Le Modulazioni Numeriche 1 Modulazione e Demodulazione numerica segnale numerico ...0010111001... segnale analogico modulatore numerico mezzo trasmissivo segnale numerico ...0010011001... affetto da errori demodulatore numerico affetto da distorsioni e rumore segnale analogico 2 1 Modulazione numerica: banda base e banda traslata banda base banda traslata utilizza segnali analogici con trasformata di Fourier contenuta in un intervallo di frequenza utilizza segnali analogici con trasformata di Fourier contenuta in un intervallo di frequenza contiguo all’origine non contiguo all’origine X(f) X(f) f f Mezzi trasmissivi in banda traslata (es.: trasmissioni radio) Mezzi trasmissivi in banda base (es.: linea bifilare) 3 Schema di modulazione in banda traslata segnale numerico modulatore numerico in banda traslata segnale analogico in banda traslata mezzo trasmissivo demodulatore numerico segnale numerico (banda traslata) segnale analogico in banda traslata 4 2 Rappresentazione dei segnali numerici mediante segnali analogici (1/8) Un segnale numerico è rappresentato da un segnale fisico analogico: Tensione elettrica sul filo, dalla tastiera alla CPU Potenza luminosa entrante in una fibra ottica +5V 0 1 0 0 0 1 0 1 … P0 t 0 -5V 0 1 0 0 0 1 0 1 … t Segnali con fronti ripidi di salita e di discesa: banda troppo larga, impiego inefficiente della banda passante del mezzo trasmissivo Tecniche di MODULAZIONE IN BANDA BASE 5 Rappresentazione dei segnali numerici mediante segnali analogici (2/8) asse dei tempi 0 segnale numerico b(n) (sequenza di simboli) sequenza di ampiezze a(n) ... 0 1 (valori associati ai simboli secondo una corrispondenza biunivoca: Es. +5 0 ; -5 1 ) impulsi 1 t di forma g(t) di ampiezza a(n) trasmessi negli istanti nT x t 2T 0 0 5T 0 1 0 t 1 … ...+5 -5 +5 +5 +5 -5 +5 -5 … a(0)g(t) a(1)g(t-T) a(2)g(t-2T) a(3)g(t-3T) +5 T a ( n ) g ( t nT ) -5 n 6 3 Rappresentazione dei segnali numerici mediante segnali analogici (3/8) Esempio: x(t) P0 0 1 0 0 0 simboli: 0 1 ampiezze: P0 g(t) 0 1 forma di impulso: 0 1 0 1 … t t 0 T segnale analogico: x t a (n ) g ( t nT ) n 7 Rappresentazione dei segnali numerici mediante segnali analogici (4/8) Sia {b(n)} una qualsiasi sequenza numerico avente: alfabeto di ordine α, cioè costituito da α simboli arbitrari rappresentabili, senza perdita di generalità, con i numeri naturali {0, 1, 2, ..., a –1} intervallo di tempo tra simboli consecutivi : T velocità di emissione dei simboli: fs=1/T 8 4 Rappresentazione dei segnali numerici mediante segnali analogici (5/8) Esso è rappresentabile mediante il segnale analogico x t a (n) g(t nT) n dove g(t) è un segnale impulsivo, in molti casi limitato all’intervallo (-T/2 , +T/2), detto impulso sagomatore i valori a(n) sono estratti da un insieme di α ampiezze di impulso (numeri reali arbitrari), biunivocamente associati agli α simboli dell’alfabeto [ a0 , a1 , a2 , ... , aa-1 ] 9 Rappresentazione dei segnali numerici mediante segnali analogici (6/8) Un segnale numerico {b(n)} è univocamente associato ad una sequenza di valori reali mediante una corrispondenza biunivoca fra simboli e ampiezze b(n) a(n) {a(n)}. simboli 0 1 ... a -1 ampiezze di impulso a0 a1 ... aa-1 Criteri di scelta dei valori di ampiezza: ugualmente spaziate e simmetriche rispetto allo 0. Esempi: =2 =3 =4 +1 a +1 a -1 0 -1 +1 a +1/3 -1/3 -1 ai 1 2i 1 i 0, 1, 2, ... , - 1 Senza perdita di generalità,nel caso di =2 assumeremo a0 =1, a1=-1. 