Filosofia: 2

Corso di Geotecnica EA 2006-07
CAPACITÀ PORTANTE
DEI TERRENI
ing. Ivo Bellezza – Università Politecnica delle Marche
1
OBIETTIVO
CONOSCERE IL CARICO MASSIMO, O IL
CARICO ULTIMO O IL CARICO LIMITE
CHE PUÒ SOPPORTARE LA
FONDAZIONE PRIMA DELLA ROTTURA
DEL TERRENO
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2
CRITERI DI VERIFICA D.M.14/09/2005
Confronto tra:
• Azione di progetto Ed (nella verifica di capacità
portante è il carico verticale trasmesso dalla
sovrastruttura; nella verifica a scorrimento è il
carico orizzontale trasmesso dalla sovrastruttura)
• Resistenza di progetto Rd (funzione della
resistenza del terreno e della combinazione di
carichi agente sulla fondazione)
• Deve risultare Ed ≤ Rd
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3
ANALISI DEI CARICHI
Combinazione statica
RISULTATO
Per ogni
fondazione:
-Forza normale
-Forza orizzontale
-momento
Tutte le azioni (permanenti,variabili)
sono incrementate (l’analisi della struttura va ripetuta almeno
due volte, una con coefficienti A1 e una con coefficienti A2)
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4
CALCOLO DELLE AZIONI
• COMBINAZIONE STATICA
Le azioni vengono amplificate secondo due
gruppi di coefficienti parziali
Gruppo A1 (A2)
• Azioni permanenti favorevoli γG=1.0 (1.0)
• Azioni permanenti sfavorevoli γG=1.4 (1.0)
(0)
• Azioni variabili favorevoli
γQ= 0
• Azioni variabili sfavorevoli γQ=1.5 (1.3)
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5
ANALISI DEI CARICHI
Combinazione sismica
RISULTATO
Per ogni fondazione:
-Forza normale*
-Forza orizzontale*
-Momento*
* diverse dalla
combinazione statica
Tutte le azioni (sisma, permanenti,variabili)
non sono incrementate
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COMBINAZIONE SISMICA
OSSERVAZIONI
• Gli effetti dell’azione sismica sono valutati tenendo
conto delle masse associate ai seguenti carichi
gravitazionali
Gk + ∑ψ 2i Qki
• Non si distinguono azioni variabili favorevoli e
sfavorevoli (vanno incluse tutte le azioni variabili)
• Coefficienti ψ2 dipendono dalla destinazione d’uso
ψ2 = 0.30 per abitazioni, uffici e scale
ψ2 = 0.60 per uffici aperti al pubblico, scuole, negozi,
autorimesse
ψ2 = 0.20 per tetti e coperture
ψ2 = 0.80 per magazzini e archivi
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7
COMBINAZIONE SISMICA
• Le azioni di progetto Nd Md Hd derivano
dall’analisi strutturale ottenuta con
γ E E + γ G Gk + γ P Pk + ∑ψ 2iγ Q Qki
• Coefficienti parziali UNITARI
E + Gk + Pk + ∑ψ 2i Qki
•
•
•
•
E = azione sismica
Pk = precompressione
Gk = carichi permanenti
Qk carichi variabili
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8
CRITERI DI VERIFICA CON D.M.14/09/2005
Passaggio da valori caratteristici (pedice k) a valori
di progetto (pedice d)
Esistono due gruppi di coefficienti
- Gruppo M1 (tutti i coeff. = 1) con azioni
incrementate con coeff. del gruppo A1
- Gruppo M2 con azioni incrementate con coeff.
