COSTRUZIONI
AEROSPAZIALI
Prof. Renato Barboni
La Trave Aeronautica
Le strutture in campo aerospaziale
vengono generalmente realizzate in
“parete sottile” cioè tali che :
t << p << L
ed irrigidite con centine, correnti, …
L
t
p
Le centine e le ordinate hanno caratteristiche così diverse dal
rivestimento e dai correnti da poterle considerare:
−infinitamente rigide nel piano, per cui è possibile assumere che la
forma della sezione trasversale non si modifica quando caricata;
−perfettamente flessibili fuori del piano, per cui la sezione se non
vincolata risulta libera di distorcersi (warping non impedito).
R
−
B
a
r
b
o
n
i
•
“
C
o
s
t
r
u
z
i
o
n
i
”
Con tali ipotesi lo schema di calcolo di una trave in parete sottile
si basa sulle formule semplici e pratiche.
Tali formule devono però essere impiegate con accortezza,
verificando che le ipotesi su cui si fondano siano rispettate.
In questa analisi di accertamento dell’applicabilità della teoria,
bisogna tenere ben presente le seguenti peculiarità delle
strutture in parete sottile:
1.Il principio di St Venant non è sempre applicabile: in
particolare gli effetti di bordo sono molto più estesi di quelli
che si hanno in strutture piene; pertanto in prossimità del
vincolo occorre una analisi basata su ipotesi ben diverse.
2.Gli sforzi di taglio non risultano genericamente trascurabili
rispetto a quelli assiali, ma assumono valori elevati e
significativi.
R
−
B
a
r
b
o
n
i
•
“
C
o
s
t
r
u
z
i
o
n
i
”
Torsione
x
1. Sezioni Aperte
A’ A
B
B’
2. Sezioni Chiuse
Uni-cellulari
x
Mt
3. Sezioni chiuse
Multi-cellulari.
R
−
B
a
r
b
o
n
i
Mt
“
C
o
s
t
r
u
z
i
o
n
i
”
z
1.Torsione in
Sez. Aperte
y
x
l
L
z
z
s
τ xy
t
y
dθ
= 2Gz
; τ xz = 0
dx
τxy
Glt
M t = Bθ′ ; B =
3
t
3
3LM t
θ= 3
Gt l
Poiché L/t >>1, le sezioni subiscono forti rotazioni e quindi
non adatte a reggere a momenti torcenti.
τxy
R
−
B
a
r
b
o
n
i
“
C
o
s
t
r
u
z
i
o
n
i
”
2. Sezioni Chiuse
Uni-cellulari
x
Lo studio della torsione di sezioni anche cave ma di forte spessore, salvo il caso
di sezione circolare, presenta difficoltà analoghe a quelle delle sezioni piene.
Se però lo spessore è sottile si può ipotizzare che lo sforzo di taglio τ sia
costante (lungo la sezione e nello spessore) e tangente alla linea media del
profilo. Questo consente soluzioni molto semplici e di facile impiego.
z
t/2
y
0
φ=φ 1
τxs
φ=0
Flusso di taglio
q=
∫
−t / 2
τdt
R
−
B
a
r
b
o
n
i
“
C
o
s
t
r
u
z
i
o
n
i
”
z
Nel tratto P1P2, (di una sezione
chiusa) il flusso q ha:
q = cost
P2
inclinazione
p
Lz
Ly
P
y
P2
Ry = q
P1
di modulo
α
P1
∫
P2
ds
Q
−Una risultante R
di componenti
dA(P)
∫
dz
dy
ds = qL y ; R z = q ds = qL z
ds
ds
P
1
R = q L2y + L2z = qL
α = tan −1
Rz
L
= tan −1 z
Ry
Ly
−Un momento (torcente) risultante rispetto ad un generico polo P
P2
P2
P1
P1
(P)
(P)
M (P)
=
q
p
ds
=
2q
dA
t
∫
∫
con dA(P) l’area del triangolo PQS, di base ds ed altezza p(P).
