ΠΡΟΛΟΓΟΣ ...............................................................................................................7 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ............................................................................................................9 1.1 Σεισμικές μέθοδοι διασκόπησης...................................................................11 1.1.1 Σεισμική Διάθλαση και Ανάκλαση............................................................11 1.2 Βασικές Αρχές της Σεισμικής Τομογραφίας ..............................................13 1.2.1 Μοντέλα ταχύτητας των σεισμικών κυμάτων ..........................................14 1.2.2 Αρχή του Fermat και Συναρτησιοειδές των χρόνων διαδρομής...............15 1.2.3 Νόμος του Snell. .......................................................................................17 1.3 Γενική θεωρία Αντιστροφής .........................................................................19 1.3.1 Το αντίστροφο πρόβλημα για ιδανικά δεδομένα.....................................20 1.3.2 Το αντίστροφο πρόβλημα για πραγματικά δεδομένα ..............................21 1.3.3 Μέθοδοι Αντιστροφής Σεισμικών καταγραφών........................................22 1.4 Σεισμική Αντιστροφή και Τομογραφία .......................................................24 1.4.1 Προσεγγιστικός προσδιορισμός του μοντέλου καθυστέρησης με οπισθοπροβολή (Backprojection) .......................................................................25 1.4.2 Τομογραφία με δεδομένα χρόνων διαδρομής (travel time tomography). .28 1.4.3 Τομογραφία με χρήση των χρόνων διαδρομής και επίλυση με βάση την κυματική εξίσωση (Wave equation traveltime inversion - WT method). ..........28 1.4.4 Τομογραφία περίθλασης και αντιστροφή πλήρους κυματομορφής. .........29 1.4.5 Τομογραφία με αντιστροφή των χρόνων διαδρομής και της πλήρους κυματομορφής (Τravel time Inversion + Full wave equation). ..........................31 1.5 Γραμμική - Μη Γραμμική Αντιστροφή και Τομογραφία .........................32 1.5.1 Ανάλυση της εφαρμοσιμότητας, κατά την εφαρμογή μεθόδων αντιστροφής των χρόνων διαδρομής ..................................................................34 1.5.2 Καθορισμός των περιορισμών εφαρμοσιμότητας ....................................35 1 1.6 Προβλήματα κατά την επίλυση του Ευθέως και Αντιστρόφου προβλήματος .........................................................................................................37 1.6.1 Περιορισμοί εφαρμοσιμότητας και φαντάσματα ......................................37 1.6.2 Τύποι προβλημάτων..................................................................................38 1.6.2.1 Προβλήματα διακριτοποίησης χώρου μελέτης......................................38 1.6.2.1.1 Φάντασμα ενός μεμονωμένου κελιού (Single cell ghost) ..................38 1.6.2.1.2 Δύο κελιά από τα οποία διέρχεται μια μόνο σεισμική ακτίνα............39 1.6.2.1.3 Υποκαθορισμένα κελιά.......................................................................39 1.6.2.1.4 Ράβδωση του χώρου μελέτης (Stripes)...............................................40 1.6.2.1.5 Γραμμική εξάρτηση ............................................................................43 1.6.2.2 Αβεβαιότητα στο ταυτόχρονο προσδιορισμό ανακλαστήρα-ταχύτητας. .............................................................................................................................44 1.6.2.3 Προβλήματα μη γραμμικότητας στη σεισμική τομογραφία...................46 1.6.3 Τρόποι επίλυσης των προβλημάτων που παρουσιάζονται κατά την επίλυση του ευθέως και αντιστρόφου προβλήματος ..........................................47 1.6.3.1.1 Παχιές σεισμικές ακτίνες (Fat rays) ...................................................47 1.6.3.2.1 Προσδιορισμός των κατάλληλων παραμέτρων για τον ταυτόχρονο προσδιορισμό ανακλαστήρα-ταχύτητας .............................................................50 1.6.3.3 Επίλυση προβλημάτων που πηγάζουν από τη μη γραμμικότητα του προβλήματος .......................................................................................................50 1.6.3.3.1 Μη γραμμική θεωρία των Backus-Gilbert ..........................................51 1.6.3.3.2 Δημιουργία πληθυσμού μοντέλων που ικανοποιούν τα δεδομένα......53 1.6.3.3.3 Εφαρμογή διαφόρων μεθόδων αντιστροφής .......................................55 1.6.4 Σημαντικότητα σχεδίασης πειράματος τομογραφίας ...............................56 1.7 Επίλυση ευθέως προβλήματος - Προσεγγιστικός καθορισμός της σεισμικής ακτίνας ................................................................................................57 1.7.1 Ευθείες ή Καμπυλωμένες σεισμικές ακτίνες ;..........................................57 1.7.2 Τεχνική της σκόπευσης (Shooting Method) .............................................58 1.7.3 Μέθοδοι καθορισμού της σεισμικής ακτίνας με χρήση πεπερασμένων διαφορών (Vidale Method).................................................................................59 1.7.4 Τεχνική της κάμψης (Bending Methods)..................................................60 2 1.7.5 Προσεγγιστικός καθορισμός της αρχικής ακτίνας ...................................62 1.8 Μέθοδοι Αντιστροφής ..................................................................................64 1.8.1 Επίλυση πεπερασμένου πλήθους γραμμικών εξισώσεων ........................64 1.8.2 Γραμμικός υπολογισμός παραμέτρων του μοντέλου ...............................64 1.8.3 Ασθενώς ορισμένα προβλήματα και σφάλματα στα δεδομένα ................67 1.8.4 Υπολογισμοί ελαχίστων τετραγώνων .......................................................67 1.8.5 Υπολογισμός ελάχιστου μέτρου (minimum norm estimation) ..............69 1.8.6 Μικτά καθορισμένα προβλήματα .............................................................70 1.8.6.1 Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων με απόσβεση (Marquardt-Levenberg method - DLS) ....................................................................................................71 1.8.7 Πρόβλημα ασυμβατότητας σε λύσεις αντίστροφων προβλημάτων με τη μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων ..........................................................................74 1.8.8 Προβλήματα ασυμβατότητας κατά την επίλυση αντίστροφων προβλημάτων με κριτήριο το μέτρο της λύσης (minimum norm) .....................78 1.8.9 Ανάγκη για περαιτέρω κανονικοποίηση...................................................78 1.8.10 Μέθοδος αντιστροφής υπό περιορισμούς εξομάλυνσης – Μέθοδος Occam .................................................................................................................81 1.8.11 Μέθοδος Ανάλυσης Ιδιαζουσών Τιμών (S.V.D)....................................82 1.8.12 Μέθοδος ανάλυσης ιδιαζουσών τιμών και παράγοντα απόσβεσης........84 1.8.13 Επαναληπτική εφαρμογή της μεθόδου ελαχίστων τετραγώνων.............86 1.8.14 LSQR: Επαναληπτική μέθοδος επίλυσης γραμμικών συστημάτων με τη μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων ..........................................................................87 1.8.15 Διακριτική ικανότητα και πίνακας συμμεταβλητότητας της λύσης του γραμμικού συστήματος.......................................................................................88 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ..................................................................................................92 2. Τομογραφία Διάθλασης ....................................................................................103 2.1 Αναθεωρημένη μέθοδος κάμψης ...............................................................103 2.2 Προσεγγιστικός καθορισμός της σεισμικής ακτίνας με χρήση της ζώνης Fresnel (Fresnel volume ray tracing). ..............................................................106 3 2.3 Εφαρμοζόμενη μέθοδος αντιστροφής .......................................................110 2.3.1 Καμπύλη L και συνθήκη Picard .............................................................110 2.4 Διακριτική ικανότητα και αξιοπιστία του υπολογιζόμενου μοντέλου ...113 2.5 Βελτίωση του μοντέλου με χρήση του μηδενικού χώρου (Nullspace shuttles) ...............................................................................................................115 2.6 Εφαρμογή της σεισμικής τομογραφίας πρώτων αφίξεων.......................116 2.6.1 Εφαρμογή σε συνθετικά δεδομένα .........................................................119 2.6.1.1 Τομογραφία μεταξύ γεωτρήσεων ........................................................120 2.6.1.2 Τομογραφία μεταξύ γεωτρήσεων και της επιφανείας (Crosswell+VSP model) ...............................................................................................................123 2.6.2 Εφαρμογή της μεθόδου σεισμικής τομογραφίας πρώτων αφίξεων σε πείραμα κατακόρυφης σεισμικής τομής (V.S.P) στη περιοχή των ΟυραλίωνΡωσσία ..............................................................................................................124 2.7 Συμπεράσματα.............................................................................................131 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ....................................................................................................132 3. Τομογραφία Ανάκλασης ....................................................................................137 3.1 Υπολογισμός των χρόνων ανάκλασης στις τρεις διαστάσεις με τη μέθοδο πεπερασμένων διαφορών...................................................................................137 3.2 Υπολογισμός του πίνακα Α του γραμμικού συστήματος.........................140 3.2.1 Καθορισμός της ανακλώμενης σεισμικής ακτίνας .................................141 3.2.2 Υπολογισμός των μερικών παραγώγων του ανακλαστήρα ....................141 3.3 Μέθοδος αντιστροφής των δεδομένων ανάκλασης...................................142 3.4 Εφαρμογή της σεισμικής τομογραφίας χρόνων άφιξης ανακλώμενων κυμάτων ..............................................................................................................143 3.5 Εφαρμογή της μεθόδου σε συνθετικά δεδομένα .......................................144 3.5.1 Ακρίβεια προσδιορισμού του ανακλαστήρα με την αντιστροφή χρόνων ανάκλασης.........................................................................................................146 4 3.5.2 Προσδιορισμός του μοντέλου ταχυτήτων με την αντιστροφή χρόνων ανάκλασης.........................................................................................................151 3.5.3 Ταυτόχρονος προσδιορισμός του μοντέλου ταχύτητας και του ανακλαστήρα από την αντιστροφή χρόνων ανάκλασης ...................................156 3.6 Συμπεράσματα.............................................................................................164 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ....................................................................................................166 4. Ταυτόχρονη τομογραφία ανακλώμενων και διαθλώμενων χρόνων διαδρομής .................................................................................................................................169 4.1 Εισαγωγή στη θεωρία της μεθόδου της ταυτόχρονης αντιστροφής χρόνων διαδρομής των ανακλώμενων και διαθλώμενων κυμάτων χώρου. ...............169 4.2 Εφαρμογή της μεθόδου σε συνθετικά δεδομένα .......................................170 4.2.1 Προσδιορισμός του μοντέλου ταχύτητας με την αντιστροφή χρόνων διαδρομής ανακλώμενων και διαθλώμενων κυμάτων......................................171 4.2.2 Ταυτόχρονος προσδιορισμός του μοντέλου ταχύτητας και του ανακλαστήρα από την αντιστροφή χρόνων διαδρομής ανακλώμενων και διαθλώμενων κυμάτων......................................................................................188 4.3 Συμπεράσματα.............................................................................................197 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ....................................................................................................199 5. Σύνοψη................................................................................................................201 5 6 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Αντικείμενο της διατριβής αυτής, είναι η μελέτη και επίλυση του μη γραμμικού αντίστροφου προβλήματος στη σεισμική διασκόπηση, καθώς και η συγγραφή αντίστοιχου λογισμικού ερμηνείας σεισμικών δεδομένων. Το λογισμικό επιλύει το ευθύ πρόβλημα εφαρμόζοντας κατάλληλη μέθοδο προσομοίωσης της κίνησης των απευθείας, διαθλώμενων και ανακλώμενων σεισμικών κυμάτων. Η επίλυση του αντιστρόφου προβλήματος γίνεται με την χρήση των πιο διαδεδομένων μεθόδων επίλυσης γραμμικών συστημάτων, λαμβάνοντας υπόψη όλες τις παραμέτρους που οδηγούν σε ΄΄βέλτιστες΄΄ λύσεις. Στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται μια σύντομη αναφορά στις θεωρητικές έννοιες που αφορούν τις σεισμικές μεθόδους διασκόπησης, τη γενική θεωρία της αντιστροφής και τομογραφίας και την επίλυση του ευθέως και αντιστρόφου προβλήματος. Επίσης, γίνεται εκτενής αναφορά στην εφαρμοσιμότητα και τους περιορισμούς των μη γραμμικών προβλημάτων. Στο δεύτερο κεφάλαιο, γίνεται η παρουσίαση της μεθόδου σεισμικής τομογραφίας διάθλασης. Ειδικότερα, περιγράφεται η μέθοδος του προσεγγιστικού καθορισμού της σεισμικής ακτίνας που εφαρμόστηκε για την επίλυση του ευθέως προβλήματος. Επίσης παρουσιάζεται η μέθοδος επίλυσης του αντιστρόφου προβλήματος ενώ γίνεται και αναφορά στις μεθόδους εκτίμησης σφαλμάτων στην υπολογιζόμενη λύση. Τέλος, παρουσιάζονται αποτελέσματα από την εφαρμογή της μεθόδου σε συνθετικά και πραγματικά δεδομένα. Στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζεται η μέθοδος της σεισμικής τομογραφίας ανάκλασης. Γίνεται σύντομη αναφορά της μεθόδου υπολογισμού των χρόνων ανάκλασης των σεισμικών κυμάτων σε συγκεκριμένο ορίζοντα με τη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών. Αναλύεται η διαδικασία επίλυσης του ευθέως προβλήματος με τον υπολογισμό των παραγώγων ταχύτητας και ανακλαστήρα. Περιγράφεται η μέθοδος επίλυσης του αντιστρόφου προβλήματος και οι δυσκολίες που αντιμετωπίζονται κατά την επίλυση προβλημάτων όπου οι άγνωστοι περιγράφονται από διαφορετικές παραμέτρους (ταχύτητες και γεωμετρία ανακλαστήρα). Τέλος, παρουσιάζεται η εφαρμογή της μεθόδου σε συνθετικά δεδομένα και η επιτυχής ανακατασκευή των παραμέτρων του προβλήματος. Στο τέταρτο κεφάλαιο παρουσιάζεται η μέθοδος της ταυτόχρονης τομογραφίας-αντιστροφής χρόνων διαδρομής, των ανακλώμενων και διαθλώμενων σεισμικών κυμάτων. Γίνεται μια σύντομη αναφορά σε προηγούμενες εργασίες για προβλήματα και λύσεις που αφορούν το συγκεκριμένο πρόβλημα. Τέλος, παρουσιάζονται αποτελέσματα από την εφαρμογή της μεθόδου σε συνθετικά δεδομένα. Στο πέμπτο κεφάλαιο παρουσιάζονται τα συμπεράσματα που προήλθαν από την εφαρμογή της μη γραμμικής αντιστροφής των χρόνων διαδρομής των ανακλώμενων και διαθλώμενων κυμάτων σε πραγματικά και συνθετικά δεδομένα. Ευχαριστώ θερμά την τριμελή επιτροπή που αποτελείται από τους Γ. Τσόκα, αναπληρωτή καθηγητή του τομέα Γεωφυσικής Α.Π.Θ, Α. Βαφείδη, αναπληρωτή καθηγητή του τομέα Γεωφυσικής του τμήματος Μηχανικών Ορυκτών Πόρων του 7 Πολυτεχνείου Κρήτης και τον Κ. Παπαζάχο, επίκουρο καθηγητή του τομέα Γεωφυσικής Α.Π.Θ. για την ανάθεση και επίβλεψη του θέματος. Ευχαριστώ ιδιαίτερα τον Κωνσταντίνο Παπαζάχο για την βοήθεια και καθοδήγηση που μου πρόσφερε σε θέματα κατανόησης του ευθέως και αντιστρόφου προβλήματος. Σημαντική για την προσπάθεια μου ήταν η βοήθεια, υλική και ηθική από όλα τα μέλη του Τομέα Γεωφυσικής. Από τα μέλη του Τομέα, ιδιαίτερα ευχαριστώ τους Γιώργο Βαργεμέζη, Αλέξανδρο Σαββαϊδη και Πέτρο Τριανταφυλλίδη για την καταλυτική συμμετοχή τους σε όλη την πορεία του διδακτορικού μου. Ευχαριστώ επίσης τη Δέσποινα Ρούσσου για την ηθική βοήθεια που μου πρόσφερε. Κατά τη διάρκεια της διατριβής που εκπονήθηκε, η οικογένεια μου με περιέβαλε με αγάπη, μου πρόσφερε οικονομική και ηθική βοήθεια, μοχθούσε μαζί μου και έδωσε λύσεις σε κάθε είδους προβλήματα που παρουσιάστηκαν. Ενα ευχαριστώ δεν μπορεί να περιγράψει την αγάπη και το σεβασμό που έχω στο πρόσωπο των γονιών μου. 8 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στις αρχές της δεκαετίας του 1980, το ερευνητικό γεωφυσικό τμήμα της πετρελαϊκής εταιρίας Amoco οργάνωσε μια ημερίδα με θέμα «Σημαντικά γεωφυσικά προβλήματα που πρέπει να επιλυθούν στην επόμενη δεκαετία». Στο συνέδριο συμμετείχαν πολλοί γνωστοί εφαρμοσμένοι γεωφυσικοί, μερικοί από τους οποίους θεμελίωσαν τη σύγχρονη εφαρμοσμένη γεωφυσική έρευνα. Κατά τη διάρκεια της συνεδρίας ο Sven Treitel σηκώθηκε και έγραψε στο πίνακα τη σχέση ‘v(x,z)’. Κατόπιν, ο Ken Kelly συμπλήρωσε γράφοντας ‘v(x,y,z)’. By Larry Lines (1991), SEG Spring Lecture Οι δύο γεωφυσικοί με τη παραπάνω τοποθέτηση τους, έθεσαν ως κορυφαίο πρόβλημα στην Εφαρμοσμένη Γεωφυσική και ιδιαίτερα στη σεισμική μέθοδο, την εύρεση του πεδίου ταχυτήτων σε δύο και τρείς διαστάσεις. Δεν υπάρχει ουσιαστικότερο πρόβλημα στην επεξεργασία σεισμικών καταγραφών, από αυτό του προσδιορισμού του μοντέλου ταχύτητας. Η μεταβολή της ταχύτητας ελέγχει τους χρόνους διαδρομής και τα πλάτη των καταγραμμένων κυματομορφών. Ετσι, στη πετρελαική βιομηχανία η μέθοδος της σεισμικής τομογραφίας (ανάκλασης-διάθλασης) αποτελεί κύρια μέθοδο εντοπισμού και αναζήτησης νέων κοιτασμάτων. Σημαντικό ρόλο έπαιξε η επιτυχία της μεθόδου στον εντοπισμό των κοιτασμάτων της Βόρειας Θάλασσας όπου δεν υπήρχαν στοιχεία επιφανειακής γεωλογίας. Κατόπιν η μέθοδος εφαρμόστηκε επιτυχώς στη μελέτη της μετανάστευσης των κοιτασμάτων υδρογοναθράκων. Οι εφαρμογές της μεθόδου δεν περιορίζονται στην πετρελαική αγορά αλλά υπάρχει ευρεία χρήση και σε άλλους τομείς όπως στην εύρεση γεωθερμικών πεδίων, στην αναζήτηση κατάλληλων θέσεων για ταφή πυρηνικών, τοξικών και οικιστικών αποβλήτων, στην αξιολόγηση κοιτασμάτων μαρμάρου, καθώς και στη κατασκευή τεχνικών έργων (γέφυρες, φράγματα, σήραγγες, κτίρια) δίνοντας λύσεις σε θέματα θεμελίωσης, ευστάθειας κτλ. Η σεισμική τομογραφία αποτελεί μέθοδο υψηλής διακριτικής ικανότητας. Η σεισμική τομογραφία χρόνων διαδρομής συνίσταται από τρία βασικά στάδια: α) Αναγνώριση των χρονικών αφίξεων (διαθλώμενα-απευθείας, ανακλώμενα κύματα) (identification of traveltimes) για διάφορες πηγές και γεώφωνα. Το στάδιο αυτό είναι και το πιο χρονοβόρο αφού γίνεται επεξεργασία χιλιάδων κυματομορφών με σκοπό την αναγνώριση των αφίξεων των διαφόρων κυμάτων. Ακόμα και στη περίπτωση “καλών” δεδομένων (χωρίς θόρυβο με καθαρές αφίξεις) η εφαρμογή του αυτόματου προσδιορισμού των αφίξεων (automatic picking) πρέπει να αντιμετωπίζεται με ιδιαίτερη προσοχή αφού μικρά σφάλματα στον εντοπισμό των αφίξεων εισάγουν συχνά μεγάλα σφάλματα στην αντιστροφή των δεδομένων. β) Το δεύτερο στάδιο περιλαμβάνει τον προσδιορισμό των σεισμικών ακτίνων (ray tracing) για διάφορα μοντέλα ταχυτήτων. Υπάρχουν πολλές προτεινόμενες μέθοδοι προσδιορισμού των σεισμικών κυμάτων, όπως των Langan, Lecher και Cutler (1985) και του Stork (1987). Οι μέθοδοι αυτές υπακούουν τον 9 νόμο του Snell ΄΄κάμπτοντας΄΄ τις ακτίνες στη παρουσία μεταβολής ταχύτητας. Η μεταβολή της ταχύτητας μπορεί να συμβαίνει και στις τρεις διαστάσεις. γ) Στο τρίτο και τελευταίο στάδιο γίνεται συνδυασμός των πληροφοριών που συλλέχθησαν στα δύο παραπάνω στάδια, επιλύοντας το μη γραμμικό σύστημα εξισώσεων των χρόνων διαδρομής. Οι εξισώσεις του γραμμικού συστήματος εκφράζουν το χρόνο διαδρομής ως συνάρτηση του αθροίσματος των επιμέρους σεισμικών ακτίνων σε κάθε ένα από τα κελιά στα οποία χωρίζεται ο χώρος. Στη παρούσα εργασία αρχικά γίνεται μια σύντομη αναφορά στις σεισμικές μεθόδους διασκόπησης και κατόπιν περιγράφεται η θεωρία της αντιστροφής και τομογραφίας, ενώ δίνεται έμφαση στην εφαρμογή της μη γραμμικής αντιστροφής χρόνων διαδρομής σεισμικών κυμάτων (απευθείας-διαθλώμενα-ανακλώμενα). Επίσης γίνεται πιο λεπτομερής αναφορά στη σεισμική τομογραφία πρώτων αφίξεων και ανακλώμενων κυμάτων. Δίνεται επίσης έμφαση στη τομογραφία ως γενική μέθοδος εύρεσης του μοντέλου ταχυτήτων και του βάθους του ανακλαστήρα για τη περίπτωση των ανακλώμενων κυμάτων. Τέλος, μελετώνται οι περιορισμοί ως προς την εφαρμογή του ταυτόχρονου προσδιορισμού ταχύτητας-ανακλαστήρα στη περίπτωση της ταυτόχρονης αντιστροφής πρώτων αφίξεων και αφίξεων ανακλώμενων κυμάτων. 10 1.1 Σεισμικές μέθοδοι διασκόπησης Η πραγματοποίηση της γεωφυσικής διασκόπησης σε κάποιο χώρο είναι αναγκαία από οικονομικής άποψης για τον εντοπισμό και την ορθολογικότερη αξιοποίηση ενός κοιτάσματος, ενός υδροφορέα ή ενός γεωθερμικού πεδίου καθώς και για τη μελέτη ιδιοτήτων του εδάφους για ασφαλή δόμηση (μικροζωνική μελέτη) ή και για άλλες γεωτεχνικές, γεωλογικές, τεκτονικές ή και αρχαιολογικές μελέτες. Από τις μεθόδους γεωφυσικής διασκόπησης του υπεδάφους, αυτές που χρησιμοποιούνται περισσότερο, ιδιαίτερα στην έρευνα υδρογονανθράκων, είναι οι σεισμικές μέθοδοι. 1.1.1 Σεισμική Διάθλαση και Ανάκλαση Η μέθοδος της σεισμικής διάθλασης εφαρμόζεται για διασκοπήσεις μικρού σχετικά βάθους και για αυτό χρησιμοποιείται περισσότερο για την επίλυση γεωτεχνικών προβλημάτων (Σχ. 1.1 α,β). Σχ. 1.1 (α) Σεισμικές ακτίνες (κάτω) και καμπύλες χρόνων διαδρομής (πάνω) στην περίπτωση στρώματος με κεκλιμένη την κάτω επιφάνεια. (Παπαζάχος, 1986), (β) Στρώμα μικρής ταχύτητας (υ1) μεταξύ δύο στρωμάτων μεγαλυτέρων ταχυτήτων (κάτω) και αντίστοιχες καμπύλες χρόνων διαδρομής (πάνω). (Kearey and Brooks, 1984) Εφαρμόζεται κυρίως αναγνωριστικά στα πρώτα στάδια μιας μελέτης και συνήθως σε συνδιασμό με άλλες μεθόδους. Η πηγή και τα γεώφωνα τοποθετούνται στην επιφάνεια του εδάφους. Η αρχή της μεθόδου βασίζεται στον προσδιορισμό των πρώτων αφίξεων των επιμήκων και των διατμητικών κυμάτων. Προυπόθεση επιτυχούς εφαρμογής της μεθόδου είναι η ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων στα υποκείμενα στρώματα να είναι πάντα μεγαλύτερη από την αντίστοιχη ταχύτητα στα υπερκείμενα, υπόθεση που συνήθως ισχύει. 11 Η σεισμική μέθοδος της ανάκλασης χρησιμοποιείται για διασκόπηση γεωλογικών σχηματισμών σε μεγάλο βάθος (Σχ. 1.2). Σχ. 1.2 Διασπορά των γεωφώνων έτσι ώστε να δοθεί μια συνεχής υπεδάφεια κάλυψη κατά την εκτέλεση πειράματος ανάκλασης. (a) Διπλή συνεχής διάταξη (Sheriff and Geldart, 1995), (b) Απλή συνεχής διάταξη (Sheriff and Geldart, 1995). Η διάταξη πηγής και γεωφώνων είναι παρόμοια με αυτή της σεισμικής διάθλασης, με τη διαφορά ότι οι αποστάσεις μεταξύ των στοιχείων της διάταξης είναι διαφορετικές. Με την μέθοδο αυτή αξιοποιούνται τα κύματα που προέρχονται από τις ανακλάσεις στις διαχωριστικές επιφάνειες των σχηματισμών. Πρόκειται για μια μέθοδο που χρησιμοποιείται συνήθως για την αναζήτηση κοιτασμάτων υδρογονανθράκων. Θεωρείται ως η πιο ακριβής μέθοδο σε τέτοιου είδους διασκοπήσεις, ενώ δεν μπορεί να εφαρμοστεί για τον καθορισμό της δομής των πολύ επιφανειακών στρωμάτων. Η μέθοδος της σεισμικής ανάκλασης έχει το υψηλότερο κόστος από τις μεθόδους γεωφυσικής διασκόπησης. Οι σεισμικές μέθοδοι έχουν το πλεονέκτημα ότι είναι μη καταστροφικές και δίνουν την δυνατότητα της συνεχούς κατ΄ έκταση και σε βάθος διασκόπησης, σε μεγάλες αποστάσεις και βάθη, σε αντίθεση με τις εργαστηριακές ή τις σημειακές γεωτεχνικές. Πλεονέκτημα επίσης είναι το χαμηλό τους κόστος σε σχέση με τις γεωτρήσεις, γεγονός που κάνει την χρήση τους ελκυστική. Τέλος, πρέπει να γίνει αναφορά στην διακριτική ικανότητα των σεισμικών καταγραφών. Με τον όρο διακριτική ικανότητα, εννοείται η ελάχιστη απόσταση μεταξύ δύο δόμων, τέτοια ώστε να γίνεται αντιληπτή και εμφανής η παρουσία των δύο δόμων. Αναφερόμενοι στις σεισμικές μεθόδους, μπορούν να τεθούν τα εξής ερωτήματα: α) τι απόσταση (στο χώρο ή το χρόνο) πρέπει να έχουν δύο επιφάνειες μεταξύ τους, έτσι ώστε να θεωρηθούν κατά την επεξεργασία ως δύο ανακλαστήρες; (κατακόρυφη διακριτική ικανότητα) και β) τι απόσταση πρέπει να έχουν δύο δομές μεταξύ τους, έτσι ώστε να θεωρηθούν ως δύο ξεχωριστά στοιχεία; (οριζόντια διακριτική ικανότητα). Ο εντοπισμός και ο διαχωρισμός μιας δομής, εξαρτάται κατά κύριο λόγο από το λόγο σήματος προς θόρυβο (S/N). 12 1.2 Βασικές Αρχές της Σεισμικής Τομογραφίας Το βασικό αντικείμενο αυτής της μεθόδου, είναι ο προσδιορισμός της τρισδιάστατης κατανομής των ταχυτήτων των κυμάτων χώρου μέσα στη Γη, χρησιμοποιώντας τις πρώτες αφίξεις των χρόνων διαδρομής, μεταξύ πηγών και γεωφώνων που είναι γνωστές οι θέσεις τους στο χώρο. Παράδειγμα τέτοιου προβλήματος είναι η σεισμική τομογραφία μεταξύ γεωτρήσεων, όπου γίνεται προσπάθεια δισδιάστατης απεικόνισης του χώρου μεταξύ των γεωτρήσεων. Αλλα παραδείγματα, είναι ο υπολογισμός του μοντέλου σε ένα μέσο όπως στις περιπτώσεις της τομογραφίας τοπικών σεισμών ή τηλεσεισμών στη σεισμολογία. Κατά την τομογραφική ανάλυση υποτίθεται είτε, ότι η ιδιότητα ή το χαρακτηριστικό για το οποίο έγινε η ερμηνεία είναι μια συνεχής συνάρτηση θέσης (μέθοδος μετασχηματισμού), ή ότι το μέσο που μελετήθηκε, συνίσταται από πεπερασμένο αριθμό στοιχείων, καθένα από τα οποία έχει μια διακριτή τιμή της ιδιότητας. Έτσι ο χώρος χωρίζεται σε έναν τρισδιάστατο κάνναβο και τα δεδομένα εκφράζονται ως γραμμικό ολοκλήρωμα κατά μήκος της σεισμικής ακτίνας που κινείται διαμέσου των ΄΄κελλιών΄΄ του καννάβου. Τα σεισμικά κύματα μεταφέρουν πληροφορίες για τον χώρο μελέτης, σκιαγραφώντας τις ανωμαλίες ταχύτητας. Η τομογραφία σαν θεωρία είναι ευρέως εφαρμόσιμη. Σε αντίθεση με άλλες επιστήμες (π.χ ιατρική τομογραφία) όπου δεχόμαστε ευθύγραμμες ακτίνες, τα σεισμικά κύματα κινούνται σε καμπυλωμένες γραμμές και ο προσδιορισμός της γεωμετρίας αυτών, αποτελεί ένα πρόσθετο πρόβλημα. Οι τομογραφίες κατατάσσονται στις παρακάτω κατηγορίες: • Ανακλαστική τομογραφία: κατά την οποία, η πηγή και ο δέκτης είναι στην επιφάνεια και υπολογίζονται οι συνθετικοί χρόνοι διαδρομής των ανακλώμενων κυμάτων, οι οποίοι συγκρίνονται με τους πραγματικούς, σε μια διαδικασία διαδοχικών προσεγγίσεων. Η μέθοδος αυτή, χρησιμοποιείται για την παραγωγή εικόνων ταχύτητας υψηλής διακριτικής ικανότητας. • Τομογραφία διάθλασης: η οποία εφαρμόζεται σε πεδίο όπου καταγράφονται διαθλώμενα κύματα και υπολογίζονται κατά βάση ασυνέχειες. • Τομογραφία χρόνων διαδρομής: στην οποία γίνεται η καταγραφή των χρόνων άφιξης των σεισμικών κυμάτων. Χρησιμοποιείται ως αναγνωριστική μέθοδος για την μοντελοποίηση του χώρου μελέτης (παραγωγή μοντέλων ταχύτητας), επειδή παράγονται χαμηλής διακριτικής ικανότητας εικόνες ταχύτητας. Πολλές φορές τα αποτελέσματα της τομογραφίας χρόνων διαδρομής, αποτελούν το αρχικό μοντέλο για την τομογραφία περίθλασης. • Τομογραφία εξασθένισης (attenuation tomography): η μέθοδος βασίζεται στην μέτρηση του πλάτους των σεισμικών ακτίνων. • Τομογραφία περίθλασης: κατά την οποία γίνεται ανάλυση των περιθλώμενων κυμάτων και των κυμάτων διασποράς, για τη παραγωγή του πεδίου ταχυτήτων (Wu και Toksoz 1987, Harris 1987, Pratt και Goulty 1991). Χρησιμοποιούνται τόσο οι χρόνοι άφιξης, όσο και άλλες πληροφορίες των κυματομορφών, όπως τα πλάτη και οι φάσεις. 13 Η τομογραφία αποτελεί μία από τις πιο ακριβής μεθόδους προσδιορισμού της ταχύτητας των Ρ και των S κυμάτων. Ετσι από τα μέσα της δεκαετίας του 1980, εκδηλώθηκε ενδιαφέρον για την εφαρμογή της μεθόδου της σεισμικής τομογραφίας μεταξύ γειτονικών γεωτρήσεων. Ο κύριος λόγος είναι ότι με την τεχνική αυτή οδηγούμαστε σε λεπτομερέστερη απεικόνιση του χώρου μελέτης μεταξύ των γεωτρήσεων. 1.2.1 Μοντέλα ταχύτητας των σεισμικών κυμάτων Οταν ένα σεισμικό κύμα διαδίδεται σε κάποιο μέσο απαιτείται κάποιος χρόνος για τη διάδοση του, από την πηγή του κύματος έως το σημείο όπου θα γίνει η καταγραφή. Ο χρόνος αυτός καλείται χρόνος διαδρομής του κύματος. Οταν ένα κύμα διαδίδεται σε ένα μέσο στο οποίο δεν παρατηρούνται φυσικές μεταβολές, το κύμα θα έχει μια σταθερή ταχύτητα διάδοσης, η οποία καλείται σεισμική ταχύτητα. Το πεδίο ταχύτητας μπορεί να καθοριστεί είτε μέσω συναρτήσεων οι οποίες θα περιγράφουν την συνολική μεταβολή του πεδίου ταχύτητας για όλο το χώρο μελέτης (Global velocity representation), είτε ορίζοντας τη τοπική σεισμική ταχύτητα (local velocity representation), που σχετίζεται με κάθε σημείο στο χώρο και η οποία μπορεί να εξαχθεί με βάση τη ταχύτητα σε δύο ή περισσότερα ΄΄γειτονικά΄΄ σημεία. Η τοπική καθυστέρηση (local slowness) είναι το αντίστροφο της τοπικής ταχύτητας. Γενικά, είναι πιο βολική η χρήση των μοντέλων καθυστέρησης των κυμάτων κατά την αντιστροφή ή τομογραφία, και αυτό διότι οι σχετικές εξισώσεις που επιλύουν το πρόβλημα είναι στην περίπτωση αυτή γραμμικές. Για παράδειγμα στη περίπτωση της συνολικής παρουσίασης του πεδίου ταχύτητας για σφαιρική Γη συνήθως επιλέγεται ένας πεπερασμένος αριθμός m κανονικοποιημένων σφαιρικών αρμονικών Υl (θ , φ ) , οι οποίες σχηματίζουν μια ορθογώνια βάση m hi ( r ) = f k ( r ) Υl (θ , φ ) (1.1) όπου fk(r) είναι ένα σύνολο συναρτήσεων βάθους οι οποίες είναι ορθοκανονικές ως προς το βάθος ενδιαφέροντος. Η παραπάνω προσέγγιση ακολουθήθηκε από τους Dziewonski (1984) και Morelli και Dziewonski (1985, 1986). Το πλεονέκτημα της μεθόδου είναι ότι για μικρές μέγιστες τιμές των l και k περιορίζονται οι άγνωστοι παράμετροι. Το μειονέκτημα της μεθόδου είναι η έλλειψη υψηλής διακριτικής ικανότητας. Είναι δυνατό μικρές (σε διαστάσεις) ανομοιογένειες ταχύτητας που εμφανίζονται και στους χρόνους διαδρομής να μη περιγράφονται από αυτό το γενικό μοντέλο ταχύτητας. Η παρουσίαση με βάση τις σφαιρικές αρμονικές είναι κατάλληλη για τον κατώτερο μανδύα και το πυρήνα, όπου οι αναμενόμενες ανομοιογένειες είναι πιο εξομαλυμένες από αυτές του πάνω μανδύα. Στην περίπτωση παρουσίασης της τοπικής σεισμικής ταχύτητας, μπορούμε να θεωρήσουμε τα παρακάτω μοντέλα καθυστέρησης. 14 ι) Το μοντέλο συνίσταται από ομογενή κελιά (cells) στο δισδιάστατο χώρο, ή κύβους (blocks) στον τρισδιάστατο χώρο, με καθυστέρηση sj (την τιμή της καθυστέρησης στο jth κελί ή κύβο). ιι) Το μοντέλο συνίσταται από ένα κάνναβο (grid), με τιμές της καθυστέρησης στους κόμβους του καννάβου αυτού (grid points), ενώ οι ενδιάμεσες τιμές καθυστέρησης καθορίζονται με παρεμβολή (π.χ διγραμμική ή τριγραμμική παρεμβολή κυβικών συναρτήσεων-σφηνών). Φυσικά, καθώς οι διαστάσεις των κελλιών/κύβων, γίνονται ολοένα και μικρότερες, θεωρούμε ότι καθένα από αυτά τα στοιχεία έχει σταθερή καθυστέρηση, ως μια περίπτωση ενός συνεχούς μοντέλου. Γενικά ανεξάρτητα από το ποιος τύπος μοντέλου καθυστέρησης θα επιλεγεί για την επίλυση, αναφερόμαστε στο μοντέλο ως ένα διάνυσμα s στον διανυσματικό χώρο S. Οπως και αν γίνει η παραμετροποίηση του μοντέλου, πρέπει πάντα να έχουμε υπόψην ότι, για πραγματικά προβλήματα, τα μοντέλα που προτείνουμε θα έχουν κατ΄ ανάγκη πολύ λιγότερες παραμέτρους, από τις παραμέτρους του χώρου που θέλουμε να παρουσιάσουμε. Κατά συνέπεια, το μοντέλο που προτείνουμε είναι ανάλογο με τις φιγούρες των κινουμένων σχεδίων, όπου γίνεται προσπάθεια να αποδώσουμε τα κύρια χαρακτηριστικά με τις ελάχιστες λεπτομέρειες. 1.2.2 Αρχή του Fermat και Συναρτησιοειδές των χρόνων διαδρομής Ο χρόνος διαδρομής για ένα σεισμικό κύμα, είναι το ολοκλήρωμα της καθυστέρησης κατά μήκος της σεισμικής ακτίνας που ενώνει πηγή με δέκτη. Για την πληρέστερη παρουσίαση αυτής της αρχής είναι αναγκαίο να ορίσουμε δύο συναρτησιοειδή για τους χρόνους διαδρομής. Ας θεωρήσουμε μια τροχιά Ρ, μιας σεισμικής ακτίνας που ενώνει την πηγή και τον δέκτη σε ένα συνεχές μοντέλο καθυστέρησης s. Ορίζουμε ένα συναρτησιοειδές τΡ το οποίο δίνει τους χρόνους διαδρομής κατά μήκος της ακτίνας Ρ, ως ∫ τ Ρ ( s) = s( x) dl Ρ Ρ (1.2) όπου dlP είναι η απειροελάχιστη απόσταση κατά μήκος της σεισμικής ακτίνας Ρ. Σύμφωνα με την αρχή του Fermat (Fermat 1891, Goldstein 1950, Born and Wolf 1980) το κύμα το οποίο φθάνει σε ορισμένο σημείο από ορισμένη πηγή, ακολουθεί το συντομότερο δρόμο από όλους τους δρόμους που είναι δυνατό να ακολουθήσει, δηλαδή, ακολουθεί αυτόν που απαιτεί τον ελάχιστο χρόνο. Δηλαδή η αρχή του Fermat ελαχιστοποιεί το τΡ(s) σε συνάρτηση με την τροχιά Ρ (σχ. 1.3) 15 Σχ. 1.3 Ο νόμος του Snell προσδιορίζει τη σεισμική ακτίνα που ενώνει δύο σημεία Α και Β με τον ελάχιστο χρόνο διαδρομής. Άλλες ακτίνες είναι : ελάχιστου μήκους διαμέσου του μέσου 1, ελάχιστου μήκους διαμέσου του μέσου 2, και ελάχιστου ολικού μήκους (Berryman 1991). Εδώ πρέπει να επισημάνουμε ότι η αρχή του Fermat είναι στην πραγματικότητα η πιο ασθενής συνθήκη, κατά την οποία το ολοκλήρωμα του χρόνου διαδρομής είναι αμετάβλητο σε συνάρτηση με τις μεταβολές στην σεισμική ακτίνα. Για την μέθοδο αντιστροφής με βάση τους χρόνους διαδρομής, η παραπάνω αρχή σημαίνει ότι οι χρόνοι διαδρομής πρέπει να είναι ελάχιστοι. Ας ορίσουμε τώρα ένα συναρτησιοειδές τ, το οποίο και δίνει τους χρόνους διαδρομής υπακούοντας την αρχή του Fermat (ελάχιστος χρόνος διαδρομής). Το συναρτησιοειδές θα δίνεται από τον τύπο τ ∗ (s ) = min τ P∈Paths P (s ) (1.3) όπου με τον όρο Paths θεωρούνται όλες οι δυνατές ακτίνες που ενώνουν το δοσμένο ζευγάρι πηγής - δέκτη. Η συγκεκριμένη ακτίνα που ικανοποιεί την σχέση (1.3) ορίζεται ως Ρ. Αν περισσότερες της μιας ακτίνας ικανοποιούν την σχέση (1.3), τότε επιλέγεται μία από αυτές ως η αντιπροσωπευτική. Αντικαθιστώντας την (1.2) στην (1.3), προκύπτει η αρχή του Fermat για τον ελάχιστο χρόνο τ ( s) = ∗ ∫ s(x )dl P P∗ ∗ = min P ∫ s(x )dl P P (1.4) Το συναρτησιοειδές του χρόνου διαδρομής τ(s), είναι αμετάβλητο σε μικρές μεταβολές στη σεισμική ακτίνα P(s). 16 1.2.3 Νόμος του Snell. Ο νόμος του Snell είναι συνέπεια της αρχής του Fermat (Born and Wolf 1980). Το συμπέρασμα αυτό μπορεί εύκολα να προκύψει χρησιμοποιώντας ένα απλό γεωμετρικό επιχείρημα, (σχήμα 1.4) βασισμένο στην σταθερότητα του συναρτησιοειδούς του χρόνου διαδρομής, όπως απεικονίζεται στα σχήματα (1.4) και (1.5). Το αποτέλεσμα είναι ότι , s1sinθ1=s2sinθ2, (1.5) όπου θ1 και θ2 είναι οι γωνίες που σχηματίζουν οι σεισμικές ακτίνες, με την κάθετο στην διαχωριστική επιφάνεια των δύο μέσων. Σχ. 1.4 Ο νόμος του Snell είναι συνέπεια της σταθερότητας του συναρτησιοειδούς των χρόνων διαδρομής (Berryman 1991). Πρέπει να τονιστεί ότι ο νόμος του Snell είναι πολύ ειδικός και συγκεκριμένος. Υπάρχουν διάφορες προυποθέσεις που είναι απαραίτητες για την εφαρμοσιμότητα του νόμου αυτού, όπως : τα σημεία Α (πηγή) και Β (δέκτης) να βρίσκονται μακριά από την διαχωριστική επιφάνεια, τα δύο μέσα εκατέρωθεν της διαχωριστικής επιφάνειας, να είναι ομογενή με σταθερή ισότροπη τιμή καθυστέρησης. Σε προβλήματα όμως πιο γενικής απεικόνισης, το υποκείμενο μέσο μπορεί να είναι πολύ πολύπλοκο, οπότε δεν είναι πρόσφορη η χρήση του νόμου του Snell. Μια τυπική μέθοδος προσδιορισμού της ακτίνας με τη χρήση του νόμου 17 αυτού, μπορεί να αποτύχει σε ορισμένες περιπτώσεις, οπότε πρέπει να ληφθεί μέριμνα χρησιμοποιώντας πιο εύρωστες (robust) μεθόδους για τον προσδιορισμό της σεισμικής ακτίνας και του αντίστοιχου χρόνου διαδρομής. Τέτοιες μέθοδοι θα παρουσιαστούν σε επόμενη ενότητα. 18 1.3 Γενική θεωρία Αντιστροφής Το αντίστροφο πρόβλημα, εμφανίζεται τόσο στις θετικές επιστήμες, όσο και στις τεχνικές εφαρμογές. Τι είναι όμως το αντίστροφο πρόβλημα : Σύμφωνα με τον Menke (1984), αντιστροφή, είναι το σύνολο των μεθόδων που εφαρμόζεται σε ένα σύνολο παρατηρήσεων, και χρησιμοποιείται για την εξαγωγή χρήσιμων συμπερασμάτων. Σκοπός δεν είναι η απλή εφαρμογή των μεθόδων αλλά η κατάλληλη οργάνωσή τους, έτσι ώστε να αποφέρουν το μέγιστο των πληροφοριών από ένα δοσμένο σύνολο παρατηρήσεων. Για παράδειγμα, θα μπορούσε να θεωρηθεί ότι η αφαίρεση είναι το αντίστροφο της πρόσθεσης. Η ρίζα ενός αριθμού είναι το αντίστροφο του τετραγώνου αυτού. Δίνοντας μια απάντηση (για παράδειγμα τον αριθμό 4), βρίσκεις μια σωρεία ερωτήσεων (2+2=; ή 8/2=; ή 16 =;). Το τελευταίο αυτό παράδειγμα είναι το πιο σημαντικό, διότι δείχνει καθαρά ότι η ίδια απάντηση (π.χ δεδομένα), μπορεί να προέλθει από πολλές ερωτήσεις (π.χ μοντέλα και μεθόδους ανάλυσης). Για αυτόν το λόγο δεν πρέπει να προκαλεί έκπληξη ότι ο βαθμός της αβεβαιότητας (που συνήθως είναι πολύ υψηλός), είναι ένα εγγενές τμήμα των περισσότερων πραγματικών αντίστροφων προβλημάτων. Έτσι η επιλογή των παραμέτρων που θα περιγράψουν το υπό μελέτη σύστημα, δεν θα είναι η μοναδική. Υπάρχουν πολλοί συνδυασμοί παραμέτρων μοντέλου που θα οδηγήσουν στο ίδιο αποτέλεσμα. Κοινή επιδίωξη πάντα είναι η επιλογή μοντέλου που να παρέχει το μέγιστο των πληροφοριών για τον πραγματικό χώρο μελέτης. Είναι φανερό ότι το απόσπασμα της επιφυλλίδας του παρόντος κεφαλαίου δείχνει καθαρά ότι ακόμα και η διαδικασία ανακάλυψης ενός φυσικού νόμου, είναι από μόνη της ένα αντίστροφο πρόβλημα. Το σύνολο των πιθανών μοντέλων που περιγράφουν επαρκώς το υπό μελέτη φυσικό σύστημα, αποτελεί τον χώρο του μοντέλου. Αντίστοιχα, το σύνολο των δεδομένων τα οποία χαρακτηρίζουν το μοντέλο, αποτελούν τον χώρο των δεδομένων. Οι φυσικοί επιστήμονες έχουν συνηθίσει να αντιμετωπίζουν προβλήματα τα οποία δίνονται από εξισώσεις με μοναδική λύση. Εξαιτίας της κλασικής παιδείας που οι περισσότεροι επιστήμονες έχουν λάβει, τα προβλήματα με μη μοναδική λύση τους οδηγούν μάλλον σε αμηχανία. Ακόμα και στη κβαντομηχανική ή στην θεωρία του Χάους, παρέχονται αριθμητικά παραδείγματα πραγματικών πειραμάτων, στα οποία η αβεβαιότητα στη λύση είναι γεγονός. Μέθοδοι οι οποίες είναι κυρίως στατιστικές και οι οποίες χειρίζονται και μελετούν την αβεβαιότητα στη λύση, έχουν ζωτικό, αν όχι κεντρικό, ρόλο στην ανάλυση του προβλήματος. Πως γίνεται όμως η επίλυση του αντιστρόφου προβλήματος; Γενικά, ακολουθείται η εξής διαδικασία: πρόβλεψη, αριθμητικός υπολογισμός, σύγκριση. Προστέθηκε ακόμα ένα στοιχείο κατά την επίλυση του αντιστρόφου προβλήματος που είναι η αναπροσαρμογή του μοντέλου με βάση τα αποτελέσματα (feedback). Όταν ερευνάται ένας φυσικός νόμος, γίνεται αρχικά μια πρόβλεψη, υπολογίζεται το αποτέλεσμα και συγκρίνεται με το αποτέλεσμα του πειράματος. Αν η σύγκριση είναι μη ικανοποιητική, αυτό σημαίνει ότι και η επιλογή του αρχικού μοντέλου (αρχική πρόβλεψη) ήταν κακή. Υπάρχουν περιπτώσεις κατά τις οποίες δεν είναι δυνατό να επιτευχθεί μια καλύτερη αρχική πρόβλεψη. Αντίθετα, κατά την επίλυση προβλημάτων μη γραμμικής αντιστροφής και τομογραφίας, συνήθως είναι γνωστοί οι φυσικοί νόμοι που διέπουν το πρόβλημα (π.χ εξίσωση διάδοσης κύματος), χωρίς 19 όμως να είναι γνωστές οι ακριβείς τιμές των παραμέτρων. Σε κάθε περίπτωση, είναι δυνατό να γίνει χρήση της ασυμφωνίας μεταξύ των υπολογιζόμενων και των παρατηρούμενων αποτελεσμάτων, έτσι ώστε να γίνει μια καλύτερη προσαρμογή στις παραμέτρους και άρα να προκύψει μια βελτιωμένη πρόβλεψη. Σε ορισμένες περιπτώσεις, μια τέτοια διόρθωση της αρχικής πρόβλεψης είναι αρκετή, ενώ σε άλλες, απαιτούνται πολλές επαναλήψεις της παραπάνω διαδικασίας (feedback step) έτσι ώστε να επιτευχθεί η επιθυμητή συμφωνία μεταξύ μοντέλου και δεδομένων. Οπως έχει ήδη αναφερθεί, οι τρόποι αναπαράστασης των φυσικών ιδιοτήτων κάποιου συστήματος χωρίζονται σε δύο κατηγορίες. Στην πρώτη οι ιδιότητες περιγράφονται από διακριτές παραμέτρους (π.χ η μάζα της Γης), ενώ στην δεύτερη γίνεται χρήση συνεχών συναρτήσεων. Η θεωρία της Αντιστροφής εφαρμόζει διαφορετικές μαθηματικές μεθόδους, για αυτές τις δύο κλάσεις παραμέτρων. Η θεωρία των εξισώσεων των πινάκων χρησιμοποιείται για τις διακριτές παραμέτρους και η θεωρία των ολοκληρωτικών εξισώσεων για τις συνεχείς συναρτήσεις. Είναι δυνατό φυσικά να θεωρήσουμε μια δειγματοληπτική (διακριτή) μορφή των συνεχών συναρτήσεων, οπότε να υπάρχει μια κοινή αντιμετώπιση των προβλημάτων αντιστροφής, και τα αποτελέσματα των συνεχών και διακριτών παραμέτρων να είναι τα ίδια. Αντίστοιχα, τα δεδομένα παρατήρησης μπορεί να είναι διακριτά ή συνεχή. Ενα άλλο πρόβλημα που επίσης τίθεται σε σχέση με τα δεδομένα, είναι ο τρόπος συλλογής τους. Τα δεδομένα πρέπει να συλλεχθούν με τέτοιον τρόπο έτσι ώστε μετά την επεξεργασία τους, να μας παρέχουν το μέγιστο των πληροφοριών για το μοντέλο του χώρου μελέτης. Επίσης, τα δεδομένα χωρίζονται σε δύο κατηγορίες, ανάλογα με την ακρίβειά τους, τα ιδανικά (ή θεωρητικά- ή συνθετικά) δεδομένα και τα πραγματικά. Τα ιδανικά δεδομένα είναι ακριβή, με την επιθυμητή πυκνότητα, διακριτά ή συνεχή και χωρίς σφάλματα. Τα ιδανικά δεδομένα είναι ανθρώπινο δημιούργημα, με σκοπό την χρήση τους στη προσπάθεια επίλυσης του αντιστρόφου προβλήματος (συνθετικά δεδομένα). Αντίθετα τα πραγματικά δεδομένα είναι κατά βάση διακριτά, με τυχαία ή όχι σφάλματα, ενώ η καλή ή όχι πυκνότητα δειγματοληψίας, είναι αποτέλεσμα μόνο της δυνατότητας ή όχι λήψης μετρήσεων. 1.3.1 Το αντίστροφο πρόβλημα για ιδανικά δεδομένα Το ερώτημα που απευθείας τίθεται κατά την μελέτη του συγκεκριμένου προβλήματος, είναι : ποιός είναι ο λόγος της επίλυσης του αντιστρόφου προβλήματος στην περίπτωση ιδανικών δεδομένων ; Το ερώτημα πηγάζει από το γεγονός ότι, ουδέποτε κατά την εφαρμογή των μεθόδων της αντιστροφής ή της τομογραφίας για την κατασκευή ενός μοντέλου, δεν θα έχουμε ιδανικά δεδομένα στην διάθεση μας. Η μελέτη του συγκεκριμένου προβλήματος, προήλθε από την ανάγκη να απαντηθούν ερωτήματα του τύπου : υπάρχει λύση στο πρόβλημα ; αν υπάρχει λύση είναι η μοναδική ; και ποια η ευστάθεια της λύσης αυτής; Το πρώτο πρόβλημα που τίθεται είναι της ύπαρξης ή μη λύσης στο συγκεκριμένο πρόβλημα. Η απάντηση στο ερώτημα αυτό συνήθως παραλείπεται. Η ανυπαρξία ή όχι λύσης στο πρόβλημα, οφείλεται στο γεγονός ότι συνήθως το αρχικό μοντέλο της λύσης είναι υπεραπλουστευμένο σε σύγκριση με την 20 πολυσύνθετη πραγματικότητα της περιοχής μελέτης. Έτσι σε αυτή τη περίπτωση η κάθε μέθοδος αδυνατεί να συγκλίνει σε μία πιθανή λύση του συστήματος. Το δεύτερο πρόβλημα που αντιμετωπίζεται κατά την μελέτη της αντιστροφής ιδανικών δεδομένων, είναι το πρόβλημα της μοναδικότητας ή όχι της λύσης. Στην Γεωφυσική το πρόβλημα αυτό είναι γνωστό και ως απροσδιοριστία του Backus (Backus ambiguity), από το γεωφυσικό Backus ο οποίος και μελέτησε εκτενώς το θέμα (Backus 1970 a,b,c;). Η μοναδικότητα ή όχι της λύσης έχει σχέση με το πως είναι καθορισμένο το πρόβλημα. Από μαθηματικής απόψεως, αν το πρόβλημα είναι έστω και μερικώς υποκαθορισμένο, τότε υπάρχει πρόβλημα ως προς την μοναδικότητα της λύσης. Σ’ αυτή τη περίπτωση το πρόβλημα είναι ακατάλληλα ορισμένο (ill posed problem). Σε αυτές τις περιπτώσεις, είτε η λύση δεν είναι η μοναδική, είτε δεν είναι συνεχής συνάρτηση των δεδομένων, δηλαδή, μικρές διαταραχές στα δεδομένα, επιφέρουν μεγάλες μεταβολές στα μοντέλα. Το τελευταίο αναφέρεται και ως ευστάθεια της λύσης. Το πρόβλημα της έλλειψης της μοναδικότητας της λύσης μπορεί να είναι : ι) Εγγενές, δηλαδή να οφείλεται στο τρόπο με τον οποίο παράγονται τα δεδομένα από τα μοντέλα. Διαφορετικά μοντέλα οδηγούν στο ίδιο σύνολο δεδομένων. Γνωστό παράδειγμα στη Γεωφυσική, αποτελεί το πρόβλημα του Gauss όπου, ενώ μια γνωστή κατανομή πυκνότητας καθορίζει ένα μοναδικό εξωτερικό βαρυτικό πεδίο, το ίδιο πεδίο δε μπορεί να καθορίσει μια μοναδική κατανομή πυκνότητας. ιι) Αποτέλεσμα των απλοποιήσεων που συνήθως γίνονται κατά την κατασκευή του μοντέλου. Η παρουσία των παραπάνω προβλημάτων, οδηγούν τον μελετητή να στραφεί στις παρακάτω κατευθύνσεις : ι) Εξέταση της περίπτωσης, επίλυσης του προβλήματος με την εισαγωγή πρόσθετων δεδομένων, ή ακόμα και με την τροποποίηση του μοντέλου. ιι) Διεύρυνση του ορισμού της λύσης του αντιστρόφου προβλήματος. Στην περίπτωση αυτή, σκοπός είναι όχι η μοναδικότητα της λύσης, αλλά απλά η γνώση ιδιοτήτων της λύσης από τα διαθέσιμα δεδομένα. ιιι) Αναζήτηση πρόσθετων προϋποθέσεων οι οποίες θα επιτρέψουν την εύρεση μοναδικής λύσης. Σε αυτή τη περίπτωση, θεωρούμε ότι τα ‘ακατάλληλα ορισμένα’ προβλήματα έχουν “καλά ορισμένες“ επεκτάσεις (Franklin, 1970). Γνωστό παράδειγμα στη γεωφυσική αποτελεί η επέκταση του προβλήματος του Gauss, σύμφωνα με το οποίο είναι δυνατή η εύρεση του σχήματος του σώματος που δημιουργεί την ανωμαλία κάτω από ορισμένες προυποθέσεις. Εφόσον ικανοποιούνται ορισμένες προϋποθέσεις (Smith 1961), είναι δυνατό να δειχθεί ότι η λύση είναι μοναδική όταν είναι γνωστή η αντίθεση πυκνότητας του σώματος που προκαλεί το βαρυτικό πεδίο με τον περιβάλλοντα χώρο. 1.3.2 Το αντίστροφο πρόβλημα για πραγματικά δεδομένα Τα πραγματικά δεδομένα, είναι το αποτέλεσμα πειράματος (π.χ σεισμική διασκόπηση) ή παρατήρησης (π.χ σεισμολογικά δεδομένα), και δημιουργούν πρόσθετα προβλήματα τόσο στη μοναδικότητα της λύσης, όσο και στην κατασκευή του μοντέλου. Τα δεδομένα σε αυτή τη περίπτωση είναι προφανώς διακριτά και 21 πεπερασμένα σε πλήθος. Το κύριο πρόβλημα είναι ότι, τα προβλήματα στη φύση περιγράφονται από τυχαίας μορφής συνεχείς συναρτήσεις, έχουν δηλαδή άπειρους βαθμούς ελευθερίας και κατά συνέπεια χρειάζονται “άπειρα” δεδομένα για την επίλυσή τους. Ο πρακτικός περιορισμός των πεπερασμένων δεδομένων κάνει κατ΄ουσία, όλα τα αντίστροφα προβλήματα να είναι πρακτικώς υποκαθορισμένα και επιβάλλει την εισαγωγή κάποιων απλοποιήσεων στο μοντέλο και την έστω και μερική διακριτοποίησή του. Ακόμα πιο πολύπλοκο γίνεται το πρόβλημα εξαιτίας των παρατηρησιακών και άλλων σφαλμάτων τα οποία περιέχονται στα δεδομένα. Ακόμα και η θεώρηση του είδους της κατανομής την οποία ακολουθούν τα σφάλματα, είναι λανθασμένη. Επιπλέον όπως αναφέρθηκε και σε προηγούμενο κεφάλαιο, η λύση χάνει την μοναδικότητα της και αποκτά ένα στατιστικό χαρακτήρα. Με άλλα λόγια, τα πραγματικά δεδομένα, επιβάλλουν την αλλαγή του περιεχομένου της έννοιας της λύσης του αντιστρόφου προβλήματος. Η ύπαρξη σφαλμάτων στα δεδομένα υποχρεώνει τη λεπτομερή μελέτη του αντιστρόφου προβλήματος, σχετικά με τα ακόλουθα θέματα : α) Ευστάθεια (stability) της λύσης. Σε ορισμένα αντίστροφα προβλήματα, συνήθως σε μια περιοχή του χώρου του μοντέλου (model space), οι λύσεις είναι ασταθείς. Σε αυτή τη περίπτωση, μικρά σφάλματα στα δεδομένα οδηγούν σε μεγάλη αβεβαιότητα στις λύσεις, δηλαδή σε ένα μεγάλο αριθμό πιθανών λύσεων. Είναι εύκολο να αντιληφθούμε ότι σε αυτό το θέμα η επιθυμητή κατάσταση είναι εντελώς αντίθετη με αυτή του ευθέως προβλήματος. Στο ευθύ πρόβλημα θα θέλαμε μεγάλες διαταραχές στις παραμέτρους να μην οδηγούν σε σημαντικές αλλαγές στα δεδομένα παρατήρησης. Όμως, σε μια τέτοια περίπτωση, θα είχαμε ένα φοβερά ασταθές αντίστροφο πρόβλημα. Η ιδανική λύση θα ήταν η περίπτωση όπου διαταραχές στις παραμέτρους του μοντέλου, να προκαλούν ίδιου μεγέθους διαταραχές στα δεδομένα μας, έτσι ώστε τόσο το ευθύ όσο και το αντίστροφο πρόβλημα να παρουσιάζουν μια σχετική ευστάθεια. β) Ευρωστία (robustness) της λύσης. Με τον όρο αυτό εννοούμε την ανθεκτικότητα της λύσης σε δεδομένα τα οποία ξεφεύγουν σημαντικά λόγω μεγάλων τυχαίων σφαλμάτων από τη στατιστική σφάλματος των δεδομένων. Γνωστό παράδειγμα, η ευρύτατα χρησιμοποιούμενη μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων, η οποία δεν είναι εύρωστη μια και το κάθε σημείο επιδρά στη λύση με βάρος, το οποίο αυξάνει όσο περισσότερο απέχει το σημείο από τη μέση λύση, με αποτέλεσμα σημεία με μεγάλα τυχαία σφάλματα να επηρεάζουν πολύ τη λύση. γ) Βάρος των δεδομένων (data importance). Σε κάθε περίπτωση επίλυσης ενός αντιστρόφου προβλήματος, πρέπει να εξετάζεται το βάρος της επίδρασης των δεδομένων στην τελική λύση. Η μελέτη αυτή έχει ιδιαίτερη σημασία ως προς τον απαραίτητο αριθμό και την κατάλληλη επιλογή των δεδομένων, τα οποία θα επιτρέψουν την καλύτερη ανακατασκευή του μοντέλου. 1.3.3 Μέθοδοι Αντιστροφής Σεισμικών καταγραφών Τα δεδομένα που αποκτώνται κατά την διάρκεια σεισμικής διασκόπησης, είναι είτε κυματομορφές (waveforms), είτε χρόνοι διαδρομής (traveltimes). Σε αυτά εφαρμόζονται κάποιες τεχνικές αντιστροφής ανάλογες του είδους των δεδομένων. 22 Οι κυριότερες μέθοδοι αντιστροφής, ανάλογα με το είδος των δεδομένων και τη μεθοδολογία υπολογισμού συνθετικών δεδομένων, είναι οι παρακάτω : 1. Αντιστροφή χρόνων διαδρομής (travel time inversion). 2. Αντιστροφή των χρόνων διαδρομής με βάση την κυματική εξίσωση (Wave equation traveltime inversion - WT method). 3. Μέθοδος αντιστροφής πλήρους κυματομορφής (Full wave ή Full waveform inversion). 4. Μέθοδος αντιστροφής χρόνων διαδρομής και πλήρους κυματομορφής (Τravel time Inversion + Full wave equation). 