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Le Modulazioni Numeriche

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Le Modulazioni Numeriche
1
Modulazione e Demodulazione numerica
segnale
numerico
...0010111001...
segnale
analogico
modulatore
numerico
mezzo
trasmissivo
segnale
numerico
...0010011001...
affetto
da errori
demodulatore
numerico
affetto da
distorsioni e
rumore
segnale
analogico
2
1
Modulazione numerica: banda base e
banda traslata
banda base
banda traslata
utilizza segnali analogici
con trasformata di Fourier
contenuta
in un intervallo di frequenza
utilizza segnali analogici
con trasformata di Fourier
contenuta
in un intervallo di frequenza
contiguo all’origine
non contiguo all’origine
X(f)
X(f)
f
f
Mezzi trasmissivi
in banda traslata
(es.: trasmissioni radio)
Mezzi trasmissivi
in banda base
(es.: linea bifilare)
3
Schema di modulazione in banda
traslata
segnale numerico
modulatore
numerico in
banda traslata
segnale analogico
in banda traslata
mezzo
trasmissivo
demodulatore
numerico
segnale numerico (banda traslata)
segnale analogico
in banda traslata
4
2
Rappresentazione dei segnali numerici
mediante segnali analogici (1/8)
Un
segnale numerico è rappresentato da un segnale fisico analogico:
Tensione elettrica sul filo,
dalla tastiera alla CPU
Potenza luminosa entrante in una
fibra ottica
+5V
0 1
0
0
0
1
0
1 …
P0
t
0
-5V
0 1
0
0
0
1
0
1 …
t
Segnali con fronti ripidi di salita e di discesa: banda troppo larga,
impiego inefficiente della banda passante del mezzo trasmissivo
Tecniche di MODULAZIONE IN BANDA BASE
5
Rappresentazione dei segnali numerici
mediante segnali analogici (2/8)
asse dei tempi
0

segnale numerico b(n)
(sequenza di simboli)

sequenza di ampiezze a(n)
... 0 1

(valori associati ai simboli secondo una
corrispondenza biunivoca:
Es. +5  0 ; -5  1 )
impulsi

1
t
di forma g(t)
di ampiezza a(n)
trasmessi negli istanti nT
x t  
2T
0
0
5T
0
1
0
t
1 …
...+5 -5 +5 +5 +5 -5 +5 -5 …
a(0)g(t)
a(1)g(t-T)
a(2)g(t-2T)
a(3)g(t-3T)
+5


T
a ( n ) g ( t  nT )
-5
n  
6
3
Rappresentazione dei segnali numerici
mediante segnali analogici (3/8)
Esempio:
x(t)
P0
0 1
0
0
0
simboli:
0
1
ampiezze:
P0
g(t)
0
1
forma di impulso:
0
1
0
1 …
t
t
0 T
segnale analogico:
x t  


a (n ) g ( t  nT )
n  
7
Rappresentazione dei segnali numerici
mediante segnali analogici (4/8)
Sia {b(n)} una qualsiasi sequenza numerico avente:
alfabeto di
ordine α, cioè costituito da α
simboli arbitrari rappresentabili,
senza perdita di generalità, con i numeri naturali
{0, 1, 2, ..., a –1}
intervallo di tempo tra simboli consecutivi : T
velocità di emissione dei simboli: fs=1/T
8
4
Rappresentazione dei segnali numerici
mediante segnali analogici (5/8)
Esso è rappresentabile mediante il segnale analogico
x t  

