Esercizi ed esempi numerici sul dimensionamento di sistemi in

Sistemi di Telecomunicazione
Esercizi ed esempi numerici - Sistemi in cavo / coppie simmetriche
Universita’ Politecnica delle Marche
A.A. 2014-2015
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Caratteristiche delle linee di trasmissione: esempi (*)
Esempio 1
Un cavo coassiale sottomarino si estende per un tratto lungo d = 3000 km.
I segnali inviati sul cavo sono da ritenersi a banda stretta rispetto alla portante utilizzata, fP = 2 MHz. L’attenuazione complessiva introdotta dal cavo e’
pari a AdB = 3733, 5 dB. Ricavare il valore della attenuazione nominale A0 che
caratterizza il cavo usato.
Trattandosi di una linea di trasmissione realizzata in coassiale, l’attenuazione in
dB dipende linearmente dalla lunghezza d della tratta considerata, e dalla radice
quadrata della frequenza portante intorno alla quale il segnale trasmesso viene
modulato. Si ha infatti:
AdB = A0,dB/km ·
p
fP · dkm
da cui l’espressione della attenuazione nominale (espressa in dB/km alla
frequenza di 1 MHz) diventa:
AdB
A0,dB/km = √
fP · dkm
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Caratteristiche delle linee di trasmissione: esempi (*)
Usando i valori forniti, si ottiene:
3733.5 ∼
A0,dB/km = √
= 0.88dB/km@1MHz
2 · 3000
Il valore cosi’ trovato per l’attenuazione nominale e’ effettivamente quello
caratterizzante i cavi coassiali utilizzati per collegamenti sottomarini.
Esempio 2
Un collegamento in cavo coassiale e’ caratterizzato da un’attenuazione nominale
A0 = 1 dB/km alla frequenza di 1 MHz, da una frequenza portante fP = 4 MHz,
e da un margine M = 10 dB. Calcolare il possibile increemento della lunghezza
d del collegamento, qualora si decidesse di operare in assenza di margine.
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Caratteristiche delle linee di trasmissione: esempi (*)
Operare in assenza di margine significa, per definizione, dimensionare il sistema
in modo da soddisfare esattamente le specifiche richieste. Inizialmente il collegamento in cavo presenta un margine non nullo, pari a M = 10 dB, che e’ possibile
utilizzare per estendere la lunghezza d della tratta in cavo. Infatti, rispetto alla
situazione iniziale, e’ possibile tollerare un’attenuazione addizionale pari proprio
al valore del margine. Ricordando la dipendenza dell’attenuazione disponibile
dalla lunghezza del collegamento, ovvero:
AdB = A0,dB/km ·
p
fP · dkm
si ottiene che l’incremento disponibile per d risulta essere:
10
√ = 5km
1· 4
Notiamo che l’effettiva lunghezza totale della tratta NON e’ nota. Osserviamo
anche che dimensionare un sistema senza margine significa che un qualunque
peggioramento aggiuntivo, a prescindere dalla causa che puo’ generarlo, fa si’
che il sistema non funzioni piu’ come dovrebbe, ovvero non riesca piu’ a soddisfare
le specifiche richieste dal progetto.
∆d =
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Caratteristiche delle linee di trasmissione: esempi (*)
Esempio 3
Un sistema di comunicazione e’ costituito da 2 tratte in cavo coassiale, lunghe
rispettivamente d1 = 8 km, e d2 = 6 km. Tra le due tratte e’ prevista la
presenza di un blocco amplificatore che andra’ opportunamente dimensionato. Le
tratte lavorano entrambe ad una frequenza fP = 15 MHz, ma hanno prestazioni
differenti riguardo all’attenuazione nominale introdotta. Infatti si ha: A0,1 = 1
dB/km@1MHz, e A0,2 = 2 dB/km@1MHz. Calcolare il guadagno minimo che
deve caratterizzare l’amplificatore se si vuole una potenza in uscita dalla seconda
tratta pari ad almeno WRmin = −40 dBm , avendo trasmesso WT = 10 mW
all’ingresso della prima tratta.
