MISURIAMO lA MASSA DI UN BUCO NERO

Fare, toccare, capire
UNA SCUOLA ESTIVA DI FISICA E ATTIVITà SCIENTIFICHE PER
STUDENTI DELLA SCUOLA SUPERIORE
Misuriamo la massa
di un buco nero
Enrico Bernieri
[email protected]
Roma, 23-27 Giugno 2014
Fare, toccare, capire
Introduzione
I Buchi Neri (Black Holes - BH) sono uno dei settori di ricerca più interessanti dell’astrofisica
moderna.
Per definizione un BH non può essere “osservato” direttamente, tuttavia ci sono molti fenomeni
nell’Universo per i quali i BH forniscono la spiegazione più plausibile. Uno di questi, come
vedremo, è il moto di un certo numero di stelle situate al centro della nostra Galassia, la Via Lattea.
Un BH si forma quando in un certo volume dello spazio si concentra una sufficiente quantità di
massa.
Quando si verificano queste condizioni si crea una superficie chiusa, tipicamente sferica,
dall’interno della quale nessuna informazione fisica può più uscire verso l’esterno. Questa
superficie viene chiamata “orizzonte degli eventi”. Poiché dall’orizzonte degli eventi non può
“uscire” nulla, neppure la luce, si parla di “buco nero”.
In questa esperienza chiariremo alcune cose semplici ma fondamentali in relazione ai BH e, usando
tecniche e strumenti molto semplici, misureremo la massa del BH posto al centro della Galassia.
1. Un buco nero fatto di… acqua
Un BH è un “oggetto” dal quale la luce non può uscire. Che relazione deve esserci tra massa e
raggio affinché si verifichi questa situazione ?
Partiamo dal concetto di velocità di fuga.
Sappiamo che per ogni corpo esiste una velocità necessaria per “vincere” la sua attrazione
gravitazionale. Il caso più familiare è quello dei razzi lanciati dalla Terra che, per allontanarsi
indefinitamente devono raggiungere una certa velocità minima.
Come si calcola questa velocità ?
La condizione (minima) che deve verificarsi è che l’Energia cinetica del corpo (es., il razzo) sia
almeno uguale all’Energia potenziale gravitazionale del corpo che genera il campo gravitazionale
(es., la Terra):
M ⋅m 1
= m ⋅ v2
R
2
M 1
G ⋅ = v2
R 2
2G ⋅ M
v=
R
G⋅
v è la “velocità di fuga”; M è la massa del corpo (es., la Terra); R è il raggio del corpo (es., la Terra)
e G è la costante di gravitazione universale.
Nel caso della Terra è facile calcolare che questa velocità è 11.20 m/s (40.320 km/h).
[Quando fate questi calcolo è importante usare le corrette unità di misura. In questo caso, a esempio, la
massa della Terra va espressa in kg e il raggio della Terra in metri (sistema mks). Il valore della costante G,
espresso nel sistema mks, lo trovate in Appendice insieme a numerose altre costanti utili per i calcoli. Il
risultato ottenuto, la velocità, è naturalmente espresso in metri/secondo. Per passare ai km/ora dovete fare
una conversione di unità di misura.]
Enrico Bernieri – Misuriamo la massa di un buco nero 2 Fare, toccare, capire
Ma cosa accade se v diventa uguale a c, la velocità della luce ? Poiché nessun corpo può superare
questa velocità, immediatamente si crea la condizione per cui nulla può “uscire” dalla sfera di
raggio R. Ecco che abbiamo creato l’orizzonte degli eventi di un BH !
Fissando questa condizione possiamo facilmente calcolare il raggio dell’orizzonte degli eventi:
G⋅M 1 2
= c
R
2
2G ⋅ M
RS =
c2
Questo raggio, Rs, si chiama raggio di Schwarzschild (Karl Schwarzschild, 1873-1916).
