Curve Definizione Si definisce curva di classe πΆ π in π π lβapplicazione continua πΎ: πΌ β π β π π , dove I è un intervallo della retta reale. Le curve possono essere classificate in curve chiuse e curve aperte. Lβappellativo chiusa può essere dato ad una curva quando il generico suo punto può descriverla con continuità, in dipendenza di un generico parametro reale, partendo da una posizione iniziale ππ e ritornando nella stessa posizione dopo averla percorsa tutta. Lβappellativo aperta può essere dato ad una curva che non sia chiusa e, in tal caso, si può distinguere un tipo di curva aperta dotata di entrambi gli estremi πβ² e πβ²β² , un altro tipo dotato di un solo estremo e un altro ancora non dotato di nessun estremo. 2 Omeomorfismi Definizione Una funzione vettoriale π: π β π π β π β π π biunivoca di X su Y, continua insieme con la sua inversa, si dice un omeomorfismo di X su Y. Due insiemi π β π π e π β π π si dicono omeomorfi se esiste un omeomorfismo di X su Y o di Y su X. Il significato intuitivo di omeomorfismo è legato a quello di deformazione. Secondo tale concetto, dati due insiemi X e Y del piano e dello spazio, Y si ottiene per deformazione di X quando è il risultato di successive dilatazioni e contrazioni locali di X senza che nel corso di queste si creino lacerazioni o sovrapposizioni. Una tale deformazione di X in Y non conserva in generale né la forma, né le distanze, né il parallelismo mentre è possibile dire che essa stabilisce tra X e Y una corrispondenza biunivoca godente della seguente proprietà topologica: 1. A punti di X presi via via sempre più vicini a p corrispondono punti di Y presi via via sempre più vicini a πβ² . 2. Punti di Y presi via via sempre più vicini a πβ² sono corrispondenti di punti di p presi via via sempre più vicini a p. La corrispondenza biunivoca tra X e Y è continua insieme con la sua inversa 3 Curve semplici aperte (dotate di estremi) Definizione 1 Un sottoinsieme πΎ β π 3 (risp. β π 2 ) omeomorfo ad un intervallo [a,b] di R si dice una curva sghemba (risp. piana) semplice, aperta, dotata di estremi Poiché una funzione vettoriale definita nellβintervallo compatto [a,b] di R che abbia come codominio il sottoinsieme πΎ β π 3 (risp. β π 2 ) è un omeomorfismo di [a,b] su πΎ non appena essa sia biunivoca e continua in [a,b], allora un sottoinsieme πΎ β π 3 (risp. β π 2 ) è una curva semplice aperta se e solo se è il codominio di una funzione vettoriale definita in un intervallo compatto [a,b] di R, ivi continua e biunivoca. Definizione 2 Se πΎ β π 3 (risp. β π 2 ) è una curva semplice aperta dotata di estremi, un omeomorfismo di un intervallo compatto [a,b] su πΎ ,o, ciò che è lo stesso, una funzione vettoriale definita in [a,b] ivi biunivoca e continua, il cui codominio sia πΎ si dice una rappresentazione parametrica di πΎ di base [a,b] 4 Rappresentazione parametrica di una curva Se con t si indica il generico punto dellβintervallo [a,b], con π(π₯, π¦, π§) il generico punto della curva πΎ e con π(π‘) una rappresentazione parametrica di πΎ di base [a,b] di componenti π₯ π‘ , π¦ π‘ , π§(π‘) si dice una equazione vettoriale di πΎ di base [a,b], le uguaglianze π₯ = π₯(π‘) π¦ = π¦(π‘) π§ = π§(π‘) π‘ β [π, π] si dicono terna di equazioni parametriche di πΎ di base [a,b] e il numero reale t prende il nome di parametro 5 Curve semplici aperte (dotate di un solo estremo o prive di estremi) Definizione 1 Un sottoinsieme