10 5 Rappresentazione dei segnali numerici mediante segnali analogici (7/8) x t a (n) g(t nT) n onda PAM PAM : Pulse Amplitude Modulation, (Modulazione di Ampiezza di Impulso) simboli diversi differenti valori della ampiezza degli impulsi larghezza di banda dell’onda PAM larghezza di banda del segnale g(t) 11 Rappresentazione dei segnali numerici mediante segnali analogici (8/8) Esempi di segnali PAM Ordine dell’alfabeto Ampiezze di impulso ai (i=0,1,...,-1) 2 [+1 , -1] 3 [+1, 0, -1] Forma di impulso g(t) 1 -T/2 0 0 +T/2 1 -T/2 4 segnale PAM x(t) [+1, +1/3, -1/3, -1] 0 0 T 0 +T/2 1 -T/2 0 +T/2 0 1 2T 0 1 0 T 2T 0 1 0 0 T 0 2 3 2T 12 6 Prestazioni delle Modulazioni Numeriche PAM 13 Modulazione numerica Obiettivi: • • trasmettere un segnale numerico facendo uso di un canale avente banda passante (fisica) limitata tra 0 ed un valore massimo fm; ottenere elevata efficienza di banda, definita come: f velocità di simbolo s larghezza di banda del segnale modulato f m [(simboli/sec)/Hz] Gli esempi di segnali PAM esaminati, occupano una banda troppo estesa in relazione alla velocità di simbolo fs, a causa delle rapide transizioni ideali (discontinuità matematiche) o approssimate (fronti di salita e di discesa di durata finita) nella forma d’impulso g(t). 14 7 Schema di principio di un modulatore PAM Segnale dalla sorgente (rappres. PAM ideale) Filtro formatore di impulso con risposta impulsiva g(t) Segnale PAM ideale a (n) (t nT) u t n 0 0 1 0 0 t x ( t ) u t g t Segnale PAM a banda limitata (in uscita dal modulatore) x t 0 a (n) g(t nT) n 0 0 T 1 2T 0 t 15 Modello di Canale lineare e permanente affetto da rumore additivo Gaussiano Canale lineare e permanente y(t) = x(t) * c(t) C(f) = FT [c(t)] passa-basso C(f) = 0 per |f | > fm n(t) Segnale PAM a banda limitata (in uscita dal modulatore) x t 0 0 + z(t) = y(t) + n(t) segnale in uscita dal canale a (n) g(t nT) n 0 T 1 2T 0 rumore additivo gaussiano n(t) con spettro di densità di potenza uniforme Wn(f) = N0 (Watt/Hz) “rumore Gaussiano bianco” 16 8 Demodulatore PAM Campionamento negli istanti t = kT Filtro di ingresso al demodulatore GR(f) z(t) segnale in uscita dal canale w(t) = y(t) * gR(t) + (t) rumore filtrato Esempio: w(kT) +1,21 +1 b(k) 0 ^ ^a(k) +0,66 +1 0 -1,35 -1 1 +1,17 +1 0 criterio di decisione â(k) sequenza stimata delle ampiezze trasmesse w(kT) = r(t) + (t) componente utile Decisione n(t ) * g R (t ) Il criterio qui applicato è il seguente: ^ = +1 ; w(kT) 0 a(k) ^ = -1 w(kT) < 0 a(k) Nel segnale numerico ricevuto possono comparire errori dovuti a decisione errata. 17 Modulazione numerica MODULATORE DEMODULATORE sequenza â(k) Segnale dalla sorgente u t Decisione w(kT) a (n) (t nT) Campionamento negli istanti t = kT n Filtro formatore di impulso G(f) w(t) = y(t) * gR(t) + (t) x ( t ) u t g t CANALE n(t) Canale lineare e permanente C(f) y(t) + Filtro di ingresso al demodulatore GR(f) z(t) = y(t) + n(t) = = x(t)*c(t) + n(t) 18 9 Componente di segnale utile all’ingresso del campionatore w(t) = y(t)*gR(t) + n(t)*gR(t) = r(t) + (t) r t y (t ) g R t x t c t g R t u t g t ct g R t segnale utile r t rumore (filtrato) a (n) h(t nT) n h t a ( n ) (t nT ) n con h t g t c t g R t risposta impulsiva della cascata di tre filtri: formatore di impulso, canale, filtro di