Manuale di validazione solutore LiFE Sommario Piastra rombica ................................................................................................................................................................................................................ 3 Cilindro sottile ................................................................................................................................................................................................................. 7 Piastra caricata su porzione centrale ................................................................................................................................................................................ 9 Piastra appoggiata su tre lati .......................................................................................................................................................................................... 11 Toroide .......................................................................................................................................................................................................................... 12 Piastra rettangolare incastrata ........................................................................................................................................................................................ 14 Piastra rettangolare incastrata e appoggiata ................................................................................................................................................................... 16 Contenitore conico ......................................................................................................................................................................................................... 18 Piastra soggetta a gradiente termico .............................................................................................................................................................................. 20 Settore circolare semplicemente appoggiato .................................................................................................................................................................. 21 Piastra circolare incastrata ............................................................................................................................................................................................. 23 Piastra incastrata ............................................................................................................................................................................................................ 24 Trave rastremata caricata lateralmente ........................................................................................................................................................................... 25 Cilindro schiacciato ....................................................................................................................................................................................................... 27 Trave soggetta a momento flettente ............................................................................................................................................................................... 28 Piastra rastremata ........................................................................................................................................................................................................... 29 Piastra anulare................................................................................................................................................................................................................ 30 Volta a botte................................................................................................................................................................................................................... 31 Membrana di cook ......................................................................................................................................................................................................... 32 Trave incastrata.............................................................................................................................................................................................................. 35 Tubo infinitamente spesso ............................................................................................................................................................................................ 37 Asta a sezione variabile ................................................................................................................................................................................................. 40 Trave appoggiata : valutazione frequenze ...................................................................................................................................................................... 42 Fascio di travi: valutazione delle frequenze ................................................................................................................................................................... 44 Vibrazione di un cuneo .................................................................................................................................................................................................. 