3. I numeri Naturali, ℕ .
3.1 Assiomi di Peano e proprietà essenziali dei naturali.
Il primo insieme di numeri che considereremo è quello dei numeri cosiddetti naturali, e cioè gli interi positivi più lo
zero:
ℕ = {0,1,2,3, ... } .
Si tratta in un certo senso proprio dei numeri più "naturali" che ci siano: per esprimere questa idea, un grande
matematico tedesco del secolo scorso, L. Kronecker (1823-1891), affermava che Dio ha creato solo i numeri naturali, mentre
tutti gli altri sono opera dell'uomo.
Quelli elencati qua sotto sono gli assiomi di Peano (G. Peano, 1858-1932) per i numeri naturali; essi ci mostrano che
le nozioni essenziali su cui è costruito ℕ con tutte le sue proprietà sono quelle di "zero" e "successore" :
1) 0 è un numero naturale.
2) Il successore di ogni numero naturale è un numero naturale.
3) 0 non è successore di alcun numero naturale.
4) Numeri diversi hanno successori diversi.
5) (Principio d'Induzione) Se un insieme di numeri naturali contiene lo zero ed il successore di ogni proprio elemento,
allora esso coincide con l'intero insieme dei numeri naturali.
Traduciamo qui di seguito questi assiomi nella simbologia più correntemente usata in matematica (usando i simboli
logici e insiemistici ); scriveremo poi s(n) per indicare il successore del numero n (ad es. s(3) = 4 ).
0 ∈ ℕ ;.
2) ∀n ∈ ℕ , s(n) ∈ ℕ ;
3) ∀n ∈ ℕ , s(n) ≠ 0 .
4) ∀ n, m ∈ ℕ , n ≠ m ⇒ s(n) ≠ s(m) .
5) (Principio d'Induzione) Sia A ⊆ ℕ un sottoinsieme tale che:
5.1) 0 ∈ A.
5.2) Se n ∈ A , allora s(n) ∈ A.
Sotto queste ipotesi, necessariamente: A = ℕ .
1)
Cerchiamo di vedere come gli assiomi di Peano caratterizzano della struttura di ℕ , cioè come essi determinano
la peculiare struttura di ℕ , "a catena lineare con elemento iniziale", del tipo “tacche su un bastone”:
∗∗∗∗∗∗∗∗ . . .
Vediamo singolarmente l'effetto di ogni assioma:
–
–
ℕ non è l'insieme vuoto; esso contiene almeno lo 0 (la prima tacca);
il punto 2) ci dice che "successore" è una funzione
s : ℕ  ℕ (“successore” è l'analogo di “scorri da una
Il primo assioma ci dice che
tacca alla successiva col dito sul bastone”);
– il terzo assioma identifica la peculiare posizione (potremmo dire di "primo elemento") che caratterizza lo 0 in
, notiamo che esso ha varie conseguenze:
– per prima cosa ci dice che lo 0 non è l'unico elemento in ℕ , in quanto s(0) ≠ 0 ;
– inoltre esclude anche una struttura “infinita a destra e a sinistra” (come vedremo sarà la struttura di
perché qui lo 0 sarebbe successore di un elemento:
0
46
ℕ
ℤ )
. . . ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ . . .
infine esclude che la struttura di ℕ sia “ciclica”, come nella figura sotto (dove ci sarebbe un elemento
ha 0 come successore ):
–
x che
– l'assioma 4) impone che la funzione “successore” porti elementi distinti in elementi distinti. Questo esclude situazioni
come le seguenti:
ove due diversi elementi avrebbero l'elemento x come successore.
–
Considerando l'ultimo assioma, si ha che esso impedisce che
“pezzi”), come ad esempio se si avesse
ℕ abbia una struttura “sconnessa” (= fatta di più
ℕ =A∪B:
0 ∗∗∗∗∗∗∗∗ ... A
0' ∗∗∗∗∗∗∗∗ ... B
Vediamo come si può escludere una cosa del genere (che rispetterebbe i primi 4 assiomi); consideriamo l'insieme A
⊆ ℕ illustrato sopra, e cioè la “discendenza” dello 0: tutti quegli elementi che o sono 0 o si ottengono dallo 0
applicando ripetutamente la funzione di successore ( nell'immagine sopra A è la prima riga di tacche).
Ovviamente 0 ∈ A, inoltre se n ∈ A , allora anche s(n) ∈ A, infatti se n ∈ A , allora n si può scrivere come:
s(s(s(...(s(0)...) e quindi anche s(n) è di questa forma (ha solo una “s” in più).
Ma allora il quinto assioma impone che A = ℕ , cioé ℕ è proprio costituito dalla “discendenza” dello 0, il che
ed esclude la presenza di altre “serie di tacche”, come B nella figura.
Notiamo che il quinto postulato si può "tradurre" utilizzando l'idea del "possedere una proprietà", pensando ad A
come all'insieme costituito dei numeri naturali che possiedono una qualche proprietà P; cioè come l'insieme dei naturali n che
rendono vero un qualche enunciato aperto del tipo P(x); l'assioma diviene allora:
Sia P(x) un enunciato aperto tale che:
47
− P(0) è vero ;
− “∀n ∈ ℕ , P(n) ⇒ P(n+1)” è vero.
Allora “∀n ∈ ℕ , P(n) ” è vero.
Detto “in italiano”:
Sia P una proprietà tale che 0 ha la proprietà P e che se P vale per un numero n, allora P vale anche per il
successore di n; allora P vale per tutti gli n ∈ ℕ .
Il quinto è l'assioma più complesso di tutti; per sottolineare l'importanza del Principio di Induzione, notiamo che esso ci
permette di dedurre che una proprietà vale per infiniti elementi in una singola deduzione!
I cinque assiomi ci mostrano varie cose; ad esempio che per rappresentare i numeri naturali basterebbero (in teoria)
solo i simboli " 0" ed "s" (a parte le parentesi) , infatti abbiamo che essi sono scrivibili così :
0, s(0) , s(s(0)) , s(s(s(0))), ...
Naturalmente tale modo di scriverli ancora analogo al fare delle tacche su un bastone, sarebbe tutt'altro che pratico,
per cui fissiamo l'usuale simbologia:
0 , s(0) = 1 , s(s(0)) = 2 , s(s(s(0))) = 3 , ... e così via.
Basandoci sulla nozione di "successore" e sulle sue proprietà, possiamo definire due concetti fondamentali per
operare con i numeri naturali: "l'ordine" e l'operazione di "somma".
n, m ∈ ℕ , diremo che "n è maggiore di m" e scriveremo n > m , se n è del tipo:
n = s(s(...(s(m))...)) ,
cioè se n si ottiene da m applicando un numero (finito) di volte la funzione s. La relazione ">", fra numeri naturali, è
Dati
quella che chiamiamo una "relazione d'ordine"; non è difficile vedere che essa ha le seguenti proprietà:
∀ n, m ∈ ℕ , se n ≠ m , o n > m , oppure n < m .
2) ∀ n, m, t ∈ ℕ , se n > m ed m > t , allora n > t .
3) ∀ n ∈ ℕ , se n ≠ 0 , allora n > 0 .
1)
La 1) ci dice che l'ordine è totale, cioè che dati due elementi, essi sono sempre confrontabili; la 2) è invece detta
proprietà transitiva, mentre la 3) ci dice che lo 0 è il primo elemento, il minimo nell’insieme ℕ .
Per quanto riguarda invece l'operazione di somma, ricordiamo innanzitutto che un' operazione su un insieme A è una
funzione A×A : → A (ove A×A è il prodotto cartesiano di A per se stesso, cioè l'insieme di tutte le coppie di elementi di
A); quindi un'operazione è una funzione che ad una coppia di elementi di A associa un altro elemento di A . Ad esempio
l'operazione "somma" (che ora andiamo a definire) è una funzione che alla coppia di numeri naturali (2,3) associa il numero
5.
Nel nostro caso l'operazione che definiamo su ℕ , che chiameremo somma, ha simbolo "+" e si ottiene così:
∀ n, m ∈ ℕ , se m = s(s(...(s(0))...)), allora si pone n + m = s(s(...(s(n))...)).
Cioè, si ottiene n + m applicando ad n la funzione s tante volte quante ce ne vogliono per ottenere m a partire da 0
(cioè m volte). Ad esempio:
n+2 = s(s(n)), n+1 = s(n) , n+0 = n , 3+3 = s(s(s(3))) = 6 .
48
3.2 Le operazioni su
ℕ .
Adesso che abbiamo definito l'operazione di somma, non è difficile verificare che essa gode delle seguenti proprietà
(che non dimostreremo):
∀ n, m, t ∈ ℕ , n + (m + t) = (n + m) + t
(proprietà associativa).
∀n∈ ℕ , n+0=n
(0 è elemento neutro della somma).
s3) ∀ n, m ∈ ℕ ,
n+m= m+n
(proprietà commutativa).
s1)
s2)
Tutte dimostrabile a partire dagli assiomi 1) - 5) e dalla definizione di somma.
Si può poi utilizzare la somma per definire una nuova operazione, la moltiplicazione (con simbolo: "×" oppure
"." ). Il processo è simile a quello usato per definire la somma stessa a partire dalla funzione s:
∀ n, m ∈ ℕ , si pone n × m = n + n + ...+ n (m volte) .
Anche la moltiplicazione gode di proprietà analoghe a quelle della somma:
∀ n, m, t ∈ ℕ , n × (m × t) = (n × m) × t
(proprietà associativa).
∀n∈ ℕ , n×1=n
(1 è elemento neutro della moltiplicazione).
ℕ
m3) ∀ n, m ∈
, n×m= m×n
(proprietà commutativa).
m1)
m2)
Si può inoltre notare il comportamento dello 0 rispetto alla moltiplicazione:
∀n∈ ℕ ,
n × 0 = 0 × n = 0.
Ed infine c'è una proprietà che lega moltiplicazione e somma:
sm)
∀ n, m, t ∈ ℕ , n × (m + t) = (n × m) + (n× t)
(proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma).
Procedendo ancora in modo analogo si può definire su
potenza :
ℕ , ma ad esclusione dello 0, l'operazione di elevazione a
∀ n, m ∈ ℕ , m ≠ 0, si pone nm = n × n × ... × n (m volte) .
Questa volta però non abbiamo proprietà analoghe alle precedenti (per esempio questa operazione non è né
associativa né commutativa, ad esempio: 32 ≠ 23) .
Proprietà notevoli della elevazione a potenza sono:
∀ n, m, t ∈ ℕ , (n ×m)t = nt × mt .
p2) ∀ n, m, t ∈ ℕ , n (m + t) = nm × nt .
p3) ∀ n, m, t ∈ ℕ , n (m ×t) = (nm)t .
p1)
Esempi: 511 = 5 (4 + 7) = 54 × 57 ; 3 (2 ×2) = (32)2 = 92 = 81 .
49
Inoltre, come abbiamo detto, nm è a questo modo definito solo se m ≠ 0 (cosa vorrebbe dire moltiplicare n per se
stesso "0 volte"?). Potremo però ampliare un po' questa definizione, estendendola anche al caso m = 0 , come vedremo fra
breve, purché sia n ≠ 0.
A partire da somma e moltiplicazione, si possono definire le loro operazioni inverse: la sottrazione e la divisione, che
però non saranno definite per tutte le coppie di numeri naturali, cioè esse risulteranno operazioni parziali su ℕ (oppure si
può dire che ℕ non è chiuso rispetto ad esse). Vediamole:
Definizione: ∀ n, m ∈ ℕ , si dice n - m quel numero naturale x, se esiste, che sommato ad m dà n . Cioè : n
- m = x se n = m + x .
E' immediato constatare che un tale numero x esiste se e solo se n ≥ m (cioè se n è maggiore o uguale a m), quindi
l'operazione di sottrazione è eseguibile solo sulle coppie n, m tali che n ≥ m , e non su tutto ℕ .
In modo analogo alla sottrazione si definisce la divisione:
Definizione: ∀ n,
. Cioè : n : m = x se
se ∃ k ∈
m ∈ ℕ , si dice n : m quel numero naturale x, se esiste ed è unico, che moltiplicato per m dà n
n=m×x.
Anche per la divisione è immediato constatare che x non esiste sempre, ma se e solo se n è un multiplo di m (cioè
ℕ , tale che n = km), quindi l'operazione di divisione è eseguibile solo sulle coppie n, m tali che n = km , e si
può notare che non si potrà mai dividere per 0, infatti per avere ad esempio 8 : 0 = x si dovrebbe avere 8 = 0 × x, il
che è falso qualunque sia x .