 a (n) g(t  nT)
n  
dove
 g(t) è un segnale impulsivo, in molti casi limitato
all’intervallo (-T/2 , +T/2), detto impulso sagomatore
 i valori a(n) sono estratti da un insieme di α ampiezze
di impulso (numeri reali arbitrari), biunivocamente
associati agli α simboli dell’alfabeto
[ a0 , a1 , a2 , ... , aa-1 ]
9
Rappresentazione dei segnali numerici
mediante segnali analogici
(6/8)
Un segnale numerico {b(n)} è univocamente associato ad una sequenza di
valori reali mediante una corrispondenza biunivoca fra simboli e ampiezze
b(n)
a(n)
{a(n)}.
simboli
0
1
...
a -1
ampiezze di impulso
a0
a1
...
aa-1
Criteri di scelta dei valori di ampiezza: ugualmente spaziate e simmetriche
rispetto allo 0.
Esempi:
=2
=3
=4
+1
a
+1
a
-1
0
-1
+1
a
+1/3
-1/3
-1
ai  1 
2i
 1
i  0, 1, 2, ... ,  - 1
Senza perdita di generalità,nel caso di =2
assumeremo a0 =1, a1=-1.
10
5
Rappresentazione dei segnali numerici
mediante segnali analogici (7/8)
x t  

 a (n) g(t  nT)
n  
onda PAM
PAM : Pulse Amplitude Modulation, (Modulazione di Ampiezza
di Impulso)
simboli diversi  differenti valori della ampiezza degli impulsi
larghezza di
banda dell’onda
PAM
 larghezza di
banda del segnale
g(t)
11
Rappresentazione dei segnali numerici
mediante segnali analogici (8/8)
Esempi di segnali PAM
Ordine
dell’alfabeto

Ampiezze di
impulso ai
(i=0,1,...,-1)
2
[+1 , -1]
3
[+1, 0, -1]
Forma di
impulso g(t)
1
-T/2
0
0
+T/2
1
-T/2
4
segnale PAM x(t)
[+1, +1/3, -1/3, -1]
0
0
T
0
+T/2
1
-T/2
0
+T/2
0
1
2T
0
1
0
T
2T
0
1
0
0
T
0
2
3
2T
12
6
Prestazioni delle
Modulazioni Numeriche
PAM
13
Modulazione numerica
Obiettivi:
•
•
trasmettere un segnale numerico facendo uso di un canale
avente banda passante (fisica) limitata tra 0 ed un valore
massimo fm;
ottenere elevata efficienza di banda, definita come:
f
velocità di simbolo
 s
larghezza di banda del segnale modulato f m
[(simboli/sec)/Hz]
Gli esempi di segnali PAM esaminati, occupano una banda troppo
estesa in relazione alla velocità di simbolo fs, a causa delle rapide
transizioni ideali (discontinuità matematiche) o approssimate (fronti
di salita e di discesa di durata finita) nella forma d’impulso g(t).
14
7
Schema di principio di un
modulatore PAM
Segnale
dalla sorgente
(rappres. PAM ideale)
Filtro
formatore di impulso
con risposta
impulsiva g(t)
Segnale PAM ideale

 a (n) (t  nT)
u t  
n  
0
0
1
0
0
t
x ( t )  u t   g t 
Segnale PAM a banda limitata
(in uscita dal modulatore)
x t  
0

 a (n) g(t  nT)
n  
0
0
T
1
2T
0
t
15
Modello di Canale lineare e permanente
affetto da rumore additivo Gaussiano
Canale
lineare e permanente y(t) = x(t) * c(t)
C(f) = FT [c(t)]
passa-basso
C(f) = 0 per |f | > fm
n(t)
Segnale PAM a banda limitata
(in uscita dal modulatore)
x t  
0
0
+
z(t) = y(t) + n(t)
segnale in uscita
dal canale

 a (n) g(t  nT)
n  
0
T
1
2T
0
rumore additivo gaussiano n(t)
con spettro di densità di
potenza
uniforme Wn(f) = N0 (Watt/Hz)
“rumore Gaussiano bianco”
16
8
Demodulatore PAM
Campionamento
negli istanti
t = kT
Filtro di ingresso
al demodulatore
GR(f)
z(t)
segnale in
uscita
dal canale
w(t) = y(t) * gR(t) + (t)
rumore
filtrato
Esempio:
w(kT)  +1,21
 +1
b(k)
 0
^
^a(k)
+0,66
+1
0
-1,35
-1
1
+1,17
+1
0
criterio di decisione
â(k)
sequenza
stimata delle
ampiezze
trasmesse
w(kT)
= r(t) + (t)
componente
utile
Decisione
n(t ) * g R (t )
Il criterio qui applicato è il seguente:
^ = +1 ;
w(kT)  0  a(k)
^ = -1
w(kT) < 0  a(k)
Nel segnale numerico ricevuto possono
comparire errori dovuti a decisione
errata.
17
Modulazione numerica
MODULATORE
DEMODULATORE
sequenza â(k)
Segnale
dalla sorgente
u t  
Decisione

