Scelta in condizioni di incertezza Il problema della scelta in condizioni di incertezza è il problema della scelta tra variabili casuali, che ci condurrà ad alcuni concetti fondamentali della teoria degli investimenti: la funzione di utilità attesa, il certo equivalente, la avversione al rischio, il premio al rischio. Per semplicità immaginiamo che il nostro agente economico debba scegliere tra variabili casuali discrete (che cioè possono assumere un numero finito di valori), che nel contesto della teoria delle decisioni vengono tradizionalmente chiamate lotterie. Esempio di lotterie sono quindi 100 con prob. 1 / 3 100 con prob.1 / 2 a = 150 con prob. 1 / 3 oppure b = 200 con prob. 1 / 2 200 con prob.1 / 3 © Fabio Bellini 2013 Lotterie di lotterie Un caso particolare sono le lotterie certe, che possono assumere un solo valore con probabilità 1 (sono cioè variabili casuali costanti), ad esempio a = {100 con prob. 1 Date due lotterie a e b e un numero 0 < α < 1, definiamo la lotteria di lotterie α a + (1 − α )b come la lotteria che con probabilità α mi fa vincere un biglietto della lotteria a , e con probabilità (1 − α ) un biglietto della lotteria b. In statistica questa operazione si chiama mistura tra le variabili casuali a e b; con probabilità α scelgo la variabile a, con probabilità (1-α) scelgo la b. Da un punto di vista modellistico corrisponde alla randomizzazione di un parametro, il cui valore non è più fissato ma estratto aleatoriamente. © Fabio Bellini 2013 Esempio Come esempio consideriamo 100 con prob. 1 / 3 100 con prob. 1 / 3 a = 20 con prob. 1 / 3 e b = 10 con prob. 1 / 2 30 con prob. 1 / 6 40 con prob. 1 / 3 1 Se prendiamo α = , la lotteria di lotterie α a + (1 − α )b è data da 2 10 con prob. 1 2 ⋅ 1 2 10 con prob. 1 4 20 con prob. 1 3 ⋅1 2 20 con prob. 1 6 α a + (1 − α )b = 30 con prob. 1 6 ⋅1 2 = 30 con prob. 1 12 40 con prob. 1 3 ⋅1 2 40 con prob. 1 6 100 con prob. 1 3 ⋅ 1 2 + 1 3 ⋅ 1 2 100 con prob. 1 3 © Fabio Bellini 2013 L'insieme delle lotterie Indichiamo con M l'insieme delle lotterie; su di esso richiediamo soltanto due proprietà: i ) M contiene le lotterie certe ii ) ∀a, b ∈ M , ∀α ∈ (0,1), abbiamo che α a + ( 1-α )b ∈ M Richiediamo cioè che l'insieme M sia chiuso rispetto alla operazione di lotteria di lotterie, nel senso che se a e b appartengono a M allora anche ogni lotteria di lotterie costruita con a e b appartiene a M. Ipotizziamo che l'agente economico sia in grado di scegliere tra diverse lotterie, cioè che abbia una relazione di preferenza sull'insieme delle lotterie M che soddisfi alcune proprietà (assiomi). Questa è la impostazione assiomatica del problema della scelta in condizioni di incertezza, che sta alla base della teoria delle decisioni. © Fabio Bellini 2013 La relazione di preferenza Sull'insieme M l'agente economico ha una relazione di preferenza che gode delle seguenti proprietà: R proprietà riflessiva ∀a ∈ M , a ≤ a TR proprietà transitiv a ∀a, b, c ∈ M , a ≤ b e b ≤ c ⇒ a ≤ c In matematica una relazione che gode di queste due proprietà si chiama relazione di preordine. Se a queste aggiungiamo anche AAAA proprietà antisimmetrica ∀a, b ∈ M , a ≤ b e b ≤ a ⇒ a = b otteniamo quella che viene chiamata una relazione di ordine. Questa proprietà, che vale ad esempio per i numeri reali, è piuttosto restrittiva