Trasformatore

Trasformatore
[email protected]; http://www.df.unipi.it/∼fuso/dida
(Dated: version 3 (very slightly amended) - FF, 5 giugno 2014)
Questa breve nota mette in luce e riassume alcuni aspetti del funzionamento dei trasformatori
analizzati attraverso un semplice modello che permette di cogliere le principali caratteristiche.
I.
INTRODUZIONE
l'energia, o potenza, spesa in questi fenomeni è dell'ordine di qualche punto percentuale rispetto a quella che è
L'utilità pratica dei dispositivi che vanno sotto il nome
di trasformatori è più che evidente e nota a tutti. Molti apparecchi elettrici e praticamente tutti i dispositivi
elettronici di cui facciamo continuamente uso hanno bisogno di un'alimentazione in corrente continua e a bassa
tensione.
Una tensione, o corrente, di questo tipo non
è però quella che esce dalle normali prese di casa, cioè
dalla rete di distribuzione dell'energia elettrica.
In pri-
invece trasferita dal primario al secondario.
Supponendo che primario e secondario (con
N1
e
N2
spire, rispettivamente) siano avvolti sullo stesso circui-
µ e sezione S , e
`, allora, usando la deni-
to magnetico di permeabilità magnetica
che abbiano la stesa lunghezza
zione di autoinduttanza, si ha con buona approssimazio-
2
L1,2 = µSN1,2
/`, da cui, supponendo k = 1,
L1 /M = N1 /N2 e L2 /M = N2 /N1 .
ne
risulta
mo luogo, la rete elettrica fornisce corrente alternata. Il
motivo è soprattutto perché di questo tipo è la dieren-
II.
za di potenziale prodotta dai generatori (alternatori) che
PRIMARIO E SECONDARIO
tipicamente sfruttano un moto periodico e, in accordo
con la cosiddetta legge di Faraday, forniscono una for-
Le equazioni generiche dei circuiti di primario e secon-
za elettromotrice alternata. Inoltre l'ampiezza di questa
dario possono essere scritte nel dominio delle frequenze
forza elettromotrice è normalmente elevata (230 Vrms
come
per la rete di casa, centinaia di kV per gli elettrodotti ad alta tensione).
Vω1 = (R1 + jωL1 )Iω1 + jωM Iω2
Vω2 = (R2 + jωL2 )Iω2 + jωM Iω1 ,
Il motivo è legato al desiderio di
minimizzare le perdite per eetto Joule da parte dei li
che trasportano la corrente in giro per il mondo. Infatti,
data una certa resistenza (senz'altro non trascurabile, se
si considera la lunghezza dei li necessari per cablare il
territorio), la potenza dissipata scala con il quadrato della corrente.
A parità di potenza fornita dal generatore
(dalla centrale elettrica), la corrente scala inversamente
con la tensione. Dunque le perdite per eetto Joule di-
(1)
(2)
dove abbiamo introdotto i fasori delle correnti e degli
eventuali generatori presenti al primario e al secondario
(la simbologia è ovvia) e le resistenze nel circuito primario e secondario, generalmente date dalla somma delle
resistenze interne degli avvolgimenti
r1 , r2
e di eventuali
resistenze aggiunte nei circuiti.
minuiscono con il quadrato della tensione, permettendo
di limitare lo spreco di energia.
Conoscete già un modo per convertire in continua una
tensione alternata (raddrizzatore e livellatore con diodo
e condensatore).
Per abbassare l'ampiezza della forza
elettromotrice alternata ci si serve prevalentemente proprio dei trasformatori, che per questo hanno un impiego
diusissimo.
Un trasformatore è, in un'ampia accezione, un sistema
A.
Trasformazione in tensione e in corrente
Supponiamo che il primario sia collegato a un generatore che fornisce una tensione alternata con frequenza
angolare
ω
primario e secondario)
A tale scopo normalmente gli avvolgimenti
ferromagnetiche (di ferro dolce), cosa che consente di ottenere facilmente coecienti di accoppiamento tra gli avvolgimenti
k ≥ 0.9.
