
K =
-125
-125
-
uj
0
-500
0
500
3
125 -125
-125 125
K =
-125 125
125 -125
1
2
2
-125 125
3
125 -125
125 -125
2
-125 125
4
K =
500
0
-500
0
0
0
0
0
2
-500
0
500
0
0
0
0
0
4
2
4
0
500
0
-500
0
0
0
0
0
-500
0
500
3
4
4. Yukarıda elde edilen eleman rijitlik matrislerindeki değerler tüm noktaları içine alan sistemindeki
aynı düğüm noktalarında toplanır. Örneğin 4 düğümündeki u ve v değerlerine karşılık gelen rijitlik
aşağıdaki gibi alınır.
Elemanlardan 4 nolu düğüme gelen değerler
düğüm
2 nolu elemanın
5 nolu elemanın
6 njolu elemanın
∑ 4 nolu
u
u
u
u
125
125
500
0
0
0
625
125








 4

 4

 4

 4
Örneğin, 
 +
 +
 =
 



0   v 4   0 500   v 4   125 625   v 4 
125 125   v 4   0
364
BÖLÜM 7
MATRSĐ METODLARI
Bu değerler sistem rijitlik matrisinde taralı olarak görülmektedir. Diyagonal değerler her zaman artı
olmalıdır ve matris simetrik olmalıdır. Diyagonal terimler eksi değer alamazlar.
Düğüm
Deplasman
K =
1
2
3
4
u1
v1
u1
v1
u3
v3
u4
v4
500+125
125
0
0
-500
0
-125
-125
125
500+125
0
-500
0
0
-125
-125
0
0
625
-125
-125
125
-500
0
0
-500
-125
500+125
125
-125
0
0
-500
0
-125
125
500+125
-125
0
0
0
0
125
-125
-125
500+125
0
-500
-125
-125
-500
0
0
0
500+125
125
-125
-125
0
0
0
-500
125
500+125
1
2
3
4
6. Kurulan sistem rijitlik matrisine mesnet sınır şartları işlenir. Mesnet sınır şartlarından önlenen şekil
değiştirmeler kastedilmektedir. Örneğin ankastre bir mesnette yatay, düşey deplasmanın ve dönüş
açılarının sıfır olması gibi. Kafes sistemlerde yatay ve düşey deplasmanların sıfır olduğu satırlar ve
sütunlar silinerek rijitlik matrisinin boyutları küçültülür. Buradan sistem rijitlik matrisinin boyutu, düğüm
noktasının iki katından mesnet reaksiyonlarının çıkartılması sonucu elde edilir. Verilen sistemde 4
düğümündeki u4 ve v4, 3 düğümündeki u3 ve v3 sıfır olduğu için 3 ve 4 nolu satır ve sütunlar silinir.
u3
K11
625
125
0
0
-500
0
-125
-125
K
125
625
0
-500
0
0
-125
-125
4
v3
u4
v4
-125
-125
-500
0
0
0
625
125
-125
-125
0
0
0
-500
125
625
K12
0
0
625
-125
-125
125
-500
0
0
-500
-125
625
125
-125
0
0
-500
0
-125
125
625
-125
0
0
K21
0
0
125
-125
-125
625
0
-500
U
u1
v1
u2
v2
u3
v3
u4
v4
=
P
P1x=0
P1y=1
P2x=0
P2y=0
P3x
P3y
P4x
P4y
Düğü
m
3
v2
PP
PR
Bilinen
Dış yükler
u2
1
Bilinmeyen
Mesnet
tep.(0)
2
v1
UP
1
u1
UR = 0
Düğüm
Deplasman
3
2
4
K22
Yukarıdaki rijitlik matrisinde tutulmuş (deplasmanı engellenmiş) yani deplasman yapamayan yöndeki u ve v satır ve sütunları
silinerek bilinmeyenlerin bulunacağı (yani deplasman yapan düğümlerin) bilinmeyenlerin oluşturduğu sistem rijitlik matrisi
aşağıdaki şekilde elde edilir.
2
v1
u2
v2
K11
625
125
0
0
125
625
0
-500
Düğü
m
1
u1
U
0
0
625
-125
0
-500
-125
625
P
UP
Bilinen
Dış yükler
P1x=0
u1
1
=
P1y=1
v1
PP
P2x=0
u2
2
P2y=0
v2
7. Elde edilen sistem rijitlik matrisi verilen dış yüklere eşitlenerek düşey ve yatay (u, v) deplasmanlar
[K][u] = [P] [u] = [K]−1[P] bağıntısı ile aşağıdaki şekilde bulunur.
UP
K
=
625
125
0
0
125
625
0
-500
0
0
625
-125
0
-500
-125
625
365
-1
u1
v1
u2
v2
=
PP
UP
0
1
0
0
u1
v1
u2
v2
=
-0.001090
0.005455
0.000909
0.004545
BÖLÜM 7
MATRSĐ METODLARI
8. Sistemin ve eleman deplasman matrisi (Us) sütun matristir.
−0.00109




u1 

1nolu düğüm 


 u1 
  Serbest olduğu için deplasman yapabiliyor
 0.00546 
 




  v1 



v1


 
 0.00901
 u 



u2 




  2
2
nolu
düğüm
Serbest
olduğu
için
deplasman
yapabili
yor



 0.00455
 



v 2 


 v2 


Us = 
 
 0
 u 



u


 3
 
  3
3
nolu
düğ
ü
m
Mesnet
olduğu
için
deplasman
yapamıyor
(baş
tan
bliniyor)



 
 0



v 3 
 

 v3 



 u 
 
  4




 Mesnet olduğu için deplasman yapamıyor (baş tan bliniyor )  

u4 
 0

 0 4 nolu düğüm 
  v 4 


v

 4

 


9. Eleman global deplasmanları (UGi= i inci elemanın global deplasmanı)
 0
 u3 

 
 0
  v3 
 
UG1 = 
 
−0.00109  u1 
 0.00546   v 

  1 
0.00546

0.00109
nolu elemanın global deplasmanı
UG2
0
 u3 
 0
 u4 
 −0.00109  u1 
 0
 v 
 0.00546   v 
0
 v 
 4 U = 
 1 U = 
 3
=
G3
G4
 −0.00109  u1 
 0.00091  u2 
0.00091  u2 

 

 

 
 0.00546   v1 
 0.00455   v 2 
 0.00455   v 2 
10. Eleman lokal deplasmanları
u1′ = T1UG1
0  u3 
θ x θ y 0

 
 v3 
= 
 u 

 1 
0
0
θ
θ

x
y
  v1 
u′2 = T2 UG2
u′4 = T4 UG4
0.707

=


0 0
0.707
0.707
UG5
0
 u4 
0
 v 
 4
=
0.00091  u2 

 
 0.00455   v 2 
UG6
u′i = TiUGi
1


u1′ = T1 UG1 = 

0

0
0
0
1
 0

0  0

 

 0
 


=

 −0.00109  


 

0   0.00546  −0.00109 
0  0
 0

0 − 1 0 0   − 0.00109   −0.00546 
 0
 


  0.00546  


=
 u′ = T U = 

=

3
3
G3
  −0.00109  


  0.00091  


 



 

0.707   0.00546  0.00309 
0 0 0 − 1  0.00455   −0.00455 
0
0.707 − 0.707 0 0   0
 0


 0
 







=
=

 0.00091  



 

0
0
0.707
−
0.707
0.00456
−
0.00257


 

u′5 = T5 UG5
1

=


0
0
0
0
11. Çubuk kuvvetleri
1


=



0  0
 0

 0
 


=

 0.00091  


 

0   0.00456  0.000909 
u′6 = T6 UG6
0

=


0
1
0
0
0
0  0  0 
 0   
  =  
 0   
   
1 0  0 
Pi′ = k ′i u′i bağıntısıyla bulunur.
Đlk düğümdeki çubuk kuvvetinin işareti – ise çubuk çekmeye + ise basınca çalışır.
 500 − 500   0
  0.5455 
0.5455
P1′ = 

=
 kN
500   −0.00109   −0.5455 
 −500
366

0.5455
0  u3 
 
0   v 3 
0  u4 
 
0   v 4 
BÖLÜM 7
MATRSĐ METODLARI
VEYA
EA
θx
Pij =
L 
u1
θy  
 v1
 −0.00109
P1′ = 500 [1 0] 
 0.00546
u2 

v2 
0.7715
0.00091  0.5455 
=
 kN
0.00455   −0.5455 

0.7715
 250 − 250  0
  −0.7715 
P2′ = 

=
 kN
250  0.00309   0.7715 
 −250
0.455
0.643
 500 − 500   −0.00546   −0.455 
P3′ = 

=
 kN
500   −0.00455   0.455
 −500

 250 − 250   0
  0.643 
P4′ = 

=
 kN
250   −0.00257   −0.643 
 −250
0.643
0.455
0
 500 − 500 0
  −0.455 
P5′ = 

=
 kN
−
500
500
0.00091


  0.455 
0.455

500
P′ = 
6

0.455
 −500
− 500  0  0 
  =  
500  0  0 
0
12. Mesnet tepki kuvvetleri tablodaki gibi hesaplanır.
4
u3
v3
K11
u4
v4
K12
U
625
125
0
0
-500
0
-125
-125
125
625
0
-500
0
0
-125
-125
0
0
625
-125
-125
125
-500
0
0
-500
-125
625
-125
-125
0
0
-500
0
-125
-125
625
-125
0
0
0
0
125
-125
-125
625
0
-500
-125
-125
-500
0
0
0
625
125
-125
-125
0
0
0
-500
125
625
K
K21
u1
v1
u2
v2
u3
v3
u4
v4
K21
=
PP
PR
1
3
2
4
K22
1
Mesnet tepki kuvvetleri PR = [K21 ]  K−
[P ] = [ K21 ][UP ]
 11  P
-500
0
-125
-125
=
P
P1x=0
P1y=1
P2x=0
P2y=0
P3x
P3y
P4x
P4y
Düğü
m
3
v2
Uygulana
n Dış
Yükler
u2
Mesnet
tepki
kuvvetleri
2
v1
UP
1
u1
UR = 0
Düğüm
Deplasman
0
0
-125
-125
-125
125
-500
0
125
-125
0
0
UP (deplasmanlar)
-0.001090
0.005455
0.000909
0.004545
P3x = 0.9995
P3y = -0.4545
P4x = -1.00013
P4y = -0.54563
PR (mesnet tepkileri)
kN
13. Kontrol: düğümünde denge denklemleri yazılarak kontrol yapılmıştır.
∑ Px = 0
0.9995 − 0.5455 − 0.643 x cos 45 = 0
∑ Py = 0
0.643 x cos 45 − 0.4545 = 0
0≅0
0.4545
0.4545
0.643
0.5455
0≅0
0.999
0.5455
düğümünde denge denklemleri yazılarak kontrol yapılmıştır.
∑ Px = 0
0.5455 − 0.643 x cos 45 = 0
0≅0
∑ Py = 0
367
0.0
0.643
0.643 x cos 45 − 0.4545 = 0
0≅0
BÖLÜM 7
MATRSĐ METODLARI
Uygulama: Şekildeki kafes sistemin çubuk ve mesnet tepki kuvvetlerinin hesabı.
60 kN
60 kN
1
8m

Eleman
1
2
3
4
5
EA 
L 

EA 
L 
−
k1
1.107 × 2.10−4
11.314
1 -1
1767.72 -1767.72
=
k2 – k4=
-1 1
-1767.72 1767.72
k3
1.107 × 2.10−4
10
1 -1
2000
=
-1 1
-2000
-2000
2000
k5=
8m

4
5
8m
6m
6m
Her elemanın lokal rijitlik matrisi:
3
2

8m
 EA

K= L
 − EA
 L

40 kN

40 kN
Kesit (m2)
E (kN/m2)
2.10-4
1.107
1.107 × 2.10−4
8
1
-1
1
-1
-1
=
1
1.107 × 2.10−4
6
L (m)
11,314
8
10
8
6
-1
=
1
Yönü
2¡ 1
1¡ 3
1¡4
2¡ 3
3¡ 4
2500
-2500
3333.33
-3333.33
θx
0,707
0
0,6
1
1
-2500
2500
-3333.33
3333.33
Eleman rijitlik matrisi
EAθ yθx
EAθ2x
L
EAθ yθx
k ′i
EAθ2y
L
=
EAθ2x
L
EAθy θx
−
−
−
L
−
L
EAθy θx
−
Uç kuvvetleri
EAθ2x
L
EAθy θx
−
−
L
L
u′1
EAθy θx
L
−
EAθ2y
L
EAθ yθx
EAθ2x
L
L
x
L
EAθ2y
EAθ yθx
EAθ2y
L
L
L
k1
u′2
Px′ 2
v ′2
Py′ 2
2
1
θy θ x
- θ2x
- θy θ x
0,5
0,5
-0,5
-0,5
883,6
883,6
-883,6
-883,6
θy θ x
θ2y
- θy θ x
θ2y
0,5
0,5
-0,5
-0,5
883,6
883,6
-883,6
-883,6
- θ2x
- θy θ x
θ2x
θy θ x
-0,5
-0,5
0,5
0,5
-883,6
-883,6
883,6
883,6
- θy θ x
θ2y
θy θ x
θ2y
-0,5
-0,5
0,5
0,5
-883,6
-883,6
883,6
883,6
-
-
=
1767.2
θ2x
θy θ x
θy θ x
EAθ y θ x
L
=
1
3
- θy θ x
0
0
0
0
0
0
0
0
θ2y
- θy θ x
- θ2y
0
1,00
0
-1,00
0
2500
0
-2500
- θ2x
- θy θ x
θ2x
θy θ x
0
0
0
0
0
0
0
0
- θy θ x
- θ2y
θy θ x
θ2y
0
-1,00
0
1,00
0
-2500
0
2500
=
EAθ2y
L
368
1
=
2500
EAθ2x 1.10E8 ⋅ 2.10−A4 2
=
[0] = 0
L
8
1
1.10E8 ⋅ 2.10−A4
[0.707 ⋅ 0.707] = 883.6
11.314
θ2x
-
2
=
θx =0 θy = -1
K2
Py′1
=
θ2x
EAθ2x 1.10E8 ⋅ 2.10−A4
=
[0.707]2 = 883.6
L
11.314
EA
L
Px′ 1
v ′1
Her elemanın global rijitlik matrisi kurulur:
θx = 0.707 θy = 0.707
EA
L
θy
0,707
-1
-0,8
0
0
=
1.10E8 ⋅ 2.10−A4
[−1]2 = 25000
8
3
BÖLÜM 7
MATRSĐ METODLARI
θx =0.6 θy = -0.8
EA
L
K3
θ2x
θy θ x
θy θ x
1
- θy θ x
0,36
-0,48
-0,36
0,48
720,00
-960,00
-720,00
960,00
θ2y
- θy θ x
- θ2y
-0,48
0,64
0,48
-0,64
-960,00
1280,00
960,00
-1280,00
- θ2x
- θy θ x
θ2x
θy θ x
-0,36
0,48
0,36
-0,48
-720,00
960,00
720,00
-960,00
- θy θ x
- θ2y
θy θ x
θ2y
0,48
-0,64
-0,48
0,64
960,00
-1280,00
-960,00
1280,00
-
=
2000
EAθ2y
L
EA
L
2
θy θ x
- θ2x
- θy θ x
θy θ x
θ2y
- θy θ x
θ2y
- θ2x
- θy θ x
θ2x
θy θ x
- θy θ x
θ2y
θy θ x
θ2y
-
-
=
1,00
0,00 -1,00 0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
2500
0,00
-2500,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
-1,00 0,00
1,00
0,00
-2500,00
0,00
2500,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
EAθ2y
L
=
3
θy θ x
- θ2x
- θy θ x
1
0
-1
0
3333,30
0
-3333,30
0
θy θ x
θ2y
- θy θ x
θ2y
0
0
0
0
0
0
0
0
- θ2x
- θy θ x
θ2x
θy θ x
-1
0
1
0
-3333,30
0
3333,30
0
- θy θ x
θ2y
θy θ x
θ2y
0
0
0
0
0
0
0
0
-
= 3333.33
EAθ2y
L
=
1.10E8 ⋅ 2.10−A4 2
[0] = 0
6
Sistem rijitlik matrisi:
K
=
1
2
3
4
u1
v1
u2
v2
u3
v3
u4
v4
1603,6
-76,4
-883,6
-883,6
0
0
-720
960
-76,4
4663,6
-883,6
-883,6
0
-2500
960
-1280
-883,6
-883,6
3383,6
883,6
-2500
0
0
0
-883,6
-883,6
883,6
883,6
0
0
0
0
0
0
-2500
0
5833,3
0
-3333,3
0
0
-2500
0
0
0
2500
0
0
-720
960
0
0
-3333,3
0
4053,3
-960
960
-1280
0
0
0
0
-960
1280
Mesnet sınır şartları işlendikten
sonraki rijitlik matrisi
Düğüm
Deplasman
K
=
1
1
2
3
4
u1
v1
3
u3
4
u4
1603,6
-76,4
0
-720
-76,4
4663,6
0
960
0
0
5833,3
-3333,3
-720
960
-3333,3
4053,3
1
3
4
Deplasmanlar [K][u] = [P] [u] = [K]−1[P] bağıntısı ile aşağıdaki şekilde bulunur.
K-1
=
-76,4
4663,6
0
960
u
0
0
5833,3
-3333,3
-720
960
-3333,3
4053,3
u1
v1
u3
u4
=
=
P
40
-60
0
0
N1
V1
V3
V4
369
u1
K-1.P = u
=
v1
u3
u4
0,032249
-0,01604
0,01027
0,017972
0,32246
-0,160378
0,102695
0,179717
Sap2000
K
1603,6
-76,4
0
-720
3
=
EAθ2x 1.10E8 ⋅ 2.10−A4 2
=
[1] = 3333.33
L
6
Düğüm
Deplasman
3
4
θ2x
-
2
1.10E8 ⋅ 2.10−A4 2
[0] = 0
10
θx =1 θy =0
K5
3
2500,00
=
EAθ2x 1.10E8 ⋅ 2.10−A4 2
=
[1] = 2500
L
8
EA
L
4
1.10E8 ⋅ 2.10−A4
[−0.8]2 = 1280
10
=
θx =1 θy =0
θ2x
1
=
EAθ2x 1.10E8 ⋅ 2.10−A 4
[0.6]2 = 720
=
L
10
K4
4
θ2x
4
BÖLÜM 7
MATRSĐ METODLARI
0




0


Eleman global deplasmanları: u1 =
0,032249 


 −0,01604 
θ x θ y
Eleman lokal dep. T = 
0 0
0
θx
0,032249 
0,032249 
 −0,01604 
 −0,01604 



u2 =
u =
 0,01027  3 0.017972 




0
0




0




0


u4 =
0,01027 


0


 0,01027 


0

u5 = 
0.017972 


0



0





0.707
0.707
0
0
0
0



u ' =

 =
1







0
0
0.707
0.707
0,032249
0,011461








 −0,01604 

0,032249 

 ' 0 −1 0 0   −0,01604  0,01604 

=
u2 = 



0
0 0 0 −1  0,01027  





0




0,032249 

0   ' 0,6 −0,8 0
0   −0,01604  0,032172 
u
=
=



θ y   3  0
0
0,6 −0,8  0.017972  0,010775 



0




0





0
0

u ' =  1 0 0 0  
=
 4 0 0 1 0  0,01027  0,01027 



0




0,01027




 ' 1 0 0 0 
0

 =  0,01027 
u5 = 



0 0 1 0  0.017972 0.017972 




0



Çubuk kuvvetleri: P = [K][u']
P1
=
1767.72
-1767.72
-1767.72
x
1767.72
0
0.011461
=
-20.26
20.26
P2
=
2500
-2500
-2500
2500
x
0.01604
0
=
40.10
-40.10
P3
=
2000
-2000
-2000
2000
x
0.032172
0.010775
=
42.79
-42.79
P4
=
2500
-2500
-2500
2500
x
0
0.01027
=
-25.68
25.68
P5
=
3333.33
-3333.33
-3333.33
x
3333.33
0.01027
0.017972
=
-25.67
25.67
Çubuk kuvvetleri
Mesnet tepki kuvvetlerini hesaplanması,
1.
Bulmak istenen mesnet tepki kuvvetleri yönündeki sütunlar silinir.
2.
1. maddeden kalan matriste düğümlerde deplasman yapan yöndeki SATIRLAR silinir.
Düğüm
Deplasman
K
=
1
2
u1
v1
1603,6
-76,4
-883,6
-883,6
0
0
-720
960
-76,4
4663,6
-883,6
-883,6
0
-2500
960
-1280
u2
3
v2
u3
0
0
-2500
0
5833,3
0
-3333,3
0
4
v3
1
u4
u1
-720
960
0
0
-3333,3
0
4053,3
-960
2
v1
u2
3
v2
u3
4
v3
u4
v4
1
370
-883,6
-883,6
-883,6
-883,6
-2500
0
0
0
0
-2500
0
0
960
-1280
0
-960
2
3
4
BÖLÜM 7
MATRSĐ METODLARI
3.
1. ve 2. maddede silinenlerden sonra kalan matris bulunan deplasmanlarla çarpılarak mesnet kuvvetleri
hesaplanır.
Up
0,032249
-0,01604
0,01027
0,017972
Mesnet kuvvetleri
P =[K
-883,6
-883,6
0
960
60 kN
][U ]
-883,6 -2500 0
-883,6
0
0
-2500
0
0
-1280
0
-960
Mesnet tepki
kuvvetleri
P2x=-40 kN
P2y=-14.32 kN
P3y=40.10 kN
P4y=34.24 kN
-39,9973
-14,3223
40,1
34,23712
8m

40 kN
14.33 kN
K21
4.

40 kN
8m

6m
40.10 kN
34.24 kN
Düğümlerde denge yazılarak sonuçlar kontrol edilir.