46 Sistema di aste reticolari ................................................................................................................................................................................................ 47 Piastra forata isotropa: concentrazione dello stress ........................................................................................................................................................ 48 Guscio emisferico forato ................................................................................................................................................................................................ 50 Trave incastrata: valutazione frequenze ......................................................................................................................................................................... 52 AMV srl 1 Introduzione AMV srl • Gli esempi di validazione riportati in questo documento sono esempi classici comunemente utilizzati a questo fine, tratti dalla letteratura scientifica o da Enti impegnati in questo settore. Di ogni esempio è riportato il riferimento bibliografico; sono esposti in forma di scheda per renderne più semplice e chiara la descrizione del modello e dei risultati; i confronti sono stati eseguiti rispetto al risultato teorico, quello prodotto dal procedente solutore (di matrice Sap) impiegato da MasterSap fino alla versione 11; inoltre per alcuni casi è stato eseguito un confronto con un solutore ad elementi finiti di grande diffusione (Sap 2000 v. 8.24) ed in uno caso con Supersap Algor. • Segnaliamo che numerosi test sono stati ricavati da testi anglosassoni, che pertanto utilizzano unità di misura diverse dal sistema internazionale. In alcuni casi le soluzioni ottenute dall’elaborazione finale sono perciò lievemente affetti anche dall’approssimazione derivante dai fattori di conversione utilizzati. • Tutti gli esempi sono disponibili nella cartella Manuali del CD. L’utente può quindi riprodurli liberamente. 2 1 PIASTRA ROMBICA Descrizione Geometria Analisi Calcolo Elementi Statica lineare Guscio/piastra Piastra di forma rombica semplicemente appoggiata lungo i lati e caricata uniformemente ortogonalmente al proprio piano Lunghezza lato l=1 spessore t=1 angolo acuto θ = 30° mesh da 6x6 fino a 32x32 elementi di forma quadrilatera e triangolare Vincoli semplicemente appoggiato lungo i lati Carichi Pressione uniformemente distribuita perpendicolarmente alla superficie della piastra p = -1 (in direzione –z) Modulo elastico E=1 Coefficiente di Poisson ν = 0.3 Proprietà materiale Risultati teorici 1 Spostamento verticale massimo al centro della piastra Momenti al centro della piastra lungo gli assi principali della stessa ∆Z = 0.00445 M max = 0.01906 M min = 0.01080 1 L.S.D. Morley “Bending of a simply supported rhombic plate under uniform normal loading” Quarterly Journal Of Mechanics and Applied Mathematics, Vol. XV, 1962. J. Robinson, “An evaluation of skew sensitivity of thirty three plate bendings elements in ninteen FEM systems” Nuclear engineering and design, n° 90, pagg. 67-85, 1985. AMV srl 3 Valutazione spostamento elementi quadrilateri mesh LiFE Errore % MasterSap solutore precedente Errore % Sap2000 Errore % 6x6 ∆Z = 0.00459 -3.15 ∆Z = 0.00447 -0.45 ∆Z = 0.00624 -40.22 8x8 ∆Z = 0.00453 -1.79 ∆Z = 0.00444 0.32 ∆Z = 0.00553 -24.27 10x10 ∆Z = 0.00451 -1.35 ∆Z = 0.00442 0.68 ∆Z = 0.00520 -16.85 14x14 ∆Z = 0.00449 -0.90 ∆Z = 0.00441 0.92 ∆Z = 0.00491 -10.34 20x20 ∆Z = 0.00448 -0.66 ∆Z = 0.00441 0.94 ∆Z = 0.00474 -6.52 24x24 ∆Z = 0.00448 -0.66 ∆Z = 0.00441 0.90 ∆Z = 0.00469 -5.39 26x26 ∆Z = 0.00448 -0.66 ∆Z = 0.00441 0.89 ∆Z = 0.00467 -4.94 32x32 ∆Z = 0.00447 -0.45 ∆Z = 0.00443 0.41 ∆Z = 0.00464 -4.27 Errore percentuale dello spostamento massimo al centro della piastra per mesh di elementi quadrilateri n° nodi 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -12 -13 -14 -15 -16 -17 -18 -19 -20 10 100 Life (MasterSap vers.14) 1000 MasterSap vers.11 Sap2000 Valutazione M max al centro della piastra AMV srl 4 MasterSap solutore precedente Errore % Sap2000 Errore % 7.76 Mmax = 0.01650 13.43 Mmax= 0.02150 -12.80 Mmax = 0.01817 4.67 Mmax= 0.01766 7.31 Mmax= 0.02080 -9.13 10x10 Mmax = 0.01858 2.52 Mmax=0.01817 4.69 Mmax= 0.02040 -7.03 14x14 Mmax = 0.01883 1.21 Mmax= 0.01870 2.06 Mmax= 0.02000 -4.93 20x20 Mmax = 0.01900 0.31 Mmax=0.01883 1.19 Mmax= 0.01970 -3.36 24x24 Mmax = 0.01900 0.31 Mmax=0.01883 1.19 Mmax= 0.01960 -2.83 26x26 Mmax = 0.01900 0.31 Mmax=0.01883 1.19 Mmax= 0.01960 -2.83 32x32 Mmax = 0.01900 0.31 Mmax=0.01900 0.31 Mmax= 0.01950 -2.31 mesh LiFE 6x6 Mmax = 0.01758 8x8 Errore % Errore percentuale del momento massimo al centro della piastra per mesh di elementi quadrilateri n° nodi 15 10 100 1000 10 5 0 -5 -10 -15 Life (MasterSap vers.14) AMV srl MasterSap vers.11 Sap2000 5 Valutazione M min al centro della piastra mesh LiFE Errore % MasterSap solutore precedente Errore % Sap2000 Errore % 6x6 Mmin=0.00970 10.18 Mmin= 0.01123 -4.01 Mmin= 0.01360 -25.93 8x8 Mmin=0.01032 4.47 Mmin= 0.01125 -4.17 Mmin= 0.01260 -16.67 10x10 Mmin=0.01063 1.54 Mmin= 0.01115 -3.24 Mmin= 0.01220 -12.96 14x14 Mmin=0.01082 -0.15 Mmin= 0.01098 -1.69 Mmin= 0.01180 -9.26 20x20 Mmin=0.01087 -0.62 Mmin= 0.01087 -0.62 Mmin= 0.01150 -6.48 24x24 Mmin=0.01087 -0.62 Mmin= 0.01083 -0.31 Mmin= 0.01150 -6.48 26x26 Mmin=0.01087 -0.62 Mmin= 0.01082 -0.15 Mmin= 0.01140 -5.56 32x32 Mmin=0.01085 -0.46 Mmin= 0.01078 0.15 Mmin= 0.01140 -5.56 Errore percentuale del momento minimo al centro della piastra n° nodi 10 10 100 1000 0 -10 -20 Life (MasterSap vers.14) AMV srl MasterSap vers.11 Sap 6 2 CILINDRO SOTTILE Descrizione Geometria Vincoli Carichi Proprietà materiale Risultati teorici 2 