Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.1. Dokazati po definiciji 2x + 1 3 = 3−x 2 x−1 (b) lim =1 x→+∞ x + 1 (a) lim (c) lim x→1 x→1 (d) 1 = +∞ (x − 1)2 lim ln(−x) = +∞ x→−∞ 8.2. Odrediti levi i desni limes funkcije u datoj taˇcki (d) f (x) = x2 + 5, x = 3 (a) f (x) = sgn x, x = 0 (b) g(x) = 1 x−3 , (e) g(x) = x=3 (c) h(x) = [x], x = 4 (f) h(x) = x+2 x−5 , [x2 ], x=5 x=3 8.3. Vaˇzni limesi sin x =1 x→0 x 1 (b) lim (1 + )x = e x→+∞ x 1 lim (1 + )x = e x→−∞ x (a) lim 1 (c) lim (1 + x) x = e x→0 ax − 1 = ln a x→0 x x e −1 lim =1 x→0 x (1 + x)α − 1 (e) lim =α x→0 x loga (1 + x) (f) lim = loga e x→0 x ln(1 + x) lim =1 x→0 x (d) lim 8.4. Izraˇcunati slede´ce limese √ √ √ x− a+ x−a √ (a) lim x→a x2 − a2 √ 9 + 2x − 5 √ (b) lim 3 x→8 x−2 q p √ x+ x+ x √ (c) lim x→+∞ x+1 (e) (f) (g) (h) sin ax x→0 sin bx (d) lim (i) 1 sin x x→+∞ x 1 − cos x lim x→0 x2 tg x lim x→0 x sin2 x lim 2 3 x→0 tg 2x cos 2x − 1 lim x→0 x sin x lim 8.5. Izraˇcunati graniˇcne vrednosti p p 3 x3 + 3x2 − x2 − 2x (a) lim x2 − 2x + 3 x2 ) x→+∞ x2 − 3x + 2 tg x − sin x (f) lim x→0 x3 π (g) lim (1 − x) tg x x→1 2 (e) x→+∞ xa − ax x→a x − a e2x − e−2x (c) lim x→0 x p (d) lim x(x + 2) − x (b) lim lim ( 1 (h) lim (cos x) x2 x→+∞ x→0 8.6. Izraˇcunati graniˇcne vrednosti r 1 1+x (a) lim ln x→0 x 1−x 1 − e−x (b) lim x→0 sin x cos π2 x √ (c) lim x→1 1 − x 2 sin2 x + sin x − 1 (d) limπ x→ 6 2 sin2 x − 3 sin x + 1 √ 1 + x2 − 1 (e) lim √ x→0 16 + x2 − 4 p p x2 + 2x − 2 x2 + x + x (f) lim x x→+∞ √ 1 − 3x + x3 + 3x4 (g) lim x→+∞ (2x + 12 )(1 − x) 8.7. Ispitati neprekidnost funkcije u taˇcki x = 0 (a) f (x) = sin x x (c) f (x) = (d) f (x) = sin x1 (b) f (x) = sgn x 8.8. Ispitati neprekidnost i odrediti tip prekida funkcije 1 1 x − x+1 , x∈ / {−1, 0, 1} (d) 1 − x1 (a) f (x) = x−1 0, x ∈ {−1, 0, 1} (e) ( 3 2 x −2x −3x , x = 6 3 x−3 (b) f (x) = 10, x=3 (f) 1−cos x x<0 x2 , x2 −4 (c) f (x) = 0≤x<2 x−2 , (g) √ 2 x + 5 − 3, x ≥ 2 8.9. Odrediti A ∈ R tako da je funkcija g(x) = (a) f (x) = (b) f (x) = (c) f (x) = 9 1 x2 f (x) = f (x) = ln(1+x) , x x 6= 0 0, x=0 ( √ cos x √+ 2, x < 0 (1+x) x ( f (x) = x 6= 0 x=0 1, f (x) = ex −1 x , 2 −1 x≤0 0, − e , 1 x2 , x>0 f (x), x 6= 0 neprekidna