ΚΟΣΜΟΓΡΑΦΙΑ
Διδάσκων: Θεόδωρος Ν. Τομαράς
1
1.1
Τα χαρακτηριστικά του Σύμπαντος
Μονάδες - Τυπικά μεγέθη
1 light year = 0.951 × 1016 m
1 AU = 1.50 × 1011 m
1′′ = 4.85 × 10−6 rad
1pc ≡ 1 parsec ≡ 1AU/(1′′ in rad) = 3.1 × 1016 m = 3.26 light years
Διαστάσεις του Γαλαξία μας: (διάμετρος 30 kpc) × (2 kpc πάχος)
Ο κοντινότερος σε εμάς γαλαξίας, η Ανδρομέδα, απέχει από εμάς 0.7 Mpc.
2. Σε αποστάσεις μεγαλύτερες των 100 Mpc η κατανομή της ύλης στο Σύμπαν μοιάζει ομογενής και ισότροπη.
1.2
Η Διαστολή και η Ηλικία του Σύμπαντος.
Ο Olbers απέδειξε οτι ένα ομογενές και ισότροπο Σύμπαν ΔΕΝ μπορεί να είναι άπειρης ηλικίας, άπειρο σε μέγεθος και στατικό.
Aς υποθέσουμε οτι το ομογενές και ισότροπο Σύμπαν μας έχει άπειρη ηλικία και μέγεθος και
επιπλέον είναι στατικό.
Εστω αστέρας με λαμπρότητα L (εκπεμπόμενη ενέργεια ανά μονάδα χρόνου) σε απόσταση r
από εμάς. Η ενέργεια ανά μονάδα χρόνου και επιφάνειας που στέλνει σε εμάς ο αστέρας αυτός
είναι f (r) = L / 4 π r2 . Οπότε η ολική ενέργεια ανά μονάδα χρόνου και επιφάνειας που δεχόμαστε από όλους τους αστέρες, πυκνότητας n(r) είναι
∫
∫ ∞
I = n(r) f (r) dV = n L
dr = ∞
(1)
r1
Χρησιμοποίησα την ομογένεια του σύμπαντος για να πάρω n(r) = n και για απλότητα μια μέση
τιμή για τη λαμπρότητα των αστέρων.
Προφανώς, κάποια από τις υποθέσεις δεν είναι σωστή. Σήμερα ξέρουμε οτι το Σύμπαν ΔΕΝ
ικανοποιεί καμμία από τις υποθέσεις του προηγούμενου υπολογισμού.
3α. Πράγματι, ο Hubble παρατήρησε ήδη το 1930 οτι το Σύμπαν δεν είναι στατικό, αλλά διαστέλλεται. Συγκεκριμμένα, ώρισε για κάθε παρατηρούμενο Γαλαξία την αντίστοιχη ερυθρόπηση
z≡
λrec − λem
λem
(2)
και από το διάγραμμα της ερυθρόπησης συναρτήσει της απόστασης του γαλαξία συμπέρανε οτι
z≃
H0
d
c
(3)
ή, ισοδύναμα, αφού από το φαινόμενο Doppler ξέρουμε οτι (για μικρές ταχύτητες της πηγής)
z=
v
∆λ
≃
λ
c
1
(4)
συμπέρανε οτι οι γαλαξίες απομακρύνονται σχεδόν ακτινικά από εμάς με ακτινικές ταχύτητες
ανάλογες της απόστασής τους από εμάς, δηλαδή
v ≃ H0 d
(5)
Οπως θα εξηγήσω παρακάτω, ο συντελεστής H0 ΔΕΝ μπορεί να είναι σταθερός στο χρόνο. Η H0
είναι σταθερά με την έννοια οτι ΔΕΝ εξαρτάται από το σημείο του χώρου όπου βρίσκεται ο παρατηρητής, σύμφωνα με την Αρχή του Κοπέρνικου, ή ισοδύναμα την Κοσμολογική Αρχή. Αρα,
ο Νόμος του Hubble ισχύει για κάθε χρονική στιγμή και συνδέει τις ταχύτητες με τις αποστάσεις
των γαλαξιών, με συντελεστή αναλογίας την σταθερά του Hubble H(t).
