SCIACCHETRAIL - Sciacchetrail

Scuola di Ingegneria
Tecnica del freddo G. Grazzini, A. Milazzo
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Esistenza del massimo per il lavoro
Consideriamo un sistema chiuso in condizioni stazionarie che scambi le quantità
di calore Qh e Qc con solo due sorgenti alle temperature Th e Tc. Lo scambio
avvenga attraverso due isoterme alle temperature Tsh e Tsc, con
Th > Tsh > Tsc > Tc.
In
base
al
primo
principio
della
Sorgente
calda
Th
Bh
termodinamica, in un sistema chiuso che
Scambi termici isotermi
percorre un ciclo, il calore ceduto dalla
Tsh
sorgente calda Qh dovrà essere maggiore di
Sistema chiuso
quello Qc ceduto alla fredda perché il lavoro
sia positivo.
Lm
Tsc
Bc
Lm=Qh-Qc
Considerando il lavoro in funzione di Qh, si
Th > Tsh > Tsc > Tc
Sorgente
fredda
Tc
pag. 1
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presentano due casi con lavoro nullo:
a) Qh = 0
che implica
Qc = 0 ; b) Qh = Q'c
Il lavoro essendo nullo a questi estremi e maggiore di zero nell’intervallo tra loro,
dovrà esistere almeno un massimo per 0 < Qh < Q'c. Si noti come agli estremi si
abbiano particolari valori del rendimento; considerando Q come una funzione
delle differenze di temperatura si ha:
qh = Bh  T h − T sh 


qc = Bc (Tsc − Tc )
La condizione Qh = 0 fornisce Th=Tsh, Tc = Tcs.
Quindi per un motore reversibile si può scrivere il rendimento come
ε = 1 - Qc/Qh = 1 - Tc/Th
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Vale a dire il rendimento è quello classico di Carnot per lavoro sviluppato nullo.
D'altra parte la condizione Qh = Q'c dà per l’efficienza
ε = 1 - Q'c/Qh = 0
Una legge generale di scambio termico
Supponiamo che sia utilizzabile una legge generale di scambio termico per la
temperatura più alta ed una di tipo convettivo per cedere calore a bassa
temperatura
qh = Bhm  T mh − T shm 

 Sfruttando la reversibilità interna del motore, il secondo
principio della termodinamica permette di scrivere che:
qc = Bc1 (Tsc − Tc )
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Qh Qc
=
Tsh Tsc
ed usando le relazioni
di scambio termico si ottiene per il
rendimento:
m


 Tsh   
 Tc  Tsh  m − 1 
Lm
εm =
= 1 −   /  −  Th
β m  1 −    
qh
   Th   
 Th   Th 
(5.1)
e per il lavoro l’espressione:
  T m 
Lm = BhmThm 1 −  sh  ε m
  Th  
con
Bhm
βm =
Bc1
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 Tsh 
 
Nel caso in cui m=1 è possibile derivare rispetto a  Th  e si ricava l'espressione
del lavoro massimo
Lmax 1
 T 
= Bc1β1Th 1 −  c 
  Th 
½
2