A, x=0 (1+x)3 −1 x ex −e−x x ln(1+x)−ln(1−x) x Izvod funkcije 9.1. Izraˇcunati izvod funkcije (tabliˇcni izvodi) √ 3 (d) f (x) = x2 x7 (a) f (x) = x5 − 4x3 + 2x − 3 (b) f (x) = π x + ln 2 2 3 (e) f (x) = 5 sin x + 3 cos x 5 2 (c) f (x) = 3x − 2x + x−3 (f) f (t) = arcsin t + 2 2 x≥0 9.2. Izraˇcunati izvod funkcije (izvod proizvoda i koliˇcnika) (a) f (x) = x ctg x (g) f (t) = 2t sin t − (t2 − 2) cos t (b) f (x) = ex cos x (h) f (t) = (c) f (x) = sin x ln x2x (i) f (x) 2x+3 x2 −5x+5 √ √t f (t) = 1+ 1− t sin x+cos x f (x) = sin x−cos x t2 ln t = x−1 + 2 ln x − (d) f (x) = (j) f (z) = z arctg z (e) (k) f (t) = (f) (l) f (x) ln x x 2 2 3t+1 − t = x7 ex 9.3. Izraˇcunati izvod funkcije (izvod sloˇzene funkcije) √ √ (g) f (x) = ln x + 1 + x2 xex + x √ (b) f (x) = 3 2ex − 2x + 1 + (ln x)5 (a) f (x) = (h) f (x) = ctg arcsin x2 √ 1 arctg x (c) f (x) = (i) f (x) = (d) f (x) = ln2 x − ln ln x √ (e) f (x) = tg x (j) f (x) = x cos3 x 2 xx (k) f (x) = (sin x)cos x 2 x (f) f (x) = e−x + sin 3x (l) f (x) = xx 9.4. Izraˇcunati izvod implicitno zadate funkcije y = y(x) (a) x2 + y 2 = 1 (b) x2 + 2xy − y 2 = 4x 2 2 (c) x 3 + y 3 = 1 (d) ey sin x + ln y cos x = arctg x 9.5. Izraˇcunati izvod parametarske funkcije (a) x = 2(t − sin t), y = 3(1 − cos t) (b) x = 4 + 2 cos t, y = −1 + 2 sin t (c) x = 5(et + e−t ), y = 3(et − e−t ) 9.6. Dokazati da je funkcija f (x) reˇsenje diferencijalne jednaˇcine (a) f (x) = 21 (x2 + 2x + 2), 1 + y 02 = 2yy 00 (b) f (x) = 12 x2 ex , y 00 − 2y 0 + y = ex 9.7. Izraˇcunati drugi izvod (po x) parametarske funkcije (a) x = ln t, y = t3 (b) x = arctg t, y = ln(1 + t2 ) (c) x = 5(et + e−t ), y = 3(et − e−t ) 9.8. Izraˇcunati slede´ci limes i objasniti zaˇsto ne moˇze da se izraˇcuna primenom lopitalovog pravila lim x→+∞ x + sin x x − sin x 9.9. Izraˇcunati primenom lopitalovog pravila x − sin x x→0 x3 ln x x→0 ctg x (c) lim (a) lim (b) lim x→0 ln(sin αx) ln(sin x) (d) lim x ln x x→0 3 (e) lim ( 1 1 − x ) x e −1 (f) lim ( x 1 − ) x − 1 ln x x→0 x→1 6 e−x − 1 + x6 (g) lim x→0 arctg x12 1 1 (h) lim ( 2 − 2 ) x→0 sin x x 9.10. Odrediti minimum i maksimum funkcije f (x) na datom intervalu (a) f (x) = 2x3 + 3x2 − 12x + 1, x ∈ [−1, 5] (c) f (x) = x3 , x ∈ [−1, 3] (b) f (x) = 2x3 + 3x2 − 12x + 1, x ∈ [−10, 12] (d) f (x) = x4 + 2, x ∈ [−5, 5] 9.11. Odrediti lokalne ekstremume funkcije (x−2)(8−x) x2 (a) f (x) = x ln x (c) f (x) = (b) f (x) = x − arctg x (d) f (x) = 2 sin 2x + sin 4x 9.12. Na´ci intervale zakrivljenosti i prevojne taˇcke funkcije (a) f (x) = (x + 1)4 (b) f (x) = x2 ln x (c) f (x) = x − arctg x (d) f (x) = (1 + x2 )ex (e) f (x) = 1 x+3 (d) f (x) = 1 1−ex x x2 −4x+3 9.13. Na´ci asimptote grafika funkcije (a) f (x) = x + ln x 2 (b) f (x) = e−x + 2 (c) f (x) = (e) f (x) = 1 x3 x2 +9 (f) f (x) = e x 9.14. Skicirati grafik funkcije (a) (b) (c) (d) (e) (f) x f (x) = 1−ln √x2 √ f (x) = 8 + x − 8 − x f (x) = sin 2x + cos 2x √ f (x) = x2 − 6x f (x) = (x − x2 )e−x x f (x) = √ 3 2 (g) f (x) = 10 (h) f (x) = ln √x x √ (i) f (x) = ln 1+x2 −1 x 2 x (j) f (x) = arcsin √2x4 −2x 2 +1 (k) f (x) = (1 + x) ln x+1 x+2 x −1 x 1 1+e− x (l) f (x) = 1 − e2x−x 2 Neodred¯eni integral 10.1. Izraˇcunati integrale Z √ √ (a) ( x + 1)(x − x + 1) dx Z (b) (6x2 + 8x + 3) dx Z 1 (c) (sin x − ) dx sin2 x Z (d) (5x + x5 ) dx Z 1 1 1 + 2+ ) dx x x 1 + x2 Z 1 + ex ) dx (f) ( √ 2 1−x (e) 10.2. Izraˇcunati integrale (smena promenljive) Z dx (a) x−a ( Z (b) 4 dx (x − a)n Z Z dx − a2 Z x dx (g) a2 + x2 Z x3 (h) dx x8 − 2 dx √ (c) a2 − x2 Z dx √ (d) 2 x ± a2 Z dx (e) 2 a + x2 (f) 10.3. Izraˇcunati integrale (smena promenljive) Z dx (a) Z 1 + sin x (b) cos2 2x dx Z p (c) a2 − x2 dx x2 x3 dx 2 − x2 Z dx p (e) 2 (x + a2 )3 Z (d) 10.4. Izraˇcunati integrale (parcijalna integracija) Z (a) xln x dx Z (b) x2 ln x dx Z ln2 x dx (c) Z p (d) ln(x + 1 + x2 ) dx Z ln x √ dx (e) x √ Z (f) xsin x dx Z (g) xcos 3x dx Z (h) ex cos x dx Z (i) arcsin x dx Z (j) 10.5. Izraˇcunati integrale (parcijalna integracija) Z x (a) dx sin2 x Z (b) 3x cos x dx Z (c) x sin x cos x dx Z (d) (x2 − 2x + 5)e−x dx xarctan x dx Z (e) x x3 e− 3 dx Z (f) sin(ln x) dx Z (g) sin 2xe3x dx Z (h) (x2 dx + a2 )n 10.6. Izraˇcunati integrale (racionalne funkcije) (a) R x3 +1 x3 −5x2 +6x Z (b) x3 Z (c) Z (d) Z dx +1 Z dx (f) 3 (x + 1)2 Z 2 x +1 (g) dx x6 + 1 Z 5 x − 2x4 + 3x3 − 4x2 − x (h) dx (x − 1)2 (x2 + 1) dx (e) x dx − 3x + 2 dx (x + 1)(x + 2)2 (x + 