w(kT)
 a (n) (t  nT)
Campionamento
negli istanti t = kT
n  
Filtro formatore di
impulso G(f)
w(t) = y(t) * gR(t) + (t)
x ( t )  u t   g t 
CANALE
n(t)
Canale
lineare e permanente
C(f)
y(t)
+
Filtro di ingresso al
demodulatore GR(f)
z(t) = y(t) + n(t) =
= x(t)*c(t) + n(t)
18
9
Componente di segnale utile all’ingresso
del campionatore
w(t) = y(t)*gR(t) + n(t)*gR(t) = r(t) + (t)
r t   y (t )  g R t 
 x t   c t   g R t 
 u t   g t   ct   g R t 
segnale utile
r t  

rumore
(filtrato)
 a (n) h(t  nT)
n  

 h t    a ( n )  (t  nT )
n  
con
h  t   g  t   c t   g R  t 
risposta impulsiva della cascata di tre
filtri:
formatore di impulso,
canale,
filtro di ingresso al demodulatore
Per le funzioni di trasferimento:
Il segnale utile r(t) è
ancora un segnale
PAM
con forma di impulso
h(t)
H(f) = G(f) C(f) GR(f)
19
Demodulazione del
segnale PAM
in assenza di rumore
20
10
Demodulazione in assenza di rumore
Obiettivo: ricavare una
stima {â(k)} della sequenza di ampiezze
trasmessa {a(k)} dalla sequenza di valori campionati in ricezione
{w(kT) , k = ..., -2, -1, 0, +1, +2, +3, …}
Ipotesi: assenza di rumore n(t)=0 η(t)=0

wt   r t    t   r t    a ( n ) h(t  nT )

n  
wkT    a ( n ) h( kT  nT )
n  

 a ( k ) h(0)   a ( n ) h( kT  nT )
n   , n  k
coincide con a(k) a
meno della costante
(guadagno) h(0)
Interferenza
intersimbolica (ISI)
componente dipendente dalle ampiezze
trasmesse prima e dopo l’ampiezza
k-esima e dalla funzione h(t) (ISI)
21
Interferenza intersimbolo e
condizioni di Nyquist

wkT   a ( k ) h (0)   a ( n ) h ( kT  nT )
n  
Ponendo le condizioni seguenti, dette
1,
h(kT )  
0,
condizioni di Nyquist:
per k  0
per k  0
si ha sempre
w(kT) = a(k)
Il termine di ISI si annulla e la sequenza demodulata
coincide con quella trasmessa (in assenza di rumore).
22
11
Condizioni di Nyquist e forme di impulso
limitate nel tempo
(1/2)
condizioni di Nyquist risultano soddisfatte, in particolare,
quando la forma di impulso in ricezione, h(t), è limitata nel
tempo tra i valori T/2.
Le
Esempio:
w(t)
h(t)
1
1
-T -T/2
+T/2 +T
+2T
-T -T/2
+T/2 +T
+2T
Il segnale ricevuto all’uscita del filtro di ricezione è costituito
da una sequenza di impulsi separati tra loro.
23
Condizioni di Nyquist e forme di impulso
limitate nel tempo
(2/2)
PROBLEMA
Un impulso h(t) di durata limitata nel tempo
ha trasformata di Fourier H(f), illimitata in
frequenza (banda infinita).
 Il canale ha banda limitata (C(f) è limitata in
frequenza) e,quindi, H(f) = G(f) C(f) GR(f) deve
necessariamente essere limitata in frequenza
ossia nulla per f >f m
.

