I QUADRILATERI

I QUADRILATERI
Il quadrilatero è un poligono formato da quattro angoli e da quattro lati.
Al contrario del triangolo è una figura deformabile, infatti i quadrilateri possono essere intercambiabili fra loro variandone
le proprietà fondamentali.
Il quadrilatero è caratterizzato dalle seguenti PROPRIETA’:
1. TEOREMA DELLA FORMA - il quadrilatero è una figura deformabile, aumentando la simmetria interna si ottengono
tutti i quadrilateri conosciuti;
2. TEOREMA DELLE DIAGONALI - il quadrilatero ha due diagonali;
dtot = n(n − 3) : 2 = 4(4 − 3) : 2 = 2
3. TEOREMA DEGLI ANGOLI INTERNI E ESTERNI - la somma degli angoli interni di un quadrilatero è uguale a quella degli
angoli esterni, cioè uguale a un angolo giro, ossia 360°;
SI = (n − 2) ⋅180° = (4 − 2) ⋅180° = 360°
SE = 360°
1.
IL TRAPEZIO
E’ un quadrilatero con 2 lati paralleli.
Le caratteristiche sono:
•
•
•
•
AH = proiezione del lato obliquo
2 lati paralleli differenti tra loro (sono detti BASI e si distinguono in maggiore e minore)
2 lati non paralleli differenti tra loro (sono detti LATI OBLIQUI)
2 diagonali differenti tra loro e non perpendicolari
4 angoli differenti tra loro
TEOREMA DEGLI ANGOLI INTERNI DEI TRAPEZI: i due angoli adiacenti allo stesso lato obliquo sono supplementari.
Aˆ + Dˆ = Bˆ + Cˆ = 180°
Classificazione: la maggiore simmetria crea una classificazione:
trapezio RETTANGOLO
trapezio ISOSCELE
- un lato è perpendicolare alle basi
(AD)
- i lati obliqui sono congruenti (AC = BD)
- le diagonali sono congruenti (AD = BC)
- gli angoli adiacenti a ciascuna base sono congruenti
(A = B) e (D = C)
- le proiezioni dei lati obliqui sono congruenti (AH=KB)
Le formule di calcolo sono particolari per il TRAPEZIO RETTANGOLO:
P = B+b+l +h
b = B − AH
B = b + AH
AH = B − b
Le formule di calcolo sono particolari per il TRAPEZIO ISOSCELE:
l=
P = B + b + 2l
b = B − 2AH
B = b + 2AH
P − ( B + b)
2
AH =
B−b
2
PROBLEMI CON IL PERIMETRO DEI TRAPEZI
ES1 : Un trapezio isoscele ha il perimetro di 72 cm e il lati obliqui che misurano ciascuno 12 cm. Sapendo che la base
maggiore è 5 della minore, calcola la misura delle proiezioni dei lati obliqui sulla base maggiore.
3
DISEGNO
DATI
PABCD = 72 cm
AD = BC = 12 cm
AB = 5 CD
3
RISOLVO
AB + CD = P – 2AD = 72 – (12 + 12) = 48 cm
n° seg = 5 + 3 = 8 seg
SU = (AB + CD) : n° seg = 48 : 8 = 6 cm
AB = SU • 5 = 6 • 5 = 30 cm
CD = SU • 3 = 6 • 3 = 18 cm
INC
AH = B − b = 30 −18 = 6 cm
2
2
? AH = KB
ES2 : Un trapezio rettangolo ha il perimetro di 50 cm e il lato obliquo che misura 20 cm. Sapendo che la base maggiore
supera la minore di 8 cm e che una è 1 dell’altra, calcola l’altezza del trapezio.
3
DISEGNO
DATI
PABCD = 50 cm
BC = 20 cm
AB – CD = 8 cm
CD = 1 AB
3
INC
RISOLVO
n° seg = 3 – 1 = 2 seg
SU = (AB – CD) : n° seg = 8 : 2 = 4 cm
AB = SU • 3 = 4 • 3 = 12 cm
CD = SU • 1 = 4 • 1 = 4 cm
AD = P – (AB + BC + CD) = 50 – (12 + 8 + 4) = 14 cm
? AD
PROBLEMI CON GLI ANGOLI INTERNI DEI TRAPEZI
ES3: Calcola la misura degli angoli di un trapezio isoscele sapendo che gli angoli adiacenti allo stesso lato obliquo sono
uno i 5 dell’altro.