In queste condizioni si ha che il coef-
ciente di mutua induzione è
cioè il
√
M = k L1 L2 ∼
usso disperso è pressoché trascurabile.
√
L1 L2 ,
Inoltre supponiamo che il sedella corrente
Vω1 = (R1 + jωL1 )Iω1
Vω2 = jωM Iω1 ,
che godono di un accoppiamento magnetico pressoché
sono realizzati su un circuito magnetico fatto di lamine
V1 .
aperto, cioè che l'ampiezza I2
che vi uisce sia trascurabile. Le Eqs. 6 diventano:
costituito da due avvolgimenti (
completo.
e ampiezza
condario sia
(3)
(4)
da cui, nell'importante ipotesi che la frequenza sia sucientemente alta da permettere di trascurare le componenti resistive rispetto a quelle reattive (cioè che
ωL1 >>
R1 ),
Il motivo
TV =
per cui si usano tipicamente lamine di ferro dolce è che
nel funzionamento del trasformatore si vuole evitare di
V2
M
N2
=
=
=α,
V1
L1
N1
perdere (troppa) energia nella dissipazione delle correnti
dove abbiamo introdotto il
parassite e nel ciclo di isteresi. In un buon trasformatore
e il parametro
tensione TV
(5)
rapporto di trasformazione in
costruttivo α = N2 /N1 .
2
Nelle approssimazioni fatte si ha che
da
ω e inoltre che Vω1
e
Iω1
TV
non dipende
sono sfasati tra di loro di
π/2,
a secondario aperto il trasformatore non assorbe
alcuna potenza.
per cui
Se vogliamo determinare il rapporto di trasformazione
si ha assorbimento di potenza del quando il secondario è chiuso. L'interazione fra primario e secondario che
che
determina
Ref f
non deve stupirvi, essendo in sostanza le-
gata al coeciente di accoppiamento tra gli avvolgimenti,
che abbiamo supposto unitario.
in corrente dobbiamo avere una corrente che uisce nel
secondario, che pertanto deve essere
chiuso su un carico,
che immaginiamo rappresentato dalla resistenza
R2 .
C.
Le
Trasformazione in potenza
Eqs. 6 diventano:
Vω1 = (R1 + jωL1 )Iω1 + jωM Iω2
0 = (R2 + jωL2 )Iω2 + jωM Iω1 ,
(6)
(7)
dato che supponiamo nulla la dierenza di potenziale al
Cominciamo con il ricordare un concetto che abbiamo già implicitamente impiegato:
dalla funzione
secondario. Si ottiene facilmente:
Iω2
P =
jωM
Iω1 ,
=−
R2 + jωL2
(8)
da cui, nella solita approssimazione che la frequenza
sia sucientemente alta da permettere di trascurare le
componenti resistive rispetto a quelle reattive (cioè che
ωL1 >> R1
e
ωL2 >> R2 ):
TA =
la potenza, essendo
una grandezza mediata nel tempo, è in generale descritta
dove
Vω
e
Iω
1
1
∗
Re{Vω · Iω } =
V I cos φ ,
2
2
(14)
sono due generici fasori di tensione e cor-
rente, con ampiezza rispettivamente
V
e
I , e φ è lo sfasa-
mento tra di loro. Nel caso di un ramo resistivo, corrente
e tensione sono in fase tra loro e la potenza è massima.
Nelle approssimazioni che abbiamo impiegato nora,
gli sfasamenti sono nulli sia al primario che al secondario.
