ΤΟ ΦΩΣ: ΚΥΜΑΤΙΚΟΣ ΚΑΙ ΣΩΜΑΤΙ∆ΙΑΚΟΣ ΧΑΡΑΚΤΗΡΑΣ ΡΕΜΠΕΛΑΚΗΣ ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΣΠΥΡΟΣ ΕΥΣΤ. ΤΖΑΜΑΡΙΑΣ ΠΑΤΡΑ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 2009 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η διπλωµατική αυτή εργασία εκπονήθηκε στο πλαίσιο του Μεταπτυχιακού Προγράµµατος Σπουδών «Μεταπτυχιακή Εξειδίκευση Καθηγητών Φυσικών Επιστηµών» και ειδικότερα του θεµατικού πεδίου ΚΦΕ61 «Σύγχρονα θέµατα Φυσικής». Σκοπός της εργασίας αυτής είναι η ανάπτυξη εκπαιδευτικού υλικού, έντυπου και ηλεκτρονικού, προκειµένου να στηριχθεί η µεταπτυχιακή επιµόρφωση Εκπαιδευτικών Φυσικών Επιστηµών σε θέµατα που αφορούν το φως και συγκεκριµένα τον κυµατικό και σωµατιδιακό χαρακτήρα του φωτός. Η εργασία στηρίζεται σε βιβλιογραφική έρευνα σχετικά µε το φως. Αντλήθηκαν πληροφορίες από βιβλία, επιστηµονικά άρθρα και διαλέξεις καθώς και από το διαδίκτυο. ∆ίνεται ιδιαίτερη έµφαση στη συγγραφή έντυπου υλικού για την ανάπτυξη ψηφιακών εκπαιδευτικών δράσεων που θα στηρίζουν την επιµόρφωση εκπαιδευτικών της εξασφαλίζεται επιστηµονική απλουστεύσεις» ∆ευτεροβάθµιας καθώς επίσης Εκπαίδευσης πληρότητα, να να µε τρόπο αποφεύγονται αποφεύγονται (όπου είναι ώστε να «επιζήµιες δυνατόν) µαθηµατικές λεπτοµέρειες και περιπλοκές. Προσδοκώµενο αποτέλεσµα δεν είναι η συγγραφή ενός επιστηµονικού βιβλίου σχετικά µε το φως αλλά η παραγωγή µεθοδολογίας και υλικού επιµόρφωσης για την κοινότητα της ∆ευτεροβάθµιας Εκπαίδευσης. Θέλω να ευχαριστήσω τον Καθηγητή κ. Σπύρο Ευστ. Τζαµαρία, που δέχθηκε να αναλάβει την επίβλεψη της παρούσης εργασίας, για τις χρήσιµες υποδείξεις του και για τη γενικότερη βοήθεια που αφειδώς µου προσέφερε. 2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ:……………………….……………………...………….…...... 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 – ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ…...……………………. 8 1.1 – ΕΙΣΑΓΩΓΗ: ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ MAXWELL..……………………. 8 1.2 – Η ΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ...…………….…………………..………... 10 1.3 – ΛΥΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ MAXWELL...…………………….……... 14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 – ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ…...…………………………28 2.1 – ΕΙΣΑΓΩΓΗ:Η ΠΡΟΣΕΓΠΣΗ ΤΗΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗΣ ∆ΙΑ∆ΟΣΗΣ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ..…………...…………………………..………... 28 2.2 - ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ….……………………………………….. 30 2.3 - ∆ΙΑΘΛΑΣΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ…………………………...…………….….32 2.4 - Η ΑΡΧΗ TOY HUYGENS...……………………….………………..... 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 – ΚΥΜΑΤΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ…...…………………………… 39 3.1 – ΕΙΣΑΓΩΓΗ: ΚΥΜΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ……..……………………. 39 3.2 – ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ ΓΙΑ ΣΥΜΒΟΛΗ…….……………..…………….. 39 3.3 – ΤΟ ΠΕΙΡΑΜΑ ΤΗΣ ∆ΙΠΛΗΣ ΣΧΙΣΜΗΣ TOY YOUNG…….……... 41 3.4 – ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΗΣ ΕΝΤΑΣΗΣ ΦΩΤΟΣ ΑΠΟ ΣΥΜΒΟΛΗ ∆ΥΟ ΦΩΤΕΙΝΩΝ ΠΗΓΩΝ.…………………………… 45 3.5 – ΣΥΜΒΟΛΗ ΑΠΟ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ∆ΙΑΤΑΞΗ Ν ΠΑΝΟΜΟΙΟΤΥΠΩΝ ΠΗΓΩΝ ...………………………………………... 48 3.6 – ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΕΡΙΘΛΑΣΗΣ………………….. 55 3 3.7 – ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ ΑΠΟ ΜΙΑ ΣΤΕΝΗ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΣΧΙΣΜΗ……..…...58 3.8 – ∆ΙΑΚΡΙΤΙΚΗ ΙΚΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ ……………………. 63 3.9 – ΦΡΑΓΜΑ ΠΕΡΙΘΛΑΣΗΣ….…………………………………….…....65 3.10 – ΠΟΛΩΣΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ……………………………………….......... 73 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 – ΚΒΑΝΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ…...……...82 4.1 – ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ ΜΕΛΑΝΟΣ ΣΩΜΑΤΟΣ……..……….…………… 82 4.2 – ΤΟ ΦΩΤΟΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ..…………………………… 86 4.3 – ΤΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ COMPTON…..…………………………………... 91 4.4 – Η ∆Ι∆ΥΜΗ ΓΕΝΕΣΗ………..…………………………...…………... 103 4.5 – ΑΛΛΗΛΕΠΙ∆ΡΑΣΗ ΦΩΤΟΝΙΩΝ ΜΕ ΤΗΝ ΥΛΗ………………….. 105 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 – ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ…...…………………………… 113 5.1 – ΕΙΣΑΓΩΓΗ: ΠΛΑΤΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ DIRAC…...…............ 113 5.2– ΟΙ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΠΟΛΩΣΗΣ ΤΟΥ ΦΩΤΟΝΙΟΥ…..…………….. 119 5.3– ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΗΛΕΚΤΡΟ∆ΥΝΑΜΙΚΗ – ΤΟ ΦΩΤΟΝΙΟ ΦΟΡΕΑΣ ΑΛΛΗΛΕΠΙ∆ΡΑΣΗΣ…….………..…………… 124 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ – ΑΝΑΦΟΡΕΣ……….………………………………... 127 4 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Από την εποχή του Εµπεδοκλή (5ος π.Χ.αιώνας) και για αρκετούς αιώνες κυριαρχούσε η άποψη ότι το φως είναι µια δέσµη από σωµατίδια τα οποία εκπέµπει η φωτοβολούσα πηγή. Τα σωµατίδια αυτά προσπίπτουν στον οφθαλµό και διεγείρουν το αισθητήριο της όρασης. Στη σύγχρονη εποχή, κύριος αρχιτέκτονας της σωµατιδιακής θεώρησης για την φύση του φωτός ήταν ο Isaac Newton. Με την θεωρία της σωµατιδιακής φύσης ο Newton κατόρθωσε να ερµηνεύσει τις περισσότερες ως τότε πειραµατικά γνωστές ιδιότητες του φωτός και συγκεκριµένα τον νόµο της ανάκλασης και τον νόµο της διάθλασης, νόµους που αφορούν αυτό που σήµερα ονοµάζουµε γεωµετρική οπτική. Οι περισσότεροι επιστήµονες ενστερνίστηκαν την σωµατιδιακή θεωρία του Newton για την φύση του φωτός. Ενώ όµως ο Newton ζούσε ακόµη, το 1678 ο Ολλανδός φυσικός Χόυχενς (Christian Huygens, 1629 - 1695) απέδειξε τους νόµους της ανάκλασης, της διάθλασης και της περίθλασης βασιζόµενος στην αντίληψη ότι το φως είναι ένα είδος κυµατικής κίνησης. Αλλά η κυµατική αυτή θεώρηση του φωτός δεν έγινε αµέσως αποδεκτή, για τους εξής κυρίως λόγους: Γνωρίζουµε ότι το φως διαδίδεται στο κενό, διότι το φως του Ήλιου και των αστέρων φτάνει στη Γη δια µέσου του κενού διαστήµατος. Αλλά γνώριζαν επίσης ότι όλα τα κυµατικά φαινόµενα, π.χ. τα ηχητικά κύµατα, τα κύµατα στο νερό, χρειάζονται ένα µέσο διάδοσης. Επί πλέον, έλεγαν ότι εάν, το φως είναι πράγµατι κύµα, τότε πρέπει να παρακάµπτει τα εµπόδια. Σήµερα γνωρίζουµε ότι το φως περιθλάται γύρω από τα εµπόδια που συναντά στο δρόµο του. Είναι δύσκολο να παρατηρήσουµε το φαινόµενο της περίθλασης του φωτός, διότι τα κύµατα του έχουν πάρα πολύ µικρό µήκος κύµατος. Μολονότι το 1660 ο Francesco Grimaldi (1618 - 1663) απέδειξε πειραµατικά ότι το φως περιθλάται, το τεράστιο κύρος του Newton επηρέαζε τους φυσικούς της εποχής τόσο πολύ ώστε έκλειναν τα µάτια µπροστά στην αλήθεια και αγνοούσαν τα πειραµατικά αποτελέσµατα του Grimaldi. Το 1801 όµως ο Thomas Young (1773 - 1829) έκανε µια σειρά πειραµάτων µε τα οποία απέδειξε σαφέστατα ότι υπό ορισµένες συνθήκες το φως συµβάλλει σαν να είναι κύµα. Με άλλα λόγια, εάν έχουµε δύο φωτεινές πηγές, το φως που εκπέµπουν συνδυάζεται έτσι ώστε σε ορισµένα σηµεία του χώρου να αυτοκαταργείται εξαιτίας του 5 φαινοµένου της καταστρεπτικής (αποσβεστικής) συµβολής. Ήταν αδύνατο να ερµηνευθεί τέτοιου είδους συµπεριφορά µε την σωµατιδιακή θεωρία, διότι στη σκέψη των επιστηµόνων της εποχής δεν υπήρχε περίπτωση να αλληλοκαταργούνται δύο ή περισσότερες φυσικές οντότητες. Αρκετά χρόνια αργότερα, ο Γάλλος φυσικός Φρενέλ (Augustin Fresnel, 1788 1829) έκανε µια σειρά από ακριβή πειράµατα συµβολής και περίθλασης του φωτός. Το 1850 ο Ζαν Φουκώ (Jean Foucault, 1791 - 1868) απέδειξε ότι η ταχύτητα διάδοσης φωτός στα υγρά είναι µικρότερη από την ταχύτητα του στον αέρα, ενώ η σωµατιδιακή θεωρία προέβλεπε ότι η ταχύτητα του φωτός στο γυαλί και στα υγρά είναι µεγαλύτερη από την ταχύτητα του στον αέρα. Πληθώρα πειραµάτων που έγιναν κατά την διάρκεια του 19ου αιώνα στήριξαν ακόµη πιο πολύ την κυµατική θεωρία του φωτός. Η πιο σηµαντική εξέλιξη του 19ου αιώνα στη µελέτη του φωτός ήταν το έργο του Maxwell, ο οποίος το 1873 διατύπωσε την ιδέα ότι το φως είναι είδος υψίσυχνου ηλεκτροµαγνητικού κύµατος. Προέβλεψε επίσης ότι η ταχύτητα των κυµάτων αυτών είναι 3 ⋅ 108 m/s, τιµή που συµφωνούσε µε τις πειραµατικές µετρήσεις. Tα πειράµατα του Hertz το 1887 απέδειξαν την ορθότητα της θεωρίας του Maxwell, διότι κατά τα πειράµατα αυτά ο Hertz παρήγαγε και ανίχνευσε ηλεκτροµαγνητικά κύµατα. Επί πλέον, ο Hertz και άλλοι πειραµατικοί φυσικοί της εποχής του απέδειξαν ότι τα ηλεκτροµαγνητικά κύµατα ανακλώνται, διαθλώνται και έχουν όλες τις χαρακτηριστικές ιδιότητες των κυµάτων. Μολονότι η κλασική θεωρία του ηλεκτροµαγνητισµού ερµήνευσε τις περισσότερες από τις τότε γνωστές ιδιότητες του φωτός, υπήρχαν ωστόσο πειραµατικά δεδοµένα τα οποία δεν µπορούσαν να ερµηνευθούν µε την υπόθεση ότι το φως είναι µόνον κύµα. Το πιο εντυπωσιακό από τα πειράµατα αυτά είναι το πείραµα µελέτης του φωτοηλεκτρικού φαινοµένου, που πρώτος ανακάλυψε επίσης ο Hertz. Με τον όρο φωτοηλεκτρικό φαινόµενο περιγράφουµε την εκποµπή ηλεκτρονίων από ένα µέταλλο πάνω στο οποίο προσπίπτει φως. Τα πειραµατικά αποτελέσµατα έδειχναν ότι η κινητική ενέργεια των εκπεµπόµενων ηλεκτρονίων ήταν ανεξάρτητη από την ένταση του προσπίπτοντος στο µέταλλο φωτός. Το αποτέλεσµα αυτό ήταν αντίθετο προς την κυµατική θεωρία του φωτός, η οποία προέβλεπε ότι όσο µεγαλύτερη είναι η ένταση του φωτός τόσο υψηλότερη πρέπει να είναι η κινητική ενέργεια των εκπεµπόµενων 6 ηλεκτρονίων. Το 1905 ο Einstein ερµήνευσε σωστά το φωτοηλεκτρικό φαινόµενο χρησιµοποιώντας ορθά την έννοια των «κβάντων» φωτός που πρώτος διατύπωσε το 1900 ο Μαξ Πλανκ (Max Planck, 1858 - 1947). Η κβαντική θεωρία υποθέτει ότι η ενέργεια ενός κύµατος φωτός εµφανίζεται µόνον σε διακριτές ποσότητες ενέργειας, που ονοµάζονται φωτόνια και γι αυτό λέµε ότι η ενέργεια του φωτός είναι κβαντισµένη. Σύµφωνα λοιπόν µε την θεωρία του Einstein, η ενέργεια ενός φωτονίου είναι ανάλογη προς τη συχνότητα του ηλεκτροµαγνητικού κύµατος: E = h ⋅ f όπου h = 6,63 ⋅10−34 J ⋅ s είναι η σταθερά του Planck. Πρέπει να σηµειωθεί ότι η θεωρία του Einstein χρησιµοποιεί στοιχεία και των δύο θεωριών, της κυµατικής και της σωµατιδιακής θεωρίας του φωτός. Όπως θα δούµε το φωτοηλεκτρικό φαινόµενο είναι αποτέλεσµα µεταφοράς της ορµής και ενέργειας ενός φωτονίου σε ένα από τα ηλεκτρόνια του µετάλλου πάνω στο οποίο προσπίπτει το φως. Με άλλα λόγια, το ηλεκτρόνιο αλληλεπιδρά µε ένα από τα φωτόνια του φωτός σαν να είναι το φωτόνιο σωµατίδιο. Το φωτόνιο όµως έχει και κυµατικές ιδιότητες, π.χ. η ενέργεια του εξαρτάται από την συχνότητα του, η οποία είναι κατ' εξοχήν κυµατική ιδιότητα. Σήµερα λοιπόν πιστεύουµε ότι το φως έχει διττή υπόσταση, όπως όλα τα υλικά σωµάτια. Ότι, δηλαδή, µερικές φορές συµπεριφέρεται ως κύµα, ενώ άλλες ως σωµατίδιο. Η κλασική ηλεκτροµαγνητική θεωρία ερµηνεύει την διάδοση, την συµβολή και την περίθλαση του, ενώ η σωµατιδιακή θεωρία ερµηνεύει το φωτοηλεκτρικό φαινόµενο καθώς και άλλα πειραµατικά δεδοµένα π.χ. το φαινόµενο Compton που σχετίζονται µε τις αντιδράσεις του φωτός µε την ύλη. Στην ερώτηση «τι είναι το φως, κύµα ή σωµατίδιο;», η απάντηση είναι ότι η ερώτηση είναι εσφαλµένη και ότι το φως όπως όλα τα σωµάτια συµπεριφέρεται ως κύµα και ως σωµατίδιο, η δε φυσική θεωρία που περιγράφει όλα αυτά τα φαινόµενα είναι η κβαντική Ηλεκτροδυναµική. 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 – ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ 1.1 – ΕΙΣΑΓΩΓΗ: ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ MAXWELL Οι ολοκληρωµένες εξισώσεις του Maxwell αναγράφονται στους ακόλουθους πίνακες µε µορφή διαφορικών εξισώσεων και µε την ολοκληρωτική τους µορφή, ρ ε0 Η ροή του Ε σε µία κλειστή επιφάνεια = Ι. ∇⋅E = ΙΙ. ∇⋅B = 0 ΙΙΙ. ∂B ∇×E = − ∂t περικλειόµενο φορτίο / ε0 Η ροή του Β σε µία κλειστή επιφάνεια = 0 Το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα του Ε σε ένα κλειστό βρόγχο = - d/dt (της ροής του Β µέσα από το βρόγχο αυτόν). Το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα του Β σε ένα ΙV. ∇ × B = µ0 j + µ0ε 0 κλειστό βρόγχο = (µε το ρεύµα που περνά από ∂E ∂t το βρόγχο) µ0 + d/dt (της ροής του E µέσα από το βρόγχο αυτόν) µ0 ε0. ∫ E ⋅ da =Q Ι f εγκ / ε0 Για οποιαδήποτε κλειστή S επιφάνεια S που ∫ B ⋅ da =0 ΙΙ περικλείει όγκο V S d ∫ E ⋅ dl = − dt ∫ B ⋅ da III L Για οποιαδήποτε κλειστή S επιφάνεια S µε σύνορο ΙV ∫ B ⋅ dl = µ Ι 0 f εγκ L + µ0ε 0 d E ⋅ da dt ∫S τον κλειστό βρόγχο L όπου E και B παριστούν αντίστοιχα το ηλεκτρικό και µαγνητικό πεδίο Η πρώτη εξίσωση, ο νόµος του Gauss, αληθεύει τόσο σε στατικά πεδία (που 8 δηµιουργούν ακίνητα φορτία) όσο και σε δυναµικά πεδία (που δηµιουργούν κινούµενα φορτία). Η ροή του Ε µέσα από µια κλειστή επιφάνεια είναι ανάλογη του περικλειόµενου φορτίου. Η δεύτερη εξίσωση είναι η αντίστοιχη σχέση για τα µαγνητικά πεδία. ∆εδοµένου ότι δεν υπάρχουν µαγνητικά φορτία, η ροή του Β µέσα από µια κλειστή επιφάνεια είναι µηδέν. Η τρίτη εξίσωση, ο νόµος του Faraday, ισχύει επίσης στη γενικότητα, τόσο για στατικά όσο και δυναµικά πεδία. Η τέταρτη εξίσωση είναι ο νόµος του Ampere, πλαισιωµένος όµως από ένα νέο όρο τον µ0ε 0 ∂E . Ο νόµος του Ampere ∂t χωρίς τον καινούριο αυτό όρο ισχύει στην περίπτωση των σταθερών ρευµάτων. Αλλά η ορθή γενική εξίσωση έχει και αυτόν τον νέο όρο τον οποίο ανακάλυψε ο Maxwell. Πριν τον Maxwell η εξίσωση για το µαγνητικό πεδίο που δηµιουργείται από σταθερά ρεύµατα ήταν: ∇ × B = µ0 j .Ο Maxwell ξεκίνησε εκφράζοντας τους γνωστούς αυτούς νόµους σε διαφορική µορφή όπως στον πρώτο πίνακα. ∆ιαπίστωσε ότι υπάρχει ένα πρόβληµα στην εξίσωση ∇ × B = µ0 j . Αν πάρουµε την απόκλιση της εξίσωσης, το αριστερό µέρος µηδενίζεται, ως απόκλιση στροβιλισµού (δηλαδή ∇ ⋅ ( ∇ × B ) = 0 ), αλλά αυτό απαιτεί και τον µηδενισµό της απόκλισης του j (θα πρέπει δηλαδή ∇ ⋅ j = 0 ). Αλλά, αν η απόκλιση του j είναι µηδενική, τότε η ροή του ρεύµατος µέσα από µια κλειστή επιφάνεια θα είναι µηδενική. Αλλά η ροή του ρεύµατος µέσα από µια κλειστή επιφάνεια είναι η µεταβολή του φορτίου ∂ρ στο χώρο που περικλείεται από την επιφάνεια αυτή. ∆εν µπορεί βέβαια ∂t η µεταβολή αυτή να είναι µηδενική στη γενική περίπτωση, διότι γνωρίζουµε ότι τα φορτία µπορούν µετακινηθούν από το ένα µέρος στο άλλο. Ισχύει δηλαδή η σχέση: ∇⋅j = − ∂ρ που εκφράζει τη βασική αρχή διατήρησης του φορτίου (δεν υπάρχουν στη ∂t φύση πηγές ούτε καταβόθρες φορτίων, τα φορτία µπορούν να µετακινούνται και η κίνησή τους αποτελεί το ηλεκτρικό ρεύµα). Ο νόµος του Ampere ισχύει λοιπόν µόνο στη στατική περίπτωση. Για να ισχύει και στη δυναµική έπρεπε να προστεθεί ένας επιπλέον όρος, τον οποίο πρόσθεσε ο Maxwell χρησιµοποιώντας την εξίσωση ∇ ⋅ j = − ∂ρ . ∂t 9 1.2 – Η ΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Οι εξισώσεις του Maxwell αποτελούν ένα σύνολο συζευγµένων πρωτοβάθµιων µερικών διαφορικών εξισώσεων ως προς τα πεδία Ε και Β. Μπορούν να αποσυζευχθούν εύκολα, θεωρώντας περιοχές του χώρου όπου δεν υπάρχουν πηγές και εφαρµόζοντας το στροβιλισµό στις (III) και (IV): ∂ ∂ 2E  ∂B  B µ ε ∇× ( ∇ × E ) = ∇ ( ∇ ⋅ E ) − ∇2E = ∇×  − = − ∇× = − ( ) 0 0  ∂t ∂t 2  ∂t  ∂E  ∂ ∂ 2B  ∇× ( ∇ × B ) = ∇ ( ∇ ⋅ B ) − ∇ 2B = ∇×  µ0ε 0 = µ ε ∇ × E = − µ ε ( ) 0 0 0 0  ∂t  ∂t ∂t 2  ∆εδοµένου όµως ότι από τις εξισώσεις του Maxwell (I) και (II) έχουµε ότι ∇ ⋅ E = 0 και ∇ ⋅ B = 0 , προκύπτει το ακόλουθο ζεύγος αποσυζευγµένων δευτεροβάθµιων εξισώσεων: ∂ 2E =0 ∂t 2 ∂ 2B ∇ 2B − µ0ε 0 2 = 0 ∂t κάθε µία από τις οποίες εκφράζει την κλασική κυµατική εξίσωση σε τρεις διαστάσεις ∇ 2E − µ0ε 0 ∇2 f − 1 ∂2 f =0 v 2 ∂t 2 Πρόκειται λοιπόν για κύµατα που κινούνται µε ταχύτητα v. Σύµφωνα µε τις εξισώσεις του Maxwell στο κενό η ταχύτητα των ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων είναι: v= 1 µ0ε 0 = 3.00 × 108 m / s που ισούται ακριβώς µε την ταχύτητα του φωτός c0! Η σχέση c02 = 1 ε 0 µ 0 συνδέει τρεις βασικές σταθερές της φύσης. Την ε 0 που αρχικά συναντούµε στην έκφραση της ηλεκτρικής δύναµης (νόµος Coulomb), την µ 0 που αρχικά συναντούµε στην έκφραση της µαγνητικής δύναµης (νόµος Ampere) και την ταχύτητα του φωτός c0 . Η σταθερά µ 0 (µαγνητική διαπερατότητα του κενού) έχει την τιµή µ 0 = 4π⋅10 -7 henry m . Η σταθερά ε0 (διηλεκτρική σταθερά του κενού) προσδιορίζεται πειραµατικά από ηλεκτροστατικές µετρήσεις και βρίσκεται ίση µε ε 0 = 8.85 ⋅ 10 −12 Farad m . Έτσι µπορεί να υπολογιστεί αµέσως η σταθερά 10 u=1 ε 0 µ 0 = 3 ⋅ 108 m s .Η τιµή αυτή βρίσκεται και πειραµατικά για την ταχύτητα του φωτός c0 στο κενό. Έτσι επιβεβαιώνεται πλήρως η θεωρία ότι τα Η/Μ κύµατα διαδίδονται µε την ταχύτητα του φωτός. Είναι δε η πρώτη σηµαντική ένδειξη ότι το φως είναι Η/Μ κύµα. Η ταχύτητα του φωτός c0, που είναι η θεµελιώδης σταθερά της φύσης, αποτελεί το ανώτερο όριο όλων των ταχυτήτων και µαζί µε τη σταθερά της βαρύτητας G και τη σταθερά δράσης του Plank h αποτελούν τις τρεις παγκόσµιες σταθερές που είναι γενικά αποδεκτές σήµερα στη Φυσική. Η εξελικτική πορεία στον καθορισµό της σαν παγκόσµια σταθερά µε την έννοια της µέγιστης ταχύτητας στη φύση, έχει συνοπτικά ως εξής: Αρχικά κυριάρχησε η ιδέα της ακαριαίας δράσης (ακαριαία έλξη των σωµάτων στον απόλυτο χώρο κατά Νεύτωνα)που συνεπάγεται ότι η µέγιστη ταχύτητα στη φύση είναι άπειρη. Στη συνέχεια η συλλογιστική του Einstein οδήγησε στην απαίτηση πεπερασµένου χρόνου για την διάδοση του αποτελέσµατος µιας πράξης, που έχει σαν συνέπεια την ύπαρξη πεπερασµένης ταχύτητας άρα την ύπαρξη µέγιστης ταχύτητας. Η ταχύτητα αυτή όµως θα πρέπει να είναι αναλλοίωτη στα συστήµατα συντεταγµένων αφού διαφορετικά θα υπήρχε κάποιο σύστηµα όπου θα απειριζόταν. Άµεσο συµπέρασµα, που τέθηκε πλέον αξιωµατικά στην ειδική θεωρία της σχετικότητας, είναι ότι η ταχύτητα του φωτός στο κενό είναι η µέγιστη που µπορεί να επιτευχθεί στη φύση. Το γεγονός ότι ένα σήµα δεν µπορεί να µεταδοθεί µε ταχύτητα µεγαλύτερη εκείνης του φωτός c0 είναι άµεσα συµβατό µε την αρχή της αιτιότητας, ότι δηλαδή το αποτέλεσµα έπεται του αιτίου. Σε αντίθετη περίπτωση όπου ένα σήµα θα διαδιδόταν µε ταχύτητα µεγαλύτερη της c0 µπορεί να αποδειχθεί στη θεωρία της σχετικότητας ότι ορισµένοι παρατηρητές θα µπορούσαν να αντιληφθούν µερικά αποτελέσµατα να προηγούνται των αιτίων που τα δηµιούργησαν. Το ανώτατο όριο τίθεται στην ταχύτητα µετάδοσης πληροφορίας (οµαδική ταχύτητα) και όχι στη φασική ταχύτητα, που δεν µεταδίδει φυσικό περιεχόµενο. 11 ∆ιάδοση ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων στο κενό ∂ 2E ∇ 2E − µ0ε 0 2 = 0 ∂t Από τις εξισώσεις θα µπορούσε να ισχυριστεί κάποιος ότι τα ∂ 2B 2 ∇ B − µ0ε 0 2 = 0 ∂t E και B , κάθε ένα χωριστά, πληρούν την εξίσωση κύµατος και συνεπώς καθ΄ ένα από µόνο του συνιστά κύµα. Αυτό είναι λάθος. Από τις εξισώσεις του Maxwell φαίνεται αµέσως ότι τα B και E είναι αλληλοσυνδεδεµένα. Χρονικές µεταβολές του ενός δηµιουργούν το άλλο και αντίστροφα. Μιλάµε πάντα για ηλεκτροµαγνητικό κύµα και όχι για ηλεκτρικό και µαγνητικό κύµα χωριστά. Τα E και B θεωρούνται και είναι υπαρκτά µεγέθη που ορίζονται και υπάρχουν στον κενό χώρο. Η διάδοση του Η/Μ κύµατος στο κενό οφείλεται στις χρονικές µεταβολές των B και E . Το Η/Μ κύµα είναι αυτοσυντηρούµενο (τα E και B από µόνα τους δεν είναι αυτοσυντηρούµενα). Ας υποθέσουµε ότι µε κάποιο τρόπο έχει δηµιουργηθεί σε µια περιοχή του χώρου ένα µαγνητικό πεδίο B . Αν αυτό αρχίσει να φθίνει συναρτήσει του χρόνου τότε κατά την εξίσωση ∇ × E = − ∂ B ∂ t δηµιουργείται ένα ηλεκτρικό πεδίο E . Αν το E αρχίσει να φθίνει τότε κατά την εξίσωση ∇ × B = ε 0 µ 0 ∂ E ∂ t δηµιουργείται ένα B και ούτω καθ΄ εξής. Έτσι η διάδοση των E και B αυτοσυντηρείται χωρίς να είναι αναγκαία η ύπαρξη υλικού µέσου διάδοσης όπως στα µηχανικά κύµατα. Αυτή είναι και η διαφορά µεταξύ µηχανικών και ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων. Στα πρώτα έχουµε µεταφορά ορµής και ενέργειας µέσα στην ύλη µε εξάσκηση δυνάµεων µέσω των γειτονικών δοµικών λίθων που πάλλονται κατά τη διάδοση του µηχανικού κύµατος. Στα δεύτερα έχουµε δράση εξ΄ αποστάσεως. Η ανταλλαγή γίνεται µέσω φωτονίων, όπως περιγράφεται στο πλαίσιο της κβαντικής Ηλεκτροδυναµικής. Από την µέχρι τώρα συζήτηση φαίνεται η µεγάλη αξία της εισαγωγής του όρου ∂ D ∂ t από τον Maxwell: i. Έδεσε τις τέσσερις εξισώσεις που περιγράφουν τον Η/Μ σε ενιαίο σύνολο. ii. Ενσωµάτωσε την αρχή της συνέχειας. iii. Οδήγησε στην απόδοση κυµατικού χαρακτήρα στα Η/Μ φαινόµενα και έτσι κατέστη δυνατή η εξήγηση της διάδοσης των Η/Μ κυµάτων στο κενό. 12 Το γεγονός ότι τα Η/Μ κύµατα ταξιδεύουν µε την ταχύτητα του φωτός έχει µια πολύ βαθύτερη σηµασία. Το φως στην ουσία είναι Η/Μ κύµα από τη φύση του. Έτσι µε τη βοήθεια των εξισώσεων του Maxwell ο ηλεκτρισµός, ο µαγνητισµός και το φως ενοποιήθηκαν. Παρατηρήσεις: Εκείνο που διαπιστώνει κάποιος αµέσως είναι πως η εξίσωση των Η/Μ κυµάτων είναι της ίδιας µορφής µε εκείνη των µηχανικών κυµάτων και γενικότερα οποιονδήποτε κυµάτων. Με άλλα λόγια τα κύµατα περιγράφονται µαθηµατικά κατά τον ίδιο τρόπο, είτε όταν διαδίδονται σε µία χορδή, είτε είναι ηλεκτρικά κύµατα σε γραµµή µεταφοράς, είτε ηχητικά κύµατα στον αέρα, είτε τέλος Η/Μ κύµατα που διαδίδονται στο κενό. Αυτή η συµπεριφορά είναι αναµενόµενη αν σκεφθεί κανείς τα κύµατα σαν διαταραχές που διαδίδονται στο χώρο και στο χρόνο, στις οποίες µπορούµε να διακρίνουµε τις ισοφασικές επιφάνειες που κινούνται µε σταθερή ταχύτητα (φασική). Αυτή η φασική ταχύτητα είναι η ταχύτητα διάδοσης του κύµατος. Και βέβαια τα παραπάνω στοιχεία ορισµού του κύµατος ισχύουν για όλα τα κύµατα, είναι δηλαδή ανεξάρτητα από τη φύση της διαταραχής. Πρέπει επίσης να τονιστεί ότι στη διαφορική εξίσωση του κύµατος ∇2 f − 1 ∂2 f = 0 , η ποσότητα f = f(x,t) για µονοδιάστατη περίπτωση, έχει ειδικό νόηµα v 2 ∂t 2 ανάλογα µε το είδος του κύµατος που αναφερόµαστε. Στην περίπτωση τεντωµένης χορδής, για παράδειγµα, το f παριστάνει τη στιγµιαία µετατόπιση, ενώ στην περίπτωση του Η/Μ πεδίου παριστάνει τη στιγµιαία τιµή της έντασης του ηλεκτρικού ή του µαγνητικού πεδίου. Στην παραπάνω εξίσωση το 1 v 2 είναι σταθερή αναλογίας όπου το v είναι η φασική ταχύτητα του κύµατος. Η ύπαρξη της παραµέτρου v στη διαφορική εξίσωση είναι αναγκαία και από το γεγονός ότι ο χώρος και ο χρόνος έχουν διαφορετικές µονάδες. Βέβαια η ταχύτητα διάδοσης εξαρτάται από τη φύση των κυµάτων (µηχανικά, ηλεκτρικά) και τις φυσικές ιδιότητες του µέσου µέσα στο οποίο διαδίδονται. 