Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
Anno Accademico 2013-2014
Seconda Prova Intermedia 4/2/2014
Quesiti relativi alla seconda prova in itinere (tempo max. 2h)
1. (6 punti) Si abbia una sequenza x(n) di 2N campioni posta in ingresso al sistema riportato nella figura sottostante. In uscita si avr`
a una sequenza y(l) composta da N campioni. Si calcoli la relazione fra i campioni
PN −1
nk
di y(l) e quelli di x(n). Si ricordi che: G(k) = DF TN (g(n)) = n=0 g(n) · e−j2π N , g(n) = IDF TN (G(k)) =
P
P
nk
km
N
−1
M
−1
1
1
j2π N
−j2π M
, φ(k) = M
= 1 per k multiplo intero di M e 0 per ogni altro k. Nella
k=0 G(k) · e
m=0 e
N
soluzione dell’esercizio potrebbe poi essere utile invertire la posizione delle sommatorie scritte per definire la
relazione fra y(l) e x(n).
x(n)
IDFTN(.)
2
DFT2N(.)
y(l)
2. (6 punti) Sulla base dello schema a blocchi sotto riportato, scrivere la corrispondente funzione di trasferimento
H(z). Quali relazioni devono essere imposte fra i valori dei 4 moltiplicatori perch`e il sistema funzioni come un
filtro passa-banda del secondo ordine (due zeri nell’origine e due poli complessi coniugati)? Sulla base di tali
relazioni trovare la posizione nel piano z dei due poli del sistema. Se a causa della quantizzazione dei coefficienti
il valore di β variasse del 10% come cambieranno la parte reale ed immaginaria dei due poli?
x(n)
+
γ
+
Z-1
α
+ β
+
+ +
+
δ
y(n)
Z-1
+
3. (6 punti) Mediante la trasformazione bilineare si vuole progettare un filtro passa-alto con banda passante, espressa
in frequenze normalizzate, (0.3, 0.5) e banda attenuata con inizio a F = 0.25. Il guadagno minimo in banda
passante dovr`
a essere di −3dB, mentre quello massimo in banda attenuata dovr`a essere limitato a −40dB.
Utilizzando prototipi di Butterworth quale dovr`a essere l’ordine del filtro analogico da considerare? Quale sar`
a
il fattore k da considerare nella trasformazione bilineare?
4. (6 punti) Si consideri un sistema rappresentato dalla seguente funzione di trasferimento
H(z) =
0.5 + 0.8z −1 + z −2
1 + 0.8z −1 + 0.5z −2
e realizzato attraverso una struttura di tipo II (colonna di ritardi nel centro). Assunto che il sistema sia realizzato
con una aritmetica in virgola fissa a Bm bit e che il segnale di ingresso sia bianco con varianza σx2 quale
sar`
a il rapporto segnale-rumore all’uscita dovuto al rumore introdotto dai moltiplicatori? Qualora, per evitare
problemi di overflow sui sommatori, si introducesse, all’ingresso del sistema, un moltiplicatore di valore A e si
moltiplicassero per B i valori dei coefficienti della parte FIR del filtro come cambierebbe il rapporto segnalerumore?
5. (6 punti) Si consideri un sistema H(z) costituito dalla cascata di due blocchi: H1 (z) = G(z 2 ) e H2 (z) = L(z)
entrambi FIR. Con tale sistema si voglia realizzare un filtro passa-basso con frequenza di taglio F1 = 0.11 ed
inizio della banda attenuata a F2 = 0.12. L’oscillazione in banda passante ed attenuata deve essere non superiore
a δ = 10−4 . Sia G(z), sia L(z) sono filtri passa-basso. Quali saranno le caratteriste in frequenza di G(z) e L(z)?
Usando l’usuale formula per la stima della lunghezza dei filtri filtri FIR quale saranno le lunghezze di questi due
filtri?