I2
M
N1
1
=
=
= ,
I1
L2
N2
α
(9)
rapporto di trasformazione in
corrente TA , che è dunque il reciproco di TV .
dove abbiamo introdotto il
Nelle approssimazioni fatte si ha che anche
TA
non di-
ω e inoltre che le correnti di primario e secondario sono sfasate di π tra loro (ricordate che lo sfasamento
pende da
tra tensioni e correnti di primario e secondario è generalmente denito a meno di un segno, cioè di
±π ,
a causa
del fatto che normalmente non si sa in che senso sono
avvolti gli avvolgimenti).
Dunque la potenza assorbita dal generatore, che è
P1 = V1 I1 /2 =
Ref f I12 /2 = R1 I12 /2 + R2 I12 /(2α2 ) = PJ1 + PL1 , dove abbiamo indicato con PJ1 la potenza dissipata dalla resistenza R1 , e con PL1 la potenza media immagazzinata,
pari a quella sviluppata nel primario, è
o associata, all'avvolgimento del primario.
La potenza trasferita al carico, che abbiamo supposto
di tipo resistivo, è
P2 = PJ2 = R2 I22 /2 = R2 (I1 /α)2 /2,
dove abbiamo sfruttato il rapporto di trasformazione in
corrente stabilito prima.
stiamo esaminando
Deniamo
rendimento η
Dunque nelle condizioni che
P2 = PL1 .
rapporto di trasformazione in potenza,
o
del trasformatore il rapporto tra la poten-
za trasferita al carico e quella assorbita dal generatore
B.
Resistenza vista dal primario
depurata delle perdite per eetto Joule al primario. In
altre parole
Sostituendo l'Eq. 8 nella prima delle Eqs. 6 si ha
2
η=
2
ω M
Vω1 = (R1 + jωL1 +
)Iω1 =
(10)
R2 + jωL2
−ω 2 L1 L2 + ω 2 M 2 + jωL1 R2
= (R1 +
)Iω1 =(11)
R2 + jωL2
jωL1 R2
= (R1 +
)Iω1 ,
(12)
R2 + jωL2
√
dove abbiamo sfruttato l'ipotesi M =
L1 L2 . Nella
solita approssimazione ωL2 >> R2 si ottiene allora:
P2
.
P1 − PJ1
(15)
È evidente che nelle condizioni che stiamo trattando, in
cui tutte le approssimazioni supposte sono (perfettamente) soddisfatte, si ha
η = 1,
cioè il rendimento di un
trasformatore (ideale) è unitario.
1.
Accoppiamento con il carico
In termini pratici si ha che la potenza del generatore è
L1
N2
1
Vω1 = (R1 + R2 )Iω1 = (R1 + 12 R2 )Iω1 = (R1 + 2 R2 )Iω1 .tanto meglio accoppiata al carico quanto minori sono le
perdite per eetto Joule al primario. Poiché il carico è
L2
N2
α
2
2
2
(13)
resistivo, si ha sempre P2 = R2 I2 /2 = R2 I1 /(2α ). Ma
Questa equazione è molto importante poiché ci dice
I1 = V1 /Ref f = V1 /(R1 + R2 /α2 ), per cui
che, nelle approssimazioni fatte, il primario si comporta
in modo esclusivamente resistivo e come se fosse dotato
di una resistenza
Ref f = R1 + R2 /α
2
. La conseguenza è
P2 =
V12
R2 /α2
.
2 (R1 + R2 /α2 )2
(16)
3
Ponendo
V1
considerato
costante, come si verica se il generatore è
ideale, quella appena scritta può essere consi-
derata come una funzione di
e
R2 → ∞,
e che ha un
R2 , che va a zero per R2 → 0
massimo per R2 = α2 R1
(fate il
calcolo: è semplicissimo!).