13 1.3 – ΛΥΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ MAXWELL Κύµατα στο κενό: Επίπεδα κύµατα ∆ιαπιστώσαµε ότι στο κενό οι εξισώσεις του Maxwell οδηγούν σε ένα ζεύγος ασύζευκτων δευτεροβάθµιων κυµατικών εξισώσεων: 1 c2 1 ∇2 B = 2 c ∇2 E = ∂2E ∂2E = ε µ 0 0 ∂t 2 ∂t 2 ∂2B ∂2B = ε µ 0 0 ∂t 2 ∂t 2 Σκοπός µας είναι να βρούµε τη γενικότερη λύση των παραπάνω εξισώσεων. Θα ξεκινήσουµε µε τη λύση της κυµατικής εξίσωσης για το ηλεκτρικό πεδίο E . Τα αντίστοιχα ισχύουν για το µαγνητικό πεδίο B . Σε καρτεσιανές συντεταγµένες ισχύει: E = e x E x ( x , y , z , t ) + e y E y ( x, y , z , t ) + e z E z ( x, y , z , t ) (1) 2 Η εξίσωση ∇ E = ε 0 µ 0 2 ∂ E χωρίζεται σε τρεις εξισώσεις: ∂ t2 2 ∂ Ex ∇ E x = ε 0µ 0 ∂ t2 2 2 ∂ Ey ∇ E y = ε 0µ 0 ∂ t2 2 2 ∂ Ez ∇ Ez = ε 0µ 0 ∂ t2 2 Θα εξετάσουµε µια οποιαδήποτε από αυτές τις τρεις εξισώσεις, έστω την πρώτη που αναλυτικά γράφεται: 2 2 2 2 ∂ Ex ∂ Ex ∂ Ex ∂ Ex + + = ε 0µ 0 2 2 2 ∂ x ∂ y ∂ z ∂ t2 (2) Ας υποθέσουµε ότι το µέγεθος των πεδίων δηλαδή το µέτρο των εντάσεων εξαρτάται µόνο από το z και είναι ανεξάρτητο από τα y και x δηλαδή E = ex Ex ( z ) + ey E y ( z ) + ez Ez ( z ) . Αναφερόµαστε σε αυτό που ονοµάζεται επίπεδα κύµατα που οδεύουν στη διεύθυνση z. Ονοµάζονται επίπεδα διότι, όπως θα δούµε, τα πεδία είναι 14 οµογενή πάνω σε οποιοδήποτε επίπεδο που είναι κάθετο στη διεύθυνση διάδοσης. Στην περίπτωση επιπέδου κύµατος διαδιδόµενου κατά τον άξονα z (όπου οι E x , E y , E z , είναι ανεξάρτητες των x, y), η γενική έκφραση (1) περιορίζεται στην: E = ex E x ( z, t ) + e y E y ( z, t ) + e z E z ( z, t ) 2 Η εξίσωση (2) γίνεται τότε: ∂ Ex ∂ z2 (3) 2 =ε 0 µ 0 ∂ Ex (4) ∂ t2 Μια λύση της (4) διαπιστώνουµε µε απλή αντικατάσταση ότι είναι η Εx = Ε0x f(z - ut), όπου f οποιαδήποτε συνάρτηση συνεχής και παραγωγίσιµη και u = 1 ε 0 µ 0 = c . Λύση επίσης είναι και η Εx=Ε0x g(z + ut), όπως φαίνεται αντικαθιστώντας στην (4). Το όρισµα (z-ut) ορίζεται σαν φάση του κύµατος έτσι ώστε η ταχύτητα u να εκφράζει το ρυθµό µε τον οποίο µια ορισµένη τιµή της φάσης ταξιδεύει. Γι αυτό το λόγο η u καλείται φασική ταχύτητα. Με βάση την αρχή της υπέρθεσης, κάθε γραµµικός συνδυασµός τους αποτελεί επίσης λύση της (4) άρα και της (2) στην περίπτωση που εξετάζουµε. Συνεπώς η γενική λύση της (2) θα είναι της µορφής: u= 1 =c E x = E 0 x [ f ( z − ut ) + g ( z + ut )]    → E x = E ox [ f ( z − ε 0µ 0 1 ε 0µ 0 t) + g(z + 1 ε 0µ 0 t )] (5) Το φυσικό νόηµα που κρύβεται στη λύση της µορφής (5) είναι το εξής: ∆ύο ή περισσότερα κύµατα µπορούν να ταξιδεύουν στον ίδιο χώρο ανεξάρτητα το ένα από το άλλο. Αναµενόταν η λύση να έχει δύο συνιστώσες: µία αναφερόµενη σε κύµα διαδιδόµενο προς τα θετικά και µία σε κύµα προς τα αρνητικά, αφού ο χώρος θεωρείται εκτεινόµενος απεριόριστα, η δε πηγή δηµιουργίας των κυµάτων βρίσκεται σε ένα ορισµένο σηµείο. Από την (5) φαίνεται ότι τα µέτωπα του κύµατος (z - ut = σταθερό) για µία δεδοµένη χρονική στιγµή θα διέπονται από την εξίσωση z = σταθερό που είναι η εξίσωση επιπέδου κάθετου στη διεύθυνση z. Επίσης η φασική ταχύτητα, δηλαδή η ταχύτητα της επιφάνειας σταθερής φάσης, βρίσκεται από τη σχέση z-ut = σταθερό µε παραγώγιση. Οπότε uφ = dz dt = u , σύµφωνα και µε τον ορισµό της φασικής ταχύτητας που δώσαµε παραπάνω. Η σχέση E x = E ox [ f ( kz − ωt ) + g ( kz + ωt )] , όπου k = (5) ω u δίνεται συνήθως µε τη µορφή: ο λεγόµενος κυµαταριθµός. Ο λόγος, που µελετάµε λύσεις επιπέδων κυµάτων, είναι ότι για αρκετά µεγάλες 15 αποστάσεις από την πηγή της ακτινοβολίας το ηλεκτροµαγνητικό κύµα είναι σε καλή προσέγγιση επίπεδο, µε τα µέτωπά του επίπεδες επιφάνειες, κάθετες στη διεύθυνση διάδοσης. 2 Γενική λύση της εξίσωσης : ∂ Φ ∂ z2 2 1 ∂ Φ = 2 u ∂ t2 (1) Θα χρησιµοποιήσουµε τη µέθοδο χωρισµού µεταβλητών: Φ(z,t) = Z(z)T(t). Η (1) γίνεται: T (t ) 2 ∂ 2Z ( z) 1 ∂ 2T (t ) = Z ( z ) και διαιρώντας µε Ζ(z)Τ(t) καταλήγουµε u2 ∂ z2 ∂ t2 2 1∂ Z 1 ∂ T στην: . Η ισότητα αυτή είναι δυνατή µόνο όταν και οι δύο πλευρές 2 = Z ∂z u2T ∂ t 2 είναι ίσες προς την ίδια σταθερά, την οποία γράφουµε: -k². Στην παραπάνω διαδικασία αναζήτησης λύσης της κυµατικής εξίσωσης διαχωρίζεται το χωρικό τµήµα της λύσης από 2 το χρονικό. Ακολούθως το χωρικό τµήµα d Z Zdz 2 τίθεται ίσο µε -k² , δηλαδή ίσο µε το αρνητικό τετράγωνο πραγµατικού αριθµού, κατοχυρώνοντας έτσι την ανάγκη η 2 αντίστοιχη λύση να είναι παντού πεπερασµένη. Εποµένως θα έχουµε: ∂ Z ∂z 2 + k 2Z = 0 2 και ∂ T ∂t 2 + ω 2 T = 0 , µε ω 2 = k 2 u 2 . Η γενική λύση των εξισώσεων αυτών είναι: Z k ( z ) = a k e ikz +β k e −ikz , Tk ( z ) = γ k e iωt + δ k e -iωt Μια λύση της (1) για κάποια τιµή της k προκύπτει σαν το γινόµενο των επιµέρους λύσεων Φk(z,t) = Zk(z)Tk(t). Επειδή µπορεί να υπάρχουν πολλές πιθανές τιµές του k, και επειδή πρόκειται για γραµµικές διαφορικές εξισώσεις, οπότε το άθροισµα κάθε τύπου είναι επίσης λύση, η γενική λύση της κυµατικής εξίσωσης θα είναι της µορφής: Φ( z , t ) = ∑ (a k ⋅δ k ⋅ e i ( kz − ω t ) +β k ⋅γ k ⋅ e −i ( kz − ω t ) ) + ∑ (a k ⋅γ k ⋅ e i ( kz + ω t ) +β k ⋅δ k ⋅ e −i ( kz + ω t ) ) (2). k k Τα ορίσµατα είναι της µορφής: kz ∓ ω⋅t = k ( z ∓ ω t ) = k ( z ∓ ut ) , οπότε η Φ είναι της k µορφής Φ( z , t ) = f ( z − ut ) + g ( z + ut ) , όπου το πρώτο άθροισµα της (2) αντιστοιχεί στην f ( z − ut ) και το δεύτερο στην g ( z + ut ) . Ας εξετάσουµε τον όρο e i ( kz −ω t ) . Θεωρώντας 16 το k > 0, ο όρος αυτός αντιπροσωπεύει επίπεδο κύµα που ταξιδεύει κατά τη διεύθυνση των θετικών z µε u = ω/k, ενώ ο όρος ei ( kz + ω t ) υποδηλώνει επίπεδο κύµα που ταξιδεύει κατά τη διεύθυνση των αρνητικών z µε u = ω/k. Όσον αφορά λοιπόν τους πρώτους όρους των αθροισµάτων στη (2) αυτό που ενδιαφέρει είναι η έκφραση ei ( kz ∓ω t ) . Οι άλλοι δύο όροι των αθροισµάτων της (2) είναι απλά οι συζυγείς µιγαδικοί. Αρκεί λοιπόν για ένα απλό επίπεδο κύµα συγκεκριµένου k να µελετήσουµε τη µορφή: Φ( z , t ) = Φ 0 e i ( kz − ω t ) (3) όπου Φο σταθερά. Η έκφραση (3) αποτελεί το συνηθισµένο τρόπο αντιπροσώπευσης ενός επιπέδου κύµατος. Στην περίπτωση Η/Μ κύµατος επειδή η Φ(z,t) είναι µία από τις συνιστώσες του ηλεκτρικού πεδίου E ή του µαγνητικού πεδίου B θα πρέπει να είναι πραγµατική, αφού έχει φυσικό περιεχόµενο. Παίρνουµε λοιπόν σαν Φ( z , t ) = Re( Φ 0 e i ( kz − ω t ) ) . Στην απλούστερη περίπτωση που το Φο είναι πραγµατικός αριθµός τότε Re(Φ 0 e i ( kz − ω t ) ) = Φ 0 cos( kz − ωt ) . Επειδή από πρακτική άποψη είναι πιο βολικές οι πράξεις µε την εκθετική έκφραση του κύµατος, παρά µε ηµίτονα και συνηµίτονα, συµφέρει να χρησιµοποιούµε στις πράξεις τη µορφή (3) και στο τέλος να παίρνουµε τον πραγµατικό ή το συντελεστή του µιγαδικού στους οποίους αποδίδουµε το αντίστοιχο φυσικό περιεχόµενο. Το φυσικό περιεχόµενο των παραµέτρων k και ω Η έκφραση φ = φ0coz ( kz - ωt ) δείχνει ότι το κύµα έχει περιοδικότητα και στον χρόνο και στον χώρο. Η χωρική περίοδος καλείται µήκος κύµατος λ και είναι η απόσταση µεταξύ δύο διαδοχικών µεγίστων της φ ( z , t ) στον χώρο για µία δεδοµένη χρονική στιγµή. Η σχέση φ ( z , t ) = φ ( z + λ , t ) επιβάλλει ότι µεταξύ των θέσεων z και z + λ το όρισµα να αυξάνει κατά 2π . Με άλλα λόγια φ0coz ( k ( z + λ ) − ωt ) = φ0coz ( kz − ωt + 2π ) δηλ. 2π = k λ . Άρα k = 2π λ (4). Η παράµετρος k καλείται κυµατικός αριθµός (κυµαταριθµός)) και µετράται σε m −1 . 0 Μονάδα του µήκους κύµατος λ είναι το 1A = 10 −10 m ). Η αντίστοιχη χρονική περίοδος Τ του κύµατος είναι ο χρόνος που περνά µεταξύ δύο διαδοχικών µεγίστων της φ ( z , t ) για µία δεδοµένη θέση z. Θα πρέπει πάλι να ισχύει 17 φ0coz ( k − ω ( t + T ) ) = φ0coz ( kz − ωt + 2π ) , δηλ. 2π = ωΤ . Άρα ω = 2π Τ (5). Η παράµετρος ω καλείται κυκλική συχνότητα αφού στην ανάλογη περίπτωση της οµαλής κυκλικής κίνησης αντιπροσωπεύει τον αριθµό των ακτινίων που σαρώνονται στην µονάδα του χρόνου. Να σηµειώσουµε εδώ ότι στην οµαλή κυκλική κίνηση ορίζεται και το µέγεθος συχνότητα f, σαν ο αριθµός των περιστροφών στην µονάδα του χρόνου. Για το κύµα η συχνότητα f αντιπροσωπεύει τον αριθµό των ταλαντώσεων στην µονάδα του χρόνου, σε µία δεδοµένη θέση z . Εξ ορισµού f = 1 και λόγω της (5) ω = 2π f . T Μονάδα της κυκλικής συχνότητας ω είναι το rad sec , ενώ της συχνότητας f το 1 Hz = sec−1 . Μέχρι εδώ το φυσικό περιεχόµενο των k και ω µπορεί να γίνει αντιληπτό σε σύνδεση µε τα µεγέθη λ και Τ αντίστοιχα. Προχωρώντας και δεδοµένου ότι γενικά η φάση φ του κύµατος εκφράζεται µε τον όρισµα φ = kz ± ωt διαπιστώνουµε ότι: και dφ =k dz t dφ = ±ω . ∆ηλαδή το µέγεθος k εκφράζει τον ρυθµό µεταβολής της φάσης µε την dt z απόσταση (χωρικός ρυθµός) για δεδοµένη στιγµή t, και το µέγεθος ω τον ρυθµό µεταβολής της φάσης µε τον χρόνο για δεδοµένη θέση z (χρονικός ρυθµός). ∆ηλαδή υπάρχει αντιστοιχία φυσικών περιεχοµένων µεταξύ των µεγεθών k και ω, το µεν k χαρακτηρίζοντας την χωρική και το ω την χρονική εξέλιξη της φάσης. Συνδυάζοντας της σχέσεις (4) και (5) έχουµε ω k = λ Τ = υ . Τα τρία χαρακτηριστικά µεγέθη του κύµατος k, ω, u συνδέονται µε τη σχέση k = ω/u. Εξ αυτών η ταχύτητα u προσδιορίζεται αποκλειστικά από τις ιδιότητες του µέσου που διαδίδεται το κύµα π.χ. στο κενό u = 1 ε 0 µ 0 = c0 . Από την άλλη η κυκλική συχνότητα ω προσδιορίζεται από την πηγή που παράγει το κύµα και θεωρείται σαν ανεξάρτητη µεταβλητή που χαρακτηρίζει το κύµα. Συνεπώς το k είναι η εξαρτηµένη µεταβλητή που προσδιορίζεται από τα ω και u. i (ω Η έκφραση E = E 0 e i ( kz − ω t ) ή καλύτερα η E = E 0 e ε 0µ 0 ez ⋅z − ω t ) για επίπεδο κύµα κατά τη διεύθυνση z είναι συνήθως επαρκής και αρκετά γενική, αφού η διεύθυνση z είναι αυθαίρετη. Όµως υπάρχουν περιπτώσεις που είναι αναγκαία η επιλογή 18 συστήµατος συντεταγµένων x, y, z. Τότε αν nɵ η διεύθυνση διάδοσης η ποσότητα eɵz ⋅ z πρέπει να αντικατασταθεί από την nɵ ⋅ r , δηλαδή την προβολή της r στην διεύθυνση διάδοσης. Η έκφραση του κύµατος παίρνει τη µορφή: E = E 0ei (ω ε 0 µ 0 nɵ⋅r − ω t ) , όπου το E είναι κάθετο στη διεύθυνση διάδοσης. Ορίζοντας το διάνυσµα διάδοσης k =ω ε 0 µ 0 nɵ , το κυµατάνυσµα k όπως λέγεται, τελικά καταλήγουµε E = E 0 e i ( k ⋅r − ω t ) , µε k = e x k x + e y k y + e z k z . Από φυσική άποψη το µέτρο του k εκφράζει τη µεταβολή φάσης σε ακτίνια ανά µονάδα µετατόπισης κατά τη διεύθυνση διάδοσης nɵ . Η συνιστώσα k z εκφράζει την παραπάνω µεταβολή κατά τη διεύθυνση του άξονα z. Η γενική έκφραση, σύµφωνα µε όσα έχουµε αναφέρει µέχρι τώρα, ενός επίπεδου Η/Μ κύµατος διαδιδόµενου κατά τη διεύθυνση του άξονα των z είναι: E = êx E x ( z , t ) + êy E y ( z , t ) + êz E z ( z , t ) B = êx Bx ( z , t ) + êy By ( z , t ) + êz Bz ( z , t ) Πριν προχωρήσουµε στη µελέτη των ιδιοτήτων των επίπεδων αυτών κυµάτων δύο σηµεία χρειάζονται επισήµανση: Α) Στο 2 ∂ E ∂ + ∂ x2 ∂ ερώτηµα πώς θα βρούµε τη λύση της γενικής κυµατικής εξίσωσης 2 2 2 E ∂ E 1 ∂ E η απάντηση δίνεται από την αρχή της υπέρθεσης. Όλες + = 2 y 2 ∂ z2 u ∂ t2 οι λύσεις της τρισδιάστατης κυµατικής εξίσωσης µπορούν να δοθούν σαν υπέρθεση λύσεων της µονοδιάστατης εξίσωσης που ήδη βρήκαµε παραπάνω. Μπορούµε να βρούµε την κυµατική εξίσωση των κυµάτων που διαδίδονται κατά τον άξονα x υποθέτοντας ότι το πεδίο δεν εξαρτάται από τα y και z, των κυµάτων που διαδίδονται κατά τον άξονα y όπου το πεδίο δεν εξαρτάται από τα x και z και των κυµάτων που διαδίδονται κατά τον άξονα z, όπου το πεδίο δεν εξαρτάται από τα x και y. B) Συνήθως µελετάµε κύµατα που έχουν µόνο µια συνιστώσα έστω την E x . Η έκφραση E = êx E x = êx E x 0 f ( z − ut ) αποτελεί τη µαθηµατική εξίσωση γραµµικά πολωµένου κύµατος που οδεύει κατά τον άξονα z και ταλαντώνεται στο επίπεδο xz. Αν f(z-ut) = 19 sin(z-ut) τότε έχουµε το αρµονικό κύµα. Ο αρµονικός όρος µπορεί να γραφτεί  2π  sin  ( z − ut )  για να είναι το όρισµα της συνάρτησης αδιάστατος αριθµός. Ο λόγος λ  που µελετώνται τα αρµονικά κύµατα, εκτός από την εύκολη µαθηµατική επεξεργασία τους, είναι ότι µε ανάλυση κατά Fourier οποιαδήποτε συνθετότερη µορφή ανάγεται σε άθροισµα ηµιτονικών και συνηµιτονικών όρων. Στην ουσία η διατύπωση του Fourier, ότι οποιαδήποτε περιοδική κίνηση µπορεί να περιγραφεί ως συνδυασµός απλών αρµονικών κινήσεων, ανάγεται στην αρχή της υπέρθεσης, η οποία, όπου ισχύει, επιτρέπει την ανάλυση πολύπλοκων κινήσεων σε συνδυασµούς απλών κινήσεων. Τα επίπεδα Η/Μ κύµατα είναι εγκάρσια E = êx E x ( z , t ) + êy E y ( z , t ) + êz E z ( z , t ) Έστω το κύµα: B = êx B x ( z , t ) + êy B y ( z , t ) + êz Bz ( z , t ) Στο κενό και χωρίς πηγές έχουµε από την πρώτη εξίσωση Maxwell: ∂ ∇⋅ E = 0 ⇒ ∂ ( E ( z, t )) + ∂ y ( E ∂x x Οι δύο πρώτοι όροι µηδενίζονται οπότε: y ) ( z, t ) + ∂ ( E ( z, t )) = 0 ∂z z ∂ ( E ( z, t )) = 0 ∂z z (1) Από την (1) συµπεραίνουµε ότι το E z είναι ανεξάρτητο του z, συνεπώς µπορεί να εξαρτάται µόνο από το χρόνο δηλαδή: Εz = σ(t) (1΄) Από την τέταρτη εξίσωση του Maxwell: 1 ∂E ∇× B = 2 ⇒ c ∂t êx êy êz ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z Bx ( z, t ) B y ( z, t ) Bz ( z , t ) 1 ∂E = 2 ⇒ c ∂t  ∂ Bz ( z , t ) ∂ B y ( z , t )   ∂ Bz ( z , t ) ∂ B x ( z , t )   ∂ B y ( z, t ) ∂ Bx ( z, t )  êx  − − −  − êy   + êz  = ∂ z  ∂ z  ∂ y   ∂ y  ∂ x  ∂ x 1 = 2 c  ∂ E x ( z, t ) ∂ E y ( z, t ) ∂ E z ( z, t )  + êy + êz êx  ∂t ∂t ∂ t   πρ 20 οκύπτει ότι: ∂ B y ( z, t ) 1 ∂ E x ( z, t ) =− 2 ∂z ∂t c (2) ∂ Bx ( z, t ) 1 ∂ E y ( z, t ) = 2 ∂z ∂t c (3) ∂ E z ( z, t ) ∂t =0 (4) Από την εξίσωση (4) έχουµε ότι Εz(z,t) ανεξάρτητο του t, άρα Εz =σ(z) (4΄) Οι (1΄) και (4΄) επιβάλλουν σ(z) = σ(t) = σταθερό. Χωρίς βλάβη της γενικότητας, για δυναµικά πεδία, η σταθερά µπορεί να πάρει την τιµή µηδέν, οπότε: E z = 0 (Α) Για το µαγνητικό πεδίο από τη δεύτερη εξίσωση Maxwell: ∂ ∇⋅B = 0 ⇒ (B ∂x x ( z, t )) + ∂ ∂ ∂ ( B ( z, t )) + ∂ z ( B ( z, t )) = 0 ⇒ ∂ z ( B ( z, t )) = 0 ∂y y z z (5) Από την τρίτη εξίσωση Maxwell, ∇×E = − ∂ B ∂t êx ⇒ êy êz ∂ ∂ ∂ ∂x ∂ y ∂z E x ( z, t ) E y ( z, t ) E z ( z, t ) =− ∂ B ∂t ⇒  ∂ E z ( z, t ) ∂ E y ( z, t )   ∂ E z ( z , t ) ∂ E x ( z, t )   ∂ E y ( z, t ) ∂ E x ( z , t )  êx  − − −  − êy   + êz  = ∂ z  ∂ z  ∂ y   ∂ y  ∂ x  ∂ x  ∂ Bx ( z, t ) ∂ B y ( z, t ) ∂ Bz ( z , t )  = − ê x + êy + êz  ∂t ∂t ∂ t   προκύπτει: ∂ E y ( z, t ) ∂ Bx ( z , t ) = ∂ z ∂ t ∂ E x ( z, t ) ∂z =− ∂ B y ( z, t ) ∂t ∂ Bz ( z , t ) =0 ∂t (6) (7) (8) Από τις (5) και (8) προκύπτει ότι το Bz ( z , t ) είναι ανεξάρτητο των z και t δηλαδή Βz = σταθερό. και χωρίς βλάβη της γενικότητας θεωρούµε τη σταθερά ίση µε µηδέν δηλαδή 21 : Bz = 0 (Β) Από τις (Α) και (Β) η γενική έκφραση του επίπεδου Η/Μ κύµατος γίνεται: E = êx E x ( z , t ) + ê y E y ( z , t ) , B = êx B x ( z , t ) + ê y B y ( z , t ) δηλαδή πρόκειται για εγκάρσια επίπεδα κύµατα αφού οι διευθύνσεις ταλάντωσης των συνιστωσών είναι κάθετες στη διεύθυνση διάδοσης του κύµατος. Ισχύει η σχέση: E ( z , t ) = c B ( z , t ) Έστω E = êx E0 x sin(ωt − kz ) + êy E0 y sin(ωt − kz) . Αναζητώ το αντίστοιχο B που ∂ B δηµιουργεί. Χρησιµοποιούµε την εξίσωση Maxwell: ∇ × E = − οπότε προκύπτει: ∂ t êx ∂B ∂ ∇× E = − ⇒ ∂t ∂x Ex êy ∂ ∂y êz ∂ ∂ B( z, t ) =− ⇒ ∂z ∂t Ey 0  ∂ E y ( z, t )   ∂ E x ( z, t )   ∂ E y ( z, t ) ∂ E x ( z, t )  ê x 0 − −  − êy 0 −  + êz  = ∂ z  ∂ z  ∂ y     ∂ x  ∂ Bx ( z, t ) ∂ Bz ( z , t )  ∂ B y ( z, t ) = − êx + êy + êz  ∂ t  ∂t ∂t  ∂ E y ( z, t ) ∂ Bx ( z, t ) ∂ E x ( z, t ) ∂ B y ( z, t ) ∂ Bz ( z, t ) = , =− , =0 ∂ z ∂ t ∂ z ∂ t ∂ t Άρα Οπότε: Bx = ∂ E y ( z, t ) k ∫ ∂ z dt = − k ∫ E 0 y cos(ωt − kz)dt = − ω ∫ E 0 y cos(ωt − kz)d (ωt − kz) ω =c k 1  → B x = − E 0 y sin(ωt − kz ) + σ 1 c Χωρίς βλάβη της γενικότητας παίρνουµε τη σ1 ίση µε µηδέν, οπότε θα έχουµε: Bx = − Ey c (i) Όµοια για τη B y καταλήγουµε: 22 B y = −∫ ∂ E x ( z, t ) k dt = k ∫ E0 x cos(ωt − kz )dt = ∫ E0 x cos(ωt − kz )d (ωt − kz ) ∂ z ω ω =c 1 k  → B y = E0 x sin(ωt − kz ) + σ 2 c Χωρίς βλάβη της γενικότητας παίρνουµε τη σ2 ίση µε µηδέν, οπότε θα έχουµε: By = Ex c Οπότε: B = (ii) Bx 2 + B y 2 = 1 1 Ex2 + Ey2 = E c c (iii) Τα διανύσµατα E και B είναι κάθετα και συµφασικά Είναι Ex ⋅ E y E y ⋅ Ex E ⋅ B = E x ⋅ Bx + E y ⋅ B y = − + = 0⇒ E ⊥ B, c c όπου χρησιµοποιήσαµε τις σχέσεις (i) και (ii). Επίσης από την ανάλυση της προηγούµενης παραγράφου φαίνεται ότι αν γενικά E = E 0 sin( ωt − kz ) , τότε και B = B0 sin( ωt − kz ) , δηλαδή δεν υπάρχει διαφορά φάσης µεταξύ E και B . Συνεπώς τα τρία διανύσµατα σχηµατίζουν ένα E , B, k δεξιόστροφο καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων όπως φαίνεται και στο στιγµιότυπο του Η/Μ κύµατος που απεικονίζει το διπλανό σχήµα. 23 Σφαιρικά κύµατα Αναφέραµε ότι η κυµατική εξίσωση έχει λύσεις που αντιστοιχούν σε επίπεδα κύµατα και ότι οποιοδήποτε κύµα µπορεί να περιγραφεί από την υπέρθεση πολλών επίπεδων κυµάτων. Κάποιες φορές όµως, είναι πιο εύχρηστο να χρησιµοποιούµε για το κύµα µια διαφορετική µαθηµατική περιγραφή. Τα σφαιρικά κύµατα, τα οποία είναι κύµατα που αντιστοιχούν σε σφαιρικές ισοφασικές επιφάνειες οι οποίες αποµακρύνονται από κάποιο κέντρο. Ως εκ τούτου στα σφαιρικά κύµατα έχουµε χωρική εξάρτηση των πεδίων µόνο από το r σε σφαιρικές συντεταγµένες, όπου κατά τα γνωστά: r = x 2 + y 2 + z 2 . Αν εκφράσουµε τη λαπλασιανή της κυµατικής εξίσωσης σε σφαιρικές συντεταγµένες και δεδοµένου ότι δεν έχουµε εξάρτηση από τα θ και φ, θα έχουµε: d 2ψ (r ) 2 dψ (r ) 1 d 2 ∇ ψ (r ) = + = ( rψ (r ) ) . Εποµένως, για την περιγραφή σφαιρικά dr 2 r dr r dr 2 2 συµµετρικών ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων έχουµε την ακόλουθη κυµατική εξίσωση: f (t − r / c) r r Σχήµα 1.3.1 1 ∂2 1 ∂ 2ψ r − = 0 . Η οποία γράφεται όµως και στην ακόλουθη µορφή: ψ ( ) r ∂r 2 c 2 ∂t 2 ∂2 1 ∂2 r ψ − ( ) 2 2 (rψ ) = 0 ∂r 2 c ∂t 24 Αυτή η εξίσωση έχει ακριβώς την ίδια µορφή για τη συνάρτηση rψ, που έχει και η µονοδιάστατη κυµατική εξίσωση. rψ ( r , t ) = f (r − ct ) . Άρα, ψ ( r , t ) = Εποµένως θα έχει λύσεις της µορφής: f ( r − ct ) . Αυτή είναι η γενική λύση ενός σφαιρικού r κύµατος το οποίο αποµακρύνεται από το κέντρο µε ταχύτητα c. Το r στον παρονοµαστή υποδεικνύει, ότι αντίθετα µε τα επίπεδα κύµατα όπου το πλάτος τους παραµένει σταθερό, το πλάτος στα σφαιρικά κύµατα µειώνεται κατά ένα παράγοντα 1/r, καθώς οδεύουν, όπως φαίνεται στο σχήµα 1.3.1. Το φαινόµενο αυτό γίνεται κατανοητό µε το ακόλουθο απλό φυσικό επιχείρηµα. Γνωρίζουµε ότι η ενεργειακή πυκνότητα του κύµατος είναι ανάλογη του τετραγώνου του πλάτους του. Καθώς το σφαιρικό κύµα οδεύει η ενέργειά του διαχέεται σε όλο και µεγαλύτερη επιφάνεια, που είναι ανάλογη του τετραγώνου της απόστασης r2 ( 4π r 2 είναι η επιφάνεια της σφαίρας). Αν η συνολική ενέργεια διατηρείται, θα πρέπει η ενεργειακή πυκνότητα του κύµατος να µειώνεται σαν 1/r2, οπότε το πλάτος πρέπει να µειώνεται σαν 1/r, όπως και συµβαίνει. Η ψ (r , t ) = δεύτερη λύση της εξίσωσης ∂2 1 ∂2 ( rψ ) − 2 2 (rψ ) = 0 ∂r 2 c ∂t είναι η: f ( r + ct ) Και αυτή περιγράφει ένα σφαιρικό κύµα, το οποίο όµως οδεύει προς . r τα µέσα, από µεγάλα r προς το κέντρο. Γνωρίζουµε από την εµπειρία µας ότι κύµατα τα οποία δηµιουργούνται από κάποια πηγή οδεύουν προς τα έξω, αποµακρυνόµενα από την πηγή που τα δηµιούργησε. Είναι µάλλον παράξενο, να φανταστούµε ένα σφαιρικό κύµα που έρχεται από το άπειρο και φτάνει στις πηγές τη στιγµή που αρχίζουν να δραστηριοποιούνται. Οφείλουµε όµως να διαπιστώσουµε ότι η υπόθεσή µας αυτή να θεωρήσουµε µόνο αποµακρυνόµενα σφαιρικά κύµατα έχει ένα ενδιαφέρον αποτέλεσµα. Τόσο οι αρχικές εξισώσεις του Maxwell, όσο και η κυµατική εξίσωση παρουσιάζουν συµµετρία ως προς το χρόνο. Με την παραπάνω υπόθεση καταστρέφουµε τη συµµετρία αυτή. 25 Η υπόθεση του αιθέρα Η πειραµατική επιβεβαίωση του γεγονότος ότι τα Η/Μ κύµατα διαδίδονται στο κενό, όπως προβλέπεται από τις εξισώσεις του Maxwell, αποτέλεσε ένα µεγάλο πονοκέφαλο για τους φυσικούς. Το πρόβληµα συνίστατο στην έλλειψη υλικού φορέα διάδοσης των Η/Μ κυµάτων, πράγµα που φαινόταν αδιανόητο και σε αντίθεση µε την κοινή αντίληψη. Μια λογική προσπάθεια αντιµετώπισης του προβλήµατος ξεκίνησε από σκέψεις κατ΄ αντιστοιχία προς τα ακουστικά κύµατα. Υλικός φορέας για τα τελευταία είναι ο αέρας, ο δε ήχος διαδίδεται λόγω ταλαντώσεων των µορίων του αέρα. Η ταχύτητα διάδοσης είναι σταθερή - 340 m/sec, ανεξάρτητα από την κίνηση της πηγής, ως προς ένα προνοµιακό σύστηµα αναφοράς, το οποίο δεν κινείται ως προς τον αέρα. Προτάθηκε λοιπόν η ύπαρξη του αιθέρα σαν υλικό µέσο που γεµίζει τον κενό χώρο και αποτελεί τον υλικό φορέα διάδοσης των Η/Μ κυµάτων. Κατ΄ αναλογία προς τα ακουστικά κύµατα προτάθηκε η ύπαρξη ενός προνοµιακού συστήµατος αναφοράς ακίνητο ως προς τον αιθέρα, όπου η ταχύτητα των Η/Μ κυµάτων είναι σταθερή(c=3 108 m/sec, ανεξάρτητα από την κίνηση της πηγής). Η πραγµατικότητα όµως είναι διαφορετική. Η ταχύτητα διάδοσης των Η/Μ κυµάτων είναι ίδια σε όλα τα συστήµατα αναφοράς. ∆εν υπάρχει προνοµιακό σύστηµα αναφοράς για τα Η/Μ κύµατα. Γενικότερα αυτό που διαπιστώνεται πειραµατικά είναι ότι οι εξισώσεις του Maxwell παραµένουν αναλλοίωτες στους µετασχηµατισµούς Lorentz, είναι δηλαδή σε συµφωνία µε τις βασικές αρχές της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας. Κατόπιν αυτών και µε δεδοµένο ότι η θεωρία ύπαρξης του αιθέρα καταρρίφθηκε πειραµατικά (πείραµα Michelson - Morley) η έννοια του αιθέρα εγκαταλείφθηκε. 26 Συµπερασµατικά: Μέχρι εδώ έχουν συλλεχθεί αρκετά στοιχεία που συνηγορούν ότι το φως είναι Η/Μ κύµα: i) Στις διαφορικές 2 ∇ 2 B − ε 0µ 0 ∂ B ii) ∂ 2t εξισώσεις 2 ∇ 2 E − ε 0µ 0 ∂ E = 0 η ταχύτητα v = 1 ∂ 2t =0 και ε 0 µ0 = 3 ⋅108 m sec , είναι η ταχύτητα του φωτός στο κενό. Στο Η/Μ κύµα τα E και B είναι εγκάρσια και κάθετα µεταξύ τους. Το ίδιο διαπιστώνεται πειραµατικά για το φως. iii) Το Η/Μ κύµα διαδίδεται στο κενό όπως και το φως. Σηµειώνουµε ότι όπως θα δούµε στις επόµενες παραγράφους και µέσα στην ύλη το φως συµπεριφέρεται όπως και τα Η/Μ κύµατα. Γενικά δηλαδή το φως πληροί όλες τις ιδιότητες των Η/Μ κυµάτων, έχει την ίδια συµπεριφορά µε αυτά και συνεπώς είναι αδιαµφισβήτητα Η/Μ κύµα. 27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 – ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ 2.1 – ΕΙΣΑΓΩΓΗ: Η ΠΡΟΣΕΓΠΣΗ ΤΗΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗΣ ∆ΙΑ∆ΟΣΗΣ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ Σε αυτή την ενότητα θα χρησιµοποιήσουµε αυτό που ονοµάζουµε ευθύγραµµη διάδοση τον φωτός µε την έννοια της φωτεινής ακτίνας. Για να κατανοήσουµε την προσέγγιση αυτή, πρέπει πρώτα να θυµηθούµε ότι η κατεύθυνση ροής της ενέργειας συµπίπτει µε την κατεύθυνση διάδοσης της κυµατικής διαταραχής. Η κατεύθυνση αυτή ονοµάζεται φωτεινή ακτίνα και είναι η ευθεία γραµµή που ακολουθεί το φως κατά την διάδοση του. Οι φωτεινές ακτίνες είναι ευθείες γραµµές, κάθετες στα κυµατικά µέτωπα, (σχήµα 2.1.1) για την περίπτωση επίπεδου κύµατος. Στην προσέγγιση της φωτεινής ακτίνας υποθέτουµε ότι το κύµα Σχήµα 2.1.1 φωτός που διαδίδεται σε ένα µέσο οδεύει σε ευθεία γραµµή κατά την κατεύθυνση των φωτεινών ακτινών. ∆ηλαδή φωτεινή ακτίνα είναι η ευθεία γραµµή που έχει την κατεύθυνση διάδοσης του κύµατος φωτός. Εάν τώρα η φωτεινή ακτίνα προσπέσει πάνω σε ένα εµπόδιο, π.χ. ένα διάφραγµα µε µια κυκλική οπή της οποίας η διάµετρος είναι µεγάλη σε σύγκριση µε το µήκος κύµατος του φωτός (σχήµα 2.1.2.a) τότε το φωτεινό κύµα, που εξέρχεται από την οπή, εξακολουθεί να διαδίδεται κατά την προηγούµενη ευθύγραµµη κατεύθυνση του. Βλέπουµε λοιπόν ότι η προσέγγιση της φωτεινής ακτίνας ισχύει στην περίπτωση αυτή. Εάν όµως η διάµετρος της οπής του διαφράγµατος είναι συγκρίσιµη µε το µήκος κύµατος του φωτός (σχήµα 2.1.2.b) το φωτεινό κύµα καθώς εξέρχεται από την οπή διαδίδεται προς όλες τις εµπρόσθιες κατευθύνσεις. Αυτό συµβαίνει διότι το φως έχει περιθλαστεί. Τέλος, εάν η διάµετρος της οπής είναι µικρή σε σύγκριση µε το µήκος κύµατος του φωτός, µπορούµε να θεωρήσουµε ότι η οπή είναι σηµειακή πηγή παραγωγής κυµάτων (σχήµα 2.1.2.c). Βλέπουµε λοιπόν ότι το φαινόµενο της περίθλασης είναι εντονότερο 28 καθώς ο λόγος d / λ τείνει προς το µηδέν. Παρόµοια φαινόµενα παρατηρούνται όταν τα φωτεινά κύµατα προσπίπτουν πάνω σε ένα αδιαφανές εµπόδιο κυκλικού σχήµατος. Τότε, εάν λ << d, το εµπόδιο αυτό ρίχνει µια πολύ αυστηρώς καθορισµένη σκιά. Σχήµα 2.1.2 Στην επόµενη παράγραφο όπου µελετούµε φαινόµενα από την λεγόµενη Γεωµετρική Οπτική, θα θεωρούµε ότι ισχύει η υπόθεση της ευθύγραµµης διάδοσης του φωτός και ότι λ << d. Η προσέγγιση αυτή είναι πολύ καλή για την µελέτη κατόπτρων, φακών, πρισµάτων καθώς και των διαφόρων οπτικών οργάνων, όπως είναι τα τηλεσκόπια, τα µικροσκόπια και οι φωτογραφικές µηχανές. Αργότερα θα µελετήσουµε διεξοδικά το φαινόµενο της περίθλασης, όπου υποθέτουµε ότι λ ≥ d. 29 2.2 - ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ Όταν µια φωτεινή ακτίνα που διαδίδεται σε ένα µέσο συναντήσει τη διαχωριστική επιφάνεια ανάµεσα στο αρχικό µέσο διάδοσης µε ένα άλλο, τότε ένα µέρος της αρχικής ακτίνας ανακλάται πίσω στο αρχικό µέσο διάδοσης. Στο σχήµα 2.2.1.a βλέπουµε να ανακλώνται οι ακτίνες φωτός που προσπίπτουν πάνω σε µια λεία και στιλπνή επιφάνεια η οποία µοιάζει µε κάτοπτρο. Οι ανακλώµενες ακτίνες εξακολουθούν να είναι παράλληλες µεταξύ τους. Για τον λόγο αυτό η ανάκλαση αυτή ονοµάζεται κατοπτρική ανάκλαση. Εάν όµως η επιφάνεια πάνω στην οποία προσπίπτουν οι ακτίνες είναι τραχιά και ανώµαλη τότε οι ακτίνες ανακλώνται προς διαφορετικές κατευθύνσεις και διασκορπίζονται στον γύρω χώρο (σχήµα 2.2.1.b). Η ανάκλαση αυτή, κατά την οποία οι ακτίνες κατευθύνονται ακανόνιστα προς όλες τις κατευθύνσεις, ονοµάζεται διάχυση. Μια επιφάνεια θα παίξει τον ρόλο του κατόπτρου µόνον όταν οι ατέλειες της είναι µικρές σε σύγκριση µε το µήκος κύµατος του προσπίπτοντος φωτός. Για παράδειγµα ας υποθέσουµε ότι οδηγούµε ένα αυτοκίνητο την νύχτα. Εάν η άσφαλτος είναι στεγνή, τότε το φως από τους προβολείς των αυτοκινήτων που προσπίπτει στον δρόµο διαχέεται προς όλες τις κατευθύνσεις και έτσι ο δρόµος φαίνεται καλά. Εάν όµως έχει βρέξει, το νερό γεµίζει τις ανωµαλίες του δρόµου και η επιφάνεια του νερού είναι αρκετά λεία ώστε να αποτελεί καλό κάτοπτρο. Το φως των προβολέων των αυτοκινήτων που προσπίπτει πάνω στην επιφάνεια του νερού υφίσταται κατοπτρική ανάκλαση. Έτσι ο δρόµος δεν διακρίνεται καλά. Στη συνέχεια όταν χρησιµοποιούµε την λέξη ανάκλαση, θα εννοούµε την κατοπτρική ανάκλαση. Σχήµα 2.2.1 Θεωρούµε µια φωτεινή ακτίνα που διαδίδεται στον αέρα και προσπίπτει υπό γωνία πάνω 30 σε µια λεία επιφάνεια όπως στο σχήµα 2.2.2. Η προσπίπτουσα και η ανακλώµενη ακτίνα σχηµατίζουν γωνίες θ1 και θ1′ , αντίστοιχα, µε την κάθετο προς την ανακλώσα επιφάνεια ανάκλασης. στο σηµείο Σχήµα 2.2.2 Γνωρίζουµε πειραµατικά ότι η γωνία ανακλάσεως ισούται µε την γωνία προσπτώσεως, δηλαδή θ1 = θ1′ (Νόµος ανάκλασης) Στην ενότητα 2.4 θα αποδείξουµε τον παραπάνω νόµο βασιζόµενοι στην κυµατική φύση του φωτός ενώ στην ενότητα 4.3 βασιζόµενοι στην σωµατιδιακή φύση του φωτός µε εφαρµογή της διατήρησης της ενέργειας και της ορµής. 