˙ cin Enerji-Momentum Tens¨
Perfect Fluid (ideal akı¸skan) I¸
or¨
u
Tik = (ρ + p) ui uk + pgik
Burada ρ yo˘gunluk, p basın¸c ve ui 4-l¨
u hız vekt¨or¨
ud¨
ur (ui ui = −1).
¨
Ozellikler:
Tik uk = −ρui ,
Tik ui uk = ρ,
1
1
Rik ui uk = Tik − T gik ui uk = (ρ + 3p) ,
2
2
1
1
Tik − T gik = (ρ + p) ui uk + (ρ − p) gik
2
2
Burada T = g ik Tik = T ii = 3p − ρ, yani Tik nın izidir. Zayıf, dominant ve kuvvetli enerji
¸sartlarından ρ ≥ 0 ve ρ + 3p ≥ 0 elde edilir.
p ile ρ arasında p = (γ − 1) ρ ba˘gıntısı (barotropik denklem) kabul edilir. Burada 1 ≤ γ ≤ 2
arasında de˘gerler alır. γ = 34 ise radiation (ı¸sınım) ¸ca˘gı, γ = 2 ise stiff madde, γ = 1 ise toz
akı¸skan (Tik = ρui uk ) elde edilir.
Viskoz fluid i¸cin enerji-momentum tens¨or¨
u:
Tik = (ρ + p − ξθ) ui uk + (p − ξθ) gik − 2ησik
Burada ρ yo˘gunluk, p basın¸c ve η, ξ shear ve bulk viskozite katsayıları, θ skaler geni¸sleme ve
σik shear tens¨or¨
ud¨
ur.
Buradaki niceliklerin de˘gerleria¸sa˘gıdadır:
√
1
−gui ,i
(Skaler) Geni¸sleme θ = ui;i = g ik ui;k = √
−g
Shear Tens¨
or¨
u µik = ui;k + uk;i + u˙ i uk + u˙ k ui olmak u
¨zere
1
1
1
σik = u(i;k) + u˙ (i uk) − θhik = µik − θhik
3
2
3
dir. σik uk = 0,
σ ii = g ik σik = 0,
˙
Ivme
Vekt¨
or¨
u u˙ i = ui;k uk ,
1
σ 2 = σik σ ik
2
u˙ i ui = 0
˙ u¸su
Izd¨
¨ m Tens¨
or¨
u hik = hki = gik + ui uk ,
hik uk = 0,
hii = g ik hik = 3,
hik ui;k = θ
1
1
Tik − T gik = (ρ + p − ξθ) ui uk + (ρ − p + ξθ) gik − 2ησik
2
2
Tik = (ρ + p) ui uk + pgik − ηµik
2
p = p − ξ − η θ,
T = 3p − ρ − 2ηθ
3
1
Rotasyon Tens¨
or¨
u
ωik = u[i;k] + u˙ [i uk] =
1
(ui;k − uk;i + u˙ i uk − u˙ k ui )
2
Vorticity (Girdaplanma) Vekt¨
or¨
u
1
eiklm uk ωlm
ωi = √
2 −g
ωik uk = 0,
ωi ui = 0,
1
ω 2 = ωik ω ik = ωi ω i
2
¨
Ozellikler:
Tik uk = −ρui ,
Tik ui uk = ρ,
1
1
i k
Rik u u = Tik − T gik ui uk = [ρ + 3 (p − ξθ)]
2
2
Burada T = 3 (p − ξθ) − ρ dir.
Zayıf enerji ¸sartı: Tik ui uk ≥ 0 ⇒ ρ ≥ 0
Dominant enerji ¸sartı: Til T lk ui uk≥ 0 ⇒ ρ2 ≥ 0
1
1
Kuvvetli enerji ¸sartı: Rik ui uk = Tik − T gik ui uk ≥ 0 ⇒ [ρ + 3 (p − ξθ)] ≥ 0
2
2
˙
Isı Akısı I¸
cin Enerji-Momentum Tens¨
or¨
u
Tik = 2q(i uk) = qi uk + qk ui
ile tanılanır. qi ısı akısı (heat flow) vekt¨or¨
ud¨
ur ve y¨on¨
u y¨
uksek sıcaklıktan d¨
u¸su
¨k sıcaklı˘ga
do˘grudur.
qi ui = 0 komoving hızlar i¸cin q4 = 0 olur.
Q2 = qi q i ,
q i = g ik qk ,
qi = −κhik (T,k + T u˙ k )
olarak tanmlanır. Burada κ ısı iletim katsayısı (heat conduction coefficient), T sıcaklık ve
hik = gik + ui uk izd¨
u¸su
¨m tens¨or¨
ud¨
ur.