23 1.4 Σεισμική Αντιστροφή και Τομογραφία Έστω μια ομάδα παρατηρούμενων χρόνων διαδρομής, t1, …, tm, που προέρχονται από m ζευγάρια πηγών-δεκτών, τα οποία βρίσκονται σε μέσο με κατανομή καθυστέρησης s(x). Θεωρούμε ότι, Ρi είναι η ακτίνα που ικανοποιεί την αρχή του Fermat και ενώνει τα i ζευγάρια πηγών-δεκτών. Αγνοώντας τα παρατηρησιακά σφάλματα προκύπτει ότι ∫ s( x)dl Ρi = ti Ρi , i=1,…,m (1.6) Έστω ένα μοντέλο σταθερής καθυστέρησης σε κελιά και lij το μήκος της i σεισμικής ακτίνας που διέρχεται από το jth κελί lij = ∫ dl Pi Pi ∩ cell j (1.7) Αν n είναι το σύνολο των κελιών, η σχέση (1.6) μπορεί να γραφεί ως : n ∑l s ij j = ti j =1 , i=1,…,m (1.8) Πρέπει να σημειώσουμε ότι, για κάθε ακτίνα i, το μήκος της lij είναι μηδέν για τα περισσότερα κελιά j, καθώς μια σεισμική ακτίνα τέμνει μόνο μερικά από τα κελιά του μοντέλου (σχ. 1.5). Μπορούμε να επαναπαρουσιάσουμε την εξίσωση (1.8), υπό μορφή πινάκων, καθορίζοντας τα διανύσματα στήλης s και t και τον πίνακα Μ, ως s1 s2 s= . , . sn t1 t2 t= . , . tm l11 l12 l21 l22 M = . . lm1 lm2 ... l1n ... l2 n . . . lmn (1.9) Επομένως η σχέση (1.8) μπορεί να γραφεί ως M s = t (1.10) Μπορούμε να θεωρήσουμε την εξίσωση (1.10), ως την αριθμητική προσέγγιση της σχέσης (1.4). Η σχέση (1.10) μπορεί να χρησιμοποιηθεί για κάθε σύνολο σεισμικών ακτινών, ανάλογα με το κατά πόσο αυτές οι σεισμικές ακτίνες ελαχιστοποιούν την 24 σχέση (1.4) ή όχι. Αν οι σεισμικές ακτίνες που χρησιμοποιούνται για την παραγωγή του πίνακα Μ, είναι οι ακτίνες με ελάχιστο χρόνο διαδρομής, τότε, πρέπει να έχουμε κατά νου ότι ο Μ είναι μια συνάρτηση του s. Χρόνος διαδρομής για την ακτίνα i Γεώφωνο Πηγή Σχ. 1.5 Σχηματική αναπαράσταση των σεισμικών ακτινών που διατρέχουν το μοντέλο καθυστέρησης (Berryman 1991). Οι μέθοδοι που αναπτύχθηκαν εφαρμόζονται τόσο στο δισδιάστατο χώρο (2D), όσο και στο τρισδιάστατο (3-D). Ο όρος αντιστροφή χρησιμοποιείται τόσο σε 2D όσο και σε 3-D εφαρμογές. Όταν γίνεται αναφορά σε εφαρμογές δύο διαστάσεων, τότε χρησιμοποιείται ο όρος τομογραφία. Το πρόθεμα τόμο- είναι ελληνικό και σημαίνει φέτα (τομή) και αποδίδεται αγγλικά από το slice. Παρομοίως, τα κελιά στις δύο διαστάσεις, συχνά καλούνται pixels καθώς αποτελούν στοιχεία εικόνας δύο διαστάσεων. Τα κελιά στις τρεις διαστάσεις συχνά καλούνται voxels καθώς αποτελούν στοιχεία όγκου τριών διαστάσεων. 1.4.1 Προσεγγιστικός προσδιορισμός του μοντέλου καθυστέρησης με οπισθοπροβολή (Backprojection) Ο όρος οπισθοπροβολή (backprojection) χρησιμοποιείται για να οριστεί η προσεγγιστική ανακατασκευή του μοντέλου καθυστέρησης, επιλύοντας την εξίσωση (1.10) ως προς το διάνυσμα καθυστέρησης s. Αν έχουμε το χρόνο 25 διαδρομής ti κατά μήκος της ith ακτίνας, και γνωρίζουμε ότι το ολικό μήκος της ακτίνας κατά μήκος της ίδιας τροχιάς είναι n ∑l Li = (1.11) ij j =1 τότε η μέση τιμή της καθυστέρησης κατά μήκος συγκεκριμένης σεισμικής ακτίνας, θα είναι ti Li si= sdl ∫ = ∫ dl Pi Pi . Pi (1.12) Pi Η ith σεισμική ακτίνα θα θεωρείται ότι διέρχεται από το jth κελί αν lij>0, ενώ δεν τέμνει καθόλου το κελί αν lij=0. Ενας υπολογισμός για την καθυστέρηση του j κελιού μπορεί να γίνει υπολογίζοντας τον μέσο όρο της βραδύτητας <s>i, για όλες τις σεισμικές ακτίνες που διέρχονται από το συγκεκριμένο κελί. Αυτή η διαδικασία αποτελεί και την οπισθοπροβολή (backprojection). Δηλαδή, η οπισθοπροβολή είναι η άθροιση όλων των μέσων καθυστερήσεων και διαίρεση με τον αριθμό των ακτίνων για το κάθε κελί. Στην πιο απλή περίπτωση μπορούμε να διαμορφώσουμε την παραπάνω διαδικασία, εισάγοντας την συνάρτηση προσήμου (sgn), έτσι ώστε sgn(lij)=1 αν lij>0 και sgn(lij)=0 αν lij=0. Σε αυτήν την περίπτωση, ο ολικός αριθμός των ακτίνων που διέρχονται από το jth κελί θα είναι Nj = ∑ m i =1 sgn( lij ) (1.13) οπότε η μέση καθυστέρηση θα είναι sj ≅ N −j 1 m ⋅ ti ∑ sgn(l ) L ij i =1 i (1.14) Η εξίσωση (1.14) είναι η πιο βασική για τον πιο απλουστευμένο υπολογισμό της καθυστέρησης (elementary backprojection). Η παραπάνω σχέση εφαρμόζεται το ίδιο επιτυχώς και για τις ταχύτητες. Η ανωτέρω εξίσωση παρέχει ένα γρήγορο, αλλά όχι ακριβή υπολογισμό της τιμής της καθυστέρησης σε ένα κελί, και βασίζεται στα διαθέσιμα δεδομένα. Σε πολλές περιπτώσεις στις οποίες εφαρμόζεται η σχέση (1.14), φαίνεται να οδηγεί σε λανθασμένους υπολογισμούς, γεγονός που δειχνεί την αδυναμία της μεθόδου να χρησιμοποιηθεί σε εργασίες που απαιτούν υψηλής ακρίβειας ανακατασκευή του μοντέλου ταχυτήτων. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι η 26 καθυστέρηση σε ένα κελί j, δίνεται ως το άθροισμα με βάρος των γινομένων lijti. Αυτός ο υπολογισμός φαίνεται να είναι βελτιωμένος σε σύγκριση με τον προηγούμενο, καθώς λαμβάνει υπόψην κατά τους υπολογισμούς την περίπτωση κατά την οποία lij=0, αλλά συμπληρωματικά δίνει μεγαλύτερο βάρος κατά τους υπολογισμούς, στην ακτίνα με το μεγαλύτερο μήκος εντός του κελλιού. Ετσι η παραπάνω εξίσωση γίνεται m sj ≅ ∑w l t , i ij i (1.15) i =1 όπου πρέπει να γίνει και κάποια επιλογή του παράγοντα w. Αντικαθιστώντας την (1.15) στην (1.8), προκύπτει ότι lij s j = wk j =1 k =1 n m ∑ ∑ lij lkj ⋅ t k ≅ ti j =1 n ∑ (1.16) Συνήθως η επιλογή του παράγοντα του βάρους στις παραπάνω εξισώσεις, δίνεται από μια σχέση της μορφής wi = 2 lij j =1 n −1 ∑ (1.17) Ορίζοντας ένα διαγώνιο πίνακα D του οποίου τα στοιχεία δίνονται από την σχέση ( Dii = MM T n ) ∑l ii = 2 ij (1.18) j =1 προκύπτει ότι οι σχέσεις (1.15) και (1.17) δίνουν την εξίσωση s ≅ D −1 M T t (1.19) Οι σχέσεις (1.14) και (1.19), όπως και οι αριθμητικές παραλλαγές αυτών, αποτελούν μεθόδους βασικού υπολογισμού της καθυστέρησης με οπισθοπροβολή (elementary backprojection). Στην προσπάθεια υπολογισμού ολοένα και ακριβέστερων αντιστρόφων οι παραπάνω προσεγγιστικοί υπολογισμοί της καθυστέρησης, συχνά αποτελούν το αρχικό μοντέλο μιας επαναληπτικής διαδικασίας υπολογισμών. 27 1.4.2 Τομογραφία με δεδομένα χρόνων διαδρομής (travel time tomography). Γενική αρχή της μεθόδου είναι ότι το μήκος κύματος των ανωμαλιών που προσδιορίζονται, είναι μεγαλύτερο του μήκους κύματος της ακτινοβολίας. Η αδυναμία της μεθόδου συνίσταται στην χρήση της προσέγγισης υψηλών συχνοτήτων (high frequency approximation). Η παραδοχή της προσέγγισης αυτής, γίνεται διότι η κυματική εξίσωση στις υψηλές συχνότητες παίρνει την μορφή 1 ∂ 2u ∇ u= 2 ⋅ 2 c ∂t 2 (1.20) που είναι και η κατάλληλη για ευθεία σεισμική ακτίνα ή απλή καμπύλη. Η περιοχή στην οποία κινείται η σεισμική ακτίνα, ορίζεται από την ακτίνα Fresnel (r=[L.λ]1/2), όπου L είναι το μήκος της σεισμικής ακτίνας και λ είναι το μήκος κύματος. Οσο αυξάνεται η συχνότητα, τόσο μειώνεται η ακτίνα Fresnel. Στην περίπτωση όπου η μεταβολή της συχνότητας με το βάθος είναι ανάλογη της μεταβολής των ταχυτήτων, τότε η μέθοδος αποτυγχάνει στον προσδιορισμό του τελικού μοντέλου των ταχυτήτων. Οταν δεν ισχύει η θεώρηση υψηλών συχνοτήτων, τότε παρουσιάζονται φαινόμενα συμβολής και περίθλασης. Ο Williamson (1991) παρατήρησε ότι το μικρότερου μεγέθους χαρακτηριστικό που μπορεί με ακρίβεια να ανακατασκευαστεί, με εφαρμογή της μεθόδου αντιστροφής χρόνων διαδρομής, έχει διάσταση που δίνεται από τον τύπο (L.λ)1/2, όπου L είναι η απόσταση διάδοσης του κύματος και λ είναι το μήκος κύματος. Η ανάλυση και ακρίβεια του μοντέλου που προσδιορίζεται από την μέθοδο αυτή, είναι μικρότερη από αυτή που παρέχει η μέθοδος αντιστροφής πλήρους κυματομορφής (Full wave inversion). Το πλεονέκτημα της μεθόδου είναι ότι η συνάρτηση προσαρμογής (misfit function) δηλαδή το άθροισμα των τετραγώνων σφάλματος μεταξύ παρατηρούμενων και υπολογιζόμενων χρόνων διαδρομής, μπορεί να θεωρηθεί προσεγγιστικά γραμμική σε σχέση με τις κανονικοποιημένες διαφορές μεταξύ αρχικών και πραγματικών μοντέλων ταχυτήτων. Αποτέλεσμα είναι, να υπάρξει μικρή μεταβολή της κατανομής των ταχυτήτων στον χώρο και επομένως να επιφέρει μικρή μεταβολή στους χρόνους διαδρομής. Συμπερασματικά, αυτό σημαίνει ότι πετυχημένη αντιστροφή μπορεί να επιτευχθεί ακόμα και στην περίπτωση κατά την οποία το αρχικό μοντέλο είναι μακριά από το πραγματικό μοντέλο. 1.4.3 Τομογραφία με χρήση των χρόνων διαδρομής και επίλυση με βάση την κυματική εξίσωση (Wave equation traveltime inversion - WT method). Χαρακτηριστικό της μεθόδου είναι η χρήση συνθετικών σεισμογραμμάτων πλήρους κυματομορφής τα οποία υπολογίζονται με κάποια μέθοδο μοντελοποίησης (χρησιμοποιείται κυρίως η μέθοδος πεπερασμένων διαφορών). Ετσι στην εφαρμογή της μεθόδου σε σεισμογράμματα δεν γίνεται χρήση της θεωρίας σεισμικών ακτίνων, οπότε δε γίνεται και η παραδοχή της προσέγγισης υψηλών συχνοτήτων 28 στα δεδομένα. Η μέθοδος WT είναι παρόμοια της μεθόδου αντιστροφής πλήρους κυματομορφής, όταν το αρχικό μοντέλο ταχύτητας προσεγγίζει πολύ καλά το πραγματικό μοντέλο ταχύτητας. Το πλεονέκτημα της μεθόδου είναι, ότι μπορεί να δώσει ένα ικανοποιητικό μοντέλο, ακόμα και όταν οι μέθοδοι προσδιορισμού της σεισμικής ακτίνας (ray tracing methods), αποτυγχάνουν να υπολογίσουν τους σωστούς χρόνους πρώτων αφίξεων. Οπως και η προηγούμενη μέθοδος, έτσι και η WT δεν είναι σε θέση να παράγουν μοντέλα ανάλογης ποιότητας και ακρίβειας με αυτά της μεθόδου αντιστροφής πλήρους κυματομορφής. 1.4.4 Τομογραφία περίθλασης και αντιστροφή πλήρους κυματομορφής. Η τομογραφία περίθλασης (Devaney 1984, Harris 1987, Wu και Toksoz 1987, Lo et al. 1990) αποτελείται από μια συλλογή μεθόδων, συμπεριλαμβανομένου και των μεθόδων του Born (Born 1926, Newton 1966) και Rytov (Rytov 1937, 1938, Keller 1969, Born and Wolf 1980), οι οποίες κάνουν χρήση των πληροφοριών που παρέχουν οι κυματομορφές ως σεισμικά δεδομένα. Επιτυχής αντιστροφές πραγματικών δεδομένων έχουν επιτευχθεί χρησιμοποιώντας τόσο δεδομένα μικροκυμάτων (συχνότητες μεγαλύτερες των 20GHz), όσο και δεδομένα υπερηχητικών κυμάτων (ultrasonic), σε τομογραφίες περίθλασης (Tabbara et al. 1988). Σε αυτή την περίπτωση αντί να γίνει χρήση μόνο των πρώτων αφίξεων των χρόνων διαδρομής, ως δεδομένα για την αντιστροφή, γίνεται χρήση τόσο των χρόνων όσο και των πλατών και φάσεων των κυματομορφών. Σε αντίθεση με τις προηγούμενες μεθόδους (π.χ αντιστροφή χρόνων διαδρομής) η μέθοδος αυτή είναι πολύ ευαίσθητη στην επιλογή του αρχικού μοντέλου και στα πλάτη του θορύβου. Κατά την εφαρμογή της μεθόδου, αν γίνει χρήση μιας μεθόδου βαθμίδας (gradient method) θα οδηγήσει σε εσφαλμένο τοπικό ελάχιστο, στην περίπτωση όπου το αρχικό μοντέλο είναι πολύ διαφορετικό από το πραγματικό. Είναι απαραίτητη η χρήση όλων των πληροφοριών που παρέχει η κυματομορφή, όταν το μήκος κύματος αυτής, είναι συγκρίσιμο με το μέγεθος της ανωμαλίας που θέλουμε να απεικονίσουμε. Η θεώρηση της ακτινικής θεωρίας, ισχύει περιοριστικά μόνο για τις πολύ υψηλές συχνότητες, ή ισοδύναμα, για μήκη κύματος πολύ “μικρά” συγκρινόμενα με το μέγεθος της ανωμαλίας. Ο όρος “μικρά” είναι αντικείμενο της ερμηνείας, αλλά μακρόχρονη εμπειρία στην ασυμπτωτική θεωρία της διάδοσης του κύματος (Bleistein 1984) έχει δείξει ότι, αν το μεγαλύτερο μήκος κύματος των δεδομένων είναι λmax, τότε η ακτινική θεωρία ισχύει για ανωμαλίες μεγέθους ≅ 3λ max ή μεγαλύτερες. Αν η παραπάνω σχέση παραβιάζεται κατά την διάρκεια ενός τομογραφικού πειράματος, τότε η τομογραφία περίθλασης (δηλαδή χωρίς τη παραδοχή προσέγγισης υψηλών συχνοτήτων στα δεδομένα μας) παίζει ένα σημαντικό ρόλο στην ικανοποιητική ανακατασκευή του χώρου μελέτης. Η τομογραφία περίθλασης έχει διάφορα πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα έναντι της μεθόδου τομογραφίας χρόνων διαδρομής. Με τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιείται σήμερα, είναι μια αυστηρά γραμμική μέθοδος τομογραφίας. Η ύπαρξη ενός αρχικού μοντέλου είναι απαραίτητη. Το αρχικό μοντέλο είναι συνήθως ομογενές και απλό. Η μέθοδος αυτή απαιτεί μια σύγκριση μεταξύ του προβλεπόμενου κυματικού πεδίου (wave field) και του παρατηρούμενου. Αν 29 θεωρήσουμε πολύπλοκο αρχικό μοντέλο τότε στην τομογραφία περίθλασης θα λάβουμε παραμορφωμένα κύματα (distorted waves), ως διαφορά μεταξύ του υπολογιζόμενου σύνθετου κυματικού πεδίου και του παρατηρούμενου. Επίσης, επειδή γίνεται χρήση κυματομορφών και όχι χρόνων, όλα τα στοιχεία συμμετέχουν στην συνάρτηση σφάλματος. Το πρόβλημα που εμφανίζεται σε αυτές τις περιπτώσεις, είναι ότι η συνάρτηση σφάλματος (misfit function) μπορεί να είναι ισχυρά μη γραμμική, σε σχέση με το προτεινόμενο μοντέλο ταχύτητας. Αυτό σημαίνει ότι, μια μικρή μεταβολή στα δεδομένα επιφέρει μεγάλη μεταβολή στο μοντέλο. Σε άλλες περιπτώσεις, είναι δυνατό να καταλήξουμε στην λύση του τομογραφικού προβλήματος, αν το υπολογιζόμενο και το παρατηρούμενο κυματικό πεδίο διαφέρουν κατά μια μικρή ποσότητα. Κατά συνέπεια, η τομογραφία περίθλασης είναι ένας τύπος γραμμικής τομογραφίας, παρόλο που στην περίπτωση αυτή οι ακτίνες δεν είναι ευθείες, ενώ παραμένει γραμμικό το πρόβλημα και από μαθηματικής απόψεως, καθώς οι διαταραχές του αρχικού μοντέλου πρέπει να είναι πολύ μικρές. Άρα, η τομογραφία περίθλασης είναι σαφώς υποδιαίστερη της τομογραφίας χρόνων διαδρομής, αφού εν γένει ανήκει στη γραμμική τομογραφία. Μια επαναληπτική μέθοδος για τομογραφία περίθλασης, προτάθηκε πρόσφατα από τους Ladas και Devaney (1991, 1992), ενώ μια μη γραμμική μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων για αντιστροφή πλήρους κυματομορφής έχει προταθεί από τους Tarantola και Valette (1982) και Tarantola (1984). Από την άλλη πλευρά, η τομογραφία περίθλασης είναι πιο επιτυχής στον προσδιορισμό των χρόνων διαδρομής από τη τομογραφία χρόνων διαδρομής, και αυτό διότι χρησιμοποιεί περισσότερες πληροφορίες, οι οποίες περιέχονται στις σεισμικές κυματομορφές. Η μέθοδος αυτή έχει ακόμα σοβαρά προβλήματα που σχετίζονται με την αβεβαιότητα των δεδομένων πλάτους. Είναι καλά γνωστό ότι η απόσβεση των κυμάτων, η σκέδαση αυτών, η τρισδιάστατη γεωμετρική διασπορά, όπως και οι επιδράσεις ανάκλασης/εκπομπής, μπορούν όλα μαζί να δράσουν αρνητικά στη ποιότητα των κυματομορφών που καταγράφονται. Κατά συνέπεια, για να θεωρηθεί επιτυχής μια τομογραφία περίθλασης πρέπει να βρεθεί τρόπος ταυτόχρονης απομάκρυνσης των θορύβων, οι οποίοι αναφέρθηκαν νωρίτερα, από τα πραγματικά δεδομένα. Ετσι, η χρήση της τομογραφίας περίθλασης, έχει περιοριστεί στην αντιστροφή δύο διαστάσεων, και η πιο επιτυχής εφαρμογή της έχει γίνει με υπέρηχους στην Ιατρική, ή με μικροκύματα για χαρτογράφηση και ανίχνευση μεταλλικών οπλισμών σε σκυρόδεμα. Συμπερασματικά, η τομογραφία περίθλασης και η αντιστροφή πλήρους κυματομορφής μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι ανοικτή σε μια πιο επιστάμενη μελέτη. Τα αποτελέσματα μοντέλων καθυστέρησης από την τομογραφία χρόνων διαδρομής, μπορούν να αποτελέσουν αρχικό μοντέλο για την τομογραφία περίθλασης. Ετσι, η τομογραφία περίθλασης παρέχει ένα ακόμα εργαλείο για βελτίωση των αποτελεσμάτων της αντιστροφής και τομογραφίας των χρόνων διαδρομής. 30 1.4.5 Τομογραφία με αντιστροφή των χρόνων διαδρομής και της πλήρους κυματομορφής (Τravel time Inversion + Full wave equation). Εκμεταλλευόμενοι τα πλεονεκτήματα των δύο μεθόδων που αναφέρθηκαν παραπάνω γίνεται εφαρμογή μιας νέας μεθόδου, η οποία θεωρείται περισσότερο αξιόπιστη (Zhou et al. 1995). Κύρια χαρακτηριστικά της είναι : 1. O αυξημένος ρυθμός σύγκλισης στο πραγματικό μοντέλο, λόγω μη ευαισθησίας στο αρχικό μοντέλο. 2. Η μεγάλου βαθμού διακριτική ικανότητα . 3. Δεν είναι αναγκαία η παραδοχή προσέγγισης υψηλών συχνοτήτων στα δεδομένα. 4. Η μέθοδος αυτή δεν είναι ιδιαίτερα ευαίσθητη στην ύπαρξη θορύβου στα δεδομένα. Βασικό χαρακτηριστικό της μεθόδου είναι ότι πρώτα γίνεται αντιστροφή για τα μεγάλου μήκους κύματος χαρακτηριστικά ταχύτητας με βάση την αντιστροφή των χρόνων διαδρομής (traveltime inversion) και κατόπιν γίνεται ένας εμπλουτισμός του παρόντος μοντέλου με πιο λεπτομερή χαρακτηριστικά, με βάση την μέθοδο αντιστροφής πλήρους κυματομορφής (waveform inversion). 31 1.5 Γραμμική - Μη Γραμμική Αντιστροφή και Τομογραφία Κατά την επίλυση του ευθέως προβλήματος (forward problem), ζητείται να καθοριστούν τα Μ και t, με δεδομένο το s (εξίσωση 1.10). Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να υπολογιστεί η σεισμική ακτίνα μεταξύ κάθε ζεύγους πηγής και δέκτη (κάνοντας χρήση κάποιου αλγορίθμου προσδιορισμού της σεισμικής ακτίνας [ray tracing]) και κατόπιν να υπολογιστεί ο χρόνος διαδρομής ως ολοκλήρωμα κατά μήκος της σεισμικής ακτίνας. Στο γραμμικό τομογραφικό ή αντίστροφο (linear tomography - inversion) πρόβλημα, παρέχονται ως δεδομένα τα Μ και t, και σκοπός είναι ο προσδιορισμός του s. Η θεώρηση που γίνεται σε αυτή τη περίπτωση είναι ότι οι σεισμικές ακτίνες είναι εκ των προτέρων (a priori) γνωστές, το οποίο και ισχύει στην γραμμική θεώρηση, αγνοώντας την εξάρτηση της σεισμικής ακτίνας από τη κατανομή των τιμών της καθυστέρησης στον χώρο. Συχνά, δεχόμαστε την σεισμική ακτίνα ως μια ευθεία γραμμή που ενώνει την πηγή με τον δέκτη. Η γραμμική τομογραφία εφαρμόζεται στη γεωφυσική διασκόπηση αλλά ακόμα περισσότερο στην ιατρική ενδοσκόπηση. Σε προβλήματα μη γραμμικής τομογραφίας και αντιστροφής (nonlinear tomography or inversion), δίδονται μόνο οι χρόνοι διαδρομής t (για το ζεύγος πηγής-δέκτη, έχοντας γνωστές τις θέσεις αυτών), και σκοπός είναι ο προσδιορισμός του s και του M. Στο συγκεκριμένο πρόβλημα, η εξάρτηση των σεισμικών ακτίνων από την κατανομή των τιμών της καθυστέρησης στο χώρο, είναι πολύ ισχυρή και καθορίζει άμεσα την αρχιτεκτονική του αλγόριθμου αντιστροφής. Η μη γραμμική αντιστροφή, εφαρμόζεται κατά τις περιπτώσεις όπου παρατηρείται σημαντική μεταβολή των τιμών καθυστέρησης στην περιοχή ενδιαφέροντος. Οι σεισμικές ακτίνες σε τέτοια μέσα, παύουν να είναι ευθείες γραμμές (γραμμικό πρόβλημα), και παρουσιάζουν μεγάλη καμπυλότητα (μη γραμμικό), η τιμή της οποίας δεν μπορεί να είναι γνωστή πριν η διαδικασία της αντιστροφής αρχίσει. Τα προβλήματα γραμμικής τομογραφίας και αντιστροφής, μπορούν να λυθούν προσεγγιστικά εφαρμόζοντας μεθόδους οπισθοπροβολής (backprojection) (παρ. 1.4.1). Τα γραμμικά αντίστροφα προβλήματα μπορούν να λυθούν με μεγαλύτερη ακρίβεια με χρήση κάποιας μεθόδου βελτιστοποίησης (optimization technique). Χρησιμοποιώντας την λύση ελαχίστων τετραγώνων για παράδειγμα, η κανονική εξίσωση για το διάνυσμα s δίνεται από το παρακάτω τύπο ( sˆ = Μ Τ Μ ) −1 Μ Τt (1.21) δεχόμενοι φυσικά ότι ο αντίστροφος του πίνακα ΜΤΜ υπάρχει. Αν ο αντίστροφος δεν υπάρχει, τότε η εξίσωση (1.21) πρέπει να κανονικοποιηθεί (regularized). Η κανονικοποίηση πραγματοποιείται με άθροιση ενός θετικού πίνακα στον ΜΤΜ, και αντικατάσταση του αντιστρόφου της σχέσης (1.21), από τον τροποποιημένο πια αντίστροφο. Για την επίλυση της μη γραμμικής αντιστροφής, απαιτείται η χρήση ενός επαναληπτικού αλγορίθμου, ο οποίος θα βρίσκει την προσεγγιστική λύση sb. Η δομή ενός τέτοιου προγράμματος δίνεται παρακάτω (σχ. 1.6) 32 1. Θέτουμε ως sb ένα αρχικό μοντέλο, το οποίο μπορεί να είναι π.χ ένα ομογενές μοντέλο ή το καλύτερο μοντέλο βασισμένο σε γνωστές γεωλογικές παρατηρήσεις. 2. Υπολογίζουμε τον πίνακα των σεισμικών ακτίνων Μ και τους χρόνους διαδρομής tb για τις παραμέτρους sb, και κατόπιν υπολογίζεται η διαφορά των δύο χρόνων Δt=t-tb (παρατηρούμενος - υπολογιζόμενος). 3. Αν το Δt είναι ικανοποιητικά μικρό τότε θεωρείται το sb ως τελική λύση. Αλλιώς προχωράμε στο βήμα 4. 4. Βρίσκεται μια διόρθωση του μοντέλου Δs ως λύση του γραμμικού αντίστροφου προβλήματος : Μ.Δs=Δt. 5. Βελτιώνονται οι παράμετροι του μοντέλου sb, παρέχοντας νέες παραμέτρους που δίνονται από το άθροισμα των παλίων sb και των διορθώσεων Δs. 6. Επιστρέφουμε στο βήμα 2. Σχ. 1.6 Επαναληπτικός αλγόριθμος αντιστροφής χρόνων διαδρομής (Berryman, 1991). 33 Ο παραπάνω αλγόριθμος λειτουργεί ικανοποιητικά τις περισσότερες φορές, αλλά όχι πάντα. Για μοντέλα τα οποία έχουν μικρή αντίθεση τιμών καθυστέρησης, ο παραπάνω αλγόριθμος θα συγκλίνει σε μια αληθοφανή λύση. Οταν όμως η μέθοδος αποτυγχάνει, σημαίνει ότι το μοντέλο παρουσίαζε υψηλή διακύμανση στις τιμές του. Για την αντιμετώπιση τέτοιου είδους προβλημάτων, προτείνονται τεχνικές που μειώνουν την διακύμανση των τιμών καθυστέρησης και εγγυούνται υψηλό βαθμό ομαλότητας (smoothness) του μοντέλου. Αναλύοντας τον αλγόριθμο, παρατηρούμε ότι υπάρχουν δύο μόνο στάδια κατά τα οποία λαμβάνουν χώρα σημαντικοί υπολογισμοί. Το στάδιο 2, είναι η επίλυση του ευθέως προβλήματος για τις παραμέτρους sb. Το στάδιο αυτό δεν παρουσιάζει κάποια αστάθεια στην επίλυση και αυτό διότι μπορεί να επιλυθεί με όση ακρίβεια επιθυμείται (φυσικά υπάρχουν περιορισμοί υπολογιστικής ισχύος). Στο στάδιο 4, παρουσιάζεται το βήμα της γραμμικής αντιστροφής σε ένα αλγόριθμο μη γραμμικής αντιστροφής. Αυτό πρέπει να δημιουργήσει κάποιους περιορισμούς αφού στη γραμμική αντιστροφή δεχόμαστε ότι το καινούργιο μοντέλο (ύστερα από την άθροιση της διόρθωσης), δεν είναι τόσο διαφορετικό από το προηγούμενο, έτσι ώστε να δικαιολογούνται οι σημαντικές διαφορές στον πίνακα Μ των σεισμικών ακτίνων, από το ένα βήμα στο επόμενο. Αν η παραπάνω παραδοχή δεν ισχύει, τότε το στάδιο 4 παύει να λειτουργεί, και τα στάδια 4 και/ή 5 στον αλγόριθμο, πρέπει να τροποποιηθούν. Η ανάλυση εφαρμοσιμότητας (feasibility analysis) παρέχει ένα σετ αυστηρών φυσικών περιορισμών στην διαδικασία της ανακατασκευής του μοντέλου. Η εμπειρία έχει δείξει ότι, αν εφαρμοστούν περιορισμοί στην εφαρμοσιμότητα, τότε δεν απαιτούνται περιορισμοί στην ομαλοποίηση της λύσης. Στο κεφάλαιο που ακολουθεί, θα γίνει ανάλυση τέτοιων προβλήματων με μεγαλύτερη λεπτομέρεια, ενώ θα αναφερθούν μέθοδοι σταθεροποίησης του μη γραμμικού αντίστροφου προβλήματος. 1.5.1 Ανάλυση της εφαρμοσιμότητας, κατά την εφαρμογή μεθόδων αντιστροφής των χρόνων διαδρομής Η ιδέα της χρήσης κάποιων περιορισμών εφαρμοσιμότητας είναι πρόβλημα που εμφανίζεται κυρίως κατά την επίλυση μη γραμμικών προβλημάτων (Fiacco and McCormick, 1990). Παρόλα αυτά, μόλις πρόσφατα διαπιστώθηκε ότι κάποιες φυσικές αρχές, όπως για παράδειγμα η αρχή του Fermat, στην πραγματικότητα οδηγούν στην εφαρμογή αυστηρών περιορισμών εφαρμοσιμότητας σε μη γραμμικά προβλήματα (Berryman 1991). Η κύρια διαφορά που παρουσιάζεται μεταξύ της ανάλυσης που γινόταν έως τώρα στον μη γραμμικό προγραμματισμό και στη νέα ανάλυση που εφαρμόζεται, είναι ότι οι συναρτήσεις οι οποίες χρησιμοποιούνταν στο μη γραμμικό προγραμματισμό ήταν συνεχείς και διαφοροποιήσιμες, οπότε ήταν σχετικά εύκολο να υπολογιστούν επακριβώς. Αντίθετα, τα συναρτησιοειδή στη μη γραμμική αντιστροφή (π.χ τα συναρτησιοειδή των χρόνων διαδρομής), δεν είναι συνεχή ή διαφοροποιήσιμα, οπότε είναι δύσκολος και ο υπολογισμός τους. Οι περιορισμοί εφαρμοσιμότητας που χρησιμοποιούνται κατά την επίλυση ενός αντιστρόφου προβλήματος, θα λέγαμε ότι είναι περισσότερο γενικοί παρά συγκεκριμένοι. 34 Η ανάλυση που ακολουθεί, είναι πολύ σημαντική διότι βοηθάει στο να χαρακτηριστεί η λύση του αντιστρόφου προβλήματος, καθώς και να απαντηθούν ερωτήματα που έχουν σχέση με την εύρεση του τοπικού ή ολικού ελαχίστου του αντιστρόφου προβλήματος. 1.5.2 Καθορισμός των περιορισμών εφαρμοσιμότητας Η εξίσωση (1.6), θεωρεί ότι Pi είναι η σεισμική ακτίνα που υπακούει στην αρχή του Fermat (ελάχιστος χρόνος) και οδηγεί σε ισότητες οι οποίες μπορούν να εκφραστούν υπό μορφή διανυσμάτων με την εξίσωση Ms=t (εξίσωση 1.10). Ας θεωρήσουμε τώρα ότι Pi είναι μια τυχαία σεισμική ακτίνα, ανεξάρτητα από το αν είναι η ακτίνα ελάχιστου χρόνου διαδρομής. Η αρχή του Fermat μας επιτρέπει να γράψουμε την εξίσωση ∫ s( x)dl Ρi ≥ ti Ρi (1.22) όπου ti είναι ο παρατηρούμενος χρόνος διαδρομής για το ζευγάρι i πομπού και δέκτη. Οταν γίνει εφαρμογή της παραπάνω σχέσης για κάθε μοντέλο (κελιά ή κύβους) και για όλες τις σεισμικές ακτίνες i, θα προκύψουν m ανισότητες οι οποίες μπορούν να γραφούν υπό μορφή διανυσμάτων ως Μ⋅s≥t (1.23) Οι εξισώσεις (1.22) και (1.23), μπορούν να θεωρηθούν ως μια ομάδα περιοριστικών ανισοτήτων, ως προς τον προσδιορισμό του μοντέλου καθυστέρησης s. Οταν το s ικανοποιεί τις m ανισότητες, τότε το s είναι αποδεκτό (εφαρμόσιμο feasible). Οταν έστω και ένας περιορισμός δεν ικανοποιείται, τότε χαρακτηρίζουμε το s ως μη αποδεκτό (μη εφαρμόσιμο - infeasible). Το σύνολο των ανισοτήτων, αποτελεί τους περιορισμούς εφαρμοσιμότητας (feasibility constraints). Η εφαρμογή των περιορισμών εφαρμοσιμότητας είναι σχετικά εύκολη σε προβλήματα μη γραμμικού προγραμματισμού (Fiacco and McCormick, 1990), όταν οι περιορισμοί για το διάνυσμα της λύσης είναι συγκεκριμένοι. Ομως, κατά την επίλυση του αντιστρόφου προβλήματος απαιτείται ένας ακόμη υπολογισμός. Το σχήμα (1.7) δείχνει καθαρά ότι οι περιορισμοί για το διάνυσμα των χρόνων διαδρομής είναι συγκεκριμένοι, σε αντίθεση με τους περιορισμούς του διανύσματος της καθυστέρησης, που είναι τελείως ασαφής, άρα πρέπει να υπολογιστούν. Αυτός ο πρόσθετος βαθμός πολυπλοκότητας του αντιστρόφου προβλήματος, είναι αναπόφευκτος, αν και αντιμετωπίζεται σχετικά εύκολα με μια μικρή τροποποίηση του αλγορίθμου της μη γραμμικής αντιστροφής. 35 Διαδικασία διαδοχικής αύξησης του s για το προσδιορισμό των οριακών τιμών (τιμές οι οποίες ορίζουν τις περιοχές πιθανοφάνειας) Σχ. 1.7 Το πιο πιθανοφανές τμήμα του χώρου των παραμέτρων του μοντέλου, καθορίζεται άμεσα από το χώρο των δεδομένων με τη μεγαλύτερη πιθανοφάνεια (Berryman 1991). 36 1.6 Προβλήματα κατά την επίλυση του Ευθέως και Αντιστρόφου προβλήματος Κατά την επίλυση του αντιστρόφου προβλήματος εμφανίζονται προβλήματα τα οποία στην διεθνή βιβλιογραφία αναφέρονται ως φαντάσματα (ghosts). Φάντασμα στην σεισμική αντιστροφή χρόνων διαδρομής, είναι ένα μοντέλο το οποίο όμως δεν επηρεάζει διόλου τη προσαρμογή των αναμενόμενων και των παρατηρούμενων χρόνων διαδρομής. Για παράδειγμα αν ισχύει Ms=t, M(s+g)=t, (1.24) τότε με επίλυση των δύο σχέσεων προκύπτει ότι Mg = 0, (1.25) οπότε το g ανήκει στον μηδενικό χώρο (null space) του πίνακα Μ, δηλαδή στο μηδενικό χώρο του αντίστοιχου συναρτησιοειδούς των χρόνων διαδρομής. Προσεκτική ανάλυση των προβλημάτων που συχνά εμφανίζονται, έδειξε ότι μερικά από αυτά είναι αναπόφευκτα λόγω της περιορισμένης δυνατότητας ελέγχου των δεδομένων, όταν αυτά συλλέγονται. Αλλα προβλήματα προέρχονται από ατυχή επιλογή του τρόπου διακριτοποίησης του μοντέλου, λόγω μαθηματικών και θεωρητικών περιορισμών της γεωφυσικής μεθόδου που εκάστοτε χρησιμοποιείται (ανάκλαση-διάθλαση) ή και λόγω περιορισμών που αποτελούν εγγενή προβλήματα του προβλήματος που μελετάται (μη γραμμικότητα). Σημαντικό είναι να επισημάνουμε, ότι πολλές φορές είναι αδύνατη ή/και μη επιθυμητή η απομάκρυνση όλων των προβλημάτων - φαντασμάτων. Η λύση ελαχίστων τετραγώνων δεν μπορεί να προσδιοριστεί στην περίπτωση κατά την οποία ο πίνακας ΜΤΜ είναι μη αντιστρέψιμος. Η αδυναμία αντιστροφής του παραπάνω πίνακα οφείλεται στην ύπαρξη μηδενικού χώρου στον πίνακα Μ, ο οποίος χώρος απαρτίζεται από φαντάσματα (ghosts). Σε ορισμένες περιπτώσεις αναπτύσσονται τεχνικές για την απομάκρυνση των φαντασμάτων (Ivansson, 1986). Οι τεχνικές αυτές όμως δεν απομακρύνουν πάντα τα φαντάσματα. 1.6.1 Περιορισμοί εφαρμοσιμότητας και φαντάσματα Σε προηγούμενη παράγραφο αναφέρθηκε ότι οι περιορισμοί εφαρμοσιμότητας εξαρτώνται από τα δεδομένα (χρόνοι διαδρομής), ενώ τα φαντάσματα είναι ανεξάρτητα των χρόνων διαδρομής και εξαρτώνται μόνο από τον πίνακα των σεισμικών ακτίνων. Συμπερασματικά, οι περιορισμοί εφαρμοσιμότητας είναι πάντα ορθογώνιοι σε όλα τα διανύσματα των φαντασμάτων (σχ. 1.8). 37 Η παρουσία των φαντασμάτων δεν επηρεάζει καθόλου τους χρόνους διαδρομής Σχ. 1.8 Οι περιορισμοί εφαρμοσιμότητας είναι ορθογώνιοι σε κάθε διάνυσμα φαντασμάτων (Berryman 1991). Στην πραγματικότητα, η παραπάνω θεώρηση είναι υπεραπλουστευμένη για τη περίπτωση της μη γραμμικής αντιστροφής, και αυτό διότι μπορεί να ζητείται η ταυτόχρονη εξέταση πολλών πινάκων σεισμικών ακτίνων. 1.6.2 Τύποι προβλημάτων Παρακάτω θα γίνει ανάλυση των συνηθέστερων προβλημάτων που εμφανίζονται σε προβλήματα σεισμικής αντιστροφής λόγω : Α) Διακριτοποίησης του χώρου μελέτης Β) Επιλογής γεωφυσικής μεθόδου Γ) Αδυναμία προσέγγισης του πραγματικού προβλήματος (μη γραμμικό πρόβλημα) 1.6.2.1 Προβλήματα διακριτοποίησης χώρου μελέτης 1.6.2.1.1 Φάντασμα ενός μεμονωμένου κελιού (Single cell ghost) Φάντασμα ενός μεμονωμένου κελιού εμφανίζεται όταν ένα κελί δεν τέμνεται από καμμία σεισμική ακτίνα. Το κελί αυτό δεν καλύπτεται από καμία σεισμική ακτίνα άρα δεν υπάρχει κανένα στοιχείο για τον χώρο αυτό. Κατά συνέπεια και η τιμή καθυστέρησης του χώρου αυτού θα είναι αυθαίρετη, μιας και δεν υπάρχει κανένας χρόνος διαδρομής από την ομάδα των δεδομένων. Ο πιο κατάλληλος τρόπος επίλυσης του παραπάνω προβλήματος είναι η υιοθέτηση μιας αυθαίρετης τιμής καθυστέρησης, η οποία θα είναι η μέση τιμή για όλα τα κελιά. Εναλλακτικά μπορεί να υιοθετηθεί η μέση τιμή καθυστέρησης όλων των παρακείμενων κελιών. 38 1.6.2.1.2 Δύο κελιά από τα οποία διέρχεται μια μόνο σεισμική ακτίνα Στην περίπτωση κατά την οποία δύο κελιά καλύπτονται μόνο από μια σεισμική ακτίνα, προκύπτει φάντασμα και αυτό διότι η αύξηση δti στους χρόνους διαδρομής κατά τη κίνηση των ακτίνων διαμέσου των δύο κελιών, είναι αμετάβλητη σε διαταραχές της μορφής g Τ = (0,...,0, lik ,0,...,0,−lij ,0,...,0 ) (1.26) καθώς ( ) ( δti = lij s j + lik sk = lij s j + αlik + lik sk − αlij ) (1.27) όπου α είναι μια αυθαίρετη μονόμετρη ποσότητα. Ο μόνος περιορισμός στον α είναι ότι το μεταβαλλόμενο διάνυσμα καθυστέρησης s’=s+αg (1.28) πρέπει να είναι θετικό. Εδώ πρέπει να τονιστεί ότι δεν υπάρχει φάντασμα που να προέρχεται από κελί το οποίο καλύπτεται από μια σεισμική ακτίνα. Ο σωστότερος τρόπος αντιμετώπισης αυτού του προβλήματος είναι η θεώρηση ότι τα δύο κελιά (ιδιαίτερα αν είναι παρακείμενα), αποτελούν ένα κελί μεγαλύτερης διάστασης με την ίδια τιμή καθυστέρησης και για τα δύο. Με αυτό το τρόπο επιτυγχάνεται η απομάκρυνση του προβλήματος αλλά ταυτόχρονα και η μείωση κατά ένα των παραμέτρων του μοντέλου που πρέπει να προσδιοριστούν. Αν περισσότερα των δύο κελιών καλύπτονται από μια σεισμική ακτίνα, τότε θα εμφανιστούν πολλαπλά φαντάσματα (για ν κελιά θα υπάρχουν ν-1 φαντάσματα). Ενας τρόπος αντιμετώπισης του προβλήματος είναι η θεώρηση όλων των κελιών ως ένα κελί. Αυτή η λύση δεν είναι και η καλύτερη για την περίπτωση όπου τα κελιά δεν είναι παρακείμενα, και για αυτό θα αναφερθούν άλλοι τρόποι παρακάτω. 1.6.2.1.3 Υποκαθορισμένα κελιά Οι προηγούμενες αναφορές είναι ειδικές περιπτώσεις ενός πιο γενικού προβλήματος που είναι η περίπτωση υποκαθορισμένων κελιών σε υπερκαθορισμένο πρόβλημα αντιστροφής. Με τον όρο υποκαθορισμένο εννοούμε την περίπτωση όπου οι εξισώσεις είναι λιγότερες των αγνώστων. Το παράδειγμα των δύο κελιών με τη μια σεισμική ακτίνα είναι αντιπροσωπευτικό της περίπτωσης που μελετάται. Αλλα παραδείγματα μπορεί να είναι τρία κελιά με δύο σεισμικές ακτίνες, 20 κελιά με 15 ακτίνες κ.τ.λ. Η ύπαρξη υποκαθορισμένων κελιών μπορεί να είναι αποτέλεσμα του κακού σχεδιασμού εκτέλεσης της έρευνας, των φυσικών περιορισμών που εισάγει ο χώρος μελέτης και οι οποίοι μειώνουν σημαντικά το πεδίο έρευνας (όπως για παράδειγμα η γεωμετρία πειράματος σεισμικής τομογραφίας σε γεωτρήσεις) ή λόγω ύπαρξης ισχυρών αντιθέσεων στις τιμές των καθυστερήσεων στον χώρο, οι οποίες και προκαλούν ισχυρή κύρτωση των 39 σεισμικών ακτίνων. Είναι αναμενόμενο οι σεισμικές ακτίνες να αποφεύγουν περιοχές χαμηλής ταχύτητας, υπακούοντας την αρχή του Fermat σύμφωνα με την οποία η ακτίνα θα προτιμήσει την γρηγορότερη διαδρομή. Καθώς στα πειράματα προσχεδιάζεται η επιθυμητή ανάλυση και ακρίβεια του μοντέλου, με βάση την παραδοχή της κάλυψης του χώρου από ευθείες σεισμικές ακτίνες, η πραγματική κάλυψη του χώρου στις περιοχές χαμηλών ταχυτήτων είναι σημαντικά μικρότερη της αναμενόμενης. Αυτή η μικρή κάλυψη του συγκεκριμένου χώρου προκαλείται από την κάμψη των σεισμικών ακτίνων και προκαλεί τον υποκαθορισμό των αντίστοιχων κελιών. Το πρόβλημα αυτό μπορεί να επιλυθεί ως εξής M ′ ⋅ s′ = δ t ′ (1.29) όπου M ′ είναι ένας πίνακας με διαστάσεις m′ × n ′ και m′ < n ′ , s′ είναι υποδιάνυσμα με μήκος n ′ του μοντέλου καθυστέρησης και δt ′ είναι το υποδιάνυσμα με μήκος m′ των χρόνων διαδρομής. Η λύση της παραπάνω σχέσης δίνεται ως ( s′ = M′T M′M′T ) −1 δt ′ (1.30) στη περίπτωση κατά την οποία ο πίνακας M ′M ′ είναι αντιστρέψιμος. Η γενική λύση της σχέσης (1.29) είναι ένα διάνυσμα της μορφής T s′ = M′T (M′M′T ) δt′ + g′ −1 (1.31) όπου g′ είναι κάθε διάνυσμα του μηδενικού χώρου του M ′ . Ο χώρος αυτός πρέπει να έχει διαστάσεις τουλάχιστον n ′ − m′ . Η προτεινόμενη λύση και σε αυτή τη περίπτωση είναι ο συνδυασμός πολλών κελιών σε ένα, έως το σημείο όπου ο αριθμός των εξισώσεων θα είναι τουλάχιστον ίσος του αριθμού των αγνώστων. Σε αυτή τη περίπτωση n ′ − m ′ = 0 , οπότε και ο μηδενικός χώρος του πίνακα Μ έχει αφανιστεί. Στην περίπτωση κατά την οποία τα κελιά δεν είναι παρακείμενα οπότε δεν μπορεί να εφαρμοστεί η προηγούμενη μέθοδος, θέτουμε μια τιμή καθυστέρησης για τα κελιά τα οποία έχουν την ελάχιστη κάλυψη, απομακρύνοντάς τα ως παραμέτρους από το αντίστροφο πρόβλημα. 1.6.2.1.4 Ράβδωση του χώρου μελέτης (Stripes) Ενα από τα πιο κοινά προβλήματα που εμφανίζονται κατά την εφαρμογή της μεθόδου της σεισμικής τομογραφίας μεταξύ γεωτρήσεων, είναι η κατακόρυφη ράβδωση. Οι ραβδώσεις είναι φαντάσματα που προκαλούνται είτε από κακή παραμετροποίηση του μοντέλου, είτε λόγω περιορισμένης δυνατότητας ανάλυσης 40 του μοντέλου που προέρχεται από τη γεωμετρία της συγκεκριμένης μεθόδου, είτε, τέλος, λόγω χρήσης ευθειών ακτίνων για την ανακατασκευή του μοντέλου (σχ. 1.9) Σχ. 1.9 Οι ραβδώσεις προκαλούνται λόγω της θεώρησης ευθείων σεισμικών ακτίνων σε πείραμα σεισμικής τομογραφίας μεταξύ γεωτρήσεων (Berryman 1991). Για να γίνει πιο εμφανές το πρόβλημα, ας θεωρήσουμε δύο κατακόρυφες γεωτρήσεις, μεταξύ των οποίων ορίζουμε κάνναβο με δύο κελιά κατά την κατακόρυφη διεύθυνση και τρία κατά την οριζόντια. Αν θεωρηθεί ότι στην μια γεώτρηση είναι οι πηγές και στη άλλη οι δέκτες, τότε για να καταγραφεί ένας παλμός που παράγεται στην πηγή, πρέπει η ακτίνα να τμήσει τις τρεις γραμμές που υλοποιούν τα κατακόρυφα όρια μεταξύ των κελλιών. Θεωρώντας ευθείες ακτίνες 41 το ολικό μήκος αυτών θα είναι Li=3h/cosθi, όπου θi είναι η γωνία που σχηματίζει η ακτίνα με την οριζόντιο και h είναι η διάσταση του τετράγωνου κελιού. Ετσι για κάθε μία από τις κατακόρυφες στήλες του καννάβου που ορίσαμε, το μήκος της ακτίνας είναι h/cosθi. Αυτό που παρατηρήθηκε είναι ότι το άθροισμα για όλες τις σεισμικές ακτίνες, για κάθε μία στήλη είναι σταθερό. Σε αυτήν την περίπτωση ο πίνακας των σεισμικών ακτίνων παίρνει την μορφή d 11 h cos θ 1 d 21 h cos θ 2 M = . . d m1 h cos θ m dij h , eij h , d 12 h cos θ 1 d 22 h cos θ 2 . . d m2 h cos θ m e13 h cos θ 1 e 23 h cos θ 2 . . em3 h cos θ m f 15 h cos θ 1 f 25 h cos θ 2 . . f m5 h cos θ m e14 h cos θ 1 e 24 h cos θ 2 . . em 4 h cos θ m f 16 h cos θ 1 f 26 h cos θ 2 . . f m6 h cos θ m (1.32) f ij h όπου cos θ cos θ cos θ είναι θετικά ικανοποιώντας την παρακάτω σχέση i i i 2 4 6 ∑d = ∑e = ∑ f ij j =1 ij j=3 ij =1 j=5 (1.33) για κάθε σεισμική ακτίνα i, με 1 ≤ i ≤ m. Είναι ξεκάθαρο ότι τα d, e, f σχετίζονται αντίστοιχα με τις τρεις στήλες του ορισμένου καννάβου. Αποδεικνύεται ότι τα τρία αυτά διανύσματα είναι 1 1 − 1 g1 = − 1 , 0 0 0 1 0 1 1 0 g2 = g3 = 1 , 0 − − 1 1 − 1 − 1 (1.34) (Berryman, 1991), και αποτελούν φαντάσματα για το πρόβλημα που εξετάζεται, καθώς σε κάθε περίπτωση προκύπτει ότι 42 h cosθ 1 h cosθ 2 Mg = h cosθ m h cosθ 1 h − cosθ 2 . . . h − cosθ m − =0 (1.35) χρησιμοποιώντας και την σχέση (1.33). Τέτοιου είδους “φαντάσματα” εμφανίζονται στο ανακατασκευασμένο μοντέλο ως κατακόρυφες ραβδώσεις και προκύπτουν διότι μια σταθερή ποσότητα διαταραχής στο μοντέλο των καθυστερήσεων, αφαιρείται από την μια στήλη και προστίθεται σε μια άλλη. Για την απομάκρυνση των προβλημάτων πρέπει να διασπάσουμε την συμμετρία της διάταξης. Τα φαντάσματα δεν θα εμφανίζονται εάν, τα κελιά δεν ευθυγραμμίζονται πλήρως με την κατακόρυφη διάταξη των γεωτρήσεων. Ετσι μια προτεινόμενη λύση είναι η επιλογή κελιών τα οποία δεν θα είναι τετράγωνα ή ορθογώνια παραλληλόγραμμα, αλλά τρίγωνα ή εξάγωνα (όπως για παράδειγμα τρίγωνα Delauny, πολύγωνα Voronoi). Παρατηρήθηκε βελτίωση των αποτελεσμάτων κατά την αντικατάσταση των τριγώνων του καννάβου από τα πολύγωνα Voronoi, καθώς και μειώνοντας την διακριτική τους ικανότητα. Ετσι παρατηρήθηκε ότι ο μηδενικός χώρος (null space), δεν έχει τόσο υψηλή ενέργεια παντού (Vesnaver 1994, Bohm et al. 1995). Αλλη λύση είναι η συννένωση των κελιών με τη μικρότερη κάλυψη από ακτίνες. Η λύση αυτή, όμως, θα οδηγήσει σε μια διάσπαση της συμμετρίας. Μια απλούστερη μέθοδος (τουλάχιστον θεωρητικά) είναι η χρήση των καμπυλωμένων ακτίνων, αντί των ευθείων σεισμικών ακτίνων. 1.6.2.1.5 Γραμμική εξάρτηση Τα φαντάσματα προκύπτουν λόγω γραμμικής εξάρτησης του πίνακα Μ, αλλά και κάθε άλλου υποπίνακα αυτού Μ’. Το πρόβλημα των ραβδώσεων προέρχεται από την γραμμική εξάρτηση όλων των γραμμών του πλήρους πίνακα Μ. Στην περίπτωση των υποκαθορισμένων κελιών, το πρόβλημα πηγάζει από την φτωχή κάλυψη του χώρου αυτού από σεισμικές ακτίνες. Η εξίσωση η οποία και καθορίζει την παρουσία φαντασμάτων είναι M ⋅g = 0 43 (1.36) και δείχνει καθαρά την γραμμική εξάρτηση μεταξύ των γραμμών του πίνακα Μ. Η εξίσωση (1.36) είναι ένα σύστημα m εξισώσεων και n αγνώστων συνιστώσων του g, με m>n. Κάθε n από τις m εξισώσεις είναι ικανές να ερμηνεύσουν το g, καθώς και τις υπόλοιπες m-n εξισώσεις. Εξαίρεση στα παραπάνω αποτελεί το πρόβλημα του “φαντάσματος” ενός κελιού (single cell ghost). 1.6.2.2 Αβεβαιότητα στο ταυτόχρονο προσδιορισμό ανακλαστήραταχύτητας. Τα δεδομένα σεισμικής ανάκλασης περιέχουν αβεβαιότητα μεγάλου μήκους κύματος, λόγω της δυσκολίας να διαχωριστούν πληροφορίες που αναφέρονται στο μοντέλο ταχυτήτων και στο προσδιορισμό της θέσης του ανακλαστήρα (Αrcher et al. 1982, Bickel, 1990). Η παρουσία αυτής της, αβεβαιότητας ταχύτηταςανακλαστήρα, είναι αποτέλεσμα της γεωμετρίας του υποβάθρου και δεν προκαλείται από την επιλεγμένη μέθοδο αντιστροφής. Οι παράγοντες που ελέγχουν τη παρουσία της ασάφειας ταχύτηταςανακλαστήρα, είναι το πλάτος της ανωμαλίας ταχύτητας (το μήκος κύματος αυτής), η απόσταση (ύψος) της ανωμαλίας πάνω από τον ανακλαστήρα και το πάχος της ανωμαλίας. Παράγοντες οι οποίοι δεν επηρεάζουν τον ταυτόχρονο προσδιορισμό ταχύτητας-ανακλαστήρα είναι το πλάτος (ποσοστό) της ανωμαλίας (η διαφορά μεταξύ ανωμαλίας και μέσης ταχύτητας του χώρου) και το μήκος του καλωδίου με το οποίο έγινε η συλλογή των δεδομένων. Ενα λεπτό στρώμα το οποίο παρουσιάζει ανωμαλία ταχύτητας, προκαλεί αβεβαιότητα σε μήκος κύματος περίπου 4.44 φορές την απόσταση της ανωμαλίας από τον ανακλαστήρα (Ross, 1994). Μια «παχιά» ανωμαλία ταχύτητας η οποία εκτείνεται από την επιφάνεια έως και τον ανακλαστήρα προκαλεί αβεβαιότητα σε μήκος κύματος περίπου 2.57 φορές το βάθος για τον ανακλαστήρα (Lines, 1993). Αυτά τα μήκη κύματος είναι σημαντικά σε μέγεθος και ως εκ τούτου εμπίπτουν στο ενδιαφέρον της Eφαρμοσμένης Γεωφυσικής. O Bickel (1990) απέδειξε ότι δομές που προκαλούν ανωμαλίες χρόνων διαδρομής με μήκη κύματος περίπου 2.57 φορές το μέσο βάθος ταφής, δεν μπορούν να δώσουν πληροφορίες τόσο για το μοντέλο ταχυτήτων όσο και για το βάθος του ανακλαστήρα, χρησιμοποιώντας είτε χρόνους διαδρομής είτε πληροφορίες του μοντέλου ταχύτητας. Στους παραπάνω κυματάριθμους, μεγάλες μεταβολές στη γεωμετρία του ανακλαστήρα, προκαλούν μικρές μεταβολές στους παρατηρούμενους χρόνους διαδρομής. O Bickel (1990) απέδειξε επίσης ότι η μεταβολή στους χρόνους διαδρομής που προέρχεται από μεταβολή στην ανωμαλία ταχύτητας και στον ανακλαστήρα δίνεται από τη σχέση ∆z δt j = 2 2 i zj λα2 1 − 2 λ 44 2 h j δs i (1.37) όπου, 2 ∆zi2 ∆zij ∆zij ∆zi λα = 2π + + 6 2 2 (1.38). Από την παραπάνω εξίσωση αποδεικνύεται ότι οι παράγοντες που ελέγχουν το λόγο λα/λ, και επομένως τη συμπεριφορά μιας ανωμαλίας, περιλαμβάνουν το μήκος κύματος της ανωμαλίας λ, το πάχος αυτής Δzi, και το ύψος της ανωμαλίας πάνω από τον ανακλαστήρα Δzij. Οι άλλοι παράγοντες όπως η οριζόντια απόσταση hj (offset), το πλάτος (magnitude anomaly) της ανωμαλίας ταχύτητας δsi επηρεάζουν μόνο το μέγεθος της μεταβολής των χρόνων διαδρομής αλλά όχι και το πρόσημο αυτών. Ο Lines (1993) εισάγει έναν ακόμα παράγοντα που οδηγεί σε αβεβαιότητα κατά τον ταυτόχρονο προσδιορισμό μοντέλου ταχύτητας-ανακλαστήρα που είναι το σφάλμα στο χρόνο καταγραφής των ανακλώμενων κυμάτων, ενώ θεωρεί εξίσου σημαντικό και το λόγο οριζόντιας απόστασης με το βάθος του ανακλαστήρα (offset/depth). Η σχέση που συνδέει τις μεταβολές των χρόνων διαδρομής με τις μεταβολές σε χρόνο και βάθος του ανακλαστήρα είναι dT − dV 4 ZdZ = + 2 2 T V V T (1.39) όπου ο χρόνος διαδρομής Τ, για απλή περίπτωση ανακλώμενων κυμάτων δίνεται ως T= (2Z )2 + X 2 V (1.40). Στη περίπτωση όπου η οριζόντια απόσταση πηγής-γεωφώνου (offset) είναι μηδενική, παρατηρήθηκε ότι η μεταβολή στο χρόνο διαδρομής είναι δυνατό να είναι μηδενική όταν η μεταβολή του βάθους του ανακλαστήρα είναι ίση με τη μεταβολή της ανωμαλίας της ταχύτητας. Σε αυτή τη περίπτωση είναι φανερό ότι το μοντέλο είναι πλήρως αμφιλεγόμενο (ambiguous). Η μεταβολή της ταχύτητας στη περίπτωση τομογραφίας ανάκλασης σε οριζόντιο στρώμα δίνεται από τη σχέση dV V = V 2To2 Te ⋅ X 2 T0 (1.41) (Lines, 1993) όπου παρατηρείται ότι η αβεβαιότητα στο ταυτόχρονο προσδιορισμό ταχύτητας-ανακλαστήρα εξαρτάται από τους εξής παράγοντες : α) το σχετικό σφάλμα στο καθορισμό του χρόνου ανάκλασης στις κυματομορφές που δίνεται από το λόγο Τe/T0 και β) από το τετράγωνο του λόγου 2*βάθος ανωμαλίας/μήκος κύματος της ανωμαλίας. Από τα παραπάνω βγαίνει το συμπέρασμα ότι για να μειωθεί η αβεβαιότητα στο ταυτόχρονο προσδιορισμό ταχύτητας-ανακλαστήρα, πρέπει να 45 αυξηθεί η οριζόντια απόσταση (offset) και να μειωθούν τα σφάλματα στο καθορισμό των χρόνων ανάκλασης (picking errors). Φυσικά τα σφάλματα στο καθορισμό των χρόνων ανάκλασης εξαρτώνται από το θόρυβο στις καταγραφές, τη συνοχή των δεδομένων (data coherency) και την ικανότητα του χρήστη να διακρίνει τις αφίξεις των ανακλάσεων. 1.6.2.3 Προβλήματα μη γραμμικότητας στη σεισμική τομογραφία Προκειμένου να μελετηθούν τα προβλήματα που προκύπτουν λόγω μη γραμμικότητας σε πείραμα σεισμικής τομογραφίας θα μελετηθεί η περίπτωση της σεισμικής τομογραφίας μεταξύ γεωτρήσεων. Στη μία γεώτρηση, σ’ αυτήν που βρίσκεται στην αριστερή πλευρά του σχήματος, τοποθετούνται οι πηγές και στην άλλη τα γεώφωνα. Υπάρχουν τρείς περιπτώσεις κατά τις οποίες μεταβάλλεται το μοντέλο ταχύτητας: Σχ. 1.10. Πείραμα σεισμικής τομογραφίας στο οποίο φαίνεται η δράση τριών μοντέλων ταχύτητας στον καθορισμό των σεισμικών ακτίνων α) Ομογενές μοντέλο ταχυτήτων, ευθείες σεισμικές ακτίνες, β) Μοντέλο με ανωμαλία χαμηλής ταχύτητας, κεκκαμένες σεισμικές ακτίνες και γ) Μοντέλο με ανωμαλία υψηλής ταχύτητας, δημιουργία ζώνης σκιάς (Snieder and Trampert, 2000). α) Ομογενές μοντέλο ταχύτητας. Στη περίπτωση αυτή οι ακτίνες είναι ευθείες γραμμές που ενώνουν τη πηγή με κάθε γεώφωνο (σχήμα 1.10α). Στη περίπτωση που το μοντέλο ταχύτητας δεν είναι ομογενές οι σεισμικές ακτίνες κάμπτονται. β) Ας υποτεθεί ότι το μοντέλο ταχύτητας δεν είναι ομογενές αλλά παρουσιάζει στο μέσο του μια χαμηλής ταχύτητας (αρνητική) ανωμαλία (σχήμα 1.10β). Καθώς οι σεισμικές ακτίνες υπακούουν στο νόμο του Fermat, δηλαδή είναι ακτίνες ελάχιστου χρόνου διαδρομής, οι ακτίνες κάμπτονται γύρω από την αρνητική ανωμαλία αποφεύγοντάς την. Αν η ανωμαλία ταχύτητας είναι πολύ ισχυρή (πολλή μικρή ταχύτητα) τότε υπάρχει η πιθανότητα καμμία ακτίνα να μην “χτυπήσει” τη δομή. Σε αυτήν τη περίπτωση η δομή δεν διατρέχεται από καμμία ακτίνα με αποτέλεσμα τα δεδομένα να μην περιέχουν καμμιά πληροφορία για αυτήν. Οι παράμετροι του μοντέλου επιδρούν τη πορεία με την οποία η σεισμική ακτίνα δειγματοληπτεί το χώρο. Ετσι για ορισμένες παραμέτρους, η συνάρτηση σφάλματος (misfit function) είναι τελείως ανεξάρτητη των παραμέτρων του 46 μοντέλου. Γραφικά θα λέγαμε ότι η συνάρτηση σφάλματος είναι επίπεδη για τις παραμέτρους οι οποίες δεν μπορούν να ακατασκευαστούν. γ) Στη περίπτωση κατά την οποία το μοντέλο ταχύτητας περιέχει μια θετική ανωμαλία (υψηλής ταχύτητας) (σχήμα 1.10γ), οι σεισμικές ακτίνες αποκλίνουν δημιουργώντας μια ζώνη σκιάς πίσω από την ανωμαλία. Για το συγκεκριμένο μοντέλο αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχει σεισμική ακτίνα που να καταγράφηκε στο γεώφωνο R3. Αυτό με τη σειρά του σημαίνει ότι για ορισμένες τιμές των παραμέτρων του μοντέλου δεν υπάρχει η δυνατότητα να υπολογιστούν χρόνοι διαδρομής αφού δεν υπάρχει σεισμική ακτίνα που να «χτυπάει» τις παραμέτρους. Αυτό σημαίνει ότι ορισμένες παράμετροι είναι αδύνατο να ανακατασκευαστούν. Το παραπάνω πρόβλημα είναι γνωστό και ως «χαμένες ακτίνες» (missing rays) (Sambridge, 1990; Natterer et al., 1997). 1.6.3 Τρόποι επίλυσης των προβλημάτων που παρουσιάζονται κατά την επίλυση του ευθέως και αντιστρόφου προβλήματος Τα προβλήματα που παρουσιάζονται κατά την επίλυση του ευθέως και αντιστρόφου προβλήματος, μπορούν να αντιμετωπισθούν εφαρμόζοντας μια ποικιλία μεθόδων. Φυσικά η αντιμετώπιση γίνεται κατά περιπτώσεις ανάλογες αυτών που αναφέρθηκαν παραπάνω. Αντίστοιχος θα είναι και ο τρόπος παρουσίασης των μεθόδων στη παράγραφο αυτή ταξινομώντας τες ανά κατηγορία. Ετσι, αρχικά θα παρουσιαστούν μέθοδοι αντιμετώπισης των προβλημάτων που προκύπτουν λόγω διακριτοποίησης του μοντέλου (Α). Κατόπιν, θα παρουσιαστούν μέθοδοι που αφορούν το πρόβλημα του ταυτόχρονου προσδιορισμού ανακλαστήραταχύτητας (Β) και τέλος μέθοδοι κανονικοποίησης που επιλύουν μαθηματικά ένα μη γραμμικό πρόβλημα. 1.6.3.1.1 Παχιές σεισμικές ακτίνες (Fat rays) Οπως αναφέρθηκε παραπάνω, παρόλο που οι καμπυλόγραμμες ακτίνες εισάγουν φαντάσματα στις περιοχές χαμηλών ταχυτήτων, αυτές αποτελούν μια απλή και συχνά εφαρμοζόμενη λύση σε πειράματα σεισμικής τομογραφίας μεταξύ γεωτρήσεων. Αναπτύχθηκαν, λοιπόν, πολλές μέθοδοι βελτίωσης της σύζευξης μεταξύ κελιών και ακτίνων, όπως η εφαρμογή παχιών σεισμικών ακτίνων (fat rays) (Kak 1984, Michelena and Harris 1991). Το γεγονός ότι οι σεισμικές ακτίνες είναι σταθερές, δηλαδή, μικρές μεταβολές στην σεισμική ακτίνα δεν επηρεάζουν κατά πολύ τους χρόνους διαδρομής, σημαίνει ότι στη πραγματικότητα κάθε σεισμική ακτίνα αποτελείται από μια ομάδα ακτίνων οι οποίες φαινομενικά όλες έχουν τον ίδιο χρόνο διαδρομής. Κάνοντας χρήση της παραπάνω ιδιότητας είναι δυνατή η βελτίωση της κάλυψης των κελιών από σεισμικές ακτίνες. Ετσι είναι δυνατό, μεταξύ ενός ζεύγους πηγής - δέκτη να χρησιμοποιηθούν παραπάνω της μιας σεισμικές ακτίνες. Για παράδειγμα, κατά τον υπολογισμό των σεισμικών ακτίνων είναι δυνατό να χρησιμοποιήσουμε όχι μόνο την ακτίνα με τον μικρότερο χρόνο διαδρομής, αλλά και όλες τις άλλες σεισμικές ακτίνες οι οποίες είναι προσεγγιστικά “καλές”. Στην περίπτωση αυτή, στη θέση του απλού στοιχείου του πίνακα των σεισμικών ακτίνων 47 για την ith σεισμική ακτίνα, εισάγουμε πολλαπλές γραμμές σχηματίζοντας ένα πίνακα της μορφής l11 l 21 Mi = . . l µ1 l12 l 22 . . lµ 2 ... l14 ... l 2 n . ... . ... l µn (1.42) όπου μ είναι η πολλαπλότητα της ith σεισμικής ακτίνας. Η παραπάνω διαδικασία εφαρμόζεται σχετικά εύκολα στην ακτινική θεωρία, είτε στη περίπτωση της μεθόδου των καμπυλωμένων ακτίνων είτε στην περίπτωση της μεθόδου βολών. Η επίδραση που έχει στην όλη διαδικασία είναι ότι αυξάνει το μέγεθος των δεδομένων κατά ένα παράγοντα μ. Ετσι το πρόβλημα που απευθείας προκύπτει είναι ο αυξημένος αποθηκευτικός χώρος που απαιτείται. Η μέθοδος των παχιών ακτίνων, είναι μια εναλλακτική μέθοδος η οποία χρησιμοποιεί την ίδια θεωρία με τη προηγούμενη μέθοδο, αλλά αποφεύγει το πρόβλημα του αποθηκευτικού χώρου διότι δεν αυξάνει τις διαστάσεις των πινάκων. Στην μέθοδο αυτή δεχόμαστε ότι η σεισμική ακτίνα έχει κάποιο πεπερασμένο πάχος. Αποτέλεσμα αυτού, είναι ότι ενώ μέχρι τώρα γινόταν υπολογισμός του μήκους της ακτίνας που διέρχεται ανά κελί, τώρα εξετάζεται η περιοχή (εμβαδό) επικάλυψης που έχει η ακτίνα στη περιοχή του κελιού. Στις τρεις διαστάσεις, η επιφάνεια αυτή γίνεται όγκος. Αν το εύρος της ακτίνας στις δύο διαστάσεις είναι Δw και η κατακόρυφη τομή της ακτίνας στην περίπτωση των τριών διαστάσεων είναι μια επιφάνεια Δα, τότε ο πίνακας των σεισμικών ακτίνων δίνεται ως a11 a 21 1 . M= ∆w . . a m1 a12 a 22 . . . am2 ... a1n ... a 2 n . . . . . . ... a mn (1.43) όπου τα στοιχεία που απαρτίζουν το πίνακα είναι οι επιφάνειες επικάλυψης στις δύο διαστάσεις. Οταν πρόκειται για τρισδιάστατο πίνακα,η σχέση (1.43) γίνεται 48 v11 v 21 1 . M= ∆a . . v m1 v12 v 22 . . . vm2 ... v1n ... v 2 n . . . . . . ... v mn (1.44) όπου vij είναι οι όγκοι επικάλυψης. Πρέπει να τονιστεί ότι, στην περίπτωση της τομογραφίας χρόνων διαδρομής το άθροισμα των γραμμών του πίνακα Μ, είναι μήκος και όχι επιφάνεια ή όγκος, διότι αλλιώς δεν θα είχαν σημασία οι τιμές καθυστέρησης του ανακατασκευασμένου μοντέλου. Το μειονέκτημα της μεθόδου είναι η δυσκολία με την οποία υπολογίζονται οι επιφάνειες και οι όγκοι επικάλυψης. Αναπτύχθηκε μια μέθοδος που κάνει χρήση των πλεονεκτημάτων και των δυο μεθόδων που προαναφέρθησαν. Σύμφωνα με την μέθοδο αυτή, πρώτα γίνεται ο καθορισμός του μήκους των σεισμικών ακτίνων με “κοινό” χρόνο διαδρομής (εξίσωση 1.42), και κατόπιν λαμβάνουμε τον μέσο όρο αυτών σύμφωνα με τη σχέση 1 lij = µ µ ∑l i ′j i ′ =1 (1.45) Με αυτό το τρόπο χρησιμοποιούμε μία σεισμική ακτίνα η οποία είναι θεωρητικά η πιο αποτελεσματική, ενώ δεν παρουσιάζεται το πρόβλημα του αποθηκευτικού χώρου. Ακόμη, υπάρχει το πλεονέκτημα ότι τα μεμονομένα μήκη των ακτίνων li’j από τα οποία υπολογίστηκαν και τα μέσα μήκη (1.45), είναι εύκολο να υπολογιστούν. Τελικά, ο πίνακας των σεισμικών ακτίνων που προκύπτει είναι l11 l12 l 21 l 22 . . M = . . . . l m1 l m 2 ... l1n ... l 2 n . . . ... l mn (1.46) Είναι φανερό ότι χρησιμοποιώντας τις παχιές σεισμικές ακτίνες, επιτυγχάνεται σαφής βελτίωση της σύζευξης των σεισμικών ακτίνων και των 49 κελιών του μοντέλου. Ακόμη οι πίνακες των σχέσεων (1.43, 1.44) έχουν σημαντικά περισσότερα στοιχεία από ότι ένας πίνακας Μ, απλών σεισμικών ακτίνων. Το κατά πόσο η μέθοδος αυτή βελτιώνει τα αποτελέσματα κατά την ανακατασκευή του μοντέλου, εξαρτάται από την εφαρμογή. Γενικά, οι παχιές ακτίνες πρέπει να χρησιμοποιούνται σε συνδυασμό με άλλες μεθόδους απομάκρυνσης των “φαντασμάτων” που εμφανίζονται κατά την διαδικασία της αντιστροφής. 