testo della prova con le soluzioni

Prova scritta di metà corso – mercoledì 30 aprile 2014
Laurea in Scienza e Ingegneria dei Materiali – anno accademico 2013-2014
Istituzioni di Fisica della Materia - Prof. Lorenzo Marrucci
Tempo a disposizione: 1 ora e 55 minuti
Uso degli appunti o di libri: NON AMMESSO; uso della calcolatrice: AMMESSO
Nota: per lasciare un margine di recupero interno a questo compito, il totale dei punti a disposizione è fissato a 32 invece che a 30, ma
il voto massimo di questo scritto ai fini della media per il voto finale resta comunque 30/30.
1) Considerate una catena infinita di pendoli uguali, ciascuno di massa m = 100 g, sospesi con fili molto lunghi
e collegati a due a due da molle uguali (figura 1). La distanza tra i punti di sospensione di due pendoli
consecutivi è pari a 10 cm. Un’onda armonica che viaggia su questa catena di pendoli ad una frequenza di
5.0 Hz risulta avere una lunghezza d’onda di 40 cm. Calcolare (a) la velocità delle onde sulla catena e (b) la
costante elastica delle molle. Sapendo poi che l’onda possiede una potenza media pari a 10 W, calcolare (c)
l’ampiezza delle oscillazioni dei pendoli. Supponete ora che a metà della catena ci sia un pendolo P che
viene tenuto costantemente bloccato nella sua posizione verticale da un braccio rigido (figura 2).
Allontanandosi dal pendolo P, la catena si estende all’infinito in entrambe le direzioni. In questa situazione,
scrivete (d) un’espressione matematica che fornisca tutte le onde possibili sull’intera catena (cioè da
entrambi i lati del pendolo bloccato), ovvero la soluzione generale del sistema tenendo conto del pendolo
bloccato [Nota: per snellire le espressioni, siete liberi di porre l’origine delle coordinate in corrispondenza del pendolo P.
Suggerimento: utilizzate il fatto che le due porzioni di catena separate dal pendolo P si comportano in modo del tutto
indipendente, come se fossero due catene separate, ciascuna con un pendolo bloccato ad un estremo]. Supponete ora che dal
lato sinistro della catena (rispetto al pendolo P) venga generata un’onda armonica con le caratteristiche date
in precedenza (ossia frequenza 5 Hz, potenza media 10 W) che viaggia verso il pendolo P, in modo che si
generi un’onda riflessa, mentre dal lato destro della catena i pendoli siano fermi all’equilibrio. Calcolate (e)
la forza massima che deve sostenere il braccio rigido che mantiene il pendolo P immobile. Infine,
supponiamo di rimuovere il vincolo sul pendolo P e sostituirlo con una zavorra tale che la massa totale del
pendolo P diventi pari a M = 400 g (figura 3). In questa nuova situazione, l’onda armonica considerata in
precedenza e incidente dal lato sinistro viene in parte trasmessa sul lato destro della catena (mentre l’onda
riflessa si riduce di ampiezza). Assumendo che l’onda riflessa e quella trasmessa siano anch’esse onde
armoniche, con la medesima frequenza di quella incidente, calcolate (f) l’ampiezza dell’onda trasmessa
[suggerimento per la domanda f: provate a scrivere l’equazione del moto per il pendolo P tenendo conto delle forze scambiate
con il resto della catena e combinate questa equazione con le condizioni al bordo nel punto P] [punti: a = 3; b = 3; c = 3; d
= 3; e = 2; f = 2]
Figura 1:
Figura 2:
P
Figura 3:
P
2) Scrivete un saggio di almeno mezza pagina ma non oltre una pagina su una delle seguenti due tracce, a
vostra scelta (ma NON ENTRAMBE). [punti: 8]
a. Modi normali di un sistema di oscillatori accoppiati: definizione generale, principali proprietà e
loro utilità per determinare tutti i moti possibili del sistema.
b. Onde acustiche in aria: il suono.
ATTENZIONE: la prova continua alla pagina seguente...
seconda pagina – Prova scritta di metà corso – 30/4/2014 – Istituzioni di Fisica della Materia – Prof. Lorenzo Marrucci
3) TEST (vale 1 punto per ogni domanda, 8 punti in totale)
COGNOME e NOME:
MATRICOLA:
a)
Un certo giocatore di calcio è uno specialista dei rigori. Ad ogni tiro, ha una probabilità del 90% di segnare
direttamente. Ma nei casi in cui non segna, c’è una probabilità del 20% che qualcuno della squadra ribatta in rete
l’eventuale respinta del portiere. Qual è quindi la probabilità complessiva per la squadra di segnare, in seguito
all’assegnazione di un calcio di rigore in suo favore?
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b) Le misure ripetute della massa di una particella (espresse in mg) sono le seguenti: 12.4, 12.3, 12.4, 12.5, 12.3.