 / (1 + β1 )
per

½

 Tc  
Tsh
= β1 +    / (1 + β1 )
Th 
 Th  
ed il rendimento corrispondente al lavoro massimo per m=1 sarà pari a:
½
ε L1
 Tc 
= 1 −  
 Th 
, [Curzon e Ahlborn, 1975].
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Per un m generico l'equazione (5.1) mostra come, l'efficienza massima, si ottenga per
Tsh=Th e corrisponda a quella di Carnot, come d’altronde previsto anche teoricamente per
l’energia solare, ma con Qh=0 e quindi L=0 come precedentemente detto. Per una
differenza di temperatura finita tra Tsh e Th , il massimo dell'efficienza si ha invece per
βm = 0 cioè Bc1 tendente all'infinito (dato che Bhm=0 fornirebbe Qh=0 ed L=0) e vale
Tc
εm = 1−
Tsh
L’equazione (5.1) fornisce risultati confrontabili con quelli classici per l’energia solare,
con m=4.
Dalle relazioni si vede che il rendimento di Carnot e quello di Curzon e Ahlborn sono
indipendenti da β1 mentre, per un m=4, che corrisponde al caso dell’irraggiamento ed in
particolare si può riferire alla radiazione solare, il rendimento corrispondente al lavoro
massimo, εLm, aumenta al diminuire di βm .
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Dalle figure si nota l'esistenza di un massimo per il lavoro ottenibile il cui valore, ed il
Tsh
valore di Th per cui si ottiene, dipendono da β1 . Il lavoro massimo aumenta al crescere
Tsh
di β1 , così come, per un dato valore di Th , ne dipende il valore dell'efficienza ε1
crescente al diminuire di β1 .
Si noti l'esistenza di un massimo per il lavoro ottenibile anche per m=4, funzione, oltre
Tsh
che di Th , di un parametro β4 = σβ1 con σ costante di Stefan-Boltzmann che è richiesta
dalla legge di scambio termico considerata.
Da tutto ciò si coglie l'importanza del rapporto tra le caratteristiche degli scambiatori al
fine di ottenere il lavoro massimo ed il massimo rendimento; dato però che questi due
massimi non si ottengono con lo stesso valore dei parametri considerati, l'ottimizzazione
sarà strettamente condizionata dal disegno del sistema e dalle modalità di scambio termico
utilizzate. Ad esempio, nel caso in cui si utilizzi una risorsa rinnovabile, potrebbe essere
preferibile realizzare il sistema in modo che questo risulti ottimizzato rispetto al lavoro
massimo, mentre, nel caso in cui si utilizzi una risorsa esauribile, sarà preferibile
ottimizzare il rendimento, così da ottenere lavoro con il minimo impiego di risorse.
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Lavoro in funzione di Tsh/Th per vari valori
di β1ed m=1;Th=1500K Tc=300K
Rendimento in funzione di Tsh/Th per vari
valori di β1 ed m=1; Th=1500K Tc=300K
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Lavoro in funzione di Tsh/Th per differenti
valori di β1 ed m=4 ; Th=1500K Tc=300K
Rendimento in funzione di Tsh/Th per
differenti valori di β1 ed m=4 ; Th=1500K
Tc=300K
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Sistemi frigoriferi irreversibili con scambi isotermi
L'analisi termodinamica di cicli frigoriferi e pompe di calore può essere sviluppata sulla
falsariga di quella trattata nel precedente paragrafo per motori endoreversibili con
irreversibilità termiche esterne. Detta analisi e' stata applicata a motori irreversibili anche
internamente molto presto [Bejan, 1988] in particolare è stato posto in evidenza,
[Grazzini, 1990], come non occorra introdurre il concetto di potenza, ma si possa restare
nell'ambito dell'analisi termodinamica classica.