1.6.3.2.1 Προσδιορισμός των κατάλληλων παραμέτρων για τον ταυτόχρονο προσδιορισμό ανακλαστήρα-ταχύτητας Οπως προαναφέρθηκε το πρόβλημα του σωστού ταυτόχρονου προσδιορισμού ανακλαστήρα και ταχύτητας οφείλεται στην εσφαλμένη επιλογή παραμέτρων όπως το πλάτος της ανωμαλίας ταχύτητας (το μήκος κύματος αυτής), η απόσταση (ύψος) της ανωμαλίας πάνω από τον ανακλαστήρα, το πάχος της ανωμαλίας, το σφάλμα στο χρόνο καταγραφής των ανακλώμενων κυμάτων και ο λόγος της οριζόντιας απόστασης με το βάθος του ανακλαστήρα (offset/depth). Η κατάλληλη επιλογή των παραπάνω παραγόντων, άμμεσα μπορούν να δώσουν λύση στο πρόβλημα που περιγράφεται σ’ αυτή τη παράγραφο. Στη παρούσα διατριβή μελετήθηκε επίσης ο ταυτόχρονος προσδιορισμός ανακλαστήρα-ταχύτητας κάνοντας χρήση τόσο των πρώτων αφίξεων όσο και των χρόνων ανάκλασης. Ετσι γίνεται ταυτόχρονη αντιστροφή όλων των δεδομένων με βάρος ίσο με τον αντίστροφο του πίνακα συμμεταβλητότητας των δεδομένων χρόνων άφιξης (πρώτες αφίξεις, ανακλώμενα κύματα). Οπως είναι γνωστό, η αντιστροφή των χρόνων διαδρομής πρώτων αφίξεων είναι πιο αξιόπιστη στον προσδιορισμό του μοντέλου των ταχυτήτων, ενώ η τομογραφία ανάκλασης παρέχει ικανοποιητικά αποτελέσματα στην εύρεση των γεωμετρικών χαρακτηριστικών του ανακλαστήρα. Ετσι από τις καταγραμμένες κυματομορφές γίνεται τόσο προσδιορισμός των πρώτων αφίξεων (first break), όσο και των χρόνων ανάκλασης αφού πρώτα έχει γίνει πιστοποίηση ενός ανακλαστήρα. Κατά την αντιστροφή του συνολικού πίνακα των σεισμικών ακτίνων (διαθλώμενων, απευθείας, ανακλώμενων) δίνεται μεγαλύτερο βάρος στις πρώτες αφίξεις για τον προσδιορισμό του μοντέλου των ταχυτήτων ενώ δίνεται μεγαλύτερο βάρος στα δεδομένα ανάκλασης για τον προσδιορισμό του ανακλαστήρα. Στη περίπτωση αυτή, ο σωστός ταυτόχρονος προσδιορισμός των δύο παραμέτρων (ανακλαστήρας, ταχύτητα) εξαρτάται από τη σωστή επιλογή της μεταβλητότητας καθενός από τις παραμέτρους (μεταβλητότητα βάθους ανακλαστήρα-σz, μεταβολή ταχύτητας-σv). 1.6.3.3 Επίλυση προβλημάτων που πηγάζουν από τη μη γραμμικότητα του προβλήματος Στη παράγραφο 1.6.2.3 συζητήθηκαν τα προβλήματα που παρουσιάζονται κατά την επίλυση μη γραμμικών προβλημάτων. Πρέπει να επισημανθεί ότι μέχρι σήμερα δεν υπάρχει μέθοδος που να επιλύει κατ’ ουσίαν ένα μη γραμμικό πρόβλημα. Η έλλειψη θεωρητικών μεθόδων άμμεσης επίλυσης μη γραμμικών προβλημάτων αποτελεί πρόκληση για τους θεωρητικούς μαθηματικούς. Πρακτικά, γίνεται γραμμικοποίηση του προβλήματος και κατόπιν γίνεται γραμμική επίλυση 50 του προβλήματος υπολογίζοντας τον πίνακα διακριτικής ικανότητας (resolution matrix) και αξιοπιστίας (reliability) του υπολογιζόμενου μοντέλου. Στη παράγραφο αυτή θα αναφερθούν τρεις μέθοδοι που επιχειρούν να δώσουν λύση στο σωστό υπολογισμό των παραμέτρων ενός μη γραμμικού προβλήματος. Οι τρεις μέθοδοι καλύπτουν την θεωρητική επίλυση, την αριθμητική προσέγγιση και τέλος την πραγματική αντιμετώπιση. 1.6.3.3.1 Μη γραμμική θεωρία των Backus-Gilbert Η γραμμική θεωρία των Backus-Gilbert για γραμμικά αντίστροφα προβλήματα συνεχών μοντέλων, βασίζεται στις παρακάτω σχέσεις: α) Σχέση που συσχετίζει τα δεδομένα με τις παραμέτρους του μοντέλου d i = ∫ Gi (x )m( x)dx + ei (1.47) όπου G(x) είναι ο πίνακας των παραγώγων των σεισμικών ακτίνων, m είναι το διάνυσμα των παραμέτρων του μοντέλου και e είναι το σφάλμα στον προσδιορισμό των παραμέτρων του μοντέλου. Η παραπάνω σχέση αναφέρεται σε μία διάσταση, αλλά η θεωρία ομοίως εφαρμόζεται και σε παραπάνω διαστάσεις β) Κατά την επίλυση του ευθέως προβλήματος, το υπολογιζόμενο μοντέλο δίνεται ως γραμμικός συνδυασμός των δεδομένων, ~ ( x) = a ( x) d m ∑ i i (1.48) i Οι συντελεστές αi(x) καθορίζουν επακριβώς τον γραμμικό αντίστροφο τελεστή. γ) Συνδυάζοντας τις δύο παραπάνω σχέσεις προκύπτει σχέση μεταξύ του ~ ( x) πραγματικού μοντέλου m(x) και του υπολογιζόμενου m ~ ( x) = R ( x, x ′) m( x ′)dx ′ + a ( x)e m ∑ i i ∫ (1.49) i με πεπερασμένη διακριτική ικανότητα με ∫ R( x, x′)m( x′)dx′ , διάδοση σφάλματος ίση ∑ a ( x)e , ενώ ο πίνακας διακριτικής ικανότητας ορίζεται ως i i i R ( x, x ′) = ∑ a i ( x)Gi ( x ′) . i 51 (1.50) ~ ( x) στη θέση x υπολογίστηκε εφαρμόζοντας Το υπολογιζόμενο μοντέλο m γραμμική επαλληλία (1.48) των δεδομένων. Η σχέση (1.50) συσχετίζει το πραγματικό με το υπολογιζόμενο μοντέλο. Στην ιδανική των περιπτώσεων, ο πυρήνας της διακριτικής ικανότητας δίνεται από μια συνάρτηση δέλτα (delta function). Οι Backus και Gilbert (1967, 1968) απέδειξαν ότι είναι δυνατόν να χρησιμοποιηθεί ο πυρήνας της διακριτικής ικανότητας ως κριτήριο για το σωστό υπολογισμό των συντελεστών αi(x) στην σχέση (1.48) έτσι ώστε να καταλήξουμε σε διακριτική ικανότητα ίση με συνάρτηση δέλτα. Οι συντελεστές αi(x) στη σχέση (1.48) περιγράφουν την επίδραση των δεδομένων στον υπολογισμό του μοντέλου στη θέση x. Ο Snieder (1991) γενίκευσε τη θεωρία των Backus και Gilbert, για την ειδική περίπτωση κατά την οποία το ευθύ πρόβλημα μπορεί να περιγραφεί ως μια σειρά διαταραχών (1) ( 2) d i = ∫ Gi ( x )m( x ) dx + ∫∫ Gi ( x1 , x 2 ) m( x1 )m( x 2 )dx1dx 2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (1.51) Σε πλήθος εφαρμογών, οι σειρές διαταραχών χρησιμοποιούνται με επιτυχία. Σημαντικά παραδείγματα αποτελούν α) οι σειρές Neumann στη θεωρία των περιθλάσεων, όπου τα δεδομένα περίθλασης γράφονται ως άθροισμα ολοκληρωμάτων τα οποία επιτυχώς εμπεριέχουν υψηλούς βαθμούς διαταραχών των μοντέλων, β) η θεωρία διαταραχής της σεισμικής ακτίνας (ray perturbation theory) στην οποία ο χρόνος διαδρομής των σεισμικών ακτίνων γράφεται ως άθροισμα ολοκληρωμάτων με αυξανόμενο βαθμό διαταραχή της καθυστέρησης (slowness) (Snieder and Sambridge 1993, Snieder and Aldridge 1995). Στις περιπτώσεις των μη γραμμικών αντίστροφων προβλημάτων η γραμμική σχέση (1.48) γενικεύεται συμπεριλαμβάνοντας στα δεδομένα όρους που είναι μη γραμμικοί, δηλαδή γίνεται ~ ( x ) = ∑ a (1) ( x)d + ∑ a (2) ( x )d d + ⋅ ⋅ ⋅ m i i, j ij i j i i (1.52) Το «κλειδί» στη μη γραμμική θεωρία των Backus και Gilbert είναι η εισαγωγή της σχέσης (1.51) στη σχέση (1.52) που υπολογίζει το μοντέλο. Ετσι τελικά προκύπτει ~ ( x ) = R (1) ( x; x ) m( x ) dx + R (2) ( x; x , x ) m( x ) m( x )dx dx + ⋅ ⋅ ⋅ m ∫ 1 1 1 ∫∫ 1 2 1 2 1 2 (1.53) Η παραπάνω σχέση ουσιαστικά μετατρέπει τον γραμμικό πυρήνα διακριτικής ικανότητας της σχέσης (1.49) σε μορφή για χρήση σε μη γραμμικά προβλήματα. Ο πυρήνας R(1)(x;x1) ουσιαστικά περιγράφει το υπολογιζόμενο μοντέλο ως μια ασαφή εικόνα του πραγματικού μοντέλου. Οι υψηλότερου βαθμού πυρήνες, όπως R(2)(x;x1,x2) είναι μη γραμμικοί πυρήνες διακριτικής ικανότητας. Αυτοί 52 περιγράφουν κατά τη διάρκεια της αντιστροφής μια πλαστή μη γραμμική απεικόνιση του υπολογιζόμενου μοντέλου στο πραγματικό. Σε ιδανικές περιπτώσεις, το υπολογιζόμενο μοντέλο είναι ίσο με το πραγματικό. Ισχύει δηλαδή ~ ( x ) = m( x ) m (1.54) Στη περίπτωση αυτή, ο γραμμικός πυρήνας διακριτικής ικανότητας R(1)(x;x1) είναι η συνάρτηση δέλτα δ(x-x1), ενώ οι μη γραμμικοί πυρήνες είναι ίση με το μηδέν, δηλαδή R ( n) ( x; x1,⋅ ⋅ ⋅, xn ) = 0 (1.55) για n μεγαλύτερο ή ίσο του 2. Οπως παρουσιάστηκε και στη σχέση (1.50), ο γραμμικός πυρήνας R(1)(x;x1) μπορεί να γραφεί και ως άθροισμα πεπερασμένου πλήθους πυρήνων των δεδομένων G (1) ( x1 ) . Καθώς όμως η συνάρτηση δέλτα δεν παράγεται από πεπερασμένο πλήθος εξομαλυμένων συναρτήσεων, αυτό αποδεικνύει ότι ο γραμμικός πυρήνας ποτέ δεν θα μπορέσει να αποτελέσει μια συνάρτηση δέλτα. Συμπερασματικά, το πεπερασμένο πλήθος δεδομένων μόνο ασαφή εικόνα του πραγματικού μοντέλου μπορούν να αναπαράγει. Ο Snieder (1991) επιχείρησε να ερμηνεύσει τη σχέση μάζας-πυκνότητας ενός ταλαντευόμενου ελατηρίου γνωρίζοντας τις ιδιοσυχνότητες αυτού. Απέδειξε ότι, γνωρίζοντας πεπερασμένο πλήθος ιδιοσυχνοτήτων, ο μη γραμμικός πυρήνας διακριτικής ικανότητας δεν είναι ποτέ μηδέν. Αυτό υποδηλώνει ότι πεπερασμένο πλήθος δεδομένων οδηγεί σε πλασματική μη γραμμική απεικόνιση του υπολογιζόμενου μοντέλου στο πραγματικό. Παρόλο που η μη γραμμική θεωρία των Backus και Gilbert είναι ένα νέο εργαλείο που επιλύει μη γραμμικά αντίστροφα προβλήματα, πρέπει να τονισθεί ότι είναι εφαρμόσιμη μόνο στη περίπτωση ασθενών μη γραμμικών προβλημάτων όπου πολύ λίγοι όροι είναι αρκετοί για ακριβή περιγραφή τόσο του ευθέως όσο και του αντιστρόφου προβλήματος. Επίσης, η θεωρία του Snieder (1991) είναι πολύπλοκη και απαιτείται επαναδιατύπωση έτσι ώστε να γίνει εφαρμογή της μεθόδου και σε αντίστροφα προβλήματα μεγάλης κλίμακας. 1.6.3.3.2 Δημιουργία πληθυσμού μοντέλων που ικανοποιούν τα δεδομένα Μια άλλη μέθοδος εκτίμησης της αξιοπιστίας του υπολογιζόμενου μοντέλου είναι η αναπαραγωγή πλήθους μοντέλων που ικανοποιούν τα δεδομένα και βρίσκονται σε αποδεκτά επίπεδα σφάλματος που έχουν εκ των προτέρων οριστεί, και όχι ο υπολογισμός ενός μόνο μοντέλου που γίνεται συνήθως (Lomax and Snieder, 1995). Ενας εναλλακτικός τρόπος είναι να υπολογιστεί η ασυμφωνία (misfit) για μεγάλο πλήθος μοντέλων και να χρησιμοποιηθεί η προσαρμογή των δεδομένων (data fit) με πιθανό συνδυασμό στατιστικής Bayes (bayesian statistics) έτσι ώστε να βρεθούν τα μοντέλα που ικανοποιούν τα δεδομένα (Mosegaard and 53 Tarantola 1995, Gouveia and Scales 1998, Mosegaard 1998). Προφανώς, η προτεινόμενη μέθοδος απαιτεί τη χρήση υπολογιστών που θα είναι σε θέση σε εύλογο χρονικό διάστημα να παράγουν πλήθος συμβατών μοντέλων με τα δεδομένα. Σημαντικό τμήμα της παραπάνω θεωρίας είναι η τυχαία επιλογή των μεθόδων που υπολογίζουν τα μοντέλα. Η μέθοδος κλήσης (descent method) δεν περιέχει στοιχεία τυχαιότητας (randomness) ενώ η αναζήτηση με τη μέθοδο Monte Carlo είναι εντελώς τυχαία και γίνεται σε έναν τυχαίο δειγματοληπτικά χώρο των παραμέτρων του μοντέλου. Υπάρχουν φυσικά και αλγόριθμοι που επιδιώκουν και τα δύο, δηλαδή την τυχαιότητα αλλά και την εύρεση μοντέλων που προσαρμόζονται καλύτερα στα δεδομένα. Παραδείγματα τέτοιων αλγορίθμων είναι η μέθοδος simulated annealing (Krikpatrick et al. 1983, Rothman 1985) ή γενετικοί αλγόριθμοι (Sambridge and Drijkoningen 1992, Sen and Stoffa 1992, Lomax and Snieder 1995). Μια πολλά υποσχόμενη μέθοδος είναι η του προσαρμοζόμενου ελέγχου (adaptive search) (Mosegaard and Tarantola 1995) όπου κατά την διαδικασία της τυχαίας αναζήτησης, πληροφορίες που αφορούν την συνάρτηση σφάλματος χρησιμοποιούνται έτσι ώστε να προσθέσουν στην τυχαία αναζήτηση πληροφορίες που θα οδηγήσουν σε καλύτερα αποτελέσματα. Παρακάτω παρουσιάζεται ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα των Douma et al. (1996). Στο παράδειγμα παρήχθησαν συνθετικά δεδομένα ταχύτητας ομάδας επιφανειακών κυμάτων που διαδίδονται στην επιφάνεια της Γης με περιόδους μεταξύ των 10 και 300sec. Σχ. 1.11 Ενα αντιπροσωπευτικό μέσο μοντέλο ταχύτητας (IASP91) δίνεται από τη λευκή διακεκκομένη γραμμή ενώ παρουσιάζονται και μια σειρά αποδεκτών μοντέλων ταχύτητας ως αποτέλεσμα εφαρμογής της μεθόδου Monte Carlo (Snieder and Trampert, 2000). 54 Ενα αντιπροσωπευτικό μέσο μοντέλο ταχύτητας (IASP91) παρουσιάζεται στο σχήμα (1.11), με την διακεκομμένη γραμμή ως συνάρτηση του βάθους. Εφαρμόστηκε η μέθοδος Monte Carlo για να βρεθούν μοντέλα ταχύτητας για τα Sκύματα που να είναι συμβατά των δεδομένων μέσα σε αποδεκτά όρια σφάλματος. Στο ίδιο σχήμα παρουσιάζονται το σύνολο των μοντέλων που υπολογίστηκαν. Στο πείραμα αυτό σκοπίμως το πρόβλημα ήταν υπερκαθορισμένο. Ως αποτέλεσμα, τα υπολογιζόμενα μοντέλα ταχύτητας παρουσίαζαν υψηλές μεταβολές (διαφοροποιήσεις) και ισχυρούς ανταγωνισμούς σφαλμάτων και διακριτικής ικανότητας. Σκοπός της μελέτης των Douma et al. (1996), ήταν να εξάγει συμπεράσματα για το πραγματικό μοντέλο ταχυτήτων από το πλήθος των αποδεκτών υπολογισθέντων μοντέλων. Ο σκοπός αυτός επιτεύχθηκε υπολογίζοντας τις εμπειρικές ορθογώνιες συναρτήσεις (Empirical Orthogonal Functions-EOF) από το πλήθος των μοντέλων. Οι EOF μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την επαναδιακριτοποίηση του μοντέλου με τέτοιο τρόπο που τα δεδομένα να περιορίζουν (ελέγχουν) τις διαταραχές του μοντέλου. Επίσης, οι ίδιες συναρτήσεις μπορούν να χρησιμοποιηθούν για στατιστική ανάλυση των προτεινόμενων μοντέλων. Οι Douma et al. (1996), παρατήρησαν ότι η μέθοδος EOF μπορεί να εφαρμοστεί επιτυχώς μόνο στη περίπτωση ασθενώς μη γραμμικών προβλημάτων. 1.6.3.3.3 Εφαρμογή διαφόρων μεθόδων αντιστροφής Στις προηγούμενες δύο παραγράφους παρουσιάστηκαν δύο μέθοδοι, μια θεωρητική και μια αριθμητική με σκοπό τον υπολογισμό του σωστότερου μοντέλου. Πέρα από αυτές τις «τυπικές» προσεγγίσεις, η κοινή λογική ή ως γνωστό ο «κοινός νους» είναι από τα σημαντικότερα εργαλεία για τέτοιου είδους προβλήματα. Ετσι ένας τρόπος να μελετήσουμε την αξιοπιστία του υπολογισμού των παραμέτρων του μοντέλου, είναι να γίνει η μελέτη με διαφορετικούς τρόπους. Ας υποθέσουμε ότι για την ίδια περιοχή υπάρχουν διαφορετικά δεδομένα τα οποία ερμηνεύονται από διαφορετικές ερευνητικές ομάδες με διαφορετικές μεθόδους. Επειδή αναφερόμαστε στην ίδια περιοχή, η ασυμφωνία των υπολογιζόμενων μοντέλων μπορεί να αποτελέσει μέτρο της αξιοπιστίας των αποτελεσμάτων. Είναι φυσικά δύσκολο να ποσοτικοποιήσουμε την αξιοπιστία στην οποία καταλήγουμε με τη μέθοδο αυτή. Με βάση, όμως, το γεγονός ότι δεν υπάρχει αντίστοιχη θεωρία για μη γραμμικά προβλήματα που να αναφέρεται στην εκτίμηση υπολογισμού μοντέλου, αρκούμαστε να σε απλές προσεγγίσεις. Η μέθοδος που προτάθηκε εφαρμόστηκε στην Αυστραλία με σκοπό τον τρισδιάστατο προσδιορισμό του μοντέλου ταχυτήτων των S-κυμάτων. Ετσι από τους van der Hilst και Kennett (1998) εφαρμόστηκε η μέθοδος της Τμηματικής Αντιστροφής Κυματομορφών (Partitioned Waveform Inversion) του Nolet (1990). Στα ίδια δεδομένα εργάστηκαν και οι Passier et al. (1997) εφαρμόζοντας την μέθοδο αντιστροφής πλήρους κυματομορφής, όπως αυτή περιγράφεται από τους Passier και Snieder (1995). Τελικά τα αποτελέσματα βρέθηκαν σε συμφωνία. Τέτοιου είδους συγκρίσεις είναι πολύ χρήσιμες προκειμένου να ποσοτικοποιηθεί η αξιοπιστία των υπολογιζόμενων μοντέλων. 55 1.6.4 Σημαντικότητα σχεδίασης πειράματος τομογραφίας Οι μέθοδοι οι οποίες χρησιμοποιούνται για την εξουδετέρωση των προβλημάτων, μπορούν να χωριστούν σε τρεις κατηγορίες : α) πειραματικής σχεδίασης (λόγω διακριτοποίησης του μοντέλου) β) τρόπου μοντελοποίησης και χρήσης αναλυτικών μεθόδων (επίλυση ευθέως προβλήματος) και γ) μέθοδοι αντιμετώπισης της μη γραμμικότητας του προβλήματος. Καμιά χρήση αναλυτικής μεθόδου δεν μπορεί να αντιμετωπίσει μια κακή πειραματική σχεδίαση. Οταν σχεδιάζεται ένα πείραμα τομογραφίας είναι πολύ σημαντικό να γίνει η συλλογή των δεδομένων με τέτοιο τρόπο έτσι ώστε να καλύπτεται πλήρως ο χώρος. Είναι επίσης σημαντικό να συλλέξουμε αρκετά δεδομένα έτσι ώστε να είναι δυνατή η πλήρης ανακατασκευή του μοντέλου. Ενας εμπειρικός κανόνας υποστηρίζει ότι ο αριθμός των ζευγαριών πηγής-δέκτη, πρέπει να είναι τουλάχιστον διπλάσιος του αριθμού των παραμέτρων (αριθμού των κελιών) του μοντέλου που πρέπει να υπολογιστούν. Ενας άλλος χρήσιμος κανόνας ορίζει ότι το μέσο μέγεθος των κελιών του μοντέλου πρέπει να είναι περίπου 3λmax, όπου λmax=1/fminsmin είναι το μέγιστο αναμενόμενο μήκος κύματος που σχετίζεται με την ελάχιστη συχνότητα fmin της διάδοσης του παλμού, και την ελάχιστη αναμενόμενη τιμή καθυστέρησης για τον χώρο μελέτης. Οι παραπάνω κανόνες προσδιορίστηκαν με βάση την ασυμπτωτική ανάλυση της διάδοσης του κύματος. Ο αναλυτής πρέπει να σχεδιάσει το μοντέλο με τέτοιο τρόπο έτσι ώστε τα δεδομένα να αποδώσουν το μέγιστο των πληροφοριών που μεταφέρουν. Το σχήμα και το μέγεθος των κελιών του μοντέλου είναι δική μας επιλογή. Είναι δυνατόν να παραλείψουμε κατά την ανάλυση κελιά τα οποία δεν έχουν την επιθυμητή κάλυψη, ή να συννενώσουμε κελιά μεταξύ τους για λόγους που εξυπηρετούν την πληρέστερη ανακατασκευή του μοντέλου. Τα κελιά μπορεί να έχουν οποιοδήποτε σχήμα. Πολλές φορές επιλέγονται ορθογώνια ή τετράγωνα κελιά για τα οποία είναι ευκολότερη η γραφική απεικόνιση του ανακατασκευασμένου μοντέλου όπως και ο υπολογισμός της σεισμικής ακτίνας. Αλλες φορές χρησιμοποιούνται ακανόνιστα σχήματα κελιών. Οι αναλυτικές μέθοδοι (τεχνάσματα) επεξεργασίας των δεδομένων, εφαρμόζονται όταν τα δεδομένα έχουν ήδη συλλεχθεί. Η εξομάλυνση και η υπέρβαση (clipping) εφαρμόζονται ως μέθοδοι στις τιμές του μοντέλου καθυστέρησης, έτσι ώστε οι τιμές του ανακατασκευασμένου μοντέλου να βρίσκονται μεταξύ λογικών και αναμενόμενων ορίων. Τέλος, οι παχιές ακτίνες χρησιμοποιούνται ως τελευταίος τρόπος αντιμετώπισης του προβλήματος στην περίπτωση που οι άλλες μέθοδοι έχουν αποτύχει. 56 1.7 Επίλυση ευθέως προβλήματος - Προσεγγιστικός καθορισμός της σεισμικής ακτίνας Ο προσεγγιστικός καθορισμός της σεισμικής ακτίνας, αποτελεί την πιο χρονοβόρα (υπολογιστικά) διαδικασία κατά την σεισμική αντιστροφή ή τομογραφία χρόνων διαδρομής και είναι πρόβλημα συνοριακών τιμών. Συνεπώς, είναι πολύ σημαντική η επιλογή του κατάλληλου αλγορίθμου για τον προσδιορισμό της σεισμικής ακτίνας. Η επιλογή του κατάλληλου αλγορίθμου είναι στενά συνδεδεμένη με την επιλογή του τρόπου με τον οποίο θα δοθεί το μοντέλο. Τρεις είναι οι συνήθεις δυνατότητες για την παρουσίαση του μοντέλου : α) Κελιά δύο ή τριών διαστάσεων σταθερής τιμής βραδύτητας β) Ενας ορθογώνιος κάνναβος στους κόμβους του οποίου ορίζονται οι τιμές καθυστέρησης του μοντέλου ενώ οι τιμές καθυστέρησης για το εσωτερικό των κελιών υπολογίζονται με μεθόδους γραμμικής παρεμβολής γ) Αθροιση ενός συνόλου συναρτήσεων βάσης των οποίων οι συντελεστές ερμηνεύουν το μοντέλο. Η μέθοδος καθορισμού της σεισμικής ακτίνας πρέπει να είναι η βέλτιστη για τον συγκεκριμένο τρόπο παρουσίασης του μοντέλου. Για την επίλυση του προβλήματος προτάθηκε αρχικά η τεχνική της σκόπευσης (shooting method). Εκτός από αυτή τη μέθοδο κατά την οποία επιλύονται διαφορικές εξισώσεις, υπάρχουν τεχνικές εύρεσης του πεδίου των ελάχιστων χρόνων (minimum time) επιλύοντας εξισώσεις πεπερασμένων διαφορών (Vidale 1988, 1990). Η μέθοδος πεπερασμένων διαφορών απαιτεί μεγαλύτερη υπολογιστική προσπάθεια ιδιαίτερα για την εύρεση της πορείας των μετωπικών κυμάτων (Vesnaver 1996). Κατόπιν προτάθηκαν τεχνικές ελαχίστου χρόνου (Moser 1989, 1991, Saito 1989, Fischer και Lee 1993). Παρόλο που αυτές οι τεχνικές είναι γρήγορες, η επιλογή του διαστήματος των κόμβων στο πλέγμα που περιγράφει το πεδίο ταχυτήτων, παίζει σημαντικό ρόλο καθώς υπάρχει ανταγωνισμός μεταξύ ακρίβειας και υπολογιστικού κόστους. Οι τεχνικές της κάμψης (bending) και της συνέχισης (continuation) ανήκουν σε αυτή τη κατηγορία. Πριν εξετάσουμε τις μεθόδους θα πρέπει να απαντήσουμε στην ερώτηση που τίθεται για την αναγκαιότητα ή όχι των καμπυλομένων σεισμικών ακτίνων στην τομογραφία χρόνων διαδρομής. 1.7.1 Ευθείες ή Καμπυλωμένες σεισμικές ακτίνες ; Η πρώτη παρατήρηση είναι ότι στην ιατρική τομογραφία χρησιμοποιούνται ευθείες σεισμικές ακτίνες και τα αποτελέσματα είναι ικανοποιητικά. Το ερώτημα είναι: γιατί στην σεισμική τομογραφία είναι απαραίτητη η χρήση καμπυλωμένων σεισμικών ακτίνων ; Η απάντηση είναι ότι στην ιατρική τομογραφία οι συντελεστές διάθλασης κατά την κίνηση των ακτίνων διαμέσου του ανθρώπινου σώματος, είναι ουσιαστικά σταθεροί, οπότε και οι ακτίνες είναι ουσιαστικά ευθείες. Αντίθετα, η Γη είναι ένα ανομοιογενές μέσο, στο οποίο η ταχύτητα μεταβάλλεται σημαντικά οπότε και ο συντελεστής διάθλασης είναι μη σταθερός. Ακόμη, στην ιατρική τομογραφία η ανακατασκευή γίνεται με χρήση των συντελεστών απόσβεσης, ενώ στην σεισμική αντιστροφή και τομογραφία με χρήση των τιμών καθυστέρησης, οπότε γενικά θα λέγαμε ότι οι δύο περιπτώσεις δεν μπορούν να συγκριθούν μεταξύ τους. Κατά 57 συνέπεια, στη σεισμική τομογραφία είναι απαραίτητη η χρήση καμπυλωμένων ακτίνων και πρέπει να λαμβάνεται υπόψην κατά την ανακατασκευή του μοντέλου. Ας θεωρήσουμε ότι κατά την ανακατασκευή του μοντέλου χρησιμοποιούμε ευθείες ακτίνες, άσχετα του γεγονότος ότι οι παρατηρούμενοι χρόνοι διαδρομής προέκυψαν από κεκκαμένες ακτίνες υπακούοντας στην αρχή του Fermat και τον νόμο του Snell. Σε μια περιοχή χαμηλών ταχυτήτων, οι πραγματικές (καμπυλωμένες) ακτίνες θα κινηθούν περιμετρικά της περιοχής αυτής, ενώ οι ευθείες ακτίνες θα κινηθούν διαμέσου της περιοχής αυτής. Ετσι η οπισθοπροβολή κατά μήκος της ευθείας σεισμικής ακτίνας θα δώσει μια ψευδή εικόνα της ανωμαλίας με μικρότερα χωρικά χαρακτηριστικά. Παρομοίως, στην περίπτωση περιοχών υψηλών ταχυτήτων οι πραγματικές σεισμικές ακτίνες θα συγκεντρωθούν στο χώρο αυτό, ενώ οι ευθείες ακτίνες θα αγνοήσουν την ύπαρξη της αντίθεσης ταχύτητας στον χώρο αυτό. Ετσι μετά την ανακατασκευή του χώρου μελέτης με βάση τις ευθείες ακτίνες, θα εμφανίζεται μια πιο ευρεία περιοχή υψηλών ταχυτήτων από ότι στην πραγματικότητα είναι. Είναι σημαντικό τελικά, να καταλάβουμε ότι η χρήση ευθείων σεσμικών ταχυτήτων επιδρά αρνητικά στην διακριτική ικανότητα του ανακατασκευασμένου μοντέλου. Υπάρχουν περιπτώσεις που σε αντίθεση με τα παραπάνω προτείνεται η χρήση των ευθείων σεισμικών ακτίνων. Τέτοιες είναι οι παρακάτω : α) Σε περίπτωση όπου στη περιοχή μελέτης παρατηρούνται υψηλές αντιθέσεις ταχύτητας οι οποίες μπορεί να οδηγήσουν σε παραβίαση των βασικών αρχών της ακτινικής θεωρίας (αρχή Fermat, νόμος του Snell). Σε αυτή την περίπτωση οι ευθείες ακτίνες είναι δυνατό να δώσουν χρήσιμες πληροφορίες σε αντίθεση με τις καμπυλωμένες ακτίνες που αδυνατούν να ανακατασκευάσουν το μοντέλο. β) Είναι αρκετή η χρήση των ευθείων σεισμικών ακτίνων στη περίπτωση που απαιτείται μια εικόνα του χώρου, με φτωχή διακριτική ικανότητα η οποία πιστοποιεί μόνο την παρουσία ή όχι μιας ανώμαλης περιοχής. γ) Κατά την ανακατασκευή ενός ανισότροπου χώρου ταχυτήτων, προτείνεται η χρήση ευθείων σεισμικών ακτίνων λόγω της μη μοναδικότητας που παρέχει η ανακατασκευή του μοντέλου με βάση της καμπυλωμένες σεισμικές ακτίνες. Το πρόβλημα είναι η σύζευξη μεταξύ των κεκκαμένων ακτίνων και της ανισοτροπίας (Jech and Psencik 1989, 1991). Οι ευθείες σεισμικές ακτίνες υπολογίζονται πολύ γρήγορα καθώς εξαρτώνται μόνο από τις θέσεις των πηγών - γεωφώνων. Συμπερασματικά, στην περίπτωση που ενδιαφέρει περισσότερο η ταχύτητα από την διακριτική ικανότητα συνιστάται η χρήση των ευθείων ακτίνων. Στην περίπτωση αυτή περιοριζόμαστε σε μια γραμμική αντιστροφή ή τομογραφία. 1.7.2 Τεχνική της σκόπευσης (Shooting Method) Η κυματική εξίσωση είναι η βάση για την εφαρμογή της μεθόδου αυτής. Η κυματική εξίσωση είναι d d ∇s = s x dl dl ή 58 ∂ 2u = c2 ⋅ ∇ 2 u 2 ∂t (1.56) όπου u είναι η μετάθεση και c είναι η ταχύτητα. Στη τεχνική αυτή χρησιμοποιείται ο νόμος του Snell σύμφωνα με τον οποίο το πηλίκο του ημιτόνου της γωνίας πρόσπτωσης προς τη ταχύτητα είναι αριθμός σταθερός και χαρακτηριστικός κάθε ακτίνας. Αυτός παριστάνεται με το p και λέγεται παράμετρος της ακτίνας. Συνεπώς είναι p= sin i1 sin i2 sin i3 = = =.... v1 v2 v3 (1.57) όπου v1, v2, v3, .., οι ταχύτητες των αντίστοιχων στρωμάτων και i1, i2, i3,…, οι γωνίες που σχηματίζονται από την προσπίπτουσα ακτίνα και την κάθετη στη διαχωριστική επιφάνεια. Σ’ αυτή τη τεχνική σχεδιάζεται η διαδρομή της σεισμικής ακτίνας με βάση τον παραπάνω νόμο. Ετσι, ξεκινώντας με αρχική γωνία πρόσπτωσης i1, υπολογίζεται η οριζόντια απόσταση της πηγής από το σημείο της επιφάνειας της Γης στο οποίο φθάνει η αναδυόμενη ακτίνα. Αν αυτή η απόσταση είναι διαφορετική από την απόσταση πηγής - γεωφώνου, τότε η παραπάνω διαδικασία επαναλαμβάνεται για καινούργια γωνία η οποία προκύπτει από την προηγούμενη προσθέτοντας ένα βήμα da. Συνήθως καμιά ακτίνα δεν φθάνει ακριβώς στη θέση του γεωφώνου, αλλά μερικές ακτίνες φθάνουν πλησίον του γεωφώνου και από αυτές δεχόμαστε εκείνη που πλησιάζει περισσότερο. Ομως πολλές φορές, η επαναληπτική αυτή διαδικασία σταματά όταν βρεθεί η πρώτη αποδεκτή σεισμική ακτίνα, δηλαδή η ακτίνα που φθάνει σε σημείο που απέχει απόσταση Δx (ανοχή - tolerance) από το γεώφωνο. Με αυτό το τρόπο εξοικονομείται υπολογιστικός χρόνος, αλλά μειώνεται η ακρίβεια του υπολογιζόμενου χρόνου διαδρομής. Το κυριότερο πρόβλημα αυτής της τεχνικής είναι η αρχική εκτίμηση της γωνίας και ο τρόπος υπολογισμού του βήματος da. Ακόμη, υπάρχουν προβλήματα που εμφανίζονται στην αντιστροφή και τομογραφία στα οποία είναι δύσκολος ή αδύνατος ο καθορισμός της σεισμικής ακτίνας λόγω του υπολογιζόμενου μοντέλου ταχυτήτων. Τέτοια προβλήματα εμφανίζονται σε μοντέλα με υψηλές αντιθέσεις ταχύτητας. Η τεχνική της σκόπευσης είναι κατάλληλη για εξομαλυμένα μοντέλα και για την εφαρμογή τομογραφίας μεταξύ γεωτρήσεων. 1.7.3 Μέθοδοι καθορισμού της σεισμικής ακτίνας με χρήση πεπερασμένων διαφορών (Vidale Method) Ο Vidale (1988, 1990) παρουσίασε μια πρακτική μέθοδο υπολογισμού χρόνων διαδρομής σεισμικών κυμάτων εφαρμόζοντας μεθόδους πεπερασμένων διαφορών στην εξίσωση (eikonal equation) διάδοσης του κύματος σε δισδιάστατο και τρισδιάστατο χώρο ( ∇ 2ϕ = V VR 59 )2 = n2 (1.58) όπου V είναι η τοπική ταχύτητα, συγκρινόμενη με την ταχύτητα αναφοράς VR (reference velocity), n είναι ο δείκτης διάθλασης και φ είναι η συνάρτηση κύματος. Οι προσεγγιστικές μέθοδοι καθορισμού της σεισμικής ακτίνας (ray tracing) παρουσιάζουν δυσκολίες εύρεσης της πραγματικής σεισμικής ακτίνας ελάχιστου χρόνου διαδρομής ιδιαίτερα στη περίπτωση πολύπλοκων δομών ταχύτητας. Αντίθετα, η μέθοδος πεπερασμένων διαφορών δύναται να υπολογίσει τον χρόνο διαδρομής των απευθείας, διαθλώμενων, ανακλώμενων και περιθλώμενων κυμάτων σε πολύπλοκα μοντέλα ταχύτητας. Η σεισμική ακτίνα μπορεί εύκολα και γρήγορα να υπολογιστεί ακολουθώντας την προς τα πίσω συνέχεια των χρόνων διαδρομής, από το γεώφωνο στη πηγή. Επίσης, οι χρόνοι διαδρομής των σεισμικών ακτίνων υπολογίζονται μια φορά για όλους τους κόμβους του καννάβου του μοντέλου, οι οποίοι και έχουν το ίδιο μέτρο στην οριζόντια και κατακόρυφη διάσταση, σε αντίθεση με τις προσεγγιστικές μεθόδους καθορισμού της σεισμικής ακτίνας, όπου για κάθε ζευγάρι πηγής-γεωφώνου απαιτείται ο υπολογισμός του χρόνου διαδρομής. Η χρονική διάρκεια των υπολογισμών είναι γραμμική συνάρτηση του αριθμού των κόμβων του καννάβου που έχει χρησιμοποιηθεί για την διακριτοποίηση του μοντέλου, ενώ είναι ανεξάρτητη του πλήθους των γεωφώνων που χρησιμοποιήθηκαν. O τελεστές των πεπερασμένων διαφορών ισοδυναμούν με επίπεδα κύματα. Επίπεδα κύματα είναι αυτά για τα οποία δεχόμαστε ότι το μέτωπο κύματος είναι επίπεδο χωρίς να παρουσιάζει καμιά καμπυλότητα. Είναι μια παραδοχή που εφαρμόζεται τόσο στην θεωρία του ηλεκτρομαγνητισμού όσο και στη θεωρία των σεισμικών κυμάτων. Σε αυτή τη περίπτωση το επίπεδο κύμα δίνεται από τη σχέση f (lx + my + nz ± Vt ) (1.59) όπου l,m,n, είναι τα συνημίτονα διεύθυνσης τα οποία δίνουν τη διεύθυνση του κύματος, V είναι η ταχύτητα του κύματος και t ο χρόνος. Η παραδοχή αυτή είναι έγκυρη μόνο στη περίπτωση του μακρυνού πεδίου. Αρχικά η μέθοδος εφαρμόστηκε για τον υπολογισμό των πρώτων αφίξεων. Κατόπιν οι Podvin και Lecomte (1991) και οι Matsuoka και Ezaka (1992), εφάρμοσαν τη μέθοδο για τον υπολογισμό των ανακλώμενων κυμάτων διακριτοποιόντας τον ανακλαστήρα και υπολογίζοντας το χρόνο διαδρομής για κάθε ζεύγος πηγής-γεωφώνου. Οι Li και Ulrych (1993) παρουσίασαν έναν δισδιάστατο αλγόριθμο όπου αυξήθηκε η ακρίβεια υπολογισμών ενώ μειώθηκε αισθητά ο χρόνος που απαιτείται για τους υπολογισμούς. Το μειονέκτημα της μεθόδου των Li και Ulrych είναι ότι η μέθοδος δεν εφαρμόζεται με ευκολία στις τρεις διαστάσεις. 1.7.4 Τεχνική της κάμψης (Bending Methods) Οι μέθοδοι κάμψης εισήχθησαν στη σεισμολογία από τους Wesson (1971), Chander (1975), και Julian et al. (1977). Αναπτύχθηκαν δύο κύριες παραλλαγές της μεθόδου : 60 α) Η αρχική παραλλαγή της μεθόδου από τους Julian και Gubbins (1977), η οποία αργότερα βελτιώθηκε από τους Pereyra et al. (1980). Χρησιμοποιεί την εξίσωση & 1 d 1 dr & − ∇ & = 0 ds c( r ) ds c( r ) (1.60) & & για ακτίνα r παραμετροποιημένη με μήκη τόξων s, σε ένα πεδίο ταχυτήτων c( r ) . Η ακτίνα χωρίζεται σε k+1 τμήματα (για τον δισδιάστατο και τρισδιάστατο χώρο) & & & ( r0 , r1 ,..., rk ) και με πεπερασμένες διαφορές που χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό των παραγώγων επιλύεται η εξίσωση. Το σύστημα εξισώσεων που παράγεται, γραμμικοποιείται και κατόπιν υπολογίζεται η διόρθωση που πρέπει να εφαρμοστεί στην αρχική επιλογή έτσι ώστε να ελαχιστοποιηθεί η εξίσωση (1.60). Πρόκειται για μια επαναληπτική διαδικασία. β) Η δεύτερη παραλλαγή, πρωτοπαρουσιάστηκε από τους Um και Thurber (1987) και Prothero et al. (1988), οι οποίοι επιχείρησαν τον απευθείας υπολογισμό του χρόνου διαδρομής ως ένα συναρτησιοειδές της καμπυλότητας της ακτίνας γ. Το συναρτησιοειδές αυτό είναι T (γ ) = ∫ γ ds → Min c (1.61) όπου c είναι η ταχύτητα και ds είναι η μεταβολή στην απόσταση. Η δεύτερη μέθοδος πλεονεκτεί έναντι της πρώτης διότι η ολοκλήρωση αριθμητικά είναι πιο αξιόπιστη από την παραγώγιση. Το γεγονός αυτό εισάγει μικρά σφάλματα στο σύστημα των γραμμικών εξισώσεων της πρώτης μεθόδου. Σε περιπτώσεις με πολύπλοκο μοντέλο ταχυτήτων το γραμμικό σύστημα εξισώσεων γίνεται κακώς ορισμένο (ill-conditioned), με αποτέλεσμα τα μικρά προαναφερθέντα σφάλματα να οδηγούν σε κακή σύγκλιση ή ακόμη και σε απόκλιση της λύσης. Οπότε προτιμάται η δεύτερη μέθοδος ως πιο σταθερή. Η μέθοδος κάμψης δεν είναι τόσο μεθοδική και ακριβής όσο είναι η μέθοδος σκόπευσης. Παράλληλα όμως, είναι λιγότερο επιρρεπής στην αποτυχία, σε περιπτώσεις κατά τις οποίες τα μοντέλα ταχύτητας παρουσιάζουν υψηλές αντιθέσεις (ζώνες σκιάς πίσω από περιοχές χαμηλής ταχύτητας), από ότι είναι οι μέθοδοι σκόπευσης. Κατά την μέθοδο κάμψης απαιτείται μια αρχική σεισμική ακτίνα μεταξύ πηγής - γεωφώνου, που συνήθως συνδέει γεώτρηση με γεώτρηση, και κατόπιν χρησιμοποιούνται μέθοδοι οι οποίες επανασχηματίζουν την ακτίνα ή απλώς τη κάμπτουν. Η όλη διαδικασία βασίζεται στην αρχή του Fermat, διότι γίνεται επαναληπτική προσπάθεια ελαχιστοποίησης του ολικού χρόνου διαδρομής εφαρμόζοντας την διαδικασία δοκιμής - σφάλματος (trial - error). Η μέθοδος είναι εύκολο να χρησιμοποιηθεί τόσο στις δύο όσο και στις τρεις διαστάσεις. Η μέθοδος αυτή είναι εξίσου αξιόπιστη και ακριβής όπως και οι προηγούμενες, στην περίπτωση όπου ο αλγόριθμος που χρησιμοποιείται είναι καλά δομημένος. Η τεχνική της κάμψης είναι πιο γρήγορη υπολογιστικά από αυτή της σκόπευσης. 61 Υπάρχουν και γρηγορότερες μέθοδοι όπως η μέθοδος της συνέχισης (continuation method), η οποία όμως χρειάζεται αρχική ακτίνα που υπολογίζεται από την μέθοδο κάμψης. Η μέθοδος κάμψης (bending method) προτείνεται για τις περιπτώσεις κατά τις οποίες χρησιμοποιείται μοντέλο με κελιά σταθερής τιμής καθυστέρησης και εξαρτάται από την πολυπλοκότητα των μοντέλων. 1.7.5 Προσεγγιστικός καθορισμός της αρχικής ακτίνας Οι Thurber και Ellsworth (1980) ανέπτυξαν μια πολύ ταχεία μέθοδο προσεγγιστικού προσδιορισμού της σεισμικής ακτίνας, την οποία ονόμασαν μέθοδο αρχικής ακτίνας (ray initializer), η οποία διαφέρει σημαντικά από τις υπόλοιπες. Συγκεκριμένα, αντί να αναζητείται μια προσεγγιστική πορεία της σεισμικής ακτίνας στο τρισδιάστατο μέσο, κατασκευάζεται ένα ισοδύναμο μονοδιάστατο μέσο στο οποίο υπολογίζεται η ισοδύναμη μονοδιάστατη αναλυτική λύση. Για να επιτευχθεί το παραπάνω, στρέφουμε το δίκτυο, θεωρώντας την πηγή ως σημείο με συντεταγμένες (0,0), ενώ το γεώφωνο αποκτά συντεταγμένες (0,Δ), όπου Δ είναι η επικεντρική απόσταση των σημείων και φ είναι η γωνία μεταξύ, νέου και παλιού συστήματος μετά τη στροφή, όπως εικονίζεται στο παρακάτω σχήμα (σχ. 1.12) Σχ. 1.12 Τμήμα του κάθε οριζόντιου στρώματος στο οποίο υπολογίζεται ο μέσος όρος των ταχυτήτων που χρησιμοποιείται στο αντίστοιχο ισοδύναμο μονοδιάστατο μοντέλο (Παπαζάχος, 1994). Το ισοδύναμο μονοδιάστατο μοντέλο κατασκευάζεται σύμφωνα με το σχήμα (1.13). Σε κάθε ένα στρώμα ορίζεται ο χώρος μεταξύ του υπόκεντρου και του σταθμού αναγραφής. Το πλάτος, D, αυτού του χώρου μεταβάλλεται ανάλογα με την επικεντρική απόσταση Δ. Στην αρχική εργασία των Thurber και Elsworth, το πλάτος αυτό ήταν ίσο με D=Δ/10. Στην παρούσα εργασία χρησιμοποιήθηκε η σχέση D=Δ/8 (1.62) όπου D είναι το πλάτος του χώρου και Δ είναι η επικεντρική απόσταση. Μέσα σε αυτή τη περιοχή, υπολογίζεται η μέση ταχύτητα των κυμάτων χώρου σε κάθε 62 στρώμα ως ένας μέσος όρος των αντίστοιχων ταχυτήτων των κυψελών του τρισδιάστατου μέσου. Το βάρος στους υπολογισμούς είναι ανάλογο της επιφάνειας της κάθε κυψέλης η οποία βρίσκεται μέσα στο χώρο αυτό. Κατασκευάζεται, με αυτό το τρόπο, ένα ισοδύναμο μονοδιάστατο μοντέλο στο οποίο υπολογίζονται οι χρόνοι διαδρομής των απευθείας και των διαθλώμενων κυμάτων, για όλες τις πιθανές περιπτώσεις αυτών. Η σεισμική ακτίνα με το μικρότερο χρόνο διαδρομής επιλέγεται ως η πρώτη άφιξη. Κατόπιν πραγματοποιείται αποστροφή του δικτύου στο αρχικό και εισάγεται η αρχική υπολογιζόμενη ακτίνα στον αλγόριθμο υπολογισμού της προσεγγιστικής ακτίνας με τη μέθοδο της κάμψης (bending method). Ο τελικός χρόνος διαδρομής (ελάχιστος) είναι αυτός που υπολογίζεται με τη παρακάτω μέθοδο στο αρχικό τρισδιάστατο μοντέλο. Οι χωρικές παράγωγοι του χρόνου διαδρομής μπορούν να υπολογιστούν σύμφωνα με τις γνωστές σχέσεις που ισχύουν για τα απευθείας και διαθλώμενα κύματα στο “ισοδύναμο” μονοδιάστατο μοντέλο (Eaton 1969). 63 1.8 Μέθοδοι Αντιστροφής Για την επίλυση του υπερκαθορισμένου συστήματος της μορφής Τ=DS (1.63) υπάρχει μια ποικιλία από αλγορίθμους. Οι Phillips και Fehler (1991) πραγματοποίησαν σύγκριση των πιο δημοφιλών αλγορίθμων. Αναζητώντας τον καλύτερο αλγόριθμο προτάθηκαν και αξιολογήθηκαν οι εξής : • Τεχνικές ελαχίστων τετραγώνων [damped least squares (DLS), regularization, singular value decomposition (SVD), IRLS και convolutional quelling (CQ)]. • Τεχνική Αλγεβρικής Ανακατασκευής (Algebraic Reconstruction Technique ή ART). • Τεχνική Ταυτόχρονης Επαναληπτικής Ανακατασκευής (Simultaneous Iterative Reconstruction Technique ή SIRT). • Τεχνική Συζυγούς Βαθμίδας (Conjugate Gradients ή CG) • Τεχνική Lanczos. • Τεχνική LSQR (Paige and Saunders, 1982). Η σύγκριση των παραπάνω τεχνικών έγινε για το πρόβλημα της σεισμικής τομογραφίας όσον αφορά την ακρίβεια, την ταχύτητα σύγκλισης και την ευελιξία στη χρήση του πίνακα των αποστάσεων. Τελικά, ως πιο κατάλληλη μέθοδος αντιστροφής επιλέχθηκε η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων, αν και γίνονται αναφορές και στις άλλες μεθόδους, λόγω της μαθηματικής της ευρωστίας, στην περίπτωση όπου τα δεδομένα είναι ανακριβή, ανεπαρκή και ασυνεπή (Jackson, 1972). Πολλά μοντέλα στη Γεωφυσική είναι μη γραμμικές συναρτήσεις των παραμέτρων του μοντέλου. Η μέθοδος Marquardt-Levenberg παρέχει μια “ισχυρή” μέθοδο αντιστροφής για τον προσδιορισμό των παραμέτρων του μοντέλου (Levenberg 1944, Marquardt 1963). Οι τεχνικές επίλυσης γραμμικών συστημάτων παρατίθενται εκτενέστερα στη συνέχεια. Επίσης παρατίθενται εκτενέστερα στοιχεία της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων. 1.8.1 Επίλυση πεπερασμένου πλήθους γραμμικών εξισώσεων Κάθε αντίστροφο πρόβλημα προβάλλει πεπερασμένο πλήθος παρατηρησιακών δεδομένων σε ένα μοντέλο. Στα περισσότερα πραγματικά γεωφυσικά προβλήματα το μοντέλο περιγράφεται από μια συνεχή συνάρτηση των παραμέτρων του προβλήματος που προφανώς χαρακτηρίζεται από άπειρους βαθμούς ελευθερίας. Προς το παρόν, το γεγονός αυτό θα αγνοηθεί υποθέτοντας ότι το μοντέλο μπορεί να περιγραφεί από πεπερασμένο πλήθος παραμέτρων. 1.8.2 Γραμμικός υπολογισμός παραμέτρων του μοντέλου Για κάθε μοντέλο πεπερασμένων διαστάσεων, οι παράμετροι του μοντέλου μπορούν να ορίσουν ένα διάνυσμα m, και αντίστοιχα ένα διάνυσμα d για τα 64 δεδομένα. Ο πίνακας Α ουσιαστικά συσχετίζει τα δεδομένα με το μοντέλο μέσω του γινομένου Αm. Ο πίνακας Α συχνά αναφέρεται ως θεωρητικός τελεστής (theory operator). Στη πραγματικότητα ο πίνακας Α περιέχει όλες τις πληροφορίες που με βάση τα μαθηματικά και τη φυσική μπορούν να περιγράψουν το υπό μελέτη μοντέλο. Στη πραγματικότητα τα δεδομένα περιέχουν σφάλματα e, τα οποία εισάγονται στη σχέση που συνδέει τα δεδομένα με το μοντέλο με τον ακόλουθο τρόπο: d = Am + e (1.64) Θα πρέπει να σημειωθεί ότι η επιλογή των παραμέτρων του μοντέλου (m) είναι αυθαίρετη. Για παράδειγμα, στη περίπτωση που πραγματοποιείται μελέτη της πυκνότητας της Γης, το μοντέλο μπορεί να έχει ομογενή κατανομή πυκνότητας σε μανδύα και πυρήνα. Στη περίπτωση αυτή είναι φανερό ότι το μοντέλο αποτελείται από δύο παραμέτρους. Αλλιώς, μπορεί να περιγραφεί η πυκνότητα της Γης, κάνοντας χρήση σφαιρικών αρμονικών για τη πλευρική μεταβολή αυτής, και χρήση πολυωνυμικών συναρτήσεων για τη σε βάθος μεταβολή της πυκνότητας. Σε αυτή τη περίπτωση ο αριθμός των παραμέτρων του μοντέλου είναι πολύ μεγάλος. Αυτή η επιλογή του διανύσματος των παραμέτρων του μοντέλου είναι και η παραμετροποίηση του μοντέλου. Οι δύο παραπάνω παραμετροποιήσεις του ίδιου μοντέλου χαρακτηρίζονται από διαφορετικές παραμέτρους και διαφορετικό πίνακα Α. Αυτό το παράδειγμα εξηγεί το ότι το μοντέλο m δεν είναι απαραίτητα το «πραγματικό» μοντέλο, αλλά απλά ότι η επιλογή των παραμέτρων του μοντέλου περιέχει περιορισμούς στο τι είδους πληροφορίες μπορούν να επανακτηθούν από την επίλυση του προβλήματος. Παρ’ όλα αυτά το μοντέλο m θα χαρακτηρίζεται ως πραγματικό μοντέλο μόνο για λόγους σαφήνειας. Από τα πειραματικά δεδομένα είναι δυνατό να γίνει μια αρχική πρόβλεψη του μοντέλου. Με βάση το γεγονός ότι αυτή η πρόβλεψη απέχει από το ~. «πραγματικό» μοντέλο, ας ορίσουμε το υπολογιζόμενο διάνυσμα μοντέλου ως m Υπάρχουν πολλοί τρόποι να ορίσουμε έναν αντίστροφο τελεστή ο οποίος να συσχετίζει τα δεδομένα με τις παραμέτρους του υπολογιζόμενου μοντέλου (Menke 1984, Tarantola 1987, Parker 1994). Ανεξάρτητα του αντίστροφου τελεστή, τα δεδομένα μπορούν να εκφραστούν ως συνάρτηση των παραμέτρων του προβλήματος με τον ακόλουθο τρόπο ~ = A −g d m (1.65) Ο τελεστής Α-g καλείται γενικευμένος αντίστροφος του πίνακα Α. Γενικά, ο αριθμός των δεδομένων είναι διαφορετικός του αριθμού των παραμέτρων του μοντέλου που μελετάται. Για αυτό το λόγο ο πίνακας Α συνήθως δεν είναι τετραγωνικός με αποτέλεσμα ο αντίστροφος αυτού να μην υφίσταται. Η σχέση που ~ με το «πραγματικό» (m), δίνεται από τη συνδέει το υπολογιζόμενο μοντέλο m παρακάτω σχέση χρησιμοποιώντας τις (1.64) και (1.65) ~ = A −g A ⋅ m + A −g e m 65 (1.66) Ο πίνακας Α-gA καλείται πίνακας διακριτικής ικανότητας και δίνεται από τη παρακάτω σχέση: R ≡ A −g A (1.67) Η σχέση (1.66) μπορεί να επαναδιατυπωθεί με τον ακόλουθο τρόπο ( ) ~ = m + A −g A − Ι m + A −g e m ( (1.67) ) −g όπου ο όρος A A − Ι m περιγράφει την περιορισμένη διακριτική ικανότητα του −g μοντέλου, ενώ ο όρος A e τη διάδοση του σφάλματος. Σε ιδιατές περιπτώσεις, το υπολογιζόμενο μοντέλο και το πραγματικό είναι ~ ίδια ( m = m ) που σημαίνει ότι οι παράμετροι του μοντέλου που επιλέχθηκαν μπορούν να υπολογιστούν ανεξάρτητα η μια της άλλης. Οι δύο τελευταίοι όροι στη σχέση (1.68) είναι υπεύθυνοι για τον ασαφή και μη σωστό υπολογισμό του μοντέλου. Ο όρος (A − g A − Ι )m περιγράφει το γεγονός ότι οι συνιστώσες του υπολογιζόμενου μοντέλου είναι γραμμικοί συνδυασμοί διαφορετικών συνιστωσών του πραγματικού μοντέλου. Το μόνο που τελικά ανακτάται είναι μια μέση και ασαφή εκτίμηση των παραμέτρων του μοντέλου. Στις ιδεατές περιπτώσεις ο προαναφερθής όρος δεν υπάρχει και αυτό φυσικά ισχύει όταν ο πίνακας A − g A είναι ίσος με τον μοναδιαίο. Βασιζόμενοι στη σχέση (1.67) το παραπάνω σημαίνει ότι σε αυτές τις περιπτώσεις ανακατασκευάζεται το «τέλειο» μοντέλο επειδή ο πίνακας διακριτικής ικανότητας ισούται με τον μοναδιαίο Επομένως η μέγιστη διακριτική ικανότητα είναι R=I (1.69) Όπως προαναφέρθηκε υπάρχει αβεβαιότητα στον προσδιορισμό των παραμέτρων του μοντέλου. Ο πίνακας διακριτικής ικανότητας παρέχει πληροφορίες που αφορούν τη ποιότητα της λύσης. Παρ’ όλα αυτά θα πρέπει να τονισθεί ότι ο πίνακας διακριτικής ικανότητας δεν παρέχει επακριβώς τη σχέση που συνδέει τις υπολογιζόμενες τιμές των παραμέτρων του μοντέλου με το πραγματικό μοντέλο. Ο τελευταίος όρος στην σχέση (1.68) περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο τα σφάλματα επηρεάζουν τον υπολογισμό του μοντέλου. Αν τα σφάλματα ήταν καθορισμένα πλήρως, θα ήταν και εύκολα να αφαιρεθούν από τα δεδομένα. Αυτό που συνήθως επιδιώκεται είναι μια στατιστική ανάλυση των σφαλμάτων στον υπολογισμό των παραμέτρων του μοντέλου που προήλθαν από σφάλματα στα δεδομένα. Όταν τα δεδομένα dj είναι ασυσχέτιστα με τυπική απόκλιση σdj, η τυπική απόκλιση σmi στον υπολογισμό του μοντέλου, δίνεται από τη σχέση σ m2 i = ∑ ( Aij− g ⋅ σ d j ) 2 j 66 (1.70) Σε ιδιατές περιπτώσεις μπορεί να ζητηθεί μέγιστη διακριτική ικανότητα και υπολογιζόμενο μοντέλο χωρίς σφάλματα. Πρακτικά, αυτό δεν μπορεί να επιτευχθεί. Για παράδειγμα, κάνοντας χρήση του γενικευμένου αντιστρόφου καταστέλλεται πλήρως η διάδοση σφαλμάτων έχοντας όμως διακριτική ικανότητα ίση με μηδέν. Παρατηρείται ότι υπάρχει ισχυρός ανταγωνισμός μεταξύ της διάδοσης των σφαλμάτων και της διακριτικής ικανότητας (trade-off curve). 1.8.3 Ασθενώς ορισμένα προβλήματα και σφάλματα στα δεδομένα Ενα από τα συνήθη και πιο κύρια προβλήματα που εμφανίζονται κατά την επίλυση αντιστρόφων προβλημάτων είναι ότι ο πίνακας ΑΤΑ είναι ιδιάζων. Ο Lanczos (1960) ανέλυσε τη φυσική σημασία που έχει ένα ιδιάζων σύστημα σε σχέση με τα παρατηρησιακά σφάλματα. Παρατήρησε ότι η ύπαρξη μικρών ιδιοτιμών σε ένα σύστημα, υποδεικνύει το γραμμικό συνδυασμό μερικών από τις άγνωστες παραμέτρους, οι οποίες πολύ ασθενώς παρουσιάζονται μέσα στο σύστημα. Στη περίπτωση όπου δεν υπάρχουν παρατηρησιακά σφάλματα, η αντιστροφή ενός περίπου ιδιάζοντα πίνακα, δεν αποτελεί σοβαρό πρόβλημα. Ο συνδυασμός κακώς ορισμένων προβλημάτων και παρατηρησιακών σφαλμάτων είναι αυτός που δημιουργεί τα περισσότερα προβλήματα. Ο Lanczos (1960) έδειξε ότι για ένα ιδανικό γραμμικό πρόβλημα (m=n), το μέγεθος του σφάλματος στη e e λύση ( xi ) σχετίζεται με τα σφάλματα μέτρησης ( yi ) και τις αντίστοιχες ιδιοτιμές (λi) και δίνεται από τη σχέση xie = 1 e yi λi (1.71) Μια ιδιοτιμή με τιμή 0.01 και ένα σφάλμα μέτρησης της τάξης 1% θα μεγενθύνουν το σφάλμα του διανύσματος της λύσης κατά έναν παράγοντα 100. 1.8.4 Υπολογισμοί ελαχίστων τετραγώνων Έστω ότι ο αριθμός των ανεξάρτητων δεδομένων είναι μεγαλύτερος του αριθμού των παραμέτρων. Σε αυτή την περίπτωση, το σύστημα d=A.m (1.72) δεν ικανοποιείται από κανένα διάνυσμα λύσης διότι τα σφάλματα που εισάγουν τα δεδομένα προκαλούν ασυμφωνία στις εξισώσεις του γραμμικού συστήματος. Για πιστοποίηση των παραπάνω δίνεται ένα παράδειγμα. Έστω δύο μάζες με βάρη m1 και m2. Το βάρος της πρώτης μάζας ήταν 1kg, της δεύτερης 2kg, ενώ και οι δύο μάζες μαζί έδωσαν βάρος ίσο με 2kg. Το σύστημα των εξισώσεων που παράγεται από τις παραπάνω μετρήσεις δίνεται παρακάτω: 67 m1 = d1 = 1 m2 = d 2 = 2 (1.73) m1 + m 2 = d 3 = 2 Στη περίπτωση αυτή ο πίνακας Α του γραμμικού συστήματος δίνεται ως: 1 0 A = 0 1 1 1 (1.74) Είναι φανερό ότι το παραπάνω σύστημα δεν ικανοποιείται. Είναι αδύνατο το γεγονός ότι γνωρίζουμε το βάρος κάθε μίας από τις μάζες αλλά το βάρος των δύο είναι διαφορετικό του αναμενόμενου. Σίγουρα έγινε κάποιο σφάλμα κατά την διαδικασία των μετρήσεων βάρους αλλά δεν γίνεται να απορριφθεί η τρίτη εξίσωση χάριν των άλλων δύο. Το πρόβλημα παρουσιάζεται γραφικά στο παρακάτω σχήμα. Οι τρεις γραμμικές εξισώσεις αντιστοιχούν στις 3 γραμμές που εμφανίζονται στο σχήμα (1.13). Το γεγονός ότι οι τρεις γραμμές δεν διέρχονται ενός σημείου δημιουργεί τη πρώτη υπόνοια ότι το πρόβλημα είναι ασύμβατο. m2 2 0 -2 -2 0 2 m1 Σχ. 1.13. Γεωμετρική ερμηνεία των γραμμικών εξισώσεων (1.73) (Snieder and Trampert, 2000). Ένας τρόπος να επιλυθεί το παραπάνω σύστημα είναι να επιλεχθεί το μοντέλο με την καλύτερη προσαρμογή στα δεδομένα. Αυτό διασφαλίζεται υπολογίζοντας κάθε φορά την διαφορά μεταξύ των υπολογιζόμενων δεδομένων (Α.m=d’) και των πραγματικών (d), και προσπαθώντας να ελαχιστοποιήσουμε την ποσότητα αυτή. Αυτό σημαίνει ότι η λύση ελαχίστων τετραγώνων δίνεται από το μοντέλο που ελαχιστοποιεί την παράσταση S = d − Am 68 2 (1.75) Οπως περιγράφεται με λεπτομέρεια από τον Strang (1988) η παραπάνω ποσότητα ελαχιστοποιείται με επιλογή του μοντέλου ~ = (A T A) −1 A T d m (1.76) Ως λύση ελαχίστων τετραγώνων στο παραπάνω παράδειγμα, ορίζεται το σημείο με τη μικρότερη απόσταση από τις τρεις ευθείες που παρουσιάζονται στο σχήμα (1.13). Αυτό το σημείο στο σχήμα (1.13) παρουσιάζεται ως μαύρο τετράγωνο. Χρησιμοποιώντας τον πίνακα (1.74) η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος (1.73) δίνεται ως ~ = ( A T A ) −1 A T d = 1 2 − 1 1d m 3 − 1 2 1 (1.77) Τελικά, η λύση είναι η ~ =2 3 m 1 ~ m2 = 5 3 (1.78) 1.8.5 Υπολογισμός ελάχιστου μέτρου (minimum norm estimation) Σε ορισμένα προβλήματα ο αριθμός των παραμέτρων είναι μικρότερος του αριθμού των παραμέτρων. Ας θεωρήσουμε την περίπτωση κατά την οποία υπάρχουν δύο μάζες m1 και m2 και έχει μετρηθεί μόνο το άθροισμα του βάρους και των δύο σωμάτων. m1 + m2 = d = 2 (1.79) Ο πίνακας που αντιστοιχεί στο παραπάνω σύστημα είναι: A = (1 1) (1.80) Γραφικά το πρόβλημα παρουσιάζεται στο σχήμα (1.14). Είναι προφανές ότι οποιοδήποτε μοντέλο συμφωνεί με την γραμμή του σχήματος, ικανοποιεί την εξίσωση (1.79). Το πρόβλημα είναι ότι υπάρχουν άπειρες λύσεις για το συγκεκριμένο πρόβλημα που να ικανοποιούν τα δεδομένα. Μπορεί η επιλογή του μοντέλου να γίνει έτσι ώστε α) να ικανοποιούνται τα δεδομένα και β) η λύση να έχει το μικρότερο μέτρο (L2-norm). Η λύση αυτή υποδεικνύεται από το μαύρο τετράγωνο στο σχήμα 1.14. 69 m2 2 0 -2 -2 2 0 m1 Σχ. 1.15 Γεωμετρική ερμηνεία των γραμμικών εξισώσεων (1.79) με δύο αγνώστους. Και τα δύο τετράγωνα αποτελούν λύσεις του συστήματος αλλα το μαύρο τετράγωνο αποτελεί την λύση ελάχιστου μήκους (Snieder and Trampert, 2000). Γενικότερα, σε υποκαθορισμένα συστήματα εξισώσεων, η λύση ελάχιστου μήκους ορίστηκε ως η λύση που ικανοποιεί τα δεδομένα πλήρως, Am=d, και ελαχιστοποιεί 2 το m . Χρησιμοποιώντας πολλαπλασιαστές Lagrange προκύπτει ότι η λύση ελαχίστου μήκους δίνεται από την παρακάτω σχέση: ( ~ = A AA T m ) −1 d (1.81) Λεπτομερής περιγραφή δίνεται από το Menke (1984). Τελικά, η λύση ελαχίστου μήκους είναι η m1 = m2 = 1 (1.82) 1.8.6 Μικτά καθορισμένα προβλήματα Κατά την εφαρμογή της μεθόδου ελαχίστων τετραγώνων, υποθέτουμε ότι υπάρχουν αρκετές πληροφορίες ικανές να προσδιορίσουν όλες τις παραμέτρους, παρ’ όλη την παρουσία σφαλμάτων στα δεδομένα. Το πρόβλημα που αντιμετωπίζεται σε αυτές τις περιπτώσεις είναι ΄΄φτωχά΄΄ υπερκαθορισμένο και ως συνέπεια ο πίνακας ΑΤΑ είναι κανονικός (regular). Στη περίπτωση της λύσης ελάχιστου μέτρου υποθέτουμε ότι δεν υπάρχει κάποια αντίφαση στις πληροφορίες, αλλά από την άλλη δεν παρέχονται αρκετές πληροφορίες (αρκετές εξισώσεις) για να υπολογιστούν όλες οι παράμετροι του μοντέλου. Αυτή είναι η περίπτωση ενός ΄΄φτωχά΄΄ υποκαθορισμένου προβλήματος και ο πίνακας ΑΑΤ είναι κανονικός. Στις περισσότερες των περιπτώσεων υπάρχουν αντικρουόμενες πληροφορίες για ορισμένες παραμέτρους, ενώ άλλες παράμετροι είναι αδύνατο να υπολογιστούν λόγω έλλειψης πληροφοριών. Σε αυτές τις περιπτώσεις οι πίνακες ΑΤΑ και ΑΑΤ δεν αντιστρέφονται και το πρόβλημα είναι κακώς ορισμένο (ill-posed). Ακόμα και στη περίπτωση κατά την οποία οι παραπάνω πίνακες αντιστρέφονται, αυτοί 70 παραμένουν ασταθής που σημαίνει ότι μικρές μεταβολές στα δεδομένα επιφέρουν μεγάλες μεταβολές στις υπολογιζόμενες παραμέτρους. Λόγω των προβλημάτων που εμφανίζονται απαιτούνται τεχνικές που θα οδηγήσουν σε μια λύση «αναίσθητη» σε μικρές μεταβολές των δεδομένων. Έτσι εισήχθει η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων με απόσβεση (Levenberg 1944). 1.8.6.1 Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων με απόσβεση (MarquardtLevenberg method - DLS) Προκειμένου να μειωθούν τα προβλήματα που δημιουργούνται στη περίπτωση στη οποία ο πίνακας AΤA είναι ιδιάζων, επιλύεται μια παραλλαγμένη μορφή ελαχίστων τετραγώνων. Στη μέθοδο αυτή εφαρμόζεται η περιοριστική συνθήκη ότι το άθροισμα των τετραγώνων, ή η ενέργεια των στοιχείων του 2 διανύσματος μεταβολής των παραμέτρων δ, περιορίζεται από μια ποσότητα δ0 . Η μέθοδος αυτή προτάθηκε από τον Levenberg (1944) και αργότερα περιγράφηκε λεπτομερώς από τον Marquardt (1963). Καλείται και ως μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων με απόσβεση ή ως “ridge regression” (Inman 1975). Σκοπός του προαναφερθέντος περιορισμού είναι η ελεγχόμενη μεταβολή της λύσης. Η λύση των ελαχίστων τετραγώνων με περιορισμό, προκύπτει από την επίλυση προβλήματος με πολλαπλασιαστή Lagrange, στο οποίο η ποσότητα eTe 2 ελαχιστοποιείται ικανοποιώντας και την συνθήκη mΤm= m0 . Τελικά προκύπτει ότι ~ ( m , β ) = e T e + β (m T m − m 2 ) m 0 (1.83) όπου β είναι ο πολλαπλασιαστής Lagrange και e είναι το σφάλμα στον υπολογισμό των παραμέτρων του μοντέλου. Διαφορίζοντας τη παραπάνω σχέση ως προς το διάνυσμα δ, παράγεται μια τροποποιημένη μορφή των κανονικών εξισώσεων : ( A T A + βI )m = A Td (1.84) m = ( A T A + βI ) −1 A Td (1.85) οπότε, Συγκρίνοντας τις σχέσεις (1.76) και (1.85), προκύπτει ότι ο περιορισμός που εισάγει η μέθοδος αποφεύγει προβλήματα ιδιαζόντων τιμών στο πίνακα AΤA. Αυτό επιτυγχάνεται προσθέτοντας τη σταθερή αυτή ποσότητα στη κύρια διαγώνιο του πίνακα AΤA, οπότε αυξάνουν οι τιμές των μικρών ιδιοτιμών. Ο Levenberg (1944) ονόμασε τη σταθερά β παράγοντα απόσβεσης. Η ποσότητα β επιλέγεται έτσι ώστε να μην επηρεάζει την ακρίβεια και ταυτόχρονα να περιορίζει τον αριθμό των μηδενικών στοιχείων. 