31 2.3 - ∆ΙΑΘΛΑΣΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ Όταν µια ακτίνα φωτός που διαδίδεται σε ένα µέσο συναντήσει τη διαχωριστική επιφάνεια ανάµεσα στο µέσο αυτό µε ένα άλλο διαφανές µέσο ένα µέρος της αρχικής ακτίνας ανακλάται, αλλά ένα άλλο µέρος της διαθλάται µέσα στο δεύτερο µέσο. Η προσπίπτουσα, η ανακλώµενη και η διαθλώµενη ακτίνα βρίσκονται όλες στο ίδιο επίπεδο. Η διαθλώµενη ακτίνα δεν συνεχίζει την πορεία της προσπίπτουσας ακτίνας αλλά σχηµατίζει γωνία θ2 µε την κάθετο στην διαχωριστική επιφάνεια των δύο µέσων. Η γωνία θ2 λέγεται γωνία διάθλασης (σχήµα 2.3.1) και εξαρτάται από τις οπτικές ιδιότητες των δύο µέσων και από την γωνία προσπτώσεως θ1 της αρχικής ακτίνας, σύµφωνα µε την σχέση sin θ 2 u 2 = = σταθερα , όπου u1 είναι το sin θ1 u1 Σχήµα 2.3.1 µέτρο της ταχύτητας του φωτός στο µέσο 1 και u2 στο µέσο 2. Η σχέση αυτή ονοµάζεται νόµος του Snell, προς τιµήν του Willebrord Snell (1591 - 1627), ο οποίος πρώτος την ανακάλυψε. Εφόσον στον χώρο των τριών διαστάσεων δεν υπάρχει καµιά ιδιαίτερη γωνία που σχηµατίζει µια φωτεινή ακτίνα µε την επιφάνεια ενός τρισδιάστατου αντικειµένου, συµβατικά, µετρούµε τις γωνίες προσπτώσεως, ανακλάσεως και διαθλάσεως ως προς την κάθετο στην διαχωριστική επιφάνεια των δύο µέσων. Από πειράµατα γνωρίζουµε ότι η διαδροµή µιας φωτεινής ακτίνας η οποία προσπίπτει σε µια διαχωριστική επιφάνεια και διαθλάται είναι αντιστρέψιµη. Για παράδειγµα, η ακτίνα του σχήµατος 2.3.1 διαδίδεται ξεκινώντας από το σηµείο Α και φθάνει στο Β. Εάν τώρα αντιστρεφόταν η κατεύθυνση, η ακτίνα θα ξεκινούσε από το Β και θα έφτανε στο Α. Στη δεύτερη περίπτωση, το µέρος της ακτίνας που θα ανακλώνταν θα παρέµενε στο γυαλί. Το φως συµπεριφέρεται διαφορετικά από τα συνήθη σώµατα καθώς εισέρχεται 32 από τον αέρα σε διάφορα διαφανή υλικά ή αντίστροφα. Το φως διαδίδεται στον αέρα µε µέτρο ταχύτητας 3 ⋅108 m/s. Μόλις όµως εισέλθει σε ένα κοµµάτι γυαλί, η ταχύτητα του µειώνεται στα 2 ⋅108 m/s. Κατόπιν, αµέσως µόλις εξέλθει από το γυαλί στον αέρα, η ταχύτητα του επανακτά την προηγούµενη τιµή της των 3 ⋅108 m/s. Η συµπεριφορά αυτή του φωτός είναι εντελώς διαφορετική από τη συµπεριφορά µιας π.χ. σφαίρας η οποία εισέρχεται σε ένα κοµµάτι ξύλο. Η ταχύτητα της σφαίρας µειώνεται όταν εισέλθει στο ξύλο γιατί µέρος της αρχικής της ενέργειας δαπανάται για το σπάσιµο των ινών του ξύλου. Όταν η σφαίρα εξέλθει από το ξύλο στον αέρα η ταχύτητα της είναι αυτή που είχε λίγο προτού εγκαταλείψει το ξύλο. Το φως µεταδίδεται από το ένα άτοµο στο άλλο µε ταχύτητα 3 ⋅108 m/s, αλλά η διαδικασία απορρόφησης και εκποµπής χρειάζεται πεπερασµένο χρόνο, που είναι αρκετός ώστε να ελαττωθεί η ταχύτητα του φωτός για το γυαλί του παραδείγµατος µας στα 2 ⋅108 m/s. Μόλις το φως βγει στο κενό τελειώνει η «σκυταλοδροµία», παύουν οι απορροφήσεις και οι εκποµπές και το µέτρο της ταχύτητας του φωτός επανακτά την τιµή των 3 ⋅108 m/s. Οι λεπτοµέρειες του µηχανισµού αυτού των απορροφήσεων και των εκποµπών είναι αντικείµενο µελέτης εποµένου κεφαλαίου. Όταν το φως µεταβαίνει από ένα µέσο στο οποίο η ταχύτητα του φωτός είναι υψηλή σε ένα µέσο στο οποίο η ταχύτητα του φωτός είναι µικρότερη, τότε η γωνία Σχήµα 2.3.2 Σχήµα 2.3.3 33 διάθλασης θ2 είναι µικρότερη από την γωνία προσπτώσεως θ1 (σχήµα 2.3.2). Εάν όµως η ταχύτητα του φωτός στο δεύτερο µέσο είναι µεγαλύτερη από την ταχύτητα στο πρώτο, τότε αποµακρύνεται από την κάθετο διότι η γωνία διαθλάσεως θ2 είναι µεγαλύτερη από την γωνία προσπτώσεως θ1 (σχήµα 2.3.3). Ο λόγος για τον οποίο το φως διαθλάται καθώς διέρχεται από ένα µέσο σε ένα άλλο είναι ότι η ταχύτητα του είναι διαφορετική στα δύο µέσα. Γνωρίζουµε ότι το µέτρο της ταχύτητας του φωτός έχει την µέγιστη τιµή του όταν το φως διαδίδεται στο κενό. Ορίζουµε έναν συντελεστή, τον λεγόµενο δείκτη διαθλάσεως, n, ενός µέσου ως το πηλίκο του µέτρου της ταχύτητας του φωτός στο κενό προς το µέτρο της ταχύτητας του φωτός στο µέσο c n = . Από τον ορισµό u Σχήµα 2.3.4 βλέπουµε ότι ο δείκτης διαθλάσεως ενός µέσου είναι ένας καθαρός αριθµός και πάντοτε µεγαλύτερος από τη µονάδα, αφού η u είναι πάντοτε µικρότερη από την c. Είναι προφανές ότι στο κενό n = 1. Καθώς το φως διαδίδεται από ένα υλικό σε άλλο, η συχνότητα του δεν µεταβάλλεται. Για να το κατανοήσουµε αυτό στο σχήµα 2.3.4 τα κυµατικά µέτωπα διέρχονται µπροστά από έναν παρατηρητή Α στο µέσο 1 µε µια ορισµένη συχνότητα και προσπίπτουν πάνω στη διαχωριστική επιφάνεια των µέσων 1 και 2. Η συχνότητα µε την οποία τα κυµατικά µέτωπα διέρχονται µπροστά από έναν παρατηρητή Β που βρίσκεται στο µέσο 2 πρέπει να είναι ίση µε τη συχνότητα µε την οποία διέρχονται µπροστά από τον παρατηρητή Α στο µέσο 1. Εάν δεν συνέβαινε αυτό, τα κυµατικά µέτωπα ή θα συσσωρεύονταν ή θα καταστρέφονταν ή θα δηµιουργούνταν στην διαχωριστική επιφάνεια των δύο µέσων, πράγµα που δεν έχει παρατηρηθεί πειραµατικά. Η συχνότητα έτσι παραµείνει σταθερή καθώς το φως διέρχεται από το ένα µέσο στο άλλο. Επειδή όµως η σχέση u = λ ⋅ f πρέπει να ισχύει και στα δύο µέσα έπεται ότι u1 = λ1 ⋅ f και u 2 = λ 2 ⋅ f όπου οι δείκτες συµβολίζουν το καθένα από τα δύο µέσα. Εάν διαιρέσουµε τις δύο τελευταίες εξισώσεις και χρησιµοποιήσουµε τον ορισµό του δείκτη διαθλάσεως, βρίσκουµε: 34 λ1 u1 c / n1 n 2 = = = λ 2 u 2 c / n 2 n1 Σύµφωνα µε τα παραπάνω και µε τον ορισµό του, ο δείκτης διαθλάσεως οποιουδήποτε υλικού ισούται µε: n= c λ0 ⋅ f λ0 , = = u λn ⋅ f λn όπου λ0 είναι το µήκος κύµατος του φωτός στο κενό και λn είναι το µήκος κύµατος του φωτός στο µέσο που έχει δείκτη διαθλάσεως n. Με βάση τις τελευταίες σχέσεις µπορούµε να ξαναγράψουµε τον νόµο του Snell, αναλυτική απόδειξη του οποίου ακολουθεί στην επόµενη ενότητα, στην πιο γνωστή και πιο διαδεδοµένη µορφή του: sin θ 2 u 2 n 2 = = ⇒ n1 ⋅ sin θ 2 = n 2 ⋅ sin θ1 sin θ1 u1 n1 35 2.4 - Η ΑΡΧΗ TOY HUYGENS Στην παράγραφο αυτή θα οδηγηθούµε στους νόµους της ανάκλασης και της διάθλασης µε τη χρησιµοποίηση της γεωµετρικής µεθόδου που διατύπωσε ο Huygens το 1678. Ο Huygens υπέθεσε ότι το φως δεν είναι ρεύµα σωµατιδίων αλλά ένα είδος κυµατικής κίνησης. ∆εν γνώριζε τίποτα για τον ηλεκτροµαγνητικό χαρακτήρα του φωτός. Το απλοϊκό µοντέλο του Huygens είναι χρήσιµο για την κατανόηση των πρακτικών κανόνων της διάδοσης του φωτός. Η αρχή του Huygens δεν είναι τίποτε άλλο από µια γεωµετρική ανακατασκευή της θέσης που έχει σε µια στιγµή κάποιο κυµατικό µέτωπο όταν χρησιµοποιηθεί στην προηγούµενη θέση που κατείχε ένα άλλο παρόµοιο κυµατικό µέτωπο. Κατά την αρχή του Huygens κάθε σηµείο του κυµατικού µετώπου γίνεται πηγή εκποµπής δευτερογενών σφαιρικών κυµάτων, τα οποία αποµακρύνονται από την πηγή µε την χαρακτηριστική ταχύτητα διάδοσης του κύµατος στο µέσο διάδοσης. Μετά την πάροδο ορισµένου χρόνου, το νέο κυµατικό µέτωπο ορίζεται από την επιφάνεια που εφάπτεται µε τα µέτωπα δευτερογενών κυµάτων. Κάθε σηµείο του νέου κυµατικού µετώπου γίνεται µε την σειρά του τώρα πηγή εκποµπής δευτερογενών κυµάτων και έτσι συνεχίζεται η προηγούµενη διαδικασία. Στο σχήµα 2.4.1 βλέπουµε δύο απλές εφαρµογές της γεωµετρικής ανακατασκευής της διάδοσης κυµάτων σύµφωνα µε την αρχή του Huygens. Στο σχήµα a απεικονίζεται ένα επίπεδο κύµα το οποίο διαδίδεται στο κενό. Η ευθεία γραµµή ΑΑ' συµβολίζει το επίπεδο που είναι ένα κυµατικό µέτωπο την στιγµή t = 0. Tο κυµατικό µέτωπο είναι µια ισοφασική επιφάνεια, Σχήµα 2.4.1 δηλαδή µια επιφάνεια στην οποία τα σηµεία του κύµατος τα οποία περιέχει βρίσκονται σε φάση. Στην ανακατασκευή 36 του Huygens θεωρούµε ότι κάθε σηµείο αποτελεί πηγή δευτερογενών κυµάτων. Με κέντρο τις δευτερεύουσες αυτές πηγές χαράζουµε κύκλους ακτίνας c ⋅ ∆t , όπου c είναι η ταχύτητα διάδοσης του φωτός και ∆t ο χρόνος διάδοσης από το ένα κυµατικό µέτωπο σε ένα άλλο. Η εφαπτοµενική σε αυτά επιφάνεια είναι το επίπεδο Β΄Β , το οποίο είναι παράλληλο στο ΑΑ'. Κατά παρόµοιο τρόπο αντιλαµβανόµαστε την ανακατασκευή στον χώρο των σφαιρικών κυµάτων του σχήµατος b. Mία εφαρµογή της αρχής του Huygens πραγµατοποιείται χρησιµοποιώντας µια ρηχή λεκάνη γεµάτη µε νερό (σχήµα 2.4.2). Βλέπουµε ότι τα επίπεδα κύµατα τα οποία προσπίπτουν πάνω στην σχισµή του διαφράγµατος εξέρχονται από αυτήν σαν ένα δισδιάστατο κυκλικό κύµα που Σχήµα 2.4.2 αποµακρύνεται. Εφαρµογή της αρχής του Huygens στην ανάκλαση και στην διάθλαση: Στο σχήµα 2.4.3.a η γραµµή ΑΑ' παριστάνει ένα κυµατικό µέτωπο του προσπίπτοντος φωτός. Καθώς η ακτίνα 3 διαδίδεται από το Α' στο C, η ακτίνα 1 ανακλάται και παράγει ένα δευτερογενές κύµα ακτίνας AD. Υπενθυµίζουµε ότι η ακτίνα των δευτερογενών Σχήµα 2.4.3 κυµάτων του Huygens ισούται µε u ⋅ t . Τα δύο κύµατα που έχουν ακτίνα A΄C και AD διαδίδονται στο ίδιο µέσο και εποµένως έχουν την ίδια ταχύτητα διάδοσης υ, άρα AD = A΄C. Στο µεταξύ, το σφαιρικό δευτερογενές κύµα που έχει πηγή το Β έχει καλύψει µικρότερη απόσταση από το αντίστοιχο που έχει πηγή το Α, διότι προσέπεσε στο Β 37 αργότερα από την στιγµή κατά την οποία η ακτίνα 1 είχε προσπέσει στο Α. Από την αρχή του Huygens βρίσκουµε ότι το ανακλασθέν κυµατικό µέτωπο CD εφάπτεται µε όλα τα εξερχόµενα σφαιρικά δευτερογενή κύµατα. Τα ορθογώνια τρίγωνα ADC και ΑΑ΄C είναι ίσα, διότι έχουν την ίδια υποτείνουσα και επίσης AD = A΄C. Στο σχήµα 2.4.3.b βλέπουµε ότι sin θ1 = Α′C ΑD και sin θ1′ = . Εποµένως sin θ1 = sin θ1′ ⇒ θ1 = θ1′ , δηλαδή προκύπτει AC AC τελικά ο νόµος της ανάκλασης. Θα καταλήξουµε τώρα στο νόµο του Snell χρησιµοποιώντας την αρχή του Huygens. Στο σχήµα 2.4.4.a στο χρονικό διάστηµα ∆t η ακτίνα 1 κινείται από το Α στο Β και η ακτίνα 2 κινείται από Α' στο C. Η ακτίνα του δευτερογενούς σφαιρικού κύµατος που πηγάζει από το Α ισούται µε u 2 ⋅ ∆t . Η απόσταση A΄C ισούται µε u1 ⋅ ∆t , η γωνία A'AC ισούται µε την θ1, διότι έχουν τις πλευρές τους κάθετες µεταξύ τους και για τον ίδιο λόγο η γωνία ACB ισούται µε την θ2. Από τα τρίγωνα ΑΑ΄C και ACB βρίσκουµε ότι: sin θ1 = u1 ⋅ ∆t ΑC ∆ιαιρώντας προκύπτει sin θ 2 = και τις δυο u 2 ⋅ ∆t . ΑC εξισώσεις sin θ1 u1 . = sin θ 2 u 2 Από τον ορισµό του δείκτη διάθλασης έχουµε ότι: u1 = u2 = Σχήµα 2.4.4 c και n1 c και αντικαθιστώντας: n2 c sin θ1 u1 n1 n 2 = = = ⇒ c sin θ 2 u 2 n1 n2 n1 ⋅ sin θ1 = n 2 ⋅ sin θ 2 , που είναι ο νόµος της διάθλασης (ή νόµος του Snell). 38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 – ΚΥΜΑΤΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ 3.1 – ΕΙΣΑΓΩΓΗ: ΚΥΜΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ Στις προηγούµενες παραγράφους µελετήσαµε την Γεωµετρική Οπτική και χρησιµοποιήσαµε την προσέγγιση των φωτεινών ακτινών για να εξηγήσουµε την συµπεριφορά του φωτός όταν αυτό διέρχεται δια µέσου φακών ή ανακλάται από κάτοπτρα. Στη συνέχεια θα ασχοληθούµε µε το µέρος της Οπτικής που ονοµάζεται Κυµατική Οπτική. Θα µελετήσουµε τα φαινόµενα της συµβολής, της περίθλασης και της πόλωσης του φωτός. Τα φαινόµενα αυτά δεν µπορούµε να τα κατανοήσουµε µε την προσέγγιση των φωτεινών ακτινών δηλαδή της ευθύγραµµης διάδοσης του φωτός και για τον λόγο αυτό θα χρησιµοποιήσουµε την κυµατική θεωρία του φωτός. Είναι η θεωρία που µας οδηγεί σε ικανοποιητική ερµηνεία των προαναφερθέντων φαινοµένων. 3.2 – ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ ΓΙΑ ΣΥΜΒΟΛΗ ∆ύο κύµατα µπορεί να συµβάλλουν ενισχυτικά ή καταστρεπτικά (αποσβεστικά). Όταν η συµβολή είναι ενισχυτική, το πλάτος του συνιστάµενου κύµατος είναι µεγαλύτερο από το πλάτος του ενός ή του άλλου των συµβαλλόντων κυµάτων. Αντίθετα, στην καταστρεπτική συµβολή, το πλάτος του συνιστάµενου κύµατος είναι µικρότερο. Το ίδιο συµβαίνει και µε τα κύµατα φωτός όταν αυτά συµβάλλουν. Στο θεµελιώδες επίπεδο, συµβολή του φωτός σηµαίνει συµβολή των αντίστοιχων πεδίων από τα οποία αποτελούνται τα κύµατα. ∆εν είναι εύκολο να παρατηρήσουµε φαινόµενα συµβολής του φωτός, διότι το µήκος κύµατος του ορατού φωτός είναι πάρα πολύ µικρό (από 400 nm έως 700 nm ). Για να µπορέσουµε να παρατηρήσουµε στάσιµη συµβολή ορατού φωτός πρέπει να πληρούνται οι ακόλουθες συνθήκες: Α. Οι πηγές πρέπει να είναι σύµφωνες, δηλαδή να έχουν σταθερή διαφορά φάσης µεταξύ τους. Β. Οι πηγές πρέπει να είναι µονοχρωµατικές, δηλαδή να εκπέµπουν ένα µόνο µήκος κύµατος φωτός το οποίο θα είναι το ίδιο και για τις δύο πηγές. 39 Γ. Πρέπει να ισχύει η αρχή της επαλληλίας. Για να υπάρξει το φαινόµενο της συµβολής πρέπει να προϋπάρχουν δύο τρέχοντα (οδεύοντα) κύµατα. Για να υπάρξει όµως στάσιµη συµβολή, τα επιµέρους κύµατα πρέπει να έχουν συνεχώς σταθερή διαφορά φάσης µεταξύ τους. Στην περίπτωση αυτή λέµε ότι οι δύο αυτές πηγές είναι σύµφωνες. Για παράδειγµα εάν έχουµε δύο µεγάφωνα το ένα δίπλα στο άλλο, τα οποία είναι συνδεδεµένα µε τον ίδιο ενισχυτή, τότε τα δύο ηχητικά κύµατα που παράγει ο ενισχυτής µέσω των δύο µεγαφώνων θα συµβάλλουν δίνοντας ένα σταθερό αποτέλεσµα συµβολής, διότι τα δύο µεγάφωνα αντιδρούν ταυτόχρονα και κατά τον ίδιο τρόπο στο ίδιο σήµα που παίρνουν από τον ενισχυτή. Αν πάρουµε τώρα δύο ξεχωριστές πηγές φωτός που είναι τοποθετηµένες η µια δίπλα στην άλλη προφανώς τα φωτεινά κύµατα που εκπέµπουν οι δύο αυτές πηγές συµβάλλουν, αλλά επειδή τα εκπεµπόµενα κύµατα από τις δύο πηγές είναι ανεξάρτητα, η διαφορά φάσης τους µεταβάλλεται συνεχώς χωρίς συγκεκριµένη σχέση µε το χρόνο. Εποµένως, κατά την διάρκεια της παρατήρησης, το αποτέλεσµα της συµβολής δεν είναι µια στάσιµη κατάσταση κατά την οποία σε κάθε σηµείο του χώρου η συνιστάµενη διαταραχή έχει σταθερό πλάτος. Έτσι, δεν παρατηρείται καµιά συγκεκριµένη εικόνα συµβολής. Το φως που εκπέµπουν οι κοινοί λαµπτήρες µεταβάλλεται µέσα σε χρονικά διαστήµατα της τάξης των 10−8 s. Εποµένως οι συνθήκες για ενισχυτική, καταστρεπτική ή µια ενδιάµεση κατάσταση συµβολής διαρκούν µόνο χρονικά διαστήµατα των 10−8 s. Ο οφθαλµός µας όµως δεν µπορεί να παρατηρήσει τόσο γρήγορες µεταβολές, δεν µπορεί να παρατηρήσει αυτό το πολύ βραχύβιο φαινόµενο συµβολής. Αυτές οι πηγές καλούνται ασύµφωνες. Ο συνήθης τρόπος παραγωγής δύο σύµφωνων πηγών φωτός είναι ο εξής: Με µια πηγή µονοχρωµατικού φωτός φωτίζουµε ένα πέτασµα στο οποίο έχουµε ανοίξει δύο µικρές οπές. Το φως που εξέρχεται από τις δύο αυτές οπές - πηγές είναι σύµφωνο. Και τούτο διότι προέρχεται από την ίδια πηγή και το µόνο που κάνουν οι δύο σχισµές είναι να κόβουν την αρχική δέσµη σε δύο. Οποιαδήποτε τυχαία µεταβολή της φωτεινής πηγής θα µεταβάλει ταυτόχρονα τις δύο ξεχωριστές δέσµες, εποµένως θα µπορέσουµε να παρατηρήσουµε στάσιµες εικόνες συµβολής. 40 3.3 – ΤΟ ΠΕΙΡΑΜΑ ΤΗΣ ∆ΙΠΛΗΣ ΣΧΙΣΜΗΣ TOY YOUNG Ο Thomas Young το 1801 επέδειξε το φαινόµενο της συµβολής δύο φωτεινών κυµάτων. Στο σχήµα 3.3.1.a απεικονίζεται σχηµατικά η πειραµατική διάταξη την οποία χρησιµοποίησε. Το φως προσπίπτει σε ένα διάφραγµα στο οποίο είναι ανοιγµένη µια λεπτή σχισµή, η S0. Τα κύµατα φωτός τα οποία αναδύονται από τη σχισµή προσπίπτουν σε ένα άλλο διάφραγµα στο οποίο είναι ανοιγµένες δύο παράλληλες στενές σχισµές, οι S1 και S2, οι οποίες έχουν την ίδια απόσταση από την S0. Αυτές οι δύο σχισµές παίζουν τον ρόλο ενός ζεύγους σύµφωνων πηγών φωτός, διότι τα κύµατα που αναδύονται από αυτές προέρχονται από το ίδιο κυµατικό µέτωπο - ισοφασική επιφάνεια και εποµένως η διαφορά φάσης τους είναι σταθερή. Το φως που αναδύεται από τις σχισµές S1 και S2 προσπίπτει σε µια οθόνη C την οποία όµως δεν φωτίζει οµοιόµορφα, αλλά πάνω της σχηµατίζεται ένα σύνολο παράλληλων φωτεινών και σκοτεινών κροσσών(σχήµα 3.3.1.b). Όταν τα φωτεινά κύµατα που προέρχονται από την S1 και S2 συναντώνται στην Σχήµα 3.3.1 οθόνη C, τότε, εάν συµβάλλουν ενισχυτικά, δηµιουργούν έναν φωτεινό κροσσό, εάν 41 όµως συµβάλλουν καταστρεπτικά τότε δηµιουργούν σκοτεινό κροσσό. Στο σχήµα 3.3.2 βλέπουµε το διάγραµµα από το οποίο φαίνεται σχηµατικά πώς συνδυάζονται οι ακτίνες στην οθόνη. Στο (a) βλέπουµε δύο κύµατα τα οποία όταν αναδύονται από τις αντίστοιχες πηγές βρίσκονται σε φάση, αφού οι πηγές είναι σύµφωνες. Όταν προσπέσουν στην οθόνη στο σηµείο Ρ εξακολουθούν να βρίσκονται σε φάση, διότι το Ρ είναι πάνω στην µεσοκάθετο των S1 και S2. Εποµένως, τα κύµατα στο Ρ συµβάλλουν ενισχυτικά και για τον λόγο αυτό παρατηρούµε στο Ρ έναν φωτεινό κροσσό. Σχήµα 3.3.2 Στο (b) βλέπουµε δύο κύµατα τα οποία όταν αναδύονται από τις σύµφωνες πηγές S1 και S2 βρίσκονται σε φάση, αλλά όταν φτάνουν στο σηµείο Q δεν βρίσκονται απαραίτητα πια σε φάση διότι έχουν ακολουθήσει άνισες διαδροµές. Εάν όµως η διαφορά των δύο διαδροµών είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του µήκους κύµατος του φωτός που χρησιµοποιούµε, τότε τα δύο κύµατα πάλι θα βρίσκονται σε φάση, θα συµβάλλουν ενισχυτικά και στο Q θα παρατηρήσουµε πάλι έναν φωτεινό κροσσό. Ας πάρουµε τώρα ένα σηµείο R στο µέσο της απόστασης PQ. Στο σηµείο αυτό, το κύµα που προέρχεται από την S1 υστερεί κατά µισό µήκος κύµατος πίσω από το κύµα που αναδύεται από την S2. Αυτό σηµαίνει ότι στο σηµείο R η κορυφή, δηλαδή το θετικό πλάτος του κύµατος από την S1 συµβάλλει µε την κοιλία, δηλαδή το αρνητικό πλάτος του κύµατος από την S2 και αλληλοκαταργούνται. Έχουµε δηλαδή στο R καταστρεπτική συµβολή. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο παρατηρούµε έναν σκοτεινό κροσσό στο σηµείο R. Για .να µπορέσουµε να κάνουµε σωστή µαθηµατική περιγραφή του πειράµατος του Young θα αναφερθούµε στο σχήµα 3.3.3. 42 Οι πηγές χωρίζονται από απόσταση d και το πέτασµα στο οποίο είναι ανοιγµένες είναι παράλληλο προς την οθόνη, η οποία έχει απόσταση L. Υποθέτουµε ότι η πηγή που φωτίζει τις S1 και S2 είναι µονοχρωµατική και ότι βρίσκεται πάνω Σχήµα 3.3.3 στην µεσοκάθετο της απόστασης S1S2. Εποµένως τα κύµατα που αναδύονται από τις S1 και S2 έχουν την ίδια συχνότητα, το ίδιο πλάτος και βρίσκονται σε φάση. Η ένταση του φωτός που βλέπουµε σε οποιοδήποτε σηµείο της οθόνης, π.χ. στο Ρ, είναι η συνισταµένη των συµβαλλόντων κυµάτων που αναδύονται από τις S1 και S2. Ας σηµειωθεί ότι το κύµα που αναδύεται από την S2 καλύπτει µεγαλύτερη διαδροµή από το κύµα που εκπέµπει η S1. Η διαφορά δ των δύο διαδροµών ισούται µε d ⋅ sin θ και την ονοµάζουµε διαφορά διαδροµής δ = d ⋅ sin θ , όπου υποθέσαµε ότι οι r1 και r2 είναι παράλληλες, διότι η απόσταση πετάσµατος - οθόνης, L, είναι πολύ µεγαλύτερη από την απόσταση των δύο πηγών d. H διαφορά αυτή της διαδροµής καθορίζει την διαφορά φάσης ανάµεσα στις συµβάλλουσες ακτίνες στο Ρ. Εάν η διαφορά διαδροµής είναι µηδενική ή ακέραιο πολλαπλάσιο του µήκους κύµατος, τότε τα δύο κύµατα θα βρίσκονται σε φάση στο Ρ και θα συµβάλλουν ενισχυτικά. Εποµένως, για να υπάρξει ενισχυτική συµβολή στο Ρ δηλαδή για να κείται το Ρ σε φωτεινούς κροσσούς πρέπει να ισχύει η συνθήκη: ∗ δ = d ⋅ sin θ = m ⋅ λ m = 0, ±1, ±2,.... Ο ακέραιος m ονοµάζεται αριθµός τάξης του κροσσού. Στον κεντρικό φωτεινό κροσσό που έχει θ = 0 αντιστοιχεί m = 0.·Ο κροσσός αυτός ονοµάζεται µέγιστος ή κροσσός, µηδενικής τάξεως. Οι επόµενοι φωτεινοί κροσσοί εκατέρωθεν του κεντρικού αντιστοιχούν στο m = ±1 και ονοµάζονται µέγιστα ή κροσσοί πρώτης τάξεως κλπ. Παροµοίως, όταν η διαφορά διαδροµής των δύο κυµάτων που φτάνουν στο Ρ είναι περιττό πολλαπλάσιο του λ/2, τότε τα δύο κύµατα έχουν διαφορά φάσης 180° και *αναλυτική απόδειξη της συνθήκης ακολουθεί στην ενότητα 3.6 43 θα συµβάλλουν καταστρεπτικά. Εποµένως η συνθήκη που πρέπει να πληρούται για καταστρεπτική συµβολή σε κάποιο σηµείο είναι: 1  δ = d ⋅ sin θ =  m +  ⋅ λ 2  m = 0, ±1, ±2,.... Ας βρούµε τις εκφράσεις που περιγράφουν τις θέσεις για φωτεινούς και σκοτεινούς κροσσούς καθώς σαρώνουµε την οθόνη από το Ο στο Ρ. Εξακολουθούµε να υποθέτουµε ότι L >> d και επί πλέον ότι d >> λ, ότι δηλαδή η απόσταση ανάµεσα στις δύο οπές είναι πολύ µεγαλύτερη από το µήκος κύµατος. Οι υποθέσεις αυτές συνήθως πληρούνται διότι η απόσταση L είναι συνήθως 1 m, ενώ η d είναι ένα κλάσµα του χιλιοστοµέτρου και το λ είναι µικρότερο του µm. Υπό τις προϋποθέσεις αυτές η γωνία θ είναι µικρή, οπότε µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την προσέγγιση sinθ ≃ tanθ. Από το τρίγωνο OPQ του σχήµατος 3.3.3 βλέπουµε ότι sin θ ≃ tan θ = y . Θέτουµε την σχέση L αυτή στην εξίσωση δ = d ⋅ sin θ = m ⋅ λ και βρίσκουµε ότι, µε αφετηρία το Ο, η θέση των φωτεινών κροσσών ορίζεται από την εξίσωση: yφωτ = λ⋅L ⋅m d 1 y  Χρησιµοποιώντας τις εξισώσεις δ = d ⋅ sin θ =  m +  ⋅ λ και sin θ ≃ tan θ = βρίσκουµε 2 L  την εξίσωση που περιγράφει την θέση των σκοτεινών κροσσών: yσκοτ = λ⋅L  1 ⋅ m +  d  2 Το πείραµα αυτό του Young µας δίνει τη δυνατότητα να µετρήσουµε το µήκος κύµατος του φωτός. Επίσης το πείραµα αυτό έδωσε στην κυµατική θεωρία του φωτός κύρος, διότι δεν µπορούσαν ποτέ να φανταστούν ότι τα σωµατίδια φωτός που αναδύονται από τις σχισµές αλληλοκαταργούνται έτσι ώστε να δηµιουργούνται σκοτεινοί κροσσοί! 44 3.4 – ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΗΣ ΕΝΤΑΣΗΣ ΦΩΤΟΣ ΑΠΟ ΣΥΜΒΟΛΗ ∆ΥΟ ΦΩΤΕΙΝΩΝ ΠΗΓΩΝ Υποθέτουµε ότι οι δύο πηγές είναι σύµφωνες και ότι εκπέµπουν επίπεδα αρµονικά κύµατα µε την ίδια κυκλική συχνότητα ω. Εποµένως, σε ένα τυχαίο σηµείο έχουν σταθερή διαφορά φάσης φ. Η ολική ένταση ηλεκτρικού πεδίου στο σηµείο Ρ της οθόνης του σχήµατος 3.4.1 είναι η διανυσµατική συνισταµένη των δύο κυµάτων που εκπέµπουν οι σχισµές S1 και S2 αντίστοιχα. Εάν δεχθούµε ότι τα δύο κύµατα έχουν το ίδιο πλάτος Ε0 µπορούµε να περιγράψουµε τις εντάσεις καθενός ηλεκτρικού πεδίου στο E1 = E 0 sin ωt , Ρ, ως: E 2 = E 0 sin(ωt + φ) Εφόσον υποθέτουµε ότι τα δύο κύµατα βρίσκονται σε φάση όταν εκπέµπονται από τις αντίστοιχες σχισµές τους, η διαφορά φάσης φ στο σηµείο Ρ οφείλεται στη διαφορά διαδροµής δ = r2 − r1 = d ⋅ sin θ .Γνωρίζουµε ότι διαφορά διαδροµής λ αντιστοιχεί σε Σχήµα 3.4.1 Εποµένως διαφορά φάσης 2π. 2π δ λ d ⋅ sin θ λ d ⋅ sin θ . Η εξίσωση περιγράφει ακριβώς = ⇒ = ⇒ φ= λ φ 2π φ 2π την εξάρτηση της διαφοράς φάσης φ από την γωνία θ. Χρησιµοποιώντας την αρχή της επαλληλίας µπορούµε να υπολογίσουµε το συνιστάµενο ηλεκτρικό πεδίο στο Ρ: φ φ  E P = E1 + E 2 = E 0 ( sin ωt + sin(ωt + φ) ) = 2E 0 cos   sin  ωt +  2 2  Βλέπουµε ότι το συνιστάµενο ηλεκτρικό πεδίο στο σηµείο Ρ ταλαντώνεται µε την ίδια κυκλική συχνότητα ω των επιµέρους κυµάτων αλλά το πλάτος του έχει πολλαπλασιαστεί επί έναν παράγοντα 2cos(φ/2). Μπορούµε να ελέγξουµε την ορθότητα του αποτελέσµατος αυτού εάν θέσουµε φ = 0, 2π, 4π, ... οπότε βλέπουµε ότι το πλάτος στο Ρ είναι 2E 0 , που σηµαίνει ότι τότε η συµβολή είναι ενισχυτική. Παροµοίως, όταν φ = π, 45 3π, 5π, ... το πλάτος στο Ρ είναι µηδέν. Όµως η ένταση των φωτεινών κυµάτων στο Ρ είναι ανάλογη προς το τετράγωνο του συνιστάµενου ηλεκτρικού πεδίου στο σηµείο αυτό. Μπορούµε λοιπόν να εκφράσουµε την ένταση των κυµάτων φωτός στο Ρ ως: I ∼ E P 2 = ( E1 + E 2 ) = 4E 0 2 cos 2 (φ / 2)sin 2 ( ωt + φ / 2 ) . Τα περισσότερα φωτόµετρα όµως 2 µετρούν τον µέσο όρο ως προς τον χρόνο της έντασης του φωτός. Ο µέσος όρος του sin 2 ( ωt + φ / 2 ) για µια περίοδο είναι 1/2. Γράφουµε λοιπόν ότι η µέση ένταση στο Ρ ισούται µε Iav = I0 cos 2 (φ / 2) , όπου Ι0 είναι ο µέγιστος δυνατός µέσος όρος ως προς τον χρόνο, της έντασης φωτός. Θέτουµε την εξίσωση φ = 2π d ⋅ sin θ στην Iav = I0 cos 2 (φ / 2) λ y  π ⋅ d ⋅ sin θ  και βρίσκουµε: Iav = I0 cos 2   . Αφού όµως sin θ ≃ , για µικρές τιµές θ λ L    π⋅d⋅  ⋅y . µπορούµε να ξαναγράψουµε την τελευταία εξίσωση ως: Iav = I0 cos 2   λ⋅L  Για συµβολή να έχουµε δηλαδή ενισχυτική µέγιστη πρέπει η ποσότητα ένταση, π⋅d⋅ ⋅ y να είναι λ⋅L ακέραιο πολλαπλάσιο του 2π, δηλαδή π⋅d⋅ ⋅ y = 2π ⋅ m ⇒ λ⋅L y= λL m. d Στο διπλανό σχήµα 3.4.2 βλέπουµε την κατανοµή της έντασης συναρτήσει της γωνίας θ. Η εικόνα της συµβολής αποτελείται από ισαπέχοντες κροσσούς ίσης έντασης. Τα προηγούµενα ισχύουν όταν L >> d και για µικρές γωνίες θ. Σχήµα 3.4.2 Τα φαινόµενα συµβολής όπως είδαµε, που οφείλονται σε δύο πηγές δηµιουργούνται εξαιτίας της διαφοράς φάσης ανάµεσα στα κύµατα που εκπέµπονται από αυτές. Επειδή οι δύο αυτές πηγές είναι σύµφωνες και τα δύο κύµατα που εκπέµπουν έχουν το ίδιο µήκος κύµατος, η διαφορά 46 φάσης τους εξαρτάται µόνο από την διαφορά διαδροµής των δύο κυµάτων. Η ένταση τον συνιστάµενου κύµατος σε ένα σηµείο είναι ανάλογη προς το τετράγωνο του πλάτους τον συνιστάµενου κύµατος στο σηµείο αυτό. Η ένταση, δηλαδή, είναι ανάλογη προς το ( E1 + E 2 ) 2 . Είναι λάθος να πούµε ότι η ένταση του συνιστάµενου κύµατος ισούται µε το άθροισµα των εντάσεων των δύο επιµέρους κυµάτων, δηλαδή, µε το E12 + E 2 2 . 