null

ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22
ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ∆ΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ
ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΟ ∆Ι∆ΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ
ΣΤΙΣ ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ
(DRAFT)
Νικόλαος ∆ηµητρίου
∆ρ.Ηλεκτρολόγος Μηχανικός
ΣΕΠ, ΘΕ ΠΛΗ 22
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
2 από 75
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.................................................................................................................................................... 4
1
ΣΧΕ∆ΙΑΣΗ ΚΥΜΑΤΟΜΟΡΦΗΣ ΣΤΟ ΠΕ∆ΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΕΙΤΕ ΤΟΥ ΦΑΣΜΑΤΟΣ ΣΤΟ
ΠΕ∆ΙΟ ΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ..................................................................................................................... 5
1.1
ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΊΑ ............................................................................................................................... 5
1.2
ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ .............................................................................................................................. 6
1.2.1 ΘΕΜΑ 1 ΓΕ10506 ..................................................................................................................... 6
2
ΠΕΡΙΟ∆ΙΚΟΤΗΤΑ............................................................................................................................ 11
2.1
ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΙΑ ............................................................................................................................. 11
2.2
ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ ............................................................................................................................ 13
2.2.1 ΘΕΜΑ 6 ΓΕ1 0708 .................................................................................................................. 13
2.2.2 ΘΕΜΑ 1 ΓΕ10304 ................................................................................................................... 16
2.2.3 Θέµα 1 ΓΕ10405 ...................................................................................................................... 18
2.2.4 ΘΕΜΑ 6 ΓΕ10607 ................................................................................................................... 19
3
ΕΝΑΛΛΑΓΗ ΜΕΤΑΞΥ ΠΕ∆ΙΩΝ ΧΡΟΝΟΥ & ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ. ............................................... 21
3.1
ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΙΑ ............................................................................................................................. 21
3.1.1 Ενδεικτικά µη περιοδικά σήµατα:............................................................................................. 22
3.2
ΠΙΝΑΚΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER ...................................................................................... 26

Πίνακας Ιδιοτήτων / ΜΣ Fourier Χαρακτηριστικών Σηµάτων ..................................................... 27
3.3
ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ ............................................................................................................................ 31
3.3.1 ΘΕΜΑ 4 ΓΕ10304 ................................................................................................................... 31
3.3.2 Θέµα 3 ΓΕ1 0405 ..................................................................................................................... 33
3.3.3 Θέµα 5 ΓΕ10405 ...................................................................................................................... 35
3.3.4 ΘΕΜΑ 4 ΓΕ1 0506 .................................................................................................................. 37
3.3.5 ΘΕΜΑ 5 ΓΕ10506 ................................................................................................................... 39
3.3.6 ΘΕΜΑ 1 ΓΕ10607 ................................................................................................................... 41
3.3.7 ΘΕΜΑ 2 ΓΕ1 0607 .................................................................................................................. 42
3.3.8 ΘΕΜΑ 3 ΓΕ10607 ................................................................................................................... 44
3.3.9 ΘΕΜΑ 4 Γε10607 .................................................................................................................... 46
3.3.10
ΘΕΜΑ 6 ΓΕ5 0405 .............................................................................................................. 49
3.3.11
ΘΕΜΑ 4 ΓΕ5 0506 .............................................................................................................. 53
3.3.12
ΘΕΜΑ 3 ΓΕ10506 ............................................................................................................... 56
4
ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΌΣ ΙΣΧΎΟΣ Ή ΕΝΈΡΓΕΙΑΣ. ................................................................................ 58
4.1
ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΊΑ ............................................................................................................................. 58
4.2
ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ ............................................................................................................................ 59
4.2.1 Παράδειγµα.............................................................................................................................. 59
4.2.2 ΘΕΜΑ 6 ΓΕ1 0506 .................................................................................................................. 60
4.2.3 Θέµα 4 ΕΞ2004Α ..................................................................................................................... 61
5
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ: ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΗΜΑΤΩΝ ΕΙΣΟ∆ΟΥ (ΑΝ ∆ΙΝΕΤΑΙ ΤΟ ΣΗΜΑ
ΕΞΟ∆ΟΥ) Ή ΕΞΟ∆ΟΥ (ΑΝ ∆ΙΝΕΤΑΙ ΤΟ ΣΗΜΑ ΕΙΣΟ∆ΟΥ) ............................................................ 62
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
3 από 75
5.1.1 Βασικές Σχέσεις για Γραµµικά Χρονικά Αναλλοίωτα Συστήµατα:........................................... 62
5.1.2 Βαθυπερατά φίλτρα .................................................................................................................. 62
5.1.3 Υψιπερατά φίλτρα..................................................................................................................... 63
5.1.4 Ζωνοπερατά φίλτρα.................................................................................................................. 64
5.1.5 Ζωνοφρακτικά φίλτρα .............................................................................................................. 65
5.2
ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ ............................................................................................................................ 67
5.2.1 ΘΕΜΑ 7 ΓΕ1 0506 .................................................................................................................. 67
5.2.2 ΘΕΜΑ 7 ΓΕ1 0607 .................................................................................................................. 70
5.2.3 ΘΕΜΑ 5 ΓΕ5 0506 .................................................................................................................. 72
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
4 από 75
ΕΙΣΑΓΩΓΗ
ΤΥΠΟΙ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
ΣΗΜΑΤΑ
Στην κατηγορία αυτών των ασκήσεων, δίνεται η µαθηµατική έκφραση ενός ή περισσοτέρων
σηµάτων (είτε στο πεδίο του χρόνου είτε στο πεδίο των συχνοτήτων) και µπορούν να ζητούνται
τα εξής:
•
Σχεδίαση κυµατοµορφής στο πεδίο του χρόνου είτε του φάσµατος στο πεδίο των
συχνοτήτων
•
∆ιερεύνηση περιοδικότητας
•
Μετασχηµατισµός στο πεδίο του χρόνου (αν δίνεται το φάσµα του σήµατος) ή των
συχνοτήτων (αν δίνεται η χρονική κυµατοµορφή του σήµατος).
•
Υπολογισµός ισχύος ή ενέργειας.
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
Στην κατηγορία αυτών των ασκήσεων δίνεται ένα σύστηµα και κάποια σήµατα στην είσοδο ή
την έξοδο του συστήµατος και µπορούν να ζητούνται τα εξής:
•
Υπολογισµός σηµάτων εισόδου (αν δίνεται το σήµα εξόδου) ή εξόδου (αν δίνεται το
σήµα εισόδου)
•
Υπολογισµός της κρουστικής απόκρισης (στο πεδίο του χρόνου) ή της συνάρτησης
µεταφοράς (στο πεδίο των συχνοτήτων) του συστήµατος.
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
1
5 από 75
ΣΧΕ∆ΙΑΣΗ ΚΥΜΑΤΟΜΟΡΦΗΣ ΣΤΟ ΠΕ∆ΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΕΙΤΕ ΤΟΥ
ΦΑΣΜΑΤΟΣ ΣΤΟ ΠΕ∆ΙΟ ΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ
1.1
Μεθοδολογία
•
Βήµα 1. Εφόσον δίνεται το σήµα στο πεδίο του χρόνου: ∆ιερεύνηση εάν το σήµα είναι
περιορισµένης ή άπειρης διαρκείας
•
Βήµα 2. Εφόσον δίνεται το σήµα στο πεδίο των συχνοτήτων: ∆ιερεύνηση εάν το σήµα
είναι περιορισµένου ή άπειρου εύρους ζώνης
•
Βήµα 3.Ανεξαρτήτως πεδίων (χρόνου ή συχνοτήτων): ∆ιερεύνηση εάν η έκφραση του
σήµατος περιέχει σηµεία ασυνεχείας. Αυτά τα σηµεία οριοθετούν υποδιαστήµατα στα οποία
αντιστοιχεί διαφορετική έκφραση για το σήµα.
•
Βήµα 4. Για κάθε υποδιάστηµα υπολογισµός της αντίστοιχης έκφρασης του σήµατος.
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
6 από 75
1.2
Παραδείγµατα
1.2.1
ΘΕΜΑ 1 ΓΕ10506
Να σχεδιασθούν τα παρακάτω σήµατα
α. x(t)=2u(t+1)-3u(t-1)+u(t-2)
β. y(t)=u(3t+2)-2u(3-t)
γ. z(t)=u(t+2)-u(t-1)
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
α. x(t ) = 2u ( t + 1) - 3u ( t -1) + u ( t - 2 )
•
Βήµα 1. Εφόσον δίνεται το σήµα στο πεδίο του χρόνου: ∆ιερεύνηση εάν το σήµα είναι
περιορισµένης ή άπειρης διαρκείας
Το σήµα περιγράφεται στο πεδίο του χρόνου t. Είναι γραµµικός συνδυασµός µοναδιαίων
βηµατικών συναρτήσεων. Η µοναδιαία βηµατική συνάρτηση έχει τη µορφή:
⎧0, οταν t < t0
u ( t − t0 ) = ⎨
⎩1, οταν t > t0
και παριστάνεται γραφικά ως εξής:
u ( x −0x)0 )
u(t-t
1
x0
t0
t
x
Η µοναδιαία βηµατική συνάρτηση εξ ορισµού έχει άπειρη διάρκεια, όµως οι πράξεις µεταξύ
πολλών βηµατικών συναρτήσεων µπορεί να οδηγήσει σε σήµα περιορισµένης διάρκειας. Αυτό
θα φανεί στο βήµα 3.
•
Βήµα 2. Εφόσον δίνεται το σήµα στο πεδίο των συχνοτήτων: ∆ιερεύνηση εάν το σήµα
είναι περιορισµένου ή άπειρου εύρους ζώνης
Η άσκηση δίνει την έκφραση του σήµατος στο πεδίο του χρόνου και όχι των συχνοτήτων.
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
7 από 75
•
Βήµα 3.Ανεξαρτήτως πεδίων (χρόνου ή συχνοτήτων): ∆ιερεύνηση εάν η έκφραση του
σήµατος περιέχει σηµεία ασυνέχειας. Αυτά τα σηµεία οριοθετούν υποδιαστήµατα στα οποία
αντιστοιχεί διαφορετική έκφραση για το σήµα.
Αναζητούµε τα σηµεία ασυνέχειας του x(t ) = 2u ( t + 1) - 3u ( t -1) + u ( t - 2 )
Κάθε όρος του αθροίσµατος περιέχει ένα σηµείο ασυνέχειας (ΠΡΟΣΟΧΗ! Για τον κάθε όρο του
αθροίσµατος συµπεριλαµβάνουµε το πρόσηµο και τον πολλαπλασιαστικό συντελεστή του (αν
υπάρχει).
⎧2, όταν t > -1
2u (t + 1) = ⎨
άρα σηµείο ασυνέχειας είναι το t = −1
⎩0, όταν t < -1
⎧−3, όταν t > 1
−3u (t − 1) = ⎨
άρα σηµείο ασυνέχειας είναι το t = 1
⎩0, όταν t < 1
⎧1, όταν t > 2
άρα σηµείο ασυνέχειας είναι το t = 2
u (t − 2) = ⎨
⎩0, όταν t < 2
•
Βήµα 4. Για κάθε υποδιάστηµα υπολογισµός της αντίστοιχηςέκφρασης του σήµατος.
Κάτω από έναν άξονα µε τα σηµεία ασυνέχειας καταστρώνουµε τον εξής πίνακα (η τελευταία
γραµµή περιλαµβάνει το άθροισµα των προηγουµένων ανά στήλη):
-οο
-1
1
2
+οο
0
2
2
2
2u ( t + 1)
−3u ( t − 1)
0
0
-3
-3
u (t − 2)
0
0
0
1
x (t )
0
2
-1
0
Άρα το ζητούµενο σχήµα απεικονίζεται παρακάτω:
x(t)
2
1
-2
-1 0
1
2
t
-1
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
8 από 75
β. y ( t ) = u ( 3t + 2 ) - 2u ( 3 - t )
•
Βήµα 1. Εφόσον δίνεται το σήµα στο πεδίο του χρόνου: ∆ιερεύνηση εάν το σήµα είναι
περιορισµένης ή άπειρης διαρκείας
Όµοια µε το Βήµα 1 του ερωτήµατος α .
•
Βήµα 2. Εφόσον δίνεται το σήµα στο πεδίο των συχνοτήτων: ∆ιερεύνηση εάν το σήµα
είναι περιορισµένου ή άπειρου εύρους ζώνης
Όµοια µε το Βήµα 2 του ερωτήµατος α .
•
Βήµα 3.Ανεξαρτήτως πεδίων (χρόνου ή συχνοτήτων): ∆ιερεύνηση εάν η έκφραση του
σήµατος περιέχει σηµεία ασυνέχειας. Αυτά τα σηµεία οριοθετούν υποδιαστήµατα στα οποία
αντιστοιχεί διαφορετική έκφραση για το σήµα.
Αναζητούµε τα σηµεία ασυνεχείας του y ( t ) = u ( 3t + 2 ) - 2u ( 3 - t )
Κάθε όρος του αθροίσµατος περιέχει ένα σηµείο ασυνέχειας (ΠΡΟΣΟΧΗ! Για τον κάθε όρο του
αθροίσµατος συµπεριλαµβάνουµε το πρόσηµο και τον πολλαπλασιαστικό συντελεστή του (αν
υπάρχει).
2
⎧
⎪⎪1, όταν 3t + 2 > 0 ⇒ t > − 3
2
άρα σηµείο ασυνέχειας είναι το t = − .
u ( 3t + 2 ) = ⎨
3
⎪0, όταν 3t + 2 < 0 ⇒ t < − 2
⎪⎩
3
⎧−2, όταν 3-t > 0 ⇒ t < 3
-2u ( 3 - t ) = ⎨
άρα σηµείο ασυνέχειας είναι το t = 3
⎩0, όταν 3-t < 0 ⇒ t > 3
•
Βήµα 4. Για κάθε υποδιάστηµα υπολογισµός της αντίστοιχης έκφρασης του σήµατος.
Κάτω από έναν άξονα µε τα σηµεία ασυνέχειας καταστρώνουµε τον εξής πίνακα(η τελευταία
γραµµή περιλαµβάνει το άθροισµα των προηγουµένων ανά στήλη):
-οο
-2/3
3
+οο
0
1
1
u ( 3t + 2 )
-2u ( 3 - t )
-2
-2
0
x (t )
-2
-1
1
Άρα το ζητούµενο σχήµα απεικονίζεται παρακάτω:
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
9 από 75
ΣΗΜΑ 2
2
1
0
-2/3
1
2
3
-1
-2
γ. z ( t ) = u ( t + 2 ) - u ( t -1)
•
Βήµα 1. Εφόσον δίνεται το σήµα στο πεδίο του χρόνου: ∆ιερεύνηση εάν το σήµα είναι
περιορισµένης ή άπειρης διαρκείας
Όµοια µε το Βήµα 1 του ερωτήµατος α .
•
Βήµα 2. Εφόσον δίνεται το σήµα στο πεδίο των συχνοτήτων: ∆ιερεύνηση εάν το σήµα
είναι περιορισµένου ή άπειρου εύρους ζώνης
Όµοια µε το Βήµα 2 του ερωτήµατος α .
•
Βήµα 3.Ανεξαρτήτως πεδίων (χρόνου ή συχνοτήτων): ∆ιερεύνηση εάν η έκφραση του
σήµατος περιέχει σηµεία ασυνεχείας. Αυτά τα σηµεία οριοθετούν υποδιαστήµατα στα οποία
αντιστοιχεί διαφορετική έκφραση για το σήµα.
Αναζητούµε τα σηµεία ασυνέχειας του z ( t ) = u ( t + 2 ) - u ( t -1)
Κάθε όρος του αθροίσµατος περιέχει ένα σηµείο ασυνέχειας (ΠΡΟΣΟΧΗ! Για τον κάθε όρο του
αθροίσµατος συµπεριλαµβάνουµε το πρόσηµο και τον πολλαπλασιαστικό συντελεστή του (αν
υπάρχει).
⎧1, όταν t + 2 > 0 ⇒ t > −2
u (t + 2) = ⎨
άρα σηµείο ασυνέχειας είναι το t = −2 .
⎩0, όταν t + 2 < 0 ⇒ t < −2
⎧−1, όταν t − 1 > 0 ⇒ t > 1
-u ( t − 1) = ⎨
άρα σηµείο ασυνέχειας είναι το t = 1
⎩0, όταν t − 1 < 0 ⇒ t < 1
•
Βήµα 4. Για κάθε υποδιάστηµα υπολογισµός της αντίστοιχης έκφρασης του σήµατος.
Κάτω από έναν άξονα µε τα σηµεία ασυνέχειας καταστρώνουµε τον εξής πίνακα(η τελευταία
γραµµή περιλαµβάνει το άθροισµα των προηγουµένων ανά στήλη):
-οο
-2
1
+οο
0
1
1
u (t + 2)
-u ( t − 1)
0
0
-1
x (t )
0
1
0
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
Άρα το ζητούµενο σχήµα απεικονίζεται παρακάτω:
ΣΗΜΑ 3
2
1
0
-2
-1
1
2
3
-1
-2
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
10 από 75
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
2
11 από 75
ΠΕΡΙΟ∆ΙΚΟΤΗΤΑ
2.1
Μεθοδολογία
Υπολογισµός περιόδου (συν)ηµιτονικού σήµατος
Αναζητείται θετικό T ∈ \*+ τέτοιο ώστε να ισχύει, ∀ t ∈ \ :
x ( t + T ) = x ( t ) ⇔ A ⋅ cos ( 2π f ( t + T ) + θ ) = A ⋅ cos ( 2π ft + θ ) ⇔
⇔ cos ( 2π ft + 2π fT + θ ) = cos ( 2π ft + θ ) ⇔
⇔ 2π ft + 2π fT + θ = 2π ft + θ + 2kπ , k = 0,1,...
Άρα,
2π fT = 2kπ ⇔ T =
k
, k = 0,1,...
f
Η θεµελιώδης περίοδος λαµβάνεται για k=1 και ισούται µε T =
1
2π
2π
=
=
ω
f 2π f
Περιοδικότητα αθροίσµατος σηµάτων
Το σήµα που αποτελείται από το άθροισµα δύο περιοδικών σηµάτων µε περιόδους Τ1, Τ2 θα
είναι περιοδικό εάν :
∃ m1 , m2 ∈ `* τέτοιοι ώστε:
m1Τ1 = m2 Τ2 ⇔
Τ1 m2
=
∈ _ (µη αναγόµενο κλάσµα στο οποίο έχουν γίνει
Τ2 m1
όλες οι δυνατές απλοποιήσεις)
∆ηλαδή θα πρέπει ο λόγος των δύο περιόδων να είναι ρητός αριθµός.