ingresso al demodulatore Per le funzioni di trasferimento: Il segnale utile r(t) è ancora un segnale PAM con forma di impulso h(t) H(f) = G(f) C(f) GR(f) 19 Demodulazione del segnale PAM in assenza di rumore 20 10 Demodulazione in assenza di rumore Obiettivo: ricavare una stima {â(k)} della sequenza di ampiezze trasmessa {a(k)} dalla sequenza di valori campionati in ricezione {w(kT) , k = ..., -2, -1, 0, +1, +2, +3, …} Ipotesi: assenza di rumore n(t)=0 η(t)=0 wt r t t r t a ( n ) h(t nT ) n wkT a ( n ) h( kT nT ) n a ( k ) h(0) a ( n ) h( kT nT ) n , n k coincide con a(k) a meno della costante (guadagno) h(0) Interferenza intersimbolica (ISI) componente dipendente dalle ampiezze trasmesse prima e dopo l’ampiezza k-esima e dalla funzione h(t) (ISI) 21 Interferenza intersimbolo e condizioni di Nyquist wkT a ( k ) h (0) a ( n ) h ( kT nT ) n Ponendo le condizioni seguenti, dette 1, h(kT ) 0, condizioni di Nyquist: per k 0 per k 0 si ha sempre w(kT) = a(k) Il termine di ISI si annulla e la sequenza demodulata coincide con quella trasmessa (in assenza di rumore). 22 11 Condizioni di Nyquist e forme di impulso limitate nel tempo (1/2) condizioni di Nyquist risultano soddisfatte, in particolare, quando la forma di impulso in ricezione, h(t), è limitata nel tempo tra i valori T/2. Le Esempio: w(t) h(t) 1 1 -T -T/2 +T/2 +T +2T -T -T/2 +T/2 +T +2T Il segnale ricevuto all’uscita del filtro di ricezione è costituito da una sequenza di impulsi separati tra loro. 23 Condizioni di Nyquist e forme di impulso limitate nel tempo (2/2) PROBLEMA Un impulso h(t) di durata limitata nel tempo ha trasformata di Fourier H(f), illimitata in frequenza (banda infinita). Il canale ha banda limitata (C(f) è limitata in frequenza) e,quindi, H(f) = G(f) C(f) GR(f) deve necessariamente essere limitata in frequenza ossia nulla per f >f m . 24 12 Condizioni di Nyquist nel dominio della frequenza Se h(t) soddisfa le condizioni di Nyquist nel dominio del tempo per k 0 per k 0 1 h(kT ) 0 la sua trasformata di Fourier H(f) soddisfa la seguente condizione di Nyquist nel dominio della frequenza m H f T T m Esempio: H(f+1/T) costante H(f) H(f) H(f-1/T) H(f-2/T) T f -1/2T 0 +1/2T -2/T -1/T 0 +1/T +2/T f 25 Banda minima per la trasmissione di segnali PAM senza ISI Dalle condizioni di Nyquist nel dominio della frequenza si deduce che non è possibile avere forme di impulso h(t) senza interferenza intersimbolo se H(f) occupa una banda minore di: fN 1 f s velocità di simbolo 2T 2 2 Banda di Nyquist La somma delle repliche traslate di una H(f) di frequenza massima minore di fN non può mai dare luogo a una costante. H(f) f -1/2T 0 +1/2T 26 13 Forma d’impulso di Nyquist a banda limitata passa-basso di Nyquist Una particolare forma di impulso h0(t) i. ii. limitato in banda che soddisfa le condizioni di Nyquist è quella la cui trasformata di Fourier H0(f) è la funzione di trasferimento di un filtro passa-basso ideale (moltiplicata per il fattore costante T): t sin T h0 (t ) t h0(t) T T H0 f 0 1 2T 1 f 2T f per per H0(f) T t 0 T 2T 3T 4T 5T -1/2T 0 +1/2T f 27 6T Forma d’impulso di Nyquist a banda limitata Esempio: Segnale PAM privo di ISI nel caso di forma di impulso h0(t) h0(t) H0(f) +1 T T 0 t f -1/2T 0 +1/2T r(t) +1 t 0 -1 28 14 Forma d’impulso di Nyquist a coseno rialzato T, per 0 f (1 ) f N T T 1 sin( ( f f n )) , per 1 f N f 1 f N H( f ) 2 