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Caratteristiche delle linee di trasmissione: esempi (*)
L’amplificatore viene introdotto tra le due tratte in cavo. La potenza in uscita
dalla prima tratta e’ percio’ fissata e determinata dal valore della potenza inizialmente trasmessa WT e dal valore della attenuazione A1 che caratterizza il primo
tratto di cavo coassiale. Usando i valori forniti, si ha:
A1 = A0,1 ·
p
fP · d1 ∼
= 31.2dB
In assenza dell’amplificatore, la potenza immessa nella seconda tratta coincide
con quella ricevuta all’uscita della prima:
WT 2 = WR,1 = WT − A1 = 10 − 31.2 = −21.2dBm
La seconda tratta introduce, a sua volta, una attenuazione A2 pari a:
p
A2 = A0,2 · fP · d2 ∼
= 46.5dB
Prima di inserire l’amplificatore, quindi, la potenza ricevuta all’uscita della
seconda tratta sarebbe pari a:
WR = −21.2dBm − 46.5 = −67.7dBm
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Caratteristiche delle linee di trasmissione: esempi (*)
La specifica di progetto richiede invece che sia WRmin = −40 dBm :
WR,min = WT 2,min − A2
ovvero, dovremmo avere una potenza in ingresso alla seconda tratta pari a:
WT 2,min = A2 + WR,min = 6.5dBm
Il guadagno minimo dell’amplificatore da inserire tra le due tratte risulta pari alla
differenza tra la potenza richiesta dalle specifiche di progetto all’ingresso della
seconda tratta (WT 2,min ), e quella effettivamente presente quando l’amplificatore
non e’ introdotto (WT 2 ), ovvero:
Gmin = WT 2,min − WT 2 = 6.5dBm − (−21.2dBm ) = 27.7dB
Si osservi che, in scala lineare, il guadagno sarebbe dato dal rapporto tra le due
quantita’ (e infatti esso e’ una grandezza adimensionale e si valuta in dB).
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Dimensionamento di tratta
I Dimensionamento di tratta per trasmissioni analogiche: un sistema di
trasmissione analogico che impiega una linea in rame o un cavo coassiale collega
una sorgente di segnale al suo utilizzatore, mediante una o piu’ tratte del tipo
illustrato in figura:
I Si intende per dimensionamento di tratta la determinazione delle caratteristiche
dell’amplificatore di uscita o la massima lunghezza della linea, al fine di
realizzare un determinato valore del rapporto segnale/rumore
I Estensione al caso di piu’ tratte: se la lunghezza L del collegamento e’ tanto
elevata che non e’ possibile superarla con un’unica tratta, e’ necessario ricorrere
all’impiego di piu’ tratte, diciamo N, ciascuna di lunghezza d = L/N. Sara’
esaminato il solo caso analogico, sebbene oramai in disuso.
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Dimensionamento di tratta per trasmissioni analogiche
I Si tiene conto del solo rumore termico - e non anche del rumore
d’intermodulazione dovuto alle non-linearita’ dell’amplificatore - e del fatto che il
mezzo trasmissivo si trova in ogni caso a temperatura ambiente, per cui:
η0 /2 = RFKT0
I si puo’ applicare l’equazione:
SNR =
WT
1
WU
=
·
WN
FKT0 · 2w a(d)
che scritta in forma logaritmica diventa:
SNRdB = WT ,dBm − adB (d) + 174 − FdB − 10log10 2wHz , dove:
I
I
I
I
I
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WT ,dBm : potenza introdotta nella linea, in dBm
wHz banda del segnale da trasmettere, in Hz
FdB : fattore di rumore del ricevitore
adB (d): attenuazione equivalente della linea in dB
KT0 = −174 dBm /Hz
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Dimensionamento di tratta per trasmissioni analogiche
Attenuazione equivalente a(d) in funzione di x:
ricordando che, nel caso di equalizzazione al TX e al RX: a(d)min ∼
=
√
A0
e che x = 4.34 dKm wMHz