v(t) ≃ H(t) d(t)
(6)
Σήμερα ισχύει
H(t0 ) ≡ H0 = (72 ± 7) km/sec/Mpc =
1
1
≡
(13.6 ± 1.4)Gyr
tH
(7)
• Ο νόμος του Hubble μοιάζει να προσδίδει σε “εμάς” μοναδική θέση στο Σύμπαν, τοποθετώντας μας στο “κέντρο” του Κόσμου. Παρά ταύτα, η γραμμικότητα του νόμου τον κάνει
απολύτως συμβατό με την Aρχή του Κοπέρνικου, ότι δηλαδή η θέση μας στο Σύμπαν ΔΕΝ είναι
προεξάρχουσα. Πράγματι, αν για τρεις γαλαξίες Α, Β και C ισχύει ο Νόμος του Hubble για τον
παρατηρητή Α, δηλαδή οτι οι γαλαξίες Β και C απομακρύνονται από αυτόν με βάση το νόμο
του Hubble, ήτοι
vAB ≡ vB − vA ≃ H0 rAB ≡ H0 (rB − rA )
(8)
και, αντίστοιχα
τότε, ισχύει και η σχέση
vAC ≃ H0 rAC
(9)
vBC ≃ H0 rBC
(10)
δηλαδή ο Νόμος του Hubble με την ίδια σταθερά και για τον παρατηρητή Β, ό,τι ακριβώς θα
προέβλεπε και ο Κοπέρνικος.
3β. Οπότε, είναι λογικό να συμπεράνει κανείς οτι πηγαίνοντας πίσω το χρόνο, το Σύμπαν
είχε κάποια αρχή. Οτι, δηλαδή, κάποτε στο παρελθόν όλα αυτά που βλέπουμε ήταν σε ένα και
το αυτό “σημείο”. Αυτή η στιγμή ήταν η Αρχή του Σύμπαντος.
Ποιά είναι η Ηλικία του Σύμπαντος; Για μια πρώτη εκτίμηση θα υποθέσουμε οτι οι ταχύτητες των γαλαξιών, που μετράμε σήμερα ήταν οι ίδιες από την Αρχή. Οτι, δηλαδή, καθωρίστηκαν
με κάποιο τρόπο από τις αρχικές συνθήκες και οτι ΔΕΝ υπήρχαν δυνάμεις στο μεταξύ να τις αλλάξουν και επομένως κάθε γαλαξίας έκανε μια ομαλή ευθύγραμμη κίνηση με σταθερή ταχύτητα
μέχρι να φτάσει εκεί που βρίσκεται σήμερα. Στην περίπτωση αυτή πράγματι η εξίσωση της απόστασής του από το αρχικό σημείο είναι
d=v
1
= v tH
H0
(11)
και ο χρόνος που θα είχε περάσει μέχρι σήμερα, δηλαδή η ηλικία του Σύμπαντος θα ήταν
tH = (13.6 ± 1.4) Gyr.
(12)
Η εκτίμηση αυτή είναι ενδεικτική και έχει πολλές υποθέσεις και απλοποιήσεις. Προφανώς
οι γαλαξίες υπόκεινται στη δύναμη της βαρύτητας. Αρα, ο ρυθμός διαστολής του Σύμπαντος
ΔΕΝ μπορεί να είναι σταθερός. Η χωρικά σταθερή H0 με βεβαιότητα εξαρτάται από το χρόνο.
Για παράδειγμα, αν η ύλη στο Σύμπαν είναι αστέρες και πλανήτες, τότε κάθε γαλαξίας υπόκειται σε ελκτική δύναμη από τους υπόλοιπους και περιμένουμε την ταχύτητά του να μειώνεται.
2
Αντίθετα, σήμερα μοιάζει το “περιεχόμενο” του Σύμπαντος να είναι κύρια αυτό που λέγεται
“Σκοτεινή ενέργεια”, που έχει σαν αποτέλεσμα να επιταχύνει την απομάκρυνση των γαλαξιών.
Ενα είδος “αντιβαρύτητας” για το οποίο θα μιλήσουμε παρακάτω.
Επομένως, η Ηλικία του Σύμπαντος θα εξαρτάται από την συνολική ιστορία του Σύμπαντος
και επομένως είναι απαραίτητο να χρησιμοποιεί κανείς ό,τι μέθοδο μπορεί να επινοήσει για επιπλέον ελέγχους.
Για παράδειγμα, με λογικές υποθέσεις για τη Γη, συμπεραίνει κανείς οτι η ηλικία της είναι
tE ≃ 4.6 Gyr .
(13)
Eπίσης, συνδυάζοντας αστροφυσικά μοντέλα για την εξέλιξη των αστέρων και παρατηρήσεις των globular clusters, συμπεραίνουμε οτι η ηλικία τους είναι
tgc ≃ 12.5 ± 1.5 Gyr.
(14)
Προφανώς, η Ηλικία του Σύμπαντος δεν μπορεί να είναι μικρότερη από αυτή την τιμή. Eπίσης, ο χαρακτηριστικός χρόνος Hubble tH που ωρίστηκε παραπάνω είναι πολύ κοντά στις εκτιμήσεις για την ηλικία του Σύμπαντος που παίρνουμε και με άλλες μεθόδους και επιχειρήματα
και επομένως θα χρησιμοποιείται για σύντομους υπολογισμούς και αρκετά ακριβείς εκτιμήσεις.
