Esercizi Fisica Tecnica - Parte 2 Trasferimento di calore

Esercizi Fisica Tecnica - Parte 2
Trasferimento di calore
Indice
Trasferimento di calore per conduzione in regime stazionario .................................................................................... 1 Richiami teorici .................................................................................................................................................... 1 Trasferimento di calore per conduzione in regime stazionario – Svolgimento esercizio...................................... 4 Esercizio 1 ............................................................................................................................................................ 8 Esercizio 2 ............................................................................................................................................................ 9 Esercizio 3 ............................................................................................................................................................ 9 Esercizio 4 .......................................................................................................................................................... 10 Esercizio 5 .......................................................................................................................................................... 10 Trasferimento di calore per convezione forzata........................................................................................................... 11 Richiami teorici .................................................................................................................................................. 11 Trasferimento di calore per convezione forzata esterna – Svolgimento esercizio .............................................. 13 Esercizio 1 .......................................................................................................................................................... 15 Esercizio 2 .......................................................................................................................................................... 16 Esercizio 3 .......................................................................................................................................................... 16 Trasferimento di calore per convezione forzata interna – Svolgimento esercizio .............................................. 17 Esercizio 1 .......................................................................................................................................................... 19 Esercizio 2 .......................................................................................................................................................... 19 Esercizio 3 .......................................................................................................................................................... 20 Trasferimento di calore per convezione naturale ........................................................................................................ 21 Richiami teorici .................................................................................................................................................. 21 Trasferimento di calore per convezione naturale – Svolgimento esercizio......................................................... 22 Esercizio 1 .......................................................................................................................................................... 24 Esercizio 2 .......................................................................................................................................................... 24 Esercizio 3 .......................................................................................................................................................... 24 Esercizio 4 .......................................................................................................................................................... 25 Esercizio 5 .......................................................................................................................................................... 25 Trasferimento di calore per irraggiamento .................................................................................................................. 26 Richiami teorici .................................................................................................................................................. 26 Trasferimento di calore per irraggiamento - Svolgimento esercizio ................................................................... 27 Esercizio 1 .......................................................................................................................................................... 29 Esercizio 2 .......................................................................................................................................................... 29 Esercizio 3 .......................................................................................................................................................... 29 Trasferimento di calore di tipo misto ............................................................................................................................ 30 Svolgimento esercizio......................................................................................................................................... 30 Esercizio 1 .......................................................................................................................................................... 34 Esercizio 2 .......................................................................................................................................................... 35 Esercizio 3 .......................................................................................................................................................... 36 Esercizio 4 .......................................................................................................................................................... 37 Trasferimento di calore per conduzione in regime stazionario
Trasferimento di calore per conduzione in regime stazionario
Richiami teorici
•
Analogia tra resistenza termica ed elettrica
Q
T1
Q
T
I
V
T
R
V
R
R
R
T2
Potenza termica
A
L
R
I
Intensità elettrica
A
V1
V2
Rel
•
Parete piana monostrato
flusso termico
R
T
q
s
λ
T
s
λ
R
W
m
potenza termica
m K
W
s
λA
Q
T
s
λ
T
A
W
resistenza termica conduttiva specifica
K
W
resistenza termica conduttiva
A = L x H = superficie di scambio termico
λ = conducibilità termica del materiale
T1,T2 = temperature delle facce estreme della parete
s = spessore dello strato
Q
H
A
L
s
1
Trasferimento di calore per conduzione in regime stazionario
•
Parete piana multistrato con strati omogenei (strati in serie)
λ1
λ2
s1
s2
H
T1
T2
R1
flusso termico
R
q
s
λ
R
•
T
s
λ
T
s
λ
s
λ
s
λ A
R2
W
m
potenza termica
m K
W
resistenza termica conduttiva specifica
s
λ A
K
W
Q
T
s
λ A
T
s
λ A
W
resistenza termica conduttiva
Parete piana monostrato eterogenea (con strati in parallelo)
H1
λ2
H2
λ1
s1 = s2
R2
T1
T2
R1
potenza termica
1
R
1
R
1
R
Q
1
s
λ A
T
T
R
1
s
λ A
W
K/W
2
Trasferimento di calore per conduzione in regime stazionario
•
Parete piana multistrato eterogenea (con strati in serie-parallelo)
H1
λ2
λ3
H2
λ1
s3
s
R2
T1
T2
R3
R1
potenza termica
R
R
R
Q
R
1
R
T
T
R
W
K/W
1
R
1
R
3
Trasferimento di calore per conduzione in regime stazionario
Trasferimento di calore per conduzione in regime stazionario – Svolgimento esercizio
Una parete piana perimetrale di un edificio alta 3 metri e larga 5 m (figura 1a) è costituita, a partire dall’interno, da due
strati (figura 1b): 15 cm di calcestruzzo (λc=1,21 W/mK) e 25 cm di mattoni di muratura (λm= 0,65 W/mK). Le
temperature superficiali interna ed esterna della parete sono rispettivamente 18 °C e -2 °C, costanti ed uniformi.
Nell’ipotesi di regime stazionario e trasmissione del calore monodimensionale:
a)
Rappresentare secondo l’analogia elettrica la rete di resistenze, determinare il flusso termico (per unità di
superficie) che attraversa la parete e la temperatura all’interfaccia calcestruzzo-mattoni e disegnare
l’andamento della temperatura nella muratura;
b) Determinare la potenza termica totale che attraversa la parete nel caso in cui sul lato interno sia presente uno
strato eterogeneo composto da due materiali A (λA=1,5 W/mK) e B (λB=1,3 W/mK) come riportato in figura
1c, ipotizzando sempre una temperatura della parete interna di 18 °C ed esterna di -2 °C;
c)
Se si vuole aumentare del 50% la resistenza termica della parete nella configurazione di figura 1b mediante
l’aggiunta sul lato esterno di uno strato di poliuretano espanso (λis= 0,033 W/mK), determinare lo spessore di
isolante necessario e il nuovo andamento di temperatura nella parete.
B
18°C
50 cm
18°C
H= 300 cm
T
A
-2°C
250 cm
-2°C
L= 500 cm
x
25 cm
15 cm
25 cm 15 cm 5 cm
s= 40 cm
Figura 1a
Figura 1b (sezione)
Figura 1c (sezione)
Svolgimento
a) Sotto l’ipotesi di regime stazionario per una parete multistrato (con ciascuno strato omogeneo), il flusso termico
trasmesso attraverso di essa, nelle ipotesi sopradette, si valuta mediante la relazione ricavata dall’Equazione di Fourier:
q
s
λ
1
T
s
λ
T
La potenza termica scambiata attraverso l’intera parete è conseguentemente pari a:
Q
s
λ
1
s
λ
T
T
A
1
R
,
R
,
T
T
A
1
R
R
T
T
dove A rappresenta la superficie attraverso la quale avviene lo scambio di calore A = H x L = 3 x 5 m2.
4
Trasferimento di calore per conduzione in regime stazionario
Nella relazione per il calcolo della potenza termica (e del flusso termico), il rapporto tra lo spessore di ciascuno strato e
la corrispondente conducibilità termica prende il nome di resistenza termica specifica s/λ (specifica in quanto riferita
all’unità di superficie) e si misura in m2K/W: essa quantifica la resistenza che il materiale offre alla trasmissione del
calore per conduzione. Se la resistenza termica è riferita alla corrispondente area di scambio termico si parla di
resistenza termica s/λA e l’unità di misura è K/W. Nel caso di parete multistrato con strati omogenei, le resistenze
termiche relative agli strati sono in serie e quindi, secondo l’analogia elettrica, la resistenza specifica (o globale) totale
della parete è data dalla somma delle resistenze termiche specifiche (o globali) di ogni strato.
Te
Ti
Rs,m
Rs,c
Quindi si calcolano le resistenze termiche specifiche relative allo strato di mattoni e di calcestruzzo:
R
R
T
s
λ
q
T
T
s
λ
R
,
,
,
T
R
s
λ
0,25
0,65
0,385 m K/W
s
λ
0,15
1,21
0,124 m K/W
1
,
0,385
0,124
18
2
39,3 W/m
Da notare che nei problemi di trasmissione per conduzione le temperature espresse in °C possono non essere convertite
in Kelvin in quanto si lavora con differenze di temperature e non con temperature assolute.
Il flusso termico presenta valore positivo in relazione al sistema di riferimento scelto per definire il problema (il flusso è
diretto dall’interno verso l’esterno per il Secondo Principio della Termodinamica).