f 1 f N 0 per fattore di roll-off, 0 < 1 =1 = 0.6 H(f) T = 0.3 =0 0 fN 2fN 29 Forma d’impulso di Nyquist a coseno rialzato All’aumentare del fattore di roll-off g da 0 (filtro passa-basso ideale) a 1 Le oscillazioni della h(t) ai due lati del picco dell’impulso si smorzano più rapidamente. h(t) 1 γ=1 = 0.6 γ= 0.3 =0 -4T -3T -2T -T 0 T 2T 3T t 4T Minore criticità nel campionamento in ricezione. La banda occupata aumenta da fN a fN(1 + g) 30 15 Forma d’impulso di Nyquist a coseno rialzato Esempio: Segnali PAM privo di ISI per forma di impulso h (t) a coseno rialzato, (g =0eg =1) h(t) h(t) =0 +1 +1 T 0 =1 T t 0 r(t) t r(t) +1 +1 0 0 t -1 t -1 Valori di di interesse operativo: 0,2 < < 0,6 Baccarelli, 31 Cordeschi, Patriarca, Polli Ricezione in presenza di interferenza intersimbolo Se la forma dell’impulso h(t) non rispetta le condizioni di Nyquist, i campioni del segnale ricevuto sono affetti da interferenza intersimbolo (anche in assenza di rumori di canale). Esempio: Impulso h(t) che non soddisfa le condizioni di Nyquist [in neretto i valori non nulli di h(kT), per k 0] T Corrispondente segnale PAM [i valori campionati sono diversi dai valori di ampiezza trasmessi 1] T +1 -1 Baccarelli, Cordeschi, Patriarca, Polli 32 16 Segnale PAM multilivello I simboli sono associati ad ampiezze diverse (segnale PAM multilivello ad livelli) sorgente binaria conversione di alfabeto 2 velocità di simbolo binario fb velocità di simbolo f s = modulatore PAM ad livelli fb log2α canale in banda base (freq. max. fm) fm fs fs = 2 2log2α Minima banda di canale per trasmissione priva di interferenza intersimbolo (condizione di Nyquist). 33 Vantaggi e svantaggi del PAM multilivello All’aumentare del numero di livelli a del segnale PAM utilizzato abbiamo che: Aumento dell’efficienza spettrale Velocità di trasmissione dei simboli binari fb più alta, a parità di banda fm occupata dal segnale PAM,ovvero i. riduzione della banda fm occupata dal segnale PAM a parità di frequenza di simbolo binario fb. ii. Aumento della probabilità di errore in presenza di interferenza intersimbolo e/o rumore, a causa della minore differenza tra valori adiacenti di ampiezza di impulso. 34 17 Demodulazione del segnale PAM in presenza di rumore gaussiano 35 Demodulazione PAM in presenza di rumore di canale Obiettivo: ricavare una stima {â(k)} della sequenza di ampiezze trasmessa {a(k)} dalla sequenza di valori campionati in ricezione {w(kT) , k = ..., -2, -1, 0, +1, +2, +3, …} Ipotesi: rumore additivo Gaussiano bianco w t r t t a (n ) h ( t nT) t n (Segnale all’ingresso del campionatore di ricezione) Supponendo che la forma di impulso in ricezione, h(t), sia priva di interferenza intersimbolo, e con h(0) =1, agli istanti di campionamento kT si ha wkT r kT kT a ( k ) kT Variabile con valori possibili Variabile aleatoria Gaussiana con valore atteso nullo -e varianza 2 2 N 0 G R f df 2 36 18 Decisione in presenza di rumore Gaussiano. Criterio della Massima Verosimiglianza (1/3) w(kT)=a(k)+(kT) Problema: Misurato w(kT) w* all’ uscita del campionatore di ricezione, di possiamo calcolare una “buona” decisione (stima) a(k) del simbolo trasmesso sulla base di w* ? Criterio della Massima Verosimiglianza (MLD) Misurato w(kT) w*, si decide a favore della più verosimile tra le ampiezze {a0 .. aa-1} assumibili dal simbolo a(k), ossia a favore di quell’ampiezza