Calcoliamolo per esercizio (fatelo!) nel caso del Sole (i dati necessari li trovate anche su
wikipedia!... Comunque la massa del Sole, che si scrive M¤, è 1.989 .1030 kg, e il raggio del Sole,
che si scrive R¤, è 695.800 m). Otteniamo:
Rs = 2950 m (poco meno di 3 km)
E della Terra:
Rs = 0.009 m (meno di un cm)
Calcoliamo anche qualche densità, facendo il rapporto tra massa e volume:
Nel caso del Sole, la densità della sfera contenuta dall’orizzonte degli eventi è 1.85 . 1019 kg/m3,
cioè 1.85 . 1013 kg/cm3: un cubetto di un centimetro di lato “peserebbe” circa dieci miliardi di
tonnellate…
Numeri come questi fanno pensare che i BH siano “oggetti” estremamente densi. Ma questo NON
E’ SEMPRE VERO ! Un BH si può creare anche partendo da una densità bassissima.
Per capire come questo può accadere esprimiamo il raggio di Schwarzschild in funzione della
densità ρ e non della massa:
4
M = π ⋅ R3 ⋅ ρ
3
2G ⋅ 4π ⋅ Rs3 ⋅ ρ
Rs =
c2
3c 2
2
Rs =
8π ⋅G ⋅ ρ
Rs = c ⋅
3
1
1
⋅
= A⋅
8π ⋅G ρ
ρ
Enrico Bernieri – Misuriamo la massa di un buco nero 3 Fare, toccare, capire
Come si vede, il raggio di Schwarzschild dipende semplicemente dall’inverso della densità, ma è
possibile PER QUALUNQUE DENSITA’.
La costante A si calcola facilmente: A = 1.27 . 1013
A questo punto possiamo calcolare il raggio di Schwarzschild dell’orizzonte degli eventi di un BH
fatto di… acqua !
La densità dell’acqua è di circa 1000 kg/m3. Inserendo questo valore nell’equazione precedente si
ottiene:
Rs = 4 . 1011 m
Si tratta di un BH molto grande, con un raggio di circa 400 miliardi di km, circa 14 giorni-luce,
molto più grande dell’orbita di Nettuno !
Ma, esistono BH così grandi (e così poco densi) ?
La risposta è SI. E adesso andremo a “osservare” proprio un buco nero di questo tipo – anche se un
po’ più piccolo - e a misurarne la massa.
2. Il buco nero al centro della Galassia
E’ opinione ampiamente diffusa tra gli
scienziati che al centro di molte galassie si
trovi un buco nero. Questa opinione è fondata
su moltissime osservazioni molto convincenti.
Qui ne analizzeremo una che spero convincerà
anche voi !
Se osserviamo il centro della nostra Galassia,
la Via Lattea, non vediamo… niente. O
meglio, osserviamo delle zone scure dove
sembra non esserci alcuna stella. Questo
dipende dal fatto che sul piano della Galassia,
oltre alle stelle, c’è molto altro materiale, gas
e polveri, che costituisce il mezzo interstellare
(interstellar medium - IM). E’ materiale molto
poco denso, ma il centro della Galassia è
molto lontano, circa 27.000 anni luce e la luce
deve attraversare molto materiale prima di
arrivare fino a noi. A causa di questo fatto la Figura 1. Orbita di alcune stelle attorno al centro della
Galassia
luce viene quasi totalmente assorbita.
Però questo vale per la luce visibile. Ad altre
lunghezze d’onda la radiazione passa. A esempio passano le onde radio, i raggi X, i raggi gamma e
la radiazione infrarossa.
Da alcune decine di anni gli astrofisici hanno osservato con grande precisione il centro della
Galassia nell’infrarosso e hanno misurato i movimenti di un certo numero di stelle. Sono misure
estremamente difficili che hanno richiesto la misura di angoli piccolissimi. Per dare un’idea: vedere
queste cose al centro della Galassia è come osservare un capello a un km di distanza !
La Figura 1 illustra il moto osservato di queste stelle. Queste stelle orbitano intorno a “qualcosa”
che “non si vede” (sicuramente NON è una stella) e che ha una massa estremamente grande.
Secondo voi, che cosa può essere ?...
