Fiziqni zbirnik NTX t.8
309
2011 p.
ENERGETIQNI SPEKTR ELEKTRONA
V ELIPTIQNI NAPIVPROVIDNIKOVI
NANOTRUBCI
Volodimir GOLOVAC^KI, Vasil~ GUCUL
Qernivec~ki nacional~ni universitet
imen ri Fed~koviqa,
vul. Kocbins~kogo 2, Qernivci 58012
e-mail: [email protected]
Redakci otrimala statt
10 sqn 2010 r.
U nablienni efektivno masi doslideno energetiqni
spektr elektrona v eliptiqni napivprovidnikovi nanotrubci
GaAs, pomiwen u dielektriqne seredoviwe. V eliptiqni sistemi
koordinat otrimano rozv' zok rivn nn Xredingera dl elektrona na osnovi parnih neparnih funkci Mat~. Pokazano, wo
energetiqni spektr skladat~s z seri rivniv, wo vidpovidat~
parnim neparnim stanam elektrona, ki mat~ riznu povedinku
zaleno vid fokusno viddali eliptiqnih cilindriv, wo obmeut~
nanotrubku, a v raz virodenn eliptiqno nanotrubki v cilindriqnu, energi parnih neparnih staniv zbigat~s . Otrimano
zalenist~ elektronnogo energetiqnogo spektra vid geometriqnih rozmiriv eliptiqno nanotrubki.
1. VSTUP
Suqasni tehnologi dat~ zmogu virowuvati napivprovidnikovi kvantovi droti, nanotrubki, skladni bagatoxarovi kvaziodnovimirni nanostrukturi rizno formi popereqnogo peretinu 1, 2]. Potencial~ni
molivosti kvantovih drotiv mout~ suttvo rozxiritis~ za rahunok stvorenn aksial~no geterostrukturi vzdov osi kvantovogo drotu metodom qerguvann napivprovidnikovih materialiv z rizno xirino zaboroneno zoni. Tak stvort~s rezonansni diodi 3], kvantovi
tranzistori ta nadgratki vzdov nanodrotu 4], ki mout~ sluguvati
elementami skladnih logiqnih pristro v nanoelektroniki.
Na danomu etapi rozvitku teori energetiqnih spektriv kvaziqastinok u kvaziodnovimirnih nanosistemah perevana bil~xist~ doslden~ vikonana dl cilindriqnih nanosistem, ade dl nih isnut~ prosti toqni rozv'zki rivnnn Xredingera. Dl takih sistem u nablienni efektivnih mas dosliduvali energetiqni spektri elektroniv, dirok, eksitoniv, elektron-fononna eksiton-fononna
PACS numbers: 68.65.Hb, 68.65.La, 74.25.Kc, 79.60Jv
310
V. Golovac~ki
,
V. Gucul
vzamodi, energetiqni spektri ta potenciali polrizaci interfesnih i obmeenih optiqnih fononiv.
Use we malo dosliden vpliv formi popereqnogo pererizu ta popereqno anizotropi napivprovidnikovogo materialu kvantovogo drotu na
fiziqni harakteristiki nanogeterosistemi. Taki doslidenn aktual~ni, oskil~ki real~ni nanogeterostrukturi mout~ mati eliptiqnu
formu vnaslidok anizotropi rostu qi deformaci nanosistemi. Krim
c~ogo, k pokazano 5], zadaqa znahodenn energetiqnogo spektra
kvaziqastinok u cilindriqnomu kvantovomu droti z popereqno anizotropi efektivno masi zvodit~s do zadaqi znahodenn energetiqnogo spektra kvaziqastinok u eliptiqnomu kvantovomu droti z izotropno efektivno maso.
Eliptiqni nanodroti ta eliptiqni nanotrubki zavdki anizotropi
formi volodit~ unikal~nimi fiziqnimi vlastivostmi, na osnovi
kih mona stvoriti novi elektronni nanopriladi dl suqasno nanoelektroniki. Tak nanogeterosistemi mout~ znati zastosuvann
k efektivn svitloviprominvaqi z skravo viraeno anizotropi
intensivnosti ta polrizaci viprominenogo svitla.
2. GAMIL^TONIAN HVIL^OVI FUNKCI ELEKTRONA V
ELIPTIQNI NAPIVPROVIDNIKOVI NANOTRUBCI
Rozglnemo eliptiqnu napivprovidnikovu nanotrubku (ENN) GaAs (seredoviwe 1), vmiwenu v dielektriqnu matric (seredoviwa 0 2), geometriqna i potencial~na shema ko zobraena na ris. 1.
