φ - INFN

Interazioni Elettrodeboli
y prof. Francesco Ragusa
y Università di Milano
Lezione n. 8
22.10.2014
Simmetrie e leggi di conservazione:
Teorema di Noether
Il campo scalare complesso
y anno accademico 2014-2015
Calcolo dell’Hamiltoniana
y Per continuare a fare pratica con gli operatori di campo e le regole di
commutazione possiamo esprimere l’Hamiltoniana in funzione degli operatori
di creazione e distruzione per il campo di Klein-Gordon reale
H ( π, φ, ∂ μ φ ) = πφ − L ( φ, ∂ μ φ )
L=
1
2
[ ∂ μφ∂ μφ − m 2φφ ]
H = φφ − 21 ∂ μφ∂ μφ + 21 m 2φφ = 21 ⎡⎣ φφ + ∇φ∇φ + m 2φφ ⎤⎦
H =
1
φ x =
( 2π )3
(
)
1
∇φ ( x ) =
( 2π )3
1
φ (x ) =
( 2π )3
1
2
∫
H =
∫
Hd 3 r
π=
∂L
∂φ
⎡ φφ + ∇φ∇φ + m 2φφ ⎤ d 3 r
⎣
⎦
∫
d 3 k ⎡ −ik ⋅x
† +ik ⋅x ⎤
+
a
e
a
e
k
k
⎦
2ω ⎣
∫
d 3 k ⎡ −ik ⋅x
− a k†e +ik ⋅x ⎤⎦
ik ⎣ a ke
2ω
∫
d 3k
( −i ω ) ⎡ a ke −ik ⋅x − a k†e +ik ⋅x ⎤
⎣
⎦
2ω
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa
182
Calcolo dell’Hamiltoniana
y Cominciamo con il pezzo più complicato (poco più complicato)
∫
=
1
( 2π )6
∫ ∫
d 3k
d 3k′
∫
∇φ ( x ) ∇φ ( x ) d 3 r
ik ⎡ −ik ⋅x
† +ik ⋅x ⎤ ik ′ ⎡
† +ik ′⋅x ⎤ 3
−ik ′⋅x
−
−
a
e
a
e
a
e
a
e
′
k
k
k
k′
⎦ 2ω ′ ⎣⎢
⎦⎥ d r
2ω ⎣
a ke −ik
y Per semplicità definiamo
0
t
≡ a k,t
a k†e +ik
0
t
≡ a k†,t
−kk ′ ⎡
† −ik ⋅ r ⎤ ⎡
†
+ik ⋅ r
+ik ′⋅ r
−ik ′⋅ r ⎤ 3
a
e
a
e
a
e
a
e
−
−
′
,
k
t
,
k
t
,
k
t
′
⎢
⎥⎦ d r
k ,t
⎣
⎦
⎣
′
2 ω 2ω
+ik ⋅ r +ik ′⋅ r
( 2π )3 δ ( k + k ′ )
e
e
∼
y Con i diversi prodotti compaiono due tipi di δ
y Il termine −kk′ assume valori diversi
e +ik⋅ re −ik ′⋅ r ∼ ( 2π )3 δ ( k − k ′ )
δ ( k + k ′ ) → −kk ′ = k2 δ ( k − k ′ ) → −kk ′ = −k2
=
1
( 2π )6
∫
∫ ∫
d 3k
d 3k′
∫
1
∇φ ( x ) ∇φ ( x )d r =
( 2π )3
3
∫
k2 ⎡
†
†
† †
⎤
+
+
+
d k
a
a
a
a
a
a
a
,
,
,
,
k
t
−
k
t
k
t
k
t
,
,
,t a−k,t ⎦
k
t
k
t
k
⎣
2ω
3
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa
183
Calcolo dell’Hamiltoniana
y Veniamo al termine contenente il momento coniugato
∫
=
1
( 2π )6
∫ ∫
d 3k
d 3k′
∫
φ ( x ) φ ( x )d 3 r
i ω ⎡ −ik ⋅x
† +ik ⋅x ⎤ i ω ′ ⎡
† +ik ′⋅x ⎤ 3
−ik ′⋅x
−
−
a
e
a
e
a
e
a
e
′
k
k
k
k′
⎦ 2ω ′ ⎣⎢
⎦⎥ d r
2ω ⎣
y Questo integrale è quasi identico a quello precedente
y La differenza risiede nel fatto che il termine −ωω′ ha sempre lo stesso
segno
†
y I termini con a ka−k e a k† a−
k compaiono con segno opposto rispetto
al caso precedente (segno negativo)
∫
1
φ x φ x d r=
( 2π )3
(
)
(
)
3
∫
ω2 ⎡
†
†
† †
⎤
−
+
+
−
d k
a
a
a
a
a
a
a
,
,
,
,
k
t
−
k
t
k
t
k
t
,
,
,t a−k,t ⎦
k
t
k
t
k
⎣
2ω
3