1.3
H Μάζα στο Σύμπαν.
Σήμερα πιστεύουμε οτι μόνο ένα πολύ μικρό ποσοστό της μάζας του σύμπαντος ακτινοβολεί
(luminous mass, LM ) και είναι άμεσα ορατό. Οπως, όμως θα εξηγήσουμε παρακάτω, πιστεύουμε
οτι υπάρχει και άλλη ύλη, πέραν της “λαμπερής”, την οποία ονομάζομε σκοτεινή ύλη (dark matter,
DM ) και έτσι γράφουμε για την συνολική πυκνότητα ύλης
ρM = ρLM + ρDM
(15)
Χρησιμοποιώντας την σταθερά του Hubble και αυτήν του Νεύτωνα, μπορώ να φτιάξω μια
ποσότητα με διαστάσεις πυκνότητας μάζας. Για λόγο που θα γίνει σαφής παρακάτω, ορίζω την
κρίσιμη πυκνότητα μάζας ρc (t)
3H 2 (t)
ρc (t) ≡
(16)
8 π GN
και αναφέρομαι σε όλες τις πυκνότητες μάζας σε μονάδες ρc , ορίζοντας από την πυκνότητα
τύπου a ισοδύναμα το πηλίκον
ρa (t)
Ωa (t) ≡
.
(17)
ρc (t)
Οπότε, η (15) γράφεται
ΩM = ΩLM + ΩDM
(18)
• Η σημερινή τιμή1 της κρίσιμης πυκνότητας είναι
ρc,0 = (0.97 ± 0.08) × 10−29 g / cm3 = 5.5 GeV / m3 ≃ 6 H / m3 .
(19)
• Μια εκτίμηση της λαμπερής ύλης στο Σύμπαν, δηλαδή των αστέρων, μπορούμε να κάνουμε
χρησιμοποιώντας το οτι το παρατηρούμενο Σύμπαν έχει ακτίνα περί τα 13 δισεκατομμύρια έτη
φωτός και έχει περί τους 1010 γαλαξίες, καθένας από τους οποίους έχει περί τους 1010 αστέρες με
μέσο μέγεθος αυτό του Ηλιου μας, που έχει μάζα περί τα 2×1030 χιλιόγραμμα, με το χιλιόγραμμο
να ισοδυναμεί με την συνολική μάζα περίπου 0.5 × 1027 ατόμων υδρογόνου. Αρα,
ρLM,0 ≃
1
1010 × 1010 × 2 × 1030 × 0.5 × 1027 H
≃ 13 × 10−3 H/m3 .
[4π(13 × 109 × π × 107 × 3 × 108 )3 /3]m3
Ο δείκτης 0 σε κάποια ποσότητα υποδηλώνει τη σημερινή τιμή της ποσότητας αυτής.
3
(20)
Κάπως ακριβέστερα, σήμερα πιστεύουμε οτι
ΩLM,0 ≃ 0.005
(21)
• Επίσης, αν και δεν έχει ακόμα επιβεβαιωθεί ευθέως, υπάρχουν έμμεσα επιχειρήματα που
δείχνουν οτι υπάρχει επιπλέον ύλη στο Σύμπαν. Ενα απο αυτά βασίζεται στις παρατηρήσεις της
περιστροφικής κίνησης των αστέρων στους γαλαξίες. Η ταχύτητα v ενός αστέρα, που κιείται
σε κυκλική τροχιά ακτίνας r υπο την επίδραση της βαρυτικής δύναμης, που ασκεί πάνω του η
συνολική μάζα M (r) στο εσωτερικό της τροχιάς του, είναι
m v2
GN m M (r)
=
,
r
r2
(22)
ή ισοδύναμα
GN M (r)
,
(23)
r
Από αυτήν προκύπτει οτι για τροχιές μέσα στο σώμα του γαλαξία ακτίνας R και για περίπου
σταθερή πυκνότητα μάζας στο γαλαξία, θα ισχύει M (r) = (4/3)πr3 ρ(r) ∼ r3 , και συνεπώς
v2 =
v(r) ∼ r , r < R ,
(24)
ενώ για αστέρες έξω από το σφαιρικό τμήμα του γαλαξία θα έχουμε M (r) = Mgalaxy , και επομένως
1
v(r) ∼ √ , r > R .
(25)
r
Σε αντίθεση με αυτό οι παρατηρήσεις δείχνουν οτι
v(r) ∼ constant , r > R .
(26)
• Bοηθάει να χωρίσουμε την ύλη στο σύμπαν σε λαμπερή ή σκοτεινή, σε βαρυονική ή εξωτική.