Noto il flusso termico trasmesso, si può ricavare il valore della temperatura all’interfaccia tra i due strati Tin da una delle
due relazioni seguenti, considerando che in regime stazionario i flussi trasmessi attraverso gli strati costituenti la parete
sono uguali (qm=qc=q):
T
q
s
λ
T
q
λ
T
q
λ
T
39,3
T
s
T
s
0,124
291
286,1 K
13,1°C
b) La presenza di uno strato eterogeneo costituito da due diversi materiali cambia l’approccio al problema dal punto di
vista del calcolo delle resistenze termiche. La trasmissione del calore in questo problema è multidimensionale ma si può
ritenere accettabile l’ipotesi di trasmissione monodimensionale in quanto prevale la trasmissione lungo l’asse x.
Assumendo isoterma ogni sezione trasversale della parete normale all’asse x, il gradiente di temperatura si verifica solo
in direzione x.
5
Trasferimento di calore per conduzione in regime stazionario
Il problema del calcolo delle resistenze termiche viene affrontato in termini di resistenze termiche globali e non
specifiche, in quanto l’area di scambio associata ad ogni strato non è costante come nel caso della parete multistrato con
singoli strati omogenei. Vengono calcolate le resistenze termiche globali:
RA
sA
λA AA
0,05
1,5
2,5
5
RB
sB
λB AB
0,05
1,3
0,5
5
R
s
λ A
0,25
0,65
3
5
R
s
λA
0,15
1,21
3
5
0,003 K/W
0,015 K/W
0,026 K/W
0,008 K/W
La rete di resistenze termiche per la parete così costituita è del tipo in serie-parallelo, come mostrato nella sottostante
figura.
RB
Te
Ti
Rm
Rc
RA
Per poter calcolare la resistenza termica relativa all’intera parete come somma di resistenze in serie, è necessario
convertire le due resistenze in parallelo relative allo strato eterogeneo in un’unica resistenza equivalente, sfruttando
l’analogia elettrica:
1
RA
1
R
,AB
1
RB
1
0,003
1
0,015
R
, ,AB
0, 0025 K/W
da cui deriva che la resistenza termica totale della parete sarà pari a :
R
R
R
R
0,026
,AB
0,008
0,0025
0,0365 K/W
e la potenza termica trasmessa attraverso l’intera parete sarà pari a:
Q
T
T
R
18
2
0,0365
548 W
c) Nel caso in cui si voglia aumentare del 50% la resistenza termica della parete si deve considerare nella relazione per
il calcolo del flusso utilizzata al punto a) anche lo strato di isolante e porre questa quantità pari al valore ottenuto al
punto a) aumentato del 50%:
6
Trasferimento di calore per conduzione in regime stazionario
0,25
0,65
0,15
1,21
50%
R
R
s
λ
R
s
λ
s
λ
e ricavare da essa lo spessore dell’isolante:
s
s
λ
0,5
s
λ
λ
8,4 mm
Noto lo spessore dell’isolante introdotto nella parete, si otterrà un nuovo valore di flusso termico trasmesso attraverso la
parete che risulta ora composta da tre strati (considerando le temperature interna ed esterna sempre pari a 18°C e -2°C):
q
s
λ
1
s
λ
s
λ
T
1
T
0,0084
0,033
0,385
0,124
18
2
26,2 W/m
Come già fatto per la risoluzione del punto a) si ricavano le temperature di interfaccia dalle relazioni che definiscono il
flusso termico:
T
q
λ
T
s
T
q
λ
T
s
T
14,7 °C
T
4,6 °C
18 °C
14,7 °C
T
4,6 °C
-2 °C
0,84 cm
25 cm
15 cm
Ris
Rm
Rc
x
Nuovo profilo della temperatura nella parete e direzione del flusso termico.
7
Trasferimento di calore per conduzione in regime stazionario
Esercizio 1
Una parete alta 3 m e larga 5 m (figura 1b) è costituita da lunghi mattoni orizzontali (λmat = 0,72 W/m°C) di dimensioni
16 cm x 22 cm in sezione trasversale, separati da strati di malta (λmal = 0,22 W/m°C) da 3 cm di spessore. Vi sono anche
strati di malta da 2 cm di spessore su ciascuna faccia del mattone e una schiuma rigida (λs = 0,026 W/m°C) da 3 cm di
spessore sul lato interno della parete (figura 1a). Le temperature interna ed esterna delle superfici della parete sono
rispettivamente 20 °C e -10 °C.
Nell’ipotesi di trasmissione del calore monodimensionale, determinare la potenza termica trasmessa attraverso la parete.
malta
schiuma
T2
1,5 cm
T1
mattone
22 cm
H= 300 cm
T
L= 500 cm
1,5 cm
x
s= 23 cm
3 cm 2 cm
16 cm
2 cm
Figura 1a (sezione trasversale della parete: disposizione degli strati)
Figura 1b
n.b. Nella costruzione della parete vi è una disposizione che si ripete ogni 25 cm in direzione verticale (rappresentata
nel rettangolo rosso) mentre in quella orizzontale non ci sono variazioni.
Risultato: 285 W
8
Trasferimento di calore per conduzione in regime stazionario
Esercizio 2
Una lastra è composta da due lamine di piombo e ottone aventi spessore rispettivamente di 3 e 14 mm. Sapendo che le
temperature estreme sono di 141 °C per il piombo e 78 °C per l’ottone si determini:
a) il flusso termico per unità di superficie che attraversa la lastra;
b) la temperatura del piano di interfaccia tra le due lamine;
c) l’andamento della temperatura all’interno della parete (soluzione grafica).
T1=141 °C
ottone
piombo
T2=78 °C
T
x
0,003 m
0,014 m
Per i valori della conducibilità termica si faccia riferimento alla tabella all’allegato 1.
Risultato: a) 312406 W/m2 b) 386,6 K
Esercizio 3
Una parete multistrato è costituita, dall’esterno verso l’interno, da: intonaco di malta di cemento di spessore 40 mm (λ
=1,4 W/mK), muratura di mattoni pieni (λ = 0,5 W/mK) di spessore 120 mm e da uno strato di intonaco di gesso di
spessore 30 mm (λ = 0,7 W/mK).
Le temperature sulle superfici estreme interna ed esterna sono rispettivamente di 15°C e 5°C. Determinare:
a)
il flusso termico per unità di superficie attraverso la parete;
b) lo spessore di materiale isolante costituito da un pannello rigido di cloruro di polivinile espanso (λ = 0,039
W/mK), da aggiungere alla struttura perché il flusso termico sia un decimo del valore precedentemente
calcolato, a parità di temperatura sulle superfici estreme.
Risultato: a) 32,05 W/m2 b) 11 cm
9
Trasferimento di calore per conduzione in regime stazionario
Esercizio 4
Una parete piana è costituita da quattro strati omogenei disposti in serie e presenta temperature della superficie interna
ed esterna rispettivamente pari a 22°C e 5°C. Gli strati, disposti a partire dall’interno, hanno le seguenti caratteristiche:
1) Intonaco di gesso, spessore 1 cm, conducibilità termica 0,7 [W/mK]
2) Muratura di mattoni, spessore 45 cm, conducibilità termica 0,5 [W/mK]
3) Strato di polivinilcloruro espanso rigido, spessore 2 cm, conducibilità termica 0,03 [W/mK]
4) Intonaco esterno di malta di cemento, spessore 2,4 cm, conducibilità termica 0,9 [W/mK]
Determinare, sotto l’ipotesi di regime stazionario:
a)
il flusso termico per unità di superficie trasmesso attraverso la parete;
b) le temperature in corrispondenza delle interfacce tra i vari strati, rappresentando graficamente l’andamento
della temperatura nella parete.
Risultato: a) 10,57 W/m2 b) 21,85 °C, 12,34 °C, 5,29 °C
Esercizio 5
Si consideri la parete piana multistrato alta 3 metri e profonda 4,5 metri caratterizzata dalla seguente stratigrafia come in
figura, caratterizzata dai seguenti materiali:
Materiale 1: s1= 3 cm
λ1 = 0,022 W/m K
Materiale 2: s2= 12 cm h2 = 150 cm λ2 = 0,34 W/m K
Materiale 3: s3= 12 cm h3 = 50 cm
λ3 = 0,29 W/m K
Materiale 4: s4= 12 cm h4 = 100 cm λ4 = 0,2 W/m K
Materiale 5: s5= 20 cm
λ5 = 0,7 W/m K
Materiale 6: s6= 5 cm h6 = 180 cm λ6 = 0,048 W/m K
Materiale 7: s7= 5 cm h7 = 120 cm λ7 = 0,042 W/m K
Le temperature della superficie interna ed esterna della parete sono rispettivamente pari a 16°C e -1°C.
