Mode Locking Generazione di impulsi laser di brevissima durata temporale Simone Cialdi Outline Analisi delle ultime misure Modulatore AO per Q-switch Misura del delay time per la formazione dell’impulso Modulatore EO per Q-switch Generazione di seconda armonica Mode Locking (principio di funzionamento) Realizzazione pratica Mode Locking attivo Mode Locking passivo Compensazione della dispersione Teoria di Kuizenga-Siegman Condizione per ottenere ML stabile Misura della lunghezza dell’impulso Autocorrelatore Modulatore acusto-ottico assorbitore onda acustica Il fascio diffratto si forma quando ottengo la conservazione dell’impulso (devo distruggenre il fotone di ingresso e un fonone per generare un fotone) r k sin (Θ B ) = piezo RF L ΘB Generatore RF a 27MHz Leggi di conservazione: (energia e impulso) ν ' =ν + F r r r k '= k + K ν >> F = 27 MHz r 2π F K = V r k' V ≈ 5000m / s velocità onda acustica nel quarzo r K 2 r K r k r r k ≈ k' Perchè i due fotoni hanno circa la stessa energia Λ ∆φ ≈ ≈ 7 mrad > Θ B ≈ 1.5mrad h V Lunghezza d’onda Λ= dell’onda acustica F A causa della diffrazione l’onda acustica non è piana ∆φ ν '=ν + F ∆φ >> Θ B ν '=ν − F zio ne r k '' ra Regime di Raman-Nath r k ne all’uscita del modulatore vedo due fasci diffratti -1 ge h ΘB distruzione r k' r Kφ ' r Kφ '' Apparato per la verifica della diffrazione e dello shift in frequenza Sullo spettro vedo due picchi a 27MHz e 27x2=54MHz oscilloscopio rosmetro 27 MHz 54 MHz 1 1 1 = + f S o Si RF AO f 2f 2f fotodiodo Nd:YAG Laser Apparato per la misura del delay time relativo alla formazione dell’impulso propagazione formazione RF N p = No τD = No Ni = I sd I s Np I s − I sd (I − I sd ) τC Ni −1 Np = τC x −1 diffusore fotodiodo AO Nd:YAG BP Laser Procedura per la misura del delay time Media di N impulsi Fit della parte ritagliata In questa parte si considera costante l’inversione di popolazione x −m3 y = m1 + m2 e ns 1 τD 2 Dati 2011 τD 3 4 I Dati 2012 Misura ad alto rep. rate 10kHz, gruppo 3 ns τD τD = τC ∆t − τ (x − 1)1 − e In questo caso il tempo di ricarica è più piccolo del tempo di emissione spontanea, quindi Ni è più piccolo rispetto al previsto. Inoltre va considerato il fatto che alla fine dell’impulso l’inversione di popolazione non è 0. Un valore approssimato per l’inversione di popolazione dopo l’impulso è Np. ∆t ∆t − − N i* = N i 1 − e τ + N p e τ τD = τC N i* − 1 N p = τC ∆t − τ (x − 1)1 − e Laser Q-switched con modulatore EO Riflettore Roc=3m λ/4x2 Accoppiatore d’uscita con profilo gaussiano BP Nd:YAG Pockels cell (λ/4x2) Quando viene applicato l’impolso HV alla PC complessivamente la λ/4 e la PC non toccano la polarizzazione che quindi rimane H e non si hanno perdite aggiuntive rispetto a quelle dell’accoppiatore d’uscita. Generazione di seconda armonica con cristallo KDP fotodiodo veloce con filtro interferenziale @ 532nm L’energia dell’impulso è di 150mJ e la lunghezza circa 12ns fotodiodo veloce con filtro passa alto @ 715nm -50 Pellin-Broka prism Laser +100 KDP 2cm Abbiamo verificato che la lunghezza della 2° armonica è circa quella della 1° divisa per radice di 2 (il profilo della 2° è il