˙
Radiation (I¸sınım I¸cin Enerji-Momentum Tens¨
or¨
u
1
Perfect fluid enerji-momentum tens¨or¨
unde p = ρr alınarak bulunur.
3
4
1
Tik = ρr ui uk + ρr gik
3
3
Burada ρr ı¸sınım yo˘gunlu˘gudur.
˙ cin Enerji-Momentum Tens¨
Massive Skaler Alan I¸
or¨
u
1
1
,l
2 2
Tik =
V,i V,k − gik V,l V − M V
4π
2
2
where M is related to the mass m of the zero-spin particle by M = 2πm
=m
, h being Planck’s
h
~
h
costant, ~ = 2π . Skaler alan Mezon skaler alanı olarak alınabilir. Bu durumda M mezonun
durgun k¨
utlesi olur.
V,i = V;i =
∂V
,
∂xi
V ,i = V ;i = g ik V;k = g ik V,k
V;ik = V;i;k =
∂V
∂xi
V,i V ,i = g ik V,i V,k
;k
2
∂ V
∂
l
V;ik = V,i,k − Γ ik V,l =
− Γ ik
∂xi ∂xk
∂xl
1
1
2
,i
ik
i
2 2
Rik = χ Tik − Rgik = χ V,i V,k − gik M V
T = g Tik = T i = 2M V,i V ,
2
2
˙ cin Klein-Gordon (Skaler Dalga) Denklemi
Massive Skaler Alan I¸
l
g ik V;ik + M 2 V = 0 veya V ;i;i + M 2 V = 0
M = 0 ise Zero-Mass Skaler elde edilir.
˙ cin Enerji Momentum Tens¨
Zero-Mass (Massless) Skaler Alan I¸
or¨
u
1
1
,l
Tik =
V,i V,k − gik V,l V
4π
2
Rik = χV,i V,k
Klein-Gordon Denklemi
√
1 ∂ √
g ik V;ik = 0 veya V ;i;i = 0, veya √
−gV ,i ⇒
−gV ,i ,i = 0
i
−g ∂x
String Bulutu i¸cin enerji-momentum tens¨
or¨
u:
Tik = ρ ui uk − λxi xk
Burada ρ par¸cacıklardan olu¸san string bulutu i¸cin durgun enerji yo˘gunlu˘gu, λ string gerilim
yo˘gunlu˘gu, ui string bulutunun 4-l¨
u hızı ve xi string y¨on¨
un¨
u yani anizotropi y¨on¨
un¨
u g¨osteren
4-l¨
u vekt¨ord¨
ur.
¨
Ozellikler:
ui ui = −1 ui = zamansal,
xi xi = 1 xi = uzaysal,
ui x i = 0
T = g ik Tik = − (ρ + λ) , Tik uk = −ρui ,
Tik ui uk = ρ,
1
1
1
Rik ui uk = Tik − T gik ui uk = (ρ − λ) = ρp ,
2
2
2
1
1
Tik − T gik = ρ ui uk − λxi xk + (ρ + λ) gik
2
2
Burada ρp = ρ − λ par¸cacık enerji yo˘gunludur.
˙ cin Durum Denklemleri (The State Equations for Strings):
Stringler I¸
3
1) Takabayashi String (P-String): ρ = (1 + ω) λ,
ω > 0, ρp = ωλ,
ω bir sabit.
The equation of state for a cloud of Takabayashi strings (or P-strings) is
ρ = (1 + ω)λ,
(ρp = ωλ),
where ω is a constant, such that ω > 0. This equation is a direct consequence of Takabayashi’s model of ”realistic” strings. When ω is very small only geometric strings
appear and for very large ω, particles dominate over strings.
2) Nambu String (Geometrik String): ρ = λ,
ρp = 0.
The equation for a cloud of geometric (Nambu) strings is
ρ = λ,
(ρp = 0).
3) Barotropic Denklem: ρ = ρ(λ) veya metrik katsayıları arasında bir ba˘gıntı kabul edilir.
A more general ”barotropic” equation is
ρ = ρ(λ),
(ρp = ρ − λ).
Zayıf enerji ¸sartı: Tik ui uk ≥ 0 ⇒ ρ ≥ 0
Dominant enerji ¸sartı: Til T lk ui uk≥ 0 ⇒ ρ2 ≥ 0
1
1
1
Kuvvetli enerji ¸sartı: Rik ui uk = Tik − T gik ui uk ≥ 0 ⇒ (ρ − λ) = ρp ≥ 0 ⇒ ρ ≥ λ
2
2
2
Yukarıdaki ¸sartlar λ nın i¸saretini kısıtlamaz. Yani λ < 0 sıfır ve λ > 0 olabilir. λ < 0 i¸cin,
Rik − 12 Rgik = −Tik denklemleri sadece xi y¨on¨
u boyunca sıfırdan farklı basın¸clı anizotropik
akı¸skan i¸cin alan denklemleridir.