Determinare, sotto l’ipotesi di regime stazionario, la potenza termica trasmessa attraverso la parete, schematizzando lo
scambio di calore secondo l’equivalente rete di resistenze termiche.
4
lato
esterno
7
lato
3
1
5
2
interno
6
H = 300 cm
L= 450 cm
s = 40 cm
0,4 m
n.b. Lo spessore della parete è 0,4 metri, pertanto il disegno non è in scala per ragioni di chiarezza di rappresentazione
dei singoli strati.
Risultato: 72,65 W
10
Trasferimento di calore per convezione forzata
Trasferimento di calore per convezione forzata
Richiami teorici
Nu
Numero di Nusselt
Re
Numero di Reynolds
L
Numero di Prandtl
L
Pr
µ
L
µ
λ: conducibilità termica (W/mK)
Lc: lunghezza caratteristica
w: velocità della corrente indisturbata (m/s)
γ: calore specifico del fluido (J/kgK)
μ: viscosità dinamica (kg/m s)
ν: viscosità cinematica (m2/s)
Numero di Reynolds critico: valore in corrispondenza del quale inizia il passaggio da moto laminare a moto turbolento,
dipende dalla geometria e dalle condizioni del moto.
Convezione forzata esterna: il fluido che scambia calore scorre su una superficie
q
h T
Q
W
m
T
hA T
R
1
h
m K
W
R
1
hA
K
W
T
W
h: coefficiente di convezione (W/m2K)
A: superficie di scambio termico (m2)
Ts: temperatura della superficie
T∞: temperatura del fluido a distanza sufficiente dalla superficie
Le proprietà del fluido che scambia calore vanno valutate alla temperatura di film (ad eccezione del caso di una sfera
in cui le proprietà dell’aria sono valutate alla temperatura di flusso indisturbato T∞ in quanto la relazione per il calcolo
del numero di Nusselt comprende il termine (μ∞/μs)1/4 che serve a tenere conto della variazione delle proprietà dell’aria
con la temperatura) ovvero:
T
T
T
2
Lc = lunghezza lato nella direzione del moto del fluido
Pareti e piastre piane
5
moto laminare Re < 5 x10
moto combinato 5 x105< Re <107 moto turbolento Re > 107
Lc = diametro esterno
Cilindri e sfere
5
moto laminare Re < 2 x10
moto turbolento Re > 2 x105
Le relazioni per il calcolo del numero di Nusselt sono riportate all’allegato 4.
11
Trasferimento di calore per convezione forzata
Convezione forzata interna: il fluido che scambia calore scorre all’interno di una superficie confinata
Re
Numero di Reynolds
moto laminare Re < 2300
L
moto di transizione 2300 < Re < 4000
Condotti circolari
Lc = diametro D
Condotti non circolari
Lc = diametro idraulico Dh = 4Ac /p
moto turbolento Re > 4000
Ac = area sezione trasversale condotto, p = perimetro della sezione del condotto
La temperatura del fluido internamente ad un condotto è variabile sia lungo la lunghezza del tubo che lungo la sezione
trasversale: si adotta dunque come approssimazione, quella di valutare le proprietà del fluido che scambia calore alla
temperatura media del fluido, ovvero:
T
T
T
2
Lunghezza d’ingresso idrodinamica Li : lunghezza di condotto compresa tra la sezione d’ingresso e la sezione in cui il
profilo di velocità del fluido diventa completamente sviluppato; nella regione di lunghezza Li, il flusso risulta in
sviluppo idrodinamico in quanto il profilo di velocità non è completamente formato.
Lunghezza d’ingresso termica Lt : lunghezza di condotto compresa tra la sezione d’ingresso e quella in cui lo strato
limite termico diventa completamente sviluppato; dalla sezione finale della regione definita da Lt il profilo di
temperatura resta costante e la regione è termicamente sviluppata.
Moto completamente sviluppato: se il flusso è sia idrodinamicamente che termicamente sviluppato
Moto laminare
Li = 0,05 Re D Lt = 0,05 Re Pr D
Moto turbolento
Li < Lcondotto
flusso idrodinamicamente completamente sviluppato
Li > Lcondotto
flusso idrodinamicamente in sviluppo
Lt < Lcondotto
flusso termicamente completamente sviluppato
Lt > Lcondotto
flusso termicamente in sviluppo
Q
G
γ
T
Q
h
A
ΔT
W
T
W
Li = Lt = 10 Dh
legge fondamentale della calorimetria
potenza termica trasmessa per convezione forzata interna nel caso di
temperatura superficiale costante
T
ΔT
T
T
T
T
T
T
differenza di temperatura media logaritmica
T
T
T eG
A
temperatura del fluido nella sezione di uscita
12
Trasferimento di calore per convezione forzata
h: coefficiente di convezione (W/m2K)
A: superficie di scambio termico (superficie laterale del condotto) (m2)
Ts: temperatura media della superficie
Le relazioni per il calcolo del Numero di Nusselt sono riportate all’allegato 4.
Trasferimento di calore per convezione forzata esterna – Svolgimento esercizio
La pressione atmosferica locale in una città (a quota 1610 m) vale 83,4 kPa. Aria a questa pressione e alla temperatura
di 20 °C scorre con velocità di 8 m/s su una piastra piana di dimensioni 1,5 m x 6 m alla temperatura di 134 °C.
Determinare la potenza termica ceduta dalla piastra a) nel caso in cui il flusso d’aria avvenga secondo il lato lungo 6 m
e b) secondo il lato lungo 1,5 m.
Patm=83,4 kPa
T∞=20 °C
ARIA (b)
w∞= 8 m/s
Ts= 134 °C
ARIA (a)
1,5 m
6m
Svolgimento
Si considera come ipotesi semplificativa del problema il regime stazionario e si trascura l’effetto dell’irraggiamento. Si
considera l’aria un gas perfetto ed inoltre, in questo caso, il numero di Reynolds critico vale 500000. Il problema è di
flusso esterno su superficie piana. Per ognuno dei due casi è necessario definire la lunghezza caratteristica ovvero la
grandezza geometrica di riferimento del moto.
Le proprietà fisiche dell’aria vengono ricavate per interpolazione dalla tabella all’allegato 2. Importante notare che λ, μ,
γ e Pr sono indipendenti dalla pressione mentre ν è inversamente proporzionale alla densità e quindi anche alla
pressione.
La temperatura del fluido nello strato limite termico varia da Ts sulla superficie a T∞ in corrispondenza del limite
esterno dello strato; per questo motivo per tenere conto della variabilità delle proprietà del fluido con la temperatura,
esse vengono definite alla temperatura di film:
T
T
T
2
Si ricavano prima le proprietà dell’aria dalla tabella alla pressione di 101325 Pa (1 atm) e alla temperatura di film che
risulta:
T
134
20
2
λ = 0,0297 W/m°C
77 °C
γ= 1008 J/kg °C
-5
μ = 2,08 x 10 kg/m s
350 K
Pr = γ μ /λ = 0,706
ν = 2,06 x 10-5 m2/s
13
Trasferimento di calore per convezione forzata
Solamente la viscosità cinematica ν si valuta alla pressione della città considerata ( 83,4 kPa = 0,823 atm) e quindi vale:
ν( 0,823 atm) = 2,06 x 10-5/ 0,823 = 2,5 x 10-5 m2/s.
Caso a)
Si valuta innanzitutto il numero di Reynolds alla fine della piastra (la lunghezza caratteristica in questo caso è 6 m
perché il flusso avviene lungo il lato della piastra di lunghezza 6 metri):
Re
w
m
6m
s
2,5 10 m /s
8
L
ν
1,92
10
che risulta maggiore del valore critico 500000 ma inferiore al valore di 107 assunto tipicamente come valore in cui si ha
il passaggio a moto completamente turbolento; di conseguenza il flusso sulla piastra si può ritenere in questo caso
combinato laminare e turbolento.
La relazione per il calcolo del numero di Nusselt medio sulla piastra è quindi la seguente (da allegato 4):
Nu
0,037 Re
,
871 Pr
/
0,037 1,92
10
,
871 0,706
/
2727
Dal valore del numero di Nusselt, invertendo la relazione che lo definisce, si ricava il valore del coefficiente di
convezione h:
h
λ
L
Nu
0,0297
6
2727
13,5
W
m °C
e successivamente si può calcolare la potenza termica ceduta dalla piastra, la cui area di scambio è A = 6 x 1,5 m2 = 9
m2:
Q
h
A
13,5
T
T
9
134
20
13851 W
Se si fosse trascurata la zona a flusso laminare, considerando moto turbolento sull’intera piastra si sarebbe ottenuto un
valore del numero di Nusselt maggiore del 28% di quello calcolato in precedenza con un errore del 28% nel calcolo
della potenza termica ceduta.
