Meccanica dei materiali - Laboratorio di Economia e Produzione

Sistemi di Produzione
Stati di tensione triassiali e criteri di
snervamento
Bibliografia per la lezione
“Sistemi di Produzione”
D. Antonelli, G. Murari
C.L.U.T. Editrice, 2008
• capitolo 3
“Tecnologia meccanica”
S. Kalpakjian, S. R. Schmid
Pearson – Prentice Hall, 2008
• capitolo 2
Esercizio 1
Da una prova di trazione si ottengono come dati di
rottura ε=125% e σ=2063 MPa.
Si trovino in tali condizioni (usando il criterio di Von
Mises):
a) la tensione equivalente σeq;
b) le tensioni σ1, σ2, σ3;
c) le deformazioni ε1, ε2, ε3.
3
1
Esercizio 1 - Soluzione
a) Calcolo della tensione equivalente σeq:
In condizioni di rottura Y= σrott da cui la tensione
equivalente è pari a
𝜎𝑒𝑞 =
MPa
1
2
(𝜎1 − 𝜎2 )2 +(𝜎2 − 𝜎3 )2 +(𝜎3 − 𝜎1 )2 = 𝑌=2063
b) Calcolo delle tensioni σ1, σ2, σ3:
Essendo una prova di trazione 𝜎2 = 𝜎3 = 0, per cui la
forza applicata si traduce solo in uno sforzo assiale per
cui
𝜎1 = 𝑌 = 2063 𝑀𝑃𝑎
𝜎2 = 𝜎3 = 0
Esercizio 1 - Soluzione
c) Calcolo delle deformazioni ε1, ε2, ε3:
Considerando per la prova di trazione l’asse del provino
come asse principale si ha
𝜀1 = 𝜀 = 125%
Dalla legge di conservazione dei volumi:
𝑙 𝑤 𝑏
𝑙 ∗ 𝑤 ∗ 𝑏 = 𝑙0 ∗ 𝑤0 ∗ 𝑏0 →
∗
∗ =1
𝑙0 𝑤0 𝑏0
Applicando il logaritmo ad entrambi i membri:
𝜀1 + 𝜀2 + 𝜀3 = 0
Essendo la prova assialsimmetrica:
1
𝜀2 = 𝜀3 = − 𝜀1
2
𝜀2 = 𝜀3 = −62,5%
5
Esercizio 2
Un corpo cubico di lato 10 mm è sollecitato da tre
forze di cui una applicata perpendicolarmente alla
faccia x che vale 100 N, una applicata alla faccia y
vale -100 N. Sapendo che la tensione di
plasticizzazione vale 2.5 Mpa, calcolare la forza F3.
6
2
Esercizio 2 - Soluzione
La superficie della faccia del cubo è pari a
𝑆 = 𝑙 2 = 100𝑚𝑚2
Applicando la formula:
𝐹𝑥
100 𝑁
𝜎1 = =
= 1 𝑀𝑃𝑎
𝑆
100 𝑚𝑚2
𝐹𝑦
−100 𝑁
𝜎2 = =
= −1 𝑀𝑃𝑎
𝑆
100 𝑚𝑚2
7
Esercizio 2 - Soluzione
Considerando il criterio di Von Mises
2𝑌 2 = (𝜎1 − 𝜎2 ) 2 + (𝜎2 − 𝜎3 ) 2 + (𝜎3 − 𝜎1 ) 2
Sostituendo i valori dell’esercizio abbiamo:
2𝑌 2 = 1 + 1 2 + −1 − 𝜎3 2 + (𝜎3 − 1)2 →
→ 2𝑌 2 = 4 + (𝜎3 + 1)2 +(𝜎3 − 1)2 →
→ 2𝑌 2 = 6 + 2𝜎3 2 →
→ 𝜎31/2 = 𝑌 2 − 3 →
→ 𝜎3 1 = ± 𝑌 2 − 3
2
→ 𝜎31/2 = ± 2.52 − 3 = ±1.80 𝑀𝑃𝑎
8
Esercizio 2 - Soluzione
Calcoliamo la forza F3:
𝐹3 = 𝜎3 ∙ 𝑆 = ±1,8 𝑀𝑃𝑎 ∙ 100 𝑚𝑚2 = ±180 𝑁
9
3
Esercizio 3
Si applichino il criterio di Tresca e di Von Mises alla
trazione, alla compressione, alla tensione piana e
alla deformazione piana.
