Noi Evgenij Zamjátin

AIAS – ASSOCIAZIONE ITALIANA PER L’ANALISI DELLE SOLLECITAZIONI
43° CONVEGNO NAZIONALE, 9-12 SETTEMBRE 2014, ALMA MATER STUDIORUM – UNIVERSITÀ DI BOLOGNA
AIAS 2014 - 300
UN MODELLO ARMONICO PER L'ANALISI ELASTO-PLASTICA DI
STRUTTURE PIANE ASSIALSIMMETRICHE SOGGETTE A CARICHI
NON ASSIALSIMMETRICI: IL CASO DI UN RULLO DI LAMINAZIONE
D. Benasciuttia, F. De Bonaa, M. Gh. Munteanua
a
Università degli Studi di Udine,Dipartimento di Ingegneria Elettrica Gestionale e Meccanica
Via delle Scienze 208, 33100, Udine, e-mail:[email protected]
Sommario
Si presenta un modello armonico ad elementi finiti per l'analisi di strutture piane, soggette a forze e
temperature con distribuzione non-assialsimmetrica; l'esempio di applicazione cui si fa riferimento è
quello dei rulli di laminazione a caldo. Nel modello armonico si scompongono i carichi applicati in
serie di Fourier con N armoniche il che permette di ricondurre la soluzione del problema assegnato alla
soluzione di N casi più semplici. In genere un modello 3D è quindi scomposto in N casi 2D; in questo
lavoro si propone una formulazione in cui strutture 2D assialsimmetriche sono ricondotte ad un
modello armonico 1D, il che risulta particolarmente utile in presenza di non linearità (ad es.
elastoplasticità o contatto).
Come esempio di applicazione si propone l'analisi di un rullo di laminazione a caldo soggetto a carichi
termo-meccanici indotti dal processo. Il modello armonico, implementato in Matlab, è confrontato con
risultati di un'analisi 2D che utilizza un codice commerciale. Si ottiene un accordo molto
soddisfacente, con il vantaggio di tempi di calcolo molto inferiori a parità di fittezza della mesh.
Abstract
Work rolls in hot rolling mills are usually subjected to cyclic thermal loadings, induced by strip
heating followed by water jet cooling; it is therefore necessary to perform numerical simulation of
several mill rolls up to steady state condition, taking into account the elastoplastic behaviour of the
material. This work aims to present a simplified method for assessing transient temperature and
thermal stress distribution in work roll of hot rolling mill.
As the work roll can be considered an axisymmetric structure loaded by non-axisymmetric thermal
loads, a semi-analytical approach using a harmonic model and Fourier series expansion can be
adopted. In this work, a harmonic element is proposed, to reduce the two-dimensional problem to a
one-dimensional one, with a significant decrease in computational time. A comparison of the results
obtained by the proposed semi-analytical approach with those obtained by a two-dimensional FE
model stresses that the latter permits a significant reduction of computational time to be achieved.
Parole chiave: laminazione a caldo, elemento finito semianalitico, formulazione armonica.
1. INTRODUZIONE
In un impianto di laminazione a caldo i rulli di lavoro sono sottoposti a carichi ciclici di origine
termica e meccanica. Le sollecitazioni termiche derivano dalla distribuzione non uniforme di
temperatura indotte dal calore fornito dal prodotto e dal quello dissipato dal sistema di raffreddamento.
Le tensioni e le deformazioni meccaniche sono invece prodotte dalle pressioni di laminazione nonché
dalle forze di contatto che si ingenerano con i rulli di back-up. Nel caso della laminazione a caldo, le
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tensioni termiche che si producono sono generalmente confrontabili, se non addirittura maggiori di
quelle meccaniche [1,2,3]. La fatica termica provocata dalle sollecitazioni termiche cicliche, a cui si
aggiungono altri meccanismi di danneggiamento, quali quelli di fatica meccanica, l'usura, e i fenomeni
di ossidazione a caldo, inducono un progressivo deterioramento della superficie del rullo. È pertanto
importante essere in grado di valutare con precisione le sollecitazioni termiche, di tipo ciclico, che si
producono durante il funzionamento del rullo. Questo tipo di analisi risulta assi complessa e richiede
l'utilizzo di modelli numerici basati sugli elementi finiti. In letteratura sono stati proposti differenti