Andiamo qui ad analizzare cicli inversi che presentano irreversibilità sia interne che
esterne, limitandoci alla trattazione di quelli con scambi termici che avvengono tra fluidi
a temperatura costante. E' possibile così procedere ad una semplice analisi parametrica
dei sistemi, data la riduzione delle variabili in gioco, analisi riportata in forma grafica per
alcuni valori dei parametri introdotti.
Viene discussa anche la possibile esistenza di un minimo per il lavoro necessario al
funzionamento della macchina, in analogia al caso della macchina motrice che presenta un
massimo.
Attraverso il bilancio exergetico del sistema, il bilancio entropico ed ammettendo una
legge lineare di proporzionalità diretta tra l'energia termica scambiata e le differenze di
temperatura, vengono espresse le grandezze utilizzabili per la definizione del COP e
dell'efficienza exergetica.
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Viene mostrata l'esistenza di un massimo per il COP in funzione della differenza di
temperatura tra sorgente calda ed isoterma superiore del ciclo.
L'insieme costituito dal frigorifero che lavora
con un ciclo chiuso stazionario tra due fluidi,
uno raffreddato e l'altro riscaldato, può essere
visto come un sistema aperto che, assorbendo
lavoro esterno, sottrae energia termica ad una
corrente fluida a temperatura Tc e la cede ad
un'altra a temperatura Th più elevata della
prima; quindi il bilancio exergetico,
trascurando le variazioni di energia cinetica e
potenziale, può essere così espresso:
Th
Qh
Tsh
Ls
Ex = Exci+ Exhi- Exco- Exho - Tr ∆Su
ove Tr è la temperatura di riferimento.
Dato che assumiamo scambi termici
temperatura costante, esso diviene:
Th
Tsc
a
Tc
Qc
Tc
Ex = -Qh(1-Tr/Th)+Qc(1-Tr/Tc)-Tr∆Su
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L'entropia prodotta nell'universo termodinamico vale
∆Su = ∆Sh + ∆Sc + ∆Ss per il sistema in condizioni stazionarie, dove:
∆Sh = Qh/Th - Qh/Tsh
; ∆Sc = -Qc/Tc + Qc/Tsc ; ∆Ss = Qh/Tsh- Qc /Tsc,
essendo Tsh e Tsc le temperature delle isoterme lungo le quali avviene lo scambio termico
tra il fluido che percorre il ciclo frigorifero ed i due fluidi che entrano ed escono dal
sistema; sarà:
Tsh > Th > Tc > Tsc
Sostituendo nell'espressione dell'exergia, si ottiene ovviamente: Ex = -Qh + Qc
Contrariamente a quanto avviene per le macchine motrici, per cui l'analoga relazione
permette di affermare l'esistenza di un massimo per il lavoro ottenibile, in questo caso si
può solo affermare che, in base al secondo principio della termodinamica, l'exergia deve
essere sempre fornita al frigorifero oppure essere nulla, cioè:
Ex ≤ 0 con |Qh| ≥ Qc ≥0
e
Qh ≤ 0.
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Dalla relazione tra le temperature, segue che si possono assumere le seguenti relazioni per
valutare lo scambio termico:
Qh = Bh (Tsh − Th )
Qc = Bc (Tc − Tsc )
sottosistema del ciclo inverso
applicando il secondo principio della termodinamica al
Qc Qh
∆S s =
+
Tsc Tsh
e ponendo
Bh
∆S s
∆Th
Th
∆Th = Tsh − Th , ∆Tc = Tc − Tsc , β =
,G =
,t =
,τ =
Bc
Bc
Th
Tc
si può scrivere
Qc =
COP =
BcTc [t (β − G ) − G ]
1 − G + t (β + 1 − G )
Qh = BhTht
Qc 
[1 − G + t (β + 1 − G )]
= 1 − tβτ
[t (β − G ) − G ] 
Ls 
−1
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Il COP è nullo se Qc tende a zero o Qh (Ls)tende all'infinito. Considerando 0<G<1 con β
e t maggiori di zero allora
COP( t ) G ,β
 G 
> 0 se 
 < t < ∞
 β − G
COP( β ) G ,t
 1
> 0 se G1 +  < β < ∞ COP( G ) t ,β
 t
 tβ 
> 0 se G > 