71 Η σχέση (1.85) έχει και άλλα ενδιαφέροντα χαρακτηριστικά. Μπορεί να θεωρηθεί ως η διασταύρωση της μεθόδου ελαχίστων τετραγώνων και της μεθόδου μεγίστης κλίσης. Το διάνυσμα της λύσης για τη μέθοδο μεγίστης κλίσης δίνεται από το τύπο m g = 2 A Td (1.86) Το διάνυσμα λύσης της μεθόδου Marquardt-Levenberg, οριοθετείται από τα διανύσματα λύσης των μεθόδων Gauss-Newton και της μεθόδου μεγίστης κλίσης (σχ. 1.16). Έτσι είναι κατανοητό ότι κατάλληλη επιλογή του παράγοντα απόσβεσης β, μπορεί να οδηγήσει σε μια από τις τρεις σχετιζόμενες μεταξύ τους μεθόδους. Για τιμή β=0, εφαρμόζεται η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων, ενώ όσο η τιμή του β αυξάνεται τόσο οδηγούμαστε στη μέθοδο μεγίστης κλίσης. Σχ. 1.16 Γεωμετρική σχέση μεταξύ των λύσεων Gauss-Newton, Marquardt-Levenberg και μεγίστης κλίσης (Steepest Descent), για παράδειγμα δύο παραμέτρων (Smith and Shanno, 1971). Κατά καιρούς αναπτύχθηκαν τρόποι (μέθοδοι), κατά τις οποίες πραγματοποιείται αύξηση της ταχύτητας σύγκλισης στη λύση. Μια από αυτές είναι η χρήση κλίμακας (scaling). O Marquardt (1963) όρισε με ποιό τρόπο πρέπει να καθοριστεί ένας διαγώνιος πίνακας D, τέτοιος ώστε ο πίνακας ΑD-1 να τοποθετεί τα μοναδιαία στοιχεία κατά μήκος της κύριας διαγώνιας του κλιμακωτού πίνακα (ΑD1 T ) (ΑD-1). Τα στοιχεία di του πίνακα D είναι ίσα με το μέσο τετραγωνικό άθροισμα (r.m.s), των στοιχείων στην ith στήλη του άνευ κλίμακας Ιακωβιανού πίνακα Α. Η λύση που προκύπτει είναι m = D −1m (D ) 72 (1.87) Η μέθοδος DLS αποτελεί την βάση σειράς τεχνικών που χρησιμοποιούνται στην ανακατασκευή του πεδίου λύσεων όπως η επαναληπτική μέθοδο με επαναπροσδιορισμό των συντελεστών βαρύτητας (iteratively reweighted least squares, IRLS) και convolutional quelling (CQ). Συνήθως εξομαλύνουμε τη λύση DLS εφαρμόζοντας φίλτρα τα οποία αντικαθιστούν τη τιμή της ταχύτητας σε κάθε κελί του τομογράμματος από τη μέση τιμή των γειτονικών κελιών των οποίων οι τιμές είναι πολλαπλασιασμένες με συντελεστές βαρύτητας D g−1 = G(D T D + ε 2 I) −1 D T (1.88) όπου ο πίνακας G περιγράφει το φίλτρο εξομάλυνσης. Παρόμοια φίλτρα προκύπτουν αν αντί της μέσης τιμής χρησιμοποιηθεί η κεντρική (median) τιμή. Τα φίλτρα κεντρικής τιμής δεν εκφράζονται υπό μορφή πινάκων, αλλά βρίσκουν ευρεία εφαρμογή στη σεισμική τομογραφία. Αυτά τα φίλτρα δεν παραμορφώνουν τα όρια περιοχών υψηλής αντίθεσης της σεισμικής ταχύτητας και δεν εισάγουν σφάλματα σε γειτονικά κελιά περιοχής με πολύ μικρές ή πολύ μεγάλες ταχύτητες. Από τη μέθοδο CQ (convolutional quelling) προκύπτει λύση παρόμοια με αυτή της μεθόδου συζυγούς βαθμίδας. Στη μέθοδο αυτή το φίλτρο εξομάλυνσης G εφαρμόζεται απευθείας στο πίνακα D, δηλαδή D g−1 = G(GD T DG T + ε 2 I) −1 GD T (1.89) Έτσι οι γραμμές του πίνακα D εξομαλύνονται και τα μηδενικά στοιχεία του αντικαθίστανται από τις εξομαλυσμένες τιμές. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα κάθε σεισμική ακτίνα να ΄΄διευρύνεται΄΄ και να περνά από περισσότερα κελιά (ray broadening). Η μέθοδος CQ δίνει τη καλύτερη λύση DLS, αλλά λόγω της διεύρυνσης της σεισμικής ακτίνας, η διακριτική ικανότητα είναι υποδιαίστερη (Parker, 1994). Γενικότερα, για τη βελτιστοποίηση της ακρίβειας και της ευστάθειας της λύσης ελαχίστων τετραγώνων προτείνεται μέθοδος η οποία περιγράφεται από την D g−1 = (D T D + λA T A) −1 D T (1.90) Marquardt (1963), όπου ο πίνακας Α περιγράφει διαφορικό τελεστή πρώτης ή δεύτερης τάξης, ενώ το λ προκύπτει από τη βελτιστοποίηση. Το DTD καθορίζει τη συσχέτιση των παραμέτρων (πίνακας συμμεταβλητότητας - covariance matrix). Η τεχνική ρύθμισης με παραγώγους πρώτης τάξης παρουσιάζει ευστάθεια και καλύτερη ακρίβεια ανεξάρτητα από το επίπεδο του θορύβου. Στη μέθοδο IRLS (iterative regularized least squares) ελαχιστοποιούμε αντί της νόρμας δεύτερης τάξης L2, τη πιο γενικευμένη Lp η οποία για p=1 αντιστοιχεί στο άθροισμα των απολύτων τιμών του υπολειμματικού πεδίου (data residuals) (Scales, 1987). 73 Από την ελαχιστοποίηση της Lp προκύπτουν οι κανονικές εξισώσεις (normal equation) D T RDS = D T RT (1.91) όπου R είναι διαγώνιος πίνακας αποτελούμενος από όρους |Δri|p-2 και Δri είναι το υπολειμματικό πεδίο (η διαφορά μεταξύ προβλεπόμενων και πραγματικών χρόνων διαδρομής). Η παραπάνω σχέση επιλύεται με επαναληπτική διαδικασία όπου ο διαγώνιος πίνακας R επαναπροσδιορίζεται σε κάθε επανάληψη. Στις περιπτώσεις όπου ο πίνακας DTD είναι ιδιάζων ή περίπου ιδιάζων, η πιο κατάλληλη μέθοδος επίλυσης του είναι η τεχνική της ανάλυσης ιδιαζόντων ιδιοτιμών (singular value decomposition-SVD, Lanczos 1961). Η μέθοδος DLS έχει δύο κύρια μειονεκτήματα : α) Το τελικό αποτέλεσμα είναι στενά εξαρτημένο από την αρχική επιλογή μοντέλου (Smith and Vozoff 1984) β) Σε μερικές περιπτώσεις η μέθοδος αυτή παράγει πολύπλοκες λύσεις οι οποίες μαθηματικά πληρούν τη λύση, αλλά δεν είναι λογικά αποδεκτές. Όταν γίνεται χρήση του παράγοντα απόσβεσης, αποδεικνύεται ότι οι λύσεις των μεθόδων ελαχίστων τετραγώνων και της λύσης ελαχίστου μέτρου, είναι ίδιες. 1.8.7 Πρόβλημα ασυμβατότητας σε λύσεις αντίστροφων προβλημάτων με τη μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων Η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων φαίνεται να είναι ένας καλός τρόπος επίλυσης υπερκαθορισμένων προβλημάτων. Παρόλα αυτά παρουσιάζονται προβλήματα τα οποία έχουν σχέση με το μετασχηματισμό των αρχικών γραμμικών εξισώσεων και τα οποία θα μελετήσουμε αμέσως παρακάτω. Έστω ότι έχουμε ένα υπερκαθορισμένο σύστημα εξισώσεων όπως αυτό που δίνεται παρακάτω m1 = d1 = 1 m2 = d2 = 2 m1 + m2 = d3 = 2 (1.92) Μαθηματικά, αυτό το σύστημα των εξισώσεων δεν αλλάζει εάν πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη της τελευταίας εξίσωσης με ένα σταθερό αριθμό. Αυτό σημαίνει ότι τα ακόλουθα δύο γραμμικά συστήματα (Α.m=d) είναι ισοδύναμα m1 = d1 = 1 m1 = d1 = d1′ = 1 m2 = d2 = 2 ⇔ m 2 = d 2 = d 2 ′ = 2 2m1 + 2m2 = 2d 3 = d 3′ = 4 m1 + m2 = d3 = 2 (1.93) Οι πίνακες Α του αρχικού και του μετασχηματισμένου συστήματος είναι 74 1 0 A = 0 1 1 1 1 0 και A ′ = 0 1 2 2 (1.94) Σε όλη την παρούσα παράγραφο τα τονούμενα μεγέθη είναι τα μετασχηματισμένα και τα άτονα τα αρχικά. Αν επιλυθούν τα παραπάνω γραμμικά συστήματα με τη μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων προκύπτει ~ = 1 ⋅ 2 − 1 1 ⋅ d και m ~ = 1 ⋅ 5 − 4 2 ⋅ d ′ m 3 − 1 2 1 9 − 4 5 2 (1.95) Χρησιμοποιώντας τις τιμές των διανυσμάτων d που δόθηκαν τόσο για το αρχικό όσο και για το μετασχηματισμένο σύστημα προκύπτει τελικά ~ = 2 m 5 3 ~ = 5 9 και m 14 9 3 (1.96) Παρατηρείται ότι το διάνυσμα της λύσης για τα δύο γραμμικά συστήματα, είναι διαφορετικό. Το παραπάνω δημιουργεί έκπληξη, δεδομένου ότι το αρχικό και το μετασχηματισμένο σύστημα εξισώσεων είναι μαθηματικά ισοδύναμα. Ο λόγος για τον οποίο οι δύο λύσεις είναι διαφορετικές είναι το γεγονός ότι το «μετρικό σύστημα» για τα αρχικά δεδομένα και τα μετασχηματισμένα, δεν είναι πια το ίδιο αφού έχει προηγηθεί ο μετασχηματισμός. Με το παραπάνω επισημαίνεται ότι η διαφορά με την οποία μετρώνται τα μήκη των λύσεων χρησιμοποιώντας κριτήρια ελαχίστων τετραγώνων για την επίλυση δύο γραμμικών συστημάτων. Επειδή όπως είναι γνωστό η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων ελαχιστοποιεί αποστάσεις, είναι φανερή η σημασία του γεγονότος ότι η λύση ελαχίστων τετραγώνων αλλάζει, όταν και η μονάδες μέτρησης (measuring unit) του χώρου των δεδομένων (data space) αλλάζουν. Τα παραπάνω οδηγούν στο συμπέρασμα ότι η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων δεν είναι τόσο ΄΄αντικειμενική΄΄ όπως αναμενόταν αφού αυθαίρετοι μετασχηματισμοί σε ένα σύστημα εξισώσεων οδηγούν σε τελείως διαφορετικές λύσεις. Ένα σημείο που πρέπει επίσης να επισημανθεί είναι ότι η λύση ελαχίστων τετραγώνων έχει γενικευμένο αντίστροφο που δίνεται από τη σχέση A − g = (A T A) −1 A T (1.97) Εύκολα αποδεικνύεται ότι και τα δύο γραμμικά συστήματα (αρχικό και μετασχηματισμένο) έχουν τη μέγιστη διακριτική ικανότητα δηλαδή, έχουν το πίνακα διακριτικής ικανότητας ίσο με τον μοναδιαίο ' R = A − g A = I και R ' = A − g A ' = I 75 (1.98) Ίσως θα έπρεπε να σχολιαστεί το γεγονός ότι δύο γραμμικά συστήματα τα οποία οδηγούν σε διαφορετικές λύσεις, παρουσιάζουν τη ίδια διακριτική ικανότητα. Η αιτία αυτής της ασυμβατότητας είναι ο παράγοντας Α-ge ο οποίος σε προηγούμενη ενότητα χαρακτηρίστηκε ως διάδοση σφάλματος (error propagation term). Είναι γνωστό ότι σφάλματα στα δεδομένα των γραμμικών εξισώσεων (1.93) οπωσδήποτε και θα υπάρχουν εφόσον τα γραμμικά συστήματα είναι ασύμφωνα. Μετά το μετασχηματισμό των γραμμικών εξισώσεων, ο τρόπος διαχείρισης των δεδομένων και σφαλμάτων γίνεται με διαφορετικό τρόπο γεγονός που οδηγεί και σε διαφορετικές λύσεις. Συμπερασματικά θα μπορούσαμε να πούμε ότι η ασυμβατότητα γραμμικών συστημάτων που προκαλείται από τη παρουσία σφαλμάτων στα δεδομένα, είναι αυτή που οδηγεί σε διαφορετικές λύσεις μετά από κάθε διαδικασία απλού μετασχηματισμού των γραμμικών εξισώσεων. Πρέπει επίσης να γίνει μια πιο γενική μελέτη των ιδιοτήτων της λύσης των ελαχίστων τετραγώνων στις περιπτώσεις κατά τις οποίες μετασχηματίζεται τόσο το διάνυσμα των δεδομένων όσο και το διάνυσμα της λύσης (μοντέλου). Έτσι, έστω ότι δίνεται ένα γραμμικό σύστημα της μορφής A ⋅m = d (1.99) Η παραπάνω εξίσωση δεν είναι αληθής διότι έχουν αγνοηθεί τα σφάλματα e τα οποία πάντοτε συναντώνται. Αυτός είναι και ο κύριος λόγος για τον οποίο η παραπάνω εξίσωση ποτέ δεν ικανοποιείται ακριβώς αλλά εφαρμόζονται προσεγγιστικές μέθοδοι επίλυσης όπως αυτή των ελαχίστων τετραγώνων. Ας θεωρήσουμε πίνακα S ο οποίος μετασχηματίζει το διάνυσμα των παραμέτρων του μοντέλου όπως δίνεται παρακάτω m' = S ⋅ m (1.100) ενώ ο πίνακας Q μετασχηματίζει το διάνυσμα των δεδομένων (data vector), ως ακολούθως d′ = Q ⋅ d (1.101) Θεωρώντας ότι ο αντίστροφος του S υπάρχει, το αρχικό σύστημα μετασχηματίζεται με τον παρακάτω τρόπο Q ⋅ A ⋅ S −1 ⋅ m ′ = Q ⋅ d = d′ (1.102) Η λύση του αρχικού συστήματος εξισώσεων (1.99) δίνεται από τη σχέση ~ (1) = (A T ⋅ A) −1 A T ⋅ d m (1.103) Αντίστοιχα, η λύση του συστήματος (1.102) δίνεται από αντίστοιχη σχέση, θέτοντας A ′ = QAS −1 και αντικαθιστώντας το d με Q.d. Αυτό φυσικά δίνει τη λύση 76 του μετασχηματισμένου συστήματος χωρίς να δίνεται η δυνατότητα της σύγκρισης των δύο. Για να είναι δυνατή η σύγκριση των δύο λύσεων, μετασχηματίζουμε τη λύση του μετασχηματισμένου συστήματος στο αρχικό θέτοντας, m = S −1 ⋅ m ′ . Τελικά, η λύση ελαχίστων τετραγώνων του μετασχηματισμένου συστήματος δίνεται από τη σχέση ( ~ (2) = S −1 S T−1 ⋅ A T ⋅ Q T ⋅ Q ⋅ A ⋅ S −1 m ) −1 ⋅ S T−1 ⋅ A T ⋅ Q T ⋅ Q ⋅ d (1.104) Θεωρώντας ότι ο αντίστροφος του παραπάνω πίνακα υπάρχει, η παραπάνω σχέση μπορεί να απλοποιηθεί εφαρμόζοντας επαναληπτικά τη γνωστή ιδιότητα των −1 πινάκων (ΝΜ)-1=Μ-1Ν-1 στον όρο (S T −1 ⋅ A T ⋅ Q T ⋅ Q ⋅ A ⋅ S −1 ) , δίνοντας (S T −1 ⋅ A T ⋅ Q T ⋅ Q ⋅ A ⋅ S −1 ) −1 = (S −1 ) −1 (A T Q T QA) −1 (S T −1 ) −1 = S(A T Q T QA) −1 S T (1.105) Έτσι τελικά η λύση μπορεί να δοθεί με την μορφή ~ (2) = (A T ⋅ Q T ⋅ Q ⋅ A) −1 A T ⋅ Q T ⋅ Q ⋅ d m (1.106) Συγκρίνοντας τις σχέσεις (1.103) και (1.106) γίνεται σαφές ότι η λύση ελαχίστων τετραγώνων είναι: • Αμετάβλητη σε μετασχηματισμούς των παραμέτρων του μοντέλου • Αμετάβλητη σε μετασχηματισμούς του διανύσματος των δεδομένων στη περίπτωση όπου QTQ=I. Η πρώτη ιδιότητα των ελαχίστων τετραγώνων είναι προφανής, γνωρίζοντας ότι η λύση ελαχίστων τετραγώνων ελαχιστοποιεί την διαφορά υπολογιζόμενωνπαρατηρησιακών δεδομένων (data misfit) ενώ δεν ελαχιστοποιεί το μήκος της λύσης του μοντέλου. Για να γίνει αντιληπτή η δεύτερη ιδιότητα πρέπει απλά να γίνει σύγκριση των ποσοτήτων που ελαχιστοποιούνται κατά την εφαρμογή της μεθόδου στο αρχικό και μετασχηματισμένο σύστημα εξισώσεων. Για το αρχικό σύστημα εξισώσεων η ποσότητα που ελαχιστοποιείται είναι η S = d − Am = ((d − Am)⋅ (d − Am)), 2 (1.107) καθώς για το μετασχηματισμένο σύστημα εξισώσεων η αντίστοιχη ποσότητα είναι S′ = Qd − QAm = (Q(d − Am)⋅ Q(d − Am)) 2 = (Q TQ(d − Am) ⋅ (d − Am)) Οι δύο παραπάνω ποσότητες είναι ίσες μόνο στη περίπτωση όπου QTQ=I. 77 (1.108) 1.8.8 Προβλήματα ασυμβατότητας κατά την επίλυση αντίστροφων προβλημάτων με κριτήριο το μέτρο της λύσης (minimum norm) Προβλήματα ασυμβατότητας όμοια με αυτά που μελετήθηκαν στη προηγούμενη ενότητα εμφανίζονται και στη περίπτωση του κριτηρίου ελαχίστου μήκους λύσης. Αν θεωρήσουμε ένα υποκαθορισμένo σύστημα εξισώσεων της μορφής : m1+m2=d=2. Η λύση ελάχιστου μήκους στο συγκεκριμένο πρόβλημα δίνεται ως εξής: ~ =1, m 1 ~ =1 m 2 (1.109) Αν μετασχηματίσουμε τις παραμέτρους του μοντέλου m σε ένα νέο μοντέλο m ′ με τον παρακάτω τρόπο m1′ = m1 + m 2 m ′2 = m 2 (1.110) το νέο σύστημα εξισώσεων περιγράφεται ως εξής ~′ = d = 2 m 1 (1.111) Για το σύστημα (1.111) η λύση ελαχίστου μήκους (minimum norm) δίνεται ως ~ ′ = 2, m ~ ′ = 0. Με τους μετασχηματισμούς (1.110) που εφαρμόστηκαν στο εξής: m 1 2 χώρο των παραμέτρων του μοντέλου, η λύση του μετασχηματισμένου συστήματος (1.111) έρχεται σε συμφωνία με τη λύση του αρχικού συστήματος ~ ~ =2 m m , 2 =0 1 (1.112) Παρατηρείται ότι η λύση αυτή διαφέρει από τη λύση με τη μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων (1.109) εφαρμόζοντας το κριτήριο ελάχιστου μήκους. Ο λόγος για τη παραπάνω ασυμφωνία είναι ανάλογος αυτού που μελετήθηκε στη προηγούμενη ενότητα. Ο μετασχηματισμός (1.110) του γραμμικού συστήματος, άλλαξε τις μονάδες μέτρησης στο χώρο των παραμέτρων του μοντέλου, με αποτέλεσμα τα μήκη στο χώρο του μοντέλου και στο μετασχηματισμένο πια σύστημα να μετρώνται με διαφορετικό τρόπο. Θα έπρεπε επίσης να μελετηθεί η επίδραση που έχει γενικά ο μετασχηματισμός γραμμικών εξισώσεων σε λύσεις ελάχιστου μήκους (minimum norm solution) τόσο στο χώρο των δεδομένων όσο και στο χώρο του μοντέλου. Γενικά, με σκοπό την αποφυγή όλων αυτών των προβλημάτων εφαρμόζεται κανονικοποίηση (regularization) στο γραμμικό σύστημα των εξισώσεων. 1.8.9 Ανάγκη για περαιτέρω κανονικοποίηση Η ανάλυση των μετασχηματισμένων ιδιοτήτων στη λύση ελαχίστων τετραγώνων με απόσβεση, είναι ανάλογη της ανάλυσης των ιδιοτήτων στη 78 περίπτωση της λύσης ελαχίστων τετραγώνων χωρίς την εφαρμογή παράγοντα απόσβεσης. Αγνοώντας τα σφάλματα, το γραμμικό σύστημα των εξισώσεων (1.99) δίνεται ως Αm=d (1.113) και το μετασχηματισμένο διάνυσμα των δεδομένων και των παραμέτρων (1.101) του μοντέλου (1.100) m’=Sm και d’=Qd (1.114) Θεωρώντας ότι ο πίνακας S-1 υπάρχει, το μετασχηματισμένο σύστημα των εξισώσεων δίνεται από τη σχέση (1.102) QAS-1m’=Qd (1.115) Η λύση ελαχίστων τετραγώνων με απόσβεση στο αρχικό σύστημα δίνεται ως ) ( ~ 1 = A T A + γ ⋅ I −1 A Td m (1.116) Ανάλογη της σχέσεως (1.106), η λύση ελαχίστων τετραγώνων με απόσβεση του μετασχηματισμένου συστήματος δίνεται ως ( ) −1 T−1 T T (2) − − − 1 T 1 T T 1 ~ =S S m A Q QAS + γ ⋅ I S A Q Qd (1.117) Ο παράγοντας απόσβεσης του αρχικού και του μετασχηματισμένου συστήματος δεν είναι κατ’ ανάγκη ο ίδιος. Η σχέση (1.117) μπορεί να απλοποιηθεί ακολουθώντας τον ίδιο τρόπο με αυτόν της σχέσης (1.106). Αντικαθιστώντας το γI με γΙ=γST1 T S SS-1, προκύπτει ότι: ~ (2) = A TQ TQA + γ ⋅S TS m −1 T T A Q Qd (1.118) Η παραπάνω σχέση αποδεικνύει ότι: ο παράγοντας απόσβεσης των μετασχηματισμένων παραμέτρων του μοντέλου (m’) δίνεται από τον μοναδιαίο πίνακα γΙ (1.117), ενώ ο παράγοντας απόσβεσης για το αρχικό σύστημα δίνεται από τον όρο γSTS (1.118). Αυτό σημαίνει ότι ο παράγοντας απόσβεσης γΙ μεταβάλλεται μετασχηματίζοντας τις παραμέτρους του μοντέλου. Ο όρος QTQ χρησιμοποιείται στη περίπτωση μετασχηματισμού του διανύσματος των δεδομένων. Τα παραπάνω επισημαίνουν ότι η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων με απόσβεση είναι γενικά μέθοδος που είναι ασταθής σε μετασχηματισμούς των δεδομένων ή των παραμέτρων του μοντέλου. 79 Από τα παραπάνω είναι φανερό ότι είναι αναγκαιότητα η χρήση γενικότερων μεθόδων κανονικοποίησης, οι οποίες θα επιτρέπουν στα δεδομένα και στις παραμέτρους του μοντέλου να μεταβάλλονται με σταθερό τρόπο, έτσι ώστε η λύση να είναι ανεξάρτητη των μεταβολών. Τέτοιου είδους κανονικοποίηση μπορεί να βρεθεί μελετώντας τη σχέση (1.118). Αν θεωρήσουμε το πίνακα QTQ=Wd και STS=Wm, τότε η λύση ελαχίστων τετραγώνων δίνεται από τη σχέση: ) ( ~ = A T W A + γ ⋅ W −1 A T W d m m d d (1.119) Η λύση αυτή ελαχιστοποιεί τη ποσότητα: T S = (d − Am ) Wd (d − Am ) + γ ⋅ m T Wm m (1.120) Στη παραπάνω σχέση οι πίνακες Wd, Wm μπορεί να είναι οποιοσδήποτε πίνακας θετικά ορισμένος. Με αυτό το τρόπο φαίνεται ότι ο παράγοντας γ παίζει το ρόλο του ρυθμιστή μεταξύ δύο χαρακτηριστικών της λύσης, δηλαδή του μεγέθους της (μέτρο) και της διαφοράς της με τα δεδομένα. Και οι δύο ανεξάρτητες ιδιότητες της λύσης δεν μπορούν να είναι ταυτόχρονα αυθαίρετα μικρές αφού απαιτείται, όπως τονίσθηκε, ανταγωνισμός των δύο χαρακτηριστικών. Η χρήση του παράγοντα απόσβεσης είναι απαραίτητη ενώ η σωστή επιλογή του είναι πολύ δύσκολη (Scales and Snieder, 1997). Τα περισσότερα αντίστροφα προβλήματα είναι κακώς ορισμένα (μερικώς υποκαθορισμένα ή μερικώς υπερκαθορισμένα) και ασταθή (μικρά σφάλματα στα δεδομένα προκαλούν μεγάλες μεταβολές στις παραμέτρους του μοντέλου). Τα παραπάνω οδηγούν στο συμπέρασμα ότι η επίλυση ενός συστήματος εξισώσεων είναι μικρό πρόβλημα συγκρινόμενο με τη σωστή επιλογή της μεθόδου κανονικοποίησης. Ένας τρόπος προσέγγισης του προβλήματος είναι να γίνει χρήση στατιστικής Bayes, η οποία προσπαθεί να επιλύσει το αντίστροφο πρόβλημα μελετώντας στατιστικά τις εκ των προτέρων πληροφορίες που παρέχονται για τα δεδομένα και το μοντέλο (Tarantola and Valette 1982a, Tarantola and Valette 1982b). Στη περίπτωση αυτή οι πίνακες βάρους Wd και Wm, περιέχουν εκ των προτέρων πληροφορίες που υπάρχουν για τα δεδομένα και το μοντέλο, ανεξάρτητα των παρατηρήσεων. Συνήθως οι πίνακες βάρους ορίζονται ως −1 −1 Wd = Cd , Wm = Cm , (1.121) όπου Cd-1 και Cm-1 είναι οι εκ των προτέρων (a priori) πίνακες συμμεταβλητότητας των δεδομένων και του μοντέλου αντίστοιχα, δηλαδή Cd = (d − d )(d − d 80 )T (1.122) Cm = (m − m )(m − m )T (1.123) Στις παραπάνω σχέσεις το σύμβολο <…> αναφέρεται στις αναμενόμενες τιμές του μεγέθους το οποίο χρησιμοποιείται. Στη μέθοδο αυτή, η λύση που δίνεται από τη σχέση (1.119) είναι η πιθανότερη υπολογιζόμενη λύση όταν η κατανομή των σφαλμάτων ακολουθεί κανονική κατανομή. Η βάση της μεθόδου αυτής, οδηγεί σε μια αντικειμενική λύση αν πάρουμε υπόψη τις εκ των προτέρων πληροφορίες οι οποίες και έχουν φυσική σημασία για το υπό μελέτη μοντέλο. Από την άλλη μεριά, η επιλογή της εκ των προτέρων κατανομής των δεδομένων και του μοντέλου είναι υποκειμενική (Scales and Snieder 1997). Σε διαφορετική προσέγγιση επιλέγεται η συνάρτηση σφάλματος με τρόπο τέτοιον ώστε το μοντέλο να είναι εξομαλυσμένο, μικρού μέτρου κ.τ.λ (Parker 1994). Για παράδειγμα, συχνά επιλέγεται ο πίνακας βάρους του μοντέλου Wm, να υπακούει τη θεωρία του Occam (Constable et al. 1987) όπου τελικά από όλα τα μοντέλα που ικανοποιούν τα δεδομένα, το σωστότερο είναι το πιο εξομαλυσμένο. Επίσης, αντί να ελαχιστοποιείται το μέτρο της λύσης μπορεί να ελαχιστοποιείται το τετράγωνο της βαθμίδας της. Ο τελευταίος όρος της σχέσης (1.120) μπορεί να γραφεί ως ∇m 2 = ∫ (∇m ⋅ ∇m )dV = − ∫ m∇2mdV , (1.124) και συμπερασματικά ο πίνακας Wm είναι μια διακριτή μορφή της λαπλασιανής -∇2. 1.8.10 Μέθοδος αντιστροφής υπό περιορισμούς εξομάλυνσης – Μέθοδος Occam Ενας τρόπος επίλυσης της αστάθειας της λύσης του αντιστρόφου προβλήματος είναι η εφαρμογή εξομαλυμένων περιορισμών. Η εφαρμογή τέτοιων περιορισμών που σταθεροποιούν φτωχά καθορισμένα προβλήματα ανήκει στη γενική κατηγορία μεθόδων κανονικοποίησης (Tikhonov 1963). Αυτού του τύπου οι μέθοδοι είναι γνωστοί και ως μέθοδοι ελαχίστων τετραγώνων με τετραγωνικούς περιορισμούς ανισοτήτων (LSQI method - Golub and Van Loan 1989). Η τεχνική που θα παρουσιαστεί εφαρμόστηκε για πρώτη φορά στις γεωφυσικές επιστήμες από τους Constable et al. (1987). Οι συγγραφείς αυτοί την ονόμασαν τεχνική αντιστροφής του Occam (όνομα φιλοσόφου του 14ου αιώνα). Η μέθοδος αυτή χρησιμοποιήθηκε πρώτη φορά για την επίλυση αντιστρόφων προβλημάτων σε μελέτες μαγνητοτελλουρικών και προσδιορισμού γεωηλεκτρικής δομής. Η αρχή της τεχνικής είναι ο προσδιορισμός του πιο εξομαλυμένου μοντέλου το οποίο προσαρμόζει στα δεδομένα παρατήρησης, με βάση το γεγονός ότι το τελικό μοντέλο θα παρεκκλίνει τόσο από το πιο απλοποιημένο μοντέλο όσο χρειάζεται για να επιτευχθεί η προσαρμογή των δεδομένων. Η ανάγκη εφαρμογής αυτής της μεθόδου, προέκυψε από την αδυναμία της μεθόδου ελαχίστων τετραγώνων με απόσβεση να δώσει απλές και ρεαλιστικές λύσεις. Επίσης προέκυψε λόγω της εξάρτησης της τελικής λύσης από την επιλογή 81 του αρχικού μοντέλου. Η μέθοδος αυτή (Occam method) δεν υπόσχεται την καλύτερη λύση αλλά σίγουρα τη πιο απλή και αληθοφανή. Επίσης, η μέθοδος αυτή παρέχει σταθερότητα στη λύση και είναι ανεξάρτητη της επιλογής του αρχικού μοντέλου. Για την εφαρμογή της μεθόδου απαιτείται ο προσδιορισμός ενός παράγοντα ο οποίος θα περιγράφει την επιθυμητή σχέση εξομάλυνσης μεταξύ των παραμέτρων ως συνάρτηση των τιμών βραδύτητας του μοντέλου. Αυτός ο παράγοντας τραχύτητας (roughness term) (Constable et al. 1987) μπορεί να εκφραστεί με διακριτή μορφή ως ένας τελεστής πεπερασμένων διαφορών. Ενας τέτοιος παράγοντας τραχύτητας για δισδιάστατη Γη, προτάθηκε από τον Sasaki (1992). Αν θεωρήσουμε L παραμέτρους στρωμάτων και Q παραμέτρους ανά στρώμα, τότε το ολικό μοντέλο τραχύτητας R δίνεται από τη παρακάτω σχέση: [ ] L −1 Q −1 2 ∑ − x(k −1,l ) − x(k ,l −1) + 4 x(k ,l ) − x(k ,l +1) − x(k +1,l ) R= ∑ k =2 l =2 (1.125) όπου x(k,l) είναι το κεντρικό σημείο και x(k-1,l), x(k,l-1), x(k,l+1) και x(k+1,l) είναι οι παρακείμενοι του κεντρικού κόμβοι προς το ΄΄νότο΄΄, ΄΄δύση΄΄, ΄΄ανατολή΄΄ και ΄΄βορρά΄΄ αντίστοιχα. Στη παρούσα εργασία εφαρμόστηκε φίλτρο εξομάλυνσης με δεύτερες παραγώγους όπου το βάρος καθενός των παρακείμενων του κεντρικού, κόμβων, έχει τιμή -1 πολλαπλασιασμένο με τον επιθυμητό βαθμό εξομάλυνσης. Ο κεντρικός κόμβος έχει τιμή ίση με τον αριθμό των παρακείμενων κόμβων πολλαπλασιασμένο με τον επιθυμητό βαθμό εξομάλυνσης. Συχνά εφαρμόζεται η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων με απόσβεση και παράλληλα με περιορισμούς εξομάλυνσης. Στη περίπτωση αυτή η λύση δίνεται από τη παρακάτω σχέση T T −1 T δ = (Z Z + βC C) Z g (1.126) Παρατηρείται ότι η μόνη διαφορά με τον γνωστό τύπο λύσης της DLS μεθόδου, είναι ότι ο μοναδιαίος πίνακας I αντικαθίσταται από τον εξομαλυμένο πίνακα CTC. 1.8.11 Μέθοδος Ανάλυσης Ιδιαζουσών Τιμών (S.V.D) Είναι γνωστό ότι η επίλυση του γραμμικού προβλήματος ελαχίστων τετραγώνων, απαιτεί τη χρήση των κανονικών εξισώσεων (1.113) T T Z Zδ = Z g (1.127) Η λύση απαιτεί τον πολλαπλασιασμό των παραπάνω πινάκων. Ο πίνακας ΖΤΖ είναι ένας μη αρνητικός καθορισμένος, τετραγωνικός και συμμετρικός πίνακας, ο οποίος 82 είναι πάντα θετικά ορισμένος κατά τη περίπτωση χρήσης του παράγοντα απόσβεσης του Marquardt. Είναι επομένως δυνατή η επίλυση του παραπάνω συστήματος με ανάλυση Cholesky, χωρίς να απαιτείται η αντιστροφή κανενός πίνακα (Lawson and Hanson 1974). Ομως, ο σχηματισμός των πινάκων ΖΤΖ και ΖΤg εισάγει αριθμητικές ανακρίβειες. Οι Golub και Reinsch (1970) παρατήρησαν το πρόβλημα αστάθειας της λύσης και πρότειναν την επίλυση του συστήματος Zδ = g (1.128) αντί των κανονικών εξισώσεων. Η λύση του σχέσης (1.128) είναι δ=Z −1 g (1.129) Ομως, ο αντίστροφος του Ζ (Ζ-1), υπάρχει μόνο στη περίπτωση όπου ο Ζ είναι τετραγωνικός (n=p) και μη ιδιάζων. Στη γεωφυσική όμως, τα περισσότερα προβλήματα είναι υπερκαθορισμένα (n>>p), με αποτέλεσμα ο αντίστροφος του Ζ να υπολογίζεται με χρήση του γενικευμένου αντίστροφου (Lanczos 1961). Οι Golub και Reinsch (1970), ανέπτυξαν μια πολύ αποτελεσματική μέθοδο για την επίλυση των εξισώσεων της σχέσης (1.128), στη περίπτωση όπου αυτές είναι ιδιάζουσες ή περίπου ιδιάζουσες. Η μέθοδος αυτή κάνει χρήση της ανάλυσης ιδιαζουσών τιμών (Singular Value Decomposition - S.V.D). Στις περιπτώσεις όπου μέθοδοι όπως οι μέθοδος αντικατάστασης του Gauss και η μέθοδος ανάλυσης LU αδυνατούν να δώσουν ικανοποιητική λύση, εφαρμόζεται η ανάλυση ιδιαζουσών ιδιοτιμών η οποία κάνει ακριβή διάγνωση της φύσης του προβλήματος. Πέρα από τη διάγνωση του προβλήματος, η μέθοδος παρέχει μια ικανοποιητική αριθμητική λύση. Η μέθοδος S.V.D χρησιμοποιείται ευρέως για την επίλυση γραμμικών προβλημάτων ελαχίστων τετραγώνων. Κατά την εφαρμογή της μεθόδου ο πίνακας Ζ (mxn) αναλύεται ως: Z = UΛV T (1.130) (Golub and Van Loan 1989), όπου U είναι ένας ορθοκανονικός πίνακας (mxm) των ιδιοδιανυσμάτων και ο οποίος καλύπτει τον χώρο των δεδομένων, V είναι ένας (nxn) ορθοκανονικός πίνακας των ιδιοδιανυσμάτων, ο οποίος και καλύπτει το χώρο των παραμέτρων του μοντέλου και Λ είναι ένας (mxn) διαγώνιος πίνακας, τα στοιχεία του οποίου είναι οι ιδιοτιμές του πίνακα Ζ. Οι στήλες του πίνακα U είναι τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα ΖΖΤ και οι στήλες του V είναι τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα ΖΤΖ. Στη πιο γενική περίπτωση όπου η ανάλυση παράγει κάποιες μηδενικές ιδιοτιμές (ας θεωρήσουμε p τον αριθμό των μη μηδενικών ιδιοτιμών), η παραπάνω ανάλυση του πίνακα Ζ (Lines and Treitel 1984) γίνεται: 83 T Z = U p Λ p Vp (1.131) όπου Up και Vp είναι ημιορθογώνιοι πίνακες με διαστάσεις mxp και nxp αντίστοιχα, ενώ ο πίνακας Λp είναι ένας pxp διαγώνιος πίνακας. Οταν μια από τις ιδιοτιμές είναι μηδενική, το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα δεν μπορεί να απεικονιστεί από το χώρο των δεδομένων στο χώρο των παραμέτρων του μοντέλου και αντίστροφα. Διανύσματα των δεδομένων και των παραμέτρων του μοντέλου, τα οποία έχουν μηδενικές ιδιοτιμές, ανήκουν στο μηδενικό χώρο και δεν μπορούν να υπολογιστούν. Οταν μια ιδιοτιμή δεν είναι μηδενική, αλλά έχει πολύ μικρή τιμή συγκρινόμενη με τη μεγαλύτερη ιδιοτιμή (ο λόγος των δύο τιμών είναι μεγάλος - condition number), η συμβολή που θα έχουν στη λύση τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα, πρέπει να είναι ελάχιστη διότι αυτό θα οδηγήσει σε αστάθεια της λύσης. 1.8.12 Μέθοδος ανάλυσης ιδιαζουσών τιμών και παράγοντα απόσβεσης Γνωρίζοντας τα πλεονεκτήματα της μεθόδου ελαχίστων τετραγώνων με απόσβεση και της ανάλυσης ιδιαζουσών τιμών, έγινε μια προσπάθεια εφαρμογής και των δύο σε μια κοινή μέθοδο. Η εφαρμογή της μεθόδου SVD προτάθηκε μεταξύ των άλλων και από τους Lawson και Hanson (1974) και από τους Jupp και Vozoff (1975). Η λύση των κανονικών τροποποιημένων εξισώσεων δίνεται ως −1 T T δ = (Z Z + βI) Z g (1.132) Αν επαναδιατυπώσουμε τους (ΖΤΖ) με την μορφή U, Λ και V: T 2 T Z Z = VΛ V (1.133) −2 T T −1 (Z Z) = VΛ V . (1.134) οπότε, Ο πίνακας (ΖΤΖ+βΙ) γίνεται, T 2 T 2 T (Z Z + βI) = VΛ V + βI = V(Λ + βI)V . Τελικά, 84 (1.135) T (Z Z + βI) −1 V T λ2 + β j −1 T = V(Λ + βI) V = Vdiag 2 1 (1.136) όπου (Λ2+βΙ)-1 είναι ένας διαγώνιος πίνακας της μορφής, 1 λ2 + β 1 0 ( Λ 2 + βI) −1 = . . 0 0 ... 1 λ22 + β . ... . . . . 1 λ2p + β 0 (1.137) Αντικαθιστώντας τα παραπάνω στις γνωστές σχέσεις προκύπτει, 1 T T δ = Vdiag V VΛΛ g ⇒ λ 2 + β j λ j U T g. δ = Vdiag λ 2 + β j (1.138) Η λύση του συστήματος μπορεί να γραφεί και ως άθροισμα των γινομένων των διανυσμάτων με βάρος, λ1 λ2 λn T T T = + δ v1 u1 g v 2 u 2 g + ... + v n un g 2 2 2 (1.139) λ1 + β λ2 + β λn + β Συγκρίνοντας τις λύσεις που προκύπτουν, παρατηρούμε ότι το στοιχείο 1/λi του πίνακα Λ-1 στην μέθοδο Marquardt, αντικαθίσταται από το στοιχείο, 85 λj 2 λj + β (1.140) όπου β είναι ο παράγοντας απόσβεσης. Στο σημείο αυτό φαίνεται καθαρά η αποτελεσματικότητα αυτής της λύσης στη περίπτωση ιδιάζοντα πίνακα. Αν οι ιδιοτιμές είναι μεγάλες τότε και η επίδραση της άθροισης του παράγοντα β σε αυτές είναι αμελητέα οπότε είναι αμελητέα και η επίδραση στο διάνυσμα της λύσης. Στη περίπτωση κατά την οποία οι ιδιοτιμές είναι μικρές (το λjÆ0), η άθροιση του παράγοντα απόσβεσης προκαλεί μείωση της παράστασης (1.139), άρα είναι ασθενέστερη η επίδραση του διανύσματος της λύσης. Οταν το β παίρνει μεγάλες τιμές, τότε βελτιώνεται η ευστάθεια της λύσης, αλλά χειροτερεύει η διακριτική ικανότητα της μεθόδου. Αρα είναι επιθυμητό το β να επιλεγεί έτσι ώστε να υπάρχει ευσταθής λύση και καλή διακριτική ικανότητα. 1.8.13 Επαναληπτική εφαρμογή της μεθόδου ελαχίστων τετραγώνων Η λύση ελαχίστων τετραγώνων για ένα γραμμικό σύστημα της μορφής Bx=y δίνεται από τη σχέση x=(BTB)-1BTy. Ας σημειωθεί ότι ο πίνακας Β μπορεί να είναι κανονικοποιημένος, δηλαδή να έχει πολλαπλασιαστεί με κατάλληλους πίνακες βάρους. Σε πολλές περιπτώσεις, κατά την επίλυση μεγάλων γραμμικών συστημάτων, ο πίνακας ΒΤΒ μπορεί να μην καλύπτεται από την υπάρχουσα υπολογιστική ισχύ (μνήμη). Για τέτοιου είδους προβλήματα αναπτύχθηκαν επαναληπτικοί αλγόριθμοι οι οποίοι βελτίωσαν τον υπολογισμό του μοντέλου. Ας υποτεθεί ότι μια επαναληπτική διαδικασία εύρεσης λύσης βρίσκεται στην n επανάληψη με υπολογιζόμενο μοντέλο xn και βελτίωση της λύσης δxn. Η βελτιωμένη λύση του προβλήματος είναι η xn+1=xn+δxn. Εισάγοντας τη λύση στη σχέση Bx=y προκύπτει μια νέα σχέση για το αναβαθμισμένο μοντέλο Bδxn = (y − Bxn ) (1.141) Το δεξί σκέλος της εξίσωσης εκφράζει τη διαφορά μεταξύ των παρατηρησιακών δεδομένων και των υπολογιζόμενων με βάση τον νέο υπολογισμό του μοντέλου xn. Η σχέση (1.141) περιγράφει το τρόπο με τον οποίο το μοντέλο πρέπει να υπολογιστεί ξανά με σκοπό την ελλάτωση του διαφοράς μεταξύ υπολογιζόμενων και πραγματικών δεδομένων. Η λύση ελαχίστων τετραγώνων δίνεται ως δx n = (B T B) −1 B T (y − Bx n ) (1.142) Με την έως τώρα ανάλυση δεν επιτεύχθει τίποτε ιδιαίτερο αν εξετασθεί το γεγονός ότι η παραπάνω εξίσωση επιλύεται το ίδιο δύσκολα με αυτή του αρχικού συστήματος και φυσικά πάλι απαιτείται η αντιστροφή του πίνακα ΒΤΒ. 86 Το πλεονέκτημα της επαναληπτικής επίλυσης αυτού το προβλήματος, είναι το γεγονός ότι ο αντίστροφος του πίνακα ΒΤΒ μπορεί να αντικατασταθεί από ένα πίνακα P ο οποίος θα δρα με τον ακόλουθο τρόπο: x n+1 = x n + PB T (y − Bx n ) (1.143) Ο πίνακας P καλείται τελεστής διαμόρφωσης συνθηκών (preconditioning factor). Αν αντικατασταθεί ο πίνακας P=ΒΤΒ τότε επιλύεται η παραπάνω σχέση με ένα βήμα άλλα φυσικά αυτό προκαλεί και τα προβλήματα που αναφέρθηκαν. Πρακτικά, το πρόβλημα που εμφανίζεται στη επίλυση του προβλήματος με αυτό το τρόπο είναι ανάλογο της επίλυσης με παράγοντα απόσβεσης. Ετσι το δύσκολο κατά την επίλυση είναι η σωστή επιλογή του κατάλληλου τελεστή διαμόρφωσης συνθηκών. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί τελεστής που να είναι πολύ ανεπτυγμένος και δύσκολα προσδιοριζόμενος φυσικά, αλλά ο οποίος θα οδηγήσει στη λύση με λίγες επαναλήψεις. Αντίθετα, μπορεί να επιλεγεί ένας απλός τελεστής που θα απαιτεί πολλές επαναλήψεις για την απόκτηση της λύσης. Οι πιο γνωστοί αλγόριθμοι επαναληπτικής επίλυσης που εφαρμόζονται στη γεωφυσική είναι ο ταυτόχρονος επαναληπτικός αλγόριθμος ανακατασκευής (SIRT-Simultaneous Iterative Reconstruction Technique) (van der Sluis and van der Vorst 1987, Trampert and Leveque 1990) και η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Συζυγούς βαθμίδας (LSQR) (Paige and Saunders 1982a, 1982b, van der Sluis and van der Vorst 1987). Μια άλλη τεχνική που προσεγγίζει αυτή της μεθόδου ανάλυσης ιδιαζουσών τιμών (S.V.D) παρουσιάστηκε από τους Nolet και Snieder (1990). Το κύριο πλεονέκτημα της μεθόδου είναι ότι δεν απαιτείται η αντιστροφή πίνακα αλλά ο απλός πολλαπλασιασμός αυτών, ο οποίος φυσικά γίνεται ανά γραμμή. Στη εφαρμοσμένη γεωφυσική όπου οι περισσότεροι πίνακες προς αντιστροφή είναι αραιοί (sparse), η μέθοδος αυτή προσφέρει ταχύτητα στους υπολογισμούς αφού ενεργεί μόνο στα μη μηδενικά στοιχεία. Η εφαρμογή της μεθόδου στη σεισμική τομογραφία έγινε από τους Clayton και Comer (1983) και από τον Nolet (1985). Από τα κύρια μειονεκτήματα της μεθόδου είναι η χαμηλή ταχύτητα σύγκλισης της λύσης (VanDecar and Snieder 1994). Οι VanDecar και Snieder (1994) τροποποίησαν τη μέθοδο, αναπτύσοντας έναν νεό τελεστή ο οποίος αυξάνει κατά πολύ την ταχύτητα σύγκλισης. 1.8.14 LSQR: Επαναληπτική μέθοδος επίλυσης γραμμικών συστημάτων με τη μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων Η μέθοδος LSQR χρησιμοποιείται στην επίλυση γραμμικών συστημάτων (A.x=y) με την μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων. Ο πίνακας Α έχει m γραμμές και n στήλες, ενώ το διάνυσμα b έχει n γραμμές. Συνήθως ο αριθμός των δεδομένων (m) είναι μεγαλύτερος του αριθμού των παραμέτρων (n). Οπως αναφέρθηκε σε προηγούμενη παράγραφος, η μέθοδος LSQR είναι παρόμοια με τη μέθοδο Συζυγούς βαθμίδας (CG-Hestenes and Stiefel, 1952), έχοντας τα ίδια ποιοτικά χαρακτηριστικά. Η μόνη χρήση του πίνακα Α είναι ο υπολογισμός των γινομένων 87 Av και AΤu σε κάθε επανάληψη και για διάφορα διανύσματα u και v. Η προτεινόμενη μέθοδος είναι η καλύτερα εφαρμοζόμενη σε περιπτώσεις κατά τις οποίες ο πίνακας Α είναι μεγάλος (με πολλά στοιχεία) και αραιός, ή όταν αυτός εκφράζεται ως γινόμενο άλλων αραιών πινάκων ή και όταν έχει ιδιαίτερη δομή. Η μέθοδος LSQR είναι εκ φύσεως επαναληπτική μέθοδος. Χαρακτηρίζεται από την απαίτηση μόνο ορισμένων διανυσμάτων ως χώρους αποθήκευσης και πράξεων, ενώ θεωρητικά συγκλίνει στη λύση σε n επαναλήψεις. Η μέθοδος LSQR βασίζεται στην διαγωνιοποίηση όπως προτάθηκε από τους Golub και Kahan (1965). Υπολογίζονται μια σειρά από προσεγγιστικές λύσεις (xk) τέτοιες ώστε το μέτρο του διανύσματος της διαφοράς υπολογιζόμενοπαρατηρούμενο να μειώνεται μονοτονικά ( b − Ax k ). Αναλυτικά, η ακολουθία 2 των λύσεων είναι η ίδια με αυτή της μεθόδου Συζυγούς βαθμίδας ή άλλων γνωστών μεθόδων. Παρόλα αυτά, η μέθοδος LSQR παρουσιάζεται αριθμητικά πιο σταθερή από τις άλλες αντίστοιχες μεθόδους. Η μέθοδος παρέχει αξιόπιστα κριτήρια για τερματισμό των επαναλήψεων ενώ δίνει πληροφορίες και για την αξιοπιστία της υπολογιζομένης λύσης. Στο πίνακα (Ι) δίνονται συγκριτικά στοιχεία μεταξύ της μεθόδου Συζυγούς βαθμίδας με ελάχιστα τετράγωνα (CGLS) και της LSQR σε θέματα μνήμης και πράξεων ανά επανάληψη. ΠΙΝΑΚΑΣ Ι: Συγκριτικά στοιχεία μεθόδων επίλυσης αντιστρόφων προβλημάτων Απαίτηση μνήμης Πράξεις ανά επανάληψη 2m+2n 2m+3n CGLS, λ=0 2m+2n 2m+5n CGLS, λ≠ ≠0 M+2n 3m+5n LSQR, για κάθε λ ,όπου λ είναι ο παράγοντας απόσβεσης κατά την κανονικοποίηση του γραμμικού συστήματος. 1.8.15 Διακριτική ικανότητα και πίνακας συμμεταβλητότητας της λύσης του γραμμικού συστήματος Μελετώντας ένα απλό γραμμικό σύστημα και έχοντας ορίσει την τελική λύση αυτού, τίθεται το ερώτημα κατά πόσο οι υπολογιζόμενες παράμετροι του μοντέλου προσαρμόζουν καλά στα δεδομένα. Ετσι μπορεί να δοθεί η σχέση pre est = Gm −g obs −g obs pre obs ⇒d =G G d = GG d = Nd −g obs est = G ⋅d Gm = d ⇒ m d ( )( ) (1.144) όπου τα pre και obs είναι οι αναμενόμενες και παρατηρούμενες τιμές αντίστοιχα, ενώ G-g είναι ο γενικευμένος αντίστροφος του πίνακα G. O nxn τετραγωνικός πίνακας Ν=GG-g καλείται πίνακας διακριτικής ικανότητας των δεδομένων. Ο πίνακας αυτός περιγράφει την καλή ή όχι προσαρμογή των 88 προβλέψεων στα δεδομένα. Αν ισχύει Ν=Ι, τότε εύκολα φαίνεται ότι dpre=dobs και το λάθος πρόβλεψης είναι μηδέν. Στην αντίθετη περίπτωση όπου ο πίνακας Ν δεν ισούται με το μοναδιαίο Ι, τότε το σφάλμα πρόβλεψης είναι μη μηδενικό. Η γραμμή αυτή του πίνακα δίνει το βαθμό που μπορούν τα γειτονικά δεδομένα να προβλεφθούν. Τα διαγώνια στοιχεία του πίνακα αυτού δείχνουν το βάρος που έχει κάθε στοιχείο στη πρόβλεψη (σχ. 1.15). Σχ. 1.15 Η χαρτογράφηση των επιλεγμένων γραμμών του πίνακα διακριτικής ικανότητας των δεδομένων Ν, υποδηλώνει τη καλή ή όχι πρόβλεψη των δεδομένων. Κορυφές χωρίς εύρος υποδηλώνουν καλή διακριτική ικανότητα (Menke, 1987). Ομοίως μπορεί να υπολογιστεί και ο πίνακας διακριτικής ικανότητας των παραμέτρων του μοντέλου. Για να υπολογιστεί το παραπάνω ας θεωρήσουμε ένα σύνολο παραμέτρων του μοντέλου (mtrue) οι οποίες έιναι άγνωστες αλλά επιλύουν τη σχέση Gmtrue=dobs. Εφαρμόζοντας τις σχέσεις για τα παρατηρούμενα δεδομένα και τις υπολογιζόμενες παραμέτρους του μοντέλου προκύπτει η σχέση true obs =d G⋅m −g est true ⇒m = G G ⋅ m = −g obs est m =G ⋅d ( ) (G−g ⋅ G)mtrue = R ⋅ mtrue (1.145) Ο πίνακας R (mxm) καλείται πίνακας διακριτικής ικανότητας του μοντέλου. Στην περίπτωση όπου R=I κάθε παράμετρος του μοντέλου καθορίστηκε μοναδικά. Το διάγραμμα των γραμμών του πίνακα αυτού, μας ορίζει πόσο καλά οι παράμετροι του πραγματικού μοντέλου έχουν καθοριστεί (σχ. 1.16). 89 Σχ. 1.16 Η χαρτογράφηση των επιλεγμένων γραμμών του πίνακα διακριτικής ικανότητας των παραμέτρων του μοντέλου R, υποδηλώνει τη καλή ή όχι πρόβλεψη των παραμέτρων του μοντέλου. Κορυφές χωρίς εύρος υποδηλώνουν καλή διακριτική ικανότητα (Menke 1987). Ο έλεγχος της ποιότητας των πινάκων διακριτικής ικανότητας των δεδομένων και των παραμέτρων του μοντέλου γίνεται με τις σχέσεις 2 spread [N ] = N − I 2 2 spread [R ] = R − I 2 (1.146) όπου γίνεται ο έλεγχος κατά πόσο οι δύο πίνακες (Ν, R) απέχουν από τον μοναδιαίο. Στη περίπτωση που εξετάζουμε ένα γραμμικό αντίστροφο πρόβλημα, η διαταραχή στο μοντέλο εξαιτίας σφαλμάτων στα δεδομένα δίνεται ως T δm = A δd (1.147) Ο πίνακας συμμεταβλητότητας Cov(δm), που συνδέεται με την αβεβαιότητα στο προσδιορισμό των παραμέτρων του μοντέλου δm, δίνεται ως, T T Cov (δm ) = A Cov(d)A (1.148) Αν τα δεδομένα είναι ασυσχέτιστα, ο πίνακας Cov(d), είναι ένας διαγώνιος πίνακας 2 του οποίου τα στοιχεία είναι οι τυπικές αποκλίσεις των δεδομένων σ d . Σε αυτή τη περίπτωση, −2 T 2 T T 2 Cov (δm ) = σ d A A = σ d Vp Λ p Vp 90 (1.149) Από την παραπάνω σχέση φαίνεται καθαρά ότι η αβεβαιότητα στις υπολογιζόμενες τιμές των παραμέτρων του μοντέλου, είναι ανάλογες των αβεβαιοτήτων στα δεδομένα και αντιστρόφως ανάλογες των τετραγώνων των ιδιοτιμών. Αυτό συνεπάγεται ότι όσο ο θόρυβος αυξάνει τόσο και η αβεβαιότητα των υπολογισμών των παραμέτρων του μοντέλου αυξάνει. Ακόμα συνεπάγεται, ότι όσες παράμετροι σχετίζονται με μικρές ιδιοτιμές είναι κακώς υπολογισμένες. Τέλος, θα αναφερθούμε στο μοναδιαίο πίνακα συμμεταβλητότητας, ο οποίος χαρακτηρίζει το βαθμό με τον οποίο τα σφάλματα στα δεδομένα, μεγενθύνονται και επηρεάζουν τις παραμέτρους του μοντέλου. Αν τα δεδομένα τα θεωρήσουμε ασυσχέτιστα και όλα με την ίδια διακύμανση σ2, ο μοναδιαίος πίνακας συμμεταβλητότητας δίνεται από τη σχέση [cov u m ] = σ −2G −g [covd]G −gT = G −g G −gT (1.150) Ακόμα και αν τα δεδομένα είναι συσχετισμένα, μπορεί να οριστεί ο μοναδιαίος πίνακας συμμεταβλητότητας των δεδομένων [covud], ο οποίος σχετίζεται με τον πίνακα συμμεταβλητότητας του μοντέλου με τη σχέση [cov u m ] = G −g [cov u d]G −gT (1.151) Ο πίνακας συμμεταβλητότητας του μοντέλου μας, αποτελεί ένα ακόμα κριτήριο για την ποιότητα της λύσης. 91 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ • Archer, S. H., Sunderland, J., and Thompson, K. J., 1982, Seismic depthing using prestack travel times: Presented at Ann. Mtg. Of the EAEG. • Backus, G., 1970a, Inference from inadequate and inaccurate data: I. Proceedings of the National Academy of Sciences, 65, 1-105. • Backus, G., 1970b, Inference from inadequate and inaccurate data: II. Proceedings of the National Academy of Sciences, 65, 1-105. • Backus, G., 1970c, Inference from inadequate and inaccurate data: III. Proceedings of the National Academy of Sciences, 65, 1-105. • Backus, G., and J.F., Gilbert, 1967, Numerical applications of a formalism for geophysical inverse problems, Geophys. J.R. Astron. Soc., 13, 247-276. • Backus, G., and J.F., Gilbert, 1968, The resolving power of gross earth data, Geophys. J.R. Astron. Soc., 16, 169-205. • Berryman, J. G., 1991, Convexity properties of inverse problems with variational constraints, J. Franklin Inst. 328, 1-13. • Berryman, J. G., 1991, Nonlinear Inversion and Tomography : Borehole Seismic Tomography, Lecture Notes from MIT. • Blestein, N., 1984, Mathematical Methods for Wave Phenomena, Academic Press, New York, p. 18. • Bickel, S. H., 1990, Velocity-depth ambiguity of reflection traveltimes: Geophysics, 55, 266-276. • Bohm, G., Cavallini, F. and Vesnaver, A. 1995, Getting rid of the grid. Expanded Abstracts of the 65th SEG Meeting, 655-658. • Born, M., 1926, Quantenmechanik der Strossvorgange (Quantum mechanics of impact processes), Z. Phys. 38, 803-827. 92 • Born, M., and E. Wolf, 1980, Principles of Optics - Electromagnetic Theory of Propagation, Interference, and Diffraction of Light, Pergamon Press, Oxford, p. 453 (Born approximation); pp. xxi-xii, 112, 128-130, 719, 732, 740, 742 (Fermat’s principle); pp. 112, 724-725 (Hamilton-Jacobi theory); pp. 110, 119 (Rytov); p. xxi (Snell). • Chander, R., 1975, On tracing seismic rays with specified end points, J. Geophys., 41, 173-177. • Clayton, R. W., and R.P. Comer, 1983, A tomograpic analysis of mantle heterogeneities from body wave travel time data, EOS, Trans. Am. Geophys. Un.., 64, 776. • Constable, S., Parker, R., and Constable, C., 1987, Occam’s inversion : A practical algorithm for generating smooth models from electromagnetic sounding data. Geophysics, 52, 289-300. • Devaney, A. J., 1984, Geophysical Diffraction tomography, IEEE Trans. Geosci. Remote Sensing 22, 3-13. • Dziewonski, A. M., 1984, Mapping the lower mantle: Determination of lateral heterogeneity in P velocity up to degree and order 6, J. Geophys. Res., 89, 59295952. • Douma, H., R. Snieder, and A. Lomax, 1996, Ensemble inference in terms of Empirical Orthogonal Functions, Geophys. J. Int., 127, 363-378. • Eaton, J. P., 1969, HYPOLAYR, a computer program for determining hypocenters of local earthquakes in an Earth consisting of uniform flat layers over a half space, USGS, Poen File Report, 155pp. • Fermat, P. de, 1891, Oeuvres de Fermat, Paris, Vol. 2, p. 354. • Fiacco, A. V. and G. P. McCormick, 1990, Nonlinear Programming: Sequential Unconstrained Minimization Techniques, SIAM, Philadelphia, Chapter 6, 86-112. 93 • Fisher, R. and Lees, J. M., 1993, Shortest path ray tracing with sparse graphs, Geophysics, 58, 987-996. • Franklin, J. N., 1970. Well-posed stochastic extension of ill-posed linear problems. J. Math. Anal. Appl., 31, 682-716. • Goldstein, H., 1950, Classical Mechanics, Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, pp. 231, 312. • Golub, G. H., and Reinsch, C., 1970, Singular Value Decomposition and Least Squares Solutions : Handbook for Automatic Computation, II, Linear Algebra, eds. J. Wilkinson and C. Reinsch, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York. • Golub, H. G., and Van Loan, F. C., 1989, Matrix Computations. 2nd Edition, The John Hopkins University Press. • Golub, G.H., and Kahan, W., 1965, Calculating the singular values and pseudoinverse of a matrix, SIAM J. Numer. Anal. 2, 205-224. • Gouveia, W.P., and J.A. Scales, 1998, Bayesian seismic waveform inversion: parameter estimation and uncertainty analysis, J. Geophys. Res., 103, 27592779. • Harris, J. M., 1987, Diffraction tomography with arrays of discrete sources and receivers: IEEE Trans. Geosci. And Remote Sensing, Vol GE-25, 4, 448-455. • Hestenes, M.R., and Stiefel, E., 1952, Methods of conjugate gradients for solving linear systems. J. Res. N.B.S. 49, 409-436. • Inman, J. R., 1975, Resistivity inversion with ridge regression, Geophysics 40, 798-817. • Ivansson, S., 1986. Crosshole transmission tomography, in Seismic Tomography with Applications in Global Seismology and Exploration Geophysics, edited by G. Nolet, D. Reidel Publishing Company. 94 • Ivansson, S., 1986, Seismic borehole tomography - Theory and computational methods, Proc. IEEE 74, 328-338. • Jackson, D. D., 1972, Interpretation of inaccurate, insufficient and inconsistent data, Geophys, J. R. Astr. Soc., 28, 97-109. • Jech, J., and I. Psencik, 1989, First-order perturbation method for anisotropic media, Geophys. J. Int. 99, 369-379. • Jech, J., and I. Psencik, 1991, Kinematic inversion for qP and qS waves in inhomogeneous hexagonally symmetric structures, Geophys. J. Int., in press. • Julian, B. R., and Gubbins, D., 1977, Three dimensional seismic ray tracing, J. Geophys., 43, 95-113. • Jupp, D. L. B., and Vozoff, K., 1975, Stable iterative methods for the inversion of geophysical data, Geophysical Journal of the Royal Astronomical Society 42, 957-976.. • Kak, A. C., 1984, Image reconstruction from projections, in Digital Image Processing Techniques, M. P. Ekstrom (ed.), Academic, New York, Chapter 4, 111-170. • Karey, P., Brooks, M. Introduction to Geophysical Exploration, OxfordLondon-Boston, Blackwell Scientific Publication, 1984. • Keller, J. B., 1969, Accuracy and validity of the Born and Rytov approximations, J. Opt. Soc. Am. 59, 1003-1004. • Krikpatrick, S., C. Gelatt, and M.P. Vechlis, 1983, Optimization by simulated annealing, Science, 220, 671-680. • Ladas, K. T., and A. J. Devaney, 1991, Generalized ART algorithm for diffraction tomography, Inverse Problems 7, 109-125. • Ladas, K. T., and A. J. Devaney, 1992, Iterative methods in geophysical diffraction tomography, Inverse Problems 8, 119-132. 95 • Lanczos, C., 1960, Linear differential operators. D. Van Nostrad Company Ltd. • Lanczos, C., 1961, Linear Differential Operators, Van Nostrand, Princeton. 665-679. • Langan, R., Lerche, I., and Cutler, R., 1985. Tracing rays through heterogeneous media: an accurate and efficient procedure, Geophysics, 50, 1456-1466. • Lawson, C. L., and Hanson, R. J., 1974, Solving Least Squares Problems, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey. • Levenberg, K., 1944, A method for the solution of certain non-linear problems in least squares, Quart. Appl. Math. 2, 164-168. • Li, X., and Ulrych, T.J., 1993, Traveltime computation in discrete heterogeneous layered media, J. Seism. Explor., 2, 305-318. • Lines, L. R., 1991, Applications of tomography to borehole and reflection seismology, The Leading Edge, 10, 11, 11-17. • Lines, L. R., 1993, Ambiguity in analysis of velocity and depth: Geophysics, 58, 596-597. • Lines, L. R., and Treitel, S., 1984, Tutorial : A Review of Least Squares Inversion and its Apllication to Geophysical Problems, Geophysical prospecting 32, 159-186. • Lo, T., Inderwiesen, P. L., Howlett, D. L., Melton, D. R., Livingston, N. D., Paulsson, B. N. P., and Fairborn, J. W., 1990, McKittrick cross-well seismology project: Part II. Tomographic processing and interpretation. 60th Ann. Internat. Mtg., Soc. Expl. Geophys., Expanded Abstracts, 30-33. • Lomax, A., and R. Snieder, 1995, The contrast in upper-mantle shear-wave velocity between the East European Platform and tectonic Europe obtained with genetic algorithm inversion of Rayleigh-wave group dispersion, Geophys. J. Int., 123, 169-182. 96 • Marquardt, D. W., 1963, An algorithm for least-squares estimation of nonlinear parameters, SIAM J. Appl. Math. 11, 431-441. • Matsuoka, T., and Ezaka, T., 1992, Ray tracing using reciprocity, Geophysics, 57, 326-333. • Menke, W. (1984). Geophysical data analysis: Discrete Inverse Theory. Academic Press, New York. • Michelena, R. J., and J. M. Harris, 1991, Tomographic traveltime inversion using natural pixels, Geophysics 56, 635-644. • Morelli, A., and A. M. Dziewonski, 1985, Stability of aspherical models of the lower mantle (abstract), EOS Trans. AGU, 66, 975. • Morelli, A., and A. M. Dziewonski, 1986, 3D structure of the Earth’s core inferred from travel time residuals (abstract), EOS Trans. AGU, 67, 311. • Moser, T. J., 1989, Efficient seismic ray tracing using graph theory, Expanded Abstracts of the 59th SEG Meeting, Dallas, 1106-1108. • Moser, T. J., 1991, Shortest path calculation of seismic rays, Geophysics 56, 59-67. • Moser, T. J., Nolet, G., and Snieder. R., 1992, Ray Bending Revisited. Bull. Seism. Soc. Am. 82, 259-288. • Mosegaard, K., 1998, Resolution analysis of general inverse problems through inverse Monte Carlo sampling, Inverse Problems, 14, 405-426. • Mosegaard, K., and A. Tarantola, 1995, Monte Carlo sampling of solutions to inverse problems, J. Geophys. Res., 100, 12431-12447. • Natterer, F., H. Sielschott, and W. Derichs, 1997, Schallpyrometrie in Mathematik – Sclusseltechnologie fur die Zukunft, edited by K.H. Hoffmann, W. Jager, T. Lochmann and H. Schunk, 435-446, Springer Verlag, Berlin. 97 • Newton, R. G., 1966, Scattering Theory of Waves and Particles, McGraw-Hill, New York, pp. 233-246. • Nolet, G., 1985, Solving or resolving inadequate and noisy tomographic systems, J. Comp. Phys., 61, 463-482. • Nolet, G., 1990, Partitioned waveform inversion and two-dimensional structure under the network of Autonomously Recording Seismographs, J. Geophys. Re., 95, 8499-8512. • Nolet, G, and R. Snieder, 1990, Solving large linear inverse problems by projection, Geophys. J. Int., 103, 565-568. • Παπαζάχος Κ. Βασίλειος, 1986. Εισαγωγή στην Εφαρμοσμένη Γεωφυσική. Εκδόσεις ΖΗΤΗ, 1986. • Παπαζάχος Β. Κωνσταντίνος, 1994, Συμβολή στη μελέτη της δομής του φλοιού και του πάνω μανδύα στην Νοτιοανατολική Ευρώπη με αντιστροφή σεισμικών και βαρυτικών δεδομένων. Διδακτορική Διατριβή, Παν/μιο Θεσ/νίκης 1994. • Pereyra, V., Lee, W. H. K., and Keller, H. B., 1980, Solving two point seismic ray tracing problem in a heterogeneous medium, Part I: A general adaptive finite difference method, Bull. Seism. Soc. Am., 70, 79-99. • Paige, C. C., and Saunders, M. A., 1982a, LSQR: An algorithm for space linear equations and sparse least squares, ACM Trans. Math. Softw., 8, 43-71. • Paige, C. C., and Saunders, M. A., 1982b, LSQR: Sparse linear equations and least-squares problems, ACM Trans. Math. Software, 8, 195-209. • Parker, R.L., 1994, Geophysical Inverse Theory, Princeton University Press, Princeton, New Jersey. • Passier, T.M., R.D. van der Hilst, and R.K. Snieder, 1997, Surface wave waveform inversion for local shear-wave velocities under eastern Australia, Geophys. Res. Lett, 24, 1291-1294. 