24
12
Condizioni di Nyquist nel dominio della
frequenza
Se h(t) soddisfa le condizioni di Nyquist nel dominio del tempo
per k  0
per k  0
1
h(kT )  
0
la sua trasformata di Fourier H(f) soddisfa la seguente condizione di
Nyquist nel dominio della frequenza


m
 H  f  T  
T
m 
Esempio:
H(f+1/T)
costante
H(f)
H(f)
H(f-1/T)
H(f-2/T)
T
f
-1/2T
0
+1/2T
-2/T
-1/T
0
+1/T
+2/T
f
25
Banda minima per la trasmissione di
segnali PAM senza ISI
Dalle condizioni di Nyquist nel dominio della frequenza si
deduce che non è possibile avere forme di impulso h(t) senza
interferenza intersimbolo se H(f) occupa una banda minore
di:
fN 
1 f s velocità di simbolo
 
2T 2
2
Banda di Nyquist
La somma delle repliche traslate
di una H(f) di frequenza massima
minore di fN non può mai dare
luogo a una costante.
H(f)
f
-1/2T
0
+1/2T
26
13
Forma d’impulso di Nyquist a banda limitata passa-basso di Nyquist
 Una particolare forma di impulso h0(t)
i.
ii.
limitato in banda
che soddisfa le condizioni di Nyquist
è quella la cui trasformata di Fourier H0(f) è la funzione di
trasferimento di un filtro passa-basso ideale (moltiplicata per il
fattore costante T):
 t
sin   
 T
h0 (t ) 
t

h0(t)
T
T

H0  f   
0

1
2T
1
f 
2T
f 
per
per
H0(f)
T
t
0
T
2T
3T
4T
5T
-1/2T
0
+1/2T
f
27
6T
Forma d’impulso di Nyquist a banda
limitata
Esempio:
Segnale PAM privo di ISI nel caso di forma di impulso h0(t)
h0(t)
H0(f)
+1
T
T
0
t
f
-1/2T
0
+1/2T
r(t)
+1
t
0
-1
28
14
Forma d’impulso di Nyquist a coseno
rialzato
 T, per 0  f  (1   ) f N


 T 

T
1  sin(
( f  f n ))  , per 1    f N  f  1    f N
H( f )  



 2 


f  1    f N
0 per
 fattore di roll-off, 0 <   1
=1
 = 0.6
H(f)
T
 = 0.3
=0
0
fN
2fN
29
Forma d’impulso di Nyquist a coseno
rialzato
 All’aumentare del fattore di roll-off g da 0 (filtro passa-basso
ideale) a 1
Le oscillazioni della h(t) ai due lati del picco dell’impulso si smorzano
più rapidamente.
h(t)
1
γ=1
 = 0.6
γ= 0.3
 =0
-4T
-3T
-2T
-T
0
T
2T
3T
t
4T
Minore criticità nel campionamento in ricezione.
La banda occupata aumenta da fN a fN(1 + g)
30
15
Forma d’impulso di Nyquist a coseno
rialzato
Esempio:
Segnali PAM privo di ISI per forma di impulso h (t) a coseno rialzato,
(g =0eg =1)
h(t)
h(t)
 =0
+1
+1
T
0
 =1
T
t
0
r(t)
t
r(t)
+1
+1
0
0
t
-1
t
-1
Valori di  di interesse operativo: 0,2
<  < 0,6
Baccarelli,
31
Cordeschi, Patriarca, Polli
Ricezione in presenza di interferenza
intersimbolo
Se la forma dell’impulso h(t) non rispetta le condizioni di Nyquist, i campioni
del segnale ricevuto sono affetti da interferenza intersimbolo
(anche in assenza di rumori di canale).
Esempio:
Impulso h(t) che non soddisfa le condizioni di Nyquist [in neretto i valori non
nulli di h(kT), per k  0]
T
Corrispondente segnale PAM [i valori campionati sono diversi dai valori di
ampiezza trasmessi 1]
T
+1
-1
Baccarelli,
Cordeschi, Patriarca, Polli
32
16
Segnale PAM multilivello
I simboli sono associati ad  ampiezze diverse
(segnale PAM multilivello ad livelli)
sorgente
binaria
conversione
di alfabeto
2
velocità
di simbolo
binario fb
velocità di
simbolo f s =
modulatore
PAM ad 
livelli
fb
log2α
canale in
banda base
(freq. max.
fm)
fm 
fs
fs
=
2 2log2α
Minima banda di canale per trasmissione priva di
interferenza intersimbolo (condizione di Nyquist).
33
Vantaggi e svantaggi del PAM
multilivello
All’aumentare del numero di livelli a del segnale PAM
utilizzato abbiamo che:
Aumento dell’efficienza spettrale
Velocità di trasmissione dei simboli binari fb più alta, a
parità di banda fm occupata dal segnale PAM,ovvero
i.
riduzione della banda fm occupata dal segnale PAM a
parità di frequenza di simbolo binario fb.
ii.
Aumento della probabilità di errore
in presenza di interferenza intersimbolo e/o rumore, a
causa della minore differenza tra valori adiacenti di
ampiezza di impulso.
34
17
Demodulazione del
segnale PAM
in presenza di rumore
gaussiano
35
Demodulazione PAM in presenza di
rumore di canale
Obiettivo: ricavare una
stima {â(k)} della sequenza di ampiezze
trasmessa {a(k)} dalla sequenza di valori campionati in ricezione
{w(kT) , k = ..., -2, -1, 0, +1, +2, +3, …}
Ipotesi: rumore additivo Gaussiano bianco