Η περίοδος του συνολικού σήµατος θα ισούται µε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) των
δύο περιόδων των συνιστωσών σηµάτων, δηλαδή:
T = m1T1 = m2T2
Γενίκευση:
Το σήµα που αποτελείται από το άθροισµα Ν περιοδικών σηµάτων µε περιόδους Τ1, Τ2, ..., ΤΝ
θα είναι περιοδικό εάν :
∃ m1 , m2 ,..., mN ∈ `* τέτοιοι ώστε:
m1Τ1 = m2 Τ2 = ... = mN TN
Η περίοδος του συνολικού σήµατος θα ισούται µε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των περιόδων
των συνιστωσών σηµάτων, δηλαδή:
T = m1Τ1 = m2 Τ2 = ... = mN TN
Μεθοδολογία
•
Περίπτωση 1. Εφόσον δίνεται ένα σήµα (όχι άθροισµα ή γινόµενο), γίνεται διερεύνηση
εάν αυτό είναι περιοδικό, δηλ. αν ισχύει ότι υπάρχει θετικό T ∈ \*+ τέτοιο ώστε ∀ t ∈ \
x ( t + kT ) = x ( t ) k = 1, 2,...
Προσοχή! Το σήµα στο πεδίο του χρόνου πρέπει να είναι άπειρης διαρκείας ώστε να ισχύει η
περιοδικότητα ∀ t ∈ \ .
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
12 από 75
•
Περίπτωση 2: Εφόσον δίνεται άθροισµα σηµάτων, γίνεται για καθένα από τα επιµέρους
σήµατα η διερεύνηση που περιγράφεται στην Περίπτωση 1. Αν όλα τα επιµέρους σήµατα είναι
περιοδικά, στη συνέχεια γίνεται διερεύνηση αν ισχύει η παραπάνω συνθήκη περιοδικότητας
αθροίσµατος περιοδικών.
•
Περίπτωση 3: Εφόσον δίνεται γινόµενο σηµάτων, µε κατάλληλες πράξεις µετατρέπεται
το γινόµενο σε ένα ισοδύναµο σήµα (π.χ. γινόµενο σήµατος µε παλµό στο πεδίο του χρόνου) ή
σε άθροισµα σηµάτων (π.χ. µε χρήση τριγωνοµετρικών ταυτοτήτων), οπότε ακολουθείται η
διαδικασία της περίπτωσης 1 ή της περίπτωσης 2 αντίστοιχα.
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
2.2
13 από 75
Παραδείγµατα
2.2.1
ΘΕΜΑ 6 ΓΕ1 0708
∆ίνονται τα εξής σήµατα:
x1 ( t ) = 10 ⋅ cos ( 2π f1t )
x2 ( t ) = 16 ⋅ cos ( 2π f 2t )
x3 ( t ) = 8 ⋅ sin ( 2π f 3t )
όπου f1 = 10kHz, f 2 = 2kHz, f 3 = 4kHz .
(α) Να βρεθεί η περίοδος και η συχνότητα του σήµατος: y1 ( t ) = x1 ( t ) ⋅ x2 ( t ) + ⎡⎣ x3 ( t ) ⎤⎦
2
(β) Να διερευνηθεί αν είναι περιοδικά τα παρακάτω σήµατα και, αν είναι, να βρεθεί η περίοδός
τους (προτείνεται να σχεδιάσετε πρόχειρα τις κυµατοµορφές των σηµάτων)
(i) y2 ( t ) = x2 ( t ) ⋅ ⎣⎡u ( t − t0 ) + u ( −t − t0 ) ⎦⎤ , όπου t0 = 1sec
⎛t⎞
⎟ και y4 ( t ) =
⎝π ⎠
(ii) y3 ( t ) = x3 ⎜
⎛t⎞
x3 ⎜ ⎟
⎝π ⎠
Υπόδειξη
⎧1, όταν t − t0 > 0
⎩0, όταν t − t0 < 0
Υπενθυµίζεται ότι u ( t − t0 ) = ⎨
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
(α)
Το ερώτηµα ανήκει στην Περίπτωση 3:
Είναι
y1 ( t ) = x1 ( t ) ⋅ x2 ( t ) + ⎡⎣ x3 ( t ) ⎤⎦ ⇔
2
⇔ y1 ( t ) = 10 ⋅ cos ( 2π f1t ) ⋅16 ⋅ cos ( 2π f 2t ) + ⎡⎣8 ⋅ sin ( 2π f3t ) ⎤⎦ =
2
⎡ cos ( 2π ( f1 + f 2 ) t ) + cos ( 2π ( f1 − f 2 ) t ) ⎤
= 160 ⎢
⎥+
2
⎢⎣
⎥⎦
+64 ⋅ sin 2 ( 2π f 3t ) = 80 ⋅ ⎡⎣ cos ( 2π ( f1 + f 2 ) t ) + cos ( 2π ( f1 − f 2 ) t ) ⎤⎦ +
+64 ⋅
1 − cos ( 2π ( 2 f3 ) t )
2
=
= 80 ⋅ ⎡⎣cos ( 2π (12kHz ) t ) + cos ( 2π ( 8kHz ) t ) ⎤⎦ + 32 − 32 cos ( 2π ( 8kHz ) t ) =
= 80 ⋅ cos ( 2π (12kHz ) t ) + 48 ⋅ cos ( 2π ( 8kHz ) t ) + 32
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
14 από 75
Καταλήγουµε σε ένα άθροισµα περιοδικών σηµάτων και ενός σταθερού όρου (Περίπτωση 2)
Η περίοδος του 1ου συνηµιτονικού όρου είναι (Περίπτωση 1):
T1 =
1
1
= m sec
12kHz 12
Η περίοδος του 2ου συνηµιτονικού όρου είναι(Περίπτωση 1):
T2 =
1
1
= m sec
8kHz 8
Ο λόγος τους είναι:
1
T1 12 m sec 2
=
=
1
T2
m sec 3
8
εφόσον είναι ρητός, το σήµα είναι περιοδικό µε περίοδο (Περίπτωση 3):
Tολ = 3T1 = 2T2 =
1
1
1
m sec = 0.25m sec και συχνότητα: fολ =
=
= 4kHz
4
Tολ 0.25m sec
(β)
y2 ( t ) = x2 ( t ) ⋅ ⎡⎣ u ( t − t0 ) + u ( −t − t0 ) ⎤⎦ , όπου t0 = 1sec
Το σήµα είναι µηδενικό στο διάστηµα
συνθήκη ∀t ∈ \, ∃ T ∈ \ τέτοιο ώστε
( −t0 , t0 ) οπότε δεν είναι περιοδικό
x ( t + kT ) = x ( t ) για k = 1, 2,...
αφού δεν ισχύει η
(Σηµείωση Περίπτωσης 1)
⎛t
y3 ( t ) = x3 ⎜
⎝π
t
⎞
⎛
⎟ = 8 ⋅ sin ⎜ 2π f 3
π
⎠
⎝
⎞
⎟ = 8 ⋅ sin ( 2 f 3t )
⎠
Το σήµα είναι περιοδικό µε περίοδο:
T=
2π
π
π
=
= m sec (Περίπτωση 1)
2 f 3 4k Ηz 4
y4 ( t ) =
⎛t⎞
x3 ⎜ ⎟ =
⎝π ⎠
t⎞
⎛
8 ⋅ sin ⎜ 2π f 3 ⎟ =
π⎠
⎝
8 ⋅ sin ( 2 f 3t )
Το σήµα πάλι είναι περιοδικό αλλά µε περίοδο ίση µε το ήµισυ της περιόδου του
⎛t⎞
y3 ( t ) = x3 ⎜ ⎟ , διότι παίρνει µονίµως θετικές τιµές, σε αντίθεση µε το y3 ( t ) , που
⎝π ⎠
εναλλάσσεται σε κάθε ηµιπερίοδο µεταξύ αρνητικών και θετικών τιµών.
Άρα T =
T3 π
= m sec
2 8
Παρακάτω δίνεται ένα σχήµα στο οποίο απεικονίζονται τα σήµατα y2 ( t ) , y3 ( t ) , y4 ( t )
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
16
15 από 75
y2(t)
…
…
1
-1
t
-16
8
y3(t)
…
…
t
-8
…
2.8
y4(t)
…
t
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
2.2.2
16 από 75
ΘΕΜΑ 1 ΓΕ10304
Θεωρείστε τα σήµατα
x1(t) = 4 cos 6πt + 8 cos 2 8πt,
x2(t) = cos10πt
(α) Αξιολογήστε αν τα σήµατα x1(t), x2(t), y1(t)=x1(t)*x2(t) και y2(t)=x1(t)+x2(t) είναι
περιοδικά
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
2 (α)
¾
για το x1(t) έχουµε (Περίπτωση 3):
x1(t ) = 4 cos 6πt + 8 cos 28πt = 4 cos 6πt + 8 ⋅
4 ⋅ (cos 6πt + cos16πt + 1) =
4 ⋅ (cos 2π ⋅ 3t + cos 2π ⋅ 8t + 1)
1
(1 + cos16πt ) = 4 cos 6πt + 4 ⋅ (1 + cos16πt ) =
2
(2.α.1)
Το σήµα x1(t) εκφράζεται σαν επιµέρους άθροισµα περιοδικών σηµάτων, του cos 2π ⋅ 3t µε
συχνότητα f 1 = 3 και περίοδο T 1 = 1
περίοδο T 2 = 1
f2
f1
= 1 , και του cos 2π ⋅ 8t µε συχνότητα f 2 = 8 και
3
=1 .
8
Σύµφωνα µε την άσκηση αυτοαξιολόγησης 2.1 το x1(t) είναι περιοδικό αφού ο λόγος των
περιόδων T1
1
= 3 = 8 είναι ρητός αριθµός.
3
T2 1
8
Η βασική περίοδος του x1(t) είναι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των Τ1 και Τ2 δηλαδή Τx1= 1.
¾
για το x2(t) έχουµε : (Περίπτωση 1)
x 2(t ) = cos10πt = cos 2π ⋅ 5t είναι περιοδικό σήµα µε συχνότητά f = 5 και περίοδο Tx2=1/5
¾
για το σήµα y1(t) ισχύει : (Περίπτωση 3)
y1(t ) = x1(t ) ⋅ x 2(t ) από τη (2.α.1) έχω ότι το σήµα x1(t ) = 4(cos 6πt + cos 16πt + 1)
άρα y1(t ) = 4(cos 6πt + cos 16πt + 1) ⋅ cos 10πt =
4 cos 6πt ⋅ cos10πt + 4 cos16πt ⋅ cos10πt + 4 cos10πt =
2(cos16πt + cos 4πt ) + 2(cos 26πt + cos 6πt ) + 4 cos10πt =
2 cos16πt + 2 cos 4πt + 2 cos 26πt + 2 cos 6πt + 4 cos10πt =
2(cos16πt + cos 4πt + cos 26πt + cos 6πt + 2 cos10πt )
Εξετάζουµε τα επιµέρους σήµατα. Συγκεκριµένα :
cos16πt + cos4πt µε περιόδους Τ1 και Τ2 αντίστοιχα και βασική περίοδο Τ0.
cos 16πt = cos 2π ⋅ 8t
T1 = 1
8
cos 4πt = cos 2π ⋅ 2t
1
T1 8 2 1
ο λόγος
= = =
που είναι ρητός αριθµός.
T2 1 8 4
2
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
T2 = 1
2
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
Η βασική περίοδος Τ0= ΕΚΠ(Τ1,Τ2) =
1
2
cos 26πt = cos 2π ⋅ 13t , εποµένως T 3 =
1
13
1
13
T
ο λόγος 0 = 2 =
που είναι ρητός αριθµός.
2
T3 1
13
⎛1 1 ⎞
Τ0=ΕΚΠ ⎜ , ⎟ = 1
⎝ 2 13 ⎠
1
cos 6πt = cos 2π ⋅ 3t εποµένως T 4 =
3
T 1
ο λόγος 0 = 3 που είναι ρητός.
T4 1
3
⎛ 1⎞
Τ0=ΕΚΠ ⎜1, ⎟ = 1
⎝ 3⎠
1
2 cos10πt = 2 cos 2π ⋅ 5t T 5 =
5
T 1
ο λόγος 0 = 5 που είναι ρητός.
T5 1
5
⎛1 1 1 1 1⎞
, , ⎟ =1
⎝ 8 2 13 3 5 ⎠
Η βασική περίοδος Τy1=ΕΚΠ(T1,T2,T3,T4,T5) = ΕΚΠ ⎜ , ,
Άρα το σήµα y1(t) είναι περιοδικό µε περίοδο Τy1 = 1.
¾
Για το σήµα y2(t) = x1(t) + x2(t) ισχύει :
Αφού το x1(t) είναι περιοδικό µε περίοδο Τx1 = 1,
και το x2(t) είναι περιοδικό µε περίοδο Tx2 =
1
T
1
εξετάζω το λόγο x1 = = 5
5
Tx 2 1
5
που είναι ρητός αριθµός, άρα το y2(t) είναι περιοδικό σήµα.
⎛ 1⎞
⎝ 5⎠
Η περίοδος του Ty2 είναι το Ε.Κ.Π. ⎜1, ⎟ ⇒ Ty 2 = 1
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
17 από 75
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
18 από 75
2.2.3
Θέµα 1 ΓΕ10405
Για κάθε ένα από τα παρακάτω σήµατα εξετάστε αν είναι περιοδικό και αν ναι, ποια είναι η
περίοδός του.
(α) x(t) = πcos(πt + π)
(β) x(t) = ej(-πt+π)
2
(γ) x(t) = sin (t/3)
(δ) x(t) = sin(t + π) + cos(πt)9εε
(ε) x(t) = cos(πt) sin(t/2)
(στ) x(t) = cos(2t) sin(t/2)
Λύση
(α)
Το σήµα x ( t ) = π ⋅ cos (π t + π ) αποτελείται από το γινόµενο ενός σταθερού όρου (π) κι ενός
συνηµιτονικού cos (π t + π ) δηλ. της µορφής cos (ωt + θ ) , που εξ’ορισµού είναι περιοδικό µε
περίοδο ίση µε T =
(β) Το σήµα
T=
2π
ω
=
2π
π
2π
ω
=
2π
π
= 2sec
x ( t ) = e j ( −π t +π ) είναι µιγαδικό εκθετικό της µορφής e j (ωt +θ ) µε περίοδο
= 2sec . Το πρόσηµο ‘-‘ δε λαµβάνεται υπόψη διότι σχετίζεται µε τη φορά
περιστροφής του στρεφόµενου διανύσµατος που αντιστοιχεί στην έκφραση του σήµατος, και όχι
µε την περίοδο περιστροφής του.
(γ) Είναι περιοδικό µε Τ=3π αφού sin2(t/3) = ½ - ½cos(2t/3)
(δ) Μη περιοδικό, αφού το sin(t + π) έχει περίοδο Τ=2π και το cos(πt) έχει Τ=2 και ο λόγος είναι
άρρητος (π)
(ε) Μη περιοδικό, αφού
⎛t⎞ 1
⎛t
⎞ 1 ⎛t
⎞
cos ( πt ) sin ⎜ ⎟ = sin ⎜ -πt ⎟ + sin ⎜ +πt ⎟ =
⎝2⎠ 2
⎝2 ⎠ 2 ⎝2
⎠
1
⎡⎛ 1 ⎞ ⎤ 1
⎡⎛ 1 ⎞ ⎤
= sin ⎢⎜ -π ⎟ t ⎥ + sin ⎢⎜ +π ⎟ t ⎥
2
⎣⎝ 2 ⎠ ⎦ 2
⎣⎝ 2 ⎠ ⎦
και T1 =
2π
(
1
-π )
2
και T2 =
2π
2π
(
1
+π )
2
1
1
T1 ( 2 - π ) ( 2 +π )
και ο λόγος
=
=
είναι άρρητος.
2π
1
T2
( -π )
1
2
( +π )
2
(στ) Είναι περιοδικό αφού cos(2t) sin(t/2) = ½ sin(t/2-2t) + ½ sin(t/2+2t) και Τ1=2π/(3/2) και
Τ2=2π/(5/2), και ο λόγος Τ1/Τ2=5/3. Η περίοδος είναι 4π.
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
2.2.4
19 από 75
ΘΕΜΑ 6 ΓΕ10607
⎛t⎞
⎝2⎠
∆ίνεται το σήµα s1 ( t ) = f ( 5t ) + f ⎜ ⎟ , όπου f ( x ) = cos (π x ) .
(α) Να εξεταστεί αν είναι περιοδικό και αν ναι να βρεθούν η περίοδος και η συχνότητά του.
(β) Να επαναληφθεί το ερώτηµα (α) για το σήµα
g (t ) =
s2 ( t ) = f ( −t ) + g (t 3) , όπου
d
f (t ) .
dt
⎛5 2 ⎞
t ⎟ + f (t 2)
⎝ 2 ⎠
(γ) Να επαναληφθεί το ερώτηµα (α) για το σήµα s3 ( t ) = f ⎜
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
(α)
⎛πt ⎞
⎟ ¨(Περίπτωση 3)
⎝ 2⎠
⎛t⎞
⎝2⎠
Είναι s1 ( t ) = f ( 5t ) + f ⎜ ⎟ = cos ( 5π t ) + cos ⎜
Υπολογίζουµε την περίοδο καθενός από τα επιµέρους περιοδικά σήµατα:
Για το cos ( 5π t ) η περίοδος είναι Τ1 =
2π
ω1
=
2π 2
= sec
5π 5
2π 2π
⎛πt ⎞
=
= 4 sec
⎟ η περίοδος είναι Τ 2 =
ω2 π
⎝ 2⎠
2
Για το cos ⎜
Ο λόγος των περιόδων είναι
2
Τ1
1 α
= 5=
= µε α=1,β=10 φυσικούς, άρα ρητός οπότε το
Τ2
4 10 β
σήµα s1 ( t ) είναι περιοδικό µε περίοδο Τ = βΤ1 = αΤ 2 = 4sec
Η συχνότητα του s1 ( t ) είναι το αντίστροφο της περιόδου: f =
1
= 0.25sec
T
(β)
Για το σήµα s2 ( t ) = f ( −t ) + g (t 3) , όπου g ( t ) =
d
f (t )
dt
έχουµε:
d
⎡cos(π t 3) ⎤ =
⎦
dt ⎣
(Περίπτωση 3)
⎡
⎤
= cos (π t ) − π 3 ⎣sin(π t 3) ⎦
s2 ( t ) = cos ( −π t ) +
Υπολογίζουµε την περίοδο καθενός από τα επιµέρους περιοδικά σήµατα:
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
Για το cos (π t ) η περίοδος είναι Τ1 =
2π
ω1
2π
=
= 2sec
π
Για το π 3 ⎡sin(π t 3) ⎤ η περίοδος είναι Τ 2 =
⎣
⎦
Ο λόγος των περιόδων είναι
2
Τ1
=
2
Τ2
20 από 75
2π
ω2
=
2π
2
=
sec
π 3
3
= 3 , άρρητος οπότε το σήµα s2 ( t ) δεν είναι
3
περιοδικό .