3
DISEGNO
DATI
A + D = B + C = 180°
D = 5A
3
INC
? A; D
RISOLVO
A + D = 180°
n° seg = 5 + 3 = 8 seg
SU = (A + D) : n° seg = 180 : 8 = 22° 30’
A = SU • 5 = 22° 30’ • 5 = 112° 30’
D = SU • 3 = 22° 30’ • 3 = 67° 30’
2.
IL PARALLELOGRAMMA
E’ un quadrilatero con i lati opposti uguali e paralleli.
Le caratteristiche sono:
•
•
•
•
DH = altezza del lato AB
DK = altezza del lato BC
2 lati paralleli uguali dette BASI
altri 2 lati paralleli uguali tra loro sono detti LATI OBLIQUI
2 diagonali differenti tra loro e non perpendicolari
angoli opposti uguali
TEOREMA DEGLI ANGOLI INTERNI DEI PARALLELOGRAMMI: i due angoli adiacenti allo stesso lato sono supplementari.
Aˆ + Dˆ = Dˆ + Cˆ = Bˆ + Cˆ = Aˆ + Bˆ = 180°
Le formule di calcolo sono:
P = (b + l)⋅ 2
b=
P
−l
2
l=
P
−b
2
PROBLEMI CON IL PERIMETRO DEI PARALLELOGRAMMI
ES1 : Un parallelogramma ha il perimetro di 96 cm. Sapendo che il lato obliquo misura 15 cm, calcola la misura della base.
DISEGNO
DATI
RISOLVO
PABCD = 96 cm
BC = 15 cm
AB
=
P
96
−l =
−15
2
2
= 33 cm
INC
? AB
ES2 : Un parallelogramma ha il perimetro di 96 cm. Sapendo che un lato è 5 del suo consecutivo, calcola la misura dei lati del
3
parallelogramma.
DISEGNO
DATI
PABCD = 96 cm
AB = 5 BC
3
RISOLVO
AB + BC = P: 2 = 96 : 2 = 48 cm
n° seg = 5 + 3 = 8 seg
SU = (AB + BC) : n° seg = 48 : 8 = 6 cm
AB = SU • 5 = 6 • 5 = 30 cm
CD = SU • 3 = 6 • 3 = 18 cm
INC
? AB
? BC
PROBLEMI CON GLI ANGOLI INTERNI DEI PARALLELOGRAMMI
ES2 : Calcola la misura degli angoli interni di un parallelogramma sapendo che gli angoli adiacenti allo stesso lato obliquo sono uno i
2 dell’altro.
7
DISEGNO
DATI
A + B = 180°
A= 2 B
7
INC
?A=C
?B=D
RISOLVO
A + B = 180°
n° seg = 2 + 7 = 9 seg
SU = (A + D) : n° seg = 180 : 9 = 20°
A = SU • 2 = 20° • 2 = 40°
B = SU • 7 = 20° • 7 = 140°
3.
IL RETTANGOLO
E’ un quadrilatero con i lati opposti uguali e paralleli.
I lati consecutivi sono perpendicolari
Le caratteristiche sono:
•
•
•
•
2 lati paralleli e uguali che sono detti BASI
2 lati paralleli e uguali che sono dette ALTEZZE
2 diagonali uguali tra loro e non perpendicolari che si dividono a metà a vicenda formando 4 segmenti uguali
4 angoli uguali di 90°
Le formule di calcolo sono:
P = (b + h)⋅ 2
b=
P
−h
2
h=
P
−b
2
PROBLEMI CON IL PERIMETRO DEI RETTANGOLI
ES1: Un rettangolo ha il perimetro di 55 cm. Sapendo che la base misura 21 cm, calcola la misura dell’altezza del
rettangolo.