98 • Passier, T.M., and R.K. Snieder, 1995, Using differential waveform data to retrieve local S-velocity structure or path-averaged S-velocity gradients, J. Geophys. Res., 100, 24061-24078. • Podvin, P. and Lecomte, I., 1991, Finite difference computation of traveltimes in very contrasted velocity models: a massively parallel approach and its associated tools, Geophys. J. Int., 105, 271-284. • Phillips, W. S., and Fehler, M. C., 1991, Traveltime tomography : A comparison of popular methods, Geophysics, 56, 1639-1649. • Pratt, R. G., and Goulty, N. R., 1991, Combining wave-equation imaging with traveltime tomography to form high resolution images from crosshole data: Geophysics, 56, 208-225. • Prothero, W. A., W. J. Taylor, and J. A. Eickemeyer, 1988, A fast, two-point, three-dimensional ray tracing algorithm using a simple step search method, Bull. Seism. Soc. Am. 78, 1190-1198. • Ross, W. S., 1994, The velocity-depth ambiguity in seismic traveltime data, Geophysics, 59, 830-843. • Rothman, D.H., 1985, Nonlinear inversion, statistical mechanics and residual statics estimation, Geophysics, 50, 2784-2796. • Rytov, S. M., 1937, Izv. Akad. Nauk SSSR 2, 223. • Rytov, S. M., 1938, Compt. Rend. (Doklady) Acad. Sci., URSS 18, 263. • Saito, H., 1989, Traveltimes and ray paths of first arrival seismic waves, Expanded Abstracts of the 59th SEG Meeting, Dallas, 244-247. • Sambridge, M., 1990, Non-linear arrival time inversion: constraining velocity anomalies by seeking smooth models in 3-D, Geophys. J.R. Astron. Soc., 102, 653-677. • Sambridge, M., and G. Drijkoningen, 1992, Genetic algorithms in seismic waveform inversion, Geophys. J. Int., 109, 323-342. 99 • Sasaki, Y., 1992, Resolution of resistivity tomography inferred from numerical simulation. Geophysical prospecting, 40, 453-464. • Scales, J. A., 1987, Tomographic Inversion via Conjugate Gradient method, Geophysics, 52, 179-185. • Scales, J., and R. Snieder, 1997, To Bayes or not to Bayes?, Geophysics, 62, 1045-1046. • Sen, M.K., and P.L. Stoffa, 1992, Rapid sampling of model space using genetic algorithms: examples of seismic wave from inversion, Geophys. J. Int., 198, 281-292. • Sheriff, R. E., and Geldart, L. P., 1995. Exploration Seismology. Cambridge University Press. • Smith, N., and Vozoff, K., 1984, Two dimensional DC resistivity inversion for dipole-dipole data. IEEE Trans. Geosc., 22, (1), 21-28. • Smith, R. A., 1961. Some theorems concerning local magnetic anomalies. Geophys. Prosp., 9, 3-25. • Smith, F. B., and Shanno, D. F., 1971, An improved Marquardt procedure for nonlinear regressions, Technometrics 13, 63-75. • Snieder, R., 1991, An extension of Backus-Gilbert theory to nonlinear inverse problems, Inverse Problems, 7, 409-433. • Snieder, R., and D.F., Aldridge, 1995, Perturbation theory for travel times, J. Acoust. Soc. Am., 98, 1565-1569. • Snieder, R., and M. Sambridge, 1993, The ambiguity in ray perturbation theory, J. Geophys. Res., 98, 22021-22034. • Snieder, R., and Trampert, J., 2000, Inverse Problems in Geophysics, Samizdat Press. 100 • Strang, G., 1988, Linear algebra and its applications, Harcourt Brace Jovanovich Publishers, Fort Worth. • Stork, C., 1987, Ray trace tomographic velocity analysis of surface seismic reflection data, PhD thesis, California Institute of Technology. • Tabbara, W., B. Duchene, Ch. Pichot, D. Lesselier, L. Chommeloux, and N. Joachimowicz, 1988, Diffraction tomography: Contribution to the analysis of some applications in microwaves and ultrasonics, Inverse Problems 4, 305-331. • Tarantola, A., 1987, Inverse Problem Theory, Elsevier, Amsterdam. • Tarantola, A., 1984, Inversion of seismic reflection data in the acoustic approximation, Geophysics 49, 1259-1266. • Tarantola, A., and B. Valette, 1982a, Inverse problems = quest for information, J. Geophys., 50, 159-170. • Tarantola, A., and B. Valette, 1982b, Generalized nonlinear inverse problems solved using the least squares criterion, Rev. Geophys. Space Phys. 20, 219-232. • Thurber, C. H., and Ellsworth, W. L., 1980, Rapid solution of ray tracing problems in heterogeneous media. Bull. Seism. Soc. Am., 70, 1137-1148. • Tikhonov, A. N., 1963, Solution of incorrectly formulated problems and the regularization method. Soviet Mathematics, 4, 1035-1038. • Trampert, J., and J.J. Leveque, 1990, Simultaneous Iterative Reconstruction Technique: Physical interpretation based on the generalized least squares solution, J. Geophys. Res., 95, 12553-12559. • Uhm, J., and Thurber, C. H., 1987, A fast algorithm for two points seismic ray tracing. Bull. Seism. Soc. Am., 77, 972-986. • VanDecar, J.C., and R. Snieder, 1994, Obtaining smooth solutions to large linear inverse problems, Geophysics, 59, 818-829. 101 • Van der Hilst, R.D., and B.L.N. Kennett, 1998, Upper mantle structure beneath Australia from portable array deployments, American Geophysical Union ‘Geodynamics Series’, 38, 39-57. • Vesnaver, A. 1994, Towards the uniqueness of tomographic inversion solutions, Journal of Seismic Exploration 3, 323-334. • Vesnaver, A. L., 1996, The contribution of reflected, refracted and transmitted waves to seismic tomography : A tutorial, First Break, 14, 159-168. • Vidale, J. E., 1988, Finite-difference calculation of travel time, Bull. Seismol. Soc. Am. 78, 2062-2076. • Vidale, J. E., 1990, Finite-difference calculation of travel time in 3-D, Geophysics 55, 521-526. • Wesson, R., 1971, Travel time inversion for laterally inhomogeneous crustal velocity models. Bull. Seism. Soc. Am., 61, 729-746. • Williamson, P. R., 1991, A guide to the limits of resolution imposed by scattering in ray tomography: Geophysics, 56, 202-207. • Wu, R., and Toksoz, M. N., 1987, Diffraction tomography and multisource holography applied to seismic imaging: Geophysics, 52, 11-25. • Zhou, C., Wenying Cai, Yi Luo, G. T. Schuster, and S. Hassanzadeh, 1995. Acoustic wave-equation traveltime and waveform inversion of crosshole seismic data. Geophysics, 60, p. 765-773. 102 2. Τομογραφία Διάθλασης Στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφεί η εφαρμογή της τομογραφίας με τη χρήση πρώτων αφίξεων. Αρχικά θα περιγραφεί ο αλγόριθμος επίλυσης του ευθέως προβλήματος υπολογίζοντας τις φυσικές ακτίνες (όγκοι Fresnel) αντί των μαθηματικών που χρησιμοποιούνται συνήθως, με σκοπό τη βελτίωση των υπολογιζόμενων παραμέτρων του μοντέλου περιλαμβάνοντας επιπλέον πληροφορίες για το χώρο μελέτης. Κατόπιν θα γίνει αναφορά της μεθόδου αντιστροφής που εφαρμόστηκε και τεχνικών που χρησιμοποιήθηκαν με σκοπό τη κανονικοποίηση της λύσης (απόσβεση, εξομάλυνση). Επίσης, θα γίνει αναφορά στη κατάλληλη επιλογή των παραγόντων κανονικοποίησης αυτών (L-curve, Picard condition) και τον έλεγχο της αξιοπιστίας της λύσης, υπολογίζοντας τον πίνακα διακριτικής ικανότητας (resolution matrix), τον πίνακα συμμεταβλητότητας (covariance matrix), τη συνάρτηση επέκτασης (spread function) και εκτελώντας ελέγχους τύπου «σκακιέρας» (checkerboard check). Τέλος, εφαρμόστηκε μέθοδος βελτίωσης της λύσης μετά το τέλος της διαδικασίας της αντιστροφής χωρίς όμως να επηρεάζεται η ποιότητα και αξιοπιστία της λύσης. 2.1 Αναθεωρημένη μέθοδος κάμψης Στη παράγραφο αυτή παρουσιάζεται η βελτιωμένη έκδοση της μεθόδου που παρουσιάστηκε στη παράγραφο (1.7.4), η οποία και χρησιμοποιήθηκε για την παραγωγή του αλγόριθμου του προσεγγιστικού καθορισμού της σεισμικής ακτίνας στη παρούσα εργασία. Πρόκειται για έρευνα των Moser, Nolet και Snieder (1992) στην οποία παρουσιάστηκαν βελτιώσεις στο συμβατικό αλγόριθμο των Um και Thurber (1987) σε δύο κύρια σημεία. Πρώτον, έγινε παραμετροποίηση με χρήση των συναρτήσεων Beta-Splines αντί των πολυγωνικών προσεγγίσεων των ακτίνων. Δεύτερον, εφαρμόστηκε ολική διαταραχή στην σεισμική ακτίνα και όχι τριών σημείων, προκειμένου να επιτευχθεί ελαχιστοποίηση του χρόνου διαδρομής Τ. Σε αντίθεση με τους Prothero et al. (1988), οι οποίοι χρησιμοποίησαν την μέθοδο εύρεσης του ελαχίστου μιας συνάρτησης με τη χρήση τριγώνων ή τετραέδρων (simplex method) (Nelder και Mead 1965), οι Moser et al. (1992) παρατήρησαν ότι λόγω της εξομάλυνσης των χρόνων διαδρομής, ήταν δυνατή η ελαχιστοποίηση με χρήση μεθόδων παραγώγων όπως η μέθοδος συζυγούς βαθμίδας (Fletcher and Reeves 1964). Για υπολογιστικούς σκοπούς, η σεισμική ακτίνα χωρίζεται σε πολυγωνικά τμήματα τα οποία αποτελούνται από k+1 σημεία, αριθμημένα από 0 έως k και ενωμένα με ευθείες γραμμές. Ο αριθμός των τμημάτων (k) στα οποία χωρίζεται η σεισμική ακτίνα δεν πρέπει να είναι μικρός, διότι σε αυτή τη περίπτωση ο υπολογισμός του χρόνου διαδρομής με το κανόνα του τραπεζοειδούς θα οδηγήσει σε τελείως λανθασμένους χρόνους, μια και προσεγγίζουμε μια συνεχή καμπύλη με διακριτά ευθύγραμμα τμήματα. Επομένως είναι πολύ πιθανή η μη αναγνώριση γρήγορων χωρικών μεταβολών στο πεδίο ταχύτητας. Οι συντεταγμένες x, z ή οι x, y, z των σημείων, ορίζουν ένα διάνυσμα γ με διάσταση n (n=2(k+1) ή n=3(k+1)). γ = (x0 , z0 , x1 , z1 ,..., xk , zk ) 103 (2.1) Ο χρόνος διαδρομής κατά μήκος της σεισμικής ακτίνας υπολογίζεται με τον κανόνα του τραπεζοειδούς 1 1 1 T(γ ) = ∑ + ci−1 i =1 2 ci k (xi − xi−1 )2 + (zi − zi−1 )2 (2.2) όπου ci είναι η σεισμική ταχύτητα στο (xi,zi) σημείο. Η βαθμίδα του χρόνου διαδρομής Τ, ως προς το σημείο γ που είναι n διαστάσεων δίνεται από το διάνυσμα ∂ T ∂T ∂ T ∂T ∂T ∂T ∇T(γ ) = , , , ,..., , ∂ xk ∂ z k ∂x0 ∂z0 ∂x1 ∂z1 (2.3) Για τους σκοπούς της μεθόδου θεωρούμε το αρχικό και τελικό σημείο της ακτίνας σταθερά, δηλαδή δx0 = δz0 = δxk = δzk = 0. (2.4) Ο ευκολότερος τρόπος υπολογισμού των άλλων σημείων είναι η αριθμητική διαφοροποίηση της σχέσης (2.2). Ο τύπος που εφαρμόζεται για την αριθμητική διαφοροποίηση με κεντρικές διαφορές, είναι ( ), T(γ + δγ ) − T(γ − δγ ) = 2(∇T(γ ), δγ ) + O δγ 3 ( δγ → 0) (2.5) Γενικά προτιμάται η χρήση τεχνικών ελαχιστοποίησης για την συνάρτηση του χρόνου διαδρομής με παραγώγους, και συγκεκριμένα η μέθοδος της συζυγούς βαθμίδας. Ο κύριος λόγος για αυτή την επιλογή είναι ότι η μέθοδος αυτή έχει τις μικρότερες απαιτήσεις χώρου μνήμης και εξαιρετικές ιδιότητες σύγκλισης. Αλλες μέθοδοι ελαχιστοποίησης όπως η Newton (Stoer and Bulirsch 1980) απαιτεί n2 θέσεις μνήμης, ενώ η μέθοδος μεγίστης κλίσης παρουσιάζει προβλήματα σύγκλισης στην παρουσία επιμηκυσμένης στενής ζώνης στη συνάρτηση χρόνου διαδρομής (Conte and de Boor 1980). Η επαναληπτική διαδικασία της ελαχιστοποίησης παίρνει τέλος όταν η λύση προσεγγίσει μια τιμή ανοχής που ο προγραμματιστής έχει εκ των προτέρων καθορίσει. Ενα κριτήριο διακοπής μπορεί να αποτελέσει ο ρυθμός μειώσης του χρόνου διαδρομής μετά κάθε επανάληψη. Αυτή η ανοχή μπορεί να είναι π.χ της τάξης της υπολογιστικής ακρίβειας του υπολογιστή επεξεργασίας. Αλλο κριτήριο διακοπής είναι μεταβολή της θέσης του ελάχιστου σημείου μετά κάθε επανάληψη. Η ανοχή δεν πρέπει να είναι μικρότερη της τετραγωνικής ρίζας της υπολογιστικής ακρίβειας του χρόνου διαδρομής Τ (Press et al. 1988). Αντί της μεθόδου συζυγούς βαθμίδας για την ελαχιστοποίηση του χρόνου 104 διαδρομής, μπορούν να εφαρμοστούν μέθοδοι ελαχιστοποίησης δευτέρου βαθμού με δεδομένα από τον πίνακα δευτέρων παραγώγων (Hessian matrix). Σημαντική βελτίωση της λύσης επιτυγχάνεται με τη γραμμική παρεμβολή με τη χρήση συναρτήσεων Beta-Splines. Υπάρχουν δύο σημαντικοί λόγοι που επιβάλουν την παρεμβολή σημείων μεταξύ των k+1 σημείων της σεισμικής ακτίνας. Το πρώτο πρόβλημα οφείλεται στο μοντέλο ταχυτήτων και κυρίως στις περιοχές χαμηλών ταχυτήτων. Από τους Pereyra et al. (1980), προτάθηκε παρεμβολή σημείων με διάστημα μεταξύ τους, ανάλογο των μεταβολών του πεδίου ταχύτητας. Το δεύτερο πρόβλημα οφείλεται στην προσέγγιση μιας συνεχούς καμπύλης όπως η σεισμική ακτίνα, από συνεχή ευθύγραμμα τμήματα. Το πρόβλημα αυτό αναφέρθηκε και παραπάνω στο σημείο όπου χωρίζεται η σεισμική ακτίνα σε τμήματα. Μια λύση είναι αρχικά η επιλογή λιγότερων k+1 σημείων και κατόπιν η παρεμβολή άλλων μεταξύ τους. Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός των σημείων που θα διαταραχθούν, θα είναι μικρότερος των σημείων που θα χρησιμοποιηθούν για τον υπολογισμό του χρόνου διαδρομής μέσω ολοκλήρωσης (κανόνας τραπεζοειδούς). Προτιμήθηκε η χρήση των συναρτήσεων Beta-Splines (Barsky 1988) αντί των τριγωνομετρικών συναρτήσεων λόγω της μεγαλύτερης προσαρμοστικότητας που έχουν αυτές. Η καμπύλη Beta-Spline είναι μια τροποποιημένη μορφή (επέκταση) της καμπύλης cubic Β-spline (Newman και Sproull 1981). Η καμπύλη Beta-Spline έχει τις παρακάτω ιδιότητες : α) Δεν υπάρχει κάποιος κύριος περιορισμός στον τρόπο καμπυλοποίησης των σεισμικών ακτίνων. β) Η καμπύλη δεν είναι απαραίτητο να περνάει από τα k+1 σημεία της αρχικής σεισμικής ακτίνας. γ) Είναι δυνατός ο επαναϋπολογισμός ενός τμήματος της σεισμικής ακτίνας χωρίς να γίνεται αναθεώρηση των ήδη υπολογισμένων τμημάτων αυτής. δ) Η συμπεριφορά της καμπύλης ελέγχεται από δύο παραμέτρους β1 και β2, οι οποίες περιγράφουν την συνέχεια της πρώτης και δεύτερης παραγώγου στα σημεία επαφής των ευθύγραμμων τμημάτων. Στην περίπτωση όπου και οι δύο παράγωγοι είναι συνεχής (β1=1 και β2=0), τότε η καμπύλη προσεγγίζεται από την κλασική cubic Β-spline. Στην περίπτωση όπου β1=β2=0, η Beta-Spline καμπύλη αποτελείται από ευθύγραμμα τμήματα μεταξύ των k+1 σημείων (polygonal path). Ο χρόνος διαδρομής κατά μήκος της καμπύλης beta-spline υπολογίζεται μέσω του κανόνα του τραπεζοειδούς από τον τύπο k T(γ ) = ∑ i =1 & 1 1 1 & ( ) + − Q u Q ∑ i j i (u j−1 ) ci , j −1 j =1 2 c ij m (2.6) & όπου Q i (u ) με (i=1,…,k και 0≤u≤1) είναι σημείο του ith τμήματος της καμπύλης, m είναι ο αριθμός των σημείων που θα χρησιμοποιηθούν για να γίνει η ολοκλήρωση κατά μήκος των επιμέρους τμημάτων, .. είναι η Ευκλείδια & ( ) απόσταση και cij είναι η σεισμική ταχύτητα στο σημείο Qi u j . Συνήθως uj=j/m. 105 Μια σύγκριση των μεθόδων ως προς την αποτελεσματικότητά τους είναι μόνο μερικώς δυνατή, λόγω της διαφορετικής συμπεριφοράς των μεθόδων στην σύγκλιση, σε περιπτώσεις όπου τα μοντέλα έχουν ισχυρή ανομοιογένεια και ασυνέχεια. Η παρούσα μέθοδος δεν παρουσιάζει προβλήματα σε περιπτώσεις όπως αυτές που αναφέρθηκαν παραπάνω, όπως άλλες μέθοδοι (Julian και Gubbins, 1977) σε πολύπλοκα μοντέλα ταχυτήτων, ή στη περίπτωση των κακώς ορισμένων γραμμικών συστημάτων (Um and Thurber, 1987). Πειραματική εφαρμογή της παραπάνω μεθόδου απέδειξε ότι, οι συναρτήσεις Beta-Splines είναι ακριβέστερες και πιο αποτελεσματικές από ότι οι πολυγωνικές ακτίνες. Επίσης δεν υπάρχουν περιορισμοί ως προς την επιλογή της αρχικής ακτίνας διότι είναι απίθανη η απόκλιση της λύσης. Παρ’ όλα αυτά δεν είναι ξεκάθαρο το κατά πόσο η τελική σεισμική ακτίνα ελάχιστου χρόνου διαδρομής, είναι μια ακτίνα ολικού ή τοπικού ελαχίστου. 2.2 Προσεγγιστικός καθορισμός της σεισμικής ακτίνας με χρήση της ζώνης Fresnel (Fresnel volume ray tracing). Η σεισμική ακτίνα μπορεί να παρουσιαστεί με διάφορους τρόπους. Η έως τώρα προσπάθεια καθορισμού της σεισμικής ακτίνας οδηγούσε μόνο σε μαθηματικές προσεγγίσεις. Για πεπερασμένο πλήθος συχνοτήτων, οι ιδιότητες του σεισμικού κύματος που διαδίδεται διαμέσου της γης από την πηγή στο γεώφωνο, δεν εξαρτώνται μόνο από τα χαρακτηριστικά των δομών κατά μήκος της ακτίνας, αλλά και από τις ιδιότητες του χώρου εγγύς της ακτίνας. Η επίδραση που έχει ο εγγύς χώρος της σεισμικής ακτίνας στις ιδιότητες αυτής, αποτέλεσε αντικείμενο μελετών για πολλά χρόνια. Τέλος, κατέληξαν στη γνωστή θεωρία των πρώτων ζωνών Fresnel και των όγκων Fresnel. Ο όγκος Fresnel εξαρτάται από τη θέση της πηγής και του γεωφώνου καθώς και από τη συχνότητα του σήματος. Ετσι στις περιπτώσεις υψηλών συχνοτήτων παρατηρούνται στενοί και επιμήκης όγκοι Fresnel. Οπως θα φανεί αργότερα, το πλάτος του όγκου Fresnel είναι αντιστρόφως ανάλογο της τετραγωνικής ρίζας της συχνότητας. Ο όρος ‘όγκοι Fresnel’ πρωτοχρησιμοποιήθηκε από τους Kravtsov και Orlov (1979, 1980). Οι όγκοι Fresnel είναι γνωστοί και ως ζώνες Fresnel τριών διαστάσεων (Bertoni et al. 1971), ή ως περιοχές υπεύθυνες για τη παρουσία περιθλάσεων. Τέλος, ονομάζονται και φυσικές ακτίνες (με πεπερασμένο πλάτος) για να τονισθεί η διαφορά τους από τις μαθηματικές ακτίνες (μηδενικό πλάτος). Αποδείχθηκε ότι στη περίπτωση ομογενούς μέσου η σεισμική ακτίνα που συνδέει πηγή με γεώφωνο είναι ευθεία γραμμή, ενώ ο όγκος Fresnel μπορεί να υπολογιστεί αναλυτικά. Από τους υπολογισμούς προκύπτει ότι ο όγκος Fresnel περιγράφεται από ένα ελλειψοειδές, όπου στις εστίες αυτού βρίσκονται η πηγή και το γεώφωνο (σχήμα 2.1). 106 Óf F Of Ù Â A Σχ. 2.1 Σχηματική παρουσίαση ενός όγκου Fresnel για σημειακή πηγή στο Α και γεώφωνο στο Β. Το σημείο F ανήκει στον όγκο Fresnel αν και μόνο αν ικανοποιείται ησχέση (2.7). Η τομή του όγκου Fresnel με το επίπεδο Σf το οποίο είναι κάθετο στην ακτίνα στο σημείο ΟF, αναπαριστά την πρώτη ζώνη Fresnel στο σημείο ΟF (Cerveny and Soares, 1992). Ετσι ο ορισμός του όγκου Fresnel για σημειακή πηγή Α και γεώφωνο Β (σχήμα 2.1) δίνεται από την ακόλουθη σχέση (Kratsov and Orlov 1980) 1 τ (F , A) + τ (F , B ) − τ (B, A) = T , 2 (2.7) όπου τ(F,A), τ(F,B) και τ(B,A) είναι αντίστοιχα ο χρόνος διαδρομής από το σημείο F της σεισμικής ακτίνας μέχρι τη πηγή Α, ο χρόνος διαδρομής από το σημείο F της σεισμικής ακτίνας μέχρι το γεώφωνο Β και ο χρόνος διαδρομής από το γεώφωνο Β μέχρι τη πηγή Α. Τ είναι η περίοδος του σήματος (σχήμα 2.1). Στη περίπτωση όπου η ταχύτητα είναι σταθερή, η σχέση (2.7) μπορεί να ξαναγραφεί υπό τη μορφή μηκών ως l ( F , A) + l ( F , B ) − l ( B, A) = λ , 2 (2.8) όπου, l(..,..) είναι το μήκος της ακτίνας από τα σημεία που ορίζονται σε κάθε παρένθεση, ενώ λ είναι το μήκος κύματος (λ=v.T). Στη περίπτωση κατά την οποία, οι υπολογισμοί γίνονται χρησιμοποιώντας καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων και τα σημεία Α,Β και F ισχύει Α=(xa,0,0), B=(xb,0,0), F=(xf,yf,zf) (2.9) όπου xb>xa. Η σχέση (2.8) μπορεί να παρουσιαστεί με την μορφή: [(xf − xa ) 2 + yf 2 + zf ] + [(xf − xb ) 2 12 2 107 + yf 2 + zf ] 2 12 = λ + ( xb − xa ) (2.10) 2 Η παραπάνω σχέση περιγράφει τον ακριβή υπολογισμό του όγκου Fresnel. Στη παρούσα διατριβή, πρώτα υπολογίστηκε η σεισμική ακτίνα εφαρμόζοντας τη μέθοδο που περιγράφηκε στη προηγούμενη παράγραφο και κατόπιν για κάθε σημείο της σεισμικής ακτίνας υπολογίστηκε η αντίστοιχη ακτίνα της ζώνης Fresnel. Με βάση τα παραπάνω, και εφόσον ο υπολογισμός της ακτίνας Fresnel γινόταν κινούμενοι πάνω στη σεισμική ακτίνα (paraxial Fresnel volume), το άθροισμα yf2+zf2 είναι ίσο με την ακτίνα r (r= yf2+zf2). Η σχέση (2.10) μετασχηματίζεται ως [(xf − xa ) 2 + r2 ] + [(xf − xb ) 12 2 + r2 ] 12 = λ + ( xb − xa ) . 2 (2.11) Τελικά, προκύπτει η παρακάτω σχέση υπολογισμού της ακτίνας Fresnel (r), 4 r= 2 λ λ 2 2 2 2 2 + l ab + l xa − l xb − 2 + l ab l xa + l xb 2 2 , 2 λ 4 + l ab 2 ( ) ( ) (2.12) όπου, λ είναι το μήκος κύματος της κυματομορφής, lxa, lxb και lab αντίστοιχα είναι το μήκος της ακτίνας από το σημείο για το οποίο υπολογίζεται η ακτίνα Fresnel μέχρι το σημείο Α, το μήκος της ακτίνας από το σημείο για το οποίο υπολογίζεται η ακτίνα Fresnel μέχρι το σημείο Β και τέλος το μήκος της ακτίνας που ενώνει το πηγή (Α) με το γεώφωνο (Β). Μετά την εύρεση της ακτίνας της ζώνης Fresnel για κάθε σημείο της σεισμικής ακτίνας, εφαρμόστηκε παρεμβολή μεταξύ των δύο ακραίων τιμών της ζώνης ανά σημείο σεισμικής ακτίνας. Σαν απόσταση παρεμβολής χρησιμοποιήθηκε η μέση απόσταση του καννάβου διακριτοποίησης (h=(dx2+dy2+dz2)1/2). Η συνάρτηση που περιγράφει τη μεταβολή του πλάτους της ακτινοβολίας στο κοντινό πεδίο (γνωστή ως περίθλαση Fresnel) περιγράφεται από μια συνάρτηση Bessel μηδενικού βαθμού, Jo(x), που τελικά προσεγγίζεται από συνημίτονο της μορφής (συν(π/2)). Η συνάρτηση αυτή χρησιμοποιήθηκε ως συνάρτηση βάρους για τα επιπλέον σημεία παρεμβολής, δίνοντάς τους ενέργεια αντιστρόφως ανάλογη της απόστασης αυτών από την μαθηματική σεισμική ακτίνα. Σκοπός της εφαρμογής της μεθόδου προσδιορισμού της φυσικής σεισμικής ακτίνας, ήταν η πληρέστερη γνώση του χώρου μελέτης δημιουργώντας ένα πίνακα παραγώγων που θα περιέχει πληροφορίες από τη γενικότερη περιοχή που κάθε φορά η σεισμική ακτίνα δειγματοληπτεί. Ουσιαστικά, με την εφαρμογή της μεθόδου αυξάνονται οι πληροφορίες που μπορεί η μέθοδος να ανακατασκευάσει για το υπό μελέτη μοντέλο. Η αποτελεσματικότητα της προσέγγισης που έγινε στο πλαίσιο της παρούσας εργασίας, φαίνεται στο σχήμα (2.2). Στο σχήμα αυτό δίνεται η σύγκριση που επιχειρήθηκε μεταξύ ενός παραδείγματος από την εργασία των 108 Cerveny και Soares (1992) με τη σχέση (2.12) διατηρώντας τόσο τη διάταξη πηγών-γεωφώνων, όσο και το μοντέλο ταχύτητας. Στο σημείο αυτό πρέπει να σημειωθεί ότι η εργασία των Cerveny και Soares (1992), εισήγαγε τον υπολογισμό των όγκων Fresnel στη σεισμολογία. Το αποτέλεσμα της σύγκρισης είναι πολύ ενθαρυντικό δεδομένου ότι οι δύο εικόνες είναι σχεδόν ταυτόσημες. A 0 Depth (Km) 1 2 3 B 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Distance (Km) Σχ. 2.2 Σύγκριση μεταξύ της προσεγγιστικής σχέσης που υπολογίστηκε και της σχέσης που προτάθηκε από τους Cerveny και Soares (1992) για τον υπολογισμό των όγκων Fresnel. Γενικότερα, η χρήση των ζωνών Fresnel και των όγκων Fresnel βοήθησε στην επίλυση πολλών προβλημάτων που αφορούσαν τη διάδοση των κυμάτων. Αρχικά η μέθοδος εφαρμόστηκε στο προσδιορισμό της οριζόντιας διακριτικής ικανότητας σε μελέτες σεισμικής ανάκλασης (Hagedoorn 1959, Hilterman 1970, Sheriff 1977, 1980, 1985, 1989, Sheriff and Geldart 1982, Kleyn 1983, Lindsey 1989, Eaton et al. 1991, Pant and Greenhalgh 1989). Κατόπιν εφαρμόστηκε για την ταξινόμηση των προβλημάτων διασποράς (scattering problems) (Flatte et al. 1979, Aki and Richards 1980, Wu and Aki 1988), ενώ σημαντική ήταν η προσφορά της μεθόδου στη διατύπωση των συνθηκών εγκυρότητας εφαρμογής της μεθόδου του προσεγγιστικού προσδιορισμού της σεισμικής ακτίνας (ray method) (Kravtsov and Orlov 1979, 1980, Klem-Musatov 1980). Επίσης σε περιπτώσεις όπου άλλες μέθοδοι υπολογισμού του πεδίου αποτυγχάνουν, η μέθοδος του προσεγγιστικού καθορισμού της σεισμικής ακτίνας με τη χρήση των ζωνών Fresnel παρέχει μια εύρωστη λύση (Kravtsov and Orlov 1980). 109 2.3 Εφαρμοζόμενη μέθοδος αντιστροφής Για την αντιστροφή των χρόνων άφιξης εφαρμόστηκε η μέθοδος της ανάλυσης ιδιαζουσών τιμών με χρήση παράγοντα απόσβεσης και εξομάλυνσης όπως περιγράφεται στη παράγραφο (1.8.12). Στη περίπτωση αυτή η λύση του γραμμικού συστήματος δίνεται από την σχέση δ = v1 λn λ1 λ2 T T + + + u g v u g v u nT g ... n 2 1 2 2 2 2 T T T λ1 + βC C λ 2 + βC C λ n + βC C (2.13) όπου, β είναι ο παράγοντας απόσβεσης, CTC είναι ο πίνακας εξομάλυνσης, το διάνυσμα v είναι ο πίνακας των ιδιοδιανυσμάτων που καλύπτει το χώρο των παραμέτρων του μοντέλου και το διάνυσμα u είναι ο πίνακας των ιδιοδιανυσμάτων που καλύπτει το χώρο των δεδομένων. Η συγκεκριμένη μέθοδος επιλέχθηκε για την αντιστροφή των δεδομένων διότι συνδυάζει ευρωστία στη λύση, επειδή περιλαμβάνει τις καλύτερες μεθόδους κανονικοποίησης, και επίσης παρέχει το διάνυσμα V των παραμέτρων του μοντέλου, μέσω του οποίου υπολογίζεται η διακριτική ικανότητα του μοντέλου και ο πίνακας συμμεταβλητότητας. Οπως είναι γνωστό, όταν το β παίρνει μεγάλες τιμές, τότε βελτιώνεται η ευστάθεια της λύσης, αλλά χειροτερεύει η διακριτική ικανότητα της μεθόδου. Αρα είναι επιθυμητό το β να επιλεγεί έτσι ώστε να υπάρχει ευσταθής λύση και καλή διακριτική ικανότητα. Αντίστοιχη είναι και η συμπεριφορά του παράγοντα εξομάλυνσης. Επίσης, στο προηγούμενο κεφάλαιο τονίστηκε ότι πιο δύσκολο είναι το πρόβλημα επιλογής των κατάλληλων παραγόντων κανονικοποίησης παρά η αυτή καθ’ αυτή επίλυση του γραμμικού προβλήματος. Επομένως, εφαρμόστηκαν δύο τεχνικές που ως σκοπό είχαν τον προσδιορισμό της βέλτιστης τιμής για τους παράγοντες κανονικοποίησης. Οι δύο αυτές τεχνικές είναι η κατασκευή της καμπύλης L (L-curve test) και η συνθήκη Picard. 2.3.1 Καμπύλη L και συνθήκη Picard Το πιο γνωστό εφαρμοζόμενο γραφικό εργαλείο για την ανάλυση διακριτών, κακώς ορισμένων προβλημάτων, είναι η γνωστή καμπύλη L (L-curve) (Hansen 1994). H L-curve χαρτογραφεί το μέτρο της κανονικοποιημένης λύσης σε συνάρτηση με το μέτρο της διαφοράς μεταξύ υπολογιζομένων και παρατηρούμενων δεδομένων, δηλαδή log Lx reg 2 ( = ! log Axreg − b 2 ) (2.14). Με αυτό το τρόπο η καμπύλη L δείχνει τον ανταγωνισμό που υπάρχει μεταξύ της ελαχιστοποίησης των δύο παραπάνω ποσοτήτων και το οποίο είναι και η «καρδιά» κάθε κανονικοποίησης. Η χρήση τέτοιων μεθόδων απεικόνισης του προβλήματος εφαρμόστηκαν για πρώτη φορά από τους Miller (1970) και Lawson και Hanson (1974). 110 Για διακριτά κακώς ορισμένα προβλήματα, όταν οι παραπάνω ποσότητες χαρτογραφούνται σε λογαριθμικούς άξονες προκύπτει η γνωστή μορφή καμπύλης L. Η καμπύλη χαρακτηρίζεται από μια κορυφή που χωρίζει το οριζόντιο και κατακόρυφο σκέλος της καμπύλης (σχ. 2.3). 10 log|Lx|| Ëéãüôåñç êáíïíéêïðïßçóç 5 ÂÝëôéóôç åðéëïãÞ ðáñÜãïíôá êáíïíéêïðïßçóçò Ðåñéóóüôåñç êáíïíéêïðïßçóç 0 0 5 10 log||Ax-b|| Σχ. 2.3 Χαρτογράφηση της υπολογιζόμενης λύσης σε συνάρτηση με τη διαφορά μεταξύ των υπολογιζόμενων και παρατηρούμενων δεδομένων Για να γίνει κατανοητή η μορφή της καμπύλης, ας θεωρήσουμε ότι x είναι η αρχική, μη κανονικοποιημένη λύση του προβλήματος, η σχετιζόμενη με το διάνυσμα b των χωρίς σφαλμάτων δεδομένων. Τότε το σφάλμα x reg − x (2.15) στην κανονικοποιημένη λύση συνίσταται από δύο συνιστώσες, οι οποίες είναι, η διαταραχή του σφάλματος στα σφάλματα των πραγματικών δεδομένων b (b= b + e , όπου e είναι τα σφάλματα) και το σφάλμα κανονικοποίησης εξαιτίας της κανονικοποίησης του χωρίς σφάλματα διανύσματος b των δεδομένων. Ο κατακόρυφος κλάδος της καμπύλης αντιστοιχεί σε λύσεις όπου το Lx reg 2 είναι πολύ ευαίσθητο σε μεταβολές του παράγοντα κανονικοποίησης, διότι η διαταραχή στα σφάλματα (δe) κυριαρχεί στην κανονικοποιημένη λύση (xreg). Το οριζόντιο τμήμα της καμπύλης αντίστοιχεί σε λύσεις στις οποίες το μέτρο του διανύσματος διαφοράς υπολογιζόμενου-παρατηρούμενου είναι ευαίσθητο σε μεταβολές του παράγοντα κανονικοποίησης και αυτό διότι η κανονικοποιημένη λύση κυριαρχείται από τη μεταβολή των σφαλμάτων κανονικοποίησης. Στη περίπτωση εφαρμογής της μεθόδου ελαχίστων τετραγώνων με παράγοντα κανονικοποίησης, η σχέση που δίνει το σφάλμα στον υπολογισμό της κανονικοποιημένης λύσης είναι η 111 xreg n p p u iT e u iT b T − x = ∑ f i xi + ∑ (u i e) xi + ∑ ( f i − 1) xi σ σ i = p +1 i i i =1 i =1 (2.16) όπου, σi είναι οι ιδιοτιμές του πίνακα που αντιστρέφεται, e είναι το σφάλμα των δεδομένων, x είναι το διάνυσμα της λύσης και f είναι ένας παράγοντας κανονικοποίησης που δρα ως φίλτρο. Στο φίλτρο αυτό όσο οι ιδιοτιμές του προβλήματος τείνουν στο μηδέν, τόσο και η συμμετοχή του όρου: (uiTb/σi)xi (2.17) στη λύση να είναι μικρότερη. Οι όροι που εμφανίζονται στη παρένθεση αποτελούν τη διαταραχή των σφαλμάτων εξαιτίας του σφάλματος στα δεδομένα e, ενώ ο δεύτερος όρος είναι το σφάλμα κανονικοποίησης του χωρίς διαταραχές διανύσματος των δεδομένων b . Οταν εφαρμόζεται μικρή κανονικοποίηση, ο παράγοντας f είναι σχεδόν ίσος της μονάδας και το σφάλμα x reg − x κυριαρχείται από τη διαταραχή του σφάλματος στα δεδομένα e. Στη περίπτωση χρήσης ισχυρού παράγοντα κανονικοποίησης, το φίλτρο fi<<1, όποτε η διαφορά x reg − x κυριαρχείται από τα σφάλματα κανονικοποίησης. Στη παρούσα εργασία χρησιμοποιήθηκε η τεχνική αυτή προκειμένου να γίνει σωστή επιλογή του παράγοντα κανονικοποίησης κατά τη διάρκεια της επίλυσης του προβλήματος και όχι εφαρμόζοντας την τεχνική δοκιμής-λάθους (trial & error) που ως συνήθως εφαρμόζεται. Ετσι κατά τη διάρκεια της επίλυσης εφαρμόζονται διάφοροι παράγοντες κανονικοποίησης και κάθε φορά υπολογίζεται το μέτρο της λύσης και η διαφορά της υπολογιζόμενων-παρατηρησιακών δεδομένων. Αυτά χαρτογραφούνται αυτόματα κατά τη διάρκεια της εκτέλεσης του προγράμματος σε λογαριθμικούς άξονες και επιλέγεται η βέλτιστη τιμή του παράγοντα κανονικοποίησης που αντιστοιχεί στο σημείο μέγιστης καμπυλότητας της καμπύλης. Η επιλογή του καλύτερου παράγοντα κανονικοποίησης γίνεται είτε αυτόματα με εφαρμογή ενός αλγόριθμου που εντοπίζει το σημείο μέγιστης καμπυλότητας της καμπύλης είτε από τον χρήστη διότι η επιλογή του «σωστού» παράγοντα είναι θέμα υποκειμενικό. Η προτεινόμενη τιμή παράγοντα κανονικοποίησης χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της τελικής λύσης. Από την άλλη πλευρά η συνθήκη Picard (Hansen 1994), χαρτογραφεί τα διανύσματα: wi , u iT b και u iT b wi (2.18), όπου wi είναι οι ιδιοτιμές του πίνακα αντιστροφής και ui είναι το διάνυσμα των ιδιοδιανυσμάτων που καλύπτει το χώρο των δεδομένων. Στη πλειοψηφία των πειραμάτων, τα δεδομένα «μολύνονται» από σφάλματα (σφάλματα καταγραφής, σφάλματα αριθμητικής προσέγγισης, σφάλματα μοντελοποίησης). Με βάση αυτές τις υποθέσεις, οι δύο πρώτες ποσότητες μπορούν να φτάσουν την τάξη της 112 αριθμητικής ακρίβειας των υπολογισμών. Η ιδιοτιμή στην οποία, καθώς οι ιδιοτιμές u iT b wi ελλατώνονται, οι συντελεστές της λύσης αρχίζουν σταδιακά να αυξάνουν και ξαφνικά παρουσιάζουν θεαματική άνοδο, είναι η μικρότερη αποδεκτή ιδιοτιμή που μπορεί να ανακατασκευαστεί (κατώφλι των αποδεκτών ιδιοτιμών). Από τα παραπάνω φαίνεται καθαρά ποιες ιδιοτιμές πρέπει να μηδενισθούν έτσι ώστε να κανονικοποιηθεί το πρόβλημα (eigenvalue threshold). Σκοπός και των δύο μεθόδων είναι να αποσβεστεί ή να φιλτραριστεί η συμμετοχή των μικρών ιδιοτιμών στο προσδιορισμό της λύσης. 2.4 Διακριτική ικανότητα και αξιοπιστία του υπολογιζόμενου μοντέλου Για τον έλεγχο της ποιότητας της λύσης υπολογίζονται: α) ο πίνακας διακριτικής ικανότητας και ο πίνακας συμμεταβλητότητας του μοντέλου όπως περιγράφηκε στη παράγραφο 1.8.15, β) η συνάρτηση επέκτασης (spread function) και γ) έγινε η δοκιμή “σκακιέρας” (checkerboard test). Αναφορά θα γίνει μόνο για τους ελέγχους β,γ διότι αποτελούν δοκιμές όχι ευρέως εφαρμοζόμενες, οι οποίες όμως στη παρούσα εργασία εφαρμόστηκαν επιτυχώς σε προβλήματα που αφορούσαν την αξιοπιστία του υπολογιζόμενου μοντέλου. Η αρχική έννοια της συνάρτησης επέκτασης (spread function) δόθηκε από τους Backus και Gilbert (1967) και Menke (1984), παρέχοντας μια γενική αντίληψη της ποιότητας της λύσης. Στη παρούσα διατριβή η ίδια μέθοδος εφαρμόστηκε υπολογίζοντας την τιμή της συνάρτησης για κάθε παράμετρο του μοντέλου. Η σχέση που ορίζει τη συνάρτηση επέκτασης είναι (π.χ Alessandrini et al. 1997) N Fi = ∑R 2 ij d ij j =1 N ∑ Rij2 , (2.19) j =1 όπου Rij είναι στοιχείο του πίνακα διακριτικής ικανότητας, dij είναι η απόσταση μεταξύ δύο κόμβων του καννάβου παραμετροποίησης και Ν είναι ο αριθμός των παραμέτρων του μοντέλου. Παράμετροι του μοντέλου οι οποίες χαρακτηρίζονται από μικρές τιμές της συνάρτησης επέκτασης έχουν ανακατασκευαστεί με μεγάλη ακρίβεια. Ουσιαστικά, η συνάρτησης επέκτασης παρουσιάζει πόσο εξομαλυμένη είναι η λύση ανά παράμετρο του μοντέλου. Ο έλεγχος checkerboard (Checker-board test) πρωτοπαρουσιάστηκε από τους Leveque et al. (1993), όπου παρόλους τους περιορισμούς που έχει ως μέθοδος, συχνά παρέχει χρήσιμες πληροφορίες για τη χωρική διακριτική ικανότητα σχετιζόμενη κυρίως με τη κάλυψη του χώρου από σεισμικές ακτίνες. Η διαδικασία που ακολουθείται για την εφαρμογή της μεθόδου φαίνεται στο σχήμα (σχ. 2.4). 113 Nodes in X direction 5 10 15 5 Nodes in Z direction 10 15 20 25 30 35 40 Synthetic checkerboard with 40% Final Velocity Model Velocity perturbation - L=1000 (Eps=40. Smooth=12.) Σχ. 2.4 Ελεγχος της διακριτικής ικανότητας του υπολογιζομένου μοντέλου με την εφαρμογή της δοκιμής “checkerboard”. Στο αριστερό σχήμα παρουσιάζεται το συνθετικό μοντέλο ταχύτητας στο οποίο η ταχύτητα μεταβάλλεται ακολουθόντας συνημιτονοειδής συνάρτηση. Στο δεξί σχήμα παρουσιάζεται το ανακατασκευασμένο μοντέλο ταχύτητας χρησιμοποιόντας την ίδια διάταξη πηγών–γεωφώνων. Σε όσα από τα κελιά εμφανίζονται νούμερα θεωρούμε ότι έχουν ανακατασκευαστεί με ικανοποιητική ακρίβεια. 114 Αρχικά κατασκευάζεται ένα συνθετικό μοντέλο ταχύτητας, στο οποίο η μεταβολή της ταχύτητας υπακούει μια συνημιτονοειδής συνάρτηση με μέγιστο πλάτος μεταβολής ανάλογο των μεταβολών ταχύτητας που αναμένεται στο χώρο μελέτης. Το μήκος κύματος του συνημιτονοειδούς κύματος, μεταβάλλεται με σκοπό τελικά να βρεθεί πιο είναι το μήκος κύματος των ανωμαλιών που μπορούν να ανασκευαστούν από τη συγκεκριμένη διάταξη. Στη συνέχεια, επιλύεται το ευθύ πρόβλημα χρησιμοποιώντας την ίδια διάταξη πηγών-γεωφώνων με αυτή του πειράματος και τα δεδομένα εξόδου (χρόνοι διαδρομής) αποτελούν τα συνθετικά δεδομένα. Κατόπιν, επιλύεται πάλι το ευθύ πρόβλημα εισάγοντας ένα μονοδιάστατο μοντέλο ταχύτητας και δημιουργείται το διάνυσμα b του γραμμικού συστήματος, ως η διαφορά των υπολογιζόμενων χρόνων διαδρομής με τους συνθετικούς χρόνους διαδρομής. Τέλος, επιλύεται το αντίστροφο πρόβλημα και εξετάζεται σε τι ποσοστό έχει αναπαραχθεί το αρχικό (συνημιτονοειδές) μοντέλο ταχύτητας. Οπως αναφέρθηκε παραπάνω, μεταβάλλοντας το μήκος κύματος της συνημιτονοειδούς συνάρτησης για την ίδια διάταξη πηγών-γεωφώνων ελέγχεται η ικανότητα του τελικού μοντέλου να αναπαράγει δομές συγκεκριμένου μήκους κύματος. Επίσης από τη χαρτογράφηση των αποτελεσμάτων φαίνονται καθαρά και οι περιοχές στις οποίες αναμένεται η πληρέστερη αναπαραγωγή του πραγματικού μοντέλου (σχ. 2.3 – αριθμημένες περιοχές). 2.5 Βελτίωση του μοντέλου με χρήση του μηδενικού χώρου (Nullspace shuttles) Τα κριτήρια που συνήθως εφαρμόζονται για την επίλυση ενός τομογραφικού προβλήματος, μπορούν να προσαρμόζονται με σκοπό να περιλαμβάνουν ολοένα και περισσότερες εκ των προτέρων πληροφορίες του χώρου μελέτης. Φυσικά αυτό πολλές φορές οδηγεί σε πολύπλοκα γραμμικά συστήματα. Οι Stork και Clayton (1991) χρησιμοποίησαν έναν τροποποιημένο αλγόριθμο των Dines και Lytle (1979) για την επίλυση τομογραφικών προβλημάτων με τη χρήση φίλτρων. Προκειμένου να περιοριστεί η αστάθεια στη λύση, τα φίλτρα που χρησιμοποιήθηκαν είχαν μορφή ορθογώνιου παλμού (boxcar). Μια άλλη προσέγγιση του ίδιου προβλήματος, είναι η επίλυση του προβλήματος εφαρμόζοντας τη μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων και μεταγενέστερη τροποποίηση της λύσης. Στη περίπτωση αυτή μπορούν να εφαρμοστούν τεχνικές φιλτραρίσματος ή εξομάλυνσης της τελικής λύσης ή ακόμη και να εισαχθούν εκ των προτέρων πληροφορίες του μοντέλου στη λύση. Το πλεονέκτημα της μεταγενέστερης τροποποίησης της λύσης είναι το γεγονός ότι πριν τη διαμόρφωση του φίλτρου για παράδειγμα, υπάρχει γνώση της λύσης. Το μειονέκτημα της μεθόδου είναι ότι οποιαδήποτε μεταβολή της λύσης οδηγεί σε αρνητική μεταβολή της προσαρμογής της λύσης στα δεδομένα εφόσον κατά τη διαδικασία της αντιστροφής έχει ελαχιστοποιηθεί η διαφορά μεταξύ των υπολογιζομένων τιμών και των πραγματικών δεδομένων. Η μέθοδος που περιγράφεται εδώ επιτρέπει την εφαρμογή φίλτρων στη τελική λύση και τροποποίηση της λύσης ενός προβλήματος, χωρίς όμως τη μεταβολή της προσαρμογής του μοντέλου στα δεδομένα. Τα φίλτρα είναι περιορισμένα να δρουν σε συνιστώσες της λύσης οι οποίες δεν επηρεάζουν την προσαρμογή των δεδομένων. Ο περιορισμός των φίλτρων που αναφέρθηκε 115 επιτυγχάνεται προβάλλοντας τις μεταβολές που προήλθαν από την εφαρμογή του φίλτρου, στο μηδενικό χώρο (nullspace) των παραμέτρων του μοντέλου. Η λύση ελαχίστων τετραγώνων μπορεί να αναβαθμιστεί χρησιμοποιώντας τις συνιστώσες από το κενό χώρο και με το τρόπο αυτό προκύπτουν μοντέλα με την ίδια προσαρμογή των δεδομένων. Ο τρόπος με τον οποίον εφαρμόζεται η παραπάνω μεθοδολογία είναι η εξής: Αρχικά υπολογίστηκε η λύση ελαχίστων τετραγώνων με απόσβεση και εξομάλυνση. Οπως αναφέρθηκε παραπάνω εφαρμόζοντας τη τεχνική της καμπύλης L, επιλέχθηκε ο κατάλληλος παράγοντας απόσβεσης για συγκεκριμένο παράγοντα εξομάλυνσης. Με την εφαρμογή του παράγοντα απόσβεσης, ιδιοτιμές μικρότερες αυτού θεωρούνται μηδενικές και αποτελούν στοιχεία του κενού χώρου. Εστω ότι k είναι οι αποδεκτές ιδιοτιμές του προβλήματος. Κατόπιν απαιτείται η επιλογή ενός φίλτρου το οποίο θα δράσει στη λύση ελαχίστων τετραγώνων. Το φίλτρο σχεδιάζεται κάνοντας χρήση οποιονδήποτε εκ των προτέρων πληροφοριών του χώρου μελέτης. Οι πληροφορίες αυτές μπορεί να είναι αποτέλεσμα προηγούμενης μελέτης στη περιοχή ή πληροφορίες από γεωτρήσεις κ.τ.λ. Αν F είναι το επιλεγμένο φίλτρο, τότε, x f = F (x ) (2.20) όπου, xf είναι η φιλτραρισμένη λύση. Ορίζοντας ως Δx=xf-x την επίδραση του φίλτρου στη λύση, προβάλλουμε το Δx στο μηδενικό χώρο (Vo) του πίνακα ΑΤΑ και με αυτόν το τρόπο απομακρύνονται όλες οι συνιστώσες του πίνακα ΑΤΑ που θα επέφεραν μεταβολή στη προσαρμογή των δεδομένων. Η νέα προτεινόμενη λύση δίνεται από τη σχέση (Deal and Nolet 1996): x n = x + ( I − Vk VkT ) ∆x , (2.21) όπου Ι είναι ο μοναδιαίος πίνακας. 2.6 Εφαρμογή της σεισμικής τομογραφίας πρώτων αφίξεων Η διαδικασία η οποία ακολουθείται στη παρούσα εργασία βασίζεται στη μέθοδο του Thurber (1983), η οποία αναπτύχθηκε για ένα καρτεσιανό σύστημα αναφοράς. Εστω ότι έχουμε ένα καρτεσιανό σύστημα αναφοράς. Ο χώρος, ο οποίος θεωρείται επίπεδος, χωρίζεται σε ένα σύνολο από κυψέλες με πλευρές παράλληλες με τους άξονες του συστήματος και η ταχύτητα των σεισμικών κυμάτων είναι σταθερή για κάθε κόμβο του δικτύου που δημιουργείται (σχ. 2.5). 116 Σχ. 2.5 Σύστημα αναφοράς και τρισδιάστατο σύστημα κυψελών το οποίο χρησιμοποιείται στη σεισμική τομογραφία (Παπαζάχος 1994). Το σύστημα αναφοράς μπορεί να οριστεί τόσο για ισαπέχοντα σημεία όσο και για μη ισαπέχοντα σημεία - κόμβους. Αυτό σημαίνει ότι τα κελιά είναι δυνατό να μην έχουν όλα τις ίδιες διαστάσεις. Αυτό επιλέχθηκε και στη παρούσα διατριβή προκειμένου να δοθεί λύση στη περίπτωση όπου χρειάζεται αυξημένη διακριτική ικανότητα σε ένα συγκεκριμένο χώρο της περιοχής μελέτης (έντονη μεταβολή της ταχύτητας). Το παραπάνω σύστημα αναφοράς είναι δυνατό να οριστεί παρέχοντας τις ελάχιστες και μέγιστες τιμές ανά άξονα, καθώς και το σταθερό βήμα μεταξύ δύο διαδοχικών τιμών του άξονα. Αφού οριστεί το σύστημα αναφοράς, κατόπιν γίνεται εισαγωγή στο πρόγραμμα του μοντέλου ταχυτήτων. Το μοντέλο ταχυτήτων μπορεί να είναι μονοδιάστατο ή τρισδιάστατο. Με την εισαγωγή του μοντέλου ταχυτήτων, γίνεται απευθείας τοποθέτηση αυτών στους αντίστοιχους κόμβους του δικτύου ενώ παράλληλα υπολογίζεται η τιμή καθυστέρησης για κάθε κόμβο ως το αντίστροφο της τιμής της ταχύτητας. Η τιμή της ταχύτητας για κάθε στρώμα, στο μονοδιάστατο μοντέλο ταχύτητας, ισούται με το μέσο όρο των τιμών ταχυτήτων των κόμβων που βρίσκονται εκατέρωθεν του στρώματος. Στην περίπτωση του τρισδιάστατου μοντέλου ταχυτήτων ακολουθείται η διαδικασία που περιγράφηκε κατά το προσεγγιστικό καθορισμό της σεισμικής ακτίνας (Thurber and Ellsworth 1980). Kατά την διαδικασία αυτή, κατασκευάζεται ένα ισοδύναμο μονοδιάστατο μέσο και κατόπιν υπολογίζεται ο μέσος όρος όπως προαναφέρθηκε. Το επόμενο βήμα είναι η εισαγωγή στο πρόγραμμα των ακριβών θέσεων στο χώρο, των πηγών και δεκτών που χρησιμοποιήθηκαν κατά την διεξαγωγή του πειράματος σεισμικής τομογραφίας. Κατόπιν, εισάγονται τα ζευγάρια πηγών γεωφώνων και οι αντίστοιχοι χρόνοι διαδρομής. Είναι δυνατόν να μην υπάρχουν καταγραφές από όλα τα γεώφωνα για κάθε πηγή, γι’ αυτό και κρίθηκε αναγκαία η δημιουργία ενός αρχείου που πληροφορεί ποια γεώφωνα διεγέρθηκαν κατά τη χρήση μιας πηγής και τι χρόνους κατέγραψαν. Κατά την επίλυση του ευθέως προβλήματος, ακολουθούνται τα παρακάτω στάδια. Αρχικά, για κάθε ζευγάρι πηγής-δέκτη, υπολογίζονται οι χρόνοι διαδρομής καθώς και η γεωμετρία των σεισμικών ακτίνων στο τρισδιάστατο μέσο. Βασική αρχή για τους υπολογισμούς αυτούς είναι ο νόμος του Snell, δηλαδή η παράμετρος 117 της σεισμικής ακτίνας όπως παρουσιάστηκε σε προηγούμενο κεφάλαιο. Τα παραπάνω στοιχεία υπολογίστηκαν με βάση τις γνωστές σχέσεις που ισχύουν για την περίπτωση οριζοντίων στρωμάτων (Παπαζάχος 1986). Στην περίπτωση των απευθείας κυμάτων το πρόβλημα αντιμετωπίστηκε με την εύρεση της γωνίας αναχώρησης του απευθείας κύματος το οποίο καταγράφεται σε απόσταση Δ (επικεντρική απόσταση). Συνήθως, χρησιμοποιούνται η μέθοδος της λανθασμένης θέσης (false position method) και του αντιστρόφου ημιτόνου (secant method). Με αυτό το τρόπο, υπολογίζονται εύκολα τα μήκη και οι χρόνοι διαδρομής της σεισμικής ακτίνας μέσα σε κάθε στρώμα. Από τους τελικούς χρόνους για τα δύο είδη σεισμικών κυμάτων, επιλέγεται το κύμα με τον μικρότερο χρόνο διαδρομής, ενώ παράλληλα υπολογίζονται και οι συντεταγμένες (x,y,z) των σημείων, που αποτελούν τα σημεία τομής των σεισμικών ακτίνων με τις οριζόντιες επιφάνειες του ορισμένου συστήματος αναφοράς. Εφαρμόζεται παρεμβολή στα σημεία που προαναφέρθηκαν με βάση το μήκος της σεισμικής ακτίνας που κάθε φορά εξετάζεται, προκειμένου να αυξηθεί το πλήθος τους και να αποτελέσουν το αρχείο εισαγωγής για τον τελικό προσδιορισμό της σεισμικής ακτίνας με βάση την αναθεωρημένη μέθοδο κάμψης (Moser, Nolet and Snieder 1992). Στη συνέχεια εφαρμόζεται μέθοδος η οποία κάμπτει τις σεισμικές ακτίνες προκειμένου να προσομοιάσουν την πραγματική πορεία των ακτίνων σε ένα τρισδιάστατο μέσο, ομοιογενές ή ανομοιογενές ως προς τις ταχύτητες. Για κάθε σημείο της σεισμικής ακτίνας, εφαρμόζεται όπως αναφέρθηκε η μέθοδος υπολογισμού του όγκου Fresnel. Κατά τη διαδικασία της κάμψης των σεισμικών ακτίνων, υπολογίζεται ξανά ο χρόνος διαδρομής (κανόνας του τραπεζοειδούς) ο οποίος αφού τροποποιηθεί κατά Τ/4, αποτελεί τον τελικό χρόνο (t=t-T/4). Η διαφορά του υπολογιζόμενου χρόνου διαδρομής από τον παρατηρούμενο μας δίνει το διάνυσμα Β (χρονικό υπόλοιπο) της γραμμικής σχέσης Αx=Β. Η σχέση αυτή θα επιλυθεί με κάποια μέθοδο αντιστροφής. Ο πίνακας Α της γραμμικής σχέσης, είναι ο πίνακας των παραγώγων των σεισμικών ακτίνων ως προς τις μεταβολές αυτών στο χώρο. Τελικά, για την επίλυση του παραπάνω γραμμικού συστήματος εφαρμόστηκε μια μέθοδος μη γραμμικής αντιστροφής ελαχίστων τετραγώνων. Σύμφωνα με όσα ειπώθηκαν στο κεφάλαιο που παρουσίαστηκαν οι μέθοδοι αντιστροφής, θεωρήθηκαν ως καλύτερες η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων με απόσβεση (Damped Least Squares-DLS) και η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων με εξομάλυνση (Occam method) (Constable et. Al. 1996). Κατόπιν εφαρμόστηκαν και οι δύο σε κοινό αλγόριθμο αντιστροφής. Η επιτυχία του παρόντος αλγορίθμου βασίζεται στη κατάλληλη επιλογή του παράγοντα απόσβεσης και του παράγοντα εξομάλυνσης. Για την εύρεση των κατάλληλων τιμών των παραμέτρων αυτών (damping factor, smoothing), εφαρμόστηκε η μέθοδος της χαρτογράφησης της καμπύλης L (L-curve) και της συνθήκης Picard. Επίσης μελετήθηκε η αξιοπιστία των αποτελεσμάτων με υπολογισμό των πινάκων διακριτικής ικανότητας και συμμεταβλητότητας. 118 2.6.1 Εφαρμογή σε συνθετικά δεδομένα Σε αυτό το κεφάλαιο παρουσιάζονται τα αποτελέσματα εφαρμογής του λογισμικού επίλυσης του ευθέως και αντιστρόφου προβλήματος σε συνθετικά δεδομένα. Το μοντέλο δοκιμής αποτελείται από 11 κόμβους κατά τη x διεύθυνση με ελάχιστη τιμή 0 m, μέγιστη 25 m και απόσταση ανά κόμβο 2.5 m, 3 κόμβους κατά τη y διεύθυνση με ελάχιστη τιμή 0 m, μέγιστη 10 m και απόσταση ανά κόμβο 5 m και 11 κόμβους (ορίζοντες) κατά τη z διεύθυνση με ελάχιστη τιμή 0 m, μέγιστη 100 m και απόσταση ανά κόμβο 10m (σχ. 2.6). Το χρησιμοποιούμενο συνθετικό μοντέλο ταχύτητας, είναι ένα τρισδιάστατο ανομοιογενές μοντέλο. Στο εικονικό μέσο έχουν τοποθετηθεί δύο δομές με ανώμαλες ταχύτητες. Οι ταχύτητες αυτές είναι της τάξης του 15% υψηλότερη για τους κόμβους του καννάβου στους οποίους εφαρμόζεται η θετική ανωμαλία και 10% αρνητική ανωμαλία, δηλαδή, χαμηλότερη του περιβάλλοντος για τους συγκεκριμένους κόμβους του καννάβου (σχ. 2.6). Το συνθετικό μοντέλο δημιουργήθηκε για να διαπιστωθεί η δυνατότητα και η ακρίβεια υπολογισμού του μοντέλου ταχυτήτων. Το συνθετικό τρισδιάστατο ανομοιογενές μοντέλο ταχύτητας, αποτέλεσε αρχικά το μοντέλο εισαγωγής στον αλγόριθμο επίλυσης του ευθέως προβλήματος. Από αυτό παρήχθησαν οι συνθετικοί χρόνοι διαδρομής οι οποίοι χρησιμοποιήθηκαν ως οι παρατηρούμενοι (observed traveltimes) για το πείραμα σεισμικής τομογραφίας. Από το συνθετικό μοντέλο ταχύτητας παρήχθησαν και οι συνθετικές σεισμικές ακτίνες, οι οποίες συμφωνούν με τη παρουσία των ανωμαλιών ταχύτητας. Στο επόμενο στάδιο, εισήχθηκε το αρχικό μονοδιάστατο μοντέλο ταχυτήτων το οποίο χρησιμοποιήθηκε ως βάση για τους παραπέρα υπολογισμούς. Το χρησιμοποιούμενο μονοδιάστατο μοντέλο ταχυτήτων φαίνεται στο πίνακα (Ι), Πίνακας Ι Το μονοδιάστατο μοντέλο ταχυτήτων το οποίο χρησιμοποιήθηκε στους υπολογισμούς των συνθετικών χρόνων διαδρομής Βάθος (m) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Ταχύτητα (m/sec) 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Το μονοδιάστατο μοντέλο ταχύτητας του πίνακα (I), αποτέλεσε τη βάση για το προσδιορισμό του τρισδιάστατου μοντέλου ταχυτήτων της περιοχής μελέτης. Κάθε φορά που υπολογιζόταν ένα νέο μοντέλο ταχύτητας, πράγμα που σημαίνει 119 υπολογισμό νέων χρόνων διαδρομής, υπολογίζονταν ταυτόχρονα το μέσο τετραγωνικό σφάλμα (r.m.s) των χρονικών υπολοίπων ως κριτήριο σύγκλισης. Στο ίδιο μοντέλο εφαρμόστηκαν δύο διαφορετικές πειραματικές διατάξεις γεωφώνων - πηγών : α) Στη πρώτη διάταξη τοποθετήθηκαν οι πηγές σε μια γεώτρηση (Α) βάθους 100m (όσο και η μέγιστη διάσταση του z άξονα του καννάβου), ενώ τα γεώφωνα τοποθετήθηκαν σε άλλη γεώτρηση (Β) με το ίδιο βάθος. Τόσο τα γεώφωνα όσο και οι πηγές τοποθετήθηκαν ανά 2m. Επομένως έχουμε 51 ζεύγη γεωφώνων - πηγών. Οι γεωτρήσεις είχαν απόσταση 25m μεταξύ τους, όσο δηλαδή και η μέγιστη διάσταση του x άξονα (σχ. 2.6). β) Η δεύτερη διάταξη διαφέρει από τη προηγούμενη στο γεγονός ότι γεώφωνα τοποθετήθηκαν και στην επιφάνεια εκτός του χώρου των γεωτρήσεων. Συνολικά χρησιμοποιήθηκαν 50 πηγές και 76 γεώφωνα (σχ. 2.6). Receivers Sources 0 B A 10 20 Depth (m) 30 15% 40 50 60 70 -10% 80 90 100 0 5 10 15 20 25 Distance (m) Σχ. 2.6 Πείραμα σεισμικής τομογραφίας μεταξύ γεωτρήσεων σε περιοχή με θετικές και αρνητικές ανωμαλίες ταχύτητας. 2.6.1.1 Τομογραφία μεταξύ γεωτρήσεων Κατά τη διάρκεια του πειράματος έγινε καταγραφή 2601 σεισμικών ακτίνων με σκοπό την ανακατασκευή 363 άγνωστων παραμέτρων του μοντέλου (κόμβοι ταχυτήτων). Χρησιμοποιώντας το μονοδιάστατο μοντέλο ταχυτήτων του πίνακα Ι, ως αρχικό μοντέλο ταχυτήτων, έγινε η αντιστροφή των χρόνων διαδρομής εφαρμόζοντας τη μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων με απόσβεση και εξομάλυνση. 120 Στο σχήμα (2.7) παρουσιάζονται σε κατακόρυφη τομή τα υπολογιζόμενα μοντέλα ταχύτητα, από την πρώτη επανάληψη (1D-raytracing) και την τρίτη επανάληψη (3D-raytracing) της αντιστροφής κάνοντας παράλληλη σύγκριση των αποτελεσμάτων χρησιμοποιόντας ή όχι τους όγκους Fresnel. Without using Fresnel volume 5 10 Using Fresnel volume 5 Test velocity model 10 5 10 5 10 Z A B E X Third iteration % 5 -15 -10 -5 0 5 10 15 Crosswell Model 10 C D Σχ. 2.7 Κατακόρυφη κατανομή ταχυτήτων, από την αντιστροφή χρόνων διαδρομής πειράματος σεισμικής τομογραφίας μεταξύ γεωτρήσεων. Για την επίλυση του προβλήματος εφαρμόστηκαν παράγοντες απόσβεσης και εξομάλυνσης (ε=5, λ=20). Στο (Α) δίνεται το μοντέλο ταχύτητας όπως υπολογίστηκε από την πρώτη αντιστροφή (1Draytracing) των χρόνων διαδρομής, χωρίς τη χρήση όγκων Fresnel, ενώ στο (Β) δίνεται το ίδιο μοντέλο με τη χρήση όγκων. Στο (C) και (D) αντίστοιχα, παρουσιάζονται τα μοντέλα ταχυτήτων μετά τη τρίτη επανάληψη του αλγόριθμου αντιστροφής (3D-raytracing) με και χωρίς τη χρήση όγκων Fresnel. Είναι φανερό ότι οι υπολογιζόμενες ανωμαλίες ταχύτητας κατά την εφαρμογή του 3D-ray tracing και των υπολογισμών των όγκων Fresnel βελτιώθηκαν. Στο σχήμα επίσης δίνεται και το μοντέλο αναφοράς (True velocity model). Είναι φανερό (σχ. 2.7) ότι τόσο οι θετικές όσο και οι αρνητικές ανωμαλίες ταχύτητας έχουν ανασκευαστεί με σχετική ακρίβεια. Είναι σημαντικό να τονισθεί ότι τα χαρακτηριστικά (πλάτος, μορφή) των περιοχές ενδιαφέροντος (ανωμαλίες ταχύτητας) έχουν υπολογιστεί με ακρίβεια εφαρμόζοντας μεθόδους μη γραμμικής αντιστροφής. Σε διάφορες θέσεις του μοντέλου και κυρίως στο πάνω και κάτω μέρος του, παρατηρείται θόρυβος και «φαντάσματα» τα οποία οφείλονται όπως τονίσθηκε και στη θεωρία στη μη πλήρη κάλυψη του χώρου από σεισμικές ακτίνες. Αυτό είναι και ένα από τα κύρια προβλήματα της τομογραφίας μεταξύ γεωτρήσεων, όπου μια μικρή μεταβολή ταχυτήτων μπορεί να οδηγήσει στη 121 παρουσία μιας περιοχής χαμηλών ταχυτήτων. Για την βελτίωση των τομογραφικών εικόνων χρησιμοποίηθηκε και ο παράγοντας εξομάλυνσης. Στο συγκεκριμένο πείραμα μελετήθηκε και η μεταβολή της συνάρτησης σφάλματος με τις επαναλήψεις. Στο σχήμα (2.8) παρουσιάζεται η μεταβολή της διαφοράς υπολογιζόμενων-πραγματικών δεδομένων με τις επαναλήψεις. Παρατηρείται ότι στην τρίτη επανάληψη δεν υπήρξε ουσιαστική μεταβολή του σφάλματος όποτε και κρίθηκε σκόπιμο να σταματήσει η περαιτέρω επεξεργασία των δεδομένων. 