Καλαφατης Εμμανουηλ
Εισαγωγη στην αλγεβρικη
Κ-Θεωρια
Πτυχιακη Εργασια
A
Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών
Σάμος 20 Οκτωβρίου 2011
Εισηγητης: Ευστράτιος Πρασίδης
Επιτροπη
Πρασίδης Ευστράτιος
Τσαπόγας Γεώργιος
Φελουζής Ευάγγελος
Στους γονείς μου!
Περιεχόμενα
Εισαγωγή
ix
1 Αλγεβρικές δομές
1
1.1 Δακτύλιοι 1
1.2 Modules 4
1.3 Ακριβείς ακολουθίες 8
1.4 Ελεύθερα modules 10
1.5 Προβολικά modules 12
1.6 Τανυστικό γινόμενο 14
1.7 Hom 18
1.8 Δακτύλιοι-Ομάδες 20
2 K0
23
2.1 Ορισμός 23
2.2 Προβολές 28
3 K1
31
3.1 K1 31
3.2 Ομάδα Whitehead
Βιβλιογραφία
39
34
Εισαγωγή
Η K-θεωρία είναι μια σχετικά νέα περιοχή των μαθηματικών. Επινοήθηκε απο τον
Alexander Grothendieck στα μέσα της δεκαετίας του 1950 ο οποίος χρησιμοποίησε το γράμμα K από την λέξη Klasse που σημαίνει στα γερμανικά κλάση (το
προτίμησε απο το γράμμα C της λέξης class γιατι στην συναρτησιακή ανάλυση
συμβολίζει τον χώρο των συνεχών συναρτήσεων). Η βασική ιδέα του Grothendieck ήταν να καταλάβει την δομή των δακτυλίων από την συλλογή και την δομή
των πεπερασμένα παραγόμενων προβολικών modules. Ο ίδιος επέκτεινε την ιδέα
αυτή για να μελετήσει την τοπολογική και γεωμετρική δομή χώρων και πολλαπλοτήτων από τις διανυσματικές ινώσεις (vector bundles) πάνω από τους χώρους. Η
τελευταία ιδέα αναπτύχθηκε περαιτέρω από τον Allain Connes και είναι μια από
τις βάσεις της μη-μεταθετικής γεωμετρίας.
Η αλγεβρική K-θεωρία είναι, φορμαλιστικά, μια σειρά συναρτητών, έναν για
κάθε ακέραιο, από την κατηγορία των δακτυλίων στην κατηγορία των αβελιανών
ομάδων. Η βάση της είναι η εφαρμογή των βασικών αρχών της γραμμικής άλγεβρας στους δακτυλίους. Ειδικά εξετάζει κατά πόσο οι στοιχειώδεις μετασχηματισμοί πινάκων μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να λύσουν γραμμικά συστήματα με
συντελεστές στον δακτύλιο. Αυτό όμως είναι μόνο η αρχή και εμφανίζεται στον
ορισμό του K1 . Πιο συγκεκριμένα, το K1 προσδιορίζει πότε ένας αντιστρέψιμος
πίνακας, με στοιχεία στον δακτύλιο, μπορεί να γραφτεί σαν γινόμενο στοιχειωδών
πινάκων. Το K0 είναι βασικά η μελέτη των πεπερασμένα παραγόμενων προβολικών
modules πάνω από τον δακτύλιο. Ισοδύναμα, το K0 εξετάζει πότε μια προβολή, με
στοιχεία στον δακτύλιο (δηλαδή ένας πίνακας P που ικανοποιεί P 2 = P ) μπορεί
να γραφτεί σαν συζυγής ενός γινομένου από τετριμμένες προβολές (δηλαδή διαγώνιοι πίνακες με όλα τα στοιχεία μηδενικά εκτός από ένα που είναι η μονάδα). Οι
ανώτερες K-ομάδες εκφράζουν πιο βαθείς ιδιότητες των δακτυλίων και είναι πιο
μυστήριες. ΄Οπως αναφέρθηκε προηγούμενα, υπάρχει και η γεωμετρική K-θεωρία
και ορίζεται όμοια με την αλγεβρική. Η σχέση μεταξύ των δύο θεωριών δίνεται
από το Θεώρημα του Swan.
Η εργασία αυτή θα επικεντρωθεί στον ορισμό και την μελέτη των ομάδων
K0 και K1 για δακτυλίους. Πέρα από τους ορισμούς θα δώσουμε και κάποιους
βασικούς υπολογισμούς. Ειδικά θα μελετήσουμε τις ομάδες αυτές για ακέραιους
δακτυλίους ομάδων επειδή αυτοί οι δακτύλιοι έχουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον στην
τοπολογία. Απ΄ αυτήν την σκοπιά θα μελετήσουμε κάποια πηλίκα των K-ομάδων,
˜ 0 , και την ομάδα του Whitehead
την περιορισμένη K0 -ομάδα που συμβολίζεται με K
της ομάδας που είναι πηλίκο της K1 -ομάδας του ακέραιου δακτυλίου ομάδας.
Πρέπει να σημειώσουμε δύο ακόμη εφαρμογές των αλγεβρικών K-ομάδων των
δακτυλίων ομάδων. Η πρώτη είναι αλγεβρική και σχετίζεται με την θεωρία αναπαραστάσεων των ομάδων. Υπάρχει μια στενή σχέση μεταξύ των αναπαραστάσεων
x · Περιεχομενα
των ομάδων και της δομής των ομάδων Ki , i = 1, 0, −1. Η δεύτερη εφαρμογή
είναι στην γεωμετρική τοπολογία. Οι ομάδες του Whitehead ταξινομούν των hσυνοριασμών (ομοτοπικών κυλίδρων) για κλειστές πολλαπλότητες διάστασης ≥ 5
(Smale, Milnor, Kervaire, Mazur, Stallings). Πιο συγκεκριμένα αυτό μας δίνει
μια μέθοδο ταξινόμησης πολλαπλοτήτων:
• Η αλγεβρική τοπολογία μας δίνει συνθήκες για πότε δύο πολλαπλότητες είναι
σύνορο ενός h-συνοριασμού.
• Ο υπολογισμός του στοιχείου της ομάδας του Whitehead που αντιστοιχεί
στον συνοριασμό. Εάν αυτό το στοιχείο είναι το τετριμμένο ο συνοριασμός
είναι τετριμμένος και οι δύο πολλαπλότητες είναι ομοιόμορφες.
˜ 0 καθορίζει πότε μία πολλαπλότητα είναι το εσωτερικό
Η περιορισμένη ομάδα K
μιας πολλαπλότητας με όριο (Siebenmann).
Ε. Καλαφάτης, Σάμος 2011.
Κεφάλαιο 1
Αλγεβρικές δομές
1.1
Δακτύλιοι
Ορισμός 1.1.1. ΄Ενας δακτύλιος (ring) (R, +, ·) είναι ένα μη κενό σύνολο
R μαζί με δύο διμελείς πράξεις + και · (τις οποίες αποκαλούμε πρόσθεση και
πολλαπλασιασμό), έτσι ώστε για κάθε a, b, c ∈ R:
(i) Η (R, +) είναι μια αβελιανή ομάδα.
(ii) Ο πολλαπλασιασμός είναι προσεταιριστικός (associative):
(ab)c = a(bc).
(iii) Ισχύει ο αριστερός και ο δεξιός επιμεριστικός (distributive) νόμος:
a(b + c) = (ab) + (ac) και (a + b)c = (ac) + (bc).
Ο R λέμε οτι είναι μεταθετικός δακτύλιος (commutative ring) αν ab =
ba και δακτύλιος με μοναδιαίο στοιχείο (ring with identity) αν υπάρχει
1R τέτοιο ώστε 1R a = a1R = a.
Ορισμός 1.1.2. ΄Ενα μη μηδενικό στοιχείο a του δακτυλίου R λέγεται αριστερός [αντ. δεξιός] διαιρέτης του μηδενός αν υπάρχει ένα μη μηδενικό
b ∈ R τέτοιο ώστε ab = 0[αντ. ba = 0]. ΄Ενας διαιρέτης του μηδενός είναι
ένα στοιχείο του R το οποίο είναι αριστερός και δεξιός διαιρέτης του μηδενός.
΄Ενα στοιχείο a ενός δακτυλίου R με μοναδιαίο στοιχείο λέγεται αριστερά
[αντ. δεξιά] αντιστρέψιμο (invertible) αν υπάρχει c ∈ R [αντ. b ∈ R] τέτοιο ώστε ca = 1R [αντ. ab = 1R ]. Το στοιχείο c[αντ. b] λέγεται αριστερό[αντ.
δεξιό] αντίστροφο (inverse) του a. ΄Ενα στοιχείο a ∈ R το οποίο είναι αριστερά και δεξιά αντιστρέψιμο λέγεται αντιστρέψιμο ή μονάδα (unit).
΄Ενας μεταθετικός δακτύλιος R με μοναδιαίο στοιχείο 1R 6= 0, που δεν περιέχει διαιρέτες του μηδενός, λέγεται ακέραια περιοχή (integral domain).
΄Ενας δακτύλιος D με μοναδιαίο στοιχείο 1D 6= 0 του οποίου κάθε μη μηδενικό
στοιχείο είναι μονάδα, λέγεται δακτύλιος διαίρεσης (division ring). ΄Ενας
μεταθετικός δακτύλιος διαίρεσης λέγεται σώμα (field).
2 · Αλγεβρικες δομες
Ορισμός 1.1.3. ΄Εστω R και S δακτύλιοι. Μία συνάρτηση f : R → S είναι
ένας ομομορφισμός δακτυλίων (homomorphism of rings) αν για κάθε
a, b ∈ R ισχύει:
f (a + b) = f (a) + f (b) και f (ab) = f (a)f (b).
΄Ενας ομομορφισμός f : A → B λέγεται μονομορφισμός (monomorphism) αν η f είναι 1-1, επιμορφισμός (epimorphism) αν η f είναι επί και
ισομορφισμός (isomorphism) αν η f είναι 1-1 και επί.
Ο πυρήνας (kernel) και η εικόνα (image) της f ορίζονται ως:
Kerf = {a ∈ A|f (a) = 0},
Imf = {f (a)|a ∈ A}.
Ορισμός 1.1.4. ΄Εστω R ένας δακτύλιος και S ένα μη κενό υποσύνολο του R.
Αν ο S είναι δακτύλιος με τις πράξεις του R τότε ο S λέγεται υποδακτύλιος
(subring) του R. ΄Ενας υποδακτύλιος I ενός δακτυλίου R λέγεται αριστερό
ιδεώδες (left ideal) αν:
r ∈ R και x ∈ I ⇒ rx ∈ I.
Ο I είναι δεξιό ιδεώδες (right ideal) αν:
r ∈ R και x ∈ I ⇒ xr ∈ I.
Ο I είναι ιδεώδες (ideal) αν είναι αριστερό και δεξιό ιδεώδες.
Θεώρημα 1.1.5. ΄Εστω R ένας δακτύλιος και I ένα ιδεώδες του R. Τότε η
ομάδα πηλίκο R/I με πράξη την πρόσθεση είναι ένας δακτύλιος με την πράξη του
πολλαπλασιασμού να ορίζεται:
(a + I)(b + I) = ab + I.
΄Αν ο R είναι μεταθετικός ή έχει μοναδιαίο στοιχείο, τότε ισχύει το ίδιο και για τον
R/I.
Απόδειξη. Δείχνουμε οτι ο πολλαπλασιασμός είναι καλά ορισμένος. ΄Εστω a+I =
a′ + I και b + I = b′ + I. Πρέπει να δείξουμε οτι ab + I = a′ b′ + I. Αφού
a′ ∈ a′ + I = a + I για κάποιο i ∈ I και b′ ∈ b′ + I = b + I για κάποιο j ∈ I, τότε
a′ b′ = (a + i)(b + j) = ab + ib + aj + ij. Το I είναι ενα ιδεώδες, άρα:
a′ b′ − ab = ib + aj + ij ∈ I
Αυτό σημαίνει οτι το a′ b′ − ab + I και το I είναι το ίδιο σύμπλοκο:
a′ b′ − ab + I = I ⇔ a′ b′ + I = ab + I.
Ο πολλαπλασιασμός είναι προσεταιριστικός:
[(a + I)(b + I)](c + I)
= (ab + I)(c + I) = (ab)c + I
= a(bc) + I = (a + I)(bc + I)
= (a + I)[(b + I)(c + I)]
1.1 Δακτυλιοι · 3
Με τον ίδιο τρόπο αποδεικνύουμε και τους επιμεριστικούς νόμους.
Αν ο R είναι μεταθετικός, για κάθε (a + I), (b + I) ∈ R/I:
(a + I)(b + I) = ab + I = ba + I = (b + I)(a + I)
Αν ο R έχει μοναδιαίο στοιχείο 1R , για κάθε a + I ∈ R/I:
(a + I)(1R + I) = a1R + I = a + I
Θεώρημα 1.1.6. ΄Εστω R ένας δακτύλιος και έστω R[x] το σύνολο όλων των
ακολουθιών στοιχείων του R, (a0 , a1 , . . . ) τέτοια ώστε ai = 0 για όλους, εκτός
απο πεπερασμένους, δείκτες i.
(i) Το R[x] είναι ένας δακτύλιος με την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό να
ορίζεται:
(a0 , a1 , . . . ) + (b0 , b1 , . . . ) = (a0 + b0 , a1 + b1 , . . . )
και
(a0 , a1 , . . . )(b0 , b1 , . . . ) = (c0 , c1 , . . . ),
οπου
cn =
n
X
an−i bi = an b0 + an−1 b1 + · · · + a1 bn−1 + a0 bn =
i=0
X
ak b j
k+j=n
(ii) Αν ο R είναι μεταθετικός [αντ. με μοναδιαίο στοιχείο ή χωρίς διαιρέτες του
μηδενός ή ακέραια περιοχή], το ίδιο είναι και ο R[x].
(iii) Η απεικόνιση R → R[x], r 7→ (r, 0, 0, . . . ) είναι ένας μονομορφισμός δακτυλίων.
Ορισμός 1.1.7. Ο δακτύλιος με τις μεταβλητές x1 , x2 , . . . , xn και με συντελεστές στο R, συμβολίζεται με R[x1 , x2 , . . . , xn ], και ορίζεται επαγωγικά ως
R[x1 , x2 , . . . , xn ] = R[x1 , x2 , . . . , xn−1 ][xn ]
Ορισμός 1.1.8. Μία (μεταθετική) ακέραια περιοχή R λέγεται Ευκλείδεια
περιοχή Euclidean domain αν υπάρχει μια συνάρτηση νόρμας norm
function || : R → N με τις ακόλουθες ιδιότητες:
(i) Αν a ∈ R, |a| = 0 αν και μόνο αν a = 0.
(ii) Αν a, b ∈ R, |ab| = |a||b|.
(iii) (Ευκλείδειος αλγόριθμος) Αν a, b ∈ R, b 6= 0, τότε υπάρχουν q, r ∈
R, τα οποία λέγονται πηλίκο και υπόλοιπο, αντίστοιχα, τέτοια ώστε a =
qb + r και 0 ≤ |r| < |b|.
4 · Αλγεβρικες δομες
1.2
Modules
Μια γενίκευση του διανυσματικού χώρου είναι τα modules όπου διαφέρουν από
τους διανυσματικούς χώρους ως προς το ότι ορίζονται πάνω σε δακτύλιους.
Ορισμός 1.2.1. ΄Εστω R ένας δακτύλιος. ΄Ενα αριστερό R-module είναι
μια αβελιανή ομάδα A με πράξη την πρόσθεση μαζί με μια συνάρτηση R × A →
A, (r, a) 7→ ra τέτοια ωστε για κάθε r, s ∈ R και a, b ∈ A να ικανοποιούνται οι
παρακάτω συνθήκες:
(i) r(a + b) = ra + rb,
(ii) (r + s)a = ra + sa,
(iii) r(sa) = (rs)a.
Αν ο R έχει μοναδιαίο στοιχείο 1R και 1R a = a, τότε η A λέμε ότι είναι ένα
μοναδιαίο R-module. Αν ο R είναι δακτύλιος διαίρεσης, τότε το μοναδιαίο
R-module λέγεται (αριστερός) διανυσματικός χώρος (vector space).
Με τον ίδιο τρόπο ορίζουμε και το δεξιό R-module.
΄Εστω R και S δακτύλιοι. Το module το οποίο είναι αριστερό R-module και
ταυτόχρονα δεξιό S-module, λέγεται (R, S)-bimodule.