approcci, caratterizzati da differente livello di complessità. Alcuni autori [4,5] propongono soluzioni
in cui vengono presi in considerazione sia i fenomeni di deformazione plastica della billetta, che quelli
cosiddetti di interazione con il rullo. Si tratta di approcci di scarsa utilità pratica, sia per la loro
complessità, che per le risorse di calcolo che richiedono. Un approccio alternativo, proposto
recentemente [6,7] si propone di ridurre l'onere computazionale, mantenendo elevata l'accuratezza del
modello. Tale approccio si basa su un modello piano del solo rullo di lavoro in condizione di carico
termico rotante. Un'analisi transitoria di tipo termico, seguita da una soluzione di tipo meccanico,
permettono di risolvere il problema, tuttavia, inaspettatamente, anche questo metodo richiede un
tempo di simulazione molto elevato, particolarmente per ciò che riguarda l'analisi meccanica, che
risulta di tipo non lineare, poiché il materiale subisce fenomeni di plasticizzazione. L'obiettivo di
questo lavoro è pertanto quello di esplorare se un approccio FEM con elementi di tipo semianalitico
permetta di ridurre i tempi di calcolo e consenta quindi di poter effettuare la simulazione del ciclo di
sollecitazioni a cui è sottoposto il rullo fino a che si raggiungano condizioni stazionarie.
I metodi semianalitici sono stati sviluppati più di un secolo fa per analizzare il caso di strutture
assialsimmetriche caricate non assialsimmetricamente [8]. Si può pertanto pensare di applicare il
metodo al caso dei rulli di laminazione, che presentano geometria assialsimmetrica e carichi dovuti al
flusso termico entrante dalla billetta e uscente per effetto del raffreddamento, che non sono
assialsimmetrici. Sebbene in genere i metodi semianalitici sono utilizzati per rendere piano un
problema tridimensionle, in questo caso ci si propone di utilizzarli per rendere monodimensionale un
problema bidimensionale.
Verrà quindi proposto un metodo di calcolo basato su elementi finiti semianalitici in grado di risolvere
sia il transitorio termico, che quello meccanico. Si deve evidenziare che, sebbene nel caso termico il
problema si possa considerare lineare, in quello meccanico, in considerazione della elevata
temperatura raggiunta dal rullo, non si può non tenere conto della variabilità della caratteristiche del
materiale con la temperatura, nonché del suo comportamento elastoplastico. Come è noto, il metodo
armonico porta ad un sistema di equazioni lineari che, in considerazione delle proprietà di ortogonalità
delle armoniche, risultano disaccoppiate; pertanto la soluzione si ottiene per sovrapposizione di un
numero limitato di armoniche. Nel caso in oggetto tale metodo non risulterebbe, in linea di principio,
utilizzabile, in quanto le non linearità meccaniche producono un accoppiamento tra le armoniche
stesse; in realtà si vedrà che anche in questo caso l'approccio consente una considerevole riduzione dei
tempi di calcolo.
2
FORMULAZIONE SEMIANALITICA
2.1 Caso ineare
Una struttura tridimensionale si definisce assialsimmetrica se, in un sistema di riferimento cilindrico di
coordinate r, θ, z (dove z coincide con l'asse di assialsimmetria), la geometria, le proprietà dei
materiali e le condizioni al contorno sono indipendenti dalla anomalia θ. A seconda della tipologia di
caricamento, si possono avere due situazioni. Nel primo caso anche i carichi esterni hanno una
distribuzione assialsimmetrica o "anti-assialsimmetrica"; e quindi, come è noto, il problema è
bidimensionale e i risultati non dipendono da θ e sono solo funzione di r e z [9]. Un secondo tipo di
problemi, di maggiore interesse pratico, riguarda il caso in cui le condizioni di carico non sono
assialsimmetriche e quindi il problema è realmente tridimensionale. In questo caso la soluzione del
problema con il metodo degli elementi finiti può risultare notevolmente più semplice, se si utilizza
l'approccio semianalitico. Se si sviluppa il carico in serie di Fourier in funzione dell'anomalia θ:
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