1.0 Start Misfit First Iteration Second Iteration Third Iteration 0.5 Comparison between linear and nonlinear misfit Start (Non-linear misfit) Start End (Linear misfit) 0.0 0 1 End 2 Iterations 3 Σχ. 2.8 Χαρτογράφηση της διαφοράς των υπολογιζόμενων-παρατηρησιακών χρόνων διαδρομής σε συνάρτηση με τον αριθμό των επαναλήψεων της διαδικασίας της αντιστροφής. Η ασυνέχεια που εμφανίζεται στη μετάβαση από τη πρώτη στη δεύτερη επανάληψη, σημειώθηκε με ένα στικτό κύκλο. Στο τέλος της πρώτης επανάληψης, η γραμμική συνάρτηση σφάλματος, υποεκτίμησε την πραγματική μη-γραμμική τιμή του rms κατά 60%. Το αρχικό μέσο τετραγωνικό σφάλμα (r.m.s) ήταν 1.05 s και με το τέλος της πρώτης αντιστροφής μειώθηκε στο 0.14 s (1D-raytracing), ενώ η διαδικασία αντιστροφής σταμάτησε όταν το σφάλμα (r.m.s) έφτασε στο 0.08 s (3D-raytracing). Ο υπολογισμός της συνάρτησης σφάλματος με το πέρας κάθε επανάληψης δεν είναι ακριβής αφού η συνάρτηση σφάλματος υπολογίζεται με γραμμικές προσεγγίσεις ενώ το πρόβλημα που αντιμετωπίζουμε είναι ένα κλασικό μη γραμμικό πρόβλημα. Η λάθος προσέγγιση του προβλήματος φαίνεται στο σχήμα (2.8). Μεταξύ των δύο πρώτων επαναλήψεων γίνεται επαναϋπολογισμός του πίνακα των παραγώγων εφαρμόζοντας τριών διαστάσεων καθορισμό της σεισμικής ακτίνας (3D-raytracing) και επαναυπολογίζοντας τη συνάρτηση σφάλματος η οποία δόθηκε στη προηγούμενη επανάληψη. Μόνο σε αυτήν τη μετάβαση είναι δυνατό να μελετηθεί η γραμμική και μη γραμμική συνάρτηση σφάλματος. Στο σχήμα (2.8) παρατηρείται ότι στο τέλος της πρώτης επανάληψης έγινε υποεκτίμηση της γραμμικής συνάρτησης σφάλματος κατά 60% περίπου. Ο λόγος είναι ότι έγινε χρήση των 122 παραγώγων που υπολογίστηκαν από τη πρώτη επανάληψη για τον υπολογισμό της συνάρτηση σφάλματος ενώ προηγήθηκε μη γραμμική προσέγγιση του προβλήματος (3D-raytracing). Τέτοιου είδους προβλήματα μελετήθηκαν από τους Sambridge (1990), Papazachos και Nolet (1997), ενώ ο πρώτος που μελέτησε το πρόβλημα ήταν ο Tarantola (1987), δηλώνοντας ότι κατά την επίλυση μη γραμμικών συστημάτων με τοπικές γραμμικές προσεγγίσεις, οι υπολογισμοί που αφορούν τη διακριτική ικανότητα και τα σφάλματα, πρέπει να γίνονται με τη χρήση των μη γραμμικών προσεγγίσεων. 2.6.1.2 Τομογραφία μεταξύ γεωτρήσεων και της επιφανείας (Crosswell+VSP model) Για τη πραγματοποίηση αυτής της δοκιμής, διατηρήθηκε η ίδια διάταξη πηγών γεωφώνων με αυτή του προηγούμενου πειράματος, ενώ τοποθετήθηκαν και γεώφωνα στην επιφάνεια. Στο συγκεκριμένο πείραμα έγινε καταγραφή 3876 σειμικών ακτίνων που σκοπό είχαν την ερμηνεία 363 παραμέτρων του μοντέλου. Without using Fresnel volume First iteration 5 10 Using Fresnel volume 5 Test velocity model 10 5 10 5 Z 10 A B E Third iteration X % 5 10 -15 -10 C -5 0 5 10 15 D Σχ. 2.9 Κατακόρυφη τομή ταχυτήτων, όμοια του σχήματος 4 όπου αντιστράφησαν δεδομένα τόσο για τις γεωτρήσεις όσο και για την επιφάνεια. Παρατηρείται ότι στο τελικό μοντέλο ταχύτητας έχουν ανακατασκευαστεί τόσο το πλάτος όσο και το σχήμα των ανωμαλιών. Επιπλέον, βελτίωση της εικόνας παρατηρήθηκε με την εφαρμογή των όγκων Fresnel. Στο σχήμα (2.9) παρουσιάζονται σε κατακόρυφη τομή οι τομογραφικές εικόνες από την πρώτη και τρίτη (τελευταία) επανάληψη. Τα αποτελέσματα δείχνουν ότι και οι δύο ανωμαλίες (θετική και αρνητική) έχουν προσδιοριστεί με ακρίβεια. Παρατηρείται επίσης ότι τα ανακατασκευασμένα μοντέλα είναι ακριβέστερα από αυτά του προηγούμενου πειράματος (σχ. 2.7) και αυτό λόγω της καλής κάλυψης 123 του χώρου από σεισμικές ακτίνες. Στο πείραμα αυτό οι σεισμικές ακτίνες κατευθύνονται τόσο προς την άλλη γεώτρηση όσο και προς την επιφάνεια. 2.6.2 Εφαρμογή της μεθόδου σεισμικής τομογραφίας πρώτων αφίξεων σε πείραμα κατακόρυφης σεισμικής τομής (V.S.P) στη περιοχή των Ουραλίων-Ρωσσία Μετά τη πετυχημένη εφαρμογή της μεθόδoυ σε συνθετικά δεδομένα, έγινε εφαρμογή της μεθόδου σε πραγματικά δεδομένα από τη περιοχή των Ουραλίων στη Ρωσσία. Τα δεδομένα είναι κυματομορφές από πείραμα κατακόρυφης σεισμικής τομής (V.S.P) στη γεώτρηση SG4 στο δυτικό τμήμα των Ουραλίων, περίπου 15Km από το κύριο ρήγμα των Ουραλίων. Η γεώτρηση αυτή αποτελεί πεδίο δοκιμών και έως σήμερα έχουν πραγματοποιηθεί πληθώρα μετρήσεων με σκοπό τη μελέτη χαρακτηριστικών του πάνω φλοιού (Juhlin et al. 1998, Steer et al. 1995). Πρέπει να τονιστεί ότι η διάταξη του πειράματος προγραμματίστηκε με σκοπό την εκτέλεση πειράματος σεισμικής ανάκλασης. Αυτό είχε ως αποτέλεσμα να παρουσιάζονται πολλές υποπαράλληλες ακτίνες που δημιουργούν προβλήματα στην εφαρμογή της τομογραφίας. Η γεωλογική κατάσταση στη θέση της γεώτρησης είναι ιδιαιτέρως πολύπλοκη. Το ηφαιστειακό τόξο και τα παράγωγα του, δημιουργούν ένα πολύπλοκο γεωλογικά περιβάλλον το οποίο ενισχύεται από τη παρουσία δύο αντίρροπων ρηγμάτων της περιοχής. Ολα τα παραπάνω δημιουργούν πολύπλοκη δομή ταχυτήτων η γνώση της οποίας είναι απαραίτητη για την επεξεργασία των δεδομένων ανάκλασης. Το πρώτο σύνολο δεδομένων καταγράφηκε από τα γεώφωνα της γεώτρησης SG4 (Μάρτιος, 1997) ενώ το δεύτερο σύνολο δεδομένων είναι από πείραμα επιφανειακής ανάκλασης χρησιμοποιόντας τις ίδιες πηγές με αυτές που χρησιμοποιήθηκαν για τις καταγραφές στη γεώτρηση. Χρησιμοποίηθηκαν 15 πηγές (ShotPoint-SP) των οποίων η διάταξη είχε διεύθυνση περίπου Β-Ν (σχήμα 2.10). Ως πηγή ελαστικών κυμάτων χρησιμοποιήθηκε έκρηξη δυναμίτιδας (10.4Kg). Καταγράφηκαν υψηλής διακριτικής ικανότητας δεδομένα με βήμα δειγματοληψίας 1ms. Χρησιμοποιήθηκαν γεώφωνα (14 Hz) τριών συνιστωσών τα οποία βρίσκονταν σε βάθη από 1120m έως 3920m με μεταξύ τους απόσταση 20m (Ayarza et al. 1998). Για το δεύτερο πείραμα, χρησιμοποιήθηκαν 6 από τις 15 πηγές του προηγούμενου πειράματος (SP 1,2,3,4,6,7) και έγινε καταγραφή σε 48 επιφανειακά γεώφωνα με μεταξύ τους απόσταση 50 m (σχήμα 2.10). 124 Red triangle : borehole Blue bullet : 15 surface shots Green squares : Surface receiver array SOUTH NORTH 200 SP3 SP4 SP5 SP6 Distance (m) 100 0 SP7 SG-4 SP8 SP9 SP10 SP11 SP12 -100 SP13 Sp14 Sp15 -200 SP1 SP2 -300 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 Distance (m) Σχ. 2.10 Σκαρίφημα των θέσεων των στοιχείων του πειράματος σεισμικής ανάκλασης στη περιοχή των Ουραλίων (VSP97). Χρησιμοποιήθηκαν 15 πηγές (SP) (μπλε κύκλοι), 141 τριαξονικά γεώφωνα τα οποία τοποθετήθηκαν στην γεώτρηση SG4 (κόκκινο τρίγωνο) και 28 επιφανειακά γεώφωνα (πράσινα τετράγωνα). Από το πείραμα επιφανειακής σεισμικής ανάκλασης, τελικά χρησιμοποιήθηκαν οι καταγραφές 28 γεωφώνων λόγω κακής ποιότητας δεδομένων. Εφαρμόστηκαν τοπογραφικές διορθώσεις με σκοπό την αναγωγή των μετρήσεων στη κεφαλή της γεώτρησης. Κατόπιν έγινε υπόδειξη της πρώτης άφιξης ανά πηγή, τόσο για τα δεδομένα της γεώτρησης όσο και για τα επιφανειακά. Ετσι τη τελική ομάδα δεδομένων αποτελούσαν οι 1103 πρώτες αφίξεις από το πείραμα στη γεώτρηση και οι 115 πρώτες αφίξεις για το επιφανειακό πείραμα. Η διακριτοποίηση του χώρου μελέτης για την επίλυση του ευθέως προβλήματος έγινε όπως φαίνεται στο σχήμα (2.10). Δηλαδή, το τομογραφικό μοντέλο αποτελούνταν από 16 κόμβους κατά την Χ διεύθυνση (από –300 m έως τα 1200 m, με σταθερή απόσταση κόμβων ίση με 100 m σε διεύθυνση ΝότοÆΒορρά), 3 κόμβους κατά την Υ διεύθυνση (από –500 m έως τα 500 m, με σταθερή απόσταση κόμβων ίση με 500 m σε διεύθυνση ΑνατολήÆΔύση) και 41 κόμβους κατά την Ζ διεύθυνση (από 0 m έως τα 4000 m βάθος, με σταθερή απόσταση κόμβων ίση με 100 m). Σε διδιάστατη τομή (ΧΖ) οι κυψέλες του καννάβου επιλέχθησαν να είναι τετράγωνα με διάσταση 100m έτσι ώστε να παράγουμε μια ακριβής εικόνα της περιοχής. Στα επιφανειακά δεδομένα εφαρμόστηκε η μέθοδος +/- (plus/minus) της σεισμικής διάθλασης για να αποκτήσουμε μια πρώτη εικόνα των επιφανειακών δομών ταχύτητας. Τα αποτελέσματα από την εφαρμογή της μεθόδου δείχνουν 2 κεκλιμένα στρώματα με φορά βύθισης προς το Βορρά και ταχύτητες 3200m/s και 4700m/s αντίστοιχα (σχήμα 2.11). Τα παραπάνω ταχύτητες χρησιμοποιήθηκαν ως περιορισμοί για τα τρία πρώτα στρώματα του μοντέλου, ενώ το υπόλοιπο του μοντέλου ταχύτητας ορίστηκε με μια εξομαλυμένη θετική βαθμίδα με το βάθος. Κατά την επίλυση του ευθέως προβλήματος και τον καθορισμό της σεισμικής ακτίνας, έγινε και υπολογισμός των όγκων Fresnel κάθε ακτίνας. 125 Σχ. 2.11 Μοντέλο ταχύτητας όπως προέκυψε από επεξεργασία των χρόνων διαδρομής του επιφανειακού πειράματος ανάκλασης. Καθώς το πείραμα δεν σχεδιάστηκε για τομογραφικούς σκοπούς και ο έλεγχος του πειράματος στο ύπαιθρο δεν ήταν ο καλύτερος δυνατός, έγινε χρήση ισχυρού παράγοντα εξομάλυνσης. Για την επίλυση του προβλήματος απαιτούνταν η χρήση παραγόντων κανονικοποίησης. Η επιλογή αυτών, έγινε με δύο διαφορετικές μεθόδους οι οποίες περιγράφονται στη συνέχεια. Α’ μέθοδος Ο βέλτιστος παράγοντας απόσβεσης σύμφωνα με τον Franklin (1970) δίνεται από την ακόλουθη σχέση df = δd δd = δm σ V V 2 (2.22) όπου, df είναι ο υπολογιζόμενος παράγοντας απόσβεσης (damping factor), δd είναι η μεταβλητότητα των παρατηρησιακών σφαλμάτων στους χρόνους διαδρομής και η οποία είναι της τάξης των 2 ms, V είναι η μέση ταχύτητα στη περιοχή μελέτης, η οποία είναι της τάξης των 6 km/s και σV είναι η μέση διακύμανση στη ταχύτητα, όπου δεν αναμένεται για την περιοχή να είναι μεγαλύτερη του 1 km/s. Από τη σχέση αυτή και με βάση τις προβλεπόμενες τιμές των μεγεθών, προέκυψε παράγοντας απόσβεσης της τάξης του 70. Επίσης έγινε έλεγχος της επίδρασης του παράγοντα εξομάλυνσης, εφαρμόζοντας διάφορες τιμές αυτού (λ). Τελικά, συμπεράναμε ότι, τιμές παράγοντα εξομάλυνσης που κυμαίνονται μεταξύ 10-500 έδιναν αληθοφανή αποτελέσματα. Β’ μέθοδος Με σκοπό να γίνει έλεγχος της σωστής επιλογής των παραγόντων κανονικοποίησης εφαρμόστηκε και η ακόλουθη μαθηματική προσέγγιση. Εγινε χρήση των τεχνικών της καμπύλης L (L-curve) και της συνθήκης Picard (Hansen 1994). Η περιγραφή των τεχνικών αυτών έγινε στην παράγραφο (2.3.1). Τελικά με χρήση της καμπύλης L επιλέχθηκε ο «βέλτιστος» παράγοντας απόσβεσης για δεδομένο παράγοντα εξομάλυσνης (σχ. 2.11), ενώ η επιλογή επιβεβαιώθηκε με χρήση της συνθήκης Picard (σχ. 2.12). Με τα δύο παραπάνω κριτήρια ελέγχου της καταλληλότητας των παραγόντων κανονικοποίησης, 126 επιλέγησαν οι τιμές ε=70. (παράγοντας απόσβεσης) και λ=100. (παράγοντας εξομάλυνσης). 1E+4 1E+7 1E+3 1E+6 L-Curve Solution norm ||x|| 1E+5 E stimates obtained for different damping f actors 1E+4 1E+2 ε=70. (optimum damping f t ) 1E+1 1E+3 1E+0 1E+2 1E-1 1E+1 Optimum damping factor (eps=70) 1E+0 1E-2 1E-1 1E-2 1E-3 1E-3 1E-4 1E-4 ε=500. (Nullspace includes 268 out of 392 i l ) Discrete Picard diti wi (eigenvalue spectrum) 1E+4 1E+5 Residual norm ||Ax-b|| Σχ.2.12 Καμπύλη L. Χαρτογράφηση σε δισλογαριθμικό χαρτί του μέτρου της λύσης σε συνάρτηση με το διάνυσμα διαφοράς υπολογιζομένων πραγματικών δεδομένων. Το σημείο μέγιστης καμπυλότητας δίνει μια προσέγγιση του βέλτιστου παράγοντα απόσβεσης για συγκεκριμένο παράγοντα εξομάλυνσης. |ui T b| |ui T b| / wi 1E-5 0 100 200 Index 300 400 Σχ. 2.13 Συνθήκη Picard: Χαρτογράφηση διαφόρων ποσοτήτων που ελέγχουν την λύση σε συνάρτηση με τον α/α των ιδιοτιμών. Η ιδιοτιμή 70 είναι η μικρότερη τιμή που μπορεί να ανακατασκευαστεί σύμφωνα με την θεωρία. Η ίδια τιμή είναι και ο παράγοντας απόσβεσης στο σχήμα 2.12 Στο σχήμα (2.14) παρουσιάζεται η μεταβολή της συνάρτηση σφάλματος σε συνάρτηση με τον αριθμό των επαναλήψεων της διαδικασίας της αντιστροφής. Παρατηρήθηκε ότι μετά την τρίτη επανάληψη δεν υπήρχε ουσιαστική μεταβολή της συνάρτησης σφάλματος και αποφασίστηκε το πέρας της αντιστροφής. Το αρχικό μέσο τετραγωνικό σφάλμα (r.m.s) ήταν 19.1313 ms και μειώθηκε στα 3.1187 ms στο τέλος της πρώτης επανάληψης (1D-raytracing) και στο 2.9471 ms μετά το τέλος της αντιστροφής. Οπως αναφέρθηκε σε προηγούμενη παράγραφο το ποσό της μεταβολής της συνάρτησης σφάλματος δεν είναι σωστό λόγω γραμμικών προσεγγίσεων σε έντονα μη γραμμικό πρόβλημα. Το σχήμα (2.14) δείχνει ότι στο τέλος της πρώτης επανάληψης (1D-raytracing) έγινε υποεκτίμηση της πραγματικής (μη γραμμικής) συνάρτηση σφάλματος κατά 200%. Αυτό το μεγάλο “άλμα” οφείλεται στο γεγονός ότι η αρχική μονοδιάστατη προσέγγιση της σεισμικής ακτίνας δεν ήταν επαρκής για να περιγράψει το πολύπλοκο μοντέλο ταχύτητας της περιοχής. 127 20 Start Misfit (ms) 15 First Iteration Second Iteration Third Iteration Start (Non-linear misfit) Co mparison between linear and nonlin ear misfit 10 5 Start End End (Linear misfit) 0 0 1 2 Iterations 3 Σχ. 2.14 Το σχήμα αυτό είναι όμοιο του σχήματος (2.8) με τη διαφορά ότι το “άλμα” μεταξύ πρώτης και δεύτερης επανάληψης είναι σαφώς μεγαλύτερο. Αυτή η διαφορά ουσιαστικά επιβεβαιώνει και την έντονη μη γραμμικότητα του προβλήματος που επιλύουμε. Στο τέλος της πρώτης επανάληψης, η γραμμική συνάρτηση σφάλματος, υποεκτίμησε την πραγματική μη γραμμική τιμή του σφάλματος (rms) κατά 200%. Στο σχήμα (2.15) παρουσιάζεται το αποτέλεσμα για το μοντέλο ταχύτητας για την περιοχή μελέτης. Στο σχήμα (2.15Α) παρουσιάζεται το μοντέλο ταχύτητας ως αποτέλεσμα της αντιστροφής των χρόνων διαδρομής με τη μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων και με παράγοντες κανονικοποίησης, ε=70 (απόσβεση) και λ=100 (εξομάλυνση). Πληροφορίες παρέχονται μόνο για τις περιοχές που υπήρχε κάλυψη από σεισμικές ακτίνες και η συνάρτηση επέκτασης είχε τιμή μικρότερη των 4 κόμβων του καννάβου διακριτοποίησης. Στη τομογραφική εικόνα παρουσιάζονται 2 μεγάλες ανωμαλίες ταχύτητας (στρώματα) οι οποίες τέμνουν τη γεώτρηση στα βάθη 400 m και 1000 m, αντίστοιχα. Η πρώτη ανωμαλία είναι μια ζώνη χαμηλής ταχύτητας που βυθίζεται προς το Βορρά με κλίση περίπου 45ο. Η δεύτερη ανωμαλία είναι ένα στρώμα υψηλών ταχυτήτων (θετική ανωμαλία) η οποία βυθίζεται προς την ίδια κατεύθυνση. Οπως αναφέρθηκε προηγουμένως, τα γεώφωνα στη γεώτρηση αρχίζουν μετά τα 1000m με αποτέλεσμα να μην υπάρχει καμμιά γνώση για τα στρώματα αυτά από επεξεργασία των σεισμικών ανάκλασης. Αυτός ο λόγος αποτέλεσε και την αιτία εφαρμογής της μεθόδου της σεισμικής τομογραφίας στη περιοχή. Το τελικό μοντέλο ταχύτητας συμφωνεί με τα βαθύτερα και τα επιφανειακά αποτελέσματα της σεισμικής ανάκλασης. Συμπληρωματικά, το μοντέλο ταχύτητας που προέκυψε από την επεξεργασία των πρώτων αφίξεων του πειράματος επιφανειακών σεισμικών ανάκλασης (σχ. 2.11) συμφωνεί απόλυτα με την υπολογιζόμενη δομή (βύθιση στρωμάτων προς Βορρά). Εντοπίστηκαν δύο 128 επιπλέον ανωμαλίες στα 2300m (χαμηλών ταχυτήτων, αρνητική) και στα 3200m (υψηλών ταχυτήτων, θετική). Αυτές οι ανωμαλίες πιθανόν να σχετίζονται με ανακλαστήρες που εντοπίστηκαν στα αντίστοιχα βάθη με επεξεργασία των δεδομένων ανάκλασης (Juhlin et al. 1997). Final Velocity Model (epsilon=70. lambda=100.) Spread <= 4.0 (epsilon=500. Lambda=100.) Homogeneous 5 5 10 10 15 15 20 20 25 25 30 30 Borehole Borehole 35 35 40 A 5 10 B 15 5 10 40 15 % -20 -10 0 10 20 Σχ. 2.15 Τελικό προτεινόμενο μοντέλο ταχυτήτων για τη περιοχή μελέτης. Α) Λύση ελαχίστων τετραγώνων όπως προέκυψε ύστερα από την εφαρμογή παραγόντων κανονικοποίησης (ε=70 και λ=100). Στο σχήμα χαρτογραφήθηκαν όνο κόμβοι στους οποίους η συνάρτηση επέκτασης είναι μικρότερη του 4. Β) Συντηρητική λύση του κενού χώρου εφαρμόζοντας αρχικό ομογενή πεδίο ταχυτήτων. Με σκοπό τον έλεγχο της αξιοπιστίας της λύσης, υπολογίστηκε ο πίνακας διακριτικής ικανότητας και ο πίνακας συμμεταβλητότητας για το μοντέλο του σχήματος (2.15Α). Στο σχήμα (2.16Α) παρουσιάζεται η κατανομή της τετραγωνικής ρίζας των διαγωνίων στοιχείων του πίνακα συμμεταβλητότητας. 129 Οπως παρατηρείται τα σφάλματα στους υπολογισμούς του μοντέλου ταχύτητας δεν υπερβαίνουν τα 250 m/s. Σφάλματα τέτοιας τάξης θεωρούνται αποδεκτά δεδομένου ότι διακύμανση των ταχυτήτων στη περιοχή μελέτης είναι της τάξης των 1000-2000 m/s. Στο σχήμα (2.16Β) παρουσιάζεται η κατανομή στο χώρο της συνάρτησης επέκτασης. Οπως αναφέρθηκε σε προηγούμενη παράγραφο, η συνάρτηση επέκτασης (f) είναι ένας εναλλακτικός τρόπος παρουσίασης της διακριτικής ικανότητας του μοντέλου. Στο σχήμα (2.16Β) παρουσιάζονται περιοχές με τιμές συνάρτησης επέκτασης μικρότερες των 4 κόμβων του καννάβου παραμετροποίησης. (epsilon=70. Lambda=100.) Spread Function (epsilon=70. Lambda=100.) 5 5 10 10 15 15 20 20 25 25 30 30 35 35 A 40 5 10 15 5 M/s 0.000 0.125 40 B 10 15 Grid nodes 0.250 0 2 4 Σχ. 2.16. Χαρτογράφηση του πίνακα συμμεταβλητότητας και της συνάρτησης επέκτασης. Α) Υπολογισμός του πίνακα συμμεταβλητότητας για τη περιοχή μελέτης. Παρατηρείται ότι τα σφάλματα στο υπολογισμό των ταχυτήτων δεν υπερβαίνουν τα 200 m/s. Β) Χαρτογράφηση της συνάρτησης επέκτασης για τιμές αυτής μικρότερες ή ίσες του 4. Οι έγχρωμες περιοχές του μοντέλου έχουν ανακατασκευαστεί με μεγάλη ακρίβεια. Σύμφωνα με όσα περιγράφονται στην παράγραφο 2.5, στα δεδομένα εφαρμόστηκε και η μέθοδος (Nullspace shuttle) των Deal και Nolet (1996), με σκοπό την μεταγενέστερη βελτίωση της τομογραφικής εικόνας χωρίς τη μεταβολή της προσαρμογής του μοντέλου στα δεδομένα. Οπως αναφέρθηκε και στη θεωρητική περιγραφή της μεθόδου τον κύριο ρόλο στην επεξεργασία των 130 δεδομένων τον έχει η συνάρτηση φίλτρου που επιλέγεται με βάση την εκ των προτέρων γνώση του χώρου μελέτης. Για αυτό το λόγο εφαρμόστηκαν δύο τύποι φίλτρων βασιζόμενοι στη γνώση του μονοδιάστατου μοντέλου ταχυτήτων της περιοχής από μετρήσεις ταχυτήτων μέσα στη γεώτρηση. Στη πρώτη περίπτωση θεωρήθηκε ότι η μέγιστη αναμενόμενη μεταβολή των ταχυτήτων στη περιοχή κυμαίνεται από 4.5 έως 7.5km/sec. Ετσι oρίστηκε ένα φίλτρο 2 ορίων (binary filter) το οποίο χρησιμοποιήθηκε για τη σύγκριση των ταχυτήτων του μοντέλου με το “κατώφλι” για κάθε ένα όριο (5 και 6.5 Km/sec). Αν η ταχύτητα σε κάποιο κόμβο υπερβαίνει το «κατώφλι» για την ανώτερη/κατώτερη τιμή ταχυτήτων για τη περιοχή, τότε αυτόματα η ταχύτητα του κόμβου αλλάζει στην αντίστοιχη τιμή ταχύτητας, αλλίως οι τιμές των κόμβων μένουν ανεπηρέαστες. Στο δεύτερο φίλτρο επιχειρήθηκε να χρησιμοποιηθούν πληροφορίες που ανήκουν στο κενό χώρο (nullspace) για να ανακατασκευαστεί το μονοδιάστατο μοντέλο ταχυτήτων της περιοχής. Για την προσπάθεια αυτή, αυξήθηκε ο κενός χώρος αυξάνοντας το κατώφλι των ιδιοτιμών (ε=500), και περιλαμβάνοντας 268 από τις 392 ιδιοτιμές (σχ. 2.13) στο μηδενικό χώρο. Η διαφορά μεταξύ των δύο εφαρμοζόμενων φίλτρων και της λύσης ελαχίστων τετραγώνων, προβλήθηκε στο κενό χώρο του μοντέλου με αποτέλεσμα η τελική συνισταμένη να βρίσκεται στο μηδενικό χώρο χωρίς να μεταβάλλει την προσαρμογή των δεδομένων στο μοντέλο. Τελικά, αυτές οι συνιστώσες, αθροίστηκαν στο διάνυσμα λύσης της μεθόδου ελαχίστων τετραγώνων και προέκυψε μια νέα φιλτραρισμένη εικόνα. Το σφάλμα αυτής της νέας λύσης αυξήθηκε κατά 10% συγκρινόμενο με το σφάλμα της λύσης του σχήματος (2.15Α). Είναι ενθαρρυντικό το γεγονός ότι το 1/3 των ιδιοτιμών οδήγησαν σε λύση σχετικά παρόμοια με αυτή του τελικού μοντέλου. Αντίστοιχα είναι και τα αποτελέσματα από το μονοδιάστατο φιλτραρισμένο μοντέλο. Τα αποτελέσματα αυτά, μαζί με τα αποτελέσματα του σχήματος (2.15), επιβεβαιώνουν την ευρωστία της λύσης. Η βελτιωμένη εικόνα από την εφαρμογή της μεθόδου των Deal και Nolet (1996) δίνεται στο σχήμα (2.15Β). 2.7 Συμπεράσματα Στο κεφάλαιο αυτό περιγράφηκε ένας αλγόριθμος που επιλύει με αποτελεσματικότητα μη γραμμικά προβλήματα χρόνων διαδρομής. Η αποτελεσματικότητα της μεθόδου πιστοποιήθηκε με την εφαρμογή της μεθόδου σε συνθετικά και πραγματικά δεδομένα. Η μελέτη συνεχίστηκε σε θέματα επεξεργασίας των σφαλμάτων των δεδομένων και βελτίωσης των αποτελεσμάτων με μαθηματικές μεθόδους. Επίσης αυτοματοποιήθηκε η επιλογή των παραγόντων κανονικοποίησης που όπως έχει τονισθεί αποτελεί ίσως το σημαντικότερο πρόβλημα κατά την επίλυση αντιστρόφων προβλημάτων. Βελτιώθηκε επίσης, η επίλυση του ευθέως προβλήματος με τον υπολογισμό και τη χρήση των όγκων Fresnel και την εφαρμογή τρισδιάστατου προσδιορισμού της σεισμικής ακτίνας. Παράλληλα, μειώθηκε αισθητά ο χρόνος επίλυσης του ευθέως και αντιστρόφου προβλήματος εκτελώντας υπολογισμούς μόνο στα μη μηδενικά στοιχεία του πίνακα των παραγώγων. 131 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ • Aki, K., and Richards, P. G., 1980, Quantitative Seismology: Theory and methods: W. H. Freeman & Co. • Alessandrini, B., Beranzoli, L., Drakatow, G., Falcone, C., Karantonis, G., Mele, F. M., Stavrakakis, G. N., 1997, Tomographic image of the crust and th uppermost manthle of the Ionian and Aegean regions, Annali di Geofisica, XL, 1, 151-160. • Ayarza, P., Juhlin, C., Brown, D., Pechning, R., Beckholmen, Ayala, C., Kimbell, G., Rybalka, A., and Glushkov, A., 1998, Origin of the shallow reflectivity in the SG4 borehole area from reflection seismic, gravity and borehole data, Constraints on the upper crustal structure of the Tagil Synform (Middle Urals), submitted to J. Geophys. Res. • Backus, G., and J.F., Gilbert, 1967, Numerical applications of a formalism for geophysical inverse problems, Geophys. J.R. Astron. Soc., 13, 247-276. • Barsky, B. A., 1988, Computer Graphics and Geometric Modeling Using BetaSplines, Springer, New York. • Bertoni, H. C., Felsen, L. B., and Hessel, A., 1971, Local properties of radiation in lossy media: IEEE Trans., Ap-19, 226-238. • Cerveny, V., and Soares, E. P., 1992, Fresnel volume ray tracing, Geophysics, 57, 7, 902-915. • Constable, S., Parker, R., and Constable, C., 1987, Occam’s inversion : A practical algorithm for generating smooth models from electromagnetic sounding data. Geophysics, 52, 289-300. • Conte, S. D. and C. de Boor, 1980, Elementary Numerical Analysis, McGrawHill. New York. • Deal M. M., and Nolet, G., 1996, Nullspace shuttles, Geophys. J. Int., 124, 372-380. • Dines, K. A., and Lyttle, R. J., 1979, Computerized geophysical tomography, proc. IEEE, 67, 1065-1073. 132 • Eaton, D. W. S., Stewart, R. R., and Harrison, M. P., 1991, The Fresnel zone for P-SV waves: Geophysics, 56, 360-364. • Flatte, S. M., Dashen, R., Munk, W. H., Watson, K. M., and Zachariasen, F., 1979, Sound transmission through a fluctuating ocean: Cambridge Univ. Press. • Fletcher, R. and Reeves, C. M., 1964, Function minimization by conjugate gradients, Computer J., 7, 149-154. • Franklin, J. N., 1970. Well-posed stochastic extension of ill-posed linear problems. J. Math. Anal. Appl., 31, 682-716. • Hansen, P. C., 1994, REGULARIZATION TOOLS: A Matalab package for analysis and solution of discrete ill-posed problems, Numerical Algorithms, 6, 135. • Hagedoorm, T. G., 1959, A process of seismic reflection interpretation: Geophy. Prosp., 2, 85-127. • Hilterman, F. T., 1970, Three-dimensional seismic modelling: Geophysics, 35, 1020-1037. • Juhlin, C., Bliznetsov, M., Pevzner, L., Hismatulin, T., Rybalka, A., Glushkov, A., 1997, Seismic imaging of reflectors in the SG4 borehole, Middle Urals, Russia, Tectonophysics, 276, 1-18. • Julian, B. R., and Gubbins, D., 1977, Three dimensional seismic ray tracing, J. Geophys., 43, 95-113. • Kleyn, A. H., 1983, Seismic reflection interpretation, Applied Science Publ. Ltd. • Klem – Musatov, K. D., 1980, Theory of edge waves and its applications in seismic methods, Nauka, Siberia Branch, Novosibirisk (in Russian). • Kravtsov, Yu. A., and Orlov, Yu. I., 1979, On the validity conditions of the geometrical optics method, in Recent problems of propagation and scattering of waves Q IRE Acad. Sci. USSR, Moscow (in Russian). • Kravtsov, Yu. A., and Orlov, Yu. I., 1980, Geometrical optics of inhomogeneous media, Nauka, Moscow (in Russian). 133 • Lawson, C. L., and Hanson, R. J., 1974, Solving Least Squares Problems, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey. • Leveque, J., Rivera, L., and Wittlinger, G., 1993, On the use of the checkerboard test to assess the resolution of tomographic inversions, Geophys. J. Int., 115, 313-318. • Lindsey, J. P., 1989, The Fresnel zone and its interpretative significance, The Leading Edge, 8, 10, 33-39. • Menke, W. (1984). Geophysical data analysis: Discrete Inverse Theory. Academic Press, New York. • Miller, K., 1970, Least squares methods for ill-posed problems with a prescribed bound, SIAM J. Math. Anal. 1, 52-74. • Moser, T. J., Nolet, G., and Snieder. R., 1992, Ray Bending Revisited. Bull. Seism. Soc. Am. 82, 259-288. • Nelder, J. A., and R. Mead, 1965, A simplex method for function minimization, Computer J. 7, 308-313. • Newman, W. M., and R. F. Sproull, 1981, Principles of Interactive Computer Graphics, McGraw-Hill, New York. • Παπαζάχος Κ. Βασίλειος, 1986. Εισαγωγή στην Εφαρμοσμένη Γεωφυσική. Εκδόσεις ΖΗΤΗ, 1986. • Παπαζάχος Β. Κωνσταντίνος, 1994, Συμβολή στη μελέτη της δομής του φλοιού και του πάνω μανδύα στην Νοτιοανατολική Ευρώπη με αντιστροφή σεισμικών και βαρυτικών δεδομένων. Διδακτορική Διατριβή, Παν/μιο Θεσ/νίκης 1994. • Pereyra, V., Lee, W. H. K., and Keller, H. B., 1980, Solving two point seismic ray tracing problem in a heterogeneous medium, Part I: A general adaptive finite difference method, Bull. Seism. Soc. Am., 70, 79-99. • Pant, D. R., and Greenhalgh, S. A., 1989, Lateral resolution in seismic reflection, A physical model study, Geophys. J., 97, 187-198. 134 • Papazachos, C. B., and Nolet, G., 1997, Non-linear arrival time tomography, Annali di geofisica, XL, 1, 85-97. • Press, W. H., B. P. Flannery, S. A. Teukolsky, and W. T. Vetterling, 1988, Numerical Recipes in Fortran - The Art of Scientific Computing, Cambridge University Press, Cambridge, pp. 292, 305-309. • Prothero, W. A., W. J. Taylor, and J. A. Eickemeyer, 1988, A fast, two-point, three-dimensional ray tracing algorithm using a simple step search method, Bull. Seism. Soc. Am. 78, 1190-1198. • Sambridge, M., 1990, Non-linear arrival time inversion: constraining velocity anomalies by seeking smooth models in 3-D, Geophys. J.R. Astron. Soc., 102, 653-677. • Sheriff, R. E., 1977, Limitations on resolution of seismic reflections and geological details derivable from them, in Payton, C. E., Ed., Seismic stratigraphy-Applications to hydrocarbon explorations, Mem. Am. Assn. Petr. Geol., 26, 3-14. • Sheriff, R. E., 1980, Nomogram for Fresnel zone calculation, Geophysics, 45, 968-972. • Sheriff, R. E., 1985, Aspects of seismic resolution, in Berg., O. R., and Woolverton, D. G., Eds., Seismic startigraphy, II, An integrated approach to hydrocarbon exploration, Mem. Assn. Petr. Geol., 39, 4-27. • Sheriff, R. E., 1989, Geophysical methods, Prentice-Hall, Inc. • Sheriff, R. E., and Geldart, L. P., 1995. Exploration Seismology. Cambridge University Press. • Steer, D. N., Knapp, J. H., Brown, L. D., Rybalka, A. V., Sokolov, V. B., 1995, Crustal structure of the Middle Urals based on reprocessing of Russian seismic reflection data, Geophys. J. Int., 123, 673-682. 135 • Stoer, J. and R. Bulirsch, 1980, Introduction to Numerical Analysis. Springer, New York. • Stork, C., and Clayton, R. W., 1991, Linear aspects of tomographic velocity analysis, Geophysics, 56, 483-495. • Tarantola, A., 1987, Inverse Problem Theory, Elsevier, Amsterdam. • Thurber, C. H., 1983, Earthquake locations and three-dimensional crustal structure in the Coyote Lake area, central California. J. Geophys. Res., 88, 82268236. • Thurber, C. H., and Ellsworth, W. L., 1980, Rapid solution of ray tracing problems in heterogeneous media. Bull. Seism. Soc. Am., 70, 1137-1148. • Uhm, J., and Thurber, C. H., 1987, A fast algorithm for two points seismic ray tracing. Bull. Seism. Soc. Am., 77, 972-986. • Wu, R. S., and Aki, K., 1988, Introduction: Seismic wave scattering in threedimensionally heterogeneous earth, Pageoph, 128, 1-6. 136 3. Τομογραφία Ανάκλασης Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετηθεί η τομογραφία ανάκλασης ως μέθοδος ανακατασκευής του μοντέλου ταχύτητας και των χαρακτηριστικών μιας ασυνέχειας ανάκλασης. Στην αρχή θα αναφερθεί η μέθοδος επίλυσης του ευθέως προβλήματος. H επίλυση του ευθέως προβλήματος περιλαμβάνει: α) τον προσδιορισμό των χρόνων ανάκλασης (Hole και Zelt 1995), β) τον καθορισμό της ανακλώμενης σεισμικής ακτίνας και του σημείου ανάκλασης της ακτίνας (raytracing) (Williamson 1990) και γ) υπολογισμό του πίνακα των παραγώγων ταχύτητας και των παραγώγων της ασυνέχειας. Κατόπιν θα αναφερθεί η μέθοδος αντιστροφής των δεδομένων και θα συζητηθούν γνωστά προβλήματα που συνυπάρχουν με την τομογραφία ανάκλασης. Τέλος, θα γίνει εφαρμογή της μεθόδου σε συνθετικά δεδομένα παρουσιάζοντας την εφαρμοσιμότητα αλλά και τις αδυναμίες της μεθόδου. 3.1 Υπολογισμός των χρόνων ανάκλασης στις τρεις διαστάσεις με τη μέθοδο πεπερασμένων διαφορών Η πιο ευρέως χρησιμοποιούμενοι μέθοδοι υπολογισμού των χρόνων ανάκλασης σε δύο και τρεις διαστάσεις είναι των Hole et al. (1993), Moser (1991) και Lecomte και Hamran (1993). Ο κύριος λόγος που αυτές χρησιμοποιούνται είναι γιατί παρουσιάζουν μεγάλη ταχύτητα στον υπολογισμό των χρόνων διαδρομής. Η υψηλή ταχύτητα εκτέλεσης των παραπάνω μεθόδων, οφείλεται στο γεγονός ότι το πρόγραμμα πεπερασμένων διαφορών καλείται δύο φορές ανά πηγή, σε αντίθεση με τις μεθόδους των Podvin και Lecomte (1991) και των Matsuoka και Ezaka (1992) στις οποίες απαιτείται ο υπολογισμός των χρόνων με πεπερασμένες διαφορές για κάθε πηγή και κάθε γεώφωνο. Βασικός όμως περιορισμός των μεθόδων αυτών, είναι το γεγονός ότι ο ανακλαστήρας πρέπει να βρίσκεται πάνω στους κόμβους του καννάβου διακριτοποίησης. Επίσης, στη περίπτωση κεκλιμένου ανακλαστήρα, απαιτείται η διακριτοποίηση της ασυνέχειας σε κλιμακωτά οριζόντια τμήματα. Οι Hole και Zelt (1995) παρουσίασαν μια μέθοδο υπολογισμού των χρόνων ανάκλασης, παρόμοια με αυτή των Hole et al. (1993), επιτρέποντας όμως την επιφάνεια ασυνέχειας να είναι εξομαλυσμένη με το βάθος, ενώ οι χρόνοι διαδρομής υπολογίζονται με εφαρμογή του νόμου του Snell για την περιοχή πάνω από τον ανακλαστήρα. Για τον ταχύτερο υπολογισμό των χρόνων διαδρομής των ανακλώμενων κυμάτων, απαιτείται ο βέλτιστος αλγόριθμος πεπερασμένων διαφορών. Όπως αναφέρθηκε και στη παράγραφο 1.7.3, ο γνωστότερος τρόπος υπολογισμού των χρόνων διαδρομής με τη μέθοδο πεπερασμένων διαφορών, είναι αυτός του Vidale (1988, 1990). Παρόλα αυτά, η μέθοδος παρουσίασε προβλήματα στη παρουσία μεγάλων και έντονων μεταβολών του μοντέλου ταχύτητας (Podvin and Lecomte 1991, Qin et al. 1992). Πολλοί επιστήμονες πρότειναν τροποποιημένους αλγόριθμους χρησιμοποιώντας νέους τελεστές πεπερασμένων διαφορών ή νέες τεχνικές στις οποίες οι τελεστές των πεπερασμένων διαφορών εφαρμόζονταν με πιο αποτελεσματικό τρόπο (Podvin and Lecomte 1991, Van Trier and Symes 1991, Schneider et al. 1992, Qin et al. 1992). Αντί να χρησιμοποιηθεί ένας από τους νέους αλγόριθμος, οι Hole και Zelt (1995) αποφάσισαν να τροποποιήσουν τον αρχικό 137 αλγόριθμο του Vidale (1988, 1990) αντιμετωπίζοντας τις αδυναμίες του αλγόριθμου. Περιληπτικά, οι αλλαγές που έγιναν αναφέρονται παρακάτω: α) εντάχθηκε στον αλγόριθμο ένας τελεστής για τα μετωπικά κύματα, β) έγινε υπολογισμός της αντίστροφης διάδοσης των κυμάτων (reverse propagation) για τη περίπτωση πολύπλοκων μοντέλων ταχύτητας. Ο τρόπος με τον οποίο αντιμετωπίστηκε το πρόβλημα είναι παρόμοιος με αυτόν των Podvin και Lecomte (1991), επιλύνοντας όλα τα προβλήματα που οφείλονται σε μεγάλες αντιθέσεις ταχυτήτων. Δοκιμές έδειξαν ότι ο τροποποιημένος αλγόριθμος των Hole και Zelt (1995) είναι γρηγορότερος και ακριβέστερος των προτεινόμενων μεθόδων των Podvin και Lecomte (1991), Van Trier και Symes (1991), Schneider et al. (1992) και των Qin et al. (1992). Στη παρούσα διατριβή χρησιμοποιήθηκε η μέθοδος των Hole και Zelt (1995), στην οποία εφαρμόζεται ο νόμος του Snell για τον υπολογισμό των χρόνων ανάκλασης από ένα εξομαλυσμένο κεκλιμένο ορίζοντα. Για τη κατασκευή του λογισμικού έγιναν οι υποθέσεις ότι ο ανακλαστήρας, το προσπίπτων μέτωπο κύματος και το ανακλώμενο μέτωπο κύματος είναι τοπικά επίπεδα, μια προσέγγιση που είναι θεμελιώδης κατά την εφαρμογή των πεπερασμένων διαφορών. Οι ταχύτητες κάτω από τον ανακλαστήρα είναι μικρότερες των ταχυτήτων πάνω από τον ανακλαστήρα, με σκοπό την εξάλειψη αφίξεων που θα προέρχονται από κύματα που κινούνται πάνω ή κάτω από την ασυνέχεια και δεν έχουν σχέση με ανακλάσεις (Podvin and Lecomte 1991). Αρχικά, υπολογίζονται οι χρόνοι διαδρομής των κυμάτων που διαδίδονται από την πηγή προς τον ανακλαστήρα. Κατόπιν με εφαρμογή του νόμου του Snell, οι υπολογιζόμενοι χρόνοι διαδρομής στους κόμβους αμέσως πάνω από τον ανακλαστήρα, αντικαθίσταται από τους χρόνους ανάκλασης. Η διακύμανση της ανακλώμενης επιφάνειας ορίζεται ως di,j, συναρτήσει των δεικτών ι, j οι οποίοι ορίζουν τη θέση στο χώρο. Το βάθος di,j μπορεί να πάρει μόνο θετικές τιμές και δεν περιορίζεται στο να βρίσκεται πάνω σε κόμβους του καννάβου παραμετροποίησης. Το κάθετο διάνυσμα στον ανακλαστήρα το οποίο έχει φορά προς τα πάνω, ορίζεται με τη χρήση τοπικών διαφορών ως nix, j = niy, j = d i +1, j − d i −1, j 2h d i , j +1 − d i , j −1 2h , , (3.1) niz, j = −1 όπου οι δυνάμεις υποδηλώνουν τις συνιστώσες του διανύσματος σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων και το z αυξάνει με το βάθος. Το διάνυσμα αυτό κανονικοποιείται για να δώσει το διάνυσμα nˆ (σχ. 3.1). 138 Σχ. 3.1. Παρουσίαση του τρόπου με τον οποίο έγινε η εφαρμογή του νόμου του Snell και ο υπολογισμός των χρόνων ανάκλασης στους κόμβους πάνω από τον ανακλαστήρα. Οι κύκλοι είναι οι κόμβοι του καννάβου παραμετροποίησης, ενώ η διακεκκομένη γραμμή παριστά τον ανακλαστήρα. Οι χρόνοι υπολογίζονται για τους κόμβους που είναι μαύροι. Το q παριστάνει το διάνυσμα του προσπίπτοντος κύματος και r είναι το διάνυσμα του ανακλώμενου κύματος. Οι συνεχείς λεπτές παράλληλες γραμμές παριστούν το προσπίπτον και ανακλώμενο μέτωπο κύματος. Η στικτή γραμμή είναι το εσωτερικό γινόμενο της σχέσης (3.4) με το οποίο γίνεται ο υπολογισμός της ανακλώμενης ακτίνας (Hole and Zelt, 1995). Παρομοίως, το διάνυσμα του προσπίπτοντος κύματος μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας το ήδη υπολογιζόμενο πεδίο των χρόνων διαδρομής, ως qix, j = qiy, j = qiz, j = t i +1, j , k 2 − t i −1, j , k 2 2h t i , j +1, k 2 − t i , j −1, k 2 2h t i , j ,k 2+1 − t i , j , k 2 , , (3.2) h όπου k2 είναι ο ορίζοντας των κόμβων που βρίσκονται αμέσως πάνω από τον ανακλαστήρα (σχ. 3.1). Το μέγεθος του διανύσματος της σεισμικής ακτίνας q είναι η τοπική καθυστέρηση s (slowness). Ο χρόνος της άφιξης του προσπίπτοντος κύματος στον ανακλαστήρα, δίνεται από την παρακάτω σχέση ti , j ,d = ti , j ,k 2 + qiz, j (d i , j − z k 2 ) (3.3) Υπό μορφή διανυσμάτων και εφαρμόζοντας τον νόμο του Snell, η ανακλώμενη ακτίνα δίνεται από την ακόλουθη σχέση, 139 r = q − 2(q ⋅ nˆ)nˆ (3.4) Με παρόμοιο τρόπο προκύπτει ότι οι χρόνοι των ανακλώμενων κυμάτων στους κόμβους τους μεταξύ του ανακλαστήρα και του k2, είναι ti , j ,k = ti , j ,d + ri ,zj ( zk − d i , j ) (3.5) Με τα παραπάνω, το τρισδιάστατο μοντέλο χρόνων διαδρομής των ανακλώμενων κυμάτων είναι γνωστό. Οι χρόνοι ανάκλασης σε όλους τους κόμβους μεταξύ του ανακλαστήρα και του κόμβου κ2, δίνονται από τη σχέση (3.5). Αυτοί οι χρόνοι διαδρομής αποτελούν τα δεδομένα εισόδου στον αλγόριθμο πεπερασμένων διαφορών. Οι υπολογισμοί αρχίζουν από το κάτω μέρος του μοντέλου και εκτείνονται προς τα πάνω. Ετσι τελικά έχουν υπολογιστεί οι χρόνοι των ανακλώμενων κυμάτων για όλους τους κόμβους πάνω από τον ανακλαστήρα. Με μικρές μεταβολές στον αλγόριθμο μπορεί να επιτευχθεί υπολογισμός των χρόνων ανάκλασης σε θέσεις διακριτών κατακόρυφων ρηγμάτων ή κενών στον ανακλαστήρα. Η μέθοδος των Hole και Zelt (1995) παρουσιάζει τα εξής πλεονεκτήματα α) δέχεται την παρουσία χασμάτων στον ανακλαστήρα (π.χ χάσματα στην ασυνέχεια Moho) και κατακόρυφων ρηγμάτων. β) σε σύγκριση με τον διακριτό ανακλαστήρα (Hole et al. 1993) η εφαρμογή εξομαλυσμένων επιφανειών βελτίωσε αισθητά την ακρίβεια των υπολογισμών χρόνων διαδρομής, τον υπολογισμό του σημείου ανάκλασης και της γωνίας ανάκλασης. Τα στοιχεία αυτά χρησιμεύουν σε επόμενο στάδιο για την ακριβή προσομοίωση του ανακλαστήρα, καθώς και για την αντιστροφή των δεδομένων. γ) επιτρέπει κλίση ανακλαστήρα μέχρι 45ο για δισδιάστατα μοντέλα και μέχρι 35ο για μοντέλα τριών διαστάσεων. Πρέπει ακόμη να τονισθεί ότι και στη περίπτωση μεγάλων κλίσεων αρκεί μια στροφή του τοπικού συστήματος συντεταγμένων για να επιλυθεί το πρόβλημα με τη μέθοδο που μελετάται. Αυτός ο αλγόριθμος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τρισδιάστατη μετανάστευση σεισμικών καταγραφών ανάκλασης (3D-migration), τομογραφία ταχυτήτων ή αντιστροφή της ανακλώμενης ασυνέχειας (Hole, 1992; Aldridge and Oldenburg, 1993; Pullammanappallil and Louie, 1993). 3.2 Υπολογισμός του πίνακα Α του γραμμικού συστήματος Για την αντιστροφή των δεδομένων ανάκλασης απαιτείται ο υπολογισμός του πίνακα Α του γραμμικού συστήματος Α.x=b. Οπως περιγράφηκε στο πρώτο κεφάλαιο, το διάνυσμα b είναι το διάνυσμα των διαφορών χρόνου (δt), μεταξύ υπολογιζόμενων και παρατηρούμενων χρόνων διαδρομής των σεισμικών κυμάτων (απευθείας, διάθλασης, ανάκλασης). Το διάνυσμα x είναι το άγνωστο διάνυσμα των παραμέτρων του μοντέλου που πρέπει να μελετηθεί. Ο πίνακας των παραγώγων Α, περιέχει πληροφορίες ανάλογες αυτών που θα πρέπει να ανακατασκευάσει το διάνυσμα των παραμέτρων x. Ετσι στη περίπτωση κατά την οποία γίνεται ταυτόχρονη αντιστροφή μοντέλου ταχυτήτων και ανακλαστήρα, ο πίνακας Α 140 περιέχει πληροφορίες που αφορούν το μοντέλο ταχυτήτων (μήκη σεισμικών ακτίνων ανά κελί) και πληροφορίες για τη θέση του ανακλαστήρα (παράγωγο του σημείου ανάκλασης ανά σεισμική ακτίνα). Στην απλή περίπτωση της αντιστροφής του μοντέλου ταχυτήτων ο πίνακας Α περιέχει μόνο τα μήκη των ανακλώμενων σεισμικών ακτίνων ανά κελί. 3.2.1 Καθορισμός της ανακλώμενης σεισμικής ακτίνας Με την εφαρμογή του αλγόριθμου πεπερασμένων διαφορών υπολογίζονται οι χρόνοι διαδρομής των ανακλώμενων κυμάτων για όλους τους κόμβους του καννάβου παραμετροποίησης, που βρίσκονται πάνω από την επιφάνεια ανάκλασης. Κατόπιν υπολογίζεται η σεισμική ακτίνα με εφαρμογή της προς τα πίσω συνέχειας για κάθε ζεύγος πηγής-γεωφώνου. Με αρχή το γεώφωνο, υπολογίζεται η αρνητική βαθμίδα ανά κελί από τους χρόνους διαδρομής σε κάθε κόμβο, οπότε είναι εκ των προτέρων γνωστή η πορεία της ακτίνας η οποία είναι κάθετη του μετώπου του κύματος. Κατά την διαδικασία εύρεσης της σεισμικής ακτίνας, αποθηκεύεται το μήκος κάθε ακτίνας ανά κελί και επίσης υπολογίζεται η θέση του μέσου σημείου της ακτίνας σε κάθε κελί. Αναλόγως της θέσης του μέσου σημείου της ακτίνας ανά κελί, χρησιμοποιούνται βάρη, αντιστρόφως ανάλογα της απόστασης του σημείου από τους κόμβους και η συνεισφορά (μήκος) της ακτίνας μοιράζεται στους οκτώ γειτονικούς κόμβους. 3.2.2 Υπολογισμός των μερικών παραγώγων του ανακλαστήρα Στο επόμενο στάδιο υπολογίζονται οι παράγωγοι των σημείων ανάκλασης εφαρμόζοντας τη μέθοδο υπολογισμού μερικών παραγώγων του ανακλαστήρα όπως δόθηκε από τον Williamson (1990). Ως παράγωγος του σημείου ανάκλασης, ορίζεται η μεταβολή του χρόνου διαδρομής που υφίσταται η σεισμική ακτίνα στη περίπτωση κατακόρυφης μεταβολής του σημείου ανάκλασης. Κατά τη διαταραχή του ανακλαστήρα, διαταράσσεται σε πολύ μικρότερο βαθμό και το σημείο ανάκλασης. Αν η μετατόπιση του σημείου ανάκλασης, αναλυθεί σε παράλληλη και κάθετη στον ανακλαστήρα συνιστώσα, τότε είναι δυνατόν να υπολογιστεί η μεταβολή που υπέστει ο χρόνος διαδρομής από αυτήν τη μεταβολή στη θέση του σημείου ανάκλασης. Αναλόγως τη παραμετροποίηση του ανακλαστήρα, η «συνεισφορά» της μεταβολής στο σημείο ανάκλασης, μοιράζεται στους δύο πλαïνούς κόμβους του ανακλαστήρα με βάρος αντιστρόφως ανάλογο της απόστασης του σημείου ανάκλασης από τους κόμβους. Στο σχήμα (3.2) παρουσιάζεται ένα παράδειγμα υπολογισμού των μερικών παραγώγων του ανακλαστήρα σύμφωνα με την διακριτοποίηση αυτού. Το βάθος του σημείου ανάκλασης επηρεάζεται μόνο από τα βάθη των δύο γειτονικών σημείων Α και Β, συνεπώς, η ith γραμμή του πίνακα των παραγώγων θα είναι κενή εκτός των στοιχείων ij και i(j+1), τα οποία αντιστοιχούν στα σημεία Α και Β. Η αύξηση στο μήκος της σεισμικής ακτίνας i, RQS, λόγω της τοπικής κατακόρυφης διαταραχής Δh, δίνεται από τη σχέση, RQS = δl i = 2PQ cosθ 141 (3.6) δt i = 2sδh cos φ cosθ . (3.7). Σχ. 3.2. Παρουσίαση της περιοχής πλησίον του σημείου ανάκλασης και των ποσοτήτων που λαμβάνονται υπόψην για τον υπολογισμό των μερικών παραγώγων βάθους (Williamson, 1990). Η κατακόρυφη διαταραχή δh, δίνεται ως δh = (1 − a )δd j + aδd j +1 (3.8) οπότε, Aij = 2s (1 − a )cos φ cosθ , Ai ( j +1) = 2sa cos φ cosθ . (3.9) Τελικά, ο πίνακας των παραγώγων Α περιέχει πληροφορίες για το σύνολο των κόμβων του μοντέλου ταχύτητας για το οποίο θα γίνει η αντιστροφή των δεδομένων όπως και στοιχεία για το ποιοί κόμβοι είναι αυτοί, η ταχύτητα των οποίων θα επαναϋπολογιστεί. Ακόμα, δίνονται αντίστοιχες πληροφορίες για τον ανακλαστήρα παρέχοντας τις δύο παραγώγους των γειτονικών του σημείου ανάκλασης, σημείων. 3.3 Μέθοδος αντιστροφής των δεδομένων ανάκλασης Λόγω του μεγάλου όγκου των δεδομένων κατά την επεξεργασία δεδομένων ανάκλασης απαιτείται τη χρήση υπολογιστών με μεγάλη υπολογιστική ισχύ. Επίσης παρατηρήθηκε ότι είναι απαγορευτική η χρήση ορισμένων μεθόδων αντιστροφής, όπως της μεθόδου ανάλυσης ιδιαζουσών ιδιοτιμών (S.V.D) λόγω του τρόπου με τον 142 οποίο γίνεται η διαχείριση των δεδομένων. Οπως αναφέρθηκε και στη παράγραφο 1.8.14, η μέθοδος η οποία προτείνεται για την αντιστροφή μεγάλου πλήθους δεδομενών είναι η επαναληπτική μέθοδος επίλυσης ελαχίστων τετραγώνων (LSQR) (Paige and Saunders 1982 a,b). Είναι γνωστό ότι με την επιλογή της συγκεκριμένης μεθόδου, συναντάται η δυσκολία προσδιορισμού της ποιότητας και της διακριτικής ικανότητας της υπολογιζόμενης λύσης. Για την αντιμετώπιση του προαναφερθέντος προβλήματος, ο χρήστης έχει τη δυνατότητα να επιλέξει την μέθοδο αντιστροφής όπως και τους κατ’ εκτίμηση, κατάλληλους παράγοντες κανονικοποίησης (απόσβεση – εξομάλυνση). Πρέπει να τονισθεί ότι στη περίπτωση κατά την οποία πραγματοποιείται συνολική αντιστροφή δεδομένων διαφορετικών παραμέτρων (ταχύτητα, ανακλαστήρας), απαιτείται η κανονικοποίηση του πίνακα και η έκφραση αυτού με ένα ενιαίο μέγεθος. Στη παρούσα περίπτωση οι παράγωγοι του ανακλαστήρα δίνονται ως μεταβολές του χρόνου με μεταβολές της θέσης κατά τον z άξονα (dt/dz) οπότε εκφράζονται ως sec/Km. Αντίστοιχα, οι παράγωγοι ταχύτητας δίνονται ως μήκη ακτίνων ανά κελί (Κm). Για την πραγματοποίηση της κανονικοποίησης του πίνακα Α, τα στοιχεία πολλαπλασιάζονται με την μεταβλητότητα της παραμέτρου την οποία περιγράφουν. Για το λόγο αυτό οι παράγωγοι ταχυτήτων πολλαπλασιάζονται με την ποσότητα σs, σs = σv sec , v 2 Km (3.10) όπου σv είναι η μεταβλητότητα του μοντέλου ταχύτητας της υπό μελέτη περιοχής και v είναι η μέση παρατηρούμενη ταχύτητα των πετρωμάτων στη περιοχή μελέτης. Αντίστοιχα, οι παράγωγοι του ανακλαστήρα πολλαπλασιάζονται με τη μεταβλητότητα αυτού, δηλαδή με την ποσότητα σz (Km). Ετσι, τελικά, όλα τα στοιχεία του πίνακα των παραγώγων έχουν διαστάσεις χρόνου (sec). Ανεξάρτητα της επιλογής της μεθόδου αντιστροφής, στο νέο πίνακα των παραγώγων εφαρμόζεται εξομάλυνση στο πεδίο των ταχυτήτων που μπορεί να είναι διαφορετική για τις δύο διαστάσεις (x,z). Αυτό γίνεται για την περίπτωση κατά την οποία ανωμαλίες ταχύτητας παρουσιάζουν εκ των προτέρων γνωστή οριζόντια ή κατακόρυφη θέση. Αντίστοιχη εξομάλυσνη εφαρμόζεται και στον ανακλαστήρα. Μετά το τέλος της αντιστροφής των δεδομένων ταχύτητας και ανακλαστήρα, γίνεται μετατροπή των μονάδων έτσι ώστε τα μεγέθη να συνοδεύονται από τις σωστές μονάδες. Τέλος, εφαρμόζεται ένα φίλτρο 5 σημείων στον υπολογιζόμενο ανακλαστήρα με σκοπό την αντιμετώπιση προβλημάτων που θα προκύψουν στην περίπτωση κατά την οποία λόγω αριθμητικών σφαλμάτων, ο ανακλαστήρας παρουσιάζει τοπικές κλίσεις μεγαλύτερες των 45ο και 35ο για δισδιάστατα και τρισδιάστατα μοντέλα, αντίστοιχα. 3.4 Εφαρμογή της σεισμικής τομογραφίας χρόνων άφιξης ανακλώμενων κυμάτων Η διαδικασία επίλυσης του ευθέως προβλήματος η οποία ακολουθείται στη παρούσα εργασία βασίζεται στη μέθοδο των Hole και Zelt (1995), η οποία αναπτύχθηκε για ένα καρτεσιανό σύστημα αναφοράς. Ετσι ο χώρος μελέτης 143 χωρίζεται σε ένα σύνολο από κυψέλες με πλευρές παράλληλες με τους άξονες του συστήματος, δημιουργώντας έτσι ένα καρτεσιανό σύστημα αναφοράς. Η ταχύτητα των σεισμικών κυμάτων δίνεται είτε με την μορφή στρωμάτων σταθερής ταχύτητας (1D), είτε με την μορφή τρισδιάστατου καννάβου όπου η ταχύτητα είναι σταθερή για κάθε κόμβο του δικτύου που δημιουργείται. Το σύστημα αναφοράς ορίζεται μόνο για ισαπέχοντα σημεία - κόμβους. Αυτό σημαίνει ότι τα κελιά έχουν όλα τις ίδιες διαστάσεις. Για τον καθορισμό του συστήματος αναφοράς, στο αρχείο εισαγωγής των πληροφοριών για την εκτέλεση του προγράμματος, δίνονται οι ελάχιστες και οι μέγιστες τιμές των αξόνων του καννάβου. Το αρχείο εισαγωγής (input file) περιέχει πληροφορίες απαιτούμενες για την ομαλή εκτέλεση του προγράμματος. Αρχικά δίνονται τα αρχεία που περιέχουν τις ακριβείς θέσεις πηγών και γεωφώνων, όπως και το πλήθος αυτών. Επίσης δίνεται το αρχείο με τους παρατηρούμενους χρόνους διαδρομής, το αρχείο που περιέχει τον αρχικό ανακλαστήρα όπως και το αρχικό μοντέλο ταχύτητας (μίας, δύο ή τριών διαστάσεων). Επίσης δίνονται πληροφορίες που αφορούν τους παράγοντες κανονικοποίησης για κάθε παράμετρο (ταχύτητα-ανακλαστήρα), τη μέθοδο αντιστροφής όπως και τη μεταβλητότητα των παραμέτρων του προβλήματος. Κατά την επίλυση του ευθέως προβλήματος, ακολουθούνται τα παρακάτω στάδια. α) Αφού αναγνωσθούν οι πληροφορίες που εμπεριέχονται στο αρχείο εισαγωγής (input file), υπολογίζονται ανά πηγή, οι χρόνοι διαδρομής του κύματος που κινείται προς τα κάτω (downgoing wavefield). β) Εφαρμόζεται ο νόμος του Snell για την ανάκλαση, υποθέτωντας ότι το προσπίπτον πεδίο και ο ανακλαστήρας είναι τοπικά επίπεδοι, καθώς και ότι η τοπική κλίση είναι μικρότερη της απόστασης μεταξύ δύο κόμβων. γ) Υπολογισμός των χρόνων διαδρομής του κύματος που κινείται προς τα άνω από την επιφάνεια ανάκλασης (upgoing wavefield). δ) Υπολογισμός των τελικών χρόνων ανάκλασης και υπολογισμός των υπολοίπων μεταξύ των υπολογιζόμενων και παρατηρούμενων χρόνων διαδρομής. ε) Υπολογισμός της σεισμικής ακτίνας (ray tracing) εφαρμόζοντας την προς τα πίσω συνέχεια στο χρόνο και υπολογισμός του πίνακα των παραγώγων. στ) Τελικά, για την επίλυση του παραπάνω γραμμικού συστήματος εφαρμόζεται μια μέθοδος μη γραμμικής αντιστροφής ελαχίστων τετραγώνων. Σύμφωνα με όσα ειπώθηκαν στο κεφάλαιο που παρουσίαστηκαν οι μέθοδοι αντιστροφής, θεωρήθηκαν ως καλύτερες η επαναληπτική μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων με απόσβεση (Damped Least Squares-DLS, LSQR) και η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων με εξομάλυνση (Occam method) (Constable et. Al. 1996). Κατόπιν εφαρμόστηκαν και οι δύο σε κοινό αλγόριθμο αντιστροφής. Η επιτυχία του παρόντος αλγορίθμου βασίζεται στη κατάλληλη επιλογή του παράγοντα απόσβεσης και του παράγοντα εξομάλυνσης. 3.5 Εφαρμογή της μεθόδου σε συνθετικά δεδομένα Στο πλαίσιο ελέγχου της ποιότητας και της αξιοπιστίας των υπολογισμών επίλυσης του αντιστρόφου προβλήματος σε δεδομένα ανάκλασης, 144 πραγματοποιήθηκαν διάφορες δοκιμές που θα πιστοποιήσουν την εφαρμοσιμότητα του προτεινόμενου αλγόριθμου. Ετσι, πραγματοποιήθηκαν δοκιμές με σκοπό: α) τον έλεγχο του ακριβούς προσδιορισμού του ανακλαστήρα στη περίπτωση κατά την οποία πραγματοποιείται αντιστροφή των χρόνων ανάκλασης μόνο ως προς τη θέση του ανακλαστήρα, β) τον προσδιορισμό του μοντέλου ταχύτητας με αντιστροφή των δεδομένων ανάκλασης και γ) την αντιστροφή των χρόνων διαδρομής των ανακλώμενων κυμάτων για τον ταυτόχρονο προσδιορισμό του ανακλαστήρα και του μοντέλου ταχυτήτων. Δοκιμές εκτελέστηκαν, τόσο σε αραιό κάνναβο παραμετροποίησης όπου επιλύεται ένα καλώς ορισμένο πρόβλημα, αλλά θυσιάζεται η διακριτική ικανότητα του μοντέλου, όσο και σε πυκνό κάνναβο διακριτοποίησης, όπου επιτυγχάνεται μεγάλη διακριτική ικανότητα αλλά οδηγούμαστε στην επίλυση ενός υποκαθορισμένους προβλήματος. Το πρώτο χρησιμοποιούμενο μοντέλο αποτελείται από 21 κόμβους κατά τη x διεύθυνση με ελάχιστη τιμή 0 Κm, μέγιστη 200 Κm και απόσταση ανά κόμβο 10 Κm, 1 κόμβο κατά τη y διεύθυνση με ελάχιστη και μέγιστη τιμή στο 0 m και 11 κόμβους (ορίζοντες) κατά τη z διεύθυνση με ελάχιστη τιμή 0 Κm και μέγιστη 100 Κm και απόσταση ανά κόμβο 10 Κm (σχ. 3.3). Με στόχο τον έλεγχο της αξιόπιστης ανακατασκευής ενός ιδεατού ανακλαστήρα, πραγματοποιήθηκαν δοκιμές με συνθετικούς, επίπεδους, κεκλιμένους ή τεθλασμένους, ανακλαστήρες οι οποίοι παρουσιάζουν κατακόρυφη μετατόπιση (σχ. 3.3). Για τον έλεγχο του σωστού προσδιορισμού του μοντέλου ταχυτήτων, χρησιμοποιήθηκαν διάφορα συνθετικά μοντέλα ταχυτήτων. Τα πιο απλά από αυτά είναι μονοδιάστατα στα οποία διέφεραν μόνο οι ταχύτητες ανά ορίζοντα. Πιο σύνθετα μοντέλα ταχυτήτων είναι δισδιάστατα ανομοιογενή μοντέλα που εμφανίζουν θετικές και αρνητικές γεωμετρικές ανωμαλίες της τάξης του 20%. Με σκοπό τον έλεγχο της απόκρισης του λογισμικού επεξεργασίας στην αναγνώριση ανωμαλιών ταχύτητας μικρού πλάτους, πραγματοποιήθηκε δοκιμή με ανωμαλία της τάξης του ±10%. Οι τελικές δοκιμές του ταυτόχρονου προσδιορισμού του πεδίου ταχυτήτων και του ανακλαστήρα, έγιναν με ένα συνδυασμό των παραπάνω συνθετικών μοντέλων. Το εκάστοτε συνθετικό μοντέλο (ανακλαστήρα, ταχύτητας, ανακλαστήραταχύτητας) αποτέλεσε αρχικά το μοντέλο εισαγωγής στον αλγόριθμο επίλυσης του ευθέως προβλήματος. Από αυτό παρήχθησαν οι συνθετικοί χρόνοι διαδρομής οι οποίοι χρησιμοποιήθηκαν ως οι παρατηρούμενοι (observed traveltimes) για το πείραμα σεισμικής τομογραφίας. Στο επόμενο στάδιο, εισήχθηκε το αρχικό μονοδιάστατο μοντέλο ταχυτήτων το οποίο χρησιμοποιήθηκε ως βάση για τους παραπέρα υπολογισμούς. Το χρησιμοποιούμενο μονοδιάστατο μοντέλο ταχυτήτων φαίνεται στο πίνακα (Ι), 145 Πίνακας Ι Το μονοδιάστατο μοντέλο ταχυτήτων το οποίο χρησιμοποιήθηκε στους υπολογισμούς των συνθετικών χρόνων διαδρομής Βάθος (Κm) 0-10 10-40 40-60 60- Ταχύτητα (Κm/sec) 2. 