Kvantitativne metode za poslovno odlučivanje
III. Konveksni skupovi i konveksne funkcije
Rudolf Scitovski, Ivan Vazler, Martina Briš
Odjel za matematiku, Sveučilište u Osijeku
Ekonomski fakultet u Osijeku
24. studenog 2012.
Rudolf Scitovski, Ivan Vazler, Martina Briš (Odjel za matematiku,
Kvantitativne
Sveučilište
metodeu Osijeku Ekonomski
24. fakultet
studenog
u Osijeku)
2012.
1 / 17
Sadržaj
1
Konveksni skupovi
Sustavi linearnih algebarskih nejednadžbi
Najbliža i najudaljenija točka
Lokalni i globalni minimum
Konveksna funkcija
Rudolf Scitovski, Ivan Vazler, Martina Briš (Odjel za matematiku,
Kvantitativne
Sveučilište
metodeu Osijeku Ekonomski
24. fakultet
studenog
u Osijeku)
2012.
2 / 17
Konveksni skupovi
Definicija
Skup S ⊆ Rn je konveksan ako za proizvoljne dvije točke x , y ∈ S i njihova
spojnica xy ⊆ S, tj.
∀x , y ∈ S
⇒
λx + (1 − λ)y ∈ S,
y
x
∀λ ∈ [0, 1].
y
x
Rudolf Scitovski, Ivan Vazler, Martina Briš (Odjel za matematiku,
Kvantitativne
Sveučilište
metodeu Osijeku Ekonomski
24. fakultet
studenog
u Osijeku)
2012.
3 / 17
Primjer
Presjek dva konveksna skupa je konveksan skup.
x , y ∈ S1
⇒
λx + (1 − λ)y ∈ S1
x , y ∈ S2
⇒
λx + (1 − λ)y ∈ S2
x , y ∈ S1 ∩ S2
⇒
x + (1 − λ)y ∈ S1
x , y ∈ S1
&
x , y ∈ S2
& x + (1 − λ)y ∈ S2
⇒
⇒
x + (1 − λ)y ∈ S1 ∩ S2
Definicija
Konveksna ljuska skupa S ⊆ Rn je najmanji konveksni skup koji sadrži
skup S.
Rudolf Scitovski, Ivan Vazler, Martina Briš (Odjel za matematiku,
Kvantitativne
Sveučilište
metodeu Osijeku Ekonomski
24. fakultet
studenog
u Osijeku)
2012.
4 / 17
Primjer
Konveksna ljuska skupa S ⊆ Rn može se zapisati kao skup svih konveksnih
kombinacija skupa S.
S = {x , y } ⊂ R;
{λx + (1 − λ)y : λ ∈ [0, 1]} – Segment [x , y ] ⊂ R
2
{λx + µy + νz : λ + µ + ν = 1} – Trokut 4xyz ⊂ R2
m
m
P
P
λi = 1} – Poligon conv(x1 , . . . , xm ) ∈ R2
S = {x1 , . . . , xm } ⊂ R2 ; { λi xi :
S = {x , y , z} ⊂ R ;
3
i=1
m
P
S = {x1 , . . . , xm } ⊂ R ; {
i=1
λ i xi :
i=1
m
P
λi = 1} – Poliedar conv(x1 , . . . , xm ) ∈ R3
i=1
Rudolf Scitovski, Ivan Vazler, Martina Briš (Odjel za matematiku,
Kvantitativne
Sveučilište
metodeu Osijeku Ekonomski
24. fakultet
studenog
u Osijeku)
2012.
5 / 17
Sustavi linearnih algebarskih nejednadžbi
Primjer
x +y ≥1
x −y ≤1
(a) x + y ≥ 1
(b) x − y ≤ 1
(c) x + y ≥ 1 & x − y ≤ 1
2.0
2.0
2.0
1.5
1.5
1.5
1.0
1.0
1.0
0.5
0.5
0.5
1
-1
2
3
1
-1
2
3
1
-1
-0.5
-0.5
-0.5
-1.0
-1.0
-1.0
2
Rudolf Scitovski, Ivan Vazler, Martina Briš (Odjel za matematiku,
Kvantitativne
Sveučilište
metodeu Osijeku Ekonomski
24. fakultet
studenog
u Osijeku)
2012.