1+ t
Per cui il COP dovrà avere un massimo come funzione della differenza di temperatura, tra
sorgente ed isoterma calda, e del rapporto tra le caratteristiche degli scambiatori in
corrispondenza di due valori facilmente individuabili annullando le derivate
t max
½
 


β
 G
1 + 
  G(1 + β − G )  
=
β −G
;
βmax
1 
 1 
= G1 +  1 + ½ 
 t  G 
viceversa, il COP (G)t,β aumenta sempre al diminuire di G.
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Definendo l’efficienza exergetica come:
Exco − Exci
η ex =
Ex
con le stesse ipotesi usate prima si ottiene:
Tr
η ex = COP ⋅ (1 − )
Tc e l’efficienza exergetica presenterà un massimo
per gli stessi valori di β e t per cui il COP ha un massimo.
Per le pompe di calore si ottiene la relazione classica:
COPp = COP + 1
ed in conseguenza della definizione assunta di rendimento exergetico:
η exp =
Exho − Exhi
T
= (COP + 1)(1 − r )
Ex
Th
Considerando il COP funzione solo dei parametri adimensionali β e t, si possono trovare
dei massimi quando si hanno irreversibilità interne al sistema.
E' possibile verificare l’assenza di una condizione di ottimo per l’exergia.
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Andamento del COP (t,β) con G=0.001;
Th=303.15; Tc=253.15; τ=1.2
Andamento di Ex(t,β) con Th=303.15;
Tc=253.15; TR=293.15;τ=1.2;G=0.001
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Andamento del COP (G,β) con t=0.02;
Th=303.15; Tc=253.15; τ=1.2
Andamento del COP (tmax) come funzione di
β e G con Th=303.15; Tc=253.15; τ=1.2
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Ottimizzazione numerica di un sistema frigorifero
In letteratura si trovano pochi esempi di analisi di frigoriferi completamente irreversibili;
il ciclo viene a volte esaminato anche attraverso le trasformazioni interne nel caso di
simulazioni. Gli scambiatori sono considerati in modo semplificato, a parametri costanti e
tuttavia le relazioni di “ottimo” che si ottengono non sono semplici, essendo numerose le
variabili. Anche una valutazione numerica delle condizioni di ottimo, attraverso i
parametri concentrati, diviene abbastanza complessa. Conseguentemente è stata usata una
metodologia di ottimizzazione che considera il comportamento fisico degli scambiatori e
porta al loro dimensionamento ottimale, definendo anche le temperature di lavoro del
fluido. Il ciclo analizzato è un ciclo a compressione semplice. Considerando le
irreversibilità interne ed esterne, il COP massimo viene ricercato numericamente in
funzione delle differenze di temperatura delle sorgenti e dei parametri degli scambiatori.
Viene utilizzato R-134a come fluido frigorigeno data la sua attuale diffusione.
Bilancio in condizioni stazionarie
Si consideri un sistema frigorifero che evolve tra due fluidi, sottraendo calore da un fluido
freddo, la cui temperatura di ingresso al sistema aperto indichiamo con Tci, e restituendolo
ad uno caldo, con temperatura di ingresso Thi, essendo Wf il lavoro fornito dall’esterno.
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Trascurando le variazioni di energia cinetica
e potenziale, trascurando le perdite di carico,
la prima legge della termodinamica ci
consente di scrivere:
.
.
∑ W j = mc ∆hc + m h ∆hh
Wh
Tho
Thi
Qh
Tfho
Tfhi
Assumendo valido per i fluidi evolventi, il
comportamento dei gas o dei liquidi ideali,
l’equazione precedente assume la forma:
ΣW j = Qcn + Qhn
In particolare, con riferimento al sottosistema
rappresentato
dal
fluido