Non si può neanche fare 0 : 0 in quanto tale operazione risulterebbe indeterminata, poiché per ogni naturale x si ha: 0
= 0 × x (cioè x non sarebbe unico), mentre nella definizione si chiede che x esista e sia unico.
Le operazioni appena definite danno luogo a proprietà delle potenze analoghe alle p1) e p2):
∀ n, m, t ∈ ℕ , (n :m)t = nt : mt .
p5) ∀ n, m, t ∈ ℕ , nm : nt = n (m − t).
p4)
La proprietà p5) ci pone un piccolo problema: infatti m-t ha senso anche quando m = t , ma in questo caso
avremmo: 1 = nm : nm = nm : nt = n (m − t) = n0; mentre avevamo detto che n0 non era definito. Quello che possiamo
fare è estendere la definizione precedente di elevazione a potenza, in modo da conservare anche in questo caso la validità
delle proprietà p1) - p5), ponendo :
∀ n∈ ℕ , se n ≠ 0 ; n0 = 1.
Notiamo che non ha senso cercare di "interpretare" questa definizione come "moltiplicare n per se stesso 0 volte mi
dà 1", moltiplicare per sé 0 volte non ha senso; il definire n0 = 1 è un artificio che poniamo per avere l'elevazione a potenza
anche in questo caso, conservando tutte le "buone proprietà" delle potenze.
Questo è un modo di procedere generale in matematica, come vedremo nelle prossime sezioni: si estendono le
strutture che si hanno, cercando di salvaguardare le loro proprietà, e passando da una definizione "naturale" (come "elevare a
potenza ennesima = moltiplicare per se stesso n volte"), ad una più "artificiale", meno intuitiva (come n0 = 1), ma che è
coerente con la struttura e le proprietà presenti, ampliandole a casi nuovi).
50
Sottolineiamo che resta invece privo di senso elevare 0 alla 0: il simbolo 00 non rappresenta nessun numero
(intuitivamente: abbiamo che ogni numero elevato alla 0 dà 1, mentre 0 elevato ad una qualsiasi potenza dà 0; comunque
definissimo 00 contravverremmo almeno ad una di queste proprietà).
3.3 Utilizzo delle potenze per la rappresentazione dei numeri .
Le potenze sono in effetti essenziali per rappresentare i numeri naturali: il nostro sistema per scrivere i numeri e
compiere le operazioni con essi si basa (come abbiamo notato nella parte storica) proprio sulle potenze, ed in particolare sulle
potenze del dieci; quando scriviamo 213, 4385 o 765434 quello che ciò significa è:
213 = 2.102 + 1.101 + 3.100 ; 4385 = 4.103 + 3.102 + 8.101 + 5.100 ;
765444 = 7.105 + 6.104 + 5.103 + 4.102 + 3.101 + 4.100
cioè le cifre che scriviamo rappresentano le quantità, rispettivamente, di unità, decine, centinaia, migliaia, ecc. di cui è
composto il numero, e quindi esprimiamo ogni numero come somma di multipli di potenze del dieci.
Naturalmente questa scelta è puramente arbitraria (la sua origine storica è senza dubbio il fatto che possediamo dieci
dita delle mani); se volessimo esprimere i numeri in base otto, useremmo solo otto cifre; scrivendole ad esempio: 0, 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7. In questo caso il simbolo 10 rappresenterebbe il numero otto, mentre 100 rappresenterebbe il numero sessantaquattro,
perché la cifra più a destra rappresenta le unità, la seconda le "ottavine", la terza le "sessantaquattrine" e così via; vediamo
qualche esempio di "traduzione" da base otto in usuale base dieci:
32 = 3.81 + 2.80 = 3.8 + 2 = 26 ;
145 = 1.82 + 4.81 + 5.80 = 64 + 32 + 5 = 101
Se invece volessimo usare una base più grande di dieci, ad esempio dodici, avremmo bisogno di più cifre, come:
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,a,b ove a = dieci, e b = undici; in questo sistema con il simbolo 10 si rappresenterebbe il
numero dodici, mentre 100 varrebbe 122 = 144. Qualche altro esempio:
23 = 2.121 + 3.120 = 27 ; 34b = 3.122 + 4.121 + 11.120 = 3.144 + 4.12 + 11= 491.
Come saprete, la base più usata, a parte il dieci, è la base 2 (in informatica, nel linguaggio dei computer) in quanto in
questa base appaiono solo due simboli: 0, 1 e quindi ogni numero è scritto con una stringa di 0 ed 1, che rappresentano le
potenze del due, ad esempio:
45 = 32 + 8 + 4 + 1 = 1.25 + 0.24 + 1.23 +1.22 + 0.21 + 1.20 = 101101; 1001 = 23+1 = 9 .
La base due è quella usata dai computer, in quanto in tale base ogni numero può essere rappresentato da una stringa
di interruttori, la cui situazione "acceso/spento" rappresenta 0 od 1, ed è possibile, tramite semplici circuiti, automatizzare
somme, moltiplicazioni e così via.
3.4 Numeri primi e applicazioni (MCD, mcm).
Vediamo adesso un altro modo in cui si usano le potenze per rappresentare i numeri naturali. Chiediamoci un po',
rispetto alle due operazioni di somma e prodotto in ℕ , quali siano i "mattoni fondamentali", i "generatori", cioè i numeri
con i quali , attraverso l'operazione, si ottengono tutti gli altri.
Per la somma la situazione è molto semplice: bastano 0 ed 1; lo 0 per generare lo zero stesso, mentre tutti gli altri
numeri si ottengono con somme del tipo 1+1+1+1+...+1, quindi i generatori sono solo questi due.
51
Qual'è la situazione con il prodotto? Dovremo ancora usare 0 ed 1, ma questi generano solo se stessi, quindi dovremo
considerare anche il 2, poi il 3, il 4 no in quanto è 2 ×2, poi il 5, il 6 no (= 2×3), il 7 sì, l'8 no, il 9 no, il 10 no, ma l'11 si, ... e
così via. In sostanza, quali sono i numeri che dobbiamo per forza mettere in questo insieme di generatori?
Sono tutti quelli che non possiamo ottenere moltiplicandone dei precedenti, cioè i numeri che hanno solo due divisori: 1 e
sé stessi. Questi numeri sono detti primi (per essere più precisi, si conviene di chiamare numeri primi i numeri divisibili solo
per 1 e per se stessi a partire dal 2, cioè 1 non è considerato un numero primo (non è necessario per generare altri numeri oltre
a sé e non ha 2 divisori ma uno solo).
Quindi con i numeri primi si genera (moltiplicandoli) ogni altro numero, ma...
Quanti sono i numeri primi?
Sono infiniti o ne esiste solo un numero finito? Se guardiamo ai primi presenti fra i numeri fino a quaranta, ne
troviamo 12 :
{ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 }.
Qual è la situazione dopo? I primi si diradano sempre di più fino a scomparire (notate che ce ne sono otto fra i primi venti
numeri, e solo quattro nella seconda ventina), o continuiamo a trovarne sempre, per quanto si vada avanti nella successione
dei numeri naturali? La risposta a questa domanda è stata data molti secoli fa, e la troviamo negli Elementi di Euclide (circa
300 A.C.):
Teorema: Esistono infiniti numeri primi.
Dimostrazione: Supponiamo per assurdo che i numeri primi siano una quantità finita:
{ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ... , p}
ove p sia quindi il più grande numero primo esistente. Consideriamo allora il numero q formato moltiplicando tutti i
numeri primi e poi aggiungendo 1:
q = 2×3×5×7×11×13×17×19×23×29×... × p + 1 ;
notiamo che il numero q numero non può essere primo in quanto è più grande di p, ma non è neanche divisibile per
nessuno dei numeri primi, perché è facile vedere che diviso per ciascuno di essi dà resto = 1 (infatti la parte fra parentesi è
divisibile per ogni numero primo, essendone un multiplo), quindi siamo arrivati ad una contraddizione:
- q non è divisibile per altri numeri diversi da lui e da 1, quindi dovrebbe essere primo,
- q non può essere primo in quanto è più grande di p.
Perciò l'insieme dei numeri primi non può essere finito perché supporlo tale porta ad una contraddizione.
Q. E. D.
Questo teorema è forse il più antico esempio di una dimostrazione rigorosa che riguarda direttamente l'infinito, cioè
la dimostrazione che un dato insieme non può essere finito.
Per trovare quali sono i numeri primi minori di un certo numero dato, ad esempio tutti i primi minori di 100, c'è un
metodo lungo ma efficace, detto il "crivello di Eratostene", dal nome del matematico greco (200 a.C.) che lo ha inventato. Si
procede così: si scrivono tutti i numeri da due a 100, poi si cancellano tutti i multipli del 2 (non il due), poi si lascia il 3 e si
cancellano tutti i suoi multipli. Il primo numero che resta sarà il cinque: lo lasciamo ed eliminiamo i suoi multipli, poi
ripetiamo la cosa con il sette e così via. Alla fine avremo tolto tutti i numeri composti (= non primi), e quelli rimasti sono i
numeri primi cercati. Può sembrare un metodo molto lento, ma in effetti i numeri primi sfidano tuttora la nostra conoscenza:
non esiste un metodo per determinare facilmente se un dato numero è primo o no : si può solo cercare di vedere se è divisibile
per numeri più piccoli, e questo talvolta può essere un lavoro molto lungo; considerate per esempio il numero 481477: è
primo? No, si ha 481477= 467 × 1031 , e questi due numeri sono primi. Per trovare questi due divisori dovremmo fare un
gran numero di prove, e purtroppo non esistono semplici scorciatoie.
Come dicevamo prima, l'importanza dei numeri primi è dovuta al fatto che tutti gli altri si ottengono come
moltiplicazione di essi, e la cosa più importante è che vale il seguente:
52
Teorema Fondamentale dell'Aritmetica:
Ogni numero naturale maggiore di 1 o è un numero primo o si può esprimere come prodotto di numeri primi. Tale
rappresentazione è unica, se si prescinde dall'ordine in cui compaiono i fattori.
Non dimostreremo questo teorema, ma grazie ad esso sappiamo che ogni numero naturale è esprimibile in modo unico
come prodotto dei suoi fattori primi (anche ripetuti, ad esempio 36 = 2x2x3x3).
Esempi: 10 = 2.5 ; 54 = 6.9 = 2.3.3.3 = 2.34 ; 45 = 5.9 = 32.5 ; 60 = 22.3.5 ; 1000 = 103 = (2.5)3 =23.53.
La scomposizione in fattori primi è il metodo più efficace per studiare multipli e sottomultipli dei numeri naturali, in
particolare per determinare il minimo comune multiplo (mcm) ed il massimo comune divisore (MCD) di due numeri dati . Ad
esempio, consideriamo i numeri 12 e 18; scriviamone i multipli e sottomultipli:
1 2 3 4 6 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132
1 2 3 6 9 18 36 54 72 90 108 126 144 162 180
Ci sono vari divisori, {1, 2, 3, 6}, e multipli {36, 72, 108,...} comuni ai due numeri; tra tutti i più significativi sono
appunto il massimo fra i divisori comuni (cioè il MCD), che in questo caso è il 6, ed il minimo fra i multipli comuni (il
mcm), che qui è il 36. Scriveremo allora: MCD(12,18) = 6, mcm(12,18) = 36 .
Come si fa in generale a trovare MCD ed mcm di due numeri?
Per trovare il MCD si dovranno prendere tutti i fattori primi comuni ai due numeri, presi col minimo esponente con
cui appaiono nelle due fattorizzazioni . Se non ci cono fattori comuni il MCD è pari ad 1.
Nel caso appena visto avevamo: 12 = 22.3 e 18 = 2.32; e quindi avremo MCD(12,18) = 21.31 = 6.
I fattori da considerare per determinare il MCD sono solo quelli comuni, in quanto il MCD deve essere un divisore
comune per i due numeri, quindi i suoi fattori primi devono apparire anche nei due numeri; tali fattori vanno presi con minimo
esponente con cui compaiono perché solo così saranno sottomultipli di entrambi i numeri.
Per il mcm dovremo prendere tutti i fattori primi comuni e non comuni con il massimo esponente con cui
appaiono nelle due fattorizzazioni.
Sempre nel caso precedente si ha che: mcm(12,18) = 22.32 = 36 .
Per formare il mcm dovremo considerare tutti i fattori primi che appaiono nei due numeri perché il mcm deve essere un
multiplo di entrambi; per la stessa ragione gli esponenti dovranno essere i più grandi fra quelli che appaiono.