del gruppo A2
c’d = c’k/1.25
tanφ’d=tanφ’k/1.25
cud=cuk/1.40
γd = γk /1.00
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RISULTATO DELLE INDAGINI
VALORI CARATTERISTICI DELLE
PROPRIETÀ DEL TERRENO
γk
Peso di volume
Coesione efficace
c’k
Angolo di resistenza al taglio φ’k
Resistenza non drenata
cu,k
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10
CAPACITÀ PORTANTE
CALCOLO di Rd
METODI DI ANALISI
• EQUILIBRIO LIMITE (limit equilibrium)
• ANALISI LIMITE (limit analysis)
– Estremo inferiore – teorema statico (lower
bound)
– Estremo superiore – teorema cinematico (upper
bound)
• METODO DELLE CARATTERISTICHE
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CAPACITÀ PORTANTE
CALCOLO DI Rd
• Soluzione di Terzaghi
q lim = cN c + 0 .5 B γ N γ + qN q
IPOTESI RESTRITTIVE
• Terreno omogeneo e isotropo
• Fondazione superficiale
• Fondazione nastriforme
• Carico centrato (Md = 0)
• Carico orizzontale nullo (Hd = 0)
• Piano di posa orizzontale
• Terreno a fianchi orizzontale
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12
CAPACITÀ PORTANTE
FATTORI DI CAPACITÀ PORTANTE
I valori Nc ed Nq sono stati ricavati con
soluzioni rigorose
φ 'd ⎞
2⎛
N q = tan ⎜ 45° +
⎟ exp(π ⋅ tan φ 'd )
2 ⎠
⎝
Nc =
Nq −1
tan φ 'd
Per Nγ la soluzione analitica esatta non esiste
(
)
N γ = 2 N q − 1 tan φ 'd
(
)
Fond. ruvida (EC 7)
N γ = N q − 1 tan 1.4φ 'd Meyerhof (1963)
N γ = 1.5 N q − 1 tan φ 'd Brinch Hansen (1970)
N γ = 2 N q + 1 tan φ ' d Vesic (1973) Caquot Kerisel (1953)
(1997) - ruvida
N γ = tan φ 'd exp(0.66 + 5.11 tanMichalowski
φ 'd )
N γ = tan φ 'd exp(5.1 tan φ 'd )Michalowski (1997) - liscia
(
(
)
)
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CAPACITÀ PORTANTE
OSSERVAZIONI sulla formula di Terzaghi
• Sovrapposizione degli effetti con terreno rigidoplastico
• Soluzione non esatta teoricamente ma a
vantaggio di sicurezza
• Soluzioni esatte solo per Nc e per Nq
• Per Nγ non esiste una soluzione esatta
• Nc e per Nq sono praticamente indipendenti dalla
ruvidezza della fondazione
• Nγ dipende dalla ruvidezza della fondazione
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14
CAPACITÀ PORTANTE
CALCOLO DI Rd
Soluzione generale di Brinch Hansen
Correzioni rispetto alla soluzione di Terzaghi
• Fondazione superficiale – coeff. d
• Fondazione nastriforme – coeff. s
• Carico centrato (Md = 0) – met. empirico B’=B-2e
• Carico orizzontale nullo (Hd = 0) – coeff. i
• Piano di posa orizzontale – coeff. b
• Terreno a fianchi orizzontale – coeff. g
qlim=cNcscdcicbcgc +0.5BγNγsγiγbγgγ +qNqsqdqiqbqgq
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SPECIALIZZAZIONE DELLA FORMULA
Terreni a bassa permeabilità
- Breve termine (cond. non drenate c =cu; φ= φu = 0)
qlim = cu Nc ( ) + q
- Lungo termine (cond. Drenate c = c’ φ = φ’ > 0)
qlim = c’ Nc ( ) + 0.5BγNγ ( ) + qNq ( )
Terreni ad alta permeabilità (es. sabbie c’=0)
- Breve termine ≈ lungo termine (cond. drenate)
qlim = 0.5BγNγ ( ) + qNq ( )
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Verifiche a breve termine
Grafico di Skempton
• Il valore di Nc è già corretto per due fattori
– Forma della fondazione
– Profondità del piano di posa
• Nc(SK)=Ncscdc
D
B
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Capacità portante COEFFICIENTI CORRETTIVI
• CORREZIONI DI FORMA
sc =
sq N q − 1
Nq −1
sγ = 1 − 0.3
sγ = 0.7
B'
(forma rettangolare)
L'
(forma quadrata o circolare)
B'
sq = 1 + sinφ 'd (forma rettangolare)
L'
sγ = 1 + sinφ 'd
(forma quadrata o circolare)
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18