Trazione
10
Esercizio 3
Compressione
Tensione piana
11
Esercizio 3
Deformazione piana
12
4
Esercizio 3 - Soluzione
Trazione
Lo stato di tensione è uniassiale, positivo perché in
trazione, quindi:
𝜎2 = 𝜎3 = 0,
𝜎1 > 0
La 𝜎𝑚𝑎𝑥 coincide con la tensione uniassiale per cui,
secondo il criterio di Tresca si ha:
𝜎1 = 𝑌
Applicando il criterio di Von Mises si ottiene:
2𝑌 2 = 2𝜎1 2 → 𝜎1 = ±𝑌
I criteri di Tresca a Von Mises danno risultati uguali
a meno del segno che è indeterminato per Von
Mises.
13
Esercizio 3 - Soluzione
Compressione
Lo stato di tensione è sempre uniassiale, negativo
perché in compressione, quindi:
𝜎1 = 𝜎2 = 0,
𝜎3 < 0
La 𝜎𝑚𝑖𝑛 coincide con la tensione uniassiale per cui,
secondo il criterio di Tresca si ha:
𝜎3 = −𝑌
Applicando il criterio di Von Mises si ottiene:
2𝑌 2 = 2𝜎3 2 → 𝜎3 = ±𝑌
Anche per quanto riguarda la compressione, Tresca
e Von Mises danno lo stesso risultato.
14
Esercizio 3 - Soluzione
Tensione piana
Esistono solo due tensioni principali, mentre la terza
è nulla:
𝜎1 ≠ 0, 𝜎3 ≠ 0,
𝜎2 = 0
15
5
Esercizio 3 - Soluzione
I quadrante
𝜎1 > 0, 𝜎3 > 0,
𝜎2 = 0
Quindi la tensione maggiore sarà data dalla tensione
più grande tra 𝜎1 e 𝜎3 che per convenzione è pari a
𝜎1 , quindi:
𝜎𝑚𝑎𝑥 = 𝜎1 , 𝜎𝑚𝑖𝑛 = 𝜎2
Da cui si ottiene il Criterio di Tresca
𝑌 = 𝜎1
Il criterio di von Mises per lo stato di tensione piana
si riduce a:
𝑌 2 = 𝜎1 2 + 𝜎3 2 − 𝜎1 𝜎3
16
Esercizio 3 - Soluzione
II quadrante
𝜎1 < 0, 𝜎3 > 0,
𝜎2 = 0
La tensione maggiore è data dalla tensione positiva
mentre quella minore da quella negativa.
𝜎𝑚𝑎𝑥 = 𝜎3 , 𝜎𝑚𝑖𝑛 = 𝜎1
Il criterio di Tresca diventa:
𝑌 = 𝜎3 − 𝜎1
Il criterio di von Mises per lo stato di tensione piana
si riduce a:
𝑌 2 = 𝜎1 2 + 𝜎3 2 − 𝜎1 𝜎3
17
Esercizio 3 - Soluzione
III quadrante
𝜎1 < 0, 𝜎3 < 0,
𝜎2 = 0
La tensione maggiore è pari alla tensione nulla, la
tensione minore, convenzionalmente è pari alla 𝜎3 ,
quindi:
𝜎𝑚𝑎𝑥 = 𝜎2 , 𝜎𝑚𝑖𝑛 = 𝜎3
Il criterio di Tresca diventa:
𝑌 = − 𝜎3
Il criterio di von Mises per lo stato di tensione piana
si riduce a:
𝑌 2 = 𝜎1 2 + 𝜎3 2 − 𝜎1 𝜎3
18
6
Esercizio 3 - Soluzione
IV quadrante
𝜎1 > 0, 𝜎3 < 0,
𝜎2 = 0
La tensione maggiore è pari alla tensione positiva
mentre la tensione minore è pari alla tensione
negativa, quindi:
𝜎𝑚𝑎𝑥 = 𝜎1 , 𝜎𝑚𝑖𝑛 = 𝜎3
Il criterio di Tresca diventa:
𝑌 = 𝜎1 − 𝜎3
Il criterio di von Mises per lo stato di tensione piana
si riduce a:
𝑌 2 = 𝜎1 2 + 𝜎3 2 − 𝜎1 𝜎3
19
Esercizio 3 - Soluzione
Deformazione Piana
Per lo stato di deformazione piana si suppone che il
corpo si deformi solo lungo due direzioni mentre è
vincolato lungo la terza:
𝜀2 = 0
La tensione dovuta alla reazione vincolare è pari a:
1
𝜎2 = (𝜎1 + 𝜎3 )
2
20
Esercizio 3 - Soluzione
Essendo 𝜎2 una tensione intermedia, il criterio di Tresca
è:
𝑌 = 𝜎1 − 𝜎3
sostituendo l’espressione di 𝜎2 nel criterio di Von Mises:
2𝑌 2 = 𝜎1 − 𝜎2 2 + 𝜎2 − 𝜎3 2 + 𝜎3 − 𝜎1 2 =
1
1
= 𝜎1 − (𝜎1 + 𝜎3 ) 2 +
(𝜎 + 𝜎3 ) − 𝜎3 2
2
2 1
+ 𝜎3 − 𝜎1 2 =
1
1
1
1
=
𝜎 − 𝜎 ) 2+
𝜎 − 𝜎 2 + 𝜎3 − 𝜎1 2 =
2 1 2 3
2 1 2 3
3
=
𝜎 − 𝜎1 2
2 3
3
3
𝑌 2 = (𝜎1 − 𝜎3 )2 𝑌 =
(𝜎 − 𝜎3 )
4
2 1
21
7
Esercizio 4
Si vuole comprimere un corpo di forma cubica, di
lato l=100 mm, dentro lo stampo indicato in figura,
in modo da portarne l'altezza a 50 mm.