πΎ β π 3 (risp. β π 2 ) omeomorfo ad un intervallo I di R si dice una curva sghemba (risp. piana) semplice, aperta, dotata di un solo estremo o priva di estremi a seconda che I sia un intervallo del tipo π, π , π, π , π, +β , ββ, π (tutti omeomorfi tra loro) oppure del tipo π, π , π, +β , ββ, π , ββ, +β (tutti omeomorfi tra loro) Definizione 2 Se πΎ β π 3 (risp. β π 2 ) è una curva semplice aperta dotata di un solo estremo o priva di estremi , un omeomorfismo di un intervallo I su πΎ ,o, ciò che è lo stesso, una funzione vettoriale definita in I ivi biunivoca e continua, il cui codominio sia πΎ si dice una rappresentazione parametrica di πΎ di base I Analogamente alle curve aperte dotate di estremi, le uguaglianze π₯ = π₯(π‘) π¦ = π¦(π‘) π‘βπΌ π§ = π§(π‘) si dicono terna di equazioni parametriche di πΎ di base I e il numero reale t prende il 6 nome di parametro. Curve e parametrizzazioni Nota una parametrizzazione r, si può pensare ad una curva non solo come ad un sottoinsieme πΎ dello spazio , immagine di una funzione continua, bensì alla coppia πΎ, π dove πΎ β π 3 ed π: πΌ β π β π 3 una funzione continua. La parametrizzazione π: πΌ β π β π 3 corrisponde a quello che fisici e ingegneri chiamano moto o cammino continuo. Essa contiene informazioni cinematiche di una curva. Più semplicemente, una parametrizzazione è assegnata mediante lβequazione (in forma vettoriale) π π‘ = π₯ π‘ π + π¦ π‘ π + π§(π‘)π o (in forma scalare) π π‘ = (π₯ π‘ , π¦ π‘ , π§ π‘ ) Al variare di t, r(t) descrive πΎ, detto sostegno della curva che è interpretabile come traiettorie descritta dalla particella e che racchiude gli aspetti geometrici della curva. 7 Curva e proprio sostegno Una curva (che è una applicazione) non va confusa col proprio sostegno (che è un sottoinsieme del piano) Esempio Consideriamo ad esempio due curve: πΎ1 : [0,2π] β π 2 πΎ2 : [0,4π] β π 2 di equazioni parametriche rispettivamente: π₯1 π‘ = πππ π‘ π₯ π‘ = πππ π‘ con π‘ β [0,2π] e 2 con π‘ β [0,4π] π¦1 π‘ = π πππ‘ π¦2 π‘ = π πππ‘ Tali curve, pur avendo il medesimo sostegno, sono distinte, in quanto πΎ1 rappresenta il moto di una particella che compie un giro completo ruotando in senso antiorario, mentre πΎ2 rappresenta il moto di una particella che compie due giri completi ruotando nello stesso senso. 8 La cicloide La cicloide (dal greco kykloeidés, kýklos "cerchio" e -oeidés 'forma', cioè che è fatto da un cerchio) è una curva semplice aperta, piana appartenente alla categoria delle rullette. Essa è la curva tracciata da un punto fisso su una circonferenza che rotola lungo una retta. Equazioni parametriche della cicloide 9 Lβelica cilindrica La curva semplice aperta sghemba di equazioni parametriche: π₯ = ππππ π‘ π¦ = ππ πππ‘ π§ = ππ‘ dove π ed π sono due numeri positivi, si chiama elica cilindrica di raggio π e di passo costante π. Si tratta di una curva semplice aperta non dotata di estremi che è inclusa nel cilindro circolare di asse lβasse z e raggio r di equazione cartesiana π₯ 2 + π¦ 2 = π 2 . 10 La spirale di Archimede È una curva semplice aperta, dotata di un solo estremo ed ha equazione polare π = π + ππ πππ π β [0, +β[ dove π è un numero reale positivo 11 La spirale logaritmica Una spirale logaritmica, spirale equiangolare o spirale di crescita è un tipo particolare di spirale che si ritrova spesso in natura. La spirale logaritmica è stata descritta la prima volta da Descartes e successivamente indagata estesamente da Jakob Bernoulli, che la definì Spira mirabilis, "la spirale meravigliosa. Eβ una curva semplice aperta, priva di estremi. La sua equazione è: π = π β π ππ πππ π β π oppure 1 π π = πππ π π e in forma parametrica π₯ π‘ = π β π ππ πππ π π¦ π‘ = π β π ππ π πππ con a e k numeri reali. La modifica di a ruota la spirale mentre k controlla quanto è stretta e in quale direzione si avvolge. 