Îòêðûòàÿ îëèìïèàäà øêîëüíèêîâ ïî ìàòåìàòèêå
13 ìàðòà 2014 ã.
8 êëàññ
Îòâåòû, ðåøåíèÿ è êðèòåðèè
1. (1 áàëë)
Ó Ïåòè è Âàñè åñòü ïîëîñêà èç 2013 êëåòîê. Â ñàìîé ëåâîé êëåòêå íàïèñàíà öèðà 8. Ïåòÿ è
Âàñÿ ïî î÷åðåäè (íà÷èíàåò Ïåòÿ) çàïèñûâàþò ïî îäíîé öèðå â ëþáóþ ñâîáîäíóþ êëåòêó íà ñâîé âûáîð. Èãðà
çàêàí÷èâàåòñÿ, êîãäà âñå êëåòêè çàïîëíåíû. Ïåòÿ âûèãðûâàåò, åñëè ïîëó÷èâøååñÿ â èòîãå 2013-çíà÷íîå ÷èñëî
äåëèòñÿ íà 17, Âàñÿ åñëè íå äåëèòñÿ. Êòî âûèãðàåò ïðè ïðàâèëüíîé èãðå?
Îòâåò: Âàñÿ
åøåíèå: Âàñÿ
õîäèò ïîñëåäíèì. Ïóñòü îí âûíóæäåí õîäèòü â ÿ÷åéêó ñ íîìåðîì
k+1
ñ êîíöà. Ïîñëå åãî
õîäà â òàáëè÷êå ìîæåò ïîÿâèòñÿ îäíî èç 10 ðàçëè÷íûõ ÷èñåë. Äâà íàèìåíüøèõ ñðåäè ýòèõ ÷èñåë îòëè÷àþòñÿ
k
íà 10 , ÷òî íå äåëèòñÿ íà 17. Çíà÷èò, ëèáî óìåíüøàåìîå, ëèáî âû÷èòàåìîå íå äåëèòñÿ íà 17. Ïîëó÷àåòñÿ, ó Âàñè
åñòü êàê ìèíèìóì îäèí õîä, êîòîðûé ãàðàíòèðóåò åìó âûèãðûø (íà ñàìîì äåëå, êàê ìèíèìóì 9 òàêèõ õîäîâ).
Êðèòåðèè ïðîâåðêè:
2. (2 áàëëà)
Òîëüêî îòâåò (Âàñÿ): 0 áàëëîâ.
Êîñòÿ âçÿë íàòóðàëüíîå ÷èñëî è ïîäåëèë åãî ñ îñòàòêîì íà 5, è ñëîæèë íåïîëíîå ÷àñòíîå ñ
îñòàòêîì. Ïîòîì îí ïîäåëèë ýòî æå ÷èñëî ñ îñòàòêîì íà 11 è îïÿòü ñëîæèë íåïîëíîå ÷àñòíîå ñ îñòàòêîì. Äâå
ïîëó÷åííûå ñóììû ñîâïàëè. Êàêîå íàèáîëüøåå ÷èñëî îí ìîã äåëèòü?
Îòâåò: 76
åøåíèå:
5a + b = 11c + d. Òîãäà, ïî óñëîâèþ, a + b = c + d. Âû÷èòàåì âòîðîå ðàâåíñòâî èç
4a = 10c, îòêóäà 2(a − c) = 3c. Cëåäîâàòåëüíî, a − c äåëèòñÿ íà 3.
ñòîðîíû, a − c = d − b 6 d 6 10, òàê êàê d ýòî îñòàòîê ïðè äåëåíèè íà 10. Çíà÷èò, a − c 6 9, òàê
Ïóñòü èñêîìîå ÷èñëî ðàâíî
ïåðâîãî, ïîëó÷àåì
Ñ äðóãîé
êàê ýòà ðàçíîñòü äåëèòñÿ íà 3.
2
Ñëåäîâàòåëüíî, c 6 3 (a − c)
óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ çàäà÷è.
Êðèòåðèè ïðîâåðêè:
3. (3 áàëëà)
6 6,
îòêóäà
11c + d 6 11 · 6 + 10 = 76.
Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî ÷èñëî 76
Òîëüêî îòâåò: 0 áàëëîâ.
AB äëèíû 10 ñì âçÿòà íåêîòîðàÿ òî÷êà C . Òî÷êè D è E âçÿòû ïî ðàçíûå
AD = CD è BE = CE . Îêàçàëîñü, ÷òî äëèíà îòðåçêà DE ðàâíà 7 ñì. Äîêàæèòå,
÷òî õîòÿ áû îäèí èç òðåóãîëüíèêîâ ∆ ADC è ∆ BEC òóïîóãîëüíûé.