Capacità portante COEFFICIENTI CORRETTIVI
CORREZIONI PER PROFONDITÀ DEL PIANO
DI POSA
• Nell’annesso D dell’EC7 si dice di tener conto
dell’approfondimento, ma non sono indicate le
formule dei coefficienti correttivi
• Scelta a vantaggio di sicurezza dc=dg=dq=1
• In letteratura (Vesic, 1973)
d q = 1 + 2 tan φ 'd (1 − sin φ 'd ) 2
D
per D < B
B
d q = 1 + 2 tan φ 'd (1 − sin φ 'd ) 2 arctan(D B )
dγ = 1
dc = dq −
1 − dq
N c tan φ 'd
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CORREZIONE PER CARICO ECCENTRICO
PROCEDURA SEMPLIFICATA DI
MEYERHOF (suggerita in EC7)
Si considera carico centrato in area ridotta
L’
A’ = B’L’
B’
B’ = B – 2eB
B
L’ = L – 2eL
L
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Capacità portante COEFFICIENTI CORRETTIVI
CORREZIONI PER L’INCLINAZIONE DEL
CARICO
ic = iq −
Nd
iq − 1
⎡
⎤
Hd
iγ = ⎢1 −
⎥
⎣ N d + A' cd cot φd ⎦
N c tan φd
⎡
⎤
Hd
iq = ⎢1 −
⎥
⎣ N d + A' cd cot φd ⎦
m +1
Hd
m
m = mB = [2 + B' L'] [1 + B ' L'] H d parallela a B
m = mL = [2 + L' B '] [1 + L' B '] H d parallela a L
m = mθ = mL cos 2θ + mB sin 2θ H d inclinata di θ rispetto a L
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21
Suggerimento di Bowles
Non usare i coefficienti di forma (s) insieme
a quelli di inclinazione (i)
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22
Capacità portante COEFFICIENTI CORRETTIVI
CORREZIONI PER L’INCLINAZIONE DEL PIANO
DI POSA (angolo α rispetto all’orizzontale)
bc = bq −
1− bq
N c tan φd
bq = bγ = (1 − α tan φd )2
α espresso in radianti
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23
COEFFICIENTI CORRETTIVI
CORREZIONE PER INCLINAZIONE TERRENO
LATERALE (angolo ω rispetto all’orizzontale)
• Nell’annesso D dell’EC7 si dice di tener conto
dell’inclinazione della superficie del terreno, ma
non sono indicate le formule dei coefficienti
correttivi
• In letteratura (Brinch Hansen, 1970)
gc = gq −
gq −1
N c tan φd
g q = gγ = (1 − tan ω )2
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Effetto della falda
Per analisi non drenate: effetto trascurabile (si ragiona in tensioni totali, al massimo cambia il
peso di volume del terreno se la falda è superiore al piano di posa)
qlim= cuNc+q = cuNc+γD
Per analisi drenate (es. in sabbie) la posizione della falda è importante
qlim= 0.5Bγ’Nγ+qNq+uo
γ ’= peso di volume efficace del terreno sotto il piano di posa:
Se la falda è ad una profondità d >B dal piano di posa
γ ’= peso di volume totale (es. 18 kN/m3)
Se la falda è sul piano di posa o sopra
γ ’= peso di volume alleggerito γ’ = γsat – γw (es. 18-10 = 8 kN/m3)
Se la falda è in posizione intermedia (d < B)
si raccomanda una interpolazione lineare (es. se d=0.5 B
γ’= (18+8)/2=13 kN/m3)
q = pressione verticale efficace a fianco del piano di posa
Se la falda è sopra il piano di posa q =
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25
Effetto della falda
qlim= 0.5Bγ’Nγ+qNq+uo
q = pressione verticale efficace a
fianco del piano di posa
u0 = pressione interstiziale sul piano
di posa
Se la falda è sopra il piano di posa
q = (D-dw)γ1+dwγ’1 = Dγ1-uo
u0 = dwγw
Se la falda è sotto il piano di posa
q = Dγ 1
u0 = 0
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D
γ1
dw
u0
26
Effetto della falda
Per analisi drenate (es. in sabbie) la posizione della falda è importante
qlim= 0.5Bγ’Nγ+qNq+uo
γ’ = peso di volume efficace del terreno sotto il piano di posa:
Se la falda è ad una profondità d >B dal piano di posa
γ ’= peso di volume totale (es. 18 kN/m3)
Se la falda è sul piano di posa o sopra