w t   r t   t    a (n ) h ( t  nT)  t 
n  
(Segnale all’ingresso
del campionatore di ricezione)
Supponendo che la forma di impulso in ricezione, h(t), sia priva di
interferenza intersimbolo, e con h(0) =1, agli istanti di campionamento kT si
ha
wkT   r kT    kT   a ( k )   kT 
Variabile con  valori possibili
Variabile aleatoria
Gaussiana con valore
atteso nullo -e varianza 2
2
  N 0


G R f  df
2
36
18
Decisione in presenza di rumore Gaussiano.
Criterio della Massima Verosimiglianza (1/3)
w(kT)=a(k)+(kT)
Problema: Misurato w(kT)
w* all’ uscita del campionatore di
ricezione, di possiamo calcolare una “buona” decisione (stima) a(k)

del simbolo trasmesso sulla base di w* ?
Criterio della Massima Verosimiglianza (MLD)
Misurato w(kT) w*, si decide a favore della più verosimile tra le
ampiezze {a0 .. aa-1} assumibili dal simbolo a(k), ossia a favore di

quell’ampiezza a alla quale corrisponde la più grande del seguente
insieme di probabilità condizionate {p[w* a(k)= a0 ],…, p[w* a(k)= aa-1]}.

In formule,la decisione MLD a(k) sul simbolo a(k) è quindi definita
come segue:

a(k) argmax{p[w* a(k)= ai]}
0  i   1
37
Decisione in presenza di rumore Gaussiano
Decisore a minima distanza Euclidea (2/3)
w(kT)=a(k)+(kT),
 Poiché la componente di rumore η(kT) è Gaussiana e a media nulla,

si può provare che la decisione MLD a(k) precedentemente definita
è equivalente a scegliere come decisione a(k) quello tra i possibili α
valori {a0… aa-1} assumibili da a(k) che è più vicino (ossia, dista di meno)
dal valore misurato w(kT)w*.

 Quindi, per la decisione MLD a(k) vale la seguente proprietà:

2
a(k)=argmin{(w*- ai) }
0  i   1
IL Decisore MLD è un decisore a minima distanza Euclidea
38
19
Decisione in presenza di rumore
Gaussiano Caso del 2-PAM
(3/3)
w(kT)=a(k)+(kT)
Supponiamo che a(k) possa assumere i due valori a(k)=1 (caso di
modulazione PAM binario).
Allora il decisore a minima distanza Euclidea si riduce (ossia, è
equivalente) ad un decisore “a soglia” che decide a(k)=+1 quando


w(kT) 0 e decide a(k)=-1 quando w(kT)<0, in accordo alla relazione

a(k)=





+1,
-1,

per w(kT)  0

per w(kT)  0
(2-PAM)