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa
184
Calcolo dell’Hamiltoniana
y Per finire il termine che contiene il quadrato del campo
m2
m2
=
( 2π )6
∫
d 3k
∫
d 3k′
∫
∫
φ ( x ) φ ( x )d 3 r
1 ⎡ −ik ⋅x
1 ⎡
† +ik ⋅x ⎤
† +ik ′⋅x ⎤ 3
−ik ′⋅x
+
+
a
e
a
e
a
e
a
e
′
k
k
k
k′
⎦ 2ω ′ ⎣⎢
⎦⎥ d r
2ω ⎣
y Otteniamo un risultato molto simile al primo
y Tutti i prodotti hanno segno positivo
m
2
∫
1
φ ( x ) φ ( x )d r =
( 2π )3
3
∫
m2 ⎡
†
†
†
†
⎤
+
+
+
d k
a
a
a
a
a
a
a
a
,
,
,
,
k
t
−
k
t
k
t
k
t
,
,
,
k
t
k
t
k
t
−
k,t ⎦
⎣
2ω
3
y Sommiamo i tre integrali e moltiplichiamo per ½
†
y I termini con a ka−k e a k† a−
k avranno un
k2 + m 2 − E 2 = 0
coefficiente ( ricordiamo E = ω )
y I termini rimanenti avranno un coefficiente
H =
∫
1 1
Hd r =
( 2π )3 2
3
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa
∫
k2 + m 2 + E 2 = 2E 2
2E k2 ⎡
d k
a k,t a k†,t + a k†,t a k,t ⎤⎦
⎣
2ω
3
185
Calcolo dell’Hamiltoniana
y Notiamo infine che
a ke −ik
0
t
≡ a k,t
a k†e +ik
0
t
≡ a k†,t
H =
1
( 2π )3
a k,t a k†,t = a ka k†
∫
d 3 kE k
a k†,t a k,t = a k†a k
1⎡
†
†
a
a
+
a
a k ⎤⎦
k
k
k
⎣
2
y Il risultato che abbiamo trovato è molto simile a quanto avevamo trovato
intuitivamente (diapositiva1274
171 )
y Trasformiamo ulteriormente l’espressione trovata usando le regole di
commutazione degli operatori di creazione e distruzione
⎡ a k , a k† ⎤ = 1 → a ka k† = 1 + a k†a k
⎣
⎦
H =
1
( 2π )3
∫
1⎤
⎡
d 3 kE k ⎢ a k†a k + ⎥
2⎦
⎣
y L’Hamiltoniana è la somma delle energie dei singoli oscillatori
y Il termine ½Ek è legato all’energia del vuoto nell’oscillatore
y Nel caso di un campo porta ad un contributo divergente
y Viene eliminato imponendo che i campi abbiano un ordinamento normale
y In un prodotto normale ( :AB: ) gli operatori di distruzione stanno a destra
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa
186
Digressione
y Il calcolo appena fatto, benché concettualmente
semplice, è un po’ laborioso
y Una complicazione deriva dagli integrali del tipo
1
( 2π )3
∫
e +ip ⋅x e +ik ⋅x
2p 0 2k 0
e +ip ⋅x e −ik ⋅x
d 3r
y Infatti, a differenza degli integrali con il segno
1
d 3r
negativo nell’esponente che contiene k⋅x, questi
3
( 2π )
2p 0 2k 0
contribuiscono con fattore un po’ più complicato
y Conviene definire una procedura standard che consenta di semplificare i calcoli
y Innanzitutto alcune notazioni
∫
uk ( x ) ≡
y Inoltre
e −ik ⋅x
k 0 = + k2 + m 2
2k 0
k ⋅ x = k 0t − k ⋅ r
f1∂ μ f2 ≡ f1 ( ∂ μ f2 ) − ( ∂ μ f1 ) f2
y Si può verificare che le funzioni uk(x) oltre alla relazione standard