Ορισμός 1.2.2. ΄Εστω A, B δύο αριστερά R-modules. Μια απεικόνιση f : A →
B λέγεται R-ομομορφισμός (R-homomorphism) αν για κάθε a, c ∈ A και
r ∈ R:
f (a + c) = f (a) + f (c), και
f (ra) = rf (a).
΄Ενας R-ομομορφισμός f : A → B λέγεται μονομορφισμός αν η f είναι
1-1, επιμορφισμός αν η f είναι επί και ισομορφισμός η f είναι 1-1 και επι.
Ορισμός 1.2.3. Δυο αριστερά R-modules A και B λέμε οτι είναι ισόμορφα
(isomorphic) αν υπάρχει ενας R-ισομορφισμός απο το A στο B ή απο το B στο
A.
Ορισμός 1.2.4. ΄Εστω A, B R-modules και f : A → B R-ομομορφισμός. Τότε
ο πυρήνας και η εικόνα της f ορίζονται ως:
Kerf = {a ∈ A|f (a) = 0},
Imf = {f (a)|a ∈ A}.
Ορισμός 1.2.5. Αν A είναι ενα αριστερό R-module, μία υποομάδα B της ομάδας
A λέγεται υποmodule του A αν για κάθε a ∈ B, r ∈ R το στοιχείο ra ∈ B.
΄Εστω A ενα αριστερό R-module και B ένα υποmodule του A. Τότε αφού
η B είναι μια υποομάδα της αβελιανής ομάδας A, έχουμε την αβελιανή ομάδα
A/B = {a + B|a ∈ A}, την ομάδα πηλίκο της A ως προς την υποομάδα B. Για
a ∈ A, r ∈ R, ορίζουμε:
(1.1)
r(a + B) = ra + B
Αν a + B = c + B, τοτε c = a + d για κάποιο d ∈ B και r(c + B) = rc + B =
r(a + d) + B = ra + rd + B = ra + B = r(a + B), αφού rd ∈ B. ΄Ετσι
το βαθμωτό γινόμενο που ορίζεται απο την 1.1 είναι καλά ορισμένο και η A/B
αποτελεί αριστερό R-module.
1.2 Modules · 5
Ορισμός 1.2.6. ΄Εστω A ενα αριστερό R-module και B ένα υποmodule του A.
Το αριστερό R-module A/B με βαθμωτό γινόμενο r(a + B) = ra + B λέγεται
module πηλίκο (quotient module) του A ως προς το υποmodule B.
Είναι εύκολο να δειχθεί οτι ο Kerf είναι υποmodule του A και ο Imf είναι
υποmodule του B. Αυτό μας οδηγεί στον ακόλουθο ορισμό:
Ορισμός 1.2.7. ΄Εστω M, N R-modules και f : M → N R-ομομορφισμός.
Τότε ο συμπυρήνας (cokernel) και η συνεικόνα (coimage) της f ορίζονται ως:
cokerf = N/Imf,
coimf = M/Kerf.
Ορισμός 1.2.8. Αν X είναι ενα υποσύνολο ενός module A πάνω σε ένα δακτύλιο
R, τότε η τομή όλων των υποmodules του A που περιέχουν το X λέγεται το
υποmodule που παράγεται (generated) από το X.
Αν το X είναι πεπερασμένο και παράγει το module B, το B λέμε οτι είναι
πεπερασμένα (finitely) παραγόμενο. Αν X = {∅}, τότε το X παράγει
το μηδενικό module. Αν το X αποτελείται από ένα στοιχείο, X = {a}, τότε το
υποmodule που παράγεται απο το X λέγεται κυκλικό υποmodule που παράγεται
από το a. Αν {Bi |i ∈ I} είναι μια οικογένεια από υποmodules του A, τότε το
υποmodule που παράγεται από το X = ∪i∈I Bi λέγεται άθροισμα (sum) των
modules Bi . Αν το σύνολο I των δεικτών είναι πεπερασμένο, το άθροισμα των
B1 , . . . , Bn γράφεται B1 + B2 + · · · + Bn .
Θεώρημα 1.2.9. ΄Εστω R ένας δακτύλιος, A ένα αριστερό R-module, X ένα
υποσύνολο του A, {Bi |i ∈ I} μία οικογένεια απο υποmodules του A και a ∈ A.
΄Εστω Ra = {ra|r ∈ R}.
(i) Το Ra είναι ένα αριστερό υποmodule του A και η απεικόνιση R → Ra, r 7→
ra είναι ένας R-επιμορφισμός.
(ii) Το κυκλικό αριστερό υποmodule C που παράγεται απο το a είναι το {ra +
na|r ∈ R, n ∈ Z}. Αν ο R έχει μοναδιαίο στοιχείο και το C είναι μοναδιαίο,
τότε C = Ra.
(iii) Το αριστερό υποmodule D που παράγεται απο το X είναι το
t
s
X
X
ni bj |s, t ∈ N∗ , ai , bj ∈ X, ri ∈ R, nj ∈ Z .
ri ai +
i=1
j=1
Αν ο R έχει μοναδιαίο στοιχείο και το A είναι μοναδιαίο, τότε
)
( s
X
∗
ri ai |s ∈ N , ai ∈ X, ri ∈ R .
D = RX =
i=1
(iv) Το άθροισμα της οικογένειας {Bi |i ∈ I} αποτελείται από όλα τα πεπερασμένα
αθροίσματα bi1 + · · · + bin με bik ∈ Bik .
Θεώρημα 1.2.10. Η απεικόνιση π : A → A/B, a →
7 a + B είναι ένας Rεπιμορφισμός με πυρήνα B. (Η π λέγεται κανονική προβολή (canonical
projection).
6 · Αλγεβρικες δομες
Απόδειξη. Η π είναι ένας R-ομομορφισμός:
π(a + b) = (a + b) + B = (a + B) + (b + B) = π(a) + π(b), a, b ∈ A
π(ra) = (ra) + B = r(a + B) = rπ(a), r ∈ R, a ∈ A
Η π είναι R-επιμορφισμός αφού για κάθε a + B αντιστοιχεί ένα a.
Kerπ = {a ∈ A|π(a) = B} = {a ∈ A|a + B = B} = {a ∈ A|a ∈ B} = B
Θεώρημα 1.2.11 (Πρώτο θεώρημα ισομορφισμού). Αν R ένας δακτύλιος, f :
A → B ένας R-ομομορφισμός και C ένα υποmodule του Kerf , τότε υπάρχει
μοναδικός R-ομομορφισμός f : A/C → B τέτοιος ώστε f (a + C) = f (a) για
καθε a ∈ A, Imf = Imf και Kerf = Kerf /C. Ο f είναι ένας R-ισομορφισμός
αν και μόνο αν f είναι ένας R-επιμορφισμός και C = Kerf . Συγκεκριμένα
A/Kerf ∼
= Imf .
Απόδειξη. Αν b ∈ a+C τότε b = a+c, c ∈ C και f (b) = f (a+c) = f (a)+f (c) =
f (a) + e = f (a), αφού C < Kerf . ΄Αρα η f έχει το ίδιο αποτέλεσμα σε κάθε
στοιχείο του a + C και η απεικόνιση f : A/C → B, a + C 7→ f (a) είναι καλά
ορισμένη. Η f είναι R-ομομορφισμός:
f ((a+C)+(b+C)) = f ((a+b)+C) = f (a+b) = f (a)+f (b) = f (a+C)+f (b+C)
f (r(a + C)) = f (ra + C) = f (ra) = rf (a) = rf (a + C)
Επίσης έχουμε οτι:
a + C ∈ Kerf ⇔ f (a) = e ⇔ a ∈ Kerf
αρα Kerf = {a + C|a ∈ Kerf } = (Kerf )/C. Η f είναι μοναδική αφου ορίζεται
μέσω της f . Αν η f είναι R-επιμορφισμός τοτε και η f είναι R-επιμορφισμός. Η
f είναι R-επιμορφισμός αν ο πυρήνας της Kerf = (Kerf )/C είναι τετριμμένο
υποσύνολο του A/C, δηλαδή οταν Kerf = C.
Η f : A → Imf είναι ένας επιμορφισμός. Αν θέσουμε C = Kerf τότε η f :
A/Kerf → Imf είναι ισομορφισμός. ΄Αρα A/Kerf ∼
= Imf .
Θεώρημα 1.2.12. ΄Εστω B και C υποmodules ενός module A πάνω στον δακτύλιο R.
(i) (Δεύτερο θεώρημα ισομορφισμού)Υπάρχει ένας R-ισομορφισμός
B/(B ∩ C) ∼
= (B + C)/C,
(ii) (Τρίτο θεώρημα ισομορφισμού)Αν C ⊂ B, τότε το B/C είναι υποmodule του A/C, και υπάρχει ενας R-ισομορφισμός (A/C)/(B/C) ∼
=
A/B.
Απόδειξη.
(i) Το C είναι υποσύνολο του B + C:
c∈C ⇒c=0+c∈B+C
Αφού το C είναι ενα R-module, το C είναι υποmodule του B + C. Αρα το
(B + C)/C είναι καλά ορισμένο.
1.2 Modules · 7
Ορίζουμε τώρα την απεικόνιση φ : B → (B + C)/C, b 7→ b + C. Η φ είναι
R-ομομορφισμός:
φ(a + b) = (a + b) + C = (a + C) + (b + C) = φ(a) + φ(b)
φ(ra) = ra + C = r(a + C) = rφ(a)
Η φ είναι R-επιμορφισμός επειδή για (b+c)+C ∈ B+C/C ισχύει (b+c)+C =
b + C = φ(b). Το ουδέτερο στοιχείο του (B + C)/C, έχει την μορφή 0 + C.
Ο πυρήνας αποτελείται απο όλα τα στοιχεία b του B για τα οποία ισχύει
b + C = C. Αυτό σημαίνει ότι b ∈ C, άρα Kerφ ∈ B ∩ C. Από το πρώτο
θεώρημα ισομορφισμού παίρνουμε το ζητούμενο.
(ii) Το B/C είναι υποσύνολο του A/C:
b + C ∈ B/C ⇒ b + C ∈ A/C
Το C είναι υποmodule του B, άρα και το B/C είναι ενα R-module. Από τα
προηγούμενα φαίνεται ότι το B/C είναι υποmodule του A/C.
Ορίζουμε τώρα την απεικόνιση φ : A/C → A/B, a + C 7→ a + B. Αν
a1 +C = a2 +C τότε a1 = a2 +c για κάποιο c ∈ C. Αφού C ≤ B, το στοιχείο
c είναι και στοιχείο του B, άρα a1 + B = a2 + B ή φ(a1 + C) = φ(a2 + C), το
οποίο μας δείχνει ότι η φ είναι καλά ορισμένη. Αφού επιλέγουμε αυθαίρετα
το a η φ είναι R-επιμορφισμός.
Τέλος παρατηρούμε ότι τα στοιχεία του πυρήνα της φ είναι τα a + C ∈ A/C
για τα οποία ισχύει:φ(a + C) = a + B = B ⇒ a ∈ B. ΄Αρα Kerφ = B/C.
Από το πρώτο θεώρημα ισομορφισμού έχουμε:(A/C)/(B/C) ∼
= A/B.
Q
Ορισμός 1.2.13. Το ευθύ γινόμενο (direct product) i∈I Gi (ή G1 ×
G2 × . . . ) των ομάδων G1 , G2 , . . . με τις πράξεις ⋆1 , ⋆2 , . . . αντίστοιχα, είναι το
σύνολο των n-αδων (g1 , g2 , . . . ) όπου gi ∈ Gi , με την πράξη να ορίζεται:
(g1 , g2 , . . . ) ⋆ (h1 , h2 , . . . ) = (g1 ⋆1 h1 , g2 ⋆2 g2 , . . . ).
P
Το ευθύ άθροισμα (directQsum) Q i∈I Gi (ή G1 ⊕ G2 ⊕ . . . ) των ομάδων Gi
είναι το σύνολο των στοιχείων ai ∈ i∈I Gi του ευθέως γινομένου για τα οποία
ισχύει ai = ei για όλα εκτός από πεπερασμένα i ∈ I.
Θεώρημα 1.2.14. ΄Εστω
R ένας δακτύλιος και {Ai |i ∈ I} μια μη κενή οικοQ
A
γένεια
απο
R-modules,
i το ευθύ γινόμενο των αβελιανών ομάδων Ai , και
i∈I
P
i∈I Ai το ευθύ άθροισμα των αβελιανών ομάδων Ai .
Q
(i) Το i∈I Ai είναι ·ενα R-module με την δράση του R να δίνεται με την
σχέση r{ai } = {rai }.
Q
P
(ii) Το i∈I Ai είναι ένα υποmodule του i∈I Ai .
Q
(iii) Για κάθε k ∈ I, η κανονική προβολή πk : Ai → Ak , {ai }i∈I 7→ ak είναι
ένας R-επιμορφισμός.
P
(iv) Για κάθε k ∈ I, η κανονική έρριψη (injection) ιk : Ak →
Ai , a 7→
{ai }i∈I , όπου ai = e για i 6= k και ak = a, είναι ένας R-μονομορφισμός.
8 · Αλγεβρικες δομες
1.3
Ακριβείς ακολουθίες
Μια σημαντική έννοια που μας βοηθάει στην ανάλυση των δομικών στοιχείων μιας
αλγεβρικής δομής είναι οι ακριβείς ακολουθίες.
f
g
Ορισμός 1.3.1. ΄Ενα ζευγάρι R-ομομορφισμών, A → B → C, λέμε οτι είναι
ακριβές (exact) στο B αν Imf = Kerg. Μια πεπερασμένη ακολουθία Rf1
fn−1
f3
f2
fn
ομομορφισμών, A0 → A1 → A2 → · · · → An1 → An είναι ακριβής αν
Imfi = Kerfi+1 για i = 1, 2, . . . , n − 1. Μια άπειρη ακολουθία R-ομομορφισμών,
fi−1
fi+1
fi
fi+2
· · · → Ai−1 → Ai → Ai+1 → · · · είναι ακριβής αν Imfi = Kerfi+1 για
κάθε i ∈ Z.
Το μηδενικό module το συμβολίζουμε με 0.
Τα 0 → A και A → 0 για οποιοδήποτε R-module A είναι οι προφανείς απεικονίσεις
ή μορφισμοί.
Λήμμα 1.3.2. ΄Εστω A, B R-modules και f : A → B R-ομομορφισμός.
f
(i) Η 0 → A → B είναι ακριβής αν και μόνο αν η f είναι μονομορφισμός.
f
(ii) Η A → B → 0 είναι ακριβής αν και μόνο αν η f είναι επιμορφισμός.
f
(iii) Η 0 → A → B → 0 είναι ακριβής αν και μόνο αν η f είναι ισομορφισμός.
Απόδειξη. (i) ΄Εστω g : 0 → A. Η εικόνα της g περιέχει ένα μοναδικό στοιχείο.
΄Αρα Img = Kerf αν και μόνο αν ο Kerf είναι η τετριμμένη υποομάδα του
A, αν δηλαδή η f είναι μονομορφισμός.
(ii) ΄Εστω g : B → 0. Κάθε στοιχείο του B απεικονίζεται μέσω της g στο 0,
που σημαίνει ·οτι ο πυρήνας της g είναι το B. ΄Αρα Imf = Kerg αν και μόνο
αν Imf = B, αν δηλαδή η f είναι επιμορφισμός.
(iii) Από τα προηγούμενα φαίνεται ·οτι η f είναι μονομορφισμός και επιμορφισμός,
δηλαδή ισομορφισμός, αν και μόνο αν η ακολουθία είναι ακριβής.
΄Εστω A ένα R-module, B ένα υποmodule του A, α : B → A ο εγκλεισμός
και β : A → A/B η φυσική προβολή (β(a) = a + B, a ∈ A). Τότε ο α είναι
μονομορφισμός, ο β είναι επιμορφισμός και Imα = B = Kerβ. ΄Ετσι η ακολουθία
β
α
0 → B → A → A/B → 0
είναι ακριβής. Μια τέτοια ακριβή ακολουθία τ λέγεται μικρή ακριβής ακολουθία (short exact sequence). Το κλασικό παράδειγμα μικρής ακριβούς
ακολουθίας είναι:
p
i
0→A−
→ A⊕B −
→B→0
όπου i είναι ο φυσικός ομομορφισμός (i(a) = (a, 0)) και p ο φυσικός επιμορφισμός
(p(a, b) = b).