⎛5 2 ⎞
t ⎟ + f (t 2) έχουµε:
⎝ 2 ⎠
(γ) Για το σήµα s3 ( t ) = f ⎜
⎛5 2 ⎞
π t ⎟ + cos(π t 2) (Περίπτωση 3)
s3 ( t ) = cos ⎜
2
⎝
⎠
Υπολογίζουµε την περίοδο καθενός από τα επιµέρους περιοδικά σήµατα:
⎛5 2 ⎞
2π
2π
2 2
π t ⎟ η περίοδος είναι Τ1 =
=
=
sec
ω1 5 2
5
⎝ 2
⎠
π
2
Για το cos ⎜
Για το cos(π t 2) η περίοδος είναι Τ 2 =
Τ
Ο λόγος των περιόδων είναι 1 =
Τ2
2π
ω2
=
2π
= 2 sec .
π 2
2 2
5 = 2 = α µε α=2,β=5 φυσικούς, άρα ρητός οπότε το
5 β
2
σήµα s3 ( t ) είναι περιοδικό µε περίοδο Τ = βΤ1 = αΤ 2 = 2 2 sec
Η συχνότητα του s3 ( t ) είναι το αντίστροφο της περιόδου: f =
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
1
2
=
Hz
T
4
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
21 από 75
3
ΕΝΑΛΛΑΓΗ ΜΕΤΑΞΥ ΠΕ∆ΙΩΝ ΧΡΟΝΟΥ & ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ.
Στην περίπτωση αυτή, δίνεται η έκφραση ενός σήµατος στο πεδίο του χρόνου (ή στο πεδίο των
συχνοτήτων) και ζητείται η αντίστοιχη έκφρασή του στο πεδίο των συχνοτήτων (ή στο πεδίο του
χρόνου αντίστοιχα).
3.1
Μεθοδολογία
•
Περίπτωση 1η: Το σήµα αυτό µπορεί να αντιστοιχηθεί µε κάποιο από τα σήµατα των
οποίων είναι γνωστό το ζεύγος ΜΣ Fourier από πίνακες. Τότε , ξεκινάµε µε το δεδοµένο
µετασχηµατισµό Fourier και µε χρήση των γνωστών ιδιοτήτων ΜΣ Fourier (πάλι από πίνακες)
καταλήγουµε στο ζητούµενο.
•
Περίπτωση 2η: Εφόσον η άσκηση δεν επιτρέπει τη χρήση πινάκων ΜΣ Fourier, ή το
σήµα που δίνεται δεν µπορεί να αντιστοιχηθεί µε κάποιο από τα σήµατα των οποίων είναι
γνωστό το ζεύγος ΜΣ Fourier από πίνακες, τότε γίνεται η χρήση του ορισµού µε τον τύπο της
ολοκλήρωσης:
Μετάβαση από το πεδίο του χρόνου x ( t ) στο πεδίο των συχνοτήτων G ( f ) :
G( f ) =
+∞
∫ x (t ) e
− j 2π ft
dt
−∞
Μετάβαση
x (t ) =
από
+∞
∫ G( f )e
το
j 2π ft
πεδίο
των
συχνοτήτων
G ( f ) στο πεδίο του χρόνου
x (t ) :
df
−∞
•
Περίπτωση 3η : ∆ίνεται ένα περιοδικό σήµα και ζητείται το µονόπλευρο ή το
αµφίπλευρο φάσµα πλάτους του.
Έστω ότι δίνεται το περιοδικό σήµα
n
m
i =1
l =1
x ( t ) = ∑ Ci cos ( 2π fi t ) + ∑ Sl sin ( 2π fl t )
Το µονόπλευρο φάσµα πλάτους του σήµατος µπορεί να παρασταθεί γραφικά σε ένα σύστηµα
αξόνων συχνοτήτων και πλάτους, όπου σε κάθε συχνότητα f k σχεδιάζεται ένα ευθύγραµµο
τµήµα πλάτους αντίστοιχου µε τον συντελεστή Ck (αν σχεδιάζεται όρος της µορφής
Ck cos ( 2π f k t ) ) ή µε τον συντελεστή Sk (αν σχεδιάζεται όρος της µορφής S k sin ( 2π f k t ) ).
Με χρήση εξισώσεων Euler το σήµα x(t) γράφεται:
n
m
x ( t ) = ∑ Ci cos ( 2π fi t ) + ∑ Sl sin ( 2π fl t ) =
i =1
n
= ∑ Ci
i =1
e
l =1
j 2π f i t
+e
2
− j 2π f i t
m
+ ∑ Sl
l =1
e j 2 π f l t − e − j 2π f l t
2j
οπότε µπορεί να παρασταθεί γραφικά το αµφίπλευρο φάσµα πλάτους του σήµατος σε ένα
σύστηµα αξόνων συχνοτήτων και πλάτους, όπου σε κάθε συµµετρικό ζεύγος συχνοτήτων
− f k , f k σχεδιάζεται ένα ευθύγραµµο τµήµα πλάτους αντίστοιχου µε το ήµισυ του συντελεστή
e j 2π f k t + e − j 2π f k t
Ck (αν σχεδιάζεται όρος της µορφής Ck
) ή µε το ήµισυ του συντελεστή S k
2
e j 2π f k t − e − j 2 π f k t
).
(αν σχεδιάζεται όρος της µορφής S k
2j
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
22 από 75
Επίσης, το σήµα x(t) έχει ΜΣ Fourier
n
⎤
⎡1
⎤ m ⎡1
X ( f ) = ∑ Ci ⎢ (δ ( f − fi ) + δ ( f + fi ) ) ⎥ + ∑ Sl ⎢ (δ ( f − f l ) − δ ( f + fl ) ) ⎥
⎣2
⎦ l =1 ⎣ 2 j
i =1
⎦
Οπότε το φάσµα πλάτους που προκύπτει είναι παρόµοιο µε το αµφίπλευρο φάσµα πλάτους που
περιγράφηκε προηγουµένως, µε µόνη διαφορά την αντικατάσταση των ευθυγράµµων τµηµάτων
από παλµούς δ ( f − f k )
3.1.1
Ενδεικτικά µη περιοδικά σήµατα:
3.1.1.1
Ορθογώνιος ή ΤετραγωνικόςΠαλµός
Ο ορθογωνικός παλµός ορίζεται ως:
a
a
a
⎧
⎪1, όταν t − t0 < 2 δηλ. t 0 − 2 < t < t0 + 2
⎪
a
⎧
⎪
<
−
t
t
⎛ t − t0 ⎞
⎛ t − t0 ⎞ ⎪
0
⎪
Π⎜
2
⎟ = rect ⎜
⎟=⎨
⎝ a ⎠
⎝ a ⎠ ⎪0, όταν t − t > a δηλ. ⎪ ή
⎨
0
2
⎪
⎪
a
⎪
⎪t > t0 +
2
⎩
⎩⎪
,όπου a > 0
όπου
Ο παλµός αυτός παριστάνεται γραφικά ως εξής:
−xt00 ⎞
⎛ xt −
rect ⎜
⎟
⎝ a ⎠
1
a
−a
xt00 -a/2
2
xt00
+a
x0t0+a/2
2
xt
Σχήµα 3-1 Απεικόνιση Τετραγωνικού Παλµού
Προκειµένου να σχεδιαστεί ένας παλµός που αντιστοιχεί σε έναν δεδοµένο τύπο,
(
⎛ x − x0 ⎞
⎟ ώστε να προσδιοριστούν το
⎝ a ⎠
)
έστω rect f ( x ) , θα πρέπει να γραφεί στη µορφή rect ⎜
εύρος ( a ) και το κέντρο του ( x0 ) .
3.1.1.2
Τριγωνικός Παλµός
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
23 από 75
Ο τριγωνικός παλµός ορίζεται ως:
⎧
t − t0
⎪1 − a , όταν t − t0 < a δηλ. t0 − a < t < t0 + a
⎛ t − t0 ⎞
⎛ t − t0 ⎞ ⎪⎪
⎧ t < t0 − a
Λ⎜
=
tri
⎟
⎜
⎟=⎨
⎪
⎝ a ⎠
⎝ a ⎠ ⎪
0, όταν t − t0 > a δηλ. ⎨ ή
⎪
⎪
⎪⎩
⎩ t > t0 + a
,όπου a > 0
Ο παλµός αυτός παριστάνεται γραφικά ως εξής
⎛ xt −− xt00 ⎞
tri ⎜
⎟
⎝ a ⎠
1
2a
−a
xt00-a
xt00
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
+a
xt00+a
xt
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
24 από 75
Σχήµα 3-2 Απεικόνιση Τριγωνικού Παλµού
(
)
Προκειµένου να σχεδιαστεί ένας παλµός που αντιστοιχεί σε έναν δεδοµένο τύπο tri f ( x ) , θα
⎛ x − x0 ⎞
⎟ ώστε να προσδιοριστούν το εύρος (2a ) και το
⎝ a ⎠
πρέπει να γραφεί στη µορφή tri ⎜
κέντρο του ( x0 ) .
3.1.1.3
Συνάρτηση sinc
Η συνάρτηση sinc ορίζεται ως εξής:
sinc ( x ) =
sin (π x )
όπου x ∈ \ .
πx
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
3.1.1.4
25 από 75
Μοναδιαίο Βηµατικό Σήµα
Το µοναδιαίο βηµατικό σήµα ορίζεται ως εξής:
⎧0, οταν x < x0
u ( x − x0 ) = ⎨
⎩1, οταν x > x0
Η συνάρτηση ορθογωνικού παλµού µπορεί να περιγραφεί µε τη µοναδιαία βηµατική συνάρτηση
ως εξής:
a ⎞⎞
a ⎞⎞
⎛
⎛
⎛ x − x0 ⎞
⎛
⎛
rect ⎜
⎟ = u ⎜ x − ⎜ x0 − ⎟ ⎟ − u ⎜ x − ⎜ x0 + ⎟ ⎟
2 ⎠⎠
2 ⎠⎠
⎝ a ⎠
⎝
⎝
⎝
⎝
3.1.1.5
Πραγµατικό Εκθετικό σήµα
Το σήµα αυτό δίνεται από τη σχέση:
f ( x ) = c ⋅ eσ x , οπου c, σ ∈ \
3.1.1.6
Κρουστική Συνάρτηση δ(x) (Dirac)
Για την κρουστική συνάρτηση δ ( t ) ισχύουν οι εξής ιδιότητες:
•
δ ( t ) = 0, οταν t ≠ 0
•
δ ( t − t0 ) = 0, οταν t ≠ t0
•
δ ( −t ) = δ ( t )
•
δ ( at ) =
•
1
δ (t )
a
+∞
0+
−∞
0−
∫ δ ( t ) dt = ∫ δ ( t ) dt = 1
t0 +
+∞
•
∫ δ ( t − t ) dt = ∫ δ ( t − t ) dt = 1
0
0
t0 −
−∞
+∞
•
∫ f ( t ) δ ( t − t ) dt = f ( t )
0
0
−∞
•
f ( t ) δ ( t − t0 ) = f ( t0 ) δ ( t − t 0 )
•
f ( t ) * δ ( t − t0 ) = f ( t − t0 )
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
3.2
Πεδίο Χρόνου (t)
rect(t)
sinc(t)
tri(f)
sinc2(t)
Πίνακες Μετασχηµατισµών Fourier
Πεδίο Συχνότητας (f)
sinc(f)
rect(f)
sinc2(f)
tri(f)
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
26 από 75

Πίνακας Ιδιοτήτων / ΜΣ Fourier Χαρακτηριστικών Σηµάτων
ΠΙΝΑΚΑΣ A Ιδιότητες του µετασχηµατισµού Fourier.
Ιδιότητα
Πεδίο του χρόνου
Πεδίο κυκλικής συχνότητας (Ω)
∗
Συζυγία στο χρόνο
x (t)
X ∗ ( − Ω)
Πεδίο συχνότητας (f)
X ∗ (− f )
Συζυγία στη συχνότητα
x∗(− t)
X ∗ ( Ω)
X∗( f )
Ανάκλαση
x( − t )
X ( − Ω)
X (− f )
Γραµµικότητα
a x1 ( t ) + b x 2 ( t )
a X 1 ( Ω) + b X 2 ( Ω)
aX 1 ( f ) + bX 2 ( f )
Άρτιο µέρος σήµατος
Πραγµατικό
µέρος
φάσ/τος
Περιττό µέρος σήµατος
Φανταστικό
µέρος
φάσ/τος
Χρονική µετατόπιση
xe ( t ) =
1
ℜe{ X ( Ω)}
ℜe{ X ( f )}
xo ( t ) =
1
jℑm{ X ( Ω)}
jℑm{ X ( f )}
e − jΩ t0 X ( Ω)
e − j 2π ft0 X ( f )
Ολίσθηση συχνότητας
e jΩ 0 t x ( t ) = e j 2π f 0 t x ( t )
Ολοκλήρωση
∫−∞ x(τ) dτ
Πραγµατικό σήµα
2
[ x( t ) + x ( − t )]
∗
[ x( t ) − x ( − t )]
2
∗
x( t − to )
t
x( t ) = x ∗ ( t )
X (Ω − Ω0 )
1
X ( Ω ) + π X ( Ω) δ( Ω )
jΩ
X ( f − f0 )
1
1
X ( f ) + X ( f )δ ( f )
j 2π f
2
X (Ω) = X ∗ (Ω)
X ( f ) = X∗( f )
ℜe{ X ( Ω )} = ℜe{ X ( −Ω )}
ℜe{ X ( f )} = ℜe{ X ( − f )}
ℑm{ X ( Ω )} = −ℑm{ X ( −Ω )}
ℑm{ X ( f )} = −ℑm{ X ( − f )}
X ( Ω ) = X ( −Ω )
X ( f ) = X (− f )
arg { X ( Ω )} = − arg { X ( −Ω )}
arg { X ( f )} = − arg { X ( − f )}
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
28 από 75
Συνέλιξη
x ( t )∗ h( t )
X ( Ω) H ( Ω)
X ( f )H ( f )
∆ιαµόρφωση
x( t ) y( t )
⎡⎣ X ( f ) ∗ Y ( f )⎤⎦
Παραγώγιση στο
χρονικό πεδίο
dx ( t )
dt
t x( t )
1
[ X ( Ω )∗ Y ( Ω ) ]
2π
j Ω X ( Ω)
Παραγώγιση στο
πεδίο συχνοτήτων
j
dX ( Ω)
dΩ
x( a t )
1 ⎛ Ω⎞
X⎜ ⎟
|a| ⎝ a ⎠
∆υϊσµός
y( t ) = X ( t )
Y ( Ω) = 2 π x ( − Ω)
αν x ( t ) ←⎯→ X ( Ω)
F
→X(f
ή x ( t ) ←⎯
Θεώρηµα Parseval
1 dX ( f )
2π df
1
⎛ f ⎞
X⎜ ⎟
|a | ⎝ a ⎠
j
Αλλαγή κλίµακας:
F
j 2π f ⋅ X ( f )
Y ( f ) = x (− f )
)
+∞
∫−∞
x ( t ) dt
2
=
1
2π
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
∫
+∞
−∞
X ( Ω) dΩ
2
=
∫
+∞
−∞
X ( f ) df
2
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
29 από 75
ΠΙΝΑΚΑΣ B Μετασχηµατισµοί Fourier µερικών βασικών συναρτήσεων
Πεδίο του χρόνου
Πεδίο κυκλικής συχνότητας (Ω)
1
δ(t)
δ(f)
x (t ) = 1
2 π δ ( Ω)
u(t )
1
+ πδ ( Ω)
jΩ
δ(t − t 0 )
e− j Ω t0
2 π δ (Ω − Ω 0 )
e j Ω0 t
π δ (Ω − Ω 0 ) + δ (Ω + Ω 0 )
sin(Ω0 t )
+∞
∑ ak e
k =−∞
π
j
j k Ω0 t
]
[ δ (Ω − Ω ) − δ ( Ω + Ω ) ]
2π
+∞
0
0
+∞
∑ δ (t − nT )
⎛ t ⎞
⎛ t ⎞ ⎧1,| t |< T1
rect ⎜
⎟ = Π⎜
⎟=⎨
⎝ 2T1 ⎠
⎝ 2T1 ⎠ ⎩0,| t |> T1
∑ a k δ (Ω − k Ω 0 )
k =−∞
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
⎞
⎛ Ω
⎟ = Π⎜
⎠
⎝ 2W
1
⎡δ ( f − f 0 ) + δ ( f + f 0 )⎤⎦
2⎣
1
⎡δ ( f − f 0 ) − δ ( f + f 0 )⎤⎦
2j⎣
∑ a δ ( f − kf )
k =−∞
⎛ ΩT ⎞ 2 sin ( ΩT1 )
2T1 sin c ⎜ 1 ⎟ =
Ω
⎝ π ⎠
⎛ Ω
rect ⎜
⎝ 2W
e − j 2π ft0
δ ( f − f0 )
+∞
2 π +∞ ⎛
2π k⎞
⎟
δ ⎜Ω −