Ετσι ορίζουμε τις ποσότητες
ΩM
= ΩLM + ΩDM
= ΩB + Ωexotic
= ΩLM + ΩBDM + Ωexotic
(27)
Συνδυάζοντας τη μελέτη των αστρικών ταχυτήτων στους γαλαξίες με παρατηρήσεις του φαινομένου των βαρυτικών φακών (gravitational lensing) από τους γαλαξίες, συμπεραίνουμε οτι η
Σκοτεινή Υλη είναι κατανεμημένη γύρω από τους γαλαξίες σε αποστάσεις δεκαπλάσιες της ακτίνας του ορατού γαλαξία και οτι σήμερα έχουμε περίπου
ΩM,0 ≃ 0.30 ± 0.05 , ΩLM,0 ≃ 0.005 , ΩB,0 ≃ 0.04 , Ωexotic,0 ≃ 0.26 .
(28)
Υπάρχουν διάφορες προτάσεις σχετικά με το τί μπορεί να είναι η Σκοτεινή Υλη. Νετρίνα, νετραλίνα, ιονισμένα αέρια, μελανές οπές, ασθενικά αντιδρώντα βαριά σωμάτια που προβλέπουν
διάφορες θεωρίες στη Σωματιδιακή Φυσική, κ.ο.κ. Υπάρχουν επίσης και εναλλακτικές προσπάθειες να εξηγήσει κανείς τις καμπύλες των αστρικών ταχυτήτων στους γαλαξίες ως αποτέλεσμα
π.χ. αλλαγής στο νόμο της βαρύτητας σε χαρακτηριστικές αποστάσεις του μεγέθους ενός γαλαξία. Τίποτε από αυτά δεν έχει επιβεβαιωθεί παρατηρησιακά. Ετσι, εμείς θα υποθέσουμε οτι
υπάρχει σκοτεινή ύλη στη ποσότητα που αναφέρθηκε παραπάνω και δεν θα ασχοληθούμε με
το είδος των σωματιδίων που την αποτελούν. Αυτό είναι αρκετό για τη μελέτη της χρονικής
εξέλιξης του Σύμπαντος, με την οποία θα ασχοληθούμε.
• Κατά τη μελέτη της χρονικής εξέλιξης του σύμπαντος αυτό που έχει σημασία είναι, όπως
περιμένει κανείς από τη Θεωρία της Σχετικότητας, η συνολική ενεργειακή πυκνότητα και όχι
4
απλά η πυκνότητα μάζας. Στο ενεργειακό περιεχόμενο του Σύμπαντος κάθε χρονική στιγμή συνεισφέρει και η ακτινοβολία (radiation, R), που αποτελείται απο φωτόνια, ή άλλα σωμάτια φορείς
με αμελητέα μάζα. Η ενεργειακή πυκνότητα uR της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας, όπως ξέρετε από τη θεωρία του μέλανος σώματος, είναι ανάλογη της τέταρτης δύναμης της απόλυτης
θερμοκρασίας
uR = σ B T 4 .
(29)
Σήμερα, που η θερμοκρασία αυτή είναι
έχουμε
T0 ≃ 2.7 o K
(30)
ΩR,0 ≪ ΩM,0
(31)
Φυσικά, όπως θα δούμε, στα αρχικά στάδια της ζωής του Σύμπαντος, όπου οι θερμοκρασίες
ήταν πολύ υψηλές, η κύρια συνεισφορά στο ενεργειακό ισοζύγιο ήταν αυτή της ακτινοβολίας.
• Στην ενεργειακή πυκνότητα του Σύμπαντος συνεισφέρει κάθε είδος ενέργειας. Εκτός από
την ενέργεια ενός ρευστού σωματιδίων ή ακτινοβολίας, μπορεί να υπάρχουν και μορφές ενέργειας και ορμής που δεν μπορούν ααναγκαστικά να περιγραφούν σαν ένα σύνηθες ρευστό.
Οπως θα δούμε, πιστεύουμε οτι το 70% της ενεργειακής πυκνότητας του Σύμπαντος σήμερα
είναι ένα τέτοιο είδος ενέργειας, για το οποίο ΔΕΝ γνωρίζουμε τίποτε περισσότερο από το ότι
πρέπει να υπάρχει και, μάλιστα, στην ποσότητα που προανέφερα. Η άγνοιά μας αυτή για τη
φύση και τη προέλευση αυτής της ενέργειας αποτυπώνεται στο όνομα Σκοτεινή Ενέργεια, που
της έχουμε δώσει. Οπως και στη περίπτωση της Σκοτεινής Υλης, υπάρχουν διάφορες ιδέες για
εναλλακτικές αιτίες, που θα προκαλούσαν την ίδια συμπεριφορά στο Σύμπαν, χωρίς να είναι
ενέργεια. Θα ασχοληθούμε όμως με αυτά πολύ αργότερα.
2
Η Κοσμολογική Αρχή(ΚΑ)
Σε κάθε χρονική στιγμή
το Σύμπαν
είναι ομογενές και ισότροπο.