R
−
B
a
r
b
o
n
i
“
C
o
s
t
r
u
z
i
o
n
i
”
1° Formula di Bredt
A
Su tutta la sezione chiusa , il flusso q ha:
−Una risultante R
di componenti R y = v∫ q
di modulo
dy
dz
ds = 0 ; R z = v∫ q ds = 0
ds
ds
R =0
−Un momento (torcente) risultante rispetto ad un generico polo P
M
(P)
t
= 2q v∫ dA
(P)
= 2Aq
τ xs
Mt
Mt
=
⇒ γ xs =
2At
2AGt
Si noti come si possano calcolare sforzo e scorrimento senza conoscere la
rigidezza torsionale della sezione: il problema della torsione nei tubi sottili è un
problema staticamente determinato.
R
−
B
a
r
b
o
n
i
“
C
o
s
t
r
u
z
i
o
n
i
”
2° Formula di Bredt
γ′s
τxs
γ xs = γ′s + γ′x =
G
∂v
∂u
( P ) dθ
′
′
γ
=
=
p
γs =
x
∂x
dx
∂s
∂u τxs
dθ
=
− p(P)
∂s G
dx
γ′x
ds
B
A
p(P)
P
dx
dθ ⎞
⎛τ
u (s) − u (0) = ⎜ xs − p ( P )
⎟ds
G
dx ⎠
0⎝
s
∫
dθ
q
dθ ( P )
q
dA ( P )
ds − 2
p ds =
ds −
u (s) − u (0) =
dx 0
Gt
dx 0
Gt
0
0
s
∫
s
∫
s
∫
s
∫
dθ
1 qds M t
q
dθ
=
=
0 = v∫
ds − 2A
⇒
v
∫
dx 2A Gt 4A 2
Gt
dx
4A 2 4A 2
M t = Bθ′ dove B =
=
ds
l0
v∫ Gt
ds
v∫ Gt
R
−
B
a
r
b
o
n
i
“
C
o
s
t
r
u
z
i
o
n
i
”
Spostamento fuori del piano
(Ingobbamento)
q
dθ
u(s) − u(0) = ∫ ds − 2 ∫ dA (P)
Gt
dx 0
0
s
s
R
−
B
a
r
b
o
n
i
P2
M t = 2q ∫ dA (P)
P1
dθ M t
dove l0 =
=
2 l0
dx 4A
M t l0
u (s) = u 0 +
2A
∫
ds
dl e dl =
Gt
⎛ dl dA ( P )
⎜⎜ −
l
A
0⎝ 0
s
∫
⎞
⎟⎟
⎠
“
C
o
s
t
r
u
z
i
o
n
i
”
Sezione circolare
M t l0
u (s) = u 0 +
2A
⎛ dl dA ( P )
⎜⎜ −
l
A
0⎝ 0
s
∫
ds 2πR
l0 =
=
Gt
Gt
R
C
;
ls
ds s
s
ls =
= ⇒ =
Gt Gt l 0 2πR
0
∫
s
;
As
s
∫
A = πR 2
⎞
⎟⎟
⎠
A s( C )
Rs A s( C )
s
R
=
⇒
=
ds =
2
A
2πR
2 0
∫
u(s) = u 0
R
−
B
a
r
b
o
n
i
“
C
o
s
t
r
u
z
i
o
n
i
”
Mt
3. Sezioni Chiuse
Multi-cellulari
Mt
Si assumono le seguenti ipotesi:
−i momenti torcenti sono dati da una distribuzione di sforzi di taglio uguale a
quella che si ha su una generica sezione.
−le sezioni sono libere di distorcersi mantenendo inalterata la forma date le
centine rigide nel loro piano e completamente flessibili fuori del loro piano.
q Axs
x
q Bxs
q xs
A
B
Fig. a)
q =q
B
xs
A
xs
q Axs
B
C
C
q xs
A
B
q xs
Fig. b)
q +q −q = 0
C
xs
B
xs
A
xs
R
−
B
a
r
b
o
n
i
“
C
o
s
t
r
u
z
i
o
n
i
”
A
3a. Sezioni Chiuse
Bi-cellulari
q2
q1
0
Assumendo l’origine dell’ascissa s in 0. muovendosi in direzione
antioraria, q2 è costante; giunti in A, q2 si divide in due q1,2 nel
setto verticale e q1 lungo la parete.
Tra questi tre flussi vige la relazione: q1,2=q1−q2, pertanto calcolati
q1,q2 si conosce q1,2 quindi il numero di incognite linearmente
indipendente è due ovvero pari al numero delle celle.
q1
q2
La sola equazione di equilibrio alla torsione non è sufficiente a risolvere il
problema (problema staticamente indeterminato e bisogna ricorrere alle
condizioni di congruenza).