Dunque il trasferimento di potenza dal primario al secondario è massimizzato per un determinato valore di
R2 ,
in corrispondenza del quale, a parità di tutti gli altri
parametri, la potenza persa per eetto Joule nel circuito
del primario è minimizzata. È interessante notare che in
queste condizioni si ha
Ref f = 2R1 ,
cioè la resistenza
eettiva del primario è pari al doppio della resistenza
Figura 1. Schema per il circuito di misura delle caratteristiche
R2 del secondario, circostanza che può essere interpretata
del trasformatore realizzato nell'esperienza pratica e citato nel
come una condizione di matching fra la resistenza interna
testo.
del generatore (qui visto come generatore ideale seguito
da
Ref f )
e dell'utilizzatore.
rendimento. Alla ne, è facile che in trasformatori reali
η ∼ 0.7 − 0.8,
(e non particolarmente ranati), si abbia
2.
o anche di meno.
Rendimento in trasformatori reali e sua misura
La misura sperimentale di
Riassumiamo le principali approssimazioni fatte per
η
è abbastanza delicata. In-
fatti occorre poter distinguere tra
PL1
e
PJ1 ,
che dal
η=
√ 1: (i) accoppiamento magnetico unitario, cioè M =
L1 L2 ; (ii) componenti resistive trascurabili al primario, cioè ωL1 >> R1 e al secondario, cioè ωL2 >> R2 . Inoltre abbiamo immaginato
punto di vista pratico signica poter misurare in modo
di poter trascurare l'energia, o potenza, spesa per il ciclo
r1
ferromagnetico e per gli eetti delle correnti parassite.
sono già delle belle approssimazioni!).
giungere alla conclusione
P1
adabile
e
PJ1
indipendentemente. Allo scopo si può
per esempio impiegare lo schema di Fig. 1 (dove vengono trascurate le resistenze interne degli avvolgimenti
e
r2
e anche la resistenza interna del generatore, che
Il segnale
I1 (I1 = VR1 /R1 )
quella di V1 (usando
VR1
è
infatti proporzionale a
e la sua misu-
soddisfatte in modo completo. In primo luogo, qualsiasi
ra, svolta assieme a
lo stesso oscil-
trasformatore ha una parte di usso che viene dispersa
loscopio), permette di determinare lo sfasamento
fuori dal circuito magnetico. Notate che di conseguenza il
V1
Nella realtà tutte queste approssimazioni non sono mai
coeciente di accoppiamento
k
non è mai perfettamente
e
I1 .
φ
tra
Dunque si può determinare la potenza erogata
dal generatore, che è
P1 = V1 I1 cos φ/2.
Analogamente
unitario, e quindi alcuni dei passaggi che abbiamo usato
si può determinare la potenza per eetto Joule al pri-
nelle equazioni scritte sopra non sono più completamen-
mario,
te giusticati. Al giorno d'oggi sono frequenti costruzioni
attraverso la dierenza di questi valori.
toroidali dei trasformatori che servono proprio per ri-
PJ1 = VR1 I1 /2,
e di conseguenza conoscere
Ora, se ricordate che idealmente
φ → 0,
PL1
potete fa-
durre questa dispersione e aumentare il coeciente di
cilmente rendervi conto che questa dierenza è fatta di
accoppiamento.
valori che sono molto diversi tra loro: infatti nelle condi-
Inoltre gli eetti dissipativi associati alle (inevitabili)
zioni in cui supponiamo di lavorare la caduta di poten-
R1 ,
correnti parassite costituiscono un altro canale di per-
ziale è quasi completamente originata da
dita della potenza, che nella realtà è non trascurabile.
za che eettivamente interessa l'avvolgimento primario
Tra questi vanno anche annoverati quelli legati ai cosid-
è molto piccola.
detti eetti di prossimità, che avete già incontrato in
risulta aetta da una rilevante incertezza.
altri contesti. Per esempio, essi comportano un aumento
sta (piccola) potenza deve essere ecacemente trasferita
della resistenza eettiva degli avvolgimenti all'aumenta-
al secondario anché la potenza
re della frequenza, che contribuisce a far perdere potenza
essere agevolmente stimata.
attraverso eetto Joule in elementi diversi dal carico.
soddisfatta la condizione di matching che abbiamo tro-
Le approssimazioni che riguardano le componenti reat-
e la poten-
Inevitabilmente la valutazione di
PL1
Inoltre que-
P2 = V22 /(2R2 )
possa
Questo richiede che venga
vato sopra. In altre parole, occorre scegliere
R2
tale che
tive e resistive di primario e secondario sono anch'esse
R2 ∼ α2 R1 .