3
6 / 17
Primjer
-4
-3
-2
3
x
2
2
x −y ≤1
1
− x2 −
1
-1
2
3
-1
+
y
3
≤1
y
2
≤1
x ≥ −3
y ≤3
-2
Poliedar nastaje kao presjek poluravnina.
Rudolf Scitovski, Ivan Vazler, Martina Briš (Odjel za matematiku,
Kvantitativne
Sveučilište
metodeu Osijeku Ekonomski
24. fakultet
studenog
u Osijeku)
2012.
7 / 17
Najbliža i najudaljenija točka
Neka je S ⊂ R2 poliedar, a, b ≥ 0 i r = ae1 + be2 vektor. Potražit ćemo točku
Tm ∈ S, koja je najbliža ishodištu O u smjeru vektora r i točku TM ∈ S, koja je
najudaljenija od ishodišta O u smjeru vektora r .
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
Rudolf Scitovski, Ivan Vazler, Martina Briš (Odjel za matematiku,
Kvantitativne
Sveučilište
metodeu Osijeku Ekonomski
24. fakultet
studenog
u Osijeku)
2012.
8 / 17
Najbliža i najudaljenija točka
Neka je S ⊂ R2 poliedar, a, b ≥ 0 i r = ae1 + be2 vektor. Potražit ćemo točku
Tm ∈ S, koja je najbliža ishodištu O u smjeru vektora r i točku TM ∈ S, koja je
najudaljenija od ishodišta O u smjeru vektora r .
5
4
3
2
1
1
Pravac p :
2
3
4
5
6
ax + by − c = 0, c ∈ R je okomiti na vektor r ;
Rudolf Scitovski, Ivan Vazler, Martina Briš (Odjel za matematiku,
Kvantitativne
Sveučilište
metodeu Osijeku Ekonomski
24. fakultet
studenog
u Osijeku)
2012.
8 / 17
Najbliža i najudaljenija točka
Neka je S ⊂ R2 poliedar, a, b ≥ 0 i r = ae1 + be2 vektor. Potražit ćemo točku
Tm ∈ S, koja je najbliža ishodištu O u smjeru vektora r i točku TM ∈ S, koja je
najudaljenija od ishodišta O u smjeru vektora r .
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
Pravac p : ax + by − c = 0, c ∈ R je okomiti na vektor r ;
Ako pravac p prolazi točkom T0 = (x0 , y0 ), onda je
c = c0 = ax0 + by0 , a njegova udaljenost do ishodišta je δ0 =
ax
√ 0 +by0 ;
a2 +b 2
Rudolf Scitovski, Ivan Vazler, Martina Briš (Odjel za matematiku,
Kvantitativne
Sveučilište
metodeu Osijeku Ekonomski
24. fakultet
studenog
u Osijeku)
2012.
8 / 17
Najbliža i najudaljenija točka
Neka je S ⊂ R2 poliedar, a, b ≥ 0 i r = ae1 + be2 vektor. Potražit ćemo točku
Tm ∈ S, koja je najbliža ishodištu O u smjeru vektora r i točku TM ∈ S, koja je
najudaljenija od ishodišta O u smjeru vektora r .
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
Pravac p : ax + by − c = 0, c ∈ R je okomiti na vektor r ;
Ako pravac p prolazi točkom T0 = (x0 , y0 ), onda je
c = c0 = ax0 + by0 , a njegova udaljenost do ishodišta je δ0 =
Točke Tm i TM vrhovi su poliedara S;
ax
√ 0 +by0 ;
a2 +b 2
Rudolf Scitovski, Ivan Vazler, Martina Briš (Odjel za matematiku,
Kvantitativne
Sveučilište
metodeu Osijeku Ekonomski
24. fakultet
studenog
u Osijeku)
2012.
8 / 17
Najbliža i najudaljenija točka
Neka je S ⊂ R2 poliedar, a, b ≥ 0 i r = ae1 + be2 vektor. Potražit ćemo točku
Tm ∈ S, koja je najbliža ishodištu O u smjeru vektora r i točku TM ∈ S, koja je
najudaljenija od ishodišta O u smjeru vektora r .