Caso b)
Si valuta innanzitutto il numero di Reynolds alla fine della piastra (in questo caso la lunghezza caratteristica è 1,5
metri):
Re
w
8
L
ν
2,5
m
s
1,5 m
10 m /s
4,8
10
che risulta minore del valore critico 500000 e di conseguenza il flusso sulla piastra è laminare.
La relazione per il calcolo del numero di Nusselt medio sulla piastra è quindi la seguente ( da allegato 4):
Nu
0,664 Re
,
Pr
/
0,664 4,8
10
,
0,706
/
410
14
Trasferimento di calore per convezione forzata
Dal valore del numero di Nusselt, invertendo la relazione che lo definisce, si ricava il valore del coefficiente di
convezione h:
h
λ
L
Nu
0,0297
1,5
410
8,11
W
m °C
e successivamente si può calcolare la potenza termica ceduta dalla piastra, la cui area di scambio è A = 6 x 1,5 m2 = 9
m2:
Q
h
A
T
T
8,11
9
134
20
8322 W
notevolmente minore rispetto al caso a); il risultato ci indica come la direzione del flusso assuma un peso significativo
sul valore della potenza termica scambiata che, nel caso analizzato, subisce un aumento da un caso all’altro di circa il
60%.
Esercizio 1
Una sfera di acciaio inossidabile avente diametro 25 cm (ρ = 8055 kg/m3 , γ = 480 J/kg °C) viene tolta da un forno alla
temperatura uniforme di 300 °C. Essa viene quindi investita da un flusso d’aria a 101325 Pa e 27 °C con velocità di 3
m/s che porta la temperatura superficiale della sfera a 200 °C.
Determinare a) il coefficiente medio di scambio termico per convezione durante il raffreddamento e b) stimare la durata
del processo di raffreddamento (trascurare lo scambio per irraggiamento).
Per il calcolo della potenza termica ceduta nello scambio termico, ipotizzare la temperatura della sfera costante e pari
alla temperatura media tra inizio e fine raffreddamento.
T∞ = 27 °C
w∞ = 3 m/s
ARIA
300 °C
25 cm
Risultato: a) 13,9 W/m2 °C b) 1h 27 min
15
Trasferimento di calore per convezione forzata
Esercizio 2
Una casa presenta, su una delle pareti, tre finestre a vetro singolo, alte 1,5 m e lunghe 1,2 m.
Ora cominciano a soffiare venti a 60 km/h ed a una temperatura dell’aria di -2°C lungo l’altezza della parete stessa. Se
la temperatura della superficie esterna delle finestre è 10 °C, determinare la potenza termica ceduta in totale dalle
finestre per convezione forzata all’esterno, trascurando la trasmissione per irraggiamento.
Risultato: 2773,5 W
Esercizio 3
Un lungo condotto di vapore del diametro di 10 cm con temperatura superficiale esterna di 110 °C attraversa un luogo
aperto sprovvisto di protezione contro i venti. Determinare la potenza termica dispersa dal tubo per unità di lunghezza
quando l’aria si trova alla pressione di 101325 Pa e 4 °C e il vento soffia in direzione normale al tubo alla velocità di 8
m/s.
Risultato: 1217 W
16
Trasferimento di calore per convezione forzata
Trasferimento di calore per convezione forzata interna – Svolgimento esercizio
In un condotto quadrato non isolato, lungo 8 m e con sezione trasversale 0,2 m x 0,2 m, che attraversa l’attico di una
casa, entra aria calda a 80 °C e alla pressione atmosferica con portata P = 0,15 m3/s. Considerando il condotto isotermo
alla temperatura di 60 °C, calcolare la temperatura di uscita dell’aria e la potenza termica persa dal condotto nell’attico.
Ts = 60 °C
Aria
0,2 m
101325 Pa
80 °C
0,2 m
8m
Svolgimento
Si tratta di un problema di convezione forzata interna in quanto l’aria scorre in un condotto; le proprietà dell’aria, in un
problema di convezione forzata interna, si valutano alla temperatura media del fluido tra la sezione di ingresso e quella
di uscita. In questo caso, non conoscendo la temperatura di uscita del fluido, non si può calcolare la temperatura media
alla quale valutare le proprietà fisiche del fluido stesso. La temperatura all’ingresso di 80 °C tenderà a diminuire lungo
il condotto a causa dello scambio termico con le pareti più fredde del tubo. In prima approssimazione, si valutano le
proprietà del fluido alla temperatura d’ingresso del tubo (80°C) con le tabelle all’allegato 2 e alla fine si verifica se
l’errore commesso con questa approssimazione è accettabile:
ρ = 1,002 kg/m3
λ = 0,0299 W/m °C
γ = 1008 J/kg °C
-5
Pr = γ μ /λ = 0,706
2
ν = 2,09 x 10 m /s
La lunghezza caratteristica (diametro idraulico) nel caso del condotto quadrato è:
4 A
p
D
4 0,2
4 0,2
0,2 m
e quindi si ricavano la velocità media del fluido e il numero di Reynolds:
w
Re
P
A
w
D
ν
0,15 m /s
0,2 0,2 m
3,75
m
0,2 m
s
2,09 10 m /s
3,75
m
s
35885
Il numero di Reynolds è maggiore di 4000 e quindi il regime è turbolento.
Il fluido a contatto con la parete del fluido è frenato dallo sforzo viscoso dovuto al contatto con la parete; si sviluppa
uno strato limite di velocità il cui spessore aumenta nella direzione del moto, simmetricamente rispetto all’asse del
condotto. La distanza dalla sezione d’ingresso alla sezione in cui lo strato limite occupa interamente la sezione di un
17
Trasferimento di calore per convezione forzata
condotto è detta lunghezza d’ingresso idrodinamica Li; oltre questa distanza il moto è completamente sviluppato
idrodinamicamente in quanto il profilo di velocità rimane invariato.
Analogamente si sviluppa anche lo strato limite termico, se la temperatura del fluido all’ingresso è diversa da quella
della parete del condotto; si individua dunque una regione d’ingresso in cui il profilo di temperatura varia e lo strato
limite termico occupa una parte della sezione via via crescente nella direzione del moto.
Si definisce lunghezza d’ingresso termica Lt la distanza dalla sezione d’ingresso alla sezione in cui lo strato limite
termico occupa interamente la sezione di un condotto; oltre questa distanza il moto è completamente sviluppato
termicamente in quanto il profilo di temperatura rimane invariato.
Per moto laminare:
Li = 0,05 Re D Lt = 0,05 Re Pr D
Per moto turbolento:
Li = Lt = 10 Dh
La lunghezza d’ingresso idrodinamica e termica per moto turbolento coincidono e sono pari a: 10 Dh = 2 m e quindi
essendo il valore minore della lunghezza totale del condotto, consente di affermare che il moto turbolento è
completamente sviluppato. Si può utilizzare la relazione di Dittus-Boelter all’allegato 4 (con Pr
0,3
perché il fluido
subisce un raffreddamento):
Nu
0,023
Re
,
,
Pr
0,023
35885
,
0,706
,
90,2
e da essa ricavare il valore del coefficiente di convezione:
h
λ
D
0,0299
0,2
Nu
90,2
13,5
W
m °C
Nel caso di temperatura superficiale costante, per tenere conto della reale differenza media di temperatura tra il fluido e
la superficie si introduce nel calcolo della potenza termica per convezione forzata interna, la differenza di temperatura
media logaritmica:
ΔT
T
T
ln
T
T
T
T
dove Tu e Ti sono le temperature del fluido nella sezione d’ingresso e di uscita e Ts è la temperatura superficiale della
parete del condotto. Questa relazione garantisce di considerare l’effettiva diminuzione esponenziale della differenza
locale di temperatura.
Per determinare la potenza termica dispersa è necessario valutare la temperatura del fluido alla sezione di uscita del
condotto per poter definire la differenza di temperatura media logaritmica:
T
T
T
T
eG
A
60°C
60°C
80°C
e
,
,
,
,
,
,
71,3°C
dove G = ρ x Asez x w = 0,150 kg/s.