Riportare il risultato della misura con la corrispondente incertezza.
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c)
Una centrale elettrica eroga un’energia complessiva di (200.0±0.3) GJ in un tempo di (10’000±8) s. Riportare la
potenza della centrale con la corrispondente incertezza.
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d) Un oscillatore smorzato compie 50 oscillazioni al secondo. Mentre oscilla, l’ampiezza si riduce di un fattore e ≈ 2.7
(il numero di Eulero o di Nepero) ogni 10 secondi. Scrivere la legge oraria x(t) dell’oscillatore in notazione
complessa, specificando (a parte) il valore delle costanti note che entrano nell’espressione (quelle non note lasciatele
solo come simboli).
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e)
Nel fenomeno della risonanza un oscillatore può essere indotto ad oscillare in modo molto più ampio, a parità di
forza esterna, ponendo la frequenza della forza esterna uguale a quella naturale di oscillazione. Da dove proviene
l’energia richiesta per mantenere le oscillazioni così amplificate? (fornire una risposta discorsiva sintetica)
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f)
Uno strumento musicale si comporta come un risonatore. Una delle sue frequenze di emissione (non necessariamente
quella fondamentale) è 220 Hz. Quali tra le seguenti sono sicuramente altre frequenze di emissione possibili del
risonatore? (fare un cerchietto attorno a quelle che ritenete giuste)
[20 Hz]
[330 Hz]
[440 Hz]
[660 Hz]
[110 Hz]
[55 Hz]
[2200 Hz]
[1100 Hz]
g) Una stazione radio emette alla frequenza di 100 MHz. Calcolare la lunghezza d’onda dell’emissione.
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h) Un sismografo rivela l’arrivo delle onde sismiche longitudinali e trasversali prodotte da un evento sismico profondo
(non consideriamo gli effetti di superficie). In un particolare evento, l’impulso di onde trasversali arriva 2 s dopo
quello delle onde longitudinali. Sapendo che la velocità delle onde longitudinali è di 5000 m/s, mentre la velocità di
quelle trasversali è di 3000 m/s, calcolare la distanza della sorgente sismica dal sismografo [attenzione: la risposta
non è immediata: ragionateci bene].
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Soluzione dell’esercizio 1
a)
La velocità entra nella relazione di dispersione che lega tra loro frequenza temporale e lunghezza d’onda. Si ha
Velocità onde: v0 = λν = 40 cm × 5 Hz = 2.0 m/s
b)
D’altra parte, la velocità è legata alle proprietà della catena dalla seguente relazione:
K
k
= Δx e ,
ρl
m
v0 =
dove nella seconda espressione abbiamo usato le relazioni ρ l = m / Δx, K = ke Δx , da cui otteniamo
2
Costante elastica molle:
ke = m
2
⎛ v0 ⎞
⎛ 2.0 ⎞
= 0.1×
= 40 N/m
⎝ Δx ⎠
⎝ 0.1 ⎠
c)
La relazione tra la potenza e l’ampiezza delle onde sulla catena, per un’onda armonica, è la seguente:
P = v0
dE
1
2π 2 mλν 3 2
= v0 Kk 2 A 2 =
A
dx
2
Δx
da cui abbiamo il risultato richiesto
A=
1
π
PΔx
= 10 cm
2mλν 3
d)
La soluzione generale in assenza di vincoli è data dall’espressione
ξ (x,t) = f (x − v0t) + g(x + v0t)
dove f e g sono funzioni qualsiasi, che definiscono la forma d’onda delle onde che viaggiano verso le x positive
e negative. Il pendolo bloccato P produce due effetti: (i) spezza la catena in due catene indipendenti, ciascuna
con le sue onde che viaggiano sia verso le x positive che le x negative, per cui bisogna introdurre 4 funzioni (2
“f” e 2 “g”); (ii) induce la riflessione delle onde che viaggiano verso il pendolo P, legando le onde “f” e “g” di
ciascuna regione tra di loro con la relazione tipica della riflessione.