47 3.5 – ΣΥΜΒΟΛΗ ΑΠΟ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ∆ΙΑΤΑΞΗ Ν ΠΑΝΟΜΟΙΟΤΥΠΩΝ ΠΗΓΩΝ Το σχήµα 3.5.1 δείχνει µια γραµµική διάταξη Ν πανοµοιότυπων πηγών µε σταθερή απόσταση µεταξύ διαδοχικών πηγών d, η οποία παράγει φωτεινά σήµατα που βρίσκονται όλα σε φάση. Σε ένα αποµακρυσµένο σηµείο Ρ, σε κατεύθυνση θ από τις ∆ = Nδ θ δ = dsinθ d 1 2 3 L = Νd Σχήµα 3.5.1 πηγές, η διαφορά φάσης µεταξύ των σηµάτων από δύο διαδοχικές πηγές είναι: φ= 2πd sin θ όπως είδαµε σε προηγούµενη παράγραφο και οφείλεται στη διαφορά λ διαδροµής των σηµάτων των δύο διαδοχικών πηγών. Το πλάτος που προκύπτει στο σηµείο Ρ υπολογίζεται από την υπέρθεση των ίσων συνεισφορών από κάθε πηγή µε σταθερή διαφορά φάσης φ µεταξύ διαδοχικών συνεισφορών. Υπολογίζουµε το πλάτος ακτινοβολίας που προκύπτει από µια τέτοια υπέρθεση µε τη µέθοδο των περιστρεφόµενων διανυσµάτων ως εξής: Συµ βολή N ίδι ων ταλαντ ωτών: Θεωρούµε την ύπαρξη Ν ισαπέχοντων σύµφωνων ταλαντωτών κοινού πλάτους. H επαλληλία των πηγών αυτών θα δώσει έναν R = A [ cosωt + cos(ωt + φ) + cos(ωt + 2φ) + ... + cos(ωt + (N -1)φ)] , όρο όπου της φ µορφής: είναι η διαφορά φάσης µεταξύ ενός ταλαντωτή και του διπλανού του και ειδικότερα φ= 2πd sin θ . Η πρόσθεση όλων των όρων γίνεται γεωµετρικά. Ο πρώτος ταλαντωτής λ 48 είναι µήκους Α και έχει µηδενική φάση, ενώ ο επόµενος έχει όµοιο µήκος Α αλλά φάση ίση µε φ, ο επόµενος έχει πάλι µήκος Α αλλά φάση ίση µε 2φ κ.λ.π. Όπως παρουσιάζεται στο σχήµα 3.5.2, σχηµατίζεται ένα πολύγωνο Ν ίσων πλευρών. Τα διανύσµατα βρίσκονται πάνω σε περιφέρεια κύκλου, του T y οποίου θα βρούµε την AΝ ακτίνα του. Εάν θεωρήσουµε ότι το κέντρο r AR του κύκλου βρίσκεται στο A5 Q Ν(φ/2) σηµείο Q, τότε η γωνία M OQS είναι σε φάση µε τη φ r A4 γωνία φ. Άρα η ακτίνα r πρέπει να είναι τέτοια, ώστε να ικανοποιείται η A3 σχέση Α = 2r sin(φ/2). Η φ A2 Ο A1 γωνία OQT είναι ίση µε S x Σχήµα 3.5.2 Νφ οπότε βρίσκουµε ότι ΑR = Συνδυάζοντας τις δύο σχέσεις ώστε να εξαλειφθεί το r, έχουµε A R = A ένταση I = Io είναι I = AR 2 2r sin(Νφ/2). sin ( Nφ / 2 ) και η sin ( φ / 2 ) sin 2 ( Nφ / 2 ) =A ⇒ sin 2 ( φ / 2 ) 2 sin 2 ( Nφ / 2 ) sin 2 ( N ⋅ π ⋅ d ⋅ sin θ / λ ) = I ⋅ . 0 sin 2 ( π ⋅ d ⋅ sin θ / λ ) sin 2 ( φ / 2 ) ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Για Ν = 2 στην παραπάνω σχέση έχουµε: sin 2 ( Nφ / 2 ) sin 2 ( 2(φ / 2) ) sin 2 ( φ / 2 ) ⋅ cos 2 ( φ / 2 ) I = Io = Io = 4I0 = 4I0 cos 2 ( φ / 2 ) , sin 2 ( φ / 2 ) sin 2 ( φ / 2 ) sin 2 ( φ / 2 ) που µας δίνει την εικόνα συµβολής των σχισµών του Young. 49 Για Ν = 5 και Ι0 = 1, η γραφική παράσταση της I = I0 ⋅ sin 2 ( N ⋅ π ⋅ d ⋅ sin θ / λ ) σε sin 2 ( π ⋅ d ⋅ sin θ / λ ) καρτεσιανές συντεταγµένες φαίνεται στα ακόλουθα σχήµατα.: 30 25 Ένταση Ι 20 15 10 5 0 -2 -1,8 -1,6 -1,4 -1,2 -1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 dsinθ/λ H παραπάνω γραφική παράσταση προκύπτει σαν αποτέλεσµα των ακόλουθων µορφών γραφικής παράστασης του αριθµητή και παρονοµαστή: 50 30 sin 2 ( 5φ / 2 ) = f (d sin θ / λ) 25 20 15 10 5 0 -2 -1,8 -1,6 -1,4 -1,2 -1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 dsinθ/λ 30 sin 2 ( φ / 2 ) = f (dsin θ / λ) 25 20 15 10 5 0 -2 -1,8 -1,6 -1,4 -1,2 -1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 dsinθ/λ 51 Το αποτέλεσµα της επαλληλίας των δύο τελευταίων διαµορφώνει τη γραφική παράσταση της έντασης όπως την είδαµε στο πρώτο σχήµα: sin 2 ( 5φ / 2 ) = f (d sin θ / λ) 30 sin 2 ( φ / 2 ) = f (d sin θ / λ) Ι = f (d sin θ / λ) 25 20 15 10 5 0 -2 -1,8 -1,6 -1,4 -1,2 -1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 dsinθ/λ 52 Παρατηρεί κανείς στην γραφική παράσταση της έντασης ότι εµφανίζεται ένα πλήθος από κύρια και δευτερεύοντα µέγιστα και ελάχιστα. Μπορούµε να µελετήσουµε την εικόνα της έντασης για Ν πηγές θεωρώντας τη sin 2 Nφ / 2 sin ( Nβ ) sin ( N ⋅ π ⋅ d ⋅ sin θ / λ ) . = = sin 2 φ / 2 sin 2 β sin 2 ( π ⋅ d ⋅ sin θ / λ ) 2 συµπεριφορά του όρου 2 Παρατηρούµε ότι όταν d ⋅ sin θ = 0, ±λ, ±2λ,.... ± nλ προκαλείται ενισχυτική συµβολή n – sin 2 ( Nβ ) N 2β2 οστής τάξης και → → N 2 που δίνει I = N 2 ⋅ I0 , δηλαδή πολύ µεγάλη sin 2 β β2 ένταση, όταν ικανοποιείται η συνθήκη για κύριο µέγιστο d ⋅ sin θ = n ⋅ λ . sin 2 ( Nβ ) Θα µπορούσαµε να παραστήσουµε τη συµπεριφορά του όρου και µε sin 2 β τον παρακάτω τρόπο: • Ο αριθµητής sin 2 ( Nβ ) είναι µηδέν για Νβ → 0π...Νπ...2 Νπ , • Ο παρονοµαστής sin 2 β είναι µηδέν για β → 0....π....2π Η σύµπτωση των µηδενικών για αριθµητή και παρονοµαστή καθορίζει τα κύρια µέγιστα µε έναν παράγοντα Ν2 στην ένταση, δηλαδή d ⋅ sin θ = ± n ⋅ λ, n = 0,1, 2,... . Τα µέγιστα που προκύπτουν από αυτή τη συνθήκη ονοµάζονται πρωταρχικά µέγιστα, επειδή υπάρχει και µια κατηγορία ασθενέστερων µεγίστων και ελαχίστων ανάµεσα σε δύο διαδοχικά πρωταρχικά µέγιστα. Τα δευτερεύοντα µέγιστα και ελάχιστα προκύπτουν από µεγιστοποίηση ή µηδενισµό του αριθµητή χωρίς να υπάρχει αντίστοιχη µεγιστοποίηση ή µηδενισµός του παρονοµαστή. Πράγµατι, ο αριθµητής N ⋅ π ⋅ d ⋅ sin θ / λ µηδενίζεται όταν: N ⋅ π ⋅ d ⋅ sin θ = 0, ±π, ±2π,...., ± mπ συνθήκη µηδενισµού του αριθµητή. λ Αποµονώνουµε τον όρο dsinθ στο αριστερό µέρος της εξίσωσης και αρχίζουµε να δίνουµε τιµές στον ακέραιο αριθµό m από 0 έως Ν: d sin θ = 0, ± λ 2λ 3λ ( Ν − 1)λ Νλ , ± , ± ,...., ± ,± Ν Ν Ν Ν Ν 53 Παρατηρούµε ότι οι τιµές m = 0 και m = N (δηλαδή dsinφ = λ) περιλαµβάνονται στις τιµές της ποσότητας dsinφ καθορίζουν τα οι οποίες πρωταρχικά µέγιστα. Έτσι, αποµένουν Ν–1 µηδενισµοί (ελάχιστα) και Ν–2 δευτερεύοντα µέγιστα ανάµεσα σε δύο διαδοχικά πρωταρχικά µέγιστα. Αυτά δευτερεύοντα τα Ν–2 µέγιστα έχουν πολύ πιο µικρή ένταση, διότι δεν περιέχουν τον παράγοντα Ν2, ο οποίος υπάρχει στα πρωτεύοντα µέγιστα. Η συνθήκη που δίνει τα ελάχιστα, γράφεται συνοπτικά: d sin θ = ± mλ , m = 1, 2,...., N − 1 συνθήκη ελαχίστων. Ν Είναι τώρα λίγο πολύ προφανές ότι για τιµές του m µεταξύ του Ν + 1 και 2Ν – 1 θα πάρουµε τη δεύτερη σειρά ελαχίστων, ενώ η τρίτη σειρά µεγίστων και ελαχίστων θα προκύψει για τιµές του m µεταξύ 2Ν + 1 και 3Ν – 1 κ.ο.κ. Όπως φαίνεται και στο σχήµα, ανάµεσα στα Ν – 1 ελάχιστα υπάρχουν Ν – 2 δευτερεύοντα µέγιστα, τα οποία δίνονται από τη σχέση 1   m + λ 2 d sin θ = ±  , m = 1, 2,...., N − 2 συνθήκη δευτερευόντων µεγίστων. Ν 54 3.6 – ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΕΡΙΘΛΑΣΗΣ Συνεχίζουµε την µελέτη της Κυµατικής Οπτικής µε την εξέταση του φαινοµένου της περίθλασης. Όταν κύµατα φωτός διέρχονται µέσα από µια µικρή οπή, βλέπουµε µια εικόνα συµβολής αντί για την φωτεινή κηλίδα που αναµέναµε να προκαλέσει η οπή. Αυτό δείχνει ότι το φως εκπέµπεται από την πηγή προς πολλές κατευθύνσεις και προς σηµεία στα οποία αναµέναµε να βρούµε σκιά εάν το φως όντως διαδιδόταν ευθύγραµµα. Όλα τα είδη κυµάτων, όπως π.χ. τα ηχητικά ή τα κύµατα στο νερό, έχουν την ιδιότητα να διαδίδονται γύρω από γωνίες δηλαδή γύρω από εµπόδια. Για τον λόγο αυτό ακούµε στον δρόµο ήχους που προέρχονται από τα διπλανά τετράγωνα ή βλέπουµε κύµατα µέσα στα λιµάνια ή στα υπήνεµα των βραχονησίδων. Το φαινόµενο αυτό ονοµάζεται περίθλαση και είναι αποτέλεσµα της συµβολής πολλών σύµφωνων πηγών κυµάτων. Με άλλα λόγια, τα φαινόµενα της συµβολής και της περίθλασης είναι, κατά βάση, ισοδύναµα. Τόσο οι περιπτώσεις απλής συµβολής όσο και τα φαινόµενα περίθλασης αναλύονται ως συµβολή κυµάτων από σηµειακές πηγές µε τη βοήθεια της αρχής του Huygens. Η διαφορά τους έγκειται ότι στην περίθλαση το µέτωπο κύµατος τροποποιείται µε το να αποκόπτεται ένα µέρος του (δηλαδή έχουµε απώλεια πληροφοριών). Στη συµβολή θεωρούµε ότι τα µέτωπα κύµατος διαδίδονται "ελεύθερα" και ότι το συνολικό πεδίο οφείλεται στην υπέρθεση των επί µέρους πεδίων. Ο αριθµός των συµβαλλόντων πεδίων µπορεί να είναι πεπερασµένος είτε άπειρος. Στην περίπτωση ενός ελευθέρως διαδιδόµενου σφαιρικού κύµατος θεωρώντας ότι κάθε σηµείο του µετώπου κύµατος την χρονική στιγµή t δρα ως σηµειακή πηγή σφαιρικών κυµάτων - κάθε σηµείο εκπέµπει µε την ίδια φάση – η διάδοση του κύµατος τις µετέπειτα χρονικές στιγµές προκύπτει ως συµβολή των κυµάτων από τις υποθετικές σηµειακές πηγές. Στην περίπτωση όµως όπου το κύµα συναντά εµπόδιο, µόνο εκείνα τα σηµεία του αντίστοιχου µετώπου κύµατος που δεν σκιάζονται θα δράσουν ως σηµειακές πηγές εκποµπής. Η συµβολή του υποσυνόλου των σηµειακών πηγών δεν περιγράφεται πλέον από σφαιρικό µέτωπο κύµατος αλλά εµφανίζει την χαρακτηριστική εικόνα - ανάλογα του εµποδίου - της περίθλασης. Ας θεωρήσουµε ότι µια δέσµη φωτός προσπίπτει πάνω σε δύο σχισµές, όπως στο πείραµα των δύο σχισµών του Young. Εάν πράγµατι το φως διαδιδόταν ευθύγραµµα, 55 µετά την δίοδο του µέσα από τις σχισµές (σχήµα 3.6.1.a) οι ακτίνες δεν θα υπερτίθενταν και εποµένως δεν θα συνέβαλλαν. Η αρχή του Huygens όµως ορίζει ότι οι σχισµές επανεκπέµπουν κύµατα (σχήµα 3.6.1.b). Το φως παρακάµπτει την ευθύγραµµη διαδροµή και διαδίδεται µέσα σε περιοχές όπου θα αναµενόταν να υπάρχει σκιά. Αυτή η απόκλιση του φωτός από την αρχικά ευθύγραµµη πορεία του ονοµάζεται της περίθλασης περίθλαση. Γενικά, το φαινόµενο παρατηρείται όταν το εµπόδιο ή η οπή έχουν διαστάσεις της ίδιας τάξης µεγέθους προς το µήκος κύµατος των διαδιδόµενων κυµάτων. Έτσι, για να παρατηρήσουµε περίθλαση του φωτός πρέπει να έχουµε πολύ µικρές οπές ή πολύ µικρά εµπόδια ή εµπόδια µε πολύ αιχµηρά άκρα. Για παράδειγµα ας θεωρήσουµε ότι τοποθετούµε ένα αδιαφανές αντικείµενο ανάµεσα σε µια σηµειακή πηγή φωτός και σε µια οθόνη (σχήµα 3.6.2). Θα παρατηρήσουµε ότι τα όρια της σκιάς δεν είναι αυστηρώς καθορισµένα, αλλά υπάρχει λίγο φως στην περιοχή Σχήµα 3.6.1 όπου θα αναµέναµε, λόγω της ευθύγραµµης διάδοσης του φωτός να υπάρχει σκιά. Στην περιοχή αυτή µάλιστα θα παρατηρήσουµε εναλλασσόµενους φωτεινούς και σκοτεινούς κροσσούς. Μάλιστα, η ένταση του πρώτου φωτεινού κροσσού είναι µεγαλύτερη από την ένταση της οµοιόµορφα φωτισµένης περιοχής. Πρώτος ο Francesco Grimaldi µελέτησε τα φαινόµενα αυτά τον 17ο αιώνα. Στο σχήµα 3.6.3 βλέπουµε την εικόνα περίθλασης που δηµιουργεί ένα κέρµα. Στο κέντρο υπάρχει µια φωτεινή κηλίδα, κατόπιν η σκιά ακολουθούµενη από κυκλικούς κροσσούς στα όρια της και µετά, έξω από την σκιά, υπάρχει άλλη µια σειρά κυκλικών κροσσών. Αυτό το είδος περίθλασης το µελέτησε πρώτος το 1818 ο Dominique Arago. Ο µόνος τρόπος ερµηνείας της φωτεινής κηλίδας στο κέντρο είναι η χρήση της κυµατικής θεωρίας του φωτός, η οποία προβλέπει ενισχυτική συµβολή στο σηµείο αυτό. Αντίθετα, 56 Σχήµα 3.6.2 η Γεωµετρική Οπτική προβλέπει ότι η περιοχή αυτή είναι καλυµµένη από το αντικείµενο και δεν φτάνουν εκεί ακτίνες και εποµένως δεν µπορεί ποτέ να υπάρξει εκεί φωτεινή κηλίδα. Ο Simeon Poisson, ο οποίος ήταν ένας από τους βασικούς υποστηρικτές της Γεωµετρικής Οπτικής ασκώντας κριτική στην κυµατική θεωρία του Augustin Fresnel, έλεγε ότι εάν ο Fresnel έχει δίκιο τότε πρέπει στο κέντρο της σκιάς να υπάρχει φωτεινή κηλίδα. Μετά από λίγο ο Arago παρατήρησε τη φωτεινή κηλίδα. Έτσι ο Poisson µε την πρόβλεψη του ενίσχυσε την κυµατική θεωρία αντί να την καταρρίψει. Και το πείραµα αυτό απέδειξε την ορθότητα της κυµατικής θεωρίας του φωτός. Σχήµα 3.6.3 Συνήθως κατατάσσουµε τα φαινόµενα περίθλασης σε δύο κατηγορίες οι οποίες έλαβαν τις ονοµασίες τους από τα ονόµατα των επιστηµόνων που πρώτοι τις ερµήνευσαν. Η πρώτη κατηγορία είναι η περίθλαση Fraunhofer, κατά την οποία οι ακτίνες που προσπίπτουν καθώς και οι ακτίνες που φτάνουν στο σηµείο παρατήρησης είναι σχεδόν παράλληλες. Για να το κατορθώσουµε αυτό τοποθετούµε την οθόνη παρατήρησης µακριά από την σχισµή ή χρησιµοποιούµε έναν συγκλίνοντα φακό για να εστιάσουµε τις παράλληλες ακτίνες στην οθόνη (σχήµα 3.6.4). Παρατηρούµε έναν φωτεινό κροσσό κατά µήκος του άξονα, όπου θ = 0, και κατόπιν εναλλασσόµενους σκοτεινούς και φωτεινούς κροσσούς εκατέρωθεν του 57 Σχήµα 3.6.5 Σχήµα 3.6.4 κεντρικού φωτεινού κροσσού. Όταν όµως η οθόνη παρατήρησης βρίσκεται σε πεπερασµένη απόσταση από την σχισµή και δεν χρησιµοποιούµε φακό για να εστιάσουµε τις παράλληλες ακτίνες, τότε έχουµε περίθλαση Fresnel (σχήµα 3.6.5) κατά την οποία οι προσπίπτουσες ή οι περιθλώµενες ακτίνες δεν είναι παράλληλες. 3.7 – ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ ΑΠΟ ΜΙΑ ΣΤΕΝΗ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΣΧΙΣΜΗ Έχουµε υποθέσει ότι οι στενές σχισµές αποτελούν σηµειακές πηγές φωτός. Τώρα θα µελετήσουµε πώς το πεπερασµένο πλάτος τους είναι εκείνο που θα µας κάνει να κατανοήσουµε την εικόνα περίθλασης Fraunhofer την οποία δηµιουργεί µία µόνο στενή σχισµή. Μπορούµε να συναγάγουµε µερικά γενικά συµπεράσµατα εάν µελετήσουµε τα κύµατα που προέρχονται από διάφορα σηµεία της σχισµής όπως βλέπουµε στο σχήµα 3.7.1. Σύµφωνα µε την αρχή του Huygens, καθεµιά περιοχή της σχισµής είναι πηγή δευτερογενούς εκποµπής κυµάτων. Έτσι, το φως που εκπέµπει µια περιοχή της σχισµής θα συµβάλλει µε το φως που εκπέµπει µια άλλη περιοχή της σχισµής. Εποµένως η ολική ένταση του φωτός που παρατηρούµε στην οθόνη εξαρτάται από την γωνία θ που φαίνεται στο σχήµα 3.7.1. ∆ιευκολυνόµαστε εάν χωρίσουµε µια στενή ορθογώνια σχισµή πλάτους α και µεγάλου µήκους σε δύο µέρη. Όλα τα κύµατα που εκπέµπει η σχισµή βρίσκονται σε φάση. Θεωρούµε ότι τα κύµατα 1 και 3 εκπέµπονται από το κάτω µέρος και από το µέσο της σχισµής, αντίστοιχα. Το κύµα 1 οδεύει πιο µακριά από το κύµα 3 κατά διαδροµή ίση µε την διαφορά τους, δηλαδή (α/2)sinθ. Εάν η διαφορά αυτή της διαδροµής 58 ισούται ακριβώς µε το µισό µήκος κύµατος - δηλαδή διαφορά φάσης 180° - τότε τα δύο κύµατα αλληλοκαταργούνται και θα έχουµε καταστρεπτική συµβολή. Το ίδιο θα συµβαίνει για οποιαδήποτε δύο κύµατα που εκπέµπονται από σηµεία που έχουν απόσταση ίση µε το µισό του πλάτους της σχισµής, διότι όλα θα έχουν διαφορά φάσης 180°. Εποµένως τα κύµατα που εκπέµπονται από το επάνω µισό της σχισµής θα καταργούνται από τα αντίστοιχα κύµατα που απέχουν από αυτά α/2 και, συνεπώς, εκπέµπονται από το κάτω µισό της σχισµής όταν: a λ λ sin θ = ⇒ sin θ = . Εάν τώρα χωρίσουµε 2 2 α την σχισµή σε τέσσερα µέρη αντί για δύο και επαναλάβουµε την προηγηθείσα συλλογιστική, θα βρούµε ότι η οθόνη θα είναι πάλι σκοτεινή όταν sin θ = Σχήµα 3.7.1 2λ . Παροµοίως διαιρώντας την σχισµή σε έξι α µέρη και πάλι η οθόνη θα είναι σκοτεινή όταν sin θ = 3λ . Εποµένως η συνθήκη για α καταστρεπτική συµβολή είναι: sin θ = m λ α m = ±1, ±2, ±3,... Η παραπάνω εξίσωση δίνει τις τιµές της θ για τις οποίες η εικόνα περίθλασης έχει µηδενική ένταση δηλαδή σκοτεινούς κροσσούς. ∆εν προβλέπει όµως την µεταβολή της έντασης πάνω στην οθόνη. Στο σχήµα 3.7.2 βλέπουµε τα χαρακτηριστικά της κατανοµής της έντασης του φωτός πάνω στην οθόνη. Στο κέντρο υπάρχει ένας ευρύς φωτεινός κροσσός ο οποίος περιτριγυρίζεται από πολύ πιο αδύνατους φωτεινούς δακτυλιοειδείς Σχήµα 3.7.2 κροσσούς οι οποίοι εναλλάσσονται µε σκοτεινούς. Τα σηµεία µηδενικής έντασης περιγράφονται από τις τιµές της θ που ικανοποιούν την τελευταία εξίσωση. Η 59 θέση των σηµείων όπου έχουµε ενισχυτική συµβολή βρίσκεται στο µέσο της απόστασης δύο διαδοχικών σκοτεινών σηµείων. Να σηµειώσουµε ότι ο κεντρικός φωτεινός κροσσός έχει διπλάσιο εύρος από τους υπόλοιπους φωτεινούς κροσσούς. Κατανοµή της έντασης της εικόνας περίθλασης που δηµιουργείται από στενή ορθογώνια σχισµή. Χρησιµοποιώντας περιστρεφόµενα διανύσµατα θα προσδιορίσουµε την κατανοµή της έντασης στην εικόνα περίθλασης που δηµιουργείται από µια ορθογώνια στενή σχισµή. Χωρίζουµε την σχισµή σε έναν µεγάλο αριθµό ζωνών, καθεµιά εύρους ∆y << λ όπως στο σχήµα 3.7.3. Καθεµιά ζώνη είναι πηγή εκποµπής σύµφωνου φωτός και συνεισφέρει στην Σχήµα 3.7.3 αύξηση του ηλεκτρικού πεδίου σε κάποιο σηµείο Ρ της οθόνης κατά ∆Ε. Το πλάτος Ε του ολικού ηλεκτρικού πεδίου στο σηµείο Ρ ισούται µε το άθροισµα όλων των ∆Ε. Τα ηλεκτρικά πεδία δύο διαδοχικών ζωνών έχουν διαφορά φάσης το ένα µε το άλλο ίση µε ∆β, διαφορά που οφείλεται στη διαφορά διαδροµής ∆y ⋅ sin θ . Είναι ∆β ∆y ⋅ sin θ 2π = ⇒ ∆β = ∆y ⋅ sin θ . Για να προσδιορίσουµε το πλάτος 2π λ λ του ολικού ηλεκτρικού πεδίου που αντιστοιχεί στην διεύθυνση θ στην οθόνη πρέπει να αθροίσουµε τις συνεισφορές καθεµιάς ζώνης. Για µικρές τιµές της θ µπορούµε να υποθέσουµε ότι όλες οι ζώνες συνεισφέρουν ισόποσα πλάτη ∆Ε, διότι όταν η θ είναι µηδενική όλα τα περιστρεφόµενα διανύσµατα είναι ευθυγραµµισµένα όπως στο σχήµα 3.7.4.a, διότι όλα τα κύµατα που εκπέµπουν οι ζώνες βρίσκονται σε φάση. Στην περίπτωση αυτή το ολικό πλάτος στο κέντρο της οθόνης ισούται µε E 0 = N ⋅ ∆Ε , όπου Ν είναι ο αριθµός των ζωνών. Το πλάτος Εθ που αντιστοιχεί σε µια µικρή γωνία θ, όπου η κατεύθυνση καθενός περιστρεφόµενου διανύσµατος διαφέρει από αυτήν του 60 προηγουµένου του κατά ∆β (σχήµα 3.7.4.b) είναι το διανυσµατικό άθροισµα των επιµέρους πλατών και ισούται µε το µήκος της χορδής. Εποµένως Εθ < Ε0. Η ολική Σχήµα 3.7.4 διαφορά φάσης των κυµάτων που εκπέµπονται από τις δύο ακραίες ζώνες της σχισµής ισούται µε β = Ν ⋅ ∆β = Ν ⋅ 2π 2π ∆y ⋅ sin θ = α ⋅ sin θ αφού το εύρος της σχισµής ισούται λ λ µε α = Ν ⋅ ∆y . Καθώς όµως η θ αυξάνεται, τα περιστρεφόµενα διανύσµατα δηµιουργούν κλειστή διαδροµή όπως στο σχήµα 3.7.4.c. Τότε το διανυσµατικό άθροισµα είναι µηδενικό, ώστε Eθ = 0, που αντιστοιχεί στο πρώτο ελάχιστο της έντασης στην οθόνη. Επειδή όµως τότε β = Ν ⋅ ∆β = 2π , από την εξίσωση β = sin θ = 2π α ⋅ sin θ προκύπτει ότι λ λ , αποτέλεσµα σύµφωνο και µε την µελέτη που είχε προηγηθεί. α Η πρόσθεση των περιστρεφόµενων διανυσµάτων συνεχίζεται και για ακόµη µεγαλύτερες τιµές του θ. Το δεύτερο µέγιστο το συναντάµε όταν β = 540° (3π rad). To δεύτερο ελάχιστο αντιστοιχεί στο β = 720° (4π rad). Για να βρούµε το συνολικό πλάτος και την ένταση σε οποιοδήποτε σηµείο της οθόνης, παίρνουµε το όριο όπου το ∆y γίνεται απειροστό (∆y → dy) και το N → ∞ . Στο όριο αυτό τα διαγράµµατα πρόσθεσης των περιστρεφόµενων διανυσµάτων γίνονται συνεχείς καµπύλες. Από το σχήµα 3.7.5 βλέπουµε ότι σε κάποια γωνία θ το πλάτος, Εθ, του κύµατος στην οθόνη ισούται µε την χορδή του τόξου, ενώ το τόξο ισούται µε Ε0. Από το 61 ορθογώνιο τρίγωνο που έχει γωνία κορυφής β/2 βλέπουµε ότι sin β Εθ / 2 , όπου R = 2 R είναι η ακτίνα καµπυλότητας. Το τόξο Ε0 ισούται µε το γινόµενο R ⋅ β , όπου β είναι η επίκεντρη γωνία σε ακτίνια. Συνδυάζουµε τις δύο τελευταίες σχέσεις E θ = 2R sin και γράφουµε sin ( β / 2 ) β Ε β = 2 0 sin ⇒ Eθ = Ε 0 . 2 β 2 β/2 Αλλά η συνολική ένταση Ιθ στο σηµείο Ρ είναι ανάλογη προς το τετράγωνο του πλάτους Εθ, οπότε  sin ( β / 2 )  Iθ = I 0   , όπου Ι0 είναι η ένταση η  β/2  2 οποία αντιστοιχεί στο κεντρικό µέγιστο για θ = 0, Σχήµα 3.7.5 και β = 2πα ⋅ sin θ . Θέτουµε την σχέση αυτή του β λ  sin ( π α sin θ / λ )  στην τελευταία εξίσωση και βρίσκουµε Iθ = I0   .  π α sin θ / λ  2 Έχουµε ελάχιστα όταν ισχύει λ π αsin θ = m ⋅ π δηλαδή sin θ = m α λ m = ±1, ±2, ±3,... όπως είχαµε καταλήξει και νωρίτερα στη µελέτη µας. Σχήµα 3.7.6 62 3.8 – ∆ΙΑΚΡΙΤΙΚΗ ΙΚΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ Η ικανότητα των οπτικών οργάνων, των µικροσκοπίων και των να τηλεσκοπίων, ξεχωρίζουν αντικείµενα οποία Σχήµα 3.8.1 τα βρίσκονται κοντά το ένα στο άλλο περιορίζεται από την κυµατική φύση του φωτός. Το σχήµα 3.8.1 οποίο απεικονίζει δύο φωτεινές πηγές που βρίσκονται µακριά από µια στενή ορθογώνια σχισµή εύρους α. Οι πηγές S1 και S2 είναι σηµειακές αλλά δεν είναι σύµφωνες. Τέτοιες πηγές θα µπορούσαν να είναι δύο αστέρες. Εάν δεν υπήρχε περίθλαση, θα παρατηρούσαµε πάνω στη οθόνη δύο φωτεινά είδωλα. Αλλά, λόγω της περίθλασης, το είδωλο καθεµιάς πηγής αποτελείται από µια φωτεινή κεντρική περιοχή η οποία έχει εκατέρωθεν της ασθενέστερους φωτεινούς και σκοτεινούς δακτυλίους. Έτσι τα είδωλα που παρατηρούµε στην οθόνη είναι άθροισµα δύο εικόνων περίθλασης, µιας του S1 και µιας άλλης του S2. Εάν τα είδωλα δύο πηγών απέχουν τόσο ώστε τα δύο κεντρικά µέγιστα να µην αλληλεπικαλύπτονται τότε µπορούµε να ξεχωρίσουµε το ένα είδωλο από το άλλο και λέµε ότι διακρίνουµε τα δύο είδωλα. Εάν όµως οι πηγές βρίσκονται πιο κοντά η µία στην άλλη µπορεί τα δύο κεντρικά µέγιστα να συµπέσουν το ένα µε το άλλο και τότε λέµε ότι τα είδωλα δεν διακρίνονται. Όταν το κεντρικό µέγιστο ενός ειδώλου πέσει πάνω στο πρώτο ελάχιστο του άλλου ειδώλου τότε λέµε ότι τα δύο είδωλα µόλις διακρίνονται. Την συνθήκη αυτή που περιγράφει το όριο της διάκρισης δύο ειδώλων ονοµάζουµε κριτήριο τον Rayleigh. Στο σχήµα 3.8.2 βλέπουµε τρεις διαφορετικές εικόνες περίθλασης. Στο (a) βλέπουµε ευδιάκριτα τα είδωλα δύο αντικειµένων. Στο (b) µόλις ξεχωρίζουµε τα δύο είδωλα και η 63 γωνιακή απόσταση που τα χωρίζει µόλις ικανοποιεί το κριτήριο του Rayleigh. Στο (c) όµως δεν µπορούµε να ξεχωρίσουµε τα δύο είδωλα. Θα χρησιµοποιήσουµε το κριτήριο του Rayleigh για να προσδιορίσουµε την ελάχιστη γωνιακή απόσταση, θm, που Σχήµα 3.8.2 σχηµατίζουν οι δύο πηγές µε κορυφή την σχισµή έτσι ώστε µόλις να ξεχωρίζουν τα δύο είδωλα τους. Tο πρώτο ελάχιστο µιας εικόνας περίθλασης αντιστοιχεί στην γωνία η οποία όπως είδαµε ικανοποιεί την σχέση sin θ = λ , όπου α είναι το εύρος της σχισµής. α Σύµφωνα µε το κριτήριο του Rayleigh η έκφραση αυτή περιγράφει την ελάχιστη γωνία για να ξεχωρίζουν τα δύο είδωλα. Στις περισσότερες περιπτώσεις λ << α και έτσι το sinθ είναι πολύ µικρό, οπότε sin θ ≃ θ . Το όριο της διάκρισης δύο ειδώλων από µια σχισµή εύρους α θα είναι: θ m = λ , όπου το θm µετριέται σε ακτίνια. Εποµένως, για να α ξεχωρίσουµε τα δύο είδωλα, η γωνία που σχηµατίζουν οι δύο πηγές µε κορυφή την σχισµή πρέπει να είναι µεγαλύτερη από λ . α 64 3.9 – ΦΡΑΓΜΑ ΠΕΡΙΘΛΑΣΗΣ Τα φράγµατα περίθλασης είναι όργανα χρήσιµα για την µελέτη των φωτεινών πηγών. Αποτελούνται από έναν πολύ µεγάλο αριθµό ισαπεχουσών παράλληλων ορθογώνιων σχισµών. Στο σχήµα 3.9.1 βλέπουµε ένα διάγραµµα ενός κοµµατιού επίπεδου φράγµατος. Ένα επίπεδο κύµα προσπίπτει από τα αριστερά, κάθετα στο επίπεδο του φράγµατος. Χρησιµοποιούµε έναν συγκλίνοντα φακό για να εστιάσουµε τις ακτίνες σε ένα σηµείο στην οθόνη στο Ρ. Η ένταση του φωτός που παρατηρούµε στην οθόνη είναι συνδυασµένο αποτέλεσµα συµβολής και περίθλασης. Καθεµιά σχισµή παράγει εικόνα περίθλασης σαν εκείνη που περιγράψαµε στις προηγούµενες παραγράφους. Οι περιθλασθείσες ακτίνες από τις σχισµές, µε την σειρά τους συµβάλλουν και παράγουν την τελική εικόνα. Καθεµιά σχισµή παίζει τον ρόλο πηγής κυµάτων και όλες οι σχισµές είναι σύµφωνες πηγές. Τα διάφορα κύµατα όµως όταν συµβάλλουν σε ένα τυχαίο σηµείο της οθόνης έχουν εκπεµφθεί κατά µια κατεύθυνση θ αλλά έχουν καλύψει διαφορετικές διαδροµές. Η διαφορά διαδροµής ανάµεσα σε δύο κύµατα που εκπέµπονται από διαδοχικές σχισµές είναι ίση προς dsinθ. Εάν αυτή η Σχήµα 3.9.1 διαφορά διαδροµής ισούται µε ένα µήκος κύµατος ή κάποιο ακέραιο πολλαπλάσιο του τότε τα κύµατα που εκπέµπουν