Analisi Calcolo Elementi Statica lineare Guscio/piastra assialsimmetrici e Cilindro sottile semplicemente appoggiato alla base e soggetto ad un’azione uniformemente distribuita di trazione in sommità, modellata con forze concentrate ai nodi. altezza h = 0.5 m spessore t = 4 mm raggio medio r = 0.20 m mesh 64 elementi Appoggi lungo la base Carico uniformemente distribuito (modellato con 16 carichi concentrati ai nodi) Modulo elastico Coefficiente di Poisson p = 3x105 N 305.8 Kg cm m P = 23561.95 N E = 2.0601x1011 N [2402 Kg] m2 ν = 0.3 p = 7.5 ⋅ 10 7 N 2 m t Sforzo assiale massimo σ1 = Spostamento massimo ∆Z = 764.5 Kg cm 2 pz = 0.01820 cm Et 2 W.C. Young, R.G. Budynas “Roark’s formulas for stress and strain” (settima edizione), New York: McGraw-Hill, 2002, pag. 592 tabella 13.1 caso 1a AMV srl 7 Valutazione spostamento elementi Tipo LiFE Errore % MasterSap solutore precedente Errore % Elementi guscio ∆Z = 0.01820 cm 0.00 ∆Z = 0.01832 cm -0.66 Elementi assialsimmetrici ∆Z = 0.01795 cm 1.37 ∆Z = 0.01756 cm 3.52 Valutazione sforzo Tipo LiFE Elementi guscio σ1= 7.548 x107 N Elementi assialsimmetrici σ1= 7.5012 x107 N AMV srl Errore % m2 m2 MasterSap solutore precedente -0.64 σ1= 7.548 x107 N -0.02 σ1= 7.394 x107 N Errore % m2 0.64 m2 1.42 8 3 PIASTRA CARICATA SU PORZIONE CENTRALE Descrizione Geometria Analisi Calcolo Elementi Statica lineare Guscio/piastra Piastra rettangolare soggetta a pressione uniforme solo su di una zona centrale sempre di forma rettangolare e semplicemente appoggiata lungo i lati. lunghezza A = 0.50 m larghezza B = 0.25 m lunghezza zona centrale a = 0.20 m larghezza zona centrale b = 0.10 m spessore t = 0.01 m mesh 40x20 Vincoli Appoggi lungo tutti i lati di bordo Carichi Carico uniformemente distribuito nella p = 7x105 N zona centrale m2 Proprietà materiale Modulo elastico Risultati teorici 3 Coefficiente di Poisson Sforzo assiale massimo 7.14 Kg cm 2 E = 2.0601x1011 N m2 ν = 0.3 σ max = βW = 1.232 ⋅ 10 8 N 2 1255.86 Kg 2 2 m cm t W = a ⋅ b ⋅ p = 14000 N β = 0.88 (per A=2B a/B=0.8 b/B=0.4) 3 W.C. Young, R.G. Budynas “Roark’s formulas for stress and strain” (settima edizione), New York: McGraw-Hill, 2002, pag. 503 tabella 11.4 caso 1c AMV srl 9 Valutazione sforzo LiFE σ1= 1.235 x108 N AMV srl Errore % m2 0.26 MasterSap solutore precedente σ1= 1.225 x108 N m2 Errore % 0.55 10 4 PIASTRA APPOGGIATA SU TRE LATI Descrizione Geometria Calcolo Elementi Statica lineare Guscio/piastra Piastra rettangolare soggetta ad un carico uniforme ortogonalmente al proprio piano ed appoggiata lungo entrambi i lati maggiori e solo uno di quelli minori. lunghezza A = 0.30 m larghezza B = 0.15 m spessore t = 0.75 cm mesh 40x20 Vincoli Appoggi lungo i lati maggiori ed uno minore Carichi Carico uniformemente distribuito su tutta la piastra Proprietà materiale Modulo elastico p 3.5x105 = Coefficiente di Poisson N m2 3.57 Kg cm 2 E = 2.0601x1011 N m2 ν = 0.3 σ max = Sforzo assiale massimo Risultati teorici 4 Analisi (al centro della piastra sul lato libero) βpB2 = 1.106 ⋅ 108 N 2 m t2 1127.42 Kg cm 2 ∆Z max = Deflessione massima con αpB 4 = 3.364 ⋅ 10 − 4 m Et 3 2 cm] α = 0.165 [3.3639x10- β = 0.79 Valutazione sforzo e spostamento LiFE σ1= 1.0956x108 N Errore % MasterSap solutore precedente m2 0.94 σ1=1.067x108 N ∆Zmax= 3.353x10-2 cm 0.32 ∆Zmax= 3.3198x10-2 cm m2 Errore % Sap2000 Errore % 3.52 σ1= 1.1364x108 N m2 -2.75 1.31 ∆Zmax=3.381x10-2 cm -0.50 4 W.C. Young, R.G. Budynas “Roark’s formulas for stress and strain” (settima edizione), New York: McGraw-Hill, 2002, pag. 505 tabella 11.4 caso 2a AMV srl 11 5 TOROIDE Descrizione Analisi Calcolo Elementi Statica lineare Guscio/piastra assialsimmetrici Toroide soggetto ad una pressione interna uniforme raggio toroide A = 0.30 m raggio interno B = 0.15 m spessore t = 0.6 cm mesh 50x25 Vincoli uZ bloccato 4 nodi nel piano X-Y disposti simmetricamente (rendere stabile il sistema) Carichi Pressione uniformemente distribuito su tutta la superficie del toroide p = 1x106 N Proprietà materiale Modulo elastico E = 2.0601x1011 N Coefficiente di Poisson ν = 0.3 Geometria Risultati teorici 5 e σ max = Sforzo assiale massimo nel punto O 10.19 Kg cm 2 m2 m2 pB (2A − B) ⋅ = 3.75 ⋅ 10 7 N 2 m 2 t (A − B) 382.3 Kg cm 2 5 W.C. Young, R.G. Budynas “Roark’s formulas for stress and strain” (settima edizione), New York: McGraw-Hill, 2002, pag. 600 tabella 13.1 caso 5a AMV srl 12 Valutazione sforzo Tipo LiFE Elementi guscio σmax=3.665 x107 N Elementi assialsimmetrici σmax=3.6502 x107 N AMV srl Errore % m2 m2 MasterSap solutore precedente 2.26 σmax = 3.647 x107 N 2.66 σmax = 3.653 x107 N Errore % m2 2.75 m2 2.58 13 6 PIASTRA RETTANGOLARE INCASTRATA Descrizione Geometria Analisi Calcolo Elementi Statica lineare Guscio/piastra Piastra di forma rettangolare incastrata lungo tutti i lati e soggetta ad un carico uniformemente distribuito ortogonalmente al proprio piano lunghezza A = 0.48 m larghezza B = 0.24 m spessore t = 0.01 m mesh 40x20 Vincoli Incastri lungo i lati Carichi Carico uniformemente distribuito su tutta p = 5x105 N la piastra m2 Proprietà materiale Modulo elastico Risultati teorici 6 Coefficiente di Poisson Sforzo al centro della piastra Deflessione massima E = 2.0601x1011 N 5.1 Kg cm 2 m2 ν = 0.3 σ= βpB 2 = 7.1194 ⋅ 10 7 N 2 2 m t ∆Z max = con αpB 4 = 2.23052 ⋅ 10 −4 m Et 3 α = 0.0277 725.72 Kg cm 2 [2.23052x10-2cm] β = 02472 6 W.C. Young, R.G. Budynas “Roark’s formulas for stress and strain” (settima edizione), New York: McGraw-Hill, 2002, pag. 508 tabella 11.4 caso 8a AMV srl 14 Valutazione sforzo e spostamento massimi al centro della piastra LiFE σ = 7.032 x107 N Errore % MasterSap solutore precedente m2 1.23 σ =7.038 x107 N ∆Z = 2.2251x10-2 cm 0.24 ∆Z = 2.22136x10-2 cm AMV srl m2 Errore % 1.14 0.41 15 7 PIASTRA RETTANGOLARE INCASTRATA E APPOGGIATA Descrizione Geometria Analisi Calcolo Elementi Statica lineare Guscio/piastra Piastra di forma rettangolare incastrata lungo i lati minori e semplicemente appoggiata lungo quelli maggiori, soggetta ad un carico uniformemente distribuito ortogonalmente al proprio piano lunghezza A = 0.45 m larghezza B = 0.25 m spessore t = 0.25 cm mesh 50x25 Vincoli Incastri lungo i lati minori e semplici appoggi lungo quelli maggiori Carichi Carico uniformemente distribuito su tutta p = 1x105 N la piastra m2 Proprietà materiale Modulo elastico Risultati teorici 7 Deflessione massima Coefficiente di Poisson E = 2.0601x1011 N 1.02 Kg cm 2 m2 ν = 0.3 ∆Z max = con αpB4 = 9.7083 ⋅ 10 −3 m Et 3 [0.97083cm] α = 0.08 7 W.C. Young, R.G. Budynas “Roark’s formulas for stress and strain” (settima edizione), New York: McGraw-Hill, 2002, pag. 506 tabella 11.4 caso 5a AMV srl 16 Valutazione spostamento LiFE ∆Zmax = 0.96694 cm AMV srl Errore % 0.40 MasterSap solutore precedente ∆Zmax = 0.965888 cm Errore % 0.51 17 8 CONTENITORE CONICO Descrizione Geometria Analisi Calcolo Elementi Statica lineare Guscio/piastra Contenitore conico soggetto ad una pressione interna e vincolato lo spostamento in direzione parallela alla generatrice del cono raggio R = 0.5 m altezza H = 1.0 m angolo cono θ = 30° spessore t = 0.6 cm mesh 40x20 Vincoli Viene bloccato lo spostamento di tutti i nodi in sommità in direzione parallela alla generatrice della superficie conica Carichi Pressione interna uniforme p = 1x108 N Proprietà materiale Modulo elastico E = 2.0601x1011 N Coefficiente di Poisson Sforzo massimo in direzione tangenziale alla circonferenza di raggio r = 0.25m Risultati teorici 8 10.19 Kg cm 2 m2 m2 ν = 0.3 σ R max = pr = 4,811 ⋅ 109 N m 2 t cos θ pr Sforzo massimo in direzione parallela alla σ = = 2,4055 ⋅10 9 N m 2 T max generatrice del cono in r =0.25m 2t cos θ pr 2 ν −3 1 − = 5,3678 ⋅10 m Et cos θ 2 Spostamento radiale in r = 0.26m ∆r = Variazione di altezza in r = 0.26m ∆Z = pR 2 (1 − 2ν − 3tg 2 θ) = 1,64069 ⋅10 −3 m 4 Et cos θ 8 W.C. Young, R.G. Budynas “Roark’s formulas for stress and strain” (settima edizione), New York: McGraw-Hill, 2002, pag. 594 tabella 13.1 caso 2a AMV srl 18 Valutazione sforzo sforzo radiale (in direzione locale x) LiFE σRmax= 4.810x109 N σTmax = 2.405x109 N Errore % m2 m2 0.02 0.02 MasterSap solutore precedente σ Rmax = 4.809x109 N σTmax = 2.404x109 N m2 m2 Errore % 0.04 0.06 Valutazione spostamento massimo LiFE Errore % MasterSap solutore precedente Errore % ∆r = 5.361x10-3 cm 0.12 ∆r = 5.361x10-3 cm 0.12 ∆Z = 1.6515x10-3 cm -0.66 ∆Z = 1.6539x10-3 cm -0.80 AMV srl 19 9 PIASTRA SOGGETTA A GRADIENTE TERMICO Descrizione Geometria Analisi Calcolo Elementi Statica lineare Guscio/piastra Piastra di forma rettangolare incastrata lungo i lati e soggetta a gradiente termico lunghezza A = 0.60 m larghezza B = 0.30 m spessore t = 0.01 m mesh 60x30 Vincoli Incastro lungo tutti i lati Carichi Gradiente termico ∆T= 100°C Modulo elastico E = 6.867x1010 N Proprietà materiale Risultati teorici 9 Coefficiente di Poisson Coefficiente di espansione termica m2 ν = 0.35 α = 2.4x10-5 σ max = 12 ∆Tα Sforzo massimo E = 1.26775 ⋅ 10 8 N 2 1292.31 Kg 2 m cm 1− ν Valutazione sforzo LiFE σmax = 1.2678x108 N 9 m2 Errore % MasterSap solutore precedente Errore % Sap2000 0.004 σmax = 1.2684x108 -0.05 σ1= 1.26775x108 Errore % 0.00 S.P. Timoshenko, S. Woinowsky-Krieger “Theory of plates and guscio/piastra” (seconda edizione), New York: McGraw-Hill, 1959 AMV srl 20 10 SETTORE CIRCOLARE SEMPLICEMENTE APPOGGIATO Descrizione Geometria Analisi Calcolo Elementi Statica lineare Guscio/piastra Settore circolare di spessore uniforme semplicemente appoggiato lungo i bordi e soggetto ad un carico uniformemente distribuito raggio R = 0.30 m angolo settore θ = 60° spessore t = 0.3 cm mesh 40x20 θ 30 Vincoli Appoggi lungo il bordo Carichi Carico uniformemente distribuito su p = 1x104 N m2 tutta la piastra Proprietà materiale Modulo elastico Coefficiente di Poisson Sforzo radiale massimo Risultati teorici 10 Sforzo tangenziale 0.102 Kg cm 2 E = 2.0601x1011 N m2 ν = 0.3 σ R max = βpR 2 = 1.47 ⋅ 10 7 N 2 m t2 149.85 Kg cm 2 σ T max = β1 pR 2 = 1.55 ⋅ 10 7 N 2 2 m t ∆Z max = αpR 4 = 1.529 ⋅ 10 −3 m Et 3 Deflessione massima con α = 0.105 158 Kg cm 2 [0.1529cm] β = 0.147 β1 = 0.155 10 W.C. Young, R.G. Budynas “Roark’s formulas for stress and strain” (settima edizione), New York: McGraw-Hill, 2002, pag. 496 tabella 11.2 caso 27 AMV srl 21 Valutazione spostamento LiFE ∆Z= 0.015823cm Errore % -3.48 MasterSap solutore precedente ∆Z=0.0157761cm Errore % -3.18 Sap2000 ∆Z = 0.01584cm Errore % -3.60 Valutazione sforzo le sollecitazioni sono espresse in coordinate locali dell’elemento le quali corrispondono a: - coordinata locale x = direzione tangente alla circonferenza - coordinata locale y = direzione radiale Errore % MasterSap solutore precedente Errore % σRmax= 1.462 x107 0.55 σ Rmax = 1.456 x107 0.95 σRmax= 14697500 0.02 σTmax = 1.53 x107 1.29 σTmax = 1.529 x107 1.35 σTmax = 15422500 0.5 LiFE AMV srl Sap2000 Errore % 22 11 PIASTRA CIRCOLARE INCASTRATA Analisi Calcolo Elementi Statica lineare Guscio/piastra Descrizione Piastra di forma circolare perfettamente incastrata e soggetta ad un carico concentrato al centro. Geometria Raggio R = 0.5 m spessore t = 0.01 m mesh 720 elementi (10 x spicchio) Vincoli Incastro lungo la circonferenza esterna Carichi Carico concentrato al centro della piastra P = 1x105 N Proprietà materiale Modulo elastico E = 2.0601x1011 N Risultati teorici 11 