 R 0   R n r , z  cos n  R n r , z  sin n
n 1
 Rr ,  , z  


 
T r ,  , z    T 0   T n r , z  sin n  T n r , z  cos n
n 1
Z r ,  , z  


 
Z
0   Z n r , z  cos n  Z n r , z  sin n

n 1






(1)
dove con n si indica la n-esima armonica, la risposta della struttura sarà anche essa armonica e in
particolare gli spostamenti potranno essere espressi in serie di Fourier:






u
r
,

,
z
u
u n ( r, z ) cos n  u n ( r, z ) sin n



0

n 1





v
r
,

,
z
v




0  v n ( r , z ) sin n  v n ( r , z ) cos n
n 1


 wr,  , z    w 
wn ( r, z ) sin n  wn ( r, z ) cos n
0


n 1



(2)

Ovviamente in un modello agli elementi finiti di tipo armonico si considerano solo un numero limitato
di armoniche. Pertanto un problema originariamente di dimensione p viene sostituito da una serie di
analisi di dimensione p-1 che ovviamente potrà essere risolto tanto più velocemente, quanto minore
sarà il numero N delle armoniche considerate. Sono stati quindi sviluppati elementi armonici piani a 4
e 8 nodi ed elementi guscio, che consentono di ridurre un problema di dimensione 3D in una serie
limitata di problemi di dimensione 2D.
In questo lavoro si propone una formulazione ancora più semplice, con l'obbiettivo di ridurre un
problema 2D ad un problema di dimensione 1D. Questa procedura risulta particolarmente adatta a
studiare il caso di un rullo di laminazione. Nel seguito, per ragioni di semplicità si accenna al caso di
un elemento a due nodi, ma la trattazione si potrebbe facilmente applicare anche al caso di un
elemento a 3 nodi.
0 r 1
2
L
Figura 1: Elemento armonico a 2 nodi
In Fig. 1 si rappresenta un elemento armonico a 2 nodi. Gli spostamenti nel piano dei nodi
dell'elemento posso essere espressi come:
 u1n cos n   u1n sin n  
u1 
 v  N 1   v sin n    v cos n   N 1
uel  u1     u 1n cos n    u 1nsin n     T1 unel  T2 unel 
  n 0
  2n
 2  n 0   2 n


 

v2 
  v2n sin n   v2n cos n  
con:
0
0
0 
cos n
 0
sin n
0
0 

 T2  
T1  
0 cos n
0 
 0


0
0
sin n 
 0
sin n
 0

 0

 0
0
 cos n
0
0
0
0
sin n
0
(3)
0 
0 

0 

 cos n 
(4)
dove si sono distinte come soprassegnate e doppiamente soprassegnate, rispettivamente, le ampiezze
dei termini armonici simmetrici e antisimmetrici. Il segno negativo davanti ai termini antisimmetrici in
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v è stato introdotto come suggerito in [9] al fine di rendere più snella la struttura formale delle
successive equazioni.
In particolare si osservi che per n=0 si ha il caso assialsimmetrico, mentre per n=1 si ha quello
"antiassialsimmetrco". Con N si è indicato il numero delle armoniche. Poiché la prima armonica è di
ordine 0 è necessario limitare la sommatoria a N-1.
Ne segue che lo spostamento del generico punto di coordinate r e sarà:
ur, 
el
  N u 

vr, 
(5)
dove le funzioni di forma sono delle semplici funzioni lineari del tipo:
 r
1
N2    2 
r
r
r
r

 2 1 2  r1
N r   N1

1 
r1

r
r2  r1 r2  r1 
(6)
Si possono quindi esprimere le deformazioni:
  r  N 1
N 1 
 unel  
 
el
el

  θ    Bn un  Bn un     Bn  Bn  el   
n 0 
un  
  n 0
 rθ 
  

 ~
B
 
3x4( 2 N 1)

  u

el
0
~ 
u1el u1el u2el u2el ... u Nel1 u Nel1 
T
  B  B 
dove: B  B0  B1
cos n
e: B n   0