∑ Px = 0
2 nolu düğüm örnek alınmıştır 

∑ P = 0


 y
P2x + 20.26 ⋅ cos 45 + 25.67 = 0
P2x = −39.996 kN
P2y + 20.26 ⋅ sin 45 = 0
P2 y = −14.33 kN
ÖRNEK 7.3: Şekilde verilen kafes siteminde,
a. nolu çubuğun çubuk kuvvetinin kesim yoluyla bulunması
b. Aynı çubuğun çubuk kuvvetinin rijitlik matrisi yöntemiyle bulunarak karşılaştırılması
c.
Mesnet tepki kuvvetlerinin rijitlik matrisi yöntemiyle bulunması
y

m
4

3 kN

v2
u4

P4x
4m
4m
v4

eleman
düğüm

P4y
3 kN

P5y

v6
x

u6
P5x
v3
u3
Çözüm: a. I-I doğrultusunda kesim yapılarak düğümünde düşey denge denklemi yazılarak nolu
çubuğun kuvveti aşağıdaki şekilde bulunur.
4.253
∑ Py
=0
− P5′ x sin 45 − 3 = 0
P5′ = −3kN
3 kN

o
45

P5′
4.253
Çözüm: b.
P2′
1.Düğüm ve elemanlar numaralandırılarak deplasman yönleri belirlenir.
2. Her elemanın lokal ve transformasyon matrisi için gerekli olan parametreler.
Eleman

Kesit (m2)
E (kN/m2)
L
-4
10
-4
10
-4
10
-4
10
-4
10
-4
10
(m)
Yönü
¡
¡
¡
¡
¡
¡
4
4
7
1.10
2
4
4
2
4
2
3. Her elemanın lokal rijitlik matrisi kurulur.
371
θx
θy
1
1
0.707
0
0.707
1
0
0
-0.707
-1
0.707
0
BÖLÜM 7
K=
MATRSĐ METODLARI
EA / L
−EA / L
−EA / L
EA / L
107 x10−4
4 2
k3=k5
1
-1
-1
1
177
-177
-177
177
=
10 7 x10 −4
4
k1= k2= k4=
k6
1 -1 250
-250
-1 1 -250
250
4. 3 düğümü örnek alınarak her elamanın global rijitlik matrisi kurulur.
[θ = 0]
T
(θ
θx=1 θy=0 K = T K’ T)
ui
vi
θy θ x
T
4
2
5
K= K= K
[θ = 0]
θ2y
- θy θ x
- θ2x
- θy θ x
- θ2y
θ2x
θy θ x
θy θ x
θ2y
[
]
4 (düğüm)
T
2
1
3
2
1
0
-1
0
0
0
0
0
-1
0
1
0
0
0
0
0
4
250
0
-250
0
0
0
0
0
-250
0
250
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
250
0
-250
0
0
0
0
0
-250
0
250
2
K
θ = 90 o
vj
θy θ x
- θy θ x
K
K
K
uj
- θ2x
- θy θ x
- θ2y
θ2x
[θ = −45 ]
o
3
-84.40
84.40
84.40
-84.40
-84.40
84.40
84.40
-84.40
84.40
84.40
-84.40
-84.40
-84.40
-84.40
84.40
84.40
3
[θ = 45 ]
o
84.40
-84.40
-84.40
84.40
1
84.40
84.40
-84.40
-84.40
K
2
3
84.40
-84.40
-84.40
84.40
K
4
-84.40
-84.40
84.40
84.40
5. Sistemin rijitlik matrisinin kurulması
3
v2
0
0
0
0
0
-250
0
0
0
0
u3
-88.4
-88.4
0
0
426.8
0
-88.4
88.4
-250
0
4
v3
-88.4
-88.4
0
-250
0
250
88.4
-88.4
0
0
u4
0
0
-250
0
88.4
88.4
338.4
-88.4
0
0
5
v4
0
0
0
0
-250
-88.4
-88.4
88.4
0
0
u5
0
0
0
0
0
0
0
0
250
0
v5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
U
u1
v1
u2
v2
u3
v3
u4
v4
u5
v5
P
=
P1x
P1y
P2x
P2y
P3x
P3y
P4x
P4y
P5x
P5y
Bilinen Dış
yükler
u2
-250
0
500
0
0
0
-250
0
0
0
UP
2
v1
88.4
88.4
0
0
-88.4
-88.4
0
0
0
0
PP
1
2
3
4
PR
Bilinmey
en
Mesnet
tep.(0)
K
1
u1
338.4
88.4
-250
0
-88.4
-88.4
0
0
0
0
UR = 0
Düğüm
U
5
Mesnet sınır şartlarından u4 = v4 = u5 = v5 = 0 satır ve sütunlarının silinmesiyle diğer düğümlerin
deplasmanları hesaplanır.
3
v2
0
0
0
0
0
-250
0
0
0
0
u3
-88.4
-88.4
0
0
426.8
0
-88.4
88.4
-250
0
4
v3
-88.4
-88.4
0
-250
0
250
88.4
-88.4
0
0
u4
0
0
-250
0
88.4
88.4
338.4
-88.4
0
0
K21
5
v4
0
0
0
0
-250
-88.4
-88.4
88.4
0
0
u5
0
0
0
0
0
0
0
0
250
0
K22
372
V5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
U
u1
v1
u2
v2
u3
v3
u4
v4
u5
v5
P
=
P1x
P1y
P2x
P2y
P3x
P3y
P4x
P4y
P5x
P5y
Bilinen Dış
yükler
u2
-250
0
500
0
0
0
-250
0
0
0
UP
2
v1
88.4
88.4
0
0
-88.4
-88.4
0
0
0
0
PP
1
2
3
4
Bilinmey
en
Mesnet
tep.(0)
K
1
u1
338.4
88.4
-250
0
-88.4
-88.4
0
0
0
0
UR = 0
Düğüm
U
PR
5
BÖLÜM 7
MATRSĐ METODLARI
338.4
88.4
-250
0
-88.4
-88.4
K
88.4
88.4
0
0
-88.4
-88.4
-250
0
500
0
0
0
0
0
0
0
0
-250
-88.4
-88.4
0
0
426.8
0
nolu çubuğun global deplasmanı
UG5
nolu çubuğun çubuk kuvveti
PP
UP
u1
v1
u2
v2
u3
v3
0
-3
0
-3
0
0
u1
v1
u2
v2
u3
v3
=
=
0.024
-0.05167
0.012
0.021783
-0.00573
0.012
 0.024  u1 
 − 0.05167   v 
 1
=
 −0.00573  u3 

 
 0.012   v 3 
0.707 0.707 0 0   0.024   −0.0196 

  − 0.05167  


=

=


  −0.00573  



 

0 0 0.707 0.707   0.012
  0.0044  4.253
u′5 = T5 UG5
nolu çubuğun global deplasmanı
-1
-88.4
-88.4
0
-250
0
250
UP
4.253
 177 − 177   −0.0196   −4.253 
=
kN
177   0.0044   4.253 
P5′ = k 5′ u5′ P5′ = 
 −177
Görüldüğü gibi kesim metodu ile bulunan sonucun aynısı bulunur.
1
d. Mesnet tepki kuvvetleri, PR = [K21 ] K−
[P ] = [K21 ][UP ] bağıntısıyla hesaplanır.
 11  P
UP (deplasmanlar)
0.024
-0.05167
0.012
0.021783
-0.00573
0.012
K21
=
0
0
-250
0
-88.4
88.4
0
0
0
0
0
0
0
88.4
-88.4
0
-250
0
0
0
0
0
0
0
P3x = -1.43267
P3y = -1.56733
P4x = 1.4325
P4y = 0
kN
PR (mesnet tepkileri)
ÖRNEK 1.4: Şekilde verilen kafes sistemde, A mesnedinin y (aşağı) yönünde ve B mesnedinin x
(sağa) yönünde 40 mm çökmeleri durumu için mesnet tepki kuvvetlerinin hesaplanması
y
v3
y
1 kN

2m
2m
y
u1

P3y
v1
u1

P3x
eleman
düğüm

v4
x
2m

P4y
v2
u4

x
u2
2m
x
P4x
Çözüm: Sistem daha önce çözüldüğü için rijitlik matrisi aynen alınmıştır.
373
BÖLÜM 7
MATRSĐ METODLARI
v1
3
u2
v2
4
u3
v3
K11
K
v4
K12
U
P
125
0
0
-500
0
-125
-125
u1
P1x
125
625
0
-500
0
0
-125
-125
v1
P1y
0
0
625
-125
-125
125
-500
0
u2
P2x
0
-500
-125
625
125
-125
0
0
v2
P2y
-500
0
-125
125
625
-125
0
0
u3=0.04
P3x
0
0
125
-125
-125
625
0
-500
v3=0.00
P3y
-125
-125
-500
0
0
0
625
125
u4=0.00
-125
-125
0
0
0
-500
125
625
v4=-0.04
K21
PP
UP
625
=
UR = 0
=
u4
PP
PR
P4x
P4y
K21 (mesnet düğüm noktaları)
UR
K11 (serbest düğüm noktaları)
-500
0
-125
125
u3=0.04
625
125
0
0
0
0
125
-125
v3=0.00
125
625
0
-500
-125
-125
-500
0
u4=0.00
0
0
625
-125
-125
-125
0
0
v4=-0.04
0
-500
-125
625
0
PP
K22UR
20
-15
10
0
K11
5
=
0
35
10-5=5
0+5=5
0+5=5
20+15=
=
(serbest düğüm noktaları)
625
125
0
125
0
625
0
-500
0
625
-125
0
-500
-125
625
K11
(serbest düğüm noktaları)
-5
PP -K22UR
+
0
+
-5
3
4
UP
10
=
2
K22
20
0
1
Bilinen Dış
yükler
2
u1
Bilinmeyen
Mesnet tep.(0)
1
Düğüm
U
UP
UP
u1
v1
u2
v2
u1= -0,03455
v1= 0,132727
u2= 0,065455
v2= 0,127273
UP
625
125
0
0
125
625
0
-500
0
0
625
-125
0
-500
-125
625
u1
v1
u2
v2
u1
v1
u2
v2
UP
u1=
v1=
u2=
v2=
0,061818
-0,02909
0,001818
-0,03091
UP
(deplasmanlar)
0,061818
-0,02909
0,001818
0,052727
0,016364
0,012727
0,023636
-25
-1,36364
-15
-8,63636
-0,03091
K21
-500
0
-125
125
-35
0
0
125
-125
4,090909
-125
-125
-500
0
-5
-125
-125
0
0
-4,09091
20
+
0
0
P3x = -15
=
-14.0909
PR (mesnet tepkileri)
374
P3y = 4.0909
P4x =-5
P4y = -18.18
kN
BÖLÜM 7
MATRSĐ METODLARI
ÖRNEK 26: Şekilde verilen kafes sistemin çubuk kuvvetlerinin bulunması [EA=sabit]

10 kN
6m

6m
6m
ÇÖZÜM: Eleman rijitlik matrisleri aşağıdaki şekilde elde edilir.
Eleman
1,2,4
K1-4= K2-3= K4-5=
EA
6
o
θ = 0


0
-1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0.5
-0.5
2,4
EA
6 2
o
θ = 45


0
EA
6
K2-1= K3-4=
o
θ = 90


-0.5
0.5
0.5
-0.5
-0.5
-0.5
-0.5
0.5
0.5
-0.5
-0.5
0.5
0.5
K1-3=
1,4
0
0
0
0
1
0
-1
0
0
1
0
0
-1
0
1
0.5
-0.5
-0.5
-0.5
Eleman
3,5
0.5
2,3
0
-1
Eleman
K2-4= K3-5=
Eleman
4,3,5
1
1
0.5
EA
6 2
o
θ = −45


3
0.5
0.5
-0.5
-0.5
-0.5
0.5
0.5
-0.5
-0.5
0.5
0.5
Sistem rijitlik matrisi aşağıdaki şekilde oluşturulur.
u2
3
v2
u3
4
v3
5
u4
v4
u5
v5
U
P
-0. 354
0
0
-0. 354 0.354
-1
0
0
0
u1
P1x
1.354
0
-1
0.354 -0. 354
0
0
0
0
v1
P1y
0
0
1.354
0.354
-1
0
-0. 354 -0. 354
0
0
u4
P4x
0
-1
0.354
1.354
0
0
-0. 354 -0. 354
0
0
v4
-0. 354 0.354
-1
0
1.707
0
0
0
-0. 354 -0. 354
u3
0.354 -0. 354
0
0
0
1.707
0
-1
-0. 354 -0. 354
v3
-1
0
-0. 354 -0. 354
0
0
2.354
0.354
-1
0
u4
0
0
-0. 354 -0. 354
0
-1
0.354
0.354
0
0
v4
0
0
0
0
-0. 354 -0. 354
0
0
1.354
0.354
u5
0
0
0
0
-0. 354 -0. 354
0
0
0.354 -0. 354
v5
K41
UP
1.354
-0. 354
P4y
=
Bilinen Dış yükler
2
v1
1
4
PP
P3x
P3y
P4x
UR = 0
K
1
u1
Bilinmeyen
Mesnet
tep.(0)
Düğüm
Deplasma
n
P4y
P5x
P5y
PR
4
3
5
K44
Sistem rijitlik matrisinde mesnet sınır şartları işlendikten sonra aşağıdaki matris elde edilmiştir.
Deplasman
K
=
u2
v2
u3
v3
u4
u5
1.354
0.354
-1
0
-0. 354
0
0.354
1.354
0
0
-0. 354
0
v2
-1
0
1.704
0
0
-0. 354
u3
0
0
0
1.704
0
-0. 354
-0. 354
-0. 354
0
0
2.354
-1
u4
0
0
-0. 354
-0. 354
0
1.354
u5
Deplasman
u2
X
v3
=
=
=
=
=
=
10
0
0
0
0
0
u2=117.873
v2=-21.501
u3=79.374
v3=10.321
u4=35.635
u5=49.679
Yukarıdaki rijitlik matrisi çözülerek bilinmeyen deplasmanlar bulunmuştur. Bu deplasmanlar
kullanılarak çubuk uç kuvvetleri aşağıdaki şekilde elde edilmiştir.
375
BÖLÜM 7
u1′ = T1UG1
MATRSĐ METODLARI
0  u1 
θ x θ y 0

 
  v1 
= 
 u 

 4
0 0 θ x θ y   v 4 
u1′ = T1 UG1
1

EA 
=
6 

0
0
0
0
1
0  0
 0 
 0
 


=
 kN
 35.635  


 

0  0
 5.94 
Veya
P1x 
1 0 0 0  1


0 1 0 0  0
P
EA
1Y

=

x
P4x 
6 0 0 1 0   −1



 
P4Y 
0 0 0 1  0
0 − 1 0  0
  −5.94 
 0

0 0 0  0
=

x
0 1 0  35.635 / EA  5.94 
 
 

0 0 0  0
 0

P2x 
1 0 0 0  1



 



 
P2Y 
0 1 0 0   0

 EA 
 

=

x
6 
P 
0 0 1 0   −1
 3x 

 



 


0 0 0 1   0
P

 
 3Y 
0 − 1 0  117.873 / EA  6.42 
 
 

 
 


0 0 0   −21.501/ EA  0
 
 

x
=
 
 

0 1 0  79.374 / EA   −6.42 
 
 

 
 






0 0 0  10.321/ EA  0

P2x 
1 0 0 0  0 0 0 0  117.873 / EA   −3.58 



 
 
 




 
 
 

P2Y 
0 1 0 0  0 1 0 − 1  −21.501/ EA  0


 EA 
 
 
 

x
x
=

=

 
 
 

6 
P 
 3.58 
0 0 1 0  0 0 0 0  0
 1x 

 
 
 




 
 
 




 
 
 

0 0 0 1  0 − 1 0 1 0
 0

P1Y 
5.94
P4x 
1 0






P4Y 
0 1

 EA 
=



6 
P 
0 0
 5x 







0 0
P5Y 
− 1/ 2 0 0  0.5 − 0.5
 
 

2 1/ 2 0 0   −0.5 0.5

x
 
0 1/ 2 − 1/ 2   −0.5 0.5
 
 
0 − 1/ 2 1/ 2  0.5 − 0.5
0 0  1
 
 
0 0  0
 
x
1 0   −1
 
 
0 1  0
0 − 1 0  35.635 / EA   −2.36 

 
 

 
 

 0
0 0 0  0

 
 
x
=

 
 
0 1 0   49.679 / EA  2.36 

 
 

 
 





0 0 0  0
0

 
P3 x 
1 0 0 0  0 0 0 0  79.374 / EA  1.72 



 
 
 




 
 
 

P3Y 
0 1 0 0  0 1 0 − 1 10.371/ EA  0


 EA 
 
 
 

x
x
=

=

 
 
 

6 
P 






0 0 1 0
0 0 0 0
35.635 / EA
−1.72 
 4x 

 
 
 




 
 
 




 
 
 

0 0 0 1  0 − 1 0 1 0
 0

P4Y 
1/ 2 1/ 2 0 0  0.5 0.5 − 0.5 − 0.5  79.374 / EA  3.33 
P3x 

 


 
 


 


 
 


 
P3Y 

−1/ 2 1/ 2 0 0  0.5 0.5 − 0.5 − 0.5  10.321/ EA  0

 EA 

 
 


x

=
x
=



6
2
P 

 
 

0 0 1/ 2 1/ 2   −0.5 − 0.5 0.5 0.5   49.769 / EA   −3.33 
 5x 

 


 
 


 


 
 



−
0.5
−
0.5
0.5
0.5
0
0
P
 
 

 5Y 
0 0 − 1/ 2 1/ 2  
2
5.94
y
1/ 2 1/ 2 0 0  0.5 0.5 − 0.5 − 0.5  117.873 / EA  5.06 
P2x 

 


 
 


 


 
 



P 

−1/ 2 1/ 2 0 0  0.5 0.5 − 0.5 − 0.5   −21.501/ EA  0
 2Y  EA 

 
 


x

=
x
=

 
P  6 2 




−0.5 − 0.5 0.5 0.5
35.635 / EA
−5.06 


0
0
1/
2
1/
2
4x



 
 


 


 
 


 







0
0 0 − 1/ 2 1/ 2   −0.5 − 0.5 0.5 0.5  0



P4Y 


1/
P1x 







P1Y 
1/

 EA 


=
P  6 2 
0
 3x 






0
P3Y 


x
− 0.5 0.5  0
  −5.75 
 
 

 
 

 0

0.5 − 0.5  0
 
 

x
=
 
 





0.5 − 0.5
79.734 / EA
5.75 
 
 

 
 


− 0.5 0.5  10.321/ EA  0

∑ FX = 0 ⇒
5.94 + 5.75cos 45 = 10 kN
∑ Fy = 0 ⇒
3.58 + 5.75 sin 45 = 7.65 kN
Mesnet ve düğümlerde kontrol
376
5.06

x
y

5.06
3.33

x
y

3.33
3.58
5.75

5.94
BÖLÜM 7
MATRSĐ METODLARI
12. Mesnet tepki kuvvetleri tablodaki gibi hesaplanır.
u3
v3
u4
v4
125
0
0
-500
0
-125
-125
625
0
-500
0
0
-125
-125
K11
K12
U
0
0
625
-125
-125
125
-500
0
0
-500
-125
625
-125
-125
0
0
-500
0
-125
-125
625
-125
0
0
0
0
125
-125
-125
625
0
-500
-125
-125
-500
0
0
0
625
125
-125
-125
0
0
0
-500
125
625
K
K21
u1
v1
u2
v2
u3
v3
u4
v4
P
=
P1x=0
P1y=1
P2x=0
P2y=0
P3x
P3y
P4x
P4y
=
PP
PR
1
3
2
4
K22
UP (deplasmanlar)
-0.001090
0.005455
0.000909
0.004545
Mesnet tepki kuvvetleri PR = [K 21]  K1−11  [PP ] = [ K 21][UP ]


K21
Düğüm
125
4
v2
Uygulana
n Dış
Yükler
625
3
u2
Mesnet
tepki
kuvvetleri
2
v1
UP
1
u1
UR = 0
Düğüm
Deplasman
P
-500
0
-125
125
P3x = 0.9995
0
0
125
-125
P3y = -0.4545
-125
-125
-500
0
P4x = -1.00013
-125
-125
0
0
P4y = -0.54563
R
(m
esn
et
tep
kile
Sistem rijitlik matrisi aşağıdaki şekilde oluşturulur.
v2
1.354
-0. 354
0
0
-0. 354
1.354
0
-1
u3
4
v3
5
U
u4
v4
u5
v5
-0. 354 0.354
-1
0
0
0
u1
0.354 -0. 354
0
0
0
0
v1
0
0
1.354
0.354
-1
0
-0. 354 -0. 354
0
0
u4
0
-1
0.354
1.354
0
0
-0. 354 -0. 354
0
0
v4
-0. 354 0.354
-1
0
1.707
0
0
0
-0. 354 -0. 354
u3
0.354 -0. 354
0
0
0
1.707
0
-1
-0. 354 -0. 354
v3
-1
0
-0. 354 -0. 354
0
0
2.354
0.354
-1
0
u4
0
0
-0. 354 -0. 354
0
-1
0.354
0.354
0
0
v4
0
0
0
0
-0. 354 -0. 354
0
0
1.354
0.354
u5
0
0
0
0
-0. 354 -0. 354
0
0
0.354 -0. 354
v5
K41
P
=
P1x
P1y
P4x
P4y
P3x
P3y
P4x
P4y
P5x
P5y
Bilinen Dış
yükler
3
u2
UP
2
v1
PP
K
=
u2
v2
u3
v3
u4
u5
0.354
-1
0
-0. 354
0
0.354
1.354
0
0
-0. 354
0
-1
0
1.704
0
0
-0. 354
0
0
0
1.704
0
-0. 354
-0. 354
-0. 354
0
0
2.354
-1
0
0
-0. 354
-0. 354
0
1.354
Deplasman
X
u2
v2
u3
v3
u4
u5
=
=
=
=
=
=
1
Mesnet tepki kuvvetleri PR = [K21 ]  K−
[P ] = [ K21 ][UP ]
 11  P
Deplasman
K
=
u1
v1
v4
v5
1.354
-0. 354
0
0
-0. 354
1.354
0
0
0
0
0,354
0
0
0
0
-0. 354
Deplasman
=
=
=
=
10
0
0
0
377
u2=117.873
v2=-21.501
u3=79.374
v3=10.321
10
0
0
0
0
0
3
5
K44
1.354
4
4
PR
Sistem rijitlik matrisinde mesnet sınır şartları işlendikten sonra aşağıdaki matris elde edilmiştir.
Deplasman
1
Bilinmey
en
Mesnet
tep.(0)
K
1
u1
UR = 0
Düğüm
Deplasma
n
u2=117.873
v2=-21.501
u3=79.374
v3=10.321
u4=35.635
u5=49.679
BÖLÜM 7
MATRSĐ METODLARI
1.4. EĞĐLMEYE ÇALIŞAN KĐRĐŞ VE ÇERÇEVE ELEMANLARIN RĐJĐTLĐK MATRĐSĐ
Kiriş ve çerçeve elamanların kafes elemanlardan farkı bu elemanların eğilmeye çalışmasından
kaynaklanan dönme etkisinin bulunmasıdır.
Eğilmeye çalışan bir elemanın uçlarına yapılan birim
yüklemelerden dolayı oluşan uç değerleri aşağıdaki şekilde verilmektedir.
i
2
i
2
6EI
L2
4EI
L
i
6EI
L2
ϕi
6EI
2
i L
2EI
L
P1 v1
E,A, I
M1ϕ1
P1 u1
2
i
EA
L
M2ϕ2
u1=1
1
ÇEKME
u2=1
2
L
EA
L
2
i
EA
L
EA
L
BASINÇ
v2=1
12EI
L3
2
i
P2 u2
2
i
6EI
L2 2
12EI
L3
P2 v2
4EI
L
2
6EI
i L2
12EI
L3
12EI
L3
6EI
L2
ϕ2
L2
i
6EI
L2 2
v1=1
2
154,07
6EI
2EI
L
2
i
2
i
Şekil 10.7. Çerçeve elemanında uç deplasman ve kuvvetleri
Đki ucu eğilmeli [k] bir çubukta sonuç uç momentleri
Şekil
i ucu
değiştirme Momenti
k
i
i ucu
dönüşü
4EI
ϕi
L
k ucu
dönüşü
2EI
ϕk
L
i
TOPLAM [ k çubuğu]
2EI
ϕk
L
3EI
ϕi
L
4EI
ϕi
L
0
k
k
k
i
P
−M ik
−
δ
q
k
i
Mik =
4EI
2EI
6EI
ϕi +
ϕk − 2 δ − Mik
L
L
L
Mki =
4EI
2EI
6EI
ϕk +
ϕi + 2 δ + Mki
L
L
L
Qi = Qi −
i ucu
Momenti
ϕk
6EI
k ucu
− 2 δ
deplasmanı
L
i ucu
ankastrelik
momenti
k ucu
Momenti
ϕi
i
Bir ucu eğilmeli [k’] bir çubukta sonuç uç momentleri
i
k
k
EA
L
Pv11 =
12EI 6EI
+ 2
L3
L
Pu1v1 = 0 Pu1ϕ 1 = 0
3EI
δ
L2
M ki
M ik
k
i
P
3EI
3EI
ϕi + 2 δ + Mik
L
L
Mki = 0
Mϕ 11 =
EA
L
Qi = Qi +
3EI
3EI
ϕi − 3 δ
L2
L
Qk = Qi +
3EI
3EI
ϕi − 3 δ
L2
L
4EI 6EI
+ 2
L
L