R
−
B
a
r
b
o
n
i
“
C
o
s
t
r
u
z
i
o
n
i
”
q1
q2
−Equilibrio = 1equazione
M t = 2[A 1q 1 + A 2 q 2 ]
−Congruenza=1equazione
θ1′ = θ′2
⎧ 1
1
⎡
⎤
⎡⎣q 2l2 − q1l1,2 ⎤⎦
−
=
q
q
l
l
⎨
11
2 1,2 ⎦
⎣
2A 2
⎩ 2A1
Sistema di due equazioni nelle due incognite q1,q2.
Determinate q1,q2 si calcola la rotazione della sezione.
R
−
B
a
r
b
o
n
i
“
C
o
s
t
r
u
z
i
o
n
i
”
3b. Sezioni Chiuse Multi-cellulari
2
A1
A2 q2
q1
An
R
−
B
a
r
b
o
n
i
q n −1,n = q n −1 − q n
qn
1
N
−Equilibrio = 1equazione
−Congruenza=N-1 equazioni
Mt = 2
∑A q
n =1
n
n
θ1′ = θ′2 = ....θ′n = ...θ′N
dθ n
1
=
q l − q n −1l n −1,n − q n +1l n ,n +1
2A n n n
dx
[
Sistema di N equazioni nelle N incognite q1,q2, …, qN.
Determinate le q1,q2, …, qN si calcola la rotazione della sezione.
]
“
C
o
s
t
r
u
z
i
o
n
i
”
Effetto dei setti sulla rigidezza torsionale
4A 2
∑L
≤B<4
n
∑
n
A 2n
Ln
B0
h=0,3a
q1
a
n
B/B0=1
h=0,3a
q1
q2
R
−
B
a
r
b
o
n
i
a
2a/3
B/B0=1,006
h=0,3a
q2
q1
a
3a/4
B/B0=1,016
h=0,3a
q1
q2
a
“
C
o
s
t
r
u
z
i
o
n
i
”
Effetto dei setti sulla rigidezza torsionale
4A 2
∑L
≤B<4
n
∑
n
A 2n
Ln
B0
h=0,3a
q1
a
n
a/3
B/B0=1,03
h=0,3a
q1
q2
q3
a
2a/4
B/B0=1,056
h=0,3a
q1
q2
q3
a
3a/5
B/B0=1,077
h=0,3a
q1
q2
a
q3
R
−
B
a
r
b
o
n
i
“
C
o
s
t
r
u
z
i
o
n
i
”
Flessione (pura)
σ xx =
z
ˆ
M
y
Iy
ˆ
M
z+ z y
Iz
A=bt
t
•
G
X
y
⎡ bt 3 ⎛ h ⎞ 2 ⎤
th 3
+ 2* ⎢
+ ⎜ ⎟ bt ⎥ =
Iy =
12
12
⎝ 2 ⎠ ⎥⎦
⎢⎣
h/2
h
th 3 bh 2 t
=
+
+ 0(t 3 )
12
2
P iano di
carico
b
Iy =
3
th
12
Iy
⎛ h⎞
= bt ⎜ ⎟
⎝ 2⎠
2
R
−
B
a
r
b
o
n
i
“
C
o
s
t
r
u
z
i
o
n
i
”
Taglio (+ flessione)
∂σ
∂σ
∂q
dq
= − t xx ⇒
= − t xx
∂s
∂x
ds
∂x
s
q(s) = q 0 − ∫ t
0
σ xx
ˆ
ˆ
∂M
ztds ∂M
y
z
= q0 −
−
∂x ∫0 I y
∂x
∂M y
∂x
= Tz
∂q sx
ds
∂s
∂q xs
dx
∂x
∂σ xx
tσ xx + t
dx
∂x
q xs +
q xs
∂σ xx
ds =
∂x
s
q sx +
ds
dx
s
q sx
ytds
∫0 Iz
∫
Tz
z
∂M z
;
= Ty
∂x
s
Tˆy
Tˆz
q(s) = q 0 −
z( tds) −
Iz
Iy 0
R
−
B
a
r
b
o
n
i
My
dx
A
Tz
x
My +
∂M y
∂x
s
∫
0
y( tds) = q 0 + q * (s)
dx
“
C
o
s
t
r
u
z
i
o
n
i
”
NOTA
σ xx
z
G
q sx +
y
∂q sx
ds
∂s
ds
x
∂q xs
dx
∂x
∂σ
tσ xx + t xx dx
∂x
q xs +
q xs
dx
q sx
L’elemento dxdydz deve essere in equilibrio, quindi deve soddisfare:
ΣFy=0 , ΣFz=0 , ΣMt=0 ; ΣFx=0 , ΣMy=0 , ΣMz=0
• che ΣFy=0 , ΣFz=0 , ΣMt=0 è garantito dal flusso di taglio totale dovuto a
q(s)=q*+q0. In particolare:
− il flusso q* , che è in equilibrio con il carico T applicato , assicura
l’equilibrio delle forze nel piano yz: ΣFy=0 , ΣFz=0;
− il flusso q0 assicura l’equilibrio alla torsione.