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
Pravac p : ax + by − c = 0, c ∈ R je okomiti na vektor r ;
Ako pravac p prolazi točkom T0 = (x0 , y0 ), onda je
√ 0 +by0 ;
c = c0 = ax0 + by0 , a njegova udaljenost do ishodišta je δ0 = ax
a2 +b 2
Točke Tm i TM vrhovi su poliedara S;
Funkcija f (x , y ) = ax + by u točki Tm prima najmanju vrijednost, a u
točki TM najveću vrijednost.
Rudolf Scitovski, Ivan Vazler, Martina Briš (Odjel za matematiku,
Kvantitativne
Sveučilište
metodeu Osijeku Ekonomski
24. fakultet
studenog
u Osijeku)
2012.
8 / 17
Primjer
T1 = (0, 4), T2 = (2, 1.5), T3 = (3, 1), T4 = (5, 2), T5 = (4, 5),
T6 = (0, 5)
r = 3e1 + 4e2
f (x , y ) = 3x + 4y
5
T5
T6
4
T1
3
T4
2
T2
T3
1
1
2
3
4
5
6
f (T1 ) = 16;
δ1 = 3.2
f (T2 ) = 12;
δ2 = 2.4
f (T3 ) = 13;
δ3 = 2.6
f (T4 ) = 23;
δ4 = 4.6
f (T5 ) = 32;
δ5 = 6.4
f (T6 ) = 20;
δ6 = 4
Rudolf Scitovski, Ivan Vazler, Martina Briš (Odjel za matematiku,
Kvantitativne
Sveučilište
metodeu Osijeku Ekonomski
24. fakultet
studenog
u Osijeku)
2012.
9 / 17
Primjer
T1 = (0, 4), T2 = (2, 1.5), T3 = (3, 1), T4 = (5, 2), T5 = (4, 5),
T6 = (0, 5)
r = 3e2
f (x , y ) = 3y
6
T6
5
T5
T1
4
3
2
T4
T2
T3
1
-1
0
1
2
3
4
5
6
f (T1 ) = 12;
δ1 = 4
f (T2 ) = 4.5;
δ2 = 1.5
f (T3 ) = 3;
δ3 = 1
f (T4 ) = 6;
δ4 = 2
f (T5 ) = 15;
δ5 = 5
f (T6 ) = 15;
δ6 = 5
Rudolf Scitovski, Ivan Vazler, Martina Briš (Odjel za matematiku,
Kvantitativne
Sveučilište
metodeu Osijeku Ekonomski
24. studenog
fakultet u Osijeku)
2012.
10 / 17
Primjer
T1 = (0, 4), T2 = (2, 1.5), T3 = (3, 1), T4 = (5, 2), T5 = (4, 5),
T6 = (0, 5)
r = 2e1
f (x , y ) = 2x
6
T6
5
T5
T1
4
f (T1 ) = 0;
δ1 = 0
f (T2 ) = 4;
δ2 = 2
f (T3 ) = 6;
δ3 = 3
3
2
T4
T2
f (T4 ) = 10;
T3
1
-1
0
1
2
3
4
5
6
δ4 = 5
f (T5 ) = 8;
δ5 = 4
f (T6 ) = 0;
δ6 = 0
Rudolf Scitovski, Ivan Vazler, Martina Briš (Odjel za matematiku,
Kvantitativne
Sveučilište
metodeu Osijeku Ekonomski
24. studenog
fakultet u Osijeku)
2012.
11 / 17
Primjer
2.5x + 2y ≥ 8,
r = 2e1 + 3e2
x + 2y ≥ 5,
−x + 2y ≥ −1,
f (x , y ) = 2x + 3y
6
5
4
f (T1 ) = 8.5;
3
f (T2 ) = 9;
2
δ2 ≈ 2.5
T1
T2
1
-1
δ1 ≈ 2.36
1
2
3
4
5
6
-1
Rudolf Scitovski, Ivan Vazler, Martina Briš (Odjel za matematiku,
Kvantitativne
Sveučilište
metodeu Osijeku Ekonomski
24. studenog
fakultet u Osijeku)
2012.
12 / 17
Lokalni i globalni minimum
Definicija
Neka je f : D → R, D ⊆ Rn proizvoljna funkcija. Kažemo da je xL ∈ D
točka lokalnog minimuma funkcije f na skupu D ako postoji okolina O
točke xL , tako da je
f (x ) ≥ f (xL ) za sve x ∈ O ∩ D.
