Il comportamento meccanico dei materiali soggetti a carichi impulsivi

Il comportamento meccanico dei materiali
soggetti a carichi impulsivi
Andrew Ruggiero
DICeM - University of Cassino and Southern Lazio, Cassino, Italy
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Applicazioni
Difesa
Corazzature, anti-armor, penetratori KE,
esplosivi, detonazioni sottomarine
Aerospazio
Debris, collisioni in volo, lavorazione
metalli
Petrolchimico
Explosioni di gas e polveri, simulazione
di incidenti, perforazione
Nucleare
Interazione fluido-struttura, colpi d’ariete,
esplosione di tubazioni, caduta CASK
Trasporti
Sicurezza, esplosioni di veicoli in tunnel,
crashworthiness
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Applicazioni: la carica cava
V_slug = 1 km/s
V_jet = 6-12 km/s
T = 500 °C
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Applicazioni: la carica cava
RPG-7
3.4 meters of high-strength armor steel
Oil & Gas
Well
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Quasistatica vs. Dinamica
Importanza delle forze d’inerzia
Propagazione onde di sforzo
Differente comportamento del
materiale:
• Curva di resistenza
• Modello di danno
• EoS
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Che cos’è un’onda
Onda – Fenomeno con cui un disturbo, su una qualsiasi
grandezza fisica, si propaga nello spazio circostante
La propagazione è del disturbo
non della grandezza fisica
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Tipi di onda
Onda longitudinale
Onda trasversale
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Principi fondamentali
ò r dV = const
• Conservazione della massa
V
F=m
• Conservazione della quantità di moto
I=
• Conservazione dell’energia
dv
dt
ò F dt =ò m dv = m vf - m vi
1 2
E
+
å i å 2 r vi =
j
j
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1 2
E
+
å f å 2 r vf + W
j
j
Equazione dell’onda per moto unidimensionale
¶s x
sx +
dx
¶x
sx
x
¶u
e=
¶x
piccole deformazioni
¶s
¶v
=r
¶x
¶t
dx
v=
Hp: piccoli spostamenti
¶u
¶t
s = s(e)
¶s
¶s ¶e
¶s ¶2u
¶2u
=
=
=r 2
2
¶x
¶e ¶ x
¶e ¶ x
¶t
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Conservazione della
quantità di moto
c=
2
¶2 u
¶
u
2
2 =c
¶t
¶ x2
ds de
r
Equazione dell’onda per moto unidimensionale
2
¶2 u
¶
u
2
2 = c
¶t
¶ x2
y = f ( x - ct ) + g ( x + ct )
t = ti = 0
y
t = dt
d x = cd t
c
Soluzione più generale
velocità di propagazione dell’onda
y = f (x)
y = f ( x - c d t)
x
cL =
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E
r
æ
çç c D =
çè
G ö÷
÷
r ÷ø
Tensione generata dall’impatto
v 0 dt
v0
B
I = s A0dt
A
v = v0
v=0
m Dv = r A0 c dt v 0
s = r c v0
cdt
Nello studio dei fenomeni d’impatto lo sforzo è definito positivo se di compressione
Nella fisica delle onde d’urto:
u - velocità della particella
U - velocità dell’onda (d’urto)
A volte lo stress viene confuso con la pressione
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s = ruU
Riflessione e Trasmissione di un’onda elastica
Barra con discontinuità
in una sezione
A1, r1, c1 sI
•
All’interfaccia, la forza nelle due
barre deve essere uguale
•
Le velocità delle particelle
dell’interfaccia devono essere continue
s = rcv
sI
sR
sT
=
r1c1 r1c1
r2c2
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sT
sR
A1 ( sI
+
A 2 , r2 , c 2
sR ) = A2 ⋅ sT
v I -v R =v T
sT =
2A1r2c 2
⋅ sI
A1r1c1 + A2r2c 2
sR =
A2 r2 c2 - A1r1c1
⋅ sI
A1r1c1 + A2 r2 c2
Riflessione e Trasmissione di un’onda elastica
Barra con discontinuità in una sezione:
materiale identico nelle due barre
2A1r2c 2
sT =
⋅s
A1r1c1 + A2r2c 2 I
sR =
A1, r1, c1 sI
r1 = r 2
c1=c2
A2 r2 c2 - A1r1c1
⋅ sI
A1r1c1 + A2 r2 c2
A2>A1
sR
sT =
sR =
sT e sR
sT
2A1sI
A1 +A2
( A2 -A1 ) sI
A1 +A2
saranno dello stesso segno
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A2 , r1, c1
Riflessione e Trasmissione di un’onda elastica
Barra con discontinuità in una sezione
A1, r1, c1 sI
sR
sT
A2
 0
A1
s R  -s I
A2
 ¥
A1
s R  s I (s T  0 )
s R = 0 se A 2 r 2 c 2 = A 1 r 1 c 1
sT e s I
sR e s I
(Se le impedenze sono uguali)
hanno sempre lo stesso segno
hanno lo stesso segno se
A 2 , r2 , c 2
A2r2c2 >A1r1c1
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Riflessione e Trasmissione di un’onda elastica
RIFLESSIONE DI UN’ONDA LONGITUDINALE SU UNA SUPERFICIE LIBERA
ORTOGONALE ALLA DIREZIONE DI PROPAGAZIONE DELL’ONDA
u, v
+s
cL
cL
snet
[email protected]
ghost
u, v
-s
Riflessione e Trasmissione di un’onda elastica
RIFLESSIONE DI UN’ONDA LONGITUDINALE SU UNA SUPERFICIE FISSA
ORTOGONALE ALLA DIREZIONE DI PROPAGAZIONE DELL’ONDA
u, v
u, v
+s
cL
cL
u,v = 0
[email protected]
ghost
+s
Onde di sforzo elasto-plastiche: stato di sforzo uniassiale
Prevedere la risposta del materiale per carichi che eccedono lo snervamento
Base per determinare le proprietà dinamiche del materiale
RATE INDEPENDENT THEORY
s
s
E1
⋅t
r
E1
sy
sy
E
e
[email protected]
E
⋅t
r
x
Onde di sforzo elasto-plastiche: stato di sforzo uniassiale
s
e
e1
sy
e1
ee
e
c1
c0
x
Ogni livello di tensione o deformazione propaga con una propria velocità
caratteristica che dipende dalla pendenza della tangente nel punto
Per l’assunzione di curva σ-ε con concavità verso l’asse delle ε, tensioni e
deformazioni più elevati hanno velocità di propagazione minori
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Comportamento meccanico dei materiali
Curva di resistenza
s = f (e, e,T )
Campbell Ferguson Plot
Acciaio dolce ricotto, double notch shear SHPB
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Modellazione fenomenologica
JOHNSON AND COOK (1983)
σ = ( A + Bε pn )(1 + C ln ε* )(1 − T *m )
T − T0
T =
Tmelt . − T0
*
ε* =
ε
ε0
Modello fenomenologico.
Vantaggio: separazione degli effetti termici e di strain rate
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Modellazione fenomenologica
JOHNSON AND COOK (1983) (cont.)
W
Cu
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21
Comportamento meccanico dei materiali
Condon-Morse curves
 A B
U = − n  + m
r  r
P=
∂U
 a  b
= − N  + M
∂r
r  r
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Difetti nei materiali cristallini
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Dinamica delle dislocazioni
Barriere di
Peierls-Nabarro
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Dinamica delle dislocazioni
Barriere incontrate dal moto delle dislocazioni
s = sG (structure ) + s *(T , e, structure )
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Dinamica delle dislocazioni
Strutture cristalline
Ferro
Cromo
Tungsteno
Niobio
Peierls-Nabarro stress
Alluminio
Rame
Oro
Argento
Dislocation forests
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Cadmio
Magnesio
Titanio
Zinco
Modellazione su basi fisiche
ZERILLI-ARMSTRONG (1987)
BCC
σ = c0 + B0 exp  − ( β 0 − β1 ln ε ) T  + K ε n
FCC
σ = c0 + B0ε 0.5 exp  − ( β 0 − β1 ln ε ) T 
BCC
dσ
= Knε n −1
dε
FCC
dσ 1
= B0ε −0.5 exp  − ( β 0 − β1 ln ε ) T 
dε 2
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c0 = σ G + k d