Πρόταση 1.3.3. Για μία μικρή ακριβής ακολουθία
f
g
0→A→B→C →0
απο R-modules και ομομορφισμούς, τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα:
1.3 Ακριβεις ακολουθιες · 9
(i) Υπάρχει ένας ομομορφισμός α : B → A τέτοιος ώστε αf = 1A ,
(ii) Υπάρχει ένας ομομορφισμός β : C → B τέτοιος ώστε gβ = 1C ,
(iii) Υπάρχει ισομορφισμός s : B ∼
= A ⊕ C έτσι ώστε το διάγραμμα
f
0 −−−−→ A −−−−→
i
g
B −−−−→
s
y
p
C −−−−→ 0
0 −−−−→ A −−−−→ A⊕C −−−−→ C −−−−→ 0
είναι αντιμεταθετικό.
Απόδειξη. (i) ⇒ (iii) Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας ομομορφισμός α : B → A
τέτοιος ώστε αf = 1A . Ορίζουμε δύο R-ομομορφισμούς:
(i) s : B → A⊕C, s(b) = (α(b), g(b)).
(ii) t : A⊕C → B. Γι΄ αυτό, ορίζουμε έναν ομομορφισμό, r : C → B.
Εάν c ∈ C, τότε υπάρχει b ∈ B, έτσι ώστε g(b) = c, επειδή ο g είναι
επιμορφισμός. Ορίζουμε
r(c) = b − f α(b).
Για να δείξουμε ότι ο r είναι καλά ορισμένος, έστω ότι b′ ∈ B, g(b′ ) = c.
΄Ετσι
g(b) = g(b′ ) ⇒ g(b − b′ ) = 0 ⇒ b − b′ ∈ Kerg = Imf ⇒
Sunep′ ws,
b − b′ = f (a), a ∈ A ⇒ b = b′ + f (a).
b − f α(b) = b′ + f (a) − f α(b′ ) − f αf (a)
Αλλά, f (a) = f αf (a) και συνεπώς ο r είναι καλά ορισμένος. Ορίζουμε
t(a, c) = f (a) + r(c).
Παίρνοντας συνθέσεις συναρτήσεων:
ts(b) = t(α(b), g(b)) = f α(b) + rg(b) = f α(b) + b − f α(b) = b.
Επίσης:
st(a, c) = s(f (a) + b − f α(b))
όπου g(b) = c. Οπότε
st(a, c) = (αf (a) + α(b) − αf α(b), gf (a) + g(b) − gf α(b))
Αλλά gf = 0, αf α = α και αf = 1A . Επομένως st(a, c) = (a, c) και οι s
και t είναι ομομορφισμοί. Επίσης
sf (a) = (αf (a), gf (a)) = (a, 0) = i(a)
και
ps(b) = p(α(b), g(b)) = g(b)
κάνοντας το διάγραμμα αντιμεταθετικό.
10 · Αλγεβρικες δομες
(iii) ⇒ (ii) ΄Εστω ότι s : B → A⊕C είναι ο ισομορφισμός. Ορίζουμε
i′
s−1
β:C−
→ A⊕C −−→ B.
΄Εχουμε, από το ότι το διάγραμμα μετατίθεται, ότι:
gβ(c) = gs−1 i′ (c) = pss−1 i′ (c) = pi′ (c) = c.
(ii) ⇒ (i) Υποθέτουμε οτι υπάρχει ένας R-ομομορφισμός β : C → B τέτοιος
ώστε gβ = 1C .
΄Εστω b ∈ B και g(b) = c. Τότε
g(b) = c = gβ(c) ⇒ g(b − β(c)) = 0.
΄Αρα υπάρχει a ∈ A τέτοιο ώστε b = β(c) + f (a). Επίσης αν έχουμε β(c) +
f (a) = β(c′ ) + f (a′ ), τότε β(c′ − c) = f (a − a′ ). Επομένως,
0 = gf (a − a′ ) = gβ(c′ − c) = c′ − c ⇒ c′ = c.
Αλλά τότε θα έχουμε επίσης a′ = a. ΄Ετσι κάθε στοιχείο του B μπορεί να
γραφεί μοναδικά ώς β(c) + f (a), c ∈ C, a ∈ A. Ορίζουμε την απεικόνιση
α : B → A με α(β(c)+f (a)) = a, c ∈ C, a ∈ A. Το α είναι καλά ορισμένος
ομομορφισμός και αf = 1A .
Ορισμός 1.3.4. Αν ικανοποιείται μια απο τις ισοδύναμες προϋποθέσεις της πρότασης 1.3.3, τοτε η ακολουθία λέγεται διασπώμενη ακριβής ακολουθία
(split exact sequence).
Παράδειγμα 1.3.5. Η ακολουθία
2
π
0 → Z → Z → Z2 → 0
οπου το 2 συμβολίζει την απεικόνιση x 7→ 2x που δίνεται από τον πολλαπλασιασμό
με το 2 και το π την κανονική προβολή, είναι ακριβής, αφού Im2 = 2Z = Kerπ.
Για να είναι διασπώμενη η ακολουθία, θα πρέπει να υπάρχει ομομορφισμός a : Z2 →
Z τέτοιος ωστε aπ = 1Z . ΄Αρα θα πρέπει να είναι επιμορφισμός. Ομως δεν μπορεί
να υπάρχει επιμορφισμός από το Z2 στο Z. Η ακολουθία δεν είναι διασπώμενη.
1.4
Ελεύθερα modules
΄Ενα υποσύνολο X ενός R-module A λέμε οτι είναι γραμμικά ανεξάρτητο
(linearly independent) αν για διαφορετικά μεταξύ τους x1 , . . . , xn ∈ X και
ri ∈ R
r1 x1 + r2 x2 + · · · + rn xn = 0 ⇒ ri = 0 για κάθε i
΄Ενα σύνολο το οποίο δεν είναι γραμμικά ανεξάρτητο λέγεται γραμμικά εξαρτημένο (linearly dependent). ΄Ενα γραμμικά ανεξάρτητο υποσύνολο του A
το οποίο παράγει το A, λέγεται μια βάση (basis) του A.
Θεώρημα 1.4.1. ΄Εστω R ένας δακτύλιος με μοναδιαίο στοιχείο. Οι ακόλουθες
συνθήκες σε ένα μοναδιαίο R-module F είναι ισοδύναμες:
1.4 Ελευθερα modules · 11
(i) Το F έχει μια μη κενή βάση,
(ii) Το F είναι ενα ευθύ άθροισμα μιας οικογένειας κυκλικών R-modules, όπου
το κάθε ένα είναι ισόμορφο, ως αριστερό R-module, με το R,
(iii) Το F είναι ισόμορφο με το ευθύ άθροισμα αντιγράφων του αριστερού Rmodule R,
(iv) Υπάρχει ένα μη κενό σύνολο X και μια συνάρτηση ι : X → F με την ακόλουθη ιδιότητα: Με δεδομένο ένα μοναδιαίο R-module A και μια συνάρτηση
f : X → A, υπάρχει ενας μοναδικός R-ομομορφισμός f : F → A τέτοιος
ώστε f ι = f . Με άλλα λόγια, το F είναι ενα ελεύθερο αντικείμενο στην
κατηγορία των μοναδιαίων R-modules.
Απόδειξη. (i) ⇒ (ii) ΄Εστω X η βάση του F και x ∈ X. Η απεικόνιση
R → Rx, r 7→ rx
είναι R-επιμορφισμός (Θεώρημα 1.2.9) επίσης είναι R-μονομορφισμός αφού
rx = 0 ⇒ r = 0, άρα είναι και ισομορφισμός, R ∼
= Rx. Αφού το X είναι
βάση του F ,
X
F =
Rxi .
xi ∈X
(ii) ⇒ (iii) ΄Εστω g1 , g2 , . . . , gn οι ισομορφισμοί του κάθε R-module
της οικογέP
νειας με το αντίστοιχο R. Τότε η απεικόνιση g : F →
R όπου
(a1 , a2 , . . . , an ) 7→ (g1−1 (a1 ), g2−1 (a2 ), . . . , gn−1 (an )),
είναι ένας ισομορφισμός.
∼ P R όπου το κάθε αντίγραφο του R αντιστοιχεί σε
(iii) ⇒ (i) ΄Εστω ότι F =
P
ένα στοιχείο του X. Για κάθε x ∈ X έστω θx το στοιχείο {ri } του
R,
όπουPri = 0 για i 6= x και rx = 1R . Το σύνολο {θx |x ∈ X} είναι μια βάση
του
R και λόγω του ισομορφισμού είναι βάση και του F .
(i) ⇒ (iv) ΄Εστω X η βάση του F και ι : X → F η ερριπτική απεικόνιση. ΄Εστω ότι έχουμε
δεδομένη μια απεικόνιση f : X → A. ΄Αν u ∈ F , τόPn
r
τε u P
=
i
i ∈ X) αφού το X παράγει το F . ΄Αν
i=1 xi (ri ∈ R, xP
n
u =
s
x
(s
∈
R),
τότε
i
i
i
i (ri − si )xi = 0, άρα ri = si για κάθε
i=1
i λόγω γραμμικής ανεξαρτησίας. Επομένως, η απεικόνιση f : F → A που
δίνεται από
!
n
n
X
X
ri f (xi )
ri xi =
f (u) = f
i=1
i=1
είναι μια καλά ορισμένη συνάρτηση τέτοια ώστε f ι = f . Η f είναι ένας
R-ομομορφισμός. Αφού το X παράγει το F , κάθε R-ομομορφισμός F → A
είναι μοναδικά ορισμένος από την δράση του στο X. ΄Ετσι, αν g : F →
A είναι ένας R-ομομορφισμός τέτοιος ώστε gι = f , τότε για κάθε x ∈
X, g(x) = g(ι(x)) = f (x) = f (x), άρα g = f και η f είναι μοναδική.
12 · Αλγεβρικες δομες
(iv) ⇒ (iii) Αρχίζουμε με το ευθύ άθροισμα
X
F′ =
R
x∈X
΄Εστω Y = {θx : x ∈ X} είναι μια βάση του F ′ . Το F ′ ικανοποιεί την
ιδιότητα (iv) με το Y . Είναι προφανές ότι υπάρχει μια αμφιμονοσήμαντη
αντιστοιχία j : X → Y . ΄Εστω
ι′
i
α:X −
→Y −
→ F′
Από την υπόθεση, υπάρχει μοναδική φ : F → F ′ έτσι ώστε φι = α. ΄Ομοια,
εάν
i−1
ι
β : Y −−→ X −
→F
τότε υπάρχει μοναδική ψ : F ′ → F έτσι ώστε ψι′ = β. ΄Εχουμε
ψφι = ψα = ψι′ i = βi = ιi−1 i = ι,
που ικανοποιεί την ιδιότητα για το F και το ι. Αλλά και η 1F ικανοποιεί
την ιδιότητα αυτήν. Η μοναδικότητα δίνει ότι ψφ = 1F . ΄Ομοια φψ = 1F ′ .
Συνεπώς F ∼
= F ′.
Ορισμός 1.4.2. ΄Ενα μοναδιαίο R-module F πάνω σε έναν δακτύλιο R με μοναδιαίο στοιχείο, το οποίο ικανοποιεί τις ισοδύναμες συνθήκες του θεωρήματος 1.4.1
λέγεται ελεύθερο (free) R-module πάνω στο σύνολο X.
Πόρισμα 1.4.3. Κάθε αριστερό R-module A πάνω στον δακτύλιο R είναι η
ομομορφική εικόνα ενός ελεύθερου R-module F .
Απόδειξη. ΄Εστω X το σύνολο των γεννητόρων του A και F το ελεύθερο Rmodule πάνω στο σύνολο X. Τότε η ερριπτική απεικόνιση X → A επάγει εναν
R-ομομορφισμό f : F → A τέτοιο ώστε X ⊂ Imf . Αφού το X παράγει το A,
πρέπει να έχουμε Imf = A.
1.5
Προβολικά modules
Ορισμός 1.5.1. ΄Ενα module P πάνω σε έναν δακτύλιο R λέμε οτι είναι προβολικό (projective) αν για κάθε δεδομένο διάγραμμα R-ομομορφισμών
P
f
g
A
B
0
οπου η κατω σειρά είναι ακριβής (άρα η g είναι επιμορφισμός), υπάρχει ενας Rομομορφισμός h : P → A τέτοιος ωστε το διάγραμμα
P
f
h
g
A
B
να είναι μεταθετικό, δηλαδή να ισχύει gh = f .
0
1.5 Προβολικα modules · 13
Θεώρημα 1.5.2. Κάθε ελεύθερο R-module πάνω σε ένα δακτύλιο R με μοναδιαίο στοιχείο είναι προβολικό.
Απόδειξη. ΄Εστω οτι έχουμε το παρακάτω διάγραμμα
ι
X
F
f
g
A
B
0
όπου g ένας R-επιμορφισμός και F ενα ελεύθερο R-module με βάση το σύνολο
X και ι : X → F . Για κάθε x ∈ X, f (ι(x)) ∈ B. Αφού η g είναι επιμορφισμός,
υπάρχει ax ∈ A με g(ax ) = f (ι(x)). Αφού το F είναι ελεύθερο, η απεικόνιση
X → A, x 7→ ax μας δίνει εναν R-ομομορφισμό h : F → A τέτοιο ωστε h(ι(x)) =
ax για κάθε x ∈ X. Επομένως, ghι(x) = g(ax ) = f ι(x) για κάθε x ∈ X έτσι
ώστε ghι = f ι : X → B. Λόγω μοναδικότητας της h έχουμε gh = f . ΄Αρα το F
είναι προβολικό.
Πόρισμα 1.5.3. Κάθε module A πάνω σε ένα δακτύλιο R είναι ομομορφική
εικόνα ενός προβολικού R-module.
Θεώρημα 1.5.4. ΄Εστω R ένας δακτύλιος. Οι ακόλουθες συνθήκες σε ένα
R-module P είναι ισοδύναμες.
(i) Το P είναι προβολικό,
f
g
(ii) κάθε μικρή ακριβής ακολουθία 0 → A → B → P → 0 είναι διασπώμενη
ακριβής ( αρα B ∼
= A ⊕ P ),
(iii) υπάρχει ενα ελεύθερο module F και ενα R-module K τέτοιο ώστε να ισχύει
F ∼
= K ⊕ P.
Απόδειξη. (i) ⇒ (ii) ΄Εχουμε το παρακάτω διάγραμμα
P
1P
g
B
P
0
οπου η κάτω σειρά είναι ακριβής. Το P είναι προβολικό, άρα υπάρχει ένας
R-ομομορφισμός h : P → B τέτοιο ωστε gh = 1P . ΄Αρα η μικρή ακριβής
f
g
ακολουθία 0 → A → B → P → 0 είναι διασπώμενη απο το θεώρημα 1.3.3
και B ∼
= A ⊕ P.
(ii) ⇒ (iii) Από το 1.4.3, υπάρχει ενα ελεύθερο R-module F και ενας επιμορg
⊂
φισμός g : F → P . Αν K = Kerg, τότε η 0 → K → F → P → 0 είναι
ακριβής. Από την υπόθεση η ακολουθία είναι διασπώμενη, αρα F ∼
= K ⊕ P.
(iii) ⇒ (i)΄Εστω π : F ∼
= K ⊕ P → P η κανονική προβολή. ΄Ομοια, έστω
ι : P → K ⊕P ∼
= F η κανονική ερριψη. Με δεδομένο το διάγραμμα των
R-ομομορφισμών
P
f
g
A
B
0
14 · Αλγεβρικες δομες
οπου η κάτω σειρά είναι ακριβής, υποθέτουμε το διάγραμμα
F
ι
π
P
f
g
A
B
0
Αφού το F είναι προβολικό, υπάρχει ένας R-ομομορφισμός h1 : F → A
τέτοιος ωστε gh1 = f π. ΄Εστω h = h1 ι : P → A. Τοτε gh = gh1 ι =
(f π)ι = f (πι) = f 1P = f . ΄Αρα το P είναι προβολικό.
1.6
Τανυστικό γινόμενο
Ορισμός 1.6.1. ΄Εστω M ένα δεξιό R-module, N ένα αριστερό R-module και
G μία αβελιανή ομάδα. Μια απεικόνιση f : M × N → G λέγεται R-biadditive αν
(i) f (m1 + m2 , n) = f (m1 , n) + f (m2 , n),
(ii) f (m, n1 + n2 ) = f (m, n1 ) + f (m, n2 ),
(iii) f (mr, n) = f (m, rn)
για κάθε m, m1 , m2 ∈ M, n, n1 , n2 ∈ N, r ∈ R.
Ορισμός 1.6.2. ΄Εστω M ένα δεξιό R-module και N ενα αριστερό R-module.