a alla quale corrisponde la più grande del seguente insieme di probabilità condizionate {p[w* a(k)= a0 ],…, p[w* a(k)= aa-1]}. In formule,la decisione MLD a(k) sul simbolo a(k) è quindi definita come segue: a(k) argmax{p[w* a(k)= ai]} 0 i 1 37 Decisione in presenza di rumore Gaussiano Decisore a minima distanza Euclidea (2/3) w(kT)=a(k)+(kT), Poiché la componente di rumore η(kT) è Gaussiana e a media nulla, si può provare che la decisione MLD a(k) precedentemente definita è equivalente a scegliere come decisione a(k) quello tra i possibili α valori {a0… aa-1} assumibili da a(k) che è più vicino (ossia, dista di meno) dal valore misurato w(kT)w*. Quindi, per la decisione MLD a(k) vale la seguente proprietà: 2 a(k)=argmin{(w*- ai) } 0 i 1 IL Decisore MLD è un decisore a minima distanza Euclidea 38 19 Decisione in presenza di rumore Gaussiano Caso del 2-PAM (3/3) w(kT)=a(k)+(kT) Supponiamo che a(k) possa assumere i due valori a(k)=1 (caso di modulazione PAM binario). Allora il decisore a minima distanza Euclidea si riduce (ossia, è equivalente) ad un decisore “a soglia” che decide a(k)=+1 quando w(kT) 0 e decide a(k)=-1 quando w(kT)<0, in accordo alla relazione a(k)= +1, -1, per w(kT) 0 per w(kT) 0 (2-PAM) Ovviamente, non sempre la decisione a(k) è esatta. Quindi, definiamo come probabilità d’errore Pe del decisore MLD la quantità: Pe P(a(k) a(k)). 39 Probabilità d’errore in presenza di rumore gaussiano Caso 2-PAM a(k) w(kT) p [w(kT) | a(k) = +1]= p [=w(kT)-1] +1 0 p [w(kT) | a(k) = -1]=p [=w(kT)+1] -1 a(k) = -1 Pe|1 (kT) > +1 w(kT) = a(kT) (kT) > 0 â(kT) = +1 a(kT) w(k) >“errore” 0 Densità di probabilità gaussiana p w | a k 1 dw 0 p d Pe|1 Pe 1 Probabilità di errore (area tratteggiata in figura) 40 20 Sistemi di Modulazione Numerica in banda traslata 41 Modulazione QAM (analogica) Modulazione QAM (Quadrature Amplitude Modulation; modulazione di ampiezza con portanti in quadratura) è un tipo di modulazione analogica di ampiezza definito dallo schema seguente: x(t) cos(2f0t) x(t) cos(2f0t) (portante in fase) y(t) sfasatore /2 cos(2f0t + /2) (portante in quadratura) oscillatore frequenza f0 + s(t) segnale modulato QAM : s(t) = x(t) cos(2f0t) + + y(t) cos(2f0t + /2) somma di due segnali y(t) cos(2f0t + /2) che occupano la stessa banda: f0 fm 2 segnali modulanti, in banda base [- fm,fm] 21 Demodulazione del segnale QAM in assenza di rumore (1/2) 2s(t) cos(2f0t) 2cos(2f0t) Segnale QAM s(t) sfasatore /2 ricostruzione portante f0 pass abass o ideal e [fm,fm] 2cos(2f0t+ ) 2s(t) cos(2f0t + /2)pass abass o ideal e [fm,fm] x(t) y(t) Demodulazione del segnale QAM (2/2) Segnale all’ingresso del demodulatore: st xt cos2f 0t y t cos 2f 0t 2 Segnale all’uscita del moltiplicatore (relativo al segnale x(t)): 2 2 s t cos 2f 0 t 2 x t cos 2f 0 t 2 y t cos 2f 0 t cos 2f 0 t 2 1 1 1 1 2 x t cos 4f 0t 2 y t cos 4f 0t cos 2 2 2 2 2 2 x t x t cos 4f 0 t Termine proporzionale al segnale modulante x(t) y t cos 4f 0 t 2 Termini che occupano la banda 2f0 fm (eliminati dal filtraggio) y t cos 2 termine nullo [Trattazione identica per il demodulatore relativo al segnale y(t)] 22 Modulazione QAM numerica Si ottiene utilizzando due modulatori PAM numerici, i cui segnali di uscita x(t) e y(t) costituiscono i due segnali modulanti di un modulatore QAM analogico: xt a x n g t nT conversione di alfabeto 2 = 2 conversione