Pv 2u1 = 0 Pu1ϕ 2 = 0 

 K11



1 düğümündeki şekil değiştirmeden dolayı 2 düğümünde oluşan kesit tesirleri
Pu12 = −
EA
L
Pv12 = −
12EI 6EI
− 2
L3
L
Mϕ 12 =
2EI 6EI 
+ 2 K12
L
L 
378
δ
0
k
M ki = 0
q
i
Mik =
Pu21 = −
0
ϕk
1 düğümündeki şekil değiştirmeden dolayı 1 düğümünde oluşan kesit tesirleri
Pu11 =
0
ϕi
i
6EI
δ
L2
6EI
6EI
12EI
ϕi − 2 ϕk + 3 δ
L2
L
L
k ucu
Momenti
k
i
6EI
6EI
12EI
ϕi − 2 ϕk + 3 δ
L2
L
L
Qk = Qk −
q
P
TOPLAM [k’ çubuğu]
q
P
BÖLÜM 7
MATRSĐ METODLARI
2 düğümündeki şekil değiştirmeden dolayı 2 düğümünde oluşan kesit tesirleri
Pu22 =
EA
L
Pv 22 =
12EI 6EI
− 2
L3
L
Mϕ 22 =
4EI 6EI 
− 2  K 22
L
L 
2 düğümündeki şekil değiştirmeden dolayı 1 düğümünde oluşan kesit tesirleri
Pu21 = −
EA
L
Pv 21 = −
12EI 6EI
+ 2
L3
L
Mϕ 21 =
2EI 6EI 
− 2  K 21
L
L 
Bu değerler matris formunda aşağıdaki şekilde yazılarak elemanın rijitlik matrisi elde edilir. Bu rijitlik
matrisi her eleman için uygulanabilir. Sistemde yatay yük bulunmaması durumunda bu yöndeki
terimler sıfır alınarak elemanın rijitlik matrisi elde edilir.
düğüm
deplasman
K12
=
1
u1
v1
2
ϕ1
u2
v2
ϕ2
EA
L
0
0
u1
0
- 12EI
L
6EI
L2
v1
6EI
L2
2EI
L
ϕ1
EA
L
0
0
0
12EI
L3
6EI
L2
0
6EI
L2
4EI
L
0
- EA
L
0
0
EA
L
0
0
u2
0
12EI
L3
- 6EI
L
v2
0
- 6EI
L
4EI
L
ϕ2
-
12EI
6EI
0 - L -L
0
3
2
6EI
L2
2EI
L
=
K
3
-
2
2
k12
u
Eksenel kuvvetten dolayı çubukta kesme ve moment değerleri oluşmayacağından dolayı çubuğun her
iki ucundaki dönüş ve çubuk eksenine dik şekil değiştirme,
v1u1=u1v1=0, ϕ1u1=u1ϕ1=0, v2u1=u2v1=0, ϕ2u1= u2ϕ1=0,
u1v2=u2v2=0, u1ϕ2=u2ϕ2=0, v1u2=u2v2=0, ϕ1u2= u2ϕ2=0,
P5 sinφ
P5
x
P6
Lokal
eksen
P4
y
P2 sinφ
P2
P2 cos φ
P6
x
Yatay kuvvetin
φ
P3
Düşey kuvvetin
P2
x
P5
P4
P2
φ
P3
y
y
P5
y
P1
P5 cos φ
Düşey kuvvetin
terimleri sıfır olmaktadır.
x
Global
eksen P4 sinφ
P1
Yatay kuvvetin
z
P1
P1 sinφ
P1 cos φ
Her bir uç için kuvvet dengesi yazılacak olur ise,
P1 = P1 cos φ + P2 sin φ
P2 = −P1 sin φ + P2 cos φ
P3 = P3
379
P4
P4 cos φ
BÖLÜM 7
MATRSĐ METODLARI
P4 = P4 cosφ+P5 sinφ
P5 =− P4 sinφ+P5 cosφ
P6 = P6
şeklinde elde edilir. Yani global eksendeki değerler lokal eksene aşağıdaki şekilde matris formatında
yazılarak elde edilir.
P=TP
1
P1
cos φ
sin φ
0
0
0
0
P1
2
P2
-sin φ
cos φ
0
0
0
0
P2
3
P3
0
0
1
0
0
0
P3
0
0
0
cos φ
sin φ
0
P4
=
4
P4
5
P5
0
0
0
-sin φ
cos φ
0
P5
6
P6
0
0
0
0
0
1
P6
=
P
T
P
Aynı şekilde global eksendeki deplasmanlar lokal eksendeki deplasmanlara aşağıdaki şekilde
dönüştürülür.
Lokal şekil değiştirmeler = Transformasyon matrisi i Global şekil değiştirmeler
1
2
U1
cos φ
sin φ
0
0
0
0
u1
V1
-sin φ
cos φ
0
0
0
0
v1
0
0
0
ϕ1
sin φ
0
u2
cos φ
0
v2
0
1
ϕ1
3
4
0
=
U2
5
0
ϕ2
cos φ
0
0
0
LOKAL
1
0
0
V2
6
0
-sin φ
0
0
0
=
0
ϕ2
GLOBAL
T
Burada da global eksendeki terimler aşağıdaki şekilde bulunur. devam
P1 = P1 cos φ + P2 sin φ
P2 = −P1 sin φ + P2 cos φ
P4 = P4 cosφ+P5 sinφ
P5 =− P4 sinφ+P5 cosφ
P3 = P3
P6 = P6
Deplasmanların yazılması durumunda ise aşağıdaki transformasyon matrisi elde edilir.
1
δ1
cos φ
sin φ
0
0
0
0
δ1
2
δ2
-sin φ
cos φ
0
0
0
0
δ2
3
δ3
0
0
1
0
0
0
δ3
4
δ4
0
0
0
cos φ
sin φ
0
δ4
5
δ5
0
0
0
-sin φ
cos φ
0
δ5
6
δ6
0
0
0
0
0
1
δ6
δ
=
=
T
δ
y’ [v’]
Py2
y’ [v’]
y2
P′y1
Pz1
Pz2
θ
x [u]
1
z1
z2
x1
x2
380
Px2
θ Py1
z’ [w’]
y1
(Lokal eksen)
P′x2
2
θ
Px1
P′x1
x’ [u’]
P′y2
y [v]
(global eksen)
BÖLÜM 7
MATRSĐ METODLARI
ELEMAN GENEL RĐJĐTLĐK MATRĐSĐ
Global yani sistemin genel eksen takımına göre elemanın yatay ve düşeyle yapığı açıları dikkate
alınarak elemanın genel rijitlik matrisi aşağıdaki şekilde elde edilir.
P = TT P T
Global yani sistemin genel eksen takımına göre elemanın yatay ve düşeyle yapığı açıları dikkate
alınarak elemanın genel rijitlik matrisi aşağıdaki şekilde elde edilir.
k = TT k T
K
EA
L
0
0
0
12EI
L3
0
- EA
L
0
0
T
EA
L
0
0
φx
φy
0
0
0
0
6EI
L2
0
- 12EI
L
6EI
L2
-φy
φx
0
0
0
0
6EI
L2
4EI
L
0
- 6EI
L
2EI
L
0
0
1
0
0
0
0
0
EA
L
0
0
0
0
0
φx
φy
0
- 12EI
- 6EI
L
L
3
2
0
12EI
L3
- 6EI
L
0
0
0
-φy
φx
0
6EI
L2
2EI
L
0
- 6EI
L
4EI
L
0
0
0
0
0
1
 Aθ2 12θ2y 
 x + 2 
I
L 

 A 12 
 I − 2  θx θy
L 

 A 12 
 I − 2  θx θy
L 

 Aθ2y 12θ2 

+ 2x
L 
 I
 6θx 


 L 
 6θy 
−

 L 
 6θx 


 L 
[4]
 6θy 


 L 
 6θx 
−

 L 
[2]
 6θy 


 L 
 Aθ2 12θ2y 
 x + 2 
L 
 I
 A 12 
 I − 2  θx θy
L 

 6θy 


 L 
2
 2
φ x −  A − 12  θ θ −  Aθy + 12θ x   − 6θx   A − 12  θ θ
I

 x y
2  x y
L 
L2   L   I L2 

 I
 Aθ2y 12θ2 

+ 2x
L 
 I
 6θx 
−

 L 
 6θx 
−

 L 
[4]
-
3
2
2
2
12EI
6EI
12EI
6EI
EA
EA
− 3 φy − 2 φy −
φy − 2 φ y
φx
3
φx 0 0 0 0 L φx
L
L
L
L
L
φy
EA
φy φx 0 0 0 0 L φy
0 010 00
0
12EI
L3
φx
6EI
L2
12EI
EA
φ
0 0 0φx 0 − L φx L3 y
φy
6EI
L2
φx
−
EA
12EI
φy − 3 φ x
L
L
4EI
L
6EI
L2
φy
−
0
EA
φx
L
−
6EI
EA
EA
12EI
−
φ
0 0 0φy φx 0 − L φy − L3 φ x L2 x L φy
0 000 01
0
6EI
L2
2EI
L
TT
L3
φy
φx
6EI
L2
−
φy
6EI
6EI
L2
L2
4EI
L
 Aθ2 12θ2y   A 12 
−  x + 2   − + 2  θx θ y
L   I L 
 I
 6θy 
−

 L 
 6θx 


 L 
1
Düğüm
 EI 
L
 
 Aθ2y 12θ2 
 A 12 
x
 − I + 2  θx θ y −  I + 2 
L 
L 


 6θy 


 L 
[2]
 EI 
L
 
T TK
Şekil değ.
K=
L3
φx
2EI
L
L2
12EI
−
L2
6EI
12EI
0
6EI
 6θy   Aθ2 12θ2y   A 12 
 6θy 
 −  x + 2  −  − 2  θx θ y  −

−
L   I
L 
L   I L 

 


 6θx 


 L 
TTKT
2
u1
v1
ϕ1
u2
v2
ϕ2
 Aθ2 12θ2y 
 x + 2 
L 
 I
 A 12 
 I − 2  θx θy
L 

 6θy 

−
 L 
 Aθ2 12θ2y 
− x + 2 
L 
 I
 A 12 
−  − 2  θx θ y
I L 
 6θy 
−

 L 
 A 12 
 I − 2  θx θy
L 

 Aθ2y 12θ2 

+ 2x
L 
 I
 6θx 


 L 
 A 12 
 − I + 2  θx θ y
L 

 Aθ2y 12θ2 
−
+ 2x
L 
 I
 6θx 


 L 
 6θy 
−

 L 
 6θx 


 L 
[4]
 6θy 


 L 
 6θx 
−

 L 
[2]
 Aθ2 12θ2y 
− x + 2 
I
L 

 A 12 
 − I + 2  θx θ y
L 

 6θy 


L 


 Aθ2 12θ2y 
 x + 2 
I
L 

 A 12 
 I − 2  θx θy
L 

 6θy 


L 


 A 12 
−  − 2  θx θ y
I L 
 Aθ2y 12θ2 
−
+ 2x
L 
 I
 6θx 
−

 L 
 A 12 
 I − 2  θx θy
L 

 Aθ2y 12θ2 

+ 2x
L 
 I
 6θx 
−

 L 
 6θy 
−

 L 
 6θx 


 L 
[2]
 6θy 


 L 
 6θx 
−

 L 
[4]
381
BÖLÜM 7
MATRSĐ METODLARI
Eleman rijitlik matrisleri aşağıdaki şekilde hesaplanır.
Deplasmandan [δ
δ] oluşan moment ve kesme
Dönüş açısından [ϕ] oluşan Moment ve Kesme
ϕi
k
i
i
Mik
Mki
_
4EI
ϕi
L
_
k
i
Mi =
δ
k
Mk =
2EI
ϕi
L
Mi =
6EI
δ
L2
+
M'den oluşan kesme kuvvetleri
 4EI 2EI 
 L + L  ϕi 6EI
 =
ϕi
Vi = Vk = 
L2
L
Mk =
6EI
δ
L2
+
δ ' dan oluşan kesme kuvvetleri
6EI 
 6EI
δ
+
δ
 L2
L2  12EI
Vi = Vk = 
= 3 δ
L
L
y’ [v’]
Py2
y [v]
y’ [v’]
y2
2
Pz1
M=0
Vbilinmiyor
Nbilinmiyor
M=0
Vbilinmiyor
Nbilinmiyor
Px2
Pz2
k’
θ
Px1
P′x1
(Lokal eksen)
P′x2
θ
P′y1
y1
x’ [u’]
P′y2
x [u]
1
(global eksen)
θ Py1
M=0
Vbilinmiyor
Nbilinmiyor
z’ [w’]
M=0
Vbilinmiyor
Nbilinmiyor
k’ k’
Mbilinmiyor
Vbilinmiyor
Nbilinmiyor
k’
z1
z2
x1
Mbilinmiyor
Vbilinmiyor
Nbilinmiyor
k’
Diğerleri k
k’
k’
k’
x2
K’ çubuğu
i
k’
k’
k’
k’
k’
ϕi
k’
L
k
k
i
Mik
k
i
Mik
382
+
BÖLÜM 7
MATRSĐ METODLARI
P
q
(K’ ÇUBUĞU SAĞ UCU MOMENT ALMAYAN)
k
i
1 düğümündeki şekil değiştirmeden dolayı 1 düğümünde oluşan kesit tesirleri





EA
Pu21 = −
Pv2u1 = 0 Pu1ϕ 2 = 0
 K11
L



3EI 3EI
3EI 3EI 
+ 2
Pv11 = 3 + 2
Mϕ 11 =
L
L
L
L 
Pu11 =
EA
L
Pu1v1 = 0 Pu1ϕ 1 = 0
1 düğümündeki şekil değiştirmeden dolayı 2 düğümünde oluşan kesit tesirleri
Pu12 = −
EA
L
Pv12 = −
3EI 3EI
− 2
L3
L

Mϕ 12 = 0  K12

2 düğümündeki şekil değiştirmeden dolayı 2 düğümünde oluşan kesit tesirleri
Pu22 =
EA
L
Pv22 =

Mϕ 22 = 0 K 22

3EI
L3
2 düğümündeki şekil değiştirmeden dolayı 1 düğümünde oluşan kesit tesirleri
Pu21 = −
EA
L
Pv 21 = −
3EI
L3
Mϕ 21 = −
3EI 
 K 21
L2 
Bu değerler matris formunda aşağıdaki şekilde yazılarak elemanın rijitlik matrisi elde edilir. Bu rijitlik
matrisi her eleman için uygulanabilir. Sistemde yatay yük bulunmaması durumunda bu yöndeki
terimler sıfır alınarak elemanın rijitlik matrisi elde edilir.
düğüm
deplasman
k12
K
=
=
1
u1
2
v1
ϕ1
u2
v2
ϕ2
EA
L
0
0
u1
EA
L
0
0
0
3EI
L3
3EI
L2
0
- 3EI
L
0
v1
0
3EI
L2
3EI
L
0
- 3EI
L
2
0
ϕ1
- EA
L
0
0
EA
L
0
0
u2
0
0
- 3EI
L
- 3EI
L
3EI
L3
0
0
0
v2
0
0
0
3
-
2
3
0
ϕ2
u
k12
P
(K’ ÇUBUĞU SAĞ UCU MOMENT ALMAYAN) ELEMAN GENEL RĐJĐTLĐK MATRĐSĐ
i
q
k
En genel halde bulunan bir elemanın sistemin genel eksen takımına (global) göre elemanın yatay ve
düşeyle yapığı açıları dikkate alınarak elemanın genel rijitlik matrisi aşağıdaki şekilde elde edilir.
k = TT k T
383
BÖLÜM 7
MATRSĐ METODLARI
K
T
EA
L
0
0
EA
L
0
3EI
L3
3EI
L2
0
0
3EI
L2
3EI
L
0
EA
L
0
0
3EI
L2
-
3EI
L3
-
0
0
EA
φx -φy 0 0 0 0 L φx
φy φx 0 0 0 0
EA
φy
L
0 0 10 0 0
0
−
-
φy
0
0
0
0
-
3EI
L3
0
-φy
φx
0
0
0
0
-
3EI
L2
0
0
0
1
0
0
0
EA
L
0
0
0
0
0
φx
φy
0
0
3EI
L3
0
0
0
0
-φy
φx
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
 Aθ2 3θ2y 
 x + 2 
L 
 I
A 3 
 I − 2  θ x θy
L 

 3θy 

−
 L 
 Aθ2 3θ2y 
− x + 2 
L 
 I
 A 3
 − I + 2  θx θ y
L 

0
3EI
EA
φy − 3 φx 0
L
L
A 3 
 −  θ x θy
 I L2 
 Aθ2y 3θ2 

+ 2x 
L 
 I
 3θx 


 L 
 A 3
 − +  θx θ y
 I L2 
 Aθ2y 3θ2 
−
+ 2x 
I
L 

0
 3θy 
−

L 


 3θx 


 L 
[3]
 3θy 


L 


 3θx 
−

 L 
0
 A 3
 − I + 2  θx θ y
L 

 3θy 


L 


 Aθ2 3θ2y 
 x + 2 
I
L 

A 3 
 I − 2  θ x θy
L 

0
 Aθ2y 3θ2 
−
+ 2x 
L 
 I
 3θx 
−

 L 
A 3 
 I − 2  θ x θy
L 

 Aθ2y 3θ2 

+ 2x 
I
L 

0
0
0
0
0
0
v1
φ1
v2
φ2
0
0
3EI
EA
−
φx
L
L3
φy −
3EI
φx
L3
−
3EI
L
L2
3EI
φx
L2
3EI
φy
L2
3EI
φy
3EI
3EI
0
0
−
3EI
L3
3EI
2
 2
φy 0 −  Aθ x + 3θy 
2
I
L 

0  − A + 3  θ x θ y
2
φx
L3
0
0
L2
3EI
−
EA
φy
L
0
φy
L3
EA
φx
L
φy
L2
3EI
0
EA
0 0 0φy φx 0 − L φy − L3 φx − L2 φx
0 0 00 0 1
φx
0
L3
EA
0
3EI
3EI
0 0 0φx -φy 0 − L φx
0

0
L 
I
0
0
u1
TT
u2
[EI / L] TT k T
T
T k
Yukarıda sağ ucu moment taşımayan elemana benzer şekilde sol ucu moment taşımayan (k’)
elemanın genel rijitlik matrisi aşağıdaki şekilde elde edilir.
k = TT k T
K
-
EA
L
0
0
3EI
L3
0
0
EA
L
0
-
0
φx
EA
0 0 0 0 L φx
φy
φy φx 0 0 0 0
EA
φy
L
0 010 00
0
EA
0 0 0 φx 0 − L φx
φy
−
0
0
φx
φy
0
0
0
0
0
0
3EI
- 3
L
3EI
L2
-φy
φx
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
EA
L
0
0
0
0
0
φx
φy
0
3EI
L3
0
0
3EI
L3
3EI
L2
0
0
0
-φy
φx
0
3EI
L2
0
0
3EI
L
0
0
0
0
0
1
 Aθ2 3θ2y 
 x + 2 
L 
 I
A 3 
 I − 2  θ x θy
L 

0
 Aθ2 3θ2y 
− x + 2 
L 
 I
3
 A 3
 − I + 2  θ x θ y − L φy
L 

φx
A 3 
 I − 2  θ x θy
L 

 Aθ2y 3θ2 

+ 2x 
L 
 I
0
 A 3
 − I + 2  θx θ y
L 

 Aθ2y 3θ2 
−
+ 2x 
L 
 I
3
φx
L
0
0
0
0
0
0
φy
 Aθ2 3θ2y 
− x + 2 
I
L 

 A 3
 − +  θx θ y
 I L2 
0
 Aθ2 3θ2y 
 x + 2 
I
L 

A 3 
 I − 2  θ x θy
L 

3
φy
L
2
 2
φx  − A + 3  θ θ −  Aθy + 3θx 
 I
2 x y
2
I
L


L 

0
A 3 
 I − 2  θ x θy
L 

 Aθ2y 3θ2 

+ 2x 
I
L 

0
3EI
L3
3EI
L3
φy
φx
0
3EI
L3
φy
3EI
EA
0 0 0 φy φx 0 − L φy − L3 φx
0 000 01
T
T
0
T
EA
L
3EI
L2
-
-
3EI
L2
3EI
0
−
EA
φx
L
0
−
3EI
EA
φy − 3 φx
L
L
L3
φy −
3EI
L2
3EI
L2
0
0
0
0
0
EA
φx
L
3EI
3EI
0
EA
φy
L
0
0
−
L3
3EI
L3
−
φy
φx −
3EI
L2
L2
3EI
L2
φy
3EI
L
−
3
φy
L
3
φx
L
0
3
φy
L
u1
v1
φ1
u2
[EI / L] TT k T
TT k
384
−
3
φx
L
v2
−
3
φx
L
3
φ2
BÖLÜM 7
MATRSĐ METODLARI
2
ÖRNEK 7.5: Şekilde verilen kirişin moment alanının elde edilmesi (EI=1000 kNm ).
v1
1
10
5
m
10
ϕ3
ϕ2

