Raymond Pettibon: To Wit

Esercizio 1
E’ stato condotto uno studio impiegando 49 studentesse della Texas A&M University. Le variabili osservate sono riferite ai genitori di queste studentesse. Si consideri come variabile dipendente Y il numero di figli di tali genitori e come variabile indipendente X il livello di istruzione
della madre misurato in anni di scolarizzazione. Per questi dati si è ottenuto che µX = 9.88,
P49
P49
P49
2
2
i=1 (xi −µX ) = 696.29, µY = 3.35,
i=1 (yi −µY ) = 235.2,
i=1 (xi −µX )(yi −µY ) = −144.06.
a) Stimare i parametri α e β del modello di regressione lineare
Y = α + βX + ε
e valutare la bontà di adattamento del modello.
b) Sulla base del modello di regressione adattato, stimare il numero di figli di una donna
con 10 anni di scolarizzazione.
Soluzione 1
a) La retta di regressione stimata è Yˆ = 5.40 − 0.207 · X e l’indice di bontà di adattamento è
R2 = 0.127.
b) La stima del numero di figli per una donna con 10 anni di scolarizzazione è yˆ50 = 5.40 −
2.07 = 3.33.
1
Esercizio 2
Dei 347 depositi dei clienti di una banca si conosce la distribuzione per classi.
Classi
Depositi
−10 ` 0
15
0 ` 20
47
20 ` 50
79
50 ` 100
111
100 ` 200
64
200 ` 500
31
a) Calcolare la densità di ogni classe.
b) Rappresentare graficamente i dati.
c) Indicare le classi che contengono la mediana, il primo e il terzo quartile.
d) Calcolare la media dei depositi con segno positivo.
e) Considerando la distribuzione dei depositi con modalità raggruppate nelle seguenti classi,
−10 ` 50, 50 ` 100 ,100 ` 500, indicare le classi che contengono la mediana, il primo e il
terzo quartile.
Soluzione 2
a) Tabella:
Classi
−10 ` 0
0 ` 20
20 ` 50
50 ` 100
100 ` 200
200 ` 500
TOT
nk
15
47
79
111
64
31
347
fk
0.04
0.14
0.23
0.32
0.18
0.09
1
Fk
0.04
0.18
0.41
0.73
0.91
1
-
wk
10
20
30
50
100
300
-
dk
0.0043
0.0068
0.0076
0.0064
0.0018
0.0003
-
mk
10
35
75
150
350
-
nk (+)
47
79
111
64
31
332
fk (+)
0.14
0.24
0.33
0.19
0.09
1
fk (+) · mk
1.42
8.33
25.08
28.92
32.68
96.42
b) Istogramma o funzione di ripartizione.
c) La mediana è in (50 ` 100), il primo quartile in (20 ` 50), il terzo quartile in (100 ` 200).
d) La media dei depositi con segno positivo è 96.42.
e) Tabella:
Classi
−10 ` 50
50 ` 100
100 ` 500
TOT
nk
141
111
95
347
fk
0.41
0.32
0.27
1
Fk
0.41
0.73
1
-
Nella nuova distribuzione in classi la mediana è in (50 ` 100), il primo quartile in (−10 `
50), il terzo quartile in (100 ` 500).
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Esercizio 3
Paolo e Francesca decidono di lanciare due monete (perfettamente bilanciate) per stabilire chi
pagherà la cena. Si accordano che se si presenta la medesima faccia su entrambe le monete
pagherà Paolo, altrimenti pagherà Francesca. Si considerino gli eventi P (Paolo paga la cena) e
F (Francesca paga la cena).
a) Calcolare la probabilità che sarà Paolo a pagare la cena.
b) Calcolare la probabilità non sarà Paolo a pagare la cena.
c) Calcolare la probabilità che o Paolo o Francesca pagheranno la cena.
d) Calcolare la probabilità che sia Paolo sia Francesca pagheranno la cena.
e) Calcolare la probabilità che né Paolo né Francesca pagheranno la cena.
f) Verificare se P e F sono due eventi indipendenti.
Soluzione 3
Sia P : Paolo paga la cena e F : Francesca paga la cena.
a) P (P ) = 0.5.
b) P (P¯ ) = 0.5.
c) P (P ∪ F ) = 1.
d) P (P ∩ F ) = 0.
e) P (P¯ ∩ F¯ ) = 0.
f) P (P |F ) = P (P ∩F )/P (F ) = 0, quindi i due eventi non sono indipendenti poichè P (P ) 6=
P (P |F ) ed anche perchè sono eventi mutuamente eclusivi.
3
Esercizio 4
In una scatola di 40 cioccolatini, 25 sono parallelepipedali e 15 sono sferici. Si sa che 20 cioccolatini sono al liquore e 20 sono cremini e che un terzo dei cioccolatini sferici sono dei cremini.
Suggerimento: si considerino i seguenti eventi: L (cioccolatino al liquore), C (cremino), P (cioccolatino parallelepipedale) e S (cioccolatino sferico).
Calcolare:
a) la probabilità che avendo scelto a caso un cioccolatino parallelepipedale, sia un cremino
[si ricorda che P (C) = P (C|P )P (P ) + P (C|S)P (S)];
b) la probabilità che avendo mangiato un cremino, il cioccolatino avesse la forma parallelepipedale;
c) la probabilità che avendo mangiato un cioccolatino al liquore, questo avesse la forma
sferica.
Soluzione 4
P (P ) = 0.625,
P (S) = 0.375,
P (L) = 0.5,
P (C) = 0.5,
P (C|S) = 0.33
a) P (C|P ) = [P (C)−P (C|S)P (S)]/P (P ) = (0.5−0.33∗0.375)/0.625 = 0.37625/0.625 = 0.60.
b) P (P |C) = [P (C|P )P (P )]/P (C) = (0.6 ∗ 0.625)/0.5 = 0.75.
c) P (S|L) = [P (L|S)P (S)]/P (L) = (0.67 ∗ 0.375)/0.5 = 0.50
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