e non vale in generale per le lotterie; è possibile avere lotterie distinte che tuttavia sono equivalenti per l'agente economico nel senso che appunto valgono contemporaneamente a ≤ b e b ≤ a. © Fabio Bellini 2013 Lotterie equivalenti Viene naturale considerare lotterie per le quali valgano contemporaneamente a ≤ b e b ≤ a come lotterie equivalenti. Diamo quindi la seguente definizione; a ≈ b (cioè a è equivalente a b) se a ≤ b e b ≤ a E' facile verificare (fatelo!) che la relazione appena introdotta è effettivamente una relazione di equivalenza, nel senso che gode delle proprietà R RRRR SSSS T proprietà riflessiva ∀a ∈ M , a ≈ a proprietà simmetrica ∀a, b ∈ M , a ≈ b ⇒ b ≈ a proprietà transitiva ∀a, b, c ∈ M , a ≈ b e b ≈ c ⇒ a ≈ c L'esempio più semplice di relazione di equivalenza è la uguaglianza tra numeri reali. Il fatto che la relazione di preferenza sia una relazione di preordine e non una relazione d'ordine corrisponde al fatto che lotterie distinte possano essere equivalenti. © Fabio Bellini 2013 Ordinamenti totali e parziali Una relazione di preordine è totale se ogni coppia di lotterie è confrontabile: TTTT ordine totale ∀a, b ∈ M , vale a ≤ b oppure b ≤ a (o valgono entrambe, nel qual caso a ≈ b) Assumendo questa proprietà, assumiamo che l'agente economico sappia sempre quale scegliere tra due lotterie, che non ci siano cioè "casi dubbi" di lotterie non confrontabili. In molti casi invece, come ad esempio nelle dominanze stocastiche che vedremo in seguito, l'ordinamento è solo parziale nel senso che alcune coppie di lotterie non solo tra di loro confrontabili. Un esempio di ordinamento parziale è dato dal criterio media varianza, per il quale una lotteria è preferibile a un'altra se ha media superiore e varianza inferiore. Se una lotteria ha media superiore ed anche varianza superiore a un'altra, allora non è confrontabile con questa. © Fabio Bellini 2013 Ulteriori proprietà Per arrivare al "teorema della utilità attesa" di Von Neumann e Morgenstern, sono necessarie due ulteriori ipotesi sulla relazione di preferenza: CCCC continuità : Se a ≤ b ≤ c, esiste α ∈ [0,1] tale che α a + (1 − α )c ≈ b IIII indipendenza : Se a ≤ b, ∀α ∈ [0,1] e ∀c ∈ M, si ha α a + (1 − α )c ≤ α b + (1 − α )c La prima ha un significato prevalentemente matematico, garantisce che attraverso la operazione di lotteria di lotterie possiamo "coprire" tutti i possibili "gradi di preferenza" compresi tra a e b; la seconda ha carattere più sostanziale e garantisce che la preferenza di a rispetto a b si mantenga anche all'interno di lotterie di lotterie con c. Tutti questi assiomi sono stati oggetto di critiche, osservazioni, indebolimenti, indagini sperimentali (si parla di"experimental economics") che costituiscono quella che viene normalmente chiamata teoria delle decisioni (decision theory). © Fabio Bellini 2013 Il teorema della utilità attesa Il fondamentale teorema della utilità attesa di Von Neumann e Morgenstern afferma che se un investitore è dotato di una relazione di preferenza sull'insieme M delle lotterie che soddisfa gli assiomi R, TR, T, C, I, allora questa preferenza è data da una funzione di utilità attesa sull'insieme delle lotterie: U : M → R tale che a ≥ b ⇔ U (a) ≥ U (b) Questo teorema ci dice in primis che l'agente economico la cui preferenza