Tenuta idraulica frontale per collettori rotanti

Tenuta idraulica frontale per collettori rotanti
Angelo Montorsi
consulente Su-matic srl
Oggetto della analisi è una guarnizione di tenuta frontale per passaggio di liquidi, attraverso un collettore
rotante.
In funzione dei fenomeni fluidodinamici chiamati in causa, vengono ricavate delle relazioni, le quali, mediante
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drenaggio al fine di ottenere la lubrificazione del contatto strisciante ed un efficace raffreddamento
dei componenti la tenuta.
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Attualmente, le tenute frontali dei collettori rotanti, per alte pressioni e velocità di rotazione,
vengono costruite, utilizzando pastiglie in materiale ceramico, con superfici microlappate; lo stato
de
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multiple di foratura) hanno un costo notevole, per compensare il know-how necessario per queste
realizzazioni.
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costruirsi in casa, le suddette tenute, per le loro specifiche applicazioni.
Fig.1
1
Impostazione del problema: (rif. fig.1)
1°)
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lubrificante, il salto di pressione (Dp) tra la (Pi) interna al collettore e la (Pe) esterna
(press. atmosferica), in condizioni statiche.
2°)
Impostare le relazioni necessarie alla definizione delle condizioni geometriche (d1, d, D),
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3°)
Verificare che esistano le condizioni per un equilibrio stabile.
4°)
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5°)
Valutare la potenza persa per attrito fluidodinamico ed impostare le formule del bilancio
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prodotto, nella zona di tenuta.
6°)
Costruire un foglio di calcolo, basato sulle relazioni trovate, per definire in modo iterativo
i parametri geometrici della nostra tenuta.
7°)
Scegliere i materiali dei componenti la tenuta, in funzione delle sollecitazioni: meccaniche
e termiche calcolate.
Soluzione:
Fig.2
Punto 1°) (rif. fig.1 e fig.2)
a)
Ipotesi di moto laminare Re <= 2300 (numero di Reynolds)
2
b)
Modello geometrico: condotto rettangolare sottile, con graduale allargamento di sezione e
quindi, variazione continua della velocità del fluido, per rispettare la continuità della
portata.
Dalla meccanica dei fluidi (Navier-Stokes), sappiamo che:
Dp= (12.µ.Q.L)/(b.h^3)
(1.1)
dove (Dp) è la perdita di carico, lungo il condotto di lunghezza (L), larghezza (b), altezza (h), di
una portata (Q) di fluido avente viscosità dinamica (µ).
Per il calcolo di (Re) definiamo il diametro idraulico (Dh) che con riferimento alla (fig.2) diventa:
Dh=(4.area della sezione)/(perimetro della sezione) = 2.h
per avere poi:
Re=(4.ds.Q)/(pi.Dh.µ)
(1.2)
dove (ds) sta ad indicare la densità (massa specifica) del fluido, mentre (pi) sta per (pigreco).
Riprendendo in esame la (1.1) e passando agli infinitesimi abbiamo:
dp=[(6.µ.Q)/(pi.h^3)].dr/r
(1.3)
D/2
Dp=
dp = [(6.µ.Q)/(pi.h^3)].Ln(D/d)

(1.4)
d /2
Punto 2°) (rif. fig.1)
Le forze agenti, sul piano della tenuta sono:
Fp=Pi.[(d1^2)/4].pi
Fm
forza premente, dovuta alla pressione (Pi)
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Frp=Pi.[(d^2)/4].pi
forza reagente, dovuta alla pressione (Pi)
Frt
forza reagente, sviluppata, nella corona circolare
definita dai diametri (d); (D) dalla pressione variabile
tra il valore (Pi) e (Pi-Dp)
e la condizione di equilibrio sarà:
Fp+Fm-Frp-Frt=0
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Questo valore sarà messo a confronto con la:
Frt= (A/8).(D^2-d^2)+(B/8).[(D^2-d^2)/2-(D^2).Ln(D/d)] - C.Ln(D/d)
(2.1)
3
dove si è posto:
A=2.pi.Pi
B=(12.µ.Q/h^3)
C=(ds.Q^2)/(4.pi.h^2)
(2.2)
Fig.3
espressione ricavata (rif. fig.3) sviluppando la:
dF=(Pi-Dp).2.pi.r.dr
(2.3)
dove (dF) è la forza elementare di reazione, nella sezione generica, di area (2.pi.r.dr).
Punto 3°)
Manipolando le (2.2), sostituendo alla (Q) il valore che si ricava dalla (1.4), quando si pone
(Dp=Pi), dopo vari passaggi la (2.1) diventa:
Frt=(pi/4).Pi.(D^2-d^2)+ (pi/4).Pi.E - (pi/4).(Pi^2).[ds/(µ^2)].F.h^4
(3.1)
dove si è posto:
E=[1/Ln(D/d)].{[(D^2-d^2)/2]-(D^2).Ln(D/d)}
F=1/[36.Ln(D/d)]
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possibilità di avere un funzionamento autoregolante della tenuta.