quadrato del profilo temporale della 1°) La linea nera tratteggiata è il quadrato della 1° armonica (+ una traslazione) Abbiamo usato un sistema telescopico per aumentare l’intensità dell’impulso nel cristallo (circa 200MW/cm2, quindi ben minore della soglia di danneggiamento che è circa 1GW/cm2) 1st 2nd Mode locking Principio di funzionamento Considero la sovrapposizione di N modi longitudinali scorrelati in fase ∆ω = 2π FSR Eo2 ωo ∆ω L ω campo elettrico E (t ) = n ∑E e l =− n i (ωo + l ⋅∆ω )t + iϕ l o periodo che va come l’inverso del FSR ϕl = RNDl La fase del modo è casuale Nel dominio temporale ottengo un andamento irregolare larghezza minima che va come l’inverso della larghezza spettrale Cosa succede se impongo la stessa fase per tutti i modi? n i (ω ( ) E t = ∑ Eoe ϕl = 0 l=−n A (t ) = n ∑E l=−n o e il ⋅ ∆ ω t la distanza tra gli impulsi è l’inverso del FSR ∆τp o + l ⋅ ∆ ω )t = iω t ( ) A t e o sin ((2 n + 1)∆ ω ⋅ t / 2 ) = Eo sin (∆ ω ⋅ t / 2 ) 2π 1 = = τ p ∆ω ∆ν 2π 1 = ∆τ p ≅ (2n + 1)∆ω ∆ν L A(0 )2 = (2n + 1)2 E 2 o Ottengo un treno di impulsi. La lunghezza dell’impulso è l’inverso della larghezza spettrale 1 FSR Laser con Mode-Locking ? treno di impulsi Per ottenere tanti modi con una fissata relazione di fase dobbiamo inserire nella cavità un qualcosa che partendo da un modo già presente forzi i suoi primi vicini a nascere con la stessa fase. ν0 ν 0 − FSR ν 0 + FSR Si può ottenere ciò inserendo nella cavità un modulatore attivo o un modulatore passivo. Mode locking con modulatore Attivo Situazione iniziale Laser Mezzo attivo Mode locker (il modulatore delle perdite è un modulatore acusto-ottico risonante) Il mode locker introduce delle perdite modulate con un periodo pari al round-trip della cavità. L’impulso nasce sul minimo delle perdite e ad ogni round-trip le sue code vengono abbassate. Dopo la messa in fase Modulatore AO per il mode-locking In questo caso la potenza inviata dal generatore RF è costante ma poichè si forma un’onda stazionaria abbiamo un’efficienza di diffrazione periodica con periodo pari a 2 volte la frequenza della RF Aria = alta riflettività per l’onda acustica Onda stazionaria Se la RF è alla frequenza F allora la modulazione avviene alla frequenza 2F (e 2F deve essere uguale al FSR) compressione dilatazione t=0 t=T/4 piezo T=1/F t=T/2 RF Le due configurazioni a t=0 e t=T/2 sono identiche dal punto di vista della diffrazione dell’onda ottica Effetto del modulatore AO risonante su un modo della cavità Ain (t ) = cos(ωo t ) M δ Aout (t ) = Ain (t ) ⋅ 1 − (1 − cos(ωmt )) 2 δ δ δ δ Aout (t ) = 1 − cos(ωo t ) + cos((ωo + ωm )t ) + cos((ωo − ωm )t ) 4 4 2 La modulazione stimola la formazione dei due modi laterali (se ωm è uguale al 2πFSR) rispetto ad un modo centrale con la stessa fase di questo. ωo − ω m ωo ωo + ω m 2πFSR Mode locking con modulatore Passivo Assorbitore saturabile In generale è un oggetto che introduce maggiori perdite sulle basse intensità Assorbitore saturabile (DYE, semiconduttore: SESAM) Nel dominio temporale l’assorbitore saturabile taglia le code dell’impulso perchè le perdite aumentano al diminuire della potenza Assorbitore