Interazioni Elettrodeboli y prof. Francesco Ragusa y Università di Milano Lezione n. 8 22.10.2014 Simmetrie e leggi di conservazione: Teorema di Noether Il campo scalare complesso y anno accademico 2014-2015 Calcolo dell’Hamiltoniana y Per continuare a fare pratica con gli operatori di campo e le regole di commutazione possiamo esprimere l’Hamiltoniana in funzione degli operatori di creazione e distruzione per il campo di Klein-Gordon reale H ( π, φ, ∂ μ φ ) = πφ − L ( φ, ∂ μ φ ) L= 1 2 [ ∂ μφ∂ μφ − m 2φφ ] H = φφ − 21 ∂ μφ∂ μφ + 21 m 2φφ = 21 ⎡⎣ φφ + ∇φ∇φ + m 2φφ ⎤⎦ H = 1 φ x = ( 2π )3 ( ) 1 ∇φ ( x ) = ( 2π )3 1 φ (x ) = ( 2π )3 1 2 ∫ H = ∫ Hd 3 r π= ∂L ∂φ ⎡ φφ + ∇φ∇φ + m 2φφ ⎤ d 3 r ⎣ ⎦ ∫ d 3 k ⎡ −ik ⋅x † +ik ⋅x ⎤ + a e a e k k ⎦ 2ω ⎣ ∫ d 3 k ⎡ −ik ⋅x − a k†e +ik ⋅x ⎤⎦ ik ⎣ a ke 2ω ∫ d 3k ( −i ω ) ⎡ a ke −ik ⋅x − a k†e +ik ⋅x ⎤ ⎣ ⎦ 2ω Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 182 Calcolo dell’Hamiltoniana y Cominciamo con il pezzo più complicato (poco più complicato) ∫ = 1 ( 2π )6 ∫ ∫ d 3k d 3k′ ∫ ∇φ ( x ) ∇φ ( x ) d 3 r ik ⎡ −ik ⋅x † +ik ⋅x ⎤ ik ′ ⎡ † +ik ′⋅x ⎤ 3 −ik ′⋅x − − a e a e a e a e ′ k k k k′ ⎦ 2ω ′ ⎣⎢ ⎦⎥ d r 2ω ⎣ a ke −ik y Per semplicità definiamo 0 t ≡ a k,t a k†e +ik 0 t ≡ a k†,t −kk ′ ⎡ † −ik ⋅ r ⎤ ⎡ † +ik ⋅ r +ik ′⋅ r −ik ′⋅ r ⎤ 3 a e a e a e a e − − ′ , k t , k t , k t ′ ⎢ ⎥⎦ d r k ,t ⎣ ⎦ ⎣ ′ 2 ω 2ω +ik ⋅ r +ik ′⋅ r ( 2π )3 δ ( k + k ′ ) e e ∼ y Con i diversi prodotti compaiono due tipi di δ y Il termine −kk′ assume valori diversi e +ik⋅ re −ik ′⋅ r ∼ ( 2π )3 δ ( k − k ′ ) δ ( k + k ′ ) → −kk ′ = k2 δ ( k − k ′ ) → −kk ′ = −k2 = 1 ( 2π )6 ∫ ∫ ∫ d 3k d 3k′ ∫ 1 ∇φ ( x ) ∇φ ( x )d r = ( 2π )3 3 ∫ k2 ⎡ † † † † ⎤ + + + d k a a a a a a a , , , , k t − k t k t k t , , ,t a−k,t ⎦ k t k t k ⎣ 2ω 3 Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 183 Calcolo dell’Hamiltoniana y Veniamo al termine contenente il momento coniugato ∫ = 1 ( 2π )6 ∫ ∫ d 3k d 3k′ ∫ φ ( x ) φ ( x )d 3 r i ω ⎡ −ik ⋅x † +ik ⋅x ⎤ i ω ′ ⎡ † +ik ′⋅x ⎤ 3 −ik ′⋅x − − a e a e a e a e ′ k k k k′ ⎦ 2ω ′ ⎣⎢ ⎦⎥ d r 2ω ⎣ y Questo integrale è quasi identico a quello precedente y La differenza risiede nel fatto che il termine −ωω′ ha sempre lo stesso segno † y I termini con a ka−k e a k† a− k compaiono con segno opposto rispetto al caso precedente (segno negativo) ∫ 1 φ x φ x d r= ( 2π )3 ( ) ( ) 3 ∫ ω2 ⎡ † † † † ⎤ − + + − d k a a a a a a a , , , , k t − k t k t k t , , ,t a−k,t ⎦ k t k t k ⎣ 2ω 3 Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 184 Calcolo dell’Hamiltoniana y Per finire il termine che contiene il quadrato del campo m2 m2 = ( 2π )6 ∫ d 3k ∫ d 3k′ ∫ ∫ φ ( x ) φ ( x )d 3 r 1 ⎡ −ik ⋅x 1 ⎡ † +ik ⋅x ⎤ † +ik ′⋅x ⎤ 3 −ik ′⋅x + + a e a e a e a e ′ k k k k′ ⎦ 2ω ′ ⎣⎢ ⎦⎥ d r 2ω ⎣ y Otteniamo un risultato molto simile al primo y Tutti i prodotti hanno segno positivo m 2 ∫ 1 φ ( x ) φ ( x )d r = ( 2π )3 3 ∫ m2 ⎡ † † † † ⎤ + + + d k a a a a a a a a , , , , k t − k t k t k t , , , k t k t k t − k,t ⎦ ⎣ 2ω 3 y Sommiamo i tre integrali e moltiplichiamo per ½ † y I termini con a ka−k e a k† a− k avranno un k2 + m 2 − E 2 = 0 coefficiente ( ricordiamo E = ω ) y I termini rimanenti avranno un coefficiente H = ∫ 1 1 Hd r = ( 2π )3 2 3 Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa ∫ k2 + m 2 + E 2 = 2E 2 2E k2 ⎡ d k a k,t a k†,t + a k†,t a k,t ⎤⎦ ⎣ 2ω 3 185 Calcolo dell’Hamiltoniana y Notiamo infine che a ke −ik 0 t ≡ a k,t a k†e +ik 0 t ≡ a k†,t H = 1 ( 2π )3 a k,t a k†,t = a ka k† ∫ d 3 kE k a k†,t a k,t = a k†a k 1⎡ † † a a + a a k ⎤⎦ k k k ⎣ 2 y Il risultato che abbiamo trovato è molto simile a quanto avevamo trovato intuitivamente (diapositiva1274 171 ) y Trasformiamo ulteriormente l’espressione trovata usando le regole di commutazione degli operatori di creazione e distruzione ⎡ a k , a k† ⎤ = 1 → a ka k† = 1 + a k†a k ⎣ ⎦ H = 1 ( 2π )3 ∫ 1⎤ ⎡ d 3 kE k ⎢ a k†a k + ⎥ 2⎦ ⎣ y L’Hamiltoniana è la somma delle energie dei singoli oscillatori y Il termine ½Ek è legato all’energia del vuoto nell’oscillatore y Nel caso di un campo porta ad un contributo divergente y Viene eliminato imponendo che i campi abbiano un ordinamento normale y In un prodotto normale ( :AB: ) gli operatori di distruzione stanno a destra Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 186 Digressione y Il calcolo appena fatto, benché concettualmente semplice, è un po’ laborioso y Una complicazione deriva dagli integrali del tipo 1 ( 2π )3 ∫ e +ip ⋅x e +ik ⋅x 2p 0 2k 0 e +ip ⋅x e −ik ⋅x d 3r y Infatti, a differenza degli integrali con il segno 1 d 3r negativo nell’esponente che contiene k⋅x, questi 3 ( 2π ) 2p 0 2k 0 contribuiscono con fattore un po’ più complicato y Conviene definire una procedura standard che consenta di semplificare i calcoli y Innanzitutto alcune notazioni ∫ uk ( x ) ≡ y Inoltre e −ik ⋅x k 0 = + k2 + m 2 2k 0 k ⋅ x = k 0t − k ⋅ r f1∂ μ f2 ≡ f1 ( ∂ μ f2 ) − ( ∂ μ f1 ) f2 y Si può verificare che le funzioni uk(x) oltre alla relazione standard ∫ u k∗ ( x u k′ ) ( d 3r 1 x δ ( k − k′ ) = ( 2π )3 2k 0 ) y Soddisfano alle seguenti ulteriori regole di ortogonalità generalizzata ∫ ∫ u k∗ ( x ) i ∂ 0u k′ ( x ) d 3r = δ(k − k ') ( 2π )3 u k ( x ) i ∂ 0u k′ ( x ) d 3r =0 ( 2π )3 Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa ∫ ∫ u k ( x ) i ∂ 0u k∗′ ( x ) d 3r = −δ ( k − k ' ) ( 2π )3 u k∗ ( x ) i ∂ 0u k∗′ ( x ) d 3r =0 ( 2π )3 187 Digressione y Tramite le funzioni uk le espansioni dei campi diventano φ (x ) = 1 ( 2π )3 ∫ d 3 k ⎡⎣ a ku k ( x ) + a k†u k∗ ( x ) ⎤⎦ π (x ) = 1 ( 2π )3 ∫ d k ( −ik 3 0 ) ⎡⎣ a ku k ( x ) − a k†u k∗ ( x ) ⎤⎦ y L’inversione delle formule si esprime in modo più semplice ∫ = ∫ ∫ =− ∫ ap = u p∗ ( x ) ( p 0φ ( x ) + i π ( x ) )d 3 r ap = a p† up ( x ) ( p 0φ ( x ) − i π ( x ) )d 3 r a p† up∗ ( x ) i∂ 0φ ( x )d 3 r u p ( x ) i ∂ 0φ ( x ) d 3 r y Come esempio, diventa relativamente facile il calcolo del commutatore ⎡⎣ a p , a k ⎤⎦ † ⎡ ⎡ a p , a k† ⎤ = ⎢ ⎣ ⎦ ⎢⎣ ⎤ u k ( x ′ ) ( k 0φ ( x ′ ) − i π ( x ′ ) )d 3 r ′ ⎥ ⎥⎦ ⎡ π ( r ), φ ( r ′ ) ⎤ = −iδ 3 ( r − r ′ ) y Sono diversi da zero solo ⎡⎣ φ ( r ), π ( r ′ ) ⎤⎦ = iδ 3 ( r − r ′ ) ⎣ ⎦ ∫ u p∗ ( x ) ( p 0φ ( x ) + i π ( x ) )d 3 r, y Otteniamo pertanto = ∫ u p∗ ( x )d 3 r = (p + k 0 0 ) ∫ ∫ u p∗ ∫ ∫ u k∗ ( x ) u k′ ( x ) d 3r 1 δ ( k − k′ ) 3 = ( 2π ) 2k 0 u k ( x ′ )d 3 r ′ ( −ip 0i δ ( r − r ′ ) − ik 0i δ ( r − r ′ ) ) 2p 0 ( x ) u ( x ) d r = ( 2π ) ( )3 δ ( p − k ) ( ) k 0 δ p − k = 2π 2p 3 Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 3 188 Digressione y Anche il calcolo dell’Hamiltoniana in funzione degli operatori di creazione e distruzione diventa più semplice ⎡ φφ + ∇φ∇φ + m 2φφ ⎤ d 3 r H = 21 ⎢⎣ ⎥⎦ Teorema di Gauss y Innanzitutto notiamo che ∫ ∫ ∇φ∇φ = ∇ ⋅ ( φ∇φ ) − φ∇2φ y Inoltre, per l’equazione di KG φ − ∇2φ + m 2φ = 0 y Pertanto l’Hamiltoniana si semplifica in ⎡ φφ − φφ ⎤ d 3 r = ⎢⎣ ⎥⎦ y Introducendo le rappresentazioni H = 1 ( 2π )3 ∫ H = 1 1 2 ( 2 π )6 φ (x ) = 1 2 ∫ d 3 k ⎡⎣ a ku k ( x ) + a k†u k∗ ( x ) ⎤⎦ ∫ ∫ ∇ ⋅ ( φ∇ φ ) d 3 r = 1 2 ∫ φ (x ) = ( φ∇ φ ) ⋅ d a → 0 −φ∇2φ = −φφ − m 2φφ ( ) φi ∂ 0 iφ d 3 r 1 ( 2π )3 ∫ d k ( −ik 3 0 ) ⎡⎣ a ku k ( x ) − a k†u k∗ ( x ) ⎤⎦ d 3 kd 3 pd 3 rp 0 ⎡⎣ a k u k ( x ) + a k†u k∗ ( x ) ⎤⎦ i ∂ 0 ⎡⎣ a pu p ( x ) − a p†u p∗ ( x ) ⎤⎦ y Sopravvivono solo (vedi diapositiva1307 187 ) H = 1 1 2 ( 2 π )3 ∫ d 3 kd 3 pp 0 ⎡⎣ −a ka p† ( −δkp ) ⎤⎦+ a k†a p δkp ⎤⎦ = Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 1 1 2 ( 2 π )3 ∫ d 3 pp 0 ⎡⎣ a pa p† + a p†a p ⎤⎦ 189 Teorema di Noether y Abbiamo già visto che le equazioni di campo si deducono minimizzando l’azione S = ∫ L ( φ, ∂ μ φ )d 4x δS = 0 ∂μ ∂L ∂L = ∂φ ∂ ( ∂ μφ ) y Il teorema di Noether† permette derivare leggi di conservazioni dalle proprietà di simmetria dell’Azione (e quindi della Lagrangiana) y L’azione può essere lasciata