serie/parallelo segnale binario (velocità di simbolo binario fb) segnali binari fb/2 PAM ad livelli velocità di simbolo: 1 fb T 2 conversione di alfabeto 2 = 2 PAM ad livelli n modulatore QAM analogico s(t)=x(t)cos(2fot)+ y(t)cos(f0t+/2) segnale modulato QAM y t a y n g t nT n 45 Costellazione di Segnale (Signal Set) (1/6) •Sia (x(t),y(t)) il punto del piano avente come coordinate i valori assunti dai due segnali PAM. Al variare di t il punto seguirà un percorso curvilineo nel piano. •Negli istanti caratteristici di campionamento t = kT ciascuna delle due coordinate di (x(kT),y(kT)) assume una delle ampiezze di impulso possibili. Risulta così individuato un insieme di 2 punti, detto costellazione di segnale (signal set) relativa al segnale QAM. 46 23 Costellazione di Segnale (Signal Set) (2/6) y Esempio 1: = 22 = 4 livelli, con ampiezze di impulso +1, +1/3, -1/3, -1. La costellazione è costituita da un insieme di 16 punti disposti a forma di reticolo regolare a maglie quadrate. +1 modulazione 16-QAM +1/3 -1 -1/3 0 +1/3 +1 x -1/3 -1 Costellazione di Segnale (Signal Set) (3/6) Esempio 2: = 21 = 2 livelli. Esempio 3: = 23 = 8 livelli. Modulazione 4-QAM Modulazione 64-QAM ( 4-PSK, QPSK ) y y + 1 + 1 -1 +1 0 1 x -1 +1 0 x 1 24 Costellazione di Segnale (Signal Set) (4/6) Gli 2 = 22 punti della costellazione QAM sono in corrispondenza biunivoca con le 22 parole binarie distinte formate da 2 bit. Ogni T secondi vengono trasmessi 2 bit del segnale di ingresso. bit bit una ampiezza di impulso PAM ( = 2 livelli) x(kT) una ampiezza di impulso PAM ( = 2 livelli) y(kT) un punto della costellazione (x(kT),y(kT)) Costellazione di Segnale (Signal Set) (5/6) Esempio 4: codifica di costellazione: Modulazione32-QAM parola binaria ax ay 00000 00001 00010 00011 00100 00101 ... 11110 11111 -1,5 d -0,5 d +0,5 d +1,5 d -2,5 d -1,5 d ... +0,5 d +1,5 d +2,5 d +2,5 d +2,5 d +2,5 d +1,5 d +1,5 d ... -2.5 d -2,5 d y 00000 00001 00010 00011 d 00100 00101 x d 11110 11111 25 Costellazione di Segnale (Signal Set) (6/6) Modulazione QAM numerica con signal set a 8 punti disposti su una circonferenza di raggio 1, equidistanziati. Modulazione 8PSK Il nome 8-PSK (analogamente al 4-PSK) deriva dal fatto che le posizioni dei punti, in coordinate polari (r,) sono differenziate soltanto in base alla fase (r = 1 = cost). 011 Una possibile codifica di costellazione è: parola di ingresso ax ay 1 000 001 011 010 110 111 101 100 1 1 1 1 0 1 1 1 0 2 0 2 1 1 2 0 1 2 1 2 2 2 001 000 1 010 100 110 111 101 2 Schema per la trasmissione di segnale numerico in banda traslata al demodulatore s(t) canale lin. e perm. passa-banda ideale (banda f0 fm) CANALE DI TRASMISSIONE + n(t) rumore gaussiano bianco con spettro di densità di potenza Wn(f) = N0 costante segnale modulato: s(t) = x(t) cos(2f0t) + y(t) cos(2f0t + /2) xt a x n g t nT n filtro di ingresso al demodulatore passa-banda ideale (banda f0 fm) segnale ricevuto: z(t) = s(t) + (t) rumore gaussiano filtrato banda: [f0 fm]U [-f0 fm] banda: [-fm,fm] y t a y n g t nT n 26 Componenti del rumore gaussiano Per il rumore gaussiano limitato in banda, n(t) , di spettro di densità di potenza N0 N0 - (f0 + fm) - f0 W(f) vale la seguente decomposizione: - (f0 - fm) 0 (f0 - fm) f0 (f0 - fm) f (t) =x(t) cos(2f0t) + y(t) cos(2f0t + /2) x(t) e y(t) due processi aleatori Gaussiani statisticamente indipendenti tra loro detti componenti analogiche di bassa frequenza di n(t) , aventi (banda base); uguale spettro di densità di potenza, uniforme nella banda [-fm,fm] uguale potenza 2, uguale a sua volta alla potenza di (t). ll rumore gaussiano (t) è interpretabile come segnale modulato QAM, in cui x(t) e y(t) sono i segnali modulanti. 