Sistemu koordinat oberemo tak, wo vis~ Oz sprmovana vzdov
nanotrubki. Potencial~na energi ta efektivna masa elektrona v dekartovih koordinatah matime taki vigld:
8
< 0 x22=a202 + y22=b202 1 2 2 2 2
(x y) = : 1 x =a0 + y =b0 > 1 \ x =a1 + y =b1
x2=a21 + y2 =b21 > 1 2 = 0
8
< V0 x2=a202+ y22=b20 2 12 U (x y) = : V1 = 0 x =a0 + y =b0 > 1 \ x2 =a21 + y2 =b21
V2 = V0 x2 =a21 + y2=b21 > 1 1
(1)
1 (2)
de a0 , b0 ta a1 , b1 { pivosi vnutrixn~ogo ta zovnixn~ogo elipsa
vidpovidno.
U naprm vzdov ENN elektron zdisn vil~ni ruh. Qastka
energi , zumovleno pozdovnim ruhom, ma vigld Ez = ~2 kz2 =2 , de
{ userednena efektivna masa. Koristuqis~ terminom \userednena
efektivna masa", mi nagoloxumo, wo kvaziqastinka, k dini kvantovi ob'kt, ruhat~s v pozdovn~omu naprmku z kvaziimpul~som
kz v usih xarah ENN odnoqasno, hoqa pri c~omu perebuva u riznih
xarah z rizno movirnist.
Energi, zumovlenu popereqnim ruhom elektrona, znahodimo z rivnnn Xredingera, ke v zagal~nomu vipadku koordinatno zaleno
Spektr elektrona v elptiqn nanotrubc
311
Ris. 1. Geometriqna i potencial~na shema eliptiqno napivprovidnikovo nanotrubki.
masi ma taki vigld:
2
; ~2 r~ (x1 y) r~ (x y) + U (x y) (x y) = E (x y) :
(3)
Pidstavlqi (1) i (2) v rivnnn (3), otrimumo dl konogo seredoviwa rivnnn
(i) (x y) + ki2 (i) (x y ) = 0 i = 0 1 2
(4)
de ki2 = 2~2i (E ; Vi ) . Pozak dana nanogeterosistema volodi eliptiqno simetri, rivnnn (4) zruqno rozv'zuvati v eliptiqnih koordinatah ( z ) , ki pov'zan z dekartovimi takimi spivvidnoxennmi:
p
de f = a20 ; b20 =
rol~ radial~no , a
x = f ch cos 0 < 1 )
y = f sh sin 0 < 2 z = z
;1 < z < +1
pa2 ; b2 { fokusna vidstan~ nanotrubki 1
1{ kutovo
koordinati.
(5)
vikonu
312
V. Golovac~ki
,
V. Gucul
Perexovxi u rivnnnh (4) vid dekartovih koordinat do eliptiqnih, otrimamo
@2
@ 2 + f 2ki2 (ch 2 ; cos 2) (i) ( ) = 0 i = 0 1 2:
+
2
@2 @2
Hvil~ovu funkci
(6)
(mi) ( ) mona podati u vigldi
(mi) ( ) = Rm(i) ( )m(i) ()
(7)
(i)
de Rm
( ) { radial~na i m(i) () { kutova qastini, ki zadovol~nt~ rivnnn Mat~:
(8)
@ 2 m(i) ()=@2 + (c ; 2qi cos 2)m(i) () = 0
de
@ 2Rm(i) ()=@2 ; (c ; 2qi ch 2)Rm(i) () = 0
qi = f 2ki2 =4 c { stala rozdilenn.
(9)
Rozv'zkami rivnnn (8) funkci Mat~ perxogo ta drugogo rodu.
Oskil~ki umovi periodiqnosti mout~ zadovol~ntis lixe parno
cem (q ) ta neparno sem (q ) funkcimi Mat~ perxogo rodu, to
kutova qastina hvil~ovo funkci matime taki vigld:
m(q ) =
ce (q ) m = 0 1 2 3 ::: m
(10)
sem (q ) m = 1 2 3 ::: :
Rozv'zkami radial~nogo rivnnn (9) v zagal~nomu vipadku linina kombinaci parnih ( e) ( m = 0,1,2,3. . . ) ta neparnih ( o)
( m = 1,2,3. . . ) modifikovanih funkci Mat~ perxogo i drugogo rodu:
Rme (q ) =
Rmo (q ) =
Ae Je (q ) + B e Ne (q ) q > 0
m m
m m
Aem Iem (q ) + Bme Kem (q ) q < 0
Ao Jo (q ) + B o No (q ) q > 0
m
m
m
m
AomIom (q ) + Bmo Kom(q )
q<0
(11)
(12)
e B o { vidpovidni koeficinti, wo viznaqat~s graniqde Aem Aom Bm
m
nimi umovami ta umovo normuvann.