Coefficiente di Poisson [10194Kg] m2 ν = 0.3 ∆Z max = Spostamento verticale D= PR 2 = 2.6364 ⋅ 10 − 2 m 16πD [2.63636cm] Et 3 12(1 − ν 2 ) Valutazione spostamento LiFE Errore % ∆Zmax = 2.6209cm 11 17 0.58 MasterSap solutore precedente ∆Zmax = 2.62627 cm Errore % 0.38 W.C. Young, R.G. Budynas “Roark’s formulas for stress and strain” (settima edizione), New York: McGraw-Hill, 2002, pag. 492 tabella AMV srl 23 12 PIASTRA INCASTRATA Analisi Calcolo Elementi Statica lineare Guscio/piastra Piastra di forma quadrata perfettamente incastrata lungo tutti i lati e soggetta ad un carico Descrizione uniformemente distribuito perpendicolarmente al proprio piano. Geometria lato L = 0.30 m spessore t = 0.3 cm mesh 10x10 Vincoli Incastro lungo tutti i lati Carichi Carico uniformemente distribuito su p = 1x104 N m2 tutta la piastra Proprietà materiale Modulo elastico E = 2.0601x1011 N Coefficiente di Poisson m2 ν = 0.3 ∆Z max = 0.00126 Risultati teorici 12 0.102 Kg cm 2 Deflessione massima D= pL4 = 2.004 ⋅ 10 − 4 m D [0.02cm] Et 3 12(1 − ν 2 ) Valutazione spostamento LiFE Errore % ∆Zmax = 0.01978 cm 12 1.29 MasterSap solutore precedente Errore % ∆Zmax = 0.01978 cm 1.29 S.P. Timoshenko, S. Woinowsky-Krieger “Theory of plates and guscio/piastra” (seconda edizione), New York: McGraw-Hill, 1959 AMV srl 24 13 TRAVE RASTREMATA CARICATA LATERALMENTE Analisi Calcolo Elementi Statica lineare Guscio/piastra e stato piano di tensione Trave di sezione uniformemente variabile lungo l’asse, incastrata ad un estremo e soggetta a carico Descrizione concentrato dall’altro Geometria altezza lato incastro 3d = 0.45 m altezza lato libero d = 0.15 m lunghezza l = 1.20 m spessore t = 5 cm Mesh 6x2 – 12x4 – 24x8 Vincoli Incastro ad un’estremità Carichi Carico concentrato verticale F =2x104 N Proprietà materiale Modulo elastico E = 2.0601x1011 N Coefficiente di Poisson [2038.7Kg] m2 ν=0 Mmax = Fl = 12000 Nm Risultati teorici 13 Lembo superiore della sezione in mezzeria W= th 2 = 750 cm3 6 σ max = 13 [1.225x105 Kgcm] M max = 1.600x107 N 2 m W S. H. Crandall and N. C. Dahl. An Introduction to the Mechanics of Solids. McGraw-Hill Book Co., Inc.. New York, NY. 1959. AMV srl 25 Valutazione sforzo in mezzeria Tipo Element i guscio con valutazi one al centro dell’ele mento Element i stato piano di tensione mesh N m 2 Errore % MasterSap solutore precedente N 2 m Errore % Sap2000 N m 2 Errore % 6x2 σx = 7.930x106 50.44 σx = 5.606x106 64.96 12x4 σx = 1.209x107 24.44 σx = 1.095x107 31.56 σx = 1.207 24.56 24x8 σx = 1.420x107 11.25 σx = 1.384x107 13.5 σx = 1.420 11.25 σx = 1.527x107 4.56 σx = 1.517x107 5.19 σx = 1.526 4.62 σx = 1.562x107 2.37 σx = 1.557x107 2.69 σx = 1.561 2.44 6x2 σx = 7.954x106 50.28 σx = 7.959x106 50.26 σx = 7.565 52.72 12x4 σx = 1.209x107 24.44 σx = 1.211x107 24.31 σx = 1.207 24.56 24x8 σx = 1.420x107 11.25 σx = 1.421x107 11.19 σx = 1.420 11.25 σx = 1.527x107 4.56 σx = 1.527x107 4.56 σx = 1.526 4.62 48x1 72x2 48x1 AMV srl LiFE σx = 7.565 52.72 26 14 Descrizione Geometria CILINDRO SCHIACCIATO Analisi Calcolo Elementi Statica lineare Guscio/piastra Cilindro sottile soggetto a due forze concentrate agenti perpendicolarmente alla superficie ed applicate a metà lunghezza lunghezza l = 10.35in [0.2629m] Raggio r = 4.953in [0.1258m] spessore t = 0.094in [0.0024m] mesh 36x20 In corrispondenza della sezione cilindrica di applicazione delle forze (ad l/2) i quattro nodi di vertice sono stati vincolati nel seguente modo: Vincoli - i 2 nodi che intersecano la circonferenza lungo la direzione globale Y, bloccati uZ ed uX - i 2 nodi che intersecano la circonferenza lungo la direzione globale X, bloccati uZ ed uY Carichi Due forze concentrate sui punti medi del F = 100lb cilindro in direzione opposta Proprietà materiale Modulo elastico Risultati teorici 14 Spostamento nel punto di applicazione del ∆Zmax = 0.289306 cm carico [444.9N] E = 1.05x107 psi Coefficiente di Poisson 7.24 ⋅ 1010 N m 2 ν = 0.3125 Valutazione spostamento LiFE Errore % ∆Zmax = 0.28639 cm 14 1.00 MasterSap precedente solutore ∆Zmax = 0.28333 cm Errore % Sap 2000 2.07 ∆Zmax = 0.2801 cm Errore % 3.18 D.R. Hose e Rutherford. "Benchmarks for Finite Element Pre-processors". NAFEMS Ref: R0001. 2 Dicembre 1993 AMV srl 27 15 TRAVE SOGGETTA A MOMENTO FLETTENTE Analisi Calcolo Elementi Statica lineare Guscio/piastra e stato piano di tensione Descrizione Trave incastrata soggetta a momento flettente concentrato all’estremità libera Geometria altezza h = 0.40 m lunghezza l = 2.0 m spessore t = 0.20 m mesh 10x2 Vincoli Incastro ad una estremità Carichi Coppia concentrata all’estremità libera modellata attraverso due carichi M = Ph = 20000x0.40 = 8000 Nm concentrati ai nodi ci estremità della trave E = 2.78604x1010 N Proprietà materiale Modulo elastico Risultati teorici Ml Spostamento nel punto di applicazione ∆ = = 0.05384 cm Z del carico 2 EJ Coefficiente di Poisson m2 ν=0 Valutazione spostamento Tipo LiFE Elementi guscio ∆Z = 0.05374 cm 0.18 ∆Z = 0.0442551 cm 17.8 Elementi stato piano di tensione ∆Z = -0.053775 cm 0.18 ∆Z = 0.053774 cm 0.18 AMV srl Errore % MasterSap solutore precedente Errore % 28 16 PIASTRA RASTREMATA Descrizione Geometria Analisi Calcolo Elementi Statica lineare Guscio/piastra Piastra di larghezza variabile incastrata ad un estremo e soggetta ad un carico perpendicolare al proprio piano dall’altro larghezza massima d = 3in [0.0762 m] lunghezza L = 20in spessore t = 0.5in mesh 13 elementi triangolari [0.508 m] [0.0127 m] Vincoli Incastro ad una estremità Carichi forza concentrata all’estremità libera F = 10lb Proprietà materiale Modulo elastico E = 3x107 psi Risultati teorici 15 Spostamento nel punto di applicazione