Modellazione su basi fisiche
Effetto storia del carico
s = f (e, e,T , struttura )
MECHANICAL THRESHOLD STRESS MTS,
(Follansbee and Kocks (1988), Mudlin et al. (1990)
Il modello si basa sulla meccanica delle dislocazioni. Il
processo di deformazione plastica è descritto da una
variabile interna detta MTS che segue l’evoluzione della
microstruttura (generazione di dislocazione e recovery)
σ = σˆ a +
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G
 sthσˆ + sth ,iσˆ i + sth , sσˆ s 
G0
Modello di danno
JOHNSON AND COOK (1983)

 σ H 
ε = D1 + D2 exp  D3
  [1 + D4 lnε *][1 + D5 T *]

 σ eq  
f
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D=
Δε
εf
Modellazione delle ceramiche
JOHNSON HOLMQUIST (JH2)
σ * = σ *i − D (σ *i −σ * f )
σ *i = A( P * +T *) N (1 + C ln ε*)
σ * f = B( P*) M (1 + C ln ε*)
f
σ* =
σ
σ HEL
P* =
P
σ HEL
[email protected]
D =  Δε p Δε p
ε pf = D1 ( P * +T *) D
2
Onde di sforzo elasto-plastiche: stato di deformazione
uniassiale
e1 = e1e + e1p
e2 =
e2e
+
e2p
e3 = e3e + e3p
e2 = e3 = 0
e2p
=
-e2e
e3p = -e3e
Incompressibilità del
flusso plastico
e1p + e2p + e3p = 0
e1e =
s1 n
s
2n
- ( s2 + s 3 ) = 1 s
E E
E
E 2
e2e =
(1 - n )
s2 n
n
- ( s1 + s3 ) =
s2 - s1
E
E
E
E
e3e =
(1 - n )
s3 n
n
- ( s1 + s2 ) =
s3 - s1
E
E
E
E
e1 =
e1p = -e2p - e3p = -2e2p
e1p = 2e2e
e1 = e1e + e1p = e1e + 2e2e
Criterio di snervamento
(von Mises o Tresca)
s1 ( 1 - 2n ) 2s2 ( 1 - 2n )
+
E
E
s1 =
s1 - s2 = Y0
E
2
2
e1 + Y0 = Ke1 + Y0
3 ( 1 - 2n )
3
3
K=
[email protected]
E
3 ( 1 - 2n )
Onde di sforzo elasto-plastiche: stato di deformazione
uniassiale
e1 = e1e
Deformazione elastica
uniassiale
e2e =
(1 - n )
E
s2 -
n
s =0
E 1
s1
s2 =
s1
(
n
s
1-n 1
)
ELASTIC PERFECTLY
PLASTIC
1-n
Ee1
( 1 - 2n )( 1 + n )
s1
2 Y0
3
s1 = K e1
sHEL
Y0
s1 =
LINEAR STRAIN HARDENING
ELASTIC
PERFECTLY
PLASTIC
LINEAR STRAIN HARDENING
E
s1
2n 2s1
e1 =
E E (1 - n )
e2 = e2e = e3 = e3e = 0
HYDROSTAT
e1
E (1 - n )
( 1 - 2n )( 1 + n )
[email protected]
e1
e1
Onde di sforzo elasto-plastiche: stato di deformazione
uniassiale
Onda d’urto stabile
s1
Rayleigh
line
e1
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Onde di sforzo elasto-plastiche: stato di deformazione
uniassiale
Equazioni di salto
( Per P0 = 0; E 0 = 0 )
r0U = r ( U-u )
u
r0
= 1r
U
P-P0 = r0 Uu
Pu=
1
( r0Uu2 ) + r0U ( E-E0 )
2
P = r0 Uu
E=
Rankine Hugoniot equation
1
E - E 0 = ( V0 -V )( P+P0 )
2
Caso generale
P
( V -V )
2 0
( V= 1 r )
u-u1
r1
= 1r
U-u1
P-P1 = r1 ( U-u1 )( u-u1 )
E - E1 =
1
( P+P1 )( V1 -V )
2
[email protected]
+ equazione di stato
Onde di sforzo elasto-plastiche: stato di deformazione
uniassiale
Stato di sforzo
uniassiale
Stato di deformazione
uniassiale
s1
s
sy
e1
e1
e
[email protected]
Hugoniot: rappresentazione dei dati
Rappresentazione dei dati
e = 1-
V
r
= 1- 0
V0
r1
[email protected]
Onde di sforzo elasto-plastiche: stato di deformazione
uniassiale
Onda d’espansione
Expansion Waves
Decompression Waves
Rarefaction Waves
Relief Waves
Unloading Waves
Release Waves
s1
e1
[email protected]
Onde di sforzo elasto-plastiche
Impatto simmetrico tra due
dischi dello stesso spessore
v0
Stato di deformazione uni-assiale in
prossimità dell’asse di simmetria
v0
v0
2v 0
v=0
Dv=vf -vi =v0
t
Impatto
simmetrico
Ds=rcv0
comp
x
[email protected]
Onde di sforzo elasto-plastiche
t
Impatto non simmetrico tra due
dischi dello stesso spessore ma
materiale differente
c1=2c2
comp
spall fracture
traz
x
[email protected]
Spall fracture
spall plane
[email protected]