ΔT
T
T
ln
T
T
T
T
71,3 80
60 71,3
ln
60 80
15,2°C
18
Trasferimento di calore per convezione forzata
Quindi la potenza termica dispersa verso l’ambiente vale:
Q
h
A
13,5
∆T
W
m °C
6,4 m
15,2 °C
1313 W
che rappresenta appunto la potenza termica persa dal condotto nell’attico, dove l’area di scambio è la superficie laterale
del condotto.
Si può ora verificare l’ipotesi iniziale sulla temperatura media del fluido:
T
T
T
2
75,6°C
che risulta essere molto vicina a quella ipotizzata e quindi i calcoli possono essere ritenuti validi.
Esercizio 1
Un flusso d’olio a 20 °C e alla velocità media di 2 m/s scorre in un tubo del diametro di 30 cm; una parte del tubo lunga
200 metri passa attraverso l’acqua ghiacciata di un lago a 0 °C, per cui la temperatura superficiale del tubo misurata è
molto vicina a 0 °C. Trascurando la resistenza termica del materiale costituente il tubo, determinare a) la temperatura
dell’olio all’uscita del tubo e b) la potenza termica scambiata dall’olio.
lago ghiacciato 0 °C
Ting = 20 °C
olio 2 m/s
30 cm
Tusc
Tsup = 0 °C
200 m
Risultato: a) 19,7 °C b) 58969 W
Esercizio 2
Una quantità oraria di aria pari a G = 72 kg/h si trova alla temperatura di 20 °C e viene inviata mediante un propulsore
in un tubo del diametro di 5 cm la cui parete interna si trova ad una temperatura di 120 °C. Determinare la lunghezza
del tubo affinché l’aria in corrispondenza della sezione di uscita da esso raggiunga la temperatura di 110 °C.
Risultato: 7,7 m
19
Trasferimento di calore per convezione forzata
Esercizio 3
Una portata d’acqua G =10 kg/s viene riscaldata da una temperatura di 15 °C a 35 °C passando attraverso 5 tubi identici
fra loro con diametro di 5 cm e temperatura superficiale di 60 °C. Determinare:
a)
la potenza termica scambiata in regime stazionario;
b) la lunghezza di ciascuno dei tubi necessaria a tale scopo.
Risultato: a) 835800 W b) 8,6 m
20
Trasferimento di calore per convezione naturale
Trasferimento di calore per convezione naturale
Richiami teorici
Superfici
Le proprietà del fluido che scambia calore vanno valutate alla temperatura di film ovvero:
T
T
T
2
Numero di Grashof
Gr
ρ
L
a
g
T
T
µ
a = coefficiente di dilatazione cubica = 1/Tf (K)
g = costante gravitazionale = 9.81 m/s2
Lc = lunghezza caratteristica del moto
ρ = densità fluido (kg/m3)
γ = calore specifico (J/kgK)
μ = viscosità dinamica (kg/ms)
λ = conducibilità termica del fluido (W/mK)
Ts = temperatura della superficie
T∞ = temperatura del fluido sufficientemente lontano dalla superficie
Numero di Rayleigh
Q
Ra
Gr
hA T
T
Pr
W
Le relazioni per il calcolo del numero di Nusselt in funzione del numero di Rayleigh e della geometria del problema
sono riportate all’allegato 3.
Pareti verticali
Lc = altezza
Tubo orizzontale
Lc = diametro
Piastre orizzontali
Lc = area/perimetro
Sfera
Lc = ½ π diametro
Cavità
Le proprietà del fluido che scambia calore vanno valutate alla temperatura media del fluido ovvero:
T
T
T
2
21
Trasferimento di calore per convezione naturale
Numero di Grashof
ρ
Gr
L
a
g
T
T
µ
T1 = temperatura della superficie calda
T2 = temperatura della superficie fredda
Q
hA T
T
W
à
Cavità rettangolari
Lc = distanza tra superfici
fattore di forma H/s = altezza cavità/spessore cavità
Cavità cilindriche
Lc = spazio anulare tra i cilindri = De – Di /2
Trasferimento di calore per convezione naturale – Svolgimento esercizio
Una parete è alta 4 metri e larga 6 metri e la superficie interna si trova ad una temperatura uniforme di 15°C mentre
l’aria ambiente interna è a 21°C. Lo scambio di calore avviene solo per effetto della differenza di temperatura. La parete
presenta poi una finestra verticale a doppio vetro, alta 1,2 m e larga 2 m, che risulta costituita da due lastre di vetro
separate da un’intercapedine di aria a pressione atmosferica di spessore 2,5 cm. Le temperature delle superfici di vetro
che racchiudono lo strato d’aria nell’intercapedine sono 12 °C e 2 °C, determinare:
a)
il coefficiente di convezione naturale relativo allo scambio termico tra l’aria interna e la parete;
b) la potenza termica scambiata per convezione naturale all’interno dell’intercapedine.
Svolgimento
a) Si calcola la temperatura di film tra la parete e l’aria che la lambisce:
T
T
T
15
21
2
2
18°C
e si determinano le proprietà dell’aria a questa temperatura dalla tabella all’allegato 2:
ρ = 1,224 kg/m3
λ = 0,0253 W/m °C γ = 1005J/kg °C
Pr =0,714 μ = 1,80 x 10-5 kg/m s
ν = 1,48 x 10-5 m/s2
Il coefficiente di dilatazione cubica a che compare nella relazione per calcolare il numero di Grashof vale: a = 1/Tf (K)
= 0,0034 K-1.
La lunghezza caratteristica è l’altezza della parete in quanto in convezione naturale il moto è governato dalla spinta di
Archimede ed è di tipo ascensionale in prossimità della parete.
Si calcola ora il numero di Grashof:
Gr
L
a
g
ν
T
T
4
0,0034 9,81
1,48 10
21
15
5,85
10
22
Trasferimento di calore per convezione naturale
Da questo ne deriva che il numero di Rayleigh Ra = Pr x Gr = 5,85 x 1010 >109 e quindi si utilizza la relazione
disponibile all’allegato 3:
0,024 Gr , Pr
1 0,464 Pr ,
Nu
,
366
,
Da questo si ricava il coefficiente di scambio convettivo:
h
λ
L
Nu
0,0253
4
366
2,32
W
m °C
I coefficienti di convezione relativi a trasferimenti di calore per convezione naturale sono generalmente minori di quelli
relativi alla convezione forzata in quanto il fluido si muove a velocità molto basse non essendo “forzato” da cause
diverse dalla differenza di temperatura.
b) Si calcola la temperatura media dell’aria tra le due pareti che delimitano l’intercapedine:
T
T
12
T
2
2
7 °C
2
e si determinano le proprietà dell’aria a questa temperatura:
ρ = 1,271 kg/m3
Pr = 0,717 ν = 1,40 x 10-5 m/s2
λ = 0,0246 W/m °C γ = 1004 J/kg °C
Il coefficiente di dilatazione cubica a che compare nella relazione per calcolare il numero di Grashof vale: a=1/Tm (K) =
0,0036 K-1.
La lunghezza caratteristica nel caso di cavità rettangolari verticali è lo spessore della cavità e dunque, in questo caso, è
la distanza tra le lastre quindi Lc = 0,025 m.
Si calcola ora il numero di Grashof:
Gr
a
L
g
ν
T
0,025
T
0,0036 9,81
1,40 10
12
2
28154
da cui deriva che il numero di Rayleigh Ra = Pr x Gr = 20186 < 109 e quindi si utilizza la relazione valida per cavità
verticali rettangolari con fattore di forma H/s = 1,2/0,025 = 48:
Nu
0,22
Pr
0,2 Pr
,
H
s
Ra
,
1,25
Da questo si ricava il coefficiente di scambio convettivo:
h
λ
L
Nu
0,0246
0,025
1,25
1,23
W
m °C
e quindi la potenza termica scambiata attraverso l’intercapedine per convezione naturale:
Q
h
A
T
T
1,23
1,2
2
10
29,52 W
23
Trasferimento di calore per convezione naturale
Esercizio 1
Si consideri una piastra piana sottile di dimensioni 0,6 m x 0,6 m posta in un ambiente a 30 °C. Una superficie della
piastra è mantenuta alla temperatura di 74 °C mentre l’altra è isolata. Determinare la potenza termica trasmessa nel caso
di piastra verticale, orizzontale con superficie calda orientata verso l’alto, orizzontale con superficie calda orientata
verso il basso.