4
Avendo (D>d) sarà (F>0), quindi ad un aumento di (h), corrisponde una diminuzione di (Frt)
mentre, ad una diminuzione di (h), corrisponde un aumento di (Frt); il calcolo ci dirà, se la risposta
del sistema,al
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Punto 4°) (rif. fig.4)
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rotatorio, con velocità angolare (w=rad/s).
Fig.4
Osservando la (fig.4), notiamo che il percorso seguito dal fluido, per uscire dalla tenuta, segue una
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portata (Q), in uscita e (vt) tangenziale, dovuta alla rotazione (w), del piattello.
Riprendendo in esame la (1.1) e dopo le opportune sostituzioni avremo:
dp=H.{[(G+(r^4))^(1/2)]/r}.dr
(4.1)
dove si è posto:
H=(6.µ.w)/(h^2)
G=(Q^2)/[(w^2).(pi^2).(h^2)]
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essione improponibile su queste pagine, la quale
calcolata per un numero significativo di casi, ci permette di definire la:
Pm=Pi-{Dp/2+1/2.[f(1/2(D+d))-(Dp/2)]}
(4.2)
senza commettere un errore apprezzabile, dove (Pm) rappresenta la pressione media sulla
superficie, compresa tra i diametri (D), (d); mentre [f(1/2(D+d))] è il valore di (Dp) calcolato
per [D=1/2.(D+d)], valore medio tra (D) e (d).
5
Con le posizioni fatte la (2.1) si trasforma nella:
Frt= Pm.(1/4).(D^2-d^2).pi - C.Ln(D/d)
(4.3)
valore per (Frt) che utilizzeremo nel seguito della trattazione.
Punto 5°) (rif. fig.5)
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calore in eccesso, generato dalla rotazione del piattello.
Fig.5
Per un fluido newtoniano abbiamo:
dF=(µ.v/h).dA ; dA=2.pi.r.dr ; v=w.r
dove: µ=viscosità dinamica;
v=velocità di scorrimento;
dA=superfice elementare
Osservando la (fig.5), vediamo che sussistono le seguenti relazioni:
dF=[(2.pi.µ)/h].w.r^2.dr
dPr=v.dF=[(2.pi.µ)/h].(w^2).(r^3).dr
dove (dPr) sta ad indicare il differenziale della potenza persa, per attrito fluidodinamico.
Passando agli elementi finiti, avremo:
6
D/2
Pr=
d Pr ={pi.µ.(w^2)/[(2^5).h]}.(D^4-d^4)

(5.1)
d /2
dove (Pr), è la potenza persa per attrito, nella nostra tenuta.
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del collettore, per conduzione, attraverso i materiali costituenti la tenuta (piattello statico e
piattello rotante), mentre, per la parte che risultasse eccedente, ipotizziamo la dispersione
attraverso, il trafilamento controllato, della nostra tenuta; derivato, da una oculata scelta dei
parametri geometrici costruttivi.
Allo scopo di determinare, il calore disperso per trasmissione, alla vena fluida interna, (flusso
principale), attraverso le superfici cilindriche, di diametro (d) e rispettive altezze (H1),(H2) vedi
(fig.6), definiamo il concetto di parete equivalente; cioè quella parete a spessore costante, che
realizza una trasmissione termica, equivalente a quella del caso in esame.
Fig.6
La (Fig.6) illustra il concetto geometrico seguito, per definire le nostre due pareti equivalenti, le
quali avranno: superfici laterali (S1), (S2) e spessori (s1), (s2) tali, da eguagliare il volume dei due
solidi di rivoluzione, generati dalla rotazione dei due triangoli, di baricentri rispettivi (G1), (G2)
evidenziati.
Per il teorema di Guldino avremo:
V1=(pi.H1/12).(D-d).(D+2.d)
V2=(pi.H2/12).(D-d).(D+2.d)
dove (V1), (V2) sono i volumi delle due pareti equivalenti, le quali avranno spessore:
s1=s2=[(D-d).(D+2d)]/(12.d)
Passiamo ora al calcolo, della dispersione termica:
7
Pt=K.S.(T1-T2) (W)
dove: T1
T2
S (S1, S2)
K (K1, K2)
(5.2)
(°C)
(°C)
(m^2)
{W/[(m^2).(°C)]}
1/K=1/a1+1/a2+s/ct
Potenza dispersa, per trasmissione termica
attraverso le pareti interne, degli elementi di
tenuta.
Temperatura del fluido, nella zona di trafilamento.
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Superficie della parete equivalente.
Coefficienti globali di trasmissione termica.
(5.3)
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a=0,097+0,58.[v^(1/2)]
[W/(m.°C)]
dove (a) rappresenta il coefficiente di scambio, tra il fluido e le pareti della tenuta, che ricevono e
cedono il calore trasmesso, mentre (s) rappresenta lo spessore equivalente di queste pareti; (ct) la
conduttività termica interna e [v (m/s)] la velocità del fluido, in prossimità delle pareti.