ESEMPIO: Calcoliamo il MCD(35,98). Come prima cosa eseguiamo la scomposizione in fattori primi dei due numeri:
quindi 35 = 5.7 ; 98 = 2. 7 2 . Allora avremo che MCD(35,98) = 7 (unico fattore comune, con minimo esponente). Se
vogliamo invece il mcm(35, 98) avremo: 2.5.72 = 490.
53
Osservazione. I metodi appena visti per la ricerca di MCD e di mcm presentano il problema che per numeri grandi la
scomposizione in fattori primi può essere piuttosto difficoltosa quando non praticamente impossibile.
Vediamo un metodo diverso (detto algoritmo di Euclide) per trovare il MCD di due numeri a, b. Supponiamo che si
abbia a > b ; è facile notare che ogni divisore comune di a e b è anche un divisore comune di a - b e b , perciò si avrà che
MCD(a, b) = MCD(a-b, b) .
quindi si può ripetere il procedimento di sostituire il numero più grande con la differenza fra i due, finché non si arrivi a due
numeri uguali, il cui valore sarà il MCD cercato.
Ad esempio:
MCD(1679,782) = MCD(897,782) = MCD(782,115) = MCD(667,115) = MCD(552,115) =
MCD(437,115) = MCD(332,115) = MCD(207,115) = MCD(115,92) = MCD(92,23) = MCD(69,23) = MCD(46,23) =
MCD(23,23) = 23
E per trovare il mcm ? Una vota trovato il MCD è semplice: basta moltiplicare i due numeri e dividere il risultato per
il MCD:
mcm (a, b) =
a× b
.
MCD(a, b)
Ad esempio: Per calcolare il mcm(12,18) eseguiamo il prodotto
eseguiamo la divisione 216 : 6 = 36 che è il mcm(12,18).
12.18 = 216 ; poi sappiamo che MCD(12,18) = 6, e
Come mai questa regola funziona? Perché se abbiamo MCD(a, b) = k , allora si avrà: a= a'.k , b = b'.k (ove a' e b'
non hanno fattori comuni), e quindi a.b = a'.b'.k2 , e a.b : k = a'.b'.k , che è multiplo sia di a che di b (a'.b'.k =a'.b = a.b'),
ed è il minimo multiplo comune, in quanto a' e b' non hanno fattori comuni.
3.5 Successioni, Progressioni.
Come ultimo argomento di questo capitolo tratteremo le successioni di numeri naturali, e cioè sequenze (infinite)
come:
1, 3, 5, 7, 9 , 11, 13, 15, 17,... ; oppure 5, 15, 25, 35, 45, 55, ...
Le successioni sono utilizzate in vari casi per descrivere l'evoluzione di fenomeni naturali, ad esempio il numero dei
membri di una popolazione di cellule giorno dopo giorno, oppure di una mandria anno dopo anno, o la quantità, rilevata ad
intervalli regolari, di un elemento radioattivo che decade.
Scriveremo gli elementi della successione come: S(1), S(2), S(3),…. e cioè S(1) è il primo elemento della
successione, S(2) il secondo e così via. Essenzialmente una successione è quindi data da una funzione S: ℕ - {0} →
ℕ , e può essere assegnata in due modi: direttamente o per ricorrenza.
Nel nostro primo esempio, la successione dei numeri dispari, l'assegnazione diretta della successione si dà dando la
legge:
S(n) = 2(n-1)+1 ;
che ci dice direttamente come scrivere l'ennesimo elemento della successione, quindi questa ci dice che il primo elemento
della successione, S(1), è 2.0+1 = 1; poi abbiamo S(2) = 2.1+1 = 3, e così via.
Invece dare una successione per ricorrenza significa darne il primo elemento ed una regola con la quale, dato un
elemento, si ricava il successivo. Nello stesso esempio, dovremo dare:
S(1) = 1 e S(n+1) = S(n) + 2,
cosicché ci ricaveremmo che S(2) = S(1) + 2 = 3 ; S(3) = S(2) + 2 = 3+2 = 5 , e così via. La legge ci dice che l'elemento
di posto n+1 si ricava da quello di posto n sommandogli 2.
54
Spesso si preferisce indicare gli elementi della successione con n1, n2, n3, n4,... invece di usare
S(1), S(2), S(3), S(4), ...
Il primo tipo di successioni che vedremo sono le progressioni aritmetiche , e cioè le successioni in cui ogni elemento
si ricava aggiungendo una quantità fissa a quello precedente. Tale quantità viene detta ragione della progressione.
Ad esempio sono progressioni aritmetiche le seguenti:
2, 4, 6, 8, 10, ... ;
3, 8, 13, 18, 23, 28, ... ; 17, 29, 41, 53, 65, ... ;
la prima ha ragione 2, la seconda 5 e la terza 12. Date per ricorrenza, queste tre successioni si esprimono nel seguente
modo:
S(1) = 2 , S(n+1) = S(n) + 2 ; S(1) = 3 , S(n+1) = S(n) + 5 ;
S(1) = 17 e S(n+1) = S(n) + 12.
In generale, una progressione aritmetica di ragione k, del tipo { n1, n2=n1+ k, n3=n1+ 2k , ... }, data per ricorrenza
si esprime come:
S(1) = n1, S(n+1) = S(n) + k ;
mentre data direttamente è :
S(n) = S(1) + (n-1).k
in quanto S(n) si ottiene in n-1 passi a partire da S(1), aggiungendo ogni volta la ragione k .
Un esempio di progressione aritmetica è quello dello stipendio mensile di un lavoratore che abbia uno scatto annuale
fisso di 45 euro. Se lo stipendio iniziale è di £ 1.200 Euro, la successione determinata dagli stipendi mensili, anno dopo
anno, sarà:
1.200 , 1.245 , 1.290 , 1.335 , 1.380, 1.425, …
I dati che determinano la successione sono: S(1) = 1.200 , S(n+1) = S(n) + 45 , mentre la legge diretta è: S(n) = 1.200+
(n –1).45.
Vediamo adesso un altro tipo di progressioni: la progressioni geometriche. Esempi di progressioni geometriche sono
le seguenti successioni:
1, 2, 4, 8, 16, 32, ...
oppure 2, 6, 18, 54, 162, ... o 10, 500, 25000, 125000, ...
in questi casi, ogni termine si ottiene da quello precedente moltiplicando per una costante fissa, detta ancora ragione
della progressione geometrica. Se diamo le tre successioni qui sopra per ricorrenza, avremo:
S(1) = 1 , S(n+1) = 2.S(n) ; S(1) = 2 , S(n+1) = 3.S(n) ;
S(1) = 10 e S(n+1) = 50.S(n) .
In generale, una progressione geometrica di ragione k, del tipo:
{ n1, n2= kn1, n3 =k2.n1
, ... },
data per ricorrenza si esprime come:
S(1) = n1 , S(n+1) = k.S(n) ;
mentre data direttamente è :
S(n) = k(n-1).S(1)
in quanto S(n) si ottiene in (n-1) passi a partire da S(1), moltiplicando ogni volta per la ragione k .
L'ultima formula spiega perché un fenomeno descritto da una progressione geometrica si dice che abbia una crescita
esponenziale .
Un esempio di crescita di questo tipo è quello dello sviluppo di un essere vivente dalla cellula che si è formata per
l'unione di cellula uovo e spermatozoo: dopo un po' la cellula si scinde dando origine a due cellule, che a loro volta si
scinderanno formando quattro cellule, e così via, quindi la successione che dà il numero di cellule dopo ogni scissione è: 1, 2,
4, 8, 16, ... , 2n,... ; naturalmente in realtà il processo è esattamente di questo tipo solo fino ad un certo punto, poi le cellule
55
iniziano a differenziarsi formando le varie parti dell'organismo, e il loro modo di riprodursi si differenzia
corrispondentemente.
Probabilmente l'espressione crescita esponenziale per indicare una forte crescita vi è familiare, ma un' occhiata più
da vicino ai dati di un esempio può servire per avere un' idea più effettiva di cosa voglia dire crescita esponenziale.
Consideriamo la progressione geometrica: 3, 9, 27, 81, 243, ... , 3 n,... data dalle potenze del tre (qui si ha S(1) =
3 , S(n+1) = 3.S(n) ; oppure S(n) = 3n ). Pensiamo di rappresentare i suoi elementi con delle striscioline di carta ognuna
dell'altezza, in cm, dell'elemento corrispondente; la prima sarà di 3cm, la seconda di 9cm, ... , la quinta misurerà 3 5= 243cm ,
alta come un armadio medio, la nona 3 9 = 19.683cm, cioè alta come un grattacielo di una cinquantina di piani, la dodicesima
312 = 531.441cm, ben più alta del Monte Bianco, la diciannovesima 319 = 1.162.261.467cm , all'incirca la distanza della Luna
dalla Terra !
31=
Naturalmente le progressioni (aritmetiche o geometriche) non sono le sole successioni significative: consideriamo ad
esempio questa: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... Avete capito come prosegue? In questa successione, ogni elemento (a parte i
primi due) è la somma dei due che lo precedono; per darla per ricorrenza bisogna assegnare i primi due elementi e poi la legge
che abbiamo appena enunciato, così:
S(1) = 1 , S(2) = 1 , S(n+2) = S(n) + S(n+1) .
I numeri che compongono questa successione sono detti numeri di Fibonacci, dal nome del matematico pisano L.
Fibonacci (circa 1170-1240) il quale li introdusse come soluzioni del seguente problema. Supponiamo che una coppia di
conigli diventa capace di riprodursi dopo un anno dalla nascita, e che poi produca un'altra coppia di conigli ogni anno. Se
parto con una coppia appena nata, quante coppie di conigli avrò ogni anno?
La situazione è riassunta nella tabella seguente:
A:
B:
Coppie conigli
Coppie
Giovani
conigli adulti
1
1
1
1
1
2
2
3
3
5
5
8
8
13
.
.
.
.
.
.
C:
Coppie conigli
in totale
1
1
2
3
5
8
13
21
.
.
.
Come si può vedere, si parte il primo anno con una sola coppia giovane; il secondo anno avremo ancora una coppia,
però adulta, quindi al terzo anno essa avrà generato una nuova coppia giovane (in totale avremo 2 coppie), al quarto anno la
coppia adulta ci ha dato una coppia giovane, mentre quella giovane che avevamo si è sviluppata, e ne abbiamo quindi 2 adulte
(3 in totale).
Ad ogni anno la situazione sarà la seguente:
- in colonna B avrò quello che all’anno prima avevo in colonna C , in quanto tutte le coppie che avevo il precedente anno
ora sono adulte,
- in colonna A avrò il numero che avevo l’anno prima in colonna B, in quanto tutte le coppie adulte hanno figliato.
La quantità in A sarà anche uguale a quello che avevo due anni prima in colonna C, per quanto abbiamo appena
detto su come è fatta la colonna B, quindi in totale (in C) avrò la somma dei totali dei due anni precedenti (sempre le quantità
in C) .
56
4. I numeri Interi, ℤ .
4.1 La struttura di
ℤ .
Come abbiamo visto nel capitolo precedente, la sottrazione non è un'operazione su tutto
quanto si può eseguire n - m solo se n > m ; in altre parole, ci sono equazioni del tipo :
ℕ , in
x + 3 = 2 ; x + 23 = 12; x + 7 = 5 ;
che non hanno soluzione in ℕ . Noi vogliamo adesso definire (a partire da ℕ ), un nuovo insieme
numerico, che denoteremo con ℤ (dal tedesco Zahlen = numeri) e che chiameremo dei numeri interi (o
ℤ , +, ×) , e cioè un
insieme dotato delle operazioni indicate, che sia un'estensione della struttura algebrica ( ℕ , +, ×) e dove
anche interi relativi). Più precisamente vogliamo definire una struttura algebrica (
equazioni come le precedenti siano risolubili, o, il che è lo stesso, ove la sottrazione sia un' operazione vera e
propria, cioè sempre definita . Per una costruzione rigorosa di ℤ che usa solo la teoria degli insiemi e
l'insieme ℕ già considerato, vedi l' Appendice A.
Il nuovo insieme che considereremo è il seguente:
ℤ = { ..., −4, −3, −2, −1, 0 ,1, 2, 3, 4, ... }
Quindi in ℤ troviamo tutti i numeri naturali 0,1,2,3,... (cioè ℕ⊂ℤ ), più dei “nuovi numeri”
che sono una copia dei precedenti, ma preceduti da un segno “-” . Vediamo adesso come sono definite le
operazioni di somma e prodotto in questo nuovo insieme (per le quali useremo gli stessi simboli + e × già
usati su ℕ ).