Ισοδύναμα: δεν υπάρχει καμμία προνομιούχα θέση ή προνομιούχα κατεύθυνση στο Σύμπαν. Με
άλλα λόγια, πρόκειται για την αρχή όπως την είχε διατυπώσει ο Κοπέρνικος.
Η αρχή έχει επιβεβαιωθεί παρατηρησιακά. Σήμερα ξέρουμε οτι η κατανομή της ύλης σε κλίμακες μεγαλύτερες των 100 Mpc είναι πράγματι ομογενής και ισότροπη. Επίσης, οι μετρήσεις
της θερμοκρασίας του Σύμπαντος σε ηλικία μόλις 105 ετών, δείχνουν διακυμάνσεις
δT
∼ 10−5 ,
T
(32)
σε εξαιρετική συμφωνία με την Κοσμολογική Αρχή (ΚΑ). Αρα, μοιάζει οτι σε όλη τη διάρκεια
της ζωής του το Σύμπαν ήταν πράγματι με καλή προσέγγιση ομογενές και ισότροπο. Οι ανομοιογένειες που παρατηρούμε σήμερα σε μικρότερες κλίμακες, καθώς και αυτές τάξης 10−5 που
υπήρχαν στο νεαρό σύμπαν, πρέπει φυσικά να εξηγηθούν σαν διαταρραχές από την ιδεατή εικόνα, που οφείλονται σε θεμελιώδεις κβαντικές ή στατιστικές διακυμάνσεις, οι οποίες είναι αναπόφευκτες στη Φύση. Στο ζήτημα αυτό θα επανέλθουμε όταν μιλήσουμε για το Πληθωριστικό
Σύμπαν. Θα δούμε οτι το Πληθωριστικό Μοντέλο εξηγεί τις διαταρραχές του νεαρού σύμπαντος, ως οφειλόμενες στις θεμελιώδεις κβαντικές διακυμάνσεις, που υπήρχαν κατά τη περίοδο
της υποτιθέμενης “πληθωριστικής” εκτόνωσης του Σύμπαντος, και κατά την οποία η ηλικία του
ήταν περί τα 10−35 δευτερόλεπτα.
5
3
Η μετρική Robertson − Walker
Σύμφωνα με την Κοσμολογική Αρχή, σε κάθε στιγμή κατά τη χρονική εξέλιξή του το Σύμπαν
ήταν σε αρκετά μεγάλες κλίμακες ομογενές και ισότροπο. Ολα τα σημεία του και όλες οι κατευθύνσεις είναι ισοδύναμες. Επομένως και η καμπυλότητα του χώρου δεν εξαρτάται από τη θέση.
Οπως έχει αναφερθεί σε προηγούμενο κεφάλαιο, υπάρχουν ακριβώς τρείς τριδιάστατοι χώροι
με σταθερή καμπυλότητα, και οι οποίοι χαρακτηρίζονται από μία παράμετρο k = 0, −1, +1.
Επιπλέον, ένας τετραδιάστατος χωρόχρονος, στον οποίον ο τριδιάστατος χώρος είναι ομογενής και ισότροπος, περιγράφεται από τη μετρική Robertson - Walker (RW):
ds2 = c2 dt2 − dl2
)
(
dξ 2
2
2
2
2
2
2 2
+ ξ (dθ + sin θ dϕ ) ,
dl = R0 a (t)
1 − kξ 2
(33)
(34)
που χαρακτηρίζεται από την συνάρτηση a(t) με a(t0 ) ≡ 1 και τις παραμέτρους R0 και k = 0, ±1.
Μια τριάδα (a(t), R0 , k ) ορίζει ένα ομογενές και ισότροπο σύμπαν. Το δικό μας Σύμπαν χαρακτηρίζεται από μία από εκείνες τις τριάδες, που είναι συμβιβαστές με όλα τα μέχρι σήμερα
παρατηρησιακά δεδομένα.
4
Μετρήσεις στον RW - Νόμος του Hubble
Για απλότητα θα μελετήσουμε αποστάσεις δύο σημείων κατά την ακτινική κατεύθυνση, δηλαδή, των οποίων οι γωνιακές συντεταγμένες Ω = (θ, ϕ) ταυτίζονται.
4.1
Ιδιοαπόσταση dp (ξ, t) (proper distance)
Η ιδιοαπόσταση (dp (ξ, t)) τυχόντος σημείου ξ από εμάς (ξ = 0) κατά τη κοσμική χρονική
στιγμή t ορίζεται η
∫
∫
ξ
ξ
dl = R0 a(t)
dp (ξ, t) =
0
0
√
R0
= a(t) √ sin−1 ( kξ)
k
= a(t) dp (ξ, t0 ) .
dξ ′
(1 − kξ ′2 )1/2
(35)
Βλέπουμε οτι η απόσταση του δεδομένου σημείου διαφέρει τη χρονική στιγμή t από αυτήν τη
χρονική στιγμή t0 κατά τον παράγοντα a(t)/a(t0 ) = a(t).