The equations of state are restricted by the energy conditions. We find that the weak energy
condition (T ik ui uk ≥ 0) as well as the strong energy condition ( Tik − 21 T gik ui uk ≥ 0) give
us ρ ≥ λ with λ ≥ 0 or ρ ≥ 0 with λ < 0. The dominant energy condition (T ik ui uk > 0,
T il Tl k ui uk ≥ 0)implies ρ ≥ 0 and ρ2 ≥ λ2 . Thus, these energy conditions do not restrict the
sign of λ. It may take values positive, negative or zero as well.
˙ cin Enerji-Momentum Tens¨
Elektromagnetik Alan I¸
or¨
u
1
1
l
lm
Fil Fk − gik Flm F
Tik = −
4π
4
F ik = g il g km Flm ,
Fi k = g lk Fil ,
T = g ik Tik = T ii = 0.
Antisimetrik Elektromagnetik Alan Tens¨or¨
u


0
Ex
Ey
Ez
−Ex
0
−Hz Hy 

Fik = 
−Ey Hz
0
−Hx 
−Ez −Hy Hx
0
Fik = Ak;i − Ai;k = Ak,i − Ai,k =
4
∂Ak ∂Ai
− k
∂xi
∂x
dir. Burada Ai = (φ, − A) ler 4−l¨
u potansiyellerdir (φ skaler ve A vekt¨or potansiyeldir).
Birinci Grup Maxwell Denklemleri:
Vekt¨
orel G¨
osterim
∇×E=−
1 ∂H
,
c ∂t
(1)
∇H =0.
(2)
˙
Integral
G¨
osterim
I
1∂
E.dl = −
c ∂t
Z
H.df,
(3)
I
H.df =0.
(4)
Bir kapalı kontur (e˘gri) u
¨zerinden bir vekt¨or¨
un integraline konturun etrafında vekt¨
or¨
un dolanımı
denir. Elektrik alanın dolanımına verilen konturdaki elektromotor kuvvet denir. Bu y¨
uzden,
(3) denklemi herhangi bir konturdaki elektromotor kuvvetin bu kontur tarafından sınırlanan
y¨
uzeyden ge¸cen magnetik alanın zaman t¨
uevinin eksi i¸saretlisine e¸sit oldu˘gunu g¨osterir.
Bir y¨
uzey u
¨zerinden bir vekt¨or¨
un integraline y¨
uzeyden ge¸cen vekt¨
or¨
un akısı denir. Bu
y¨
uzden, (4) denklemi her kapalı y¨
uzeyden ge¸cen magnetik alan akısının sıfır oldu˘gunu g¨osterir.
Tens¨
orel G¨
osterim
∂Flm
∂Fik ∂Fkl ∂Fli
+
+
= 0 veya eiklm
= 0.
l
i
k
∂x
∂x
∂x
∂xk
(5)
Burada sadece i 6= k 6= l i¸cin sıfırdan farklı denklemler verir. Sadece d¨ort tane ba˘gımsız denklem
vardır. Bu denklemler
Fik;l + Fli;k + Fkl;i = 0
veya F[ik;l] = F[ik,l] = 0
¸seklindede vazılır (ikl indislerinin dairesel perm¨
utasyon ¸seklinde yazılır). Burada [ikl] antisimetrizasyonu g¨osterir.
˙
Ikinci
Grup Maxwell Denklemleri:
Vekt¨
orel G¨
osterim
1 ∂E 4π
+
j,
c ∂t
c
∇E =4πρ.
∇×H=
(6)
(7)
˙
Integral
G¨
osterim
I
4π
H.dl =
c
I
Z 1 ∂E
j+
4π ∂t
.df,
(8)
Z
E.df =4π
ρdV.
1 ∂E
4π ∂t
(9)
ye kayma (displacement) akımı denir. j = ρv akı yo˘gunluk vekt¨or¨
u, v verilen noktadaki
dxi
i
u akı vekt¨or¨
ud¨
ur.
y¨
uk¨
un hızı, ρ y¨
uk yo˘gunlu˘gu ve j = ρ dt = (j, cρ) 4-l¨
5
(8) denklemi herhangi bir kontur etrafında magnetik alanın dolanımı bu kontur tarafından
sınırlanan y¨
uzeyden ge¸cen ger¸cek akım ve kayma akımının toplamının 4π/c katına e¸sit oldu˘gunu
g¨osterir.
(9) denklemi kapalı bir y¨
uzeyden ge¸cen elektrik alan akısının bu y¨
uzey ile sınırlanan hacimdeki
toplam y¨
uk¨
un 4π katına e¸sit oldu˘gunu g¨osterir.