12 Curve semplici chiuse Definizione 1 Un sottoinsieme πΎ β π 3 (risp. β π 2 ) si dice una curva semplice chiusa sghemba (o piana) se è il codominio di una funzione vettoriale π(π‘) definita e continua in un intervallo compatto [a,b], tale che la sua restrizione allβintervallo semiaperto [a,b[ sia biunivoca e tale che si abbia π π = π(π) Analogamente alle curve aperte dotate di estremi, le uguaglianze π₯ = π₯(π‘) π¦ = π¦(π‘) π‘ β [π, π] π§ = π§(π‘) si dicono terna di equazioni parametriche di πΎ di base [a,b] e il numero reale t prende il nome di parametro. 13 Curve di Jordan Se il sostegno πΎ di una curva è tutto contenuto in un piano, si dice che la curva è piana. Le curve piane, semplici e chiuse si chiamano curve di Jordan Teorema Una curva di Jordan è frontiera di due insiemi aperti nel piano, uno dei quali è limitato e si chiama interno della curva, lβaltro illimitato, detto esterno 14 Lβasteroide La curva piana, semplice chiusa, di equazioni parametriche π₯ = ππππ 3 π‘ π‘ β 0,2π π¦ = ππ ππ3 π‘ con π β π + si chiama asteroide 15 Orientazione di una curva Consideriamo una curva πΎ di equazione π = π(π‘). Il parametro t appartiene a un intervallo πΌ β π . Essendo R orientato, anche I sarà tale, cosicché è automaticamente assegnato su πΎ un verso di percorrenza ovvero una orientazione della curva. Si potrà allora dire che una coppia πΎ, π definisce una curva orientata. Definizione Sia πΎ una curva semplice aperta orientata, π0 un suo punto, p il generico suo altro punto πβπ diverso da π0 , sia π π = ± πβπ0 con la scelta + o β a seconda che p segua o preceda π0 0 secondo il verso scelto su πΎ. Nellβipotesi che esista il limite π β π0 lim π π = lim ± πβπ0 πβπ0 π β π0 che è evidentemente un versore, diciamolo π‘0 esso si chiama versore tangente positivo a πΎ nel punto π0 . 16 Curve semplici regolari Sia πΎ una curva semplice aperta orientata, p(t) una sua rappresentazione parametrica di base lβintervallo I, concorde con lβorientamento di πΎ. Allora se p(t) è derivabile in π‘0 β πΌ e il vettore derivato πβ² (π‘0 ) è diverso dal vettore nullo, πΎ è dotata nel punto π0 = π(π‘0 ) di versore tangente positivo e questo ha lβespressione πβ² π‘0 π‘ π0 = β² π (π‘0 ) Lo stesso risultato vale se πΎ è una curva semplice chiusa orientata, p(t) una sua rappresentazione parametrica di base lβintervallo [a,b], concorde con lβorientamento di πΎ 17 Esempi di curve Come si costruisce il trifolium Il trifolium e la cardioide Altre curve notevoli Ancora una curva notevole Lunghezza di una curva Una curva nel piano può essere approssimata collegando un limitato numero di punti sulla curva e utilizzando segmenti di linea per creare un percorso poligonale . Poiché è facile calcolare la lunghezza di ogni segmento lineare (utilizzando il teorema di Pitagora nello spazio euclideo, per esempio), la lunghezza totale della approssimazione può essere trovata sommando le lunghezze di ciascun segmento lineare La somma delle lunghezze dei segmenti è la lunghezza del "cammino poligonale". La