οι διάφορες πηγές κατά την διεύθυνση θ θα είναι σε φάση όταν φτάσουν στο Ρ και θα παρατηρήσουµε στο Ρ έναν φωτεινό κροσσό. Η συνθήκη για µέγιστα στην εικόνα συµβολής κατά την διεύθυνση θ είναι d ⋅ sin θ = m ⋅ λ , (m = 0,1, 2,3,...) . Αυτή είναι πολύ χρήσιµη σχέση και την χρησιµοποιούµε για να προσδιορίσουµε το µήκος κύµατος φωτός όταν γνωρίζουµε την απόσταση ανάµεσα στις σχισµές του φράγµατος και την γωνία θ. Ο 65 ακέραιος m ονοµάζεται αριθµός τάξεως της εικόνας περίθλασης. Εάν η προσπίπτουσα ακτινοβολία αποτελείται από φως διαφόρων µηκών κύµατος, το µέγιστο τάξεως m για καθένα µήκος κύµατος αντιστοιχεί σε διαφορετική γωνία θ. Εξαίρεση αποτελεί η γωνία θ = 0 όπου συµπίπτουν όλα τα µήκη κύµατος για m = 0. Αυτό το µέγιστο ονοµάζεται µέγιστο µηδενικής τάξης. Το µέγιστο πρώτης τάξης (m = 1) βρίσκεται στη Σχήµα 3.9.2 γωνία θ που ικανοποιεί την σχέση sinθ = λ/d, το µέγιστο δεύτερης τάξης (m = 2) το παρατηρούµε σε µεγαλύτερη γωνία θ όπου sinθ = 2λ/α, κλπ. Στο σχήµα 3.9.2 βλέπουµε ένα διάγραµµα της κατανοµής της έντασης ενός φράγµατος περίθλασης. Εάν η πηγή εκπέµπει ακτινοβολία µε περισσότερα του ενός µήκη κύµατος, τότε για τον ίδιο αριθµό τάξεως οι γραµµές που αντιστοιχούν στο κάθε µήκος κύµατος θα καταλαµβάνουν διαφορετικές θέσεις στην οθόνη. Η έκφραση της έντασης για ένα σηµείο Ρ θα συνδυάζει έναν όρο περίθλασης για κάθε σχισµή – πηγή εύρους α και ένα όρο συµβολής από Ν πηγές – σχισµές που απέχουν διαδοχικά απόσταση d: I = I0 sin 2 ( π α sin θ / λ ) sin 2 ( N ⋅ π ⋅ d ⋅ sin θ / λ ) ⋅ 2 sin 2 ( π ⋅ d ⋅ sin θ / λ ) ( π α sin θ / λ ) Περίθλαση σε πλέγµα: Για να µετρήσουµε το µήκος κύµατος φωτός χρησιµοποιούµε φράγµα γνωστού αριθµού σχισµών ανά µονάδα µήκους. Με τον τρόπο αυτό µπορούµε να µετρήσουµε το µήκος κύµατος οποιασδήποτε ηλεκτροµαγνητικής ακτινοβολίας εάν έχουµε φράγµα µε το σωστό εύρος σχισµών - πρέπει να είναι της ίδιας τάξεως µεγέθους µε το µετρούµενο λ. Ο W. Roentgen ανακάλυψε το 1895 τις ακτίνες Χ και απέδειξε ότι είναι ηλεκτροµαγνητική ακτινοβολία πολύ µικρού µήκους κύµατος ( ≈ 10−10 m ). Είναι αδύνατο να κατασκευάσουµε φράγµα µε τόσο µικρό εύρος σχισµών. Γνωρίζουµε όµως ότι οι αποστάσεις ανάµεσα στα άτοµα των στερεών είναι της τάξης του αυτής. Έτσι, το 1913 ο Max von Laue διατύπωσε την ιδέα ότι µια σειρά ατόµων ενός κρυστάλλου θα µπορούσε 66 να παίξει τον ρόλο φράγµατος περιθλάσεως για ακτίνες Χ. Πειράµατα που έγιναν απέδειξαν την ορθότητα της ιδέα αυτής του von Laue. Οι εικόνες περιθλάσεως που λαµβάνονται µε τον τρόπο αυτό είναι πολύ σύνθετες εξαιτίας της τρισδιάστατης δοµής του κρυστάλλου. Στο σχήµα 3.9.3 απεικονίζεται µια πειραµατική διάταξη για τη µελέτη εικόνων περίθλασης ακτινών Χ από κρυστάλλους. Μια παράλληλη δέσµη ακτινών Χ που περιέχει συνεχές φάσµα µηκών κύµατος προσπίπτει πάνω σε έναν κρύσταλλο χλωριούχου νατρίου. Στις διευθύνσεις όπου η συµβολή είναι ενισχυτική, η περιθλώµενη ακτινοβολία είναι πολύ έντονη. Και τούτο διότι συµβάλλουν ενισχυτικά οι ακτίνες Χ που ανακλάστηκαν από τα ατοµικά επίπεδα του κρυστάλλου. Οι περιθλώµενες ακτίνες ανιχνεύονται µε φωτογραφικό φιλµ και η εικόνα που λαµβάνεται ονοµάζεται «εικόνα von Laue». Με την προσεκτική εξέταση και µελέτη της θέσης και της έντασης των κηλίδων στο φιλµ συνάγουµε συµπεράσµατα για την κρυσταλλική δοµή. Σχήµα 3.9.3 Εάν µελετήσουµε προσεκτικά την δοµή του κρυστάλλου του NaCl, θα δούµε ότι τα ιόντα κείνται σε ισαπέχοντα επίπεδα. Η προσπίπτουσα δέσµη ακτινών σχηµατίζει γωνία θ µε ένα από τα επίπεδα. Μέρη της δέσµης ανακλώνται από το επάνω και το κάτω επίπεδο ατόµων. Βλέπουµε όµως ότι το µέρος της δέσµης που ανακλάστηκε από το κάτω επίπεδο διανύει µεγαλύτερη διαδροµή από την δέσµη που ανακλάστηκε από το επάνω επίπεδο. Η διαφορά διαδροµής των δύο αυτών δεσµών είναι 2dsin θ. Όταν η διαφορά διαδροµής είναι ένα ακέραιο πολλαπλάσιο του µήκους κύµατος λ, θα έχουµε ενισχυτική συµβολή. Το παραπάνω ισχύει και για ανακλάσεις από σειρά ολόκληρη παράλληλων επιπέδων. Η 2d sin θ = m ⋅ λ, συνθήκη λοιπόν για ενισχυτική συµβολή είναι: m = 1, 2,3....... ..Η συνθήκη αυτή ονοµάσθηκε νόµος του Bragg, προς τιµήν του W. L. Bragg που πρώτος ανακάλυψε την σχέση αυτή κατά τη διεξαγωγή 67 πειραµάτων περίθλασης ακτινών Χ. Εάν λοιπόν γνωρίζουµε από άλλα πειράµατα το µήκος κύµατος των ακτινών Χ, τότε ο νόµος του Bragg µας δίνει την απόσταση των ατοµικών επιπέδων του κρυστάλλου. Ολογραφία: Ο όρος ολογραφία, προέρχεται από τις λέξεις «όλος» και «γραφή», είναι δε ένα είδος απεικόνισης που επιτρέπει την τρισδιάστατη αναπαραγωγή της εικόνας ενός αντικειµένου στο χώρο, κάθε φορά που φωτίζεται καταλλήλως η ειδική ολογραφική πλάκα ή το φιλµ, πάνω στο οποίο έχει αποτυπωθεί το ολόγραµµα. Η βασική αρχή της ολογραφικής µεθόδου απεικόνισης διατυπώθηκε από το Βρετανό φυσικό Dennis Gabor το 1947, στον οποίο αποδόθηκε το 1971 το βραβείο Nobel για αυτή την ανακάλυψη. Για µεγάλο χρονικό διάστηµα η ολογραφία παρέµεινε στα πλαίσια εργαστηριακών πειραµατικών εφαρµογών, µέχρι που άρχισε να απευθύνεται στο ευρύ κοινό µέσα από τις οπτικές τέχνες και τον κινηµατογράφο. Σήµερα, η τεχνική της ολογραφίας έχει πολλές εφαρµογές στην καθηµερινή ζωή. Πρόκειται για µια τεχνική φωτογράφησης ενός αντικειµένου, η οποία βασίζεται στις ιδιότητες του φωτός, δηλαδή στη µετάδοσή του ως κύµα, την ανάκλασή του, καθώς και στη συµβολή των κυµάτων. Σηµαντικό ρόλο στην εξέλιξη της ολογραφίας έπαιξε η ανακάλυψη του laser το 1962. Ήταν τότε που ο Hermet Smith τράβηξε το πρώτο ολόγραµµα. Το laser χρησιµοποιήθηκε ως πηγή µονοχρωµατικού φωτός, καθιστώντας εφικτή την εφαρµογή της θεωρίας του Gabor. To Laser είναι µία πηγή που παράγει δέσµη σχεδόν µονοχρωµατικού φωτός, µε υψηλό βαθµό συµφωνίας, ως αποτέλεσµα συντονισµένης εκποµπής από πολλά άτοµα. Το όνοµα LASER προέρχεται από τα αρχικά των λέξεων Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation, που σηµαίνει ενίσχυση φωτός µε εξαναγκασµένη εκποµπή ακτινοβολίας. Οι ιδιότητες της ακτινοβολίας Laser είναι: 1. Η Μονοχρωµατικότητα. H ακτινοβολία Laser προσεγγίζει το µονοχρωµατικό φως καλύτερα από κάθε άλλη πηγή φωτός. 2. Η Κατευθυντικότητα. Το άνοιγµα της δέσµης των ακτινών Laser, δηλαδή η µέγιστη γωνία µεταξύ δύο εξωτερικών ακτινών είναι 2 mrad. 3. Σύµφωνη ακτινοβολία. Η ακτινοβολία Laser παρουσιάζει τον µεγαλύτερο βαθµό 68 συµφωνίας από κάθε άλλη πηγή φωτός. 4. Η Λαµπρότητα. Τα Laser είναι πηγές µεγάλης λαµπρότητας. Η λαµπρότητα της ακτινοβολίας ενός Laser He – Ne, ισχύος 1 mW είναι 100 περίπου φορές µεγαλύτερη από την αντίστοιχη του Ηλίου. Για την κατασκευή ενός ολογράµµατος απαιτούνται: 1. Σκοτεινός θάλαµος 2. Τράπεζα ολογραφίας όπου µπορούν να στηριχθούν πολύ σταθερά τα διάφορα όργανα, µε µαγνητικό ή µηχανικό τρόπο. 3. Ένα Laser 4. Συστήµατα ανοίγµατος της δέσµης (αποκλίνοντες φακοί µικρής εστιακής απόστασης, σφαιρικά κάτοπτρα). 5. Κάτοπτρα εµπρόσθιας επικάλυψης. 6. Στηρίγµατα των φακών, των κατόπτρων του φιλµ ή της ολογραφικής πλάκας και του αντικειµένου. Πριν από την διαδικασία κατασκευής ενός ολογράµµατος, χρειάζεται να διαπιστωθεί κατά πόσον το σύστηµα είναι σταθερό και απαλλαγµένο από δονήσεις καθώς και να υπολογισθεί ο χρόνος ηρεµίας (Relaxation Time). Η ανίχνευση των οιονδήποτε δονήσεων που εµφανίζονται στην τράπεζα ολογραφίας ή στα στοιχεία που συµµετέχουν στην ολογραφία γίνεται µε το συµβολόµετρο Michelson. Στην παραπάνω εικόνα παρουσιάζεται χαρακτηριστική διάταξη για ένα συµβολόµετρο Michelson. Το λέιζερ L τοποθετείται κεντρικά στην µία πλευρά της οπτικής τράπεζας, σε τέτοιο ύψος που να επιτρέπει στην ακτίνα να είναι περίπου 20 έως 25 εκατοστά επάνω από την επιφάνεια της τράπεζας. Η ακτίνα θα οδηγηθεί σε ένα διαχωριστή δέσµης (BS) όπου και θα διαχωριστεί σε δύο ακτίνες. Μια 69 ακτίνα διαβιβάζεται µέσω του BS για να αντανακλαστεί στο κάτοπτρο Μ2 και η άλλη ακτίνα αλλάζει πορεία κατά 900 για να ανακλαστεί στο κάτοπτρο M1. Η απόσταση, ή όπως ονοµάζεται το µήκος των πορειών, µεταξύ κάθε καθρέπτη και του ΒS πρέπει να είναι ίσες. Η συµβολή επιτυγχάνεται µε την βοήθεια µικροµετρικών κινήσεων του ενός από τα δύο κάτοπτρα. Η ακρίβεια του πειράµατος αυξάνει όσο πιο µακριά είναι τα δύο κάτοπτρα από το beamsplitter (BS). Οι δύο ακτίνες που έχουν κατευθυνθεί στα αντίστοιχα κάτοπτρα θα ανακλαστούν µε την σειρά τους πίσω στον διαχωριστή δέσµης και θα οδηγηθούν στο πέτασµα s, όπου θα φανούν δύο φωτεινές κηλίδες. Ο επόµενος στόχος είναι να ταυτιστούν αυτές οι δύο κηλίδες. Κατά την σύµπτωση θα φανούν στο πέτασµα κροσσοί συµβολής. Εάν υπάρξει η παραµικρή δόνηση στο σύστηµα, καταγράφεται µε διατάραξη των κροσσών συµβολής. Ο χρόνος που απαιτείται για να ηρεµήσει το σύστηµα είναι ο relaxation time, ο οποίος λαµβάνεται υπόψη πριν αρχίσει η διαδικασία εκφώτησης του αντικειµένου. Είδη ολογραµµάτων Ανάλογα µε τη διάταξη των οργάνων και τον τρόπο κατασκευής του ολογράµµατος, έχουµε δύο είδη ολογραµµάτων: τα ολογράµµατα «µεταβίβασης» (Transmition) και τα ολογράµµατα «ανάκλασης» (Reflection). Για την κατασκευή ενός ολογράµµατος µεταβίβασης (transmission) απαιτείται ένας διασπαστής δέσµης Beam Splitter (BS), ο οποίος διασπά τις φωτεινές ακτίνες που παράγονται από το laser σε δύο δέσµες. Η µία δέσµη στοχεύει πρώτα στο αντικείµενο (αντικειµενική δέσµη, Object Beam OB) και στη συνέχεια ανακλάται και κατευθύνεται στην ολογραφική πλάκα, ενώ η δεύτερη δέσµη προσπίπτει απ’ ευθείας πάνω στην πλάκα (δέσµη αναφοράς, Reference Beam RB). Οι δύο δέσµες συναντώνται ταυτοχρόνως στην 70 επιφάνεια της πλάκας, προκαλώντας έτσι το φαινόµενο της συµβολής κυµάτων. Από τη συµβολή των δύο κυµάτων δηµιουργούνται οι κροσσοί συµβολής, δηλαδή σηµεία που άλλοτε είναι φωτεινά (όταν τα συµβαλλόµενα κύµατα έχουν την ίδια φάση), άλλοτε σκοτεινά (όταν έχουν αντίθετη φάση) καθώς και ενδιάµεσες καταστάσεις. Εν γένει, η αίσθηση του βάθους που έχει κάποιος όταν παρατηρεί ένα ολόγραµµα οφείλεται στη διαφορά φάσης των δύο κυµάτων. Όταν η πλάκα φωτιστεί, το φως που ανακλάται από τους κροσσούς συµβολής που έχουν τυπωθεί πάνω της, δηµιουργεί την ψευδαίσθηση της τρισδιάστατης εικόνας του αντικειµένου. Το ολόγραµµα ανάκλασης δηµιουργείται όταν η δέσµη του laser περνά µέσα από την πλάκα, φτάνει στο αντικείµενο που είναι τοποθετηµένο πίσω από αυτήν, ανακλάται στην επιφάνειά του και επιστρέφει στην πίσω πλευρά της πλάκας. Η µέθοδος της ανάκλασης µπορεί να εφαρµοστεί και µε µία δέσµη φωτεινών ακτίνων, χωρίς τη χρήση διασπαστή. Στην περίπτωση που χρησιµοποιηθεί και δεύτερη δέσµη, το ολόγραµµα είναι πιο καθαρό, µε περισσότερες λεπτοµέρειες και συνεπώς πληρέστερη απεικόνιση του αρχικού αντικειµένου. 71 Ερµής (Reflection) Αντικείµενα και ολογράµµατα (Transmission) Τα ολογράµµατα µεταβίβασης γίνονται ορατά µόνο όταν εκτεθούν σε ακτινοβολία laser, 72 ή φωτιστούν µε Led του ίδιου χρώµατος. Στο φυσικό φως παρουσιάζουν τα χρώµατα της ίριδας και έχουν συγκεχυµένα περιγράµµατα. Αντιθέτως, τα ολογράµµατα ανάκλασης γίνονται ορατά και στο φως της ηµέρας. 3.10 – ΠΟΛΩΣΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ Το ηλεκτρικό και το µαγνητικό πεδίο που αποτελούν ένα ηλεκτροµαγνητικό κύµα είναι κάθετα µεταξύ τους και κάθετα προς τη διεύθυνση διάδοσης του κύµατος. Το φαινόµενο της πόλωσης το οποίο θα περιγράψουµε είναι σαφής απόδειξη της εγκάρσιας αυτής ιδιότητας των ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων. Μια συνήθης δέσµη φωτός αποτελείται από έναν µεγάλο αριθµό κυµάτων τα οποία έχουν εκπεµφθεί από τα άτοµα ή τα µόρια της φωτεινής πηγής. Το καθένα άτοµο παράγει ένα κύµα µε την δική του διεύθυνση του Ε, η οποία οφείλεται στη διεύθυνση της ατοµικής ταλάντωσης. Ορίζουµε ότι η διεύθυνση της πόλωσης ενός ηλεκτροµαγνητικού κύµατος συµπίπτει µε την διεύθυνση στην οποία ταλαντώνεται το ηλεκτρικό πεδίο Ε. Ωστόσο, αφού όλες οι διευθύνσεις ταλάντωσης είναι δυνατές, προκύπτον ηλεκτροµαγνητικό κύµα το είναι υπέρθεση των κυµάτων που εκπέµπουν τα άτοµα. Το αποτέλεσµα είναι ένα µη πολωµένο κύµα φωτός (σχήµα 3.10.1.a). Όλες οι δυνατές διευθύνσεις του ηλεκτρικού πεδίου είναι το ίδιο πιθανές, αλλά όλες βρίσκονται στο επίπεδο που είναι κάθετο στην κατεύθυνση διάδοσης του κύµατος. Λέµε ότι ένα κύµα είναι γραµµικά Σχήµα 3.10.1 πολωµένο εάν το διάνυσµα Ε ταλαντώνεται στο ίδιο σηµείο πάντοτε, κατά την ίδια διεύθυνση, όπως στο σχήµα 3.10.1.b. Μερικές φορές ένα τέτοιο κύµα ονοµάζεται και επίπεδα πολωµένο ή, απλώς, πολωµένο. Ας θεωρήσουµε µια δέσµη φωτός η οποία διαδίδεται κατά τον άξονα z και έχει διάνυσµα ηλεκτρικού πεδίου το οποίο κάποια στιγµή σχηµατίζει γωνία θ µε τον άξονα x, 73 (σχήµα 3.10.2). Το διάνυσµα Ε αναλύεται στις ορθογώνιες συνιστώσες του Εx και Ey. Tο κύµα θα είναι πολωµένο εάν η γωνία θ παραµένει σταθερή µε το χρόνο ή εάν µία από τις συνιστώσες του είναι πάντοτε µηδενική. Εάν όµως η αιχµή του Ε περιστρέφεται µε το χρόνο διαγράφοντας κύκλο, τότε λέµε ότι το κύµα είναι κυκλικά πολωµένο. Αυτό συµβαίνει όταν τα Εx και Ey έχουν ίσα µέτρα αλλά έχουν 90° διαφορά φάσης. Εάν όµως τα Εx Σχήµα 3.10.2 και Εy δεν έχουν ίσα µέτρα και έχουν διαφορά φάσης 90°, τότε η αιχµή του Ε διαγράφει έλλειψη και τότε λέµε ότι το κύµα είναι ελλειπτικά πολωµένο. Τέλος, όταν τα Εx και Ey έχουν κατά µέσον όρο ίσα µέτρα αλλά τυχαία φάση, τότε το κύµα δεν είναι πολωµένο. Ένας τρόπος για να έχουµε µια γραµµικά πολωµένη δέσµη είναι να αφαιρέσουµε από αυτήν όλα τα κύµατα, εκτός από εκείνα των οποίων το ταλαντώνεται διάνυσµα σε µια µόνο διεύθυνση. Θα περιγράψουµε στη συνέχεια διεργασίες πολωµένου τέσσερις παραγωγής φωτός από Κυκλικά πολωµένο φως µη πολωµένο φως. Πόλωση µέσω επιλεκτικής απορρόφησης Η πιο διαδεδοµένη τεχνική για την παραγωγή πολωµένων φωτεινών δεσµών είναι εκείνη κατά την οποία αναγκάζουµε το φως να διέλθει µέσα από ένα διαφανές υλικό το οποίο αφήνει να διέλθουν µέσα του κύµατα των οποίων το ηλεκτρικό πεδίο 74 ταλαντώνεται σε µια συγκεκριµένη διεύθυνση και απορροφά όλα τα άλλα κύµατα των οποίων το ηλεκτρικό πεδίο ταλαντώνεται σε άλλες διευθύνσεις. Το 1938, ο Ε. Η. Land ανακάλυψε ένα υλικό το οποίο ονόµασε polaroid και το οποίο πολώνει φως διότι τα προσανατολισµένα µόρια του απορροφούν επιλεκτικά το φως. Το υλικό αυτό παράγεται σε λεπτά στρώµατα µακρών υδατανθράκων, όπως είναι η πολυβινυλική αλκοόλη. Κατά την διάρκεια της παραγωγής τους τα στρώµατα αυτά τεντώνονται έτσι ώστε να ευθυγραµµίζονται τα µακριά µόρια. Όταν εµβαπτιστεί ένα στρώµα του υλικού αυτού µέσα σε διάλυµα ιωδίου, τα µόρια του άγουν τον ηλεκτρισµό. Η αγωγιµότητα όµως συντελείται κατά την κατεύθυνση της αλυσίδας του υδατάνθρακα, διότι τα ηλεκτρόνια σθένους δηλαδή εκείνα στα οποία οφείλεται η αγωγιµότητα (διότι κινούνται «ελεύθερα» δια µέσου του αγωγού) κινούνται εύκολα µόνον κατά µήκος των αλυσίδων αυτών. Για τον λόγο αυτό τα µόρια απορροφούν το φως του οποίου το διάνυσµα του ηλεκτρικού πεδίου είναι παράλληλο προς το µήκος τους και αφήνουν να τα διαπεράσει το φως του οποίου το διάνυσµα του ηλεκτρικού πεδίου είναι κάθετο στο µήκος τους. Για τον λόγο αυτό ο άξονας που είναι κάθετος στην µακριά µοριακή αλυσίδα ονοµάζεται άξονας διάδοσης. Ένα ιδανικό πολωτικό υλικό αφήνει να το διαπεράσει όλο το φως του οποίου το Ε είναι παράλληλο προς τον άξονα διάδοσης, ενώ απορροφά όλο το φως όταν το Ε είναι κάθετο στον άξονα διάδοσης. Στο σχήµα 3.10.3 βλέπουµε µια µη πολωµένη δέσµη φωτός η οποία προσπίπτει στο πρώτο πολωτικό στρώµα, που ονοµάζεται πολωτής, και του οποίου ο άξονας διάδοσης είναι ο ίδιος µε τον άξονα που βλέπουµε ότι είναι χαραγµένος επάνω του. Έτσι το φως που τον διαπερνά Σχήµα 3.10.3 είναι εκείνο το οποίο είναι πολωµένο µε το διάνυσµα ηλεκτρικού πεδίου Ε0 κατά την διεύθυνση που βλέπουµε. Ένα δεύτερο στρώµα πολωτικού υλικού, ο αναλυτής, έχει τον άξονα διάδοσης του κατά την διεύθυνση που σχηµατίζει γωνία θ µε τον άξονα του πολωτή. Ο αναλυτής απορροφά εντελώς την 75 συνιστώσα του Ε0 που είναι κάθετη στον άξονα του ενώ αφήνει να τον διαπεράσει η συνιστώσα του E0 που είναι παράλληλη προς αυτόν και η οποία ισούται µε Ε0cosθ. Η ένταση του φωτός είναι ανάλογη προς το τετράγωνο του πλάτους του πεδίου του διαδιδόµενου κύµατος. Εποµένως η διαδιδόµενη ένταση του φωτός είναι I = I0 cos 2 θ όπου Ι0 είναι η ένταση του προσπίπτοντος στον αναλυτή κύµατος. Η έκφραση αυτή ονοµάζεται νόµος του Malus και ισχύει για οποιαδήποτε δύο πολωτικά υλικά σχηµατίζουν µε τους άξονες τους γωνία θ. Από την έκφραση αυτή βλέπουµε ότι η ένταση του διαδιδόµενου φωτός είναι µέγιστη όταν οι δύο άξονες διάδοσης είναι παράλληλοι και ελάχιστη (µηδενική) όταν οι δύο άξονες διάδοσης είναι κάθετοι µεταξύ τους. Πόλωση από ανάκλαση Άλλος τρόπος παραγωγής πολωµένου φωτός είναι εκείνος που γίνεται µε ανάκλαση. Όταν µια δέσµη µη πολωµένου φωτός ανακλαστεί από µια επιφάνεια, τότε, σύµφωνα µε την γωνία πρόσπτωσης, το ανακλώµενο φως µπορεί να είναι πλήρως, µερικώς ή καθόλου πολωµένο. Εάν η γωνία πρόσπτωσης είναι 0° ή 90°, τότε η ανακλώµενη δέσµη φωτός δεν είναι πολωµένη. Για ενδιάµεσες γωνίες πρόσπτωσης το ανακλώµενο φως είναι µερικώς πολωµένο. Για µια µάλιστα γωνία πρόσπτωσης το ανακλώµενο φως είναι πλήρως πολωµένο. Υποθέτουµε ότι µια µη πολωµένη δέσµη φωτός προσπίπτει σε µια Σχήµα 3.10.4 επιφάνεια (σχήµα 3.10.4). Περιγράφουµε την ακτίνα χρησιµοποιώντας δύο συνιστώσες του ηλεκτρικού πεδίου, µια παράλληλη προς την επιφάνεια (οι τελείες) και µια δεύτερη, κάθετη προς την πρώτη και προς την κατεύθυνση διάδοσης (τα βέλη). Έχει µετρηθεί ότι η παράλληλη συνιστώσα ανακλάται περισσότερο από την άλλη συνιστώσα και το αποτέλεσµα είναι φως µερικώς πολωµένο όπως µερικώς πολωµένη είναι και η δέσµη που διαθλάται. Μεταβάλλουµε την γωνία πρόσπτωσης ωσότου η ανακλώµενη και η διαθλώµενη δέσµη σχηµατίσουν γωνία 90° (σχήµα 3.10.5). Έχει µετρηθεί ότι γι' αυτήν τη γωνία 76 πρόσπτωσης η ανακλώµενη ακτίνα είναι πλήρως πολωµένη, µε το ηλεκτρικό πεδίο παράλληλο προς την επιφάνεια, ενώ η διαθλώµενη ακτίνα είναι µερικώς µόνο πολωµένη. Η γωνία πρόσπτωσης για την οποία συµβαίνει αυτό το φαινόµενο ονοµάζεται γωνία ολικής πόλωσης, θP. Από το σχήµα βλέπουµε θ P + 900 + θ 2 = 1800 . ότι Άρα θ 2 = 900 − θ P . Χρησιµοποιώντας τη σχέση του νόµου της διάθλασης του n= Snell βρίσκουµε ότι sin θ1 sin θ Ρ sin θ P sin θ P = = = = tan θ P ⇒ 0 sin θ 2 sin θ 2 sin ( 90 − θ P ) cosθ P Σχήµα 3.10.5 n = tan θ P . Αυτός είναι ο νόµος του Brewster, προς τιµήν του οποίου η γωνία ολικής πόλωσης, θΡ, ονοµάζεται γωνία του Brewster. Η γωνία Brewster βέβαια εξαρτάται από το µήκος κύµατος, διότι ο δείκτης διαθλάσεως είναι συνάρτηση του µήκους κύµατος. Η πόλωση εξ ανακλάσεως είναι σύνηθες φαινόµενο. Το φως που ανακλάται από επιφάνειες νερού ή γυαλιού ή χιονιού είναι µερικώς πολωµένο. Εάν η ανακλώσα επιφάνεια είναι οριζόντια, τότε το διάνυσµα του ανακλώµενου ηλεκτρικού πεδίου θα έχει µεγάλη οριζόντια συνιστώσα. Για τον λόγο αυτό, ο άξονας διάδοσης του φωτός των γυαλιών ηλίου τύπου polaroid κατευθύνεται κατά την κατακόρυφο, ώστε τα γυαλιά να απορροφούν τη µεγάλη οριζόντια συνιστώσα του ανακλώµενου φωτός. Πόλωση από ανάκλαση 77 Πόλωση από διπλή διάθλαση Η διάδοση του φωτός µέσα σε ένα άµορφο υλικό όπως το γυαλί γίνεται µε την ίδια ταχύτητα προς όλες τις κατευθύνσεις. ∆ηλαδή το γυαλί έχει έναν µόνο δείκτη διάθλασης. Υπάρχουν όµως ορισµένοι κρύσταλλοι, όπως είναι ο ασβεστίτης και ο χαλαζίας, στους οποίους το φως δεν διαδίδεται προς όλες τις διευθύνσεις µε την ίδια ταχύτητα. Τα υλικά αυτά έχουν δύο δείκτες διαθλάσεως και για τον λόγο αυτό ονοµάζονται διπλοθλαστικά. Όταν µια δέσµη φωτός εισέλθει σε έναν κρύσταλλο ασβεστίτη τότε η δέσµη αυτή χωρίζεται σε δύο επίπεδα πολωµένες ακτίνες, οι οποίες διαδίδονται µε διαφορετικές ταχύτητες που αντιστοιχούν στις δύο διαφορετικές γωνίες διάθλασης (σχήµα 3.10.6). Όπως δείχνουν οι τελείες και τα βέλη του σχήµατος, οι δύο ακτίνες είναι Σχήµα 3.10.6 πολωµένες σε δύο διευθύνσεις που είναι κάθετες µεταξύ τους. Η µια ακτίνα ονοµάζεται τακτική (Ο) και αντιστοιχεί στον δείκτη διάθλασης, n0, ο οποίος είναι ο ίδιος σε όλες τις διευθύνσεις. Εάν Πόλωση µέσω διπλοθλαστικότητας µπορούσαµε να τοποθετήσουµε µέσα στον κρύσταλλο µια σηµειακή πηγή φωτός, τα φωτεινά κύµατα της τακτικής ακτίνας θα διαδίδονταν σφαιρικά µε κέντρο την πηγή. Η 78 δεύτερη όµως επίπεδα πολωµένη ακτίνα ονοµάζεται έκτακτη (Ε) και διαδίδεται µε διαφορετικά µέτρα ταχύτητας σε διαφορετικές κατευθύνσεις. Έτσι, εάν τοποθετούσαµε µέσα στον κρύσταλλο µια σηµειακή πηγή φωτός και αυτή εξέπεµπε έκτακτες ακτίνες, το φως θα είχε ισοφασικές επιφάνειες οι οποίες θα είχαν ελλειπτικές τοµές. Υπάρχει µια διεύθυνση, η οποία ονοµάζεται οπτικός άξονας κατά την οποία η τακτική και η έκτακτη ακτίνα έχουν την ίδια ταχύτητα διάδοσης, δηλαδή n0 = nE. Η µέγιστη διαφορά της ταχύτητας διάδοσης των δύο ακτινών εµφανίζεται κατά την κάθετο προς τον οπτικό άξονα διεύθυνση. Εάν τοποθετήσουµε έναν κρύσταλλο ασβεστίτη πάνω σε ένα φύλλο γραµµένο χαρτί, θα δούµε δύο είδωλα των γραµµάτων. Τα δύο αυτά είδωλα σχηµατίζονται από τις δύο ακτίνες, την τακτική και την έκτακτη. Εάν κοιτάξουµε τα δύο είδωλα µέσα από ένα κοµµάτι πολωτικού γυαλιού το οποίο περιστρέφουµε, θα δούµε ότι τα δύο είδωλα εναλλάσσονται εµφανιζόµενα και εξαφανιζόµενα διότι οι τακτικές και οι έκτακτες ακτίνες είναι επίπεδα πολωµένες µεταξύ τους σε κάθετες όµως διευθύνσεις. Πόλωση από σκέδαση Καθώς το φως προσπίπτει σε ένα σύστηµα σωµατίων όπως ενός αερίου, τα ηλεκτρόνια των ατόµων του αερίου απορροφούν το φως και µετά επανεκπέµπουν ένα µέρος του. Η απορρόφηση και επανεκποµπή αυτή του φωτός ονοµάζεται σκέδαση και σε αυτήν οφείλεται το γεγονός ότι το φως του Ηλίου το οποίο έρχεται κατά την κατακόρυφο είναι µερικώς πολωµένο. Στο σχήµα 3.10.7 απεικονίζεται πώς πολώνεται το φως του Ηλίου. Μια µη πολωµένη δέσµη ηλιακού φωτός κατευθύνεται κατά την οριζόντιο και προσπίπτει πάνω σε ένα µόριο του αέρα. Όταν η δέσµη φωτός προσπέσει πάνω στο µόριο του αέρα, το Σχήµα 3.10.7 79 ηλεκτρικό της πεδίο υποχρεώνει τα ηλεκτρόνια του µορίου να ταλαντωθούν. Τα ταλαντούµενα ηλεκτρόνια εκπέµπουν, µε την σειρά τους, ηλεκτροµαγνητική ακτινοβολία, όπως κάνει κάθε επιταχυνόµενο ηλεκτρικό φορτίο. Έτσι, λόγω της οριζόντιας κίνησης των ηλεκτρονίων, εκπέµπεται ένα οριζόντια πολωµένο ηλεκτροµαγνητικό κύµα και από την κατακόρυφη κίνηση τους εκπέµπεται ένα κατακόρυφα πολωµένο ηλεκτροµαγνητικό κύµα. Όταν φως διαφόρων µηκών κύµατος λ προσπίπτει στα µόρια του αέρα διαστάσεων d, όπου d << λ, η σχετική ένταση του σκεδαζόµενου φωτός µεταβάλλεται ως 1/ λ4 . Το µόριο του Ο2 και του Ν2 της ατµόσφαιρας έχουν διαµέτρους ίσες µε 0.2 nm περίπου και ικανοποιούν την συνθήκη λ << d. Έτσι τα µικρότερα µήκη κύµατος του ορατού φάσµατος του φωτός (το κυανό) σκεδάζονται περισσότερο από τα µεγαλύτερα (το ερυθρό). Για τον λόγο αυτό ο ουρανός φαίνεται γαλάζιος. Επίσης το διάστηµα φαίνεται µαύρο, διότι δεν υπάρχουν µόρια ατµόσφαιρας να σκεδάσουν το φως του Ηλίου. Οπτική ενεργότητα Λέµε ότι µια ουσία είναι οπτικώς ενεργός εάν στρέφει το επίπεδο πόλωσης του φωτός που διέρχεται µέσα της. Η γωνία στροφής του επιπέδου πόλωσης του φωτός εξαρτάται από το µήκος του δείγµατος και από την πυκνότητα της ουσίας µέσα στο δείγµα. Μια οπτικά ενεργός ουσία κοινώς γνωστή είναι η ζάχαρη δεξτρόζη. Και µια κλασική µέθοδος για τον προσδιορισµό της συγκέντρωσης σακχάρου σε διάφορα δείγµατα είναι η µέτρηση της γωνίας στροφής του επιπέδου πόλωσης ενός καθορισµένου µήκους δείγµατος. Η οπτική ενεργότητα οφείλεται στην ασυµµετρία του σχήµατος των µορίων που συγκροτούν µια ουσία. Η οπτική ενεργότητα των πρωτεϊνών οφείλεται στο ελικοειδές σχήµα τους. Άλλα υλικά, όπως το γυαλί και τα πλαστικά, γίνονται οπτικώς ενεργά όταν παραµορφώνονται υπό τάση. Εάν παρατηρήσουµε το πολωµένο φως που διέρχεται δια µέσου ενός κοµµατιού πλαστικού, το οποίο δεν βρίσκεται υπό τάση, µέσα από έναν αναλυτή του οποίου ο άξονας είναι κάθετος προς τον άξονα του πολωτή, δεν θα δούµε καθόλου το πολωµένο φως. Εάν όµως θέσουµε το πλαστικό υπό τάση, τότε οι περιοχές του υλικού που υπόκεινται σε µεγάλη τάση θα στρέψουν το επίπεδο πόλωσης του φωτός και µάλιστα όσο µεγαλύτερη είναι η τάση τόσο µεγαλύτερη θα είναι και η 80 στροφή. Τότε λοιπόν θα παρατηρήσουµε φωτεινά και σκοτεινά µέρη του πλαστικού. Τα φωτεινά µέρη θα αντιστοιχούν στις περιοχές µεγάλης τάσης. Η τεχνική αυτή ονοµάζεται οπτική ανάλυση τάσεων ή φωτοελαστικότητα και χρησιµοποιείται ευρέως από τους µηχανικούς για τον έλεγχο της κατανοµής των τάσεων και εποµένως της οµοιόµορφης ή µη καταπόνησης των κατασκευών τους. Για τον λόγο αυτό κατασκευάζονται µοντέλα από πλαστικό των κατασκευών που πρόκειται να γίνουν και υποβάλλονται σε µελέτη µε πολωµένο φως κάτω από διάφορες συνθήκες καταπόνησης. Έτσι προσδιορίζονται εύκολα οι περιοχές µεγάλης καταπόνησης και ενισχύονται ανάλογα. 