6. (5 punti) Si voglia realizzare un sistema ”multirate” per la traslazione frazionaria degli istanti di campionamento
attraverso la cascata di Interpolatore-Filtro-Ritardatore-Decimatore. In particolare si voglia effettuare un ritardo
frazionario pari a 37/100 del periodo di campionamento utilizzato un interpolatore di fattore 100. Il filtro `e un
passa-basso con risposta all’impulso di lunghezza 381. Quale dovr`a essere l’entit`a del ritardo da introdurre a
valle del filtro? Oltre alla traslazione frazionaria, quale sar`a il ritardo introdotto dal sistema? Sarebbe possibile
realizzare un ritardo frazionario di 53/200 utilizzando sempre un interpolatore di fattore 100? Sarebbe necessario
imporre un qualche vincolo sulla lunghezza della risposta impulsiva del filtro?
Quesiti relativi al recupero della prima prova in itinere (tempo max. 1.5h)
1. (9 punti) Si consideri un sistema LTI stabile con risposta in frequenza H(ω) = e−j ( 2 + 4 ) per |ω| ≤ π. Si
π
determini l’uscita del sistema in corrispondenza dell’ingresso x(n) = cos 15πn
4 − 3 .
ω
π
2. (9 punti) Si consideri un sistema LTI causale. In corrispondenza dell’ingresso
n
4
1 1
u(n) − 2n u(−n − 1)
x(n) = −
3 2
3
la trasformata Z dell’uscita `e
Y (z) =
(1 −
z −1 )(1
1 − z −2
− 12 z −1 )(1 − 2z −1 )
Determinare: a) la trasformata z di x(n) e la sua ROC; b) la ROC di Y (z); c) la risposta impulsiva h(n) del
sistema; d) stabilire se il sistema `e stabile.
3. (9 punti) Si consideri un sistema LTI causale avente la seguente funzione di trasferimento:
H(z) =
1 − a−1 z −1
1 − az −1
dove a `e un parametro reale.
a) Scrivere l’equazione alle differenze che lega l’ingresso x(n) all’uscita y(n) per il sistema sopra considerato; b)
Individuare i valori di a per cui il sistema `e stabile; c) Per a = 0.5 disegnare il diagramma poli-e zeri del sistema
ed individuare graficamente la ROC; d) Determinare la risposta impulsiva del sistema; e) Mostrare che il sistema
`e un filtro passa-tutto, ovvero che il modulo della risposta in frequenza `e una costante.
P∞
4. (8 punti) Data la seguente definizione rxx (l) = n=−∞ x(n)x(n − l) mostrare che Rxx (z) = X(z)X(z −1 ) dove
X(z) `e la trasformata z di x(n). Se X(z) `e caratterizzata da una ROC cos`ı definita ROCx = {z : α < |z| < β}
quale sar`
a la ROC di Rxx (z)?
Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
Anno Accademico 2013-2014
Soluzioni Seconda Prova Intermedia 4/2/2014
Quesiti relativi alla seconda prova in itinere
1. Si ha (0 ≤ l ≤ N − 1)
y(l)
=
N −1
N −1
il
il
1 X
1 X
Y (i)ej2π N =
X(2i)ej2π N
N i=0
N i=0
=
N −1 2N −1
il
n2i
1 X X
x(n)e−j2π 2N ej2π N
N i=0 n=0
=
2N −1
N
−1
2−1
N
−1
X
X
n−l
il
1 X
1 X
−j2π n2i
j2π N
2N
x(n)
x(n)
e
e
=
e−j2πi N
N n=0
N
n=0
i=0
i=0
=
2N −1
2−1
N
−1
N
−1
X
X
n−l
il
n2i
1 X
1 X
x(n)
x(n)
e−j2π 2N ej2π N =
e−j2πi N
N n=0
N
n=0
i=0
i=0
=
2N −1
1 X
1
x(n)α(n − l) = (N · x(l) + N · x(l + N )) = x(l) + x(l + N )
N n=0
N
infatti α(n − l) vale N per n − l = 0 ⇒ n = l e per n − l = N ⇒ n = l + N e 0 per ogni altro valore di n compreso
fra 0 e 2N − 1.
