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Capillare non adiabatico
Il condotto capillare usato come organo di laminazione nella maggior parte degli apparecchi frigoriferi per
uso domestico, costituisce uno scambiatore di calore, essendo posto in contatto termico con la linea di
aspirazione del compressore. Lo scambiatore può essere ottenuto semplicemente affiancando i due
condotti e tenendoli aderenti con una pellicola adesiva o saldandoli. Lo scopo dello scambiatore è quello di
ridurre, sottraendo calore al capillare, il livello energetico del fluido entrante all’evaporatore, in modo da
aumentare la potenza frigorifera. Il calore sottratto al capillare aumenta la temperatura del fluido aspirato
dal compressore, ma l’esperienza insegna che, entro certi limiti, l’aumento di potenza assorbita dal
compressore è molto limitato rispetto all’aumento di potenza frigorifera, per cui complessivamente la
prestazione del ciclo frigorifero migliora. Ciò è verificato soprattutto per alcuni fluidi, tra cui l’isobutano.
Fig. 1 – Circuito frigorifero con scambiatore tra capillare e linea di aspirazione
L’estrema semplicità costruttiva dello scambiatore CSLHX (Capillary – Suction Line Heat eXchanger) non
deve far ritenere che lo studio di questo componente sia agevole. Al contrario in esso si hanno complesse
fenomenologie quali:
− flusso bifase con forti perdite di carico
− scambio termico in cambiamento di fase
− problemi di contatto termico tra i due tubi
− flusso in condizioni soniche.
Possono essere utili sia strumenti di progetto, atti a dimensionare il capillare e lo scambiatore con
assegnate condizioni al contorno, che strumenti di verifica, atti a calcolare la portata e le condizioni di
uscita di un CSLHX di assegnate caratteristiche.
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Per lo studio di questo sistema si può partire dalle equazioni di conservazione della portata in massa, della
quantità di moto e dell’energia. Sono utili alcune assunzioni semplificative:
− ambedue i condotti hanno diametro e rugosità superficiale costante
− si trascura la presenza di olio
− non ci sono scambi termici con l’esterno dello scambiatore
− non ci sono fenomeni di metastabilità.
Quest’ultima ipotesi è da sottolineare, perché in effetti la transizione di fase in seno al liquido che scorre
entro il capillare può essere leggermente ritardata rispetto alla condizione di equilibrio termodinamico.
Tale ritardo può comportare una sottostima della portata attraverso il capillare.
Di norma lo scambiatore non è installato su tutta la lunghezza del capillare: si possono avere quindi tratti di
capillare adiabatico prima e dopo il tratto ove avviene lo scambio termico.
Fig. 2 – Schema dello scambiatore tra capillare e linea di aspirazione
Lo schema di calcolo riportato nel seguito ricalca quello di Bansal (2002). La conservazione della portata in
& , uguale per i due condotti aventi sezioni costanti Ac e As , si può scrivere introducendo la “mass
massa m
velocity” G:
Gs =
m&
= const
As
Gc =
m&
= const
Ac
(1.1)
La conservazione della quantità di moto per il capillare comprende i termini relativi agli attriti, alla
variazione di pressione ed alla variazione di quota dovuta all’eventuale inclinazione θ del capillare:
− m& dVc = τ cπDc dz + Ac dpc + m& g sin θ
(1.2)
ove Vc e pc sono rispettivamente velocità e pressione del fluido nel capillare e τ c è lo sforzo di taglio
dovuto alla viscosità, calcolabile come:
τ c = fc
ρ cVc2
8
= fc
Gc2vc
8
Nella (1.3) compaiono il fattore d’attrito f c , la densità ρ c ed il volume specifico vc del fluido
Combinando le equazioni (2) e (3), si può ricavare la caduta di pressione nel capillare:
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(1.3)
−
dpc
G 2v
dv g sin θ
= f c c c + Gc2 c +
dz
2 Dc
dz
vc
(1.4)
In modo strettamente analogo, per la linea di aspirazione si può scrivere:
dps
Gs2vs
dv g sin θ
−
= fs
+ Gs2 s +
dz
2 Ds
dz
vs
(1.5)
Per il fattore d’attrito, nei tratti di flusso monofase, si può utilizzare la relazione di Churchill (1977):
 8 12