Ts = 74 °C
0,6 m
superficie calda orientata verso l’alto
verticale
superficie calda orientata verso il basso
Risultato: a) 64W b) 89,3 W c) 44,6 W
Esercizio 2
Un tubo orizzontale di acqua calda del diametro di 8 cm attraversa un grande ambiente alla temperatura di 18 °C per un
tratto lungo 6 m. Se la temperatura della superficie esterna del tubo è 70 °C, determinare la potenza termica dispersa dal
tubo per convezione naturale.
Risultato: 470 W
Esercizio 3
Una parete presenta una finestra a doppio vetro, alta 120 cm e larga 60 cm, costituita da due lastre di vetro separate da
un’intercapedine di aria a pressione atmosferica di spessore 20 mm. Le superfici vetrate che racchiudono
l’intercapedine si trovano rispettivamente ad una temperatura di 18 e 6 °C. Determinare il coefficiente di convezione
relativo allo scambio termico convettivo nell’intercapedine della finestra.
Risultato: 1,3 W/m2 K
24
Trasferimento di calore per convezione naturale
Esercizio 4
Un tratto di tubo orizzontale lungo 8 metri e di 6 cm di diametro, percorso da acqua calda, attraversa una grande stanza
in cui la temperatura dell’aria è 22 °C. Se la temperatura della superficie esterna del tubo è 65 °C, determinare la
potenza termica ceduta dal tubo all’esterno per convezione naturale.
Risultato: 384,3 W
Esercizio 5
Si consideri una piastra quadrata sottile di dimensioni 1 m x 1 m posta in un ambiente a 20 °C. Una superficie della
piastra è mantenuta alla temperatura di 55 °C mentre l’altra faccia è isolata. Determinare la potenza termica ceduta dalla
piastra per convezione naturale a) nel caso di piastra verticale e b) orizzontale con superficie calda orientata verso l’alto.
Ts = 74 °C
0,6 m
superficie calda orientata verso l’alto
verticale
Risultato: a) 116,9 W b) 198,8 W
25
Trasferimento di calore per irraggiamento
Trasferimento di calore per irraggiamento
Richiami teorici
J
σ T
irradiamento integrale del corpo nero (legge di Stefan – Boltzmann)
σ0= costante di Stefan - Boltzmann = 5,67 x 10-8 W/m2 K4
emissività: rapporto tra radiazione emessa da una superficie e radiazione emessa dal corpo nero alla stessa temperatura
(varia tra 0 e 1)
corpo nero: ε =1
potenza termica netta trasmessa per irraggiamento = potenza emessa –potenza assorbita
Q
ε
T
T
σ
A
T
Ts = temperatura della superficie
Q
h
A
ε
σ
A
T
T
(una completamente racchiusa nell’altra e separate da un gas)
ε
h
σ
T
T
T
T
coefficiente di radiazione
Tamb = temperatura delle altre superfici con le quali avviene lo scambio di calore (in genere la temperatura dell’ambiente
in cui si trovano tutti i corpi che scambiano calore per irraggiamento).
Scambio combinato convezione- irraggiamento per una superficie
T
Se T
h
allora:
h
h
Q
h
T
T
R
R
R
Piani paralleli affacciati
q
A
σ
1
a
1
1
a
1
T
T
Ipotesi semplificative
Corpi grigi: coefficiente di assorbimento ed emissività costanti al variare della lunghezza d’onda
Corpi diffondenti: coefficiente di assorbimento ed emissività indipendenti dalla direzione
26
Trasferimento di calore per irraggiamento
Trasferimento di calore per irraggiamento - Svolgimento esercizio
Una parete verticale, alta 1,2 m e larga 2 m, è costituita da due strati di materiale ( trascurare la resistenza del materiale)
che delimitano un’intercapedine di aria a pressione atmosferica di spessore 2,5 cm. Le superfici interne dei due strati
affacciati si trovano ad una temperatura di 18°C e 7°C.
Inoltre le superfici esterna ed interna della parete, a contatto con l’aria esterna ed interna, si trovano rispettivamente a
5°C e 20 °C.
Si ipotizza che i corpi nell’ambiente interno si trovino tutti in equilibrio con l’aria interna ad una temperatura di 23°C
mentre i corpi all’esterno ad una temperatura di 2 °C. L’emissività di tutte le superfici è pari a 0,8 e i coefficienti di
convezione interno ed esterno sono rispettivamente pari a 7 W/m2K e 20 W/m2K.
Determinare la potenza scambiata:
a)
per convezione forzata ed irraggiamento tra la superficie esterna della parete e l’ambiente esterno;
b) per convezione forzata ed irraggiamento tra la superficie interna della parete e l’ambiente interno;
c)
per irraggiamento tra i due strati di materiale che delimitano l’intercapedine d’aria.
Svolgimento
Lo scambio di calore per irraggiamento viene affrontato imponendo alcune ipotesi semplificative:
−
superfici grigie: coefficiente di assorbimento ed emissività costanti al variare della lunghezza d’onda;
−
superfici diffondenti: coefficiente di assorbimento ed emissività indipendenti dalla direzione;
−
superfici opache: coefficiente di trasmissione nullo
a,b) Per calcolare la potenza scambiata per irraggiamento e convezione sulle pareti esterna ed interna, è necessario
calcolare le resistenze termiche per radiazione interna ed esterna e considerare che le resistenze termiche per radiazione
e convezione sono resistenze in parallelo.
h
0,8
0,8
5,67
σ
10
T
,
293
1
R
,
h
,
5,67
R
ε
,
h
,A
ε
σ
4,63
T
,
278
10
1
,
h
,
A
3,81
T
T
296
293
1
1,2
,
T
274
278
2
296
4,63
W
m °C
0,09 °C/W
2
T
1
1,2
T
,
T
274
3,81
W
m °C
0,11 °C/W
NOTA: i valori di hirr dimensionalmente avrebbero come unità di misura W/m2 K; le unità di misura relative ai
coefficienti di convezione e irraggiamento e alle conducibilità termiche che riportano unità di temperatura sono riferite
a differenze di temperatura (nei due casi sopra vuol dire che per ogni m2 di superficie e per ogni variazione di
27
Trasferimento di calore per irraggiamento
temperatura ΔT=1 °C= 1 K si trasmettono 4,63 e 3,81 W); perciò scrivere °C o K è equivalente. In questo caso poiché
tutti i dati sono espressi in °C si è mantenuta la denominazione in °C.
Le resistenze termiche relative allo scambio per convezione si ricavano dai corrispondenti coefficienti di convezione:
1
R
,
h
20
A
,
1
R
,
h
1
1,2
A
7
1
1,2
h
,
h
h
,
h
,
0,02 °C/W
2
0,06 °C/W
2
La resistenza globale convettiva + radiativa è:
1
1
R
R
,
1
R
1
,
R
1
1
R
,
,
,
R
,
R
,
0,036 °C/W
,
R
,
0,017 °C/W
,
Quindi la potenza trasmessa per convezione e irraggiamento sulla parete interna è pari a :
T
T
R
Q
23 20 °C
0,036 °C/W
,
,
83,3 W
e quella trasmessa per convezione e irraggiamento sulla parete esterna è pari a :
T,
R
Q
T
5 2 °C
0,017 °C/W
,
176,5 W
Poiché la resistenza globale è anche pari alla somma dei rispettivi coefficienti di convezione e radiazione, la potenza
termica trasmessa può anche essere valutata con la relazione valida per il trasferimento di calore per adduzione:
Q
h
Q
h
,
,
h
,
A
T
T
h
,
A
T
T
,
,
c) Per calcolare la potenza scambiata per irraggiamento tra le pareti dell’intercapedine, si applica la relazione valida per
i piani paralleli affacciati, in quanto le condizioni richieste sono soddisfatte. Data l’ipotesi di corpi grigi e diffondenti, il
coefficiente di assorbimento dei due piani uguaglia la loro emissività, per l’applicazione del principio di Kirchoff.
Q
A
σ
1
ε
1
1
ε
1
T
T
1,2
2
5,67
10
1
0,8
1
1
0,8
1
291
280
92,9 W
28
Trasferimento di calore per irraggiamento
Esercizio 1
Una piastra piana quadrata di magnesio, avente lato pari a 45 cm, si trova immersa in ambiente (T = 28 °C).
La piastra, che si comporta come un corpo grigio avente emissività pari a 0.6, ha una faccia isolata e l’altra alla
temperatura costante di 70 °C.
Si calcoli la potenza termica trasmessa dalla piastra per convezione naturale e irraggiamento nei casi in cui a) la stessa
sia disposta verticalmente e b) orizzontalmente (faccia superiore isolata).