 0
 
(7)
1
0
cos n
0
2
B   B  B 
2
0 
0 Bn 

sin n 
N 1
N 1
0
0 
sin n

Bn 
0 sin n
0 Bn 


0
 cos n 
 0
 

  1
 N 1
N 2
1
0
0
0
  

r
r
L
  1L
 N
N
N
N
1
n
1
1
2
2

Bn   
n
n
2rm
2rm
r
r
r
  2rm
 r
 nN 1  N 1 N 1  nN 2  N 2 N 2   n  1
1 
n
  r  r  r   r  r  r   
  
 





 2rm  L 2rm  2rm
r r
mentre: rm  1 2 , L  r2  r1 . Se si introduce la matrice generalizzata di Hooke:
2


1 
0 

D  E 2  1 0 
1  
1  

0 0
2 

è possibile esprimere la matrice di rigidezza dell'elemento:




n

2rm

1
1 
 

 L 2rm 
0
(8)
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
 k0 0 0 0 0

0 k 0 0 0
1


 2 ~ T

 0 0 k1 0 0
~ 
k   A   r B D B d dA = 

el

0

 0 0 0 k2 0

 0 0 0 0 k2






 
(9)
4 ( 2 N 1) x 4 ( 2 N 1)
Si osservi che si è ottenuta una matrice di dimensione 4(2N-1)x4(2N-1), la quale, in virtù delle
proprietà di ortogonalità delle funzioni armoniche, si presenta a banda con semiampiezza pari a 3.
Si procede quindi all'assemblaggio della matrice di rigidezza della struttura K  , che risulterà anche
essa a banda di semi-ampiezza 3.
Nel caso dell'analisi termica è possibile utilizzare un approccio analogo, anche se in questo caso si
avrà un solo grado di libertà per nodo; in particolare in [10,11], vengono descritte in dettaglio due
formulazioni, rispettivamente per un elemento finito a 2 nodi (con 1 o 2 punti di Gauss) e funzioni di
forma lineari e per un elemento finito a 3 nodi (con 2 o 4 punti di Gauss), con funzioni di forma
quadratiche.
Nell'analisi transitoria si utilizza, per l'integrazione nel tempo, il metodo Linear Speed (LSM), in
quanto, come descritto in [11] si tratta di un approccio implicito incondizionatamente stabile, che
consente, accoppiato ad un algoritmo di fattorizzazione LU, di ridurre il tempo di calcolo di quasi un
terzo, rispetto ad un metodo esplicito, come il Forward Finite Difference (FFD).
2.2 Caso non lineare
Come evidenziato in precedenza, vi sono alcuni casi, come quello del rullo di laminazione oggetto di
questo studio, in cui risulta necessario, viste le elevate temperatura di esercizio, tenere in
considerazione il comportamento elastoplastico del materiale. In letteratura questo problema è stato
affrontato in [12], dove viene presentato il caso di elementi finiti armonici piani e viene proposto per
la soluzione del problema non lineare un algoritmo basato sul metodo delle "Initial Stress"; più
recentemente in [13] viene proposto un elemento finito armonico piano con formulazione di tipo
"Hybrid Stress"; anche in [14] viene proposto un elemento finito piano di tipo armonico con
comportamento elastoplastico. Infine in [15] si suggerisce di utilizzare il metodo delle serie discrete di
Fourier, per risolvere il caso di un elemento finito piano. Se ne conclude che in letteratura, come pure
nei codici di calcolo, non è disponibile una formulazione di tipo monodimensionale, pertanto, sebbene
l'approccio risulti assai semplice, lo si descrive in questo lavoro, evidenziandone la notevole utilità
pratica in alcuni problemi di simulazione meccanica, in cui anche un approccio di tipo piano non
consentirebbe di ottenere la soluzione in tempi ragionevoli.
Per un generico incremento di carico, la relazione di Hooke generalizzata si esprime per incrementi di
tensione e deformazione:
   D ep  
(10)
L'espressione di Dep è data da [17]:
T
D   D 
ep
D  F  F  D 
    
T
 F 
F *  F 
0  
4
 D 


  
  
(11)
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dove:  è il parametro di incrudimento, corrispondente al valore della deformazione plastica
cumulata, che nel caso piano è pertanto esprimibile come:
   pl   d pl    pl