• che ΣFx=0 , ΣMy=0 , ΣMz=0 è assicurato dagli sforzi assiali σxx.
R
−
B
a
r
b
o
n
i
“
C
o
s
t
r
u
z
i
o
n
i
”
Taglio (+flessione)
A)−Forza T applicata nel Centro di Taglio (SENZA Torsione)
A1)−Forza di taglio T nel (C.T) , (sezioni aperte).
A2)−Forza di taglio T nel [C.T] , [sezioni UNI-cellulari chiuse].
A3)−Forza di taglio T nel [C.T] , [sezioni MULTI-cellulari chiuse].
B)− Forza T in un generico punto (CON Torsione) .
B1)−Sezioni UNI-cellulari chiuse
B2)−Sezioni MULTI-cellulari chiuse
C)− Determinazione del Centro di taglio .
C1)−Il (C.T) , (sezioni aperte).
C2)−Il [C.T] , [sezioni chiuse].
R
−
B
a
r
b
o
n
i
“
C
o
s
t
r
u
z
i
o
n
i
”
Taglio (+ flessione)
A)−Forza T applicata nel Centro di Taglio (SENZA Torsione)
s
Tˆy
Tˆz
q(s) = q 0 −
z( tds) −
Iz
Iy 0
∫
s
∫
y( tds) = q 0 + q * (s)
R
−
B
a
r
b
o
n
i
0
Poiché T è applicata nel C.T. e q* garantisce ΣFy=0 , ΣFz=0 ,
il flusso q0 deve essere tale che q=q* + q0 abbia un momento
torcente nullo rispetto al Centro di Taglio.
Infatti per definizione il C.T. è quel punto dove l’applicazione di
una T induce solo flessione senza torsione.
“
C
o
s
t
r
u
z
i
o
n
i
”
Taglio (sez. aperta)
z
Tz
s
A1)−Forza di taglio T nel (C.T) , (sez. aperta).
scegliendo l’origine della s in un estremo: qo=0
s
Tˆ y s
Tˆ z
q(s) = q 0 − ∫ z(tds) − ∫ y(tds) = q* (s)
Iy 0
Iz 0
q * (α ) =
Tz
(cos α − 1)
πR
La q* ha:
−una forza risultante pari alla forza T applicata;
−un momento torcente risultante fatto rispetto
al (C.T.) nullo.
α
(CT)
G
y
0
R
−
B
a
r
b
o
n
i
“
C
o
s
t
r
u
z
i
o
n
i
”
A2)− Forza T nel [C.T] , [UNI-cellulare chiusa].
R
Tz
G≡[CT]
Non si conosce il punto dove q=0: qo è incognita.
Si “taglia” idealmente la sezione chiusa in un punto
arbitrario che si assume come origine della
coordinata s : q0=0 ⇒ q(s)=q*.
Il flusso q* è quello di sezione aperta con T applicato
in (C.T.) ed il momento da esso generato è nullo
rispetto a (C.T.) e non rispetto a [C.T.] ≠ (C.T.).