1
3
2
m
v3
v2
ϕ1
8 kN
3
2
m
5
m
Sistemde eksenel yük bulunmadığı için elemanların rijitlik matrisleri
k
6EI
L2
4 EI
L
12EI
L3
6EI
L2
- 12EI
L3
6EI
L2
=
6EI
L2
2EI
L
- 12EI
3
L
6EI
- 2
L
12EI
L3
- 6EI
L2
- 6EI
2
L
2EI
L
- 6EI
2
L
4 EI
L
bağıntısıyla elde edilir. Sistemin ve elemanların global ve lokal eksenleri birbirine paralel olmasından
dolayı [k=k’] transformasyon matrisine gerek yoktur. Buna göre elemanların ve sistemin rijitlik matrisi
kurulur.
düğüm
k1
1
12
60
-12
60
=
Düğüm
2
60
400
-60
200
-12
-60
12
-60
1
2
60
200
-60
400
1
2
2
12
60
-12
0
240
800
-240
400
Dış
kuvvet
0
v1
P1y
1
3.85
60
400
-60
200
0
0
ϕ1
M1
-12
-60
108
180
-96
240
v2
P2y
60
200
180
1200
-240
400
ϕ2
0
0
-96
-240
96
-240
v3
P3y
0
0
240
400
-240
800
ϕ3
M3
108
180
240
180
1200
400
K=k1+
k2
240
400
1
v2
ϕ2
=
ϕ3
800
-96
-240
96
-240
Şekil
değiştirme
3
60
=
k2
3
96
240
-96
240
=
240
400
-240
800
2
3
8 kN
10m
M2
3
2
5m
4.15
4.15
Kesme Kuvvet Alanı
3.85
3.85
17.78
-8
v2
-0,24691
0
ϕ2
= 0,014815
0
ϕ3
0,066667
Moment Alanı
20.74
12
60
-12
60
60
-12
60
400
-60
200
-60
12
-60
200
-60
400
Uç kuvvetleri
k1
nolu elemanın uç kuvvetleri
v2=-0.24691
Şekil
değiştirme
ϕ1 =0
v2=-0.24691
ϕ2 =0.014815
k2
P1y=3.85
96
240
-96
240
M1=17.78
P2y=-3.85+8
M2=20.74
240
-96
240
800
-240
400
-240
96
-240
400
-240
800
Bulunan değerler kullanılarak kesme kuvvet ve moment alanı çizilir.
VEYA
385
Uç kuvvetleri
Şekil
değiştirme
nolu elemanın uç kuvvetleri
v1=0
ϕ2 =0.014815
v3=0
ϕ3 =0.0667
P2y=4.15
M2=20.74
P3y=4.15
M3=0.004
BÖLÜM 7
MATRSĐ METODLARI
v1
v2
ϕ1
ϕ2
12EI / L3
6EI / L2
6EI / L2
v1
6EI / L2
4EI / L
- 12EI / L3
- 6EI / L2
2EI / L
v2
- 12EI / L3
6EI / L2
- 6EI / L2
12EI / L3
- 6EI / L2
- 6EI / L2
ϕ1
4EI / L
ϕ2
A
2EI / L
4EI / L
2EI / L
ϕ1
2EI / L
4EI / L
ϕ2
6EI / L2
- 6EI / L2
6EI / L2
- 6EI / L2
B
C
ϕ1
=
+
ϕ2
Y1
Y2
M12
M21=0
=
P1y
P2y
Sistem tek bir eleman olarak ele alınır. Ankastrelik momentleri ve mesnet tepkileri basit kiriş gibi
hesaplanır (Y1 , Y2). Sistemin rijitlik matrisi önce deplasmanların [v1, v2] sonra dönüş açıları [ ϕ1 ϕ2 ]
terimleri yazılarak elde edilir [A]. Dönüş açıları terimi ankastrelik momentlerine eşitlenerek dönüş
açıları bulunur [B] (1. mesnette dönüş açısı varmış gibi kabul edilir). Bulunan dönüş açıları
deplasmanlardan dolayı oluşan dönüş açıları terimiyle çarpılarak ilk başta bulunan mesnet tepkileri
toplamıyla mesnet tepkileri bulunur [C]. [Açı ]
v1
M13 =
ϕ1
1
10
8x10x5x[15 + 5]
= 17,78kNm
2x152
5
m
10
=
k
6EI / L2
6EI / L2
- 12EI / L3
4EI / L
- 6EI / L2
6EI / L2
2EI / L
- 12EI / L3
- 6EI / L2
12EI / L3
- 6EI / L2
3
2
m
5m
Y1= 2.667
12EI / L3
ϕ2

3
m
v2
Y2= 5.333
6EI / L2
3,556
26,667
-3,556
26,667
2EI / L
- 6EI / L2
26,667
266,667
-26,667
133,333
-3,556
-26,667
3,556
-26,667
4EI / L
26,667
133,333
-26,667
266,667
Rijitlik matrisindeki dönüşler ve deplasmanlar bir tarafa toplanır.
Düğüm
k1=
1
2
Şekil değiştirme
-3.556
3.556
26.667
-26.667
26.667
-26.667
v1
v2
2.667
5.333
26.667
-26.667
266.667
133.333
ϕ1
0.000
26.667
-26.667
133.333
266.667
ϕ2
17.78
DÖNÜŞLER
266.667
133.333
133.333
266.667
ϕ1
P1y
=
P3y
Dış kuvvet
3.556
-3.556
P1y
P3y
=
M1
M3
Ankastrelik momentleri
ϕ1
-1
=
ϕ3
ϕ2
M12=17.78
ϕ1 =-0.08889
M31=0
ϕ3 =-0.04445
Basit kiriş mesnet
tepkileri
26.67
26.67
0.0889
-26.67
-26.67
-0.04445
=
1.185
-1.185
+
Sonuç mesnet
tepkileri
2.667
=
P1y=3.852
P3y=4.148
5.333
ÖRNEK 7.6: Şekilde verilen kirişin moment alanının
a. Dış yükler için
b. 1 mesnetlerinin ϕ1 = 0.001 dönmesi ve 3 mesnedinin v3 = −0.001 m çökmesi hali için
2
elde edilmesi (EI=1000 kNm ).
Çözüm:
a: Dış yükler için
v1
2.5 kNm
1 kN
1
1
m
3
2
2
m
V2
ϕ1
u
1
1
m
v3
ϕ2
2u
ϕ3
3
2
m
Eksenel yük olmadığı için sistemin rijitlik matrisi yukarıdaki örnekte olduğu gibi elde edilir.
386
BÖLÜM 7
MATRSĐ METODLARI
2
6000
4000
-6000
2000
0
0
13500
-4500
1500
-4500
1200
1000
ϕ2
1500
1000
2000
ϕ3
K=k1+k2
3
-12000
-6000
13500
-4500
-1500
1500
-1
6000
2000
-4500
6000
-1500
1000
0
0
-1500
-1500
1500
-1500
v2
=
Şekil
değiştirme
6000
-12000
6000
6000
4000
-6000
2000
-12000
-6000
12000
-6000
6000
2000
-6000
4000
v2
=
ϕ2
v3
ϕ3
v2
0
ϕ2
2.5
ϕ3
-0.00055
=
ϕ2 =-0.0008
P1y=2.10
1500
1500
-1500
1500
M1=1.80
1500
2000
-1500
1000
P2y=-2.10
-1500 -1500
1500
-1500
M2=0.30
1500
-1500
2000
k2
1000
ϕ3 =0.002042
P2y=1.113
M2=-0.283
P3y=-1.113
M3=2.500
3
2
2m
Kesme Kuvvet Alanı
1.00
+
2.10
ϕ2 = -0.00075
v3=0
2.5 kNm
1 kN
1m
-0.00075
0.002042
ϕ1 =0
v2=-0.00055
1
Dış kuvvet
P1y=0
M1=0
P2y=-1
M2=0
P3y=0
M3=2.5
nolu elemanın uç kuvvetleri
v2= -0.00055
v1=0
Uç kuvvetleri
12000
ϕ1
-1
nolu elemanın uç kuvvetleri
K1
Şekil değiştirme
v1
0
0
1500
1000
-1500
2000
Şekil
değiştirme
1
12000
6000
-12000
6000
0
0
Uç kuvvetleri
Düğüm
-
1.80
Moment Alanı
+
2.50
Bulunan değerler kullanılarak kesme kuvvet ve moment alanı aşağıdaki şekilde çizilir.
b: 1 mesnetlerinin ϕ1 = 0.001 dönmesi ve 3 mesnedinin
Dış yükleri
serbest deplasmanlar
P2y=0
M2=0
=
M3=0
Dep.
-1
mesnet şartları
v2
13500
-4500
1500
-4500
1200
1000
ϕ2
1500
1000
2000
ϕ3
v 3 = −0.001 m çökmesi
+
hali için
Mesnet tepkileri
Deplasmanlar
-12000
-6000
-1500
P1y=0
v2= 0.000407
6000
2000
-1500
M1=0.001
ϕ2 = -0.00011
0
0
-1500
P3y=-0.001
ϕ3 = -0.001

nolu elemanın uç kuvvetleri (Çökme. dönme)
nolu elemanın uç kuvvetleri (Çökme. dönme)
12000
6000
-12000
6000
6000
4000
-6000
2000
-12000
-6000
12000
-6000
6000
2000
-6000
4000
Şekil
değiştirme
ϕ1 =0
v2= 0.000407
ϕ2 = -0.00011
k2
P1y=-5.544
1500
1500
-1500
1500
M1=-2.662
1500
2000
-1500
1000
P2y=5.544
-1500
-1500
1500
-1500
M2=-2.882
1500
1000
-1500
2000
387
Uç kuvvetleri
K1
Uç kuvvetleri
Şekil
değiştirme
v1=0
v2= 0.000407
ϕ2 = -0.00011
v3=0
ϕ3 = -0.001
P2y=-1.0545
M2=-0.6095
P3y=1.0545
M3=-1.4995
BÖLÜM 7
MATRSĐ METODLARI
ÖRNEK 4.2: Şekilde verilen mütemadi kirişin moment alanının çizilmesi.
4 kN/m
4 kN/m
1
4
1 1. eleman
3
2
m
4
m
3
2. eleman
2
4m
4m
Eleman rijitlik matrisleri aşağıdaki şekilde hesaplanır.
1
Eleman ucu
0
0
0
0
0
0
K1-2=EI
 θ = 0o 


2
0
0,1875
0,375
0
-0,1875
0,375
0
0,375
1
0
-0,375
0,5
0
0
0
0
0
0
12EI / L3 = 12EI / 43 = 0.1875EI
2
Eleman ucu
0
-0,1875
-0,375
0
0,1875
-0,375
0
0,375
0,5
0
-0,375
1
0
0
0
0
0
0
K2-3=EI
 θ = 0o 


4EI / L = 4EI / 4 = EI
3
0
0,1875
0,375
0
-0,1875
0,375
0
0,375
1
0
-0,375
0,5
0
0
0
0
0
0
0
-0,1875
-0,375
0
0,1875
-0,375
0
0,375
0,5
0
-0,375
1
6EI / L2 = 6EI / 4 2 = 0.375EI 2EI / L = 2EI / 4 = 0.5EI
Po dış yük değerleri (ankastrelik momentleri ve ankastrelik kesme kuvvetleri) aşağıdaki şekilde elde
edilir.
v2
v3
ϕ2
v1
v2
ϕ1
u
ϕ3
qL2 /12 = −5.33
u
u
+5.33
4 kN/m
ϕ2

-8
4x4/2=-.8
Sistem rijitlik matrisi
1
u1
0
2
3
Şekil değiştirmeler
v1
ϕ1
u2
v2
ϕ2
u3
v3
ϕ3
u
0
0
0
0
0
0
0
0
u1
v1
ϕ1
u2
v2
ϕ2
u3
v3
ϕ3
0
0,1875 0,375
0
-0,1875 0,375
0
0
0
0
0,375
1
0
-0,375
0,5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.375
0
0
-0,1875 0,375
0
-0,1875 -0,375
0
0,375
0,5
0
0
2
0
-0,375
0,5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-0,1875 -0,375
0,375
0,5
0
0,1875 -0,375
0
-0,375
X
0,5
Dış kuvvetler
Po
=
=
=
=
=
=
=
=
=
0
0
0
0
-8
5.33
0
-8
5.33
Mesnet sınır şartları ilendikten sonra,
F = K ⋅ u + Po = [2] ⋅ [ϕ2 ] + [ −5.33]
Eleman uç kuvvetleri, F1− 2 = T T K ⋅ u + Po
Yatay çubuklarda θ = 00 ise T T birim matris olur
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0.1875
0.375
0
-0.1875
0.375
0
0
1
0
0
0
0
0.375
1
0
-0.375
0.5
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
-0.1875
-0.375
0
0.1875
-0.375
0
0
0
0
0
1
0
0.375
0.5
0
-0.375
1
T
T
x
x
(1 nolu elemanın rijitlik matrisi) K1-2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0,1875
0,375
0
-0,1875
0,375
0
0
1
0
0
0
0
0,375
1
0
-0,375
0,5
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
-0,1875
-0,375
0
0,1875
-0,375
0
0
0
0
0
1
0
0,375
0,5
0
-0,375
1
TT
x
(2 nolu elemanın rijitlik matrisi)
388
K2-3
0
0
0
1
0
1.33
x
=
0
0
0
-1
2.665
2.665
= TTKu
x
1
x
ϕ2 = 2.665
u
0
0
0
1
2.665
2.665
x
=
0
0
0
-1
0
1,33
x
u
= TTKu
+
0
0
0
0
0
0
0
1
1.33
=
0
-1
2.665
+
Po
=
N1
V1
M1
N2
V2
M2
Uç değerleri
0
0
N2
-8
-7
V2
-5.33
-2.665 M2
+
=
0
0
N3
-8
-9
V3
5.33
6.66 M3
+
Po
=
Uç değerleri
BÖLÜM 7
MATRSĐ METODLARI
4 kN/m
1
3
2
4m
4m
9.0
1.
Kesme Kuvvet Alanı
7.0
6.66
2.665
Moment Alanı
1.33
3.34
ÖRNEK 4.2: Şekilde verilen mütemadi kirişin moment alanının çizilmesi.
4.5 kN/m

3 kN/m

I
3.6m
7.2 kN
1.03I

7.2m
1.2m
3 kN

I
2.4m
0.9m
Çözüm: Đlk önce çubuk ve eleman numaralanır verilir ve ankastrelik momentleri hesaplanır.
3 nolu eleman
1 nolu eleman

2 nolu eleman

2
Ankastrelik M −M12 = M21 = 4.5 x 3.6 = 4.86kNm
− M23 = M32 =
12
θ = 0o  düğüm


deplasm
an
K12
=
1
u1
u2
ϕ2
0
0
u1
v2
0
0
- EA
L
0
12EI
L3
6EI
L2
0
- 12EI
L
6EI
L2
v1
0
6EI
L2
4EI
L
0
- 6EI
L
2EI
L
ϕ1
- EA
L
0
0
EA
L
0
0
u2
0
12EI
L3
- 6EI
L
v2
0
- 6EI
L
4EI
L
ϕ2
- 12EI
- 6EI
L
L
0
3
2
6EI
L2
2EI
L
=
−M34 =
düğüm
3
2
K12
2
2
=
Pab[L + b]
= 4.80kNm
2L2
1
 θ = 0o 

 deplasman
ϕ1
EA
L
0
K
2
v1
3 x 7.22
= 12.96kNm
12
2
v1
ϕ1
v2
ϕ2
12EI
L3
6EI
L2
- 12EI
L
6EI
L2
v1
6EI
L2
4EI
L
- 6EI
L
2EI
L
ϕ1
- 12EI
- 6EI
L
L
12EI
L3
- 6EI
L
v2
- 6EI
L
4EI
L
ϕ2
3
2
6EI
L2
2EI
L
=
K
3
2
2
2
k12
u
Sistemde Eksenel Yük Oluşmuyor Đse
u
k12
Eleman rijitlik matrisleri aşağıdaki şekilde hesaplanır.
Eleman
K1-2= K3-4 =EI
 θ = 0o 


1
Eleman
2
2
3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0,2572
0,4630
0
-0,2572
0,4630
0
0,0331
0,1192
0
-0,0331
0,1192
0
0,4630
1,1111
0
-0,4630
0,5556
K2-3=EI
0
0,1192
0,5722
0
-0,1192
0,2861
 θ = 0o 


0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-0,2572
-0,4630
0
0,2572
-0,4630
0
-0,0331
-0,1192
0
0,0331
-0,1192
0
0,4630 0,5556
0
-0,4630
1,1111
0
0,1192
0,2861
0
-0,1192
0,5722
12EI/ L = 12EI/ 6 = 0.2572EI
3
3
6EI/ L2 = 6EI/ 62 = 0.4630EI
389
BÖLÜM 7
MATRSĐ METODLARI
4.5 kN/m
Po dış yük değerleri aşağıdaki şekilde elde edilir.

3 kN/m

I
qL2 /12 = −12.96
+4.86
m
−3.84
3.6
-8.10

0.9m

-1.87
4.5x3.6/2=-8.10
3 kN
−2.70
+1.92

-10.8
3x7.2/2=-10.8

m
2.4
7.2 kN
m

3 kN
I
1.2m
7.2
+12.96
3 kN/m

1.03I
3.6m
qL2 /12 = −4.86 4.5 kN/m
7.2 kN
-3
-5.33
Örnek olarak v2 ye karşılık gelen Po=-8.10-10.8=18.90
Sistem rijitlik matrisi
1
2
3
4
v1
ϕ1
u2
v2
ϕ2
u3
v3
ϕ3
u4
v4
ϕ4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.2572
0.4630
0
-0.2572
0.4630
0
0
0
0
0
0
0
0.4630
1.1111
0
-0.4630
0.5556
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-0.2572
-0.4630
0
0.2572+0.0331
-0.4630+0.1192
0
-0.0331
0.1192
0
0
0
0
0.4630
0.5556
0
-0.4630+0.1192
1.1111+0.5722
0
-0.1192
0.2861
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-0.0331
-0.1192
0
0.2572-0.0331
0.4630-0.1192
0 -0.2572 0.4630
0
0
0
0
0.1192
0.2861
0
0.4630-0.1192
1.1111+0.5722
0 -0.4630 0.5556
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-0.2572
-0.4630
0
0
0
0
0
0
0
0
0.4630
u1
0.5556
0
u Po
u1
0
v1 -8.10
ϕ1 -4.86
u2
0
v2 -18.90
ϕ2 -8.10
u3
0
v3 -16.13
ϕ3 9.12
u4
0
v4 -4.87
ϕ4 -0.78
0
0.2572 -0.4630
0 -0.4630 1.1111
Sistem rijitlik matrisi
1
2
3
v1
ϕ1
u2
v2
ϕ2
0
0
0
0
0
0
0
0.2572
0.4630
0
-0.2572
0
0.4630
1.1111
0
0
0
0
0
0
-0.2572
-0.4630
0
0.4630
0
0
4
v3
ϕ3
u4
v4
ϕ4
0
0
0
0
0
0
0.4630
0
0
0
0
0
0
-0.4630
0.5556
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.2572+0.0331
-0.4630+0.1192
0
-0.0331
0.1192
0
0
0
0.5556
0
-0.4630+0.1192
1.1111+0.5722
0
-0.1192
0.2861
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-0.0331
-0.1192
0
0.2572-0.0331
0.4630-0.1192
0
-0.2572
0.4630
0
0
0
0
0.1192
0.2861
0
0.4630-0.1192
1.1111+0.5722
0
-0.4630
0.5556
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-0.2572
-0.4630
0
0.2572
-0.4630
0
0
0
0
0
0
0
0.4630
0.5556
0
-0.4630
1.1111
u1
T1
=
1.6833
0.2861
0
0.2861
1.6833
0.5556
0
0.5556
1.1111
u3
x
ϕ2
= 8.10
ϕ2
=
6.18
ϕ3
= -9.12
ϕ3
=
-8.02
ϕ4
= 0.78
ϕ4
=
4.71
cos φ
sin φ
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
-sin φ
cos φ
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
cos φ
sin φ
0
T1T
=
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
-sin φ
cos φ
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1 nolu eleman uç kuvvetleri = [T T ] [K] [u] + [Po ]
390
u1
v1
ϕ1
u2
v2
ϕ2
u3
v3
ϕ3
u4
v4
ϕ4
BÖLÜM 7
1
0
0
0
0
0
MATRSĐ METODLARI
θ=0o
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
uç
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
TT
x
0
0
0
0
0
0
1
0
0,2572
0,463
0
-0,2572
0,463
0
0,463
1,1111
0
-0,463
0,5556
x
qL2 /12 = −4.86 4.5 kN/m
2
Dep.
Ank.M
Sonuç
0
0
0
0x6.18
0
0
N1
-0,2572 0,463
0
2,86 x6.18
-8.10
-5.24 V1
-0,463 0,5556
0
3,43 x6.18
-4.86
-1.43 M1
x
=
+
=
0
0
0
0 x6.18
0
0
N2
0,2572 -0,463
0
-2,86 x6.18
-8.10
-10.96 V2
-0,463 1,1111
6,18
6,87 x6.18
4.86
11.72 M2
K
qL2 /12 = −12.96
+4.86
0
0
0
0
0
0
x
=
TTKu
−3.84

-8.10

Po
=
−2.70
+1.92
Uç değerleri
-1.87
4.5x3.6/2=-8.10
3 kN

-10.8
3x7.2/2=-10.8
+
7.2 kN
+12.96
3 kN/m
3.6m

u
-3
-5.33
2 nolu eleman uç kuvvetleri = [T T ] [K] [u] + [Po ]
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
TT
x
0
0
0
0
0
0
0
0.0331
0.1192
0
-0.0331
0.1192
0
0.1192
0.5722
0
-0.1192
0.2861
0
0
0
0
0
0
0
-0.0331
-0.1192
0
0.0331
-0.1192
0
0.1192
0.2861
0
-0.1192
0.5722
x
0
0
6,18
x
=
0
0
-8.02
K
x
u
0
-0,22
1,24
0
0,22
-2,82
= TTKu
0
0
N2
-10.80
-11.02 V2
-12.96
-11.72 M2
+
=
0
0
N3
-10.80
10.58 V3
12.96
10.14 M3
+
Po =
Uç değerleri
3 nolu eleman uç kuvvetleri = [T T ] [K] [u] + [Po ]
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
TT
x
0
0
0
0
0
0
0
0,2572
0,463
0
-0,2572
0,463
0
0,463
1,1111
0
-0,463
0,5556
x
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-0,2572 0,463
0
-0,463 0,5556
-8.02
x
=
0
0
0
0,2572 -0,463
0
-0,463 1,1111
4.71
K
x
-
5.24
0.34

+
6.86
10.14
1.43
1.90

Q alanı
3.00
11.02
11.72

= TTKu
10.58
10.96

u
0
-1,53
-6,29
0
1,53
0,78

+
8.52
391
2.70

M alanı
0
0
N3
-5.33
-6.86 V3
-3.84
-10.14 M3
+
=
0
0
N4
-1.87
-0.34 V4
1.92
2.70 M4
+
Po
=
Uç değerleri
BÖLÜM 7
MATRSĐ METODLARI
Örnek: Şekilde verilen çerçevenin uç kuvvetlerinin hesabı.

