(1 + x)n = ∑ (nn)x

Σύνολα και Αριθµοί
1. Προτασιακός Λογισµός. Μια εισαγωγή στην Μαθηµατική Λογική.
2. Η Θεωρία των συνόλων. Πράξεις µεταξύ των συνόλων, ένωση, τοµή διαφορά
και συµµετρική διαφορά συνόλων. Ιδιότητες των πράξεων, προσεταιριστικότητα, µεταθετικότητα, επιµεριστικότητα, Νόµοι του de Morgan.
3. Η έννοια του διατεταγµένου Ϲεύγους, το καρτεσιανό γινόµενο δύο συνόλων.
Σχέσεις. Η σύνθεση σχέσεων και η αντίστροφη σχέση. Σχέσεις ισοδυναµίας,
κλάσεις ισοδυναµίας και ο χώρος πηλίκο µιας σχέσης ισοδυναµίας. Σχέσεις
διάταξης.
4. Συναρτήσεις. Συναρτήσεις 1-1 και συναρτήσεις επί. Η έννοια της ακολουϑίας. Γενίκευση των πράξεων (ένωσης, τοµής) για µια ακολουθία συνόλων.
Γενικευµένοι νόµοι πράξεων συνόλων.
Ισοπληθικά σύνολα. Η δοµή του συνόλου των 1-1 και επί απεικονίσεων
(µεταθέσεων) σε ένα σύνολο σαν µια εισαγωγή στην ϑεωρία των οµάδων.
5. Οι Φυσικοί Αριθµοί. Τα Αξιώµατα του Peano. Η αρχή της επαγωγής. Οι
πράξεις και η διάταξη στους ϕυσικούς αριθµούς. Αποδείξεις
των ιδιοτήτων
n
των πράξεων και της διάταξης. Οι διωνυµικοί αριθµοί k και το νόηµά τους
στην συνδυαστική. Ο τύπος του διωνύµου
n
(1 + x) =
n X
n
n
xk
k=0
και απόδειξη του τύπου µε επαγωγή.
6. Οι ακέραιοι και οι ϱητοί αριθµοί. Κατασκευή, διάταξη και πράξεις. Αλγεϐρική δοµή των ακέραιων και των ϱητών.
7. Οι πραγµατικοί αριθµοί και η αναγκαιότητα της εισαγωγής τους (µέτρηση
µεγεθών, σύµµετρα και ασύµµετρα µεγέθη).
Ακολουθίες ϱητών αριθµών, η έννοια του ορίου µιας ακολουθίας, ιδιότητες
των ορίων. Βασικές ακολουθίες (ακολουθίες του Cachy), κατασκευή των
πραγµατικών αριθµών.
Η έννοια του ελάχιστου άνω ϕράγµατος (sup) και του µέγιστου κάτω ϕράγµατος (inf) ενός συνόλου. Η αρχή της πληρότητας (ισοδύναµες διατυπώσεις).
Η δοµή του συνόλου των πραγµατικών αριθµών σαν ένα πλήρες διατεταγµένο σώµα. Η ύπαρξη των ϱιζών και η εκθετική συνάρτηση.
8. Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών, σύγκλιση, η έννοια της υπακολουθίας
µιας ακολουθίας. Κάθε υπακολουθία συγκλίνουσας ακολουθίας συγκλίνει
στο ίδιο όριο.
1
Βασικά κριτήρια σύγλισης : Καθε ϐασική ακολουθία συγκλίνει, κάθε µονότονη και ϕραγµένη ακολουθία συγκλίνει.
Σύγλιση στο άπειρο, είσαγωγή των αριθµών +∞, −∞, το εκτεταµένο σύνολο των πραγµατικών αριθµών, «επιτρεπτές» και µη «επιτρεπτές πράξεις» και
η σηµασία τους.
n
µε τη ϐοήθεια του τύπου του διωνύµου
9. Μελέτη της ακολουθίας 1 + n1
(απόδειξη του ότι είναι
αύξουσα και ϕραγµένη). Ο αριθµός e σαν όριο της
1 n
ακολουθίας 1 + n . Βασικά όρια ακολουθιών
(αʹ) limn→∞ an = 0 για |a| < 1
(ϐʹ) limn→∞ an = +∞ για a > 0.
(γʹ) limn→∞
(δʹ) limn→∞
(εʹ) limn→∞
(ϛʹ) limn→∞
√
n
a = 1 για δοθέν a > 0.
√
n
n=1
√
n
nk = 1 για δοθέν k ∈ N, k ≥ 2.
nk
=
an
k n
0 για δοθέν a > 1 και για δοθέν k ∈ N, k ≥ 1.
(Ϲʹ) limn→∞ n a = 0 για δοθέν a µε |a| < 1 και για δοθέν k ∈ N, k ≥ 1.
(ηʹ) limn→∞ 1 +
a n
n
= ea για δοθέν a ∈ R.
10. Οι µιγαδικοί αριθµοί. Γεωµετρική ερµηνεία και ιδιότητες .
11. Οι χώροι Rn . Συστήµατα, γραµµικοί µετασχηµατισµοί, πίνακες ορίζουσες.
2

Download Report