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16·e x
x2
,
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Dimensionamento di tratta per trasmissioni analogiche:
esempi
Esempio 1
Si calcoli la massima lunghezza di tratta per il seguente sistema:
I Potenza trasmessa: 1 W
I Fattore di rumore: 5 dB
I Banda del segnale: 10 MHz
I Rapporto segnale rumore richiesto: 40 dB
I A0 = 5.3 dB/Km @ 1 MHz
Risulta che deve essere verificata la condizione:
a(d) = 30 − 40 + 174 − 5 − 73 = 86dB
dal grafico si ricava: x ∼
= 26, da cui: d ∼
= 6.73 Km
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Dimensionamento di tratta per trasmissioni analogiche:
esempi
Esempio 2
Si calcoli la potenza trasmessa per il seguente sistema:
I Lunghezza di tratta: 10 Km
I Fattore di rumore: 5 dB
I Banda del segnale: 10 MHz
I Rapporto segnale rumore richiesto: 50 dB
I A0 = 5.3 dB/Km @ 1 MHz
Dalla equazione:
x=
A0
√
dKm wMHz
4.34
x
∼ 148 dB. La potenza
ottengo: x = 38.6, cui corrisponde: a(d) = 10log10 16e
=
x2
trasmessa in tale condizione risulta, pertanto: WT ,dBm = 50 + 148 − 174 + 5 + 73 = 102
dBm , ovvero circa 10 MW!!!
Poiche’ non e’ possibile realizzare questa potenza di emissione, si puo’ procedere in due
modi: usare piu’ tratte, oppure impiegare un cavo a minore attenuazione kilometrica,
ad esempio avente A0 = 2.3 dB/Km @ 1 MHz. In tal caso risulta a(d) ∼
= 60 dB, ovvero:
WT = 14 dBm (25.11 mW).
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Dimensionamento di tratta per trasmissioni analogiche:
esempi
Esempio 3 - I
Si desidera effettuare una trasmissione FDM di 120 canali telefonici in modulazione AMBLU, su un cavo coassiale, nella banda di frequenze 1 ÷ 1.48 MHz. Desiderando una
potenza ricevuta per ogni canale di almeno 1 mW, e disponendo di un trasmettitore in
grado di erogare 10 W, determinare la massima lunghezza del collegamento, ipotizzando
siano verificate le condizioni di adattamento agli estremi del cavo, e una attenuazione
kilometrica A0 = 5.3 dB/Km @ 1MHz. Di quanto dovrebbe aumentare la potenza
trasmessa WdT per raddoppiare la lunghezza della tratta?
Supponendo i canali tutti contemporaneamente attivi, la potenza trasmessa per ciascuno
di essi risulta pari a:
(i)
WT =
10
= 83.3mW , i = 1, . . . , 120
120
Il canale che subira’ la massima attenuazione sara’ quello con portante a frequenza piu’
elevata, per il quale risulta:
p
(120)
Ad
= A0 fMHz dB/Km
ovvero
(120)
Ad
= 5.3 ·
√
1.48 = 5.3 · 1.22 = 6.46dB/Km
(non conoscendo la lunghezza della tratta, d, lavoro su grandezze normalizzate, definite
per unita’ di lunghezza della tratta in questione).
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Dimensionamento di tratta per trasmissioni analogiche:
esempi
Esempio 3 - II
Per questo canale, il guadagno disponibile e’ dato da:
(120)
(120)
Gd
= 10log10
WT
WR,min
= 10log10
83.3mW
= 19.2dB
1mW
L’attenuazione subita da questo canale lungo la tratta di lunghezza d non deve superare
il guadagno disponibile, ovvero deve essere soddisfatta la condizione:
(120)
Ad
(120)
· d ≤ Gd
da cui, imponendo l’uguaglianza, si ottiene:
(120)
d=
Gd
(120)
Ad
=
19.2
= 2.97Km
6.46
Quindi, la lunghezza massima della tratta e’ imposta dal canale maggiormente
attenuato.
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Dimensionamento di tratta per trasmissioni analogiche:
esempi
Esempio 3 - III
A parita’ di d, la situazione del primo canale, a frequenza 1 MHz, e’ data da:
p
√
(1)
Ad = A0 · d fMHz = 5.3 · 2.97 · 1 = 15.74dB
Il margine di sistema per il primo canale puo’ essere definito come:
(1)
M = Gd − Ad = 19.2 − 15.74 = 3.46dB
essendo Gd uguale per tutti i canali.