2
2
2
2
2

d xpl   d ypl   d zpl   2d xypl 
3
d  d pl 

(12)
Il simbolo  0* indica la tensione di snervamento corrispondente ad un determinato incremento di
carico, mentre con F si indica il criterio di snervamento, che, per Von Mises, può essere espresso
come:
F  ,     x   y    y   z    z   x   6 xy2  2 0*    0
2
2
2
2
(13)
Ne consegue che, in considerazione della nuova struttura della matrice di Hooke, per quegli elementi i
quali hanno raggiunto la plasticizzazione, le armoniche non sono più disaccoppiate e pertanto la
matrice di rigidezza non è più a banda, in particolare, volendo distinguere tra la componente lineare e
quella non lineare, si può scrivere:
2
2
k      rB~ DB~d dA     rB~ D



Ael
T
0
k 0
0

0
 k l   k nl   
0
0


dove: kij 
Ael
0 0 0 0
k1 0 0 0
0 k1 0 0
0 0 k2 0
0 0 0 k2
T
ep
0
 k11
 
 
 

 
 
 
 
~ 
 D  B d  dA 

k12 k13 k14
k 22 k 23 k 24
k 33 k 34
symm
k 44

k15
k 25
k 35
k 45
k 55









(14)
 2

T
Ael  0 rBi  Dep  DBj d dA
Ovviamente dopo l'assemblaggio si otterrà una matrice di rigidezza K   K l   K nl  anche essa non
più a banda.
L'espressione della matrice k  evidenzia pertanto il vantaggio che risulterebbe nell'adottare,
analogamente al caso piano, un approccio alla "Initial Stress"; in tale caso il calcolo si effettua senza
aggiornare la matrice di rigidezza che pertanto è quella iniziale kl  a banda di dimensione 3. Si
osserva quindi che, mentre nel caso di un calcolo con un elemento finito non armonico per ogni
iterazione si dovrebbe procedere utilizzando una matrice kl  non a banda, nel caso armonico si
utilizza sempre una matrice a banda stretta, riducendo drasticamente i tempi di calcolo anche nel caso
di un numero di iterazioni molto elevato.
Il calcolo si svolge quindi in modo iterativo per valori crescenti di carico, secondo lo schema riportato
nel seguito.
1) Per il q-esimo incremento di carico Fq , si calcolano le ampiezze dell'incremento degli
 
  risolvendo la:
spostamenti nodali delle N armoniche uq
K l uq ,0   Fq ;
si possono
quindi ricavare le deformazioni direttamente per gli rxm punti del dominio (r nodi lungo il raggio e
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m intervalli  
2
m
lungo la circonferenza). Con l'Eq.(10) si ricava il corrispondente


el
incremento delle tensioni  q,0
.
1a) Inizia quindi un ciclo di iterazione in i (i inizialmente pari a 0), che permetterà di
correggere il valore degli spostamenti e delle tensioni per tenere in conto dei fenomeni
plastici.
el
el
el
2a) Si calcolano le tensioni totali:  q,i
  q,i
e la corrispondente funzione di
1   q,i
  
 

snervamento Fq,i
3a) Se Fq,i  t
, dove t è un valore di tolleranza sull'errore, inizia un altro ciclo di iterazione
 
el
che ha lo scopo di riportare il valore della tensione  q,i
sulla superficie di snervamento,
cioè alla condizione Fq,i  t . Nel seguito si descrive la j-esima iterazione.
3a1) Si calcola il valore di:  j 
determina
il
corrispondente
Fq,i, j
T
F
 Fq,i, j 
 D  q,i, j

 
   
valore
di
  
  
corretto delle tensioni:  .
,
  e si
con: Fq,i, j  F  q,i, j
   D F  ;
q,i, j
el
q,i, j
j
si
valuta
el
el
el
quindi:  q,i,
j   q,i, j1   q,i, j ; quando Fq,i, j  t , risulta determinato il valore
el
q,i
 
4a) Si calcola quindi il vettore delle forze nodali che producono le tensioni  q,eli :
R       rB  B  B  B  B  ... B  B   d dA . A questo
 
 
punto è determinato il carico nodale R  che è necessario applicare per ottenere
l'equilibrio: R   F  R .
5a) Si risolve nuovamente il sistema K u  R  ricavando u .
6a) Si correggono quindi i valori degli spostamenti nodali: u   u  u .
7a) Il calcolo prosegue fino a che si raggiunge la condizione: R  R   t ' .