Točku xG zovemo točkom globalnog minimuma funkcije f ako je
f (x ) ≥ f (xG ) za sve x ∈ D.
xL
xG
Rudolf Scitovski, Ivan Vazler, Martina Briš (Odjel za matematiku,
Kvantitativne
Sveučilište
metodeu Osijeku Ekonomski
24. studenog
fakultet u Osijeku)
2012.
13 / 17
Konveksna funkcija
Definicija
Neka je D ⊆ Rn konveksan skup. Kažemo da je funkcija f : D → R
konveksna ako vrijedi
f (λx + (1 − λ)y ) ≤ λf (x ) + (1 − λ)f (y )
(1)
za sve x , y ∈ D i za sve λ ∈ [0, 1].
x
y
Rudolf Scitovski, Ivan Vazler, Martina Briš (Odjel za matematiku,
Kvantitativne
Sveučilište
metodeu Osijeku Ekonomski
24. studenog
fakultet u Osijeku)
2012.
14 / 17
Primjer
Sljedeće funkcije su konveksne funkcije
f : R2 → R f (x , y ) = ax + by + c
- linearna funkcija
f : R3 → R f (x , y , z) = ax + by + cz + d
- linearna funkcija
f : R2 → R f (x , y ) = ax 2 + by 2 + c, a, b ≥ 0
- kvadratna funkcija
Rudolf Scitovski, Ivan Vazler, Martina Briš (Odjel za matematiku,
Kvantitativne
Sveučilište
metodeu Osijeku Ekonomski
24. studenog
fakultet u Osijeku)
2012.
15 / 17
Primjer
Sljedeće funkcije su konveksne funkcije
f : R2 → R f (x , y ) = ax + by + c
- linearna funkcija
f : R3 → R f (x , y , z) = ax + by + cz + d
- linearna funkcija
f : R2 → R f (x , y ) = ax 2 + by 2 + c, a, b ≥ 0
- kvadratna funkcija
Teorem
Konveksna funkcija f : K → R definirana na konveksnom skupu K ⊆ Rn
postiže jedinstveni globalni minimum.
Rudolf Scitovski, Ivan Vazler, Martina Briš (Odjel za matematiku,
Kvantitativne
Sveučilište
metodeu Osijeku Ekonomski
24. studenog
fakultet u Osijeku)
2012.
15 / 17
Primjer
Neka su f , g dvostruko neprekidno derivabilne funkcije, takve da je
f (x ) + g(x ) = const. Tada
argmin f = argmax g
min f + max g = c
Ako je x0 stacionarna točka funkcije f , onda je x0 stacionarna točka
funkcije g i obratno.
f 0 (x0 ) + g 0 (x0 ) = 0
Rudolf Scitovski, Ivan Vazler, Martina Briš (Odjel za matematiku,
Kvantitativne
Sveučilište
metodeu Osijeku Ekonomski
24. studenog
fakultet u Osijeku)
2012.
16 / 17
Primjer
Neka su f , g dvostruko neprekidno derivabilne funkcije, takve da je
f (x ) + g(x ) = const. Tada
argmin f = argmax g
min f + max g = c
Ako je x0 stacionarna točka funkcije f , onda je x0 stacionarna točka
funkcije g i obratno.
f 0 (x0 ) + g 0 (x0 ) = 0
Ako funkcija f u točki x0 postiže lokalni minimum, onda funkcija g u točki
x0 postiže lokalni maksimum.
Ako funkcija f u točki x0 postiže lokalni maksimum, onda funkcija g u
točki x0 postiže lokalni minimum.
f ”(x0 ) + g”(x0 ) = 0
f ”(x0 ) > 0
⇒
g”(x0 ) < 0,
f ”(x0 ) < 0
⇒
g”(x0 ) > 0,
Rudolf Scitovski, Ivan Vazler, Martina Briš (Odjel za matematiku,
Kvantitativne
Sveučilište
metodeu Osijeku Ekonomski
24. studenog
fakultet u Osijeku)
2012.
16 / 17
Specijalno, f (x ) + (−f (x )) = 0, pa vrijedi
argmin f = argmax(−f ),
max(−f ) + min f = 0.
f
x0
(−f )
Rudolf Scitovski, Ivan Vazler, Martina Briš (Odjel za matematiku,
Kvantitativne
Sveučilište
metodeu Osijeku Ekonomski
24. studenog
fakultet u Osijeku)
2012.
17 / 17