lunghezza del segmento sarà definita come la distanza tra i due estremi. La lunghezza della curva è il più piccolo numero che la lunghezza del cammino poligonale non può superare, ovvero è l'estremo superiore della lunghezza del cammino della poligonale, al variare delle poligonali 23 Lunghezza di una curva Definizione 4 Sia πΎ: [π, π] β π una curva continua, si consideri una partizione π = π‘0 < π‘1 < π‘2 < β― < π‘πβ1 < π‘π = π dellβintervallo [π, π]. La poligonale P, inscritta nel sostegno della curva e di vertici πΎ π , πΎ π‘1 , β¦ , πΎ π ha (per definizione) lunghezza pari a: π π π = πΎ π‘π β πΎ(π‘πβ1 ) 1=1 Si definisce lunghezza della curva πΎ il valore: πΏ πΎ = sup π π π dove P rappresenta tutte le possibili poligonali inscritte. 24 Lunghezza di una curva Teorema Se πΎ: [π, π] β π π è una curva di classe πΆ 1 allora essa è rettificabile e la sua lunghezza πΏ πΎ è data dallβintegrale: π πΎ β² (π‘) ππ‘ πΏ πΎ = π dove π£ rappresenta la norma euclidea di un generico vettore v. La forma π πΎ β² (π‘) ππ‘ πΏ πΎ = π può anche essere espressa come: π π₯ β²2 π‘ + π¦ β²2 (π‘)ππ‘ πΏ πΎ = π 25 Lunghezza di una curva In particolare, se πΎ è una curva piana rappresentata, nellβintervallo [a,b] dallβequazione π¦ = π(π₯), con π(π₯) continua con la sua derivata prima, la lunghezza πΏ πΎ è espressa da: π 1 + π β²2 (π₯)ππ₯ πΏ πΎ = π Infine, se la curva πΎè rappresentata, nellβintervallo π1 β€ π β€ π2 dallβequazione polare π=π π con π π continua con la sua derivata prima, allora si ha: π2 πΏ πΎ = π2 π + πβ²2 π ππ π1 26 Dimostrazione Supponiamo che esista una curva rettificabile data da una funzione π(π₯). Per approssimare la lunghezza dell'arco S tra due punti possiamo costruire una serie di triangoli rettangoli come mostrato in figura. Per comodità, le basi di tutti i triangoli possono essere posti uguali a βπ₯, in modo che ad ognuno di essi sia associato un βπ¦ . La lunghezza di ogni ipotenusa è data dal teorema di Pitagora: βπ₯ 2 + βπ¦ 2 La somma delle lunghezze delle n ipotenuse approssima S: π βπ₯π2 + βπ¦π2 π~ π=1 27 Moltiplicando il radicando da βπ₯ 2 /βπ₯ 2 produce: 2 βπ₯ βπ₯ 2 + βπ¦ 2 = βπ₯ 2 + βπ¦ 2 = βπ₯ 2 Poi, il nostro risultato precedente diventa: π π~ π=1 βπ¦ 2 1 + 2 βπ₯ = βπ₯ βπ¦π 1+ βπ₯π βπ¦ 1+ βπ₯ 2 βπ₯ 2 βπ₯π Se la lunghezza βπ₯ di questi segmenti viene presa sempre più piccola, l'approssimazione migliora. Il limite dell'approssimazione, quando βπ₯ va a zero, è pari a S: β π = lim βπ₯π β0 π=1 βπ¦π 1+ βπ₯π 2 π βπ₯π = π ππ¦ 1+ ππ₯ 2 π 1 + π β² (π₯) 2 ππ₯ ππ₯ = π Si può dimostrare che tale lunghezza non dipende né dagli assi di riferimento né dalla particolare rappresentazione parametrica ma dipende soltanto dalla curva πΎ. 28 Forme differenziali lineari Sia Ξ©β π 3 un insieme aperto e siano π΄, π΅, πΆ: Ξ© β π funzioni continue in Ξ©. Si definisce forma differenziale Ο in Ξ© lβespressione π = π΄ π₯, π¦, π§ ππ₯ + π΅ π₯, π¦, π§ ππ¦ + πΆ π₯, π¦, π§ ππ§ Data la curva orientata semplice e regolare πΎ di equazioni parametriche π₯ = π₯(π‘) π¦ = π¦(π‘) π‘ β [π, π] π§ = π§(π‘) si chiama integrale della forma differenziale lineare (o anche integrale curvilineo di seconda specie), lungo la curva πΎ, il numero π (π΄ π₯ π‘ , π¦ π‘ , π§ π‘ π₯ β² π‘ + π΅ π₯ π‘ , π¦ π‘ , π§ π‘ π¦ β² π‘ + πΆ π₯ π‘ , π¦ π‘ , π§ π‘ π§ β² π‘ )ππ‘ π Tale espressione viene anche indicata: π΄ π₯, π¦, π§ ππ₯ + π΅ π₯, π¦, π§ ππ¦ + πΆ π₯, π¦, π§ ππ§ πΎ o, anche π πΎ Forme differenziali Con