frigorigeno
(evidenziato dal tratteggio più spesso in
figura), risulta:
W f = − Qh + Qc
Wf
Tfci
Tfco
Qc
dove Qh e Qc rappresentano il calore
Tci
Tco
Wc
scambiato.
Il lavoro richiesto per vincere le perdite
dovute agli attriti all’interno degli scambiatori, lato caldo e lato freddo è dato da:
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.
Wh = m h ⋅ vh ⋅ ∆Ph
.
Wc = m c ⋅ vc ⋅ ∆Pc
dove ∆Ph e ∆Pc rappresentano le perdite di carico per unità di portata del fluido refrigerato
e di quello riscaldato.
Le prestazioni del sistema sono espresse dal coefficiente COP, definito come il rapporto
tra il calore effettivamente sottratto alla sorgente fredda ed il lavoro fornito al sistema
aperto nel suo complesso. Esprimendo tale calore netto con la relazione:
.
Qcn = −Qc − Wc = −Qc − m⋅ v c ⋅ ∆Pc
risulta:
.
Q
− Qc − m c ⋅ vc ⋅ ∆Pc
COP = cn =
∑ W j Q − Q + m. h ⋅ v ⋅ ∆P + m. c ⋅ v ⋅ ∆P
c
h
h
h
c
c
Avendo indicato come obiettivo la determinazione del calore effettivamente sottratto alla
sorgente fredda Qcn , è necessario conoscere i valori di Qh , Wc e W h per determinare il
relativo valore di COP.
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L’obiettivo di massimizzare il coefficiente di prestazione del sistema frigorifero può
essere ottenuto applicando un algoritmo di ricerca basato su una tecnica greedy del tipo
complex. Questo metodo si sviluppa generando casualmente P punti ammissibili nello
spazio delle variabili indipendenti che caratterizzano il problema. Per ogni punto generato
viene verificata l’ammissibilità: se risulta inammissibile viene ritratto verso il centroide
del sistema di punti precedentemente generati finché non risulta ammissibile. Ottenuto in
tal modo un insieme di P punti ammissibili, detto complesso, si valuta la funzione
obiettivo in ciascuno di tali vertici e quello caratterizzato dal peggior valore di questa
viene ribaltato ad una certa distanza dal centroide dei punti rimanenti. Nel punto così
generato viene quindi valutata la funzione obiettivo ed i vincoli; sono possibili tre
alternative:
* il nuovo punto risulta ammissibile ma peggiore di quello da cui è stato generato; si
dimezza e lo si ritrae verso il centroide finché non risulta migliore;
* se invece risulta migliore si passa a controllare il criterio di arresto;
* il nuovo punto risulta non ammissibile. Lo si fa arretrare verso il centroide.
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La ricerca ha termine quando il sistema
Tfho
dei P punti risulta sufficientemente
addensato e quando la varianza della T
Tho
funzione obiettivo calcolata sui P punti è
inferiore ad un limite prefissato.
Tfh
Consideriamo un fluido frigorigeno che
Tfhi
evolve secondo il ciclo schematizzato in
figura,
dove
sono
riportate
Thi
indicativamente anche le variazioni di
temperatura dei fluidi esterni al ciclo.
Tci
Tco
Avendo fissato le temperature Tci e Thi ed il
Tfco
calore sottratto alla sorgente fredda Qc
come un dato di progetto, il calcolo del
Tfci
Tfc
COP si riconduce alla valutazione del
calore ceduto lato caldo Qh, e della
portata d’acqua con relative perdite di
S
carico, m& h , ∆ph , lato caldo ed equivalenti
lato freddo, oltre che dei coefficienti di scambio termico.
Nel caso in esame, è possibile esprimere tali termini mediante le seguenti grandezze:
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. .
T fh , Tfc , m h , mc , Dh , Dc e nh, nc
dove D ed n sono il diametro ed il numero di tubi in cui scorre l’acqua nei due