3)3 dx +1 x3 10.7. Izraˇcunati integrale (trigonometrijske funkcije) 5 x4 Z 10 (a) Z (b) Z 3 sin x cos x dx (f) sin4 x cos2 x dx (g) Z Z Z 5 (c) sin x dx (h) Z Z dx (d) 4 sin x cos2 x Z dx (e) sin x (i) Z (j) 10.8. Izraˇcunati integrale (neke iracionalne funkcije) Z r x−1 (a) x dx x+1 Z dx √ √ (b) x+ 3x 11 dx 1 + sin x + cos x 3 sin x + 2 cos x dx 2 sin x + 3 cos x 1 + tan x dx 1 − tan x cos 2x dx 4 cos x + sin4 x cos x dx sin4 x Z √ (c) dx √ 2x − 1 − 4 2x − 1 Odred¯eni integral i primene integrala 11.1. Izraˇcunati vrednost odredjenih integrala 1 Z (a) (2x + 1) 50 dx (g) 0 t dt (b) 2 0 t +1 Z 1r (c) 1+ 4 (h) 3 4 1 dx x x2 (i) Z x2 e−x dx (k) 0 π 2 dx 1 + x2 √ 1 − x2 dx x2 dx (1 + x2 )2 x cos x dx 0 e2π Z (f) 1 (j) −1 3 (e) √ 2 2 Z 0 Z 1 Z |x2 − 6x + 8| dx (d) 4 3 Z 8 Z x + 1 dx 1 3 Z 3√ Z Z sin ln t dt (l) 1 e ln x dx 1 11.2. Izraˇcunati povrˇsinu lika u ravni, ograniˇcenog krivama (a) y = sin x, y = cos x, x = 0, x = π 2 (g) 4x + y 2 = 0, y = 2x + 4 (b) y = x − 1, y 2 = 2x + 6 (h) y = x, y = x3 (c) y 2 = x, x − 2y = 3 (i) y = x2 , y = (d) y = cos x, y = sin 2x, x = π2 , x = π (j) y = ex , y = (e) y = |x| , y = (x + 1)2 − 7, x = −4 (k) (f) y = x−1 , y = x−2 , x = 1, x = 2 x2 + 4y 2 2 x2 +1 e3x , x = 4, x2 =1 − y2 = 1 4 (l) x2 + y 2 = 1, y = x2 − 1, y = −x 11.3. Izraˇcunati zapreminu tela dobijenog rotacijom krive (a) (b) (c) (d) (e) y y y y y √ = x, x ∈ [0, 1] oko x-ose = x3 , y = 8, x = 0 oko y-ose = x, y = x2 oko x-ose = x, y = x2 oko prave y = 2 = x4 , y = 1 oko prave y = 2 (f) y = x2 , y 2 = x oko x-ose (g) y = 2x − x2 , y = 0, x = 0, x = 1, oko y-ose (h) y = x, y = x2 oko y-ose 6 11.4. Izraˇcunati duˇzinu krive (a) y = sin x izmed¯u dva uzastopna preseka sa x - osom √ (b) y = 2 x, x ∈ [0, 1] √ √ (c) y = ln x, x ∈ [ 3, 8] (d) y = ln cos x, x ∈ (0, π3 ) (e) y = arcsin e−x , x ∈ [0, 1] √ √ (f) y = 13 x x − x izmed¯u preseka sa x - osom (g) x = 12 y2 4 − 12 ln y, y ∈ [1, e] Nesvojstveni integral 12.1. Ispitati konvergenciju nesvojstvenih integrala +∞ Z (a) Z0 dx x (c) −∞ 1 +∞ Z (b) xex dx +∞ Z dx x2 (d) dx 1 + x2 −∞ 1 12.2. Izraˇcunati vrednost nesvojstvenih integrala Z +∞ dx (a) x(ln x)3 e Z +∞ (b) −∞ 7 e−|x|
© Copyright 2024 Paperzz