Enrico Bernieri – Misuriamo la massa di un buco nero 4 Fare, toccare, capire
Quello che faremo adesso sarà andare a misurare la massa di questo “qualcosa”.
3. Esperienza: misura della massa del buco nero al centro della Via Lattea
Per fare questa misura useremo i seguenti mezzi:
1. Un filmato che avete sul computer (BlackHole), che ricostruisce l’orbita completa di una
stella e dal quale è possibile misurare alcuni parametri orbitali. In particolare: il periodo di
rivoluzione e il semiasse maggiore dell’orbita
2. Un righello
3. Una calcolatrice
4. Una tavola di costanti fisiche (che trovate in Appendice)
5. Carta e penna
6. Una relazione matematica che andiamo a ricavare.
Partiamo dalla terza legge di Keplero: r3 = K.T2
I cubi dei semiassi maggiori (r) sono proporzionali ai quadrati dei periodi di rivoluzione (T).
Affinché ci sia utile nel nostro caso dobbiamo ricavare la costante di proporzionalità K e quindi
ricavare la terza legge di Keplero dalle leggi della dinamica e dalla legge di gravitazione universale.
Partiamo dalla seconda legge della dinamica: F = ma. Nel caso che F sia la forza gravitazionale
possiamo scrivere:
M ⋅m
= m⋅a
R2
M
G 2 =a
R
G
Facciamo l’approssimazione di considerare una traiettoria circolare, allora l’accelerazione sarà data
da: a = ω2 . R (moto circolare uniforme), in cui ω è la frequenza e T il periodo, ω = 2π/T.
Sostituendo nelle equazioni precedenti:
M ⎛ 2π ⎞
G 2 =⎜ ⎟ R
⎝ T ⎠
R
2
G ⋅ M 4π 2
= 2
R3
T
2
T ⋅G ⋅ M = 4π 2 ⋅ R 3
R3 =
G⋅M 2
T
4π 2
Abbiamo quindi ricavato la terza legge e trovato la nostra costante di proporzionalità.
A questo punto:
Enrico Bernieri – Misuriamo la massa di un buco nero 5 Fare, toccare, capire
4π 2 R 3
M=
G T2
Questa è l’equazione che useremo: se misuriamo R, il semiasse maggiore dell’orbita della nostra
stella, e T, il periodo di rivoluzione (il tempo impiegato dalla stella per percorrere un’orbita
completa), siamo in grado di calcolare la massa M del corpo attorno a cui orbita la stella.
A questo punto fate partire il filmato. Nella Figura 2 è mostrato l’ultimo fotogramma.
Misurate sullo schermo con un righello
il semiasse maggiore dell’ellisse. In alto
a destra avete una scala che vi permette di
convertire la vostra misura (in cm e mm)
in distanza-luce.
Ovviamente, per fare il calcolo, dovete
convertire la vostra misura di distanzaluce in km.
Figura 2. Fotogramma finale del filmato da analizzare: si
osserva l’orbita da studiare
Per il periodo dovete osservare il
filmato e segnare a che tempo inizia
l’orbita e a che tempo si completa.
Il tempo è dato in anni e frazioni decimali di anno. Anche in questo caso dovete convertire
l’intervallo di tempo misurato in secondi.
Inserite i vostri dati nell’equazione e calcolate M. Se avete fatto i conti bene e usato le corrette
unità di misura otterrete M in kg.
A questo punto conviene esprimere M in unità di masse solari, cioè dovete dividere il vostro
risultato per M¤
Adesso siete in grado di rispondere a queste domande:
Di quante masse solari è fatto l’oggetto attorno a cui orbita la stella ?
Di cosa può trattarsi ?... J
Quale è il suo raggio di Schwarzschild ?
Ovviamente abbiamo fatto delle approssimazioni !
La prima è che abbiamo assunto che stiamo osservando il piano dell’orbita della stella da una
direzione ortogonale al piano, ma l’orbita potrebbe essere inclinata (e probabilmente almeno un po’
lo sarà) rispetto alla nostra direzione di vista e questo falsa la misura del semiasse maggiore.