soddisfa gli assiomi R, TR, T, C, I sceglie attribuendo a ciascuna lotteria un punteggio (la funzione U di utilità attesa) e poi prendendo la lotteria con il punteggio più alto; una lotteria è preferita ad un'altra se e solo se ha un punteggio maggiore. Non solo: la funzione U si chiama utilità attesa perché è la media (in matematica valore atteso e media sono sinonimi) di un'altra funzione u(x) che si chiama utilità di cose certe o utilità monetaria: x1 con prob. p1 Se a = .... allora U (a ) = x con prob. p n n n ∑ p k u ( xk ) = E[u ( a )] k =1 © Fabio Bellini 2013 Il teorema della utilità attesa /2 Questo fondamentale teorema ci dice che un investitore la cui relazione di preferenza soddisfi gli assiomi R, TR, T, C, I, sceglie tra lotterie in un modo molto semplice: per ciascuna lotteria a calcola la media della sua funzione di utilità di cose certe u(x) n U (a) = ∑ pk u ( x k ) k =1 e poi sceglie la lotteria per cui questo valore sia massimo. Come primo esempio possiamo considerare un agente per cui u(x)=x; in questo caso evidentemente l'utilità attesa coincide con la media: n n k =1 k =1 U (a) = ∑ pk u ( x k ) = ∑ pk x k = µ a Vedremo in seguito che un agente di questo tipo, che decide esclusivamente in base alla media della lotteria, viene definito neutrale rispetto al rischio. © Fabio Bellini 2013 Il teorema della utilità attesa /3 Il nome di utilità di cose certe per la funzione u(x) deriva dal fatto che se la lotteria a è certa (cioè se paga il valore x con probabilità 1) allora evidentemente la sua utilità attesa coincide con la utilità di cose certe: n U (a) = ∑ pk u ( x k ) = 1⋅ u( x ) = u ( x ) k =1 Osservazioni: i) è naturale ipotizzare che la funzione u(x) sia crescente, cioè che tra due lotterie certe quella che fa vincere un importo maggiore sia preferita. ii) se aggiungiamo a u(x) una costante additiva otteniamo Se u~ ( x ) = u ( x) + c, allora n n n n k =1 k =1 k =1 k =1 ~ U (a) = ∑ pk u~ ( xk ) = ∑ pk (u ( x k ) + c) = ∑ pk u ( xk ) + c ∑ pk = U (a) + c l'ordinamento di preferenza non muta. © Fabio Bellini 2013 Il teorema della utilità attesa /4 iii) se moltiplichiamo u(x) per una costante positiva otteniamo Se u~ ( x ) = cu( x ), con c > 0 n n k =1 k =1 ~ U (a) = ∑ pk u~ ( xk ) = ∑ pk cu( x k ) = cU (a ) Quindi anche qui l'ordinamento di preferenza non muta. iv) se consideriamo una lotteria di lotterie, allora la sua utilità attesa è data da U (α a + (1 − α )b) = αU (a) + (1 − α )U (b) La utilità attesa di una mistura è quindi la combinazione lineare delle utilità attese delle singole componenti. v) se consideriamo variabili casuali generiche X, possiamo ancora scrivere U ( X ) = E[u ( X )] nel caso in cui E[u ( X )] < +∞ © Fabio Bellini 2013 Esempi Vediamo alcuni esempi. Consideriamo un agente con u(x) = ln x e siano 1 00 con prob. 1/3 100 con prob. 1/2 a = 1 50 con prob. 1/3 , b = 2 00 con prob. 1/2 200 con prob. 1/3 3 Si ha U (a ) = 1 1 1 ∑ p k u ( x k ) = 3 ln(100 ) + 3 ln(150 ) + 3 ln( 200 ) ≅ 4,971 k =1 1 1 ln(100 ) + ln( 200 ) ≅ 4,951 pertanto un agente con utilità 2 2 di cose certe u ( x ) = ln x preferisce la lotteria a. e U (b ) = © Fabio Bellini 2013 Esempi /2 Se invece consideriamo le stesse lotterie valutate da un agente con u(x) = x^2, otteniamo 1 00 con prob. 1/3 100 con prob. 1/2 a = 1 50 con prob. 1/3 , b = 2 00 con