Il modo in cui opera la somma “ + “ è dato dai seguenti sei punti:
s0)
∀ z,u ∈ ℤ , z + u = u + z .
s1)
∀ n, m ∈ ℕ :
s2)
∀z∈ ℤ : 0+z = z .
s3)
∀ n, m ∈ ℕ −{0}
s4)
∀ n, m ∈
n + m è l'usuale somma in
ℕ −{0}
ℕ .
(- n) +(- m) = −(n+m) .
n + (− m) =
Esempi: 3 + (-5) = -(5-3) = -2 ; (-1) + (-4) = -5.
Notiamo che l'operazione è definita su tutto ℤ ; che 0 è l'elemento neutro rispetto a + , per le
s1) ed s2); che + è commutativa per la s0), ed è possibile vedere che + è anche associativa, usando
l’associatività di + su ℕ . Cioè + ha tutte le proprietà essenziali di cui godeva + su ℕ .
53
Inoltre + ha un'altra proprietà, che la somma su ℕ non aveva: l'esistenza dell'opposto. Si ha
infatti che in ℤ ogni elemento ha un opposto rispetto all'operazione +, e cioè
s6)
∀x∈ℤ ,
∃ − x ∈ ℤ , tale che: x + ( −x ) = 0 .
Infatti l'inverso di 0 è se stesso, mentre l'inverso di
(− n) è n, e viceversa, dalla s4) .
Possiamo pensare alla struttura ( ℤ ,+) come ad un'estensione di ( ℕ ,+ ), in quanto ne
contiene una "copia conforme". Chiameremo i numeri in ℕ , visti come elementi di ℤ , interi
(relativi) positivi, mentre chiameremo i numeri del tipo (−
n) , interi (relativi) negativi.
Vediamo adesso come si può definire la moltiplicazione:
∀ z,u ∈ ℤ : u ×z = z × u.
∀z∈ ℤ : 0×z= 0 .
∀ n, m ∈ ℕ−{0} : n × (−m) = −(n×m) .
∀ n, m ∈ ℕ−{0} :: (−n) × m = −( n×m) .
m4) ∀ n, m ∈ ℕ−{0} : (−n) × (−m) = n×m.
m0)
m1)
m2)
m3)
Notiamo che anche qui l'operazione è definita su tutto
ℤ ; che 1 risulta, dalle m2) ed m3),
essere l'elemento neutro rispetto a × ; che × è commutativa per m0); ed infine che è possibile vedere che è
anche associativa e distributiva rispetto a + , usando le relative proprietà di × e + su ℕ . Cioè anche
per × si ha che essa gode di tutte le proprietà essenziali di cui godeva × su ℕ . Notiamo anche che
con questa operazione stabiliamo un’asimmetria in ℤ fra i numeri positivi e quelli negativi: l’elemento
neutro di
× è 1 e non (−1).
Consideriamo adesso la sottrazione, − , in
rispetto alla somma:
Definizione:
ℤ , definendola anche qui come operazione inversa
∀ x,y ∈ ℤ , si dice x − y quell'elemento z ∈ℤ che sommato ad y dà x . Cioè :
x − y = z se x = z + y .
Vediamo che l'operazione “− è stavolta definita su tutto ℤ . Infatti, come abbiamo notato, in
esiste l'inverso rispetto alla somma. Se denotiamo con (− y) l'inverso di y; avremo che se y = (− n),
ℤ
con n ∈
ℕ −{0}, allora − y = − (− n) = n, mentre se y = n, allora − y = − n , ed infine, se y =
0, anche − y = 0 .
Si ha allora che
sottrazione, infatti :
x − y = x + (− y) , cioè che z = x + (− y) è l'elemento richiesto per definire la
z + y = x + (− y) + y = x +((− y) + y) = x + 0 = x .
Quindi x − y esiste sempre in
l'opposto"; ad esempio:
ℤ , ed è uguale a x + (− y), cioè "sottrarre è uguale a sommare
4 – 6 = 4 + (− 6) = − 2 ; 5 − (− 8) = 5 + (8) = 13.
54
Se adesso riprendiamo le equazioni considerate all'inizio del capitolo:
x + 3 = 2 ; x + 23 = 12 ; x + 7 = 5 ,
e le consideriamo come equazioni in
ℤ , allora esse sono tutte risolubili, dando
x = − 1 ; x = − 11 ; x = − 2 ;
in generale avremo che ogni equazione polinomiale di primo grado monomia (cioè ove il coefficiente della
x sia uno), è risolubile in ℤ .
4.2 Perché mai "meno per meno fa più"? Interi relativi ed intuizione.
Quanto visto fin qui completa la costruzione della struttura (
ℤ , + ,×) , ma c'è ancora qualcosa
da segnalare: che il segno "−" viene a compendiare ben tre significati diversi!
Infatti usiamo il segno meno per indicare i numeri negativi , come −5 , −34, e cioè quei "nuovi
numeri" che con la nostra costruzione abbiamo aggiunto ai naturali. In questa accezione il segno " −" non è
usato per indicare un'operazione, ma solo una specie di "segnaposto", per caratterizzare i nuovi numeri
(esattamente come il seme di picche che è usato nell'Appendice A).
Poi "−" è usato come simbolo dell'operazione di sottrazione, e questa è la prima accezione in
cui lo abbiamo incontrato, già in ℕ , ed infine il segno meno si usa per indicare "l'opposto di ":
come in:
−n è l'opposto di n ;
− (− 7) = “ l'opposto di (− 7)” = 7 ;
in quel "− (−7)" , il primo ed il secondo simbolo “meno” hanno due significati diversi: il primo sta per
"l'opposto di", mentre il secondo è quello che abbiamo già notato, il "segnaposto" dei numeri negativi.
Queste diverse funzioni logiche del segno "meno" sono spesso passate sotto silenzio
nell'introduzione scolastica dei numeri relativi; anche se potrebbe generare confusione nei ragazzi al loro
primo incontro con i numeri negativi soffermarsi su aspetti così formali come quelli visti finora, è importante
che l'insegnante abbia chiaro "cosa c'è sotto" logicamente, in quanto le difficoltà che i ragazzi hanno
nell'imparare ad usare (e ad "accettare", prima di tutto) i numeri negativi viene anche dalla vera e propria
complessità di questo concetto, che non è poi così "naturale" come talvolta si tende a cercare di far loro
credere.
Perché i numeri negativi possono costituire un ostacolo alla comprensione dell'aritmetica? La
risposta a questa domanda è facile a darsi: perché essi sono di difficile comprensione! Ricordiamo quello che
abbiamo visto nel primo capitolo: anche se tracce del loro uso si trovano già su tavolette babilonesi del 2000
a.C. , ancora nel 1600 i numeri negativi non erano pacificamente accettati come "numeri veri e propri"! Ciò
ci mostra come questa possibilità di ampliare il campo dei numeri abbia incontrato una vera e propria
"resistenza concettuale" nell'evoluzione culturale dell'umanità, e che quindi le difficoltà incontrate dai ragazzi
sono in questo senso pienamente giustificate.
E' chiaro che il primo approccio per rendere "naturali" i numeri negativi è quello di presentarli come
legati a fenomeni "reali", ad aspetti quotidiani che li rendono familiari: le temperature sotto lo zero, l'altezza
sopra o sotto il livello del mare, gli anni prima o dopo Cristo, le latitudini a nord dell’equatore (che si
rappresentano con numeri positivi) e quelle sud (con numeri negativi) oppure le longitudini a est di
Greenwich (+) o ad ovest (-) . In tutti questi esempi quello a cui ci si riporta è la struttura di ordine presente
55
in ℤ , che "prolunga" quella di ℕ , da "catena lineare con elemento iniziale", come avevamo visto, a
"catena lineare senza primo elemento",
si passa da :
a:
0 ∗∗∗∗∗∗∗ . . .
. . . ∗∗∗∗ 0 ∗∗∗∗ . . .
in cui i numeri negativi vengono prima dello 0 e quelli positivi dopo. In effetti non abbiamo ancora
accennato all'ordine su ℤ , ma è possibile definirlo in modo da "prolungare" quello esistente su ℕ ,
ℕ ⊆ ℤ , identificando ℕ con gli interi "con il +") :
∀ x , y ∈ ℤ , diremo che x > y , se x− y ∈ ℕ −{0} .
così (ove consideriamo sempre
Notiamo quindi che tutti i numeri positivi sono maggiori di 0, mentre i negativi sono minori di 0 (e
dei positivi); ad esempio :
3 > 0 ; -3 > -5 ; 1 > -2 ; 0 > -23 .
Già questa nozione di ordine può creare dei problemi; infatti, essa viene naturale quando si pensano i
numeri interi come rappresentati in una sequenza "crescente", cioè una serie in cui andando da sinistra a
destra si incontrano grandezze sempre maggiori (come già accadeva in ℕ ):
→ . . . __ -5 __ -4 __ -3 __ -2 __ -1 __ 0 __ 1 __ 2 __ 3 __ 4 __ 5 __ . . . →
Però se consideriamo quest'altro punto di vista: che ogni numero rappresenti la lunghezza del
segmento che lo separa dallo 0 (ed anche questa immagine è coerente con l'ordine finché restiamo in ℕ
), le cose cambiano; la situazione diventa di questo tipo:
← . . . __ -5 __ -4 __ -3 __ -2 __ -1 __← 0 →__ 1 __ 2 __ 3 __ 4 __ 5 __ . . . →
e non si capisce più perché, ad esempio, − 3 > − 5 ; il primo rappresenta infatti un segmento di tre unità ed il
secondo uno di cinque, oppure (per la stessa ragione) perché 3 > − 5 .
Bisogna quindi fare attenzione ed essere chiari nello specificare bene a che cosa, a quale aspetto, di
una immagine visiva, geometrica, fisica, ci si appella per sollecitare l'intuizione dei ragazzi nell'illustrare le
proprietà del concetto matematico che si vuole introdurre. C’è sempre il rischio che l'esempio o l'immagine
scelti diventino fuorvianti perché la ricchezza di aspetti, di sfaccettature, di analogie, presenti in un modello
(sia esso geometrico, fisico o che altro) può portare fuori strada se non si indica chiaramente a quali di questi
aspetti ci si riferisce.
Come dicevamo, gli esempi della temperatura o dell'altezza sopra o sotto il livello del mare, saranno
abbastanza chiarificatori per far vedere la struttura di ℤ , e forse ancora meglio funzionerà l'esempio del
denaro: i numeri negativi rappresenteranno debiti , ed allora risulterà anche intuitivamente chiaro che -3000
< 500 : è meglio avere cinquecento euro che un debito di tremila! Inoltre l'esempio del denaro aiuta anche a
vedere chiaramente somma e sottrazione in ℤ : sommare 1000 + (-200) vorrà dire aggiungere ad un
capitale di 1000 un debito di 200, e che il totale sia un capitale di 800 risulta di nuovo intuitivo, così come
1000 - 1300 = -300 : spendendo 1300 euro, se ne possediamo solo 1000, rimaniamo con un debito di 300.
Anche -(-1000) = +1000 risulta così più intuitivo: l'opposto di avere un debito di 1000 lire è avere 1000 lire.
Già a questo punto può però insorgere una difficoltà: imparando la somma e la sottrazione in ℕ
, un bambino spesso impara anche ad associare a questi due concetti l'idea (rispettivamente) di
56
"accrescimento" e di "calo"; questa associazione salta completamente in ℤ , in quanto "sommare − 2" fa
calare una quantità, mentre "sottrarre − 2" la fa aumentare! Questa può essere un’altra ragione di confusione
ed è quindi bene chiarirlo: ora "sottrarre" e "sommare" non sono più sinonimi di "calare" e "aumentare"; lo
sono se si usano grandezze positive, ma questa corrispondenza si inverte usando quantità negative. Un altro
problema che si nota spesso è un confondersi usando incognite a valori in ℤ ; se scrivo che sto
considerando i numeri z e -z in ℤ , molti sono portati a pensare che z sia positivo e -z negativo: ma non
è così! Se z è incognita z può essere un qualsiasi elemento di ℤ , e quindi può benissimo essere che sia
z = − 3 , e quindi avremo − z = − (− 3) = 3 .
Un aspetto comune a tutti gli esempi illustrativi che abbiamo citato per gli interi negativi (e le loro
somme e sottrazioni) è però questo: non danno nessuna immagine intuitiva delle regole della moltiplicazione.