3.5 5. 6. Οι ταχύτητες των οριζόντων (κόμβων) που βρίσκονται μεταξύ των ορίων που εμφανίζονται στο πίνακα Ι, υπολογίζονται με γραμμική παρεμβολή. Το μονοδιάστατο μοντέλο ταχύτητας του πίνακα (I), αποτέλεσε τη βάση για το προσδιορισμό του τρισδιάστατου μοντέλου ταχυτήτων της περιοχής μελέτης. Για τους ελέγχους με τα συνθετικά δεδομένα, χρησιμοποιήθηκαν 19 πηγές επιφανείας και 20 επιφανειακά γεώφωνα (καταγραφικά). 3.5.1 Ακρίβεια προσδιορισμού του ανακλαστήρα με την αντιστροφή χρόνων ανάκλασης Κατά τη υλοποίηση του συνθετικού πειράματος έγινε καταγραφή 380 σεισμικών ακτίνων με σκοπό την ανακατασκευή 21 άγνωστων παραμέτρων του ανακλαστήρα. Χρησιμοποιώντας το μονοδιάστατο μοντέλο ταχυτήτων του πίνακα Ι, ως αρχικό μοντέλο ταχυτήτων, έγινε η αντιστροφή των χρόνων ανάκλασης εφαρμόζοντας τη μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων με απόσβεση και εξομάλυνση. Αρχικά εισήχθη η γεωμετρία του ανακλαστήρα που πρέπει να ανακατασκευαστεί, η οποία και φαίνεται στο σχήμα (3.3) με συνεχή μπλε γραμμή (ideal reflector). Με βάση αυτό τον ανακλαστήρα και το γνωστό μοντέλο ταχυτήτων υπολογίστηκαν οι «παρατηρούμενοι» χρόνοι διαδρομής των ανακλώμενων κυμάτων. Κατόπιν στο λογισμικό εισήχθη ένας αρχικός ανακλαστήρας στο βάθος των 70 km. Εκτελέστηκαν τρεις δοκιμές με διαφορετικούς ανακλαστήρες. Στην πρώτη από αυτές χρησιμοποιήθηκε μια κεκλιμένη επιφάνεια με διακύμανση της τάξης των 10 Km, γύρω από τον ιδεατό ανακλαστήρα (σχ. 3.3). 146 0 ÂÜèïò (Km) 20 40 60 80 100 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Ìåôáôüðéóç (Km) Σχ. 3.3 Κατανομή των σεισμικών ακτίνων υπό την μορφή κατακόρυφης τομής της περιοχής μελέτης. Με πράσινα τετράγωνα παρουσιάζονται οι 19 πηγές των σεισμικών κυμάτων και με μπλε τρίγωνα ορίζονται τα 20 γεώφωνα καταγραφής. Με μαύρες κουκίδες περιγράφονται οι σεισμικές ακτίνες αντιπροσωπεύοντας τα σημεία τομής αυτών με τον κάνναβο παραμετροποίησης. Αυτή είναι η απλούστερη περίπτωση η οποία μπορεί να αντιμετωπίστει κατά την διάρκεια ενός πειράματος σεισμικής τομογραφίας ανάκλασης. Στο σχήμα (3.4) παρουσιάζεται η ανακατασκευή του ανακλαστήρα με τέσσερις επαναλήψεις του αλγόριθμου επίλυσης του ευθέως και αντιστρόφου προβλήματος. Ìåôáôüðéóç (Km) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 ÂÜèïò (Km) 20 40 60 80 100 Σχ. 3.4 Κατακόρυφη απεικόνιση της ανακατασκευής του ανακλαστήρα, από την αντιστροφή χρόνων διαδρομής των ανακλώμενων κυμάτων, οι οποίοι κατεγράφησαν σε πείραμα σεισμικής τομογραφίας. Με μπλε κουκίδες απεικονίζεται ο υπολογιζόμενος ανακλαστήρας, με μπλε συνεχή γραμμή απεικονίζεται ο ιδεατός ανακλαστήρας και με μαύρη συνεχή γραμμή απεικονίζεται ο αρχικός ανακλαστήρας. 147 Παρατηρείται ότι ο ιδεατός ανακλαστήρας παρουσιάζει διακυμάνσεις (θετικέςαρνητικές) της τάξης των 10 km γύρω από τον αρχικό ανακλαστήρα. Το γεγονός αυτό αυξάνει το βαθμό δυσκολίας ανακατασκευής του μοντέλου. Το ποσοστό επιτυχίας της μεθόδου στην ανακατασκευή του ανακλαστήρα υπερβαίνει το 95% καθώς, μετά το τέλος της τρίτης επανάληψης ο υπολογιζόμενος ανακλαστήρας προσεγγίζει με μεγάλη ακρίβεια τον ιδεατό. Παρατηρείται ότι τα άκρα του ανακλαστήρα είναι «φτωχά» υπολογισμένα λόγω περιορισμένης κάλυψης του χώρου από τις σεισμικές ακτίνες. Κατά την επαναληπτική διαδικασία υπολογισμού του ανακλαστήρα, υπολογίστηκε το μέσο τετραγωνικό σφάλμα των υπολογιζόμενων με τους παρατηρούμενους χρόνους διαδρομής, με σκοπό την αξιολόγηση της ακρίβειας υπολογισμού του τελικού μοντέλου. Κατά την πρώτη επανάληψη το σφάλμα ήταν 18.21 sec και με το τέλος της τέταρτης επανάληψης αυτό μειώθηκε στα 1.52 sec. Στην συνέχεια, διατηρώντας ίδια την γεωμετρία του πειράματος, επιχειρήθηκε η ανακατασκευή ενός πιο σύνθετου τεθλασμένου ανακλαστήρα, ο οποίος παρουσιάζει μια «τάφρο» της τάξης των 20 Km. Στο σχήμα (3.5) παρουσιάζεται η κάλυψη του χώρου μελέτης από σεισμικές ακτίνες. Ο έλεγχος της κάλυψης του χώρου από σεισμικές ακτίνες είναι πολύ σημαντικός καθώς η κάλυψη του χώρου από ακτίνες επηρεάζει τόσο την διακριτική ικανότητα του ανακατασκευασμένου μοντέλου, όσο και την ποιότητα και αξιοπιστία των αποτελεσμάτων λόγω κακής γεωμετρίας του πειράματος. Στο σχήμα (3.5) παρουσιάζονται σε κατακόρυφη τομή η κατανομή των σεισμικών ακτίνων. 0 ÂÜèïò (Km) 20 40 60 80 100 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Ìåôáôüðéóç (Km) Σχ. 3.5 Κατακόρυφη τομή του συνθετικού μοντέλου το οποίο μελετήθηκε. Στο σχήμα εμφανίζονται τα χαρακτηριστικά του πειράματος (οι θέσεις των πηγών, των γεωφώνων και η θέση του ανακλαστήρα). Φαίνονται επίσης τα σημεία τομής των σεισμικών ακτίνων με τον κάνναβο διακριτοποίησης. Με πράσινα τετράγωνα παρουσιάζονται τα 20 γεώφωνα ενώ με μπλε τρίγωνα περιγράφονται οι 19 πηγές. Με μαύρη συνεχή παχιά γραμμή παριστάνεται ο ιδεατός ανακλαστήρας. Παρατηρείται ότι η κάλυψη δεν είναι τόσο πλήρης για την περιοχή εσωτερικά της «τάφρου». Το παραπάνω, σημαίνει ότι αναμένεται «φτωχή» 148 ανακατασκευή του ανακλαστήρα στις θέσεις στις οποίες δεν έγινε σωστή ‘δειγματοληψία’ του ανακλαστήρα. Στο σχήμα (3.6) παρουσιάζεται το τομογραφικό αποτέλεσμα της επεξεργασίας των σεισμικών καταγραφών ανάκλασης μετά το πέρας της τέταρτης επανάληψης του λογισμικού. Ìåôáôüðéóç (Km) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 ÂÜèïò (Km) 20 40 60 80 100 Σχ. 3.6 Κατακόρυφη τομογραφική εικόνα της ανακατασκευής του ανακλαστήρα από την αντιστροφή των χρόνων διαδρομής των ανακλώμενων κυμάτων. Με μπλε κουκίδες απεικονίζεται ο υπολογιζόμενος ανακλαστήρας, με μπλε συνεχή γραμμή απεικονίζεται ο ιδεατός ανακλαστήρας και με μαύρη συνεχή γραμμή απεικονίζεται ο αρχικός ανακλαστήρας. Είναι φανερό (σχ. 3.6) ότι μετά το τέλος της τέταρτης επανάληψης ο υπολογιζόμενος ανακλαστήρας προσεγγίζει με αρκετή ακρίβεια τον ιδεατό. Παρατηρείται επίσης, ότι η αρχή και το τέλος του ανακλαστήρα είναι υποεκτιμημένοι λόγω περιορισμένης κάλυψης των άκρων του μοντέλου από τις σεισμικές ακτίνες. Ομοίως με το προηγούμενο παράδειγμα, μελετήθηκε η ακρίβεια στον προσδιορισμό του ανακλαστήρα, καταγράφοντας την διαφορά των παρατηρούμενων και υπολογιζόμενων χρόνων διαδρομής. Ετσι, κατά την πρώτη επανάληψη το σφάλμα ήταν 31.73 sec και με το τέλος της τέταρτης επανάληψης αυτό μειώθηκε στα 4.35 sec. Τελειώνοντας, επιχειρήθηκε η ανακατασκευή ενός συνθετικού ανακλαστήρα που αναπαριστά μια κατακόρυφη μετάπτωση (π.χ ρήγμα κατακόρυφη μετατόπισης). Αυτή θεωρείται ίσως η δυσκολότερη περίπτωση ανακατασκευής ανακλαστήρα καθώς ο ανακλαστήρας παρουσιάζει ασυνέχεια η οποία μπορεί αν δημιουργήσει περιθλάσεις. Η καταγραφή τέτοιου είδους αφίξεων εξουδετερώνεται από το ίδιο το λογισμικό υπολογισμού του ευθέως προβλήματος. Στο σχήμα (3.7) παρουσιάζεται η κατανομή των σεισμικών ακτίνων στο συνθετικό μοντέλο που αναφέρθηκε. 149 0 ÂÜèïò (Km) 20 40 60 80 100 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Ìåôáôüðéóç (Km) Σχ. 3.7 Κατακόρυφη τομή του συνθετικού μοντέλου το οποίο μελετήθηκε. Στο σχήμα εμφανίζονται τα χαρακτηριστικά του πειράματος (οι θέσεις των πηγών, των γεωφώνων και η γεωμετρία του ανακλαστήρα). Φαίνονται επίσης τα σημεία τομής των σεισμικών ακτίνων με τον κάνναβο διακριτοποίησης. Με πράσινα τετράγωνα παρουσιάζονται τα 20 γεώφωνα ενώ με μπλε τρίγωνα περιγράφονται οι 19 πηγές. Με μαύρη συνεχή παχιά γραμμή παριστάνεται ο ιδεατός ανακλαστήρας. Παρατηρείται ότι στην περιοχή ακριβώς κάτω από την ασυνέχεια του ανακλαστήρα, υπάρχει ελλιπής κάλυψη του χώρου από σεισμικές ακτίνες. Αποτέλεσμα αυτού, είναι η κακή ανακατασκευή του ανακλαστήρα. Αυτό επιβεβαιώνεται στο σχήμα (3.8) όπου υπάρχει ασαφής προσδιορισμός του ανακλαστήρα. Ìåôáôüðéóç (Km) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 ÂÜèïò (Km) 20 40 60 80 100 Σχ. 3.8 Κατακόρυφη απεικόνιση της ανακατασκευής του ανακλαστήρα, από την αντιστροφή χρόνων διαδρομής των ανακλώμενων κυμάτων, οι οποίοι κατεγράφησαν σε πείραμα σεισμικής τομογραφίας. Με μπλε κουκίδες απεικονίζεται ο υπολογιζόμενος ανακλαστήρας, με μπλε συνεχή γραμμή απεικονίζεται ο ιδεατός ανακλαστήρας και με μαύρη συνεχή γραμμή απεικονίζεται ο αρχικός ανακλαστήρας. 150 Με σκοπό την αξιολόγηση της ακρίβειας υπολογισμού του τελικού μοντέλου, υπολογίστηκε το μέσο τετραγωνικό σφάλμα των υπολογιζόμενων με τους παρατηρούμενους χρόνους διαδρομής,. Κατά την πρώτη επανάληψη το σφάλμα ήταν 36.96 sec και με το τέλος της πέμπτης επανάληψης αυτό μειώθηκε στα 7.06 sec. Επίσης, επιβεβαιώνονται τα όσα αναφέρθηκαν στη παράγραφο 2.6.1.1 για τον εσφαλμένο υπολογισμό της συνάρτησης σφάλματος με το πέρας κάθε επανάληψης, αφού η συνάρτηση σφάλματος υπολογίζεται με γραμμικές προσεγγίσεις ενώ το πρόβλημα που αντιμετωπίζουμε είναι ένα κλασικό μη γραμμικό πρόβλημα (Tarantola 1987, Sambridge 1990, Papazachos και Nolet 1997). Οπως αναφέρθηκε και στη παράγραφο 2.6.1.1, τα «άλματα» που παρουσιάζονται στον υπολογισμό του μέσου τετραγωνικού σφάλματος από επανάληψη σε επανάληψη, οδηγούν σε υποεκτίμηση της γραμμικής συνάρτησης σφάλματος. Σε όλες τις δοκιμές συνθετικών δεδομένων, για την αντιστροφή των χρόνων διαδρομής και τον προσδιορισμό του ανακλαστήρα χρησιμοποιήθηκαν οι ακόλουθες παράμετροι αντιστροφής σz=15 και σv=0.0001. Το σz προσδιορίζει την επιτρεπόμενη μεταβλητότητα του ανακλαστήρα (δηλαδή 15 km). Αντίστοιχα, το σv είναι η επιτρεπόμενη μεταβλητότητα των παραμέτρων που συνιστούν το μοντέλο ταχύτητας. Με αυτό τον τρόπο ο χρήστης έχει τη δυνατότητα να αντιστρέψει και μόνο ως προς μία από τις παραμέτρους τους προβλήματος, θέτοντας τη μεταβλητότητα της άλλης παραμέτρου ως ελαχίστη. 3.5.2 Προσδιορισμός του μοντέλου ταχυτήτων με την αντιστροφή χρόνων ανάκλασης Για τη πραγματοποίηση αυτής της δοκιμής, διατηρήθηκε η ίδια διάταξη επιφανειακών πηγών και γεωφώνων, με αυτή του προηγούμενου πειράματος. Στο συγκεκριμένο πείραμα έγινε καταγραφή 380 σεισμικών ακτινών που σκοπό είχαν την ερμηνεία 231 παραμέτρων του μοντέλου ταχυτήτων. Παράλληλα, τέθηκαν ελάχιστες (σχεδόν μηδενικές) οι τιμές μεταβλητότητας των παραμέτρων του ανακλαστήρα και τα δεδομένα χρόνων διαδρομής αντιστράφηκαν μόνο για το μοντέλο ταχυτήτων. Οι δοκιμές οι οποίες έγιναν, αφορούσαν την ανακατασκευή ανωμαλίας υψηλών και χαμηλών ταχυτήτων ξεχωριστά και τη δυνατότητα ανακατασκευής μοντέλου ταχυτήτων με θετικές και αρνητικές ανωμαλίες ταχυτήτων. Ο λόγος για τον οποίο πραγματοποιήθηκαν δοκιμές με θετικές και αρνητικές ανωμαλίες, είναι η μελέτη της απόκρισης της τομογραφίας ανάκλασης σε κάθε μια από τις ανωμαλίες. Τέλος, πραγματοποιήθηκε δοκιμή που σκοπό είχε τον έλεγχο του λογισμικού στην αναπαραγωγή ανωμαλιών ταχύτητας μικρού πλάτους. Με αρχικό μοντέλο ταχυτήτων, αυτό του πίνακα Ι, κατασκευάστηκε συνθετικό (ιδεατό) μοντέλο ταχυτήτων με 20% μεταβολή της ταχύτητας για τους κόμβους του μοντέλου που περικλείονται στο κόκκινο παραλληλόγραμμο του σχήματος (3.9). Στο σχήμα αυτό παρουσιάζεται σε κατακόρυφη τομή η κατανομή των σεισμικών ακτινών των ανακλώμενων κυμάτων λαμβάνοντας υπόψη την παρουσία θετικής ανωμαλίας ταχύτητας της τάξης του 20%. 151 0 ÂÜèïò (Km) 20 +20% 40 60 80 100 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Ìåôáôüðéóç (Km) Σχ. 3.9 Κατακόρυφη τομή του συνθετικού μοντέλου το οποίο μελετήθηκε. Στο σχήμα εμφανίζονται τα χαρακτηριστικά του πειράματος (θέσεις πηγών και γεωφώνων και η θέση της ανωμαλίας ταχύτητας). Απεικονίζονται επίσης τα σημεία τομής των σεισμικών ακτινών με τον κάνναβο παραμετροποίησης. Με πράσινα τετράγωνα παρουσιάζονται τα 20 γεώφωνα ενώ με μπλε τρίγωνα περιγράφονται οι 19 σεισμικές πηγές. Το κόκκινο παραλληλόγραμμο οριοθετεί τη θέση της θετικής ανωμαλίας ταχύτητας πλάτους 20%. Στο σχήμα (3.10) απεικονίζεται η τομογραφική εικόνα από τη τρίτη (τελευταία) επανάληψη για το μοντέλο ταχύτητας. Ìåôáôüðéóç (Km) 0 20 40 60 80 100 0 120 140 160 180 200 2 ÂÜèïò (Km) 20 20% 40 6 60 4 2 80 100 Σχ. 3.10 Κατακόρυφη τομογραφική εικόνα της ανακατασκευής του μοντέλου ταχυτήτων από την αντιστροφή των χρόνων διαδρομής των ανακλώμενων κυμάτων. Με κόκκινο πλαίσιο καθορίζεται η θέση της ανωμαλίας ταχύτητας. Οι ισοκαμπύλες παρουσιάζουν το ανακατασκευασμένο μοντέλο ταχύτητας. Τα αποτελέσματα δείχνουν ότι η ανωμαλία ταχύτητας έχει προσδιοριστεί με περιορισμένη ακρίβεια τόσο σε εύρος όσο και σε πλάτος. Ειδικότερα, παρατηρείται 152 ότι η ανωμαλία έχει ανακατασκευαστεί σε ποσοστό 30% ενώ έχει ανιχνευθεί σε μεγαλύτερα βάθη από αυτά που στη πραγματικότητα βρίσκεται. Στην περίπτωση κατά την οποία, στο συνθετικό μοντέλο εμφανίζεται μια αρνητική ανωμαλία ταχύτητας οι σεισμικές ακτίνες κατανέμονται στο χώρο όπως εικονίζεται στο σχήμα (3.11). 0 ÂÜèïò (Km) 20 -20% 40 60 80 100 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Ìåôáôüðéóç (Km) Σχ. 3.11 Κατακόρυφη τομή του συνθετικού μοντέλου το οποίο μελετήθηκε. Στο σχήμα εμφανίζονται τα χαρακτηριστικά του πειράματος (θέσεις πηγών και γεωφώνων και η θέση της ανωμαλίας ταχύτητας). Απεικονίζονται επίσης τα σημεία τομής των σεισμικών ακτινών με τον κάνναβο παραμετροποίησης. Με πράσινα τετράγωνα παρουσιάζονται τα 20 γεώφωνα ενώ με μπλε τρίγωνα περιγράφονται οι 19 σεισμικές πηγές. Το κόκκινο παραλληλόγραμμο οριοθετεί τη θέση της αρνητικής ανωμαλίας ταχύτητας πλάτους 20% Στο σχήμα (3.11) έγινε προσπάθεια ανακατασκευής μιας αρνητικής ανωμαλίας ταχύτητας πλάτους 20% η θέση της οποίας οριοθετείται από το κόκκινο παραλληλόγραμμο. Επίσης στο σχήμα απεικονίζονται και τα ίχνη των σεισμικών ακτινών από τα οποία επιβεβαιώνεται ότι οι σεισμικές ακτίνες «αποφεύγουν» τη διέλευση τους από περιοχές χαμηλών ταχυτήτων. Στο σχήμα (3.12) παρουσιάζεται η κατακόρυφη κατανομή ταχυτήτων στο μοντέλο. 153 Ìåôáôüðéóç (Km) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 -4 -2 -20% -8 ÂÜèïò (Km) 20 40 -6 60 -6 -4 -2 80 100 Σχ. 3.12 Κατακόρυφη τομογραφική εικόνα της ανακατασκευής του μοντέλου ταχυτήτων από την αντιστροφή των χρόνων διαδρομής των ανακλώμενων κυμάτων. Με κόκκινο πλαίσιο καθορίζεται η θέση της ανωμαλίας ταχύτητας. Οι ισοκαμπύλες παρουσιάζουν το ανακατασκευασμένο μοντέλο ταχύτητας Στη περίπτωση αυτή η ανωμαλία ανακατασκευάστηκε με σχετική ακρίβεια τόσο σε πλάτος (>50%), όσο και στη πραγματική θέση αυτής. Παρατηρείται ότι στο μοντέλο, εκατέρωθεν της ανωμαλίας, εμφανίζονται δύο «σκέλη» αρνητικής ταχύτητας. Αυτά τα δύο ‘σκέλη’ αρνητικών ανωμαλιών σχετίζονται άμεσα με τη γεωμετρία του πειράματος, δηλαδή με την κατακορυφότητα των σεισμικών ακτινών. Στην περίπτωση κατά την οποία στο συνθετικό μοντέλο εισάγεται θετική και αρνητική ανωμαλία ταχύτητας, η κατανομή των σεισμικών ακτινών είναι παρόμοια αυτής του σχήματος (3.13). 0 ÂÜèïò (Km) 20 -20% 20% 40 60 80 100 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Ìåôáôüðéóç (Km) Σχ. 3.13 Κατακόρυφη απεικόνιση του μοντέλου ταχυτήτων. Στο σχήμα εμφανίζονται τα χαρακτηριστικά του πειράματος (θέσεις πηγών και γεωφώνων, θέσεις των ανωμαλιών ταχύτητας) καθώς και τα ίχνη των σεισμικών ακτινών ως τομή αυτών με τον κάνναβο διακριτοποίησης. Με πράσινα τετράγωνα παρουσιάζονται τα 20 γεώφωνα ενώ με μπλε τρίγωνα περιγράφονται οι 19 σεισμικές πηγές. Τα κόκκινα παραλληλόγραμμα οριοθετούν τις θέσεις των ανωμαλιών ταχύτητας πλάτους 20%. 154 Στο σχήμα (3.13) παρουσιάζεται πάλι σε κατακόρυφη τομή το πείραμα σεισμικής τομογραφίας ανάκλασης με επιφανειακές πηγές και γεώφωνα, στο οποίο έγινε προσπάθεια ανακατασκευής 2 ανωμαλιών ταχυτήτων (θετικής και αρνητικής). Στο σχήμα εμφανίζονται οι θέσεις των ιδεατών ανωμαλιών και το πλάτος αυτών (± 20%). Με μαύρες κουκίδες απεικονίζονται τα ίχνη των σεισμικών ακτινών όπως αυτές ‘κινήθηκαν’ λαμβάνοντας υπόψη την παρουσία των ανωμαλιών ταχύτητας. Στο σχήμα (3.14) παρουσιάζεται η κατακόρυφη κατανομή ταχυτήτων στο μοντέλο. Και οι δύο ανωμαλίες έχουν ανακατασκευαστεί με σχετική ακρίβεια τόσο σε πλάτος όσο και σε εύρος (>50%). Παρουσιάζονται πάλι ‘σκέλη’ με αρνητικές και θετικές ανωμαλίες κατά τη πορεία των σεισμικών ακτινών από την πηγή στην επιφάνεια ασυνέχειας. Ìåôáôüðéóç (Km) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 -4 -6 4 2 -2 60 6 40 4 ÂÜèïò (Km) 2 20 80 100 Σχ. 3.14 Κατακόρυφη τομογραφική εικόνα της ανακατασκευής του μοντέλου ταχυτήτων από την αντιστροφή των χρόνων διαδρομής των ανακλώμενων κυμάτων. Με κόκκινα πλαίσια καθορίζονται οι θέσεις των ανωμαλιών ταχύτητας. Οι ισοκαμπύλες παρουσιάζουν το ανακατασκευασμένο μοντέλο ταχύτητας Μελετώντας το σχήμα (3.14), παρατηρείται ότι και οι δύο ανωμαλίες ταχύτητας έχουν αναγνωρισθεί με σχετική ακρίβεια. Συγκεκριμένα, η θετική ανωμαλία έχει ανακατασκευαστεί με μικρότερη ακρίβεια από αυτή με την οποία υπολογίστηκε η αρνητική ανωμαλία. Αυτό γίνεται κατανοητό συγκρίνοντας και το αποτέλεσμα του σχήματος (3.12) με το τομογραφικό αποτέλεσμα του σχήματος (3.10). Αλλο χαρακτηριστικό είναι η μετάθεση της θετικής ανωμαλίας ταχύτητας σε βαθύτερους ορίζοντες, σε αντίθεση την αρνητική ανωμαλία ταχύτητας η οποία ανιχνεύθηκε στην σωστή θέση. Τέλος, πραγματοποιήθηκε η επίλυση του ίδιου συνθετικού μοντέλου στο οποίο όμως το πλάτος των ανωμαλιών ήταν της τάξης του 10%. Με αυτό το τρόπο ελέγχεται η αποτελεσματικότητα του αλγόριθμου σε περιπτώσεις κατά την οποία υπάρχουν μικρού πλάτους ανωμαλίες. Στο σχήμα (3.15) παρουσιάζεται το αποτέλεσμα της επίλυσης του τομογραφικού προβλήματος μετά το τέλος της τρίτης επανάληψης. 155 Ìåôáôüðéóç (Km) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 -10% -2 10% 40 60 2 ÂÜèïò (Km) 20 -2 2 80 100 Σχ. 3.15 Κατακόρυφη τομογραφική εικόνα της ανακατασκευής του μοντέλου ταχυτήτων από την αντιστροφή των χρόνων διαδρομής των ανακλώμενων κυμάτων. Με κόκκινα πλαίσια καθορίζονται οι θέσεις των ανωμαλιών ταχύτητας πλάτους 10%. Οι ισοκαμπύλες παρουσιάζουν το ανακατασκευασμένο μοντέλο ταχύτητας. Γενικά παρατηρείται ότι ακόμα και στην περίπτωση μικρών -σε πλάτοςανωμαλιών ταχύτητας, η μέθοδος μπορεί με επιτυχία να εφαρμοστεί για την ανίχνευση και απεικόνισή τους. Πιο συγκεκριμένα, η αρνητική ανωμαλία έχει ανακατασκευαστεί με μεγαλύτερη ακρίβεια Αυτό δεν είναι και το σύνηθες καθώς στην τομογραφία διάθλασης οι θετικές ανωμαλίες είναι οι ευκολότερα αναγνωρίσιμες. Επίσης, η θέση της αρνητικής ανωμαλίας έχει επίσης προσδιοριστεί με μεγαλύτερη ακρίβεια. Παρόμοια αποτελέσματα έχουν διαπιστωθεί και στο σχήμα (3.14). Με βάση τις δοκιμές που εκτελέστηκαν έγινε σαφής η αποτελεσματικότητα και αξιοπιστία της εφαρμοζόμενης μεθόδου αλλά και του λογισμικού επίλυσης του τομογραφικού προβλήματος. Επίσης, επισημάνθηκαν τόσο οι αδυναμίες της μεθόδου όσο και η απόκριση της μεθόδου στην παρουσία θετικών και/ή αρνητικών ανωμαλιών ταχύτητας μεγάλου ή μικρού πλάτους. 3.5.3 Ταυτόχρονος προσδιορισμός του μοντέλου ταχύτητας και του ανακλαστήρα από την αντιστροφή χρόνων ανάκλασης Οπως αναφέρθηκε και στη παράγραφο 1.6.2.2.1, οι χρόνοι διαδρομής των ανακλώμενων κυμάτων περιέχουν αβεβαιότητα μεγάλου μήκους κύματος, γεγονός που προκαλεί δυσκολία στο διαχωρισμό των πληροφοριών που αναφέρονται στο μοντέλο ταχυτήτων ή στο μοντέλο του ανακλαστήρα. Με σκοπό τον έλεγχο της εφαρμοσιμότητας του παρόντος αλγορίθμου στον ταυτόχρονο προσδιορισμό ταχυτήτων και ανακλαστήρα, πραγματοποιήθηκε δοκιμή με συνθετικά δεδομένα. Διατηρήθηκε η ίδια διάταξη επιφανειακών πηγών και γεωφώνων, με αυτή των προηγουμένων πειραμάτων, καταγράφοντας 380 σεισμικές 156 ακτίνες που σκοπό είχαν την ερμηνεία 252 παραμέτρων (231 του μοντέλου ταχυτήτων και 21 του ανακλαστήρα). Σε αντίθεση με τα προηγούμενα πειράματα, οι τιμές μεταβλητότητας των παραμέτρων (ταχύτητας-ανακλαστήρα) είχαν αντιπροσωπευτικές τιμές, γεγονός που οδηγούσε στην αντιστροφή των δεδομένων χρόνων διαδρομής τόσο για τον ανακλαστήρα, όσο και για το μοντέλο ταχυτήτων. Οι δοκιμές οι οποίες έγιναν, αφορούσαν την ανακατασκευή μοντέλου ταχυτήτων με θετικές ανωμαλίες ταχυτήτων, και τον προσδιορισμό του ανακλαστήρα. Στο σχήμα (3.16) παρουσιάζεται σε κατακόρυφη τομή η κατανομή των σεισμικών ακτινών στο συνθετικό μοντέλο. Με αρχικό μοντέλο ταχυτήτων, αυτό του πίνακα Ι και κεκλιμένο συνθετικό ανακλαστήρα που παρουσίαζε διακυμάνσεις (θετικές-αρνητικές) της τάξης των 10 km γύρω από τον αρχικό ανακλαστήρα στα 70 km βάθος, υπολογίστηκαν συνθετικοί χρόνοι διαδρομής για μοντέλο ταχυτήτων με +20% μεταβολή της ταχύτητας (σχ. 3.16). 0 ÂÜèïò (Km) 20 20% 40 60 80 100 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Ìåôáôüðéóç (Km) Σχ. 3.16 Κατακόρυφη τομή του συνθετικού μοντέλου το οποίο μελετήθηκε. Στο σχήμα εμφανίζονται τα χαρακτηριστικά του πειράματος (θέσεις πηγών και γεωφώνων, η θέση της ανωμαλίας ταχύτητας και η γεωμετρία του ανακλαστήρα). Απεικονίζονται επίσης τα σημεία τομής των σεισμικών ακτινών με τον κάνναβο παραμετροποίησης. Με πράσινα τετράγωνα παρουσιάζονται τα 20 γεώφωνα ενώ με μπλε τρίγωνα περιγράφονται οι 19 σεισμικές πηγές. Το κόκκινο παραλληλόγραμμο οριοθετεί τη θέση της θετικής ανωμαλίας ταχύτητας πλάτους 20%. Οι σεισμικές ακτίνες είναι σύμφωνες τόσο με την γεωμετρία του ανακλαστήρα όσο και με την παρουσία της ανωμαλίας ταχύτητας. Η κάλυψη του ανακλαστήρα από σεισμικές ακτίνες είναι επαρκής. Στο σχήμα (3.17) παρουσιάζεται το μοντέλο ταχύτητας και ανακλαστήρα του χώρου μελέτης μετά το τέλος της πέμπτης επανάληψης του αλγόριθμου επίλυσης του τομογραφικού προβλήματος. 157 Ìåôáôüðéóç (Km) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 40 -2 2 20% 6 2 4 ÂÜèïò (Km) 20 60 80 100 Σχ. 3.17 Κατακόρυφη τομογραφική εικόνα της ανακατασκευής του μοντέλου ταχυτήτων από την αντιστροφή των χρόνων διαδρομής των ανακλώμενων κυμάτων. Με κόκκινο πλαίσιο καθορίζεται η θέση της ανωμαλίας ταχύτητας. Με μπλε τεθλασμένη συνεχή γραμμή καθορίζεται ο ιδεατός ανακλαστήρας. Οι ισοκαμπύλες παρουσιάζουν το ανακατασκευασμένο μοντέλο ταχύτητας ενώ οι μπλε κύκλοι αναπαριστούν τον προσδιοριζόμενο ανακλαστήρα. Παρατηρείται ότι ο ανακλαστήρας έχει υπολογιστεί με σχετική ακρίβεια ενώ το μοντέλο ταχυτήτων παρουσιάζει μεγάλες ανακρίβειες. Παρατηρείται ότι το μοντέλο ταχυτήτων εμφανίζει δύο περιοχές ανωμαλίας ταχύτητας που βρίσκονται διαγώνια στο μοντέλο. Τα ίδια χαρακτηριστικά παρατηρήθηκαν και στα σχήματα (3.10) και (3.12). Οπως αναφέρεται στις αντίστοιχες παραγράφους των σχημάτων, τέτοιας μορφής ανωμαλίες, οφείλονται στην γεωμετρία των ανακλώμενων σεισμικών ακτινών. Επίσης, παρατηρείται η μετακίνηση της ανωμαλίας σε βαθύτερους ορίζοντες πράγμα που διαπιστώθηκε σε προηγούμενες δοκιμές ανακατασκευής θετικών ανωμαλιών ταχύτητας. Η μετακίνηση αυτή ενίσχυσε και ενισχύθηκε, από την προς τα πάνω μετακίνηση του υπολογιζόμενου ανακλαστήρα. Αυτό εμμέσως φαίνεται και από το πρόσημο των πλευρικών ανωμαλιών (σκέλη) της θετικής ιδεατής ανωμαλίας ταχύτητας. Έτσι, οι μικροί χρόνοι διαδρομής στην δεξιά πλευρά του μοντέλου όπου ο ιδεατός ανακλαστήρας είναι σε μικρότερο βάθος, μετά το τέλος της αντιστροφής των χρόνων διαδρομής ερμηνεύτηκαν ως αποτέλεσμα μιας ζώνης θετικής ανωμαλίας ταχύτητας μικρού πλάτους και ενός ρηχού ανακλαστήρα. Αντίστοιχος, είναι και ο τρόπος υπολογισμού του αριστερού τμήματος του μοντέλου. Κατά την επαναληπτική διαδικασία του ταυτόχρονου υπολογισμού του ανακλαστήρα και του μοντέλου της ταχύτητας, υπολογίστηκε το μέσο τετραγωνικό σφάλμα των υπολογιζόμενων με τους παρατηρούμενους χρόνους διαδρομής. Κατά την πρώτη επανάληψη το σφάλμα ήταν 28.87 sec και με το τέλος της τέταρτης επανάληψης αυτό μειώθηκε στα 6.16 sec. Το επόμενο συνθετικό μοντέλο αποτελείται από έναν ανακλαστήρα ο οποίος παρουσιάζει μια τάφρο (grabben) και από μια θετική ανωμαλία ταχύτητας της τάξης του 20% (σχήμα 3.18). 158 0 ÂÜèïò (Km) 20 20% 40 60 80 100 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Ìåôáôüðéóç (Km) Σχ. 3.18 Κατακόρυφη τομή του συνθετικού μοντέλου το οποίο μελετήθηκε. Στη τομή εμφανίζονται οι θέσεις των πηγών και των γεωφώνων, η θέση της ανωμαλίας ταχύτητας και η γεωμετρία του ανακλαστήρα. Απεικονίζονται επίσης τα σημεία τομής των σεισμικών ακτινών με τον κάνναβο παραμετροποίησης. Με πράσινα τετράγωνα παρουσιάζονται τα 20 γεώφωνα ενώ με μπλε τρίγωνα περιγράφονται οι 19 σεισμικές πηγές. Το κόκκινο παραλληλόγραμμο οριοθετεί τη θέση της θετικής ανωμαλίας ταχύτητας πλάτους 20%. Παρατηρείται ότι η κάλυψη του ανακλαστήρα στην περιοχή της τάφρου είναι περιορισμένη. Η περιορισμένη κάλυψη οδηγεί σε αντίστοιχο περιορισμό των διαθέσιμων πληροφοριών που θα έδιναν πληροφορίες για την γεωμετρία του ανακλαστήρα. Αυτό φαίνεται από το αποτέλεσμα της τομογραφίας ανάκλασης για το συγκεκριμένο μοντέλο μετά το τέλος της τέταρτης επανάληψης (σχήμα 3.19). Ìåôáôüðéóç (Km) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 ÂÜèïò (Km) 20 20% 4 40 60 2 2 2 80 100 Σχ. 3.19 Κατακόρυφη τομογραφική εικόνα της ανακατασκευής του μοντέλου ταχυτήτων από την αντιστροφή των χρόνων διαδρομής των ανακλώμενων κυμάτων. Με κόκκινο πλαίσιο καθορίζεται η θέση της ανωμαλίας ταχύτητας. Με μπλε τεθλασμένη συνεχή γραμμή καθορίζεται ο ιδεατός ανακλαστήρας. Οι ισοκαμπύλες παρουσιάζουν το ανακατασκευασμένο μοντέλο ταχύτητας ενώ οι μπλε κύκλοι αναπαριστούν τον προσδιοριζόμενο ανακλαστήρα. 159 Ο ανακλαστήρας έχει ανακατασκευαστεί με σχετική ακρίβεια ενώ το μοντέλο ταχυτήτων παρουσιάζει ανακρίβειες, παρόμοιες με αυτές που περιγράφηκαν στο σχήμα (3.17). Παρατηρείται ότι σε κάθε περίπτωση η ταυτόχρονη ερμηνεία των δεδομένων ανάκλασης ως προς το μοντέλο ταχύτητας και ανακλαστήρα, οδηγεί σε ανακρίβειες στον υπολογισμό του μοντέλου ταχύτητας. Τέλος, πραγματοποιήθηκε δοκιμή στην οποία ο ανακλαστήρας παρουσίαζε κατακόρυφη μετάπτωση ενώ το μοντέλο ταχυτήτων παρουσιάζει μια θετική ανωμαλία ταχύτητας πλάτους 20% (σχήμα 3.20). 0 ÂÜèïò (Km) 20 20% 40 60 80 100 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Ìåôáôüðéóç (Km) Σχ 3.20 Κατακόρυφη τομή του συνθετικού μοντέλου το οποίο μελετήθηκε. Στη τομή εμφανίζονται οι θέσεις των πηγών και των γεωφώνων, η θέση της ανωμαλίας ταχύτητας και η γεωμετρία του ανακλαστήρα. Απεικονίζονται επίσης τα σημεία τομής των σεισμικών ακτινών με τον κάνναβο παραμετροποίησης. Με πράσινα τετράγωνα παρουσιάζονται τα 20 γεώφωνα ενώ με μπλε τρίγωνα περιγράφονται οι 19 σεισμικές πηγές. Το κόκκινο παραλληλόγραμμο οριοθετεί τη θέση της θετικής ανωμαλίας ταχύτητας πλάτους 20%. Στο σχήμα (3.20) παρουσιάζεται η κατανομή των σεισμικών ακτινών στο συνθετικό μοντέλο που μελετήθηκε. Οπως φαίνεται και από το σχήμα, η περιοχή του ανακλαστήρα, ακριβώς μετά την μετάπτωση έχει μηδενική κάλυψη από σεισμικές ακτίνες. Το αποτέλεσμα της τομογραφίας για το συνθετικό μοντέλο ταχύτηταςανακλαστήρα δίνεται στο σχήμα (3.21). 160 Ìåôáôüðéóç (Km) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 20% 6 8 40 60 4 ÂÜèïò (Km) 20 2 80 100 Σχ. 3.21 Κατακόρυφη τομογραφική εικόνα της ανακατασκευής του μοντέλου ταχυτήτων και του ανακλαστήρα από την αντιστροφή των χρόνων διαδρομής των ανακλώμενων κυμάτων. Με το κόκκινο παραλληλόγραμμο καθορίζεται η θέση της ιδεατής ανωμαλίας των +20%. Με μπλε τεθλασμένη συνεχή γραμμή καθορίζεται ο ιδεατός ανακλαστήρας. Οι ισοκαμπύλες παρουσιάζουν το ανακατασκευασμένο μοντέλο ταχύτητας ενώ οι μπλε κύκλοι αναπαριστούν τον προσδιοριζόμενο ανακλαστήρα. Παρατηρώντας το σχήμα (3.21) είναι φανερό ότι η θετική ανωμαλία ταχυτήτων έχει ανακατασκευαστεί σε ποσοστό 40%. Επίσης η υπολογιζόμενη θέση της ανωμαλίας δεν απέχει πολύ από την ιδεατή γεγονός που μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι τελικά, ο αλγόριθμος λειτούργησε καλά στον ταυτόχρονο προσδιορισμό μοντέλου ταχυτήτων και ανακλαστήρα για το συγκεκριμένο μοντέλο, καθώς και ο ανακλαστήρας ανακατασκευάστηκε με σχετική ακρίβεια. Ολα τα παραδείγματα που προηγήθηκαν αφορούσαν την επίλυση καλώς ορισμένων προβλημάτων (well posed problems). Ελέγχοντας την αποτελεσματικότητα της μεθόδου και σε περιπτώσεις κατά τις οποίες το πλήθος των πληροφοριών είναι μικρότερο από το πλήθος των αγνώστων, πραγματοποιήθηκαν τρεις ακόμη δοκιμές με πυκνό κάνναβο διακριτοποίησης. Στις δοκιμές αυτές, κρατώντας ίδια την γεωμετρία του πειράματος (380 σεισμικές ακτίνες) τα μοντέλα αποτελούνταν από 41 κόμβους κατά τη x διεύθυνση με ελάχιστη τιμή 0 Κm, μέγιστη 200 Κm και απόσταση ανά κόμβο 5 Κm, 1 κόμβο κατά τη y διεύθυνση με ελάχιστη και μέγιστη τιμή στο 0 m και 21 κόμβους (ορίζοντες) κατά τη z διεύθυνση με ελάχιστη τιμή 0 Κm και μέγιστη 100 Κm και απόσταση ανά κόμβο 5 Κm. Στις περιπτώσεις αυτές ο αριθμός των αγνώστων παραμέτρων είναι 902 (861 παραμέτρους ταχύτητας και 41 παραμέτρους του ανακλαστήρα). Οι δοκιμές που ακολουθούν σκοπό είχαν, α) την ανακατασκευή ενός τεθλασμένου ανακλαστήρα (σχήμα 3.22), β) την ανακατασκευή μιας θετικής ανωμαλίας ταχύτητας με πλάτος της τάξης του 20% (σχήμα 3.23, 3.24)και γ) τον ταυτόχρονο υπολογισμό του μοντέλου ταχυτήτων και ανακλαστήρα. Στο σχήμα (3.22) παρουσιάζεται το αποτέλεσμα της εφαρμογής της τομογραφίας στους χρόνους διαδρομής των ανακλώμενων κυμάτων για την περίπτωση τεθλασμένου ανακλαστήρα. 161 0 10 ÂÜèïò (Km) 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Ìåôáôüðéóç (Km) Σχ. 3.22 Κατακόρυφη τομογραφική εικόνα της ανακατασκευής του μοντέλου του ανακλαστήρα από την αντιστροφή των χρόνων διαδρομής των ανακλώμενων κυμάτων. Με μπλε τεθλασμένη συνεχή γραμμή καθορίζεται ο ιδεατός ανακλαστήρας, ενώ οι μπλε κύκλοι αναπαριστούν τον προσδιοριζόμενο ανακλαστήρα. Η ανακατασκευή του ανακλαστήρα είναι ακριβής παρόλη, την αβεβαιότητα που εισάγεται κατά την επίλυση ενός υποκαθορισμένου προβλήματος. Τα άκρα του ανακλαστήρα δεν έχουν υπολογιστεί μιας και οι θέσεις αυτές δεν έχουν ‘χτυπηθεί’ από σεισμικές ακτίνες (σχήμα 3.6). Στη σχήμα (3.23) παρουσιάζεται η κατανομή των σεισμικών ακτινών για πείραμα τομογραφίας σε συνθετικό μοντέλο ταχύτητας. 0 ÂÜèïò (Km) 20 20% 40 60 80 100 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Ìåôáôüðéóç (Km) Σχ. 3.23 Κατακόρυφη τομή του συνθετικού μοντέλου το οποίο μελετήθηκε. Στη τομή εμφανίζονται οι θέσεις των πηγών και των γεωφώνων, η θέση της ανωμαλίας ταχύτητας. Απεικονίζονται επίσης οι τομές των σεισμικών ακτινών με τον κάνναβο παραμετροποίησης. Με πράσινα τετράγωνα παρουσιάζονται τα 20 γεώφωνα ενώ με μπλε τρίγωνα περιγράφονται οι 19 σεισμικές πηγές. Το κόκκινο παραλληλόγραμμο οριοθετεί τη θέση της θετικής ανωμαλίας ταχύτητας πλάτους 20%. 162 Το αποτέλεσμα της αντιστροφής των χρόνων διαδρομής που υπολογίστηκαν κατά την επίλυση του ευθέως προβλήματος στο πείραμα του σχήματος (3.23), παρουσιάζεται στο σχήμα (3.24). Ìåôáôüðéóç (Km) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 2 4 20% 40 6 ÂÜèïò (Km) 20 60 2 2 4 80 100 Σχ. 3.24 Κατακόρυφη τομογραφική εικόνα της ανακατασκευής του μοντέλου ταχυτήτων από την αντιστροφή των χρόνων διαδρομής των ανακλώμενων κυμάτων. Με το κόκκινο παραλληλόγραμμο καθορίζεται η θέση της ιδεατής ανωμαλίας των +20%. Με μαύρη συνεχή γραμμή καθορίζεται ο ανακλαστήρας. Οι ισοκαμπύλες παρουσιάζουν το ανακατασκευασμένο μοντέλο ταχύτητας. Η πλάτος της ανωμαλίας ταχύτητας έχει ανακατασκευαστεί σε ποσοστό 31%, ενώ η θέση της ανωμαλίας έχει μετακινηθεί σε βαθύτερους ορίζοντες. Τα αποτελέσματα είναι σύμφωνα με αυτά του σχήματος (3.10), παρόλο του γεγονότος ότι το πλήθος των αγνώστων είναι πολλαπλάσιο. Τα στοιχεία που χαρακτηρίζουν την τομογραφία ανάκλασης για τον υπολογισμό του μοντέλου ταχύτητας είναι πιο έντονα στην παρούσα περίπτωση λόγω του μεγαλύτερου πλήθους των παραμέτρων. Στο σχήμα (3.25) παρουσιάζεται το τομογραφικό μοντέλο ταχυτήτων όπως υπολογίστηκε από την τρίτη επανάληψη του αλγόριθμου επίλυσης του τομογραφικού προβλήματος. 163 0 2 10 4 +20% 8 30 40 50 2 2 ÂÜèïò (Km) 20 60 70 2 4 80 90 100 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Ìåôáôüðéóç (Km) Σχ. 3.25 Κατακόρυφη τομογραφική εικόνα της ανακατασκευής του μοντέλου ταχυτήτων και του ανακλαστήρα από την αντιστροφή των χρόνων διαδρομής των ανακλώμενων κυμάτων. Με το κόκκινο παραλληλόγραμμο καθορίζεται η θέση της ιδεατής ανωμαλίας των +20%. Με μαύρη συνεχή γραμμή καθορίζεται ο ανακλαστήρας. Με μπλε τεθλασμένη συνεχή γραμμή καθορίζεται ο ιδεατός ανακλαστήρας, ενώ οι μπλε κύκλοι αναπαριστούν τον προσδιοριζόμενο ανακλαστήρα. Οι ισοκαμπύλες παρουσιάζουν το ανακατασκευασμένο μοντέλο ταχύτητας. Ο ανακλαστήρας έχει ανακατασκευαστεί με σχετική ακρίβεια ακολουθώντας το ανάγλυφο του ιδεατού ανακλαστήρα. Το μοντέλο ταχυτήτων παρουσιάζει ανακρίβειες, παρόμοιες με αυτές που περιγράφηκαν στο σχήμα (3.24). Επιβεβαιώνεται ότι η ερμηνεία των δεδομένων ανάκλασης για τον ταυτόχρονο προσδιορισμό του μοντέλου ταχύτητας και του ανακλαστήρα, οδηγεί κυρίως σε ανακρίβειες στον υπολογισμό του μοντέλου ταχύτητας. Σε κάθε περίπτωση, εμφανής είναι η παρουσία ορισμένων στοιχείων που είναι χαρακτηριστικά της τομογραφίας ανάκλασης, όπως, α) η εμφάνιση πλευρικών ανωμαλιών ταχύτητας κοντά στην κύρια ανωμαλία και β) η προς τα κάτω μετατόπιση και διάχυση της θετικής ανωμαλίας ταχύτητας. Και τα δύο χαρακτηριστικά, είναι εγγενή προβλήματα της τομογραφίας ανάκλασης και οφείλονται το α) στη συγκεκριμένη γεωμετρία των σεισμικών ακτίνων που έχουν πορεία από και προς τον ανακλαστήρα και το β) από την αβεβαιότητα που χαρακτηρίζει τον ταυτόχρονο προσδιορισμό ταχύτητας και ανακλαστήρα (Archer et. al. 1982, Bickel 1990, Ross 1994, Lines 1993) (βλέπε παρ. 1.6.2.2.1). 3.6 Συμπεράσματα Στο κεφάλαιο αυτό περιγράφηκε ένας αλγόριθμος επίλυσης του ευθέως και αντιστρόφου προβλήματος σε πειράματα σεισμικής τομογραφίας ανάκλασης. Η αποτελεσματικότητα και εφαρμοσιμότητα της μεθόδου αξιολογήθηκε με την εφαρμογή της μεθόδου σε συνθετικά δεδομένα. Οι δοκιμές που έγιναν, σκοπό είχαν τον έλεγχο της σωστής λειτουργίας του αλγόριθμου στον υπολογισμού των δύο παραμέτρων που χαρακτηρίζουν πειράματα σεισμικής τομογραφίας ανάκλασης, 164 όπως το μοντέλο ταχυτήτων και το μοντέλο του ανακλαστήρα. Με το πέρας των δοκιμών έγινε φανερή η καλή λειτουργία του προτεινόμενου αλγόριθμου αλλά επιβεβαιώθηκε επίσης και η δυσκολία του ταυτόχρονου προσδιορισμού των δύο παραμέτρων. Η βελτίωση που επιτεύχθει κυρίως στην επίλυση του αντιστρόφου προβλήματος έχει να κάνει με την δυνατότητα επιλογής ως αλγόριθμου επίλυσης μιας εκ των μεθόδων SVD και LSQR. 165 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ • Aldridge, D. F., and Oldenburg, D. W., 1993, Two-dimensional tomographic inversion with finite difference traveltimes, J. Seism. Explor., 2, 257-274. • Archer, S. H., Sunderland, J., and Thompson, K. J., 1982, Seismic depthing using prestack travel times: Presented at Ann. Mtg. Of the EAEG. • Bickel, S. H., 1990, Velocity-depth ambiguity of reflection traveltimes: Geophysics, 55, 266-276. • Constable, S., Parker, R., and Constable, C., 1987, Occam’s inversion : A practical algorithm for generating smooth models from electromagnetic sounding data. Geophysics, 52, 289-300. • Hole, J. A., 1992, Nonlinear high-resolution three-dimensional seismic travel time tomography, J. Geophys. Res., 97, 6553-6562. • Hole, J. A., Clowes, R. M., and Ellis, R. M., 1993, Interpretation of threedimensional seismic refraction data from western Hecate Strait, British Columbia: Structure of the crust, Can. J. Earth Sci., 30, 1440-1452. • Hole, J. A., and Zelt, C. B., 1995, 3-D finite-difference reflection traveltimes, Geophys. J. Int., 121, 427-434. • Lecomte, I., and Hamran, S., 1993, Local plane-wavenumber diffraction tomography in heterogeneous backgrounds, Part II: Green’s functions and finitedifference traveltimes, J. Seism. Explor., 2, 287-299. • Lines, L. R., 1993, Ambiguity in analysis of velocity and depth: Geophysics, 58, 596-597. • Matsuoka, T., and Ezaka, T., 1992, Ray tracing using reciprocity, Geophysics, 57, 326-333. • Moser, T. J., 1991, Shortest path calculation of seismic rays, Geophysics, 56, 59-67. • Paige, C. C., and Saunders, M. A., 1982a, LSQR: An algorithm for space linear equations and sparse least squares, ACM Trans. Math. Softw., 8, 43-71. • Paige, C. C., and Saunders, M. A., 1982b, LSQR: Sparse linear equations and least-squares problems, ACM Trans. Math. Software, 8, 195-209. 166 • Papazachos, C. B., and Nolet, G., 1997, Non-linear arrival time tomography, Annali di geofisica, XL, 1, 85-97. • Podvin, P., and Lecomte, I., 1991, Finite difference computation of traveltimes in very contrasted velocity models: a massively parallel approach and its associated tools, Geophys. J. Int., 105, 271-284. • Pullammanappallil, S. K., and Louie, J. N., 1993, Inversion of seismic reflection traveltimes using a nonlinear optimization scheme, Geophysics, 58, 1607-1620. • Ross, W. S., 1994, The velocity-depth ambiguity in seismic traveltime data, Geophysics, 59, 830-843. • Qin, F., Luo, Y., Olsen, K. B., Cai, W., and Schuster, G. T., 1992, Finite difference solution of the eikonal equation along expanding wavefronts, Geophysics, 57, 478-487. • Sambridge, M., 1990, Non-linear arrival time inversion: constraining velocity anomalies by seeking smooth models in 3-D, Geophys. J.R. Astron. Soc., 102, 653-677. • Schneider, W. A., Jr, Ranzinger, K. A., Balch, A. H., and Kruse, C., 1992, A dynamic programming approach to first arrival traveltime computation in media with arbitrarily distributed velocitites, Geophysics, 57, 39-50. • Tarantola, A., 1987, Inverse Problem Theory, Elsevier, Amsterdam. • Van Trier, J., and Symes, W. W., 1991, Upwind finite-difference calculation of traveltimes, Geophysics, 56, 812-821. • Vidale, J., 1988, Finite-difference calculation of travel times, Bull. Seism. Soc. Am., 78, 2062-2076. • Vidale, J. E., 1990, Finite-difference calculation of traveltimes in three dimensions, Geophysics, 55, 521-526. 167 • Williamson, P. R., 1990, Tomographic inversion in reflection seismology, Geophys. J. Int., 100, 255-274. 168 4. Ταυτόχρονη τομογραφία ανακλώμενων και διαθλώμενων χρόνων διαδρομής Στο παρόν κεφάλαιο μελετάται η ταυτόχρονη τομογραφία ανακλώμενων χρόνων διαδρομής και πρώτων αφίξεων ως μέθοδος ανακατασκευής του μοντέλου ταχύτητας και των χαρακτηριστικών μιας ασυνέχειας ανάκλασης. Η παρούσα μελέτη είναι μια από τις πρώτες εφαρμογές της ταυτόχρονης επεξεργασίας των χρόνων διαδρομής των ανακλώμενων και διαθλώμενων κυμάτων (Zhang et al. 1998, Zelt et al. 1999). Οι πρώτες αφίξεις των διαθλώμενων κυμάτων υπολογίζονται με την αναθεωρημένη μέθοδο κάμψης των σεισμικών ακτίνων (παρ. 2.1). Αντίστοιχα, οι χρόνοι διαδρομής των ανακλώμενων κυμάτων υπολογίζονται με την μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών (Hole και Zelt 1995). Αφού υπολογιστούν οι πίνακες των παραγώγων των χρόνων διαδρομής των ανακλώμενων και διαθλώμενων κυμάτων και τα δεδομένα ενοποιηθούν, εισάγονται στον αλγόριθμο αντιστροφής για τον υπολογισμό του μοντέλου ταχύτητας και ανακλαστήρα. Τέλος, πραγματοποιείται εφαρμογή της μεθόδου σε συνθετικά δεδομένα εξετάζοντας την αποτελεσματικότητα αλλά και τις αδυναμίες της μεθόδου. 4.1 Εισαγωγή στη θεωρία της μεθόδου της ταυτόχρονης αντιστροφής χρόνων διαδρομής των ανακλώμενων και διαθλώμενων κυμάτων χώρου. Κύριο πρόβλημα στην επεξεργασία σεισμικών δεδομένων που αφορούν την πετρελαϊκή έρευνα, είναι η αβεβαιότητα στον ταυτόχρονο υπολογισμό ασυνέχειας (ανακλαστήρα) και μοντέλου ταχύτητας (Stork 1992a, b). Λύση στο πρόβλημα αποτελεί η ταυτόχρονη αντιστροφή των ανακλώμενων χρόνων διαδρομής και των πρώτων αφίξεων των σεισμικών κυμάτων. Οπως είναι γνωστό, το βάθος της διακριτικής ικανότητας μιας σεισμικής μεθόδου, καθορίζεται από τον τύπο των κυμάτων που χρησιμοποιούνται. Η χρήση των πρώτων αφίξεων οδηγεί στον υπολογισμό των ταχυτήτων των ρηχών οριζόντων, οι οποίοι έχουν βάθος ταφής περίπου ίσο με το 1/3 της μέγιστης απόστασης πηγής-γεωφώνου. Αντίθετα, οι χρόνοι διαδρομής των ανακλώμενων κυμάτων παρέχουν πληροφορίες για βαθύτερους ορίζοντες. Οι χρόνοι διαδρομής των ανακλώμενων κυμάτων αφορούν έναν ή πολλαπλούς ορίζοντες (Pullammanappallil και Louie 1994). Ετσι, για την πληρέστερη γνώση (μοντέλο ταχυτήτων, γεωμετρία ανακλαστήρα) του χώρου μελέτης, στην παρούσα εργασία έγινε προσπάθεια προσδιορισμού των δύο παραμέτρων με την ταυτόχρονη χρήση των χρόνων διαδρομής των ανακλώμενων και διαθλώμενων κυμάτων χώρου. Στο σημείο αυτό πρέπει να σημειωθεί ότι τα ανακλώμενα κύματα παρουσιάζουν εγγενή αδυναμία στον ακριβή υπολογισμό του μοντέλου ταχύτητας λόγω παραλληλίας των σεισμικών ακτίνων (υποκαθορισμένα κελιά- όπως αναφέρθηκε στην παράγραφο 1.6.2.1.3). Οι χρόνοι διαδρομής των πρώτων αφίξεων υπολογίστηκαν με την εφαρμογή της αναθεωρημένης μεθόδου κάμψης των σεισμικών ακτίνων (Moser et al. 1992) (παρ. 2.1) και τη χρήση των ζωνών Fresnel (παρ. 2.2). Αποτέλεσμα της επίλυσης του ευθέως προβλήματος είναι ο υπολογισμός του πίνακα των παραγώγων των χρόνων διαδρομής με τη μεταβολή της ταχύτητας. 169 Για τον υπολογισμό των χρόνων διαδρομής των ανακλώμενων κυμάτων, επιλύθηκε η εικονική εξίσωση (eikonal equation), εφαρμόζοντας την αναθεωρημένη μέθοδο πεπερασμένων διαφορών του Vidale (1988) (Hole και Zelt 1995). Με την μέθοδο αυτή υπολογίζονται οι χρόνοι διαδρομής των κυμάτων που ανακλώνται σε σύνθετο τρισδιάσταστο ανακλαστήρα για τρισδιάστατο μοντέλο ταχυτήτων. Με την εφαρμογή της μεθόδου, παράγεται ο πίνακας των παραγώγων, με παραγώγους των χρόνων διαδρομής ως προς την μεταβολή της ταχύτητας και την κατακόρυφη μεταβολή της θέσης του ανακλαστήρα. Οι πληροφορίες (ταχυτήτων-ανακλαστήρα) που περιέχουν οι πίνακες των παραγώγων και παρήχθησαν κατά την επίλυση του ευθέως προβλήματος για τα ανακλώμενα και διαθλώμενα κύματα ενοποιούνται και εισάγονται στον αλγόριθμο αντιστροφής για τον υπολογισμό του μοντέλου ταχυτήτων και της γεωμετρίας του ανακλαστήρα. Οπως αναφέρθηκε παραπάνω, το πλήθος των πληροφοριών που παρέχουν οι χρόνοι διαδρομής των ανακλώμενων κυμάτων για την μεταβολή των σεισμικών ταχυτήτων είναι μικρό σε σχέση με τις πληροφορίες που λαμβάνονται από τα διαθλώμενα κύματα. Αντίθετα, οι χρόνοι διαδρομής των ανακλώμενων κυμάτων, είναι οι κύριες πληροφορίες που μπορούν να ανακατασκεύασουν τη γεωμετρία του ανακλαστήρα. Με βάση το γεγονός αυτό, δίνεται διαφορετικό βάρος στις παραγώγους ταχύτητας που προέρχονται από τα ανακλώμενα κύματα από τη βαρύτητα των χρόνων διαδρομής των διαθλώμενων κυμάτων. 4.2 Εφαρμογή της μεθόδου σε συνθετικά δεδομένα Με σκοπό τον έλεγχο της ποιότητας και της αξιοπιστίας των αποτελεσμάτων της επίλυσης του αντιστρόφου προβλήματος σε χρόνους διαδρομής ανακλώμενων κυμάτων και πρώτων αφίξεων, πραγματοποιήθηκαν διάφορες δοκιμές που πιστοποίησαν την εφαρμοσιμότητα του προτεινόμενου αλγόριθμου. Σε αντιστοιχία με το τρίτο κεφάλαιο (παρ. 3.5), πραγματοποιήθηκαν δοκιμές με σκοπό, α) Τον προσδιορισμό του μοντέλου ταχύτητας με ταυτόχρονη αντιστροφή των δεδομένων ανάκλασης και διάθλασης και β) Αντιστροφή των χρόνων διαδρομής των ανακλώμενων και διαθλώμενων κυμάτων για τον ταυτόχρονο προσδιορισμό του ανακλαστήρα και του μοντέλου ταχυτήτων. Στα πλαίσια ελέγχου της αποτελεσματικότητας του λογισμικού, χρησιμοποιήθηκαν μοντέλα με πυκνή και αραιή διακριτοποίηση. Το πρώτο μοντέλο αποτελείται από 41 κόμβους κατά τη x διεύθυνση με ελάχιστη τιμή 0 Κm, μέγιστη 200 Κm και απόσταση ανά κόμβο ίση με 5 Κm, 1 κόμβο κατά τη y διεύθυνση με ελάχιστη και μέγιστη τιμή στο 0 m και 21 κόμβους (ορίζοντες) κατά τη z διεύθυνση με ελάχιστη τιμή 0 Κm και μέγιστη 100 Κm και απόσταση ανά κόμβο ίση με 5 Κm (σχ. 4.1). Αντίστοιχα, το δεύτερο μοντέλο αποτελείται από 21 κόμβους κατά τη x διεύθυνση με ελάχιστη τιμή 0 Κm, μέγιστη 200 Κm και απόσταση ανά κόμβο ίση με 10 Κm, 1 κόμβο κατά τη y διεύθυνση με ελάχιστη και μέγιστη τιμή στο 0 m και 11 κόμβους (ορίζοντες) κατά τη z διεύθυνση με ελάχιστη τιμή 0 Κm και μέγιστη 100 Κm και απόσταση ανά κόμβο ίση με 10 Κm (σχ. 4.2). Με στόχο τον έλεγχο της αξιόπιστης ανακατασκευής ενός ιδεατού ανακλαστήρα, πραγματοποιήθηκαν δοκιμές με συνθετικούς-επίπεδους ή πιο 170 πολύπλοκης γεωμετρίας ανακλαστήρες. Για τον έλεγχο του σωστού προσδιορισμού του μοντέλου ταχυτήτων, χρησιμοποιήθηκαν διάφορα δισδιάστατα ανομοιογενή μοντέλα που εμφανίζουν θετικές και αρνητικές γεωμετρικές ανωμαλίες της τάξης του 20%. Οι τελικές δοκιμές του ταυτόχρονου προσδιορισμού του πεδίου ταχυτήτων και του ανακλαστήρα, έγιναν με ένα συνδυασμό των παραπάνω συνθετικών μοντέλων. Το κάθε συνθετικό μοντέλο (ανακλαστήρα ή ταχύτητας ή και των δύο μαζί) αποτέλεσε αρχικά το μοντέλο εισαγωγής στον αλγόριθμο επίλυσης του ευθέως προβλήματος. Από αυτό παρήχθησαν οι συνθετικοί χρόνοι διαδρομής οι οποίοι χρησιμοποιήθηκαν ως οι παρατηρούμενοι (observed traveltimes) για το πείραμα σεισμικής τομογραφίας. Στο επόμενο στάδιο, εισήχθηκε το αρχικό μονοδιάστατο μοντέλο ταχυτήτων το οποίο χρησιμοποιήθηκε ως βάση για τους παραπέρα υπολογισμούς. Το χρησιμοποιούμενο μονοδιάστατο μοντέλο ταχυτήτων φαίνεται στο πίνακα (Ι), Πίνακας Ι Το μονοδιάστατο μοντέλο ταχυτήτων το οποίο χρησιμοποιήθηκε στους υπολογισμούς των συνθετικών χρόνων διαδρομής Βάθος (Κm) 0-10 10-40 40-60 60- Ταχύτητα (Κm/sec) 2. 3.5 5. 6. Οι ταχύτητες των οριζόντων (κόμβων) που βρίσκονται μεταξύ των ορίων που εμφανίζονται στο πίνακα Ι, υπολογίζονται με γραμμική παρεμβολή. Το μονοδιάστατο μοντέλο ταχύτητας του πίνακα (I), αποτέλεσε τη βάση για το προσδιορισμό του τρισδιάστατου μοντέλου ταχυτήτων της περιοχής μελέτης. Για τους ελέγχους με τα συνθετικά δεδομένα, χρησιμοποιήθηκαν 19 πηγές επιφανείας και 20 επιφανειακά γεώφωνα (καταγραφικά). 4.2.1 Προσδιορισμός του μοντέλου ταχύτητας με την αντιστροφή χρόνων διαδρομής ανακλώμενων και διαθλώμενων κυμάτων Κατά τη διάρκεια του πειράματος έγινε καταγραφή 380 σεισμικών ακτίνων με σκοπό την ανακατασκευή 861 ή 231 άγνωστων παραμέτρων του μοντέλου ταχύτητας αναλόγως τη διακριτοποίηση του μοντέλου. Οι τιμές μεταβλητότητας που χρησιμοποιήθηκαν για τις παραμέτρους του ανακλαστήρα και του μοντέλου ταχύτητας είναι, 15 Km και 2.0 Km/sec αντίστοιχα, ενώ η μέση ταχύτητα για την περιοχή μελέτης είναι 4.1 Km/sec. Οι δοκιμές οι οποίες έγιναν, αφορούσαν την ανακατασκευή ανωμαλίας υψηλών ή χαμηλών ταχυτήτων ξεχωριστά ή και των δύο μαζί. Αφορούσαν επίσης, τη δυνατότητα ανακατασκευής μοντέλου ταχυτήτων τόσο με θετικές όσο και αρνητικές ανωμαλίες ταχυτήτων. Τα αποτελέσματα των δοκιμών που πραγματοποιήθηκαν, θα παρουσιαστούν πρώτα για τον πυκνό κάνναβο 171 διακριτοποίησης (41*1*21 κόμβοι) και κατόπιν για τον αραιό κάνναβο διακριτοποίησης (21*1*11 κόμβοι). Ετσι, με αρχικό μοντέλο ταχυτήτων, αυτό του πίνακα Ι, κατασκευάστηκαν συνθετικά (ιδεατά) μοντέλα ταχυτήτων με +20% μεταβολή της ταχύτητας για τους κόμβους του μοντέλου που περικλείονται στο κόκκινο παραλληλόγραμμο του σχήματος (4.1). Στο σχήμα αυτό παρουσιάζεται σε κατακόρυφη τομή η κατανομή των σεισμικών ακτίνων στον χώρο, λαμβάνοντας υπόψη την παρουσία μιας θετικής ανωμαλίας ταχύτητας πλάτους 20%. Σχ. 4.1 Κατακόρυφη τομή του συνθετικού μοντέλου το οποίο μελετήθηκε. Στο σχήμα εμφανίζονται τα χαρακτηριστικά του πειράματος (θέσεις πηγών και γεωφώνων, θέση της ανωμαλίας ταχύτητας). Φαίνονται επίσης οι τομές των σεισμικών ακτίνων με τον κάνναβο διακριτοποίησης. Με πράσινα τετράγωνα παρουσιάζονται τα 20 γεώφωνα ενώ με μπλε τρίγωνα περιγράφονται οι 19 πηγές. Το κόκκινο παραλληλόγραμμο οριοθετεί τη θέση της θετικής ανωμαλίας ταχύτητας πλάτους 20%. Παρατηρείται ότι η ανωμαλία ταχύτητας έχει καλυφθεί πλήρως από σεισμικές ακτίνες που υπακούουν στην παρουσία της ανωμαλίας ταχύτητας (αρχή του Fermat). Επίσης όλη η περιοχή άνωθεν του ανακλαστήρα έχει καλυφθεί από το σύνολο των σεισμικών ακτίνων, γεγονός που επιβεβαιώνει την αναγκαιότητα της χρήσης όλων των υπαρκτών πληροφοριών (ανακλώμενα και διαθλώμενα κύματα). Στο σχήμα (4.2) παρουσιάζεται σε κατακόρυφη τομή το τομογραφικό μοντέλο ταχύτητας όπως υπολογίστηκε από την δεύτερη επανάληψη του αλγόριθμου αντιστροφής. Η αντιστροφή έγινε με χρήση της μεθόδου ελαχίστων τετραγώνων L.S.Q.R με χρήση παραγόντων κανονικοποίησης (απόσβεση, εξομάλυνση) τόσο για το μοντέλο ταχύτητας όσο και για τον ανακλαστήρα. 