2. eleman
3m
54 kN
1. eleman
110 kN
EI=100000 kNm2
EA=3000000 kN
2m
k1
2m
5m
12EI 12 ⋅ 100000 ⋅ ( −1)2
=
= 9600
L3
53
Düğüm
54 kN
3. eleman
5m
k=
110 kN
EI=100000 kNm2
EA=3000000 kN

3m
6EI
= 24000
L2
4EI
2EI
= 80000
= 40000
L
L
Düğüm
2
1
9600
0
24000 -9600
0
24000
0
600000
0
0
-600000
0
24000
0
80000 -24000
0
40000
-9600
0
-24000 9600
0
-24000
0
-600000
0
0
600000
0
24000
0
40000 -24000
0
80000
k2
2
379466,89 223966,26
223966,26 140372,03
-9070,44 15123,28
-379466,89 -223966,26
-223966,26 -140372,03
-9070,44 15123,28
-9070,44
15123,28
68598,87
9070,44
-15123,28
34299,43
3
-379466,89 -223966,26
-223966,26 -140372,03
9070,44 -15123,28
379466,89 223966,26
223966,26 140372,03
9070,44 -15123,28
-9070,44
15123,28
34299,43
9070,44
-15123,28
68598,87
 EAθ2x EI12θ2y   3.106 ⋅ (0.857)2 12 ⋅ 1.105 ⋅ (0.514)2 
2 − 3 çubuğu (sin α = 0.514 co s α = 0.857) 
+
+
=
 = 379532.52 küsürat tan farklı problem değil
L3  
5.83
(5.83)3

 L
Düğüm
k3
3
480825,97 -189158,17
-189158,17 83298,12
7676,33 19201,18
-480825,97 189158,17
189158,17 -83298,12
7676,33 19201,18
7676,33
19201,18
74280,41
-7676,33
-19201,18
37140,20
4
-480825,97 189158,17
189158,17 -83298,12
-7676,33 -19201,18
480825,97 -189158,17
-189158,17 83298,12
-7676,33 -19201,18
7676,33
19201,18
37140,20
-7676,33
-19201,18
74280,41
Sınır şartları işlendikten sonra sistem rijitlik matrisi aşağıdaki şekilde elde edilir.
K=
0
u2
=
v2
0
v2
=
ϕ2
0
ϕ2
=
-54
u3
=
389066,89 223966,26 -33070,44 -379466,89 -223966,26
-9070,44
u2
223966,26 740372,03
15123,28
15123,28
-33070,44
148598,87
34299,43
15123,28
-379466,9 -223966,3
-223966,3
-9070,44
-140372
15123,28
-223966,26 -140372,03
9070,44
-15123,28
x
=
9070,44
860292,86
34808,09
1394,11
u3
-15123,28
34808,09
223670,15
-34324,46
v3
110
v3
=
142879,28
ϕ3
0
ϕ3
=
34299,43
1394,11
-34324,46
0,01596235
1,2781E-05
0,00392499
0,00627096
0,01637789
0,0039431
1 nolu elemanın uç kuvvetleri aşağıdaki şekilde bulunur.
T1
=
F1x
F1y
M1
F2x
F2y
M2
=
0
-1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
-1
0
T1T
=
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
9600
0
24000
-9600
0
24000
0
600000
0
0
-600000
0
24000
0
80000
-24000
0
40000
-9600
0
-24000
9600
0
-24000
0
-600000
0
0
600000
0
24000
0
40000
-24000
0
80000
Diğer eleman kuvvetlerini de siz bulunuz.
392
0
0
0
0,01596235
1,2781E-05
0,00392499
F1x
F1y
M1
F2x
F2y
M2
=
=
=
=
=
=
-7,67
59,04
-226,10
7,67
-59,04
-69,10
BÖLÜM 7
MATRSĐ METODLARI
Örnek: Şekilde verilen çerçevenin uç kuvvetlerinin hesabı.
2. eleman

m
2

100 kN
EI=108000 kN/m
EA=3600000 kN
1. eleman
100 kN
4m

6m
6m
0
0
1-2 çubuğu ϕ=90 cos=0 sin=-1
2
Düğüm
1
20250
0
40500 -20250
0
0
900000
0
0
-900000
40500
0
108000 -40500
0
k1
-20250
0
-40500 20250
0
0
-900000
0
0
900000
40500
0
54000 -40500
0
Düğüm
40500
0
54000
-40500
0
108000
k2
2-3 çubuğu ϕ=0 cos=1 sin=0
2
3
600000
0
0
-600000
0
0
6000
18000
0
-6000
0
18000 72000
0
-18000
-600000
0
0
600000
0
0
-600000 -18000
0
6000
0
18000 36000
0
-18000
0
18000
36000
0
-18000
72000
Sistem rijitlik matrisi aşağıdaki şekilde oluşturulur.
1
2
3
u3
v3
ϕ3
u
40500
0
0
0
u1
0
-900000
0
0
0
0
v1
0
0
54000
0
0
0
ϕ1
0
0
-40500 -600000
0
0
u2
v1
ϕ1
u2
v2
ϕ2
20250
0
40500
-20250
0
0
900000
0
0
40500
0
108000
-40500
-20250
0
-40500
620250
0
-900000
0
0
906000 18000
0
-6000 18000 x v2
40500
0
54000
-40500
18000 180000
0
-18000 36000
0
0
0
-600000
0
0
600000
0
0
0
0
-6000
-18000
0
6000 -18000
0
0
0
0
36000
0
-18000 72000
u1
18000
0
0
=
Po
100
=
0
ϕ2
0
u3
0
v3
0
ϕ3
0
Sınır şartları işlendikten sonra sistem rijitlik matrisi aşağıdaki şekilde elde edilir.
Sistem
rijitlik
matrisi
620250
0
-40500
0
u2x
=
100
u2x
=
0,163902349
0
906000
18000
18000
u2y
=
0
u2y
=
-0,000409301
-40500
18000
18000
36000
ϕ2
=
0
ϕ2
=
0,040998326
0
18000
36000
72000
ϕ3
=
0
ϕ3
=
-0,020396838
(global)
F1-2=K1-2.u
1 nolu elemanın uç kuvvetleri aşağıdaki şekilde bulunur.
F1x
F1y
M1
F2x
F2y
M2
=
20250
0
40500
-20250
0
40500
0
40500 -20250
0
40500
900000
0
0
-900000
0
0
108000 -40500
0
54000
x
0
-40500 20250
0
-40500
-900000
0
0
900000
0
0
54000 -40500
0
108000
0
0
0
0,163902349
-0,000409301
0,040998326
F1x
F1y
M1
F2x
F2y
M2
=
=
=
=
=
=
-1658,59
368,3709
-4424,14
1658,59
-368,371
-2210,23
0,163902349
-0,000409301
0,040998326
0
0
-0,020396838
F2x
F2y
M2
F3x
F3y
M3
=
=
=
=
=
=
98341,41
368,371
2210,226
-98341,4
-125,246
-1,8E-05
(global)
F2-3=K2-3.u
2 nolu elemanın uç kuvvetleri aşağıdaki şekilde bulunur.
F2x
F2y
M2
F3x
F3y
M3
=
600000
0
0
-600000
0
0
0
6000
18000
0
-600000
18000
0
-600000
0
18000
0
-6000
72000
0
-18000
0
600000
0
-18000
0
6000
36000
0
-18000
0
18000
36000
0
-18000
72000
98341.41
2210.23
2210.23
+
368.37
-
-
M
-
+
4424.14
V
+
N
1658.59
368.37
393
BÖLÜM 7
MATRSĐ METODLARI
ÖRNEK 10: Verilen çerçevenin MATRĐS metoduyla moment alanını çizimi.
C
C
m
2
1.8I
4.5 kN
2m
0.353
4.5 kN
B
I
2I
1.6 kN/m
1.6 kN/m
B
5m
0.40
0.571
k
A
A
m
5
D
D
m
10
m
10
Elemanların özellikleri ve yükleme matrisi aşağıdaki şekilde belirlenir.
θy = sin θ
θx = cos θ
Eleman
L (m)
I (10-3 m4)
EA (kN)
E (kN/m4)
EI (kNm4)
1
2
1-2
2-3
5
10.2
6.25
11.25
6000000
5520000
2.107
125000
225000
90°
11.31°
0
0.98
90°
11.31°
1
0.196
3
3-4
7
12.50
6120000
250000
-90°
0
-90°
-1
Eleman rijitlik matrisleri aşağıdaki şekilde hesaplanır.
1
Düğüm
u1
Şekil değ.
v2
ϕ2
 Aθ2 12θ2y 
− x + 2 
L 
 I
 A 12 
 − +  θx θy
 I L2 
 6θy 
−

 L 
 6θx 


 L 
 A 12 
 − I + 2  θx θy
L 

 Aθ2y 12θ2 
−
+ 2x
L 
 I
 6θx 


 L 
 6θy 
−

 L 
 6θx 


 L 
[4]
 6θy 


 L 
 6θx 
−

 L 
[2]
 Aθ2 12θ2y 
− x + 2 
L 
 I
 A 12 
 − I + 2  θx θy
L 

 6θy 


 L 
 Aθ2 12θ2y 
 x + 2 
L 
 I
 A 12 
 I − 2  θx θ y
L 

 6θy 


 L 
 A 12 
 − I + 2  θx θy
L 

 Aθ2y 12θ2 
−
+ 2x
I
L 

 6θx 
−

 L 
 A 12 
 I − 2  θx θ y
L 

 Aθ2y 12θ2 

+ 2x
I
L 

 6θx 
−

 L 
 6θy 
−

L 


 6θx 


 L 
[2]
 6θy 


L 


 6θx 
−

 L 
[4]
 EI 
L 
 
Eleman
1
Eleman
2
12000
0
0
1200000
θ = 90


-30000
0
Sin90=1
Cos90=0
-12000
0
30000
0
-1200000
0
-30000
0
50000
o
u2
 6θy 
 = −30000
−
L 


 A 12 
 −  θx θ y = 0
 I L2 
 Aθ2y 12θ2 

+ 2 x  = 1200000
I
L 

 A 12 
 I − 2  θx θ y = 0
L 

K1-2=
ϕ1
v1
 Aθ2 12θ2y 
 x + 2  = 12000
L 
 I
K=
2
-30000
-12000
0
-30000
0
0
-1200000
0
K2-3=EI
100000
30000
0
50000
θ = 11.31o 


12000
0
30000
0
1200000
0
Sinθ=0.196
Cosθ=0.98
30000
0
100000
2
520562,1
3
103603
-2545,75
103603
23266,3
12728,79
-2545,75
12728,79
88252,6
-520562
-103603
-2545,75
-103603
-23266,3
12728,79
2545,751
-12728,8
44126,3
-520562
-103603
2545,751
520562,1
103603
2545,751
-103603
-23266,3
-12728,8
103603
23266,3
-12728,8
-2545,75
12728,79
44126,3
2545,751
-12728,8
88252,6
EA / L = 120000 12EI / L = 12000 6EI / L = 30000
EA / L = 541282.60 12EI / L = 2545.77 6EI / L = 12980.87
4EI / L = 100000 2EI / L = 50000
4EI / L = 88252.60 2EI / L = 44126.30
 EAθ2x 12EIθ2y   6.106 ⋅ 02 12 ⋅ 125000 ⋅ ( −1)2 
+
+

=
 = 12000
L3  
5
53
 L

 EAθ2x 12EIθ2y   541.104 ⋅ 0.982 12 ⋅ 225000 ⋅ 0.1962 
+
+

=
 = 520562,1
L3  
10.2
10.23

 L
3
2
3
394
2
BÖLÜM 7
MATRSĐ METODLARI
Eleman
3
K2-3=EI
θ = 90o 


4
8746,356
0
30612,24
-8746,36
0
0
874285,7
0
0
-874286
0
30612,24
0
142857,1
-30612,2
0
71428,57
-8746,36
0
-30612,2
8746,356
0
-30612,2
0
-874286
0
0
874285,7
0
30612,24
0
71428,57
-30612,2
0
142857,1
Sin90=1 Cos90=0
30612,24
EA / L = 874285.71 12EI / L3 = 8746.36 6EI / L2 = 30612.20
4EI / L = 142857.10 2EI / L = 71428.57
 EAθ2x 12EIθ2y   612.10 4 ⋅ 0 2 12 ⋅ 25000 ⋅ 12 
+
+

=
 = 8746.36
L3  
7
73
 L

Sistem rijitlik matrisinde 1 ve 4 nolu düğümlerdeki deplasmanlar tutulduğu için sadece 2 ve 3 nolu
düğümler dikkate alınmıştır. Bundan dolayı sistem rijitlik matrisi aşağıdaki şekilde elde edilir.
2
Düğüm
F
=
532562,07
103602,96
27454,25
-520562,07
-103602,96
-2545,75
103602,96
1223266,30
12728,79
-103602,96
-23266,30
12728,79
27454,25
12728,79
188252,60
2545,75
-12728,79
44126,30
-520562,07
-103602,96
2545,75
529308,43
103602,96
33158,00
-103602,96
-23266,30
-12728,79
103602,96
897552,01
-12728,79
-2545,75
12728,79
44126,30
33158,00
-12728,79
231109,74
F = K u + Po


2

F=


3


3
qL2 /12 = −3.33 1.6 kN/m
4.5 

0 
0 

0 

0 
0 


2

Po = 


3


=
Po
u2
v2
ϕ2
u3
v3
ϕ3
8,5
0
3,33
=
0
0
0
+3.33
3.6m


−4 
−3.33 


0

−4 
3.33 
0
4

1.6x5/2=4
2
F
x
Dep.
3
Dep.
7,46649E-05
1,30057E-07
-1,00602E-05
7,40345E-05
-1,78510E-07
-7,89566E-06
1,30057E-07
8,32957E-07
-6,16529E-08
2,95845E-07
5,16080E-10
-7,50898E-08
-1,00602E-05
-6,16529E-08
6,92278E-06
-9,95616E-06
8,46216E-08
3,89641E-09
7,40345E-05
2,95845E-07
-9,95616E-06
7,53956E-05
-4,06061E-07
-8,13942E-06
-1,78510E-07
5,16080E-10
8,46216E-08
-4,06061E-07
1,14308E-06
1,03064E-07
-7,89566E-06
-7,50898E-08
3,89641E-09
-8,13942E-06
1,03064E-07
5,41683E-06
K
x
u2
v2
ϕ2
u3
v3
ϕ3
=
Sap200
0,00060
0,00060
0,00000090
0,00000090
-0,000062
0,000063
0,000596
0,000599
-0,00000124
-0,00000123
-0,000067
0,000067
-1
1-2 çubuğu
d1-2
K1-2x d1-2
Po
[P] Uç Kuvvetler (Global Eksende)
12000
0
-30000
-12000
0
-30000
0
-5,34
-4
-9,34
0
1200000
0
0
-1200000
0
0
-1,08
0
-1,08
-30000
0
100000
30000
0
50000
0
14,91
3,33
18,24
-12000
0
30000
12000
0
30000
0
-1200000
0
0
1200000
0
-30000
0
50000
30000
0
100000
K1-2
x
0,00060
=
+
=
5,34
-4
0,00000090
1,08
0
1,08
-0,000062
11,79
-3,33
8,46
395
1,34
BÖLÜM 7
MATRSĐ METODLARI
Bulunan sonuçlar global eksende olduğundan yerel eksene dönüştürülmesi gerekmektedir.
1 nolu elemanın transformasyon matrisi aşağıdaki şekilde elde edilir.
cos φ
sin φ
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
-sin φ
cos φ
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
cos φ
sin φ
0
T1
=
T1T
=
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
-sin φ
cos φ
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
θ = 90.0 için [T]Φ=90.0 x [P1-2]global = [P1-2]yerel
[P1-2]global
[P]yerel
Sap2000
0
1
Dönüştürme Matrisi [T]
0
0
0
0
-9,34
N1
-1,08
1,079
-1
0
0
0
0
0
-1,08
V1
9,34
9,339
0
0
1
0
0
0
18,24
M1
18,24
18,2458
0
0
0
0
1
0
N2
1,08
1,079
0
0
0
-1
0
0
1,08
V2
-1,34
1,339
0
0
0
0
0
1
8,46
M2
8,46
-8,4516
x
=
1,34
2-3 çubuğu
[P] Uç Kuvvetler (Global
Eksende)
Po
d2-3
K2-3
520562,1
103603
-2545,75
-520562
-103603
-2545,75
0,00060
3,16
3,16
0
3,16
103603
23266,3
12728,79
-103603
-23266,3
12728,79
0,00000090
-1,08
-1,08
0
-1,08
-2545,75
12728,79
88252,6
2545,751
-12728,8
44126,3
-520562
-103603
2545,751
520562,1
103603
2545,751
0,000596
-103603
-23266,3
-12728,8
103603
23266,3
-12728,8
-0,00000124
-2545,75
12728,79
44126,3
2545,751
-12728,8
88252,6
-0,000067
x
-0,000062
=
-8,46
-8,46
0
-8,46
-3,16
-3,16
+
0
-3,16
1,08
1,08
0
1,08
-8,66
-8,66
0
-8,66
θ = 11.31 için [T]Φ=11.31 x [P2-3]global = [P2-3]yerel
[P2-3]global
[P]yerel
Sap2000
0,98058
0,196117
Dönüştürme Matrisi [T]
0
0
0
0
3,16
N2
2,89
-2,888
-0,19612
0,98058
0
0
0
0
-1,08
V2
-1,68
1,678
0
0
1
0
0
0
-8,46
M2
-8,46
8,4516
0
0
0
0,98058
0,196117
0
-3,16
N3
-2,89
-2,888
0
0
0
-0,19612
0,98058
0
1,08
V3
1,68
1,678
0
0
0
0
0
1
-8,66
M3
-8,66
-8,6596
x
=
3-4 çubuğu
K3-4
Po
d3-4
[P] Uç Kuvvetler (Global
Eksende)
8746,356
0
30612,24
-8746,36
0
30612,24
0,000596
3,35
3,35
0
3,35
0
874285,7
0
0
-874286
0
-0,00000124
0,79
0,79
0
0,79
30612,24
0
142857,1
-30612,2
0
71428,57
-8746,36
0
-30612,2
8746,356
0
-30612,2
0
0
-874286
0
0
874285,7
0
0
30612,24
0
71428,57
-30612,2
0
142857,1
0
x
-0,000067
=
9,48
9,48
0
9,48
-3,35
-3,35
+
0
-3,35
-0,79
-0,79
0
-0,79
13,94
13,94
0
13,94
θ = − 90.0 için [T]Φ=-90.0 x [P3-4]global = [P3-4]yerel
[P3-4]global
[P]yerel
Sap2000
0
-1
Dönüştürme Matrisi [T]
0
0
0
0
3,16
N3
1,08
-1,079
1
0
0
0
0
0
-1,08
V3
3,16
-3,161
0
0
1
0
0
0
8,66
M3
8,66
-8,6596
0
0
0
0
-1
0
N4
-1,08
-1,079
0
0
0
1
0
0
1,08
V4
-3,16
-3,161
0
0
0
0
0
1
13,46
M4
13,46
13,4641
x
-3,16
396
=
BÖLÜM 7
MATRSĐ METODLARI
Mesnet Tepkilerinin Bulunması (aşağıdaki örnekten sonra bulunursa daha iyi olur)
P0
Mesnet Tepk.
1 nolu elemandan
-12000
0
-30000
0
0
0
0,00060
-5,34
-4
0
-1200000
0
0
0
0
0,00000090
-1,08
0
30000
0
50000
0
0
0
-0,000062
14,91
3,33
0
0
0
-8746,355685
0
-30612,2449
0
0
0
0
-874285,7143
0
-0,00000124
1,08
0
0
0
0
30612,2449
0
71428,57143
-0,000067
13,46
0
x
0,000596
=
+
-3,16
=
0
P1X
P1Y
M1
P4X
P4Y
M4
-9,34
-1,08
18,24
-3,16
1,08
13,46
3 nolu elemandan
- 8.70
-
+
8.44
M alanı
-
+
13.49
18.20
Uygulama: Verilen sistemin kesit tesirlerinin (V, M ve N) matris yöntemi ile bulunması (Tüm kesitler 30x60 cm C30/37).
80 kN
40 kNm
80 kN
2
y’
2
3
20 kN/m
40 kNm
x’
3
20 kN/m
m
4
y’
x’
4m
y’
2m
2m
1
1
3.5m
4
x’
4
3.5m
6m
6m
Elemanların özellikleri ve yükleme matrisi aşağıdaki şekilde belirlenir.
L (m)
Eleman
1
2
1-2
2-3
6.946
6
3
3-4
4
I (10-3 m4)
0.3x.63/12
= 5.4
A (m2)
E (kN/m2)
0.3x0.6=
EA (kN)
(C30/37)
31800000
171720
θy = sin θ
θx = cos θ
o
5724000
0.18
EI (kNm2)
0.5039
1
(59.74 )
(0o)
(90o)
0
Eleman rijitlik matrisleri aşağıdaki şekilde hesaplanır.
Dönüş açısından [ϕ] oluşan Moment ve Kesme
ϕi
Deplasmandan [δ
δ] oluşan moment ve kesme
k
i
i
Mik
Mki
k
i
_
Mi =
4EI
ϕi
L
δ
k
+
2EI
Mk =
ϕi
L
_
Mi =
6EI
δ
L2
M' den oluşan kesme kuvvetleri
 4EI 2EI 
 L + L  ϕi 6EI
 =
Vi = Vk = 
ϕi
L
L2
397
+
δ ' dan oluşan kesme kuvvetleri
6EI 
 6EI
 L2 δ + L2 δ  12EI
=
Vi = Vk = 
δ
L
L3
Mk =
6EI
δ
L2
(59.74o)
(0o)
(90o)
0.8637
0
1
BÖLÜM 7
MATRSĐ METODLARI
Çözüm: 1 nolu çubuk k çubuğu olarak çözüm yapılmıştır.
q
P
k
i
1
Düğüm
K
=
 EI 
L 
 