Una domanda che manifesta questa difficoltà, ed è tipica all'approccio con le operazioni sui numeri relativi,
viene spesso posta dai ragazzi (e non solo da loro):
"Ma perché meno per meno fa più"?
Perché meno per meno fa più? La risposta è purtroppo semplicissima, ma in un certo senso
insoddisfacente al tempo stesso: "meno per meno fa più perché l'abbiamo definito così"! E l'abbiamo definito
così perché così si ottiene quello che volevamo: la struttura ℤ ,,× estende quella di ℕ ,,×
conservando tutte le "buone" proprietà delle operazioni, come abbiamo visto nella prima parte di questo
capitolo.
La difficoltà di accettare (più che di "comprendere") il modo di "funzionare" del prodotto di numeri
negativi può stare proprio qui per alcuni studenti: il bisogno di trovare una "ragione" alla regola dei segni, la
convinzione che "c'è qualcosa dietro" che non stanno capendo, che l'insegnante non si cura di spiegargli (o
non sa farlo), e che loro non riescono a capire. Ad esempio, il fatto che "più per meno uguale meno "
presenta meno problemi, in quanto si può pensare, ad esempio,
3 × (−4) = (−4)+(−4)+(−4) = − 12
interpretando di nuovo il "moltiplicare per 3" come il "sommare tre volte", come quando il prodotto è stato
introdotto in ℕ , e quindi questa moltiplicazione rientra nel già noto (ma nasconde il fatto che non diamo
un'idea di cosa significhi "moltiplicare per -4").
Sono proprio quegli studenti che si interrogano di più sulle cose che gli vengono presentate
(indipendentemente dal loro profitto maggiore o minore) che non si accontenteranno di risposte come "la
regola è quella" e che potranno trovarsi a disagio con problemi di questo tipo; magari impareranno la regola,
ma il disagio di "non aver capito" li potrà allontanare dalla matematica, o li convincerà che essa è solo un
arido e insensato elenco di procedure da imparare a memoria.
Il fatto è che ognuno deve trovare il proprio modo di visualizzare e dare un ordine mentale a quello
che sta imparando: per qualcuno potrà essere illuminante pensare ai negativi come ai debiti, per altri alla
quota sul livello del mare; alcuni sono più sensibili ad argomentazioni logiche, altri alla visualizzazione
concreta ed agli esempi; c'è chi è tranquillizzato da un insieme di regole da seguire passo passo e chi le
sopporta solo se riesce a "farle sue" tramite analogie, esempi e visualizzazioni. A chi insegna sta di riuscire a
fornire il maggior numero di spunti e di approcci possibile, in modo che gli studenti possano scegliersi quello
che più fa per loro (sapendo già in partenza che un esempio che può illuminare una persona può confonderne
un'altra).
Ritornando al nostro "meno per meno fa più", un possibile modo per "avvicinare" a questa regola
può essere quello di interpretare l’operazione di moltiplicare, diciamo, per -3, come il "sommare tre volte e
poi cambiare di segno": pensando quindi a
(-3) × 2 = -(3 × 2) = -(2+2+2) = -6 , e (-3) × (-5) = -[3 × (-5)] = -[(-5)+(-5)+(-5)] = -(-15) = 15.
Oppure, se si vuole qualcosa di più visuale, si può pensare alla moltiplicazione così: moltiplicare
per un numero positivo, ad esempio 3, equivale a prendere un numero e triplicarne la distanza dall'origine,
quindi portare il due nel sei, ed il meno due nel meno sei:
57
. . . __-6 __ -5 __-4 __ -3 __ -2 __ -1 __ 0 __ 1 __ 2 __ 3 __ 4 __ 5 __ 6__. . .
←
←
←
→
→
→
moltiplicare per un numero negativo, ad esempio -3, equivale a prendere un numero e triplicarne la distanza
dall'origine facendo contemporaneamente un capovolgimento di posizione rispetto allo 0, quindi portare il
due nel meno sei:
. . . __-6 __ -5 __ -4 __ -3 __ -2 __ -1 __ 0 __ 1 __ 2 __ 3 __ 4 __ 5 __ 6__. . .
←
←
←
←
oppure il meno due nel sei:
. . . __-6 __ -5 __ -4 __ -3 __ -2 __ -1 __ 0 __ 1 __ 2 __ 3 __ 4 __ 5 __ 6__. . .
→ →
→
→
Ma comunque è utile non dimenticare che questi che si possono fornire sono esempi, metafore,
visualizzazioni, e non "ragioni"; il "perché" della regola dei segni nel moltiplicare i numeri negativi, resta
semplicemente il fatto che vogliamo che le operazioni siano commutative, associative, che l'1 sia elemento
neutro rispetto al prodotto, che valga la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma e così via; vale
per questa regola quello che abbiamo detto per il porre n0 = 1 .
4.3 La divisione con resto.
Vediamo adesso qualcosa sulla divisione in
l'operazione inversa della moltiplicazione, come era in
esattamente come accadeva in ℕ .
Definizione: ∀ x, y ∈ ℤ
y dà x. Cioè : x : y = z se
, si dice x :
x=y×z.
ℤ . La divisione sarà ancora definita come
ℕ , ed essa non sarà eseguibile su tutto ℤ ,
y quel numero intero, se esiste ed è unico, che moltiplicato per
Anche qui avremo che non si può mai dividere per zero; quando si può effettuare la divisione,
abbiamo una regola dei segni analoga a quella della moltiplicazione:
(−12) : 2 = − 6 ; 8 : (−4) = − 2 ; (− 36) : (− 9) = 4 .
Ciò che ci interessa adesso è la divisione con resto; è possibile dimostrare (e lo sarebbe stato già in
¥ ), il seguente risultato:
Teorema: ∀x,y ∈ ℤ , y > 0, esistono sempre q,r ∈ ℤ , con 0 ≤ r < y , tali che x = q.y + r .
In più, tali q,r sono unici, e q si dice il quoziente di x diviso y , mentre r dice il resto della
divisione di x per y . Cioè diciamo che “x diviso y fa q con il resto di r”.
Dimostrazione. Consideriamo tutti i multipli (positivi e negativi) di y : ... -3y, -2y, -y, 0 , y, 2y, 3y, ... Sia fra
questi q.y il più grande tale che qy ≤ x :
... __-3y__ -2y__ -y__ 0 __ y__ 2y__ 3y__ ... __ qy_x_ (q+1)y__ ...
Se qy = x , poniamo r = 0, ed abbiamo trovato q, r come volevamo (si ha x = q.y + 0 ), altrimenti si
avrà che x starà fra due multipli di y: q.y < x < (q+1).y , e allora si pone r = x − q.y (che è > 0, come
richiesto, in quanto q.y < x ) ; avremo allora x = q.y + r , ed abbiamo trovato q, r come richiesto.
Per mostrare che q, r sono unici, supponiamo che esista un'altra coppia q', r' di numeri che
soddisfano la stessa relazione, e cioè: x = q'.y + r' .
Quindi si può scrivere:
58
x = q.y + r = q'.y + r' , da cui: q.y - q'.y = r- r' , e cioè (q - q' ).y = r- r' ,
ma poiché r ed r' stanno fra 0 ed y, si ha anche che l'unica possibilità per cui r- r' sia un multiplo di y è che
valga: r- r' = 0.y = 0, e quindi che anche (q − q' ) = 0; ma ciò vale a dire che r = r' e q = q' , come
volevamo.
Esempi:
7:5 dà per quoziente 1 con il resto di 2 perché 7 = 1.5 + 2;
44 : 6 dà 7 con il resto di 2, perché 44= 7.6 + 2;
(-5) : 3 dà -2 col resto di 1, perché -5 = (-2).3 + 1;
3 : 5 dà 0 con il resto di 3, infatti 3 = 0.5 + 3 .
Attenzione! Non pensate che (-5) : 3 dia -1 col resto di -2, considerando che si può anche
scrivere: -5 = (-1).3 + (-2); nella definizione per il resto deve valere 0 ≤ r < y , e quindi 0 ≤ r < 3 , in questo
caso! Il resto deve sempre essere positivo.
Speriamo che tutti voi si ricordino come eseguire le divisioni con resto a mano, senza calcolatrici, ed
a più cifre (sapete fare 2345 : 212, o 444 : 123 ?) . Se non fosse così vi consigliamo di riguardarvelo su un
qualsiasi testo elementare (o di cercare di ricordarvelo con qualche tentativo).
59
3.4 Classi di resto in
ℤ : una diversa aritmetica .
La divisione con resto può dar luogo a delle partizioni di ℤ . Ricordiamo (vedi nella sezione di
teoria degli insiemi) che si dice partizione di un insieme A una sua suddivisione in sottoinsiemi, detti classi
della partizione, fatta in modo tale che l'unione di tutti questi sottoinsiemi copra tutto A, e che non ci siano
elementi comuni a due o più classi.
Cosa ha a che fare tutto ciò con ℤ e con la divisione con resto? Consideriamo un intero positivo,
ad esempio il 5, e suddividiamo ℤ raggruppando i suoi elementi così: mettiamo nella stessa classe tutti
quelli che danno lo stesso resto quando dividiamo per 5. Poiché ci sono 5 possibili resti della divisione per 5
(e cioè 0, 1, 2, 3 e 4), otterremo 5 classi, date dalle colonne verticali della seguente tabella :
Abbiamo quindi cinque classi (le colonne verticali della tabella) che indicheremo usando uno qualsiasi dei
loro membri scritto in neretto (preferibilmente i cinque possibili resti ):
0 = { ... ,-5 , 0 , 5, 10, 15,... } , 1 = { ... ,-4 , 1, 6, 11, 16, ... } , 2 = { ... ,-3 , 2 , 7, 12, 17, ...} ,
3 = { ... ,-2 , 3 , 8, 13, 18, ...} , 4 = { ... ,-1 , 4 , 9, 14, 19, ... }
e varrà, ad esempio : 0 = 5 = 15 ; 3 = − 2 = 18 ; 1 = − 9 = 16 .
L'insieme quoziente della partizione, che indicheremo con
ℤ5 , sarà quindi:
ℤ5 = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4} .
A tale insieme vogliamo fornire una struttura algebrica, definendovi delle operazioni di somma e di
prodotto.
60
Notiamo che se prendiamo due elementi in due classi della partizione e li sommiamo, la classe in cui
andiamo a finire è sempre la stessa: 2 + 4 = 6 , 2 + 9 = 11 , 12 + (− 1) = 11 ; comunque si sommi un
elemento della classe 2 con uno della classe 4 finisco sempre nella classe 1.
Infatti, le somme saranno del tipo: (5a + 2) + (5b + 4) = 5(a + b) + 6 = 5(a+b+1) + 1 ∈ 1 ; ciò avviene
in generale: in quale classe vada a finire la somma di due numeri dipende solo dai rispettivi resti rispetto al 5,
quindi ha senso porre 2+ 4 = 1, cioè possiamo definire un'operazione di somma, + , in ℤ5 , con:
in modo analogo si definirà l'operazione di prodotto, x :
E così si ha una struttura (
ℤ5 , + , x ) , per la quale non è difficile verificare che valgono tutte le
ℤ ,,×
proprietà delle operazioni che abbiamo già visto in
Un modo di visualizzare questa struttura (adatto anche per presentarla ai bambini) è quello di
riportare i simboli su un quadrante di orologio, dove la somma si esegue spostando una lancetta in senso
orario (Fig 4.1).
Fig. 4.1
Naturalmente quello che abbiamo fatto con il 5 si può fare per qualsiasi altro intero positivo
(maggiore di 1, perché ℤ1 = ℤ ) , ottenendo quindi tutte le possibili strutture ( ℤ n , + , x ) , ove
n > 1.
Si tratta sempre di insiemi finiti ( ℤ n possiede n elementi) ma con una struttura aritmetica analoga a
ℤ ,,× ; in particolare la "matematica dell'orologio" si può fare su
un vero orologio quando consideriamo ( ℤ12 , + , x ) .
quella delle struttura (infinita) di
61
Possiamo notare che
ℤ5 ,,× non solo ha le proprietà viste per
qualcosa in più: esiste anche l'inverso rispetto al prodotto, cioè
ℤ ,,× , ma
∀ x ∈ ℤ5 , se x ≠ 0 , ∃y ∈ ℤ5 , tale che x.y = 1 .
La condizione x ≠ 0 è necessaria in ogni struttura ove ∀ x, 0× x = 0 (ovviamente non può
esistere un elemento che moltiplicato per 0 dia 1) .
Osservando la tabella del prodotto, si ha che l'inverso di 2 è 3 (e viceversa), mentre 4 ed 1 sono
l'inverso di se stessi
2×3=1, 4×4=1, 1×1=1.