T k∑
T ⎠
⎝
=−∞
n =−∞
W
⎛ W t ⎞ sin (W t )
⎟=
sin c ⎜
π
πt
⎝ π ⎠
1
1
+ δ(f)
j 2π f 2
[
cos (Ω0 t )
Πεδίο συχνότητας (f)
1
⎞ ⎧1,| Ω |< W
⎟=⎨
⎠ ⎩0,| Ω |> W
k
0
1 +∞ ⎛
k⎞
δ⎜f − ⎟
∑
T k =−∞ ⎝
T⎠
2T1 sin c ( 2T1 f ) =
sin ( 2T1π f )
πf
W
⎧
1,| f |<
⎪
⎛π f ⎞
⎛π f ⎞ ⎪
2π
rect ⎜
⎟ = Π⎜
⎟=⎨
⎝W ⎠
⎝ W ⎠ ⎪0,| f |> W
⎪⎩
2π
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
⎧ |t |
⎛ t ⎞
⎛ t ⎞
⎪1 − ,| t |< T1
tri ⎜ ⎟ = Λ ⎜ ⎟ = x (t ) = ⎨ T1
⎝ T1 ⎠
⎝ T1 ⎠
⎪ 0,| t |> T
⎩
1
⎛ W ⎞ ⎛ sin (W t ) ⎞
⎟
⎜ ⎟⎜
⎝ π ⎠⎝ W t ⎠
2
e−a t u (t ), ℜe{a} > 0
t e −a t u ( t ), ℜe{a} > 0
t n −1 − a t
()
{}
(n − 1) ! e u t , ℜe a > 0
cos (Ω0 t ) u ( t )
sin(Ω0 t ) u ( t )
e −a t , ℜe{a} > 0
30 από 75
T1 sin c 2 ( fT1 )
⎛ ΩT ⎞
T1 sin c 2 ⎜ 1 ⎟
⎝ 2π ⎠
⎛ Ω
tri ⎜
⎝ 2W
⎞
⎛ Ω
⎟ = Λ⎜
⎠
⎝ 2W
⎧ |Ω|
,| Ω |< 2W
⎞ ⎪1 −
⎟ = ⎨ 2W
⎠ ⎪ 0, | Ω |> 2W
⎩
1
a + jΩ
1
(a + j Ω)2
W
⎧ |f |
⎪1 − W ,| f |< π
⎛π f ⎞
⎛π f ⎞ ⎪
π
tri ⎜
⎟ = Λ⎜
⎟=⎨
⎝W ⎠
⎝W ⎠ ⎪
W
⎪⎩ 0, | f |> π
1
a + j 2π f
1
2
( a + j 2π f )
1
(a + j Ω)
1
n
( a + j 2π f )
n
jΩ
π
δ (Ω − Ω 0 ) + δ ( Ω + Ω 0 ) + 2
2
Ω0 − Ω2
π
Ω
δ (Ω − Ω0 ) − δ(Ω + Ω0 ) + 2 0 2
2j
Ω0 − Ω
1
j 2π f
⎡⎣δ ( f − f 0 ) + δ ( f + f 0 )⎤⎦ + 2 2
4
4π f 0 − 4π 2 f 2
1
2π f
⎡⎣δ ( f − f 0 ) − δ ( f + f 0 )⎤⎦ + 2 2 0 2 2
4j
4π f 0 − 4π f
2a
a + Ω2
2a
a + 4π 2 f 2
[
]
[
2
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
]
2
3.3
Παραδείγµατα
3.3.1
ΘΕΜΑ 4 ΓΕ10304
(α) Να υπολογίσετε το µετασχηµατισµό Fourier της κάτωθι συνάρτησης
x(t)=exp(5t) όπου t<0
(β)Να υπολογίσετε το µετασχηµατισµό Fourier της συνάρτησης
⎧exp(−8t ) t > 0
⎪
g=⎨ 1
t=0
⎪ exp(8t ) t < 0
⎩
(γ)Να υπολογίσετε το µετασχηµατισµό Fourier της συνάρτησης
y(t) = cos (βt) ⋅ exp ( 10t), t < 0
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
(α) Το ερώτηµα αυτό αντιστοιχεί στο συνδυασµό των Περιπτώσεων 1 & 2
Εστω ότι το y(t)=exp(t)
Με βάση τον ορισµό του ΜΣ Fourier:
∞
F {y (t )} = ∫ e e
t
− j 2πft
−∞
0
dt = ∫ e (1− j 2πf )t dt =
−∞
1
1 − j 2πf
Με βάση την ιδιότητα αλλαγής κλίµακας θα έχουµε :
ℑ{ x (t )} = ℑ{ y (5t )} =
1
1
1
=
5 1 − j 2π f 5 − j 2π f
5
(β) ∆ίνεται ότι
⎧exp( −8t ) t > 0
⎪
g (t ) = ⎨
t=0
1
⎪ exp(8t ) t < 0
⎩
Το ερώτηµα αυτό αντιστοιχεί στο συνδυασµό των Περιπτώσεων 1 & 2
Εστω ότι το q(t)=exp(t)
Με βάση τον ορισµό του ΜΣ Fourier:
∞
F {q (t )} = ∫ e e
0
−t
− j 2πft
∞
dt = ∫ e (1+ j 2πf )t dt =
0
1
1 + j 2πf
Με βάση την ιδιότητα αλλαγής κλίµακας θα έχουµε:
ℑ{ y (t )} = ℑ{exp( −8t )} + ℑ{exp(8t )} =
(γ)∆ίνεται ότι
1
1
1
1
1
1
+
=
+
8 1 + j 2π f 8 1 − j 2π f 8 + j 4π f 8 − j 4π f
8
8
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
32 από 75
y(t) = cos (βt) ⋅ exp ( 10t), t < 0
Το ερώτηµα αυτό αντιστοιχεί στο συνδυασµό των Περιπτώσεων 1 & 2
Θέτουµε
g ( t ) = e10 t , t < 0 ⇒
⇒ g ( t ) = e −10 t , t < 0
Γνωρίζουµε ότι (από πίνακες ΜΣ Fourier)
e
−a t
F
←⎯
→
2a
, ℜe {a} > 0
a + 4π 2 f 2
2
Συνεπώς θα ισχύει ότι
g (t ) = e
−10 t
F
←⎯
→
2 ⋅ 10
20
5
=
=
= G( f )
2 2
2 2
10 + 4π f
100 + 4π f
25 + π 2 f 2
2
Επίσης, µε βάση την ιδιότητα της µετατόπισης φάσµατος θα έχουµε ότι:
y ( t ) = cos ( β t ) ⋅ g ( t ) =
β ⎞
1⎡ ⎛
β ⎞
β ⎞⎤
⎛
⎛
F
= cos ⎜ 2π
→ ⎢G ⎜ f −
t ⎟ ⋅ g ( t ) ←⎯
⎟+G⎜ f +
⎟⎥ ⇒
2
π
2
2
π
2
π
⎝
⎠
⎠
⎝
⎠⎦
⎣ ⎝
⎡
⎤
⎢
⎥
1⎢
5
5
F
⎥
⇒ y ( t ) ←⎯→
+
2
2
2⎢
β ⎞
β ⎞ ⎥
2⎛
2⎛
25
25
f
f
π
π
+
−
+
+
⎜
⎟
⎜
⎟
⎢
2π ⎠
2π ⎠ ⎥⎦
⎝
⎝
⎣
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
33 από 75
3.3.2
Θέµα 3 ΓΕ1 0405
(α) Να βρεθεί ο µετασχηµατισµός Fourier του σήµατος x(t)=u(t+a)-u(t-a)
⎧1, t > 0
u (t ) = ⎨
⎩0, t < 0
(β) Αν για το σήµα g(t) ισχύει ότι G(ω)=0, για ω > ωc , να βρεθεί για ποιές τιµές του α ισχύει
ότι
g (t ) ∗
sin ( at )
= g (t ) .
πt
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
(α)
1ος τρόπος) Με βάση τον ορισµό
X(f )=
∞
∫
x (t ) e
− jωt
a
dt =
−∞
=
∫e
−a
− j 2π ft
1
dt =
− j 2π f
a
∫ (e
) dt =
− j 2π ft '
−a
a
1
1 ⎡ − j 2π fa − j 2π f ( − a ) ⎤
⎡⎣ e − j 2π ft ⎤⎦ =
e
−e
⎦=
a
−
− j 2π f
− j 2π f ⎣
sin (π 2 fa )
1 e j 2π fa − e − j 2π fa
1
=
=
= 2a ⋅ sinc ( 2 fa )
sin ( 2π fa ) = 2a
πf
πf
π 2 fa
2j
2ος Τρόπος) Με βάση στοιχειώδη σήµατα:
Είναι,
⎛ t ⎞
x ( t ) = u ( t + a ) − u ( t − a ) = rect ⎜ ⎟
⎝ 2a ⎠
Συνεπώς, εργαζόµαστε µα βάση τος πίνακες ΜΣ Fourier:
F
rect ( t ) ←⎯
→ sinc ( f ) ⇔
⎛ t ⎞ F
⇔ x ( t ) = rect ⎜ ⎟ ←⎯
→ 2a ⋅ sinc ( 2af ) = X ( f )
⎝ 2a ⎠
(β) Από το (α) δείξαµε ότι
⎛ t ⎞ F
x ( t ) = rect ⎜ ⎟ ←⎯
→ 2a ⋅ sinc ( 2af ) = X ( f )
⎝ 2a ⎠
Με βάση την ιδιότητα του ∆υϊσµού θα ισχύει ότι
⎛−f ⎞
⎛ f ⎞
F
X ( t ) = 2a ⋅ sinc ( 2at ) ←⎯
→ x ( − f ) = rect ⎜
⎟ = rect ⎜ ⎟
⎝ 2a ⎠
⎝ 2a ⎠
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
34 από 75
Επίσης, ισχύει ότι
g (t ) ∗
sin ( at )
πt
⎛ sin ( at ) ⎞
F
←⎯
→ G ( f ) ⋅ ℑ⎜
⎟
⎝ πt ⎠
⎛
⎛ a ⎞⎞
⎜ α sin ⎜ π π t ⎟ ⎟
⎛ sin ( at ) ⎞
⎝
⎠ ⎟ = ℑ ⎛ α sinc ⎛ a t ⎞ ⎞
ℑ⎜
⎟ = ℑ⎜
⎜ ⎟⎟
⎜π
α
⎜π
⎟
⎝ π ⎠⎠
⎝
⎝ πt ⎠
π
t
⎜
⎟
π
⎝
⎠
Γνωρίζουµε ότι:
F
sinc ( t ) ←⎯
→ rect ( f ) ⇒
⎛ ⎞
⎜ f ⎟
⎛a ⎞ F 1
⇒ sinc ⎜ t ⎟ ←⎯→ rect ⎜ ⎟ ⇒
a
⎝π ⎠
⎜a⎟
π
⎝π ⎠
⎛ ⎞
⎜ f ⎟
a
⎛a ⎞ F
⇒ sinc ⎜ t ⎟ ←⎯
→ rect ⎜ ⎟
π
⎝π ⎠
⎜a⎟
⎝π ⎠
Συνεπώς έχουµε:
⎛
⎜ f
sin ( at ) F
g (t ) ∗
←⎯→ G ( f ) ⋅ rect ⎜
a
πt
⎜
⎝π
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
Προκειµένου το αποτέλεσµα του ανωτέρω γινοµένου στο πεδίο των συχνοτήτων να ταυτίζεται µε
⎛
⎜ f
rect ⎜
το φάσµα G(f) , θα πρέπει ο τετραγωνικός παλµός
a
⎜
⎝π
το εύρος του φάσµατος του σήµατος, δηλ.
a
π
≥ 2 f c ⇒ a ≥ 2π f c
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
⎞
⎟
⎟ να έχει εύρος µεγαλύτερο ή ίσο µε
⎟
⎠
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
35 από 75
3.3.3
Θέµα 5 ΓΕ10405
(α) Να αποδειχθεί η παρακάτω ιδιότητα της συµµετρικότητας του µετασχηµατισµού Fourier
x1 ( t ) ↔ X 1 ( f ) => X 1 ( t ) ↔ x1 ( − f )
(β) Να βρεθεί το σήµα x(t) στο πεδίο του χρόνου λαµβάνοντας υπόψιν ότι ο µετασχηµατισµός
Fourier του σήµατος x(t) [X(f)] φαίνεται στο παρακάτω σχήµα
(γ) Να δείξετε ότι το σήµα x(t) προκύπτει από τη συνέλιξη ενός τετραγωνικού παλµού µε τον
εαυτό του.
X(f)
1
-a
a
f
Λύση
(α) Εφαρµόζοντας τον τύπο του µετασχηµατισµού Fourier έχουµε
∞
∞
∞
−∞
−∞
−∞
x(t ) =
x( f ) =
j 2πft
∫ X ( f )e df => x(− t ) =
∞
∫ X (t )e
j 2πft
− j 2πft
∫ X ( f )e df => x(− f ) =
∫ X (t )e
− j 2πft
dt =>
dt
−∞
(β)
Το εικονιζόµενο φάσµα µπορεί να εκφραστεί ως:
⎛ f ⎞
X ( f ) = tri ⎜ ⎟
⎝a⎠
Η έκφραση του σήµατος στο πεδίο του χρόνου προσδιορίζεται ως εξής:
F
→ tri ( f ) ⇔
sinc 2 ( t ) ←⎯
1 ⎛ f ⎞
F
⇔ sinc 2 ( at ) ←⎯
→ tri ⎜ ⎟ ⇔
a ⎝a⎠
⎛ f ⎞
F
⇔ x ( t ) = asinc 2 ( at ) ←⎯
→ tri ⎜ ⎟ = X ( f )
⎝a⎠
(γ) Από την απάντηση του ερωτήµατος (β) παρατηρούµε ότι το σήµα x ( t ) µπορεί να γραφεί ως :
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
x ( t ) = asinc 2 ( at ) = asinc ( at ) ⋅ asinc ( at )
δηλαδή
ως
36 από 75
γινόµενο
του
σήµατος
g ( t ) = asinc ( at ) µε τον εαυτό του, που στο πεδίο των συχνοτήτων αντιστοιχεί σε συνέλιξη
του φάσµατος του σήµατος G(f) µε τον εαυτό του.
Αρκεί να βρεθεί ο ΜΣ Fourier του σήµατος g ( t ) = asinc ( at )
F
sinc ( t ) ←⎯
→ rect ( f ) ⇔
1
⎛ f ⎞
F
⇔ sinc ( at ) ←⎯
→ rect ⎜ ⎟ ⇔
a
⎝a⎠
1
⎛ f ⎞
F
⇔ g ( t ) = asinc ( at ) ←⎯
→
rect ⎜ ⎟ = G ( f )
a
⎝a⎠
Άρα ισχύει ότι
F
x ( t ) =asinc 2 ( at ) = asinc ( at ) ⋅ asinc ( at ) = g ( t ) ⋅ g ( t ) ←⎯
→
⎡ 1
⎛ f ⎞⎤ ⎡ 1
⎛ f ⎞⎤
⎛ f ⎞
F
←⎯
→⎢
rect ⎜ ⎟ ⎥ * ⎢
rect ⎜ ⎟ ⎥ = G ( f ) * G ( f ) = tri ⎜ ⎟ = X ( f )
⎝ a ⎠⎦ ⎣ a
⎝ a ⎠⎦
⎝a⎠
⎣ a
G(f)
G(f)
X(f)
*
1/ a
1/ a
1
-a
a
f
-a/2
a/2
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
f
-a/2
a/2
f
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
3.3.4
37 από 75
ΘΕΜΑ 4 ΓΕ1 0506
α. Βρείτε το ΜΣ Fourier του µισού συνηµιτονικού παλµού που φαίνεται στο σχήµα (a).
β. Βρείτε το ΜΣ Fourier του µισού ηµιτονικού παλµού που φαίνεται στο σχήµα (b).
g(t)
g(t)
A
-T/2
0
A
T/2
t
0
T
t
(b)
(a)
(Υπόδειξη: Ισχύει η σχέση sin c( fT ) ∗ δ ( f ± f o ) = sin c[T ( f ± f o )] )
γ. Υπολογίστε το ΜΣ Fourier µιας εκθετικά αποσβενυόµενης ηµιτονικής κυµατοµορφής που
ορίζεται ως:
⎧1, t ≥ 0
g (t ) = e −t sin (2πf c t )u (t ) , µε u (t ) = ⎨
.
⎩0, t < 0
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
α. Γνωρίζουµε ότι ο ΜΣ Fourier τετραγωνικού παλµού διάρκειας Τ και πλάτους 1
r(t)
1
-T/2
0
T/2
t
είναι:
⎡
⎛ t ⎞⎤
F ⎢rect ⎜ ⎟⎥ = T sin c( fT )
⎝ T ⎠⎦
⎣
Ο παλµός του σχήµατος (a) µπορεί να θεωρηθεί ως το γινόµενο ενός τέτοιου τετραγωνικού
παλµού και ενός ηµιτονικού σήµατος Αcos(πt/Τ). Γνωρίζουµε επίσης ότι:
⎡
1 ⎞ ⎛
1 ⎞⎤
⎛ πt ⎞⎤ A ⎡ ⎛
F ⎢ A cos⎜ ⎟⎥ = ⎢δ ⎜ f −
⎟+δ⎜ f +
⎟
2T ⎠ ⎝
2T ⎠⎥⎦
⎝ T ⎠⎦ 2 ⎣ ⎝
⎣
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
38 από 75
Εποµένως,
⎡ A⎛ ⎛
⎡
1 ⎞ ⎛
1 ⎞ ⎞⎤
⎛ πt ⎞⎤
⎛t⎞
G ( f ) = F ⎢rect ⎜ ⎟ ⋅ A cos⎜ ⎟⎥ = [T sin c( fT )]∗ ⎢ ⎜⎜ δ ⎜ f −
⎟ ⎟⎥
⎟ +δ⎜ f +
2T ⎠ ⎝
2T ⎠ ⎟⎠⎦
⎝ T ⎠⎦
⎝T ⎠
⎣
⎣2⎝ ⎝
Χρησιµοποιώντας την υπόδειξη:
G( f ) =
AT
2
⎡⎛
1⎞
1 ⎞ ⎞⎤
⎛
⎛
⎢⎜⎜ sin c⎜ fT − ⎟ + sin c⎜ fT + ⎟ ⎟⎟⎥
2⎠
2 ⎠ ⎠⎦
⎝
⎝
⎣⎝
β. Μπορούµε να πάρουµε τον παλµό του µισού ηµιτονικού σήµατος του σχήµατος (b) αν
ολισθήσουµε τον παλµό του µισού συνηµιτονικού σήµατος του σχήµατος (a) κατά Τ/2.
Εποµένως σε αυτή την περίπτωση, εφαρµόζοντας την ιδιότητα της χρονικής ολίσθησης του ΜΣ
Fourier:
G( f ) =
γ.