∫
u k∗
(
x u k′
)
(
d 3r
1
x
δ ( k − k′ )
=
( 2π )3
2k 0
)
y Soddisfano alle seguenti ulteriori regole di ortogonalità generalizzata
∫
∫
u k∗ ( x ) i ∂ 0u k′ ( x )
d 3r
= δ(k − k ')
( 2π )3
u k ( x ) i ∂ 0u k′ ( x )
d 3r
=0
( 2π )3
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa
∫
∫
u k ( x ) i ∂ 0u k∗′ ( x )
d 3r
= −δ ( k − k ' )
( 2π )3
u k∗ ( x ) i ∂ 0u k∗′ ( x )
d 3r
=0
( 2π )3
187
Digressione
y Tramite le funzioni uk le espansioni dei campi diventano
φ (x ) =
1
( 2π )3
∫
d 3 k ⎡⎣ a ku k ( x ) + a k†u k∗ ( x ) ⎤⎦
π (x ) =
1
( 2π )3
∫ d k ( −ik
3
0
) ⎡⎣ a ku k ( x ) − a k†u k∗ ( x ) ⎤⎦
y L’inversione delle formule si esprime in modo più semplice
∫
=
∫
∫
=−
∫
ap =
u p∗ ( x ) ( p 0φ ( x ) + i π ( x ) )d 3 r
ap =
a p†
up ( x ) ( p 0φ ( x ) − i π ( x ) )d 3 r
a p†
up∗ ( x ) i∂ 0φ ( x )d 3 r
u p ( x ) i ∂ 0φ ( x ) d 3 r
y Come esempio, diventa relativamente facile il calcolo del commutatore ⎡⎣ a p , a k ⎤⎦
†
⎡
⎡ a p , a k† ⎤ = ⎢
⎣
⎦
⎢⎣
⎤
u k ( x ′ ) ( k 0φ ( x ′ ) − i π ( x ′ ) )d 3 r ′ ⎥
⎥⎦
⎡ π ( r ), φ ( r ′ ) ⎤ = −iδ 3 ( r − r ′ )
y Sono diversi da zero solo ⎡⎣ φ ( r ), π ( r ′ ) ⎤⎦ = iδ 3 ( r − r ′ )
⎣
⎦
∫
u p∗ ( x ) ( p 0φ ( x ) + i π ( x ) )d 3 r,
y Otteniamo pertanto
=
∫
u p∗ ( x )d 3 r
= (p + k
0
0
)
∫
∫
u p∗
∫
∫
u k∗ ( x ) u k′ ( x )
d 3r
1
δ ( k − k′ )
3 =
( 2π )
2k 0
u k ( x ′ )d 3 r ′ ( −ip 0i δ ( r − r ′ ) − ik 0i δ ( r − r ′ ) )
2p 0
( x ) u ( x ) d r = ( 2π )
(
)3 δ ( p − k )
(
)
k
0 δ p − k = 2π
2p
3
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa
3
188
Digressione
y Anche il calcolo dell’Hamiltoniana in funzione degli operatori di creazione e
distruzione diventa più semplice
⎡ φφ + ∇φ∇φ + m 2φφ ⎤ d 3 r
H = 21
⎢⎣
⎥⎦
Teorema di Gauss
y Innanzitutto notiamo che
∫
∫
∇φ∇φ = ∇ ⋅ ( φ∇φ ) − φ∇2φ
y Inoltre, per l’equazione di KG φ − ∇2φ + m 2φ = 0
y Pertanto l’Hamiltoniana si semplifica in
⎡ φφ − φφ ⎤ d 3 r =
⎢⎣
⎥⎦
y Introducendo le rappresentazioni
H =
1
( 2π )3
∫
H =
1 1
2 ( 2 π )6
φ (x ) =
1
2
∫
d 3 k ⎡⎣ a ku k ( x ) + a k†u k∗ ( x ) ⎤⎦
∫
∫
∇ ⋅ ( φ∇ φ ) d 3 r =
1
2
∫
φ (x ) =
( φ∇ φ ) ⋅ d a → 0
−φ∇2φ = −φφ − m 2φφ
( )
φi ∂ 0 iφ d 3 r
1
( 2π )3
∫ d k ( −ik
3
0
) ⎡⎣ a ku k ( x ) − a k†u k∗ ( x ) ⎤⎦
d 3 kd 3 pd 3 rp 0 ⎡⎣ a k u k ( x ) + a k†u k∗ ( x ) ⎤⎦ i ∂ 0 ⎡⎣ a pu p ( x ) − a p†u p∗ ( x ) ⎤⎦
y Sopravvivono solo (vedi diapositiva1307
187 )
H =
1 1
2 ( 2 π )3
∫
d 3 kd 3 pp 0 ⎡⎣ −a ka p† ( −δkp ) ⎤⎦+ a k†a p δkp ⎤⎦ =
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa
1 1
2 ( 2 π )3