O Νόμος του Hubble είναι άμεση συνέπεια των παραπάνω. Πράγματι η ταχύτητα “γαλαξία”
στη θέση ξ κατά τη χρονική στιγμή t είναι
vp (ξ, t) =
d (dp (ξ, t))
a(t)
˙
=
dp (ξ, t) ,
dt
a(t)
(36)
ό,τι ακριβώς προβλέπει ο Νόμος του Hubble. Μάλιστα, έχουμε και για τη σταθερά του Hubble
την έκφραση
a(t)
˙
H(t) ≡
(37)
a(t)
συναρτήσει του “παράγοντα κλίμακας” a(t).
6
4.2
Απόσταση συναρτήσει της ερυθρόπησης z .
H ερυθρόπηση ορίζεται με βάση την αλλαγή στο μήκος κύματος φωτός, που εκπέμπεται από
το σημείο ξem τη στιγμή tem και ανιχνεύεται από εμάς ξ = 0 τη στιγμή t0 . Οπως γνωρίζετε, η
εξίσωση κίνησης του φωτός είναι
ds = 0
(38)
ή, ισοδύναμα dl = ± c dt, ήτοι
c dt = ±R0 a(t) √
dξ
1 − k ξ2
Για τη συγκεκριμμένη φωτεινή ακτίνα έχω 2
∫ ξem
∫ tem
dξ
c dt
R0
= dp (ξem , t0 ) = −
,
1/2
2
a(t)
(1 − kξ )
0
t0
(39)
(40)
ή, συνδυάζοντας με την (35) συμπεραίνω οτι η απόσταση του σημείου ξem της εκπομπής κατά τη
χρονική στιγμή t0 της ανίχνευσης δίνεται από το ολοκλήρωμα πάνω στο παράγοντα κλίμακας a
(η a = a(t) δίνει μονοσήμαντα t = t(a))
∫ aem
c da
dp (ξem , t0 ) = −
(41)
2
a H(a)
1
Το περιεχόμενο της εξίσωσης (40) είναι πολύ σημαντικό. Από τη μια μας λέει οτι τη χρονική
στιγμή t0 φτάνουν σε εμάς φωτεινά σήματα, που έφυγαν από τη θέση ξem τη χρονική στιγμή tem .
Η θέση ξem και ο χρόνος εκπομπής tem των σημάτων που φτάνουν στη θέση ξ = 0 τη στιγμή t0
συνδέονται με τη σχέση (40). Η ίδια σχέση μας δίνει επίσης και την ιδιοαπόσταση του σημείου
εκπομπής ξem τη στιγμή που το σήμα (που ξεκίνησε από εκεί) φτάνει σε εμάς.
4.2.1
Κοσμολογική ερυθρόπηση
Η εξίσωση (40) συνεπάγεται και το φαινόμενο της Κοσμολογικής Ερυθρόπησης, δηλαδή της
αλλαγής της συχνότητας ενός σήματος συνεπεία της διαστολής του Σύμπαντος.
Θεωρείστε δύο παρατηρητές σε δύο διαφορετικούς “γαλαξίες”, τον Α στη θέση ξA = 0 και
τον Β στη θέση ξ = ξB . Φανταστείτε ακόμα οτι ο Β στέλνει σήματα με συχνότητα ωem προς τον
Α. Εστω οτι το σήμα που έφυγε από τον Β τη στιγμή tem έφτασε στον Α τη στιγμή t0 και το σήμα
που έφυγε από τον Β λίγο αργότερα tem + δtem έφτασε στον Α επίσης λίγο αργότερα t0 + δt0 .
Και για τα δύο αυτά σήματα ισχύει η (40), δηλαδή
∫ ξB
∫ tem
∫ tem +δtem
c dt
c dt
dξ
= dp (ξB , t0 ) = −
= −
,
(42)
R0
1/2
2
a(t)
a(t)
(1 − kξ )
t0
t0 +δt0
0
από την οποία για μικρά δt προκύπτει
δt0
δtem
=
.
a(t0 )
a(tem )
(43)
Εστω ότι τα δύο σήματα αντιστοιχούν σε δύο διαδοχικά μέγιστα του εκπεμπόμενου κύματος.
Τότε, τα χρονικά διαστήματα δtem και δt0 είναι οι περίοδοι Tem = 2π/ωem = λem /c και T0 =
2π/ω0 = λ0 /c του κύματος κατά την εκπομπή και την ανίχνευση, αντίστοιχα. Οπότε
ω0
λem
a(tem )
=
=
.