Questo non accade per tutte le strutture ( ℤ n ,+ , x ): consideriamo ad esempio
in modo analogo, tramite le classi di resto della divisione per 6; avremo che
ℤ6 , costruito
ℤ6 = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4, 5} .
La tabella della moltiplicazione in
ℤ6
sarà:
Si nota subito che 2, 3 e 4 non hanno inverso rispetto al prodotto (non danno mai 1, per qualsiasi
numero li si moltiplichi, mentre il 5 è invece inverso di se stesso). Si ha poi che 2,3 e 4 hanno un'altra
proprietà (che in ℤ ,,× non ha nessun elemento): sono divisori dello zero, cioè sono numeri diversi
da zero che danno zero moltiplicati fra loro. Si ha infatti :
2×3=0, 4×3=0.
Dei divisori dello zero non possono mai avere inverso rispetto al prodotto; infatti, sia a × b = 0 ,
con a, b diversi da 0. Vediamo che supporre che esista un elemento c tale che c × a = 1 , porta ad una
contraddizione; infatti se tale c esistesse, avremmo:
c × a × b = (c × a) × b = b , ma anche c × a × b = c × (a × b) = c × 0 = 0 ,
e quindi b = 0 , che è in contraddizione con quanto avevamo supposto su b .
Quando è che in ( ℤ n ,+ , x ) si hanno degli a, b divisori dello zero? Quando ci sono, in ℤ , numeri
minori di n che moltiplicati fra loro danno n (poiché n è nella classe 0); quindi quando n non è un numero
primo! Se invece n è primo allora ( ℤ n ,+ , x ) non ha divisori dello zero, ed è possibile dimostrare che
ogni elemento diverso da zero in
ℤ n ha un inverso rispetto al prodotto.
Notiamo come ultima cosa che quando n è primo, quindi quando in
ℤ n c'è l'inverso rispetto al
ℤ n , esclusa sempre la divisione per zero, definendola
ancora come l'operazione inversa del prodotto. Ad esempio, in ℤ5 , si avrà:
prodotto, si può sempre eseguire la divisione in
2:3=4, 2:4=3, 3:4=2.
62
ℤ n ,+ , x ) , per n primo, è dunque la prima struttura che incontriamo ove si può eseguire la
divisione per ogni elemento diverso da zero (cioè esso è un campo). Ovviamente ℤ non ha questa
proprietà. Nel prossimo capitolo costruiremo un ampliamento di ℤ ove la divisione sia eseguibile
(notiamo che le strutture ( ℤ n , + , x ) ovviamente non sono ampliamenti di ℤ , né suoi sottoinsiemi).
(
63
5. I numeri Razionali, ℚ .
5.1 La costruzione di
ℚ , cenni.
Rispetto all'operazione di divisione, ci troviamo in ℤ come eravamo in ℕ rispetto alla sottrazione:
l'operazione di divisione è eseguibile (non parliamo qui della divisione con resto, ma della divisione vera e propria)
solo quando il numero da dividere è multiplo del divisore. Equivalentemente si può osservare che le seguenti
equazioni non hanno soluzione in ℤ :
2x + 3 = 0 ; 4x = 23 ; 21x = 5 .
Vogliamo ora costruire una nuova struttura algebrica ℚ ,, × , e cioè un insieme dotato delle
operazioni indicate, che sia un'estensione della struttura algebrica ℤ ,, × e dove equazioni come le precedenti
siano risolubili, o, il che è lo stesso, ove la divisione sia un operazione vera e propria, cioè sempre definita (con la sola
eccezione della divisione per zero).
Non percorreremo tutti i dettagli della costruzione, ma ne daremo le linee essenziali. L'insieme da cui
 , ove
partiamo è l'insieme delle coppie di interi con secondo elemento diverso da zero, cioè dall'insieme: ℤ×ℤ
 = {x ∈ ℤ | x ≠ 0 } , quindi sono elementi dell'insieme ℤ×ℤ
 , ad esempio:
ℤ
(-2, 5), (0, 4) , (67, -34) , (3, 5), (-2,-2) ;
mentre non lo sono (3,0) o (0,0) .
 , raggruppando in una stessa
Eseguiremo una partizione (vedi in teoria degli insiemi) dell'insieme ℤ×ℤ
classe tutte le coppie (a,b) e (c,d) tali che ad = bc ; ad esempio saranno nella stessa classe (3,2) e (6,4) poiché 3 × 4
= 6 × 2 ; individuano la stessa classe anche (-3,-2) e (15,10), e nella loro stessa classe sta anche (21,14).
 nel piano cartesiano (vedi Fig. 5.1), le classi
Per visualizzare le classi ci possiamo rappresentare ℤ×ℤ
saranno allora formate da tutte quelle coppie che stanno su una stessa retta passante per l'origine.
Fig 5.1
 , considereremo come nuovi "numeri" le classi della
Se passiamo all'insieme quoziente di ℤ×ℤ
partizione eseguita, ed useremo il simbolo a / b per indicare la classe della coppia (a,b) . Avremo che 3/2 = {(6,4) (3,-2), (15,10), (300,200),...} e che 3/2 = 6/4 = 15/10 = ... in quanto le coppie (3,2) e (6,4) stanno nella stessa classe.
Allo stesso modo avremo che -1/ 1 = 1/-1 o che 2/2 = 1/1 = 5/5 .
Indicheremo questo insieme quoziente con ℚ , e definiremo su di esso delle operazioni di somma e
prodotto in modo da renderlo una struttura algebrica.
Definizione:
64
∀ a/b, c/d ∈ ℚ , a/b + c/d = (ad+cb) /bd ;
∀ a/b, c/d ∈ ℚ , a/b × c/d = ac/bd .
Notiamo che le operazioni sono ben definite, cioè che se invece di a/b usiamo un altra espressione per la
stessa classe, ad esempio 2a/2b , il risultato delle operazioni è sempre lo stesso, cioè, ad esempio 3/2 + 1/3 =
(3.3+2.1)/6 = 11/6 , ed anche 6/4 + 2/6 = (6.6+4.2)/24 = 44/24 = 11/6. Infatti
(2ad+2cb) /2bd = (ad+cb) /bd e anche ac/bd = 2ac/2bd .
Esempi:
3/4 + 4/3 = (9+16)/12 = 25/12 ; 3/7 + (-1/3) = [9+(-7)]/21 = 2/21 ; 4/1 + 0/211 = (844+0)/211 = 4/1 ;
3/5 × 7/9 = 21/45 = 7/15 ; 12/12 × 3/8 = 36/96 = 3/8 ; -2/9 × 12/5 = -24/45 = -8/15 ;
-4/3 × -1/3 = 4/9 .
Inoltre si ha :
∀ a/b ∈ ℚ : a/b + 0/1 = a/b ;
∀ a/b ∈ ℚ : a/b × 1/1 = a/b .
Cioè l'elemento 0/1 (o 0/3 , o 0/-1, in quanto rappresentano tutti la stessa classe) è l'elemento neutro rispetto alla
somma, mentre l'elemento 1/1 (o 3/3 o -2/-2 ) è l'elemento neutro rispetto al prodotto.
Chiameremo numeri razionali, o anche frazioni , gli elementi di
ℚ .
Allora, come abbiamo appena visto, ogni numero razionale si può scrivere in infiniti modi; per questo ci serve avere un
modo "preferibile" fra tutti gli infiniti possibili, per creare meno ambiguità. Per definirlo procediamo così:
considereremo, fra tutti i possibili modi di rappresentare uno stesso numero razionale, il simbolo a/b, ove si abbia che
b>0 e che a,b non abbiano fattori comuni; in quel caso diremo che il numero è scritto con una frazione ridotta ai
minimi termini .
Ad esempio scriveremo 3/2 piuttosto che 6/4 o -3/-2, e -2/3 piuttosto che -10/15 o 2/-3 .
ℚ , e cioè Z = { z/1 | z ∈ ℤ }. Si può allora facilmente
notare che Z è chiuso rispetto alle operazioni di somma e prodotto ora definite, e che la struttura ( Z, +, ×) "si
comporta" come la struttura ( ℤ , +, ×), e cioè che fra i due insiemi posso fare una applicazione biunivoca
Consideriamo un particolare sottoinsieme di
(associando z/1 a z ) che conserva le operazioni. Scriveremo allora direttamente z invece di z/1 per gli elementi di
Z, ed otteniamo così quello che ci eravamo proposti: possiamo vedere ℚ ,, × come un'estensione di,
ℤ ,, × in quanto l'identificazione di ℤ con Z ci permette di vedere ℤ "dentro" ℚ .
5.2 Le operazioni in
ℚ .
Notiamo che l'operazione di sottrazione, definita come inverso della somma, si può sempre eseguire in
in quanto ogni a/b ha un opposto rispetto alla somma, e cioè (-a)/b, infatti:
a/b + (-a)/b = (ab-ab)/b2 = 0/b2 = 0/1 .
La formula generale per la sottrazione, " − ", in
ℚ , sarà analoga a quella della somma:
65
ℚ ,
∀ a/b, c/d ∈ ℚ : a/b − c/d = (ad − cb) /bd .
Verifichiamo adesso che in
ℚ si può eseguire la divisione, cioè che ogni numero diverso da zero ha un
inverso rispetto al prodotto. Questo è immediato; se ho a/b ∈ ℚ , e a/b è diverso da 0/1 , cioè si ha a ≠ 0 , allora
l'elemento b/a sarà l'inverso di a/b, in quanto a/b× b/a = ab/ab = 1/1 = 1 .
Poiché anche qua definiamo la divisione come l'operazione inversa del prodotto, avremo che per fare a/b : c/
d (cioè per ottenere un numero che moltiplicato per c/d dia a/b) basterà moltiplicare a/b per l'inverso di c/d , cioè fare
a/b × d/c , infatti si ha:
(a/b× d/c)× c/d = a/b× (d/c× c/d) = a/b×1 = a/b .
Naturalmente in tutto questo deve essere c/d ≠ 0, cioè c ≠ 0 (ricordiamo che b,d ≠ 0 per definizione).
Quindi
ℚ ,, × è la struttura che cercavamo: un'estensione di ℤ ,, × dove è sempre
possibile dividere (tranne per zero) e ogni elemento diverso da zero ha un inverso rispetto al prodotto.
Se ripensiamo alle equazioni che abbiamo considerato all'inizio:
abbiamo che, in
generale:
2x + 3 = 0 ; 4x = 23 ; 21x = 5 ,
ℚ , sono tutte risolvibili; le loro soluzioni sono: x = -3/2 ; x = 23/4 ; x = 5/21; più in
In
ℚ , ogni equazione polinomiale di primo grado è risolubile.
Osserviamo che anche con la moltiplicazione e la divisione in ℚ accade ciò che era avvenuto per somma e
sottrazione nel passare da ℕ a ℤ : l'associazione di "moltiplicazione" e "aumento" e "divisione" e "decrescere"
non è più vera; ad esempio moltiplicare per 1/2 significa dimezzare, mentre dividere per 1/2 significa raddoppiare!
Osserviamo inoltre che, ovviamente, il modo in cui abbiamo introdotto i numeri razionali non è
assolutamente quello con cui presentarli a dei bambini delle elementari! Il modo con cui si presentano le frazioni per la
prima volta è quello di introdurle come "operatori", cioè come operazioni che si eseguono sui numeri interi (o sugli
oggetti): presenteremo "fare i 2/3" di qualcosa (di solito una torta), come "dividere in 3 parti e prenderne 2". Solo
dopo aver maneggiato le frazioni come operatori, si passerà a farle considerare come "nuovi numeri" a tutti gli effetti
(anche qui ripercorrendo quello che è accaduto nella storia della matematica). Naturalmente ad ogni passo si cercherà
di utilizzare al massimo visualizzazioni ed esempi concreti, non tanto la "struttura logica astratta" di quello che stiamo
facendo (ma sulla quale è utile che l'insegnante rifletta).
Vediamo un modo per visualizzare il "perché" si moltiplicano le frazioni moltiplicando numeratore e
denominatore. Lo faremo ancora trattando le frazioni come operatori, e quindi vedendo 4/5 ×2/3 come "fare i 4/5" di
qualcosa e poi "fare i 2/3" di ciò che si è ottenuto; dobbiamo vedere che ciò equivale al "fare gli 8/15". Seguendo
[MA], rappresenteremo l'operare della prima frazione sull'unità (il quadrato) per tagli verticali, mentre quello della
seconda per tagli orizzontali:
66
Con tale metodo è anche facile illustrare come l'operazione precedente è equivalente a 8/10×4/6:
5.3 Confronto fra l'ordinamento di
ℚ , ℤ ed ℕ .