81 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 – ΚΒΑΝΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ 4.1 – ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ ΜΕΛΑΝΟΣ ΣΩΜΑΤΟΣ Κάθε σώµα που θερµαίνεται εκπέµπει ακτινοβολία, η οποία σε χαµηλές θερµοκρασίες είναι στο υπέρυθρο άρα αόρατη και όσο αυξάνεται η θερµοκρασία µετατοπίζεται προς το ορατό. Η εκπεµπόµενη θερµική ακτινοβολία εξαρτάται από τη συχνότητα, τη θερµοκρασία και την απορροφούµενη ισχύ - όσο περισσότερο απορροφά ένα σώµα τόσο περισσότερο εκπέµπει. Το µέλαν σώµα ορίζεται ως ένα αντικείµενο που απορροφά όλη την ακτινοβολία που πέφτει πάνω του, σε όλες τις συχνότητες, για αυτό και φαίνεται µαύρο. Για µέλαν σώµα η εκπεµπόµενη ισχύς είναι συνάρτηση µόνο της συχνότητας και της θερµοκρασίας και είναι µέγιστη. Άρα το µέλαν σώµα είναι ένας ιδανικός εκποµπός, το πρότυπο για να µελετήσει κανείς τη θερµική εκποµπή των σωµάτων. Η καλύτερη αναπαράσταση µέλανος σώµατος είναι µια θερµαινόµενη κοιλότητα π.χ. ένας φούρνος. Αν ανοίξει κανείς µια οπή σε φούρνο, η εκπεµπόµενη ακτινοβολία έχει όλα τα χαρακτηριστικά της ακτινοβολίας µέλανος σώµατος. Σύµφωνα µε την κλασική φυσική, η ακτινοβολία της κοιλότητας προέρχεται από τις ταλαντώσεις των φορτισµένων σωµατιδίων στα τοιχώµατα της κοιλότητας και η συχνότητα της εκπεµπόµενης ακτινοβολίας από ένα ταλαντούµενο φορτίο είναι ίση µε τη συχνότητα των ταλαντώσεων αυτών. Η ενέργεια της ακτινοβολίας µπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιµή. Μεγέθη για την περιγραφή της ακτινοβολίας µέλανος σώµατος: • I(f,T) είναι η εκπεµπόµενη ισχύς ανά Σχήµα 4.1.1 µονάδα επιφάνειας και συχνότητας - λέγεται φασµατική ένταση της ακτινοβολίας. 82 • u(f,T) είναι η φασµατική πυκνότητα ενέργειας, δηλ. η ενέργεια ανά µονάδα συχνότητας και όγκου στην κοιλότητα που αναπαριστά το µέλαν σώµα. Ισχύει ότι I(f,T) = u(f,T) c/4, όπου c η ταχύτητα του φωτός στο κενό. Η ακτινοβολία µέλανος σώµατος, Ι(λ,Τ), ως συνάρτηση του µήκους κύµατος και της θερµοκρασίας έχει τη µορφή που φαίνεται στο σχήµα 2.1.1. Βασικά χαρακτηριστικά της ακτινοβολίας µέλανος σώµατος - Εµπειρικοί νόµοι • Το φάσµα δηλαδή η ένταση εκπεµπόµενης ακτινοβολίας ως συνάρτηση της συχνότητας του µέλανος σώµατος είναι συνεχές µε ένα ευρύ µέγιστο. Εξαρτάται µόνο από τη θερµοκρασία. • Η συνολική εκπεµπόµενη ισχύς ανά µονάδα επιφάνειας, Ι(Τ) είναι ανάλογη προς την τέταρτη δύναµη της απόλυτης θερµοκρασίας: I (T ) = σ ⋅ T 4 (νόµος Stefan – Boltzmann). • Καθώς η θερµοκρασία αυξάνει, το µέγιστο της καµπύλης εκποµπής µετακινείται προς υψηλότερες συχνότητες (µικρότερα µήκη κύµατος). Η µετακίνηση αυτή περιγράφεται από τον νόµο µετατόπισης του Wien: λ max ⋅ Τ = 0, 2898 cm K , όπου λmax είναι το µήκος κύµατος στο οποίο η εκποµπή ακτινοβολίας γίνεται µέγιστη. • Για χαµηλές συχνότητες (µεγάλα µήκη κύµατος) η εκποµπή µέλανος σώµατος περιγράφεται από τον νόµο των Rayleigh - Jeans: I ( λ , Τ ) = Eav 2π c / λ 4 , όπου Eav = k BT είναι η µέση ενέργεια ανά ταλαντωτή, των ταλαντωτών που εκπέµπουν την ακτινοβολία και kΒ είναι η σταθερά του Boltzmann. • Για υψηλές συχνότητες (µικρά µήκη κύµατος) η εκποµπή µέλανος σώµατος περιγράφεται από τον εκθετικό νόµο του Wien (πειραµατικός νόµος): I ( λ , Τ ) = ( Α / λ 5 ) e− B / λΤ , Α, Β σταθερές. Πρόβληµα στη µελέτη του µέλανος σώµατος: Η ακτινοβολία µέλανος σώµατος δεν µπορούσε να περιγραφεί µε βάση την υπάρχουσα θεωρία, κατά την οποία οι υπεύθυνοι για την ακτινοβολία ταλαντωτές (άρα και η ακτινοβολία της κοιλότητας) µπορούν να έχουν οποιαδήποτε ενέργεια, ανεξάρτητα από τη συχνότητα τους. 83 Το παραπάνω πρόβληµα λύθηκε από τον Planck, ο οποίος έδωσε τον τύπο που περιγράφει σωστά την ακτινοβολία µέλανος σώµατος για κάθε περιοχή συχνοτήτων. Για την εργασία του αυτή πήρε το βραβείο Nobel, το 1918. Οι υποθέσεις - κλειδιά του Planck ήταν: Α) Οι ενέργειες των ταλαντωτών που βρίσκονται στα τοιχώµατα της κοιλότητας µπορούν να πάρουν µόνο διακριτές τιµές, n ⋅ h ⋅ f , όπου n είναι ακέραιος και h σταθερά, είναι δηλαδή ενέργειες κβαντισµένες. Β) Η ενέργεια της ακτινοβολίας που µπορούν να απορροφήσουν ή να εκπέµψουν οι ταλαντωτές - άρα της ακτινοβολίας που υπάρχει στην κοιλότητα - είναι κβαντισµένη. Παίρνει τις τιµές En = nhf = nh c λ µε n = 0,1, 2,.... που ονοµάζονται κβάντα ενέργειας. Οι ταλαντωτές εκπέµπουν ή απορροφούν ενέργεια µόνο όταν µεταπηδούν από µια κατάσταση ταλάντωσης σε µια άλλη. Μπορούµε να καταλήξουµε στον τύπο του Planck για το µέλαν σώµα αν, αντί της υπόθεσης του Rayleigh ότι η ενέργεια ενός στάσιµου κύµατος µπορεί να λάβει οποιαδήποτε τιµή από 0 έως ∞ , δεχθούµε ότι ένα στάσιµο κύµα, συχνότητας f, όπως τα στάσιµα ηλεκτροµαγνητικά κύµατα µέσα σε θερµαινόµενη κοιλότητα (µέλαν σώµα), µπορεί να έχει µόνο διακριτές ενέργειες Ε = nhf. Εφαρµόζουµε τον τύπο του Boltzmann P( E ) = P0e− ( E − E0 ) / kT για την πιθανότητα ενός συστήµατος να έχει ενέργεια Ε µεγαλύτερη από µια ελάχιστη ενέργεια Ε0 για να βρούµε την πιθανότητα ένας ταλαντωτής να βρίσκεται στην κατάσταση n: P(n) = P0e − nhf / kT Η σχέση για τη µέση ενέργεια ενός ∞ στάσιµου κύµατος, E = ∑ E ⋅ P( E ) ∑ P( E ) ∑ nhf ⋅ P e − nhf / kT 0 γίνεται E = n =0 . Χρησιµοποιώντας τη ∞ ∑ P0e−nhf / kT n =0 σχέση ∞ 1 = ∑ rn 1 − r n =0 για r <1, ∞ βρίσκουµε ότι ∑e − nhf / kT = n =0 ∞ ∑ nhf ⋅ P e 1 . 1 − e− hf / kT Αν − nhf / kT 0 αντικαταστήσουµε την τελευταία σχέση στην E= n =0 ∞ ∑Pe έχουµε: − nhf / kT 0 n =0 84 ∞ E = hf (1 − e− hf / kT ) ∑ ne− nhf / kT . Για να υπολογίσουµε το άθροισµα θέτουµε a = n =0 αφού ισχύει ∞ µας ∑ ne − na ∑ ne−nhf / kT = n =0 =− d ∞ − na d  1  e− a = , τότε στην περίπτωσή e =−  ∑  da n=0 da  1 − e− a  (1 − e− a ) 2 e− a , (1 − e− a ) 2 ∞ E = hf (1 − e− hf / kT ) ∑ ne− nhf / kT = n =0 hf και kT άρα η σχέση για τη µέση ενέργεια γίνεται hfe − hf / kT hf . Πολλαπλασιάζοντας την E επί = hf / kT − hf / kT 1− e e −1 των αριθµό των ταλαντωτών ανά µονάδα συχνότητας και ανά µονάδα όγκου N( f ) = 8π f 2 καταλήγουµε στον τύπο κατανοµής του Planck για τη φασµατική c3 πυκνότητα ενέργειας: u ( f , T ) = N ( f ) ⋅ E = ( 8π f 2 / c3 )  hf / ( e h f / k T − 1)  85 4.2 – ΤΟ ΦΩΤΟΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ Το 1905 ήταν ένα απίστευτο έτος για τον «πρόθυµο επαναστάτη» Albert Einstein Το έτος αυτό, ο Einstein δηµοσίευσε τρεις εργασίες σε τρία διαφορετικά αντικείµενα. Και οι τρεις δηµοσιεύσεις περιείχαν εξισορροπηµένα, συµµετρικά και ενοποιητικά νέα αποτελέσµατα που είχαν επιτευχθεί πάνω στη βάση µιας λεπτής και σαφούς λογικής και απλών µαθηµατικών. Στην πρώτη δηµοσίευση µε τίτλο «Μια ευρετική άποψη για την παραγωγή και για τους µετασχηµατισµούς του φωτός» διατύπωσε τη θεωρία των κβάντων φωτός και εξήγησε το φωτοηλεκτρικό φαινόµενο. Στη δεύτερη δηµοσίευση που είχε τίτλο «Περί της κινήσεως σωµατιδίων που αιωρούνται σε υγρά, όπως απαιτείται από τη µοριακή - κινητική Θεωρία της θερµότητας» εξηγούσε την κίνηση Brown και παρείχε ισχυρά επιχειρήµατα για την ύπαρξη των ατόµων. Η τρίτη δηµοσίευση, η οποία είναι ίσως η πιο ξακουστή από όλες, περιέχει τη διατύπωση της θεωρίας της ειδικής σχετικότητας και έχει τίτλο «Περί της ηλεκτροδυναµικής κινουµένων σωµάτων. Στη δηµοσίευση που αφορά το κβάντο φωτός ο Einstein «διασταύρωσε το ξίφος του» µε τον Maxwell και αµφισβήτησε τη µέχρι τότε εντυπωσιακή επιτυχία της κυµατικής θεωρίας του φωτός. Ο Einstein είχε διαπιστώσει την ύπαρξη αντιφάσεων στους συλλογισµούς του Planck και πιο συγκεκριµένα, µεταξύ της κβάντωσης των ταλαντωτών, που βρίσκονται στα τοιχώµατα του µέλανος σώµατος, και του ισχυρισµού του ότι η ακτινοβολία στην κοιλότητα απαρτιζόταν από κλασικά ηλεκτροµαγνητικά κύµατα. Ο Einstein υποστήριξε ότι το φως απαρτίζεται επίσης από κβάντα, και πραγµατεύθηκε µε έξοχο τρόπο τις συνέπειες που έχει το γεγονός αυτό στις φωτοηλεκτρικές και φωτοχηµικές διεργασίες. Η εξήγηση που έδωσε για το φωτοηλεκτρικό φαινόµενο παρείχε τόσο πειστικά επιχειρήµατα ότι το φως αποτελείται από κβάντα ενέργειας, ώστε αξίζει να περιγραφεί µε περισσότερες λεπτοµέρειες. Πρώτα όµως να λάβουµε υπ' όψιν τα κύρια πειραµατικά χαρακτηριστικά του φωτοηλεκτρικού φαινοµένου. Ο Hertz πρώτος είχε διαπιστώσει ότι οι καθαρές µεταλλικές επιφάνειες εκπέµπουν φορτία όταν εκτίθενται σε υπεριώδες φως. Το 1898 ο Hallwachs είχε ανακαλύψει ότι τα εκπεµπόµενα φορτία είναι αρνητικά και το 1899 ο J.J. Thomson είχε αποδείξει ότι τα εκπεµπόµενα φορτία είναι ηλεκτρόνια. Το είχε επιτύχει µετρώντας τον 86 λόγο του φορτίου προς τη µάζα των σωµατιδίων που παράγονται από το υπεριώδες φως και, επί πλέον, είχε κατορθώσει να µετρήσει και το e ξεχωριστά, χρησιµοποιώντας την τεχνική του θαλάµου Wilson. Η τελευταία αποφασιστική ανακάλυψη πριν από την ερµηνεία του Einstein είχε πραγµατοποιηθεί από τον Philip Lenard, ο οποίος µελετούσε το φωτοηλεκτρικό φαινόµενο µε ισχυρές φωτεινές πηγές βολταϊκού τόξου. Ο Lenard είχε διαπιστώσει ότι η µέγιστη κινητική ενέργεια, Kmax, των φωτοηλεκτρονίων δεν εξαρτάται από την ένταση του διεγείροντας φωτός. Αν και δεν ήταν σε θέση να προσδιορίσει την ακριβή συσχέτιση, ο Lenard είχε υποδείξει ότι η Κmax αυξάνεται µε τη συχνότητα του φωτός. Μια τυπική διάταξη που χρησιµοποιείται για τη µέτρηση της µέγιστης κινητικής ενέργειας των φωτοηλεκτρονίων φαίνεται στο σχήµα 4.2.1. Η Κmax µετρείται εύκολα, εάν εφαρµοσθεί µια ανασχετική τάση που αυξάνεται βαθµιαία, µέχρις ότου και τα ακινητοποιηθούν µηδενικό. K max Σε πιο ενεργητικά ηλεκτρόνια και το φωτορρεύµα αυτό το γίνει σηµείο 1 = m e u 2m a x = e ⋅ Vs , όπου me είναι η µάζα 2 Σχήµα 4.2.1 του ηλεκτρονίου, umax είναι η µέγιστη ηλεκτρονική ταχύτητα, e είναι το φορτίο του ηλεκτρονίου και Vs είναι η τιµή της ανασχετικής τάσης στην οποία διακόπτεται πλήρως το φωτορρεύµα (τάση αποκοπής). Ένα διάγραµµα σαν αυτό που επεξεργάσθηκε ο Lenard φαίνεται στο σχήµα 4.2.2.α, το οποίο δείχνει ότι η Κmax είναι ανεξάρτητη από την ένταση I του προσπίπτοντος φωτός. Η αύξηση του ρεύµατος (ή του αριθµού των ηλεκτρονίων ανά δευτερόλεπτο) µε την αύξηση της έντασης του φωτός, που φαίνεται στο σχήµα 4.2.2, ήταν αναµενόµενη και ήταν δυνατόν να εξηγηθεί µε την κλασική θεωρία. Ωστόσο, το αποτέλεσµα ότι η Kmax δεν εξαρτάται από την ένταση ήταν εντελώς απροσδόκητο: συνεπαγόταν ότι το εκπεµπόµενο ηλεκτρόνιο µπορούσε να απορροφήσει µόνο µέχρι µια συγκεκριµένη ποσότητα προσπίπτουσας φωτεινής ενέργειας, 87 απορρίπτοντας την αποµένουσα φωτεινή ενέργεια µεγάλης έντασης. Αντιστοίχως, για ασθενικές φωτεινές πηγές, το ηλεκτρόνιο θα έπρεπε να παραµένει στο στερεό ώσπου να συσσωρεύσει την ίδια συγκεκριµένη ποσότητα ενέργειας και κατόπιν να εξέρχεται από το µέταλλο µε Σχήµα 4.2.2 την ενέργεια αυτή. Αν και δεν είχε προσδιορισθεί ποσοτικά από τον Lenard το 1902, η εξάρτηση της Kmax από τη συχνότητα παρουσιάζει απροσδόκητα αποτελέσµατα. ∆ιαπιστώνεται ότι υπάρχει, για κάθε µέταλλο, µια συχνότητα κατωφλίου f0, κάτω από την οποία δεν εκπέµπονται φωτοηλεκτρόνια, ανεξάρτητα από το πόσο έντονη είναι η διεγείρουσα ακτινοβολία. Επίσης, πάνω από τη συχνότητα κατωφλίου, διαπιστώνεται ότι η Kmax ή η Vs είναι ευθέως ανάλογη προς τη συχνότητα του φωτός, όπως δείχνει το σχήµα 4.2.2.β. Η εξήγηση του Einstein στο φωτοηλεκτρικό φαινόµενο ήταν ευφυής τόσο για τα σηµεία στα οποία εστίασε την προσοχή του όσο και για εκείνα που αγνόησε. Τόνισε, παραδείγµατος χάριν, ότι η κλασική θεωρία του Maxwell περιέγραφε µε εξαιρετική επιτυχία τη διάδοση του φωτός στον χώρο για µεγάλα χρονικά διαστήµατα, αλλά χρειαζόταν ίσως µια διαφορετική θεωρία για την περιγραφή στιγµιαίων αλληλεπιδράσεων φωτός και ύλης, όπως είναι η περίπτωση της εκποµπής από ταλαντωτές ή ο µετασχηµατισµός της φωτεινής ενέργειας σε κινητική ενέργεια του ηλεκτρονίου στο φωτοηλεκτρικό φαινόµενο. Επίσης εστίασε την προσοχή του µόνο στην ενεργειακή πλευρά του φωτός και απέφυγε µοντέλα ή µηχανισµούς που αφορούν τη µετατροπή του κβάντου της φωτεινής ενέργειας σε κινητική ενέργεια του ηλεκτρονίου. Με λίγα λόγια εισήγαγε µόνο τις ιδέες εκείνες που ήταν απαραίτητες για την εξήγηση του φωτοηλεκτρικού φαινοµένου. Υποστήριξε ότι το ηλεκτροµαγνητικό κύµα αποτελείται από φωτόνια (κβάντα) ενέργειας hf, όπου h η σταθερά του Planck και f η συχνότητα του κύµατος. Μια παραστατική απεικόνιση, που δεν πρέπει να θεωρηθεί ότι 88 εκφράζει πιστά την πραγµατικότητα, φαίνεται στο σχήµα 4.2.3.β. Η απλή εικόνα του Σχήµα 4.2.3 α: κλασσική άποψη οδεύοντος φωτεινού κύµατος β: άποψη του Einstein Einstein για το φωτοηλεκτρικό φαινόµενο ήταν ότι ένα κβάντο φωτός δίνει όλη την ενέργεια του, hf, σε ένα µόνο ηλεκτρόνιο του µετάλλου. Τα ηλεκτρόνια που εκπέµπονται από την επιφάνεια του µετάλλου έχουν τη µέγιστη κινητική ενέργεια Kmax. Έτσι, σύµφωνα µε τον Einstein, η µέγιστη κινητική ενέργεια για αυτά τα εκπεµπόµενα ηλεκτρόνια είναι K max = hf − φ , όπου φ είναι το έργο εξαγωγής για το µέταλλο, το οποίο αντιστοιχεί στην ελάχιστη ενέργεια που πρέπει να δοθεί στο ηλεκτρόνιο προκειµένου να αποσπασθεί από το µέταλλο. Η τελευταία εξίσωση ερµήνευσε ωραία τη µυστηριώδη ανεξαρτησία µεταξύ της Kmax και της έντασης, που παρατηρήθηκε από τον Lenard. Για µια συγκεκριµένη συχνότητα f του φωτός, αύξηση της φωτεινής έντασης σηµαίνει περισσότερα φωτόνια και περισσότερα φωτοηλεκτρόνια ανά δευτερόλεπτο, ενώ η Kmax παραµένει αναλλοίωτη, σύµφωνα µε την εξίσωση K max = hf − φ . Εξάλλου, η ίδια εξίσωση έδωσε εξήγηση στο φαινόµενο της συχνότητας κατωφλίου. Φως συχνότητας κατωφλίου f0, που µόλις έχει ενέργεια αρκετή για να αποσπάσει ηλεκτρόνια από τη µεταλλική επιφάνεια, έχει ως αποτέλεσµα την ελευθέρωση ηλεκτρονίων µε µηδενική κινητική ενέργεια. Εάν λάβουµε Kmax = 0 στην εξίσωση προκύπτει ότι f 0 = φ . Έτσι, η ποικιλία τιµών στη συχνότητα κατωφλίου για h διαφορετικά µέταλλα οφείλεται στις διαφορετικές τιµές του έργου εξαγωγής. Επίσης παρατηρούµε ότι φως µε f < f0 έχει ανεπαρκή ενέργεια ώστε να αποσπάσει ηλεκτρόνια από το µέταλλο. Συνεπώς, το φωτορρεύµα είναι µηδενικό για f < f0. 89 Σε κάθε θεωρία, δεν αναζητεί κανείς µόνο ερµηνείες αποτελεσµάτων που παρατηρήθηκαν προηγουµένως, αλλά και νέες προβλέψεις. Αυτό ίσχυσε και στην προκείµενη περίπτωση, καθώς η εξίσωση K max = hf − φ προέβλεψε το αποτέλεσµα ότι η Kmax πρέπει να µεταβάλλεται γραµµικά µε την f για κάθε υλικό και ότι η κλίση του διαγράµµατος της Kmax συναρτήσει της f πρέπει να δώσει την παγκόσµια σταθερά h (σχήµα. 4.2.4). Το 1916 ο Αµερικανός φυσικός Robert Millikan ανακοίνωσε φωτοηλεκτρικά Σχήµα 4.2.4 δεδοµένα µετρήσεων µε τα οποία απέδειξε τη γραµµική σχέση µεταξύ των Κmax και f και προσδιόρισε την h µε σφάλµα της τάξεως του 0,5%. 90 4.3 – ΤΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ COMPTON Αν και ο Einstein εισήγαγε το 1905 την αντίληψη ότι το φως αποτελείται από κβάντα ενέργειας σηµειακής µορφής, δεν µελέτησε απευθείας την ορµή την οποία µεταφέρει το φως, µέχρι το 1919. Εκείνο το έτος, σε µια µελέτη του στην οποία πραγµατευόταν το θέµα ενός µοριακού αερίου που βρίσκεται σε θερµική ισορροπία µε ηλεκτροµαγνητική ακτινοβολία, ο Einstein κατέληξε στο συµπέρασµα ότι ένα κβάντο φωτός ενέργειας Ε διαδίδεται σε µία µόνο κατεύθυνση - σε αντίθεση µε ένα σφαιρικό κύµα και µεταφέρει ορµή µε κατεύθυνση κατά µήκος της γραµµής κίνησης του, µέτρου E/c ή hf/c. Σύµφωνα µε τα λόγια του, «αν µια δέσµη ακτινοβολίας προκαλεί στο µόριο την εκποµπή ή την απορρόφηση µιας ποσότητας ενέργειας hf, τότε µεταφέρεται στο µόριο ορµή µεγέθους hf/c κατά την κατεύθυνση της προσπίπτουσας δέσµης, όταν πρόκειται για απορρόφηση, και αντίθετα προς αυτήν όταν πρόκειται για εκποµπή». Μετά τη διατύπωση της πρώτης θεωρητικής αιτιολόγησης της ορµής του φωτονίου και έχοντας µελετήσει το φωτοηλεκτρικό φαινόµενο πολύ νωρίτερα, ο Einstein εγκατέλειψε το θέµα και δεν συνέχισε περαιτέρω τη µελέτη της ορµής του φωτονίου. Η θεωρητική πραγµάτευση των κρούσεων φωτονίων - σωµατιδίων έπρεπε να περιµένει τη διορατικότητα των Peter Debye και Arthur Compton. To 1923, οι δύο αυτοί φυσικοί συνέλαβαν την ιδέα, ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλον, ότι η σκέδαση φωτονίων των ακτινών Χ από ηλεκτρόνια µπορεί να εξηγηθεί, εάν θεωρήσουµε τα φωτόνια ως σηµειακά σωµατίδια µε ενέργεια hf και ορµή hf/c, και εφαρµόσουµε την αρχή διατήρησης της σχετικιστικής ενέργειας και της ορµής του ζεύγους φωτονίου ηλεκτρονίου. Αυτή η αξιόλογη εξέλιξη συµπλήρωσε τη σωµατιδιακή εικόνα του φωτός, αποδεικνύοντας ότι τα φωτόνια, εκτός από την ενέργεια hf που µεταφέρουν, µεταφέρουν και ορµή και σκεδάζονται όπως και τα σωµατίδια. Αρκετά πριν από το 1922, ο Compton και οι συνεργάτες του συγκέντρωναν ενδείξεις, σύµφωνα µε τις οποίες η κλασική κυµατική θεωρία αδυνατούσε να εξηγήσει τη σκέδαση ακτινών Χ από ελεύθερα ηλεκτρόνια. Συγκεκριµένα, η κλασική θεωρία προέβλεπε ότι η προσπίπτουσα ακτινοβολία συχνότητας f0 θα έπρεπε να επιταχύνει ένα ηλεκτρόνιο στην κατεύθυνση διάδοσης της προσπίπτουσας ακτινοβολίας και να 91 προκαλεί εξαναγκασµένες ταλαντώσεις στο ηλεκτρόνιο και επανεκποµπή ακτινοβολίας µε συχνότητα f ′ , όπου f ′ ≤ f 0 (σχήµα 4.3.1.α). Επίσης, σύµφωνα µε την κλασική θεωρία, η συχνότητα ή το µήκος κύµατος της σκεδαζόµενης ακτινοβολίας έπρεπε να εξαρτάται από το χρονικό διάστηµα κατά το οποίο το ηλεκτρόνιο εκτίθεται στην Σχήµα 4.3.1 προσπίπτουσα ακτινοβολία, καθώς και από την ένταση της προσπίπτουσας ακτινοβολίας. Ο Compton απέδειξε πειραµατικά ότι η µετατόπιση του µήκους κύµατος των σκεδαζόµενων ακτινών Χ σε µια δεδοµένη γωνία είναι τελείως ανεξάρτητη από την ένταση της ακτινοβολίας και από τη χρονική διάρκεια της έκθεσης, αλλά εξαρτάται µόνο από τη γωνία σκέδασης. Το σχήµα 4.3.1.β δείχνει την περίπτωση της µεταφοράς ορµής και ενέργειας µεταξύ ενός φωτονίου ακτινών Χ και ενός ηλεκτρονίου. 92 Ένα σχηµατικό διάγραµµα της πειραµατικής διάταξης που χρησιµοποίησε ο Compton φαίνεται στο σχήµα 4.3.2.α. Στο αρχικό του πείραµα, ο Compton µέτρησε την εξάρτηση της έντασης των σκεδαζόµενων ακτινών Χ από το µήκος κύµατος για τρεις διαφορετικές γωνίες σκέδασης, 45°, 90° και 135°. Το µήκος κύµατος µετρήθηκε µε ένα φασµατόµετρο περιστρεφόµενου κρυστάλλου και η ένταση προσδιορίστηκε µε τη χρήση ενός θαλάµου ιοντισµού, που παρήγε ένα ρεύµα ανάλογο της έντασης των ακτινών Χ. Η o προσπίπτουσα δέσµη ακτινών Χ ήταν µονοχρωµατική, µε µήκος κύµατος λ 0 = 0,71 Α . Χρησιµοποιήθηκε στόχος άνθρακα, που έχει µικρό ατοµικό αριθµό, Ζ, επειδή άτοµα µε µικρό Ζ έχουν περισσότερο ασθενώς δέσµια - ελεύθερα ηλεκτρόνια. Τα πειραµατικά διαγράµµατα της έντασης ως προς το µήκος κύµατος που παρατηρήθηκαν από τον Σχήµα 4.3.2 Compton για γωνίες σκέδασης 0°, 45°, 90° και 135° φαίνονται στο σχήµα 4.3.2.β. Παρουσιάζουν δύο κορυφές, µία στο λ0 και µία µετατοπισµένη κορυφή στο λ'. Η κορυφή στο λ0 οφείλεται σε σκέδαση ακτινών Χ από ισχυρώς δέσµια ηλεκτρόνια, τα οποία έχουν ενεργό µάζα ίση µε τη µάζα ολόκληρου του ατόµου άνθρακα. Η µετατοπισµένη κορυφή στο λ' οφείλεται σε σκέδαση ακτινών Χ από ελεύθερα ηλεκτρόνια και προβλέφθηκε από τον Compton ότι εξαρτάται από τη γωνία σκέδασης ως εξής: λ′ − λ 0 = h (1 − cos θ ) mec ,όπου me η µάζα ηλεκτρονίου. Η ποσότητα h/mec ονοµάζεται µήκος κύµατος Compton του ηλεκτρονίου και έχει αποδεκτή τιµή σήµερα o h = 0,0243 A . mec Οι προσεκτικές µετρήσεις του Compton επιβεβαίωσαν πλήρως την τελευταία εξίσωση 93 o και έδωσαν ένα µήκος κύµατος Compton ίσο µε 0,0242 A , που βρίσκεται σε εξαιρετική συµφωνία µε τη σηµερινή αποδεκτή τιµή. Αυτά τα καλής ποιότητας αποτελέσµατα ήταν τα πρώτα που έπεισαν τους περισσότερους Αµερικανούς φυσικούς για την ισχύ της κβαντικής θεωρίας. Ας µελετήσουµε την εξαγωγή της εξίσωσης λ′ − λ 0 = h (1 − cos θ ) µε µια mec επεξεργασία βασιζόµενη στην υπόθεση ότι το φωτόνιο επιδεικνύει συµπεριφορά σωµατιδίου και συγκρούεται ελαστικά µε ένα ηλεκτρόνιο, όπως µια µπάλα µπιλιάρδου. Το σχήµα 4.3.3 δείχνει την κρούση φωτονίου - ηλεκτρονίου. ∆εδοµένου ότι το ηλεκτρόνιο ανακρούει µε ταχύτητες παραπλήσιες µε την ταχύτητα του φωτός, πρέπει να διατηρούνται τόσο η σχετικιστική ενέργεια όσο και η σχετικιστική ορµή. Σχήµα 4.3.3 Η έκφραση για τη διατήρηση της ενέργειας δίνει E + m ec 2 = E′ + E e , όπου Ε είναι η ενέργεια του προσπίπτοντος φωτονίου, Ε' είναι η ενέργεια του σκεδαζόµενου φωτονίου, m ec 2 είναι η ενέργεια ηρεµίας του ηλεκτρονίου και Ee είναι η ενέργεια ανάκρουσης του ηλεκτρονίου. Παροµοίως, από τη διατήρηση της ορµής έχουµε p = p′ cos θ + pe cos φ και p′ sin θ = pe sin φ , όπου p είναι η ορµή του προσπίπτοντος φωτονίου, p' είναι η ορµή του 94 σκεδαζόµενου φωτονίου και pe είναι η ορµή ανάκρουσης του ηλεκτρονίου. Οι δύο τελευταίες εξισώσεις µπορούν να συνδυαστούν για να απαλειφθεί η φ γωνία σκέδασης του ηλεκτρονίου. Έτσι προκύπτει η ακόλουθη έκφραση για το pe2 : pe2 = ( p′ ) + p 2 − 2pp′ cos θ . Στο σηµείο αυτό είναι, παραδόξως, απαραίτητο να 2 επικαλεσθούµε την κυµατική φύση του φωτός για να εξηγήσουµε τη σωµατιδιακή συµπεριφορά των φωτονίων. H ενέργεια ενός φωτονίου και η συχνότητα του σχετιζόµενου φωτεινού κύµατος συνδέονται µε τη σχέση Ε = hf. Αν υποθέσουµε ότι ένα φωτόνιο ακολουθεί τη σχετικιστική έκφραση E 2 = p 2c2 + m 02c4 και ότι ένα φωτόνιο έχει µηδενική µάζα ηρεµίας, έχουµε pφωτ. = Ε hf h h 2π = = = = ℏk . Εδώ έχουµε µια c c λ 2π λ παράδοξη κατάσταση, όπου µια σωµατιδιακή ιδιότητα, η ορµή του φωτονίου, δίνεται ως συνάρτηση µιας κυµατικής ιδιότητας, του λ, ενός σχετιζόµενου φωτεινού κύµατος. Αν οι σχέσεις Ε = hf και p = hf/c τεθούν στις εξισώσεις E + m ec 2 = E′ + E e και pe2 = ( p′ ) + p 2 − 2pp′ cos θ , έχουµε αντίστοιχα: 2 2 E e = hf − hf ′ + m ec ⇒ E e = h(f − f ′) + m ec 2 2 και 2 2  hf ′   hf  2h ff ′ p = + − cos θ ⇒    c2  c   c  2 e pe2c2 = h 2 ( f ′ ) + h 2f 2 − 2h 2ff ′ cos θ . Επειδή δεν ενδιαφερόµαστε για την ολική ενέργεια 2 και ορµή του ηλεκτρονίου, τα Ee και pe µπορούν να απαλειφθούν µε την εισαγωγή των δύο τελευταίων εξισώσεων στη σχέση που δίνει τη σχετικιστική ενέργεια του ηλεκτρονίου: E 2e = p e2c2 + m e2c4 ⇒ ( h(f − f ′) + m e c2 ) = h 2 ( f ′ ) + h 2f 2 − 2h 2ff ′ cos θ + m e2c4 2 2 ⇒ h 2 (f − f ′)2 + m e2c 4 + 2h(f − f ′)m ec2 = h 2 ( f ′ ) + h 2f 2 − 2h 2ff ′ cos θ + m e2c4 2 ⇒ h 2f 2 + h 2f ′2 − 2h 2ff ′ + m e2c 4 + 2hfm ec 2 − 2hf ′m ec 2 = h 2f ′2 + h 2f 2 − 2h 2ff ′ cos θ + m e2c4 ⇒ h 2ff ′ − hfm e c2 + hf ′m ec2 = h 2ff ′ cos θ ⇒ h 2ff ′(1 − cos θ) = hm e c2 (f − f ′) ⇒ hff ′(1 − cos θ) f − f ′ h(1 − cos θ) 1 1 h(1 − cos θ) c c h(1 − cos θ) f −f′ = ⇒ = ⇒ − = ⇒ − = 2 2 2 m ec ff ′ mec f′ f mec f′ f m ec h h λ′ − λ 0 = (1 − cos θ) ⇒ ∆λ = (1 − cos θ) mec m ec 95 Φωτόνια και νόµος ανάκλασης Με βάση τη σωµατιδιακή φύση του φωτός µπορούµε να καταλήξουµε στο γνωστό νόµο της ανάκλασης. Θεωρούµε φωτόνια που προσπίπτουν σε ανακλαστική επιφάνεια µε γωνία θi και ανακλώνται µε γωνία θr. Τα προσπίπτοντα φωτόνια έχουν ορµή pi = ℏki , ενώ τα ανακλώµενα pr = ℏkr . Θεωρούµε ελαστική κρούση, δηλαδή ότι η όποια µεταβολή της ορµής γίνεται µόνο κατά τον κάθετο άξονα y προς την ανακλαστική επιφάνεια, και ότι η οριζόντια συνιστώσα της ορµής κατά τον x άξονα παραµένει αναλλοίωτη (διατήρηση της ορµής): pix = prx ⇒ ℏkix = ℏkrx ⇒ ki sin θi = kr sin θ r (1) Λόγω διατήρησης ενέργειας και καθώς η ταχύτητα του φωτός παραµένει σταθερή στο ίδιο µέσο: Ei = Er ⇒ hfi = hf r ⇒ fi = f r ⇒ c λi = c λr ⇒ λi = λr ⇒ ki = kr οπότε λόγω της (1) προκύπτει sin θi = sin θ r ⇒ θi = θ r ki sin θi θr θi kr sin θ r 96 Αντίστροφο φαινόµενο Compton Στο φαινόµενο Compton θεωρούµε ότι το αρχικό φωτόνιο, που είναι εκείνο µε την υψηλή ενέργεια σκεδάζεται και το σκεδαζόµενο φωτόνιο είναι εκείνο το οποίο µεταφέρει µικρότερη ενέργεια από ότι το αρχικό. Είναι όµως δυνατό το αρχικό φωτόνιο να έχει πολύ µικρή ενέργεια αλλά να συγκρούεται, να σκεδάζεται πάνω σε ηλεκτρόνια τα οποία τρέχουν µε πολύ µεγάλη ταχύτητα. Το αποτέλεσµα ως προς τον ακίνητο παρατηρητή, τον παρατηρητή του εργαστηρίου, θα είναι ότι το τελικό φωτόνιο (το θυγατρικό) θα έχει αποκτήσει µεγάλη ενέργεια, µε άλλα λόγια βρήκαµε ένα µηχανισµό για να αυξήσουµε την ενέργεια των φωτονίων. Στις αστροφυσικές παρατηρήσεις πολλά φάσµατα από τα των φωτονίων τα οποία προέρχονται από αστροφυσικές οντότητες ερµηνεύονται ως το αντίστροφο φαινόµενο Compton, το οποίο είναι ένας πολύ σπουδαίος µηχανισµός προκειµένου να περιγράψουµε και να καταλάβουµε τη φασµατική κατανοµή των φωτονίων τα οποία προέρχονται από αστρικά αντικείµενα. 