2
v1
ϕ1
u2
v2
ϕ2
 Aθ2 12θ2y 
 x + 2  = 213852.26
I
L 

 A 12 
 I − 2  θx θy = −354171
L 

 6θy 
 = 18494.1
−
L 


 Aθ2 12θ2y 
− x + 2 
I
L 

 A 12 
 − I + 2  θx θ y
L 

 6θy 
−

L 


 A 12 
 I − 2  θx θy = −354171
L 

 Aθ2y 12θ2 

+ 2 x  = 616417.8
L 
 I
 6θx 

 = 10677.57
 L 
 A 12 
 − I + 2  θx θ y
L 

 Aθ2y 12θ2 
−
+ 2x
L 
 I
 6θx 


 L 
 6θy 
 = 18494.1
−
L 


 6θx 

 = 10677.57
 L 
[ 4 ] = 98888.6
 6θy 


L 


 6θx 
−

 L 
[2]
 Aθ2 12θ2y 
− x + 2 
L 
 I
 A 12 
 − I + 2  θx θ y
L 

 6θy 


 L 
 Aθ2 12θ2y 
 x + 2 
L 
 I
 A 12 
 I − 2  θx θ y
L 

 6θy 


 L 
 A 12 
 − I + 2  θx θ y
L 

 Aθ2y 12θ2 
−
+ 2x
L 
 I
 6θx 
−

 L 
 A 12 
 I − 2  θx θ y
L 

 Aθ2y 12θ2 

+ 2x
L 
 I
 6θx 
−

 L 
 6θy 
−

 L 
 6θx 


 L 
[2]
 6θy 


 L 
 6θx 
−

 L 
[4]
u1
Şekil değ.
 Aθ2 12θ2y 
 x + 2  bu terim nereden geliyor ?
L 
 I
Bu terim yatayla (düşeyle) bir açı yapan çubuğun,
1.
 EA 
2
 L  (cos θ)


Çubuğun eksenel kuvvetinin açının cos değeri ile lokal (çubuğun kendi ekseni) eksene dönüştürülmesi
 EA 
 L  cos θ


Sonra bu kuvvetin
2.
 EA 
 L  cos θ


açının cos değeri ile global (sistemin) eksene dönüştürülmesi
 EA 
2
 L  (cos θ)


12EI 
2
 3  (sin θ)
 L 
Çubuğun deplasman [δ] yapması sonucu uç momentlerinden dolayı oluşan kesme
12EI 
 3 
 L 
kuvvetinin önce

lokal eksene dönüştürülmesi sonucu oluşa 12EI
sin θ
3 
 L 
Sonra bu kuvvetin
12EI 
 3  sin θ
 L 
açının sin değeri ile global (sistemin) eksene dönüştürülmesi sonucu elde edilen

değer 12EI
(sin θ)2
3 
 L 
Bu değerlerin toplamıdır.
Eleman
1
K1-2=
o
θ = 59.74


Sin59.74= 0.8637
Cos59.74= 0.5039
2
Eleman
2
954000
213852,3
356012,0
-18445,5
-213852,3
-356012,0
-18445,5
356012,0
616368,1
10761,4
-356012,0
-616368,1
10761,4
K2-3=EI
0
-18445,5
10761,4
98888,6
18445,5
-10761,4
49444,3
 θ = 0o 


0
-213852,3
-356012,0
18445,5
213852,3
356012,0
18445,5
-356012,0
-616368,1
-10761,4
356012,0
616368,1
-10761,4
Sinθ=0
Cosθ=1
-18445,5
10761,4
49444,3
18445,5
-10761,4
98888,6
 EAθ2x 12EIθ   5724000 ⋅ 0.50392 12 ⋅ 171720 ⋅ 0.86372 
+
+

=
 = 213852.26
L3  
6.946
6.9463

 L
2
y
398
0
3
0
-954000
0
0
9540
28620
28620
114480
0
-9540
28620
0
-28620
57240
-954000
0
0
954000
0
0
0
-9540
-28620
0
9540
-28620
0
28620
57240
0
-28620 114480
 EAθ2x 12EIθ2y   5724000 ⋅ 12 12 ⋅ 171720 ⋅ 02 
+
+

=
 = 954000
L3  
6
63

 L
BÖLÜM 7
MATRSĐ METODLARI
Eleman
4
3
K3-4=EI
θ = −90o 


Sin90=-1 Cos90=0
64395,0 -32197,5
32197,5
0,0
0,0
1431000,0
64395,0
0,0
-32197,5
0,0
0,0
-1431000,0
64395,0
0,0
0,0
0,0
64395,0
-1431000,0
0,0
171720,0 -64395,0
0,0
85860,0
-64395,0 32197,5
0,0
-64395,0
1431000,0
0,0
0,0
171720,0
0,0
0,0
0,0
85860,0 -64395,0
M21 =
x’
qL2 20⋅6.9462
=
=80.41 P2x’
12
12
P2y’=69.46
20 kN/m
L=6.946
60o
y’
M12=80.41
 EAθ2x 12EIθ2y   5724000 ⋅ 02 12 ⋅ 171720 ⋅ ( −1)2 
+
+

=
 = 32197.5
L3  
4
43

 L

P1y’=20x6.946/2=69.46
P1x’
Elemanların dış yüklerden dolayı oluşan uç değerleri aşağıdaki şekilde hesaplanır. Çubuk kuvvetlerinin lokal eksendeki
değerleri bulunur ve transformasyon (dönüşüm) matrisiyle çarpılarak global eksendeki değerleri tablodaki gibi bulunur.
P [Global]
P1x
P1y
M12
P2x
P2y
M21
[P]
1
0,86374757
0
0
0
0
-0,863748
0,50392474
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0,5039247
0,863748
0
0
0
0
-0,863748
0,503925
0
0
0
0
0
0
1
=
=
2
0,5039247
P’ [lokal]
P1x’=0
P1y’=-69.46
M1’=-80.41
P4x’=0
P4y’=-69.46
M4’=80.412
[P’]
x
[T]
x
}
[d] = [K]−1. q − Po 
[K].[d] + Po  =  q
P [Global]
P1x=-60
P1y=-35
M12=-80.41
P2x=-60
P2y=-35
M21=80.41
=
işlemi yapılarak düğüm noktası sabit değerleri bulunur.
Sistem rijitlik matrisi
1
D.N.
3
v1
ϕ1
u2
v2
356012,03
616368,05
10761,39
-356012,03
-616368,05
10761,39
-18445,46
10761,39
98888,57
18445,46
-10761,39
49444,28
-213852,26
-356012,03
18445,46
1167852,26
356012,03
18445,46
-954000,00
0,00
0,00
-356012,03
-616368,05
-10761,39
356012,03
625908,05
17858,61
0,00
-9540,00
28620,00
u1
213852,26
1 356012,03
-18445,46
-213852,26
2 -356012,03
-18445,46
2
3
ϕ2
4
u3
Dış
yükler
4
ϕ3
v3
u4
ϕ4
v4
u Po
q q- Po
u1
-60
0
-18445,46
v1
35
0
10761,39
0
ϕ1 80,41
49444,28
-60
0
18445,46 -954000,00
0,00
0,00
X u2
v2 = 35
-80
17858,61
0,00
-9540,00 28620,00
ϕ2 -80,41 0
213368,57
0,00
-28620,00 57240,00
0
0
0,00
986197,50
0,00
64395,00 -32197,50
0,00
64395,00 u3
v3
0
0
-28620,00
0,00
1440540,00 -28620,00
0,00 -1431000,00
0,00
0
40
57240,00 64395,00 -28620,00 286200,00 -64395,00
0,00
85860,00 ϕ3
0
0
-32197,50
0,00
-64395,00 32197,50
0,00
-64395,00 u4
v4
0
0
0,00
-1431000,00
0,00
0,00
1431000,00
0,00
0
0
64395,00
0,00
85860,00 -64395,00
0,00
171720,00 ϕ4
3
v3
ϕ3
954000+32197.5=986197,5
0+0=0
0+64395=64395
0+0=0
1431000+9540=1440540
0-28620=-28620
0+64395=64395
0-28620=-28620
171720+114480=286200
u3
Sınır şartlarının sistem rijitlik matrisine işlenmesi mesnet hareketlerinin bulunduğu satır ve sütunlar silinerek elde edilir.
DÜĞÜM
1
2
3
u1
213852,26
-18445,46
-213852,26
-356012,03
-18445,46
0
0
0
ϕ1
u2
v2
-18445,46
98888,57
18445,46
-10761,39
49444,28
0
0
0
-213852,26
18445,46
1167852,26
356012,03
18445,46
-954000,00
0,00
0,00
-356012,03
-10761,39
356012,03
625908,05
17858,61
0,00
-9540,00
28620,00
ϕ2
u3
v3
ϕ3
u Po
q
u1
-60
0
-18445,46
0
0
0
0
ϕ1 80,41
49444,28
0
0
0
u2
-60
0
18445,46 -954000,00
0,00
0,00
35
-80
17858,61
0,00
-9540,00 28620,00 X v2
=
213368,57
0,00
-28620,00 57240,00 ϕ2 -80,41 0
0
0
0,00
986197,50
0,00
64395,00 u3
0
0
-28620,00
0,00
1440540,00 -28620,00 v3
0
40
57240,00 64395,00 -28620,00 286200,00 ϕ3
399
q- Po
=
60
=
-80,41
=
60
=
-115
=
80,41
=
0
=
0
=
40
60
-30
-80,41
60
-115
80,41
0
0
40
0
0
0
BÖLÜM 7
MATRSĐ METODLARI
v3
ϕ3
u
Sabitler
0,000485 0,000083 0,000137 0,000202 0,000008
0,000136
0,000000
-0,000052
u1
60
0,000083 0,000029 0,000013 0,000041 -0,000002
0,000013
0,000000
-0,000007
ϕ1
-80,41
0,000137 0,000013 0,000074 0,000036 0,000005
0,000073
0,000000
-0,000021
u2
60
u2
=
0,000202 0,000041 0,000036 0,000097 0,000002
0,000036
0,000000
-0,000018
v2
-115
v2
=
0,000008 -0,000002 0,000005 0,000002 0,000006
0,000005
0,000000
-0,000002
ϕ2
80,41
ϕ2 =
0,000136 0,000013 0,000073 0,000036 0,000005
0,000073
0,000000
-0,000021
u3
0
u3
=
0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000
0,000000
0,000001
0,000000
v3
0
v3
=
-0,000052 -0,000007 -0,000021 -0,000018 -0,000002 -0,000021
0,000000
0,000011
ϕ3
40
ϕ3 =
ϕ1
u1
u2
ϕ2
v2
u3
X
=
Sap2000
=
u1
0,0059930
0,0016520
0,0069710
-0,0007300
-0,0011530
0,0068460
-0,0000130
0,0015590
0,005991
-0,00165
0,006971
-0,00073
0,001153
0,006845
-1,3E-05
-0,00156
ϕ1 =
1-2 çubuğunun global eksendeki uç kuvvetleri=[K1-2]x[d1-2]+ Po
213852,3
356012,0
-18445,5
-213852,3
-356012,0
-18445,5
356012,0
616368,1
10761,4
-356012,0
-616368,1
10761,4
K1-2
-18445,5 -213852,3
10761,4 -356012,0
98888,6
18445,5
18445,5 213852,3
-10761,4 356012,0
49444,3
18445,5
-356012,0
-616368,1
-10761,4
356012,0
616368,1
-10761,4
-18445,5
10761,4
49444,3
18445,5
-10761,4
98888,6
d1-2
0,0059909
0
-0,0016519
0,0069710
-0,0007314
0,0011527
x
=
K1-2x d1-2
60,00
96,51
-80,41
-60,00
-96,51
58,26
60,00
96,51
-80,41
-60,00
-96,51
58,26
+
Po
[P] Uç Kuvvetler (Global Eksende)
-60,00
35
80,41
-60
35
-80,41
0,00
131,51
0,00
-120,00
-61,51
-22,15
=
Bulunan sonuçlar global eksende olduğu için yerel eksenlere çevrilmelidir.
θ = 59.74 için [T]Φ=59.74 x [P1-2]global = [P1-2]yerel
[P1-2]global
[P]yerel
Sap2000
0,5039247
0,86374757
Dönüstürme Matrisi [T]
0
0
0
0
0,00
N1
113,59
-113,60
-0,863748
0,50392474
0
0
0
0
131,51
V1
66,27
-66,27
0
0
1
0
0
0
0,00
M1
0,00
0,00
0
0
0
0,5039247
0,863748
0
N2
-113,60
-113,60
0
0
0
-0,863748
0,503925
0
-61,51
V2
72,65
72,66
0
0
0
0
0
1
-22,15
M2
-22,15
-22,18
K2-3
2-3 Çubuğu [K2-3]x[d2-3]+ Po = Uç
kuvvetler
x
=
-120,00
Po
[P]yerel
Sap2000
954000
0
0
-954000
0
0
0,0069710
d2-3
0
N2
120,00
120,00
0
9540
28620
0
-9540
28620
-0,0007314
0
V2
-18,49
-18,48
0
28620
114480
0
-28620
57240
0,0011527
0
M2
22,15
-22,18
-954000
0
0
954000
0
0
N3
-120,00
-120,00
0
-9540
-28620
0
9540
-28620
-0,0000129
0
V3
18,49
18,48
0
28620
57240
0
-28620
114480
-0,0015591
0
M3
-133,07
133,06
x
+
0
0,0068452
=
θ = 0 olduğu için bulunan uç kuvvetler yerel eksendedir, dönüştürülmesine gerek yoktur.
3-4 Çubuğu [K3-4]x[d3-4]+ Po = Uç
kuvvetler
K3-4
θ = −90 için [T]Φ=-90 x [P3-4]global = [P34]yerel
[P3-4]global
Dönüstürme Matrisi [T]
0,0
64395
-32197,5
0,0
64395,0
0,0068452
0
1431000
0,0
0,0
-1431000
0,0
-0,0000129
0
-18,49
64395,0
0,0
171720
-64395,0
0,0
85860,0
-0,0015591
0
173,07
-32197,5
0,0
-64395
32197,5
0,0
-64395,0
0,0
-1431000
0,0
0,0
1431000
0,0
0
0
18,49
64395,0
0,0
85860
-64395,0
0,0
171720,0
0
0
306,93
[P]yerel
0
0
0
120,00
N3
18,49
-18,48
1
0
0
0
0
0
-18,49
V3
120,00
120,00
0
0
1
0
0
0
M3
173,07
-173,06
0
0
0
0
-1
0
N4
-18,49
18,48
0
0
0
1
0
0
18,49
V4
-120,00
-120,00
0
0
0
0
0
1
306,93
M4
306,93
-306,94
=
x
0
+
0
Sap2000
0
173,07
133.06
22.18
173.06
72.66
18.48
120
113.60
V Alanı
306.94
Moment alanı
[P] Uç Kuvvetler
(Global Eksende)
120,00
0,0
-1
-120,00
Po
32197,5
0
x
d3-4
66.27
400
120
N Alanı
18.48
=
-120,00
BÖLÜM 7
MATRSĐ METODLARI
Çözüm: 1 nolu çubuk k’ çubuğu alınarak yapılan çözüm yapılması durumunda;
1.
2.
3.
Sadece 1 nolu çubuğun rijitlik matrisi k’ olarak oluşturulur
1 nolu çubuğun ankastrelik momentleri k’ çubuğu olarak hesaplanır ve sistem rijitlik matrisine yazılır.
Sistem aynen çözülür.
Eleman
1
K1-2=
o
θ = 59.74


Eleman
2
3
0,0
-210411,7 -358019,3 -9222,7
954000
0
0
-954000
0
0
358019,3 615197,0
0,0
-358019,3 -615197,0 5380,7
0
9540
28620
0
-9540
28620
0
28620
114480
0
-28620
57240
-954000
0
0
954000
0
0
0
-9540
-28620
0
9540
-28620
0
28620
57240
0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
-210411,7 -358019,3
0,0
210411,7
358019,3
9222,7
-358019,3 -615197,0
0,0
358019,3
615197,0 -5380,7
0,0
9222,7
Sin59.74= 0.8637
Cos59.74= 0.5039
Sol Ucu
Moment
Almaz
2
210411,7 358019,3
0,0
-9222,7
5380,7
-5380,7
3
4
32197,5
0,0
64395,0
-32197,5
0,0
64395,0
0,0
1431000,0
0,0
0,0
-1431000,0
0,0
K3-4=EI
o
64395,0
θ = −90


-32197,5
Sin90=-1
Cos90=0
θ = 0o 


Sinθ=0
Cosθ=1
74166,4
2
 0.18 ⋅ 0.50392 3 ⋅ 0.86372 
EI  Aθ2x 3θ y 
+ 2  = 24722.14 
+

 = 210411.67
−3
L  I
L 
6.9462 
 5.4 ⋅ 10
Eleman
K2-3=EI
0,0
171720,0 -64395,0
0,0
85860,0
0,0
-64395,0
32197,5
0,0
-64395,0
0,0
-1431000,0
0,0
0,0
1431000,0
0,0
64395,0
0,0
85860,0
-64395,0
0,0
171720,0
-28620 114480
 EAθ2x 12EIθ2y   5724000 ⋅ 12 12 ⋅ 171720 ⋅ 02 
+
+