γ ’= peso di volume alleggerito γ’ = γsat – γw (es. 18-10 = 8 kN/m3)
Se la falda è in posizione intermedia (d < B)
si raccomanda una interpolazione lineare (es. se d=0.5 B
γ’= (18+8)/2=13 kN/m3)
q = pressione verticale efficace a fianco del piano di posa
Se la falda è sopra il piano di posa q =
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Riassunto dei coefficienti correttivi
Terzaghi
sc
sγ
B
L
Brinch Hansen
B
L
B
L
s c = 1 + 0.2 K p
(rett)
sγ = 1 + 0.1K p
B
L
sq = 1 + 0.1K p
B
L
s c = 1 + 0.3
sγ = 1− 0.2
Meyerhof
Vesic
Nq B
Nc L
sc = 1 +
sγ = 1− 0.4
B
L
sγ = 0.6 (circ)
sq
sq = 1
dc
NO
dγ
NO
dq
NO
ic
NO
θ° ⎞
⎛
i c = ⎜1 −
⎟
⎝ 90° ⎠
2
iγ
NO
θ° ⎞
⎛
iγ = ⎜1 −
⎟
90
°⎠
⎝
2
⎛ 0.7 −α°/ 450 ⎞
iγ =⎜⎜1−
H⎟⎟
⎝ V + Accotφ ⎠
iq
NO
θ° ⎞
⎛
i q = ⎜1 −
⎟
⎝ 90° ⎠
2
⎛
0.5H ⎞
⎟
iq = ⎜⎜1−
V
Accotφ ⎟⎠
+
⎝
d c = 1 + 0.2 K p
sq = 1 +
d c = 1 + 0.4k
D
B
D
B
D
d q = 1 + 0.1 K p
B
B
tan φ
L
dγ = 1
dγ = 1 + 0.1 K p
d q = 1 + 2 tan φ (1 − sinφ ) 2 k
ic = i q −
1 − iq
ic = i q −
Nq −1
1 − iq
Nq −1
m+1
5
⎛
⎞
H
⎟⎟
iγ = ⎜⎜1−
+
V
Ac
cot
φ
⎝
⎠
5
⎛
⎞
H
⎟⎟
iq = ⎜⎜1−
V
+
Ac
cot
φ
⎝
⎠
α°
m
gc
NO
NO
gγ
gq
bc
NO
NO
g γ = (1 − 0.5 tan ω )
147°
2
g γ = (1 − tan ω )
NO
NO
g q = (1 − 0.5 tan ω )
g q = (1 − tan ω )
NO
NO
bγ
bq
NO
NO
bγ = exp(−2α tan φ )
α°
147°
2
bγ = (1 − α tan φ )
NO
NO
bq = exp(−2.7α tan φ )
bq = (1 − α tan φ )
gc =1 −
5
5
bc = 1 −
2
Osservazioni
A è l’area efficace B’L’ nel caso di carichi non centrati
c è l’adesione alla base
D è la profondità del piano di posa
Nel calcolo dei coefficienti di profondità si prende sempre B ( e non B’)
ω è l’inclinazione del pendio positiva se verso il basso
α è l’inclinazione del piano di posa positiva verso l’alto
Secondo Bowles i coefficienti di forma s non vanno utilizzati insieme a quelli di inclinazione i
Il coefficiente m di Vesic dipende dalla direzione della forza orizzontale H
2+ B / L
2+ L/ B
m=
m=
se H parallelo a B
se H parallelo a L
1+ B / L
1+ L / B
k=D/B per D/B<1 oppure k=arctan(D/B) se D/B >1
2
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COEFFICIENTI CORRETTIVI
CALCOLO DI Rd
Soluzione generale di Brinch Hansen in
presenza di sisma
Coefficienti correttivi per inerzia del terreno
qlim=cNcscdcicbcgczc+0.5BγNγsγiγbγgγzγ+qNqsqdqiqbqgqzq
zc = 1 − 0.32k h = 1 − 0.32
⎡
kh ⎤
z q = zγ = ⎢1 −
⎥
tan
φ
d ⎦
⎣
Sa g
g
0.35 Paolucci e Pecker 1997
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29
ESEMPIO DI CALCOLO
• Fondazione nastriforme B = 1.8 m
• Sabbia c’k= 0 φ’k = 38° γ = 19 kN/m3
• Azioni A2:
Nd = 330 kN/m Md = 65 kNm/m Hd = 40 kN/m
• Parametri del terreno M2:
c’d= 0
φ’d = arctan(tan38°/1.25)=32°
• Resistenza M2
q
lim
= cN
c
d
c
s c ic b
c
g
c
+ 0 .5 B 'γ N
γ
d
γ
s γ iγ b γ g
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γ
+ qN
q
d
q
s q iq b
q
g
q
30
ESEMPIO DI CALCOLO
Resistenza M2
qlim = cN c d c sc ic bc g c + 0.5 B ' γN γ dγ sγ iγ bγ gγ + qN q d q sq iq bq g q
qlim = 0.5 B ' γN γ dγ sγ iγ bγ gγ = 0.5 B ' γN γ iγ
Fattori di capacità portante
32° ⎞
⎛
N q = tan 2 ⎜ 45° +
⎟ exp(π ⋅ tan 32°) = 23.2
2
⎝
⎠
N γ = 2(23.2 − 1) tan 32° = 27.7
Area ridotta B’ = B – 2e = 1.8 – 2Md/Nd=1.41 m
Correzione per forza orizzontale
m = mB = [2 + B ' L'] [1 + B ' L'] = 2
⎡
⎤
Hd
iγ = ⎢1 −
⎥
⎣ N d + A' cd cot φd ⎦
m +1
⎡ H ⎤
= ⎢1 − d ⎥
⎣ Nd ⎦
m +1
40 ⎤
⎡
= ⎢1 −
⎣ 330 ⎥⎦
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2+1
= 0.678
31
ESEMPIO DI CALCOLO
Resistenza M2
qlim = 0.5(1.41)(19 )(27.7 )(0.678) = 252 kN/m 2
Rd = qlim B' = (252)(1.41) = 355 kN/m
VERIFICA SLU CAPACITÀ PORTANTE
Nd = 330 kN/m < 355 kN/m = Rd
Verifica soddisfatta
Stesso esempio (falda a p.c.)