del ∆Z = -0.042667in carico Coefficiente di Poisson [44.48 N] 2.0685 N m 2 ν=0 [-0.10837cm] Valutazione spostamento LiFE Errore % MasterSap precedente ∆Z = -0.10837 cm 0.009 ∆Z = -0.108853 cm 15 solutore Errore % Sap 2000 0.45 ∆Z = -0.04267 in Errore % 0.007% C. O. Harris. Introduction to Stress Analysis. The Macmillan Co.. New York, NY. 1959, pag. 114, problema 61 AMV srl 29 17 PIASTRA ANULARE Descrizione raggio interno r = 10in [0.254m] raggio esterno l = 30in [0.762m] spessore mesh Elementi Statica lineare Guscio/piastra t = 0.25in [0.00635m] 216 elementi (6 ogni spicchio di θ=10°) Vincoli Incastro in corrispondenza del foro interno Carichi Momento, flettente rispetto alla direzione tangente alla circonferenza esterna, distribuito lungo la stessa e modellato con coppie concentrate ai nodi Risultati teorici 16 Calcolo Piastra circolare di spessore costante con foro circolare incastrata lungo la circonferenza interna e soggetta ad un momento flettente Ma applicato uniformemente lungo la circonferenza esterna Geometria Proprietà materiale Analisi Ma = 10 in lb (poiché la direzione tangenziale è variabile da nodo a nodo, sono state calcolate per ognuno di questi le componenti di Mat rispetto alle direzioni del sistema di riferimento globale) E = 2.0601x1011 N Modulo elastico Coefficiente di Poisson [pari ad una coppia concentrata di 5.92 Nm ] in m2 2.1 ⋅ 10 6 Kg cm 2 ν = 0.3 Spostamento (estremità della piastra) massimo Rotazione (estremità della piastra) massima θ = 0.0045089 rad u =-0.049064 in [-0.1246 cm] Valutazione spostamento e rotazione LiFE Errore % MasterSap solutore precedente Errore % u = -0.1259 cm -1.04 u = -0.125504 cm 0.72 θ = 0.0045474 rad -0.85 θ = 0.0045374 rad 0.63 16 S. Timoshenko. Strength of Material, Part II, Elementary Theory and Problems. 3rd Edition. D. Van Nostrand Co., Inc.. New York, NY. 1956., pag 111 AMV srl 30 18 VOLTA A BOTTE Descrizione Analisi Calcolo Elementi Statica lineare Guscio/piastra Volta a botte soggetta solo al proprio peso Geometria raggio r = 25 m lunghezza l = 50 m spessore t = 0.25 m angolo volta θ = 40° mesh 800 (16x25) elementi di circa 2m x 2.20m Vincoli Appoggio lato curvo Carichi Peso proprio del materiale ρ = 3.6037x10-4 N Proprietà materiale Modulo elastico E = 4.32x108 N Risultati teorici 17 Spostamento verticale massimo ∆Zmax = -0.3019 m Spostamento in piano massimo ∆Ymax = 0.1593 m Coefficiente di Poisson m3 3.674 ⋅ 10 −5 Kg cm 3 m2 ν=0 Valutazione spostamento LiFE Errore % MasterSap solutore precedente Errore % ∆Zmax = -0.2967 m 1.72 ∆Zmax = -0.2943 m 2.5 ∆Ymax = 0.1562 m 1.95 ∆Ymax = 0.1550 m 2.70 17 R. D. Cook. Concepts and Applications of Finite Element Analysis. 2nd Edition. John Wiley and Sons, Inc.. New York, NY. 1981, pag 284-287 AMV srl 31 19 MEMBRANA DI COOK Descrizione Calcolo Elementi Statica lineare Guscio/piastra Membrana modellata con elementi irregolari incastrata ad un estremo e soggetta ad un carico uniformemente distribuito verso l’alto all’altro. lunghezza altezza maggiore incastro) Geometria Analisi L = 48 (lato H = 44 altezza minore h = 16 (estremo libero) spessore t=1 mesh 1, 4, 16 e 64 elementi Vincoli Incastrato all’estremità maggiore Carichi Verticale uniformemente distribuito sull’estremità libera e modellato con carichi concentrati ai nodi P = 1 (risultante) Proprietà materiale Modulo elastico E=1 Coefficiente di Poisson ν = 1/3 Risultati teorici 18 Spostamento verticale all’estremità libera della membrana ∆Z = 23.91 18 R. D. Cook, ‘Improved two-dimensionale finite element’, J: Structt. Div. ASCE, 100, pag. 1851-1865 (1974) AMV srl 32 Valutazione spostamento Tipo Elementi guscio Elementi stato piano di tensione AMV srl Mesh LiFE Errore % MasterSap solutore precedente Errore % 1 ∆Z = 17.4855 26.87 ∆Z = 6.0023 74.90 4 ∆Z = 22.732 4.93 ∆Z = 12.7310 46.75 16 ∆Z = 23.443 1.95 ∆Z = 19.129 20.00 64 ∆Z = 23.775 0.56 ∆Z = 22.395 6.34 1 ∆Z = 21.12 11.67 ∆Z = 22.817 4.57 4 ∆Z = 22.827 4.53 ∆Z = 22.841 4.47 16 ∆Z = 23.445 1.95 ∆Z = 23.425 2.03 64 ∆Z = 23.776 0.56 ∆Z = 23.768 0.59 33 Errore percentuale relativo allo spostamento in estremità Life (MasterSap vers.14) - guscio/piastra MasterSap vers.11 - guscio/piastra MasterSap vers.11- membrana Life (MasterSap vers.14) - membrana 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 1 10 100 n° nodi AMV srl 34 20 TRAVE INCASTRATA Descrizione Geometria Analisi Calcolo Elementi Statica lineare Guscio/piastra Trave spessa incastrata ad una estremità e soggetta ad un carico da verticale dall’altra e modellata con elementi guscio/piastra e stato piano di tensione lunghezza l = 48 altezza h = 12 spessore t=1 mesh 4, 16 e 64 elementi Vincoli Incastrato all’estremità maggiore Carichi Verticale applicato sull’estremità libera e modellato con carichi P = 40 (risultante) concentrati ai nodi Proprietà materiale Risultati teorici 19 Modulo elastico E = 30000 Coefficiente di Poisson ν = 0.25 Spostamento verticale massimo ∆Z = Pl 3 (4 + 5ν )Pl + = 0 ⋅ 3558 3EJ 2 Eh 19 T. J. Hughes, ‘The finite elementh method: linear static and dynamic analysis’, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1987, pag. 1219-220 e 254-255 AMV srl 35 Valutazione spostamento Tipo Elementi guscio Elementi stato piano di tensione Errore % MasterSap solutore precedente Mesh LiFE 4 ∆Z = 0.3492 1.85 ∆Z = 0.2058 42.15 16 ∆Z = 0.3514 1.23 ∆Z = 0.2982 16.20 64 ∆Z = 0.3543 0.42 ∆Z = 0.3389 4.75 4 ∆Z = 0.3493 1.83 ∆Z = 0.3493 1.82 16 ∆Z = 0.3514 1.23 ∆Z = 0.3514 1.23 64 ∆Z = 0.3543 0.42 ∆Z = 0.3543 0.42 Errore % Errore percentuale relativo allo spostamento in estremità Life (MasterSap vers.14) - guscio/piastra MasterSap vers.11 - guscio/piastra MasterSap