∫
d 3 pp 0 ⎡⎣ a pa p† + a p†a p ⎤⎦
189
Teorema di Noether
y Abbiamo già visto che le equazioni di campo si deducono minimizzando l’azione
S =
∫
L ( φ, ∂ μ φ )d 4x
δS = 0
∂μ
∂L
∂L
=
∂φ
∂ ( ∂ μφ )
y Il teorema di Noether† permette derivare leggi di conservazioni dalle
proprietà di simmetria dell’Azione (e quindi della Lagrangiana)
y L’azione può essere lasciata invariata da trasformazioni
y Di simmetria interna (ad esempio isospin, gauge)
y Di simmetria spazio-temporale (trasformazioni di Lorentz)
y Il teorema di Noether asserisce che
y Ad ogni simmetria differenziabile che lascia invariata l’azione corrisponde
una corrente conservata e, di conseguenza, una carica conservata
y Dato che l’azione è un integrale su d4x la trasformazione di simmetria deve
y Lasciare invariata la lagrangiana δL = 0
y Al più variare la lagrangiana di una 4-divergenza (δL = ∂μfμ) che per il
teorema di Gauss 4-dimensionale non contribuisce all’azione
y
∫
∂ μ f μd 4 x =
∫
f μdS μ → 0
Emmy Noether, Invariante Variationsprobleme. Göttingen 1918, pp. 235-257
†
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa
190
Teorema di Noether
y Tipicamente, per le simmetrie interne il termine di 4-divergenza è nullo
y La 4-divergenza è non zero nel caso delle simmetrie dello spazio-tempo†
y Trasformazioni del gruppo di Poincarè:Trasformazioni Lorentz e traslazioni
y L’applicazione di una trasformazione del gruppo di simmetria provoca una
variazione dei campi φ → φ + δφ
y La variazione dei campi induce una variazione della Lagrangiana L → L + δL
y Nel caso delle simmetrie interne δL = 0
y Esiste una corrente jμ conservata ∂μjμ = 0
y Nel caso delle simmetrie dello spazio tempo δL = ∂μfμ
y Esiste una corrente jμ tale che ∂μjμ = ∂μfμ → ∂μ(jμ − fμ ) = 0
y La corrente conservata implica l’esistenza di una carica conservata
∂ρ
= ∇⋅ j
∂t
∫
Q =
y
∂ρ
dV =
∂t
∫
ρdV
∫
∇ ⋅ jdV =
∫ j ⋅ da
=0
S
∂Q
=0
∂t
Peskin-Schroeder – An Introduction to Quantum Field Theory – cap. 2.2 p. 17
†
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa
191
Teorema di Noether
y Una variazione δφ(x) di un campo è una funzione
δφ ( x ) = φ1 ( x ) − φ2 ( x )
y Infinitesima
δφ ( xa ) = δφ ( xb ) = 0
y Che si annulla agli estremi
y L’operazione di variazione commuta con la derivazione
y L’espressione ∂μφ è una funzione (che dipende da φ)
φ1 ( x )
φ2 ( x )
xa
xb
δ [ ∂ μφ ( x ) ] = ∂ μφ1 ( x ) − ∂ μφ2 ( x )= ∂ μ [ φ1 ( x ) − φ2 ( x ) ] = ∂ μ δφ ( x )
y Veniamo ora alla dimostrazione del teorema