Λέμε τανυστικό γινόμενο (tensor product) του M με το N πάνω στο
R μια αβελιανή ομάδα M ⊗R N και μια R-biadditive απεικόνιση h : M × N →
M ⊗R N τέτοια ωστε για κάθε αβελιανή ομάδα A και κάθε R-biadditive απεικόνιση
f : M × N → A, να υπάρχει ενας μοναδικός ομομορφισμός g : M ⊗R N → A
αβελιανών ομάδων που κάνει το διάγραμμα
M ×N
h
f
M ⊗R N
g
A
μεταθετικό. Δηλ. gh = f .
΄Ενας εναλλακτικός ορισμός του τανυστικού γινομένου είναι ο παρακάτω:
Ορισμός 1.6.3. ΄Εστω A ένα δεξιό module και B ένα αριστερό module πάνω σε
έναν δακτύλιο R. ΄Εστω F η ελεύθερη αβελιανή ομάδα πάνω στο σύνολο A × B.
΄Εστω K η υποομάδα της F που παράγεται από όλα τα στοιχεία της μορφής:
(i) (a + a′ , b) − (a, b) − (a′ , b)
(ii) (a, b + b′ ) − (a, b) − (a, b′ )
(iii) (ar, b) − (a, rb).
1.6 Τανυστικο γινομενο · 15
Για κάθε a, a′ ∈ A, b, b′ ∈ B και r ∈ R.
Η ομάδα πηλίκο F/K λέγεται τανυστικό γινόμενο των A και B, και συμβολίζεται A ⊗R B. Το σύμπλοκο (a, b) + K του (a, b) στο F συμβολίζεται a ⊗ b.
Πρόταση 1.6.4. Δυο οποιαδήποτε τανυστικά γινόμενα του M με το N πάνω
στο R είναι ισόμορφα.
Απόδειξη. ΄Εστω A και B δύο τανυστικά γινόμενα του δεξιού R-module M με
το αριστερό R-module N . Τότε υπάρχουν και οι R-biadditive απεικονίσεις h1 :
M × N → A και h2 : M × N → B. Αφού το A είναι ενα τανυστικό γινόμενο του
M με το N και h2 : M × N → B είναι μια R-biadditive απεικόνιση, υπάρχει ένας
μοναδικός ομομορφισμός f : A → B τέτοιος ωστε f h1 = h2 . ΄Ομοια, αφού το B
είναι τανυστικό γινόμενο του M με το N , υπάρχει ενας μοναδικός ομομορφισμός
g : B → A τέτοιος ωστε gh2 = h1 . Αλλα τότε έχουμε h1 = g(f h1 ) = (gf )h1 και
h2 = (f g)h1 . Επίσης ο ταυτοτικός ομομορφισμός 1A : A → A και 1B : B → B
έχει την ιδιότητα h1 = 1A h1 και h2 = 1B h2 .
Από την μοναδικότητα του ομομορφισμού στον ορισμό του τανυστικού γινομένου,
gf = 1A και f g = 1B , το οποίο μας δείχνει οτι η f είναι ισομορφισμός και η g
είναι η αντίστροφή της.
Θεώρημα 1.6.5. Αν R είναι ένας μεταθετικός δακτύλιος και M, N είναι Rmodules, τότε το M ⊗R N είναι ένα R-module.
Απόδειξη. ΄Εστω r ∈ R. Ορίζουμε την απεικόνιση r∗ : M × N → M ⊗R N οπου
r∗ (m, n) = (mr) ⊗ n = m ⊗ (rn), m ∈ M, n ∈ N.
Προφανώς ισχύει οτι
r∗ (m1 + m2 , n) = r∗ (m1 , n) + r∗ (m2 , n),
r∗ (m, n1 + n2 ) = r∗ (m, n1 ) + r∗ (m, n2 ),
για κάθε m, m1 , m2 ∈ M και n, n1 , n2 ∈ N .
Για m ∈ M, n ∈ N, s ∈ R, ισχύει r∗ (ms, n) = (ms)r ⊗ n = m(sr) ⊗ n =
m(rs) ⊗ n = (mr)s ⊗ n = (mr) ⊗ (sn) = r∗ (m, sn), αφού ο R είναι μεταθετικός,
άρα η r∗ είναι R-biadditive. Οπότε υπάρχει ένας μοναδικός ομομορφισμός fr :
M ⊗R N → M ⊗R N τέτοιος ώστε το διάγραμμα
h
M ×N
r∗
M ⊗R N
fr
M ⊗R N
οπου h(m, n) = m ⊗ n, m ∈ M, n ∈ N, να είναι μεταθετικό.
Ορίζουμε
!
X
X
X
fr (mi ⊗ ni )
mi ⊗ n i =
= fr
r
mi ⊗ n i
i
i
=
X
i
=
X
∗
r (mi , ni ) =
X
(mi r) ⊗ ni
i
mi ⊗ rni , mi ∈ M, ni ∈ N.
Εύκολα δείχνουμε τώρα οτι το M ⊗R N είναι ενα R-module.
16 · Αλγεβρικες δομες
Πρόταση 1.6.6. Για κάθε αριστερό R-module M, το R⊗R M είναι ένα αριστερό
R-module και για κάθε δεξιό R-module N, το N ⊗R R είναι ένα δεξιό R-module.
Απόδειξη. ΄Εστω F και K οι ομάδες που ορίσαμε στο 1.6.3. ΄Εστω ένα δεξιό
R-module N . Για r ∈ R, ορίζουμε τον ομομορφισμό r∗ : F → N ⊗R R
r∗ ((x, s)) = x ⊗ (sr), x ∈ N, s ∈ R.
ο r∗ εξαφανίζεται στους γεννήτορες του K αρα και στο K. Επομένως, η r∗ επάγει
ομομορφισμό r∗ : N ⊗R R → N ⊗R R, οπου
r∗ (x ⊗ s) = x ⊗ (sr), x ∈ N, s ∈ R.
Ορίζουμε την δεξιά δράση του R στο N ⊗R R
zr = r∗ (z), z ∈ N ⊗R R και r ∈ R.
Είναι φανερό ότι (z1 + z2 )r = z1 r + z2 r, z · 1R = z για z, z1 , z2 ∈ N ⊗R R, r ∈ R.
΄Εστω r1 , r2 ∈ R. Για κάθε x ∈ N, s ∈ R, (x ⊗ s)(r1 + r2 ) = (r1 + r2 )∗ (x ⊗ s) =
x ⊗ s(r1 + r2 ) = x ⊗ (sr1 + sr2 ) = x ⊗ (sr1 ) + x ⊗ (sr2 ) = r1∗ (x ⊗ s) + r2∗ (x ⊗ s) =
(x ⊗ s)r1 + (x ⊗ s)r2 . Επίσης (x ⊗ s)(r1 r2 ) = x ⊗ s(r1 r2 ) = x ⊗ (sr1 )r2 =
(x ⊗ sr1 )r2 = ((x ⊗ s)r1 )r2 . Από αυτά συνεπάγεται ότι:
z(r1 + r2 ) = zr1 + zr2 και (zr1 )r2 = z(r1 r2 )
για κάθε z ∈ N ⊗R R και r1 , r2 ∈ R. ΄Ετσι το N ⊗R R είναι ενα δεξιό R-module.
Η απόδειξη είναι παρόμοια για το R ⊗R M.
Θεώρημα 1.6.7. Για κάθε αριστερό R-module M, R ⊗R M ∼
= M ως αριστερά
R-modules και για κάθε δεξιό R-module N, N ⊗R R ∼
= N ως δεξιά R-modules.
Απόδειξη. ΄Εστω M ενα αριστερό R-module. Ορίζουμε μια απεικόνιση α : M →
R ⊗R M
α(m) = 1 ⊗ m, m ∈ M.
Η α είναι ένας επίP
ομομορφισμός
(κάθε στοιχείο
Pαβελιανών ομάδων
P
P του R ⊗R M
είναι στην μορφή
r
⊗
m
=
1r
⊗
m
=
1
⊗
r
m
=
1
⊗
ri mi = 1 ⊗ m,
1
i
i
i
i
i
P
οπου m =
ri mi ∈ M ). Επίσης α(rm) = 1 ⊗ rm = r ⊗ m = r · 1 ⊗ m =
r(1 ⊗ m) = rα(m). ΄Ετσι η α είναι ενας R-ομομορφισμός.
Από την άλλη, ορίζουμε την απεικόνιση β : R × M → M
β(r, m) = rm, r ∈ R, m ∈ M.
Για r, s ∈ R, m, m1 , m2 ∈ M,
β(r + s, m) = (r + s)m = rm + sm = β(r, m) + β(s, m),
β(r, m1 + m2 ) = r(m1 + m2 ) = rm1 + rm2 = β(r, m1 ) + β(r, m2 ),
β(rs, m) = (rs)m = r(sm) = β(r, sm).
΄Ετσι η β είναι biadditive και επάγει ενα ομομορφισμό β : R ⊗R M → M τέτοιο
ώστε
β(r ⊗ m) = rm, r ∈ R, m ∈ M.
είναι φανερό οτι βα = 1M και αβ = 1R⊗R M . ΄Ετσι η α είναι ένας R-ισομορφισμός
με αντίστροφη την β. Παρόμοια δείχνουμε οτι N ⊗R R ∼
= N για κάθε δεξιό
R-module N.
1.6 Τανυστικο γινομενο · 17
Παράδειγμα 1.6.8. ΄Εστω το τανυστικό γινόμενο Z/2Z ⊗Z Z/3Z.
Για κάθε a ∈ Z/2Z ισχύει
a ⊗ b = 3a ⊗ b = a ⊗ 3b = a ⊗ 0 = 0.
΄Αρα Z/2Z ⊗Z Z/3Z = 0.
f
g
Πρόταση 1.6.9. Αν η A → B → C → 0 είναι μια ακριβής ακολουθία αριστερών
modules πάνω σε ενα δακτύλιο R και D ενα δεξιό R-module, τότε η
1D ⊗f
1D ⊗g
D ⊗R A −→ D ⊗R B −→ D ⊗R C → 0
είναι ακριβής ακολουθία αβελιανών ομάδων.
Απόδειξη. Πρέπει να αποδείξουμε οτι:(i)Im(1D ⊗ g) = D ⊗R C, (ii)Im(1D ⊗ f ) ⊂
Ker(1D ⊗ g) και (iii)Ker(1D ⊗ g) ⊂ Im(1D ⊗ f ).
(i)Αφού η g είναι ένας επιμορφισμός, κάθε γεννήτορας d ⊗ c του D ⊗R C είναι
της μορφής d ⊗ g(b) = (1D ⊗ g)(d ⊗ b) για κάποιο b ∈ B. ΄Ετσι η Im(1D ⊗ g)
περιέχει όλους τους γεννήτορες του D ⊗R C, άρα Im(1D ⊗ g) = D ⊗R C.
(ii)Αφού Kerg = Imf , έχουμε gf = 0 και (1D ⊗ g)(1D ⊗ f ) = 1D ⊗ gf =
1D ⊗ 0 = 0, άρα Im(1D ⊗ f ) ⊂ Ker(1D ⊗ g).
(iii)΄Εστω π : D ⊗R B → (D ⊗R B)/Im(1D ⊗ f ) η κανονική προβολή. Από
το (ii) και το πρώτο θεώρημα ισομορφισμού, υπάρχει ενας ομομορφισμός α :
(D ⊗R B)/Im(1D ⊗ f ) → D ⊗R C τέτοιος ώστε α(π(d ⊗ b)) = (1D ⊗ g)(d ⊗ b) =
d ⊗ g(b). Θα δείξουμε οτι η α είναι ενας ισομορφισμός, το οποίο μαζί με το πρώτο
θεώρημα ομομορφισμών θα αποδείξουν οτι Ker(1D ⊗ g) = Im(1D ⊗ f ) το οποίο
ολοκληρώνει την απόδειξη.
Δείχνουμε πρώτα οτι η απεικόνιση β : D×C → (D⊗R B)/Im(1D ⊗f ), (d, c) 7→
π(d ⊗ b), όπου g(b) = c, είναι ανεξάρτητα απο την επιλογή του b. Υπάρχει τουλάχιστον ενα τέτοιο b αφού η g είναι ένας επιμορφισμός. Αν g(b′ ) = c, τότε
g(b − b′ ) = 0 και b − b′ ∈ Kerg = Imf , άρα b − b′ = f (a) για κάποιο a ∈ A.
Αφού d ⊗ f (a) ∈ Im(1D ⊗ f ) και π(d ⊗ f (a)) = 0, έχουμε
π(d ⊗ b) =
=
π(d ⊗ b′ + f (a)) = π(d ⊗ b′ + d ⊗ f (a))
π(d ⊗ b′ ) + π(d ⊗ f (a)) = π(d ⊗ b′ ).
΄Αρα η β είναι καλά ορισμένη. Υπάρχει ένας μοναδικός ομομορφισμός β : D⊗R C →
(D ⊗R B)/Im(1D ⊗ f ) τέτοιος ωστε β(d ⊗ c) = βi(d, c) = β(d, c) = π(d ⊗ b),
όπου g(d) = c. Επομένως για κάθε γεννήτορα d ⊗ c του D ⊗R C, αβ(d ⊗ c) =
α(π(d ⊗ b)) = d ⊗ g(b) = d ⊗ c, άρα η αβ είναι η ταυτοτική απεικόνιση. ΄Ομοια η
βα είναι η ταυτοτική απεικόνιση αρα η α είναι ισομορφισμός.
Παράδειγμα 1.6.10. ΄Εστω η ακριβής ακολουθία δεξιών modules
2
π
0 → Z → Z → Z2 → 0.
Το τανυστικό γινόμενο της με το Z2 ,
2⊗1Z
π⊗1Z
0 → Z ⊗ Z2 −→2 Z ⊗ Z2 −→2 Z2 ⊗ Z2 → 0
δεν είναι ακριβής ακολουθία, αφού 2⊗1Z2 είναι ίση με μηδέν και δεν μπορεί να
είναι μονομορφισμός. Συγκεκριμένα πολλαπλασιασμός επί 2 είναι μηδέν στο Z2 :
2⊗1Z2
Z2 ∼
= Z2
= Z ⊗ Z2 −→ Z ⊗ Z2 ∼
18 · Αλγεβρικες δομες
Θεώρημα 1.6.11. ΄Εστω M, M ′ δεξιά R-module και έστω N, N ′ αριστερά Rmodules. Υπάρχουν μοναδικοί ισομορφισμοί
(M ⊕ M ′ ) ⊗R N ∼
= (M ⊗R N ) ⊕ (M ′ ⊗R N )
M ⊗R (N ⊕ N ′ ) ∼
= (M ⊗R N ) ⊕ (M ⊗R N ′ )
τέτοιοι ωστε (m, m′ ) ⊗ n 7→ (m ⊗ n, m′ ⊗ n) και m ⊗ (n, n′ ) 7→ (m ⊗ n, m ⊗ n′ )
αντίστοιχα.
Απόδειξη. Η απεικόνιση (M ⊕M ′ )×N → (M ⊗R N )⊕(M ′ ⊗R N ), ((m, m′ ), n) 7→
(m ⊗ n, m′ ⊗ n) είναι καλα ορισμένη αφου τα m και m′ στο M ⊕ M ′ είναι μοναδικά
ορισμένα στο ευθύ άθροισμα. Η απεικόνιση είναι R-biadditive, άρα επάγει εναν
ομομορφισμό f : (M ⊕ M ′ ) ⊗ N → (M ⊗R N ) ⊕ (M ′ ⊗R N ), ((m, m′ ) ⊗ n) 7→
(m ⊗ n, m′ ⊗ n).
Απο την άλλη κατεύθυνση, οι R-biadditive απεικονίσεις M × N → (M ⊕ M ′ ) ⊗R
N, (m, n) 7→ (m, 0) ⊗ n και M ′ × N → (M ⊕ M ′ ) ⊗R N, (m′ , n) 7→ (0, m′ ) ⊗ n,
ορίζουν ομομορφισμούς απο τα M ⊗R N και M ′ ⊗R N στο (M ⊕ M ′ ) ⊗R N .
Αυτοί με την σειρά τους μας δίνουν εναν ομομορφισμό g απο το ευθύ γινόμενο
(M ⊗R N ) ⊕ (M ′ ⊗R N ) στο (M ⊕ M ′ ) ⊗R N με (m ⊗ n1 , m′ ⊗ n2 ) 7→ ((m, 0) ⊗
n1 + (0, m′ ) ⊗ n2 ).
1.7
Hom
Ορισμός 1.7.1. Αν A και B είναι modules πάνω σε ένα δακτύλιο R, τότε το
HomR (A, B) είναι το σύνολο όλων των R-ομομορφισμών f : A → B.
Αν R = Z, γράφουμε απλά Hom(A, B).