53 Demodulazione in presenza di rumore gaussiano Il segnale ricevuto ha l’espressione: z(t) = s(t) + (t) = [x(t) + x(t)] cos(2f0t) + [y(t) + y (t)] cos(2f0t + /2) All’uscita dei due demodulatori sono presenti i segnali: dx(t) = x(t) + x(t), dy(t) = y(t) + y(t) Negli istanti di campionamento t=kT (e in assenza di ISI) si ha dx(kT) = ax(k) + x(kT), dy(kT) = ay(k) + y(kT) Sul piano della costellazione di segnale il punto ricevuto R=( dx(kT) , dy(kT)) differisce in generale dal punto trasmesso T=(ax(k) , ay(k) ) 27 Decisione in presenza di rumore gaussiano Maximum Likelihood Decision Criterion( MLD) Ricevuto il punto R, si decide in favore del “più verosimile” punto trasmesso T ovvero quello a cui corrisponde la massima probabilità condizionata Max {p [R | Ti], i=0, .. -1 }. Ancora una volta si può dimostrare che ciò corrisponde ad assumere come trasmesso quel punto della costellazione che ha la minima distanza di Euclide dal punto ricevuto R. y T R x O T vettore rappresentativo del punto trasmesso T R vettore rappresentativo del punto ricevuto R TR vettore rappresentativo del rumore Regioni di decisione • L’applicazione del criterio di decisione MLD individua nel piano del signal set delle regioni di decisione associate ai punti della costellazione. • La generica regione di decisione associata a un punto T è costituita da tutti i punti del piano più vicini a T che a tutti gli altri punti del signal set. Esempio: Modulazione QAM y P Q Punto Q x Punto P (regione illimitata) Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica 56 28 Regioni di decisione e probabilità di errore Si ha una decisione errata (corrispondente a uno o più bit errati nel segnale binario demodulato) quando il vettore di rumore è tale da far cadere il punto ricevuto R al di fuori della regione di decisione relativa al punto trasmesso T. y Esempio: Punto trasmesso: T Vettore rumore: TR Punto ricevuto R Regione a cui appartiene R: Punto ipotizzato come trasmesso: T (decisione errata) T T x R La probabilità di decisione errata diminuisce con l’ampliamento delle regioni di decisione (maggiore potenza trasmessa e/o minore potenza di rumore). Banda occupata dal segnale modulato QAM (1/2) •L’intervallo T tra istanti caratteristici dei due segnali PAM è legato alla velocità di simbolo fb del segnale binario da trasmettere come segue: f 1 b 2 alla trasmissione di un singolo T associati dove 2 è il numero di simboli binari simbolo QAM (cioè di un punto della costellazione che contiene N = 22 punti). •La frequenza massima fm (ossia la banda occupata dal ciascuno dei due segnali PAM) vale quindi f m f N 1 1 2T 1 2(2f ) 1 b • dove è il roll-off del filtro sagomatore 29 Banda occupata dal segnale modulato QAM (2/2) •Nella successiva modulazione QAM di ampiezza i due segnali modulati PAM (e quindi anche la loro somma che costituisce il segnale modulato QAM) occupano una banda di estensione 2fm intorno a f0. Quindi la banda WQAM del segnale modulato QAM è pari a WQAM 2 f m fb 1 log 2 N fb (1 ) 2 30
© Copyright 2024 Paperzz