AT
2
⎡⎛
1⎞
1 ⎞ ⎞⎤
⎛
⎛
⎢⎜⎜ sin c⎜ fT − ⎟ + sin c⎜ fT + ⎟ ⎟⎟⎥ exp(− jπfT )
2 ⎠ ⎠⎦
2⎠
⎝
⎝
⎣⎝
Χρησιµοποιούµε
τη
sin(2πf c t ) =
σχέση
1
[exp( j 2πf c t ) − exp(− j 2πf c t )]
2j
και
έτσι
παίρνουµε:
⎡
⎤
⎛ 1
⎞
G ( f ) = F ⎢exp(−t )⎜⎜ (exp( j 2πf c t ) − exp(− j 2πf c t ) )⎟⎟u (t )⎥
⎝2j
⎠
⎣
⎦
Χρησιµοποιώντας την ιδιότητα της ολίσθησης συχνότητας στο ζευγάρι ΜΣ Fourier
F [exp(−t )u (t )] =
G( f ) =
1
, έχουµε:
1 + j 2πf
⎤
2πf c
1 ⎡
1
1
−
⎢
⎥=
2 j ⎣1 + j 2π ( f − f c ) 1 + j 2π ( f + f c ) ⎦ (1 + j 2πf )2 + (2πf c )2
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
3.3.5
39 από 75
ΘΕΜΑ 5 ΓΕ10506
⎧1− | t |,
Να υπολογιστεί ο µετασχηµατισµός Fourier της συνάρτησης x(t ) = ⎨
⎩
−1 ≤ t ≤ 1
0 , αλλο ύ
.
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
1ος Τρόπος) Με τον Ορισµό
Το σήµα γράφεται:
⎧1 − ( −t ) , −1 ≤ t ≤ 0 ⎧1 + t , −1 ≤ t ≤ 0
⎧1− | t |, − 1 ≤ t ≤ 1 ⎪
⎪
= ⎨1 − t , 0 ≤ t ≤ 1
= ⎨1 − t , 0 ≤ t ≤ 1
x(t ) = ⎨
0
,
αλλού
⎩
⎪0, αλλού
⎪0, αλλού
⎩
⎩
Οπότε, µε βάση τον ορισµό έχουµε:
X(f )=
∞
x ( t ) e − j 2π ft dt =
∫
−∞
∞
∫
x ( t ) e − j 2π ft dt =
−∞
0
1
0
1
−1
0
−1
0
0
1
−1
0
− j 2π ft
− j 2π ft
∫ (1 + t ) e dt + ∫ (1 − t ) e dt =
= ∫ e − j 2π ft dt + ∫ te− j 2π ft dt + ∫ e − j 2π ft dt − ∫ te− j 2π ft dt
Παρατηρούµε ότι έχουµε 2 ουσιαστικά τύπους ολοκληρωµάτων, τους οποίους υπολογίζουµε
παραµετρικά:
b
I1 ( a, b ) = ∫ e − j 2π ft dt =
a
1
− j 2π f
b
∫ (e
a
) dt = − j 21π f ⎡⎣e
− j 2π ft '
− j 2π ft
b
⎤⎦ =
a
1
⎡⎣ e − j 2π fb − e − j 2π fa ⎤⎦
=
− j 2π f
b
I 2 ( a, b ) = ∫ te − j 2π ft dt =
a
b
'
1
t ( e − j 2π ft ) dt =
∫
− j 2π f a
b
b
⎫
⎫
1 ⎧ − j 2π ft b
1 ⎧ − j 2π ft b
' − j 2π ft
⎤⎦ − ∫ ( t ) e
⎡⎣te
⎤⎦ − ∫ e− j 2π ft dt ⎬ =
=
dt ⎬ =
⎨ ⎡⎣te
⎨
a
a
− j 2π f ⎩
a
a
⎭ − j 2π f ⎩
⎭
b
1
⎡⎣te − j 2π ft ⎤⎦ − I1 ( a, b ) =
=
a
− j 2π f
{
}
⎫
1 ⎧ − j 2π fb
1
⎡⎣e − j 2π fb − e− j 2π fa ⎤⎦ ⎬ =
− ae − j 2π fa ⎤⎦ −
⎨ ⎡⎣be
− j 2π f ⎩
− j 2π f
⎭
1 ⎧ − j 2π fb ⎛
1 ⎞ − j 2π fa ⎛
1 ⎞⎫
=
⎨e
⎜b +
⎟−e
⎜a +
⎟⎬
− j 2π f ⎩
j 2π f ⎠
j 2π f ⎠ ⎭
⎝
⎝
=
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
40 από 75
Συνεπώς έχουµε:
0
X( f )= ∫e
− j 2π ft
−1
0
dt + ∫ te
−1
− j 2π ft
1
dt + ∫ e
0
− j 2π ft
dt − ∫ te− j 2π ft dt =
= I1 ( −1, 0 ) + I 2 ( −1, 0 ) + I1 ( 0,1) − I 2 ( 0,1) =
=
1
0
1 ⎡ − j 2π f 0 − j 2π f ( −1) ⎤
−e
e
⎦+
− j 2π f ⎣
1 ⎧ − j 2π f 0 ⎛
1 ⎞ − j 2π f ( −1) ⎛
1 ⎞⎫
⎨e
⎜0 +
⎟−e
⎜ ( −1) +
⎟⎬ +
− j 2π f ⎩
j 2π f ⎠
j 2π f ⎠ ⎭
⎝
⎝
1
⎡⎣e − j 2π f 1 − e − j 2π f 0 ⎤⎦ −
+
− j 2π f
+
−
1 ⎞ − j 2π f 0 ⎛
1 ⎞⎫
1 ⎧ − j 2π f 1 ⎛
⎨e
⎜1 +
⎟−e
⎜0+
⎟⎬ =
− j 2π f ⎩
j 2π f ⎠
j 2π f ⎠ ⎭
⎝
⎝
=
1
1 ⎧ 1
⎡⎣1 − e j 2π f ⎤⎦ +
− e j 2π f
⎨
− j 2π f
− j 2π f ⎩ j 2π f
−
1 ⎧ − j 2π f
⎨e
− j 2π f ⎩
⎛
1 ⎞
1
⎜1 +
⎟−
j 2π f ⎠ j 2π
⎝
⎛
1 ⎞⎫
1
⎡⎣ e − j 2π f − 1⎤⎦ −
⎜ −1 +
⎟⎬ +
j 2π f ⎠ ⎭ − j 2π f
⎝
⎫
⎬=
f⎭
e j 2π f
1
1 ⎧ 1
e j 2π f ⎫ e − j 2π f
1
j 2π f
=−
+
+
+e
−
+
−
⎨
⎬−
j 2π f j 2π f − j 2π f ⎩ j 2π f
j 2π f ⎭ j 2π f j 2π f
1 ⎧ − j 2π f e − j 2π f
1 ⎫
+
−
⎨e
⎬=
− j 2π f ⎩
j 2π f j 2π f ⎭
1
e j 2π f
1
e j 2π f
e j 2π f
e − j 2π f
1
e − j 2π f
=−
+
+ 2 2−
− 2 2−
+
+
−
j 2π f j 2π f 4π f
j 2π f 4π f
j 2π f j 2π f j 2π f
−
e − j 2π f
1
2
1
+ 2 2 = 2 2 − 2 2 ( e j 2π f + e − j 2 π f ) =
2 2
4π f
4π f
4π f
4π f
2
1
2
= 2 2 − 2 2 2 cos ( 2π f ) = 2 2 (1 − cos ( 2π f ) ) =
4π f
4π f
4π f
−
=
2
4π 2 f 2
2sin (π f ) =
2
sin 2 (π f )
π2 f 2
⎛ sin (π f ) ⎞
2
=⎜
⎟ = sinc ( f )
⎝ πf ⎠
2
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
3.3.6
41 από 75
ΘΕΜΑ 1 ΓΕ10607
Να βρεθεί ο µετασχηµατισµός Fourier του σήµατος x (t ) = t e − at u (t )
,a > 0
⎧1, x > 0
.
⎩0, x < 0
όπου u ( x ) = ⎨
Υπόδειξη: Iσχύουν τα εξής (για τυχαία b,c,d και συναρτήσεις f(t), g(t):
d
1 − bt d
1
− bt
⎡⎣e ⎤⎦ = − ⎡⎣e − bd − e − bc ⎤⎦
=
−
dt
e
∫c
c
b
b
•
d
d
d
⎡d
⎤
⎡d
⎤
∫c ⎢⎣ dt f ( t )⎥⎦ ⋅ g ( t ) dt = ⎡⎣ f ( t ) ⋅ g ( t )⎤⎦c − ∫c f ( t ) ⋅ ⎢⎣ dt g ( t )⎥⎦dt
t
lim
= 0, c > 0
•
t →+ oo ⎣⎡( c + jd )t ⎦⎤
e
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
X(f)=
∞
∫
x (t ) ⋅ e − j 2π ft dt =
−∞
∞
∞
−∞
0
− at
− j 2π ft
− at
− j 2π ft
∫ te u(t ) ⋅ e dt = ∫ te ⋅ e dt =
∞
= ∫ te − ( a + j 2π f ) t dt
0
Επειδή,
d
d
d
⎡d
⎤
⎡d
⎤
∫c ⎢⎣ dt f ( t )⎥⎦ ⋅ g ( t ) dt = ⎡⎣ f ( t ) ⋅ g ( t )⎤⎦c − ∫c f ( t ) ⋅ ⎢⎣ dt g ( t )⎥⎦dt
έχουµε,
1
X( f ) =
−( a + j 2π f )
+∞
∫ ⎡⎣e
0
− ( a + j 2π f ) t '
⎤⎦ ⋅ tdt =
+∞
1
1
⎡⎣ e − ( a + j 2π f ) t t ⎤⎦ −
=
0
−( a + j 2π f )
−( a + j 2π f )
+∞
∫ ⎡⎣e
− ( a + j 2π f ) t
0
+∞
⎤⎦ dt =
'
t
1
1
⎡
⎤
⎡⎣ e − ( a + j 2π f ) t ⎤⎦ dt =
lim ( a + j 2π f ) t − 0⎥ −
2
∫
⎢
−( a + j 2π f ) ⎣ t →+∞ e
⎦ ( a + j 2π f ) 0
+∞
1
1
⎡ e − ( a + j 2π f ) t ⎤⎦ =
=
[ 0 − 0] −
2 ⎣
0
( a + j 2π f )
−( a + j 2π f )
1
1
0 − 1] =
=−
2 [
( a + j 2π f )
( a + j 2π f ) 2
=
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
3.3.7
42 από 75
ΘΕΜΑ 2 ΓΕ1 0607
Να υπολογίσετε το µετασχηµατισµό Fourier του γινοµένου cos( a (3t − 5)) ⋅ cos(bt ) , α>0, b>0.
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
Ζητάω τον µετασχηµατισµό Fourier της συνάρτησης cos(a (3t − 5)) cos(bt )
Oπότε θα έχω
y (t ) = cos( a (3t − 5)) cos(bt ) =
1
{cos(3αt − 5a + bt ) + cos(3αt − 5a − bt )}
2
Eποµένως:
⎧1
⎫
F {y (t )} = F ⎨ {cos[(3a + b )t − 5a ] + cos[(3a − b )t − 5a ]}⎬ =
⎩2
⎭
=
⎤⎫
1 ⎧ ⎡ (3α + b )
⎤ ⎫ 1 ⎧ ⎡ ⎛ 3α − b ⎞
F ⎨cos ⎢2π
t − 5a ⎥ ⎬ + F ⎨cos ⎢2π ⎜
⎟t − 5a ⎥ ⎬
2 ⎩ ⎣
2π
⎦ ⎭ 2 ⎩ ⎣ ⎝ 2π ⎠
⎦⎭
Υπολογίζουµε τους δύο ΜΣ Fourier
Κατ’αρχήν µε f c =
3a + b
:
2π
[
]
⎫
⎧1
F {cos(2πf ct − 5a )} = F ⎨ e j ( 2πfct −5 a ) + e − j ( 2πfct −5 a ) ⎬ =
⎭
⎩2
⎫ 1
⎧1
F ⎨ e j 2πfct e − j 5 a + e − j 2πfct e j 5 a ⎬ = δ ( f − f c )e − j 5 a + δ ( f + f c )e j 5 a
⎭ 2
⎩2
[
]
αντικαθιστώντας f c =
[
]
3a + b
:
2π
⎧ ⎛ 3a + b
3a + b ⎞ − j 5a
3a + b ⎞ j 5 a ⎤
⎞⎫ 1 ⎡ ⎛
⎛
F ⎨cos⎜ 2π
t − 5a ⎟⎬ = ⎢δ ⎜ f −
+δ⎜ f +
⎟e
⎟e ⎥
2π
2π ⎠
2π ⎠
⎠⎭ 2 ⎣ ⎝
⎝
⎦
⎩ ⎝
Παρόµοια µε f c =
3a − b
για τον 2ο ΜΣ Fourier:
2π
⎧ ⎛ 3a − b
3a − b ⎞ − j 5 a
3a − b ⎞ j 5 a ⎤
⎞⎫ 1 ⎡ ⎛
⎛
+δ⎜ f +
F ⎨cos⎜ 2π
t − 5a ⎟⎬ = ⎢δ ⎜ f −
⎟e ⎥
⎟e
2
π
2
2
π
2
π
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎣
⎦
⎩
⎭
Άρα τελικά έχουµε:
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
F {y (t )} =
43 από 75
⎤⎫
1 ⎧ ⎡ (3α + b )
⎤ ⎫ 1 ⎧ ⎡ ⎛ 3α − b ⎞
F ⎨cos ⎢2π
t − 5a ⎥ ⎬ + F ⎨cos ⎢2π ⎜
⎟t − 5a ⎥ ⎬ =
2 ⎩ ⎣
2π
⎦ ⎭ 2 ⎩ ⎣ ⎝ 2π ⎠
⎦⎭
1⎡ ⎛
3a + b ⎞ − j 5 a
3a + b ⎞ j 5 a ⎤
⎛
+
+
−
f
e
f
δ
δ
⎜
⎟
⎜
⎟e ⎥ +
4 ⎢⎣ ⎝
2π ⎠
2π ⎠
⎝
⎦
1⎡ ⎛
3a − b ⎞ − j 5 a
3a − b ⎞ j 5 a ⎤
⎛
+δ⎜ f +
δ⎜ f −
⎟e
⎟e ⎥ =
⎢
4⎣ ⎝
2π ⎠
2π ⎠
⎝
⎦
1 ⎧ j 5a ⎡ ⎛
3a + b ⎞ ⎛
3a − b ⎞⎤ ⎫
⎟+δ⎜ f +
⎟⎥ ⎬ +
⎨e ⎢δ ⎜ f +
4⎩
2
π
2
π
⎝
⎠
⎝
⎠⎦ ⎭
⎣
1 ⎧ − j 5a ⎡ ⎛
3a + b ⎞ ⎛
3a − b ⎞⎤ ⎫
δ⎜ f −
⎟ ⎬
⎟+δ⎜ f −
⎨e
⎢
4⎩
2π ⎠ ⎝
2π ⎠⎥⎦ ⎭
⎣ ⎝
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
3.3.8
ΘΕΜΑ 3 ΓΕ10607
Να υπολογιστούν οι µετασχηµατισµοί Fourier για τα παρακάτω σήµατα:
1
1+ t 2
(β) x(t ) = rect (t − 3) + rect (t + 3)
(γ) x(t ) = tri (2t + 3) + tri (3t − 2)
(δ) x(t ) = t sin c(t )
(α) x(t ) =
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
(α) Χρησιµοποιούµε το ζεύγος µετασχηµατισµού:
e
−a t
F
←⎯
→
2a
a + ( 2π f )
2
2
=
2a
1
2
2
4π a
+ f2
2
4π
και την ιδιότητα της δυαδικότητας έχουµε:
⎡
⎤
⎢
⎥
1
⎛ 2a ⎞
−a
⎥=e
⎜ 2 ⎟ℑ⎢ 2
⎝ 4π ⎠ ⎢ α
2 ⎥
⎢⎣ 4π 2 + t ⎥⎦
f
µε α=2π:
⎡ 1 ⎤
− 2π
= πe
ℑ⎢
2 ⎥
⎣1 + t ⎦
f
(β)
ℑ ⎡⎣ x ( t ) ⎤⎦ = ℑ ⎡⎣ rect ( t − 3) + rect ( t + 3) ⎤⎦ =
= sinc ( f ) e − j 2π f 3 + sinc ( f ) e j 2π f 3 =
= 2sinc ( f ) cos ( 2π 3 f )
(γ)
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
44 από 75
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
ℑ ⎡⎣ x ( t ) ⎤⎦ = ℑ ⎡⎣tri ( 2t + 3) + tri ( 3t − 2 ) ⎤⎦ =
⎧ ⎡ ⎛ 3 ⎞⎤
⎡ ⎛ 2 ⎞⎤ ⎫
= ℑ ⎨tri ⎢ 2 ⎜ t + ⎟ ⎥ + tri ⎢3 ⎜ t − ⎟ ⎥ ⎬ =
⎣ ⎝ 3 ⎠⎦ ⎭
⎩ ⎣ ⎝ 2 ⎠⎦
2
1
1
⎛ f ⎞
⎛ f ⎞ − j 2π f 3
= sinc 2 ⎜ ⎟ e jπ f 3 + sinc 2 ⎜ ⎟ e
2
3
⎝2⎠
⎝3⎠
(δ)
ℑ[t sin c(t )] =
1
π
ℑ[sin(πt )] =
j ⎡ ⎛
1⎞
1 ⎞⎤
⎛
δ ⎜ f + ⎟ − δ ⎜ f − ⎟⎥
⎢
2π ⎣ ⎝
2⎠
2 ⎠⎦
⎝
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
45 από 75
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
3.3.9
46 από 75
ΘΕΜΑ 4 Γε10607
Να υπολογιστούν οι µετασχηµατισµοί Fourier για τα παρακάτω σήµατα:
x(t)
1
1
-1
0
0
-2
1
t
-1
(α)
(β)
x(t)
1
-2
-1
0
1
2t
(γ)
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
(α)
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
2
t
-1
-1
1
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
∞
∫
−∞
0
1
−1
0
x ( t ) e − j 2π ft dt = ∫ (t + 1)e− j 2π ft dt + ∫ (t − 1)e − j 2π ft dt =
1
=
− j 2π f
0
∫ (t + 1) ( e
)
− j 2π ft '
−1
1
dt +
− j 2π f
1
− j 2π ft
∫ (t − 1) ( e ) dt =
'
0
0
⎫
1 ⎧
− j 2π ft
⎤ − ∫ (t + 1)' e− j 2π ft dt ⎬ +
)
⎨ ⎡⎣(t + 1) ( e
⎦ −1
− j 2π f ⎩
−1
⎭
1
1
⎫
1 ⎧
− j 2π ft
⎤ − ∫ (t − 1)' e− j 2π ft dt ⎬ =
+
)
⎨ ⎡⎣(t − 1) ( e
⎦0
− j 2π f ⎩
0
⎭
0
⎫
1 ⎧
1
− j 2π f 0
− j 2π f ( −1)
− j 2π ft '
⎡
⎤
e
e
e
dt
(0
1)
(
1
1)
=
+
−
−
+
−
(
)
(
)
(
)
⎨⎣
⎬+
∫
⎦ − j 2π f
− j 2π f ⎩
−1
⎭
1
⎫
'
1 ⎧
1
− j 2π f 1
e− j 2π ft ) dt ⎬ =
+
− (0 − 1) ( e − j 2π f 0 ) ⎤⎦ −
)
(
⎨ ⎡⎣(1 − 1) ( e
∫
− j 2π f ⎩
− j 2π f 0
⎭
0 ⎫
1 ⎧
1
⎡e − j 2π ft ⎦⎤ ⎬ +
=
⎨[1 − 0] −
⎣
−1
− j 2π f ⎩
− j 2π f
⎭
0
=
1⎫
1 ⎧
1
⎡⎣e − j 2π ft ⎤⎦ ⎬ =
⎨[ 0 − (−1) ] −
0
− j 2π f ⎩
− j 2π f
⎭
⎫
1 ⎧
1
⎡⎣e − j 2π f 0 − e − j 2π f ( −1) ⎤⎦ ⎬ +
=
⎨1 −
− j 2π f ⎩ − j 2π f
⎭
+
⎧
1
⎨1 −
⎩ − j 2π f
1 ⎧
1
=
⎨1 −
− j 2π f ⎩ − j 2π f
⎫
− j 2π f 1
− e − j 2π f 0 ⎦⎤ ⎬ =
⎣⎡ e
⎭
⎫
1 ⎧
1
j 2π f ⎫
− j 2π f
− 1⎦⎤ ⎬ =
⎣⎡1 − e
⎦⎤ ⎬ + − j 2π f ⎨1 − − j 2π f ⎣⎡e
⎭
⎩
⎭
+
1
− j 2π f
=
1
1
1
1
⎡1 − e j 2π f ⎤⎦ +
⎡e − j 2π f − 1⎤⎦ =
−
−
2 ⎣
− j 2π f ( j 2π f )
− j 2π f ( j 2π f )2 ⎣
=
1
1
1
1
1
1
e j 2π f +
e − j 2π f +
−
+
−
=
2
2
2
2
− j 2π f ( j 2π f ) ( j 2π f )
− j 2π f ( j 2π f )
( j 2π f )
=
j
2
1
1
e j 2π f − e − j 2π f ) =
2 j sin ( 2π f ) =
+
+
2 (
π f ( j 2π f )2
− j 2π f ( j 2π f )
=
⎞
j
j ⎛
j
1
1
+
sin ( 2π f ) =
sin ( 2π f ) ⎟ =
(1 − sinc ( 2 f ) )
⎜1 −
2
π f 2 j (π f )
π f ⎝ 2π f
⎠ πf
(β)
Μπορούµε να γράψουµε το x(t): x(t ) = tri (t + 1) − tri (t − 1) άρα:
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
47 από 75
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
X ( f ) = sinc 2 ( f ) e j 2π f − sinc 2 ( f ) e − j 2π f = 2 jsinc 2 ( f ) sin ( 2π f )
(γ)
Μπορούµε να γράψουµε το x(t): x(t ) = tri (t + 1) + tri (t ) + tri (t − 1) άρα:
sinc 2 ( f ) (1 + e j 2π f + e − j 2π f ) = sinc 2 ( f ) (1 + 2 cos ( 2π f ) )
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
48 από 75
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
49 από 75
3.3.10
ΘΕΜΑ 6 ΓΕ5 0405
Να υπολογισθεί ο µετασχηµατισµός Fourier των κατωτέρω σηµάτων:
1.