scambiatori. Tali grandezze vengono definite in partenza mediante estrazione casuale di
una generica 8-pla all’interno di campi predefiniti, consentendo il calcolo delle restanti
grandezze che caratterizzano il problema.
Le temperature di uscita dal condensatore e dall’evaporatore sono espresse dalle relazioni:
T fho = T fh − ∆Tsot ; T fco = T fc + ∆Tsur
dove ∆Tsot e ∆Tsur rappresentano rispettivamente il sottoraffreddamento ed
surriscaldamento del fluido frigorigeno all’uscita del condensatore e dell’evaporatore.
L’ammissibilità della 8-pla predetta è quindi verificata rispetto ai seguenti vincoli:
il
T fho ≥ Thi ; T fh ≥ Tho ; Tci ≥ T fco ; Tco ≥ T fci
Il fluido frigorigeno impiegato, R-134a, cede il calore all’acqua all’interno di uno
scambiatore tubi-mantello, con l’acqua che fluisce all’interno dei tubi. La determinazione
delle proprietà termodinamiche del fluido frigorigeno è fatta utilizzando una
sottoprogramma di calcolo derivato da REFRPROP 5.0; per le proprietà termodinamiche
dell’acqua sono state usate espressioni polinomiali di secondo grado, funzioni della
temperatura media, ricavate dai dati riportati da Raznjevic.
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Avendo definito le temperature di evaporazione e condensazione è possibile, nell’ipotesi
di laminazione isoentalpica, valutare la portata di frigorigeno necessaria a sottrarre la
quantità di calore Qc :
Qc
m& 134 a =
hTfco − hTfho
La temperatura di uscita del fluido dall’evaporatore viene calcolata considerato un
rendimento isoentropico di compressione dato da un polinomio di quarto grado, ricavato
correlando i dati di letteratura, in funzione del rapporto tra le pressioni corrispondenti alle
due temperature di evaporazione e condensazione. Tali dati forniscono valori del
rendimento variabili tra 0.30 e 0.65 per un rapporto di compressione variabile tra 20 e 2.
In questo modo si può valutare la temperatura di ingresso allo scambiatore lato caldo, Tfhi .
la cui conoscenza, con i vincoli dati, è necessaria alla determinazione della potenza
termica nominale ceduta alla sorgente a più alta temperatura, Qh :
Qh = m& 134 a ⋅ ( h fho − h fhi )
che permette di valutare la temperatura di uscita dell’acqua Tho dato che la portata fa parte
delle grandezze definite casualmente. Se tale temperatura verifica la disuguaglianza
Tho ≤ T fh si procede ad analoga verifica al lato freddo.
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Avendo considerato un condensatore tubi-mantello, ed un analogo evaporatore allagato,
sono state trascurate le perdite di carico lato fluido frigorigeno.
Dimensionamento degli scambiatori
A questo punto passiamo al dimensionamento degli scambiatori. La conoscenza del
numero dei tubi, del diametro e delle portate d’acqua permette il calcolo del coefficiente di
scambio termico in convezione forzata mediante la relazione di Petukhov:
 (Re− 1000) ⋅ Pr⋅ z 
Nu = 
2/3
1/ 2 
1 + 12.7 ⋅ Pr − 1 ⋅ z 
(
dove:
)
z = 0.5 /(1.58 ⋅ ln(Re) − 3.28) 2
Tale relazione è stata scelta dato il suo grande campo di validità, 2300 < Re < 5*106; nel
laminare è stato considerato Nu=4.364, avendo supposto il moto completamente
sviluppato.
Per quanto riguarda l’evaporatore, è stato considerato allagato e quindi il coefficiente di
ebollizione di massa medio da un tubo cilindrico è stato calcolato con la relazione:
 k v3 ⋅ g ⋅ ρ v ⋅ ( ρ l − ρ v ) ⋅ (r + 0.40 ⋅ c pv ⋅ (Tw − Tsat ) )
he = 0.62 ⋅ 