y Per generalità supponiamo che la lagrangiana dipenda da più campi ( n = 1,N)
L = L ( φn , ∂ μ φn
y Calcoliamo la variazione della Lagrangiana
δ L = L ( φn + δφn , ∂ μ φn + δ∂ μ φn ) − L =
)
N
∑
n =1
y Elaboriamo l’espressione
y Commutiamo δ con ∂μ nel secondo termine
∂L
∂L
δφn +
δ∂ μ φn
∂φn
∂ ( ∂ μ φn )
y Utilizziamo l’equazione di Eulero-Lagrange nel primo
N
∂L
∂L
δL =
δφn +
∂μ
∂ μ δφn
∂ ( ∂ μ φn )
∂ ( ∂ μ φn )
∂μ
∂L
∂L
=
∂φn
∂ ( ∂ μ φn )
∑
n =1
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa
192
Teorema di Noether
∂L
∂L
δφn +
∂ μ δφn
∂
∂
φ
∂
∂
φ
(
)
(
)
μ n
μ n
n
y L’espressione può essere trasformata in una 4-divergenza
∂L
δL = ∂μ
δφn
∂ ( ∂ μ φn )
n
y Se la trasformazione di simmetria modifica solo i campi ma lascia invariata la
lagrangiana allora la variazione è nulla: δL = 0
∂L
y Otteniamo
∂μ
δφn = 0
∂
∂
φ
( μ n)
n
δL =
∑
∂μ
∑
∑
y Abbiamo inoltre supposto che l’operazione di simmetria sia differenziabile
y In generale, la variazione del campo dipende da M parametri arbitrari
(ad esempio, una rotazione dipende da 3 parametri)
M
δφn =
∑
k =1
δφn k
δε
δεk
y Poiché la variazione dei campi è arbitraria possiamo variare gli M parametri
indipendentemente (uno a uno) e otteniamo M espressioni
∂L
δφn
∂μ
= 0 k = 1, M
k
∂
∂
φ
δε
(
)
μ n
n
∑
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa
193
Teorema di Noether
∂L
δφn
= 0 k = 1, M
k
∂
∂
φ
δε
(
)
μ n
n
y Possiamo pertanto definire le M correnti conservate
∂μ
j k ,μ =
∑
∑
n
∂L
δφn
∂ ( ∂ μ φn ) δεk
k = 1, M
∂ μ j k ,μ = 0
y La natura dell’indice k dipende dal tipo di trasformazione
y Può essere un indice di Lorentz
y In questo caso la corrente è un tensore
y Può essere un indice che individua un grado di libertà interno
y Un esempio è l’isospin
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa
194
Tensore energia impulso
y Come prima applicazione del teorema di Noether consideriamo l’invarianza della
Lagrangiana per traslazioni nello spazio tempo per il campo di Klein-Gordon
L=
1
2
[ ∂ μφ∂ μφ − m 2φφ ]
y Le traslazioni sono elementi del gruppo di Poincarè
y Si tratta di trasformazioni dello spazio tempo
y Una traslazione e definita come
xμ → xμ + aμ
y Trasformazioni differenziabili
y Dipendono da 4 parametri
y Per una traslazione i campi hanno una variazione
δφ ( x ) = φ ( x ν + a ν ) − φ ( x ν ) = a ν ∂ ν φ
y La corrente di Noether è pertanto
j μν =
∂L
δφ
∂ ( ∂ μ φ ) δa ν
y Quindi la relativa variazione della Lagrangiana è
y Attenzione! Non è nulla !