ωem
λ0
a(t0 )
2
(44)
ΑΣΚΗΣΗ: Θεωρείστε σύμπαν με k = 0 και a(t) = (t/t0 )1/2 . Φωτεινό σήμα εκπέμπεται τη στιγμή tem από τη
θέση ξem με κατεύθυνση ακτινικά προς εμάς ξ = 0. (α) Βρείτε την εξίσωση της τροχιάς ξ = ξ(t) του σήματος. (β)
Βρείτε ποιά χρονική στιγμή trec θα φτάσει το σήμα σε εμάς. (γ) Υπολογίστε την απόσταση dp (ξ, t) στο σύμπαν αυτό.
(δ) Υπολογίστε τα παραπάνω για ένα στατικό σύμπαν a(t) = 1 και σχολιάστε τα αποτελέσματά σας.
7
Το μήκος κύματος του φωτός, δηλαδή της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας που υπάρχει στο
Σύμπαν, ακολουθεί τη κοσμική διαστολή !! 3 Μεγαλώνει με τον ίδιο ρυθμό που διαστέλλεται το
Σύμπαν.
Εχουμε ορίσει την ερυθρόπηση z από τη σχέση
z≡
λrec − λem
.
λem
(45)
Χρησιμοποιώντας τον τύπο της κοσμολογικής ερυθρόπησης γράφουμε
λrec
a(trec )
=
,
λem
a(tem )
και επομένως
1 + z(tem , t0 ) =
1
.
a(tem )
(46)
(47)
Το φώς που φτάνει σε εμάς σήμερα, έχει εκπεμφθεί σε διάφορες χρονικές στιγμές t στο παρελθόν από αντίστοιχα σημεία 4 . Η ερυθρόπηση z(t, t0 ) δίνεται από την παραπάνω σχέση και
είναι, για μονότονη συνάρτηση a(t), σε 1-1 αντιστοιχία με τον παράγοντα a(t), που, όπως έχουμε
πεί, είναι σε 1-1 αντιστοιχία με το χρόνο t 5 . Για διαστελλόμενο σύμπαν μικρότερα t αντιστοιχούν σε μικρότερα a και επομένως σε μεγαλύτερα z . Σήματα που λαμβάνουμε σήμερα και που
έχουν εκπεμφθεί την εποχή που το Σύμπαν είχε 1000 φορές μικρότερο μέγεθος, έχουν z = 999.
Επίσης, το μήκος κύματός τους θα είναι 1000 φορές μεγαλύτερο από αυτό που είχαν τη στιγμή
της εκπομπής.
Οπότε, με αλλαγή μεταβλητής ολοκλήρωσης στην (41) από a σε z παίρνω
∫ z
c dz ′
dp (z) =
(48)
′
0 H(z )
4.3
H απόσταση dL
Μιά άλλη χρήσιμη ποσότητα στην αστρονομία είναι η απόσταση dL μιας φωτεινής πηγής,
που ορίζεται με βάση άμεσα παρατηρήσιμες ποσότητες, ήτοι τη λαμπρότητά της πηγής L και
την ενέργεια f από αυτήν, που φτάνει σε εμάς ανά μονάδα χρόνου και επιφάνειας, δίνεται από
τη σχέση:
L
(49)
f≡
4πd2L
Η ενέργεια της ακτινοβολίας που φτάνει σε εμάς ανά μονάδα χρόνου σχετίζεται με την ενέργειά
της ανά μονάδα χρόνου στη πηγή ως εξής (θεωρείστε την ενέργεια ενός φωτονίου):
Ομως, ισχύει
~ω0
~ωem ω0 ∆tem
=
∆t0
∆tem ωem ∆t0
(50)
ωem
λ0
1
=
=
=1+z
ω0
λem
a(tem )
(51)
και όπως είπαμε στη συζήτηση για την βαρυτική ερυθρόπηση αυτό οφείλεται στο οτι ο χρόνος
κυλάει με διαφορετικούς ρυθμούς στον εκπομπό και στο δέκτη, ήτοι ισχύει επίσης
∆tem
1
=
.
∆t0
1+z
(52)
3
Το αυτό ισχύει και για το μήκος κύματος της βαρυτικής ακτινοβολίας, για την οποία επίσης ισχύει η σχέση ds = 0.
Θυμηθείτε ότι τα βαρυτόνια έχουν, όπως και τα φωτόνια, μηδενική μάζα.
4
ΑΣΚΗΣΗ: Θεωρείστε ένα σύμπαν με a(t) = (t/t0 )ν , ν < 1. Δείξτε οτι μέχρι τη στιγμή t0 δεν έχουν φτάσει σε
εμάς σήματα από γαλαξίες που έχουν ξ > ξH = c t0 / (1 − ν) R0 . Ισοδύναμα, το ξH είναι το όριο του χώρου με τον
οποίο έχουμε έλθει σε επικοινωνία μέχρι τη χρονική στιγμή t0 (ορίζοντας). Τί συμπεραίνετε για σύμπαντα με ν > 1;
5
ΑΣΚΗΣΗ: Για το σύμπαν με a(t) = (t/t0 )ν υπολογίστε (α) το H(t), (β) το H(a) και (γ) το H(z).