=
 = 954000
L3  
6
63

 L
 EAθ2x 12EIθ2y   5724000 ⋅ 02 12 ⋅ 171720 ⋅ (−1)2 
+
+

=
 = 32197.5
L3  
4
43

 L
Sistem rijitlik matrisi
1
D.N.
3
v1
ϕ1
u2
v2
358019,33
615196,96
0,00
-358019,33
-615196,96
5380,69
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
-210411,67
-358019,33
0,00
1164411,67
358019,33
9222,73
-954000,00
0,00
0,00
-358019,33
-615196,96
0,00
358019,33
624736,96
23239,31
0,00
-9540,00
28620,00
u1
210411,67
1 358019,33
0,00
-210411,67
2 -358019,33
-9222,73
2
3
4
ϕ2
u3
v3
Dış
yükler
4
ϕ3
-9222,73
5380,69
0,00
9222,73 -954000,00
0,00
0,00
23239,31
0,00
-9540,00
28620,00
188646,43
0,00
-28620,00 57240,00
0,00
986197,50
0,00
64395,00
-28620,00
0,00
1440540,00 -28620,00
57240,00 64395,00 -28620,00 286200,00
-32197,50
0,00
-64395,00
0,00
-1431000,00
0,00
64395,00
0,00
85860,00
u4
v4
ϕ4
u
Po
q q- Po
u1
-45
0
45
v1
26.25
0
-26.25
ϕ1
0
0
0
u2
-75
0
75
v2
X ϕ2
-32197,50
0,00
64395,00
0,00
-1431000,00
0,00
-64395,00
0,00
85860,00
32197,50
0,00
-64395,00
0,00
1431000,00
0,00
-64395,00
0,00
171720,00
u3
43.75 -80 -123.75
=
-120.62 0 120.62
0
0
v3
0
0
0
ϕ3
0
40
40
u4
0
0
0
v4
0
0
0
ϕ4
0
0
0
0
3
v3
ϕ3
954000+32197.5=986197,5
0+0=0
0+64395=64395
0+0=0
1431000+9540=1440540
0-28620=-28620
0+64395=64395
0-28620=-28620
171720+114480=286200
u3
Sistem rijitlik matrisi (Mesnet Şartlarının Đşlenmesi)
1
D.N.
u1
210411,67
1
-210411,67
2 -358019,33
-9222,73
3
4
2
v1
ϕ1
u2
v2
3
ϕ2
u3
v3
-210411,67 -358019,33 -9222,73
DÜŞEY HAREKET SIFIR
DÖNME ĐHMAL
1164411,67 358019,33 9222,73 -954000,00
0,00
358019,33 624736,96 23239,31
0,00
-9540,00
9222,73
23239,31 188646,43
0,00
-28620,00
-954000,00
0,00
0,00
986197,50
0,00
0,00
-9540,00 -28620,00
0,00
1440540,00
0,00
28620,00 57240,00 64395,00 -28620,00
SABĐT MESNET
401
Dış
yükler
4
ϕ3
0,00
28620,00
57240,00
64395,00
-28620,00
286200,00
u4
v4
ϕ4
u
Po
q q- Po
u1
-45
0
45
-75
0
75
u2
v2
SABĐT MESNET
Xϕ
2
u3
43.75 -80 -123.75
=
-120.62 0 120.62
0
0
v3
0
0
0
ϕ3
0
40
40
0
BÖLÜM 7
MATRSĐ METODLARI
210411,67
-210411,67
-358019,33
-9222,73
0,00
0,00
0,00
-210411,67
1164411,67
358019,33
9222,73
-954000,00
0,00
0,00
}
[d] = [K]−1. q − Po 
[K].[d] + Po  = q
[K] (Rijitlik Matrisinin Son Hali)
-9222,73
9222,73
23239,31
188646,43
0,00
-28620,00
57240,00
-358019,33
358019,33
624736,96
23239,31
0,00
-9540,00
28620,00
0,00
-954000,00
0,00
0,00
986197,50
0,00
64395,00
0,00
0,00
-9540,00
-28620,00
0,00
1440540,00
-28620,00
0,00
0,00
28620,00
57240,00
64395,00
-28620,00
286200,00
işlemi yapıldığında:
[K]-1
q- Po
0,0004851630
0,0001366375
0,0002018302
0,0000081040
0,0001355892
0,0000004592
-0,0000522655
0,0001366375
0,0000744060
0,0000364464
0,0000049578
0,0000733578
-0,0000000803
0,0002018302
0,0000364464
0,0000971541
0,0000016942
0,0000364464
0,0000003150
0,0000081040
0,0000049578
0,0000016942
0,0000060105
0,0000049578
0,0000000814
-0,0000024789
0,0001355892
0,0000733578
0,0000364464
0,0000049578
0,0000733578
-0,0000000803
-0,0000211497
0,00
0,0000004592
-0,0000000803
0,0000003150
0,0000000814
-0,0000000803
0,0000006987
0,0000000402
-0,0000522655
-0,0000211497
-0,0000182232
-0,0000024789
-0,0000211497
0,0000000402
0,0000105749
Hesap
Sap2000
0,0059905
0,0059930
45,00
u1
-0,0000211497
75,00
u2
0,0069709
0,0069710
-0,0000182232
-123,75
v2
-0,0007316
-0,0007300
ϕ2
0,0011527
-0,0011530
u3
0,0068451
0,0068460
0,00
v3
-1,292E-05
-0,0000130
40,00
ϕ3
-0,0015591
0,0015590
x
120,62
=
1-2 çubuğu [K1-2]x[d1-2]+ Po = Uç kuvvetler
K1-2
Po
d1-2
[P] Uç Kuvvetler (Global Eksende)
210411,7
358019,3
0,0
-210411,7
-358019,3
-9222,7
0,0059905
45,00
45,00
-45,00
0,00
358019,3
615197,0
0,0
-358019,3
-615197,0
5380,7
0
105,28
105,28
26,25
131,53
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
-210411,7
-358019,3
0,0
210411,7
358019,3
9222,7
-358019,3
-615197,0
0,0
358019,3
615197,0
-5380,7
-9222,7
5380,7
0,0
9222,7
-5380,7
74166,4
0
0,00
0,00
-45,00
-45,00
-0,0007316
-105,28
-105,28
43,75
-61,53
0,0011527
98,47
98,47
-120,62
-22,15
x
0,0069709
=
+
0,00
-75
=
0,00
-120,00
1 nolu eleman için bulunan sonuçlar global eksende olduğu için lokal eksenlere dönüştürülür.
θ = 59.74 için [T]Φ=59.74 x [P1-2]global = [P1-2]yerel
[P1-2]global
[P]yerel
Sap2000
0,5039247
0,86374757
Dönüstürme Matrisi [T]
0
0
0
0
0,00
N1
113,59
-113,60
-0,863748
0,50392474
0
0
0
0
131,53
V1
66,27
-66,27
0
0
1
0
0
0
0,00
M1
0,00
0,00
0
0
0
0,5039247
0,863748
0
N2
-113,60
-113,60
0
0
0
-0,863748
0,503925
0
-61,53
V2
72,65
72,66
0
0
0
0
0
1
-22,15
M2
-22,15
-22,18
x
-120,00
=
Daha önce bulunan sonuçlarla aynı çıktığı görülmektedir.
Mesnet Tepkilerinin Bulunması,
1. Şekil değiştirmeler (u, v ve ϕ) bulunurken silinen sütunlarda aranan mesnet tepkisi yönündeki
değerler alınarak,
2. Bulunması istenen mesnet tepkileri yönündeki diyagonal terimler (u1u1 ve v1v1) terimler
silinerek bulunan matris serbest düğümlerde bulunan şekil değiştirmelerle çarpılarak
hesaplanır.
3. Örneğin 1 nolu mesnette y yönündeki mesnet tepkisi bulunmak istenirse,
v1 yönündeki sütun silinir,
v1 yönündeki satır değerleri,
v1 yönündeki sütun silinmeyen değerleri
v1v1 değerleri alınmayarak
Elde edilen satır matrisi bulunan şekil değiştirmeler sütun matrisi ile çarpılarak bulunur.
402
BÖLÜM 7
MATRSĐ METODLARI
Sistem rijitlik matrisi
1
D.N.
1
2
3
4
3
v1
ϕ1
u2
v2
ϕ2
358019,33
615196,96
0,00
-358019,33
-615196,96
5380,69
0
0
0
0
0
0
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0
0
0
0
0
0
-210411,67
-358019,33
0,00
1164411,67
358019,33
9222,73
-954000,00
0,00
0,00
0
0
0
-358019,33
-615196,96
0,00
358019,33
624736,96
23239,31
0,00
-9540,00
28620,00
0
0
0
-9222,73
5380,69
0,00
9222,73
23239,31
188646,43
0,00
-28620,00
57240,00
0
0
0
u1
210411,67
358019,33
0,00
-210411,67
-358019,33
-9222,73
0
0
0
0
0
0
2
u3
v3
Dış
yükler
4
ϕ3
u4
u
ϕ4
v4
Po
u1
-45
0
0
0
0
0
0
v1
26.25
0
0
0
0
0
0
0
ϕ1
0
0
0
0
0
0
u2
-75
-954000,00
0,00
0,00
0
0
0
v2
43.75
0,00
-9540,00
28620,00
0
0
0
X ϕ -120.62
0,00
-28620,00 57240,00
0
0
0
2
=
0
986197,50
0,00
64395,00 -32197,50
0,00
64395,00 u3
v3
0
0,00
1440540,00 -28620,00
0,00
-1431000,00
0,00
0
64395,00 -28620,00 286200,00 -64395,00
0,00
85860,00 ϕ3
0
-32197,50
0,00
-64395,00 32197,50
0,00
-64395,00 u4
v4
0
0,00
-1431000,00
0,00
0,00
1431000,00
0,00
0
64395,00
0,00
85860,00 -64395,00
0,00
171720,00 ϕ4
q q- Po
0
45
0
-26.25
0
0
0
75
-80 -123.75
0 120.62
0
0
0
0
40
40
0
0
0
0
0
0
Sistem rijitlik matrisi
1
D.N.
u1
1
2
v1
ϕ1
358019,33
u2
3
ϕ2
v2
-358019,33 -615196,96
u3
5380,69
v3
0
0
Dış
yükler
4
ϕ3
u4
ϕ4
v4
0
2
u
Po
q q- Po
u1
-45
0
45
v1
26.25
0
-26.25
ϕ1
0
0
0
u2
-75
0
75
v2
X ϕ2
u3
3
0
0
0
4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-32197,50
0,00
-64395,00
0,00
-1431000,00
0,00
64395,00
0,00
85860,00
43.75 -80 -123.75
=
-120.62 0 120.62
0
0
v3
0
0
0
ϕ3
0
40
40
u4
0
0
0
v4
0
0
0
ϕ4
0
0
0
0
v1 yönündeki mesnet tepkisinin bulunması aşağıdaki şekilde yapılır.
1. Yukarıdaki matriste bulunan satır matrisi
358019,33
-358019,33
-615196,96
5380,69
0,00
0,00
0,00
2. Serbest uçlarda bulunan şekil değiştirmelerle aşağıdaki şekilde çarpılarak mesnet tepkisi bulunur.
Şekil değiştirmeler
0,0059905
0,0069709
-0,0007316
0,0011527
0,0068451
-1,29E-05
-0,0015591
358019,33
-358019,33
-615196,96
5380,69
0
0
105,2783
0
Y=kxd
k
Sistemdeki tüm mesnet tepkileri ise aşağıdaki şekilde bulunur.
358019,33
-358019,33
-615196,96
5380,69
0,00
0,00
0,00
0,0069709
105,26
26,25
P1X
Mesnet
Tepkileri
131,51
0,00
0,00
0,00
0,00
-32197,50
0,00
-64395,00
-0,0007316
-120,00
0
P2Y
-120,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
-1431000,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
64395,00
0,00
85860,00
0,0059905
x
0,0011527
0,0068451
-1,292E-05
-0,0015591
403
P0
=
18,49
306,93
+
0
0
=
SAP2000
131.52
-120.00
P2X
18,49
18,48
M2
306,93
306.94
BÖLÜM 7
MATRSĐ METODLARI
Uygulama: Verilen sistemin kesit tesirlerinin (V, M ve N) matris yöntemi ile bulunması.
y’
y’
2
x’
2
3
x’
3
4m
m
4
y’
m
2m
2
1
1
3.5m
4
x’
1/800 rad 4
m
6m
m
3.5
6
Elemanların özellikleri ve yükleme matrisi aşağıdaki şekilde belirlenir.
Eleman
1
2
1-2
2-3
6.946
6
3
3-4
4
A (m2)
I (10-3 m4)
L (m)
0.3x.63/12
= 5.4
E (kN/m4)
0.3x0.6=
5724000
0.18
171720
31800000
M4 =
4EI
4 ⋅ 31800000 ⋅ 5.4 ⋅ 10−3 1
ϕ4 =
⋅
= 214.65 kNm
L
4
800
M3 =
2EI
2 ⋅ 31800000 ⋅ 5.4 ⋅ 10−3 1
ϕ4 =
⋅
= 107.33 kNm
L
4
800
− V4 = V3 =
o
(C30/37)
θy = sin θ
θx = cos θ
EI (kNm4)
EA (kN)
(59.74o)
(0o)
0.5039
1
(59.74 )
(0o)
(-90o)
0.8637
0
(-90o)
0
-1
k
Vk
Mki
Mik
ϕi
6EI
6 ⋅ 31800000 ⋅ 5.4 ⋅ 10−3 1
ϕ4 =
⋅
= 80.49 kN
L2
42
800
Vi
i
Eleman rijitlik matrisleri aşağıdaki şekilde hesaplanır.
Eleman
1
K1-2=
Eleman
2
3
210411,7 358019,3
0,0
-210411,7 -358019,3
-9222,7
954000
0
0
-954000
0
0
358019,3 615197,0
0,0
-358019,3 -615197,0
5380,7
K2-3=EI
0
9540
28620
0
-9540
28620
0,0
 θ = 0o 


0
28620
114480
0
-28620
57240
Sinθ=0
Cosθ=1
-954000
0
0
954000
0
0
0
-9540
-28620
0
9540
-28620
0
28620
57240
0
θ = 59.74o 


Sin59.74= 0.8637
Cos59.74= 0.5039
Sol Ucu Moment
Almaz
2
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
-210411,7 -358019,3
0,0
210411,7
358019,3
9222,7
-358019,3 -615197,0
0,0
358019,3
615197,0
-5380,7
0,0
9222,7
-5380,7
74166,4
-9222,7
5380,7
2
EI  Aθ2x 3θ y 
+ 2 =

L  I
L 
 EAθ2x 12EIθ2y 
+

=
L3 
 L
 5724000 ⋅ 12 12 ⋅ 171720 ⋅ 02 
+

 = 954000
6
63


 0.18 ⋅ 0.50392 3 ⋅ 0.86372 
24722.14 
+
 = 210411.67
−3
6.9462 
 5.4 ⋅ 10
Eleman
K3-4=EI
θ = −90o 


Sin90=-1 Cos90=0
-28620 114480
3
4
32197,5
0,0
64395,0
-32197,5
0,0
0,0
1431000,0
0,0
0,0
-1431000,0
0,0
64395,0
0,0
171720,0
-64395,0
0,0
85860,0
-32197,5
0,0
-64395,0
32197,5
0,0
-64395,0
0,0
-1431000,0
0,0
0,0
1431000,0
0,0
64395,0
0,0
85860,0
-64395,0
0,0
171720,0
 EAθ2x 12EIθ2y   5724000 ⋅ 02 12 ⋅ 171720 ⋅ (−1)2 
+
+

=
 = 32197.5
L3  
4
43

 L
404
64395,0
BÖLÜM 7
MATRSĐ METODLARI
Sistem rijitlik matrisi
1
D.N.
3
v1
ϕ1
u2
v2
358019,33
615196,96
0,00
-358019,33
-615196,96
5380,69
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
-210411,67
-358019,33
0,00
1164411,67
358019,33
9222,73
-954000,00
0,00
0,00
-358019,33
-615196,96
0,00
358019,33
624736,96
23239,31
0,00
-9540,00
28620,00
u1
210411,67
1 358019,33
0,00
-210411,67
2 -358019,33
-9222,73
2
3
ϕ2
4
u3
Dış
yükler
4
ϕ3
v3
u4
-9222,73
5380,69
0,00
9222,73 -954000,00
0,00
0,00
23239,31
0,00
-9540,00
28620,00
188646,43
0,00
-28620,00 57240,00
0,00
986197,50
0,00
64395,00
-28620,00
0,00
1440540,00 -28620,00
57240,00 64395,00 -28620,00 286200,00
-32197,50
0,00
-64395,00
0,00
-1431000,00
0,00
64395,00
0,00
85860,00
ϕ4
v4
u
Po
u1
0
0
v1
0
0
0
ϕ1
0
0
0
u2
0
0
0
v2
0
0
0
0
0
0
80,49
0
-80.49
0
0
0
X ϕ
2
-32197,50
0,00
64395
0,00
-1431000,00 0,00
-64395,00
0,00
85860
32197,50
0,00
-64395
0,00
1431000,00 0,00
-64395,00
0,00
171720
u3
=
v3
q q- Po
0
ϕ3
107.33 0 -107.33
u4
-80,49
0
80.49
v4
0
0
0
ϕ4
214.65 0 -214.65
3
v3
ϕ3
954000+32197.5=986197,5
0+0=0
0+64395=64395
0+0=0
1431000+9540=1440540
0-28620=-28620
0-28620=-28620
171720+114480=286200
0+64395=64395
u3
Sistem rijitlik matrisi (Mesnet Şartlarının Đşlenmesi)
1
D.N.
u1
2
ϕ1
v1
u2
210411,67
3
ϕ2
v2
u3
1
-210411,67
2 -358019,33
-9222,73
3
4
ϕ3
v3
-210411,67 -358019,33 -9222,73
DÜŞEY HAREKET SIFIR
DÖNME ĐHMAL
1164411,67 358019,33 9222,73 -954000,00
0,00
358019,33 624736,96 23239,31
0,00
-9540,00
9222,73
23239,31 188646,43
0,00
-28620,00
-954000,00
0,00
0,00
986197,50
0,00
0,00
-9540,00 -28620,00
0,00
1440540,00
0,00
28620,00 57240,00 64395,00 -28620,00
Dış
yükler
4
u4
ϕ4
v4
0,00
28620,00
57240,00
64395,00
-28620,00
286200,00
u
Po
u1
0
0
0
u2
0
0
0
v2
0
0
0
0
0
0
80,49
0
-80.49
0
0
0
Xϕ
SABĐT MESNET
2
u3
=
v3
ϕ3
q q- Po
107.33 0 -107.33
SABĐT MESNET
210411,67
-210411,67
-358019,33
-9222,73
0,00
0,00
0,00
-210411,67
1164411,67
358019,33
9222,73
-954000,00
0,00
0,00
}
[d] = [K]−1. q − P0
[K].[d] + P0  = q
[K] (Rijitlik Matrisinin Son Hali)
-9222,73
9222,73
23239,31
188646,43
0,00
-28620,00
57240,00
-358019,33
358019,33
624736,96
23239,31
0,00
-9540,00
28620,00
0,00
-954000,00
0,00
0,00
986197,50
0,00
64395,00
0,00
0,00
-9540,00
-28620,00
0,00
1440540,00
-28620,00
0,00
0,00
28620,00
57240,00
64395,00
-28620,00
286200,00
işlemi yapıldığında:
[K]-1
q- Po
Hesap
Sap2000
0.00
u1
-0,0053047
0,005305
-0,0000211497
0.00
u2
-0,0036349
0,003635
-0,0000182232
0.00
v2
-0,0009779
0,000978
ϕ2
-0,000133
-0,000133
0.00
u3
-0,0036349
0,003635
-80.49
v3
2,155E-06
2,155E-06
ϕ3
0,0005675
0.000567
0,0004851630
0,0001366375
0,0002018302
0,0000081040
0,0001355892
0,0000004592
-0,0000522655
0,0001366375
0,0000744060
0,0000364464
0,0000049578
0,0000733578
-0,0000000803
0,0002018302
0,0000364464
0,0000971541
0,0000016942
0,0000364464
0,0000003150
0,0000081040
0,0000049578
0,0000016942
0,0000060105
0,0000049578
0,0000000814
-0,0000024789
0,0001355892
0,0000733578
0,0000364464
0,0000049578
0,0000733578
-0,0000000803
-0,0000211497
0,0000004592
-0,0000000803
0,0000003150
0,0000000814
-0,0000000803
0,0000006987
0,0000000402
-0,0000522655
-0,0000211497
-0,0000182232
-0,0000024789
-0,0000211497
0,0000000402
0,0000105749
-107.33
x
0.00
=
1-2 çubuğu [K1-2]x[d1-2]+ Po = Uç kuvvetler
Po
[P] Uç Kuvvetler (Global Eksende)
210411,7
358019,3
0,0
-210411,7
-358019,3
-9222,7
-0,0053047
0,00
0,00
0.00
0,00
358019,3
615197,0
0,0
-358019,3
-615197,0
5380,7
0
3,08
3,08
0.00
3,08
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0
0,00
0,00
-210411,7
-358019,3
0,0
210411,7
358019,3
9222,7
0,00
0,00
0.00
-358019,3
-615197,0
0,0
358019,3
615197,0
-5380,7
-0,0009779
-3,08
-3,08
0.00
-3,08
-9222,7
5380,7
0,0
9222,7
-5380,7
74166,4
-0,000133
10,80
10,80
0.00
10,80
K1-2
d1-2
x
-0,0036349
=
405
+
0.00
=
0,00
0,00
BÖLÜM 7
MATRSĐ METODLARI
Bulunan sonuçlar global eksende olduğu için yerel eksenlere çevrilmelidir.
Dönüstürme Matrisi [T]
cos( θ )
sin( θ )
0
0
0
0
-sin( θ )
cos( θ )
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
cos( θ )
sin( θ )
0
0
0
0
-sin( θ )
cos( θ )
0
0
0
0
0
0
1
[P1-2]global
[P]yerel
Sap2000
0,5039247
0,86374757
Dönüstürme Matrisi [T]
0
0
0
0
0,00
N1
2,66
2.66
-0,863748
0,50392474
0
0
0
0
3,08
V1
1,55
1.55
0
0
1
0
0
0
0,00
M1
0,00
0,00
0
0
0
0,5039247
0,863748
0
N2
-2,66
2.66
0
0
0
-0,863748
0,503925
0
-3,08
V2
-1,55
1.55
0
0
0
0
0
1
10,80
M2
10,80
-10.80
θ = 59.74 için [T]Φ=59.74 x [P1-2]global = [P1-2]yerel
x
=
0,00
2-3 çubuğu ( θ = 0.00 )
K2-3
Po
d2-3
-0,0036349
0,00
954000
0
0
-954000
0
0
-0,0009779
3,08
0
9540 28620
0
-9540 28620
-0,000133
-10,80
0
28620 114480
0
-28620 57240
x
=
-0,0036349
0,00
-954000
0
0
954000
0
0
2,155E-06
-3,08
0
-9540 -28620
0
9540 -28620
0,0005675
29,30
0
28620 57240
0
-28620 114480
3-4 çubuğu
[P] Uç Kuvvetler (Global Eksende)
SAP2000
0,00
0
N2
0,00
0,00
3,08
0
V2
3,08
3,08
0
M2
-10,80
-10,80
0,00
-10,80
+
0,00
0
N3
0,00
-3,08
0
V3
-3,08
3,08
29,30
0
M3
29,30
-29,30
[K3-4]x[d3-4]+ Po = Uç kuvvetler
K3-4
32197,5
0,0
64395,0 -32197,5
0,0
64395,0
0,0
1431000,0
0,0
0,0
-1431000,0
0,0
64395,0
0,0
171720,0 -64395,0
0,0
85860,0
x
-32197,5
0,0
-64395,0 32197,5
0,0
-64395,0
0,0
-1431000,0
0,0
0,0
1431000,0
0,0
64395,0
0,0
85860,0 -64395,0
0,0
171720,0
θ = −90.00 için [T]Φ=59.74 x [P3-4]global = [P3-4]yerel
[P] Uç Kuvvetler
(Global Eksende)
0,00
Po
d3-4
-0,0036349
-80,49
-80,49
2,155E-06
3,08
3,08
0,0005675
-136,63
-136,63
80,49
80,49
-80,49
0.00
-3,08
-3,08
0
-3,08
0.00
-185,35
-185,35
214.65
29,30
0.00
=
[P3-4]global
Dönüstürme Matrisi [T]
80,49
+
[P]yerel
Sap2000
0
-1
0
0
0
0
0,00
N1
-3,08
-3.08
1
0
0
0
0
0
3,08
V1
0,00
0.00
0
0
1
0
0
0
-29,30
M1
-29,30
-29.30
0
0
0
0
-1
0
N2
3,08
-3.08
0
0
0
1
0
0
-3,08
V2
0,00
0.00
0
0
0
0
0
1
29,30
M2
29,30
-29.30
x
0,00
=
0
3,08
107.33
-29,30
=
0,00
Mesnet Tepkilerinin Bulunması
-0,0053047
358019,33
-358019,33
-615196,96
5380,69
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
-32197,50
0,00
-64395,00
-0,0036349
3,08
-0,0009779
x
Mesnet
Tepkileri
SAP2000
P1X
3,08
-3,08
P2Y
0,00
0,00
P0
0
80,49
=
-80,49
+
=
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
-1431000,00
0,00
-0,000133
-3,08
0
P2X
-3,08
3,08
0,00
0,00
0,00
0,00
64395,00
0,00
85860,00
-0,0036349
-185,35
214.65
M2
29,3
29,3
2,155E-06
0,0005675
406
BÖLÜM 7
MATRSĐ METODLARI
Eleman
L (m)
I (10-3 m4)
1
2
1-2
2-3
4
4
5.0
3
3-4
6
11.25
4
5
2-5
5-4
6
4
A (m2)
10
1.10
E (kN/m4)
EA (kN)
1,576.1016
15760000
15.0
5.0
θy = sin θ
θx = cos θ
EI (kNm4)
o
78800
(90 ) 0
(90o) 0
(90o) 1
(90o) 1
177300
(0o) 1
(0o) 0
236400
o
(0 ) 1
(0o) 0
78800
o
(90o) 1
(90 ) 0
ÖRNEK: Şekilde verilen çerçevenin M alanının MATRĐS yöntemi ile elde edilmesi. [C30/37]
50 kN/m
Çözüm: Üzerinde yük bulunan eğik çubuktaki kesit tesirleri
6m
Tüm kesitler
60
100
1
6m
L (m)
Eleman
1
2
1-2
2-3
6
8.485
3
3-4
8.485
4
4-5
I (10-3 m4)
A (m2)
E (kN/m4)
EA (kN)
1x0.6=
0.60
(C30/37)
31800000
19080000
m
6
o
0.707
(-90 )
(-45o)
-1
-0.707
o
0.707
(45o)
0.707
o
0
(90o)
1
o
0
o
(-45 )
(45 )
(90 )
407
θy = sin θ
θx = cos θ
EI (kNm4)
1590000
m
5
6
(-90 )
0.6x13/12
=0.05
6
BÖLÜM 7
MATRSĐ METODLARI
Uygulama: Şekilde verilen çerçevenin M alanın elde edilmesi.
2.25I

0.5
I 4m
0.5 4m
10 kN/m

0.75
10 kN/m

k’=0.75

A I
0.5
4m

6
m
6
m
Çözüm: Düğüm noktaları, eleman numaraları ve elemanların açıları aşağıdaki tabloda belirlenmiştir.
Eleman
1
K1-2=
-29550
2,412554
3,94E+16
1,81E-12
-29550
1,81E-12
78800
29550
-1,81E-12
39400
-14775
-2,41255
29550
14775
2,412554
29550
θ = 90


-14775
Eleman
2,412554
o
Sin90= 1.00
Cos90= 0.00
2
14775
-2,41255
-2,41255 -3,94E+16
-2,41255 -3,94E+16 -1,81E-12 2,412554 3,94E+16
-29550
1,81E-12
39400
29550
1,81E-12
K2-3=
o
θ = 90


-1,81E-12
-1,81E-12
1
2,412554
-29550
2,412554
3,94E+16
1,81E-12
-29550
1,81E-12
78800
29550
-1,81E-12
39400
-14775
-2,41255
29550
14775
2,412554
29550
-2,41255
-29550
-2,41255 -3,94E+16
1,81E-12
1,81E-12
39400
29550
-1,81E-12
-1,81E-12
78800
 1 ⋅ 1010 ⋅ 0.002 12 ⋅ 1.002 
12θ 
EI  Aθ
+
+ 2  = 19700 
 = 14775