97 Ενεργός διατοµή Ας προσπαθήσουµε να ορίσουµε τώρα κάποιες παραµέτρους ή ποσότητες τις οποίες θα χρησιµοποιήσουµε για να εκφράσουµε ποσοτικά την πιθανότητα αλληλεπίδρασης αλλά επίσης και το ποσόν της ενέργειας το οποίο εναποθέτει ένα στοιχειώδες σωµάτιο µέσα στο υλικό κατά τη διέλευσή του. Ας υποθέσουµε ότι έχουµε µια δοµική µονάδα αυτού του υλικού, µπορεί να είναι ένα µόριο, ένας πυρήνας, πολλές φορές και ένα ηλεκτρόνιο του µέσου. Ας θεωρήσουµε τώρα ότι αυτή τη δοµική µονάδα τη βοµβαρδίζουµε µε κάποια ακτινοβολία, µε κάποια από αυτά τα σωµάτια τα οποία θέλουµε να µελετήσουµε για το πώς αλληλεπιδρούν και πώς αφήνουν ενέργεια µέσα στην ύλη κι ας υποθέσουµε επίσης ότι η ένταση αυτής της σωµατιδιακής ακτινοβολίας είναι Ι0. Με τον όρο ένταση εννοούµε τον αριθµό των σωµατιδίων, των βληµάτων τα οποία προσπίπτουν στην µονάδα του χρόνου κάθετα σε µια µοναδιαία επιφάνεια, η οποία έχει σαν κέντρο της αυτή τη δοµική µονάδα, την οποία θα καλούµε στόχο. Ορίζουµε ως ενεργό διατοµή σ σε µονήρη στόχο, στην περίπτωση που έχουµε δηλαδή µια δοµική µονάδα, το τµήµα της επιφάνειας της δέσµης που αλληλεπιδρά, δηλαδή είναι ο λόγος: σ = σκεδαζ όµενη ένταση δ έσµης ( I s ) . προσπ ίπτουσα ένταση δ έσµης ( I 0 ) Ας ορίσουµε τώρα την πιθανότητα σκέδασης ανά µονάδα επιφάνειας στόχου. Αυτή η στοιχειώδης πιθανότητα µπορεί να βρεθεί αν υπολογίσουµε τον αριθµό των αλληλεπιδράσεων που έχουµε για ολόκληρο το στόχο και µετά διαιρέσουµε µε την επιφάνεια S του στόχου. Ο αριθµός των αλληλεπιδράσεων που έγιναν σε ολόκληρο το στόχο θα ισούται µε το λόγο της σκεδαζόµενης (αλληλεπιδρώσας) δέσµης Ιs προς τη συνολική δέσµη Ι0, επί τον αριθµό όλων των µονήρων στόχων, όλων των δοµικών µονάδων που περιέχονται µέσα στον όγκο του στόχου: dP = ορισµού 1  Is   N v  . Όµως εξ S  I0  Is = σ , ο δε αριθµός των µονήρων στόχων Νψ θα είναι ίσος µε τον όγκο dx ⋅ S , I0 όπου dx το πάχος του υλικού που παρεµβάλλεται κάθετα στη δέσµη, επί n, τον αριθµό 98   1  Is  1 των µονήρων στόχων ανά µονάδα όγκου δηλαδή: dP =  N v  = σ ( nSdx )  = σ ndx S  I0  S σ  Ας ορίσουµε τώρα την διαφορική ενεργό διατοµή dσ (θ , φ ) / d Ω , ως το τµήµα της επιφάνειας της δέσµης το οποίο σκεδάζεται υπό γωνίες θ και φ ανά µονάδα στερεάς γωνίας. Τι εννοούµε µε τα y παραπάνω: ας φανταστούµε ότι τα σωµάτια – βλήµατα της δέσµης Θ µονήρη z φ έρχονται στόχο σκεδάζονται σε και δηλαδή αλλάζουν πορεία. Σε κάποιο x σηµείο αν τοποθετηθεί ανιχνευτής, του οποίου το κέντρο έχει διάνυσµα θέσης µε γωνιακές συντεταγµένες θ και φ, τότε ορίζει στερεά γωνία dΩ µε το κέντρο του συστήµατος συντεταγµένων. Η διαφορική ενεργός διατοµή είναι το τµήµα, το ποσοστό της δέσµης το οποίο αφού σκεδάζεται καταλήγει στον ανιχνευτή διαιρεµένο µε τη στερεά γωνία στην οποία αντιστοιχεί ο ανιχνευτής δηλαδή: dσ (θ , φ ) σκεδαζ όµενη ένταση δ έσµης στην d Ω µε δι έθυνση (θ , φ ) = . dΩ προσπ ίπτουσα ένταση δ έσµης ( I 0 ) Να θυµίσουµε εδώ ότι η στερεά γωνία dΩ είναι z ο λόγος ανιχνευτή dA dA της επιφάνειας (τµήµα του σφαιρικής επιφάνειας µε κέντρο το στόχο) προς το τετράγωνο της απόστασης ανιχνευτή – στόχου δηλαδή x y dΩ = dΑ = sin θ dθ dφ , r2 όπου φ η αζιµουθιακή γωνία και θ η πολική γωνία. Εάν τώρα ξέρουµε την διαφορική 99 ενεργό διατοµή και θέλουµε να υπολογίσουµε τη συνολική ενεργό διατοµή δηλαδή το ποσοστό της δέσµης το οποίο σκεδάζεται, θα πρέπει να ολοκληρώσουµε τη διαφορική ενεργό διατοµή ως προς dΩ, το οποίο είναι όπως είπαµε ίσο µε d Ω = sin θ dθ dφ οπότε  π dσ (θ , φ ) )  sin θ dθ dφ . σ = ∫ ∫ dΩ 0 0  2π Πολλές φορές σε τέτοια προβλήµατα σκέδασης µας ενδιαφέρει η ενεργός διαφορική διατοµή όχι µόνο όσον αφορά την κατεύθυνση δηλαδή τη στερεά γωνία αλλά όσον αφορά και την ενέργεια. Ας φανταστούµε µια σκέδαση για την οποία το σκεδαζόµενο σωµάτιο έχει ενέργεια η οποία εξαρτάται από τη γωνία σκέδασης. Ένα τέτοιο φαινόµενο είναι το φαινόµενο Compton, στο οποίο το δευτερογενές φωτόνιο έχει ενέργεια η οποία εξαρτάται, όπως είδαµε, από την γωνία σκέδασης. Σ’ αυτήν την περίπτωση η ενεργός διαφορική διατοµή την οποία ορίζουµε ως προς τη στερεά γωνία και την ενέργεια ορίζεται ως η σκεδαζόµενη ένταση δέσµης, στη στερεά γωνία dΩ µε διεύθυνση θ και φ και ενέργεια Ε δηλ. ενέργεια µεταξύ Ε και Ε + dΕ, προς την προσπίπτουσα ένταση της δέσµης: dσ (θ ,φ , Ε ) σκεδαζ όµενη ένταση δ έσµης στην d Ω µε δι έθυνση (θ , φ ) και εν έ ργεια Ε = d ΩdE προσπ ίπτουσα ένταση δ έσµης ( I 0 ) Εάν τώρα από αυτή την διπλή διαφορική διατοµή θέλουµε να βρούµε την διαφορική ενεργό διατοµή ως προς dΩ θα πρέπει να ολοκληρώσουµε µεταξύ της ελαχίστης και µεγίστης ενέργειας την οποία µπορεί να πάρει το σκεδαζόµενο σωµάτιο: dσ (θ , φ ) max dσ (θ ,φ , Ε ) = ∫ dE . dΩ d Ω dE Εmin Ε Ας φανταστούµε τώρα ένα υλικό το οποίο αποτελείται από κάποιες δοµικές µονάδες, µόρια, άτοµα και µια ακτινοβολία η οποία προσπαθεί να διαπεράσει αυτό το υλικό. Μπορούµε να πούµε ότι αυτή είναι µια ακτινοβολία φωτονίων ή µια δέσµη ηλεκτρονίων. Η εµπειρία µας λέει ότι η ένταση αυτής της δέσµης αφού εισέλθει µέσα στο υλικό θα µειώνεται καθώς διανύει όλο και µεγαλύτερα πάχη αυτού του υλικού. Ψάχνουµε την έκφραση που µας δίνει την εναποµένουσα δέσµη αφού η δέσµη αυτών των σωµατιδίων έχει διανύσει κάποιο πάχος αυτού του υλικού. Η απώλεια που έχουµε σε ένταση της δέσµης θα ισούται µε την πιθανότητα ένα από τα συστατικά της 100 δέσµης να αλληλεπιδράσει µέσα στο υλικό επί την ένταση της δέσµης. Ας θεωρήσουµε ένα στοιχειώδες πάχος dx όπου εισέρχονται Ι σωµάτια στη µονάδα του χρόνου και επιφάνειας. Ας υποθέσουµε ότι το κάθε ένα από αυτά τα σωµάτια έχει πιθανότητα dP να αλληλεπιδράσει µέσα σε αυτό το υλικό πάχους dx. Το γινόµενο της έντασης επί dP είναι η συνολική πιθανότητα να αντιδράσουν κάποια από αυτά τα σωµάτια δηλαδή η πιθανότητα αυτή θα ισούται µε αυτά τα σωµάτια που θα αντιδράσουν και θα χαθούν προς τον αρχικό αριθµό σωµατίων. Μπορούµε να γράψουµε την πιθανότητα αυτή συναρτήσει της ενεργού διατοµής γιατί εάν πάρουµε το λόγο dI ( x) αυτός ο λόγος είναι I ( x) το ποσοστό της δέσµης το οποίο απορροφήθηκε προς την αρχική δέσµη. Αυτό το ποσοστό εξ ορισµού είναι η ενεργός διατοµή να έχω µία απορρόφηση από ένα µονήρη στόχο επί την πυκνότητα στόχων ανά µονάδα όγκου επί το πάχος του υλικού: −dI ( x ) = I ( x ) dP  dI ( x ) = −σ ndx  dP = σ ndx  I ( x ) Αν ολοκληρώσουµε αυτή τη σχέση θα πάρουµε τη γνωστή εκθετική σχέση απορρόφησης η οποία εκφράζει την εναποµένουσα δέσµη των σωµατίων συναρτήσει της αρχικής −σ nx dI ( x ) = −σ ndx ⇒ I ( x ) = I ( x = 0 ) e k I ( x) προσπίπτουσας δέσµης όπου στον εκθέτη I0 έχουµε το πάχος του υλικού αλλά και έναν παράγοντα, ας τον ονοµάσουµε k, ο οποίος δεν είναι παρά η ενεργός διατοµή για µονήρη στόχο επί την πυκνότητα στόχων που υπάρχουν µέσα στο υλικό. Η ένταση της δέσµης που αλληλεπίδρασε θα είναι προφανώς J ( x ) = I0 − I ( x = 0) e −σ n⋅ x k . Ο παράγοντας n (πυκνότητα µονήρων στόχων) του υλικού, I0 υπολογίζεται και εξαρτάται από τη φύση του φαινοµένου δηλαδή από το εάν η απορρόφηση γίνεται από πυρήνες ατόµων, από ηλεκτρόνια ή νουκλεόνια ατόµων. Όπως ήδη είπαµε η στοιχειώδης πιθανότητα ένα από τα σωµάτια της δέσµης να απορροφηθεί σε πάχος dx του στόχου δίνεται από τη σχέση dP = σ ndx . Θα ορίσουµε τώρα ένα σηµαντικό µέγεθος, το µέσο µήκος (ελεύθερης) διαδροµής L, το οποίο αντιστοιχεί στο µέσο µήκος που διανύει ένα σωµάτιο της δέσµης µέσα στο υλικό πριν 101 απορροφηθεί ή αλληλεπιδράσει. Ολοκληρώνουµε την πιθανότητα dP = σ ndx από 0 έως 1, για να υπολογίσουµε το όριο σε αυτή την ολοκλήρωση να γίνει η πιθανότητα 1, να είµαστε βέβαιοι δηλαδή ότι έχει αλληλεπιδράσει το σωµάτιο: 1 L 0 0 1 = ∫ dP = σ n ∫ dx ⇒ L = 1 = µ έσο µ ήκος διαδροµ ής σn Η σχέση I = I 0 ⋅ e−σ n⋅x γίνεται I = I 0 ⋅ e− x / L . Οπότε σε µήκος L έχει αποµείνει χωρίς να αλληλεπιδράσει ποσοστό της δέσµης ίσο µε e −1 . Μια άλλη έκφραση που συνήθως χρησιµοποιούµε για το νόµο της απορρόφησης είναι εκείνη στην οποία µετράµε το µήκος όχι σε cm αλλά σε gr / cm2 . Αν έχουµε ένα υλικό π.χ. νερό που µπορεί να βρεθεί σε στερεά, υγρή ή αέρια µορφή, τα δοµικά χαρακτηριστικά του (τα µόρια) είναι ίδια και στις τρεις φάσεις. Παρ’ όλα αυτά η διαφορετική πυκνότητα θα κάνει το νερό στην αέρια µορφή να µην είναι τόσο καλός απορροφητής όσο στην υγρή µορφή. Για να συµπεριλάβουµε και την περίπτωση της πυκνότητας στον τύπο της απορρόφησης ορίζουµε µια στοιχειώδη µεταβλητή dξ = ρ ⋅ dx όπου ρ η πυκνότητα του απορροφητή και dx το στοιχειώδες πάχος. Ορίζουµε και την ποσότητα µ = σn k = . Προφανώς το γινόµενο dξ ⋅ µ είναι ίσο µε dx ⋅ k . Έτσι ρ ρ καταλήγουµε στο να µπορούµε να εκφράσουµε την εναποµένουσα ένταση της ακτινοβολίας µετά από πάχος x: I ( x ) = I 0e −σ n ⋅ x k = I 0e − µξ , όπου αντί του πάχους έχουµε το πάχος έχουµε το πάχος εκφρασµένο σε g / cm 2 δηλαδή το πραγµατικό πάχος πολλαπλασιασµένο επί την πυκνότητα του υλικού. Το συντελεστή µ τον ονοµάζουµε µαζικό συντελεστή και είναι το k ρ όπως είδαµε και µετριέται σε cm 2 / g . 102 4.4 – Η ∆Ι∆ΥΜΗ ΓΕΝΕΣΗ Η δίδυµη γένεση αφορά την αλληλεπίδραση ενός φωτονίου µε ένα άλλο φωτόνιο το οποίο εκπέµπεται είτε από τον πυρήνα είτε από ατοµικά ηλεκτρόνια, δηλαδή ένα φωτόνιο το οποίο εκπέµπεται από φορτία. Πολλοί πιστεύουν λανθασµένα ότι κατά τη δίδυµη γένεση για κάποιους λόγους ένα φωτόνιο «σπάει» σε ένα ζεύγος ηλεκτρονίου και ποζιτρονίου. Αυτό είναι κινηµατικά απαγορευµένο. ∆εν είναι δυνατόν ένα σωµάτιο µε µηδενική µάζα ηρεµίας να διασπαστεί και να δώσει δύο άλλα σωµάτια µε µάζα ηρεµίας διαφορετική του µηδενός. Αυτή η αλληλεπίδραση παρίσταται γραφικά µε τα λεγόµενα Feynman διαγράµµατα. Το βασικό Feynman διάγραµµα που αναπαριστά την αλληλεπίδραση φαίνεται στο σχήµα 4.4.1. Τα Feynman διαγράµµατα παρίστανται σε ένα σύστηµα συντεταγµένων όπου ο κατακόρυφος άξονας είναι ο χρόνος ενώ ο οριζόντιος άξονας παριστά τον χώρο. Ένα e + e− φωτόνιο αλληλεπιδράσει Ze το οποίο εισέρχεται θα ενώ παράλληλα υπάρχει και ένας πυρήνας ο οποίος ακτινοβολεί ένα άλλο φωτόνιο και ανακρούεται. Το φωτόνιο το οποίο ακτινοβολήθηκε από τον πυρήνα αλληλεπιδρά µε το φωτόνιο που θα Ze κάνει τη δίδυµη γένεση, ανταλλάσσουν ένα Σχήµα 4.4.1 υπερβατικό ηλεκτρόνιο και παράγεται ένα ζεύγος ηλεκτρονίου – ποζιτρονίου. Το ποζιτρόνιο είναι αντισωµάτιο γι αυτό και στο διάγραµµα το βλέπουµε να κινείται αντίθετα µε το χρόνο. Να τονίσουµε ότι για να γίνει δίδυµη γένεση χρειάζεται ένα φωτόνιο δηλαδή χρειάζεται ένα πεδίο Coulomb για να µπορέσει να παράγει αυτό το φωτόνιο. Ο ενεργειακός περιορισµός για τη δίδυµη γένεση είναι ότι η ενέργεια του φωτονίου Εγ πρέπει να είναι: E γ ≥ 2m e c2 + 2m 2e c 2 , όπου 2m ec 2 η ισοδύναµη ενέργεια m nucleus 103 ηρεµίας του ζεύγους e − ,e+ . Ο παράγοντας 2m e2c2 παριστά την ανάκρουση του πυρήνα m nucleus διότι καθώς πρέπει να διατηρηθεί και η ενέργεια και η ορµή, ο πυρήνας θα ανακρουσθεί διότι βασικά αυτός αλληλεπιδρά µέσω του φωτονίου που εκπέµπει. Στον παράγοντα αυτό επειδή στον παρονοµαστή υπάρχει η µάζα του πυρήνα, ο λόγος προκύπτει πάρα πολύ µικρός γι αυτό και σε όλες τις εφαρµογές θεωρούµε ότι E γ ≥ 2m ec 2 . Στην περίπτωση όπου το φωτόνιο αλληλεπιδρά µε το ηλεκτρικό πεδίο ενός ηλεκτρονίου, ο παράγοντας γ + πυρήνας → e+ + e- + πυρήνας΄ ανάκρουσης προφανώς δεν ασήµαντος είναι καθώς στον παρονοµαστή εµφανίζεται η µάζα σχέσεις που ηλεκτρονίου. Οι δίνουν τη δίδυµη γένεση για γ + e- → e+ + e- + (e-)΄ δύο περιοχές όσο αφορά την ενέργεια Σχήµα 4.4.2 1 << ενεργειακές του αρχικού φωτονίου είναι οι εξής:  28  2hf  218  2 hf 1 −1 << ⇒ σpair = αΖ 2re2  ln  −  m atom 2 1/ 3 2  m ec Zα 9 m c 27  e    hf 1  28  183  2  >> ⇒ σpair = αΖ 2re2  ln  1/ 3  −  m 2atom −1 2 1/ 3 mec Zα  9  Z  27  Να σηµειώσουµε, βέβαια, ότι δεν υπάρχει τρόπος να καταλήξουµε σε θεωρητικές προβλέψεις βασιζόµενοι στην Κλασσική Φυσική, γιατί το φαινόµενο της δίδυµης γένεσης είναι απαγορευµένο στην Κλασσική Φυσική και στα πλαίσιά της. 104 4.5 – ΑΛΛΗΛΕΠΙ∆ΡΑΣΗ ΦΩΤΟΝΙΩΝ ΜΕ ΤΗΝ ΥΛΗ Αποδεικνύεται πειραµατικά και θεωρητικά όπως είδαµε σε προηγούµενη ενότητα ότι η απορρόφηση της γ ακτινοβολίας από την ύλη, ακολουθεί την εκθετική σχέση I = I0e − k⋅ x , όπου I0 η αρχική ένταση της δέσµης, I η ένταση σε βάθος x µέσα στον απορροφητή και k ο ολικός γραµµικός συντελεστής απορρόφησης. Για να ισχύει η παραπάνω σχέση πρέπει: α. η δέσµη να είναι µονοενεργειακή µια και ο k εξαρτάται από την ενέργεια - η ένταση εποµένως µπορεί να µετριέται σε φωτόνια ανά cm2 και ανά sec, β. η δέσµη να εκτείνεται σε µικρή στερεά γωνία, γ. ο απορροφητής να είναι µικρού πάχους. Επειδή συνήθως το πάχος x δίνεται σε cm, o συντελεστής απορρόφησης k εκφράζεται σε cm-1, ώστε το γινόµενο kx να είναι αδιάστατο µέγεθος. Όπως είδαµε σε προηγούµενη ενότητα συνήθως αντί του συντελεστή k χρησιµοποιείται ο ολικός µαζικός συντελεστής απορρόφησης µm που δίνεται από τη σχέση: µm = k/ρ όπου ρ = η πυκνότητα υλικού απορροφητή και εκφράζεται σε cm 2 /gr, οπότε το πάχος x εκφράζεται σε gr/cm2. To πάχος, x1/2, όπου η ένταση της δέσµης είναι το µισό της Ι0, λέγεται πάχος υποδιπλασιασµού και βρίσκεται εύκολα µε τη βοήθεια της I = I0e − k⋅ x ότι είναι: x1/2 = ln2/k = 0,693/k. Σε αντίθεση µε τα φορτισµένα σωµάτια που λίγο πολύ διαγράφουν καθορισµένες τροχιές µέσα στον απορροφητή, οι ακτίνες γ δεν έχουν καθορισµένες τροχιές αλλά παρουσιάζουν µια χαρακτηριστική εκθετική απορρόφηση. Η αλληλεπίδραση της ακτινοβολίας γ µε την ύλη είναι τελείως διαφορετική από εκείνη των φορτισµένων σωµατίων, τα οποία χάνουν την ενέργειά τους λόγω κυρίως αλληλεπιδράσεων µε τα ατοµικά ηλεκτρόνια. Η απώλεια ενέργειας των φορτισµένων σωµατίων γίνεται σταδιακά, σαν αποτέλεσµα πολλών κρούσεων, που σε κάθε µια ένα τµήµα της αρχικής ενέργειας απορροφάται. Σε µια δέσµη ακτίνων γ, κάθε φωτόνιο, τυχαία και ανεξάρτητα, αποµακρύνεται από τη δέσµη σαν αποτέλεσµα ενός απλού γεγονότος. Τρεις κυρίως είναι οι µηχανισµοί οι υπεύθυνοι για την απορρόφηση της γ ακτινοβολίας: 105 i. Το φωτοηλεκτρικό φαινόµενο που επικρατεί για ενέργειες των γ από 100 keV έως 500 keV. ii. Το φαινόµενο Compton που επικρατεί για ενέργειες από 100 keV έως 1,0 MeV. iii. Η δίδυµη γένεση που επικρατεί για ενέργειες µεγαλύτερες από 2mec2 = 1,02 MeV. Ο ολικός συντελεστής απορρόφησης k µπορεί να γραφεί εποµένως σαν άθροισµα των: k = ξ + σ + κ, όπου ξ, σ και κ αντιπροσωπεύουν τους µερικούς συντελεστές απορρόφησης λόγω φωτοηλεκτρικού φαινοµένου, φαινοµένου Compton και δίδυµης γένεσης, αντίστοιχα και εξαρτώνται από την ενέργεια. i. Φωτοηλεκτρικό φαινόµενο Τo φαινόµενο αντιστοιχεί στην πλήρη απορρόφηση της ακτίνας γ από ένα τροχιακό (εσωτερικό) ηλεκτρόνιο του απορροφητή. Η κινητική ενέργεια, Τ, του εκπεµπόµενου φωτοηλεκτρονίου δίνεται από τη σχέση: Τ = Εγ − Εx, όπου Ε γ η ενέργεια της ακτίνας γ και Ε x η ενέργεια σύνδεσης του ατοµικού ηλεκτρονίου, η οποία προφανώς εξαρτάται από τη στάθµη στην οποία ήταν το ηλεκτρόνιο. Η εξάρτηση του συντελεστή απορρόφησης ξ από τον ατοµικό αριθµό Ζ των ατόµων του απορροφητή και από την ενέργεια Εγ, για µικρές ενέργειες, δίνεται από τη σχέση: ξ = Ν Ζ5 Ε −γ3,5 , για Εβ << Ε γ << m ec 2 , όπου Ν ο αριθµός των ατόµων του απορροφητή ανά cm3. Στο σχήµα 4.5.1 φαίνεται η συνεισφορά του συντελεστή ξ στον ολικό συντελεστή απορρόφησης για λεπτό απορροφητή από µόλυβδο. ii. Φαινόµενο Compton Τo φαινόµενο αντιστοιχεί στη σκέδαση ακτίνας γ από ατοµικό (εξωτερικό) ηλεκτρόνιο. Η ενέργεια, Ε της γ µετά τη σκέδαση θα είναι: E = E γ 1 + (E γ m ec2 )(1 − cos ϕ)  . Αν θεωρήσουµε αµελητέα την ενέργεια σύνδεσης του ατοµικού ηλεκτρονίου σε σχέση µε την ενέργεια της γ, η κινητική ενέργεια του ηλεκτρονίου Compton θα είναι: Τ = Ε γ − Ε = Ε γ (1 − cos ϕ)(E γ m ec2 )  1 + (E γ m ec 2 )(1 − cos ϕ)  . Παρατηρούµε ότι η ενέργεια που µπορεί να απορροφηθεί από το ηλεκτρόνιο Compton 106 είναι: α. µηδέν για φ = 0° β. µέγιστη για φ = 180° και µάλιστα ίση µε: Tmax = E γ 1 + m e c2 2E γ  . Κατά τη σκέδαση Compton η ακτίνα γ σκεδάζεται σε γωνία φ ως προς την αρχική της διεύθυνση και εποµένως αποµακρύνεται από τη δέσµη, ανεξάρτητα από το ποσό της ενέργειας Τ που θα δώσει στο ηλεκτρόνιο Compton. Ο συντελεστής απορρόφησης σ (ενεργός διατοµή), που είναι µέτρο της πιθανότητας να αποµακρυνθεί µία γ από την αρχική δέσµη, υπολογίστηκε από τους Klein και Nishina και είναι: σ ≈ ( ΝΖ Ε γ ) ln ( 2E γ m e c2 ) + 1 2  για Ε γ >> m e c2 . Στο σχήµα 4.5.1 φαίνεται η συνεισφορά του συντελεστή απορρόφησης σ στον 1 .6 1 .4 Ο λ ικ ό ς 1 .2 1 .0 φωτοηλεκτρικό 2 Συντελεστής απορρόφησης (cm ) ολικό συντελεστή απορρόφησης. 0 .8 0 .6 0 .4 0 .2 0 .0 0 .1 δ ίδ υ µ η γ έ ν ε σ η C o m p to n 1 .0 10 100 1000 Ε γ / m ec 2 Σ χ ή µ α 4 .5 .1 iii. ∆ίδυµη γένεση Ο τρίτος µηχανισµός σύµφωνα µε τον οποίο µπορεί να απορροφηθεί µια ακτίνα γ είναι η παραγωγή ενός ζεύγους ποζιτρονίου - ηλεκτρονίου. Εάν η ενέργεια της γ είναι µεγαλύτερη από το άθροισµα των µαζών ηρεµίας του ηλεκτρονίου και του ποζιτρονίου είναι δυνατό να παραχθεί ένα ζεύγος ηλεκτρονίου - ποζιτρονίου. Για να ικανοποιηθεί ο νόµος διατήρησης της ορµής θα πρέπει η δίδυµη γένεση να γίνει στο ηλεκτρικό πεδίο ενός πυρήνα ή ενός ηλεκτρονίου. Η κινητική ενέργεια, Tpair του ζεύγους ηλεκτρονίου - ποζιτρονίου είναι προφανώς ίση µε τη διαφορά: T pa ir = E γ – 2m e c 2 , 107 αν δε ληφθεί υπόψη η ενέργεια που δίνεται στον πυρήνα ή στο ηλεκτρόνιο στο πεδίο Coulomb των οποίων γίνεται η δίδυµη γένεση. Ο µερικός συντελεστής απορρόφησης κ, ο οποίος είναι µηδέν για ενέργειες µικρότερες του 1,02 MeV βρίσκεται να είναι: κ ≈ ΝΖ 2 (E γ – 2m e c 2 ), για µικρές τιµές του Ε γ και κ ≈ NZ2 ln (Εγ), για πολύ µεγάλες ενέργειες Ε γ. Συντελεστής απορρόφησης (cm-1) 1.6 1.4 Στο σχήµα 4.5.2 δίνεται η 82Pb 1.2 µορφή 1.0 γραµµικού 0.8 απορρόφησης 50Sn 0.6 0.2 10 100 Εγ την της ακτινοβολίας γ, για µια 0.0 1.0 σε µε ενέργεια 13Al 0.1 ολικού συντελεστή συνάρτηση 29Cu 0.4 του 1000 σειρά από απορροφητές. Εγ/mec2 Σχήµα 4.5.2 Στο σχήµα 4.5.3 φαίνονται Z απορροφητή 120 100 οι περιοχές, σε σχέση µε ∆ίδυµη γένεση Φωτοηλεκτρικό 80 60 40 απορροφητή και ενέργεια Compton Εγ ακτινοβολίας 20 0 0,01 τον ατοµικό αριθµό του 0,05 0,01 καθένας 0,5 1 Εγ (MeV) 5 10 50 100 παραπάνω γ, από την της όπου τους τρεις µηχανισµούς κυριαρχεί. Σχήµα 4.5.3 108 O ολικός µαζικός συντελεστής απορρόφησης, µm, θα δίνεται από τη σχέση: µm = k/ρ = ξ/ρ + σ/ρ + κ/ρ, όπου ξ, σ και κ οι µερικοί συντελεστές απορρόφησης λόγω φωτοηλεκτρικού φαινοµένου, φαινοµένου Compton και δίδυµης γένεσης, αντίστοιχα. Όπως είδαµε, τόσο στο φωτοηλεκτρικό φαινόµενο όσο και στη δίδυµη γένεση, όλη η ενέργεια Εγ της ακτίνας γ απορροφάται, ενώ στο φαινόµενο Compton τµήµα µόνο της ενέργειας απορροφάται από το ηλεκτρόνιο Compton, ενώ η υπόλοιπη ενέργεια απάγεται από τη σκεδαζόµενη ακτίνα γ. Για το λόγο αυτό και επειδή µερικές φορές είναι απαραίτητο να γνωρίζουµε το ποσό της ενέργειας που απάγεται από τη σκεδαζόµενη ακτίνα γ και το ποσό της ενέργειας που απορροφάται από το ηλεκτρόνιο Compton γράφουµε το συντελεστή σ σαν άθροισµα δύο συντελεστών: σ = σα + σσ. Ο συντελεστής σα αντιστοιχεί στην απορρόφηση και ο συντελεστής σσ στη σκέδαση της ακτινοβολίας γ. Έτσι ο ολικός γραµµικός συντελεστής απορρόφησης θα δίνεται από τη σχέση: kα = ξ + σα + κ ενώ ο ολικός µαζικός συντελεστής απορρόφησης θα δίνεται από τη σχέση: µm,α = kα/ρ = ξ/ρ + σα/ρ + κ/ρ. Μαζικός συντελεστής απορρόφησης (cm2/g) 10 Οι συντελεστές Αέρας τώρα k και µm θα 1 λέγονται Ολικός εξασθένισης ολικός γραµµικός συντελεστής εξασθένισης και ολικός 0,1 µαζικός συντελεστής απορρόφηση εξασθένισης. 0,01 σχήµα 4.5.4 φαίνονται ο Ολικός απορρόφησης φωτοηλεκτρικό Στο ολικός δίδυµη γένεση µαζικός σκέδαση 0,001 0,01 συντελεστής τόσο της 0,1 1 Eγ(keV) Σχήµα 4.5.4 10 100 απορρόφησης όσο και της καθώς εξασθένισης και η συνεισφορά των µερικών συντελεστών ξ, σα, σσ και κ (απορροφητής θεωρείται ο αέρας). 109 Τέλος θα πρέπει να αναφέρουµε και τους παρακάτω µηχανισµούς αλληλεπίδρασης της γ ακτινοβολίας µε την ύλη, παρ' ότι για τις ενέργειες που ενδιαφερόµαστε η συνεισφορά τους είναι πολύ µικρή. α. σκέδαση Rayleigh β. σκέδαση Thomson. Όταν, εξάλλου, η ενέργεια Εγ είναι αρκετά υψηλή η ακτίνα γ µπορεί να απορροφηθεί από ένα πυρήνα και να ελευθερωθεί ένα νουκλεόνιο. Όταν η ενέργεια Εγ είναι ίση µε την ενέργεια που απαιτείται για να διεγερθεί σε µια στάθµη του ο πυρήνας του στοιχείου του απορροφητή, είναι δυνατό να έχουµε απορρόφηση συντονισµού (π.χ. φαινόµενο Mossbauer). Με βάση όλα τα παραπάνω στα επόµενα διαγράµµατα απεικονίζεται η συνολική ενεργός διατοµή απορρόφησης φωτονίων σε σχέση µε την ενέργειά τους για 6 C και 82 Pb . Σχήµα 4.5.5 110 • σp.e: φωτοηλεκτρικό φαινόµενο, ιονισµός του ατόµου • σRayleigh: Σκέδαση του φωτονίου από το άτοµο συνολικά (το άτοµο ούτε ιονίζεται, ούτε διεγείρεται) • σCompton: Σκέδαση Compton σε ηµιδέσµια ηλεκτρόνια, ιονισµός • knuc.: ∆ίδυµη γέννεση στο Η.Μ. πεδίο του πυρήνα • ke: ∆ίδυµη γέννεση στο Η.Μ. πεδίο των ατοµικών ηλεκτρονίων Σχήµα 4.5.6 Αν δει κανείς την ενεργό διατοµή συναρτήσει της ενέργειας του φωτονίου, στα προηγούµενα σχήµατα, θα παρατηρήσει ότι εκεί που η συνιστώσα του φωτοηλεκτρικού φαινοµένου είναι σηµαντική υπάρχουν κάποια βυθίσµατα – πριονωτή δοµή. Ο λόγος είναι ότι η ενεργός διατοµή υπολογίζεται να είναι αντιστρόφως ανάλογη της ενέργειας του φωτονίου hf και µάλιστα σε µια µεγάλη δύναµη, στην 7/2: 111 Z 5  mc 2  σ κ = σ Th 4 2   137 4  hf  7/2 8 , σ Th = π re2 = 6,6516 ⋅10−25 cm 2 3 Στην παραπάνω σχέση της ενεργού διατοµής για το φωτοηλεκτρικό φαινόµενο ο όρος σ Th είναι η ενεργός διατοµή Thompson, όπου re είναι η κλασσική ακτίνα του ηλεκτρονίου και Z είναι ο ατοµικός αριθµός των ατόµων του µέσου από τα οποία ελευθερώνει το φωτοηλεκτρικό φαινόµενο ηλεκτρόνια. Παρατηρεί κανείς ότι καθώς µεγαλώνει η ενέργεια του φωτονίου hf, η ενεργός διατοµή ελαττώνεται, αλλά καθώς αυξάνει η ενέργεια το φωτόνιο αποκτά αρκετή για να µπορέσει να ελευθερώσει και άλλα ηλεκτρόνια, τα οποία βρίσκονται σε άλλες στιβάδες, πιο ισχυρά συνδεδεµένες. Έτσι λοιπόν ανοίγει ένα καινούργιο κανάλι και πλέον η ενεργός διατοµή αυξάνεται µε ένα ασυνεχές πήδηµα. Μετά θα συνεχίσει ξανά να µειώνεται έως ότου αποκτήσει αρκετή ενέργεια το φωτόνιο για να µπορεί να ελευθερώνει ηλεκτρόνια από την επόµενη πλέον ισχυρά συνδεδεµένη κατάσταση ηλεκτρονίων κ.ο.κ. Έτσι λοιπόν εξηγούνται αυτά τα βυθίσµατα στη γραφική παράσταση της ενεργού διατοµής µε την ενέργεια του φωτονίου. Αξίζει να σηµειώσουµε εδώ ότι όπως φαίνεται και από την παραπάνω σχέση της ενεργού διατοµής για το φωτοηλεκτρικό φαινόµενο, η ενεργός διατοµή εξαρτάται πολύ ισχυρά από τον ατοµικό αριθµό ( Z 5 ). Γι αυτό το λόγο όταν θέλουµε να θωρακίσουµε αντικείµενα ή ανθρώπους από ακτίνες γ χρησιµοποιούµε ως υλικό θωράκισης υλικά µε πολύ µεγάλο ατοµικό αριθµό. 