8
Αρα τελικά
ω0
ωem
=
(1 + z)−2 .
∆t0
∆tem
(53)
Οπότε, έστω ότι κάποια πηγή εκπέμπει φωτόνια συχνότητας ωem σε χρόνο ∆tem . Η λαμπρότητά
της L ισούται προς L = N ~ωem /∆tem . Tα φωτόνια αυτά φτάνουν σε εμάς με συχνότητα ω0 και
σε χρονικό διάστημα ∆t0 . Η ενέργεια f που φτάνει σε εμάς ανά μονάδα χρόνου και επιφάνειας
είναι f = N ~ω0 /(∆t0 4πd2p ). Επομένως, με βάση τον ορισμό της dL έχουμε
f=
N ~ω0 1
N ~ωem 1
=
∆t0 4πd2p
∆tem 4πd2L
(54)
και, χρησιμοποιώντας την (53) συμπεραίνω ότι
dL = dp (1 + z) .
4.4
(55)
Ορίζοντας σώματος (particle horizon)
Ερώτηση: Ποιά είναι η μέγιστη απόσταση με την οποία έχουμε επικοινωνήσει μέχρι σήμερα;
Η μέγιστη απόσταση από την οποία είναι δυνατό να έχουμε πάρει σήμα σήμερα δίνεται απο
τη σχέση (40) βάζοντας tem = 0, δηλαδή τη στιγμή της “Δημιουργίας” του Σύμπαντος. Οπότε
παίρνουμε
∫ tem =0
∫ t0
c dt
c dt
=
.
(56)
dp (ξmax , t0 ) = −
a(t)
t0
0 a(t)
Παραδείγματα: Αν πάρω a(t) = (t/t0 )1/2 (η περίπτωση φωτοκρατίας στο αρχικό Σύμπαν),
έχουμε
∫ t0
1/2
dp (ξmax , t0 ) = c t0
dt t−1/2 = 2 c t0 .
(57)
0
Αντίστοιχα, αν πάρω a(t) =
et/t0 −1
(η περίπτωση πληθωρισμού στο αρχικό Σύμπαν), έχουμε
dp (ξmax , t0 ) = (e − 1) c t0 .
4.5
(58)
Ορίζοντας γεγονότων (event horizon)
Ερώτηση: Υπάρχουν περιοχές του Σύμπαντος με τις οποίες ΔΕΝ θα επικοινωνήσω, ακόμα
και αν περιμένω άπειρο 6 χρόνο; Φανταστείτε οτι σήμερα t = t0 εκπέμπουμε από τη θέση μας ξ =
0 ένα “φωτεινό” σήμα. Σε άπειρο χρόνο το σήμα αυτό θα έχει φτάσει σε τιμή της συντεταγμένης
ξ = ξH τέτοια που να ισχύει η σχέση
∫ ξH
∫ ∞
dξ
c dt
√
R0
=
.
(59)
1 − kξ 2
0
t0 a(t)
Αν το ολοκλήρωμα αυτό είναι πεπερασμένο, τότε ΔΕΝ υπάρχει δυνατότητα επικοινωνίας
με σημεία ξ πέραν αυτής της μέγιστης τιμής ξH . Αρα όλο το τμήμα του Σύμπαντος με ξ > ξH δεν
θα λάβει ποτέ σήμα από εμάς. Η τιμή ξ = ξH είναι ο ορίζοντας γεγονότων του Σύμπαντος.
Παράδειγμα: Ο χωρόχρονος de Sitter έχει a(t) = et/t0 −1 . Εκτός από τον ορίζοντα σώματος
που είδαμε παραπάνω, ο χωρόχρονος αυτός έχει και ορίζοντα γεγονότων. Πράγματι,
∫ ∞
∫ ∞
c dt
dt
= ce
= c t0 ,
(60)
t/t
0
t0 a(t)
t0 e
από την οποία σε συνδυασμό με την (59) παίρνουμε, παραδείγματος χάριν για k = 0, ξH =
c t0 /R0 .
6
Αν το Σύμπαν έχει την ιδιότητα να ξανασυστέλλεται και να επιστρέφει σε μηδενική ακτίνα μετά από χρόνο Τ,
τότε το ερώτημα αυτό έχει νόημα για χρόνο Τ και όχι άπειρο.
9

κοσμογραφια

Τσιριντάνης

pdf/5MB

Παρατηρησιακά χαρακτηριστικά αστέρων Α. Πόσο μακρυά

B1 Εθισμός στο διαδίκτυο