åøåíèå: Çàìåòèì, ÷òî òî÷êè D è E ëåæàò íà ñåðåäèííûõ ïåðïåíäèêóëÿðàõ ê îòðåçêàì AC è BC ñîîòâåòñòâåííî. Ñåðåäèíû ýòèõ îòðåçêîâ îáîçíà÷èì çà D1 è E1 , ñîîòâåòñòâåííî. Åñëè òðåóãîëüíèê ADC íå òóïîóãîëü◦
◦
◦
íûé, ∠ADC 6 90 , çíà÷èò, ∠D1 DC 6 45 , îòêóäà ∠DCD1 > 45 > ∠ADC . Çíà÷èò, DD1 > D1 C . Àíàëîãè÷íî
EE1 > CE1 .
Îïóñòèì èç òî÷êè D ïåðïåíäèêóëÿð íà EE1 , ïóñòü îí ïîïàä¼ò â òî÷êè H . DD1 E1 H ïðÿìîóãîëüíèê.
Ñëåäîâàòåëüíî, DH = D1 E1 = AB/2 = 5 ñì, à HE = HE1 + EE1 = DD1 + EE1 > D1 C + CE1 = 5 ñì. Ïî òåîðåìå
p
√
(DH 2 + HE 2 ) > 50 > 7, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ çàäà÷è.
Ïèàãîðà ïîëó÷àåì, ÷òî DE =
Êðèòåðèè ïðîâåðêè: Åñëè ïðè ðåøåíèè çàäà÷è âîçíèêëè ñëó÷àè, õîòÿ áû îäèí èç êîòîðûõ óïóùåí, ñíèìàòü
Âíóòðè îòðåçêà
ñòîðîíû îò ïðÿìîé
AB
òàê, ÷òî
1 áàëë çà êàæäûé ñëó÷àé
4. (3 áàëëà) ABCD
AD è BC , ïðè ýòîì BD = AD. Òî÷êè K è M îñíîâàíèÿ
BD èç òî÷åê A è C ñîîòâåòñòâåííî. Îêàçàëîñü, ÷òî K ñåðåäèíà
îñíîâàíèÿ BC . Äîêàæèòå, ÷òî AM áèññåêòðèñà óãëà ∠N M D .
òðàïåöèÿ ñ îñíîâàíèÿìè
ïåðïåíäèêóëÿðîâ, îïóùåííûõ íà îòðåçîê
BM . Òî÷êà N ñåðåäèíà
åøåíèå: Ïóñòü ∠BDA = α.
◦
∆ ABD ðàâíîáåäðåííûé, ñëåäîâàòåëüíî ∠BAD = ∠ABD = 90 −
îòðåçêà
α
2 . Â òðåóãîëüíèêå ∆ ABM îòðåçîê AK α
◦
ìåäèàíà è âûñîòà, ñëåäîâàòåëüíî, ýòîò òðåóãîëüíèê ðàâíîáåäðåííûé è ∠BM A = ∠ABD = 90 − . Óãîë ∠AM D
2
α
◦
ñìåæíûé ê óãëó ∠BM A, çíà÷èò, ∠AM D = 90 + 2
Îòðåçîê M N ìåäèàíà, ïðîâåä¼ííàÿ ê ãèïîòåíóçå â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå ∆ BM C . Çíà÷èò, M N =
BN
∠N M B = ∠N BM . Íî ∠N BM ðàâåí ∠BDA êàê íàêðåñò ëåæàùèé. Ñëåäîâàòåëüíî, ∠N M B = α.
∠AM N = ∠AM B + ∠N M B = 90◦ − α2 + α = 90◦ + α2 . Òàêèì îáðàçîì, ∠AM N = ∠AM D. Çíà÷èò,
ñìåæíûå ê íèì óãëû òàêæå ðàâíû è AM áèññåêòðèñà óãëà ∠N M D , ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
Êðèòåðèè ïðîâåðêè: Åñëè ïðè ðåøåíèè çàäà÷è âîçíèêëè ñëó÷àè, õîòÿ áû îäèí èç êîòîðûõ óïóùåí, ñíèìàòü
è
Òîãäà
1 áàëë çà êàæäûé ñëó÷àé
5. (3 áàëëà)
Íà äîñêå áûëî íàïèñàíî ÷èñëî 1. Âàíå ðàçðåøèëè äåëàòü ñ íèì äâå îïåðàöèè: óìíîæàòü íà 3
è ïåðåñòàâëÿòü öèðû â ïðîèçâîëüíîì ïîðÿäêå. Ìîãëî ëè ó íåãî ïîëó÷èòñÿ ÷èñëî, ñîñòîÿùåå èç 18 åäèíèö?
Îòâåò: Íåò.