vers.11 - membrana Life (MasterSap vers.14)- membrana 0 5 10 15 20 25 30 35 40 10 100 n° nodi Osservazione: le due curve relative ai risultati di LiFE e quella relativa ai risultati di sap ottenuta con elementi in stato piano di tensione si sovrappongono per cui non sono distinguibili nel grafico AMV srl 36 21 TUBO INFINITAMENTE SPESSO Descrizione Geometria Calcolo Elementi Statica lineare Stato piano di deformazione Tubo infinitamente spesso soggetto ad a pressione interna. Anche in questo caso il problema si presenta simmetrico per cui è stato possibile modellare solo un quarto dello schema Raggio interno r = 0.03 m Raggio esterno R = 0.09 m mesh 60, 240 e 960 elementi (1/4 del modello) z Vincoli Poiché il modello giace sul piano Y-Z, sono stati vincolati gli spostamenti UY ai nodi lungo il lato parallelo all’asse Z e UZ quelli lungo il lato parallelo all’asse Y Carichi Pressione interna uniforme p = 107 N Proprietà materiale Modulo elastico E = 2x1011 N Coefficiente di Poisson Tensione principale massima Tensione principale minima Risultati teorici Analisi x = 3.5 cm (mesh 45 elementi) x = 3.25 cm (mesh 240 elementi) y 101.94 Kg cm 2 m2 m2 ν = 1/3 pr 2 R 2 σ = max (R 2 − r 2 ) 1 + x 2 2 R2 σ = pr 1 − 2 min (R 2 − r 2 ) x σ max = − 701531 N 2 m N 2 951530 σ = min m σ max = − 833580 N 2 m N 2 1 083580 σ = min m σ max = − 911800 N 2 m N σ min = 1161800 m 2 x = 3.125 cm (mesh 960 elementi) AMV srl 37 Valutazione sforzo mesh 60 240 960 AMV srl LiFE Errore % σmax = -716600 N σmin = 957230 N m2 m2 σmax = -838810 N/m2 2 MasterSap solutore precedente -2.15 σmax = -714200 N -0.59 σmin = 956200 N -0.63 σmax = -838150 N/m2 m2 Errore % -1.81 -0.49 m2 2 -0.55 σmin = 1085900 N/ m -0.21 σmin = 1085600 N/ m -0.19 σmax = -913360 N/m2 -0.17 σmax = -913190 N/m2 -0.15 σmin = 1162600 N/ m2 -0.06 σmin = 1162400 N/ m2 -0.05 38 Errore percentuale relativo alla tensioni principali massime n° nodi 0 10 100 1000 10000 -0,5 -1 -1,5 -2 -2,5 Life (MasterSap vers.14) MasterSap vers. 11 Errore percentuale relativo alla tensioni principali minime n° nodi 0 10 100 1000 10000 -0,1 -0,2 -0,3 -0,4 -0,5 -0,6 -0,7 Life (MasterSap vers.14) AMV srl MasterSap vers.11 39 22 ASTA A SEZIONE VARIABILE Descrizione Geometria Vincoli Carichi Proprietà materiale Risultati teorici 20 20 Analisi Calcolo Elementi Statica/ dinamica lineare trave Asta a sezione di forma circolare di due diversi diametri semplicemente appoggiata e soggetta, oltre al peso proprio, a due masse concentrate verticali: vengono richieste la determinazione della prima frequenza fondamentale e gli spostamenti nei punti di applicazione delle masse lunghezza L = 45.72 cm diametro sezione maggiore D1 = 3.175 cm diametro sezione minore D2 = 2.54 cm Semplicemente appoggiata a metà della zona a sezione P = 136.08 Kg maggiore (MZ=136.08 / 981=0.13672 Kgm) a 7 pollici (17.78cm) di distanza P = 226.8 Kg dalla precedente (MZ=226.8 / 981=0.23193 Kgm) Modulo elastico E = 2.1 ⋅ 10 6 Kg Coefficiente di Poisson ν = 0.3 Densità di massa ρ = 0.00785 Kg cm 2 cm 3 Spostamento verticale in corrispondenza dei carichi uz = 0.065024 cm Frequenza naturale f = 20.7 Hz uz = 0.040386 cm W. T. Thomson, Mechanical Vibration, II edizione, Prentice-Hall, New Jersey, 1953, pag. 202 AMV srl 40 Valutazione spostamento LiFE Errore % MasterSap solutore Errore % precedente Algor Errore % uz = 0.06444 cm 0.90 uz = 0.06444 cm 0.90 uz = 0.06528cm -0.40 uz = 0.040133 cm 0.63 uz = 0.040133 cm 0.63 uz = 0.040386 cm -0.63 Valutazione frequenza LiFE f = 20.7 Hz AMV srl Errore % 0.00 MasterSap solutore Errore % precedente Algor f = 20.5 Hz f = 20.7 Hz 1.00 Errore % 0.00 41 23 TRAVE APPOGGIATA : VALUTAZIONE FREQUENZE Descrizione Geometria Analisi Calcolo Elementi dinamica lineare Guscio/piastra Trave in acciaio semplicemente appoggiata e soggetta solo al proprio peso. lunghezza L = 2.438 m altezza sezione h = 0.3048 m base sezione b = 0.00635 m Vincoli La trave deve risultare semplicemente appoggiata pertanto tutti i nodi di estremità sono stati vincolati alla traslazione UY, le estremità superiori anche alla traslazione verticale (UZ) ed uno a quella orizzontale UX Carichi Soggetto solo al peso proprio ρ = 76977.4 N Proprietà materiale Modulo elastico E = 2.0684·1011 N Coefficiente di Poisson Prime 4 frequenze naturali m2 ν = 0.30 fn = Risultati teorici 21 m3 i2π2 L2 EI ρA f1 = 2.4494 Hz f2 = 9.910 Hz f3 = nd f4 = 22.34 Hz 21 S. Timoshenko, W. Weaver, D.H. Young, “vibration Problems in Engineering”, New York, Wiley, 1974 AMV srl 42 Valutazione frequenza LiFE Errore % MasterSap solutore precedente Errore % f1 = 2.482 Hz -1.33 f1 = 2.484 Hz -1.41 f2 = 9.872 Hz 0.38 f2 = 9.979 Hz -0.70 f3 = 15.910 Hz - f3 = 15.890 Hz - f4 = 21.960 Hz 1.72 f4 = 22.590 Hz -1.12 AMV srl 43 24 FASCIO DI TRAVI: VALUTAZIONE DELLE FREQUENZE Analisi Calcolo Elementi Dinamica lineare Trave Descrizione Sistema di travi collegate nei punti centrali soggette solo al proprio peso e vincolate agli estremi da cerniere Geometria lunghezza travi L = 5.00 m sezione 0.125x0.125 m Vincoli Incernierate agli estremi immagine relativa alla forma del 1° modo Carichi Soggetto solo al peso proprio ρ = 78480 N Proprietà materiale Modulo elastico E = 2x1011 N f1 Risultati teorici 22 Prime 20 frequenze naturali m3 m2 = 11.336 Hz f2-8 = 17.715Hz f9 = 45.477 Hz f10-20 = 57.369Hz 22 W.C. Young, R.G. Budynas “Roark’s formulas for stress and strain” (settima edizione), New York: McGraw-Hill, 2002, pag. 768 tabella 16.1 caso 16a AMV srl 44 Valutazione frequenza II° eIII° modo X° e XI° modo LiFE f1 dal IV° all’VIII°modo IX° modo dal XII° al XVI° modo Errore % = 11.320 Hz 0.14% f2-8 = 17.650 Hz 0.34% f9 = 44.840 Hz 