In dettaglio, l’effetto (i) (separazione della catena in due) conduce alla seguente espressione:
⎧⎪ ξ1 (x,t) = f1 (x − v0t) + g1 (x + v0t) per x < 0
ξ (x,t) = ⎨
ξ (x,t) = f2 (x − v0t) + g2 (x + v0t) per x > 0
⎩⎪ 2
dove abbiamo posto l’origine x = 0 nel punto P. L’effetto (ii) (riflessione) deriva dall’imporre la condizione che
il pendolo in P resti costantemente fermo:
f1 (−v0t) + g1 (v0t) = 0
f2 (−v0t) + g2 (v0t) = 0
da cui otteniamo le seguenti relazioni tra le funzioni:
g1 (x) = − f1 (−x)
g2 (x) = − f2 (−x)
Combinando i due passaggi, otteniamo l’espressione finale:
⎧⎪ f1 (x − v0t) − f1 (−x − v0t) per x < 0
⎪⎩ f2 (x − v0t) − f2 (−x − v0t) per x > 0
Espressione soluzione generale con pendolo P bloccato: ξ (x,t) = ⎨
e)
La forza F(t) che agisce sul pendolo P è quella dovuta all’ultima molla che collega il pendolo P con quello
adiacente. Se indichiamo con N l’indice del pendolo P (posto in x = 0), abbiamo nella formulazione discreta
quanto segue:
∂ξ
⎡ ξ (t) − ξ N −1 (t) ⎤
F(t) = −ke [ξ N (t) − ξ N −1 (t)] = −ke Δx ⎢ N
⎥⎦ ≈ −K ∂x
⎣
Δx
(1)
x=0
L’onda armonica genera anche un’onda riflessa, per cui l’onda complessiva è un’onda stazionaria con ampiezza
doppia. Si ha cioè (in notazione complessa)
ξ (x,t) = Ac eikx−iω t − Ac e−ikx−iω t = 2iAc sin(kx)e−iω t
ovvero (in notazione reale)
ξ (x,t) = 2Asin(kx)sin(ω t − ϕ )
Inserendo questa espressione nella formula (1) per la forza, otteniamo
F(t) = −2KkAsin (ω t − ϕ )
e infine
Forza massima:
Fmax = 2KkA = 2ke Δx
2π
4π mλν 2
A=
A = 12.6 N
λ
Δx
Va notato che un risultato analogo si può ottenere anche calcolando la forza dalla posizione del penultimo
pendolo (anziché dalla differenza di posizione che si traduce in derivata spaziale). Infatti si ha:
F(t) = −ke [ξ N (t) − ξ N −1 (t)] = keξ N −1 (t) = keξ (−Δx,t) = 2ke Asin(−kΔx)sin(ω t − ϕ ) ≈ −2ke ΔxkAsin(ω t − ϕ )
che porta allo stesso risultato.
f)
Assumiamo, come suggerito nel testo, che oltre all’onda armonica incidente vi siano nel sistema un’onda
trasmessa ed un’onda riflessa, anch’esse armoniche con la stessa frequenza. Il campo sulla catena sarà quindi
dato dalla seguente espressione (in notazione complessa):
⎧ ξ (x,t) = Aei( kx−ω t ) + Bei( − kx−ω t )
⎪ 1
ξ (x,t) = ⎨
i( kx−ω t )
⎪⎩ ξ 2 (x,t) = Ce
per x < 0
per x > 0
(2)
dove l’onda con ampiezza complessa A che esiste nella regione x<0 è quella incidente, l’onda con ampiezza
complessa B è quella riflessa e l’onda con ampiezza complessa C che c’è nella regione x>0 è quella trasmessa.
Il k che appare in tutte queste espressioni è il modulo del numero d’onde. Il segno che definisce il verso di
propagazione è esplicitato.
Ora, l’equazione del moto del pendolo P è la Ftot = Ma, con Ftot pari alla forza totale (dovuta al moto dei
pendoli della catena da ambedue i lati del pendolo P).
Si ha quindi
M
∂2 ξ N
∂ξ
= ke [ξ N +1 (t) − ξ N (t)] − ke [ξ N (t) − ξ N −1 (t)] ≈ K
∂t 2
∂x
x=0
+
−K
∂ξ
∂x
x=0
−
=K
∂ξ 2
∂x
−K
x=0
∂ξ1
∂x
(3)
x=0
dove le derivate parziali in x = 0+ e x = 0– che appaiono nell’ultima espressione sono quelle relative alle onde
che si trovano rispettivamente nella regione x>0 e in quella x<0. Sostituendo l’espressione (2) nella (3)
otteniamo
M
∂2 ξ N
= KikCe−iω t − Kik(A − B)e−iω t = iKk(C − A + B)e−iω t
∂t 2
Questa equazione è risolta con il metodo degli esponenziali. In pratica anche il pendolo P si muove di moto
armonico con la stessa frequenza ω, ossia in notazione complessa si ha
ξ N (t) = AP e−iω t
Sostituendo questa espressione nella precedente otteniamo
−M ω 2 AP = iKk(C − A + B)
(4)
A questa relazione dobbiamo aggiungere il fatto che nel limite continuo il pendolo P deve muoversi quasi allo
stesso modo dei pendoli adiacenti, ossia devono valere le seguenti condizioni al bordo:
ξ N (t) ≈ ξ1 (0,t) ≈ ξ 2 (0,t)
che si traducono, sostituendo le espressioni esplicite date nella (2), nelle seguenti equazioni relative alle
ampiezze:
Ap = A + B = C
(5)
Mettendo insieme queste due equazioni e la (4) possiamo ricavare infine l’ampiezza dell’onda riflessa e
trasmessa a partire da quella dell’onda incidente:
Mω 2
A
2ikK + M ω 2
2ikK
C=
A=
2ikK + M ω 2
B=−
A
A
=
M ω 2 1− i π M Δx
1− i
mλ
2kK
Calcolando i moduli otteniamo l’ampiezza reale dell’onda trasmessa attraverso il pendolo P:
Ampiezza onda trasmessa: C =
A
⎛ Mω ⎞
1+ ⎜
⎝ 2kK ⎟⎠
2
2
=
A
⎛ π M Δx ⎞
1+
⎝ mλ ⎠
2
= 3.03 cm
SOLUZIONI seconda pagina – Prova scritta di metà corso – 30/4/2013 – Istituzioni di Fisica della Materia – Prof. Lorenzo Marrucci
TEST (vale 1 punto per ogni domanda, 8 punti in totale)
a)
Un certo giocatore di calcio è uno specialista dei rigori. Ad ogni tiro, ha una probabilità del 90% di segnare
direttamente. Ma quando il portiere respinge il suo tiro, c’è una probabilità del 20% che qualcuno della squadra la
ribatta in rete. Qual è quindi la probabilità complessiva per la squadra di segnare, in seguito all’assegnazione di un
calcio di rigore in suo favore?