åøåíèå: Çàìåòèì,
÷òî ïîñëåäííåå äåéñòâèå, â ðåçóëüòàòå êîòîðîãî ÷òî-òî ìåíÿåòñÿ, ýòî îáÿçàòåëüíî óìíî-
æåíèå íà 3. Åñëè ðàçäåëèòü ÷èñëî èç 18 åäèíèö íà 3, ïîëó÷àåòñÿ ÷èñëî, êîòîðîå íå äåëèòñÿ íà 9 (ñóììà öèð
ýòîãî ÷èñëà ðàâíà 60).
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïîñëå äâóõ îïåðàöèé íà äîñêå îêàçûâàåòñÿ ÷èñëî 9, à çíà÷èò, è âñå ïîñëåäóþùèå ÷èñëà
äîëæíû äåëèòüñÿ íà 9. Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåò, ÷òî óêàçàííîå ÷èñëî ïîëó÷èòüñÿ íå ìîãëî.
Êðèòåðèè ïðîâåðêè:
Çàìå÷åíî è âåðíî äîêàçàíî, ÷òî âñå ÷èñëà, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî ìîìåíòà äåëÿòñÿ íà 9: 1 áàëë.
Óòâåðæäåíèå î òîì, ÷òî âñå ÷èñëà, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî ìîìåíòà, äåëÿòñÿ íà 27, íåâåðíî è íå îöåíèâàåòñÿ.
6. (3 áàëëà)
a è b ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà òàêèå, ÷òî b−a > 2. Äîêàæèòå, ÷òî ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà,
y = ax + b, y = bx + a è îñüþ àáñöèññ, áîëüøå 4.
åøåíèå: Ïðÿìûå y = ax + b è y = bx + a ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå êîîðäèíàòàìè (1; a + b). Çíà÷èò, âûñîòà
äàííîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíà a + b.
b
a
Îñòàëüíûå äâå âåðøèíû òðåóãîëüíèêà òî÷êè ñ êîîðäèíàòàìè (− ; 0) è (− ; 0).
a
b
b
a
Çíà÷èò, îñíîâàíèå òðåóãîëüíèêà èìååò äëèíó
a − b (ýòî âûðàæåíèå ïîëîæèòåëüíî, ïîòîìó ÷òî a > b).
Ïóñòü
îáðàçîâàííîãî ïðÿìûìè
Ïîëó÷àåì çíà÷åíèå ïëîùàäè:
S=
1
2
b
a
−
a
b
a
(a + b) =
1 b 2 − a2
b − a (b + a)2
·
· (a + b) =
·
.
2
ab
2
ab
2
Âòîðàÿ äðîáü áîëüøå 4, òàê êàê (b + a) > 4ab ïðè íåðàâíûõ äðóã
2
è b. Äåéñòâèòåëüíî, ýòî íåðàâåíñòâî ýêâèâàëåòíî òîìó, ÷òî (b − a) > 0. Òàêèì îáðàçîì, óòâåðæäåíèå
Ïåðâàÿ äðîáü õîòÿ áû 1, òàê êàê
äðóã
b − a > 2.
çàäà÷è äîêàçàíî.
Êðèòåðèè ïðîâåðêè:
Âåðíî íàïèñàíà îðìóëà äëÿ ïëîùàäè èñêîìîãî òðåóãîëüíèêà: 1 áàëë.
7. (3 áàëëà).
Êâàäðàòíîå óðàâíåíèå
ax2 + bx + c = 0
èìååò êîðíè
x1
è
x2 ,
ïðè ýòîì
a, b, c, x1 , x2
ïÿòü
ðàçëè÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ öåëûõ ÷èñåë (íå îáÿçàòåëüíî â òàêîì ïîðÿäêå). Íàéäèòå ýòî óðàâíåíèå.
Îòâåò: 2x2 − 2 = 0 èëè −2x2 + 2 = 0.
åøåíèå: Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âñå ýòè ïÿòü öåëûõ ÷èñåë îäíîãî çíàêà. Òîãäà, ïî òåîðåìå Âèåòà, c = ax1 x2 .
Çíà÷èò, àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà c ïðåâîñõîäèò ìèíèìàëüíóþ èç àáñîëþòíûõ âåëè÷èí ÷èñåë a, x1 , x2 õîòÿ áû â 6
ðàç (ìèíèàëüíàÿ àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà õîòÿ áû 1, òîãäà îñòàëüíûå äâå õîòÿ áû 2 è 3). Íî òîãäà ýòè äâà ÷èñëà
îòëè÷àþòñÿ õîòÿ áû íà 5, òî åñòü íå ìîãóò âõîäèòü â ïÿòü ïîñëåäîâàòåëüíûõ öåëûõ ÷èñåë.