 Ovviamente, non sempre la decisione a(k) è esatta. Quindi, definiamo
come probabilità d’errore Pe del decisore MLD la quantità:

Pe P(a(k)
a(k)).
39
Probabilità d’errore in presenza di rumore
gaussiano
Caso 2-PAM
a(k)
w(kT)
p [w(kT) | a(k) = +1]= p [=w(kT)-1]
+1
0
p [w(kT) | a(k) = -1]=p [=w(kT)+1]
-1
a(k) = -1

Pe|1 
(kT) > +1
w(kT) = a(kT) (kT) > 0

â(kT) = +1  a(kT)
w(k) >“errore”
0
Densità di probabilità gaussiana


p  w | a  k   1 dw 
0
  p   d  Pe|1  Pe
1
Probabilità di errore
(area tratteggiata
in figura)
40
20
Sistemi di Modulazione Numerica
in banda traslata
41
Modulazione QAM (analogica)
Modulazione QAM (Quadrature Amplitude Modulation; modulazione di
ampiezza con portanti in quadratura) è un tipo di modulazione analogica
di ampiezza definito dallo schema seguente:
x(t) cos(2f0t)
x(t)
cos(2f0t) (portante in fase)
y(t)
sfasatore
/2
cos(2f0t + /2)
(portante in quadratura)
oscillatore
frequenza f0
+
s(t)
segnale modulato
QAM :
s(t) = x(t) cos(2f0t) +
+ y(t) cos(2f0t + /2)
somma di due segnali
y(t) cos(2f0t + /2) che occupano la
stessa banda: f0  fm
2 segnali modulanti, in banda base [- fm,fm]
21
Demodulazione del segnale QAM in assenza di rumore (1/2)

2s(t)
cos(2f0t)
2cos(2f0t)
Segnale
QAM s(t)
sfasatore
/2
ricostruzione
portante f0
pass
abass
o
ideal
e [fm,fm]
2cos(2f0t+
)
2s(t) cos(2f0t + /2)pass

abass
o
ideal
e [fm,fm]
x(t)
y(t)
Demodulazione del segnale QAM (2/2)
Segnale all’ingresso del demodulatore:


st   xt  cos2f 0t   y t  cos 2f 0t  
2

Segnale all’uscita del moltiplicatore (relativo al segnale x(t)):
2


2 s  t  cos  2f 0 t   2 x  t  cos  2f 0 t    2 y  t  cos  2f 0 t   cos  2f 0 t  
2

1
 1
1 1


  
 2 x  t    cos  4f 0t    2 y  t   cos  4f 0t    cos    
2 2
2 2


 2 
2
 x t 
 x  t  cos  4f 0 t 
Termine proporzionale al
segnale modulante x(t)


 y  t  cos  4f 0 t  
2

Termini che occupano
la banda 2f0  fm
(eliminati dal
filtraggio)

 y  t  cos  
2
termine
nullo
[Trattazione identica per il demodulatore relativo al segnale y(t)]
22
Modulazione QAM numerica
Si ottiene utilizzando due modulatori PAM numerici, i cui segnali di uscita x(t) e
y(t) costituiscono i due segnali modulanti di un modulatore QAM analogico:

xt    a x n  g t  nT 
conversione
di alfabeto
2   = 2
conversione
serie/parallelo
segnale binario
(velocità di simbolo
binario fb)
segnali binari
fb/2
PAM ad
 livelli
velocità di simbolo:
1 fb