q
= 0 . 5 (1 . 41
)(9 )(27
.7
)(0 . 678 ) =
193
kN/m
2
Rd = qlim B' = (119)(1.41) = 168 kN/m < N d
lim
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32
VERIFICA A SLITTAMENTO (EC7)
E d ≤ Rd
Hd ≤ Fd +Rp
Rp si trascura
Fd = Nd tanδd (cond. drenate)
Fd = cu,d A (cond. non drenate)
Scelta di δd (EC7)
δd = φ’cv fondazioni gettate in opera
δd = 2/3 φ’cv fondazioni lisce prefabb.
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33
ESEMPIO DI CALCOLO
• Fondazione nastriforme B = 2 m
• Sabbia c’k= 0 φ’k = 38° γ = 19 kN/m3
• Sisma zona 2 – terreno C - kh = 0.3125
• Azioni sismiche:
Nd = 340 kN/m Md = 75 kNm/m Hd = 50 kN/m
• Parametri del terreno M2:
c’d= 0 φ’d = arctan(tan38°/1.25)=32°
• Resistenza M2
q
lim
= cN
c
d
c
s c ic b
c
g
c
+ 0 .5 B 'γ N
γ
d
γ
s γ iγ b γ g
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γ
+ qN
q
d
q
s q iq b
q
g
q
34
ESEMPIO DI CALCOLO
Resistenza M2 – cond. più sfavorevole
q lim = cN c d c s c ic b c g c z c + 0 . 5 B ' γ N γ d γ s γ iγ bγ g γ z γ + qN q d q s q i q b q g q z q
qlim = 0.5 B' γN γ dγ sγ iγ bγ gγ zγ = 0.5B' γN γ iγ zγ
Fattori di capacità portante
32° ⎞
⎛
N q = tan 2 ⎜ 45° +
⎟ exp(π ⋅ tan 32°) = 23.2
⎝
2 ⎠
N γ = 2(23.2 − 1) tan 32° = 27.7
Area ridotta B’ = B – 2e = 2 – 2(75)/(340)=1.56 m
Correzione per forza orizzontale
m = mB = [2 + B ' L'] [1 + B ' L'] = 2
⎡
⎤
Hd
iγ = ⎢1 −
⎥
⎣ N d + A' cd cot φd ⎦
m +1
⎡ H ⎤
= ⎢1 − d ⎥
⎣ Nd ⎦
Correzione per inerzia terreno
zγ = [1 − k h tan φ 'd ]
0.35
m +1
50 ⎤
⎡
= ⎢1 −
⎣ 340 ⎥⎦
= [1 − 0.3125 tan 32°]
0.35
2 +1
= 0.62
= 0.78
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ESEMPIO DI CALCOLO
Resistenza M2
qlim = 0.5(1.56 )(19 )(27.7 )(0.62 )(0.78) = 199 kN/m 2
Rd = qlim B' = (199)(1.56) = 310 kN/m
VERIFICA SLU CAPACITÀ PORTANTE
Nd = 340 kN/m < 310 kN/m = Rd
Verifica non soddisfatta
In zona 3
qlim = 0.5(1.56 )(19 )(27.7 )(0.62 )(0.88) = 224 kN/m 2
Rd = qlim B' = (224)(1.56) = 349 kN/m > N d
Verifica soddisfatta
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ESEMPIO DI CALCOLO
VERIFICA SLU A SLITTAMENTO
• Ed = 50 kN/m
• Rd = Nd tanδd = 340 tan32° = 212 kN/m
Verifica soddisfatta
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