kwo eliptiqna napivprovidnikova nanotrubka pomiwena v dielektriqne seredoviwe, to potencial~ni bar'r dosit~ visoki, wo da
zmogu znehtuvati molivist proniknenn elektrona v seredoviwa (0) ta (2). Dl znahodenn energetiqnogo spektra elektrona v
podibni nanosistemi zapixemo graniqni umovi dl parno ta neparno
radial~nih hvil~ovih funkci kvaziqastinki na zovnixni vnutrixni
eliptiqnih meah:
Aeme Jem (q 0 ) + Bmee Nem(q 0 ) = 0 (13)
Am Jem (q 1 ) + Bm Nem(q 1 ) = 0
Spektr elektrona v elptiqn nanotrubc
de
Aomo Jom (q 0 ) + Bmoo Nom (q 0 ) = 0 Am Jom (q 1 ) + Bm Nom (q 1 ) = 0
0 = arctanh(b0 =a0 ) 1 = arctanh(b1 =a1 ) .
313
(14)
e Bo
Sistemi rivnn~ (13) ta (14) vidnosno koeficintiv Aem Aom Bm
m
2
e
(o)
f
1 e(o)
mat~ nenul~ovi rozv'zki lixe pri znaqennh q = qnm = 2~2 Enm ,
ki zadovol~nt~ vidpovidni dispersini rivnnn
Jem (q 0 ) Nem (q 1 ) ; Nem (q 0 ) Jem (q 1 ) = 0
(15)
Jom (q 0 ) Nom (q 1 ) ; Nom (q 0 ) Jom (q 1 ) = 0
(16)
de n = 1,2,3,. . . { golovne kvantove qislo, ke numeru pordkovi nomer koreniv vidpovidnih rivnn~ (15) ta (16) kvantove qislo m viznaqat~s pordkom vidpovidnih funkci Mat~, qerez ki viraat~
radial~nu ta kutovu qastini hvil~ovo funkci .
Rivnnn (15) (16) viznaqat~ bezmeni diskretni nabir pare ta neparnih E o energetiqnih staniv kvaziqastinki.
nih Enm
nm
3. ANALIZ OBGOVORENN REZUL^TATIV OBQISLEN^
Energetiqni spektr elektrona viznaqali dl eliptiqno nanotrubki
GaAs z efektivno maso elektrona 1 = 0 067me ( me { masa vil~nogo elektrona) ta stalo kristaliqno ratki aGaAs = 5,65
A.
Na ris. 2 pokazano zalenist~ energetiqnogo spektra elektrona v
nanotrubc
i vid veliqini a0 pri a =5 apGaAs f =4,5 aGaAs i pivosmi
p
a0 , b0 = a20 ; f 2 ta a1 = a0 + a , b1 = a21 ; f 2 .
z ris. 2 baqimo, wo z zbil~xennm a0 pri stalomu znaqenn fokusno viddal ENN xvidko virodut~s v nanotrubku kolovogo pererizu (pro ce svidqit~ spivvidnoxenn a0 =b0 na risunku). k nasldok,
energi parnih ( n m)e ta neparnih ( n m)o staniv, otrimani z rivnn~
(15) ta (16), zbliaut~s mi sobo i nabliat~s do znaqen~ energi u cilindriqni nanotrubci.
Podal~xe zbil~xenn a0 privodit~ do virodenn energi za kvantovim qislom m i otrimut~s energetiqni spektr elektrona v
ploski napivprovidnikovi plivci tovwino a . Pri malih znaqennh kvantovogo qisla m energi parnih staniv ( n m)e bliz~ki do
energi neparnih staniv ( n m+ 1) o . Zbil~xenn kvantovogo qisla
m privodit~ do perebudovi spektra tak, wo sposterigat~s zblienn energi staniv ( n m)e ta ( n m)o .
Taku povedinku spektra legko posniti, proanalizuvavxi zalenist~ energetiqnogo spektra elektrona v nanotrubci vid fokusno viddali eliptiqnih cilindriv, wo obmeut~ ENN GaAs pri stalih znaqennh a0 =10 aGaAs ta a =5 aGaAs (ris. 3).
k baqimo z ris. 3, pri f = 0 (elips virodut~s v kolo) energi
vidpovidnih parnih neparnih staniv zbigat~s i vidpovidat~ energetiqnomu spektru elektrona v cilindriqni nanotrubci. Z zbil~xennm veliqini fokusno viddali pri stalih a0 ta a vsi energetiqni
314
V. Golovac~ki
1,120
e(o)
Enm , ɟȼ
2,294
e
o
e
,
V. Gucul
a0/b0
1,048
1,026
o
(2,5) (2,5) (2,4) (2,4)
3
n=2
e
(2,3)
e
o
e
o
ɩɚɪɧɿ ɫɬɚɧɢ
ɧɟɩɚɪɧɿ ɫɬɚɧɢ
(2,2) , (2,3)
2
e
(2,1) , (2,2)
o
(1,4) , (1,4)
e
o
(2,0) , (2,1)
e
(1,3)
f=4,5aGaAs
'a=5aGaAs
o
(1,3)
e
(1,2)
1
n=1
e
o
(1,2)
(1,1)
e
o
(1,0) , (1,1)
0
5
10
15
20
a0, aGaAs
Ris. 2. Zalenist~ energetiqnogo spektra elektrona v ENN GaAs vid
znaqenn a0 pri a = 5 aGaAs ta f = 4,5 aGaAs .