Òàêèì îáðàçîì, ñðåäè äàííûõ ïÿòè ÷èñåë åñòü ÷èñëà ðàçíûõ çíàêîâ. Çíà÷èò, ñðåäè íèõ åñòü ÷èñëî 0. ×èñëî
0 íå ìîæåò áûòü ïåðâûì êîýèöèåíòîì, òàê êàê ýòî êâàäðàòíîå óðàâíåíèå. ×èñëî 0 íå ìîæåò áûòü êîðíåì
óðàâíåíèÿ, ïîòîìó ÷òî òîãäà c òàêæå ðàâíî 0. È íàîáîðîò, 0 íå ìîæåò áûòü ñâîáîäíûì ÷ëåíîì, ïîòîìó ÷òî òîãäà
îäèí èç êîðíåé òàêæå 0.
Çíà÷èò, b = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, x1 = −x2 . Ýòî ìîãóò áûòü òîëüêî ÷èñëà ±1 è ±2. Âòîðîé âàðèàíò íåâîçìîæåí,
òàê êàê òîãäà c = −a = ±1, ñ äðóãîé ñòîðîíû c = ax1 x2 = −4a.
Îñòà¼òñÿ âàðèàíò, êîãäà êîðíè óðàâíåíèÿ ðàâíû ±1.  ýòîì ñëó÷àå êîýèöèåíòû äîëæíû áûòü ðàâíû ïî
àáñîëþòíîé âåëè÷èíå, çíà÷èò, a = −c = ±2. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî îáà âàðèàíòà ïîäõîäÿò.
Êðèòåðèè ïðîâåðêè:
Âåðíî äîêàçàíî, ÷òî ñðåäè ýòèõ ÷èñåë îáÿçàòåëüíî åñòü 0, äàëüøå ñëåäóþò íåâåðíûå ðàññóæäåíèÿ: ïîñòàâèòü 1 áàëë.
Äîêàçàòåëüñòâî òîãî, ÷òî ñðåäè ýòèõ ïÿòè ÷èñåë åñòü
0,
íåâåðíî èëè îò-
ñóòñòâóåò, ñ ïîìîùüþ ýòîãî óòâåðæäåíèÿ âåðíî íàéäåí îòâåò: ïîñòàâèòü 1
áàëë.
Óïóùåí îäèí èç îòâåòîâ: ñíÿòü 1 áàëë.
8. (5 áàëëîâ).
Øàõìàòíàÿ èãóðà êåíãóðó áü¼ò âñå êëåòêè, ñóììà ðàñ-
ñòîÿíèé ïî ãîðèçîíòàëè è âåðòèêàëè äî êîòîðûõ ðàâíà äâóì (íà ðèñóíêå
êëåòêè, êîòîðûå áü¼ò êåíãóðó, çàêðàøåíû ñåðûì). Êàêîå íàèáîëüøå êîëè÷åñòâî íå áüþùèõ äðóã äðóãà êåíãóðó ìîæíî ðàññòàâèòü íà øàõìàòíîé äîñêå
8 × 8?
Îòâåò: 20
åøåíèå: Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî
íà êëåòêàõ, êîòîðûå ïðè øàõìàòíîé
ðàñêðàñêå áóäóò áåëûìè, ìîæíî ïîñòàâèòü ìàêñèìóì
10
êåíãóðó, ïîñêîëüêó
÷åðíîïîëüíûå è áåëîïîëüíûå êåíãóðó íèêàê íå âçàèìîäåéñòâóþò äðóã ñ
äðóãîì.
Ñì. ðèñóíîê. Íà êëåòêàõ ñ îäíîé è òîé æå áóêâîé íåëüçÿ ïîñòàâèòü äâóõ
è áîëåå êåíãóðó. Òàê êàê ðàçëè÷íûõ áóêâ âñåãî
10,
10 êåíãóðó íà
10 äîñòèãàåòñÿ,
áîëüøå
îòìå÷åííûå áóêâàìè êëåòêè ïîñòàâèòü íåëüçÿ. åçóëüòàò
êîãäà êåíãóðó ñòîÿò íà êëåòêàõ, îòìå÷åííûõ ñåðûì.
Êðèòåðèè ïðîâåðêè:
Ïðèìåð áåç îöåíêè: 2 áàëëà.(åñëè ïðèìåð âåðíûé, äîêàçûâàòü ýòî íå òðåáóåòñÿ).
Îöåíêà áåç ïðèìåðà èëè ñ íåâåðíûì ïðèìåðîì: 3 áàëëà.

ÒÈÏÎËÎÃÈß ÀÄÌÈÍÈÑÒÐÀÒÈÂÍÛÕ ÐÀÉÎÍÎÂ ÞÃÀ ÒÞÌÅÍÑÊÎÉ ÎÁËÀÑÒÈ