T 2
conversione
di alfabeto
2   = 2
PAM ad
 livelli
n  
modulatore
QAM
analogico
s(t)=x(t)cos(2fot)+
y(t)cos(f0t+/2)
segnale modulato
QAM

y t    a y n  g t  nT 
n  
45
Costellazione di Segnale (Signal Set) (1/6)
•Sia (x(t),y(t)) il punto del piano avente come coordinate i valori assunti dai
due segnali PAM. Al variare di t il punto seguirà un percorso curvilineo nel
piano.
•Negli istanti caratteristici di campionamento t = kT ciascuna delle due
coordinate di (x(kT),y(kT)) assume una delle  ampiezze di impulso possibili.
Risulta così individuato un insieme di 2 punti, detto costellazione di segnale
(signal set) relativa al segnale QAM.
46
23
Costellazione di Segnale (Signal Set) (2/6)
y
Esempio 1:
 = 22 = 4 livelli, con
ampiezze di impulso +1,
+1/3, -1/3, -1.
La costellazione è costituita
da un insieme di 16 punti
disposti a forma di reticolo
regolare a maglie quadrate.
+1
modulazione
16-QAM
+1/3
-1
-1/3
0
+1/3
+1
x
-1/3
-1
Costellazione di Segnale (Signal Set) (3/6)
Esempio 2:
 = 21 = 2 livelli.
Esempio 3:
 = 23 = 8 livelli.
Modulazione 4-QAM
Modulazione 64-QAM
( 4-PSK, QPSK )
y
y
+
1
+
1
-1
+1
0
1
x
-1
+1
0
x
1
24
Costellazione di Segnale (Signal Set) (4/6)
Gli 2 = 22 punti della costellazione QAM sono in corrispondenza biunivoca
con le 22 parole binarie distinte formate da 2 bit.
Ogni T secondi vengono trasmessi 2 bit del segnale di ingresso.
 bit
 bit
una ampiezza di impulso
PAM ( = 2 livelli)
x(kT)
una ampiezza di impulso
PAM ( = 2 livelli)
y(kT)
un punto della costellazione
(x(kT),y(kT))
Costellazione di Segnale (Signal Set) (5/6)
Esempio 4:
codifica di costellazione:
Modulazione32-QAM
parola
binaria
ax
ay
00000
00001
00010
00011
00100
00101
...
11110
11111
-1,5 d
-0,5 d
+0,5 d
+1,5 d
-2,5 d
-1,5 d
...
+0,5 d
+1,5 d
+2,5 d
+2,5 d
+2,5 d
+2,5 d
+1,5 d
+1,5 d
...
-2.5 d
-2,5 d
y
00000 00001 00010
00011
d
00100
00101
x
d
11110 11111
25
Costellazione di Segnale (Signal Set) (6/6)
Modulazione QAM numerica con signal set a
8 punti disposti su una circonferenza di
raggio 1, equidistanziati.
Modulazione 8PSK
Il nome 8-PSK (analogamente al 4-PSK)
deriva dal fatto che le posizioni dei punti, in
coordinate polari (r,) sono differenziate
soltanto in base alla fase  (r = 1 = cost).
011
Una possibile codifica di costellazione è:
parola di ingresso
ax
ay
1
000
001
011
010
110
111
101
100
1
1
1
1
0
1
1
1
0
2
0
2
1
1 2
0
1 2
1
2
2
2
001
000
1
010
100
110
111
101
2
Schema per la trasmissione di segnale numerico
in banda traslata
al demodulatore
s(t)
canale lin. e perm.
passa-banda ideale
(banda f0  fm)
CANALE DI
TRASMISSIONE
+
n(t)
rumore gaussiano bianco
con spettro di densità di potenza
Wn(f) = N0 costante
segnale modulato:
s(t) = x(t) cos(2f0t) + y(t) cos(2f0t + /2)

xt    a x n  g t  nT 
n  

filtro di ingresso al
demodulatore
passa-banda ideale
(banda f0  fm)
segnale ricevuto:
z(t) = s(t) + (t)
rumore gaussiano filtrato
banda: [f0  fm]U [-f0  fm]
banda: [-fm,fm]
y t    a y n  g t  nT 
n  
26
Componenti del rumore gaussiano
Per il rumore gaussiano limitato in banda, n(t) , di spettro di densità di potenza N0
N0
- (f0 + fm)
- f0
W(f)
vale la seguente decomposizione:
- (f0 - fm) 0
(f0 - fm)
f0
(f0 - fm)
f
(t) =x(t) cos(2f0t) + y(t) cos(2f0t + /2)
x(t) e y(t) due processi aleatori Gaussiani statisticamente indipendenti tra loro detti componenti
analogiche di bassa frequenza di n(t) , aventi
(banda base);