x(t)
A
t1
2.
t
t2
x(t)
A
T
T
-A
Λύση
1.
PT(t)
x(t)
1
A
t1
t2
-T/2
T/2
1ος Τρόπος) Με τον ορισµό:
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
t
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
t2
X ( f ) = A∫ e − j 2π ft dt = A
t1
1
− j 2π f
50 από 75
t2
1
1
− j 2π ft '
− j 2π ft t2
⎡⎣ e− j 2π ft2 − e− j 2π ft1 ⎤⎦ =
⎡
⎤
⎡
⎤⎦ = Α
=
e
dt
A
e
∫t ⎣
⎦
⎣
t
1
− j 2π f
− j 2π f
1
− e − j 2π ft2
2j
t +t t −t
t +t t −t
Αντικαθιστώντας:t1 = 1 2 + 1 2 , t2 = 1 2 − 1 2
2
2
2
2
εχουµε
=A
1 e
πf
− j 2π ft1
1 e − j 2π ft1 − e − j 2π ft2
1 e
=A
A
2j
πf
πf
⎛ t + t t −t ⎞
− j 2π f ⎜ 1 2 + 1 2 ⎟
2 ⎠
⎝ 2
−e
2j
⎛ t + t t −t ⎞
− j 2π f ⎜ 1 2 − 1 2 ⎟
2 ⎠
⎝ 2
=
⎡ − j 2π f ⎛⎜ t1 −2t2 ⎞⎟ − j 2π f ⎛⎜ − t1 −2t2 ⎞⎟ ⎤
⎛ t +t ⎞
⎝
⎠
⎝
⎠
1 − j 2π f ⎜⎝ 1 2 2 ⎟⎠ ⎢ e
−e
⎥
=A
e
⎢
⎥=
2j
πf
⎢
⎥
⎣
⎦
⎡ j 2π f ⎛⎜ −t12+t2 ⎞⎟ − j 2π f ⎛⎜ − t12+t2 ⎞⎟ ⎤
⎛ t +t ⎞
⎠
⎝
⎠
1
−e
⎛
1 − j 2π f ⎜⎝ 1 2 2 ⎟⎠
⎢e ⎝
⎥
=A
e
=A
e
sin ⎜ 2π
⎢
⎥
2j
πf
πf
⎝
⎢
⎥
⎣
⎦
sin (π f ( −t1 + t2 ) )
− jπ f t + t
= Ae ( 1 2 )
=
πf
⎛ t +t ⎞
− j 2π f ⎜ 1 2 ⎟
⎝ 2 ⎠
= Ae
− jπ f ( t1 + t2 )
( −t1 + t2 )
sin (π f ( −t1 + t2 ) )
π f ( −t1 + t2 )
= Ae
− jπ f ( t1 + t2 )
⎛ −t + t ⎞ ⎞
f ⎜ 1 2 ⎟⎟ =
⎝ 2 ⎠⎠
( −t1 + t2 ) sin c ( f ( −t1 + t2 ) )
2ος Τρόπος) Με βάση στοιχειώδη σήµατα και ιδιότητες ΜΣ Fourier.
Είναι:
⎛ ⎛ t1 + t2 ⎞ ⎞
⎜t −⎜ 2 ⎟ ⎟
⎠ ⎟ = Arect ⎛ t − a ⎞ , όπου a = t1 + t2 και b=t − t
x ( t ) = Arect ⎜ ⎝
2
1
⎜
⎟
2
⎜ t2 − t1 ⎟
⎝ b ⎠
⎜
⎟
⎝
⎠
Γνωρίζουµε ότι:
F
rect ( t ) ←⎯
→ sinc ( f ) ⇔
F
⇔ rect ( t − a ) ←⎯
→ e − j 2π a sinc ( f ) ⇔
⎛t−a⎞ F
− j 2π a
⇔ Arect ⎜
sinc ( bf ) ⇔
⎟ ←⎯→ Abe
⎝ b ⎠
⎛ t1 + t2 ⎞
t +t
⎜t− 2 ⎟ F
− j 2π 1 2
⎡⎛ t + t ⎞
2
⇔ x ( t ) = Arect ⎜
sinc ⎢⎜ 1 2 ⎟
⎟ ←⎯→ A ( t2 − t1 ) e
⎣⎝ 2 ⎠
⎜ t2 − t1 ⎟
⎝
⎠
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
⎤
f⎥=X(f)
⎦
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
51 από 75
2.
x(t)
A
t
T
-T
-A
1ος Τρόπος) Με τον ορισµό:
0
T
−T
0
0
T
T
0
X ( f ) = − A ∫ e − j 2π ft dt + A∫ e− j 2π ft dt = A∫ e j 2π ft dt + A∫ e− j 2π ft dt =
=
A
j 2π f
0
∫ ⎡⎣e
j 2π ft
T
'
A
⎤⎦ dt +
− j 2π f
j 2π fT
T
∫ ⎡⎣e
0
− j 2π fT
⎞ A ⎛ 1− e
A ⎛ 1− e
⎜
⎟+
⎜
π f ⎝ 2j ⎠ π f ⎝
2j
A
A
=
2 − 2 cos ( 2π fT ) ) =
(
2 jπ f
jπ f
=
=
2 AT sin (π fT ) sin (π fT )
j
π fT
− j 2π ft
'
0
T
1
1
⎤⎦ dt = A
⎡⎣ e j 2π ft ⎤⎦ + A
⎡⎣ e − j 2π ft ⎤⎦ =
T
0
− j 2π f
j 2π f
⎞
A
2 − e j 2π fT − e − j 2π fT ) =
(
⎟=
⎠ 2 jπ f
(1 − cos ( 2π fT ) ) = jπA f 2sin 2 (π fT ) =
= −2 jAT sin (π fT ) sinc ( fT )
2ος Τρόπος) Με βάση στοιχειώδη σήµατα και ιδιότητες ΜΣ Fourier.
Είναι:
⎛ T
⎜t+ 2
x ( t ) = − Arect ⎜
⎜ T
⎝
⎞
⎛ T
⎟
⎜t− 2
Arect
+
⎟
⎜
⎟
⎜ T
⎠
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
Γνωρίζουµε ότι:
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
F
rect ( t ) ←⎯
→ sinc ( f ) ⇔
T
j 2π f
⎛ T⎞ F
2
⇔ rect ⎜ t + ⎟ ←⎯
→e
sinc ( f ) ⇔
⎝ 2⎠
⎛ T⎞
T
⎜t+ 2 ⎟ F
j 2π f
2
⇔ rect ⎜
←⎯
→
Te
sinc (Tf ) ⇔
⎟
T
⎜
⎟
⎝
⎠
⎛ T⎞
T
⎜t+ 2 ⎟ F
j 2π f
2
⇔ − Arect ⎜
←⎯
→
−
ATe
sinc (Tf )
⎟
T
⎜
⎟
⎝
⎠
και
F
rect ( t ) ←⎯
→ sinc ( f ) ⇔
T
− j 2π f
⎛ T⎞ F
2
⇔ rect ⎜ t − ⎟ ←⎯
→e
sinc ( f ) ⇔
⎝ 2⎠
⎛ T⎞
T
⎜t− 2 ⎟ F
− j 2π f
2
⇔ rect ⎜
←⎯
→
Te
sinc (Tf ) ⇔
⎟
T
⎜
⎟
⎝
⎠
⎛ T⎞
T
⎜t− 2 ⎟ F
− j 2π f
2
⇔ Arect ⎜
sinc (Tf )
⎟ ←⎯→ ATe
T
⎜
⎟
⎝
⎠
οπότε,
⎛ T
⎜t+ 2
x ( t ) = − Arect ⎜
⎜ T
⎝
F
←⎯
→ − ATe
j 2π f
T
2
⎞
⎛ T
⎟
⎜t− 2
+
Arect
⎟
⎜
⎟
⎜ T
⎠
⎝
sinc (Tf ) + ATe
− j 2π f
⎞
⎟ F
⎟ ←⎯→
⎟
⎠
T
2
sinc (Tf ) =
= − ATsinc (Tf ) ( e jπ fT − e − jπ fT ) = −2 jATsinc (Tf ) sin (π fT )
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
52 από 75
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
3.3.11
ΘΕΜΑ 4 ΓΕ5 0506
(α) Να δείξετε ότι ο ΜΣ Fourier της
1
1 1
1
δ (t + ) + δ (t − ) είναι cos(πf)
2
2
2 2
(β) Με βάση την πιο πάνω σχέση να δείξετε ότι:
(i) F {cos(πt )} =
1
1 1
1
δ(f + )+ δ(f − )
2
2
2 2
(ii) F {sin (πt )} =
j
1
j
1
δ ( f + ) − δ ( f − ) ΛΥΣΗ
2 2
2
2
(α) Γνωρίζουµε από πίνακες ΜΣ Fourier ότι
F
cos ( 2π f 0t ) ←⎯
→
1
(δ ( f − f 0 ) + δ ( f + f 0 ) )
2
1
Hz θα έχουµε:
2
1⎞
1 ⎞⎞
⎛ 1 ⎞ F 1⎛ ⎛
⎛
cos ⎜ 2π t ⎟ ←⎯
→ ⎜δ ⎜ f − ⎟ + δ ⎜ f + ⎟ ⎟
2⎝ ⎝
2⎠
2 ⎠⎠
⎝ 2 ⎠
⎝
Θέτοντας f 0 =
=========================================================
Στο ίδιο αποτέλεσµα οδηγούµαστε εργαζόµενοι ως εξής:
Γνωρίζουµε από πίνακες ΜΣ Fourier ότι
F
cos ( 2π f 0t ) ←⎯
→
1
(δ ( f − f 0 ) + δ ( f + f 0 ) )
2
F
→
Με χρήση της ιδιότητας αλλαγής κλίµακας x ( at ) ←⎯
1
⎛ f ⎞
X ⎜ ⎟ έχουµε:
|a | ⎝ a ⎠
⎛
1 ⎞ F
1
cos ⎜ 2π f 0
t ⎟ ←⎯→ 2 f 0 (δ ( 2 f 0 f − f 0 ) + δ ( 2 f 0 f + f 0 ) ) ⇔
2 f0 ⎠
2
⎝
F
⇔ cos (π t ) ←⎯
→ f 0 (δ ( 2 f 0 f − f 0 ) + δ ( 2 f 0 f + f 0 ) )
Επίσης, ισχύει η εξής ιδιότητα για τη συνάρτηση Dirac:
δ ( a ( x − x0 ) ) =
1
δ ( x − x0 )
a
οπότε ο ανωτέρω ΜΣ Fourier γράφεται:
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
53 από 75
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
54 από 75
⎛ ⎛ 2 f f − f0 ⎞
⎛ 2 f f + f0 ⎞ ⎞
F
cos (π t ) ←⎯
→⎜δ ⎜ 0
+δ ⎜ 0
⎟
⎟ ⎟⎟ =
⎜
f0
f0
⎠
⎝
⎠⎠
⎝ ⎝
1 ⎞⎞
1 ⎞⎞
⎛ ⎛
⎛ ⎛
= δ ( 2 f − 1) + δ ( 2 f + 1) = δ ⎜ 2 ⎜ f − ⎟ ⎟ + δ ⎜ 2 ⎜ f + ⎟ ⎟ =
2 ⎠⎠
2 ⎠⎠
⎝ ⎝
⎝ ⎝
=
1⎡ ⎛
1⎞
1 ⎞⎤
⎛
δ ⎜ f − ⎟ + δ ⎜ f + ⎟⎥
⎢
2⎣ ⎝
2⎠
2 ⎠⎦
⎝
============================================================
F
F
Με βάση την ιδιότητα του δυϊσµού (αν x ( t ) ←⎯
→ Y ( f ) τότε Y ( t ) ←⎯
→ x ( − f ) ) έχουµε:
1⎛ ⎛ 1⎞
⎛ 1 ⎞⎞ F
→ cos (π ( − f ) ) = cos (π f )
δ ⎜ t − ⎟ + δ ⎜ t + ⎟ ⎟ ←⎯
⎜
2⎝ ⎝ 2⎠
⎝ 2 ⎠⎠
οπότε ο ζητούµενος αντίστροφος µετασχηµατισµός Fourier του φάσµατος X(f) είναι
1⎛ ⎛ 1⎞
⎛ 1 ⎞⎞
x (t ) = ⎜ δ ⎜ t − ⎟ + δ ⎜ t + ⎟ ⎟
2⎝ ⎝ 2⎠
⎝ 2 ⎠⎠
2ος τρόπος)
∞
⎧1 ⎡ ⎛ 1 ⎞
1⎡ ⎛ 1⎞
⎛ 1 ⎞⎤ ⎫
⎛ 1 ⎞⎤
ℑ ⎨ ⎢δ ⎜ t + ⎟ + δ ⎜ t − ⎟ ⎥ ⎬ = ∫ ⎢δ ⎜ t + ⎟ + δ ⎜ t − ⎟ ⎥ e − j 2π ft dt =
⎝ 2 ⎠ ⎦ ⎭ −∞ 2 ⎣ ⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠⎦
⎩2 ⎣ ⎝ 2 ⎠
∞
=
⎛
⎝
1⎞
− j 2π ft
∫ δ ⎜ t + 2 ⎟ e dt +
−∞
⎠
∞
1 ⎛
1⎞
∫ 2 δ ⎜⎝ t − 2 ⎟⎠ e
− j 2π ft
dt =
−∞
⎛ 1⎞
1 − j 2π f ⎜⎝ − 2 ⎟⎠ 1 − j 2π f 12 1 jπ f 1 − jπ f
= e
+ e
= e + e
= cos (π f )
2
2
2
2
F
→Y ( f
(β) Χρησιµοποιώντας την ιδιότητα δυϊσµού του ΜΣ Fourier (αν x ( t ) ←⎯
F
Y ( t ) ←⎯
→ x (− f ) )
παίρνουµε
(i)
1⎡ ⎛
1⎞
1 ⎞⎤
⎛
F
ℑ ⎡⎣cos ( −π t ) ⎤⎦ = ℑ ⎡⎣cos (π t ) ⎤⎦ ←⎯
→ ⎢δ ⎜ f − ⎟ + δ ⎜ f + ⎟ ⎥
2⎣ ⎝
2⎠
2 ⎠⎦
⎝
(ii)
αφού
π⎞
⎛
sin (π t ) = cos ⎜ π t + ⎟
2⎠
⎝
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
)
τότε
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
⎡ ⎛ ⎛ 1 ⎞ ⎞⎤
ℑ ⎣⎡sin (π t ) ⎦⎤ = ℑ ⎢cos ⎜ π ⎜ t + ⎟ ⎟ ⎥ =
⎣ ⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎠⎦
1⎡ ⎛
1⎞
1 ⎞⎤
⎛
= ℑ ⎡⎣cos ( −π t ) ⎤⎦ = ⎢δ ⎜ f − ⎟ + δ ⎜ f + ⎟ ⎥ e jπ f =
2⎣ ⎝
2⎠
2 ⎠⎦
⎝
1 ⎛
1⎞
1 ⎛
1⎞
= δ ⎜ f − ⎟ e jπ f + δ ⎜ f + ⎟ e jπ f =
2 ⎝
2⎠
2 ⎝
2⎠
⎛ 1⎞
1 ⎛
1 ⎞ jπ 1 1 ⎛
1 ⎞ jπ ⎜ − ⎟
= δ ⎜ f − ⎟e 2 + δ ⎜ f + ⎟e ⎝ 2⎠ =
2 ⎝
2⎠
2 ⎝
2⎠
π
1 ⎛
1 ⎞ j2 1 ⎛
1 ⎞ − j π2
=
= δ ⎜ f − ⎟e + δ ⎜ f + ⎟e
2 ⎝
2⎠
2 ⎝
2⎠
1 ⎛
1⎞
1 ⎛
1⎞
= j δ ⎜ f − ⎟− j δ ⎜ f + ⎟
2 ⎝
2⎠
2 ⎝
2⎠
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
55 από 75
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
3.3.12
56 από 75
ΘΕΜΑ 3 ΓΕ10506
Να βρεθεί (α) ο µετασχηµατισµός Fourier του σήµατος
x(t ) = Ax cos(2πf x t ) , και (β) του
σήµατος y (t ) = x(t ) ⋅ z (t ) όταν Ax = 1 , f x = 5 και z (t ) = (4 cos 6πt + 8 cos 2 8πt )
Επίσης να σχεδιασθεί το αµφίπλευρο και µονόπλευρο φάσµα του y(t).