rivni zsuvat~s v oblast~ menxih energi, wo posnt~s zmenxennm rozmirnogo kvantuvann, oskil~ki zrosta b . Pri c~omu vidbuvat~s rozweplenn energetiqnih rivniv i energi neparnih staniv
spadat~ xvidxe, nabliaqis~ do susidnih parnih staniv z menxim
na odinic znaqennm kvantovogo qisla m . Z zbil~xennm kvantovogo qisla m veliqina rozweplenn energetiqnih rivniv zmenxut~s.
U graniqnomu vipadku f ! a0 nanotrubka bliz~ka do eliptiqnogo kvantovogo drotu. Todi energi parnih neparnih staniv elektrona v nanotrubci prmut~ do energi vidpovidnih staniv elektrona v
eliptiqnomu kvantovomu droti, ki volodi vidpovidnimi geometriqnimi rozmirami.
4. VISNOVKI
V eliptiqni sistemi koordinat na osnovi funkci Mat~ v nablienni efektivnih mas viznaqeno energetiqni spektr elektrona v ENN
GaAs, pomiwen u dielektriqne seredoviwe. Energetiqni spektr
elektrona skladat~s z seri energetiqnih rivniv, wo vidpovidat~
parnim neparnim stanam elektrona. Otrimani toqni rozv'zki rivnnn Xredingera mout~ buti vikoristani pri doslidenni vzamodi
kvaziqastinok u nanotrubkah eliptiqnogo pererizu.
315
1,0
1,25
1,092
1,021
1,667
a0/b0
0,8
e(o)
Enm , ɟȼ
Spektr elektrona v elptiqn nanotrubc
o
(1,1)
0,6
o
(1,2)
e
(1,3)
(1,3)
o
e
(1,2)
e
(1,1)
0,4
e
(1,0)
a0=10aGaAs; 'a=5aGaAs
0,2
0
2
4
6
8
Ris. 3. Zalenist~ energetiqnogo spektra elektrona ENN
Sucil~ni lini { parni stani, xtrihovi { neparni.
f.
10
f, aGaAs
GaAs vid
Rezul~tati doslidenn energetiqnogo spektra elektrona v ENN
pokazut~, wo veliqina rozweplenn mi energimi parnih neparnih staniv zaleit~ vid ekscentrisitetu oboh me podilu seredoviw,
priqomu navit~ neznaqna deformaci nanotrubki istotno vpliva na
energetiqni spektr elektroniv.
LTERATURA
1] Mohan P., Motohisa J., Fukui T. Appl. Phys. Let. 2006. 88. 0131101{
0131103.
2] Noborisaka J., Motohisa J., Hara S., Fukui T. Appl. Phys. Let. 2005. 87.
931091{931093.
3] Bjork, M., Ohlsson B., Thelander C. et al. Appl. Phys. Lett. 2002. 81.
4458{4462.
4] Gudiksen M., Lauhon L., Wang J. Nature. 2002. } 415. 617{622.
5] Bejenari I., Kantser V., Myronov M. et al. Semicond. Sci. Technol. 2004.
19. 106{112.
316
V. Golovac~ki
,
ELECTRON ENERGY SPECTRUM
IN ELLIPTIC SEMICONDUCTOR NANOTUBE
V. Gucul
Volodymyr HOLOVATSKY, Vasyl GUTSUL
Yurii Fedkovich Chernivtsi National University,
58012 Chernivtsi, Kotcibinsky Str. 2
e-mail: [email protected]
The electron energy spectrum in elliptic semiconductor nanotubes is investigated within the eective mass approximation. In elliptic coordinates,
there is obtained a solution of Shroedinger equation based on the Mathieu
functions. The dependencies of the electron size quantization spectrum on
the sizes and the shape of the nanotube are calculated. It is shown that the
ellipticity of the nanotube leads to the breakage of the degeneration quasiparticle energy spectrum. The energy dependencies of odd and even electron
states on the focus distance are of nonmonotonous character. In the limiting
case of the degeneracy of elliptic nanotubes into circle ones, the quasiparticle
energy spectrum coincides with the corresponding quasiparticle spectrum in
cylindrical nanosystems.

Notiziario di S.A.M. 2001

pioners^ki rozrobki v ukra ni z tehnologi napivprovidnikovih