invariata da trasformazioni y Di simmetria interna (ad esempio isospin, gauge) y Di simmetria spazio-temporale (trasformazioni di Lorentz) y Il teorema di Noether asserisce che y Ad ogni simmetria differenziabile che lascia invariata l’azione corrisponde una corrente conservata e, di conseguenza, una carica conservata y Dato che l’azione è un integrale su d4x la trasformazione di simmetria deve y Lasciare invariata la lagrangiana δL = 0 y Al più variare la lagrangiana di una 4-divergenza (δL = ∂μfμ) che per il teorema di Gauss 4-dimensionale non contribuisce all’azione y ∫ ∂ μ f μd 4 x = ∫ f μdS μ → 0 Emmy Noether, Invariante Variationsprobleme. Göttingen 1918, pp. 235-257 † Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 190 Teorema di Noether y Tipicamente, per le simmetrie interne il termine di 4-divergenza è nullo y La 4-divergenza è non zero nel caso delle simmetrie dello spazio-tempo† y Trasformazioni del gruppo di Poincarè:Trasformazioni Lorentz e traslazioni y L’applicazione di una trasformazione del gruppo di simmetria provoca una variazione dei campi φ → φ + δφ y La variazione dei campi induce una variazione della Lagrangiana L → L + δL y Nel caso delle simmetrie interne δL = 0 y Esiste una corrente jμ conservata ∂μjμ = 0 y Nel caso delle simmetrie dello spazio tempo δL = ∂μfμ y Esiste una corrente jμ tale che ∂μjμ = ∂μfμ → ∂μ(jμ − fμ ) = 0 y La corrente conservata implica l’esistenza di una carica conservata ∂ρ = ∇⋅ j ∂t ∫ Q = y ∂ρ dV = ∂t ∫ ρdV ∫ ∇ ⋅ jdV = ∫ j ⋅ da =0 S ∂Q =0 ∂t Peskin-Schroeder – An Introduction to Quantum Field Theory – cap. 2.2 p. 17 † Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 191 Teorema di Noether y Una variazione δφ(x) di un campo è una funzione δφ ( x ) = φ1 ( x ) − φ2 ( x ) y Infinitesima δφ ( xa ) = δφ ( xb ) = 0 y Che si annulla agli estremi y L’operazione di variazione commuta con la derivazione y L’espressione ∂μφ è una funzione (che dipende da φ) φ1 ( x ) φ2 ( x ) xa xb δ [ ∂ μφ ( x ) ] = ∂ μφ1 ( x ) − ∂ μφ2 ( x )= ∂ μ [ φ1 ( x ) − φ2 ( x ) ] = ∂ μ δφ ( x ) y Veniamo ora alla dimostrazione del teorema y Per generalità supponiamo che la lagrangiana dipenda da più campi ( n = 1,N) L = L ( φn , ∂ μ φn y Calcoliamo la variazione della Lagrangiana δ L = L ( φn + δφn , ∂ μ φn + δ∂ μ φn ) − L = ) N ∑ n =1 y Elaboriamo l’espressione y Commutiamo δ con ∂μ nel secondo termine ∂L ∂L δφn + δ∂ μ φn ∂φn ∂ ( ∂ μ φn ) y Utilizziamo l’equazione di Eulero-Lagrange nel primo N ∂L ∂L δL = δφn + ∂μ ∂ μ δφn ∂ ( ∂ μ φn ) ∂ ( ∂ μ φn ) ∂μ ∂L ∂L = ∂φn ∂ ( ∂ μ φn ) ∑ n =1 Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 192 Teorema di Noether ∂L ∂L δφn + ∂ μ δφn ∂ ∂ φ ∂ ∂ φ ( ) ( ) μ n μ n n y L’espressione può essere trasformata in una 4-divergenza ∂L δL = ∂μ δφn ∂ ( ∂ μ φn ) n y Se la trasformazione di simmetria modifica solo i campi ma lascia invariata la lagrangiana allora la variazione è nulla: δL = 0 ∂L y Otteniamo ∂μ δφn = 0 ∂ ∂ φ ( μ n) n δL = ∑ ∂μ ∑ ∑ y Abbiamo inoltre supposto che l’operazione di simmetria sia differenziabile y In generale, la variazione del campo dipende da M parametri arbitrari (ad esempio, una rotazione dipende da 3 parametri) M δφn = ∑ k =1 δφn k δε δεk y Poiché la variazione dei campi è arbitraria possiamo variare gli M parametri indipendentemente (uno a uno) e otteniamo M espressioni ∂L δφn ∂μ = 0 k = 1, M k ∂ ∂ φ δε ( ) μ n n ∑ Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 193 Teorema di Noether ∂L δφn = 0 k = 1, M k ∂ ∂ φ δε ( ) μ n n y Possiamo pertanto definire le M correnti conservate ∂μ j k ,μ = ∑ ∑ n ∂L δφn ∂ ( ∂ μ φn ) δεk k = 1, M ∂ μ j k ,μ = 0 y La natura dell’indice k dipende dal tipo di trasformazione y Può essere un indice di Lorentz y In questo caso la corrente è un tensore y Può essere un indice che individua un grado di libertà interno y Un esempio è l’isospin Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 194 Tensore energia impulso y Come prima applicazione del teorema di Noether consideriamo l’invarianza della Lagrangiana per traslazioni nello spazio tempo per il campo di Klein-Gordon L= 1 2 [ ∂ μφ∂ μφ − m 2φφ ] y Le traslazioni sono elementi del gruppo di Poincarè y Si tratta di trasformazioni dello spazio tempo y Una traslazione e definita come xμ → xμ + aμ y Trasformazioni differenziabili y Dipendono da 4 parametri y Per una traslazione i campi hanno una variazione δφ ( x ) = φ ( x ν + a ν ) − φ ( x ν ) = a ν ∂ ν φ y La corrente di Noether è pertanto j μν = ∂L δφ ∂ ( ∂ μ φ ) δa ν y Quindi la relativa variazione della Lagrangiana è y Attenzione! Non è nulla ! Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa δφ = ∂ν φ δa ν j μν = ∂ μ φ∂ ν φ δL μ μ ν = ∂ j μν = ∂ ∂ μ φ∂ ν φ δa 195 Tensore energia impulso y Infatti la lagrangiana è implicitamente una funzione della posizione y La variazione indotta dalla traslazione è L ( x ) = L ( φ ( x ), ∂ μ φ ( x ) ) δ L = a μ ∂ μ L = g μν ∂ μa ν L ( x ) ∂L μ ( ) ν = ∂ g μν L x ∂a y Uguagliando con l’analoga espressione trovata per la variazione dei campi ∂ μ ∂ μ φ∂ ν φ = ∂ μ g μν L ( x ) y Definiamo il tensore Energia-Impulso per il campo di Klein Gordon y La conservazione della corrente è y Le “cariche” conservate