Το HomR (A, B) είναι αβελιανή ομάδα με πράξη την πρόσθεση και αυτή η πρόσθεση είναι επιμεριστική ως προς την σύνθεση συναρτήσεων.
Θεώρημα 1.7.2. ΄Εστω A, B, C, D R-modules πάνω σε ένα δακτύλιο R και φ :
C → A και ψ : B → D R-ομομορφισμοί. Τότε η απεικόνιση θ : HomR (A, B) →
HomR (C, D), f 7→ ψf φ είναι ομομορφισμός αβελιανών ομάδων.
Απόδειξη. Η θ είναι καλά ορισμένη ως R-ομομορφισμός, αφού είναι σύνθεση Rομομορφισμών. Η θ είναι ομομορφισμός, αφού είναι σύνθεση ομομορφισμών επιμεριστικών ως προς την πρόσθεση.
φ
ψ
Θεώρημα 1.7.3. ΄Εστω R ένας δακτύλιος. Η 0 → A → B → C είναι μια
ακριβής ακολουθία από R-modules αν και μόνο αν για κάθε R-module D η
φ
ψ
0 → HomR (D, A) → HomR (D, B) → HomR (D, C)
είναι μια ακριβής ακολουθία αβελιανών ομάδων.
φ
ψ
Απόδειξη. Αν η 0 → A → B → C είναι ακριβής, πρέπει να δείξουμε οτι:(i)Kerφ =
0(το οποίο σημαίνει ότι η φ είναι μονομορφισμός)(ii)Imφ ⊂ Kerψ και (iii)Kerψ ⊂
Imφ.
φ
(i) f ∈ Kerφ ⇒ φf = 0 ⇒ φf (x) = 0 για κάθε x ∈ D. Αφού η 0 → A → B είναι
ακριβής, η φ είναι ένας μονομορφισμός, άρα f (x) = 0 για κάθε x ∈ D και f = 0.
Επομένως, Kerφ = 0.
1.7 Hom · 19
(ii) Αφού Imφ = Kerψ, έχουμε ψφ = 0 και έτσι ψφ = ψφ = 0. Επομένως,
Imφ ⊂ Kerψ.
(iii) g ∈ Kerψ ⇒ ψg = 0 ⇒ Img ⊂ Kerψ = Imφ. Αφού η φ είναι μονομορφισμός, φ : A → Imφ είναι ενας ισομορφισμός. Αν h είναι η σύνθεση
φ−1
g
D → Img ⊂ Imφ → A, τότε h ∈ HomR (D, A) και g = φh = φ(h). Οπότε,
Kerψ ⊂ Imφ.
Αντίστροφα, υποθέτουμε οτι η Hom ακολουθία των επαγόμενων απεικονίσεων
είναι ακριβής για κάθε D. Αρχικά έστω D = Kerφ και i : D → A η ερριπτική
απεικόνιση. Αφού Kerφ = 0 και φ(i) = φi = 0, πρέπει να έχουμε i = 0, από
φ
το οποίο επάγεται ότι 0 = D = Kerφ. Επομένως, η 0 → A → B είναι ακριβής.
΄Εστω τωρα D = A. Αφού Kerψ = Imφ έχουμε 0 = ψφ(1A ) = ψφ1A = ψφ, αρα
Imφ ⊂ Kerψ. Τέλος έστω D = Kerψ και έστω j : D → B η ερριπτική απεικόνιση. Αφού 0 = ψj = ψ(j) και Kerψ = Imφ, έχουμε j = φ(f ) = φf για κάποια
f : D → A. Επομένως, για κάθε x ∈ D = Kerψ, x = j(x) = φf (x) ∈ Imφ και
φ
ψ
Kerψ ⊂ Imφ. ΄Ετσι Kerψ = Imφ και η 0 → A → B → C είναι ακριβής.
θ
ζ
Πρόταση 1.7.4. ΄Εστω R ενας δακτύλιος. Η A → B → C → 0 είναι ακριβής
ακολουθία απο R-modules αν και μονο αν για κάθε R-module D η
ζ
θ
0 → HomR (C, D) → HomR (B, D) → HomR (A, D)
είναι ακριβής ακολουθία αβελιανών ομάδων.
ζ
θ
Απόδειξη. Αν η A → B → C → 0 είναι ακριβής, θα δείξουμε οτι Kerθ ⊂ Imζ. Αν
f ∈ Kerθ, τότε 0 = θ(f ) = f θ, άρα 0 = f (Imθ) = f (Kerζ). Από το πρώτο θεώρημα ομομορφισμών η f επάγει τον ομομορφισμό f : B/Kerζ → D, (b+Kerζ) 7→
f (b). Απο το ίδιο θεώρημα, υπάρχει ισομορφισμός φ : B/Kerζ ∼
= C, (b+Kerζ) =
ζ(b). Τότε η απεικόνιση f φ−1 : C → D είναι ένας R-ομομορφισμός τέτοιος ώστε
ζ(f φ−1 ) = f . ΄Ετσι Kerθ ⊂ Imζ. Το υπόλοιπο του πρώτου μισού της απόδειξης
είναι παρόμοιο με του προηγούμενου θεωρήματος.
Αντίστροφα, αν η Hom ακολουθία είναι ακριβής για κάθε D, έστω D = C/Imζ
και έστω π : C → D η κανονική προβολή. Τότε τα ζ(π) = πζ = 0 και Kerζ = 0
ζ
επάγουν ότι π = 0, άρα C = Imζ και η B → C → 0 είναι ακριβής. ΄Ομοια,
δείχνουμε οτι Kerζ ⊂ Imθ αν θέσουμε το D = B/Imθ και τον κανονικό επιμορφισμό B → D. Τέλος, αν D = C, τότε 0 = θζ(1C ) = ζθ, άρα Imθ ⊂ Kerζ.
ζ
θ
Επομένως, η A → B → C → 0 είναι ακριβής.
Πρόταση 1.7.5. Οι ακόλουθες συνθήκες στα R-modules πάνω σε έναν δακτύλιο
R είναι ισοδύναμες.
φ
ψ
(i) Η 0 → A → B → C → 0 είναι διασπώμενη ακριβής ακολουθία απο Rmodules,
φ
ψ
ψ
φ
(ii) η 0 → HomR (D, A) → HomR (D, B) → HomR (D, C) → 0 είναι διασπώμενη ακριβής ακολουθία αβελιανών ομάδων για κάθε R-module D,
(iii) η 0 → HomR (C, D) → HomR (B, D) → HomR (A, D) → 0 είναι διασπώμενη ακριβής ακολουθία αβελιανών ομάδων για κάθε R-module D.
20 · Αλγεβρικες δομες
Θεώρημα 1.7.6. ΄Εστω R και S δύο δακτύλιοι, έστω A ένα αριστερό R-module,
έστω B ένα (R, S)-bimodule και έστω C ενα δεξιό S-module. Τότε υπάρχει ένας
ισομορφισμός αβελιανών ομάδων:
HomS (A ⊗R B, C) ∼
= HomR (A, HomS (B, C))
Απόδειξη. ΄Εστω φ : A ⊗R B → C ένας ομομορφισμός. Για κάθε σταθερό a ∈ A
ορίζουμε την απεικόνιση Φ(a) από το B στο C με Φ(a)(b) = φ(a⊗b). Είναι εύκολο
να δούμε ότι η Φ(a) είναι ομομορφισμός δεξιών S-modules και οτι η απεικόνιση Φ
από το A στο HomS (B, C) που δίνεται από την απεικόνιση του a στο Φ είναι ένας
ομομορφισμός αριστερών R-modules. Τότε η f (φ) = Φ ορίζει έναν ομομορφισμό
ομάδων απο το HomS (A ⊗R B, C) στο HomR (A, HomS (B, C)). Αντίστροφα,
υποθέτουμε οτι η Φ : A → HomS (B, C) είναι ένας ομομορφισμός. Η απεικόνιση
από το A × B στο C ορίζεται απο το (a, b) 7→ Φ(a)(c) είναι μια R-biadditive
απεικόνιση, έτσι επάγει έναν ομομορφισμό φ από το A⊗R B στο C. Τότε g(Φ) = φ
ορίζει έναν ομομορφισμό ομάδων αντίστροφο του f και δίνει τον ισομορφισμό.
1.8
Δακτύλιοι-Ομάδες
Ορισμός 1.8.1. ΄Εστω R ένας δακτύλιος και έστω G μια ομάδα με πράξη τον
πολλαπλασιασμό. Ο δακτύλιος - ομάδα (group
ring) R[G] είναι ο δακτύλιος
P
που
αποτελείται
απο
στοιχεία
της
μορφής
α
=
x∈G ax · x οπου ax ∈ R. Αν β =
P
bx · x είναι ένα άλλο στοιχείο του R[G], τότε η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός
ορίζονται:
!
!
X
X
α+β =
ax · x +
bx · x
x∈G
=
X
x∈G
(ax + bx ) · x
x∈G
και
αβ
=
X
x∈G
=
X
!
X
ax · x
by · y
y∈G
ax by · xy
x,y∈G
=
X
cz · z
z∈G
οπου
cz
=
X
ax b y
xy=z
=
X
x
ax bx−1 z =
X
azy−1 by
y
Παράδειγμα 1.8.2. Ο δακτύλιος - ομάδα Z[Zn ], αποτελείται απο τα στοιχεία
της μορφής α = r0 1 + r1 z + r2 z 2 + · · · + rn−1 z n−1 οπου r0 , r1 , . . . , rn−1 ∈ Z
και z ∈ Zn . ΄Εστω Z[z] ο δακτύλιος πολυωνύμων με μεταβλητή z. Η φυσική
απεικόνιση Z[z] → Z[Zn ], είναι ένας επιμορφισμός του οποίου ο πυρήνας (1 − z n )
είναι το ιδεώδες που παράγεται απο το 1 − z n . ΄Αρα Z[Zn ] ∼
= Z[z]/(1 − z n ).
1.8 Δακτυλιοι-Ομαδες · 21
Παράδειγμα 1.8.3. Ο δακτύλιος - ομάδα Z[Z], αποτελείται απο τα στοιχεία της
μορφής α = · · · + r−2 t−2 + r−1 t−1 + r0 1 + r1 t + r2 t2 + . . . οπου ri ∈ Z, i ∈ Z
και t ∈ Z. Είναι δηλαδή η σειρά Laurent
( k
)
X
i
Z[Z] =
ni t : ni ∈ Z .
i=−k
Παράδειγμα 1.8.4. ΄Εστω F2 = hx1 , x2 i η ελεύθερη ομάδα σε δύο γεννήτορες.
Τότε ο δακτύλιος ομάδας Z[F2 ] είναι ο δακτύλιος των σειρών Laurent σε δύο μημετατιθέμενους γεννήτορες:
±1
Z[F2 ] = Z{x±1
1 , x2 }.
Το ίδιο ισχύει και για όλες τις ελεύθερες ομάδες:
±1
±1
Z[Fn ] = Z{x±1
1 , x2 , . . . , xn }.
Μια βασική ιδιότητα των δακτύλιων-ομάδων είναι η συμμετρία τους. Αν ορίσουμε την ενελικτική (involution) απεικόνιση : R[G] → R[G] με
X
X
ax x =
ax x−1
Αφου για x, y ∈ G έχουμε (xy)−1 = y −1 x−1 , για κάθε a, b ∈ R[G] ισχύουν τα
παρακάτω
a+b=a+b
ab = ba
a=a
Η ενελικτική απεικόνιση επιτρέπει να θεωρήσουμε κάθε module (δεξιό ή αριστερό)
σαν bimodule. Θα δώσουμε την κατασκευή για αριστερά modules. ΄Εστω R ένας
δακτύλιος με ενελικτική απεικόνιση όπως πιο πάνω και M ένα αριστερό module.
Ορίζουμε έναν δεξιό πολλαπλασιασμό στο M :
m.r = r.m, για κάθε m ∈ M, r ∈ R.
Είναι εύκολο να ελέγξουμε ότι μ΄ αυτήν την πράξη, το M είναι R-bimodule.
Ορισμός 1.8.5. ΄Εστω R ενας μεταθετικός δακτύλιος με μοναδιαίο στοιχείο
και G = {g1 , . . . , gn } μια πεπερασμένη
από τον δακτύλιοPnομάδα. Η απεικόνιση
Pn
ομάδα RG στον R που ορίζεται απο
a
g
→
7
a
είναι
ομομορφισμός
i=1 i i
i=1 i
και ονομάζεται απεικόνιση επαύξησης (augmentation). Ο πυρήνας της
απεικόνισης επαύξησης, το ιδεώδες επαύξησης, είναι το σύνολο των στοιχείων
του RG, των οποίων το άθροισμα των βαθμωτών είναι ίσο με 0. Αφού η απεικόνιση
επαύξησης είναι επι, ο δακτύλιος πηλίκο είναι ισόμορφος με τον R.
Στους διανυσματικούς χώρους πεπερασμένης διάστασης, η διάσταση ορίζει την
κλάση ισομορφίας των χώρων. Κάτι τέτοιο δεν συμβαίνει πάντα στα πεπερασμένα
παραγόμενα ελεύθερα modules.
Ορισμός 1.8.6. ΄Ενας δακτύλιος R έχει την (αριστερή) ιδιότητα αναλλοίωτης
βάσης (invariant basis property) εάν, όποτε Rn ∼
= Rm , σαν αριστερά ελεύθερα
modules, τότε m = n.
22 · Αλγεβρικες δομες
Οι περισσότεροι δακτύλιοι που εμφανίζονται στην εργασία αυτή έχουν την
ιδιότητα αναλλοίωτης βάσης.
Παράδειγμα 1.8.7. Δίνουμε παραδείγματα δακτυλίων που ικανοποιούν ή δεν
ικανοποιούν την ιδιότητα αναλλοίωτης βάσης.
(i) Κάθε σώμα ικανοποιεί την ιδιότητα αναλλοίωτης βάσης.
(ii) Ο δακτύλιος των ακεραίων Z ικανοποιεί την ιδιότητα αναλλοίωτης βάσης.
Αυτό είναι συνέπεια της ταξινόμησης των πεπερασμένα παραγόμενων αβελειανών ομάδων.
(iii) ΄Εστω V είναι ένα ελεύθερο αριστερό K-module (K ένας τυχαίος δακτύλιος). ΄Εστω R = EndK (V ), ο δακτύλιος των K-ενδομορφισμών του V
(ο πολλαπλασιασμός δίνεται από την σύνθεση ενδομορφισμών). ΄Εχουμε ότι
V ⊕V ∼
= V , σαν αριστερά K-modules. Επειδή το V είναι ελεύθερο αριστερό
K-module, είναι επίσης και δεξί module. ΄Ετσι έχουμε:
R∼
= Hom(V, V ) ∼
= Hom(V ⊕V, V ) ∼
= Hom(V, V )⊕Hom(V, V )
όπου οι ισομορφισμοί είναι σαν δεξιά R-modules. ΄Αρα R ∼
= R⊕R και ο R
δεν ικανοποιεί την ιδιότητα αναλλοίωτης βάσης.
Πρόταση 1.8.8. ΄Εστω ότι για τον R έχουμε έναν επιμορφισμό f : R → S
και ο S έχει την ιδιότητα αναλλοίωτης βάσης. Τότε και ο R έχει την ιδιότητα
αναλλοίωτης βάσης.
Απόδειξη. ΄Εστω ότι M είναι ένα ελεύθερο (αριστερό) module με βάση X. Τότε
το S⊗R M είναι αριστερό ελεύθερο S-module με βάση X. Αυτό δείχνει ότι επειδή
ο S έχει την ιδιότητα αναλλοίωτης βάσης, το ίδιο συμβαίνει και για τον R.
Παράδειγμα 1.8.9. Δίνουμε βασικές εφαρμογές της Πρότασης:
(i) Κάθε μεταθετικός δακτύλιος R ικανοποιεί την ιδιότητα αναλλοίωτης βάσης.
Κι αυτό γιατί, σ΄ αυτήν την περίπτωση, εάν M είναι ένα μέγιστο ιδεώδες του
R, R/M είναι σώμα και f : R → R/M είναι επιμορφισμός.
(ii) ΄Εστω R[G] είναι ένας δακτύλιος-ομάδας όπου ο R ικανοποιεί την ιδιότητα
αναλλοίωτης βάσης τότε το ίδιο συμβαίνει και για τον R[G]. ΄Εστω ότι το I
είναι το ιδεώδες επαύξησης. Τότε έχουμε έναν επιμορφισμό.
f : R[G] → R[G]/I ∼
=R
Κεφάλαιο 2
K0
2.1
Ορισμός
Σ΄ αυτό το κεφάλαιο θα δώσουμε την γενική κατασκευή της ομάδας του Grothendieck μιας μεταθετικής ημιομάδας. Η κατασκευή αυτή γενικεύει την κατασκευή
των ακεραίων αριθμών από τους φυσικούς αριθμούς. Αυτό θα απότελέσει και την
βάση για τον ορισμό της ομάδας K0 ενός δακτυλίου.