µ
⋅
(
T
−
T
)
⋅
D


v
w
sat
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La temperatura di parete Tw viene calcolata conoscendo Qe , attraverso un bilancio termico
sulla parete del tubo.
Utilizzando la relazione classica con la differenza media di temperatura logaritmica:
Q= UA ∆Tml
e trascurando la resistenza del tubo metallico, è possibile calcolare il valore che deve
avere l’area di scambio e conseguentemente si dimensiona l’evaporatore.
Per quanto riguarda il condensatore, si procede in modo analogo. In questo caso si impone
che un rango sia necessario per desurriscaldare il vapore, usando per valutare il suo
coefficiente di scambio la relazione:
Nu = 0.33 ⋅ Re 0.6 ⋅ Pr 1 / 3
Per gli altri ranghi si usa il coefficiente medio di scambio in condensazione:
0.728 ⋅ k l  g ⋅ ( ρ l − ρ v ) ⋅ (nr D) 3 ⋅ r 
hc =
⋅

nr D
k
⋅
ν
⋅
(
T
−
T
)
l
l
sat
w


1/ 4
e si dimensiona il condensatore.
La valutazione delle lunghezze Lc ed Lh, lato freddo e caldo, consente infine il calcolo
delle perdite di carico, valutando il fattore d’attrito con la relazione esplicita di Moody del
1947, riproposta da Haaland:
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 
6 1 / 3 
ε
10
 