Il corpo è stimato rigido plastico con tensione di
snervamento Y=200 MPa e viene deformato in
condizioni di attrito nullo.
Calcolare la forza di compressione.
22
Esercizio 4 - Soluzione
La forma dello stampo è tale da costringere il corpo
a deformarsi solo nelle due direzioni x e z, o 1 e 3.
Calcoliamo la dimensione finale del pezzo l f2.
Dalla conservazione del volume abbiamo:
𝑙𝑖 1 × 𝑙𝑖 2 × 𝑙𝑖 3 = 𝑙𝑓 × 𝑙𝑓 × 𝑙𝑓 →
1
2
3
𝑙𝑖 1 × 𝑙𝑖 × 𝑙𝑖
2
3
→ 𝑙𝑓 =
= 200 𝑚𝑚
1
𝑙𝑓 × 𝑙𝑓
2
3
23
Esercizio 4 - Soluzione
Per calcolare la tensione in direzione 3 applico il
criterio di Von Mises per lo stato di deformazione
piana ricavato nell’esercizio precedente, per cui:
𝑌=
3
(𝜎1
2
− 𝜎3 )
Criterio di Von Mises
Sapendo che la tensione in direzione 1 deve essere
nulla perché non ci sono né forze applicate né
contatti con pareti dello stampo, possiamo ricavare
la tensione in direzione 3:
2
𝜎1 = 0 → 𝜎3 = −
𝑌 = −231 𝑀𝑃𝑎
3
24
8
Esercizio 4 - Soluzione
La forza di compressione sarà data da:
𝐹3 = 𝜎3 ∙ 𝑆 = 𝜎3 × 𝑙𝑓 × 𝑙𝑓 =
1
2
= −4.618.208 𝑁
25
Esercizio 5
Un metallo snerva plasticamente sotto lo stato di
tensione mostrato nella figura seguente:
26
Esercizio 5
a) Si indichino gli assi delle tensioni principali in
accordo con la convenzione (1, 2, 3)
b) Qual è la tensione di snervamento in accordo con
il criterio di Tresca?
c) Quale se si usa il criterio di Von Mises?
d) Lo stato di tensione determina deformazioni
misurate pari a ε1 = 0,4 e ε2=0,2 con ε3 che non
viene misurato. Qual è il valore di ε3?
27
9
Esercizio 5 - Soluzione
a) Per convenzione, si indica con pedice 1 la
tensione massima e con pedice 3 la tensione
minima:
σ
σ
σ
1
2
[MPa]
3
[MPa]
50
20
[MPa]
-40
b)La tensione di snervamento secondo il criterio di
Tresca è pari a:
𝑌 = 𝜎𝑚𝑎𝑥 − 𝜎𝑚𝑖𝑛 = 90 𝑀𝑃𝑎
28
Esercizio 5 - Soluzione
c) La tensione di snervamento secondo il criterio di
Von Mises è pari a:
2𝑌 2 = (𝜎1 − 𝜎2 ) 2 + (𝜎2 − 𝜎3 ) 2 + (𝜎3 − 𝜎1 ) 2
2𝑌 2 = (50 − 20) 2 + (20 + 40) 2 + (−40 − 50) 2
= 302 + 602 + 902 = 12600
𝑌=
12600
= 79 𝑀𝑃𝑎
2
29
Esercizio 5 - Soluzione
d) La deformazione ε3 si ottiene applicando la legge
di conservazione dei volumi:
𝜀1 + 𝜀2 + 𝜀3 = 0
Sostituendo:
0.4 + 0.2 + 𝜀3 = 0
𝜀3 = −0.6
30
10

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