P(C) = P(A) + P(B | A)P(A) = 90% + 20% × 10% = 92% dove A = gol diretto, B = gol su ribattuta, C = gol
_____________________________________________________________________________________________
b) Le misure ripetute della massa di una particella (espresse in mg) sono le seguenti: 12.4, 12.3, 12.4, 12.5, 12.3.
Riportare il risultato della misura con la corrispondente incertezza.
massa = (12.38±0.04) mg
_____________________________________________________________________________________________
c)
Una centrale elettrica eroga un’energia complessiva di (200.0±0.3) GJ in un tempo di (10’000±8) s. Riportare la
potenza della centrale con la corrispondente incertezza.
P = (20.00±0.05) MW
_____________________________________________________________________________________________
d) Un oscillatore smorzato compie 50 oscillazioni al secondo. Mentre oscilla, l’ampiezza si riduce di un fattore e ≈ 2.7
(il numero di Eulero o di Nepero) ogni 10 secondi. Scrivere la legge oraria x(t) dell’oscillatore in notazione
complessa, specificando (a parte) il valore delle costanti note che entrano nell’espressione (quelle non note lasciatele
solo come simboli).
x(t) = A e−γ t+iω t con γ = 1/10 = 0.1 s–1 e ω = 2π 50 = 314 rad/s
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e)
Nel fenomeno della risonanza un oscillatore può essere indotto ad oscillare in modo molto più ampio, a parità di
forza esterna, ponendo la frequenza della forza esterna uguale a quella naturale di oscillazione. Da dove proviene
l’energia richiesta per mantenere le oscillazioni così amplificate? (fornire una risposta discorsiva sintetica)
L’energia proviene dal lavoro fatto dalla forza esterna. Se le oscillazioni sono più ampie, il lavoro cresce in
proporzione. La stessa energia viene poi dissipata dall’attrito, anch’esso proporzionale all’ampiezza delle
oscillazioni.
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f)
Uno strumento musicale si comporta come un risonatore. Una delle sue frequenze di emissione (non necessariamente
quella fondamentale) è 220 Hz. Quali tra le seguenti sono sicuramente altre frequenze di emissione possibili del
risonatore? (fare un cerchietto attorno a quelle che ritenete giuste)
[20 Hz]
[330 Hz]
[440 Hz]
[660 Hz]
[110 Hz]
[55 Hz]
[2200 Hz]
[1100 Hz]
g) Una stazione radio emette alla frequenza di 100 MHz. Calcolare la lunghezza d’onda dell’emissione.
c 3 × 10 8
λ= =
=3m
ν
10 8
_____________________________________________________________________________________________
h) Un sismografo rivela l’arrivo delle onde sismiche longitudinali e trasversali prodotte da un evento sismico profondo
(non consideriamo gli effetti di superficie). In un particolare evento, l’impulso di onde trasversali arriva 2 s dopo
quello delle onde longitudinali. Sapendo che la velocità delle onde longitudinali è di 5000 m/s, mentre la velocità di
quelle trasversali è di 3000 m/s, calcolare la distanza della sorgente sismica dal sismografo [attenzione: la risposta
non è immediata: ragionateci bene].
v v Δt
⎛ 1 1 ⎞ d(v1 − v2 )
d = v1t1 d = v2t 2 Δt = t 2 − t1 = d ⎜ − ⎟ =
⇒ d = 1 2 = 15 km
v
v
v
v
v
⎝ 2
1⎠
1 2
1 − v2
____________________________________________________________________________________________

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