Per avere Mt=0 rispetto a [C.T.] occorre aggiungere a
q* un flusso costante q0 corrispondente al momento
di trasporto che si ha quando si passa da un punto
ad un altro di applicazione della T:
(
)
M[CT] = v∫ q* + q 0 p[C.T]ds = 0
⇒
q(s) = q* + q 0
q0 = −
z
s
(CT)
1
q * p [ C.T ] ds
2A
∫
[CT] y
R
−
B
a
r
b
o
n
i
0
“
C
o
s
t
r
u
z
i
o
n
i
”
Flessione e Taglio (sez. UNI-cellulari)
Verifica dei valori ottenuti (caso A2 di Forza di taglio T nel [C.T])
utilizzando la:
s
Tˆ y s
Tˆ z
1
* [C.T]
q(s) = −
q p ds − ∫ z(tds) − ∫ y(tds)
v
∫
2A
Iy 0
Iz 0
R
−
B
a
r
b
o
n
i
Essendo T applicato in [C.T.], la rotazione conseguente al flusso “
C
q(s) deve risultare nulla:
o
ds ⎤
dθ
1 ⎡ * ds
=
+ q0
=0
q
⎢
⎥
Gt ⎦
Gt
dx 2A ⎣
∫
∫
Nota: viceversa si poteva usare la condizione θ’=0 per trovare q0 e
M[CT]=0 come verifica.
s
t
r
u
z
i
o
n
i
”
A3)− Forza T nel [C.T] , [MULTI-cellulari].
A1
q1
A2 q2
An
qn
A1
A2
An
Si “tagliano” idealmente le celle in un punto arbitrario che si assume come
origine della coordinata s : q0,n=0 ⇒ qn(s)=qn*.
Il flusso qn* è quello di sezione aperta corrispondente alla applicazione di T
in un punto diverso da [CT]. Per avere la soluzione del problema occorre
aggiungere alle qn* un flusso costante q0,n tale che la rotazione delle
singole celle sia nulla:
θ1′ = θ′2 = ....θ′n = .... = θ′N −1 = θ′N = 0
che rappresentano N equazioni nelle N incognite q0,n. In definitiva:
q n (s) = q*n + q 0,n
AN
R
−
B
a
r
b
o
n
i
“
C
o
s
t
r
u
z
i
o
n
i
”
B)−Taglio, flessione e torsione
Forza T in un punto generico P della sezione.
Le sezioni aperte hanno B<<, quindi poco utilizzabili per
reggere momenti torsionali .
Ci si limita a considerare sezioni chiuse.
R
−
B
a
r
b
o
n
i
“
C
o
s
t
r
u
z
i
o
n
i
”
B1)−Sezioni UNI-cellulari chiuse
a)−Metodo diretto
Tˆ y s
Tˆ z s
q (s) = − ∫ z(tds) −
y(tds)
∫
Iy 0
Iz 0
*
La q*, corrisponde a “tagliare” la sezione in un punto dove s=0.
Il flusso q* soddisfa ΣFy=0 , ΣFz=0, ma non è garantito che
ΣMt=0. Occorre quindi un qC costante tale che, se 0 è il polo:
R
−
Tz
z
B
a
yP
Ty r
P
b
zP
0
y o
n
i
s
Ty y P − Tz z P = 2v∫ q*dA (0) + 2q C A q = q * + q C
b)−Metodo del [C.T.]
Se è noto il [C.T.] , si applica T nel [C.T.] + un momento torcente e
si sovrappongono i risultati.
“
C
o
s
t
r
u
z
i
o
n
i
”
R
−
B
a
r
b
o
n
i
B2)−Sezioni MULTI-cellulari chiuse
A1
q1
A2 q2
An
qn
“
C
o
s
t
r
u
z
i
o
n
i
”
a) Metodo diretto.
A1
Se immaginiamo di praticare un
ipotetico taglio in un generico
punto di ogni cella e scegliendo
per ciascuna di esse un’ascissa s
con origine in tale punto ⇒
q*n (s)
q1
An
qn
Tˆ y s
Tˆ z s
= − ∫ z(tds) −
y(tds)
∫
Iy 0
Iz 0
A tale flusso, per ogni cella dobbiamo
aggiungerne uno costante qC,n per garantire
l'equilibrio dei momenti. Scegliendo come polo
P il punto di applicazione della T: ⇒
Si hanno N costanti incognite q0,n per
cui occorre imporre la congruenza
A2 q2
N
N
∑ v∫ q*n (s)p(P) ds + 2 ∑ q C,n A n = 0
n =1 n
n =1
θ 1′ = θ ′2 =.... θ ′n =.... = θ ′N −1 = θ ′N
Si hanno quindi N relazioni nelle N costanti incognite q0,n
b)−Metodo del [C.T.]