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa
δφ
= ∂ν φ
δa ν
j μν = ∂ μ φ∂ ν φ
δL
μ
μ
ν = ∂ j μν = ∂ ∂ μ φ∂ ν φ
δa
195
Tensore energia impulso
y Infatti la lagrangiana è implicitamente una funzione della posizione
y La variazione indotta dalla traslazione è
L ( x ) = L ( φ ( x ), ∂ μ φ ( x ) )
δ L = a μ ∂ μ L = g μν ∂ μa ν L ( x )
∂L
μ
(
)
ν = ∂ g μν L x
∂a
y Uguagliando con l’analoga espressione trovata per la variazione dei campi
∂ μ ∂ μ φ∂ ν φ = ∂ μ g μν L ( x )
y Definiamo il tensore Energia-Impulso
per il campo di Klein Gordon
y La conservazione della corrente è
y Le “cariche” conservate sono le
componenti del 4-momento
y In particolare l’Hamiltoniana
H ≡ P0 =
∫
T00d 3 r
Tμν = ∂ μ φ∂ ν φ − g μν L ( x )
∂ μTμν = 0
Pν =
∫
T0ν d 3 r
H = T00 = ∂ 0φ∂ 0φ − g 00 L ( x )
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa
H = φφ − L ( x )
196
Tensore energia impulso
y Analizziamo anche le altre componenti del 4-momento
Pν =
∫
T0ν d 3 r =
∫
∂ 0φ∂ ν φd 3 r = −
∫
Tμν = ∂ μ φ∂ ν φ − g μν L ( x )
φ∇φd 3 r
y Anche nel caso di P, come per H, alla fine avremo
bisogno di eliminare un contributo infinito
y Oppure adottiamo l’ordinamento normale
P=−
y Sviluppiamo l’espressione
P=−
∫
: φ∇φ : d 3 r = − 21
( ) ( )
( )
∫
∫
: φ∇φd 3 r :
: φ∇ φ + φ∇ φ : d 3 r
+∞
∂i ( φφ )d r =
dx j dx k
∂i ( φφ )dx i → 0
y Osserviamo che φ∇φ = ∇ φφ − ∇φ φ
−∞
y Inoltre : ∇φ φ : = : φ ∇φ :
y Ovviamente le due espressioni conducono a risultati uguali solo se si
scartano i termini che conducono a infiniti da eliminare
( )
P = − 21
∫
∫
: φ∇φ − φ∇φ : d 3 r = − 21
3
∫
∫
∫
: φi ∂ 0 ( −i ∇φ ) : d 3 r
y A questo punto si sostituiscono le rappresentazioni del campo e si trova,
come per l’Hamiltoniana
1
P=
pa p†a p d 3 p
3
( 2π )
∫
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa
197
Il campo scalare complesso
y Il campo di Klein-Gordon che abbiamo fino ad ora studiato
ha un solo grado di libertà
y Ci renderemo conto che serve per descrivere bosoni neutri
y Particelle che coincidono con la propria antiparticella
y Per descrivere particelle cariche abbiamo bisogno di un campo complesso
y La carica va intesa in senso ampio
y È un numero quantico che distingue particelle e antiparticelle
y Non è necessariamente la carica elettrica
y Consideriamo due particelle di Klein-Gordon con la stessa massa
y La Lagrangiana di questo sistema è
L ( x ) = 21 ∂ μ φ1∂ μ φ1 − 21 m 2φ12 + 21 ∂ μ φ2 ∂ μ φ2 − 21 m 2φ22
φ
y I campi φ1 e φ2 sono due gradi di libertà di un sistema
che ha bisogno di due componenti in uno spazio astratto
y Studiamo gli effetti dell’invarianza rispetto a rotazioni
in questo spazio
φ ′ = φ cos α − φ sin α
1
1
2
φ’
φ
α
φ1
2
φ2′ = φ1 sin α + φ2 cos α
y Le trasformazioni dipendono da un parametro ( gruppo SO[2] )