Υπόδειξη : Το (α) ερώτηµα να λυθεί µε τη θεωρία µετατόπισης φάσµατος και θεωρώντας ότι
∫
∞
1 ⋅ e − j 2πft dt = δ ( f )
−∞
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
(α) Γνωρίζουµε από τις ταυτότητες Euler ότι cosθ =
e jθ + e − jθ
, οπότε συνδυάζοντας τον
2
ορισµό του µετασχηµατισµού Fourier θα έχουµε
∞
∞
⎛ e j 2πf xt + e − j 2πf xt
dt = Ax ∫ ⎜⎜
2
−∞
− ∞⎝
∞
∞
⎤
Ax ⎡ − j 2π ( f + f x )t
X(f )=
dt + ∫ e − j 2π ( f − f x )t dt ⎥
⎢ ∫e
2 ⎣ −∞
−∞
⎦
X ( f ) = F [x(t )] = ∫ Α x cos(2πf x t )e
− j 2πft
⎞ − j 2πft
⎟⎟e
dt ⇔
⎠
Για να µπορέσουµε να υπολογίσουµε το ολοκλήρωµα, θα χρησιµοποιήσουµε τον ορισµό της
συνάρτησης δέλτα αλλά και την ιδιότητα της συµµετρίας. Οπότε
f (t ) = δ (t )
F (ω ) =
+∞
∫ δ (t )e
−2π ft
dt = e− j 2π ft
−∞
t =0
= e − j 2π f 0 = 1
Εποµένως F {δ (t )} = 1
Από την ιδιότητα του δυϊσµού γνωρίζουµε ότι
x(t ) ←
⎯→ X ( f ) τότε X (t ) ↔ 2π ⋅ x(−ω )
Όµως ω = 2πf και εποµένως µε αλλαγή µεταβλητής θα έχουµε X (t ) ↔ x(− f )
Επίσης η συνάρτηση δέλτα είναι άρτια συνάρτηση, οπότε
Εποµένως F {1} =
∫
∞
1 ⋅ e − j 2πft dt = δ ( f )
−∞
Κατ΄αναλογία, εφαρµόζοντας τον προηγούµενο τύπο στην συνάρτηση Χ(f) και θεωρώντας και
την ιδιότητα της µετατόπισης θα έχουµε το ακόλουθο
X(f ) =
Ax
[δ ( f + f x ) + δ ( f − f x )]
2
(β) Εφαρµόζοντας τις αριθµητικές τιµές στην δοσµένη εξίσωση θα έχουµε
y (t ) = cos10πt * 4 cos 6πt + 8 cos 2 8πt
Οπότε ο µετασχηµατισµός Fourier θα δίνεται ως
(
)
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
57 από 75
y (t ) = 4 cos10πt * cos 6πt + 8 cos10πt * cos 2 8πt ⇔
1
1
y (t ) = 4 (cos16πt + cos 4πt ) + 8 cos10πt * (1 + cos16πt ) ⇔
2
2
y (t ) = 2 cos16πt + 2 cos 4πt + 4 cos10πt + 4 cos10πt * cos16πt ⇔
1
y (t ) = 2 cos16πt + 2 cos 4πt + 4 cos10πt + 4 (cos 26πt + cos 6πt ) ⇔
2
y (t ) = 2 cos16πt + 2 cos 4πt + 4 cos10πt + 2 cos 26πt + 2 cos 6πt ⇔
y (t ) = 2 cos(2π 8t ) + 2 cos(2π 2t ) + 4 cos(2π 5t ) + 2 cos(2π 13t ) + 2 cos(2π 3t )
Εφαρµόζοντας τον µετασχηµατισµό Fourier και γνωρίζοντας το αποτέλεσµα του (α) θα έχουµε
1
[δ ( f − 8) + δ ( f + 8)] + 2 1 [δ ( f − 2) + δ ( f + 2)] + 4 1 [δ ( f − 5) + δ ( f + 5)] +
2
2
2
1
1
+ 2 [δ ( f − 13) + δ ( f + 13)] + 2 [δ ( f − 3) + δ ( f + 3)] ⇔
2
2
Y ( f ) = [δ ( f − 8) + δ ( f + 8)] + [δ ( f − 2 ) + δ ( f + 2 )] + 2[δ ( f − 5) + δ ( f + 5)] +
+ [δ ( f − 13) + δ ( f + 13)] + [δ ( f − 3) + δ ( f + 3)]
Υ( f ) = 2
Το αµφίπλευρο φάσµα του δίνεται αµέσως παρακάτω
2
1
-13
-8
-5 -3 -2
0
23
5
8
13
f
Το µονόπλευρο φάσµα , σύµφωνα µε την παράγραφο 2.2.2 θα δίνεται από συντελεστές που είναι
διπλάσιοι από τους αντίστοιχους του αµφίπλευρου φάσµατος
4
2
1
0
23
5
8
13
f
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
4
58 από 75
ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΌΣ ΙΣΧΎΟΣ Ή ΕΝΈΡΓΕΙΑΣ.
4.1
Μεθοδολογία
•
Περίπτωση 1η: Ζητείται η µέση ισχύς περιοδικού σήµατος: Έστω σήµα x(t) περιοδικό µε
περίοδο Τ0 τέτοια ώστε να ισχύει x ( t + nT0 ) = x ( t ) , ∀ n ∈ ]
Για τα περιοδικά σήµατα η σχέση υπολογισµού της µέσης ισχύος τους (µε βάση την έκφραση
τους στο πεδίο του χρόνου) είναι η εξής:
t1 +T0
1
Px =
T0
∫ x (t )
2
⋅ dt
t1
Στο πεδίο των συχνοτήτων, τα περιοδικά σήµατα , που γράφονται µε τη µορφή µιγαδικής σειράς
Fourier ως:
x (t ) =
+∞
∑Ve
m =−∞
n
j 2π nft
1
, όπου Vn =
T0
και έχουν ΜΣ Fourier: X ( f ) =
T0
∫ x (t ) e
0
+∞
∑V
n =−∞
n
− j 2π nft
1
dt =
T0
t1 +T0
∫ x (t ) e
− j 2π nft
dt
t1
⋅ δ ( f − nf 0 ) , f 0 =
1
T0
η µέση ισχύς µπορεί να γραφεί ως ταυτότητα Parseval):
Px =
+∞
∑V
n =−∞
2
n
Η παραπάνω σχέση ονοµάζεται (ταυτότητα Parseval για περιοδικά σήµατα.
∆ηλαδή, βρίσκοντας την έκφραση του περιοδικού σήµατος στο πεδίο των συχνοτήτων,
µπορούµε να προσδιορίσουµε τη µέση ισχύ του υπολογίζοντας το άθροισµα των τετραγώνων
των πλατών καθεµιάς από τις συχνότητες που περιλαµβάνει το σήµα.
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
4.2
59 από 75
Παραδείγµατα
4.2.1
Παράδειγµα
Να υπολογιστεί η µέση ισχύς του σήµατος x ( t ) = A0 cos ( 2π f 0t ) .
α! Τρόπος: Υπολογισµοί µε ολοκλήρωση στο πεδίο του χρόνου
Το x ( t ) έχει περίοδο T0 =
1
Px =
T0
1
=
T0
t1 +T0
t1 +T0
∫
∫ x (t )
t1
2
1
⋅ dt =
T0
1
. Η µέση ισχύς σύµφωνα µε την παραπάνω ενότητα θα ισούται µε:
f0
t1 +T0
∫
t1
A0 cos ( 2π f 0t ) ⋅ dt =
2
A0 cos ( 2π f 0t )
2
t1
2 t1 +T0
A0
T0
∫
2
1
⋅ dt =
T0
t1 +T0
cos ( 2π f 0t ) ⋅ dt =
2
t1
∫
⎡⎣ A0 cos ( 2π f 0t ) ⎤⎦ ⋅ dt =
2
t1
A02
T0
t1 +T0
∫
t1
1 + cos ( 4π f 0t )
⋅ dt =
2
2
t +T
t1 +T0
⎤
A02 ⎡ t1 +T0 1
cos ( 4π f 0t ) ⎤ A0 ⎡ 1 t1 +T0 1 1 1 0
'
f
t
dt
π
⋅
=
sin
4
=
⋅ dt ⎥ =
(
)
⎢ ∫ ⋅ dt + ∫
⎢ [t ]t1 +
⎥
(
)
0
T0 ⎣⎢ t1 2
2
2 4π f 0 ∫t1
t1
⎦⎥ T0 ⎢⎣ 2
⎦⎥
A02 ⎡ 1
A02 ⎡ T0 1 1
⎤
t1 +T0 ⎤
1 1
⎡⎣sin ( 4π f 0 ( t1 + T0 ) ) − sin ( 4π f 0 ( t1 ) ) ⎤⎦ ⎥
=
⎡⎣sin ( 4π f 0t ) ⎤⎦ t ⎥ =
+
⎢ [t1 + T0 − t1 ] +
⎢
1
T0 ⎣ 2
2 4π f 0
⎦ T0 ⎣ 2 2 4π f 0
⎦
2
2
2
A
A ⎡T 1 1
⎤ A T
⎡⎣sin ( 4π f 0 ( t1 ) ) − sin ( 4π f 0 ( t1 ) ) ⎤⎦ ⎥ = 0 ⎢⎡ 0 + 0 ⎥⎤ = 0
= 0 ⎢ 0+
T0 ⎣ 2 2 4π f 0
⎦ 2
⎦ T0 ⎣ 2
β! Τρόπος: Υπολογισµοί από τη σειρά Fourier – µε την ταυτότητα Parseval
To x ( t ) µπορεί να γραφεί σε µορφή σειράς Fourier µε τη χρήση της σχέσης Euler:
e j 2π f0t + e − j 2π f0t A0 j 2π f0t A0 − j 2π f0t
=
+ e
e
2
2
2
A0
A
Επίσης, ο ΜΣ Fourier του x(t) ισούται µε: X ( f ) =
δ ( f − f0 ) + 0 δ ( f + f0 )
2
2
x ( t ) = A0 cos ( 2π f 0t ) = A0
οπότε η µέση ισχύς υπολογίζεται (µε χρήση της ταυτότητας Parseval) ως εξής:
2
2
A02 A02 A02
⎛ A0 ⎞ ⎛ A0 ⎞
Px = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ =
+
=
4
4
2
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
•
Περίπτωση 2η: Ζητείται η ενέργεια µη περιοδικού σήµατος (ενέργειας). Μπορεί να
εφαρµοστεί το θεώρηµα Parseval, µε βάση το οποίο η ενέργεια ενός σήµατος ενεργειας (σήµατος
µε πεπερασµένη ενέργεια) ισούται µε την ολοκλήρωση του τετραγώνου του µέτρου της
έκφρασής του είτε στο πεδίο του χρόνου είτε στο πεδίο των συχνοτήτων.
F
x ( t ) ←⎯
→ X ( f ) ⇔ Ex =
+∞
∫
−∞
x ( t ) dt =
2
+∞
∫ X(f)
2
df
−∞
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
4.2.2
60 από 75
ΘΕΜΑ 6 ΓΕ1 0506
∆ίδεται το σήµα Χ (t ) =
4
που είναι είσοδος σε βαθυπερατό φίλτρο µε συνάρτηση
4 + t2
µεταφοράς Η ( f ) = e 2|2π f | και µε µέγιστη συχνότητα αποκοπής f0. Για ποια τιµή του f0 η ισχύς
του σήµατος εξόδου ισούται µε 4 Joule;
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
Γνωρίζουµε από πίνακες µετασχηµατισµών ότι αν g (t ) = e − a|t| , G ( f ) =
F
g ( t ) = e − a|t| ←⎯
→
2α
.
α + 4π 2 f 2
2
2α
= G( f ) ⇔
α + 4π 2 f 2
2
F
⇔ g ( 2π t ) = e − a|2π t| ←⎯
→
F
⇔ 2π e − a|2π t| ←⎯
→
1
2π
2α
⎛ f
= G⎜
⎝ 2π
⎛ f ⎞
α 2 + 4π 2 ⎜ ⎟
⎝ 2π ⎠
2
⎞
⎟⇔
⎠
2α
α + f2
2
Σύµφωνα µε την ιδιότητα δυϊσµού θα έχουµε:
4
2⋅2
F
=
←⎯
→ 2π e −2|2π f | = 2π e −4π | f | , άρα x( f ) = 2π e −4π | f | .
2
4+t
2⋅ 2 + t2
Στο πεδίο των συχνότητων, η έξοδος του φίλτρου Υ(ω) θα δίνεται από
Y (ω ) = Η (ω ) x(ω )
Από το θεώρηµα του Parseval, η ενέργεια εξόδου θα δίνεται από
∞
Wout = ∫ Η ( f ) x( f ) df
2
−∞
Λαµβάνοντας υπ΄όψη τη συµµετρία του φάσµατος x(f) και του Η(f), η ενέργεια δίνεται από τη
σχέση:
f0
2
f0
f0
Wout = 2 ∫ e 4π f x( f ) df = 2∫ | e 4π f 2π e −4π f |2 df = 4π ∫ df = 4π f 0
0
0
Άρα θα πρέπει 4π f 0 = 4 ⇒ f 0 =
0
1
π
Hz.
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
4.2.3
61 από 75
Θέµα 4 ΕΞ2004Α
- Το σήµα
x(t ) =
{e0, ,tt<≥00
−t
περνά από ένα ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο
H(f) =
{0,1, ff ≤> ff
0
0
Α. Υπολογίστε την ενέργεια του x(t)
Β. Ποια πρέπει να είναι η συχνότητα αποκοπής του φίλτρου ω0 ώστε η ενέργεια του σήµατος
στην έξοδο του φίλτρου να ισούται µε το µισό της ενέργειας στην είσοδο;
Υπόδειξη: Από τη σχέση του Parseval, η ενέργεια ενός σήµατος x(t) µε µετασχηµατισµό Fourier
Χ(ω) ισούται µε
∫
+∞
−∞
+∞
| x(t ) |2 dt = ∫ | X ( f ) |2 df
−∞
Απάντηση:
Α) E =
∫
+∞
−∞
+∞
| x(t ) |2 dt = ∫ e −2t dt =
0
1
2
Β)
Από πίνακες ΜΣ Fourier έχουµε:
x(t ) =
{e0, ,tt<≥00 = e
−t
−t
F
u ( t ) ←⎯
→
1
=X(f)
1 + j 2π f
οπότε η ενέργεια του σήµατος είναι:
+∞
+ f0
−∞
− f0
E = ∫ | X ( f ) |2 df = ∫
Για
να
ισούται
η
(
1
1 + 4π f
ενέργεια
2
µε
) 2 df = 2∫
+ f0
0
το
µισό
1
1
df = tan −1 (2π f 0 )
2
1 + 4π f
π
της
ενέργειας
1
π
1
Hz
tan −1 (2π f 0 ) = ⇒ tan −1 (2π f 0 ) = ⇒ 2π f 0 = 1 ⇒ f 0 =
π
4
4
2π
1
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
εισόδου,
θα
πρέπει
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
62 από 75
5
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ: ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΗΜΑΤΩΝ ΕΙΣΟ∆ΟΥ (ΑΝ ∆ΙΝΕΤΑΙ
ΤΟ ΣΗΜΑ ΕΞΟ∆ΟΥ) Ή ΕΞΟ∆ΟΥ (ΑΝ ∆ΙΝΕΤΑΙ ΤΟ ΣΗΜΑ ΕΙΣΟ∆ΟΥ)
Υπολογισµός της κρουστικής απόκρισης (στο πεδίο του χρόνου) ή της συνάρτησης µεταφοράς
(στο πεδίο των συχνοτήτων) του συστήµατος.