queste operazione, lβinsieme delle forme differenziali lineari, definite in un insieme Ξ© di R, è uno spazio vettoriale. Per una forma differenziale si possono definire le seguenti operazioni: I β Dato un vettore π π1 , π2 e un punto (π₯, π¦) β Ξ©, il prodotto scalare tra π ed π è: π β π = π΄ π₯, π¦ π1 + π΅(π₯, π¦)π2 II β dato uno scalare π β π ed una funzione definita in Ξ© e a valori in R, si definisce la moltiplicazione della forma differenziale c per f nel modo seguente: π β π = ππππ₯ + ππππ¦ e π β π = ππ ππ₯ + ππ ππ¦; III β date due forme differenziali π1 e π2 si definisce addizione di π1 e π2 la seguente forma: π1 + π2 = π1 ππ₯ + π1 ππ¦ + π2 ππ₯ + π2 ππ¦ = π1 + π2 ππ₯ + π1 + π2 ππ¦ Osservazione Consideriamo, ora, il differenziale di una funzione π π₯, π¦ . Si ha ππ = ππ₯ ππ₯ + ππ¦ ππ¦. Quindi il differenziale di una funzione f si può vedere come una forma differenziale lineare. Non vale, ovviamente, il viceversa: data una forma lineare, non è detto che ci sia una 30 funzione f il cui differenziale coincida con la forma lineare stessa. Indipendenza dalla parametrizzazione Teorema - La formula π (π΄ π₯ π‘ , π¦ π‘ , π§ π‘ π₯ β² π‘ + π΅ π₯ π‘ , π¦ π‘ , π§ π‘ π¦ β² π‘ + πΆ π₯ π‘ , π¦ π‘ , π§ π‘ π§ β² π‘ )ππ‘ π non dipende dalla parametrizzazione della curva orientata semplice e regolare πΎ ma dipendono dallβorientazione della curva stessa. Dimostrazione Vedi testo o appunti 31 Forme differenziali su curve generalmente regolari Nel caso di una curve orientata, semplice regolare πΎ, poiché πΎ si può considerare come lβunione di curve regolari πΎ1 , πΎ2 , β¦ , πΎπ , lβintegrale della forma differenziale esiste anche in questo caso e si ha: π= πΎ π+ πΎ1 π + β―+ πΎ2 π πΎπ Nel fare gli integrali curvilinei delle forme differenziali occorre prestare molta attenzione allβorientamento della curva. Per questo motivo, gli integrali curvilinei delle forme differenziali sono detti integrali orientati. Vale, infatti, il seguente teorema: Teorema Data una forma differenziale π e una curva regolare πΎ si ha: π=β βπΎ π +πΎ 32 Teorema fondamentale per gli integrali curvilinei Assegnata una funzione π(π₯, π¦), si consideri la forma differenziale data dal suo differenziale: π = ππ = ππ₯ ππ₯ + ππ¦ ππ¦. Data una curva regolare +πΎ espressa mediante rappresentazione parametrica da π₯ π‘ ; π¦ π‘ (o mediante la funzione vettoriale r), si ha ππ = π π₯ π , π¦ π β π(π₯ π , π¦ π ) +πΎ o, equivalentemente +πΎ π»π β ππ = π π₯ π , π¦ π β π(π₯ π , π¦ π ) Su molti testi, lβintegrale curvilineo delle forme differenziali viene denominato integrale curvilineo di seconda specie. 33 Forme differenziali esatte Definizione Una forma differenziale π π₯ = ππ=1 ππ π₯ ππ₯π definita in un aperto π΄ β π π si dice esatta se è il differenziale di qualche funzione, in altre parole, se esiste una funzione detta primitiva della forma π: π: π΄ β π di classe πΆ 1 tale che: π = ππ o più esplicitamente se βπ₯ β π΄: ππ(π₯) ππ π₯ = , βπ = 1,2, β¦ , π ππ₯π Formula fondamentale per gli integrali curvilinei Sia π una forma differenziale, definita in A ed esatta e sia f una sua primitiva. Allora π = π π2 β π π1 πΎ dove π1 e π2 sono rispettivamente il primo e il secondo estremo della curva πΎ 34 Forme differenziali chiuse Definizione Una forma differenziale π π₯ = ππ=1 ππ π₯ ππ₯π definita in un aperto π΄ β π π e di classe πΆ 1 π΄ , si dice chiusa se verifica la seguente relazione: πππ πππ = ππ₯π ππ₯π Osservazione Se una forma differenziale di classe πΆ 1 è esatta, allora è chiusa; in generale non vale il viceversa. La condizione di essere chiusa, senza opportune ipotesi sul dominio della forma differenziale, non assicura che la forma sia esatta. Un particolare tipo di insieme ci permette di stabilire alcune importanti proprietà per le forme differenziali, se definite su questi insiemi. Si tratta degli insiemi connessi. 