Se, come proposto nell'esperienza pratica di
spesso non vericate.
laboratorio,
α = N2 /N1 >> 1,
Esse dipendono dalla frequenza
di operazione e dai valori di
R1
e
R2 ,
che in certe cir-
ωL2 .
R2
occorre usare una resi-
piuttosto grande (kohm, o decine di kohm, nel
ωL1
caso pratico). Così facendo, però, l'approssimazione che
La conseguenza principale è quella di produrre
riguarda le componenti reattive e resistive non è più ben
costanze possono non essere trascurabili rispetto a
e
stenza
φ
degli sfasamenti tra corrente e tensione, che, dal punto
soddisfatta, e infatti compare uno sfasamento
di vista matematico, non consentono più di considerare
scurabile. In pratica si trasferisce potenza dal generatore
non tra-
unicamente resistivi i circuiti (cioè le potenze non sono
al carico, le misure possono essere eseguite in maniera ab-
più massime). Ciò equivale di fatto a introdurre degli
bastanza agevole (e con incertezze non troppo elevate),
ulteriori canali di perdita della potenza, cioè a ridurre il
ma il rendimento cala sensibilmente.
4
pio, facendo riferimento all'esperienza pratica condotta
φ e di
R2 e
in laboratorio, si possono determinare i valori di
η
in funzione del valore della resistenza di carico
del coeciente di accoppiamento magnetico
k
citati in
precedenza.
È evidente che questo approccio non ha la pretesa di
descrivere con accuratezza i risultati sperimentali. Infatti il modello è incompleto, dato che non considera tutte
le possibili cause che concorrono a denire il rendimento
(per esempio l'eetto delle correnti parassite e del ciclo di
isteresi, oltre alla resistenza interna degli avvolgimenti).
Inoltre non tutti i parametri costruttivi del trasformatore sono noti. Di conseguenza i risultati presentati nel
seguito devono essere considerati solo come un possibile
esempio di andamento.
La soluzione numerica è stata fatta cercando di descrivere al meglio l'eettiva situazione sperimentale, per
esempio
considerando
ω/(2π) ∼ 3 kHz e
sione α = 25. Per
una
frequenza
di
lavoro
f =
un rapporto di trasformazione in tenla soluzione è stato usato un software
in grado di operare con grandezze complesse.
I risultati sono mostrati in Fig. 2: il pannello (a) mostra l'andamento dello sfasamento tra tensione e corrente
Figura 2. Andamento di
φ
(a) e
η
(b) in funzione di
R2
e
k
calcolato numericamente secondo quanto descritto nel testo.
al primario,
φ, al variare di R2 e del coeciente di accopk . Si vede come lo sfasamento sia
piamento magnetico
decisamente diverso da zero se ci si sposta dalle condizioni ideali (carico nullo e accoppiamento completo). Anche
3.
Simulazione di situazione realistica
il rendimento
η,
mostrato nel pannello (b), si abbassa
sensibilmente rispetto al valore ideale
η = 1.
Esami-
nando il graco si osserva che l'andamento in funzione di
Nell'ambito del semplice modello che abbiamo intro-
R2
non è completamente monotono per la presenza di un
dotto, può essere interessante cercare una soluzione nu-
(piccolo) massimo locale di rendimento che si ha quan-
merica per le situazioni realistiche in cui alcune delle
do si verica la condizione di matching tra resistenze che
approssimazioni utilizzate non sono vericate. Ad esem-
abbiamo analizzato nel caso approssimato.

Download Report