DISEGNO
DATI
RISOLVO
PABCD = 55 cm
CD = 21 cm
BD
=
P
55
− b = − 21
2
2
= 6,5 cm
INC
? BD
ES2: Un rettangolo ha il perimetro di 36 cm. Sapendo che la base è 5 dell’altezza, calcola la misura dei lati del
7
rettangolo.
DISEGNO
DATI
PABCD = 36 cm
CD = 5 BD
7
RISOLVO
CD + BD = P: 2 = 36 : 2 = 18 cm
n° seg = 5 + 7 = 12 seg
SU = (CD + BD) : n° seg = 18 : 12 = 1,5 cm
CD = SU • 5 = 1,5 • 5 = 7,5 cm
BD = SU • 7 = 1,5 • 3 = 10,5 cm
INC
? AB
? BC
ES3 : Un rettangolo ha il perimetro di 112 cm. Sapendo che la differenza della base e dell’altezza misura 35 cm, calcola le
dimensioni del rettangolo.
DISEGNO
DATI
RISOLVO
PABCD = 112 cm
CD + BD = P : 2 = 112 : 2 = 56 cm
CD - BD = 35 cm
BD =
S − D 56 − 35
=
=
2
2
CD =
S − BD = 56 −10, 5 =
INC
? CD
? BD
10,5 cm
45,5 cm
4.
IL ROMBO
E’ un quadrilatero equilatero con gli angoli opposti uguali.
Le caratteristiche sono:
•
•
•
4 lati uguali e a due a due paralleli
2 diagonali differenti, ma perpendicolari che si dividono a metà a vicenda
gli angoli opposti uguali
Le formule di calcolo sono:
P =l⋅4
l=
P
4
TEOREMA DEGLI ANGOLI INTERNI DEI PARALLELOGRAMMI: i due angoli adiacenti allo stesso lato sono supplementari.
Aˆ + Dˆ = Dˆ + Cˆ = Bˆ + Cˆ = Aˆ + Bˆ = 180°
TEOREMA DELLA DIAGONALE MINORE: se gli angoli tagliati dalla diagonale maggiore sono di 60° ciascuno, allora la
diagonale minore è congruente al lato
TEOREMA DELL’ALTEZZA: se il rombo è considerato un parallelogramma allora avrà l’altezza perpendicolare al lato.
PROBLEMI CON GLI ANGOLI INTERNI DEI ROMBI
ES1: Calcola la misura degli angoli interni di un rombo sapendo che gli angoli adiacenti allo stesso lato sono uno i 2
7
dell’altro.
DISEGNO
DATI
A + B = 180°
A= 2 B
7
INC
?A=C
?B=D
RISOLVO
A + B = 180°
n° seg = 2 + 7 = 9 seg
SU = (A + D) : n° seg = 180 : 9 = 20°
A = SU • 2 = 20° • 2 = 40°
B = SU • 7 = 20° • 7 = 140°
ES2: Calcola la misura del perimetro di un rombo avente gli angoli minori da 60° ciascuno e sapendo che la somma della
diagonale maggiore con la diagonale minore è 54 cm e una è 2 dell’altra.
3
DISEGNO
DATI
AC + BD = 54 cm
BD = 2 AC
3
INC
? PABCD
RISOLVO
CD = BD
n° seg = 2 + 3 = 5 seg
SU = (AC + BD) : n° seg = 54 : 5 = 10,8 cm
BD = SU • 2 = 10,8 • 2 = 21,6 cm
AC = SU • 3 = 10,8 • 3 = 32,4 cm
PABCD = P = l ⋅ 4 = 10,8 • 4 = 86,4 cm
5.
IL QUADRATO
E’ un quadrilatero equilatero ed equiangolo
Le caratteristiche sono:
•
•
•
4 lati uguali e quelli opposti paralleli
2 diagonali uguali tra loro e perpendicolari che si dividono a metà a vicenda e formano 4 segmenti uguali
4 angoli uguali di 90°
Le formule di calcolo sono:
P =l⋅4
l=
P
4

Download Report