saturabile a semiconduttore: SESAM Funziona in riflessione e viene messo al posto del riflettore posteriore della cavità Tipico andamento della riflettività di un SESAM in funzione della fluenza RSESAM F A ≈ 1 − ∆Rns − ∆R sat Ep area dello spot sul SESAM energia dell’impulso Modulatore passivo ad effetto Kerr Il taglio delle code dell’impulso in questo caso avviene perchè il mezzo attivo (Ti:Sa) ha un’indice di rifrazione che aumenta (non linearità al 3° ordine) in funzione dell’intensità dell’impulso. Dunque la parte dentrale (dal punto di vista temporale) e le code dell’impulso vengono focalizzate con due focali diverse. Per mezzo di una fenditura oportuna si può rimuovere energia dalle code che dal punto di vista spaziale sono più larghe. Gli ordini di grandezza sono: lunghezza decine di fs, energia (dentro la cavità) decine di nJ, dimensione nel mezzo attivo decine di µm. Ovvero intensità maggiori di 10GW/cm2 (la soglia di danneggiamento rispetto all’intensità aumenta come la radice della lunghezza dell’impulso) Kerr-lens mode locked laser n = no + n2 I picco fenditura code Teoria di Kuizenga-Siegman Vogliamo ricavare il profilo temporale dell’impulso. Quindi dobbiamo scrivere gli operatori associati a tutti gli elementi ottici della cavità e trovare gli autostati dell’equazione risultante. Mezzo attivo Perdite Modulatore Tˆg Tˆl Tˆm campo elettrico condizione di ciclicità E (t ) = A(t ) e − iωo t TˆmTˆl Tˆg A(t ) = A(t ) portante ampiezza complessa Operatore associato al mezzo attivo Singolo passaggio Inizio a scrivere l’equazione nel dominio spettrale G (ω ) = e g (ω ) = eσN l I out (ω ) = G (ω ) ⋅ I in (ω ) 2ω 2 go g (ω ) = ≈ g o 1 − 2 ∆ω 2ω 1+ ∆ω G (ω ) ≈ e e go 2ω − go ∆ω Tˆg Considero una larghezza di riga lorentziana e la sviluppo rispetto al centro. Quindi dico che il contenuto spettrale dell’impulso sarà più piccolo rispetto alla larghezza di riga. Questo è ciò che tipicamente si ottiene. 2 Notare che il guadagno sulle code spettrali è minore e dunque il mezzo attivo si comporta come un “assrobitore” sulle code nel dominio spettrale Se considero l’ampiezza del campo ottengo: Aout (ω ) = G (ω ) Ain (ω ) go 2 G (ω ) ≈ e e g 2ω − o 2 ∆ω 2 Inoltre devo considerare che l’impulso passa due volte nel mezzo attivo (cavità lineare): Doppio passaggio t g2 = e g o e 2ω − go ∆ω 2 2 ω 2 ≈ (1 + g o ) 1 − g o ∆ω Ed eliminando il pezzo con go2 ottengo: 2 2 ω 2 t g ≈ 1 + g o 1 − ∆ω = tg Adesso devo passare dal dominio spettrale a quello temporale per mezzo delle proprietà della trasformata di Fourier: 2 2 2 2 t g = 1 + g o 1 − ω ∆ω d2 −ω → 2 dt 2 2 2 d 2 Tˆ g = 1 + g o 1 + ∆ω dt 2 Questo è l’operatore da associare al mezzo attivo nel caso di doppio passaggio nel dominio temporale. Notare che il mezzo attivo tende ad allungare l’impulso. Operatore associato alle perdite Tˆl In questo caso conviene scrivere subito l’operatore nel dominio temporale: I out (t ) = e −2δ I in (t ) Aout (t ) = e Ain (t ) ≈ (1 − δ ) Ain (t ) −δ Tˆl = 1 − δ Notare il fatto che gli operatori sono scritti per le ampiezze e quindi c’e’ un fattore 2 da considerare quando si passa alle perdite relative