Θεώρημα 2.1.1. ΄Εστω S μια μεταθετική ημιομάδα. Υπάρχει μια αβελιανή
ομάδα G (η ομάδα Grothendieck), μαζί με εναν ομομορφισμό ημιομάδων φ :
S → G, τέτοιον ώστε για κάθε ομάδα H και ομομορφισμό ψ : S → H, υπάρχει
ενας μοναδικός ομομορφισμός θ : G → H με ψ = θ ◦ φ.
Η μοναδικότητα ισχύει με την ακόλουθη ισχυρή έννοια: αν το φ′ : S → G′ είναι
οποιοδήποτε άλλο ζευγάρι με την ίδια ιδιότητα, τότε υπάρχει ενας ισομορφισμός
α : G → G′ με φ′ = α ◦ φ.
Απόδειξη. Ορίζουμε το G ως το σύνολο των κλάσεων ισοδυναμίας των ζευγαριών
(x, y) με x, y ∈ S, όπου (x, y) ∼ (u, v) αν και μόνο αν υπάρχει κάποιο t ∈ S τέτοιο
ώστε
x + v + t = u + y + t στο S.
Συμβολίζουμε με [(x, y)] την κλάση ισοδυναμίας του (x, y). Τότε η πρόσθεση
ορίζεται με τον κανόνα
[(x, y)] + [(x′ , y ′ )] = [(x + x′ , y + y ′ )].
Παρατηρούμε ότι για κάθε x και y στο S,
[(x, x)] = [(y, y)].
΄Εστω 0 το στοιχείο [(x, x)]. Αυτό είναι ένα ταυτότικό στοιχείο για το G αφού
για κάθε x, y και t στο S,
(x + t, y + t) ∼ (x, y).
Επίσης, η G είναι ομάδα αφού κάθε στοιχείο έχει αντίστροφο
[(x, y)] + [(y, x)] = [(x + y, x + y)] = 0.
24 · K0
Ορίζουμε τον ομομορφισμό φ : S → G με
φ(x) = [(x + x, x)].
Η εικόνα του φ παράγει την G σαν ομάδα, αφού
[(x, y)] = φ(x) − φ(y) ∈ G.
Με δεδομένη την ομάδα H και τον ομομορφισμό ψ : S → H, ο ομομορφισμός
θ : G → H με ψ = θ ◦ φ ορίζεται ως
θ([(x, y)]) = ψ(x) − ψ(y).
Για την απόδειξη της μοναδικότητας, παρατηρούμε ότι από τις ιδιότητες των G
και G′ , υπάρχουν μοναδικές απεικονήσεις α : G → G′ και β : G′ → G τέτοιες
ώστε το παρακάτω διάγραμμα να είναι μεταθετικό
φ
S
G
β
φ′
α
′
G
Παίρνουμε τωρα το διάγραμμα
φ
S
G
1G
φ
β◦α
G
Λόγω της μοναδικότητας του ομομορφισμού θα πρέπει β ◦ α = 1G .
΄Ομοια α ◦ β = 1G′ .
Θεώρημα 2.1.2. Η απεικόνιση του προηγούμενου θεωρήματος φ : S → G είναι
1-1 αν και μόνο αν ισχύει ο νόμος διαγραφής, δηλαδή x + z = y + z ⇒ x = y για
κάθε x, y, z ∈ S.
Απόδειξη. ΄Εστω ότι το S ικανοποιεί τον νόμο διαγραφής. Θα δείξουμε ότι η φ
είναι 1-1. ΄Εστω ότι φ(x) = φ(y). ΄Εχουμε
[(x + x, x)] = [(y + y, y)] ⇒ x + x + y = y + y + x ⇒ x = y.
Φυσικά οι διαγραφές γίνονται γιατί το S ικανοποιεί τον νόμο της διαγραφής.
Αντίστροφα:
x+z =y+z
⇒ φ(x + z) = φ(y + z)
⇒ [(x + z, y + z)] = 0
⇒ [(x, y)] = 0 ⇒ φ(x) = φ(y) ⇒ x = y
Παράδειγμα 2.1.3. Το N με πράξη την πρόσθεση είναι ένα μεταθετικό μονοειδές με ταυτοτικό το 0. ΄Εστω G η ομάδα Grothendieck που ορίσαμε στο προηγούμενο θεώρημα.
Αν για κάθε n ∈ N απεικονίσουμε το n στο (n, 0) ∈ G και το −n στο (0, n) ∈ G,
παρατηρούμε ότι η G ταυτίζεται με το Z με πράξη την πρόσθεση.
2.1 Ορισμος · 25
Παρατηρούμε ότι οι κλάσεις ισομορφισμού των (δεξιών) πεπερασμένα παραγόμενων προβολικών modules πάνω στον R, σχηματίζουν ενα μεταθετικό μονοειδές
ProjR, με πράξη το ⊕ και ταυτοτικό στοιχείο το 0-module.
(i) Το P rojR είναι σύνολο γιατί περιέχει τις κλάσεις ισομορφισμού των πεπερασμένα παραγόμενων modules.
(ii) Το ευθύ γινόμενο είναι καλά ορισμένο στις κλάσεις ισομορφισμού:Αν P ∼
= P′
′
′
′
και Q ∼
= Q , τότε P ⊕ Q ∼
=P ⊕Q.
(iii) Τρίτον, το ευθύ γινόμενο είναι μεταθετικό (P ⊕ Q ∼
= Q ⊕ P ) και προσεταιριστικό ((P ⊕ Q) ⊕ V ∼
= P ⊕ (Q ⊕ V )) στις κλάσεις ισομορφισμού.
Ορισμός 2.1.4. ΄Εστω R ένας δακτύλιος με μοναδιαίο στοιχείο. Τότε η K0 (R)
είναι η ομάδα Grothendieck της ημιομάδας P rojR των κλάσεων ισομορφισμού των
πεπερασμένα παραγόμενων προβολικών modules στο R.
Θεώρημα 2.1.5 (Φυσικές ιδιότητες). Αν φ : R → R′ είναι ένας R-ομομορφισμός
τότε υπάρχει ένας επαγόμενος ομομορφισμός
K0 (φ) = φ∗ : K0 (R) → K0 (R′ )
τέτοιος ώστε:
(i) Αν φ = 0 τότε K0 (φ) = 0.
(ii) Αν R = R′ και φ = 1R τότε K0 (φ) = 1K0 (R) .
(iii) ΄Εστω ψ : R′ → R′′ . Τότε:
K0 (ψ ◦ φ) = K0 (ψ) ◦ K0 (φ)
Απόδειξη. ΄Εστω φ∗ ([P ]) = P ⊗φ R′ όπου R′ είναι ένα αριστερό R-module με
δράση r · r′ = φ(r) · r′ .
(i) Αν φ = 0 τότε το φ∗ ([P ]) = P ⊗φ R′ παράγεται από:
x ⊗ r ′ = x · 1R ⊗ r ′
=
x ⊗ 1R · r ′
=
=
x ⊗ φ(1R ) · r′
x⊗0=0
(ii) K0 (φ([P ])) = φ∗ ([P ]) = [P ⊗R R] = [P ] = 1K0 (R) ([P ])
(iii) Παρατηρούμε ότι
K0 (ψ ◦ φ)([P ]) = [P ⊗ψ◦φ R′′ ]
και
K0 (ψ) ◦ K0 (φ)([P ])
=
=
K0 (ψ)(K0 (φ)([P ])
K0 (ψ)(P ⊗φ R′ )
=
(P ⊗φ R′ ) ⊗ψ R′′ .
Αρκεί τώρα να δείξουμε ότι [P ⊗ψ◦φ R′′ ] ∼
= (P ⊗φ R′ ) ⊗ψ R′′ .
Ορίζουμε την συνάρτηση:
α : P ⊗ψ◦φ R′′ → P ⊗φ R′ ⊗ψ R′′
α(p ⊗ r′′ ) = p ⊗ 1R′ ⊗ r′′
26 · K0
(αʹ) Η α είναι καλά ορισμένη
α(pr ⊗ r′′ ) = pr ⊗ 1R′ ⊗ r′′
= p ⊗ φ(r) · 1R′ ⊗ r′′
= p ⊗ 1R ⊗ φ(r) ⊗ r′′
= p ⊗ 1R ⊗ ψ(φ(r)) · r′′ = α(p ⊗ r · r′′ ).
(βʹ) Η α είναι επί
p ⊗ r′ ⊗ r′′ = p ⊗ 1R · r′ ⊗ r′′ = p ⊗ 1R ⊗ ψ(r′ ) · r′′ = α(p ⊗ ψ(r′ ) · r′′ ).
(γʹ) Η α είναι 1-1 αφού η
β : P ⊗φ R′ ⊗ψ R′′ → P ⊗ψ◦φ R′′
β(p ⊗ r′ ⊗ r′′ ) → p ⊗ ψ(r′ ) · r′′
είναι καλά ορισμένη.
΄Αρα η α είναι ισομορφισμός και [P ⊗ψ◦φ R′′ ] ∼
= (P ⊗φ R′ ) ⊗ψ R′′ .
Πρόταση 2.1.6. ΄Εστω [P ], [Q] ∈ K0 (R). Τότε [P ] = [Q] αν και μόνο αν
P ⊕ Rn ∼
= Q ⊕ Rn .
Απόδειξη. Εάν P ⊕ Rn ∼
= Q ⊕ Rn , τότε στην K0 (R),
[P ⊕Rn ] = [Q⊕Rn ] ⇒ [P ]+[Rn ] = [Q]+[Rn ] ⇒ [P ]+n[R] = [Q]+n[R] ⇒ [P ] = [Q].
Αν [P ] = [Q] ∈ K0 (R) τότε, από τον ορισμό της ομάδας του Grothendieck
έχουμε ότι
([P ], [Q]) = ([X], [X]) ∈ P roj(R),
για ένα πεπερασμένα παραγόμενο προβολικό R-module X. ΄Αρα
[P ] + [X] = [Q] + [X] ⇒ [P ⊕X] = [Q⊕X] ⇒ P ⊕X ∼
= Q⊕X.
Αφού το X είναι προβολικό, υπάρχει ένα R-module Y τέτοιο ώστε X ⊕ Y = Rn
για n ∈ N. ΄Αρα:
P ⊕X ∼
= Q ⊕ Rn .
= Q ⊕ X ⊕ Y ⇒ P ⊕ Rn ∼
=Q⊕X ⇒P ⊕X ⊕Y ∼
Παράδειγμα 2.1.7. Αν R είναι ένα σώμα, τότε κάθε πεπερασμένα παραγόμενο R-module είναι διανυσματικός χώρος με καλά ορισμένη διάσταση. ΄Εστω
ο ισομορφισμός P rojR → N ο οποίος απεικονίζει το κάθε στοιχείο του P rojR
στην διάστασή του (P rojR ∼
= N). Η ομάδα Grothendieck του N είναι το Z, άρα
K0 (R) ∼
Z.
=
Παράδειγμα 2.1.8. Αν R είναι ενα σώμα και πάρουμε τα αριθμήσιμα παραγόμενα R-modules, τότε το μονοειδές των κλάσεων ισομορφισμού θα είναι ισόμορφο
με το N ∪ {∞}, με n + ∞ = ∞ για κάθε n. Αυτό ομως θα έχει σαν απότέλεσμα
οποιαδήποτε δυο στοιχεία να είναι ισόμορφα αν τους προσθέσουμε το ∞. ΄Ετσι η
ομάδα Grothendieck αυτού του μονοειδούς είναι τετριμμένη.
2.1 Ορισμος · 27
Παράδειγμα 2.1.9. ΄Εστω R = Z. Τα Z-modules είναι αβελιανές ομάδες.
΄Εστω P πεπερασμένα παραγόμενη αβελιανή ομάδα που είναι προβολικό Z-module.
Τότε το P δεν περιέχει στρέψη (δεν περιέχει στοιχείο με πεπερασμένη τάξη),
γιατί τότε θα ίσχυε P = Zn ⊕ A, με A ∼
= Zk το ελεύθερο module. Σ΄ αυτή την
περίπτωση η ακολουθία
f
g
0→Z−
→Z⊕A−
→ Zn ⊕ A → 0
όπου f (x) = (nx, 0) και g(x, a) = ([x], a), είναι ακριβής αλλά όχι διασπώμενη.
Αυτό το δείξαμε για n = 2. ΄Αρα τα προβολικά Z-modules είναι και ελεύθερα
Z-modules. Επίσης, από το Θεμελιώδες θεώρημα πεπερασμένα παραγόμενων αβελιανών ομάδων,
Zn ∼
= Zm ⇔ n = m
Επομένως P rojZ ≃ N και K0 (Z) = Z.
Δίνουμε ακόμη ένα παράδειγμα όπου χρησιμοποιούμε την ιδιότητα αναλλοίωτης
βάσης.
Παράδειγμα 2.1.10. ΄Εστω R ο δακτύλιος του Παραδείγματος 1.8.7, το τρίτο
μέρος. Ο R ικανοποιεί την σχέση R ∼
= R⊕R, σαν δεξιά R-modules. Για ένα
αριστερό πεπερασμένα παραγόμενο προβολικό module P έχουμε:
P ∼
= P ⊗R R ∼
= P ⊗R (R⊕R) ∼
= P ⊗R R⊕P ⊗R R ∼
= P ⊕P
΄Αρα [P ] = [P ] + [P ] ∈ K0 (R), και συνεπώς [P ] = 0 και K0 (R) = 0.
Εάν ο R έχει μονάδα τότε υπάρχει ένας ομομορφισμός δακτυλίων
ι : Z → R, με ι(1) = 1
΄Αρα έχουμε
ι∗ : K0 (Z) = Z → K0 (R).
Ορισμός 2.1.11. ΄Εστω R ένας δακτύλιος με μοναδιαίο στοιχείο.
Η Περιορισμένη K0 -ομάδα του R, είναι η ομάδα πηλίκο
˜ 0 (R) = coker(ι∗ ) = K0 (R)/ι∗ (Z).
K
Τα επόμενα παραδείγματα είναι άμεση συνέπεια των προηγούμενων υπολογισμών.
Παράδειγμα 2.1.12. ΄Εστω F ένα σώμα. Τότε
˜ 0 (F ) = 0.
K
Παράδειγμα 2.1.13. ΄Εστω R ένας Ευκλείδιος Δακτύλιος. Τότε
˜ 0 (R) = 0.
K
˜ 0 (R). Τότε [P ] = [Q] αν και μόΠρόταση 2.1.14. ΄Εστω [P ], [Q] ∈ K
νο αν υπάρχουν πεπερασμένα παραγόμενα ελεύθερα R-modules F1 και F2 τέτοια
ώστε:P ⊕ F1 ∼
= Q ⊕ F2 .
28 · K0
∼ Q⊕F2 , τότε [P ] = [Q] ∈ K
˜ 0 (R) γιατί
Απόδειξη. Είναι προφανές ότι εάν P ⊕F1 =
˜ 0 (R).
τα ελεύθερα modules παραστούν το 0 στο K
˜ 0 (R), τότε [P ] = [Q] ⊕ Rk , k ∈ N στο K0 (R) (Πρόταση
Αν [P ] = [Q] στο K
2.1.6). ΄Αρα
[P ] = [Q ⊕ Rk ] ⇒ P ⊕ Rn ∼
= Q ⊕ Rm , m ∈ N.
= Q ⊕ Rn ⊕ Rk ⇒ P ⊕ Rn ∼
Ορισμός 2.1.15. ΄Ενα πεπερασμένα παραγόμενο R-module M λέγεται σταθερά ελεύθερο αν υπάρχουν πεπερασμένα παραγόμενα ελεύθερα R-modules F
και G τέτοια ώστε
M ⊕F ∼
= G.
Από το προηγούμενο αποτέλεσμα έχουμε το ακόλουθο.
˜ 0 (R)
Πόρισμα 2.1.16. ΄Εστω M ένα προβολικό R-module. Τότε [M ] = 0 ∈ K
εάν και μόνο εάν [M ] είναι ένα σταθερά ελεύθερο R-module.
2.2
Προβολές
Σ΄ αυτό το κεφάλαιο υποθέτουμε ότι ο R ικανοποιεί την ιδιότητα αναλλοίωτης
βάσης. ΄Ενας πίνακας p ∈ M (n, R) ονομάζεται προβολή εάν p2 = p. οι προβολές
συνδέονται άμεσα με τα προβολικά modules.
Πρόταση 2.2.1. ΄Ενα module P είναι προβολικό εάν και μόνο εάν υπάρχει μια
προβολή p ∈ M (n, R) έτσι ώστε:
P = Im(p : Rn → Rn ).
΄Ολα τα modules είναι αριστερά.
Απόδειξη. ΄Εστω ότι P είναι προβολικό. Τότε υπάρχει Q έτσι ώστε P ⊕Q = Rn .
Ορίζουμε
(10)
p : Rn = P ⊕Q −−→ P ⊕Q = Rn .
΄Εχουμε p2 = p και Im(p) = P .
΄Εστω p : Rn → Rn είναι μια προβολή και P = Im(p). Είναι άμεσο ότι,
εάν Q = Im(1 − p), τότε P ⊕Q = Rn . Το μόνο που χρειάζεται να δείξουμε ότι
P ∩Q = {0}. ΄Εστω a ∈ P ∩Q. Τότε υπάρχουν x, y ∈ Rn έτσι ώστε
a = p(x) = (1 − p)(y) =⇒ p2 (x) = p(1 − p)(y) =⇒ p(x) = 0 = a
κι αυτό γιατί p(1 − p) = p − p2 = p − p = 0.
Τώρα χαρακτηρίζουμε πότε δύο προβολικά modules είναι ισόμορφα.
Λήμμα 2.2.2. ΄Εστω p ∈ M (n, R) και q ∈ M (m, R) είναι δύο προβολές που
ορίζουν δύο προβολικά modules P και Q αντίστοιχα. Τότε P ∼
= Q εάν και μόνο
εάν υπάρχει k ≥ max{n, m} έτσι ώστε
q⊕0k−m = u(p⊕0k−n )u−1 ,
όπου 0∗ είναι ο μηδενικός (∗×∗)-.πίνακας
u ∈ GL(k, R)
2.2 Προβολες · 29
∼ Im(p⊕0∗ ). ΄Αρα μπορούμε να υποΑπόδειξη. Πρώτα παρατηρούμε ότι Im(p) =
θέσουμε ότι οι προβολές έχουν το ίδιο μέγεθος. Επίσης, εάν upu−1 = q, τότε
∼
=
u : Im(p) −
→ Im(q).
Παρατηρούμε up(x) = qu(x) ∈ Im(q). ΄Αρα P ∼
=Q
΄Εστω τώρα f : P ∼
= Q. ΄Εστω P ′ = Im(1 − p) και Q′ = Im(1 − q).
Επεκτείνουμε τον f :
(f 0)
α : Rn = P ⊕P ′ −−−→ Q⊕Q′ = Rm .
΄Ομοια, έχουμε έναν ομομορφισμό β : Rm → Rn που επεκτείνει τον f −1 . ΄Ετσι ο α
καθορίζεται από έναν n×m-πίνακα a και ο β από έναν m×n-πίνακα b. Μπορούμε
να ελέγξουμε τις σχέσεις:
ab = p, ba = q, a = pa = qa, b = qb = bp.
Θέτουμε k = n + m και παρατηρούμε:
2 1−p
a
1 0
=
b
1−q
0 1
και επίσης
1−p
a
p 0
1−p
b
1−q
0 0
b
a
1−q
=
1−p
b
a
1−q
0
0
a
0
0 0
=
0 q
και ο πρώτος πίνακας μας δείχνει ότι το p⊕0 είναι συζυγής του 0⊕q. Ο τελευταίος
πίνακας είναι συζυγής με τον q⊕0 μέσω ενός πίνακα μεταθέσεων.
Ορισμός 2.2.3. ΄Εστω R ένας δακτύλιος. Συμβολίζουμε με M (n, R) το σύνολο
των n × n πινάκων πάνω στο R και με GL(n, R) την ομάδα των n × n πινάκων
πάνω στο R. Ορίζουμε εμφυτεύσεις:
a 0
a
M (n, R) ֒→ M (n+1, R), a 7→
, GL(n, R) ֒→ GL(n+1, R), a 7→
0 0
0
Συμβολίζουμε με
M (R) =
∞
[
n=1
M (n, R), GL(R) =
∞
[
GL(n, R)
n=1
τις άπειρες ενώσεις των M (n, R) και GL(n, R) αντίστοιχα. Το M (R) είναι δακτύλιος χωρίς μοναδιαίο στοιχείο και το GL(R) είναι ομάδα.
Ορισμός 2.2.4. ΄Εστω Idemp(R) είναι το σύνολο των προβολών στο M (R).
Τότε η GL(R) δρα στο Idemp(R) μέσω συζυγιών.
Το προηγούμενο Λήμμα μπορεί να γραφτεί ως εξής.
Θεώρημα 2.2.5. Για κάθε δακτύλιο R, το σύνολο P roj(R) μπορεί να ταυτιστεί
με το σύνολο των τροχιών της δράσης του GL(R) στο Idemp(R). Η πράξη της
ημιομάδας αντιστοιχεί:
p 0
(p, q) 7→
0 q
0
1
.
30 · K0
Χρησιμοποιώντας το προηγούμενο θεώρημα, θα δείξουμε την ισοδυναμία Morita.
Θεώρημα 2.2.6. Για κάθε δακτύλιο R έχουμε έναν ομομορφισμό:
K0 (R) ∼
= K0 (M (n, R)),
n ≥ 1.
Απόδειξη. ΄Εχουμε ότι M (k, M (n, R)) ∼
= M (kn, R) και συνεπώς
Idemp(M (n, R)) = Idemp(R),
Το αποτέλεσμα ακολουθεί άμεσα.
GL(M (n, R)) = GL(R).
Κεφάλαιο 3
K1
3.1
K1
Σ΄ αυτό το κεφάλαιο ορίζουμε το K1 ενός δακτυλίου. Ουσιαστικά η ομάδα αυτή
μετράει κατά πόσο αντιστρέψιμοι πίνακες με στοιχεία από τον δακτύλιο μπορούν
να γραφούν σαν γινόμένα στοιχειωδών πινάκων.
΄Οπως και στο προηγούμενο κεφάλαιο:
[
M (R) =
M (n, R), GL(R) = ∪n≥1 GL(n, R).
n≥1
Ορισμός 3.1.1. Στοιχειώδη (elementary) ονομάζουμε ένα πίνακα n × n
αν τα στοιχεία της διαγωνίου του είναι 1 και όλα τα άλλα εκτός από τουλάχιστον
ένα είναι μηδενικά. Αν a ∈ R και i 6= j, 1 ≤ i, j ≤ n, ορίζουμε τον στοιχειώδη
(n × n) πίνακα eij (a), ο οποίος έχει την τιμή a στη θέση (i, j). Η υποομάδα του
GL(n, R) που παράγεται από τέτοιους πίνακες συμβολίζεται με E(n, R). Μέσω
της εμφύτευσης της GL(n, R) στη GL(n + 1, R) η E(n, R) εμφυτεύεται στο
E(n + 1, R). Η άπειρη ένωση των E(n, R) συμβολίζεται E(R) και ονομάζεται η
ομάδα των στοιχειωδών πινάκων.
Λήμμα 3.1.2. Οι στοιχειώδεις πίνακες πάνω στον δακτύλιο R ικανοποιούν τις
παρακάτω σχέσεις:
(i) eij (a)eij (b) = eij (a + b),
(ii) eij (a)ekt (b) = ekt (b)eij (a), j 6= k και i 6= l,
(iii) eij (a)ejk (b)eij (a)−1 ejk (b)−1 = eik (ab), i, j, k διακεκριμένα,
(iv) eij (a)eki (b)eij (a)−1 eki (b)−1 = ekj (−ba), i, j, k διακεκριμένα.
Επίσης, κάθε ανω τριγωνικός ή κάτω τριγωνικός πίνακας με 1 στην κύρια διαγώνιο,
ανήκει στη E(R).
Απόδειξη. Οι πρώτες σχέσεις είναι συνέπεια απλών πολλαπλασιασμών.
΄Εστω A = (aij ) ∈ GL(n, R) ένας άνω τριγωνικός πίνακας με 1 στην κύρια
διαγώνιο. Τότε ο
A′ = (a′ij ) = Ae12 (−a12 )e23 (−a23 ) . . . en−1,n (−an−1,n )
32 · K1
είναι πάλι άνω τριγωνικός με 1 στην κύρια διαγώνιο αλλά με 0 στην διαγώνιο
j − i = 1. ΄Εστω τώρα ο
A′′ = (a′′ij ) = Ae13 (−a′13 )e24 (−a′24 ) . . . en−2,n (−a′n−2,n )
ο οποίος είναι ανω τριγωνικός με 1 στην κύρια διαγώνιο και 0 στις διαγωνίους
j − i = 1, 2. Συνεχίζοντας κατά τον ίδιο τρόπο κάνουμε μια ακολουθία πινάκων
στη GL(n, R), κάθε ένας από τους οποίους είναι γινόμενο του προηγούμενού του
(k)
και ενός στοιχείου του E(n, R). ΄Ολοι αυτοί οι aij πίνακες είναι άνω τριγωνικοί με
1 στην κύρια διαγώνιο και 0 στις διαγωνίους j −i = 1, 2, . . . , k. ΄Ετσι A(n−1) = 1n ,
ο n × n ταυτοτικός πίνακας. ΄Αρα A ∈ E(n, R). Με τον ίδιο τρόπο αποδεικνύουμε
και την περίπτωση του κάτω τριγωνικού πίνακα.
A
0
Πόρισμα 3.1.3. Για κάθε πίνακα A ∈ GL(n, R), ο 2n×2n πίνακας
0 A−1
ανήκει στην E(2n, R).
Απόδειξη.
A
0
1
=
0 A−1
0
οπου
0 −1
1 0
=
A
1
1
0
1
−A−1
−1
1
0
1
1 0
1 1
1 A
0 1
1 −1
0 1
0 −1
1 0
.
΄Αρα αφού γράφεται ως γινόμενο ανω και κάτω τριγωνικών πινάκων, ανήκει στην
E(2n, R).
Λήμμα 3.1.4 (Whitehead). Για κάθε δακτύλιο R, οι μεταθέτριες υποομάδες
του GL(R) και του E(R) συμπίπτουν με E(R). Συγκεκριμένα η E(R) είναι κανονική υποομάδα της GL(R) και η ομάδα πηλίκο GL(R)/E(R) είναι το μεγιστικό
αβελιανό πηλίκο GL(R)ab της GL(R).
Απόδειξη. Αφού E(R) ⊂ GL(R), [E(R), E(R)] ⊂ [GL(R), GL(R)]. Επίσης για
i, j και k διακριτά,
eij (a) = eik (a)ekj (1)eik (a)−1 ekj (1)−1 = [eik (a), ekj (1)].
΄Ετσι κάθε γεννήτορας της E(R) είναι μεταθέτης δύο άλλων γεννητόρων και
αρα[E(R), E(R)] = E(R). Μένει να δείξουμε οτι [GL(R), GL(R)] ⊂ E(R).
΄Εστω A, B ∈ GL(n, R). Εμφυτεύουμε την GL(n, R) στην GL(2n, R) και υπολογίζουμε οτι
−1
−1
ABA−1 B −1 0
AB
0
A
0
B
0
=
.
0
1
0
B −1 A−1
0
A
0
B
΄Ολοι οι παράγοντες ανήκουν στην E(2n, R), άρα
ABA−1 B −1 ∈ E(R).
Ορισμός 3.1.5. Αν R είναι ένας δακτύλιος (με μοναδιαίο στοιχείο), ορίζουμε
το K1 (R) να είναι η GL(R)ab = GL(R)/E(R).
3.1 K1 · 33
Αν A, B ∈ GL(R), το γινόμενο των αντίστοιχων κλάσεων [A], [B] ∈ K1 (R)
μπορεί να αναπαρασταθείμε δύο τρόπους.
Πρώτον, [A] · [B] = [AB]. Δεύτερον
A 0
μέσω πινάκων A ⊕ B =
, και αφού
0 B
−1
A 0
AB 0
B
0
=
,
0 B
0
1
0
B
−1
B
0
αλλα από το πόρισμα,
∈ E(R). ΄Αρα
0
B
[A ⊕ B] = [AB ⊕ 1] = [AB].
Πρόταση 3.1.6. ΄Αν R είναι ένας μεταθετικός δακτύλιος και R× = GL(1, R)
είναι η ομάδα των μονάδων, η ορίζουσα det : GL(n, R) → R× επεκτείνεται σε
ένα διασπώμενο επιμορφισμό GL(R) → R× και έτσι μας δίνει ένα διασπώμενο
επιμορφισμό K1 (R) → R× .
Απόδειξη. Παρατηρούμε οτι det(A⊕1) = detA, οπότε οι ορίζουσες στην GL(n, R)
για διάφορα n είναι συμβατές με τις εμφυτεύσεις της GL(n, R) στην GL(m, R) για
n < m. Αφου det(AB) = det(A)det(B), παίρνουμε έναν ομομορφισμό GL(R) →
R× . Υπάρχει μια διάσπαση που ορίζεται από R× = GL(1, R) ֒→ GL(R).
Ορισμός 3.1.7. Οταν ο R είναι μεταθετικός, συμβολίζουμε τους πίνακες με
ορίζουσα 1 της GL(n, R) με SL(n, R) και της GL(R) με SL(R). Αφού κάθε στοιχειώδης πίνακας έχει ορίζουσα 1, E(R) ⊂ SL(R). Η ομάδα πηλίκο SL(R)/E(R)
συμβολίζεται με SK1 (R).
Πρόταση 3.1.8. ΄Αν F είναι ένα (μεταθετικό) σώμα, τότε η SK1 (F ) είναι
τετριμμένη και η ορίζουσα επάγει έναν ισομορφισμό det : K1 (F ) → F × .
Απόδειξη. ΄Αν A = (aij ) ∈ GL(n, F ), τότε η πρώτη στήλη του A δεν μπορεί να
απότελείται από 0, αφού τότε ο πίνακας δεν θα ήταν αντιστρέψιμος. Αρα ai1 6= 0
για κάποιο n. Αν i 6= 1, πολλαπλασιάζοντας με e1i (1)ei1 (−1)e1i (1) τοποθετούμε ένα μη μηδενικό στοιχείο στο σημείο (1, 1). Ετσι μπορούμε να υποθέσουμε
οτι a11 6= 0. Αρα τώρα μπορούμε να απαλείψουμε
ολα τα υπόλοιπα στοιχεία
a11 ∗
της στήλης. Αυτό φέρνει τον A στη μορφή
οπου A′ είναι ένας
0 A′
(n − 1) × (n − 1) πίνακας, με detA = a11 detA′ . Συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο
μπορούμε μεσω στοιχειωδών πράξεων να μετατρέψουμε τον A σε άνω τριγωνικό
πίνακα.
Μπορούμε λοιπόν να υποθέσουμε οτι ο A είναι ένας αντιστρέψιμος ανω τριγωνικός
πίνακας. Προσθέτοντας πολλαπλάσια των γραμμών, μπορούμε να απαλοίψουμε ολα
τα στοιχεία που δεν ανήκουν στην κύρια διαγώνιο του πίνακα και να δημιουργήσουμε τον αντιστρέψιμο διαγώνιο πίνακα D. Αφού οι στοιχειώδεις πράξεις γραμμών
δεν αλλάζουν την ορίζουσα, η ορίζουσα του πίνακα D είναι ίδια με αυτή του A.
Τέλος πολλαπλασιάζοντας με τους στοιχειώδεις πίνακες της μορφής
diag(1, . . . , 1, a, a−1 , 1, . . . , 1)
μπορούμε να μετατρέψουμε ολες εκτός από το πολύ μία τις τιμές της διαγωνίου
σε 1. Η μία διάφορη του 1 τιμή είναι ίδια με την ορίζουσα. ΄Αρα αν ο A έχει
διακρίνουσα ίση με 1, μετατρέπεται μεσω στοιχειωδών πράξεων στον ταυτοτικό
πίνακα. Με άλλα λόγια, SL(n, F ) = E(n, F ) και η SK1 (F ) είναι τετριμμένη.
34 · K1
Πόρισμα 3.1.9. ΄Εστω F ένα σώμα.
K1 (F ) = F × .
Θεώρημα 3.1.10. Αν R είναι μία Ευκλείδεια περιοχή, τότε η SK1 (R) εξαφανίζεται και K1 (R) ∼
= R× .