Rimane a questo punto, da valutare la potenza termica, asportata dal trafilamento della tenuta:
Pq=Q.ps.cs.(T3-T2)
dove: Pq
Q
cs
ps
T3
(W)
[(m^3)/s]
[J/(Kg.°C)]
[Kg/(m^3)]
(°C)
(W)
(5.4)
Potenza dispersa, nel trafilamento della tenuta.
Portata del trafilamento.
Calore specifico del fluido, cs=4,2.(10^3) per acqua a 50°C.
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Temperatura del fluido, dopo il trafilamento.
Punto 6°)
Vediamo ora un esempio di calcolo, eff
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le formule ricavate da questa analisi.
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apparecchio multiplo di foratura, dove i ridotti ingombri radiali (ømax=20 mm); le prestazioni
richieste [Pi=8 Mpa (80 Bar)], (n=7000 giri/min) ne fanno una applicazione di tutto riguardo.
8
Dati:
d1 = 8
d =4
D = 11,5
H1 = 2,5
H2 = 4
mm
mm
mm
mm
mm
Diametro a monte della tenuta
"
interno tenuta
"
esterno tenuta
Altezza sezione di scambio termico del piattello statico
"
"
"
"
"
"
"
rotante
Pi = 8
n = 7000
v =3
Fm = 20
MPa
giri.(min^-1)
m.(s^-1)
N
(1 MPa = 10 Bar) Pressione interna
Regime rotazione del piattello rotante
Velocità del fluido nella vena principale
Forza di spinta delle molle
descrizione o sigla
Natura del fluido che attraversa la tenuta
N.(m^-2).s
Kg.(m^-3)
°C
°C
°C
J.(Kg^-1).(°C^-1)
W.(m^-1).(°C^-1)
W.(m^-1).(°C^-1)
Viscosità dinamica media del fluido
Peso specifico del fluido
Temperatura del fluido nella zona di trafilamento
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" vena principale
"
"
"
" dopo il trafilamento
Calore specifico medio del fluido
Conduttività termica interna del piattello statico
"
"
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"
rotante
(mm^3).(s^-1)
(1/1000).mm
Portata del trafilamento
Altezza del meato di trafilamento
Fluido: acqua
µ = 0,000544
ps = 1000
T1 = 40
T2 = 35
T3 = 45
cs= 4200
ct1= 0,25
ct2= 29
Calcolo:
Q = 448
h =4
(1.2)
Re = 131069
numero puro
Numero di Reynolds (Re <= 2300 per flusso laminare)
(4.3)
Dp = 8,0732
MPa
Perdita di carico durante il trafilamento
Fp = 402,12
Frp = 100,53
N
N
Forza premente dovuta alla pressione (Pi) su (d1)
" reagente
"
"
"
" su (d)
Frt = 321,59
N
Forza dovuta alla reazione nella zona tra (d) e (D)
richiesta per avere l'equilibrio del sistema
(4.4)
Frt = 321,87
N
Forza dovuta alla reazione nella zona tra (d) e (D)
sviluppata dal sistema (da rendere uguale a quella
richiesta per l'equilibrio del sistema)
(5.1)
Pr = 0,124
W
Potenza persa per attrito fluidodinamico
S1= 3,142E-05
S2= 5,027E-05
s1=s2= 0,0030
a1= 0,7882
a2= 1,1016
m^2
m^2
m
W.(m^-1).(°C^-1)
W.(m^-1).(°C^-1)
Superfice della parete equivalente del piattello statico
"
"
"
"
"
"
rotante
Spessore comune delle pareti equivalenti
Coefficente di scambio termico nella zona di trafilam.
"
"
"
"
" vena principale
K1= 0,4569
K2= 0,4594
W.(m^-2).(°C^-1)
W.(m^-2).(°C^-1)
Coefficente globale di trasmiss.termica parete statica
"
"
"
"
"
" rotante
Pt= 0,000187
W
Potenza dispersa per trasmissione termica, attraverso
le pareti interne degli elementi di tenuta
(5.2)
9
(5.4)
Punto 7°)
Pq= 18,816000 W
Potenza termica dispersa, per effetto del trafilamento
della tenuta (calore trasportato dal fluido che trafila)
(conclusioni)
Il calcolo effettuato ci fornisce un valore di Frt=320 N, per la forza di reazione della nostra tenuta,
alla quale corrisponde una superficie attiva di 91,3 mm^2 con una pressione media sulla superficie
di 3,5 N/mm^2 (3,5Mpa) ed una velocità periferica massima di 4,2 m/s, per un (p.v)
di 14,7 Mpa.(m/s).
Considerato che il calore prodotto viene asportato, con ampia garanzia, dalla portata di
trafilamento, Q=27 cm^3/min e la pressione di contatto vale soltanto 3,5 N/mm^2, un ampio
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acciaio da cementazione, es. 18NiCrMo5.
Prevederemo la finitura delle superfici a contatto (Ra 0,2 - 0,3) e non più spinta, per assicurare il
trafilamento, che, se inibito, porterebbe ad un rapido deterioramento della tenuta.
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