sono le componenti del 4-momento y In particolare l’Hamiltoniana H ≡ P0 = ∫ T00d 3 r Tμν = ∂ μ φ∂ ν φ − g μν L ( x ) ∂ μTμν = 0 Pν = ∫ T0ν d 3 r H = T00 = ∂ 0φ∂ 0φ − g 00 L ( x ) Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa H = φφ − L ( x ) 196 Tensore energia impulso y Analizziamo anche le altre componenti del 4-momento Pν = ∫ T0ν d 3 r = ∫ ∂ 0φ∂ ν φd 3 r = − ∫ Tμν = ∂ μ φ∂ ν φ − g μν L ( x ) φ∇φd 3 r y Anche nel caso di P, come per H, alla fine avremo bisogno di eliminare un contributo infinito y Oppure adottiamo l’ordinamento normale P=− y Sviluppiamo l’espressione P=− ∫ : φ∇φ : d 3 r = − 21 ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ : φ∇φd 3 r : : φ∇ φ + φ∇ φ : d 3 r +∞ ∂i ( φφ )d r = dx j dx k ∂i ( φφ )dx i → 0 y Osserviamo che φ∇φ = ∇ φφ − ∇φ φ −∞ y Inoltre : ∇φ φ : = : φ ∇φ : y Ovviamente le due espressioni conducono a risultati uguali solo se si scartano i termini che conducono a infiniti da eliminare ( ) P = − 21 ∫ ∫ : φ∇φ − φ∇φ : d 3 r = − 21 3 ∫ ∫ ∫ : φi ∂ 0 ( −i ∇φ ) : d 3 r y A questo punto si sostituiscono le rappresentazioni del campo e si trova, come per l’Hamiltoniana 1 P= pa p†a p d 3 p 3 ( 2π ) ∫ Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 197 Il campo scalare complesso y Il campo di Klein-Gordon che abbiamo fino ad ora studiato ha un solo grado di libertà y Ci renderemo conto che serve per descrivere bosoni neutri y Particelle che coincidono con la propria antiparticella y Per descrivere particelle cariche abbiamo bisogno di un campo complesso y La carica va intesa in senso ampio y È un numero quantico che distingue particelle e antiparticelle y Non è necessariamente la carica elettrica y Consideriamo due particelle di Klein-Gordon con la stessa massa y La Lagrangiana di questo sistema è L ( x ) = 21 ∂ μ φ1∂ μ φ1 − 21 m 2φ12 + 21 ∂ μ φ2 ∂ μ φ2 − 21 m 2φ22 φ y I campi φ1 e φ2 sono due gradi di libertà di un sistema che ha bisogno di due componenti in uno spazio astratto y Studiamo gli effetti dell’invarianza rispetto a rotazioni in questo spazio φ ′ = φ cos α − φ sin α 1 1 2 φ’ φ α φ1 2 φ2′ = φ1 sin α + φ2 cos α y Le trasformazioni dipendono da un parametro ( gruppo SO[2] ) Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 198 Il campo scalare complesso y Consideriamo una rotazione infinitesima: α → δα cos δα ≈ 1 sin δα ≈ δα y La trasformazione dei campi diventa y Pertanto le variazioni dei due campi sono δφ1 = −φ2 φ1′ = φ1 − φ2δα δφ1 = φ1′ − φ1 = −φ2δα δα φ2′ = φ1δα + φ2 δφ2 = φ2′ − φ2 = φ1δα δφ2 = φ1 δα y Si tratta di una simmetria interna con un solo parametro y La corrente