172 Ìåôáôüðéóç (Km) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 0 10 2 2 2 4 6 4 ÂÜèïò (Km) 20 40 10 8 30 8 6 2 4 4 50 2 60 70 80 90 100 Σχ. 4.2 Κατακόρυφη τομογραφική εικόνα της ανακατασκευής του μοντέλου ταχυτήτων από την αντιστροφή των χρόνων διαδρομής των ανακλώμενων και διαθλώμενων κυμάτων. Με το κόκκινο παραλληλόγραμμο καθορίζεται η θέση της ιδεατής ανωμαλίας των +20%. Με μαύρα τετράγωνα παριστάνεται ο ανακατασκευασμένος ανακλαστήρας, ενώ ο ιδεατός ανακλαστήρας φαίνεται με συνεχή μαύρη γραμμή. Οι ισοκαμπύλες παρουσιάζουν το πλάτος του ανακατασκευασμένου μοντέλου ταχύτητας. Παρατηρείται ότι το πλάτος της ανωμαλίας έχει ανακατασκευαστεί σε ποσοστό περίπου 50% ενώ παρουσιάζεται σχετική ακρίβεια στον υπολογισμό της θέσης της ανωμαλίας. Παρατηρείται ότι το πλάτος της θετικής ανωμαλίας ταχύτητας, ανακατασκευάστηκε σε ποσοστό 50% ενώ το σχήμα αυτής δεν υπολογίστηκε με την ίδια ακρίβεια. Εμφανίζεται μια πλευρική διάχυση της ενέργειας με πιθανό αίτιο τη γεωμετρία του πειράματος δηλαδή, τη γεωμετρία των σεισμικών ακτίνων (ακτίνες από και προς την επιφάνεια). Οπως φαίνεται και από το σχήμα, ο ανακλαστήρας μετατοπίστηκε ελάχιστα πράγμα που σημαίνει ότι ο αλγόριθμος μπόρεσε να διαχωρήσει το είδος των πληροφοριών που μετέφεραν τα δεδομένα. Επίσης παρατηρείται, ότι λόγω των μικρών χρόνων διαδρομής (ύπαρξη θετικής ανωμαλίας), ο ανακλαστήρας μετατοπίστηκε σε μικρότερα βάθη στους κόμβους που βρίσκονται ακριβώς κάτω από την ανωμαλία ταχύτητας (Lines 1993, βλέπε και παράγραφο 1.6.2.2.1). Διατηρώντας ίδια την γεωμετρία του πειράματος, πραγματοποιήθηκε δοκιμή, αντίστοιχη της προηγούμενης, εφαρμόζοντας όμως αρνητική ανωμαλίας ταχύτητας. Με αρχικό μοντέλο ταχυτήτων, αυτό του πίνακα Ι, κατασκευάστηκe συνθετικό μοντέλο ταχύτητας με -20% μεταβολή της ταχύτητας για τους κόμβους του μοντέλου που περικλείονται στο κόκκινο παραλληλόγραμμο του σχήματος (4.3). Στο σχήμα αυτό παρουσιάζεται σε κατακόρυφη τομή η κατανομή των σεισμικών ακτίνων στον χώρο, λαμβάνοντας υπόψη την αρνητική ανωμαλία ταχύτητας πλάτους 20%. 173 Σχ. 4.3 Κατακόρυφη απεικόνιση του χώρου μελέτης. Στο σχήμα εμφανίζονται τα χαρακτηριστικά του πειράματος (θέσεις πηγών και γεωφώνων, θέση της ανωμαλίας ταχύτητας). Φαίνονται επίσης οι τομές των ιχνών των σεισμικών ακτίνων με τον κάνναβο διακριτοποίησης. Με πράσινα τετράγωνα παρουσιάζονται τα 20 γεώφωνα ενώ με μπλε τρίγωνα περιγράφονται οι 19 πηγές. Το κόκκινο παραλληλόγραμμο οριοθετεί τη θέση της θετικής ανωμαλίας ταχύτητας πλάτους 20%. Στο σχήμα (4.3) φαίνεται ότι οι σεισμικές ακτίνες αποφεύγουν την διεύλευση μέσα από την ανωμαλία ταχύτητας (αρχή του Fermat). Ομοίως, με το σχήμα (4.1) όλη η περιοχή άνωθεν του ανακλαστήρα έχει καλυφθεί από το σύνολο των σεισμικών ακτίνων, ενώ λόγω της παρουσίας της αρνητικής ανωμαλίας ταχύτητας, οι διαθλώμενες ακτίνες διέτρεξαν βαθύτερους ορίζοντες. Στο σχήμα (4.4) εμφανίζεται σε κατακόρυφη τομή το τομογραφικό μοντέλο ταχύτητας όπως υπολογίστηκε από την δεύτερη επανάληψη του αλγόριθμου αντιστροφής. Η αντιστροφή πραγματοποιήθηκε με τη χρήση της μεθόδου ελαχίστων τετραγώνων με απόσβεση και εξομάλυνση και για τις δύο παραμέτρους του προβλήματος (ταχύτητα, ανακλαστήρας). Παρατηρείται ότι το πλάτος της αρνητικής ανωμαλίας ταχύτητας, υπολογίστηκε σε ποσοστό μικρότερο του 40% ενώ το σχήμα της ανωμαλίας είναι καλύτερα προσδιορισμένο από αυτό της θετικής ανωμαλίας (σχ. 4.2). Εμφανίζεται μια οριζόντια και προς τα κάτω διεύρυνση της ανωμαλίας με πιθανό αίτιο τη γεωμετρία του πειράματος, όπως και την μετατόπιση του ανακλαστήρα προς τα κάτω. Οπως φαίνεται στο σχήμα ο ανακλαστήρας μετατοπίστηκε ελάχιστα και στη περίπτωση αυτή. Επίσης παρατηρείται, ότι λόγω των αυξημένων χρόνων διαδρομής ο ανακλαστήρας μετατοπίστηκε σε μεγαλύτερα βάθη όπως αναφέρθηκε νωρίτερα. 174 Ìåôáôüðéóç (Km) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 0 10 20 ÂÜèïò (Km) 30 -2 -2 -4 -64 - 40 50 60 -2 -2 70 0 80 90 100 Σχ. 4.4 Κατακόρυφη τομογραφική εικόνα της ανακατασκευής του μοντέλου ταχυτήτων από την αντιστροφή των χρόνων διαδρομής των ανακλώμενων και διαθλώμενων κυμάτων. Με το κόκκινο παραλληλόγραμμο καθορίζεται η θέση της ιδεατής ανωμαλίας των -20%. Με μαύρα τετράγωνα παριστάνεται ο ανακατασκευασμένος ανακλαστήρας, ενώ η συνεχής μαύρη γραμμή παριστά τον ιδεατό ανακλαστήρα. Οι ισοκαμπύλες παρουσιάζουν το ανακατασκευασμένο μοντέλο ταχύτητας. Παρατηρείται ότι το πλάτος της ανωμαλίας έχει ανακατασκευαστεί σε ποσοστό μικρότερο του 40% ενώ παρουσιάζεται σχετική ακρίβεια στον υπολογισμό της θέσης της ανωμαλίας. Τέλος, πραγματοποιήθηκε δοκιμή με εφαρμογή θετικής και αρνητικής ανωμαλίας ταχύτητας μέσα στο μοντέλο. Σχ. 4.5 Στο σχήμα παρουσιάζονται οι θέσεις πηγών και γεωφώνων, οι θέσεις των ανωμαλιών ταχύτητας και οι τομές των ιχνών των σεισμικών ακτίνων με τον κάνναβο διακριτοποίησης. Με πράσινα τετράγωνα παρουσιάζονται τα 20 γεώφωνα ενώ με μπλε τρίγωνα περιγράφονται οι 19 πηγές. Τα κόκκινα πλαίσια οριοθετούν τις θέσεις των ανωμαλίων ταχύτητας. 175 Ετσι, κατασκευάστηκε συνθετικό μοντέλο ταχύτητας με ±20% μεταβολή της ταχύτητας για τους κόμβους του μοντέλου που περικλείονται στο κόκκινο παραλληλόγραμμο του σχήματος (4.5). Στο σχήμα αυτό παρουσιάζεται η κατανομή των σεισμικών ακτίνων στον χώρο, λαμβάνοντας υπόψη την θετική και αρνητική ανωμαλία ταχύτητας πλάτους 20%. Οι σεισμικές ακτίνες αποφεύγουν την διεύλεση από περιοχή χαμηλών ταχυτήτων ενώ κινούνται μέσα σε περιοχές υψηλών ταχυτήτων. Στο σχήμα (4.6) παρουσιάζεται σε κατακόρυφη τομή το τομογραφικό μοντέλο ταχύτητας όπως υπολογίστηκε από την δεύτερη επανάληψη του αλγόριθμου αντιστροφής. Ìåôáôüðéóç (Km) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 0 4 10 20 12 8 8 -2 2 4 ÂÜèïò (Km) 10 6 30 2 6 0 40 50 2 60 70 80 90 100 Σχ. 4.6 Κατακόρυφη τομογραφική εικόνα της ανακατασκευής του μοντέλου ταχυτήτων από την αντιστροφή των χρόνων διαδρομής των ανακλώμενων και διαθλώμενων κυμάτων. Με κόκκινα πλαίσια καθορίζονται οι θέσεις των ανωμαλιών ταχύτητας. Με μαύρα τετράγωνα παριστάνεται ο υπολογιζόμενος ανακλαστήρας, ενώ με συνεχή μαύρη γραμμή καθορίζεται ο ιδεατός ανακλαστήρας. Οι ισοκαμπύλες παρουσιάζουν το ανακατασκευασμένο μοντέλο ταχύτητας. Παρατηρείται ότι το πλάτος της θετικής ανωμαλίας έχει ανακατασκευαστεί σε ποσοστό μεγαλύτερο του 50% ενώ η αρνητική ανωμαλία σε ποσοστό της τάξης των 10%. Οι θέσεις των ανωμαλιών έχουν καθορισθεί με σχετική ακρίβεια. Από το παρόν συνθετικό ‘πείραμα’ γίνεται φανερό ότι οι δομές που παρουσιάζουν αρνητικές ανωμαλίες ταχύτητας είναι δυσκολότερα αναγνωρίσιμες από τις ανωμαλίες υψηλών ταχυτήτων. Ακόμα και στη περίπτωση αναγνώρισης γίνεται υποεκτίμηση του πλάτους της ανωμαλίας. Επίσης επιβεβαιώνεται η δυσκολία στην επίλυση ενός προβλήματος δύο παραμέτρων, όπου ο αλγόριθμος επίλυσης δυσκολεύεται να διαχωρίσει το είδος των πληροφοριών που περιέχουν τα δεδομένα. Στη παρούσα περίπτωση, ενώ τα δεδομένα προέρχονταν μόνο από ανωμαλίες ταχύτητας χωρίς μεταβολές της γεωμετρίας του ανακλαστήρα, η αντιστροφή αυτών, προκαλούσε μεταβολές και των δύο παραμέτρων. Ο πληρέστερος έλεγχος του λογισμικού επίλυσης του ευθέως και αντιστρόφου προβλήματος, απαιτεί την εξέταση και άλλων παραμέτρων άρα και 176 την πραγματοποίηση νέων δοκιμών. Στις μέχρι τώρα δοκιμές, το πρόβλημα που επιλύθηκε ήταν πλήρως υποκαθορισμένο μιας και 380 σεισμικές ακτίνες χρησιμοποιήθηκαν για την ανακατασκευή 861 παραμέτρων. Τα αποτελέσματα έδειξαν ότι το λογισμικό αποκρίνεται με αρκετή ακρίβεια, σε κακώς ορισμένα προβλήματα. Αυξάνοντας το μέγεθος των κελιών του κάνναβου διακριτοποίησης ελλατώνεται το πλήθος των παραμέτρων αλλά μειώνεται η διακριτική ικανότητα του μοντέλου (trade-off curve). Στη περίπτωση αυτή, το πλήθος των αγνώστων παραμέτρων φτάνει τις 231, ενώ το πλήθος των σεισμικών ακτίνων παραμένει 380. Στο παρόν -καλώς ορισμένο- συνθετικό μοντέλο, δοκιμάστηκε η απόκριση του λογισμικού στην ανακατασκευή μικρού πλάτους ανωμαλιών της τάξης του 10% και πραγματοποιήθηκε μια περισσότερο υφιστάμενη μελέτη στην επίδραση των ανακλώμενων κυμάτων στον προσδιορισμό του μοντέλου των ταχυτήτων. Οπως αναφέρθηκε νωρίτερα, ο «αραιός» κάνναβος διακριτοποίησης αποτελείται από 21 κόμβους κατά τη x διεύθυνση με ελάχιστη τιμή 0 Κm, μέγιστη 200 Κm και απόσταση ανά κόμβο ίση με 10 Κm, 1 κόμβο κατά τη y διεύθυνση με ελάχιστη και μέγιστη τιμή στο 0 m και 11 κόμβους (ορίζοντες) κατά τη z διεύθυνση με ελάχιστη τιμή 0 Κm και μέγιστη 100 Κm και απόσταση ανά κόμβο ίση με 10 Κm (σχ. 4.7). Με αρχικό μοντέλο ταχυτήτων, αυτό του πίνακα Ι, κατασκευάστηκαν συνθετικά (ιδεατά) μοντέλα ταχυτήτων με +10% μεταβολή της ταχύτητας για τους κόμβους του μοντέλου που περικλείονται στο κόκκινο παραλληλόγραμμο του σχήματος (4.7). Σχ. 4.7 Κατακόρυφη τομή του συνθετικού μοντέλου το οποίο μελετήθηκε. Στο σχήμα εμφανίζονται τα στοιχεία του πειράματος (θέσεις πηγών, γεωφώνων και της ανωμαλίας ταχύτητας). Εμφανίζονται επίσης οι τομές των σεισμικών ακτίνων με τον κάνναβο διακριτοποίησης. Με πράσινα τετράγωνα παρουσιάζονται τα 20 γεώφωνα ενώ με μπλε τρίγωνα περιγράφονται οι 19 πηγές. Το κόκκινο παραλληλόγραμμο οριοθετεί τη θέση της θετικής ανωμαλίας ταχύτητας πλάτους 10%. 177 Στο σχήμα αυτό παρουσιάζεται σε κατακόρυφη τομή η κατανομή των σεισμικών ακτίνων στον χώρο, λαμβάνοντας υπόψη την παρουσία μιας θετικής ανωμαλίας ταχύτητας πλάτους 10% (διέλευση αυτών από το εσωτερικό της ανωμαλίας). Στο σχήμα (4.8) παρουσιάζεται η ανακατασκευή της ιδεατής ανωμαλίας με τη χρήση των ανακλώμενων και διαθλώμενων κυμάτων. Ìåôáôüðéóç (Km) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 4 2 40 2 ÂÜèïò (Km) 20 60 80 100 Σχ. 4.8 Κατακόρυφη τομογραφική εικόνα της ανακατασκευής του μοντέλου ταχυτήτων από την αντιστροφή των χρόνων διαδρομής των ανακλώμενων και διαθλώμενων κυμάτων. Με κόκκινο πλαίσιο καθορίζεται η θέση της ανωμαλίας ταχύτητας. Οι ισοκαμπύλες παρουσιάζουν το ανακατασκευασμένο μοντέλο ταχύτητας. Παρατηρείται ότι το πλάτος της ανωμαλίας έχει ανακατασκευαστεί σε ποσοστό μεγαλύτερο του 50%. Η θέση της ανωμαλίας έχει καθορισθεί με σχετική ακρίβεια. Στο σχήμα (4.8) παρουσιάζεται σε κατακόρυφη τομή το τομογραφικό μοντέλο ταχύτητας όπως υπολογίστηκε από την τρίτη επανάληψη του αλγόριθμου αντιστροφής. Η αντιστροφή έγινε με τη χρήση της μεθόδου ελαχίστων τετραγώνων L.S.Q.R με χρήση παραγόντων κανονικοποίησης (απόσβεση, εξομάλυνση) για το μοντέλο ταχύτητας. Το βάρος της συμμετοχής των ανακλώμενων και διαθλώμενων κυμάτων στον προσδιορισμό του μοντέλου ταχυτήτας είναι ισόποσο. Παρατηρείται ότι στο ανακατασκευασμένο μοντέλο ταχύτητας εμφανίζεται, α) η μετατόπιση της ανωμαλίας προς βαθύτερους ορίζοντες το οποίο αποτελεί χαρακτηριστικό της τομογραφίας ανάκλασης και οφείλεται στην κατακόρυφη γεωμετρία των σεισμικών ακτίνων, και β) η πλάτυνση (χαμόγελο) της ανωμαλίας στους ρηχούς ορίζοντες ως αποτέλεσμα της γεωμετρίας των διαθλώμενων σεισμικών ακτίνων. Στην περίπτωση κατά την οποία το βάρος συμμετοχής των ανακλώμενων κυμάτων στον υπολογισμό του μοντέλου ταχυτήτων είναι μηδενικό, το τομογραφικό αποτέλεσμα παρουσιάζεται στο σχήμα (4.9). 178 Ìåôáôüðéóç (Km) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 2 ÂÜèïò (Km) 20 2 40 60 0 80 100 Σχ. 4.9 Κατακόρυφη τομογραφική εικόνα του μοντέλου ταχυτήτων από την αντιστροφή των χρόνων διαδρομής των διαθλώμενων κυμάτων. Με κόκκινο πλαίσιο καθορίζεται η θέση της ανωμαλίας ταχύτητας. Οι ισοκαμπύλες παρουσιάζουν το ανακατασκευασμένο μοντέλο ταχύτητας. Παρατηρείται ότι το πλάτος της ανωμαλίας έχει ανακατασκευαστεί σε ποσοστό μικρότερο του 50%. Η θέση της ανωμαλίας έχει καθορισθεί με ασάφεια. Στο σχήμα (4.9) παρατηρείται η αδυναμία των διαθλώμενων σεισμικών ακτίνων, να ανακατασκευάσουν το ιδεατό μοντέλο ταχυτήτων τόσο σε πλάτος ανωμαλίας όσο και σε μορφή. Σε συνέπεια με τις παρατηρήσεις των προηγούμενων δοκιμών, οι ισοκαμπύλες παρουσιάζουν μια καμπύλωση με τα κοίλα προς τα πάνω (refraction smiles). Οπως αναφέρθηκε, η γεωμετρία των σεισμικών ακτίνων προκαλεί ασάφειες στον προσδιορισμό του πλάτους και της μορφής του μοντέλου ταχύτητας. Με σκοπό την μεταβολή της γεωμετρίας των διαθλώμενων ακτίνων και την διέλευση αυτών από βαθύτερους ορίζοντες, χρησιμοποιήθηκε ένα συνθετικό μοντέλο ταχυτήτων στο οποίο η θετική ανωμαλία ταχύτητας κείτεται πάνω στον ανακλαστήρα. Στο σχήμα (4.10) παρουσιάζεται η κατανομή των σεισμικών ακτίνων στη περιοχή μελέτης με την παρουσία της βαθιάς θετικής ανωμαλίας ταχύτητας. Ακολουθούν τρία παραδείγματα ανακατασκευής της ιδεατής ανωμαλίας ταχύτητας. Στο πρώτο παράδειγμα γίνεται χρήση των ανακλώμενων και διαθλώμενων κυμάτων δίνοντας μεγάλο βάρος στη χρήση των ανακλώμενων κυμάτων. Στο δεύτερο παράδειγμα εφαρμόστηκε ίδιο βάρος στα ανακλώμενα και διαθλώμενα σεισμικά κύματα, ενώ στο τρίτο παράδειγμα χρησιμοποιήθηκαν μόνο τα διαθλώμενα κύματα. 179 Σχ. 4.10 Κατακόρυφη τομή του συνθετικού μοντέλου το οποίο μελετήθηκε. Στο σχήμα εμφανίζονται τα στοιχεία του πειράματος (θέσεις πηγών, γεωφώνων και της ανωμαλίας ταχύτητας). Εμφανίζονται επίσης οι τομές των σεισμικών ακτίνων με τον κάνναβο διακριτοποίησης. Με πράσινα τετράγωνα παρουσιάζονται τα 20 γεώφωνα ενώ με μπλε τρίγωνα περιγράφονται οι 19 πηγές. Το κόκκινο παραλληλόγραμμο οριοθετεί τη θέση της θετικής ανωμαλίας ταχύτητας πλάτους 10%. Στο σχήμα αυτό παρουσιάζεται σε κατακόρυφη τομή η κατανομή των σεισμικών ακτίνων στον χώρο για το παρόν συνθετικό μοντέλο. Το μοντέλο λαμβάνοντας υπόψη τη θετική ανωμαλία ταχύτητας «τράβηξε» τις σεισμικές ακτίνες σε βαθύτερους ορίζοντες. Το πρώτο τομογραφικό αποτέλεσμα της ανακατασκευής του μοντέλου ταχυτήτων δίνεται στο σχήμα (4.11). Ìåôáôüðéóç (Km) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 40 2 ÂÜèïò (Km) 20 6 60 4 2 80 100 Σχ. 4.11 Κατακόρυφη τομογραφική εικόνα του μοντέλου ταχυτήτων από την αντιστροφή των χρόνων διαδρομής των διαθλώμενων και ανακλώμενων κυμάτων. Με κόκκινο πλαίσιο καθορίζεται η θέση της ανωμαλίας ταχύτητας. Οι ισοκαμπύλες παρουσιάζουν το ανακατασκευασμένο μοντέλο ταχύτητας. 180 Στο σχήμα (4.11) παρουσιάζεται το τομογραφικό αποτέλεσμα της ανακατασκευής του μοντέλου ταχύτητας μετά το πέρας της τρίτης επανάληψης του λογισμικού. Παρατηρείται ότι, τόσο το πλάτος όσο και το σχήμα της ανωμαλίας έχει ανακατασκευαστεί με ακρίβεια. Η ακρίβεια στον υπολογισμό του πλάτους της ανωμαλίας ξεπερνά το 70%. Αυξάνοντας το βάρος συμμετοχής των διαθλώμενων κυμάτων στον υπολογισμό του μοντέλου ταχύτητας και επαναλαμβάνοντας την διαδικασία επίλυσης για τρείς φορές, παράγεται το τομογραφικό μοντέλο του σχήματος (4.12). Ìåôáôüðéóç (Km) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 ÂÜèïò (Km) 20 2 40 6 60 4 2 80 100 Σχ. 4.12 Κατακόρυφη τομογραφική εικόνα του μοντέλου ταχυτήτων από την αντιστροφή των χρόνων διαδρομής των διαθλώμενων και ανακλώμενων κυμάτων. Με κόκκινο πλαίσιο καθορίζεται η θέση της ανωμαλίας ταχύτητας. Οι ισοκαμπύλες παρουσιάζουν το ανακατασκευασμένο μοντέλο ταχύτητας. Από το σχήμα παρατηρείται ότι, α) μειώθηκε η ακρίβεια υπολογισμού του πλάτους της ανωμαλίας κατά 7%, σε σχέση με το αποτέλεσμα του σχήματος (4.11),και β) παρουσιάστηκε μια διεύρυνση της μορφής της ανωμαλίας στους ρηχούς ορίζοντες, ως χαρακτηριστικό της «εισόδου» των διαθλώμενων κυμάτων στον «ενεργό» υπολογισμό του μοντέλου ταχυτήτων. Τα παραπάνω, επιβεβαιώνονται στο σχήμα (4.13) στο οποίο γίνεται κυρίως χρήση των διαθλώμενων κυμάτων για τον υπολογισμό του μοντέλου ταχύτητας. Το τομογραφικό μοντέλο ταχύτητας είναι αποτέλεσμα της τριπλής επανάληψης του αλγόριθμου υπολογισμού του μοντέλου ταχύτητας. Τα αποτελέσματα είναι διδακτικά καθώς παρουσιάζουν την αδυναμία της τομογραφίας διάθλασης να αναπαράγει με ακρίβεια ανωμαλίες ταχύτητας στην περίπτωση που το πείραμα δεν σχεδιάστηκε για τομογραφικές ανάγκες, οπότε η γεωμετρία των ακτίνων είναι ακατάλληλη για τομογραφική χρήση. 181 Ìåôáôüðéóç (Km) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 2 ÂÜèïò (Km) 20 2 4 40 6 4 2 4 60 0 80 100 Σχ. 4.13 Κατακόρυφη τομογραφική εικόνα του μοντέλου ταχυτήτων από την αντιστροφή των χρόνων διαδρομής των διαθλώμενων και ανακλώμενων κυμάτων. Με κόκκινο πλαίσιο καθορίζεται η θέση της ανωμαλίας ταχύτητας. Οι ισοκαμπύλες παρουσιάζουν το ανακατασκευασμένο μοντέλο ταχύτητας. Στο σχήμα (4.13) παρατηρείται έντονη καμπύλωση των ισοκαμπύλων που περιγράφουν το υπολογιζόμενο πλάτος (%) της ανωμαλίας ταχύτητας. Είναι ξεκάθαρο ότι η μορφή των ιοκαμπύλων είναι αποτέλεσμα των σεισμικών ακτίνων που κινήθηκαν σε βάθος λόγω της βαθιάς θετικής ανωμαλίας ταχύτητας. Επίσης παρατηρείται μετάθεση της ανωμαλίας σε ρηχότερους ορίζοντες, στο μέγιστο βάθος διέλευσης των σεισμικών ακτίνων. Το υπολογιζόμενο πλάτος της ανωμαλίας ταχύτητας είναι αντίστοιχο του υπολογιζόμενου πλάτους της δοκιμής στην οποία έγινε χρήση και των ανακλώμενων κυμάτων. Για να μελετηθεί καλύτερα η δράση των διαθλώμενων κυμάτων στον υπολογισμό του μοντέλου ταχύτητας σε πειράματα τομογραφίας, πραγματοποιήθηκε η παρακάτω δοκιμή. Διατηρώντας σταθερή την γεωμετρία του πειράματος (θέσεις και πλήθος πηγών-γεωφώνων) και το μονοδιάστατο μοντέλο ταχυτήτων, ο ανακλαστήρας τοποθετήθηκε στο βάθος των 25 Km με σκοπό την διέλευση των διαθλώμενων σεισμικών ακτινών από τον ανακλαστήρα. Η δοκιμή πραγματοποιήθηκε με θετική και αρνητική ανωμαλία ταχύτητας της τάξης του 10%. Στο σχήμα (4.14) δίνεται η κατανομή των σεισμικών ακτινών στο χώρο του πειράματος με βάση τη γνωστή γεωμετρία του πειράματος. 182 Σχ. 4.14 Κατακόρυφη τομή του συνθετικού μοντέλου το οποίο μελετήθηκε. Στο σχήμα εμφανίζονται τα στοιχεία του πειράματος (θέσεις πηγών, γεωφώνων και της ανωμαλίας ταχύτητας). Εμφανίζονται επίσης οι τομές των σεισμικών ακτίνων με τον κάνναβο διακριτοποίησης. Με πράσινα τετράγωνα παρουσιάζονται τα 20 γεώφωνα ενώ με μπλε τρίγωνα περιγράφονται οι 19 πηγές. Το κόκκινο παραλληλόγραμμο οριοθετεί τη θέση της θετικής ανωμαλίας ταχύτητας πλάτους 10%. Στο σχήμα παρατηρείται ότι οι διαθλώμενες σεισμικές ακτίνες διαπερνούν τον ορίζοντα. Αντιστρέφοντας τους συνθετικούς χρόνους διαδρομής με διαφορετικό κάθε φορά βάρος στην εφαρμογή των διαθλώμενων και ανακλώμενων κυμάτων προέκυψαν τα παρακάτω τομογραφικά μοντέλα ταχυτήτων. Στο σχήμα (4.15) δίνεται το τομογραφικό μοντέλο στην περίπτωση κατά την οποία το βάρος των ανακλώμενων κυμάτων είναι μηδενικό. Ìåôáôüðéóç (Km) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 2 ÂÜèïò (Km) 20 40 2 2 0 60 80 100 Σχ. 4.15 Κατακόρυφη τομογραφική εικόνα του μοντέλου ταχυτήτων από την αντιστροφή των χρόνων διαδρομής των διαθλώμενων κυμάτων. Με κόκκινο πλαίσιο καθορίζεται η θέση της ανωμαλίας ταχύτητας. Οι ισοκαμπύλες παρουσιάζουν το ανακατασκευασμένο μοντέλο ταχύτητας. Παρατηρείται μια ασάφεια στον υπολογισμό του μοντέλου ταχύτητας, καθώς, τόσο η θέση όσο και το πλάτος της ανωμαλίας δεν υπολογίστηκαν. Στο 183 επόμενο τομογραφικό μοντέλο (σχήμα 4.16) τα ανακλώμενα και διαθλώμενα κύματα εφαρμόστηκαν με το ίδιο βάρος για τον υπολογισμό του μοντέλου ταχύτητας. Ìåôáôüðéóç (Km) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 2 ÂÜèïò (Km) 20 2 40 0 60 80 100 Σχ. 4.16 Κατακόρυφη τομογραφική εικόνα του μοντέλου ταχυτήτων από την αντιστροφή των χρόνων διαδρομής των διαθλώμενων και ανακλώμενων κυμάτων. Με κόκκινο πλαίσιο καθορίζεται η θέση της ανωμαλίας ταχύτητας. Οι ισοκαμπύλες παρουσιάζουν το ανακατασκευασμένο μοντέλο ταχύτητας. Μελετώντας το σχήμα (4.16) φαίνεται ότι η συμβολή των ανακλώμενων κυμάτων στον υπολογισμό του μοντέλου ταχύτητας ήταν θετική. Βελτιώθηκε ουσιαστικά ο προσδιορισμός της θέσης της ανωμαλίας ενώ το πλάτος της ανωμαλίας υποεκτιμήθηκε, καθώς ανακατασκευάστηκε ανωμαλία πλάτους 3.2% αντί αυτής του 10%. Στο σχήμα (4.17) παρουσιάζεται το τελευταίο τομογραφικό μοντέλο ταχυτήτων, το οποίο υπολογίστηκε μόνο με την χρήση των ανακλώμενων κυμάτων. Στο σχήμα είναι σαφής η βελτίωση στον υπολογισμό της θέσης της ανωμαλίας ταχύτητας, ενώ το πλάτος αυτής επαναυπολογίστηκε σε ποσοστό της τάξης του 30%. 184 Ìåôáôüðéóç (Km) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 2 ÂÜèïò (Km) 20 40 60 80 100 Σχ. 4.17 Κατακόρυφη τομογραφική εικόνα του μοντέλου ταχυτήτων από την αντιστροφή των χρόνων διαδρομής των ανακλώμενων κυμάτων. Με κόκκινο πλαίσιο καθορίζεται η θέση της ανωμαλίας ταχύτητας. Οι ισοκαμπύλες παρουσιάζουν το ανακατασκευασμένο μοντέλο ταχύτητας. Διατηρώντας την ίδια γεωμετρία πηγών-γεωφώνων και ανακλαστήρα, εισήχθησαν δύο ανωμαλίες ταχύτητας (θετική και αρνητική) πλάτους 10%. Σκοπός της δοκιμής ήταν όπως και πριν ο έλεγχος της δράσης των διαθλώμενων ακτινών στον υπολογισμό του μοντέλου ταχυτήτων. Στο σχήμα (4.18) δίνεται η κατανομή στο χώρο των σεισμικών ακτινών λαμβάνοντας υπόψη την παρουσία των ανωμαλιών ταχύτητας. Σχ. 4.18 Κατακόρυφη τομή του συνθετικού μοντέλου το οποίο μελετήθηκε. Στο σχήμα εμφανίζονται οι θέσεις των πηγών-γεωφώνων και των ανωμαλιών ταχύτητας. Εμφανίζονται επίσης οι τομές των σεισμικών ακτίνων με τον κάνναβο διακριτοποίησης. Με πράσινα τετράγωνα παρουσιάζονται τα 20 γεώφωνα ενώ με μπλε τρίγωνα περιγράφονται οι 19 πηγές. Τα κόκκινα παραλληλόγραμμα οριοθετούν τις θέσεις των ανωμαλιών ταχύτητας πλάτους 10%. 185 Παρατηρείται ότι οι σεισμικές ακτίνες κινούνται βαθύτερα από τον ανακλαστήρα και υπακούουν την αρχή του Fermat, σύμφωνα με την οποία οι σεισμικές ακτίνες κινούνται λαμβάνοντας υπόψη την παρουσία των ανωμαλιών ταχύτητας, δηλαδή, κινούνται μέσα από ανωμαλίες υψηλών ταχυτήτων και αποφεύγουν τις ανωμαλίες χαμηλών ταχυτήτων. Στο σχήμα (4.19) παρουσιάζεται το τομογραφικό μοντέλο ταχύτητας όπως προέκυψε από την τρίτη επανάληψη του αλγόριθμου επίλυσης του αντιστρόφου προβλήματος για τα διαθλώμενα κύματα. Ìåôáôüðéóç (Km) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 2 ÂÜèïò (Km) 20 2 2 40 0 60 80 100 Σχ. 4.19 Κατακόρυφη τομογραφική εικόνα του μοντέλου ταχυτήτων από την αντιστροφή των χρόνων διαδρομής των διαθλώμενων κυμάτων. Με κόκκινα πλαίσια καθορίζονται οι θέσεις των ανωμαλιών ταχύτητας. Οι ισοκαμπύλες παρουσιάζουν το ανακατασκευασμένο μοντέλο ταχύτητας. Από το σχήμα (4.19) γίνεται φανερή η αδυναμία των διαθλώμενων κυμάτων να ανακατασκευάσουν το μοντέλο ταχύτητας για λόγους που θα αναφερθούν παρακάτω. Στο σχήμα (4.20) παρουσιάζεται το τομογραφικό μοντέλο ταχυτήτων όπως προέκυψε από την αντιστροφή των χρόνων διαδρομής των ανακλώμενων και διαθλώμενων κυμάτων. 186 Ìåôáôüðéóç (Km) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 20 ÂÜèïò (Km) -2 4 2 2 40 0 60 80 100 Σχ. 4.20 Κατακόρυφη τομογραφική εικόνα του μοντέλου ταχυτήτων από την αντιστροφή των χρόνων διαδρομής των διαθλώμενων και ανακλώμενων κυμάτων. Με κόκκινα πλαίσια καθορίζονται οι θέσεις των ανωμαλιών ταχύτητας. Οι ισοκαμπύλες παρουσιάζουν το ανακατασκευασμένο μοντέλο ταχύτητας. Παρατηρείται ότι όσο η συμμετοχή των ανακλώμενων κυμάτων στον υπολογισμό του μοντέλου ταχύτητας αυξάνεται τόσο πιο ακριβή είναι τα αποτελέσματα της αντιστροφής. Παρόλα αυτά, τόσο η θέση των ανωμαλιών ταχύτητας όσο και το πλάτος αυτών έχει υπολογιστεί με μεγάλα σφάλματα. Η πολικότητα των ανωμαλιών είναι ίσως το μόνο χαρακτηριστικό το οποίο έχει ανακατασκευαστεί. Στο σχήμα (4.21) παρουσιάζεται το μοντέλο ταχύτητας όπως υπολογίστηκε από την αντιστροφή των ανακλώμενων κυμάτων. Ìåôáôüðéóç (Km) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 -2 2 ÂÜèïò (Km) 20 40 60 80 100 Σχ. 4.21 Κατακόρυφη τομογραφική εικόνα του μοντέλου ταχυτήτων από την αντιστροφή των χρόνων διαδρομής των ανακλώμενων κυμάτων. Με κόκκινα πλαίσια καθορίζονται οι θέσεις των ανωμαλιών ταχύτητας. Οι ισοκαμπύλες παρουσιάζουν το ανακατασκευασμένο μοντέλο ταχύτητας. 187 Στο σχήμα αυτό, όπως και στο σχήμα (4.17), η χρήση μόνο των ανακλώμενων κυμάτων δίνει καλύτερα αποτελέσματα στον υπολογισμό του μοντέλου ταχύτητας, από ότι στις περιπτώσεις στις οποίες έγινε χρήση των διαθλώμενων κυμάτων. Η αστοχία της χρήσης των διαθλώμενων κυμάτων στον υπολογισμό των ανωμαλιών ταχύτητας οφείλεται στην «κακή» γεωμετρία των σεισμικών ακτινών, γεγονός που μελετήθηκε και σε προηγούμενα παραδείγματα. Στην περίπτωση της τομογραφίας ανάκλασης, τα αποτελέσματα είναι σχετικά καλά λόγω του γεγονότος ότι η μέγιστη απόσταση πηγών γεωφώνων υπερβαίνει το τριπλάσιο του βάθους του ανακλαστήρα. Μελετώντας τις δοκιμές που πραγματοποιήθηκαν με σκοπό την ανακατασκευή του μοντέλου ταχύτητας, προκύπτει ότι, ι) Ο αλγόριθμος επίλυσης του ευθέως και αντιστρόφου προβλήματος σε πείραμα σεισμικής τομογραφίας είναι αποτελεσματικός και σχετικά ακριβής είτε στην περίπτωση καλώς ορισμένου, είτε στην περίπτωση υποκαθορισμένου προβλήματος. ιι) Ο αλγόριθμος είναι αξιόπιστος στον υπολογισμό μικρού ή μεγάλου πλάτους ανωμαλιών. ιιι) Εγινε φανερό ότι ακόμα και στην περίπτωση όπου υπάρχουν καταγραφές των διαθλώμενων και ανακλώμενων κυμάτων, η κακή γεωμετρία του πειράματος παίζει ίσως τον σημαντικότερο ρόλο στην σωστή επίλυση του τομογραφικού προβλήματος. ιιιι) Επιβεβαιώθηκε η αναγκαιότητα όλων των διαθέσιμων πληροφοριών (ανακλώμενα και διαθλώμενα κύματα) για την πληρέστερη περιγραφή και ανακατασκευή του μοντέλου ταχύτητας για την περιοχή μελέτης. 4.2.2 Ταυτόχρονος προσδιορισμός του μοντέλου ταχύτητας και του ανακλαστήρα από την αντιστροφή χρόνων διαδρομής ανακλώμενων και διαθλώμενων κυμάτων. Η τελευταία και ίσως πιο σημαντική δοκιμή είναι ο ταυτόχρονος προσδιορισμός του μοντέλου ταχύτητας και ανακλαστήρα, θεωρώντας ότι οι παρατηρούμενοι χρόνοι διαδρομής είναι αποτέλεσμα μεταβολών των παραμέτρων αυτών. Στη προσπάθεια κατανόησης του προβλήματος, βελτίωσης του αλγόριθμου επίλυσης αυτού και ελέγχου της εφαρμοσιμότητάς του, πραγματοποιήθηκε δοκιμή χρησιμοποιώντας συνθετικούς χρόνους διαδρομής. Διατηρήθηκε η ίδια διάταξη επιφανειακών πηγών και γεωφώνων, με αυτή των δοκιμών που υλοποιήθηκαν σε προηγούμενες παραγράφους, καταγράφοντας 380 σεισμικές ακτίνες που σκοπό είχαν την ερμηνεία 902 ή 252 παραμέτρων , αναλόγως του καννάβου παραμετροποίησης του προβλήματος (861/231 του μοντέλου ταχυτήτων και 41/21 του ανακλαστήρα). Οι τιμές μεταβλητότητας των παραμέτρων (ταχύτητας-ανακλαστήρα) έχουν αντιπροσωπευτικές τιμές, γεγονός που οδήγησε στην αντιστροφή των δεδομένων χρόνων διαδρομής τόσο για τον ανακλαστήρα, όσο και για το μοντέλο ταχυτήτων. Οι δοκιμές που πραγματοποιήθηκαν, αφορούσαν την ανακατασκευή μοντέλου 188 ταχυτήτων με θετική ανωμαλία ταχυτήτων, και τον προσδιορισμό διαφόρων μορφών ανακλαστήρα. Στο σχήμα (4.22) παρουσιάζεται η κατανομή των σεισμικών ακτίνων στον χώρο μελέτης, λαμβάνοντας υπόψη τόσο την ανωμαλία ταχύτητας πλάτους 20% όσο και την γεωμετρία του ανακλαστήρα. Σχ. 4.22 Στο σχήμα παρουσιάζεται η γεωμετρία του πειράματος, οι θέσεις των ανωμαλιών ταχύτητας και τα ίχνη των σεισμικών ακτίνων ως τομή αυτών με τον κάνναβο διακριτοποίησης. Με πράσινα τετράγωνα παρουσιάζονται τα 20 γεώφωνα ενώ με μπλε τρίγωνα περιγράφονται οι 19 πηγές. Το κόκκινο πλαίσιο οριοθετεί τη θέση της ανωμαλίας ταχύτητας. Παρατηρείται ότι οι σεισμικές ακτίνες κινούνται με βάση το μοντέλο ταχύτητας, ενώ ειδικά για τα ανακλώμενα κύματα, είναι δυνατή και η έμμεση πρόβλεψη της ανακατασκευής του ανακλαστήρα παρατηρώντας σε αυτόν τη μη πλήρη κάλυψη του από σεισμικές ακτίνες στη κόκκινη ζώνη (ζώνες σκιάς). Ελλειπής κάλυψη-δειγματοληψία- του ανακλαστήρα από σεισμικές ακτίνες, σημαίνει την έλλειψη πληροφοριών που κατά την αντιστροφή των δεδομένων θα βοηθούσαν στον προσδιορισμό της γεωμετρίας του ανακλαστήρα. Το τομογραφικό αποτέλεσμα της «φτωχής» κάλυψης του χώρου από σεισμικές ακτίνες, φαίνεται στο σχήμα (4.23), στο οποίο παρουσιάζεται σε κατακόρυφη τομή η τομογραφική εικόνα από τη τρίτη επανάληψη του αλγόριθμου αντιστροφής. 189 Ìåôáôüðéóç (Km) 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 2 BÜèïò (Km) 20 40 4 6 4 2 60 80 100 Σχ. 4.23 Κατακόρυφη τομογραφική εικόνα της ανακατασκευής του μοντέλου ταχυτήτων και του ανακλαστήρα από την αντιστροφή των χρόνων διαδρομής των ανακλώμενων κυμάτων. Με το κόκκινο παραλληλόγραμμο καθορίζεται η θέση της ιδεατής ανωμαλίας των +20%. Με μπλε τεθλασμένη συνεχή γραμμή καθορίζεται ο ιδεατός ανακλαστήρας. Οι ισοκαμπύλες παρουσιάζουν το ανακατασκευασμένο μοντέλο ταχύτητας ενώ οι μπλε κύκλοι αναπαριστούν τον υπολογιζόμενο ανακλαστήρα. Παρατηρώντας το σχήμα (4.23) είναι φανερό ότι η θετική ανωμαλία ταχυτήτων έχει ανακατασκευαστεί σε ποσοστό 50%. Ο υπολογιζόμενος ανακλαστήρας προσομοιάζει αρκετά καλά τον ιδεατό ανακλαστήρα, παρ’ όλη τη κακή κάλυψη στο μέσο του ανακλαστήρα από σεισμικές ακτίνες. Επίσης η υπολογιζόμενη θέση της ανωμαλίας δεν απέχει πολύ από την ιδεατή γεγονός που μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι τελικά, ο αλγόριθμος λειτούργησε ικανοποιητικά στον ταυτόχρονο προσδιορισμό μοντέλου ταχυτήτων και ανακλαστήρα. Στην επόμενη δοκιμή κρατήθηκαν ίδια τόσο τα χαρακτηριστικά του πειράματος ίδια με αυτά των προηγούμενων δοκιμών, όσο και η θέση και το πλάτος της ανωμαλίας της δοκιμής που έγινε στο παρούσα παράγραφο. Η αλλαγή έγινε στη γεωμετρία του ανακλαστήρα και σκοπός αυτής ήταν η μελέτη της επίδρασης της γεωμετρία της ασυνέχειας στην σωστή αναγνώριση και χαρτογράφηση των δομών. Στο σχήμα (4.24) παρουσιάζεται η κατανομή των σεισμικών ακτίνων στον χώρο μελέτης, λαμβάνοντας υπόψη τόσο την ανωμαλία ταχύτητας πλάτους 20% όσο και την γεωμετρία του ανακλαστήρα. 190 Σχήμα 4.24 Στο σχήμα παρουσιάζεται η γεωμετρία του πειράματος (ίδια με αυτή του σχήματος 4.14), η θέση της ανωμαλίας ταχύτητας και τα ίχνη των σεισμικών ακτίνων ως τομή αυτών με τον κάνναβο διακριτοποίησης. Με πράσινα τετράγωνα παρουσιάζονται τα 20 γεώφωνα ενώ με μπλε τρίγωνα περιγράφονται οι 19 πηγές. Το κόκκινο πλαίσιο οριοθετεί τη θέση της ανωμαλίας ταχύτητας. Σκοπός της δοκιμής όπως αναφέρθηκε είναι η εκτίμηση της μεθόδου στον προσδιορισμό συγκλινικών και αντικλινικών δομών με την μέθοδο της σεισμικής τομογραφίας. Είναι γνωστό ότι οι αντικλινικές δομές συνδυαζόμενες με τους γεωλογικούς σχηματισμούς αποτελούν πετρελαικούς θύλακες «παγίδες πετρελαίου». Στο παράδειγμα του σχήματος (4.22) παρατηρήθηκε ότι η μέθοδος δεν συνίσταται για τον προσδιορισμό συγκλίνων λόγω περιορισμένης κάλυψηςδειγματοληψίας- του ανακλαστήρα από σεισμικές ακτίνες. Στο παράδειγμα του σχήματος (4.24) φαίνεται ότι το πρόβλημα εντοπίζεται στην ανίχνευση των πλευρικών πτερύγων του αντικλίνου. Το αποτέλεσμα της σεισμικής τομογραφίας δίνεται υπό μορφή τομών του εδάφους στις οποίες εικονίζεται τόσο το υπολογιζόμενο μοντέλο ταχύτητας όσο και ο ανακατασκευασμένος ανακλαστήρας. Στο σχήμα (4.25) παρουσιάζεται το μοντέλο ταχύτητας ύστερα από επαναληπτική διαδικασία. Παρατηρώντας το σχήμα (4.25) είναι φανερό ότι η θετική ανωμαλία ταχυτήτων έχει ανακατασκευαστεί σε ποσοστό 40%. Ο υπολογιζόμενος ανακλαστήρας προσομοιάζει αρκετά καλά τον ιδεατό ανακλαστήρα κυρίως στην κορυφή του αντικλίνου που είναι και δομή μεγάλης σημασίας. Οι πλευρικές πτέρυγες του αντικλίνου έχουν αναπαραχθεί σχετικά «φτωχά» λόγω της κακής κάλυψης του ανακλαστήρα από σεισμικές ακτίνες. 191 Ìåôáôüðéóç (Km) 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 2 ÂÜèïò (Km) 20 2 6 4 4 40 2 60 80 100 Σχ. 4.25 Τομογραφική εικόνα της ανακατασκευής του μοντέλου ταχυτήτων και του ανακλαστήρα από την αντιστροφή των χρόνων διαδρομής των ανακλώμενων και διαθλώμενων κυμάτων υπό μορφή κατακόρυφων τομών. Με το κόκκινο παραλληλόγραμμο καθορίζεται η θέση της ιδεατής ανωμαλίας των +20%. Με μπλε τεθλασμένη συνεχή γραμμή καθορίζεται ο ιδεατός ανακλαστήρας. Οι ισοκαμπύλες παρουσιάζουν το ανακατασκευασμένο μοντέλο ταχύτητας ενώ οι μπλε κύκλοι αναπαριστούν τον υπολογιζόμενο ανακλαστήρα. Επίσης η υπολογιζόμενη θέση της ανωμαλίας δεν απέχει πολύ από την ιδεατή γεγονός που μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι τελικά, ο αλγόριθμος λειτούργησε ικανοποιητικά στον ταυτόχρονο προσδιορισμό μοντέλου ταχυτήτων και ανακλαστήρα. Οι δοκιμές που παρουσιάστηκαν παραπάνω αφορούσαν την επίλυση υποκαθορισμένων προβλημάτων, καθώς ο αριθμός των αγνώστων παραμέτρων υπέρβαινε το πλήθος των σεισμικών ακτίνων. Ελέγχοντας την αποτελεσματικότητα του αλγόριθμου και στην περίπτωση καλώς καθορισμένων προβλημάτων, εκτελέστηκαν δύο δοκιμές. Στο πείραμα του σχήματος (4.26) διατηρήθηκαν ίδιες οι θέσεις των πηγών και γεωφώνων, υποδιπλασιάστηκε το πλήθος των αγνώστων παραμέτρων, ενώ ελλατώθηκε το πλάτος της ανωμαλίας για να ελεχθεί η απόκριση του λογισμικού στην αναγνώριση μικρού πλάτους ανωμαλιών. Επίσης άλλαξε η γεωμετρία του ανακλαστήρα εισάγοντας έναν κεκλιμένο ορίζοντα. Στο σχήμα (4.26) παρουσιάζεται η κατανομή των σεισμικών ακτίνων στον χώρο μελέτης, λαμβάνοντας υπόψη τόσο την ανωμαλία ταχύτητας πλάτους 10% όσο και την γεωμετρία του ανακλαστήρα. 192 Σχ. 4.26 Στο σχήμα παρουσιάζεται η γεωμετρία του πειράματος, η θέση της ανωμαλίας ταχύτητας και τα ίχνη των σεισμικών ακτίνων ως τομή αυτών με τον κάνναβο διακριτοποίησης. Με πράσινα τετράγωνα παρουσιάζονται τα 20 γεώφωνα ενώ με μπλε τρίγωνα περιγράφονται οι 19 πηγές. Το κόκκινο πλαίσιο οριοθετεί τη θέση της ανωμαλίας ταχύτητας. Στο σχήμα (4.27) παρουσιάζεται το τομογραφικό μοντέλο ταχύτητας και ανακλαστήρα, ως αποτελέσμα της τριπλής επανάληψης του λογισμικού τομογραφίας. Ìåôáôüðéóç (Km) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 ÂÜèïò (Km) 20 2 40 60 80 100 Σχ. 4.27 Τομογραφική εικόνα της ανακατασκευής του μοντέλου ταχυτήτων και του ανακλαστήρα από την αντιστροφή των χρόνων διαδρομής των ανακλώμενων και διαθλώμενων κυμάτων υπό μορφή κατακόρυφων τομών. Με το κόκκινο παραλληλόγραμμο καθορίζεται η θέση της ιδεατής ανωμαλίας των +10%. Με μπλε συνεχή γραμμή καθορίζεται ο ιδεατός ανακλαστήρας. Οι ισοκαμπύλες παρουσιάζουν το ανακατασκευασμένο μοντέλο ταχύτητας ενώ οι μπλε κύκλοι αναπαριστούν τον υπολογιζόμενο ανακλαστήρα 193 Στο σχήμα (4.27) παρατηρείται ο ακριβής υπολογισμός των δύο αγνώστων παραμέτρων του προβλήματος (ανακλαστήρας, μοντέλο ταχυτήτων). Η θέση της ανωμαλίας ταχύτητας αναγνωρίστηκε με μεγάλη ακρίβεια, ενώ το πλάτος της ανωμαλίας υπολογίστηκε σε ποσοστό της τάξης του 40%. Ο ανακλαστήρας ανακατασκευάστηκε με ακρίβεια της τάξης του 96%. Σε προηγούμενο παράδειγμα επιχειρήθηκε η ανακατασκευή γεωλογικών δομών όπως οι πτυχές. Στο παρόν συνθετικό μοντέλο έγινε προσπάθεια ανακατασκευής ενός κατακόρυφου ρήγματος καθώς αποτελεί την δυσκολότερη περίπτωση γεωλογικών δομών. Στο πείραμα αυτό (σχήμα, 4.28), διατηρώντας σταθερή την διάταξη πηγών-γεωφώνων εισήχθει τεθλασμένος ανακλαστήρας σε σημείο του οποίου υπάρχει κατακόρυφη μετατόπιση 20 Km. Η ανωμαλία ταχύτητας είναι της τάξης του 10%. Στο σχήμα δίνεται η κατανομή των σεισμικών ακτίνων στο μοντέλο. Σχ. 4.28 Στο σχήμα παρουσιάζεται η γεωμετρία του πειράματος, η θέση της ανωμαλίας ταχύτητας και τα ίχνη των σεισμικών ακτίνων ως τομή αυτών με τον κάνναβο διακριτοποίησης. Με πράσινα τετράγωνα παρουσιάζονται τα 20 γεώφωνα ενώ με μπλε τρίγωνα περιγράφονται οι 19 πηγές. Το κόκκινο πλαίσιο οριοθετεί τη θέση της ανωμαλίας ταχύτητας Στο σχήμα (4.28) φαίνεται ότι η μέθοδος δεν συνίσταται για τον προσδιορισμό κατακόρυφων μεταπτώσεων (ρήγματα, χάσματα) λόγω περιορισμένης δειγματοληψίας του ανακλαστήρα από σεισμικές ακτίνες. Αυτό επιβεβαιώνεται και από το τομογραφικό μοντέλο ταχύτητας του σχήματος (4.29), στο οποίο παρατηρείται ότι στις περιοχές στις οποίες υπήρχε «φτωχή» κάλυψη από σεισμικές ακτίνες, η ανακατασκευή του ανακλαστήρα είναι περιορισμένη. 194 Ìåôáôüðéóç (Km) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 ÂÜèïò (Km) 20 2 40 60 80 100 Σχ. 4.29 Τομογραφική εικόνα της ανακατασκευής του μοντέλου ταχυτήτων και του ανακλαστήρα από την αντιστροφή των χρόνων διαδρομής των ανακλώμενων και διαθλώμενων κυμάτων υπό μορφή κατακόρυφων τομών. Με το κόκκινο παραλληλόγραμμο καθορίζεται η θέση της ιδεατής ανωμαλίας των +10%. Με μπλε συνεχή γραμμή καθορίζεται ο ιδεατός ανακλαστήρας. Οι ισοκαμπύλες παρουσιάζουν το ανακατασκευασμένο μοντέλο ταχύτητας ενώ οι μπλε κύκλοι αναπαριστούν τον υπολογιζόμενο ανακλαστήρα. Η θέση της ανωμαλίας ταχύτητας καθορίστηκε με αποδεκτή ακρίβεια, ενώ το πλάτος της ανωμαλίας ανακατασκευάστηκε σε ποσοστό 41%. Ο ανακλαστήρας υπολογίστηκε με ικανοποιητική ακρίβεια δεδομένου των ιδιαιτέρων δυσκολιών του προβλήματος (ελλειπής κάλυψη του ανακλαστήρα από σεισμικές ακτίνες). Οπως αναφέρθηκε στη παράγραφο (3.5.3) στοιχεία χαρακτηριστικά της τομογραφίας ανάκλασης είναι, α) η εμφάνιση των πλευρικών ‘σκελών’ της ανωμαλίας ταχύτητας και β) η προς τα κάτω μετατόπιση και διάχυση της ανωμαλίας ταχύτητας. Ενώ και τα δύο χαρακτηριστικά, είναι εγγενή προβλήματα της τομογραφίας ανάκλασης, εφαρμόζοντας την ταυτόχρονη ερμηνεία των δεδομένων ανακλώμενων και διαθλώμενων κυμάτων, περιορίστηκε στο ελάχιστο η παρουσία του πρώτου ενώ ελλατώθηκε η μετατόπιση της ανωμαλίας λόγω πληρέστερης γνώσης του μοντέλου ταχύτητας. Ολα τα παραδείγματα που προηγήθηκαν αφορούσαν την ανίχνευση και παρουσίαση δομών σε βάθος της τάξης των χιλιομέτρων. Με σκοπό την εφαρμογή της μεθόδου σε ρηχότερες δομές, πραγματοποιήθηκε μια επιπλέον δοκιμή, στην οποία η διάταξη των επιφανειακών πηγών και γεωφώνων, αποτελούνταν από 24 γεώφωνα και 30 σεισμικές πηγές. Συνολικά, καταγράφηκαν 1440 ανακλώμενες και διαθλώμενες σεισμικές ακτίνες που σκοπό είχαν την ερμηνεία 902 παραμέτρων του προβλήματος (861 παράμετροι του μοντέλου ταχυτήτων και 41 του ανακλαστήρα). Οι τιμές μεταβλητότητας των παραμέτρων (ταχύτητας-ανακλαστήρα) έχουν αντιπροσωπευτικές τιμές, γεγονός που οδήγησε στην αντιστροφή των δεδομένων χρόνων διαδρομής τόσο για τον ανακλαστήρα, όσο και για το μοντέλο ταχυτήτων. Οι δοκιμές που πραγματοποιήθηκαν, αφορούσαν την ανακατασκευή μοντέλου 195 ταχυτήτων με θετική ανωμαλία ταχυτήτων, και τον προσδιορισμό συγκεκριμένης γεωμετρίας ανακλαστήρα. Στο σχήμα (4.30) παρουσιάζεται το τομογραφικό μοντέλο ανακλαστήρα, ως αποτέλεσμα της τριπλής επανάληψης του λογισμικού τομογραφίας. Ìåôáôüðéóç (m) 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 BÜèïò (m) 20 40 60 80 100 Σχ. 4.30 Κατακόρυφη απεικόνιση της ανακατασκευής του ανακλαστήρα, από την αντιστροφή χρόνων διαδρομής των ανακλώμενων και διαθλώμενων κυμάτων, οι οποίοι κατεγράφησαν σε πείραμα σεισμικής τομογραφίας. Με μπλε κουκίδες απεικονίζεται ο υπολογιζόμενος ανακλαστήρας, με μπλε συνεχή γραμμή απεικονίζεται ο ιδεατός ανακλαστήρας και με μαύρη συνεχή γραμμή απεικονίζεται ο αρχικός ανακλαστήρας. Με πράσινα τετράγωνα παρουσιάζονται οι 30 σεισμικές πηγές, ενώ με κόκκινα τρίγωνα περιγράφονται τα 24 γεώφωνα. Παρατηρείται ότι ο ιδεατός ανακλαστήρας παρουσιάζει μεταβολές της τάξης των 10m γύρω από τον αρχικό ανακλαστήρα. Το γεγονός αυτό αυξάνει το βαθμό δυσκολίας ανακατασκευής του μοντέλου. Το ποσοστό επιτυχίας της μεθόδου στην ανακατασκευή του ανακλαστήρα υπερβαίνει το 90% καθώς, μετά το τέλος της τρίτης επανάληψης ο υπολογιζόμενος ανακλαστήρας προσεγγίζει με μεγάλη ακρίβεια τον ιδεατό. Παρατηρείται ότι τα άκρα του ανακλαστήρα είναι «φτωχά» υπολογισμένα λόγω περιορισμένης κάλυψης του χώρου από τις σεισμικές ακτίνες. Η τελευταία και ίσως πιο σημαντική δοκιμή, είναι ο ταυτόχρονος προσδιορισμός του μοντέλου ταχύτητας και ανακλαστήρα, θεωρώντας ότι οι παρατηρούμενοι χρόνοι διαδρομής είναι αποτέλεσμα μεταβολών των παραμέτρων αυτών. Στο σχήμα (4.31) παρουσιάζεται η εφαρμογή της μεθόδου σε πρόβλημα στο οποίο υπολογίζεται τόσο η ανωμαλία ταχύτητας πλάτους 10% όσο και η γεωμετρία του ανακλαστήρα. 196 Ìåôáôüðéóç (m) 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 2 20 4 BÜèïò (m) 6 40 60 80 100 Σχ. 4.31 Τομογραφική εικόνα της ανακατασκευής του μοντέλου ταχυτήτων και του ανακλαστήρα από την αντιστροφή των χρόνων διαδρομής των ανακλώμενων και διαθλώμενων κυμάτων υπό μορφή κατακόρυφων τομών. Με το κόκκινο παραλληλόγραμμο καθορίζεται η θέση της ιδεατής ανωμαλίας των +10%. Με μπλε συνεχή γραμμή καθορίζεται ο ιδεατός ανακλαστήρας. Οι ισοκαμπύλες παρουσιάζουν το ανακατασκευασμένο μοντέλο ταχύτητας ενώ οι μπλε κύκλοι αναπαριστούν τον υπολογιζόμενο ανακλαστήρα. Με πράσινα τετράγωνα παρουσιάζονται οι 30 σεισμικές πηγές, ενώ με κόκκινα τρίγωνα περιγράφονται τα 24 γεώφωνα. Η θέση και το πλάτος της ανωμαλίας ταχύτητας, καθορίστηκε με μεγαλύτερη ακρίβεια από αυτήν των προηγούμενων μοντέλων (σε ποσοστό 65%). Ο ανακλαστήρας υπολογίστηκε με ικανοποιητική ακρίβεια. Προυπόθεση της πετυχημένης εφαρμογής του τομογραφικού μοντέλου του σχήματος (4.31), ήταν ο μεγαλύτερος αριθμός των σεισμικών ακτινών (δεδομένα), τα οποία οδήγησαν σε ακριβέστερες λύσεις, χωρίς η αναλογία σεισμικών ακτίνων/παραμέτρων να ξεπερνά το 2. 4.3 Συμπεράσματα Στο κεφάλαιο αυτό περιγράφηκε ο βελτιωμένος αλγόριθμος ταυτόχρονης επίλυσης του ευθέως και αντιστρόφου προβλήματος σε πειράματα σεισμικής τομογραφίας με δεδομένα χρόνους διαδρομής ανακλώμενων και διαθλώμενων κυμάτων. Η αποτελεσματικότητα και εφαρμοσιμότητα της μεθόδου αξιολογήθηκε σε συνθετικά δεδομένα. Οι δοκιμές που πραγματοποιήθηκαν, είχαν ως σκοπό τον έλεγχο της σωστής λειτουργίας του αλγόριθμου στον υπολογισμού των δύο παραμέτρων που χαρακτηρίζουν πειράματα σεισμικής τομογραφίας, όπως το μοντέλο ταχυτήτων και το μοντέλο του ανακλαστήρα. Η ολοκλήρωση των δοκιμών σε συνθετικά δεδομένα, οδήγησαν στα εξής συμπεράσματα: α) Ο προτεινόμενος αλγόριθμος παρέχει τη δυνατότητα της σωστής ταυτόχρονης επεξεργασίας των χρόνων διαδρομής των σεισμικών κυμάτων, τόσο στην περίπτωση καλώς ορισμένων προβλημάτων (well posed problems), είτε στην περίπτωση υποκαθορισμένων προβλημάτων (ill posed problems), 197 β) Ο προτεινόμενος αλγόριθμος είναι απτελεσματικός ακόμα και στην περίπτωση κατά την οποία ζητείται η αναγνώριση μικρόυ πλάτους ανωμαλιών, γ) Επιβεβαιώθηκε η δυσκολία του ταυτόχρονου προσδιορισμού των δύο παραμέτρων, δηλαδή των ταχυτήτων του μέσου και των ασυνεχειών. δ) Αναγνωρίστηκε ο σημαντικός ρόλος της σωστής γεωμετρίας ενός πειράματος στο οποίο υπάρχουν καταγραφές των διαθλώμενων και ανακλώμενων κυμάτων, για την σωστή επίλυση του τομογραφικού προβλήματος, ε) Λύθηκαν εγγενή προβλήματα της τομογραφίας ανάκλασης όπως η παρουσία φανταστικών ανωμαλίων ταχύτητας λόγω της συγκεκριμένης γεωμετρίας των σεισμικών ακτίνων και κατά συνέπεια της περιορισμένης δυνατότητας υπολογισμού του μοντέλου ταχύτητας, στ) Επιβεβαιώθηκε η αναγκαιότητα όλων των διαθέσιμων πληροφοριών (ανακλώμενα και διαθλώμενα κύματα) για την πληρέστερη περιγραφή και ανακατασκευή του μοντέλου της περιοχής μελέτης, και ζ) Δίνεται η δυνατότητα πρακτικής εφαρμογής της μεθόδου στην τεχνολογία εύρεσης και εκμετάλλευσης πετρελαίου και στην αναγνώριση άλλων γεωλογικών δομών. 198 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ • Hole, J. A., and Zelt, C. B., 1995, 3-D finite-difference reflection traveltimes, Geophys. J. Int., 121, 427-434. • Lines, L. R., 1993, Ambiguity in analysis of velocity and depth: Geophysics, 58, 596-597. • Moser, T. J., Nolet, G., and Snieder. R., 1992, Ray Bending Revisited. Bull. Seism. Soc. Am. 82, 259-288. • Pullammanappallil, S. K., and Louie, J. N., 1994, A generalized simulatedannealing optimization for inversion of first-arrival times, Bull. Seismol. Soc. Amer., 84. • Stork, C., 1992a, Singular value decomposition of the velocity-reflector depth tradeoff, part1: Introduction using a two-parameter model, Geophysics, 57, 927932. • Stork, C., 1992b, Singular value decomposition of the velocity-reflector depth tradeoff, part2: High-resolution analysis of a generic model, Geophysics, 57, 933-943. • Vidale, J., 1988, Finite-difference calculation of travel times, Bull. Seism. Soc. Am., 78, 2062-2076. • Zelt, C. A., A. M. Hojka, E. R. Flueh, and K. D. McIntosh, 1999, 3D simultaneous seismic refraction and reflection tomography of wide-angle data from the central Chilean margin, Geophys. Res. Lett., 26, 2577-2580. • Zhang, J, U.S. ten Brink, M. N. Toksoz, 1998, Nonlinear refraction and reflection travel time tomography, JGR, Vol. 103, No. B12, p. 29743. 199 200 5. Σύνοψη Σκοπός της ανάθεσης της παρούσας διατριβής ήταν η λεπτομερής μελέτη και βελτίωση των μεθόδων που εφαρμόζονται στην Εφαρμοσμένη Γεωφυσική και Σεισμολογία για τον εντοπισμό ανώμαλων δομών ταχυτήτων και ασυνεχειών και τον προσδιορισμό του τρισδιάστατου μοντέλου ταχύτητας μιας περιοχής. Στη περίπτωση της Εφαρμοσμένης Γεωφυσικής, η γνώση του μοντέλου ταχύτητας οδηγεί στον εντοπισμό οικονομικού ενδιαφέροντος δομών ή στον υπολογισμό θεμελιωδών παραμέτρων της Τεχνικής Σεισμολογίας και Εδαφομηχανικής. Στη Σεισμολογία, είναι γνωστή η σημαντικότητα της χρήσης του ορθού (δισδιάστατου-τρισδιάστατου) μοντέλου ταχύτητας για τον ακριβή υπολογισμό των παραμέτρων ενός σεισμικού γεγονότος. Η γνώση αυτή λαμβάνεται κατά κύριο λόγο από την μελέτη και επεξεργασία των χρόνων διαδρομής των σεισμικών κυμάτων. Η διατριβή αποτελείται από τρία μέρη. Στο πρώτο μέρος μελετήθηκε η επίλυση του ευθέως και αντιστρόφου προβλήματος των χρόνων διαδρομής των πρώτων αφίξεων. Στο στάδιο αυτό, αναπτύχθηκε λογισμικό που επιλύει με αποτελεσματικότητα μη γραμμικά προβλήματα χρόνων διαδρομής. Για την ανάπτυξη του λογισμικού και την επίλυση του ευθέως προβλήματος χρησιμοποιήθηκαν οι πλέον σύγχρονες μέθοδοι προσδιορισμού των σεισμικών ακτίνων. Η μελέτη συνεχίστηκε σε θέματα επεξεργασίας των σφαλμάτων των δεδομένων και βελτίωσης των αποτελεσμάτων με μαθηματικές μεθόδους (κανονικοποίηση της λύσης). Επίσης αυτοματοποιήθηκε η επιλογή των παραγόντων κανονικοποίησης που όπως έχει τονισθεί αποτελεί ίσως το σημαντικότερο πρόβλημα κατά την επίλυση αντιστρόφων προβλημάτων. Βελτιώθηκε επίσης, η επίλυση του ευθέως προβλήματος με τον υπολογισμό και τη χρήση των όγκων Fresnel και την εφαρμογή τρισδιάστατου προσδιορισμού της σεισμικής ακτίνας των διαθλώμενων κυμάτων. Παράλληλα, μειώθηκε αισθητά ο χρόνος επίλυσης του ευθέως και αντιστρόφου προβλήματος εκτελώντας υπολογισμούς μόνο στα μη μηδενικά στοιχεία του πίνακα των παραγώγων. Η αποτελεσματικότητα της μεθόδου πιστοποιήθηκε με την επιτυχής εφαρμογή της μεθόδου σε συνθετικά και πραγματικά δεδομένα. Στο δεύτερο μέρος περιγράφηκε ένας αλγόριθμος επίλυσης του ευθέως και αντιστρόφου προβλήματος σε πειράματα σεισμικής τομογραφίας ανάκλασης. Η τομογραφία ανάκλασης εφαρμόζεται από τις αρχές του 1970 για τον εντοπισμό θυλάκων πετρελαίου. Ετσι δόθηκε μεγάλη ώθηση στην ανάπτυξη τεχνολογιών που θα βοηθούσαν στην βελτίωση των αποτελεσμάτων της επεξεργασίας των δεδομένων των χρόνων διαδρομής των ανακλώμενων κυμάτων. Η προσομοίωση της διάδοσης των ανακλώμενων κυμάτων σε ένα πολύπλοκο τρισδιάστατο μοντέλο ταχυτήτων και της ανάκλασης αυτών σε μια τρισδιάστατη ασυνέχεια, επιτεύχθει με την χρήση πεπερασμένων διαφορών. Η επίλυση του αντιστρόφου προβλήματος έγινε με την χρήση της μεθόδου ελαχίστων τετραγώνων με εφαρμογή παραγόντων κανονικοποίησης. Η αποτελεσματικότητα και εφαρμοσιμότητα της μεθόδου αξιολογήθηκε με την εφαρμογή της μεθόδου σε συνθετικά δεδομένα. Οι δοκιμές που έγιναν, σκοπό είχαν τον έλεγχο της σωστής λειτουργίας του αλγόριθμου στον 201 υπολογισμού των δύο παραμέτρων που χαρακτηρίζουν πειράματα σεισμικής τομογραφίας ανάκλασης, όπως το μοντέλο ταχυτήτων και το μοντέλο του ανακλαστήρα. Η βελτίωση που επιτεύχθει κυρίως στην επίλυση του αντιστρόφου προβλήματος έχει να κάνει με την δυνατότητα επιλογής ως αλγόριθμου επίλυσης μιας εκ των μεθόδων SVD και LSQR. Με το πέρας των δοκιμών έγινε φανερή η καλή λειτουργία του προτεινόμενου αλγόριθμου αλλά επιβεβαιώθηκε επίσης και η δυσκολία του ταυτόχρονου προσδιορισμού των δύο παραμέτρων. Ειδικότερα, παρατηρήθηκε ότι, α) Οι θετικές και αρνητικές ανωμαλίες ταχύτητας υπολογίζονται με την ίδια ακρίβεια, σε αντίθεση με την έως τώρα εμπειρία από την τομογραφία διάθλασης. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι οι ανακλώμενες σεισμικές ακτίνες είναι περίπου κατακόρυφες οπότε δεν είναι δυνατή η κάμψη αυτών στην παρουσία των αρνητικών ανωμαλιών ταχύτητας. β) Ο υπολογισμός του μοντέλου ταχύτητας, συνδέεται άμεσα με την εμφάνιση ανωμαλιών ταχύτητας υπό μορφή ‘σκελών’, εκατέρωθεν της ιδεατής ανωμαλίας. Τα ‘σκέλη’ των ανωμαλιών ταχύτητας σχετίζονται με τη γεωμετρία κάθε πειράματος τομογραφίας ανάκλασης. γ) Οι υπολογιζόμενες ανωμαλίες ταχύτητας, συστηματικά μετατοπίζονται σε μεγαλύτερα βάθη από αυτά των ιδεατών ανωμαλιών ταχύτητας. Τέλος, στο τρίτο μέρος παρουσιάστηκε ο βελτιωμένος αλγόριθμος ο οποίος αναπτύχθηκε για την ταυτόχρονη επίλυση του ευθέως και αντιστρόφου προβλήματος σε πειράματα σεισμικής τομογραφίας χρησιμοποιώντας ως δεδομένα χρόνους διαδρομής ανακλώμενων και διαθλώμενων κυμάτων. Το λογισμικό αυτό, αποτελεί μια πετυχημένη συναρμογή των αλγόριθμων των δύο παραπάνω ανεξάρτητων μεθόδων, για την επίλυση ενός προβλήματος που επιστημονικά αντιμετωπίζεται από τις αρχές του 1999. Ο έλεγχος της εφαρμοσιμότητας της μεθόδου έγινε σε συνθετικά δεδομένα. Οι δοκιμές που πραγματοποιήθηκαν, σκοπό είχαν τον έλεγχο της σωστής λειτουργίας του αλγόριθμου στον υπολογισμού των δύο παραμέτρων που χαρακτηρίζουν πειράματα σεισμικής τομογραφίας, όπως το μοντέλο ταχυτήτων και το μοντέλο του ανακλαστήρα. Πιο συγκεκριμένα παρατηρήθηκε ότι, α) Οι ανωμαλίες ταχύτητας υπολογίζονται με μεγαλύτερη ακρίβεια, ενώ παρατηρείται πλευρική διάχυση λόγω της δεδομένης γεωμετρίας των διαθλώμενων ακτινών (ακτίνες από και προς την επιφάνεια). β) Οι αρνητικές ανωμαλίες ταχύτητας είναι δυσκολότερα ανιχνεύσιμες από τις ανωμαλίες υψηλών ταχυτήτων. γ) Η υπολογιζόμενη ανωμαλία ταχύτητας εξαρτάται από το ποσοστό συμμετοχής των ανακλώμενων και διαθλώμενων σεισμικών ακτινών στον προσδιορισμό του μοντέλου ταχύτητας. δ) Είναι αναγκαία η χρήση όλων των διαθέσιμων πληροφοριών για την πληρέστερη ανακατασκευή τόσο του μοντέλου ταχύτητας όσο και της γεωμετρίας του ανακλαστήρα. Η ολοκλήρωση των δοκιμών σε συνθετικά δεδομένα, οδήγησε στο συμπέρασμα ότι ο προτεινόμενος αλγόριθμος παρέχει τη δυνατότητα της επεξεργασίας των χρόνων διαδρομής των σεισμικών κυμάτων και επιβεβαίωσε τη δυσκολία του ταυτόχρονου 202 προσδιορισμού δύο παραμέτρων σε ένα πρόβλημα. Επίσης, δόθηκε λύση σε εγγενή προβλήματα της τομογραφίας ανάκλασης όπως η παρουσία φανταστικών ανωμαλιών ταχύτητας λόγω της συγκεκριμένης γεωμετρίας των σεισμικών ακτινών και κατά συνέπεια της περιορισμένης δυνατότητας υπολογισμού του μοντέλου ταχύτητας και τέλος, δίνεται η δυνατότητα πρακτικής εφαρμογής της μεθόδου στην τεχνολογία εύρεσης και εκμετάλλευσης πετρελαίου. 203 204
© Copyright 2024 Paperzz