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa
198
Il campo scalare complesso
y Consideriamo una rotazione infinitesima: α → δα
cos δα ≈ 1
sin δα ≈ δα
y La trasformazione dei campi diventa
y
Pertanto le variazioni dei due campi sono
δφ1
= −φ2
φ1′ = φ1 − φ2δα
δφ1 = φ1′ − φ1 = −φ2δα
δα
φ2′ = φ1δα + φ2
δφ2 = φ2′ − φ2 = φ1δα
δφ2
= φ1
δα
y Si tratta di una simmetria interna con un solo parametro
y La corrente di Noether è
N φμ =
∑
n
∂L
δφn
∂L δφ1
∂L δφ2
=
+
∂ ( ∂ μ φn ) δα
∂ ( ∂ μ φ1 ) δα
∂ ( ∂ μ φ2 ) δα
= ( ∂ μ φ1 )( −φ2 ) + ( ∂ μ φ2 ) φ1
N φμ = ( ∂ μ φ2 ) φ1 − ( ∂ μ φ1 ) φ2
y La carica conservata è
Q =
∫
N φ0d 3 r
=
∫ (φ φ
2 1
)
− φ1φ2 d 3 r
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa
confrontare con la
corrente dell’equazione di
Klein-Gordon
199
Il campo scalare complesso
y Un modo più sintetico di svolgere i calcoli si ha introducendo un campo
complesso φ
φ = 12 ( φ1 − iφ2 )
φ † = 12 ( φ1 + iφ2 )
y Ricordando lo sviluppo di un campo scalare reale
1
φn ( x ) =
( 2π )3
∫
d 3k ⎡
† +ik ⋅x ⎤
−ik ⋅x
+
a
e
a
n
k
n
ke
⎦
2ω ⎣
y Troviamo il seguente sviluppo per il campo complesso
1
φ (x ) =
( 2π )3
∫
d 3 k ⎡ −ik ⋅x
† +ik ⋅x ⎤
+
a
e
b
e
k
k
⎦
2ω ⎣
y Gli operatori a e b† sono adesso indipendenti
a k = a1k − ia2 k
bk† = b1†k − ib2†k
a k† = a1†k − ia2†k
bk = b1k + ib2 k
y Gli operatori di creazione e distruzione introdotti hanno le seguenti regole di
commutazione
⎡ a k , a †′ ⎤ = ( 2π )3 δ ( k − k ′ )
k ⎦
⎣
⎡ bk , b †′ ⎤ = ( 2π )3 δ ( k − k ′ )
k ⎦
⎣
y Tutte le regole di commutazione altre sono nulle
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa
200
Il campo scalare complesso
y Si può verificare facilmente che nel piano complesso la trasformazione
che abbiamo introdotto è ( gruppo U[1] )
φ ′ = e −iαφ
φ ′ = ( 1 − i δα ) φ
δφ = −i δαφ
δφ † = i δαφ †
y La trasformazione in oggetto prende il nome di trasformazione di fase o
trasformazione di gauge globale (la fase non dipende da x)
y La Lagrangiana per il campo complesso è
L = ∂ μ φ † ∂ μ φ − m 2φ † φ
y Ripetiamo il calcolo precedente utilizzando il campo complesso
y La corrente di Noether
N φμ
=
∑
n
∂L
δφn
∂L
δφ †
∂L δφ
=
+
∂ ( ∂ μ φn ) δα
∂ ( ∂ μ φ † ) δα
∂ ( ∂ μ φ ) δα
= ( ∂ μ φ )( iφ † ) + ( ∂ μ φ † )( −iφ )
N φμ = i ⎡⎣ ( ∂ μ φ ) φ † − ( ∂ μ φ † ) φ ⎤⎦
y La carica conservata è
Q =
confrontare con la corrente
dell’equazione di Klein-Gordon
∫
N φ0d 3 r = i
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa
∫
⎡ φφ † − φ †φ ⎤ d 3 r
⎢⎣
⎥⎦
201
Il campo scalare complesso
y Utilizzando le espansioni integrali si calcolano
y L’Hamiltoniana
1
†
3 ⎡ †
+
H =
d
a
a
b
bk ⎤⎦ ω
k
k
k
k
3
⎣
( 2π )
y L’operatore Carica
1
†
3 ⎡ †
−
Q =
d
a
a
b
bk ⎤⎦
k
k
k
k
3
⎣
( 2π )
∫
∫
y In entrambi i calcoli si sono trascurati i termini del tipo aa† e bb† che danno