1
f = 8  +
1.5 
( A + B ) 
 Re 
1 / 12
(1.6)
ove i termini A e B sono funzioni del numero di Reynolds Re = GD / µ e della scabrezza relativa ε / D :
16



1
A = 2.457 ln 

0.9
 (7 / Re ) + 0.27ε / D  

(1.7)
16
 37530 
B=

 Re 
Nella zona del capillare in cui si ha un flusso bifase, il fattore l’attrito locale può essere calcolato con la
correlazione di Lin (1991):
 v 
f tp = φlo2 f  
v 
 tp 
(1.8)
ove il fattore moltiplicativo φlo2 è dato da:
  8 12

1
 +


(Atp + Btp )1.5 
  Re tp 
2
φlo = 

12
1
  8  +

1.5
  Re 
(A + B) 


1 / 12

 vv

1 + x  + 1
 vl


(1.9)
Il numero di Reynolds con pedice tp che compare esplicitamente e nelle funzioni Atp e Btp al numeratore
della (1.9) è calcolato in base alla viscosità equivalente del flusso bifase secondo il modello di McAdam:
1
µtp
=
x
µv
+
1− x
µl
(1.10)
In tutte le relazioni precedenti, x è il titolo, i pedici v ed l si riferiscono rispettivamente al vapore ed al
liquido e il volume specifico del flusso bifase è vtp = xvv + (1 − x )vl .
La conservazione dell’energia, in condizioni stazionarie, si scrive:


V2
m& d  hc + c + gz sin θ  = dq + dw
2


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(1.11)
ove il differenziale della parentesi a primo membro rappresenta la variazione dell’energia totale (entalpia,
energia cinetica e potenziale), mentre i due termini a secondo membro sono rispettivamente il calore ed il
lavoro infinitesimi scambiati nel volume di controllo considerato. Essendo nullo il lavoro scambiato, la (11)
può essere scritta:
dhc = −
dq Gc2 dvc2
−
− g sin θ dz
m&
2
(1.12)
Per quanto riguarda la linea di aspirazione, trattandosi di un flusso monofase per tutta la lunghezza del
condotto, si può semplicemente scrivere:
dTs =
dq
c p m&
(1.13)
Il calore specifico può essere ritenuto costante nell’ambito del singolo volume di controllo, mentre il calore
scambiato è dato da:
dq = UA(Tc − Ts )
(1.14)
nella quale non si è usata una differenza di temperatura media logaritmica perché si intende che i volumi di
controllo siano molto piccoli.
Il calcolo della conducibilità termica UA tra i due condotti è l’aspetto di più difficile modellazione. Se la
temperatura dei due condotti non presenta significative variazioni in direzione circonferenziale, la
convezione tra essi e i flussi monofase che scorrono al loro interno può essere valutata con la correlazione
di Ghielinski:
Nu =
(f
/ 8)(Re− 100 ) Pr
0.5
1 + 1.27( f / 8) Pr 2 / 3 − 1
(
)
(1.15)
Verosimilmente, il coefficiente di scambio termico dal lato del liquido sarà assai superiore a quello lato
vapore. A maggior ragione sarà molto elevato il coefficiente di scambio nel tratto di capillare in cui si ha
evaporazione. Pertanto le relative resistenze termiche potranno essere trascurate rispetto a quella nel
vapore.
Tuttavia, in assenza di una saldatura tra i due tubi metallici, si può presumere che sia nient’affatto
trascurabile la resistenza termica di contatto tra essi, visto che il contatto avviene solo lungo una
generatrice e la pressione di contatto garantita dalla pellicola adesiva è difficilmente controllabile. Il
problema della resistenza di contatto tra solidi è stato ampiamente studiato per contatti tra superfici piane
di diversi materiali e con diversi gradi di finitura superficiale, ma non per contatto tra superfici cilindriche,
peraltro di diametri molto diversi tra loro. In assenza di ulteriori indicazioni, si è inserito un termine di
resistenza termica equivalente costante.
L’insieme delle relazioni da (1) a (15) è stato tradotto in un codice di calcolo Visual Basic incorporato in un
file Excel. Le proprietà del fluido (isobutano) sono state calcolate punto per punto con le funzioni Refprop
del NIST, anch’esse scritte in Visual Basic. Dal punto di vista numerico, il calcolo si presenta piuttosto
oneroso in termini di tempo di esecuzione, soprattutto nel caso del calcolo di verifica di un tubo capillare di
geometria nota. Infatti:
− nelle condizioni usuali di un congelatore operante con isobutano, il rapporto tra le pressioni al
condensatore e all’evaporatore è tale da portare il fluido in condizioni soniche all’uscita dal
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capillare. In tali condizioni nella sezione finale si ha una derivata infinita della pressione rispetto alla
coordinata longitudinale, per cui piccolissime variazioni delle condizioni di flusso portano notevoli
variazioni di pressione. La soluzione dev’essere iterativa, con passo spaziale molto fitto (1 mm). Di
fatto però, a partire da un valore di tentativo di portata, si giunge progressivamente a convergenza
sino a stringere la portata calcolata entro un margine molto ristretto: il valore di pressione all’uscita
può differire ancora sensibilmente dal valore imposto all’uscita, ma di fatto la variazione nell’ultimo
tratto avviene in uno spazio limitatissimo, verosimilmente trascurabile rispetto alla tolleranza di
costruzione del capillare.
− Essendo lo scambio termico tra capillare e linea di aspirazione in controcorrente, partendo
dall’ingresso del capillare non è nota all’inizio la temperatura di uscita del vapore dalla linea di
aspirazione. Pertanto bisogna partire da un valore di tentativo che comporta una ulteriore
iterazione, esterna rispetto a quella sulla portata del capillare.
Il codice di calcolo è stato innanzi tutto testato in condizioni adiabatiche, raffrontando i risultati con i valori
riportati in letteratura. Gli errori sono risultati piuttosto contenuti.
In seguito è stata testata una configurazione semplificata con le misure mostrate in tabella. In tale
configurazione il capillare e il tubo di aspirazione sono a contatto sin dall’inizio del capillare per una
lunghezza di 2 metri. Il capillare prosegue poi con un tratto adiabatico di 30 cm.