Se è noto il [C.T.] , si applica T nel [C.T.] + un momento torcente e
si sovrappongono i risultati.
R
−
B
a
r
b
o
n
i
“
C
o
s
t
r
u
z
i
o
n
i
”
C)−Determinazione del C.T.
In alcuni casi l’individuazione del C.T. è alquanto semplice.
Così se la sezione ha un asse di simmetria, il C.T. giace su
tale asse; se gli assi di simmetria sono due il C.T. è dato
dalla loro intersezione che coincide ovviamente con il
baricentro.
Per sezioni angolari o cruciformi il C.T. è l’intersezione delle
pareti poiché rispetto ad essa è nullo il momento generato
dal flusso di taglio.
C.T.
C.T.
C.T.
•R
−
B
a
r
b
o
n
i
•
“
C
o
s
•t
•r
u
z
i
o
n
i
”
sf
•R
C.T
Y −
P
B
0 a
d
r
s
• Sezione con asse di simmetria
Tz
b
o
Il C.T. giace sull’asse Y e per calcolarne la posizione si applica n
una forza T in direzione Z . Poiché la q* è la soluzione i
corretta solo se Tz è applicata nel (C.T.), è necessario che •
rispetto ad un generico punto P dell’asse y, il momento “
C
torcente dovuto al flusso q* corrisponda a quello dato da Tz:
o
s
•t
Tz sf
1 sf
(P)
(P)
Tz d CT =
q * (s)p ds
d CT =
q * (s)p ds
∫
∫
•r
Iy 0
Iy 0
u
z
i
da cui è evidente che la posizione del C.T. non dipende
o
dall’intensità della forza di taglio applicata ma è una proprietà
n
della sezione.
i
”
C1)−Il (C.T) , (sez aperte).
C1)−Il (C.T) , (sez aperte).
• Sezione senza asse di simmetria
z
Tz
Applicando un carico T1 con le componenti di figura:
Tˆz = Tz
T
; Tˆy = 0 ⇒ q (s) = − z Q y (s)
Iy
s
∫ q(s)pds = d T
1 1
0
In modo analogo con una forza T2
Tˆy = Ty
;
Tˆz = 0 ⇒ q T (s) = −
Ty
Iz
Q z (s)
si ha un’altra distanza d2.
L’intersezione delle linee di azione di T1,T2 è il C.T.
Ty = Tz
T1
I yz
Iy
P
y
•R
−
B
a
r
b
o
n
i
•
“
C
o
s
•t
•r
u
z
i
o
n
i
”
C2)−Il [C.T] , [sez chiuse].
1.Si applica una generica forza di taglio e si calcola q*n;
2.Si introducono N flussi di taglio incogniti q0,n;
3.Si impone che la rotazione totale della sezione sia nulla, quindi deve essere
nulla la rotazione di ciascuna cella:
q 0,n l n − q 0,n −1l n −1,n
* ds
− q 0,n +1l n ,n +1 + q
= 0 n = 1,2,...N
Gt
n
∫
Sistema questo di N equazioni che va risolto nelle N incognite q0,n.
4.Si impone l’equilibrio dei momenti dove si considera incognita la
posizione del [C.T], che può così essere determinata.
R
−
B
a
r
b
o
n
i
“
C
o
s
t
r
u
z
i
o
n
i
”
σx
I correnti
Bs
Bs+1
Bs-1
s
B2
qn
B1
qn
qn+1
σx +
∂σ x
dx
∂x
qn+1
T y
∂σ x
T z
q n +1 − q n = −
Bn = − z n Bn −
y n Bn
∂x
Iy
Iz
s
Tˆz ⎡
q (s) = q 0 − ⎢ z( tds) +
I y ⎣⎢ 0
∫
⎤ Tˆy ⎡ s
z jB j ⎥ −
⎢ y( tds) +
j=1
⎦⎥ I z ⎢⎣ 0
s
∑
∫
s
∑
j=1
⎤
y jB j ⎥
⎦⎥
•R
−
B
a
r
b
o
n
i
•
“
C
o
s
•t
•r
u
z
i
o
n
i
”
Idealizzazione
Tˆz
q (s) = q 0 −
Iy
⎡s
⎢ z( tds) +
⎢⎣ 0
∫
Tˆz
q (s) = q 0 −
Iy
s
∑
j=1
⎤ Tˆy
z jB j ⎥ −
⎥⎦ I z
j=1
s
∑
z jB j −
Tˆy
Iz
s
∑
j=1
⎡s
⎢ y( tds) +
⎢⎣ 0
∫
s
∑
j=1
⎤
y jB j ⎥
⎥⎦
y jB j = q 0 + q*
•R
−
B
a
r
b
o
n
i
•
“
C
o
s
•t
•r
u
z
i
o
n
i
”
Sezioni staticamente determinate
Le formule ricavate nei vari casi di sollecitazione derivano dall’avere sempre
soddisfatto le equazioni di equilibrio delle forze e dei momenti.