Si assumano i seguenti valori per le proprietà dell’aria (alla temperatura di film di 49 °C):
ρ = 1,11 kg/m3
λ = 0,0275 W/m °C
μ = 1,94 x 10-5 m2/s
γ = 1006 J/kg °C
Pr = 0,710
Risultato: a) 75,3 W b) 55,8 W
Esercizio 2
Due superfici di area 10 m2, piane e parallele, ritenute grigie e diffondenti, si trovano rispettivamente alla temperatura di
70 °C e 20 °C. La prima superficie ha una emissività pari a 0,5 e la seconda ha una emissività pari a 0,2.
Valutare a) la potenza netta scambiata per irraggiamento tra le due superfici e b) l’emissività della seconda superficie
necessaria a ridurre alla metà la potenza netta calcolata al punto a).
Risultato: a) 611,5 W b) 0,09
Esercizio 3
Una parete perimetrale è munita di un’intercapedine d’aria (L = 6 cm). Tra le facce opposte dell’intercapedine (1 e 2)
esiste una differenza di temperatura ΔT= T1-T2 = 7 °C e si supponga T1 = 17 °C. Nell’ipotesi che ε1= ε2 = 0,8, si valuti
a) il flusso termico trasmesso attraverso l’intercapedine e b) il relativo coefficiente di irraggiamento hirr.
Risultato: a) 24,9 W/m2 b) 3,56 W/m2 °C
29
Trasferimento di calore di tipo misto
Trasferimento di calore di tipo misto
Svolgimento esercizio
Si consideri la parete piana multistrato alta 3 metri e profonda 4,5 metri caratterizzata dalla seguente stratigrafia come in
figura:
4
7
3m
lato
esterno
3
1
5
3m
lato
6
4,5 m
2
interno
0,4 m
0,4 m
Materiale 1: s1= 3 cm
λ1 = 0,022 W/m °C
Materiale 2: s2= 12 cm h2 = 150 cm λ2 = 0,34 W/m °C
Materiale 3: s3= 12 cm h3 = 50 cm λ3 = 0,29 W/m °C
Materiale 4: s4= 12 cm h4 = 100 cm λ4 = 0,2 W/m °C
Materiale 5: s5= 20 cm
λ5 = 0,7 W/m °C
Materiale 6: s6= 5 cm h6 = 180 cm λ6 = 0,048 W/m °C
Materiale 7: s7= 5 cm h7 = 120 cm λ7 = 0,042 W/m °C
All’esterno la parete è lambita da un flusso d’aria alla temperatura di -2 °C e velocità di 3 m/s in direzione parallela al
lato lungo 4,5 metri della parete stessa; internamente invece, il flusso d’aria agisce parallelamente al lato lungo 3 metri e
si muove alla temperatura di 20 °C e alla velocità di 0,5 m/s.
Si richiede di:
a)
b)
c)
d)
Schematizzare lo scambio di calore secondo l’equivalente rete di resistenze termiche;
Calcolare la potenza termica trasmessa in regime stazionario attraverso la parete;
Determinare le temperature sulle superfici esterna ed interna della parete;
Calcolare la potenza termica trasmessa considerando il contributo dell’irraggiamento, assumendo che le
superfici esterna ed interna abbiano emissività pari rispettivamente a 0,9 e a 0,85 e che le temperature
superficiali siano quelle calcolate al punto c).
Si assumano i seguenti valori per le proprietà dell’aria interna ed esterna:
ρ = 1,26 kg/m3
λ = 0,0248 W/m K
-5
γ = 1004 J/kg °C
2
ν = 1,42 x 10 m /s
30
Trasferimento di calore di tipo misto
Svolgimento
a) La rete di resistenze termiche che schematizza il problema è del tipo serie-parallelo, presenta due blocchi di
resistenze in parallelo dovute alla stratificazione lungo la direzione verticale dei materiali.
R4
R7
Test
Tint
Re
R3
R1
Ri
R5
R2
R6
b) Per ricavare la potenza termica trasmessa è necessario calcolare tutte le resistenze termiche legate ad ogni scambio di
calore che coinvolge la parete: per conduzione attraverso i diversi strati di materiale che la compongono, per
convezione forzata esterna con l’aria dell’ambiente esterno ed interno.
CONVEZIONE LATO INTERNO
Si valuta il numero di Reynolds tenendo conto che, essendo il flusso d’aria parallelo al lato lungo 3 metri la lunghezza
caratteristica sarà proprio pari a 3 metri:
w
ReL
m
3m
s
1,42 10 m /s
0,5
L
ν
105633,8
che risulta minore del valore critico 500000 e di conseguenza il flusso sulla piastra è laminare.
Il numero di Prandtl si calcola:
Pr
ρ
ν
λ
1,26
γ
1,42 10
0,0248
1004
0,724
In questo caso, la relazione per il calcolo del numero di Nusselt è la seguente:
Nu
0,664 Re
,
Pr
/
0,664 105633,8
,
0,724
1,6
W
m °C
/
193,8
Si ricava quindi il coefficiente di convezione interno:
h
λ
L
Nu
0,0248
3
193,8
31
Trasferimento di calore di tipo misto
CONVEZIONE LATO ESTERNO
Si valuta il numero di Reynolds tenendo conto che, essendo il flusso d’aria parallelo al lato lungo 4,5 metri la lunghezza
caratteristica sarà proprio pari a 4,5 metri:
w
ReL
m
4,5 m
s
1,42 10 m /s
3
L
ν
950704,2
che risulta maggiore del valore critico 500000 e di conseguenza il flusso sulla piastra sarà ancora combinato. Ciò è
verificato mediante il calcolo dell’ascissa critica che viene così effettuato:
Re
x
500000
ν
w
1,42
3
10
2,37 metri
Questo valore è minore della lunghezza caratteristica ma dello stesso ordine di grandezza quindi conferma che il moto
non è completamente turbolento ma sarà combinato.
In questo caso, la relazione per il calcolo del numero di Nusselt è la seguente:
Nu
0,037 Re
,
871 Pr
/
0,037 950704,2
,
871 0,724
/
1231,1
Si ricava quindi il coefficiente di convezione esterno:
λ
L
h
0,0248
4,5
Nu
1231,1
6,78
W
m °C
Ora è possibile calcolare tutte le resistenze termiche in gioco:
R
R
,
R
s
λ A
R
s
λ A
R
s
λ A
R
s
λ A
R
s
λ A
1
hA
1,6
1
3
0,022
0,03
3
4,5
0,34
0,12
1,5
4,5
0,29
0,12
0,5
4,5
4,5
0,046 °C/W
0,101 °C/W
0,052 °C/W
0,184 °C/W
0,2
0,12
1 4,5
0,133°C/W
0,7
0,2
3 4,5
0,021°C/W
R
s
λ A
0,048
0,05
1,8
4,5
R
s
λ A
0,042
0,05
1,2
4,5
0,129°C/W
0,22°C/W
32
Trasferimento di calore di tipo misto
R
R
1
h A
,
1
3
6,78
0,011 °C/W
4,5
Le tre resistenze R2, R3, R4 sono in parallelo e perciò la resistenza equivalente sarà data da:
1
R
1
R
1
R
1
R
32,18 W/°C
da cui deriva che: Req(2-3-4) = 0,031 °C/W.
Le tre resistenze R6 e R7 sono in parallelo e perciò la resistenza equivalente sarà data da:
1
R
1
R
1
R
12,3 W/°C
da cui deriva che: Req(6-7) = 0,081 °C/W.
Ora le resistenze risultano essere tutte in serie ed è quindi possibile ricavare la resistenza termica globale del sistema:
R
R
R
R
R
R
R
0,291 °C/W
La potenza termica stazionaria trasmessa attraverso la parete (assumendo come riferimento i flussi positivi nel verso
dall’interno all’esterno):
20
2 °C
0,291 °C/W
T
T
Q
R
75,6 W
c) Per il calcolo delle temperature estreme delle facce è sufficiente applicare la relazione utilizzata sopra, ricordando
che il regime è stazionario e quindi i flussi sono uguali:
Q
Q
T
,
T
R
,
T
T
R
2
T,
0,011 °C/W
T
20 T ,
0,046 °C/W
,
,
T
,
,
75,6
0,011
2
1,17 °C
75,6
0,046
20
16,52 °C
d) Per considerare il contributo dell’irraggiamento alla potenza termica trasmessa, è necessario calcolare le resistenze
termiche per radiazione interna ed esterna e considerare che le resistenze per radiazione e convezione sono resistenze in
parallelo.
h
R
h
ε
,
T
,
T
1
,
h
ε
,
R
σ
4,77
,A
σ
T
,
1
,
h
,
A
T
T
1
4,5
T
1
4,09 4,5
T
,
3
4,77
0,0155 °C/W
T
,
3
W
m °C
4,09
W
m °C
0,018 °C/W
33
Trasferimento di calore di tipo misto
NOTA: i valori di hirr dimensionalmente avrebbero come unità di misura W/m2 K; le unità di misura relative ai
coefficienti di convezione e irraggiamento e alle conducibilità termiche che riportano unità di temperatura sono riferite
a differenze di temperatura (nei due casi sopra vuol dire che per ogni m2 di superficie e per ogni variazione di
temperatura ΔT=1 °C= 1 K si trasmettono 4,77 e 4,09 W); perciò scrivere °C o K è equivalente. In questo caso poiché
tutti i dati sono espressi in °C si è mantenuta la denominazione in °C.