1.40% f10-20 = 55.960 Hz 2.46% AMV srl 45 25 VIBRAZIONE DI UN CUNEO Descrizione Geometria Analisi Calcolo Elementi dinamica lineare Guscio/piastra Valutazione della frequenza fondamentale di una piastra cuneiforme di spessore costante, incastrata all’estremo e soggetta solo al proprio peso lunghezza trave l = 16in (0.4064m) larghezza b = (0.0508m) 2in spessore t = (0.0254m) 1in Vincoli Incastro all’estremo Carichi Soggetto solo al peso proprio ρ = 7.28 ⋅ 10 −3 lb s Proprietà materiale Modulo elastico E = 3x107 psi Risultati teorici 23 Prima frequenza naturale f1 = 259.16 Hz 2 in 4 77008.5 N m3 9.81 m s2 [2.0601x1011 N m2 ] Valutazione frequenza LiFE f1 = 241.60 Hz Errore % 6.74% 23 S. Timoshenko, D. H. Young. ‘Vibration Problems in Engineering’. Terza Edizione. D. Van Nostrand Co., Inc.. New York, NY. 1955 pag. 392, articolo 62 AMV srl 46 26 SISTEMA DI ASTE RETICOLARI Analisi Calcolo Elementi Statica lineare Asta reticolare Sistema di sette aste reticolari soggette a due carichi indipendenti: un carico concentrato verticale ed una variazione di temperatura Descrizione lunghezza trave L = 16in (0.4064m) Geometria larghezza B = 2in (0.0508m) spessore t = 1in (0.0254m) Incastro agli estremi Vincoli (nodi 1, 3, 5, 6) Due combinazioni di carico: Carichi Proprietà materiale - Carico concentrato al nodo 4 P = 1000 lb - variazione di temperatura ∆T = 50°F Modulo elastico E = 3x107 psi [4448 N] [90°C] [2.0685·1011 N m2 ] Combinazione di carico 1: Forza agente sull’asta tra i nodi 3 e 4 F5 = 56 lb Risultati teorici 24 Forza agente sull’asta tra i nodi 4 e 6 F4 = -1250 lb [249.008 N] [-5560 N] Combinazione di carico 2: Forza agente sull’asta tra i nodi 3 e 4 F5 = -1295 lb [5760.16 N] Valutazione sforzo mesh LiFE Errore % Combinazione carico 1 di F5 = 248.737 N 0.11% F4 = 5560 N 0 Combinazione carico 2 di 24 F5 = 5749.07 N 0.19% MasterSap solutore precedente F5 = 248.737 N F4 = 5560 N F5 = 5749.07 N Errore % 0.11% 0 0.19% S. Timoshenko, D. H. Young. ‘Theory of structures’ Seconda Edizione. McGraw-Hill, New York 1965 pag. 330 AMV srl 47 27 PIASTRA FORATA ISOTROPA: CONCENTRAZIONE DELLO STRESS Descrizione Geometria Vincoli Carichi Calcolo Elementi Statica lineare Guscio/piastra – stato piano di tensione Piastra quadrata di lato unitario con un foro circolare, di diametro pari ad un decimo del lato; viene valutato il valore massimo dello sforzo attorno al foro quando sottoposta ad uno sforzo di trazione uniforme Lato piastra L=1 Raggio foro R = 0.1 spessore t = 0.1 Considerata la simmetria del problema viene modellato solo ¼ della piastra applicando adeguati vincoli (poiché l’analisi viene svolta sul piano Y-Z, viene vincolata la traslazione in Y sul lato verticale e la traslazione in Z su quello orizzontale) Z Y Pressione uniforme di compressione sul lato tra i nodi 2 pY = 1 e 3 di valore unitario Proprietà materiale Modulo elastico E=1 Coefficiente di Poisson ν = 0.3 Risultati teorici 25 Valore massimo attorno al foro 25 Analisi dello sforzo σz = 3.093 O.C. Zienkievicz,‘The Finite Element Method in Engineering Science’ Seconda Edizione. McGraw-Hill, New York 1965 AMV srl 48 Valutazione sforzo tipo LiFE Errore % MasterSap solutore precedente Errore % Elementi stato σ = 3.052 piano di tensione 1.33 σ = 3.012 2.62 Elementi guscio/piastra 2.43 σ = 3.018 2.43 AMV srl σ = 3.018 49 28 GUSCIO EMISFERICO FORATO Descrizione Geometria Analisi Calcolo Elementi Statica lineare Guscio/piastra Guscio emisferico forato in sommità e soggetto a carichi concentrati alla base: per ulteriori informazioni si faccia riferimento alla figura riportata di seguito. Grazie alla simmetria del problema, è stato possibile ridurre il modello ad un quarto della struttura, applicando ovviamente adeguati vincoli ai nodi posti in corrispondenza dei lati sezionati raggio r = 0.10 m spessore t = 0.04 m angolo foro σ = 18° mesh 64 (8x8) elementi Vincoli Per dare stabilità all’intero sistema, si è posto un unico vincolo in direzione verticale, al nodo posto in corrispondenza del punto medio del bordo alla base del guscio Carichi Concentrati su 4 nodi posti alla F=1N base del guscio Proprietà materiale Modulo elastico Risultati teorici 26 Spostamento in piano massimo nella direzione di applicazione del uY = 0.094 cm carico Coefficiente di Poisson E = 6.825x1011 N m2 ν= 0.3 26 R.H. MacNeal e R.C. Harder, “A proposed standard set of problems to test finite element accuracy”, Finite elements in analysis and design, n°1 (1985), pag. 3-20, North-Holland AMV srl 50 Valutazione spostamento LiFE uY = 0.093067 m AMV srl Errore % 0.99 MasterSap solutore precedente uY = 0.0924583 m Errore % 1.64 51 29 TRAVE INCASTRATA: VALUTAZIONE FREQUENZE Descrizione Geometria Vincoli Carichi Proprietà materiale Analisi Calcolo Elementi dinamica lineare trave Trave di sezione uniforme incastrata agli estremi e soggetta solo al proprio peso. Vengono valutate le prime cinque frequenze naturali lunghezza L = 1.00 m sezione quadrata di lato b = 0.01 m Incastrato agli estremi ρ = 10000 N Soggetto a carico uniforme Modulo elastico Coefficiente di Poisson m3 ⇒ w = 10000·0.012 = =1N E = 2.0·1011 N m2 ν = 0.3 fn = Risultati teorici 27 Prime 5 frequenze naturali m Kn 2π EIg wL Kn 22.4 61.7 121 200 299 fn 144.2 397.1 778.7 1287.1 1924.2 27 W.C. Young, R.G. Budynas “Roark’s formulas for stress and strain” (settima edizione), New York: McGraw-Hill, 2002, pag. 765 tabella 16.1 caso 2b AMV srl 52 Valutazione frequenza LiFE Errore % MasterSap Errore % f1 = 143.9 0.17 f1 = 143.9 0.17 f2 = 396.3 0.19 f2 = 396.3 0.19 f3 = 776.1 0.33 f3 = 776.1 0.33 f4 = 1280 0.55 f4 = 1280 0.55 f5 = 1911 0.68 f5 = 1911 0.68 AMV srl 53
© Copyright 2024 Paperzz