2. La funzione di trasferimento del sistema `e data da: H(z) =
γ
1−(α+δ)z −1 +(αδ−βγ)z −2
funzione di trasferimento di un filtro passa-banda, a meno di fattori di scala, sar`a
γz 2
z 2 −(α+δ)z 1 +(αδ−βγ) . La
z2
invece H(z) = z2 −Kz+L
=
=
z2
z 2 −2rcosθz+r 2 .
Nel denominatore della H(z) dello schema a blocchi considerato, per avere due radici (due poli)
complesse-coniugate deve risultare (α+δ)2 −4(αδ −βγ) < 0, imponendo K = α+δ = 2α, L = αδ −βγ = α2 +β 2 ,
od in altri termini δ = α e γ = β si hanno sicuramente due radice complesse-coniugate ed inoltre α e β definiscono
direttamente parte reale ed immaginaria delle radici. In questo caso la posizione dei due poli `e p1,2 = α ± jβ.
Se β varia del 10% varier`
a nello stesso modo la parte immaginaria dei due poli.
3. Per risolvere l’esercizio si pu`
o ricordare che un filtro passa-alto pu`o essere trasformato in uno passa-basso (e
viceversa) sostituendo z con −z. Si pu`
o considerare quindi come riferimento un filtro passa-basso con banda
passante 0, 0.2 ed inizio banda attenuata a 0.25. Di conseguenza si ha
Ω1
=
k tan(πF1 ) = k tan(π0.2)
Ω2
=
k tan(πF2 ) = k tan(π0.25)
1
Gp = √
2
1
Ga = √
10000
1
1
=
1 + (k tan(πF1 ))2N
2
1
1
=
1 + (k tan(πF2 ))2N
10000
|Ha (Ω1 )| =
|Ha (Ω2 )| =
1
1 + Ω2N
1
1
1 + Ω2N
2
1 + (k tan(πF1 ))2N
2N
=
=
=
2
1 + (k tan(πF2 ))
=
2N
k tan(πF1 )
=
k tan(πF2 )
tan(πF1 )
2N log
=
tan(πF2 )
N
10000
2N
tan(πF1 )
2−1
=
tan(πF2 )
10000 − 1
2−1
log
= − log(9999)
10000 − 1
1 − log(9999)
1 − log(9999)
=
= 14.4 → 15
=
2 log tan(πF1 )
2 log tan(π0.2)
tan(πF2 )
(k tan(πF1 ))2N
=
tan(π0.25)
1
1
1→k=
=
= 1.3764
tan(πF1 )
tan(π0.2)
1
4. Il filtro in oggetto `e di tipo ”Passa-Tutto” conseguentemente |H(F )|2 = 1, quindi la potenza di segnale in uscita
`e uguale a quella di ingresso. All’ingresso si sommano 2 termini di rumore relativi ai 2 moltiplicatori della
parte IIR. Le densit`
a spettrali di potenza di tali rumori si sommano e passano inalterate attraverso il sistema.
In uscita compaiono inoltre 2 termini di rumore legati ai moltiplicatori della parte FIR (si ricordi che uno dei
2
σx
moltiplicatori vale 1). In totale si ha SN R = 2−2B
. Nel caso siano presenti i moltiplicatori A e B per evitare
m
4·
3
gli overflow, all’ingresso si presenta un terzo termine di rumore, anche sulla parte FIR compare un terzo termine
(il moltiplicatore che prima era unitario ora vale B). La potenza di segnale appare all’uscita moltiplicata per
A2 B 2 , inoltre la potenza di rumore connessa ai moltiplicatori della parte IIR `e moltiplicata per B 2 . Si ha quindi
2
σx
·A2 B 2
SN R =
2 2−2Bm
3(1+B )·
3
5. La risposta all’impulso di H1 (z) `e la versione interpolata di un fattore 2 di quella di G(z), quindi H(F ) = G(2F ).