Tens¨
orel G¨
osterim
∂F ik
4π i
j
=
−
∂xk
c
1
∂ √
4π i
ik
veya F ik;k = √
j.
−gF
=
−
−g ∂xk
c
(10)
Burada i = 1, 2, 3 i¸cin (6) denklemini i = 4 i¸cin (7) denklemi elde edilir.
S¨
ureklilik Denklemi:
Vekt¨orel g¨osterim:
∂ρ
∇j +
= 0.
∂t
4-boyutlu g¨osterim:
∂j i
1 ∂ √
= 0 veya j;ii = √
−gj i = 0.
i
i
∂x
−g ∂x
Birinci ve ikinci grup Maxwell denklemleri elektromagnetik alanı tamamen belirler. Bu
denklemler elektrodinami˘gin temel denklemleridir.
S=
c
,
4πE × E
W =
E2 + H 2
8π
Sırasıyla Poynting vekt¨or¨
u ve elektromagnetik alanın enerji yo˘gunlu˘gudur.
˙ cin Enerji-Momentum Tens¨
Magneto Fluid I¸
or¨
u
1
Tik = µ |h| ui uk + gik − hi hk
2
Karı¸sık formda:
Ti
k
1 k
k
k
= µ |h| ui u + δ i − hi h
2
ud¨
ur.
Burada µ magnetik permabilite (ge¸cirkenlik), hi magnetik akı vekt¨or¨
√
1∗
1√
−g
k
∗
hi = Fki u =
eiklm F lm uk ,
Fik =
−geiklm F lm
µ
2µ
2
olarak tanımlanıyor. Burada Fik elektromagnetik alan tens¨or¨
u, ∗ Fik dual elektromagnetik alan
tens¨or¨
u ve eiklm antisimetrik Levi-Civita tens¨or yo˘gunlu˘gudur (e1234 = 1 dir).
Maxwell Denklemleri:
1) F[ik;l] = 0 veya Fik,l + Fli,k + Fkl,i = 0 Birinci grup Maxwell denklemleri
1 ik
1 ik
i
˙
2)
F
= J veya
F
= J i Ikinci
grup Maxwell denklemleri
µ
µ
;k
,k
6
Tachyon Alann Enerji Momentum Tens¨
or¨
u
The Lagrangian
q
p
µν
L = −V (T ) 1 + g ∂µ T ∂ν T − det (gµν )
q
= −V (T ) − det (Gµν )
where what we shall call the tachyon metric is given by
Gµν = (G)µν
= gµν + ∂µ T ∂ν T
The potential V (T ) is taken to be non-negative have a unique local maximum at the origin
T = 0 and a unique global minimum away from the origin at which V vanishes. In the most
interesting case the global minimum is taken to lie at |T | = ∞. Obviously more complicated
potentials may be contemplated but this is the simplest case to begin with. Small fluctations
around the ”false vacuum” at T = 0 have negative mass squared and so it is unstable. How
does the system evolve?
The equation of motion is
∂µT ∂ν T
V0
µν
1 + (∂T )2 .
(11)
g −
∂
∂
T
=
−
µ ν
2
V
1 + (∂T )
From 11 we have deduce that contrary to popular prejudice: the tachyon is not a tachyon! If
we define the tachyon co-metric by
G−1
µν
= g µν −
so that
G−1
µν
∂ µT ∂ν T
,
1 + (∂T )2
(12)
Gνλ = δλµ .
(13)
µν
we see that the characteristic cones of 11 are given by the co-metric (G−1 )
the metric Gµν .
The energy momentum tensor T µν of the tachyon takes the form:
q
µν
µν
T = −V 1 + (∂T )2 G−1
Specially, in a local frame in which T depends only upon time,
q
.2
V (T )
ρ= q
,
P = −V (T ) 1 − T .
.2
1−T
Thus
P =−
V 2 (T )
.
ρ
7
and the rays by
(14)
(15)
(16)
.
Note that because of the square root, T can never exceed unity. If it were the case that V (T )
were a constant, independent of T then 16 is the equation of state of what is called a Chaplygin
gas.
Tachyons and the strong energy condition It is clear that at high density, both the
Chaplygin and tachyon case violate the strong energy condition. In fact
ρ + 3P = p
V
1 − T˙ 2
q
Thus the strong energy condition fails if |T˙ 2 | < 23 .
1
3T˙ 2 − 2 .
Monopoller Enerji Momentum Tens¨
or¨
u
Monopoller i¸cin Lagrangian
2
1
1 a a
L = ∂µ φa ∂ µ φa −
φ φ − η2
2
4
olmak u
¨zere Monopollerin enerji momentum tens¨
or¨
u
Tµν = ∂µ φ∂ν φ − gµν L
dir.
8
(17)

Stratejik planı görüntülemek için tıklayınız