contributo infinito (equivalente a imporre prodotti normali)
y Entrambi gli operatori si possono esprimere in funzione di due operatori
numero relativi a due differenti tipi di quanti
n k− = bk†bk
n k+ = a k†a k
y Entrambi gli operatori hanno autovalori non negativi
y L’Hamiltoniana contiene la somma di questi operatori
y L’Hamiltoniana è definita positiva
y Si è eliminato il problema delle energie negative
y L’operatore Carica è la differenza dei due operatori
y I due quanti contribuiscono con segno opposto alla carica
y Hanno carica opposta (sono uno antiparticella dell’altro)
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa
202
Il campo scalare complesso
y Analizziamo un po’ meglio l’effetto degli operatori a e b
y Per un generico operatore op
⎡ Q, o p ⎤ = 1
⎣
⎦
( 2π )3
∫
d 3 k ⎡⎣ a k†a k − bk†bk , op ⎤⎦
y Per i vari operatori di creazione e distruzione si ha
⎡ a k†a k − bk†bk , a p ⎤ = ⎡ a k†a k , a p ⎤ = a k† [ a k , a p ] + ⎡ a k† , a p ⎤ a k = − ⎡ a p , a k† ⎤ a k = −δ ( k − p )a k
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
y Pertanto
⎡ a k†a k − bk†bk , a p ⎤ = −δ ( k − p )a k
⎣
⎦
⎡ a k†a k − bk†bk , a p† ⎤ = δ ( k − p )a p†
⎣
⎦
⎡ a k†a k − bk†bk , bp ⎤ = δ ( k − p )bp
⎡ a k†a k − bk†bk , bp† ⎤ = −δ ( k − p )bp†
⎣
⎦
⎣
⎦
y Inserendo nella relazione di partenza
⎡Q, a p ⎤ = −a p
⎡Q, a p† ⎤ = a p†
⎡Q, bp ⎤ = bp ⎡Q, bp† ⎤ = −bp†
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
y Gli operatori a e b† diminuiscono di 1 la carica
y L’operatore a distrugge una particella, l’operatore b† crea un’antiparticella
y Gli operatori a† e b aumentano di 1 la carica
y L’operatore a† crea una particella, l’operatore b distrugge un’antiparticella
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa
203
Il campo scalare complesso
y Gli stati del campo complesso si costruiscono come nel caso del campo reale
y Adesso però ci sono due tipi di particelle indipendenti
y Particelle “Positive”
p, + = a p† 0
y Particelle “Negative”
p, − = bp† 0
y Analogamente si costruiscono stati con un numero arbitrario
di quanti dei due tipi
y Data la forma degli operatori Q e H è immediato
Q = ⎡⎣Q, H ⎤⎦ = 0
verificare che l’operatore Q è conservato
y In assenza di interazioni si può facilmente verificare che il numero di
antiparticelle e il numero di particelle si conservano separatamente
y Si può inoltre verificare che per i campi φ e φ† valgono regole di
commutazione con Q simili a quelle degli operatori di creazione e distruzione
⎡Q, φ ⎤ = −φ
⎡Q , φ † ⎤ = φ †
⎣
⎦
⎣
⎦
y Definiamo (tramite sviluppo in serie) l’operatore
U ( α ) = e iαQ
y Si può dimostrare che
U ( α ) φU −1 ( α ) = e iα φ
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa
204

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