a) le forze di taglio sulle pareti di una sezione devono soddisfare le tre relazioni
di equilibrio della statica nel piano della sezione:
∑F
y
=0 ;
∑F
=0 ;
z
∑M
t
=0
che consentono di determinare flussi incogniti costanti qualora se il numero
di pareti è ≤ 3 (salvo che le risultanti dei flussi delle tre pareti non risultino
parallele o si incontrino in un punto);
b) gli sforzi assiali sulle flange devono soddisfare alle tre relazioni di equilibrio
della statica fuori del piano della sezione:
∑F
x
=0 ;
∑M
y
=0 ;
∑M
z
=0
che consentono di determinare gli sforzi incogniti qualora il numero di
flange è ≤ 3
•R
−
B
a
r
b
o
n
i
•
“
C
o
s
•t
•r
u
z
i
o
n
i
”
A−La sezione con una parete e due flange
è in grado di reggere solo momenti flettenti
nel piano (o piani paralleli) alle flange.
•
•
T deve risultare parallelo alla congiungente 12 le
flange. Solo in questo modo non si ha componente
Mz del momento flettente cui la struttura non
sarebbe in grado di reagire per mancanza di
elementi resistenti; mentre ad My corrisponde un
carico sulle flange Px=My/h.
T deve essere applicato nel (C.T.) della sezione per
non indurre momento torcente.
1
z
y
h
q
0
x
y
2
•R
−
B
a
r
b
o
n
i
•
“
C
o
s
•t
•r
u
z
i
o
n
i
”
Taglio (sez. aperta)
A1)−Pannello dritto “equivalente” di un
tratto di pannello curvo.
R = qL
R
d
q = cost
M = 2qA (P)
A(P)
P
Un generico pannello curvo può essere pensato come un “pannello dritto
equivalente (P.D.E)” con stessa R ed che generi lo stesso M.
La congiungente gli estremi del pannello curvo ha modulo ed orientamento
della risultante R del flusso q del pannello curvo, ma non genera lo stesso M.
Occorre traslare tale congiungente a distanza d dal polo P tale che:
R d = 2qA
(P)
2qA (P) 2qA (P) 2A (P)
quindi d =
=
=
R
qL
L
Ovviamente il momento dovuto al pannello dritto equivalente è nullo rispetto a
qualsiasi suo punto; ne consegue che l’applicazione di una forza lungo la
retta distante d da P non induce rotazione della sezione e pertanto il (C.T.)
giace su tale retta.
R
−
B
a
r
b
o
n
i
“
C
o
s
t
r
u
z
i
o
n
i
”
B−Sezione con due pareti e due flange,
è in grado di reggere sia momenti flettenti
My, applicati nel piano (o piani
paralleli) delle flange, sia momenti
torcenti Mt (ora la sezione è chiusa).
Quindi:
• T deve risultare parallelo alla retta 12
che unisce le flange.
• T non deve essere necessariamente
applicato nel C.T. perché la sezione è in
grado di resistere a torsione.
•R
−
B
a
r
b
o
n
i
•
“
C
o
s
•t
•r
u
z
i
o
n
i
”
C−Sezione con due pareti e tre flange,
è in grado di sopportare momenti
flettenti agenti su qualsiasi piano
ma non momenti torcenti. Quindi:
• T può avere direzione qualsiasi;
• T deve essere applicato nel C.T.
perché la sezione aperta non è in
grado di resistere a torsione.
•R
−
B
a
r
b
o
n
i
•
“
C
o
s
•t
•r
u
z
i
o
n
i
”

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