Un tipico risultato è mostrato in fig. 1.3, con riferimento ai dati della tabella seguente:
fluido
isobutano
Lunghezza capillare
Lc [m]
Diametro capillare
Rugosità capillare
Dc [mm]
ε [µm]
0.6
0.75
Pressione condensatore
Pin [bar]
7.73
Temperatura condensatore
Tcond [°C]
55
Sottoraffreddamento
∆Tsubc [°C]
5
Pressione evaporatore
Peva [bar]
0.58
Temperatura evaporatore
Teva [°C]
-25
Lunghezza suction line
Lsl [m]
Diametro suction line
Rugosità suction line
Dsl [mm]
ε [µm]
6
0.75
Pressione suction line
Psuct [bar]
0.57
Temperatura ingresso suction line
Tsuct [°C]
Resistenza termica di contatto
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2.3
2
-20
-1
R [K m W ]
1
9
P [bar]
60
T [°C]
8
50
7
40
T
6
30
Tsuct
5
20
P
4
10
3
0
2
-10
1
Tev a [°C]
-20
Pev a [bar]
0
-30
0
0.5
1
1.5
2
z [m] 2.5
Fig. 3 – Risultati della simulazione del capillare con sottoraffreddamento di 5°
Si può notare la graduale diminuzione di pressione (linea nera) e temperatura (linea marrone).
Parallelamente alla diminuzione della temperatura del capillare si ha l’aumento (in controcorrente) della
temperatura del vapore entro la linea di aspirazione (linea blu), a partire dalla temperatura
dell’evaporatore di -20°C. L’ingresso del capillare è a 50°C per effetto del sottoraffreddamento di 5°C
rispetto alla temperatura di saturazione vigente al condensatore.
Nel tratto adiabatico si ha ancora liquido sino a pochi centimetri dalla fine del capillare. La vaporizzazione
produce poi un brusco calo di temperatura e di pressione, a causa delle più forti perdite di carico dovute al
maggior volume specifico del vapore. Si nota anche la pendenza praticamente verticale della curva di
pressione alla fine del capillare, a riprova della condizione sonica del flusso in uscita. La portata calcolata, in
queste condizioni, è di 2.04 kg/h.
Per confronto si riporta in fig. 1.4 un diagramma analogo ottenuto variando solo il sottoraffreddamento.
L’aumento delle temperature entro il capillare anticipa l’inizio dell’evaporazione e conseguentemente
riduce la portata del capillare, che si porta a 2.02 kg/h. Aumenta anche lo scambio termico con il condotto
di aspirazione, che porta il vapore entrante al compressore sino a 30°C.
Un capillare con così ampia estensione del tratto di scambio termico può produrre un fluido in ingresso
all’evaporatore con titolo contenuto (0.2 nel caso in esame). Resta da verificare se il compressore possa
registrare problemi operativi a fronte di temperature di funzionamento così elevate.
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9
P [bar]
T [°C]
60
8
50
7
40
T
Tsuct
6
30
5
20
P
4
10
3
0
2
-10
Tev a [°C]
1
-20
Pev a [bar]
0
-30
0
0.5
1
1.5
2
z [m] 2.5
Fig. 4 – Risultati della simulazione del capillare con sottoraffreddamento di 2°
Resta poi da precisare l’esatta geometria dello scambiatore, che può portare a comportamenti più
complessi (ad esempio in presenza di un tratto adiabatico iniziale il fluido può iniziare ad evaporare e poi
ricondensare). A titolo di esempio si riportano in Fig. 5 gli andamenti registrati con lo stesso capillare di cui
alle figure precedenti, nel quale è stato però aggiunto un tratto adiabatico iniziale di 0.4 m. Parallelamente
è stata anche ridotta la resistenza termica di contatto a 0.7 [K m W-1], onde mantenere sostanzialmente
invariata la quantità di calore scambiata.
Si nota come il tratto adiabatico iniziale sia anche sostanzialmente isotermo.
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P [bar]
60
T [°C]
8
50
7
Tsuct
40
T
6
30
5
20
P
4
10
3
0
2
-10
1
-20
Tev a [°C]
Pev a [bar]
0
-30
0
0.5
1
1.5
2
z [m] 2.5
Fig. 5 – Risultati della simulazione del capillare con tratto iniziale adiabatico
Anche altri parametri possono risultare critici, come il valore della rugosità, che in atto è stato stimato in
base a dati di letteratura.
Se il fluido è isobutano, l’effetto del calore scambiato nel SLHX, nell’ambito delle quantità praticamente
scambiabili, è invariabilmente positivo, come si vede in Fig. 6. Pertanto è opportuno ottimizzare il contatto
termico tra capillare e linea d’aspirazione.
2.05
2
COP
1.95
1.9
1.85
1.8
0
20
40
60
80
QSLHX [kJ/kg]
Fig. 6 – Effetto del calore scambiato nel SLHX
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100
Bibliografia
Bansal P.K., Xu B., 2002, Non-adiabatic capillary tube flow: a homogeneous model and process description,
Applied Thermal Engineering 22, 1801–1819
Lin S., 1991, Local frictional pressure drop during vaporization of R-12 through capillary tubes, International
Journal of Multiphase Flow 17 (1) 95–102
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