di Noether è N φμ = ∑ n ∂L δφn ∂L δφ1 ∂L δφ2 = + ∂ ( ∂ μ φn ) δα ∂ ( ∂ μ φ1 ) δα ∂ ( ∂ μ φ2 ) δα = ( ∂ μ φ1 )( −φ2 ) + ( ∂ μ φ2 ) φ1 N φμ = ( ∂ μ φ2 ) φ1 − ( ∂ μ φ1 ) φ2 y La carica conservata è Q = ∫ N φ0d 3 r = ∫ (φ φ 2 1 ) − φ1φ2 d 3 r Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa confrontare con la corrente dell’equazione di Klein-Gordon 199 Il campo scalare complesso y Un modo più sintetico di svolgere i calcoli si ha introducendo un campo complesso φ φ = 12 ( φ1 − iφ2 ) φ † = 12 ( φ1 + iφ2 ) y Ricordando lo sviluppo di un campo scalare reale 1 φn ( x ) = ( 2π )3 ∫ d 3k ⎡ † +ik ⋅x ⎤ −ik ⋅x + a e a n k n ke ⎦ 2ω ⎣ y Troviamo il seguente sviluppo per il campo complesso 1 φ (x ) = ( 2π )3 ∫ d 3 k ⎡ −ik ⋅x † +ik ⋅x ⎤ + a e b e k k ⎦ 2ω ⎣ y Gli operatori a e b† sono adesso indipendenti a k = a1k − ia2 k bk† = b1†k − ib2†k a k† = a1†k − ia2†k bk = b1k + ib2 k y Gli operatori di creazione e distruzione introdotti hanno le seguenti regole di commutazione ⎡ a k , a †′ ⎤ = ( 2π )3 δ ( k − k ′ ) k ⎦ ⎣ ⎡ bk , b †′ ⎤ = ( 2π )3 δ ( k − k ′ ) k ⎦ ⎣ y Tutte le regole di commutazione altre sono nulle Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 200 Il campo scalare complesso y Si può verificare facilmente che nel piano complesso la trasformazione che abbiamo introdotto è ( gruppo U[1] ) φ ′ = e −iαφ φ ′ = ( 1 − i δα ) φ δφ = −i δαφ δφ † = i δαφ † y La trasformazione in oggetto prende il nome di trasformazione di fase o trasformazione di gauge globale (la fase non dipende da x) y La Lagrangiana per il campo complesso è L = ∂ μ φ † ∂ μ φ − m 2φ † φ y Ripetiamo il calcolo precedente utilizzando il campo complesso y La corrente di Noether N φμ = ∑ n ∂L δφn ∂L δφ † ∂L δφ = + ∂ ( ∂ μ φn ) δα ∂ ( ∂ μ φ † ) δα ∂ ( ∂ μ φ ) δα = ( ∂ μ φ )( iφ † ) + ( ∂ μ φ † )( −iφ ) N φμ = i ⎡⎣ ( ∂ μ φ ) φ † − ( ∂ μ φ † ) φ ⎤⎦ y La carica conservata è Q = confrontare con la corrente dell’equazione di Klein-Gordon ∫ N φ0d 3 r = i Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa ∫ ⎡ φφ † − φ †φ ⎤ d 3 r ⎢⎣ ⎥⎦ 201 Il campo scalare complesso y Utilizzando le espansioni integrali si calcolano y L’Hamiltoniana 1 † 3 ⎡ † + H = d a a b bk ⎤⎦ ω k k k k 3 ⎣ ( 2π ) y L’operatore Carica 1 † 3 ⎡ † − Q = d a a b bk ⎤⎦ k k k k 3 ⎣ ( 2π ) ∫ ∫ y In entrambi i calcoli si sono trascurati i termini del tipo aa† e bb† che danno contributo infinito (equivalente a imporre prodotti normali) y Entrambi gli operatori si possono esprimere in funzione di due operatori numero relativi a due differenti tipi di quanti n k− = bk†bk n k+ = a k†a k y Entrambi gli operatori hanno