Vogliamo analizzare anche la struttura d'ordine su
possibile definire un ordine in
Definizione:
ℚ , e confrontarla con quelle di ℤ e ℕ . E'
ℚ che estenda quello di ℤ nel modo seguente:
∀ a/b, c/d ∈ ℚ , se esse sono ridotte ai minimi termini, diremo che:
a/b > c/d , se ad > cb ( in ℤ ).
L'idea dietro alla definizione è semplice: scrivendo a/b, c/d come ad/bd, bc/bd , si confrontano frazioni
con lo stesso denominatore (si richiede che le frazioni siano ridotte ai minimi termini perché gli eventuali segni "−"
compaiano solo al numeratore, altrimenti avremmo 1/−1 > 1/1) .
Si ha allora, ad esempio: 3/4 > 2/5 , perché 15 >8 . In modo analogo si verifica che :
−2/3 < −1/2 , 1/10 > −3/2 , 25/48 > 17/36 .
Quando confrontiamo elementi a/1, b/1 , si ha che a/1 > b/1 se a.1 > b.1 in
stessa relazione d'ordine che avevamo su ℤ .
ℚ , e quindi questa è la
Quindi l'ordine testé definito in ℚ estende quello di ℤ , come volevamo. Vediamo però che in ℚ
la struttura d'ordine è molto differente da quella di ℤ o di ℕ .
L'ordine in ℤ , come in ℕ , è discreto, cioè gli elementi "vengono uno dopo l'altro" e per ogni
elemento n esiste un "successore", un altro numero, n+1, che è maggiore, e tale che non esistono numeri compresi fra i
due.
67
In ℚ invece la situazione è molto diversa; l'ordine che abbiamo su ℚ si dice un ordine denso, nel senso che,
dati due qualsiasi elementi di ℚ , esiste sempre un elemento compreso fra i due. Sia ad esempio a/b > c/d ; allora
si avrà che il numero (detto la “media aritmetica” fra i due)
1 a c
ad bc
  =
,
2 b d
2 bd
risulta tale che :
a
ad bc
c


b
2 bd
d
.
Quindi i numeri di ℚ , ad esempio se rappresentati sulla retta, risultano "infinitamente fitti", in effetti non
se ne può fare un disegno preciso, in quanto fra ogni due punti scelti ce ne sono infiniti altri:
Fig. 5.2
5.4 La rappresentazione decimale dei numeri razionali.
Abbiamo visto come rappresentare i numeri razionali in forma di frazione ; c'è però un altro modo per
rappresentarli, molto più usato in pratica (ed anche nelle scienze), ed è ancora una volta la rappresentazione decimale,
quella cioè che usa le potenze del dieci. Prima di trattarla vogliamo però estendere anche l'operazione di elevazione a
potenza, e precisamente estenderla agli esponenti negativi.
Definizione:
∀ a/b ∈ ℚ
, ∀ z ∈ ℤ , se a ≠ 0, si pone :
z

a
b
z
=
a
se z0
bz
1 se z =0
b−z
se z 0
a−z
.
Esempi:
(3/4)3= 27/64 ; 3-2 = (3/1)-2 = 12/32 = 1/9 ; (2/3)-2 = 9/4 ; 10-4 = 1/10.000 ; 4-1= 1/4 ; (5/6)0=1 .
68
Abbiamo posto a diverso da zero, infatti non si può elevare 0 ad un numero negativo perché otterremmo una
frazione con 0 al denominatore, che non ha senso.
E' invece sempre possibile elevare 0 ad un numero z positivo, ed avremo sempre 0z = 0.
Osserviamo che con questa convenzione degli esponenti negativi, ogni frazione
a/b può essere scritta come
a.(b-1).
Ritorniamo adesso al problema della rappresentazione decimale: il metodo che si usa per la rappresentazione
tramite potenze del dieci dei numeri interi si può estendere usando anche le potenze negative del dieci: i decimi,
centesimi, millesimi : 1/10 = 10-1 , 1/100 = 10-2 , ... e così via.
Com'è ben noto useremo le posizioni a destra della cifra delle unità per riportare le cifre che rappresentano le
potenze negative, separate dalle altre da una virgola (invece si usa un punto nei paesi anglosassoni) ; scriveremo
quindi:
23,54 = 2.101+ 3.100+ 5.10-1+ 4.10-2 ; 3,141 = 3+ 1.10-1+ 4.10-2+ 1.10-2 ; 0,75 = 7.10-1+ 5.10-2 .
Tutti i numeri scritti sopra sono numeri razionali, e la loro espressione tramite frazioni è la seguente:
23,54 = 23+ 5.1/10+ 4.1/100 = 2354/100 = 1177/50 ;
3,141 = 3141/1000
; 0,75 = 75/100 = 3/4 .
Quali sono i vantaggi nella scrittura decimale dei numeri razionali? Uno è immediato: è ben più facile
riconoscerne l'ordine: si vede immediatamente che 0,8 > 0,75, mentre sarebbe meno immediato riconoscere che 4/5 >
3/4; e ciò è ancor più vantaggioso con frazioni più complicate, come le altre scritte sopra. E' poi in genere più semplice
fare somme e sottrazioni: si procede incolonnando i numeri e sommandoli come nelle ordinarie operazioni con i numeri
interi:
3,45 +
12,614 +
22,1 =
38,164
è molto più semplice di 345/100 + 12614/1000 + 221/100 = 38164/1000 .
C'è però uno svantaggio nel rappresentare le frazioni con numeri decimali: solo in pochi casi si otterrà un
decimale "finito", nella maggior parte dei casi si ottiene un numero decimale con infinite cifre decimali.
Basta considerare delle semplici frazioni come 1/3 ed 1/6 per avere che i numeri decimali che le
rappresentano, che si otterranno proseguendo le divisioni:
non sono finiti, ma costituiti da una serie illimitata di cifre decimali, tutte uguali a 3 nel primo caso, tutte pari a 6 , dopo
il primo 1, nel secondo. Ciò si indica soprasegnando le cifre che si ripetono:
0,1 6 = 0,16666…; 0, 3 = 0,3333….
Il (minimo) gruppo di cifre che si ripetono è detto periodo del numero decimale, le cifre decimali che lo
precedono antiperiodo. Nel definire il periodo diciamo "minimo gruppo" per indicare che scriveremo
0, 3 e non
0, 33 né 0, 333 .
Le cifre che si ripetono possono essere molte, anche per frazioni molto semplici; si ha ad esempio che
69
__________
1
= 0,142857
7
.
Questo è qualcosa che può mettere un po' in crisi rispetto alla natura di questi numeri: i dubbi che possono
suscitare sono di vario tipo; potrete sentire i ragazzi (e non solo loro) chiedersi e chiedere: se questo numero richiede
infinite cifre allora "non è preciso", "non esiste", "non si può scrivere", "è grandissimo".
Tali dubbi sono del tutto giustificati (l'accettazione dell'espressione decimale delle frazioni è stata lenta, vedi
il primo capitolo). Il fatto è che la scrittura come numero decimale è molto meno "potente" di quella come frazione
per scrivere i numeri razionali: le scritture 0,3 , 0,33 , 0,333 sono solo approssimazioni di 1/3, ma nessuna di esse lo
rappresenta esattamente. Poiché ci sono però indubbi vantaggi nell'usare le espressioni decimali, abbiamo introdotto
delle convenzioni per rappresentare anche quelli periodici.
Consideriamo la seguente questione:
I decimali illimitati che si possono ottenere convertendo una frazione sono sempre periodici?
La risposta è Sì . Infatti quando dividiamo per un numero, il resto è sempre minore di esso; ad esempio i resti possibili
dividendo per 7 saranno 1, 2, 3, 4, 5, e 6; quindi dopo sei passi al massimo dovremo incontrare di nuovo un resto già
incontrato, ed a quel punto la divisione si ripeterà, dando luogo ad un periodo:
quindi ogni numero razionale, se rappresentato in forma decimale, dà luogo ad un numero decimale finito oppure
illimitato ma periodico (in particolare, la frazione a/b, se è ridotta al minimi termini, può dar luogo ad un periodo al
massimo di b-1 cifre, quanti sono i possibili resti della divisione per b ).
Quali sono le frazioni che danno luogo a decimali finiti? Solo quelle che si possono esprimere con un
denominatore che è una potenza del dieci: 2,3 = 23/10 ; 12,47 = 1247/100 e così via. Quindi tutte le frazioni a/b ove
b abbia come fattori primi soltanto il 2 e/o il 5. Una frazione come 23/25, per esempio, va bene: basta moltiplicare
numeratore e denominatore per 4 per ottenere 92/100 = 0,92 . Per tutte le altre otterremo espressioni decimali
periodiche (illimitate).
Attenzione! C'è un'altra anomalia nel rappresentare i razionali con decimali periodici, ed è data da numeri
come:
0,99999...=0,9 .
Questo numero è apparentemente diverso da 1, ma pensiamo un po' a quale numero decimale può stare fra
esso ed 1: chiaramente nessuno! Ma noi abbiamo visto che in ¤ c'è un ordinamento denso, cioè che dati due numeri
razionali ce ne sono sempre altri fra di loro, mentre adesso ne abbiamo due che non hanno questa proprietà! Questa è
un'ulteriore anomalia della rappresentazione decimale: abbiamo due simboli, 0, 9 ed 1, che rappresentano lo stesso
numero! Cioè 0, 
9=1 , ed allo stesso modo:
_
_
2,459 = 2,46 ; 0,19 = 0,2
Cioè: ogni nove periodico rappresenta sempre l'unità successiva.
Si potrebbe pensare che sarebbe meglio bandire del tutto il nove periodico, in modo da non avere ambiguità,
ma in effetti talvolta può essere comodo considerarlo, ad esempio se abbiamo:
0, 30, 30, 3 =0, 9=1 (scritta in frazioni questa somma è: 1/3 + 1/3 +1/3 = 3/3 =1) .
70
Un altro problema dei decimali periodici sono le operazioni; solo poche, come quella alla riga precedente,
sono semplici: per esempio come si fa a sommare
____
______
2,5364 + 13,234 6573 ?
In questi casi per eseguire le operazioni è in effetti molto più efficiente l'uso della rappresentazione come frazioni;
notiamo che ogni numero decimale periodico si può scrivere come frazione. Ma come si passa da un numero decimale
periodico alla frazione ad esso equivalente?
In generale un numero decimale periodico avrà un un antiperiodo, cioè un gruppo di cifre decimali che non si ripetono poste
prima del periodo, ad esempio x = 23,4561 345 ha come antiperiodo 4 cifre (“4561”) e come periodo tre (“345”).
Consideriamo il numero di posti occupati dall'antiperiodo più il periodo, e cioè (nell'esempio) 7 e moltiplichiamo il numero
per 107 ; otterremo x×10 7 = 23,4561 345 .10 7 = 234561345, 345 ; moltiplichiamo poi x anche per 104 (tante
cifre quanto è il solo antiperiodo); otterremo che
x 107− x 104 = 234561345, 345−234561, 345 = 234561345−234561 , e quindi che
x 104 10 3−1 = 234561345−234561 , x =
234561345−234561 234561345−234561
=
.
9990000
10 4 103−1
Procedendo come in questo esempio, possiamo ottenere la regola generale per trasformare un numero decimale periodico in
frazione:
Se abbiamo un numero decimale periodico x , esso sarà equivalente ad una frazione A/B, ove:
A è dato dalla differenza fra il numero intero dato da tutte le cifre che appaiono fra parte intera, antiperiodo e periodo, meno
quello formato dalle sole cifre di parte intera e antiperiodo;
B è dato dal numero formato da tanti “9” quante solo le cifre del periodo e tanti “0” quante sono quelle dell'antiperiodo.
Esempi:
0,2 3=
23−2 21 7
215−2 213 71
314−31 283
=
=
=
= =
; 2, 15=
; 3,1 4=
;
90
90 30
99
99 33
90
90
9−0 9
142857 1
= .
0, 9=
= =1 , 0, 142857=
999999 7
9
9
Perché insistere tanto nell'uso dei decimali se solo quelli finiti sono semplici da usare mentre gli altri ci creano
così tanti grattacapi?