q,i
2
A el
T
0
1
1
2
2
N
N

el
q,i
0
q,i 1
q,i 1
q,i
q,i
l
q,ì 1
q,i 1
q,i 1
q,i 1
q,i
q,i 1
T
q,i 1
q,i 1
2) Si passa quindi all'incremento di carico successivo q+1, ripetendo la procedura appena descritta.
3
ESEMPIO DI CALCOLO
3.1
Il caso del rullo di laminazione
Un'applicazione per la quale il metodo proposto risulta particolarmente efficiente è costituita dallo
studio del transitorio termico e meccanico di un rullo per laminazione a caldo.
Il rullo di laminazione infatti si può considerare come una struttura assialsimmetrica caricata non
assialsimmetricamente. In questo lavoro si confronteranno i risultati ottenuti con l'elemento armonico
monodimensionale proposto con quelli ottenuti in [10,16] con un modello di tipo piano.
La configurazione termica che si è utilizzata per lo studio è rappresentata in Fig. 1a. Un cilindro di
lunghezza infinita e sottoposto a una velocità di rotazione costante, vede un flusso termico entrante
che simula il calore fornito dalla billetta a contatto con il rullo; lateralmente vi è un sistema di
raffreddamento ad acqua, che viene simulato con una zona di scambio termico per convezione. In Tab.
43° CONVEGNO NAZIONALE – RIMINI, 9-12 SETTEMBRE 2014
1 sono riportati i principali parametri di simulazione, assunti, per semplicità costanti con la
temperatura.
Tabella 1: Parametri di simulazione
Parametro
R=300 mm
=2,953 rad/sec
 = 10°
α = 45°
 = 90°
Descrizione
Raggio del cilindro
Velocità angolare del
cilindro
Settore riscaldato
Intervallo angolare tra
la zona calda e fredda
Settore raffreddato
Parametro
q0=13,7×106W/m2
h=10100 W/m2K
T0=20°C
Troll=20°C
Descrizione
Flusso termico in ingresso
Coefficiente di scambio
convettivo
Temperatura acqua
Temperatura iniziale del
rullo
L'analisi numerica simula un transitorio di 3600 secondi, corrispondente a circa 1700 giri. Inizialmente
si suppone il rullo a temperatura ambiente di 20°C. Si esegue prima un'analisi termica, seguita da
quella meccanica, in cui le temperature calcolate nel transitorio termico vengono applicate come
carico termico, per individuare tensioni e deformazioni.
La Fig. 2b mostra il modello ad elementi finiti di tipo piano utilizzato sia per il calcolo termico che per
quello meccanico (6940 elementi, 6921 nodi). L'analisi transitoria è stata effettuata considerando il
rullo fisso e il carico rotante. Per l'analisi termica si è utilizzato un elemento termico lineare a 4 nodi.
Il calcolo è stato svolto con un solutore di tipo implicito basato su metodo del Gradiente Coniugato
alla Jacobi. La simulazione ha richiesto 609000 passi di carico pari a circa 3 giorni di simulazione. Per
l'analisi meccanica si è utilizzato un elemento finito isoparametrico a 4 nodi in deformazione piana. Il
materiale è stato simulato con una legge di incrudimento di tipo cinematico. La simulazione è fatta
svolta utilizzando un risolutore esplicito ed un algoritmo alla Newton Raphson modificato. Rispetto
all'analisi termica, i tempi di calcolo risultano assai elevati; si sono simulati solo 20 rotazioni complete
del rullo, con un tempo di calcolo di circa 10 giorni. Maggiori dettagli sono contenuti in [6,7].