112 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 – ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ 5.1 – ΕΙΣΑΓΩΓΗ: ΠΛΑΤΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ DIRAC Θα ασχοληθούµε σε αυτή την παράγραφο µε την επαλληλία των πλατών Σχήµα 5.1.1 πιθανοτήτων. Ας θεωρήσουµε ότι µια προσπίπτουσα δέσµη ηλεκτρονίων s συναντά τοίχο µε δύο σχισµές σε απόσταση d µεταξύ τους και ανιχνευτή πίσω από τον τοίχο, σε απόσταση D, όπως φαίνεται στο σχήµα 5.1.1. Στην κβαντοµηχανική η πρώτη γενική αρχή είναι: «η πιθανότητα να βρεθεί ένα σωµατίδιο στην κατάσταση x είναι το απόλυτο τετράγωνο ενός µιγαδικού αριθµού που τον ονοµάζουµε πλάτος πιθανότητας». Συµβολικά θα χρησιµοποιήσουµε την σηµειολογία του Dirac: <Σωµατίδιο φθάνει στο x | σωµατίδιο βγαίνει από το s> Οι δύο αγκύλες (< >) σηµαίνουν το πλάτος πιθανότητας. Στην σηµειολογία του Dirac η χρονική σειρά είναι αντίστροφη από αυτή που συνήθως χρησιµοποιούµε και έχουµε συνηθίσει: η έκφραση µετά την κάθετη γραµµή υποδηλώνει την αρχική κατάσταση (σωµατίδιο βγαίνει από το s) και η αριστερή έκφραση υποδηλώνει την τελική κατάσταση 113 (σωµατίδιο φθάνει στο x). Για λόγους συντόµευσης γράφουµε ως εξής: x s . Η δεύτερη γενική αρχή είναι: «όταν ένα σωµατίδιο µπορεί να φθάσει κάπου µέσα από δυο πιθανές διαδροµές, το συνολικό πλάτος πιθανότητας είναι το άθροισµα των πλατών για την κάθε διαδροµή ξεχωριστά». Στην σηµειολογία Dirac γράφουµε: <x|s>και οι δύο σχισµές ανοικτές = <x|s>δια µέσου σχισµής 1 + <x|s>δια µέσου σχισµής 2 Για λόγους ευκολίας σε αυτό το στάδιο θεωρούµε ότι το µέγεθος των σχισµών είναι αρκετά µικρό ώστε να µην χρειάζεται να διευκρινίσουµε από ποιο σηµείο της σχισµής εξέρχεται το σωµατίδιο - ηλεκτρόνιο εν προκειµένω. Η τρίτη γενική αρχή είναι η εξής: «όταν το σωµατίδιο πηγαίνει στον ανιχνευτή από µια συγκεκριµένη διαδροµή (π.χ δια µέσου της σχισµής 1), το πλάτος πιθανοτήτων µπορεί να γραφεί ως το γινόµενο του πλάτους µέρους της διαδροµής (π.χ., από την πηγή s στην σχισµή 1) επί του πλάτους της υπόλοιπης διαδροµής (από την σχισµή 1 στο x): <x | s>δια µέσου σχισµής 1 = <x | 1><1 | s> Σχήµα 5.1.2 Κανονικά θα πρέπει να βάλουµε κάποιον συντελεστή στην πιθανότητα να πάει µέσα στην σχισµή 1. Θεωρώντας την σχισµή 1 ως µοναδική ο συντελεστής είναι 1. Μπορούµε τώρα να ξαναγράψουµε µε βάση τον προηγούµενο κανόνα ως εξής: <x | s> από τις δύο σχισµές = <x | 1><1 | s> + <x | 2><2 | s> 114 Μπορούµε να υπολογίσουµε τι θα συµβεί σε µια πιο περίπλοκη κατάσταση όπως στο σχήµα 5.1.2, που περιλαµβάνει µια πηγή ηλεκτρονίων s, δύο τοίχους, ο πρώτος µε δύο τρύπες 1 και 2 και ο δεύτερος µε τρεις τρύπες a, b και c, και τον ανιχνευτή στην θέση x πίσω από τον δεύτερο τοίχο. Θέλουµε να υπολογίσουµε την πιθανότητα ενός σωµατιδίου να βρεθεί στην θέση x. Σύµφωνα µε την δεύτερη αρχή, τα πλάτη για εναλλακτικές διαδροµές προστίθενται, έτσι µπορούµε να γράψουµε το συνολικό πλάτος πιθανότητας από το s στο x ως το άθροισµα έξι ξεχωριστών πλατών πιθανοτήτων. Όµως σύµφωνα µε την τρίτη αρχή µας, κάθε ένα από τα ξεχωριστά πλάτη πιθανοτήτων µπορούν να γραφούν ως γινόµενα τριών πλατών. Για παράδειγµα, ένα τέτοιο γινόµενο είναι για το πλάτος από το s στο 1 επί το πλάτος από το 1 στο α επί το πλάτος από το α στο x. Με την καινούργια σηµειολογία που ορίσαµε πιο πάνω έχουµε: <x | s> = <x | α><α | 1><1 | s> + <x | b><b | 1><1 | s> +…+<x | c><c | 2><2 | s> και χρησιµοποιώντας την σηµειολογία των σειρών: xs = ∑ xα αi is i =1,2 α=α ,b,c Για να µπορέσουµε να υπολογίσουµε το συνολικό πλάτος της τελευταίας εξίσωσης πρέπει να ξέρουµε τα επί µέρους πλάτη από ένα σηµείο σε ένα άλλο. Μην λαµβάνοντας υπ’ όψιν κάποιες παραµέτρους όπως την πολικότητα του φωτός ή την ιδιοστροφορµή του ηλεκτρονίου µπορούµε να ορίσουµε το πλάτος πιθανότητας κάθε µέρους της συνολικής διαδροµής από το s στο x. Ας αρχίσουµε µε ένα ελεύθερο σωµατίδιο (δεν υπάρχουν δυνάµεις που δρουν πάνω του) συγκεκριµένης ενέργειας, κινούµενο στο κενό από το σηµείο r1 στο σηµείο r2. Το πλάτος πιθανότητας να πάει από το σηµείο r1 στο σηµείο r2 είναι: r2 r1 = e i p⋅r12 / ℏ r12 , όπου r12 = r2 – r1 και p είναι η ορµή του σωµατιδίου που συνδέεται µε την ενέργεια Ε από την σχετικιστική εξίσωση p2c2 = E2 – (m0c2)2 ή από την µη σχετικιστική εξίσωση (p2/2m) = Κινητική ενέργεια. Στην πιο γενική κατάσταση το πλάτος θα είναι και συνάρτηση του χρόνου. Θα παρακάµψουµε όµως µια τέτοια επιπλοκή θεωρώντας ότι όλα τα σωµατίδια εκπέµπονται 115 από την πηγή µε την ίδια ενέργεια. Ας περιγράψουµε ένα σωµατίδιο που εκπέµπεται σε σηµείο του χώρου P, στον χρόνο t = 0 και θέλουµε να ξέρουµε το πλάτος της πιθανότητας να βρεθεί αλλού σε χρόνο t. Συµβολικά γράφουµε <r, t = t1 | P, t = 0>. Το πλάτος της πιθανότητας εξαρτάται και από το r και από το t. Ας συνεχίσουµε µε την περίπτωση δύο σωµατιδίων που δεν αλληλεπιδρούν. Το πλάτος πιθανότητας για να βρεθεί το ένα στην θέση r1 και το άλλο στην θέση r2 δεν είναι ένα απλό κύµα στον τρισδιάστατο χώρο αλλά στον εξαδιάστατο χώρο (3 διαστάσεις για την θέση r1 συν τρεις ακόµη για την θέση r2). Το πλάτος πιθανότητας το ένα σωµατίδιο να κάνει κάτι συγκεκριµένο και το άλλο να κάνει κάτι άλλο είναι το γινόµενο της κάθε πιθανότητας ξεχωριστά, ως να µην υπήρχε το άλλο σωµατίδιο. Συµβολικά γράφουµε <α | s1><b | s2> και το ερµηνεύουµε ως εξής: πιθανότητα να συµβούν δύο γεγονότα ταυτόχρονα, το σωµατίδιο 1 να πάει από την κατάσταση s1 στην κατάσταση α, και το σωµατίδιο 2 από την κατάσταση s2 στην κατάσταση b. Η συµβολή σε δύο σχισµές Ας προσθέσουµε µια πηγή φωτός µεταξύ του τείχους µε τις δύο σχισµές και των ανιχνευτών D1 και D2, όπως φαίνεται στο σχήµα 5.1.3. Θα χρησιµοποιήσουµε φ1 για το πλάτος ηλεκτρονίου εξερχόµενου από την σχισµή 1 να φθάσει στην θέση x και φ2 για το πλάτος του ηλεκτρονίου εξερχόµενο από την σχισµή 2 και που επίσης φθάνει στην θέση x: φ1 = <x | 1><1 | s> φ2 = <x | 2><2 | s>. Τα πλάτη αυτά ισχύουν χωρίς πηγή φωτός, φθάνουν δηλαδή στο x ανεµπόδιστα. Το πλάτος ενός ηλεκτρονίου από την πηγή s να περάσει µέσα από την σχισµή 1 είναι <1 | s>. Το πλάτος γι αυτό το ηλεκτρόνιο να σκεδάσει Σχήµα 5.1.3 ένα φωτόνιο από την 116 πηγή L και να το οδηγήσει στον ανιχνευτή D1 όπου και ανιχνεύεται είναι α. Τέλος το πλάτος να φθάσει το ηλεκτρόνιο από την σχισµή 1 στην θέση x (όπου ανιχνεύεται από τον ανιχνευτή ηλεκτρονίων) είναι <x | 1>. Ολόκληρη η διαδικασία είναι <x | 1>α<1 | s> = αφ1. Η αντίστοιχη διαδικασία για ένα ηλεκτρόνιο που ξεκινάει από την πηγή s, περνάει µέσα από την σχισµή 2 σκεδάζει ένα φωτόνιο στον ανιχνευτή φωτονίων D2 µε πλάτος b και καταλήγει τελικά στην θέση x είναι <x | 2>b<2 | s> = bφ2. Το ολικό πλάτος για την διαδικασία να ανιχνευτεί ένα φωτόνιο στον ανιχνευτή D1 και ένα ηλεκτρόνιο στην θέση x είναι το άθροισµα των δύο πιθανών διαδροµών του ηλεκτρονίου µέσα από την σχισµή 1 ή 2, δηλαδή αφ1 + bφ2, και αντίστοιχα για φωτόνιο που ανιχνεύεται στον ανιχνευτή D2 αφ2+bφ1. Η πιθανότητα ανίχνευσης ενός ηλεκτρονίου στον ανιχνευτή D1 είναι εποµένως το τετράγωνο του πλάτους |αφ1+bφ2|2. Αν η σχισµή 2 είναι κλειστή τότε η πιθανότητα είναι απλά |αφ1|2 = |α|2|φ1|2. Σε περίπτωση συµµετρίας όπου α = b, η πιθανότητα είναι |α|2|φ1 + φ2|2. Να σηµειώσουµε εδώ ότι δεν µπορούµε να προσθέσουµε πλάτη για διαφορετικές τελικές καταστάσεις, προσθέτουµε πιθανότητες. Πλάτη προσθέτουµε για διαφορετικές µη διακριτές εναλλακτικές µέσα στο πείραµα, προτού ολοκληρωθεί η συνολική διαδικασία. Έτσι το σωστό αποτέλεσµα για ένα ηλεκτρόνιο στο x και ένα φωτόνιο είτε 2 2 στον D1 ή στον D2 είναι: αφ1 + bφ 2 + αφ 2 + bφ1 . Όπως είδαµε και στα προηγούµενα το πλάτος της πιθανότητας µια κατάσταση φ να καταλήξει στην κατάσταση x, µπορεί να γραφεί ως άθροισµα πάνω σε όλες τις ιδιοκαταστάσεις του πλάτους να µεταβεί η κατάσταση φ σε µια ιδιοκατάσταση και η ιδιοκατάσταση στην κατάσταση x: x ϕ = ∑ x i i ϕ . ∆ιαπιστώνουµε την οµοιότητα all i µε το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων Α και Β, το οποίο γράφεται ως Bx A x + B y A y + Bz A z , όπου Bx = B ⋅ e1 , B y = B ⋅ e 2 , Bz = B ⋅ e3 και ei τα µοναδιαία διανύσµατα στη x, y και z διεύθυνση. Οπότε µπορούµε να γράψουµε το εσωτερικό γινόµενο ως: B ⋅ A = ∑ ( B ⋅ ei )( ei ⋅ A ) . i Συγκρίνοντας τις παραπάνω σχέσεις µπορούµε να διαπιστώσουµε ότι, κατ` αναλογία µε τα διανύσµατα, κάθε κβαντοµηχανική κατάσταση µπορεί να περιγραφεί ως γραµµικός συνδυασµός των πλατών της κατάστασης µε τις ιδιοκαταστάσεις βάσης i ϕ και 117 προσδιορίζεται πλήρως από τους συντελεστές αυτούς. Λόγω της αναλογίας αυτής συχνά οι καταστάσεις αναφέρονται και ως διανύσµατα κατάστασης. Ακόµη, όπως στα µοναδιαία διανύσµατα βάσης, ισχύει: ei ⋅ e j = δij έτσι και στις ιδιοκαταστάσεις βάσης, ισχύει: i j = δij . Γι` αυτό λέµε ότι οι ιδιοκαταστάσεις που αποτελούν τη βάση σε µια αναπαράσταση είναι ορθογώνιες. Υπάρχει όµως και µια µικρή διαφορά στην αναλογία. Οι µιγαδικοί αριθµοί που εµπλέκονται στα πλάτη, οδηγούν στην ακόλουθη σχέση: ϕx = xϕ ∗ πράγµα που σηµαίνει ότι δε µπορούµε να αντιµεταθέσουµε τους όρους, όπως στο εσωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων. Όπως τα διανύσµατα δεν εµφανίζονται µόνο στα εσωτερικά γινόµενα, έτσι µπορούµε από τη σχέση x ϕ = ∑ x i i ϕ , αφαιρώντας την κατάσταση x και από τα all i δύο µέλη, να ορίσουµε την κατάσταση φ, ως: ϕ = ∑ i i ϕ . ∆εδοµένου ότι η πρώτη i ισχύει για κάθε κατάσταση x, η φυσική της ερµηνεία δε διαφέρει σε τίποτα από την τελευταία. Όταν θέλουµε να υπολογίσουµε κάποιο συγκεκριµένο πλάτος, τότε θα πρέπει να ξαναβάλουµε το x στην παραπάνω σχέση. Φυσικά, αφού ισχύει για κάθε κατάσταση φ, θα µπορούσαµε να αφαιρέσουµε και το ϕ από τα δύο µέλη οπότε καταλήγουµε στη σχέση: |= ∑ i i , όπου πλέον, το αριστερό µέλος δεν εκφράζει ένα αριθµό, όπως το i µιγαδικό πλάτος της x ϕ = ∑ x i i ϕ , δεν εκφράζει ένα διάνυσµα κατάστασης, όπως all i το αριστερό µέλος της ϕ = ∑ i i ϕ , αλλά εκφράζει το µοναδιαίο τελεστή στο χώρο i των κβαντοµηχανικών καταστάσεων. 118 5.2 – ΟΙ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΠΟΛΩΣΗΣ ΤΟΥ ΦΩΤΟΝΙΟΥ Υπάρχει µια µεγάλη σειρά φυσικών συστηµάτων δύο καταστάσεων άξια ενδιαφέροντος. Θα ασχοληθούµε µε το φωτόνιο. Για την περιγραφή ενός φωτονίου πρέπει να οριστεί το διάνυσµα της ορµής του. Εκτός από την ορµή του όµως, που καθορίζει και την ενέργειά του, υπάρχει και ένα ακόµη χαρακτηριστικό του, που είναι η πόλωσή του. Στην κλασική ηλεκτροµαγνητική θεωρία, η πόλωση του φωτός καθορίζεται όπως είδαµε στο Κεφάλαιο 3 από τη διεύθυνση του ηλεκτρικού πεδίου. Αν το ηλεκτροµαγνητικό κύµα κατευθύνεται στη διεύθυνση z, µπορεί το ηλεκτρικό πεδίο να είναι στη διεύθυνση x ή y ή να περιστρέφεται στο επίπεδο xy. Έτσι καταλήγουµε στις γνωστές µας καταστάσεις πόλωσης γραµµική, ελλειπτική, κ.λ.π. Για ένα µοναδικό φωτόνιο όµως, δεν υπάρχει ηλεκτρικό πεδίο για να κάνουµε την ανάλογη συζήτηση. Παρά ταύτα, το κβαντικό φωτόνιο πρέπει να έχει ένα κβαντοµηχανικό ανάλογο της πόλωσης. Πρέπει να υπάρχουν τουλάχιστον δύο είδη φωτονίων. Θα µπορούσαν να υπάρχουν άπειρα, όπως και οι διευθύνσεις του ηλεκτρικού πεδίου στο επίπεδο xy, αλλά κατ’ αναλογία µε την κλασική περίπτωση, θα ορίσουµε σαν βασικές καταστάσεις τις x και y για µια ορµή φωτονίου στη διεύθυνση z. ∆εδοµένου ότι το διάνυσµα της ορµής δεν αλλάζει κατά την όλη διαδικασία, θα θεωρήσουµε την ορµή σταθερή και δε θα ασχοληθούµε µε αυτή. Σύµφωνα µε τα παραπάνω, όταν ένα φωτόνιο περάσει από ένα φίλτρο πόλωσης στη διεύθυνση x, θα είναι στην κατάσταση x , ενώ αν περάσει από ένα φίλτρο στη διεύθυνση y, θα είναι στην κατάσταση y . Ακόµη αν περάσει από ένα φίλτρο στη διεύθυνση x’, θα βρεθεί στην κατάσταση x′ , που είναι ένας γραµµικός συνδυασµός των βασικών καταστάσεων. Αν η διεύθυνση x’ σχηµατίζει γωνία θ µε τον άξονα x, τότε ο γραµµικός αυτός συνδυασµός θα είναι απλά: x′ = cos θ x + sin θ y . Το ερώτηµα λοιπόν, αφορά στην πιθανότητα που έχει ένα φωτόνιο που βρίσκεται στην κατάσταση πόλωσης x′ , να περάσει από ένα φίλτρο στη διεύθυνση x, όπως φαίνεται στο σχήµα 5.2.1. Για να βρούµε το πλάτος πιθανότητας πολλαπλασιάζουµε την τελευταία εξίσωση µε x, οπότε έχουµε: x x′ = cos θ x x + sin θ x y = cos θ . Και αυτό διότι για τις βασικές καταστάσεις 119 ισχύει x x = 1 και x y = 0 . Εποµένως η πιθανότητα θα είναι cos 2 θ αφού όπως είπαµε στην προηγούµενη παράγραφο το τετράγωνο του πλάτους µας δίνει την πιθανότητα. Ακριβώς όπως προκύπτει και στην κλασική θεωρία για την ένταση του φωτός σε ανάλογη περίπτωση. Η µόνη διαφορά είναι ότι στον κλασικό ηλεκτροµαγνητισµό θεωρούµε ότι περνάει το cos 2 θ της έντασης του ∆ιεύθυνση Πόλωσης κύµατος, ενώ στην κβαντική θεωρία θεωρούµε ότι από Ν φωτόνια περνούν βάσει της πιθανότητας που βρήκαµε N ⋅ cos 2 θ φωτόνια από το Χ’ δεύτερο φίλτρο. Πως ∆ιεύθυνση Πόλωσης παρουσιάζονται κβαντοµηχανικά τα υπόλοιπα είδη πόλωσης; Για παράδειγµα η Σχήµα 5.2.1 δεξιόστροφη κυκλική πόλωση στην κλασική θεωρία, υποθέτει ίσες συνιστώσες του πεδίου στη διεύθυνση x και y, αλλά µε διαφορά φάσης 90ο. Στην κβαντική µηχανική η δεξιόστροφη κυκλική πόλωση έχει ίσα πλάτη στις καταστάσεις x και y , αλλά µε διαφορά φάσης 90ο. Αν ονοµάσουµε R και L , τις καταστάσεις της δεξιόστροφης (∆ΚΠ ή RHC) και αριστερόστροφης (ΑΚΠ ή R = 1 LHC) κυκλικής πόλωσης, αντίστοιχα, θα έχουµε: συντελεστές 1 2 2 L =− 1 (x +i y (x 2 ) −i y ) όπου οι µπήκαν για την κανονικοποίηση της πιθανότητας στη µονάδα. Παρατηρώντας την κατάσταση δεξιόστροφης πόλωσης βλέπουµε ότι το τµήµα το οποίο εκφράζει γραµµική πόλωση κατά τον άξονα x έχει παράγοντα φάσης ίσο µε 1. Η χρονική του εξέλιξη είναι x e− iωt . Η κατάσταση γραµµικής πόλωσης y συµµετέχει στη δεξιόστροφη κατάσταση πόλωσης µε παράγοντα φάσης i το οποίο δεν είναι τίποτα άλλο παρά το e + iπ / 2 δηλαδή έχει χρονική εξέλιξη y e+ iπ / 2e − iωt . Βλέπουµε λοιπόν ότι η φάση της κατάστασης κατά τον y άξονα υπολείπεται κατά π/2. Στο δεξιόστροφα πολωµένο 120 φως, λοιπόν, η συνιστώσα x προηγείται της συνιστώσας y κατά π/2 φάση. Αντίστοιχα παρατηρούµε να συµβαίνουν στην αριστερόστροφη βάση πολωµένου φωτός. Η κατάσταση βάσης x πολλαπλασιάζεται µε το -1, άρα αντιστοιχεί σε παράγοντα φάσης eiπ , ενώ η κατάσταση γραµµικής πόλωσης y µε το γινόµενο ( −1) ⋅ ( −i ) = +i παράγοντα φάσης δηλαδή το e + iπ / 2 βλέπουµε ότι υστερεί κατά π/2. ∆ηλαδή στην περίπτωση αυτή η κατάσταση x υστερεί κατά π, η κατάσταση y υστερεί κατά π/2 και αυτό παράγει το αριστερόστροφα πολωµένο φως. Μπορούµε να δείξουµε, ότι οι νέες καταστάσεις R και L αποτελούν καταστάσεις βάσης σε µια άλλη αναπαράσταση. Για παράδειγµα, οι καταστάσεις x και y µπορούν να γραφούν σαν γραµµικός συνδυασµός των R και L ως εξής: x = 1 y =− i 2 (R 2 + L (R ) − L ) Ας κάνουµε εδώ µια παρατήρηση: Αν ένα φωτόνιο είναι κυκλικά πολωµένο, αυτό δεν σχετίζεται µε κανένα άξονα x και y. Αν παρατηρούσαµε το φωτόνιο από ένα άλλο σύστηµα συντεταγµένων, στραµµένο ως προς το πρώτο κατά µία γωνία θ γύρω από τον άξονα της διεύθυνσης κίνησής του, το φωτόνιο θα παρέµενε κυκλικά πολωµένο. Πως όµως δύο καταστάσεις για τις οποίες δεν υφίστανται οι άξονες x και y (δεν έχουν νόηµα στην περιγραφή τους), προστιθέµενες κατάλληλα, µας επιστρέφουν τη γραµµικά πολωµένη κατάσταση; Ας υποθέσουµε ότι στο στραµµένο σύστηµα αναφοράς x’ - y’, η ∆ΚΠ κατάσταση είναι η R′ . Τότε R ′ = 1 2 ( x′ + i y′ ) . Η κατάσταση αυτή στο σύστηµα αναφοράς x - y θα είναι: R′ = 1 2 ( cos θ x + sin θ y − isin θ x + i cos θ y ) = ( cos θ − isinθ ) x + i ( cos θ − isinθ ) y  = 1 ( x + i y ) ( cos θ − i sin θ ) = e − iθ R 2 2 Οπότε οι καταστάσεις R′ και R είναι οι ίδιες µε εξαίρεση ένα παράγοντα φάσης. Το = 1 ίδιο φυσικά ισχύει και για τις καταστάσεις ΑΚΠ: L΄ = e+ iθ L . Εποµένως δεν είναι 121 τελείως σωστό ότι οι κυκλικά πολωµένες καταστάσεις είναι ίδιες σε οποιοδήποτε σύστηµα αναφοράς. Η φάση τους, για την ακρίβεια η σχέση των φάσεων µεταξύ ∆ΚΠ και ΑΚΠ, µεταφέρει την πληροφορία για τη διεύθυνση των αξόνων x – y. Στροφορµή και φωτόνια Όπως είδαµε αν το RHC φως ειδωθεί από νέο σύστηµα συντεταγµένων, στραµµένο κατά γωνία φ, γύρω από τον άξονα z δηλαδή τον άξονα πόλωσης του spin του φωτονίου τότε: z imφ R ' = R eiφ = R e . Η m=1 φ στροφή του συστήµατος συντεταγµένων κατά γωνία φ γύρω από τον άξονα διάδοσης z αφήνει το φωτόνιο το ίδιο, αναλλοίωτη y’ y χ πόλωση RHC, αναλλοίωτη ενέργεια, προσθέτοντας µόνο µία φάση mφ=1φ. Το χ’ RHC πολωµένο φωτόνιο µεταφέρει m ⋅ ℏ = +1⋅ ℏ στροφορµή, παράλληλη στον άξονα z. imφ Αντίστοιχα, η στροφή ενός LHC φωτονίου καταλήγει L ' = L e-iφ = L e . Το m=-1 LHC πολωµένο φωτόνιο µεταφέρει m ⋅ ℏ = −1⋅ ℏ στροφορµή, αντιπαράλληλη στον άξονα z. Μία δέσµη Ν φωτονίων κυκλικής συχνότητας ω µεταφέρει W = N ⋅ Eφ = N ℏω = Nhf και στροφορµή J z = N ℏ = ενέργεια W ω Η κλασσική εικόνα της πόλωσης Ας υπολογίσουµε τώρα την στροφορµή που µεταφέρει µια δέσµη φωτός σύµφωνα µε την κλασσική Φυσική. Στην κλασσική Φυσική µια δέσµη φωτός αντιστοιχεί σε ένα προσπίπτον ηλεκτροµαγνητικό κύµα. Ας θεωρήσουµε ένα δεξιόστροφα κυκλικά πολωµένο φως το οποίο προσπίπτει σε ένα πέτασµα. Οι δύο συνιστώσες του ηλεκτρικού πεδίου µεταβάλλονται χρονικά µε σταθερή διαφορά φάσης 900 . Όταν η δέσµη λοιπόν προσπέσει στο πέτασµα τα ελεύθερα ηλεκτρόνια του πετάσµατος εκτελούν αρµονική ταλάντωση σε δύο διευθύνσεις υπό την επίδραση του ηλεκτρικού πεδίου. Οι δυνάµεις 122 που δέχονται είναι αντίστοιχα στους άξονες Fx = eε cos ωt και Fy = eε sin ωt . Οι εξισώσεις κίνησης των ηλεκτρονίων θα είναι x = r0 cos (ωt − φο ) και y = r0 sin (ωt − φο ) . Η διαφορά φάσης φ0 θα εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες του ηλεκτρονίου. Θέλουµε να υπολογίσουµε την παρεχόµενη ισχύ από τη δέσµη του φωτός πάνω στο ηλεκτρόνιο. Το στοιχειώδες έργο της y Ε ηλεκτρικής δύναµης σε µετακίνηση dS από τη θέση ωt − φ0 του ηλεκτρονίου θα είναι: dW = qE ⋅ d s = qEt ds , όπου Εt η εφαπτοµενική συνιστώσα y µια συ ν ιστ ώ σα x Ε χ συ z νι στ ώσ α P= την Υ r της έντασης. ∆ιαιρώντας µε το χρόνο βρίσκουµε ε εt ωt − φ0 ισχύ: Χ dW ds = qEt = qEt u = qEtω r dt dt όπου u η επιτρόχια ταχύτητα. Η ροπή της δύναµης η οποία ασκείται πάνω στο ηλεκτρόνιο ως προς το κέντρο της κυκλικής τροχιάς την οποία εκτελεί το ηλεκτρόνιο είναι τ = δύο τελευταίες εξισώσεις κατά µέλη προκύπτει dJ z = qEt r . ∆ιαιρώντας τις dt dJ z 1 = , ‘όπου ω η κυκλική συχνότητα. dW ω Αν ολοκληρώσουµε βρίσκουµε για τη στροφορµή J z = W ω σε συµφωνία δηλαδή µε την κβαντοµηχανική πρόβλεψη. Να παρατηρήσουµε εδώ ότι µια δέσµη LHC πολωµένου φωτός µεταφέρει την ίδια στροφορµή αλλά µε το διάνυσµα προσανατολισµένο αντιπαράλληλα του άξονα πρόσπτωσης της δέσµης. 123 5.3 – ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΗΛΕΚΤΡΟ∆ΥΝΑΜΙΚΗ – ΤΟ ΦΩΤΟΝΙΟ ΦΟΡΕΑΣ ΑΛΛΗΛΕΠΙ∆ΡΑΣΗΣ Το πάντρεµα των δυο µεγάλων επιτεύξεων του 20ου αιώνα, της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας και της Κβαντοµηχανικής µας οδηγεί στην έννοια του φορέα της αλληλεπίδρασης. Η Θεωρία της Σχετικότητας απαγορεύει την µετάδοση πληροφορίας µε ταχύτητα µεγαλύτερη αυτής του φωτός. Αυτό σηµαίνει ότι µεταξύ δύο φορτισµένων σωµατιδίων η ηλεκτροµαγνητική αλληλεπίδραση δεν αναπτύσσεται ακαριαία. Για κάθε αλληλεπίδραση υπάρχει ένας ή περισσότεροι φορείς, των οποίων η ανταλλαγή κάνει τα σωµατίδια να αλληλεπιδρούν. Για την ηλεκτροµαγνητική αλληλεπίδραση ο φορέας είναι το φωτόνιο. Στο σχήµα 5.3.1 βλέπουµε πώς το κάθε ηλεκτρόνιο "αντιλαµβάνεται" την ύπαρξη του άλλου µε την ανταλλαγή του φωτονίου. Η θεωρία που περιγράφει τις αλληλεπιδράσεις µεταξύ φορτισµένων σωµατιδίων µε την ανταλλαγή φωτονίων ονοµάζεται (Quantum Κβαντική Ηλεκτροδυναµική Electrodynamics, QED) και Σχήµα 5.3.1 αποτελεί έναν από τους θριάµβους του ανθρώπινου πνεύµατος. Περιγράφει µε εκπληκτική ακρίβεια τις ηλεκτροµαγνητικές αλληλεπιδράσεις των στοιχειωδών Σωµατιδίων. Πατέρες της Κβαντικής Ηλεκτροδυναµικής θεωρούνται οι R. Feynman, J. Schwinger και S. Tomonaga. Είναι µια κβαντική θεωρία που περιγράφει όλα τα παγκόσµια φυσικά φαινόµενα, κυρίως της αλληλεπιδράσεις της ακτινοβολίας µε την φορτισµένη ύλη, εκτός της βαρύτητας και της ραδιενέργειας. Γεννήθηκε το 1931 προκειµένου να τεθεί σε συµφωνία η θεωρία του ηλεκτροµαγνητισµού, κατά τον Maxwell, µε τις νέες αρχές της κβαντικής φυσικής. Από την εποχή που ανακαλύφθηκε η σωµατιδιακή φύση του φωτός η αλληλεπίδραση των κβάντα µε την ύλη πέρασε από πολλά θεωρητικά στάδια. Η σηµερινή µορφή οφείλεται στις εργασίες κατά τις δεκαετίες του '40 και '50 των J.Schwinger, S.Tomonaga, R.Feynman που έλαβαν το βραβείο Νόµπελ Φυσικής του 1965, αλλά και στις εργασίες των F.Dyson και P.Ward. Το 1931 ο 124 Βρετανός φυσικός P. Dirac έβαλε τα θεµέλια οικοδόµησης της QED µε την ανακάλυψη µιας εξίσωσης που περιέγραφε την κίνηση και την περιστροφή των ηλεκτρονίων ενσωµατώνοντας την κβαντική θεωρία και τη θεωρία της ειδικής σχετικότητας. Όταν όµως διαµορφώθηκε στη δεκαετία του '50 η QED εξήγησε όχι µόνο τις αλληλεπιδράσεις ακτινοβολίας και ύλης αλλά περιέγραψε τόσο τις χηµικές όσο και τις βιολογικές αντιδράσεις. Η QED είναι µια σχετικιστική θεωρία από τις εξισώσεις της οποίας προκύπτουν οι εξισώσεις της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας. Η κβαντική ηλεκτροδυναµική που είναι το βασικό παράδειγµα των κβαντικών θεωριών πεδίου θεωρεί ότι η ανάπτυξη των ηλεκτροµαγνητικών δυνάµεων αποδίδεται στην εκποµπή και την απορρόφηση φωτονίων ως σωµατιδίων ανταλλαγής, τα οποία αντιπροσωπεύουν διαταραχές των ηλεκτροµαγνητικών πεδίων. Κατά τρόπο ανάλογο και τα ηλεκτρόνια µπορούν να θεωρηθούν ως διαταραχές αντίστοιχων κβαντισµένων πεδίων. Αυτά όµως τα φωτόνια στα οποία οφείλονται οι ηλεκτροµαγνητικές αλληλεπιδράσεις είναι εικονικά (virtual) δηλαδή δεν µπορούν να φανερωθούν ή να ανιχνευθούν µε κανένα τρόπο επειδή η ύπαρξή τους παραβιάζει την διατήρηση της ενέργειας και της ορµής. Η βραχύβια ύπαρξή τους (εµφάνιση και εξαφάνιση) όµως είναι αποδεκτή στα πλαίσια της αβεβαιότητας του Heisenberg. Η ανταλλαγή σωµατιδίων είναι όµοια µε τη "δύναµη" της αλληλεπίδρασης, επειδή τα αλληλεπιδρώντα σωµατίδια αλλάζουν την ταχύτητα και την κατεύθυνση της κίνησης τους καθώς αυτά ελευθερώνουν ή απορροφούν την ενέργεια ενός φωτονίου. Τα φωτόνια µπορούν επίσης να εκπεµφθούν σε µια ελεύθερη κατάσταση, οπότε µόνο σ' αυτή την περίπτωση µπορούν να παρατηρηθούν. Η αλληλεπίδραση των δύο φορτισµένων σωµατιδίων συµβαίνει σε µια σειρά διαδικασιών αυξανόµενης πολυπλοκότητας. Στον απλούστερο τρόπο, µόνο ένα εικονικό φωτόνιο µπορεί να περιληφθεί. Σε µια διαδικασία δεύτερης τάξης, υπάρχουν δύο φωτόνια και ούτω καθ' εξής. Οι διαδικασίες αντιστοιχούν σε όλους τους πιθανούς τρόπους στους οποίους µπορούν να αλληλεπιδράσουν τα σωµατίδια κάνοντας ανταλλαγή εικονικών φωτονίων, και κάθε ένας από αυτούς µπορεί να αναπαρασταθεί γραφικά µε τη βοήθεια των διαγραµµάτων που αναπτύχθηκαν από τον R. Feynman, έναν από τους θεµελιωτές της κβαντικής ηλεκτροδυναµικής. Εκτός από τον εφοδιασµό της QED µε µια διαισθητική εικόνα της διαδικασίας που αναφέρεται, αυτός ο τύπος του διαγράµµατος καθορίζει ακριβώς πώς να υπολογιστεί η µεταβλητή που εµπλέκεται στη διαδικασία. Ο R. Feynman 125 αναπαρήγαγε το µεγαλύτερο µέρος της κβαντοµηχανικής και της ηλεκτροδυναµικής θεωρώντας ως θεµελιώδη διαδικασία τη διάδοση σωµατιδίων από τη µια θέση στην άλλη. Οι περίφηµες διαγραµµατικές παραστάσεις των αλληλεπιδράσεων µεταξύ των στοιχειωδών σωµατιδίων είναι δικής του εµπνεύσεως και επιτρέπουν να υπολογιστούν αµέσως όλα τα φυσικά παρατηρήσιµα µεγέθη. 126 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ – ΑΝΑΦΟΡΕΣ The Feynman Lectures on Physics, volume I, Feynman, Leighton, Sands: mainly mechanics, radiation and heat, Addison – Wesley publishing company 1963. The Feynman Lectures on Physics, volume III, Feynman, Leighton, Sands: quantum mechanics, Addison – Wesley publishing company 1965. Physics for scientists and engineers, volume III, Raymond A. Serway, Saunders College Publishing, απόδοση στα Ελληνικά Λ. Κ. Ρεσβάνη 1990. Vibrations and Waves, A. P. French, the M.I.T Introductory Physics Series, W. W. Norton and Company 1971. An Introduction to Quantum Physics, A. P. French, Edwin F. Taylor, the M.I.T Introductory Physics Series, W. W. Norton and Company 1978. Modern Physics, Serway, Moses, Moyer, Saunders College Publishing 1989, Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Κρήτης 1992. The Physics of Vibrations and Waves, H.J. Pain, John Wiley and Sons Ltd 1983, Εκδόσεις Συµµετρία 1993. LIFELONG EDUCATION FOR EDUCATORS, quantum description of the world, S.E. TZAMARIAS - 17 lectures (http://physicslab.eap.gr/EN/Lifelong.html). LIFELONG EDUCATION FOR EDUCATORS, lectures in modern physics, S.E. TZAMARIAS - 4 lectures (http://physicslab.eap.gr/EN/Lifelong.html). 127