−3
42
L  I
L 
 5.0 ⋅ 10

2
y
2
x
2
Eleman
0
0
-2,63E+16
0
0
0
9850
29550
0
-9850
29550
K2-5=
 θ = 0o 


o
-14775
-2,41255 -3,94E+16 -1,81E-12 2,412554 3,94E+16
2,63E+16
K3-4=
3
14775
-29550
 1 ⋅ 1010 ⋅ 0.002 12 ⋅ 1.002 
12θ 
EI  Aθ
+
+ 2  = 19700 
 = 14775

−3
42
L  I
L 
 5.0 ⋅ 10

Eleman
Sin90= 1.00
Cos90= 0.00
78800
2
y
2
x
2
-29550
θ = 0


0
29550
118200
0
-29550
59100
Sin90= 0.00
Cos90= 1.00
2.25 EI
-2,63E+16
0
0
2,63E+16
0
0
0
-9850
-29550
0
9850
-29550
0
29550
59100
0
-29550
118200
2
Sin90= 0.00
Cos90= 1.00
3 EI
SağUcu Moment Almaz
3
2,63E+16
0
0
-2,63E+16
0
0
0
3283,333
19700
0
-3283,33
0
0
19700
118200
0
-19700
0
-2,63E+16
0
0
2,63E+16
0
0
0
-3283,33
-19700
0
3283,333
0
0
0
0
0
0
0
EI  Aθ2x 12θ  177300 1 ⋅ 1010 ⋅ 1.002 12 ⋅ 0.002 
EI  Aθ2x 3θ  236400 1 ⋅ 1010 ⋅ 1.002 3 ⋅ 0.002 
16
16
+ 2 =
+
+
+

 = 2.63 ⋅ 10

 = 2.63 ⋅ 10


=
−3
2
−3
L  I
L 
6
11.25
⋅
10
4
L  I
L 
6
62
 15.0 ⋅ 10



2
y
2
y
2
Eleman
K5-4=
θ = 90o 


2
EI  Aθ2x 3θy 
+ 2 =

-3693,75 -2,41255 -14775
L  I
L 
-2,41255 -3,94E+16 9,05E-13
78800  1 ⋅ 1010 ⋅ 0.002 3 ⋅ 1.002 
+

 = 3693.75
0
0
0
42 
4 
5 ⋅ 10−3
1
3693,75
2
2,412554
0
2,412554 3,94E+16
0
0
0
0
-3693,75
-2,41255
0
3693,75
0
2,412554 3,94E+16 -9,05E-13
Sin90= 1.00
Cos90= 0.00
Sol Ucu
Moment -2,41255 -3,94E+16
Almaz
-14775
9,05E-13
0
14775
2,412554
-9,05E-13
14775
59100
Sistem Rijitlik Matrisi
D.N.
1
u1
1
2
3
14775,00
2,41
-29550,00
-14775,00
-2,41
-29550,00
2
3
v1
ϕ1
u2
v2
ϕ2
2,41
3,94E+16
0,00
-2,41
-3,94E+16
0,00
-29550,00
0,00
78800,00
29550,00
0,00
39400,00
-14775,00
-2,41
29550,00
2,63E+16
4,83
0,00
-2,41
-3,94E+16
0,00
4,83
7,88E+16
19700,00
-29550,00
0,00
39400,00
0,00
19700,00
275800,00
-14775,00
-2,41
-29550,00
-2,41
-3,94E+16
0,00
29550,00
0,00
39400,00
ϕ3
-14775,00
-2,41
29550,00
-2,41
-3,94E+16
0,00
-29550,00
0,00
39400,00
2,63E+16
2,41
29550,00
-2,63E+16
0,00
0,00
2,41
3,94E+16
29550,00
0,00
-9850,00
29550,00
29550,00
29550,00
197000,00
0,00
-29550,00
59100,00
u4
v4
5
ϕ4
u5
v5
ϕ5
-2,63E+16
0,00
0,00
0,00
-3283,33
-19700,00
0,00
0,00
0,00
-2,63E+16
0,00
0,00
-2,63E+16
0,00
0,00
2,63E+16
2,41
14775,00
-3693,75
0,00
-3283,33
-19700,00
-2,41
-3,94E+16
0,00
2,41
3,94E+16
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
4
5
4
v3
u3
408
0,00
-9850,00
-29550,00
2,41
3,94E+16
-29550,00
-2,41
0,00
29550,00
59100,00
14775,00
-29550,00
177300,00
-14775,00
-3693,75
-2,41
-14775,00
2,63E+16
-2,41
-3,94E+16
0,00
2,41
0,00
0,00
0,00
0,00
BÖLÜM 7
MATRSĐ METODLARI
Sistem Rijitlik Matrisi (Mesnet Şartlarının Đşlenmesi)
D.N.
1
u1
2
ϕ1
v1
u2
3
ϕ2
v2
u3
4
ϕ3
v3
u4
5
ϕ4
v4
ϕ5
u5
v5
-2,63E+16
0,00
0,00
0,00
-3283,33
-19700,00
-3693,75
-2,41
-14775,00
2,63E+16
2,41
-2,41
-3,94E+16
0,00
2,41
3,94E+16
SABĐT MESNET
2
3
4
2,63E+16
4,83
0,00
-14775,00
-2,41
4,83
7,88E+16
19700,00
-2,41
-3,94E+16
0,00
19700,00
275800,00
29550,00
0,00
-14775,00
-2,41
29550,00
2,63E+16
2,41
-2,41
-3,94E+16
0,00
2,41
3,94E+16
-29550,00
0,00
39400,00
29550,00
29550,00
-29550,00
0,00
39400,00
29550,00
-2,63E+16
0,00
0,00
29550,00
0,00
-9850,00
29550,00
197000,00
0,00
-29550,00
59100,00
-2,63E+16
0,00
5
0,00
-3283,33
0,00
-19700,00
-2,63E+16
0,00
0,00
-9850,00
0,00
29550,00
0,00
2,63E+16
2,41
14775,00
-3693,75
-2,41
-29550,00
2,41
3,94E+16
-29550,00
-2,41
-3,94E+16
59100,00
14775,00
-29550,00
177300,00
-14775,00
0,00
Dönme Đhmal
SABĐT MESNET
1
Dönme Đhmal
2,63E+16
4,83
0,00
-14775,00
-2,41
-29550,00
-2,63E+16
0,00
4,83
7,88E+16
19700,00
-2,41
-3,94E+16
0,00
0,00
-3283,33
0,00
19700,00
275800,00
29550,00
0,00
39400,00
Rijitlik Matrisi Son Hali
-2,41
-29550,00
-3,94E+16
0,00
0,00
39400,00
2,41
29550,00
-2,63E+16
3,94E+16
29550,00
0,00
29550,00
197000,00
0,00
0,00
0,00
2,63E+16
-9850,00
-29550,00
2,41
29550,00
59100,00
14775,00
-3693,75
-2,41
-14775,00
-2,41
29550,00
2,63E+16
2,41
29550,00
-2,63E+16
0,00
0,00
0,00
-19700,00
}
[d] = [K]−1. q − Po 
[K].[d] + Po  = q
0,00
-9850,00
-29550,00
2,41
3,94E+16
-29550,00
-2,41
-3,94E+16
0,00
29550,00
59100,00
14775,00
-29550,00
177300,00
-14775,00
0,00
-2,63E+16
0,00
0,00
0,00
-3283,33
-19700,00
-3693,75
-2,41
-14775,00
2,63E+16
2,41
-2,41
-3,94E+16
0,00
2,41
3,94E+16
x
u
q-P0
u2
v2
ϕ2
u3
v3
ϕ3
u4
v4
ϕ4
u5
v5
0
-37,5
-45
0
0
0
0
0
0
0
-22,5
=
işlemi yapıldığında:
Rijitlik Matrisi Son Hali
2,711E-04
2,944E-20
-1,016E-04
6,777E-04
2,944E-20
2,538E-17
-1,678E-20
1,035E-19
-1,016E-04
-1,678E-20
5,077E-05
-3,047E-04
6,777E-04
1,035E-19
-3,047E-04
2,004E-03
2,739E-20
2,538E-17
-1,506E-20
7,807E-18
-1,016E-04
-1,981E-20
5,076E-05
-3,298E-04
6,777E-04
1,035E-19
-3,047E-04
2,004E-03
-6,095E-04
2,526E-17
3,045E-04
-1,920E-03
-1,016E-04
-1,944E-20
5,075E-05
-3,206E-04
2,711E-04
2,944E-20
-1,016E-04
6,777E-04
-6,095E-04
2,526E-17
3,045E-04
-1,920E-03
2,739E-20
-1,016E-04
6,777E-04
-6,095E-04
2,538E-17
-1,981E-20
1,035E-19
2,526E-17
-1,506E-20
5,076E-05
-3,047E-04
3,045E-04
7,807E-18
-3,298E-04
2,004E-03
-1,920E-03
5,076E-17
-3,368E-18
7,807E-18
3,015E-17
-3,368E-18
6,434E-05
-3,298E-04
3,446E-04
7,807E-18
-3,298E-04
2,004E-03
-1,920E-03
3,015E-17
3,446E-04
-1,920E-03
2,072E-03
-2,962E-18
5,500E-05
-3,206E-04
3,397E-04
2,739E-20
-1,016E-04
6,777E-04
-6,095E-04
3,015E-17
3,446E-04
-1,920E-03
2,072E-03
-1,016E-04
2,711E-04
-6,095E-04
-1,944E-20
2,944E-20
2,526E-17
5,075E-05
-1,016E-04
3,045E-04
-3,206E-04
6,777E-04
-1,920E-03
-2,962E-18
2,739E-20
3,015E-17
5,500E-05
-1,016E-04
3,446E-04
-3,206E-04
6,777E-04
-1,920E-03
3,397E-04
-6,095E-04
2,072E-03
6,217E-05
-1,016E-04
3,397E-04
-1,016E-04
2,711E-04
-6,095E-04
3,397E-04
-6,095E-04
2,072E-03
x
q-P0
d
SAP2000
0
-37,5
-45
0
0
0
0
0
0
0
-22,5
0,01828649
0,00000000
-0,00913577
0,05691252
0,018275
0,00000
0,009137
0,056908
0,00000
0,010042
0,056908
-0,060362
0,009932
0,018275
-0,060362
=
0,00000000
-0,01003695
0,05691252
-0,06032158
-0,00992678
0,01828649
-0,06032158
1-2 çubuğu
K1-2
14775
2,412554
-29550
-14775
-2,41255
-29550
2,412554
3,94E+16
1,81E-12
-2,41255
-3,94E+16
1,81E-12
-29550
1,81E-12
78800
29550
-1,81E-12
39400
d1-2
-14775
-2,41255
29550
14775
2,412554
29550
-2,41255
-3,94E+16
-1,81E-12
2,412554
3,94E+16
-1,81E-12
-29550
1,81E-12
39400
29550
-1,81E-12
78800
x
0
0
0
0,01828649
0,00000000
-0,00913577
-0,22
59,82
180,42
0,22
-59,82
-179,53
=
-0,22
59,82
180,42
0,22
-59,82
-179,53
+
Po
[P] Uç Kuvvetler (Global Eksende)
0
0
0
0
0
0
-0,22
59,82
180,42
0,22
-59,82
-179,53
Bulunan sonuçlar global eksende olduğu için yerel eksenlere çevrilmelidir.
θ = 90.00 için
Dönüstürme Matrisi [T]
cos( θ )
sin( θ )
-sin( θ )
cos( θ )
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
cos( θ )
sin( θ )
0
0
0
0
-sin( θ )
cos( θ )
0
0
0
0
0
0
1
0
0
[T]Φ=90.00 x [P1-2]global = [P1-2]yerel
Dönüstürme Matrisi [T]
0
0
0
-1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
1
0
0
409
0
0
0
0
0
1
x
[P1-2]global
-0,22
59,82
180,42
0,22
-59,82
-179,53
=
N1
V1
M1
N2
V2
M2
[P]yerel
59,82
0,22
180,42
-59,82
-0,22
-179,53
Sap2000
60,00
0,00
180,00
60,00
0,00
180,00
BÖLÜM 7
MATRSĐ METODLARI
2-3 çubuğu
K2-3
[P] Uç Kuvvetler (Global
Eksende)
-4,05
Po
d2-3
14775
0
-29550
-14775
0
-29550
0,01827464
-4,05
-4,05
0
0
3,94E+14
0,00E+00
0
-3,94E+14
0,00E+00
-1,52E-13
4,32
4,32
0
4,32
-29550
0,00E+00
78800
29550
0,00E+00
39400
-0,00913734
25,92
25,92
0
25,92
-14775
0
29550
14775
0
29550
4,05
4,05
0
4,05
0
-3,94E+14
0,00E+00
0
3,94E+14
0,00E+00
0,00000000
-4,32
-4,32
0
-4,32
-29550
0,00E+00
39400
29550
0,00E+00
78800
-0,01004195
-9,72
-9,72
0
-9,72
x
=
0,05690730
+
θ = 90.00 için [T]Φ=90.00 x [P2-3]global = [P2-3]yerel
[P]yerel
Sap2000
0
Dönüstürme Matrisi [T]
1.00
0
0
0
0
[P2-3]global
-4,05
N2
4,32
-4,32
-1.00
0
0
0
0
0
4,32
V2
4,05
4,05
0
0
1
0
0
0
25,92
M2
25,92
25,92
0
0
0
0
1.00
0
N3
-4,32
-4,32
0
0
0
-1.00
0
0
-4,32
V3
-4,05
4,05
0
0
0
0
0
1
-9,72
M3
-9,72
-9,72
x
=
4,05
3-4 çubuğu ( θ = 0.00 )
K3-4
Po
d3-4
[P] Uç Kuvvetler (Global Eksende)
SAP2000
2,63E+14
0
0
-2,63E+14
0
0
0,05690730
-4,05
-4,05
0
N3
-4,05
4,05
0
9850
29550
0
-9850
29550
0,00000000
4,32
4,32
0
V3
4,32
-4,32
9,72
9,72
0
M3
9,72
-9,72
4,05
4,05
0
N4
4,05
4,05
0
29550
118200
0
-29550
59100
-2,63E+14
0
0
2,63E+14
0
0
0
-9850
-29550
0
9850
-29550
-0,06036137
-4,32
-4,32
0
V4
-4,32
-4,32
0
29550
59100
0
-29550
118200
-0,00993230
16,20
16,20
0
M4
16,20
16,20
x
-0,01004195
0,05690730
=
+
5-4 çubuğu
3693,75
0
0
-3693,75
0
-14775
0,01827464
4,05
4,05
0
[P] Uç Kuvvetler (Global
Eksende)
4,05
0
3,94E+14
0
0
-3,94E+14
0,00E+00
-0,06036137
-4,32
-4,32
0
-4,32
0
0
0
0
0
0
0,00
0,00
0,00
-3693,75
0
0
3693,75
0
14775
-4,05
-4,05
0
-3,94E+14
0
0
3,94E+14
0,00E+00
-0,06036137
4,32
4,32
0
4,32
-14775
0,00E+00
0
14775
0,00E+00
59100
-0,00993230
-16,20
-16,20
0
-16,20
K5-4
Po
d5-4
x
0,05690730
=
+
0
0,00
0
-4,05
θ = 90.00 için [T]Φ=90.00 x [P5-4]global = [P5-4]yerel
Dönüstürme Matrisi [T]
[P5-4]global
[P]yerel
Sap2000
0
1.00
0
0
0
0
4,05
N2
-4,32
4,32
-1.00
0
0
0
0
0
-4,32
V2
-4,05
-4,05
0
0
1
0
0
0
M2
0,00
0,00
0
0
0
0
1.00
0
N3
4,32
4,32
0
0
0
-1.00
0
0
4,32
V3
4,05
-4,05
0
0
0
0
0
1
-16,20
M3
-16,20
16,20
0,00
x
=
-4,05
2-5 çubuğu ( θ = 0.00 )
2,63E+14
0
0
-2,63E+14
0
0
0,01827464
4,05
4,05
0
N5
[P] Uç Kuvvetler (Global
Eksende)
4,05
0
3283,333
19700
0
-3283,33
0
-1,52E-13
0,00913734
0,01827464
0,06036137
0,00
18,18
18,18
37,5
V5
55,68
-55,68
109,09
109,09
45
M5
154,09
-154,09
-4,05
-4,05
0
N4
-4,05
4,05
-18,18
-18,18
22,5
V4
4,32
4,32
0,00
0,00
0
M4
0,00
0,00
K2-5
Po
d2-5
0
19700
118200
0
-19700
0
-2,63E+14
0
0
2,63E+14
0
0
0
-3283,33
-19700
0
3283,333
0
0
0
0
0
0
0
x
=
410
+
SAP2000
4,05
BÖLÜM 7
MATRSĐ METODLARI
Mesnet Tepkilerinin Bulunması
Sistem rijitlik matrisinde mesnet tepkilerine karşı gelen satırlardan silinen sütun değerleri ayıklandıktan
sonra kalan matris ile şekil değiştirmeler çarpılarak aşağıdaki şekilde elde edilir.
Sistem Rijitlik Matrisi
D.N.
1
2
3
v1
ϕ1
u2
v2
ϕ2
14775,00
0,00
-29550,00
-14775,00
0,00
0,00
3,94E+14
0,00
0,00
-3,94E+14
-29550,00
0,00
78800,00
29550,00
0,00
-14775,00
0,00
29550,00
2,63E+14
0,00
0,00
-3,94E+14
0,00
0,00
7,88E+14
-29550,00
0,00
39400,00
0,00
19700,00
-29550,00
0,00
39400,00
0,00
-14775,00
0,00
-29550,00
19700,00
0,00
-3,94E+14
0,00
275800,00
29550,00
0,00
39400,00
u1
1
2
3
4
-2,63E+14
0,00
0,00
5
0,00
-3283,33
0,00
ϕ3
-14775,00
0,00
0,00
-3,94E+14
-29550,00
0,00
29550,00
2,63E+14
0,00
29550,00
-2,63E+14
0,00
0,00
0,00
0,00
3,94E+14
29550,00
0,00
-9850,00
29550,00
39400,00
29550,00
29550,00
197000,00
0,00
-29550,00
59100,00
0,00
-29550,00
0,00
-3,94E+14
0,00
29550,00
0,00
39400,00
0,01827464
x
-1,52E-13
-0,00913734
0,00
=
u4
0,00
-19700,00
0,00
P0
-14775,00
4
v3
u3
60,00
180,00
0,00
0,00
5
ϕ4
u5
v5
ϕ5
-2,63E+14
0,00
0,00
-3283,33
0,00
0,00
0,00
-19700,00
0,00
-2,63E+14
0,00
0,00
2,63E+14
0,00
14775,00
0,00
-9850,00
-29550,00
0,00
3,94E+14
-29550,00
0,00
29550,00
59100,00
14775,00
-29550,00
177300,00
-3693,75
0,00
-14775,00
0,00
-3,94E+14
0,00
0,00
0,00
0,00
-3693,75
0,00
0,00
0,00
-3,94E+14
0,00
-14775,00
0,00
0,00
2,63E+14
0,00
0,00
0,00
3,94E+14
0,00
0,00
0,00
0,00
Mesnet Tepkileri
0,00
+
v4
=
P1x
0,00
P1y
60,00
M1
180,00
9.72
16.2
154.08
0.0
25.92
Moment alanı
180
NOT: Yukarıdaki matriste şekil değiştirmelerin sıfır olması sitemin mesnet tepkileri itibari ile izostatik
olduğunu gösterir.
411
BÖLÜM 7
MATRSĐ METODLARI
YARARLANILAN KAYNAKLARDAN BAZILARI
1. R.Aydın, “Yapı Statiği Hiperstatik Sistemler Matris Metodları”, Eskişehir, 1985
2. V. Aykut, “Yapı Statiği”, Eskişehir DMMA Yayınları, III. Baskı, 1976.
3. V. Aykut, “Yapı Statiği II”, Eskişehir DMMA Yayınları (Ders Notları), 1976.
4. Crocky, Evans, Griffitths, The Finite Element Methods, Granada Publishing, 1979.
5. A. Çakıroğlu, E Çetmeli, “Yapı Statiği II”, 9. Baskı, Beta Yayınevi, Đstanbul, 1996
6.
M.K. Tanrıkulu, “Yapı Statiği (Hiperstatik sistemler)”, Güven Kitapevi, Ankara, 1974
7. Dadeppo, D., A., Introduction to Structural Mechanics and Analysis, Prentice Hall, 1979.
8. H.H. West, “Fundamental of Structural Analysis”, John Wiley &Sons. Inc., 1993.
9. R.C. Hibbeler, “Structural Analysis”, Prentice Hall Inc., 1995.
10. L.C. Tartaglione “Structural Analysis”, McGraw-Hill Book Co., 1995.
11. T. Sabis, “Yapı Statiği (Hiperstatik sistemler)”, Đstanbul, 1963.
12. A.A. Kasumov, “Yapı Statiği ”, Beta Yayınevi, Đstanbul, 1997.
13. V.Aykurt, R. Aydın, “Đzostatik dolu Gövdeli ve Kafes Sistemler Ait Çözülmüş Problemler”,
Eskişehir, 1977.
14. M.Đnan, “Cisimlerin Mukavemeti”, Đstanbul teknik Üniversitesi Yayını, No. 45, 1970.
15. N. Kadıoğlu, H.Engin, M.Bakioğlu, “Mukavemet Problemleri”, Beta Yayınevi, Đstanbul, 1996.
16. Fleming, J., F., “Analysis of Structural Systems, Prentice Hall, 1997.
17. French, S., E., “Fundamental of Structural Analysis”, West Publishing Company, 1995.
18. Timeshenko, S., “Strength of Materials”, Part I-II, D. Van Nostrand Company, 1957.
19. Đnan, E., E., “Cisimlerin Mukavemeti Çözümlü Problemler”, Đ.T.Ü., 1979.
20. Kaya, Đ., “Cisimlerin Mukavemeti ”, Đ.T.Ü., Yayını, 1987.
21. TS5000 Betonarme Yapıların Tasarım ve Yapım Kuralları, TSE,
412

Download Report

Plazma Nitrürleme Detay - Avantajlar

BÖLÜM 6 - bilgisayarıma indir

BÖLÜM 3- KAFES SİSTEMLER

Consigli per le azioni di lotta

BÖLÜM 7 - bilgisayarıma indir

Plazma Nitrürleme Detay - Avantajlar

BÖLÜM 6 - bilgisayarıma indir

BÖLÜM 3- KAFES SİSTEMLER

Consigli per le azioni di lotta

Paperzz.com

Your Paperzz