G(F ) dovr`
a quindi essere un passa-basso con frequenza di taglio F1,G = 0.22 ed inizio banda attenuata F2,G =
0.24. H1 (F ) presenta una replica (scalata di un fattore 2) di G(F ) anche intorno a F = 0.5, essa verr`a cancellata
da L(z) con frequenza di taglio F1,L = 0.11 e inizio banda attenuata F2,L = 0.5 − F2,G /2 = 0.5 − 0.12 = 0.38.
Le oscillazioni in banda passante dei due filtri dovranno essere la met`a di quella prescritta, ci`o per garantire che
la cascata dei due rispetti le specifiche.
1
2
1
1
2
1
NG =
log10
= log10
≈ 244
3
10δ1,G δ2,G F2,G − F1,G
3
10 · 0.5 · 10−4 · 10−4 0.24 − 0.22
1
1
2
1
1
2
log10
≈ 18
= log10
NL =
3
10δ1,G δ2,G F2,L − F1,L
3
10 · 0.5 · 10−4 · 10−4 0.38 − 0.11
6. Detti N la lunghezza della risposta all’impulso
del filtro e K il ritardo introdotto a valle del filtro stesso, la
condizione da rispettare `e N 2−1 + K mod100 = 380
2 + K mod100 = 37 ⇒ K = 47. Il sistema introduce un
ritardo complessivo pari a 237/100 quindi il sistema introduce un ritardo di 2 campioni riferiti all’originale
frequenza di campionamento. Nel caso di una traslazione di 53/200 essa pu`o essere vista come una traslazione
di 26.5/100. Questo ritardo frazionario (dopo l’interpolazione) pu`o essere ottenuto mettendo in cascata un filtro
con lunghezza della risposta all’impulso pari ed un ritardo di un numero intero di campioni.
2
Quesiti relativi al recupero prima prova in itinere
1. Sottraendo multipli interi di 2π alla parte variabile dell’argomento della cosinusoide di ingresso `e possibile scrivere
π
tale cosinusoide
in modo che abbia pulsazione nell’intervallo −π, π. Si ha quindi x(n) = cos − πn
=
4 − 3
π
π
π
π
π
πn
πn
+
.
In
base
a
ci`
o
l’uscita
del
sistema
sar`
a
data
da
y(n)
=
cos
+
−
−
=
cos
−
cos πn
4
3
4
3
8
4
4
24
2. Si ha:
a)
b)
c)
z2
1
1
1
1
4
1
=
=
ROCX = {z : < |z| < 2}
+
1
1
1
−1
−1
−1
−1
3 1 − 2z
3 1 − 2z
2
(1 − 2z )
1 − 2z
z − 2 (z − 2)
1
ROCY = {z : < |z| < 2}
2
1 − z −2
⇒ h(n) = u(n) − u(n − 2) = δ(n) + δ(n − 1)
H(z) =
1 − z −1
X(z) = −
Il sistema considerato risulta quindi stabile.
3. Si ha:
a)
y(n) = x(n) + a−1 x(n − 1) + ay(n − 1)
b)
|a| < 1
c)
z1 = 2, p1 = 0.5, ROCH = {z : |z| > 0.5}
d)
h(n) = an u(n) − a−1 an−1 u(n − 1) = δ(n) + (a − a−1 )δ(n − 1) + (a2 − 1)an−2 u(n − 2)
1
A(z)
1 −a + z −1
= − −1
H(F ) = − −1
a z (z − a)
a z A(z −1 )
e)
H(z) pu`
o quindi essere scritta (a meno di un fattore scala) nella forma delle funzioni passa-tutto.
P∞
4. Il prodotto di convoluzione di x(l) con se stesso `e dato da x(l) ? x(l) =
o risulta
n−∞ x(n)x(l − n) perci`
rxx (l) = x(l) ? x(−l). Poich`e la trasformata z di x(−l) `e X(z −1 ) si ha Rxx (z) = X(z)X(z −1 ). Posto y(l) = x(−l)
si ha ROCy = {z : β1 < |z| < α1 }, inoltre risulta che v(l) = x(l)?y(l) ha la seguente ROC: ROCv = ROCx ∩ROCy
3
© Copyright 2024 Paperzz