La seconda è che la massa della stella sia molto minore della massa del corpo centrale. Ma questa è
una approssimazione molto buona sapendo che la massa tipica di una stella è dell’ordine della
massa solare.
La terza è che alle nostre misure è associata una certa imprecisione che si ripercuote nella
precisione della misura finale.
Enrico Bernieri – Misuriamo la massa di un buco nero 6 Fare, toccare, capire
Soprattutto a causa di questo ultimo punto vedrete che confrontando il vostro risultato con quelli
ottenuti dai vostri colleghi avrete ottenuto valori (poco o molto) diversi.
Una piccola analisi statistica dei vostri risultati ci aiuterà a capire meglio questo ultimo punto, e
ottenere un risultato più preciso.
Comunque, in ogni caso, almeno come ordine di grandezza, la vostra misura fatta con mezzi molto
semplici non sarà molto diversa da quella assai più precisa fatta dagli astrofisici, con strumenti assai
più sofisticati. Per un confronto potete andare a vedere qui:
http://www.galacticcenter.astro.ucla.edu/journey/smbh.html
Enrico Bernieri – Misuriamo la massa di un buco nero 7 Fare, toccare, capire
Costanti Astronomiche e Fisiche
(da: B.W. Carroll, D.A. Ostile, An Introduction to Modern Astrophysics, Pearson
2007)
Quantity
Value
Units
Solar mass
Solar irradiance
Solar luminosity
Solar radius
Solar effective temperature
Solar absolute bolometric magnitude
Solar apparent bolometric magnitude
Solar apparent ultraviolet magnitude (U)
Solar apparent blue magnitude (B)
Solar apparent visual magnitude (V)
Solar bolometric correction (BC)
Earth mass
Earth radius (equatorial)
Astronomical unit (AU)
Light year (ly, Julian)
Parsec (pc)
1.9891E30
kg
1.365E03
W m^{-2}
3.839E26
W
6.95508E08
m
5777
K
4.74
-26.83
-25.91
-26.10
-26.75
-0.08
5.9736E24
kg
6.378136E06
m
1.4959787066E11
m
9.460730472E15
m
2.06264806E05
AU
3.0856776E16
m
3.2615638
ly (Julian)
Sidereal day
8.61640905309E04
s
Solar day
8.6400E04
s
Sidereal year
3.15581450E07
s
3.65256308E02
d
Tropical year
3.155692519E07
s
3.652421897E02
d
Julian year
3.1557600E07
s
3.6525E02
d
Gregorian year
3.1556952E07
s
3.652425E02
d
-----------------------------------------------------------------------------------Gravitational constant (G)
6.673E-11
N m^2 kg^{-2}
Speed of light (c)
2.99792458E08
m s^{-1}
Permeability of free space (mu_0)
1.25663706144E-06 N A^{-2}
Permittivity of free space (epsilon_0)
8.854187817E-12
F m^{-1}
Electric charge (e)
1.602176462E-19
C
Electron volt (eV)
1.602176462E-19
J
Planck's constant (h)
6.62606876E-34
J s
(hbar)
1.054571596E-34
J s
Boltzmann's constant (k)
1.3806503E-23
J K^{-1}
Stefan-Boltzmann constant (sigma)
5.670400E-08
W m^{-2} K^{-4}
Radiation constant (a)
7.565767E-16
J m^{-3} K^{-4}
Atomic mass unit (u)
1.66053873E-27
kg
Electron mass (m_e)
9.10938188E-31
kg
Proton mass (m_p)
1.67262158E-27
kg
Neutron mass (m_n)
1.67492716E-27
kg
Hydrogen mass (m_H)
1.673532499E-27
kg
Avogadro's number (N_A)
6.02214199E23
mol^{-1}
Gas constant (R)
8.314472
J mol^{-1} K^{-1}
Bohr radius (a_0)
5.291772083E-11
m
Rydberg constant (R_infty)
1.0973731568549E07 m^{-1}
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