all’intensità o all’energia. Operatore associato al modulatore attivo Tˆm Riscrivo la modulazione già introdotta a pg. 16 nel dominio temporale δ Aout (t ) = Ain (t ) ⋅ 1 − (1 − cos(ωmt )) ≈ 2 δ 1 δ 2 2 Ain (t ) ⋅ 1 − 1 − 1 + (ωmt ) = Ain (t ) ⋅ 1 − (ωmt ) 2 4 2 δ δ 2 2 ˆ Tm = 1 − (ωmt ) ≈ 1 − (ωmt ) 2 4 2 δ 2 ˆ Tm = 1 − (ωmt ) 2 Ovviamente il modulatore schiaccia le code nel dominio temporale doppio passaggio Equazione per il mode locking attivo TˆmTˆl Tˆg A(t ) = A(t ) 2 2 d 2 δ 2 ( ) ( ) γ ω 1 1 t Tˆ gTˆl Tˆm = 1 + g o 1 + − − ≈ m 2 ω dt ∆ 2 2 2 d 2 δ 2 prendo solo i pezzi al primo ( ) 1 + go 1 + − γ − ω t m ordine ∆ω dt 2 2 2 2 d 2 δ 2 − γ − (ωmt ) A(t ) = 0 g o 1 + 2 2 ∆ω dt Notare che questa è l’equzione di un oscillatore armonico quantistico con t al posto di x e con A(t) al posto della funzione d’onda. Quindi conosciamo la soluzione. Gli autostati sono: An (t ) = H n (ω p t )e − ω 2p t 2 2 polinomi di Hermite 1 4 δ ωm ∆ω ω p = 2 g 2 o con la seguente condizione di bilancio energetico 1 2 2ω p2 1 g0 − γ = g0 n+ 2 ∆ω 2 La larghezza a metà altezza dell’impulso gaussiano (stato fondamentale) considerando l’intensità è: 1 2 1 4 2 2 ln 2 g o 1 ∆τ p = 2 δ ν ∆ν π m 1 2 0.45 ≈ ν m ∆ν Come era prevedibile la lunghezza dell’impulso è tanto più breve quanto più è grande la larghezza di riga. Inoltre gli stati eccitati con n maggiore di 0 decadono a causa della presenza dei termini di ordine superiore. Equazione per i mode locking passivo Ovviamente dobbiamo riscrivere l’operatore del modulatore: Singolo passaggio Aout (t ) = t sa Ain (t ) = e − γ sa 2 Doppio passagio Ain (t ) t sa2 = e −γ sa In generale per un assorbitore saturabile avremo un coefficiente di assorbimento del tipo: γ sa = γ' I 1+ Is Intensità di saturazione dell’assorbitore t =e 2 sa −γ sa ≈ 1 − γ sa I ≈ 1 − γ ' 1 − Is I Tˆs = 1 − γ + γ Is ' ' Riscrivo l’equazione di ciclicità: 2 2 2 d 2 A(t ) ' ' −γ −γ −γ g o 1 + A(t ) = 0 2 * I s ∆ω dt Che è un’equazione di Schrodinger non lineare con soluzione: t A(t ) = Ao sec h τ p 1 2 2 g o 2 I * s τ p = ' 2 ∆ γ ω A o 1 2 4go γ + γ − go = ∆ω 2τ p2 ' Condizione per ottenere Mode-Locking stabile nel caso passivo: Se la potenza media contenuta nella cavità aumenta le perdite dell’assorbitore diminuiscono e ciò contribuisce a far aumentare ulteriormente la potenza. Questo processo può crescere esponenzialmente e generare un impulso di Q-switch con all’interno un treno di impulsi di Mode-Locking. Sia quando si vuole lavorare in regime di ML stabile sia quando si vuole lavorare in regime di Qs-ML è fondamentale conoscere la condizione per cui si ha ML stabile. Per ottenere questa condizione si devono linearizzare le equazioni del laser (come abbiamo fatto per trovare le oscillazioni di rilassamento) aggiungendo le perdite dell’assorbitore: 1 dN dt = R − Boφ N − τ N dφ 1 = Vo Boφ N − φ dt τ 'c 1 dN dt = R − Boφ N − τ N dφ 1 1 q A (φ )φ = Vo Boφ N − φ − dt τc TRT Ho scritto che le perdite q dipendono dai fotoni in cavita (ovvero i fotoni dell’impulso) Senza il nuovo termine dopo la linearizzazione ottenevo: d 2δφ 2 dδφ 2 + + ω δφ = 0 2 dt to dt df 2τ to = x df ω = x − 1 τ cτ Per trovare la nuova equazione mi basta derivare il nuovo termine rispetto al tempo: d 1 1 q A (φ )φ ≈ dt TRT TRT dq A (φ0 ) dφ φ0 + q A (φ0 ) dφ dt Quindi la nuova equazione diventa: d 2δφ 2 1 + + 2 dt to TRT dq A dδφ q A (φ0 ) + φ0 + ω 2δφ = 0 dφ dt Le perdite dell’assorbitore all’equilibrio possono essere inglobate nel termine con t0 d 2δφ 2 1 dq A dδφ 2 + + φ + ω δφ = 0 0 2 dt t 'o TRT dφ dt Il problema è che la derivata delle perdite dell’assorbitore è negativa e quindi può introdurre una soluzione divergente (innesca l’impulso di Qs) Dunque la condizione per avere ML stabile è: dq A 2 φ0 < TRT dφ t 'o Che posso riscrivere con l’energia dell’impulso in modo ovvio: dq A T E p < 2 RT dE p t 'o Adesso la devo riscrivere in modo più esplicito: 2τ t 'o = x df e x lo ricavo da: Ep hν =φ = Leff S τ σc (x − 1) Lezione 1 Sostituendo ottengo: Ep dq A TRT Ep < + dE p τ Esat , L dove Esat , L hν =S⋅ 2σ Nel caso del SESAM (vedi pg. 18) poichè ho: 1 − q A = RSESAM F A ≈ 1 − ∆Rns − ∆R sat Ep dq A F A = ∆R sat 2 dE p Ep E quindi la condizione diventa: ∆R Esat , A Ep < TRT τ + Ep dove: Esat , L Esat , A = Fsat A E approssimativamente si può scrivere: ∆R Esat , A Ep < Ricordare che questa è l’energia dell’impulso all’interno della cavità. Nota: questa condizione è praticamente impossibile da ottenere nel caso di un Nd:YAG con diamentro di 1mm circa... Ep Esat , L Ovvero: E > ∆R ⋅ Esat , A Esat , L 2 p In sostanza non si forma un impulso di Qs se l’assorbitore e il mezzo attivo sono ben saturati, ovvero non rispondono alla sollecitazione Misura della lunghezza dell’impulso Autocorrelatore: genero due repliche dell’impulso e le mando su un cristallo non lineare. Prendo l’intensità delle seconda armonica in funzione del delay-time tra le repliche. Nella generazione di seconda armonica due fotoni alla frequenza ω vengono distrutti e viene creato un fotone alla frequenza 2ω. L’intensità della seconda armonica è proporzionale al quadrato della prima: Cristallo non lineare I 2ω (t ,τ ) ∝ I ω (t )I ω (t + τ ) I tempi di risposta del fotodiodo sono molto più lunghi della lunghezza dell’impulso, quindi il segnale del fotodiodo è proporzionale all’integrale nel tempo dell’impulso di seconda armonica: τ fotodiodo Quindi la tensione all’uscita del rivelatore è: Nota: in questo caso devo ottenere il phasematching del caso non collineare V (τ ) ∝ ∫ dt I ω (t )I ω (t + τ ) Nota: se τ è maggiore della lunghezza degli impulsi non genero seconda armonica Esempio di schema di un autocorrelatore (senza riflesso verso il laser) volmetro fotodiodo BBO V (τ ) ∝ ∫ dt I ω (t )I ω (t + τ ) lente Nel caso gaussiano: I ω (t ) ∝ e BS prisma montato su una slitta che può traslare lungo x x τ= 2x c 2t 2 − 2 ∆ V (τ ) ∝ e − τ2 ∆2 quindi la lunghezza del’impulso è quella dell’autocorrelazione divisa per radice di 2 Nota: la lunghezza dell’impulso in generale non è uguale all’inverso della larghezza spettrale perchè l’impulso può avere un contenuto in fase. Per questo non può essere usato in interferomentro per misurarne la lunghezza. Esempio: calcolare la lunghezza di un impulso con la seguente ampiezza spettrale A(ω ) = A0 e − ω2 ∆2 e 1 i βω 2 2 Questo impulso ha uno spettro gaussiano ma in più ha una fase spettrale parabolica, quando si passa al dominio temporale la fase contribuisce alla lunghezza dell’impulso. Questo non è un esempio esotico ma banale, infatti un impulso acquista questo termine di fase quando attraversa un qualsiasi materiale. Intuitivamente l’allungamento dell’impulso è dovuto al fatto che frequenze diverse viaggiano a velocità diverse con un delay time pari a: d τ (ω ) = φ (ω ) = βω dω analogo della frequenza istantanea Compensazione della dispersione Quando l’impulso attraversa il mezzo attivo acquista questo termine di fase parabolico e ciò impedisce di ottenere impulsi brevissimi (sotto i 100fs). Per evitare questo si può aggiungere alla cavità un compressor a prismi: Materia: dispersione positiva t Compressor a prismi: dispersione negativa blu red t Per completare l’argomento possiamo scrivere la propagazione di un impulso qualsiasi all’interno di un materiale: z z=0 All’inizio l’impulso ha un’ampiezza spettrale qualsiasi A(ω), dopo una propagazione z all’interno del materiale otteniamo: E (t , z ) = ∫ A(ω ')e − iω ' t + ik (ω ' ) z dω ' Ovvero, il campo è dato dal contributo (integrale) di tutte le frequenze con le relative propagazioni spaziali. Adesso mi conviene sviluppare k rispetto alla frequenza centrale: E (t , z ) = e ≈e − iω 0 t ~ − iω t + ik (ω0 +ω ) z dω ' ≈ ∫ A(ω )e −iω0t + ik 0 z ~ ∫ A(ω )e dk 1 d 2k 2 − iω t + i ω z + i ω z 2 dω 2 dω dω ' ω è lo shift rispetto alla portante Termine lineare: traslazione alla velocità di gruppo dell’impulso (vedi proprietà della trasformata) dω Vg = dk Termine parabolico: dispersione d 2k z β= 2 dω Notare che: λ2 d 2π 1 dk dλ dk n λ dn = = =− n(λ ) = − Vg dω dω dλ 2π c dλ λ c c dλ Poichè la derivata di n rispetto a λ è negativa la velocità di gruppo è sempre minore della velocità di fase (dipersione normale) Varie: L’autocorrelatore funziona solo se abbiamo infinite copie dell’impulso e se cambiamo il delay time durante la misura per mezzo di un dispositivo meccanico. E’ possibile però ottenere l’intera curva di autocorrelazione con un singolo impulso e senza muovere la slitta. Autocorrelatore a singolo impulso: considerare che 1ps = 0.3mm in aria Cristallo NL 2θ x x= Vgτ tg (θ ) CCD w gli angoli sono quelli all’interno del cristallo impulsi Il profilo trasverso della seconda armonica è esattamente il profilo della curva di autocorrelazione. Per fare in modo che la curva di autocorrelazione possa stare dentro la larghezza del fascio deve essere: w >> Vg ∆t p tg (θ ) Esempio amplificatore (CPA) per impulsi al fs: prima di essere amplificato l’impulso viene allargato con uno stretcher. Poi passa in un aplificatore rigenerativo ovvero una cavità dove l’impulso passa tante volte nel mezzo attivo. Poi passa in un amplificatore multipasso di potenza. Infine l’impulso viene riportato alla lunghezza inziale con un compressor. 10 nJ 10mJ 720 mJ, 532 nm, 10Hz, ~10ns 100µJ 1 kHz, 532 nm, 15 W Piccolo guadagno (10x2) e grande energia Grande guadagno (104) piccola energia
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