(a)
(b)
(c)
Figura 2: Schema del rullo (da [19]) (a); modello piano (b) e armonico (c).
Nel caso della simulazione con l'elemento finito proposto, si è utilizzato il modello monodimensionale
rappresentato in Fig.2c (28 elementi e 57 nodi) il quale presenta la medesima distribuzione di nodi r
lungo il raggio del modello 2D e la medesimo numero di suddivisioni m circonferenziali. Come è noto,
nel caso del modello armonico è importante effettuare una attenta valutazione della scelta del numero
di armoniche N. In considerazione del fatto che il carico termico è applicato in un intervallo angolare
molto ristretto, ( = 10°), si è optato per un numero relativamente elevato di armoniche (50-100); si è
infatti visto che tale scelta mantiene i tempi di calcolo su valori ragionevoli, garantendo una buona
accuratezza e evitando errori legati al fenomeno di Gibbs. Si sono ottenuti tempi di calcolo dell'ordine
di circa 1h per il calcolo termico e di circa 3h per quello meccanico.
3.2
Analisi termica
Il confronto tra i risultati del calcolo termico 2D e 1D è già stato effettuato in dettaglio in [11]. In
questa sede ci si limita a riportare alcuni risultati utili per comprendere meglio i risultati della
successiva simulazione meccanica.
43° CONVEGNO NAZIONALE – RIMINI, 9-12 SETTEMBRE 2014
In Fig. 3a vengono riportati i campi di temperatura nel rullo dopo 1800 secondi; lungo la superficie
esterna si osserva un progressivo aumento di temperatura fino a 388 oC nella zona calda.
300
r/R
DETAIL
temperature [°C]
T [°C]
1,000
0,996
200
0,991
0,980
100
0
2
(a)
2,5
3
3,5
4
4,5
5
(b)5,5
6
time [sec]
Figura 3: Distribuzione di temperatura nel rullo dopo 1800 s (a) loro evoluzione nel tempo in punti a
differente profondità rispetto alla superficie (b).
Fig. 3b illustra l'evoluzione della temperatura per alcuni punti a differenti valori del raggio. Si
evidenzia che il gradiente termico è confinato in una piccola regione vicina alla superficie esterna.
I risultati termici ottenuti con il modello piano e con quello armonico coincidono perfettamente,
sebbene i tempi di calcolo nel secondo caso siano notevolmente ridotti.
3.3
Analisi meccanica
Le distribuzioni di temperatura ottenute durante l'analisi termica vengono quindi utilizzate come
carichi per la successiva analisi meccanica. La Fig. 4 riporta le tensioni di Von Mises ottenute dopo 20
rotazioni del rullo (43 sec). Come già evidenziato in [7] si tratta di un tempo di lavoro che non ha
ancora consentito al rullo di raggiungere le condizioni stazionarie, tuttavia il modello piano
richiederebbe tempi di simulazione del tutto inattuabili per seguire il fenomeno più a lungo. Pertanto,
con l'obiettivo di un'analisi compartiva si è limitato lo studio con il modello armonico allo stesso
intervallo di tempo, sebbene esso potrebbe essere svolto anche per un numero giri del rullo molto più
elevato. Si osserva l'ottimo accordo tra i due risultati; in particolare, come evidenziato già in [11], dal
confronto tra gli andamenti in tensione e quelli in temperatura di Fig. 3 si evidenzia che le tensioni
sono sostanzialmente determinate da un' espansione termica biassiale impedita [18] e pertanto hanno
un valore proporzionale a quello delle temperature secondo una relazione del tipo:

 E T
(1  2 )
(15)
(c)
Figura 4: Tensioni di Von Mises (andamento globale e ingrandimento in prossimità della superficie
esterna dove i gradienti sono elevati): modello piano (a) e armonico (b) andamento delle tensioni di
Von Mises lungo la superficie esterna del rullo.
43° CONVEGNO NAZIONALE – RIMINI, 9-12 SETTEMBRE 2014
4
CONCLUSIONI
In questo lavoro si è proposto un elemento finito armonico di tipo termico e meccanico,
particolarmente adatto a studiare il caso di strutture assialsimmetriche caricata non
assialsimmetricamente che richiedano, anche se ridotte a modelli di tipo piano, tempi di calcolo
inaccettabili. È questo il caso di un rullo per laminazione a caldo, in cui i tempi per il calcolo del
transitorio termico e quindi di quello meccanico in condizioni elastoplastiche si riducono di almeno un
ordine di grandezza. Sembrerebbe pertanto possibile individuare con precisione i cicli di sollecitazione
che subisce il rullo al fine di effettuare una valutazione accurata del tempo di vita del componente.
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