autovalori non negativi y L’Hamiltoniana contiene la somma di questi operatori y L’Hamiltoniana è definita positiva y Si è eliminato il problema delle energie negative y L’operatore Carica è la differenza dei due operatori y I due quanti contribuiscono con segno opposto alla carica y Hanno carica opposta (sono uno antiparticella dell’altro) Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 202 Il campo scalare complesso y Analizziamo un po’ meglio l’effetto degli operatori a e b y Per un generico operatore op ⎡ Q, o p ⎤ = 1 ⎣ ⎦ ( 2π )3 ∫ d 3 k ⎡⎣ a k†a k − bk†bk , op ⎤⎦ y Per i vari operatori di creazione e distruzione si ha ⎡ a k†a k − bk†bk , a p ⎤ = ⎡ a k†a k , a p ⎤ = a k† [ a k , a p ] + ⎡ a k† , a p ⎤ a k = − ⎡ a p , a k† ⎤ a k = −δ ( k − p )a k ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ y Pertanto ⎡ a k†a k − bk†bk , a p ⎤ = −δ ( k − p )a k ⎣ ⎦ ⎡ a k†a k − bk†bk , a p† ⎤ = δ ( k − p )a p† ⎣ ⎦ ⎡ a k†a k − bk†bk , bp ⎤ = δ ( k − p )bp ⎡ a k†a k − bk†bk , bp† ⎤ = −δ ( k − p )bp† ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ y Inserendo nella relazione di partenza ⎡Q, a p ⎤ = −a p ⎡Q, a p† ⎤ = a p† ⎡Q, bp ⎤ = bp ⎡Q, bp† ⎤ = −bp† ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ y Gli operatori a e b† diminuiscono di 1 la carica y L’operatore a distrugge una particella, l’operatore b† crea un’antiparticella y Gli operatori a† e b aumentano di 1 la carica y L’operatore a† crea una particella, l’operatore b distrugge un’antiparticella Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 203 Il campo scalare complesso y Gli stati del campo complesso si costruiscono come nel caso del campo reale y Adesso però ci sono due tipi di particelle indipendenti y Particelle “Positive” p, + = a p† 0 y Particelle “Negative” p, − = bp† 0 y Analogamente si costruiscono stati con un numero arbitrario di quanti dei due tipi y Data la forma degli operatori Q e H è immediato Q = ⎡⎣Q, H ⎤⎦ = 0 verificare che l’operatore Q è conservato y In assenza di interazioni si può facilmente verificare che il numero di antiparticelle e il numero di particelle si conservano separatamente y Si può inoltre verificare che per i campi φ e φ† valgono regole di commutazione con Q simili a quelle degli operatori di creazione e distruzione ⎡Q, φ ⎤ = −φ ⎡Q , φ † ⎤ = φ † ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ y Definiamo (tramite sviluppo in serie) l’operatore U ( α ) = e iαQ y Si può dimostrare che U ( α ) φU −1 ( α ) = e iα φ Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 204
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