(120)
Supponendo di voler raddoppiare la lunghezza della tratta, se cio’ accade anche Ad
raddoppia, e per mantenere il requisito WR,min = 1mW dobbiamo raddoppiare anche
Gd (in dB). La nuova potenza trasmessa, per canale, sara’:
0(i)
WT
0(i)
da cui: WT
= 10
= WR,min + Gd0 = 0dBm + [(19.2 · 2)]dB = 38.4dBm
38.4
10
= 6.9 W/canale.
0(i)
Ovvero risulta complessivamente: WT0 = n · WT
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= 120 · 6.9 = 830 W.
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Dimensionamento di tratta per trasmissioni analogiche:
caso a piu’ tratte
Sistemi multi-tratta analogici
Se la lunghezza L del collegamento e’ molto elevata da non poter essere coperta con
un’unica tratta, e’ necessario ricorrere a piu’ tratte, diciamo n, ciascuna di lunghezza
d = L/n. Nel caso analogico, all’ingresso di ogni tratta e’ presente lo stesso segnale utile
s(t), avendo ipotizzato una equalizzazione di tratta ideale. Cio’ fa si che il disturbo in
uscita sia la somma di tutti i disturbi introdotti da ciascuna tratta. Nel caso del rumore
termico, i vari contributi sono indipendenti tra loro per cui la potenza complessiva del
rumore e’ pari alla somma delle singole potenze di rumore termico.
Quindi, il rapporto segnale rumore complessivo all’uscita dell’ultima tratta, ovvero del
collegamento, e’ dato da:
PS
SNRL =
n · PN
dove PS e’ la potenza di segnale utile, e PN la potenza di rumore su singola tratta.
Ovvero: (SNRL )dB = (SNRd )dB − 10log10 n, essendo (SNRd )dB il rapporto segnale
rumore sulla singola tratta, dato da: (SNRd )dB = (SNRL )dB + 10log10 n. Quindi, per
dimensionare correttamente il collegamento, ogni tratta mi deve garantire un valore di
10log10 n dB superiore al SNR desiderato in uscita dal collegamento.
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Dimensionamento di tratta per trasmissioni analogiche:
caso a piu’ tratte
Esempio 4
Riprendendo l’Esempio 2, determinare il numero di tratte di lunghezza 3 Km necessarie
affinche’ i requisiti di sistema possano essere soddisfatti con una potenza in trasmissione
di 20 dBm , per A0 = 5.3 dB/Km @ 1 MHz.
Se WT = 20 dBm , all’uscita di ogni tratta risulta:
(SNRd )dB = WT ,dBm − a(d)dB + 174dBm /Hz − FdB − 10log10 2wHz
Sapendo che: (SNRd )dB = (SNRL )dB + 10log10 n, dove (SNRL )dB = 50 dB, come
richiesto dal problema, avremo: 10log10 n = (SNRd )dB − (SNRL )dB .
Sulla singola tratta di 3 Km abbiamo:
x=
√
5.3
3 · 10 = 11.58
4.34
da cui risulta a(d) ∼
= 41 dB. Sostituendo nella equazione precedente, ricaviamo:
(SNRd )dB = 20 − 41 + 174 − 5 − 73 = 75 dB.
Sfruttando la relazione valida nel caso multi-tratta, otteniamo: 10log10 n = (SNRd )dB −
(SNRL )dB = 75 − 50 = 25 dB, da cui si ricava n = 317 tratte. Si tratta di un numero
molto grande, che corrisponde ad un collegamento di circa 1000 Km complessivi di
lunghezza. Puo’ essere di interesse valutare cosa accade cambiando cavo, in modo tale
che si abbia A0 = 2.3 dB/Km @ 1MHz.
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Riferimenti
(*) Esempi tratti dal libro Comunicazioni elettriche. Esercizi e temi
d’esame, di M. Gabriella Di Benedetto et al., Pearson Education,
2007.
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