uguale spettro di densità di potenza, uniforme nella banda [-fm,fm]

uguale potenza 2, uguale a sua volta alla potenza di (t).
ll rumore gaussiano (t) è interpretabile come segnale modulato QAM, in cui x(t) e y(t)
sono i segnali modulanti.
53
Demodulazione in presenza di rumore gaussiano
Il segnale ricevuto ha l’espressione:
z(t) = s(t) + (t) = [x(t) + x(t)] cos(2f0t) + [y(t) + y (t)] cos(2f0t + /2)
All’uscita dei due demodulatori sono presenti i segnali:
dx(t) = x(t) + x(t),
dy(t) = y(t) + y(t)
Negli istanti di campionamento t=kT (e in assenza di ISI) si ha
dx(kT) = ax(k) + x(kT), dy(kT) = ay(k) + y(kT)
Sul piano della costellazione di segnale il punto ricevuto
R=( dx(kT) , dy(kT))
differisce in generale dal punto trasmesso
T=(ax(k) , ay(k) )
27
Decisione in presenza di rumore gaussiano
Maximum Likelihood Decision Criterion( MLD)
Ricevuto il punto R, si decide in favore del “più verosimile” punto trasmesso T ovvero quello a
cui corrisponde la massima probabilità condizionata Max {p [R | Ti], i=0, .. -1 }.
Ancora una volta si può dimostrare che ciò corrisponde ad assumere come trasmesso quel punto
della costellazione che ha la minima distanza di Euclide dal punto ricevuto R.
y
T
R
x
O
T vettore rappresentativo del punto trasmesso T
R vettore rappresentativo del punto ricevuto R
TR vettore rappresentativo del rumore
Regioni di decisione
• L’applicazione del criterio di decisione MLD individua nel piano del
signal set delle regioni di decisione associate ai punti della
costellazione.
• La generica regione di decisione associata a un punto T è costituita
da tutti i punti del piano più vicini a T che a tutti gli altri punti del signal
set.
Esempio:
Modulazione QAM
y
P
Q
Punto Q
x
Punto P
(regione illimitata)
Modulo
TLC:TRASMISSIONI –
Modulazione numerica
56
28
Regioni di decisione e probabilità di errore
Si ha una decisione errata (corrispondente a uno o più bit errati nel segnale binario demodulato)
quando il vettore di rumore è tale da far cadere il punto ricevuto R al di fuori della regione di decisione
relativa al punto trasmesso T.
y
Esempio:
Punto trasmesso: T
Vettore rumore: TR
Punto ricevuto R
Regione a cui appartiene R:
Punto ipotizzato come trasmesso: T
(decisione errata)
T

T
x
R
La probabilità di decisione errata diminuisce con l’ampliamento delle regioni di decisione (maggiore
potenza trasmessa e/o minore potenza di rumore).
Banda occupata dal segnale modulato QAM (1/2)
•L’intervallo T tra istanti caratteristici dei due segnali PAM è legato alla
velocità di simbolo fb del segnale binario da trasmettere come segue:
f
1
 b
2 alla trasmissione di un singolo
T associati
dove 2 è il numero di simboli binari
simbolo QAM (cioè di un punto della costellazione che contiene N = 22 punti).
•La frequenza massima fm (ossia la banda occupata dal ciascuno dei due
segnali PAM) vale quindi
f m  f N 1    
1
2T
1     2(2f  ) 1   
b
• dove  è il roll-off del filtro sagomatore
29
Banda occupata dal segnale modulato QAM (2/2)
•Nella successiva modulazione QAM di ampiezza i due segnali modulati
PAM (e quindi anche la loro somma che costituisce il segnale modulato
QAM) occupano una banda di estensione 2fm intorno a f0. Quindi la banda
WQAM del segnale modulato QAM è pari a
WQAM  2 f m 
fb
1   
log 2 N

fb (1   )
2
30
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