5.1.1
Βασικές Σχέσεις για Γραµµικά Χρονικά Αναλλοίωτα Συστήµατα:
Για ένα Γραµµικό Χρονικά αναλλοίωτο Σύστηµα µε κρουστική απόκριση h(t) είσοδο x(t) και
έξοδο y(t) ισχύουν τα εξής:
y (t ) = x (t ) * h (t )
F
7
F
7
F
7
Y ( f ) = X ( f )⋅ H ( f )
Τα φίλτρα είναι γραµµικά χρονικά αναλλοίωτα συστήµατα που επιτρέπουν τη διέλευση σηµάτων
που ανήκουν σε µια συγκεκριµένη περιοχή συχνοτήτων (που καλείται ζώνη διέλευσης) και
αποκόπτουν τα σήµατα που ανήκουν στο υπόλοιπο µέρος του φάσµατος (που λέγεται ζώνη
αποκοπής). Ανάλογα µε το µέρος του φάσµατος που ανήκει στη ζώνη διέλευσης, τα φίλτρα
χωρίζονται στα εξής είδη:
5.1.2
Βαθυπερατά φίλτρα
Στα βαθυπερατά φίλτρα (ή περιορισµένου εύρους ζώνης ή κατωδιαβατά) η ζώνη διέλευσης είναι
µια περιοχή γύρω από την αρχή των αξόνων:
⎧1, όταν f < f 0 δηλ. - f 0 < f < f 0
⎪
⎧ f > f0
⎪
H(f )=⎨
⎪
⎪0, όταν f > f 0 δηλ. ⎨ή
⎪f <-f
⎪
0
⎩
⎩
Η συνάρτηση µεταφοράς µπορεί να εκφραστεί και ως:
⎛ f ⎞
H ( f ) = rect ⎜
⎟
⎝ 2 f0 ⎠
και µπορεί να παρασταθεί γραφικά ως εξής:
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
63 από 75
H(f)
1
2f0
-f0
0
f0
f
Σχήµα 5-1 Συνάρτηση Μεταφοράς Βαθυπερατού Φίλτρου
5.1.3
Υψιπερατά φίλτρα
Στα υψιπερατά φίλτρα (ή ανωδιαβατά) η ζώνη αποκοπής είναι µια περιοχή γύρω από την αρχή
των αξόνων:
⎧
⎧ f > f0
⎪
⎪
⎪1, όταν f > f 0 δηλ. ⎨ ή
H(f )=⎨
⎪f <-f
0
⎩
⎪
⎪0, όταν f < f δηλ. - f < f < f
0
0
0
⎩
Η συνάρτηση µεταφοράς µπορεί να εκφραστεί και ως:
⎛ f ⎞
H ( f ) = 1 − rect ⎜
⎟ = u ⎡⎣ − ( f + f 0 ) ⎤⎦ + u ( f − f 0 )
⎝ 2 f0 ⎠
και µπορεί να παρασταθεί γραφικά ως εξής
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
64 από 75
H(f)
1
2f0
0
-f0
f0
Σχήµα 5-2 Συνάρτηση Μεταφοράς Υψιπερατού Φίλτρου
5.1.4
Ζωνοπερατά φίλτρα
Στα ζωνοπερατά φίλτρα (ή ζωνοδιαβατά) η ζώνη διέλευσης αποτελείται από δύο συγκεκριµένες
συµµετρικές ζώνες στο θετικό και τον αρνητικό ηµιάξονα των συχνοτήτων:
⎧
⎧ f1 < f < f 2
⎪
⎪
⎪1, όταν f1 < f < f 2 , δηλ. ⎨ή
⎪
⎪
⎩ − f 2 < f < − f1
⎪
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
H(f)=⎨
⎪
f < f1 , δηλ. - f1 < f < f1
⎪
⎪
⎪0, όταν ⎨ ή
⎪
⎪
⎧ f > f2
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪ f > f 2 , δηλ. ⎨ή
⎪
⎪
⎪f <−f
⎪⎩
2
⎩
⎩
Η συνάρτηση µεταφοράς µπορεί να εκφραστεί και ως:
− f1 − f 2 ⎞
f +f
⎛
⎛
f− 1 2
⎜ f−
⎟
⎜
2
2
H ( f ) = rect ⎜
⎟ + rect ⎜
f
f
f
f1
−
−
2
1
2
⎜
⎟
⎜
⎝
⎠
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
και µπορεί να παρασταθεί γραφικά ως εξής
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
f
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
65 από 75
H(f)
1
-f2
− f1 − f 2
2
-f1
0
f1
f1 + f 2
2
f2
f
Σχήµα 5-3 Συνάρτηση Μεταφοράς Ζωνοπερατού Φίλτρου
5.1.5
Ζωνοφρακτικά φίλτρα
Στα ζωνοφρακτικά φίλτρα η ζώνη αποκοπής αποτελείται από δύο συγκεκριµένες συµµετρικές
ζώνες στο θετικό και τον αρνητικό ηµιάξονα των συχνοτήτων:
⎧
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪ f < f1 , δηλ. - f1 < f < f1
⎪
⎪
⎪1, όταν ⎨ ή
⎪
⎪
⎧ f > f2
⎪
⎪
H(f)=⎨
⎪
⎪ f > f 2 , δηλ. ⎨ή
⎪
⎪
⎪f <−f
⎪
2
⎩
⎩
⎪
⎪
⎧ f1 < f < f 2
⎪0, όταν f < f < f , δηλ. ⎪ ή
⎨
1
2
⎪
⎪
⎩ − f 2 < f < − f1
⎩⎪
Η συνάρτηση µεταφοράς µπορεί να εκφραστεί και ως:
− f1 − f 2 ⎞
f +f
⎛
⎛
f− 1 2
⎜ f−
⎟
⎜
2
2
H ( f ) = 1 − rect ⎜
⎟ − rect ⎜
−
−
f
f
f
f1
2
1
2
⎜
⎟
⎜
⎝
⎠
⎝
⎞
⎟
⎟=
⎟
⎠
⎛ f ⎞
= u ( − ( f + f 2 ) ) + rect ⎜
⎟ + u ( f − f2 )
2
f
⎝ 1⎠
και µπορεί να παρασταθεί γραφικά ως εξής
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
66 από 75
H(f)
1
-f2
-f1
0
f1
Σχήµα 5-4 Συνάρτηση Μεταφοράς Ζωνοφρακτικού Φίλτρου
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
f2
f
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
5.2
5.2.1
67 από 75
Παραδείγµατα
ΘΕΜΑ 7 ΓΕ1 0506
Θεωρείστε το σήµα x(t ) = 10 cos(2πf1t ) + 5 cos(4πf1t ) όπου f1 = 2 KHz . Το σήµα
αποστέλλεται µέσω ενός γραµµικού και αµετάβλητου κατά την µετατόπιση συστήµατος (LTI)
µε κρουστική απόκριση h(t ) = 1 όταν t ∈ [0, 1 ms] και µηδενική εκτός αυτού του διαστήµατος.
Έστω y (t ) η έξοδος του LTI συστήµατος Υπολογίστε:
1. Τον Fourier µετασχηµατισµό του x(t )
2
2. Την συνάρτηση µεταφοράς H ( f ) του γραµµικού συστήµατος σχεδιάζοντας το διάγραµµά
της
3. Το σήµα εξόδου y (t )
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
1) Είναι
ℑ ⎡⎣cos ( 2π f 0t ) ⎤⎦ =
1
⎡δ ( f − f 0 ) + δ ( f + f 0 ) ⎤⎦ (όπως προκύπτει από τα τυπολόγια
2⎣
του µ/σ Fourier)
Οπότε
⎛1⎞
⎛1⎞
X ( f ) = 10 ⎜ ⎟ {δ ( f − f1 ) + δ ( f + f1 )} + 5 ⎜ ⎟ {δ ( f − 2 f1 ) + δ ( f + 2 f1 )} = 5 {δ ( f − f1 ) + δ ( f + f1 )} + 2
⎝2⎠
⎝2⎠
Κατά συνέπεια το αντίστοιχο φάσµα είναι
5.0
5.0
2.5
2.5
-2
-f1
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
f1
2 f1
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
68 από 75
2) Από την εκφώνηση γνωρίζουµε ότι η κρουστική απόκριση του συστήµατος είναι ένας
τετραγωνικός παλµός, ο εξής
h(t)
T = 1 ms
t ms
Έχουµε ότι H(f), που είναι o µ/σ Fourier της h(t), δίδεται από την σχέση
H( f ) =
sin (π f ) − j 2π fT /2
e
, όπου T το πλάτος του παλµού
πf
οπότε
2
=>
H( f ) =
sin 2 (π f )
(π f )
2
και κατά συνέπεια το αντίστοιχο σχεδιάγραµµα του φάσµατος
πλάτους της h(t) εις το τετράγωνο είναι
-3/Τ
-2/Τ
-1/Τ
1/Τ
2/Τ
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
3/Τ
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
69 από 75
3) Είναι
Y ( f ) = X ( f )H ( f ) =
{
}
= 5 ⎡⎣δ ( f − f1 ) + δ ( f + f1 ) ⎤⎦ + 2.5 ⎡⎣δ ( f − 2 f1 ) + δ ( f + 2 f1 ) ⎤⎦
sin (π f )
πf
e− j 2π fT / 2
Y(f) = H(f) X(f) = 5 {δ(f-f1)+δ(f + f1)} sin(π f )/(π f) e(-j π f ) + 2.5 {δ(f -2 f1)+δ(f + 2 f1)} sin(π
f
)/(π f)
e(-j
∞
π f )
∫ Y(f) e
Το σήµα y(t) = αντίστροφος µ/σ Fourier {Y(f)} =
j 2π f t
df
=
−∞
∞
∫{5 {δ (f - f ) + δ (f + f )} sin(π f
1
1
της
γνωστής
)/(π f) e(-j π f ) + 2.5 {δ (f - 2 f1 ) + δ (f + 2 f1 )} sin(π f )/(π f) e(-j π f )} e j 2π f t df
=
−∞
λόγω
∞
0+
∞
-∞
0−
-∞
ιδιότητας
της
συνάρτησης
δ(t)
(σελ.
61
βιβλίου
∫ δ (t) dt = ∫ δ (t) dt = 1, => ∫ x(t )δ (t) dt = x(0),
=
5 { sin(π f1 )/(π f1) e(j 2 π f1 t -j π f1 )+ sin(-π f1 )/(-π f1) e(-j 2 π f1 t + j π f1 )} +
2.5 { sin(π 2f1 )/(π 2 f1) e(j 4 π f1 t - j π 2f1 )+ sin(-π 2 f1 )/(-π 2 f1) e(-j 4 π f1 t + j π 2 f1 )} =
5 { sin(π f1 )/(π f1) ( e(j π f1 (2t -1)) + e(-j π f1 (2t-1)))} +
2.5 { sin(π 2 f1 )/(π 2 f1) ( e(j π 2 f1 (2t-1)) + e(-j π 2 f1 (2t-1)))} =
5 { sin(π f1 )/(π f1) 2 cos(π f1 (2t-1))} + 2.5 { sin(π 2 f1 )/(π 2 f1) 2 cos(π 2 f1 (2t-1))} =
10/(π f1) { sin(π f1 ) cos(π f1 (2t-1))} + 5/(π 2 f1) { sin(π 2 f1 ) cos(π 2 f1 (2t-1))}
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
ΕΑΠ)
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
5.2.2
70 από 75
ΘΕΜΑ 7 ΓΕ1 0607
∆ίδεται το σήµα x(t)= 4 sinc(4t-2) sin(3πt) + 3 sin(6πt) + 7 cos(5πt) + 2 u(t+3). Το σήµα αυτό
εισάγεται στο φίλτρο µε συνάρτηση µεταφοράς:
⎧1, για 1 ≤ f ≤ 3
H1 ( f ) = ⎨
, αλλού
⎩0
και κατόπιν η έξοδος του φίλτρου εισάγεται στο φίλτρο µε συνάρτηση µεταφοράς:
⎧1, για f ≤ 2.6
H2 ( f ) = ⎨
, αλλού
⎩0
.
(α) Να υπολογιστεί το φάσµα του σήµατος x(t).
(β) Να υπολογισθούν τα φάσµατα των σηµάτων εξόδου των δύο φίλτρων.
•
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
Πρώτα πρέπει να ευρεθεί το φάσµα του σήµατος x(t) = 4 sinc(4t-2) sin(3πt) + 3 sin(6πt) + 7
cos(5πt) + 2 u(t+3). x (t ) = 4sinc(4t − 2)sin(3π t ) + 3sin(6π t ) + 7 cos(5π t ) + 2u(t + 3)
Από τις ιδιότητες και τα ζεύγη του µετασχηµατισµού Fourier λαµβάνουµε, δίνοντας έµφαση
όµως στην σειρά εφαρµογής των ιδιοτήτων ως εξής.
2
1
1
sinc(4t-2)= sinc(4(t- ))= sinc(4(t- ))=g(t- )
4
2
2
,όπου θεωρούµε g(t)= sinc(4t)
F
→ rect(f)
Γνωρίζουµε ότι sinc(t) ←⎯
F
Aρα g (t ) = sin c(4t ) ←⎯
→
1
f
rect ( ) (µε την ιδιότητα αλλαγής κλίµακας)
4
4
Οπότε µε βάση την ιδιότητα χρονικής µετατόπισης θα έχουµε:
1
(- j 2π f ( )) 1
1
f
1
f
F
2
g (t - ) ←⎯
rect ( ) = e(- jπ f )
rect ( )
→e
2
4
4
4
4
Επίσης, ισχύει ότι
4 sin c(4t - 2) sin(3π t ) = 4 sin c(4t - 2) (
1
) ( e j 3π t - e- j 3π t ) =
2j
1
1
F
) sin c(4t - 2) e j 3π t - 4 ( )sin c(4t - 2)e- j 3π t ) ←⎯
→
2j
2j
( f - 3/ 2) - jπ ( f - 3/ 2)
( f + 3/ 2) - jπ ( f + 3/ 2 )
F
)e
- (1/ 2 j ) rect (
)e
←⎯
→ (1/ 2 j ) rect (
4
4
= 4(
Όλα τα ανωτέρω προκύπτουν από το ολοκλήρωµα Fourier.
Για a>0 o ΜΣ Fourier σήµατος f(at + b) ισούται µε :
+∞
∫ f (at + b)e
−∞
− j 2π f t
+∞
dt =
∫ f ( y )e
−∞
− j 2π f (y - b)/a
+∞
d [( y − b) / a ] = 1 / a ∫ f ( y )e − j 2π f (y-b)/a dy =
−∞
+∞
1 / a ∫ f (t )e − j 2π f (t -b)/a dt = (1 / a )e j 2π f b/a F ( f / a ),
−∞
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
71 από 75
Όπου F(f) o o ΜΣ Fourier της f(t). ∆ηλαδή, η σειρά εφαρµογής των ιδιοτήτων Μ.Σ Fourier
προσδιορίζεται από την σειρά εφαρµογών της γνωστής ιδιότητας της αντικατάστασης
µεταβλητής στο ολοκλήρωµα Fourier.
∆εδοµένου ότι rect(f) = {1, για |f|<= ½, 0 οπουδήποτε αλλού} => rect((f - 3/2)/4) = { 1, για |(f 3/2)/4|<= ½, 0 οπουδήποτε αλλού} = { 1, για |(f - 3/2)|<= 2, 0 οπουδήποτε αλλού} = { 1, για
-1/2 <= f <=7/2 , 0 οπουδήποτε αλλού} και οµοίως rect((f + 3/2)/4) = { 1, για -7/2 <= f <=1/2 , 0
οπουδήποτε αλλού}
Επίσης, 3 sin(6πt) -> - 3j/2 (δ(f-3)- δ(f+3)) και 7 cos(5πt) -> 7/2 (δ(f-2.5) + δ(f+2.5))
Τέλος, 2 u(t+3) -> 2 {δ(f) + 1/(2jπf)} ej6πf
To πρώτο φίλτρο H1(f) είναι ιδανικό ζωνοπερατό φίλτρο (το φάσµα πλάτους του είναι το ίδιο µε
του σχήµατος 2.10γ του βιβλίου, |H1(f) =1, -3.0<=f<= -1.0 και 1.0<=f<=3.0). Εποµένως τα
φάσµατα σηµάτων εισόδου του µεταξύ συχνοτήτων -3.0<=f<= -1.0 και 1.0<=f<=3.0 περνούν
στην έξοδο του πρώτου φίλτρου ενώ οι υπόλοιπες συχνότητες αποκόπτονται.
To δεύτερο φίλτρο H2(f) είναι ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο (το φάσµα πλάτους του είναι το ίδιο
µε του σχήµατος 2.10α του βιβλίου, |H2(f) =1, -2.6<=f<=2.6). Εποµένως τα φάσµατα εξόδου του
πρώτου φίλτρου µεταξύ συχνοτήτων -2.6<=f<=2.6 περνούν στην έξοδο του δεύτερου φίλτρου
ενώ οι υπόλοιπες συχνότητες αποκόπτονται.
Κατά συνέπεια το ζητούµενο φάσµα για το πρώτο φίλτρο είναι
(1/2j) rect((f- 3/2)/4) e-j4π(f- 3/2) - (1/2j) rect((f + 3/2)/4) e-j4π(f + 3/2) + 7/2 (δ(f-2.5) + δ(f+2.5)) +
1/(jπf)ej6πf - 3j/2 (δ(f-3)- δ(f+3)), για -3.0<=f<= -1.0 και 1.0<=f<=3.0 και 0 οπουδήποτε αλλού
Ενώ το ζητούµενο φάσµα για το δεύτερο φίλτρο είναι
(1/2j) rect((f- 3/2)/4) e-j4π(f- 3/2) - (1/2j) rect((f + 3/2)/4) e-j4π(f + 3/2) + 7/2 (δ(f-2.5) + δ(f+2.5)) +
1/(jπf)ej6πf, -2.6<=f<= -1.0 και 1.0<=f<=2.6 και 0 οπουδήποτε αλλού
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
72 από 75
5.2.3
ΘΕΜΑ 5 ΓΕ5 0506
Να θεωρήσετε το σήµα f(t) περιορισµένης ζώνης το φάσµα του οποίου φαίνεται στο σχήµα 1. Το
σήµα αυτό µεταδίδεται σε ένα τηλεπικοινωνιακό κανάλι του οποίου τα χαρακτηριστικά
φαίνονται στο σχήµα 2.
(α) Να σχεδιάσετε το φάσµα του σήµατος s(t) στην έξοδο του τηλεπικοινωνιακού καναλιού.
(β) Να προτείνετε ένα τηλεπικοινωνιακό σύστηµα που ανακτά το αρχικό σήµα f(t) από το σήµα
s(t).
Σχήµα 1
Σχήµα 2
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
73 από 75
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
(α) Το σήµα m(t) µπορεί να περιγραφεί στο πεδίο του χρόνου ως εξής: m(t)=f(t)*cos(4πt)
Με βάση την ιδιότητα του µετασχηµατισµού Fourier για µετατόπιση του σήµατος στο πεδίο της
συχνότητας το σήµα m(t) µπορεί να περιγραφεί
Μ (ω ) =
1
1
F (ω − 4π ) + F (ω + 4π )
2
2
Επίσης S(ω)=Μ(ω)Η(ω)
(β) To αρχικό σήµα µπορεί να προκύψει ως εξής;
Το σήµα G(ω) µπορεί να προκύψει
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
G (ω ) =
1
1
S (ω − 4π ) + S (ω + 4π )
2
2
Το φάσµα του σήµατος φαίνεται στο σχήµα που ακολουθεί
Υ(ω)=G(ω)Η(ω)
Το φάσµα του Υ(ω) είναι το ακόλουθο
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
74 από 75
ΕΑΠ/ΠΛΗ22
Εναλλακτικό ∆ιδακτικό Υλικό
Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)
© Νίκος ∆ηµητρίου 20/06/2008
75 από 75

Download Report