Απόδειξη. ΄Εστω A = (aij ) ∈ GL(n, R). Τα στοιχεία της πρώτης στήλης δεν
μπορεί να είναι όλα μηδέν, άρα υπάρχει κάποιο ai1 6= 0 με την μικρότερη νόρμα
από τα άλλα. Αν |ai1 | = 1, τότε το ai1 θα είναι μια μονάδα. Αν |ai1 | > 1, τότε
το ai1 δεν ειναι μια μονάδα, και έτσι παράγει ένα γνήσιο ιδεώδες (ai1 ). Απο την
άλλη, αφού ο A είναι αντιστρέψιμος, το ιδεώδες που παράγεται από τα στοιχεία
της πρώτης στήλης πρέπει αν είναι όλο στο R, και έτσι υπάρχει κάποιο j 6= i με
aj1 ∈
/ (ai1 ). Εφαρμόζοντας τον αλγόριθμο της διαίρεσης παίρνουμε aj1 = qai1 + r,
οπου |r| < |ai1 |. Αφού aj1 ∈
/ (ai1 ), r 6= 0 και έτσι |r| > 0. Αρα αφαιρώντας
τη q × (i-στή γραμμή του A) από την j-στή γραμμή, μπορούμε να μειώσουμε
την ελάχιστη νόρμα ενός μη μηδενικού στοιχείου στην πρώτη στήλη. Μόλις το
δείξουμε αυτό μπορούμε να μετατρέψουμε τον πίνακα ετσι ώστε στην πρώτη στήλη
να υπάρχει μονάδα. ΄Ετσι κάνοντας τα ίδια και στις επόμενες στήλες, μπορούμε να
συνεχίσουμε την απόδειξη όπως στη πρόταση 3.1.8.
Πόρισμα 3.1.11. K1 (Z) ∼
= {1, −1} ∼
= Z2 .
3.2
Ομάδα Whitehead
Ορισμός 3.2.1. Αν G είναι μια ομάδα, η ομάδα Whitehead W h(G) είναι
το πηλίκο της K1 (ZG) με την εικόνα του {±g : g ∈ G} ⊂ (ZG)× .
Παράδειγμα 3.2.2. ΄Εστω G η τετριμμένη ομάδα. Τότε
W h(G) = K1 (Z)/{±1} = {±1}/{±1} = e.
Παράδειγμα 3.2.3. ΄Εστω Z5 η κυκλική ομάδα τάξης 5, και t ο γεννήτορας
της. Θα δείξουμε ένα στοιχείο άπειρης τάξης του W h(G). ΄Εστω a = 1 − t − t−1 .
Παρατηρούμε ότι
(1 − t − t−1 )(1 − t2 − t3 ) = 1 − t − t−1 − t2 + t3 + t − t3 + t−1 + t2 = 1
οπότε το a είναι μονάδα άρα a ∈ (ZG)× . Ο ομομορφισμός
α : ZG → C, t 7→ e2πi/5
στέλνει το {±g : g ∈ G} στις πέμπτες ρίζες της μονάδας, και συγκεκριμένα στους
μιγαδικούς αριθμούς μοναδιαίου μέτρου. Οπότε η απεικόνιση
W h(G) → R×
+ , b 7→ |α(b)|
είναι ομομορφισμός στην πολλαπλασιαστική ομάδα των θετικών πραγματικών. Αφού
2π
|α(a)| = |1 − e2πi/5 − e−2πi/5 | = |1 − 2cos | ≃ 0.4,
5
η α μας δίνει ένα στοιχείο άπειρης τάξης στο W h(G).
΄Αρα W h(Z5 ) 6= 0.
3.2 Ομαδα Whitehead · 35
Παρατήρηση 3.2.4. Γενικά ισχύουν τα εξής για τις κυκλικές ομάδες.
(i) Οι μονάδες του Am = Z[Zm ] είναι της μορφής ±tn u (n ∈ Z) με u το
μοναδικό αντιστρέψιμο στοιχείο του Am που καθορίζεται από τις εξισώσεις:
Y
Y
u
(tri − 1)−ai = ±
(trj − 1)aj ∈ Am
ai <0
aj >0
για (a1 , . . . ak ) ∈ Zk που ικανοποιούν:
(αʹ) a1 + · · · + ak = 0 ∈ Z
(βʹ) r1a1 . . . rkak ≡ ±1modm
Το πρόσημο στην δεύτερη σχέση είναι έτσι ώστε
ε(u) = ±1 ∈ Z.
(ii) Η ομάδα W h(Zm ) είναι ελεύθερη αβελιανή διάστασης [m/2] + 1 − δ(m) όπου
δ(m) είναι ο αριθμός των θετικών διαιρετών του m.
(iii) W h(Z2 ) = 0 και, εάν ο m ≥ 3 είναι πρώτος, τότε δ(m) = 2 και W h(Zm ) =
Z(m−3)/2 .
(iv) W h(Zm ) = 0, m = 2, 3, 4, 6 και W h(Z5 ) ∼
= Z.
Παράδειγμα 3.2.5. Θα δείξουμε ότι W h(Z) = 0 ([5]).
Μπορούμε να δούμε την Z ως {ti |i = 0, ±1, ±2, . . . }, άρα η Z(Z) είναι ο
δακτύλιος Laurent
ακέραιους συντελεστές ή το σύνολο όλων των πεπερασμένων
P με
αθροισμάτων
n i ti :
)
( m
X
i
ni t : ni ∈ Z, s, m ∈ N .
Z(Z) =
i=−s
Παρατηρούμε ότι η Z(Z) έχει μόνο τετριμμένες μονάδες γιατί από την εξίσωση
(atα + · · · + btβ )(ctγ + · · · + dtδ ) = 1, (α ≤ · · · ≤ β, γ ≤ · · · ≤ δ, abcd 6= 0)
συνεπάγεται ότι α + γ = β + δ = 0. ΄Ετσι α = β, γ = δ, και αυτές οι μονάδες
είναι τετριμμένες.
Υποθέτουμε ότι (aij (t)) είναι ένας πίνακας n × n, που αναπαριστά ένα τυχαίο
στοιχείο W της W h(Z). Πολλαπλασιάζοντας κάθε γραμμή με την κατάλληλη
δύναμη του t, αν είναι απαραίτητο, μπορούμε να υποθέσουμε ότι κάθε στοιχείο
aij (t) περιέχει μη αρνητικές δυνάμεις του t. ΄Εστω q η μεγαλύτερη δύναμη του t
που υπάρχει στον πίνακα. Αν q > 1 τότε μπορούμε να πάρουμε έναν άλλο πίνακα
που να αναπαριστά το W στον οποίο η μεγαλύτερη δύναμη του t θα είναι q − 1.
Γράφοντας aij (t) = bij (t) + kij tq (kij ∈ Z) μπορούμε να πάρουμε
(aij (t)) t · In
(bij (t))
t · In
(aij (t)) ∼
∼
0
In
(−kji tq−1 )
In
Η τελευταία σχέση είναι συνέπεια του στοιχειώδους μετασχηματισμού που προσθέτει στην πρώτη στήλη το γινόμενο της δεύτερης επί (−kji tq−1 ). ΄Ετσι συνεχίζοντας επαγωγικά ως προς το q μπορούμε να υποθέσουμε οτι για κάθε i, j, aij (t) =
36 · K1
bij + cij t (bij , cij ∈ Z). ΄Ετσι ο W μπορεί να εκφραστεί ως ένας m × m πίνακας
με γραμμικές εγγραφές.
Η ορίζουσα του (aij (t)) είναι ίση με ±tp για κάποιο p. Αναλύοντας την ορίζουσα, παρατηρούμε οτι det(bij ) 6= 0 ή det(cij ) 6= 0. Υποθέτουμε οτι det(bij ) = 0.
Μπορούμε με τις κατάλληλες πράξεις να μετατρέψουμε τον πίνακα bij σε διαγώνιο
πίνακα με diag(b′11 , b′22 , . . . , b′kk , 0, . . . , 0). Εκτελώντας τις ίδιες πράξεις στον πίνακα (aij (t)), παίρνουμε τον a′ij (t) = b′ij + c′ij t ·οπου b′ij = 0 εκτός αν i = j ≤ k.
Συγκεκριμένα, η τελευταία σειρά έχει την μορφή
(c′m1 t c′m2 t . . . c′mm t)
Πολλαπλασιάζοντας την τελευταία σειρά με t−1 και εφαρμόζοντας στοιχειώδεις πράξεις, ο πίνακας (a′ij (t)) μπορεί να μετασχηματιστεί σε έναν n × n πίνακα (a′′ij (t))
με γραμμικές εγγραφές και τελευταία σειρά στην μορφή
(0 0 . . . 0 c′′mm )
για κάποιο c′′mm ∈ Z. Αλλά det(a′′ij (t)) = ±tp , αρα c′′mm = ±1. ΄Ετσι η τελευταία
0
0
στήλη μπορεί να μετασχηματιστεί σε ... και ο W αναπαρίσταται με έναν
0
1
(m − 1) × (m − 1) πίνακα με γραμμικές εγγραφές. Συνεχίζοντας επαγωγικά, ο W
μπορεί να αναπαρασταθεί με έναν 1×1 πίνακα (a). Αλλά τότε το a είναι τετριμμένη
μονάδα, άρα W = 0.
Ορισμός 3.2.6. ΄Εστω R ένας δακτύλιος και I ⊂ R ένα ιδεώδες. Το διπλό του
R πάνω στο I είναι ο υποδακτύλιος του καρτεσιανού γινομένου R × R που ορίζεται
ως
D(R, I) = {(x, y) ∈ R × R : x − y ∈ I}.
Αν G είναι μια κυκλική ομάδα με δύο στοιχεία και t ο γεννήτοράς της, η
απεικόνιση:
ZG → Z × Z, a + bt 7→ (a + b, a − b)
είναι εμφύτευση. Χρησιμοποιώντας τον προηγούμενο ορισμό, ο ομομορφισμός
αυτός είναι ένας ισομορφισμός από το ZG στο D(Z, (2)). Γι΄ αυτό χρειάζεται να
δείξουμε ότι κάθε στοιχείο του D(Z, (2)) έχει την μορφη (a + b, a − b). ΄Εστω
(x, y) ∈ D(Z, (2)). Τότε x − y = 2k. Θέτουμε b = k και a = x − k και έχουμε
το αποτέλεσμα. Οι μονάδες ±1, ±t του ZG αντιστοιχούν μέσα στο D(Z, (2)) στα
στοιχεία ±(1, 1) και ±(1, −1), τα οποία είναι όλες οι μονάδες του Z × Z, άρα ο
παραπάνω ισομορφισμός επάγει έναν ισομορφισμό W h(G) ∼
= SK1 (D(Z, (2))).
Η επόμενη απόδειξη είναι στο [4].
Θεώρημα 3.2.7. Η ομάδα Whitehead μιας κυκλικής ομάδας τάξης 2 είναι τετριμμένη.
Απόδειξη. Αρκεί να απόδείξουμε οτι η SK1 (D(Z, (2))) = 0. ΄Εστω (A, B) ∈
SL(n, D(Z, (2))). Αυτό σημαίνει ότι
A, B ∈ SL(n, Z),
A − B ≡ 0 mod 2.
3.2 Ομαδα Whitehead · 37
Από το θεώρημα 3.1.10, A ∈ E(n, Z). ΄Ετσι (A, A) ∈ E(n, D(Z, (2))). Πολλαπλασιάζοντας το (A, B) με το (A, A)−1 , βλεπουμε πως μπορουμε να υποθέσουμε ότι
A = 1n , ο n × n ταυτοτικός πίνακας. ΄Ετσι έστω ότι A = 1n και B ≡ 1n mod 2.
Αν μπορούσαμε να μετατρέψουμε μέσω στοιχειωδών πράξεων τον B = (bij ) στον
ταυτοτικό πίνακα, προσθέτοντας άρτια πολλαπλάσια κάποιας στήλης σε κάποια
άλλη, τότε θα ίσχυε (1, B) ∈ E(n, D(Z, (2))).
Θα εφαρμόσουμε τον αλγόριθμο διαίρεσης όπως στην απόδειξή του θεωρήματος
3.1.10. ΄Εστω (b21 , . . . , bn1 ) = b1 , ο μέγιστος κοινός διαιρέτης. Τότε ο b1 είναι
άρτιος και το b11 περιττός. Θα δείξουμε ότι, με στοιχειώδεις πράξεις, φέρνουμε
τον B στην μορφή
±1 ∗
B→
.
0 B′
Επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία και φέρνουμε τον πίνακα σε άνω τριγωνική
μορφή με ±1 στην κύρια διαγώνιο και άρτιες τιμές στις υπόλοιπες θέσεις. Κάνοντας κι΄ άλλες στοιχειώδεις πράξεις μπορούμε να κάνουμε τον B διαγώνιο με τιμές
±1 και αφού det B = 1, ο αριθμός των −1 θα είναι άρτιος.
Τώρα αρκεί να δείξουμε τι θα κάνουμε στην περίπτωση οπου n = 2
−1 0
B=
0 −1
αφού κάθε πίνακας είναι ευθύ άθροισμα τέτοιων πινάκων
και κάποιου ταυτοτικού
−1 0
πίνακα. Στην πραγματικότητα ο πίνακας
δεν ανήκει στην υποομάδα
0 −1 1 2
1 0
του SL(2, Z) που παράγεται από τους πίνακες
και
. ΄Ομως ο
0 1
2 1
πίνακας
1 0
−1 0
,
= (1, −1) ⊕ (1, −1)−1
0 1
0 −1
είναι στοιχειώδης ως πίνακας πάνω στο D(Z, (2)). Μένει να μετατρέψουμε το b11
σε ±1 και το b1 σε 0.
Αν |b11 | = 1, μπορούμε να αφαιρέσουμε άρτια πολλαπλάσια της πρώτης γραμμής
του B από τις άλλες γραμμές και να μετατρέψουμε το |b1 | σε 0. Αν |b1 | = 0, τότε
αφού (b11 ) + (b1 ) = Z, πρέπει να έχουμε |b11 | = 1. Αν |b11 | > 1 και |b1 | > 0,
υπάρχουν δύο περιπτώσεις, ανάλογα με το ποιό από αυτά είναι μεγαλύτερο.
(i) Αν |b11 | < |b1 |, τότε με τον αλγόριθμο διαίρεσης μπορούμε να γράψουμε
b1 = qb11 + r, 0 < r < |b11 |
(το r δεν μπορεί να είναι ίσο με 0 γιατί οι b11 και b1 είναι σχετικά πρώτοι).
Αν το q είναι άρτιος αριθμός, μπορούμε να μειώσουμε το |b1 | προσθέτοντας
άρτια πολλαπλάσια της πρώτης γραμμής στις άλλες γραμμές. Αν ο q είναι
περιττός, τότε το r είναι περιττός και γράφουμε b1 = (q ∓ 1)b11 + (r ∓ b11 ).
Με την κατάλληλη επιλογή του προσήμου, έχουμε 0 < |r ∓ b11 | < |b11 |,
αλλά ο q ± 1 είναι άρτιος και μπορούμε να το δείξουμε όπως στην πρώτη
περίπτωση.
(ii) Αν |b11 | > |b1 | εφαρμόζουμε τον αλγόριθμο διαίρεσης και παίρνουμε
b11 = qb1 + r, 0 < |r| < |b1 |
38 · K1
και r περιττός. Αν ο q είναι άρτιος, αυτό σημαίνει οτι μπορούμε να αφαιρέσουμε άρτια πολλαπλάσια των άλλων γραμμών από την πρώτη για να μειώσουμε
το |b11 |. Αν ο q είναι περιττός, γράφουμε όπως πριν b11 = (q ∓1)b1 +(r∓b1 ).
Με την κατάλληλη επιλογή του προσήμου, έχουμε 0 < |r ∓ b1 | < |b1 |. Αφαιρούμε άρτια πολλαπλάσια των άλλων γραμμών από την πρώτη και μειώνουμε
το |b11 |. Εφαρμόζοντας τον ίδιο αλγόριθμο σε πεπερασμένο αριθμό επαναλήψεων ερχόμαστε στην περίπτωση όπου |b11 | = 1.
Βιβλιογραφία
[1] T.W. Hungerford, Algebra, Springer-Verlag New York, 1974.
[2] D.S. Dummit, R.M. Foote, Abstract Algebra, John Wiley and Sons, 2004.
[3] L.R. Vermani, An Elementary Approach To Homological Algebra, Chapman & Hall/CRC, 2003.
[4] J. Rosenberg, Algebraic K-theory and its applications, Springer-Verlag New York, 1994.
[5] M.M. Cohen, A course in Simple Homotopy Theory, Springer-Verlag New
York, 1973.
© Copyright 2024 Paperzz