La resistenza globale convettiva + radiativa è:
1
1
R
,
1
R
1
R
,
R
1
R
,
h
,
1
,
R
,
h
,
,
h
,
R
,
0,0116 °C/W
h
,
R
,
0,00683 °C/W
La resistenza totale della parete considerando l’irraggiamento è dunque valutata come somma delle resistenze in serie:
R
R
,
R
R
,
0,0116
0,234
0,00683
0,25243 °C/W
e la potenza globalmente trasmessa:
Q
T
T
R
20
2 °C
0,25243 °C/W
87,1 W
Esercizio 1
Si consideri una casa con base di 10 m x 20 m e pareti di altezza 4 m; tutte le pareti presentano un valore di resistenza
termica conduttiva specifica pari a 2,31 m2 °C/W.
Le due pareti di 10 m x 4 m sono prive di finestre; la terza parete presenta cinque finestre in vetro spesso 0,5 cm (λv =
0,78 W/mK), ciascuna delle quali misura 1,2 m x 1,8 m.
La quarta parete ha le stesse dimensioni e lo stesso numero di finestre ma queste sono a doppio vetro con uno spazio di
aria stagnante spesso 1,5 cm (λa = 0,026 W/m K) racchiuso fra due lastre di vetro spesso 0,5 cm.
Il termostato nella casa è regolato alla temperatura di 22 °C e la temperatura media dell’ambiente esterno in quella
località è 5 °C durante la stagione di riscaldamento della durata di 7 mesi.
Trascurando gli scambi termici per irraggiamento e considerando i coefficienti di scambio termico sulla superficie
esterna ed interna della casa rispettivamente pari a he = 15 W/m2 °C e hi = 7 W/m2 °C, determinare la potenza media
trasmessa attraverso ciascuna parete.
Risultato: 270 W, 270 W, 5329 W, 720 W
34
Trasferimento di calore di tipo misto
Esercizio 2
Si consideri la parete piana multistrato alta 2,5 metri e profonda 5 metri caratterizzata dalla seguente stratigrafia come in
figura:
4
lato
esterno
2,5 m
3
1
5
2,5 m
6
lato
interno
5m
2
0,35 m
0,35 m
N.B. Lo spessore della parete è 0,35 metri, pertanto il disegno non è in scala per ragioni di chiarezza di
rappresentazione dei singoli strati.
Materiale 1: s1= 5 cm
λ1 = 1,4 W/m °C
Materiale 2: s2= 18 cm h2 = 50 cm λ2 = 0,7
W/m °C
Materiale 3: s3= 18 cm h3 = 150 cm λ3 = 0,5
W/m °C
Materiale 4: s4= 18 cm h4 = 50 cm λ4 = 0,7
W/m °C
Materiale 5: s5= 7 cm
λ5 = 0,035 W/m °C
Materiale 6: s6= 5 cm
λ6 = 1,4
W/m °C
All’esterno la parete è lambita da un flusso d’aria alla temperatura di 5 °C e velocità di 4 m/s in direzione parallela al
lato lungo 5 metri della parete stessa; internamente invece, il flusso d’aria agisce parallelamente al lato lungo 2,5 metri
alla temperatura di 19 °C e alla velocità di 0,3 m/s.
Si richiede di:
a)
Schematizzare lo scambio di calore secondo l’equivalente rete di resistenze termiche;
b) Calcolare la potenza termica trasmessa in regime stazionario attraverso la parete, trascurando il contributo
dell’irraggiamento;
c)
Determinare le temperature sulle superfici esterna ed interna della parete.
Si assumano i seguenti valori per le proprietà dell’aria interna ed esterna:
ρ = 1,271 kg/m3
λ = 0,0246 W/m °C
γ = 1004 J/kg °C
-5
μ = 1,75 x 10 kg/m s
Risultato: b) 54,4 W c) 5,44 °C, 15,8 °C
35
Trasferimento di calore di tipo misto
Esercizio 3
La parete di una stanza, alta 2,97 m e larga 5 m, è costituita a partire dal lato esterno da: intonaco di spessore 1,5 cm
(λA=1 W/mK), mattoni di dimensioni 25 cm x 25 cm in sezione trasversale (λB=0,4 W/mK) separati da strati di malta di
spessore 2 cm (λC=λD=1.4 W/mK), uno strato isolante di 6 cm (λE=0,035 W/mK), mattoni pieni di 8 cm di spessore
(λF=0,7 W/mK) ed infine un ulteriore spessore di intonaco da 1.5 cm (λG=1 W/mK).
La parete presenta una finestra a doppio vetro, alta 1.2 m e larga 0.6 m, costituita da due lastre di vetro (λvetro=0,8
W/mK) ognuna di spessore 4 mm separate da un’intercapedine di aria a pressione atmosferica di spessore 20 mm. Le
superfici vetrate che racchiudono l’intercapedine si trovano rispettivamente ad una temperatura di 18 e 6 °C.
La temperatura dell’aria interna ed esterna alla stanza è rispettivamente pari a Ti=20°C e Te=4°C e i coefficienti di
convezione interna ed esterna sono pari a hi=9 W/m2K e he=20 W/m2K.
Trascurando gli scambi di calore per irraggiamento, si richiede di determinare:
a)
la potenza termica trasmessa in regime stazionario attraverso la sola parete opaca;
b) il coefficiente di convezione relativo allo scambio termico convettivo nell’intercapedine della finestra;
c)
la potenza termica totale trasmessa in regime stazionario attraverso la finestra.
Si assumano i seguenti valori per le proprietà termofisiche dell’aria:
ρ = 1,25 kg/m3
λ = 0,0249 W/mK
ν = 1,356 x 10-5 m/s2
γ = 1004,5 J/kgK
μ=1,695 x 10-5 kg/ms
Pr = 0,716
42
1.5
8
6
25
1.5
C
H= 297 cm
F
120 cm
INTERNO
G
E
B
1
A 25 27 ESTERNO
60 cm
L= 500 cm
D
s= 42 cm
H
1
L
Stratigrafia in sezione trasversale della parete opaca (spessori in centimetri)
s
Risultato: b) 88,75 W c) 1,3 W/m2 K d) 12,25 W
36
Trasferimento di calore di tipo misto
Esercizio 4
Si consideri la parete piana multistrato alta 3,5 metri e di larghezza 4,5 metri caratterizzata dalla seguente stratigrafia
come in figura:
lato
lato
esterno
3,5 m
interno
1
2
3
4,5 m
0,32 m
0,32 m
N.B. Lo spessore della parete è 0,32 metri, pertanto il disegno non è in scala per ragioni di chiarezza di
rappresentazione dei singoli strati.
Materiale 1: s1= 4 cm λ1 = 0,022 W/m °C
Materiale 2: s2= 8 cm λ2 = 0,34 W/m °C
Materiale 3: s3= 20 cm λ3 = 0,29 W/m °C
All’esterno la parete è lambita da un flusso d’aria alla temperatura di 3 °C e velocità di 2 m/s in direzione parallela al
lato lungo 4,5 metri della parete stessa; internamente invece, il flusso d’aria agisce parallelamente al lato lungo 3,5
metri e si muove alla temperatura di 21 °C e alla velocità di 0,5 m/s.
Si richiede di:
a)
schematizzare lo scambio di calore secondo l’equivalente rete di resistenze termiche;
b) calcolare i coefficienti di convezione, relativi allo scambio interno ed esterno;
c)
calcolare la trasmittanza termica della parete, trascurando il contributo dello scambio per irraggiamento.
Risultato: b) hi =1,48 W/m2 °C he = 3,71 W/m2 °C c) 0,27 W/m2 °C
37

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