prob. 1/2 200 con prob. 1/3 1 1 1 U ( a ) = (100 ) 2 + (150 ) 2 + ( 200 ) 2 = 24167 3 3 3 1 1 U (b ) = (100 ) 2 + ( 200 ) 2 = 25000 2 2 Un agente con u ( x ) = x 2 invece preferisce la lotteria b. Vediamo quindi che agenti con funzioni di utilità differenti possono ordinare in modo diverso le stesse lotterie a e b. © Fabio Bellini 2013 Esempi /3 Consideriamo ora il caso di una lotteria continua (variabile casuale continua) in cui vinco un importo aleatorio che ha una distribuzione normale con media µ e varianza σ2. Ricordando dall'esame di statistica la formula per la f.g. m. di una Normale otteniamo Se X ha distribuzi one N ( µ , σ 2 ), allora E[e tX ] = exp( µ t + σ 2t 2 2 ) abbiamo che se consideria mo la utilità esponenzia le u ( x ) = − e − x , allora E[u ( X )] = E[ − e − X ] = − E[e − X ] = − exp( − µ + σ2 2 ) dalla formula precedente . © Fabio Bellini 2013 Certo equivalente Introduciamo ora il concetto di certo equivalente C(a) di una lotteria a definito come l'importo certo che l'agente è disposto a scambiare con lotteria a (cioè l'importo della lotteria certa che per l'agente è equivalente alla lotteria a). Dato il teorema della utilità attesa, è molto facile trovare una formula per il certo equivalente; esso è quell'importo C(a) per cui n u (C (a )) = U (a) = ∑ pk u( x k ) quindi il certo equivalente è dato da k =1 n C (a) = u −1 ∑ pk u( x k ) dove u −1 è la funzione inversa di u. k =1 Si tratta di un esempio di media funzionale o media secondo Chisini; il certo equivalente è quell'importo costante x che messo all'interno della funzione di più variabili U(x1,…xn) lascia invariato il risultato (la utilità attesa della lotteria a). La funzione inversa u-1 esiste sempre in quanto u(x) è crescente. © Fabio Bellini 2013 Esempi Riprendiamo gli esempi precedenti 1 00 con prob. 1/3 100 con prob. 1/2 a = 1 50 con prob. 1/3 , b = 2 00 con prob. 1/2 200 con prob. 1/3 Se u ( x ) = ln x, si ha U ( a ) ≅ 4,971 e U (b ) ≅ 4,951 . Dato che u −1 ( y ) = e y abbiamo C ( a ) = exp(U ( a )) ≅ 144 ,17 e C (b ) = exp(U (b )) ≅ 141,32 . Osserviamo che in accordo a quanto visto C (a ) ≥ C (b ) (la lotteria a è preferita alla lotteria b) e inoltre osserviamo che in entrambi i casi il certo equivalent e è inferiore alla media della lotteria (pari a 150 in entrambi i casi). © Fabio Bellini 2013 Esempi /2 Nell'altro caso abbiamo invece 100 con prob.1/3 100 con prob. 1/2 a = 150 con prob.1/3 , b = 200 con prob. 1/2 200 con prob.1/3 u ( x) = x 2 , U (a ) = 24167 e U (b ) = 25000 Dato che u −1 ( y ) = y , abbiamo C (a ) = 24167 ≅ 155,46 e C (b ) = 25000 ≅ 158,11. Questa volta C (b ) ≥ C ( a ) e infatti b era preferita ad a , e inoltre questa volta in entrambi i casi il certo equivalent e è superiore alla media. © Fabio Bellini 2013 Esempi /3 Infine nell'ultimo caso abbiamo Se X ha distribuzi one N ( µ , σ 2 ) e u ( x ) = − e − x , allora E[u ( X )] = − exp( − µ + σ2 2 ); per trovar e la funzione inversa poniamo y = − e − x da cui − y = e − x , ln( − y ) = − x, x = − ln( − y ). La funzione inversa è pertanto u −1 ( y ) = − ln( − y ); il certo equivalent e è quindi dato sempliceme nte da C ( X ) = u −1 E[u ( X )] = − ln( − ( − exp( − µ + − ln(exp( − µ + σ2 2 ) = −( − µ + σ2 2 )=µ− σ2 2 )) = σ2 2 © Fabio Bellini 2013
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