La risposta sta nella pratica: se un falegname deve tagliare un'asse di un metro in tre parti uguali, è vero che
esse dovrebbero misurare
33,3333...=33, 3 cm, ma quanto preciso può essere un taglio con la sega? Se una
parte misurerà 33,332 cm o 33,334 cm , il lavoro del falegname sarà preciso al decimo di millimetro, ed il suo errore
sarà solo nell'ordine dei centimillimetri: che importanza può avere nel costruire un mobile? Se invece stessimo
parlando della costruzione di uno strumento di precisione (ad esempio i pezzi di un microscopio, o di un telescopio) la
precisione richiesta è più alta, il pezzo dovrà per esempio misurare 33,3333 cm. Ma in ogni caso, la precisione di tutte
le misure che siamo in grado di effettuare è limitata: per quanto ci si debba spingere in là nelle espressioni decimali ,
per ogni fine pratico i decimali finiti ci basteranno.
Il problema di come operare con i decimali periodici è solo dei matematici, non di fisici, ingegneri, biologi,
geologi o economisti; per i quali i numeri decimali finiti sono più che sufficienti, e la semplicità con la quale si opera
con essi li rende spesso molto preferibili alle frazioni, che invece continuano ad essere preferite dai matematici (quando
fanno matematica, non quando misurano le mensole da appendere in casa!) .
Per molti usi nelle scienze applicate, i numeri si scrivono mettendo ancora più in evidenza la principale
potenza del dieci che vi appare; ad esempio si scriverà:
123 = 1,23 . 102 ; 12.324 = 1,2324 . 104 ; 0,023 = 2,3 . 10-3 ; 12,67 = 1,267 . 10 ; 0,32 = 3,2 . 10-1
71
cioè si scrive un numero che abbia una parte intera di una sola cifra, seguito dalla opportuna potenza del dieci. Tale
metodo si chiama notazione scientifica , ed è atto a mettere in evidenza l'ordine di grandezza del numero in questione,
cioè la potenza significativa del dieci che lo esprime: gli ordini di grandezza delle cifre riportate sopra sono,
rispettivamente, 102, 104 , 10-3 , 10, 10-1 .
Per le potenze del 10 si sono coniati anche dei nomi e dei simboli, che vengono usati come prefissi nelle
misure:
1012
109
106
103
102
101
100 =1
tera
giga
mega
kilo
etto
deca
100 = 1
10-1
10-2
10-3
10-6
10-9
10-12
T
G
M
k
h
da
deci
centi
milli
micro
nano
pico
d
c
m
µ
n
p
Per esempio, oltre ai più comuni: Kilometro, ettogrammo (etto), centimetro, parliamo anche di nanometri,
centilitri, Megabyte e Gigabyte,
5.5 Le percentuali.
C'è un ulteriore modo di rappresentare numeri razionali che è costituito dalle percentuali, molto usate in economia,
statistica ed altri campi. L'idea è quella di utilizzare frazioni con denominatore uguale a 100: ad esempio parleremo del
20% di una quantità per indicare i
20
di tale quantità; in generale x % sta per
100
x
.
100
Esempi:
- Se su un prezzo di 1200€ si pratica il 30% di sconto, lo sconto sarà di
1200 .
30
100
= 360€ .
- Se il 35% degli studenti di una scuola, e cioè 70 studenti, frequenta i laboratori di inglese, quanti sono gli
studenti della scuola? Detto x il totale degli studenti, poiché il suo 35% è 70, si ha
x .=70 .
x.
35
=70 , e quindi
100
100
=200 .
35
- Se su un investimento di 120.000€ otteniamo un interesse del 5% annuo, quanto guadagniamo dopo un anno?
E dopo due? Dopo un anno gli interessi saranno di
120.000 .
5
= 6000 € ; se gli interessi vengono mantenuti
100
nell'investimento, il secondo anno otterremo il 5% di 126.000€, e cioè:
126.000 .
5
= 8300 €.
100
- Se compriamo un cappotto ad una svendita, con lo sconto del 40%, e lo paghiamo 120€; quanto costava il
cappotto prima della svendita? Con lo sconto del 40%, paghiamo il cappotto il 60% del suo prezzo iniziale, quindi
120€ sono il 60% della quantità che cerchiamo, Avremo allora:
120 .
100
=200 € ,
60
che è il prezzo iniziale cercato. Lo sconto ottenuto sarà il 40% di 200€, e cioè 80€.
72
5.6 Le proporzioni.
in
Inseriamo nel capitolo sui razionali anche una trattazione delle proporzioni, che avrebbero potuto essere definite già
ℕ , ma che preferiamo trattare qui in quanto si tratta pur sempre di rapporti e quindi di frazioni.
Una proporzione è una uguaglianza fra due rapporti e si scrive come:
a:b=c:d
(dove ovviamente si deve avere b,d ≠ 0 altrimenti le divisioni non si potrebbero effettuare). La stessa proporzione si
potrebbe altrettanto scrivere:
a
c
=
;
b
d
ma la prima notazione è la più diffusa, specialmente nella scuola primaria.
Comunemente a : b = c : d si legge: “ a sta a b come c sta a d ”, e i termini a e d si dicono estremi della
proporzione, mentre i termini b e c si dicono medi della proporzione.
Esempi:
4 : 5 = 8 : 10 ;
1 : 3 = 3 : 9 ; 3: (-6) = 2 : (-4) ; (-3) : (-5) = 3 : 5 :
2
4
: 4 =
: 8 .
3
3
Esercizio: Dire se le seguenti proporzioni sono valide o no:
14 : 7 = 48 : 12 ;
3 : 2 = 6 : 9 ; 2 : (-1) = (-2) : 1 ; (-3) : (-5) = 6 : 10 :
2
3
4
:
=
: 1 .
3
2
9
Proprietà delle proporzioni
Le proprietà seguenti, tutte deducibili da elementari passaggi di calcolo letterale, sono le proprietà più usate nel calcolo
con le proporzioni.
Proprietà “fondamentale”. In una proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.
Se a : b = c : d , allora a ⋅ d = b ⋅ c
Infatti se
a
c , allora moltiplicando ambo le frazioni per bd, si ottiene ad = bc.
=
b
d
Proprietà del “comporre”. In una proporzione la somma fra il primo e il secondo termine sta al primo (o al secondo),
come la somma fra il terzo e il quarto sta al terzo (o al quarto).
Se a : b = c : d allora (a + b) : a = (c + d) : c e (a + b) : b = (c + d) : d
Purché naturalmente si abbia a,c ≠ 0 per la prima, b,d ≠ 0 per la seconda.
a
c
=
, allora
b
d
ab
cd
=
.
b
d
Infatti se
a
c
 1 =
 1 , da cui portando a denominatore comune, si ottiene
b
d
Proprietà dello “scomporre”. In una proporzione la differenza fra il primo termine e il secondo sta al primo (o al
secondo), come la differenza fra il terzo e il quarto sta al terzo (o al quarto).
Se a : b = c : d allora (a − b) : a = (c − d) : c e (a − b) : b = (c − d) : d
Purché a,c ≠ 0 per la prima, b,d ≠ 0 per la seconda.
73
Proprietà del “permutare”. Scambiando fra loro i medi (o gli estremi) di una proporzione si ottiene ancora una
proporzione.
Se a : b = c : d allora anche a : c = b : d e d : b = c : a
Purché naturalmente si abbia c ≠ 0 per la prima, a ≠ 0 per la seconda.
Proprietà “dell'invertire”. Data una proporzione, è ancora una proporzione quella ottenuta scambiando ogni
antecedente con il proprio conseguente.
Se a : b = c : d allora anche b : a = d : c
Purché naturalmente si abbia a,c ≠ 0 .
Risolvere una proporzione
Si parla talvolta di “risolvere una proporzione” quando una delle quattro quantità a,b,c,d che la compongono non è
nota, e la si ricava dalle altre tre. Si tratta in effetti della risoluzione di un'equazione. Poiché il prodotto dei medi è
uguale a quello degli estremi, se l’elemento incognito è un medio occorre moltiplicare gli estremi e dividere per l’altro
medio. Viceversa se l’incognita è un estremo si moltiplicano i medi e si divide per l’altro estremo.
Nei seguenti esempi la grandezza ignota è indicata con una x.
Esempi: Se a : b = c : x , allora ax = bc e quindi x = bc: a .
Se a : b = x : d , allora bx = ad e quindi x = ad: c .
Se x : b = c : d , allora dx = bc e quindi x = bc: d .
Grandezze direttamente e inversamente proporzionali
Grandezze direttamente proporzionali. Due grandezze variabili x e y sono direttamente proporzionali se il loro
rapporto è costante, cioè se vale la relazione: y = kx (e quindi
y
= k ), ove k è una costante. La costante
x
prende il nome di coefficiente di proporzionalità (diretta).
Rappresentando in un piano cartesiano la dipendenza di proporzionalità diretta tra due grandezze variabili si ha una
retta che passa per l'origine:
In Figura: Ra p p r e s e n t a z i o n e gra f i c a de l l a p r o p o r z i o n a l i t à di r e t t a y = 2x
Esempio. Nei rettangoli di base assegnata 2m, l’area A è proporzionale all’altezza h . Infatti, si avrà : A = 2h. In
questo caso il coefficiente di proporzionalità diretta è 2.
74
Grandezze inversamente proporzionali. Due grandezze variabili x e y sono inversamente proporzionali se il loro
prodotto è costante, cioè si ha xy = h , e quindi
y =
h .
x
La costante h prende il nome di coefficiente di proporzionalità inversa.
Rappresentando in un piano cartesiano la dipendenza di proporzionalità inversa tra due grandezze variabili si ottiene
un ramo di iperbole.
In Figura: Ra p p r e s e n t a z i o n e gra f i c a de l l a p r o p o r z i o n a l i t à in v e r s a tra d u e gra n d e z z e .
Esempio. Nei rettangoli di area assegnata 100cm2, la lunghezza della base b è inversamente proporzionale alla
lunghezza dell’altezza h . Infatti b ⋅ h =100 (naturalmente le misure b e h esprimono base e altezza in cm)..
Problemi con le proporzioni
Problema “del tre semplice”. Si dicono problemi del tre semplice quelli in cui entrano in gioco due grandezze
direttamente proporzionali o inversamente proporzionali; si conoscono due valori corrispondenti delle due grandezze,
si conosce un valore di una grandezza e si deve calcolare il valore corrispondente dell’altra grandezza. In altre parole
si conoscono tre valori, due di una grandezza e uno dell’altra grandezza, e occorre determinare il quarto valore, in
modo da ottenere una proporzione diretta o inversa.
Esempi.
Problema del tre semplice diretto. Per comprare 3,5l di una certa sostanza si spende 12€; quanto si spende per
comprare 5,7l della stessa sostanza? Si tratta di grandezze direttamente proporzionali, quindi 3,5: 5,7 = 12 : x (o
anche 3,5: 12 = 5,7 : x ).
Problema del tre semplice inverso. Per imbottigliare una certa quantità di vino occorrono 150 bottiglie da 750ml.
Quante bottiglie occorrerebbero per imbottigliare la stessa quantità di vino in bottiglie da 1l?
Si tratta di grandezze inversamente proporzionali, quindi 150 : x = 1: 0,750
75
Le percentuali riviste usando le proporzioni
Nei seguenti esempi si risolve un problema che concerne le percentuali impostando una proporzione.
a) Calcolare una quantità percentuale conoscendo il totale.
Esempio. Calcolare il 25% di 1500 euro. Proporzione risolutiva: 25 :100 = x :1500 ,
Quindi
x =
25×1500
= 375 .
100
b) Calcolare quale sia la percentuale conoscendo il totale e la quantità
Esempio. Su 150 studenti 30 sono donne. Qual è la percentuale delle donne?
Proporzione risolutiva : 40:160 = x :100 , risultato:
x =
30×100
= 20
150
Le donne sono il 20%.
c) Calcolare il totale conoscendo la quantità e la percentuale.
Esempio. Compro un cappotto pagandolo 140€ perché con i saldi il prezzo è solo il 70% di quello originale. Quanto
costava il cappotto in precedenza?
Proporzione risolutiva : 70 : 100 =140 : x , risultato:
x =
100×140
= 200
70
Il cappotto costava 200€ prima dei saldi.
d) Calcolare l’incremento o il decremento da una certa quantità a un’altra.
Esempio. Nel 2007 si sono vendute 125.000 automobili, nel 2008 se ne sono vendute 150.000. Qual è
stato l’incremento percentuale del 2008 rispetto al 2007?
Proporzione risolutiva : 125.000 : 150.000 = 100 : x, risultato:
x =
100×150.000
= 120
125.000
Le auto vendute nel 2008 sono il 120% di quelle vendute nel 2007; l'incremento è stato del 20%.
76

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