f = 0.00551 +  2 ⋅104 +

D Re  



E’ così possibile valutare il COP considerando il sistema frigorifero come un sistema
termodinamico aperto.
A causa della natura fortemente casuale del metodo di ricerca applicato è necessario
effettuare più ripetizioni del codice considerando punti di partenza diversi così da rendere
indipendente il valore della soluzione trovata da tale scelta. In conseguenza di ciò la
soluzione non sarà, in generale unica, in quanto costituita da una nuvola di punti di cui
valutiamo eventualmente la varianza.
Risultati del calcolo
Il programma di calcolo è stato usato con R-134a, per una potenza frigorifera di 50 kW,
facendo variare gli estremi dei campi delle variabili, in particolare quelli dei diametri dei
tubi e del loro numero. Sono state inoltre variate le temperature di ingresso dell’acqua. Ciò
ha portato ad ottenere valori “ottimi” del COP diversi al variare dei vari parametri.
Riportando l’andamento del COP in funzione dell’area totale degli scambiatori, somma di
quella all’evaporatore ed al condensatore si ottiene:.
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7.0
6.5
6.0
5.5
5.0
COP
4.5
4.0
3.5
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0
100
200
300
400
500
2
At [m ]
280-313 K
288-310 K
Log. (280-313 K)
Log. (280-300 K)
288-300 K
280-300 K
Log. (288-310 K)
Log. (288-300 K)
Come si può notare si ha una
rapida crescita iniziale ed un
appiattimento successivo, diverso
al variare della differenza di
temperatura tra i due fluidi esterni.
Si nota come sia relativamente
facile aumentare il COP agendo
solo sugli scambiatori, un COP
che tiene conto di tutta l’energia
richiesta dal sistema.
Si noti che il rendimento
termodinamico η, al variare del
COP passa da 0.15 a 0.49;
calcolando il rendimento di Carnot
rispetto alle temperature di
ingresso
dell’acqua,
per
considerare
la
completa
reversibilità della macchina ideale
che risulta pari a 8.49 con
Tci=280.15 e Thi=313.15.
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Nelle figure successive si può invece notare come vari il valore della differenza media
logaritmica di temperatura diminuendo al crescere del COP, ma con una notevole
differenza tra i due scambiatori.
35
30
ml [K]
25
20
15
10
5
0
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
COP
Evaporatore
Condensatore
Lineare (Condensatore)
Lineare (Evaporatore)
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12.0
10.0
Tmlh / Tm lc
8.0
6.0
4.0
2.0
0.0
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
COP
La diversità di dimensionamento richiesta agli scambiatori è mostrata anche dalle figure
successive, che permettono il confronto tra i valori di UA lato condensatore ed
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evaporatore, pur con oscillazioni legate al metodo di calcolo usato. Tale valore del
rapporto tende a discostarsi dall’unità, contrariamente a quanto previsto dalla teoria,
quando si pongono limiti al valore massimo della somma dei due prodotti, limiti dovuti ad
esempio a problemi di costo. Questo risultato teorico si riferisce però a sistemi con
temperatura costante.
Utilizzando per gli scambiatori l’efficienza:
ε=
Q
C min ⋅ (Tmax − Tmin )
dove Q è il calore scambiato e Cmin è dato semplicemente dalla portata di acqua per il suo
calore specifico, poiché nel nostro caso, in ambedue gli scambiatori, l’altro fluido cambia
fase e quindi il suo calore specifico tende all’infinito.
Tale efficienza rappresenta il rapporto tra l’energia scambiata realmente e quella massima
scambiabile se lo scambiatore fosse ideale.
Tuttavia lo scambio termico potrebbe essere espresso da una relazione del tipo:
Qh = K h ( T fhi - T hi )
Qc = Kc ( T ci - T fci ).
ed è interessante osservare come varia il rapporto:
β = Kh/Kc
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εk
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Si può notare come esso decresca all’aumentare del COP, coerentemente con i risultati delle
altre figure riferiti agli altri parametri che caratterizzano gli scambiatori. Ciò significa che al
crescere del COP
1.2
devono ridursi le
1.0
resistenze termiche ed
in particolare quella
0.8
lato evaporatore,
0.6
poiché è la zona di
maggior irreversibi0.4
lità.
0.2
Una simile riflessione
vale anche per i
0.0
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5 risultati che mostrano
come l’efficienza
COP
degli scambiatori
Evaporatore
Condensatore
decresca all’aumentare
Lineare (Evaporatore)
Lineare (Condensatore)
del COP, con una
efficienza diversificata
e maggiore all’evaporatore, contrariamente a quanto previsto in parte della letteratura. Tale
discordanza sembrerebbe dovuta alla non costanza della temperatura dei fluidi.
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80
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70
60
50
UA [kW/K]
La particolare tipologia adottata per
gli scambiatori, che ci consente di
trascurare le perdite di carico dal
lato del fluido frigorigeno negli
scambiatori, probabilmente sposta il
COP massimo verso i valori più alti
delle superfici di scambio, essendo
le perdite di carico lato acqua meno
influenti sul parametro obiettivo
scelto per l’ottimizzazione, rispetto
a quelle lato frigorigeno che
altererebbero direttamente il ciclo
inverso. Si evidenzia comunque un
40
y = 1.4878x 2.1024
30
20
10
y = 1.8438x 1.3796
0
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
COP
UAh
UAc
Potenza (UAc)
Potenza (UAh)
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4.5
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Kh/Kc o UAh/UAc
2.0
1.0
0.0
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
COP
Kh/Kc
Lineare (UAh/UAc)
UAh/UAc
Lineare (Kh/Kc)
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sovradimensionamento dello scambiatore freddo rispetto a quello caldo, legato alla
maggiore variazione di entropia per irreversibilità connessa allo scambio termico del
primo. L’aumento dei due valori di UA, mostra come l’ipotesi di considerare costante la
loro somma, spesso usata in letteratura nella ricerca dell’ottimizzazione, non porti alla loro
eguaglianza. Infatti il COP massimo si ottiene sempre per valori di UAc>UAh; maggiore
dovrà anche essere il rendimento dell’evaporatore e minore la differenza media
logaritmica di temperatura.
Un’ultima considerazione deriva dalla diminuzione dell’efficienza degli scambiatori
all’aumentare del COP. Come conseguenza della non linearità dei fenomeni utilizzati nel
ciclo, segue che le condizioni di lavoro ottimali del sistema frigorifero corrispondono a
condizioni diverse da quelle cui porterebbe l’ottimizzazione dei singoli componenti.
Perciò è necessario utilizzare metodologie che, simulando il sistema complessivo,
permettono la ricerca delle migliori condizioni di lavoro, che saranno variabili al variare
delle condizioni esterne.
Non esiste un punto di ottimo assoluto, come mostrano i risultati riportati; occorrerà
cercare il dimensionamento ottimale per le condizioni esterne più gravose e
successivamente adattare il funzionamento del sistema stesso alle mutate condizioni,
considerando che esiste sempre un ottimo relativo.
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