35 Domini connessi Definizione Un insieme aperto π΄ β π 2 si dice connesso se, qualunque siano i punti P e Q presi in A, esiste una linea poligonale che è contenuta tutta in A e che ha P e Q come estremi. Lemma 1 Sia f una funzione di classe πΆ 1 definita in un insieme aperto e connesso A di π 2 . Se, β(π₯, π¦) β π΄ risulta ππ₯ π₯, π¦ = ππ¦ π₯, π¦ = 0, allora f è una funzione costante in A. Lemma 2 Se F e G sono primitive, di classe πΆ 1 , definite in un insieme aperto e connesso, della stessa forma differenziale lineare π, allora differiscono per una costante. Lemma 3 Data π = πππ₯ + πππ¦ una forma differenziale lineare, di classe πΆ 0 e definita in un insieme aperto e connesso, se F è una sua primitiva, allora ogni primitiva di π è del tipo πΉ + πππ π‘. 36 Forme differenziali esatte: caratterizzazione Dato un aperto connesso π΄ β π 2 e data una forma differenziale lineare π di classe πΆ 0 in A, le seguenti proposizioni sono equivalenti: I - π è esatta; II β Se π0 e P sono due punti qualunque in A e πΎ1 e πΎ2 sono due curve generalmente regolari orientate contenute in A, che hanno entrambe come primo estremo π0 e come secondo estremo P, allora: π= πΎ1 π πΎ2 vale a dire che lβintegrale curvilineo dipende solo dagli estremi e non dal cammino percorso; III β se πΎ è una qualunque curva generalmente regolare, chiusa e contenuta in A, allora π=0 πΎ 37 Chiusura ed esattezza Teorema: Data π = πππ₯ + πππ¦ una forma differenziale lineare di classe πΆ 1 in un insieme aperto A di π 2 . π esatta βΉ π chiusa Dimostrazione Se π è esatta, vuol dire che esiste una primitiva πΉ tale che πΉπ₯ = π E πΉπ¦ = π. Per ipotesi π è di classe πΆ 1 , cioè le derivate parziali di X e Y sono continue. Di conseguenza F è di classe πΆ 2 (poiché le sue derivate parziali del secondo ordine coincidono con le derivate parziali prime di X e Y ). Inoltre si ha ππΉ 2 ππ ππΉ 2 ππ = π = ππ₯ππ¦ ππ¦ ππ¦ππ₯ ππ₯ Per il teorema di Schwartz, le derivate parziali miste di F coincidono, quindi risulta ππ ππ = ππ¦ ππ₯ Lβasserto è provato. 38 Domini semplicemente connessi Definizione Un sottoinsieme di π 2 , A aperto, si dice semplicemente connesso se: 1. è connesso 2. ogni curva generalmente regolare, chiusa e semplice contenuta in A è la frontiera di un insieme limitato contenuto in A. Osservazione Dire che A è un insieme semplicemente connesso vuol dire che lβinsieme è βsenza buchiβ, in quanto ogni curva chiusa e semplice, generalmente regolare, può essere deformata con continuità fino a ridursi ad un singolo punto. Una corona circolare ha βbuchiβ e, infatti, non è semplicemente connesso. Il piano privato di un punto non è semplicemente connesso. Lβinterno di un cerchio è semplicemente connesso. La circonferenza non è semplicemente connesso. Teorema Sia π una forma differenziale lineare di classe πΆ 1 in A aperto e semplicemente connesso. Allora se π è chiusa è esatta 39 Lavoro di una forza Un esempio in cui vediamo applicata una forma differenziale in fisica è il lavoro compiuto da un campo