Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica, dell’Informazione, Elettronica e Informatica Canale 2 (S. Amerio, L. Martucci) Padova, 05 aprile 2014 Soluzioni della prima prova di accertamento Fisica Generale 1 Problema 1 Due corpi di massa m1 = 1 kg e m2 = 2 kg sono collegati tramite un filo inestensibile e privo di massa come in figura. Il corpo m2 `e anche collegato ad una parete rigida tramite una molla di costante elastica k = 10 N/m. Il piano su cui poggia m2 `e liscio. Sul corpo m1 agisce, oltre alla forza peso, una forza F~ di modulo 10 N diretta verso il basso. 1. Il sistema `e inizialmente in equilibrio. Determinare tutte le forze agenti su m1 e m2 (modulo, direzione e verso) e l’allungamento della molla L. 2. All’istante t = 0 s la forza F~ cessa di agire. Determinare la legge oraria di m2 , supponendo che il filo rimanga in tensione. 3. Per quale valore massimo di F il filo rimane sempre in tensione? Soluzione: 1. Introduciamo il sistema di riferimento in figura con la base di versori ux , uy . Sul corpo m1 agiscono la forza F~ = −F uy = −10 N uy , la forza peso Fg1 = −m1 guy = −9.8 N uy e la tensione T~1 = T1 uy . Sul corpo m2 agiscono la forza elastica F~el = −kLux , la tensione ~ = N uy . Dato che il T~2 = T2 ux , la forza peso F~g,2 = −m2 guy e la reazione vincolare N filo `e ideale, T1 = T2 = T . Imponiamo le condizioni di equilibrio (T − m1 g − F )uy = 0, 1 ~ = 19.6 N uy , la (T − Fel )ux = 0, (N − m2 g)uy = 0. La reazione vincolare risulta N m1 g+F tensione T = m1 g + F = 19.8 N, l’allungamento della molla L = = 1.98 m e infine k ~ la forza elastica Fel = −19.8 N ux . 2. Possiamo scrivere ~a1 = a ux e ~a2 = −a uy , usando sistema di riferimento in figura. Per i due corpi valgono le equazioni T − m1 g = −m1 a , T − kx2 = m2 a avendo scelto x2 = 0 cm come posizione di riposo della molla. L’accelerazione `e a≡ d2 m1 g m1 g k d2 x2 ≡ (x2 − (x2 − )=− ) 2 2 dt dt k m1 + m2 k la cui soluzione `e x2 (t) = dove ω = ottiene q k m1 +m2 . m1 g + A sin(ωt + φ) k Imponendo le condizioni iniziali x2 (0) = L = x2 (t) = m1 g+F k e v2 (0) = 0 si m1 g F + cos ωt = [0.98 + cos(1.8t s−1 )] m k k 3. Il massimo valore della forza Fmax per cui il filo resta teso `e quello per cui si annulla la tensione T nel punto di massima compressione. La tensione in funzione di x2 `e data da min = 1 (m g − F ), si ottiene 1 T = m1m+m (kx2 + m2 g). Imponendo T (xmin 1 2 ) = 0, dove x2 k 2 Fmax = g(m1 + m2 ) Sostituendo i valori numerici otteniamo Fmax = 29.4 N. 2 Problema 2 Un corpo di massa m = 1 kg parte con velocit`a iniziale nulla dal punto A e scivola lungo un piano inclinato scabro (µd = 0.1, angolo di inclinazione rispetto all’orizzontale θ = 30◦ ). In fondo al piano inclinato il corpo prosegue lungo una guida circolare liscia di raggio R = 20 cm. 1. Determinare la velocit` a nel punto B se il punto A si trova ad una quota h = 40 cm 2. Determinare l’altezza h minima affinch`e il corpo arrivi in C 3. Determinare l’altezza h minima affinch`e il corpo arrivi in D 4. Il corpo viene poi riportato nel punto A lasciato nuovamente scivolare. Determinare la velocit` a nel punto B se il punto A si trova ad una quota h = 40 cm e il sistema `e montato su un vagone che si muove verso destra con accelerazione costante ~a = a0 ux = 3 m/s2 ux . Soluzione 1. Utilizziamo la formula Em,B − Em,A = Wad con Wad = −Fad h/ sin θ = −µd N h/ sin θ = 2 , ricaviamo −µd mgh cot θ. Poich´e Em,A = mgh e Em,B = 12 mvB vB = q 2gh(1 − µd cot θ) Sostituendo i valori numerici, otteniamo vB = 2.5 m/s. 2 + mgR, si ottiene 2. Utilizzando Em,C − Em,A = Wad , dove Em,C = 12 mvC h= 1 v2 R+ C 1 − µd cot θ 2g La condizione da imporre ´e vC ≥ 0 e quindi l’altezza minima corrisponde a vC = 0: hmin = R 1 − µd cot θ Sostituendo i valori numerici, otteniamo hmin = 24 cm. 3 3. Seguendo la stessa procedura utilizzata per il quesito 2, si ottiene h= 1 v2 2R + D 1 − µd cot θ 2g 2 /R ≥ g e quindi l’altezza minima ` La condizione da imporre `e ora vD e data da: hmin = 5R 2(1 − µd cot θ) Sostituendo i valori numerici si ottiene hmin = 60 cm. 4. Utilizziamo il sistema di riferimento non inerziale solidale con il vagone. Bisogna quindi tenere conto della forza di trascinamento F~t = −ma0 ux , alla quale si pu`o associare un’energia potenziale ma0 x, che si somma a quella della forza peso. Quindi Ep,B − Ep,A = mg(h+a0 cot θ). Il modulo della reazione vincolare e’ ora dato da N = m(g cos θ −a0 sin θ) e quindi il lavoro della forza d’attrito `e dato da Wad = µd mh(a0 − g cot θ). Proseguendo come per il quesito 1, otteniamo vB = q 2h[g(1 − µd cot θ) + a0 (µd + cot θ)] Sostituendo i numeri: vB ' 3.3 m/s. 4
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