di forze. Se consideriamo una particella che si muove lungo una curva, indicando con π la distanza percorsa dalla particella lungo la curva +πΎ, e con πΉ = (π, π) una forza che agisce sulla particella mentre essa si sposta di un tratto ππ , si definisce lavoro elementare eseguito da πΉ il prodotto scalare: ππΏ = πΉ β ππ In coordinate cartesiane, e limitandoci al caso bidimensionale, si può scrivere ππΏ = πππ₯ + πππ¦ Il lavoro elementare è dunque una forma differenziale. Il lavoro totale lungo tutta la curva +πΎ è definito tramite lβintegrale della forma differenziale ππΏ: π πΏ= ππΏ +πΎ πΉ β π β ππ = +πΎ π π₯ π‘ , π¦ π‘ ππ₯ + π π₯ π‘ , π¦ π‘ ππ¦ π Dove T è il versore tangente a πΎ 40 Circuitazione Nel caso in cui Ξ³ sia una curva chiusa, lβintegrale πΉ β π β ππ πΎ viene anche detto circuitazione di F lungo Ξ³, e indicato con il simbolo πΉ β π β ππ 41 Campo vettoriale Definizione Si dice campo vettoriale in π 3 unβapplicazione continua πΉ: Ξ© β π 3 β π 3 ovvero πΉ π₯, π¦, π§ β Ξ© = (π΄ π₯, π¦, π§ , π΅ π₯, π¦, π§ , πΆ π₯, π¦, π§ ) con (π₯, π¦, π§) β Ξ© e con π΄, π΅, πΆ: Ξ© β π funzioni continue. Il motivo del nome campo vettoriale è il seguente: La funzione πΉ π₯, π¦, π§ associa ad ogni punto P(π₯, π¦, π§) β Ξ© il punto πβ² = πΉ(π₯, π¦, π§). Poiché il punto πβ² determina il vettore ππβ² applicato nellβorigine, possiamo dire che la funzione πΉ π₯, π¦, π§ associa ad ogni punto P il vettore ππβ² . Se poi consideriamo il vettore π£ applicato nel punto P ed equivalente al vettore ππβ² , possiamo dire che la funzione πΉ π₯, π¦, π§ associa a ogni punto P di Ξ© uno ed un solo vettore π£ applicato in P 42 Campi conservativi Teorema Un campo vettoriale πΉ(π, π, π) è conservativo se e solo se la forma differenziale π = π π₯, π¦, π§ ππ₯ + π π₯, π¦, π§ ππ¦ + π π₯, π¦, π§ ππ§ è esatta. Definizione Un campo vettoriale πΉ(π, π, π) è conservativo se esiste una funzione U: π΄ β π 3 β π di classe πΆ 1 in A, tale che il gradiente di π coincida con πΉ in π΄: π»π π₯, π¦, π§ = πΉ π₯, π¦, π§ La funzione U è anche detta potenziale del campo. Teorema Il lavoro compiuto da un campo conservativo continuo βπ lungo una curva regolare a tratti πΎè uguale alla variazione della funzione potenziale agli estremi della curva: βπ β π β ππ = π(π π ) β π(π π ) πΎ Ne segue che lβintegrale non dipende direttamente da πΎ ma solo dai suoi estremi 43 Caratterizzazione dei campi conservativi Sia πΉ: π΄ β π 3 β π 3 un campo vettoriale di classe πΆ1 . Le seguenti affermazioni sono equivalenti: I β F è conservativo (cioè ammette una funzione potenziale); II β date due curve πΎ1 e πΎ2 continue in A e aventi gli stessi estremi (nellβordine), si ha: πΉ β π β ππ = πΎ1 πΉ β π β ππ πΎ2 III β data una qualunque curva chiusa πΎ contenuta in A, la sua circuitazione è nulla: πΉ β π β ππ = 0 44 Il Rotore Dato in π 3 il campo vettoriale πΉ = π΄π + π΅π + πΆπ che supponiamo di classe πΆ 1 , indichiamo con rotF il campo vettoriale πππ‘πΉ = πΆπ¦ β π΅π₯ π β πΆπ₯ β π΄π§ π + π΅π₯ β π΄π¦ π che si ottiene sviluppando il determinante della seguente matrice simbolica π π π π π π ππ₯ ππ¦ ππ§ π΄ π΅ πΆ Teorema Il campo vettoriale πΉ = π΄π + π΅π + πΆπ di classe πΆ 1 è irrotazionale se esso ammette rotore nullo Teorema Il campo vettoriale πΉ = π΄π + π΅π + πΆπ è irrotazionale se e solo se la forma differenziale π = π π₯, π¦, π§ ππ₯ + π π₯, π¦, π§ ππ¦ + π π₯, π¦, π§ ππ§ è chiusa 45
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