EXAMEN PARTIEL 2

EXAMEN PARTIEL 2
MAT-2910 : Analyse numérique pour l’ingénieur
Date : 26 avril, 18h30-20h20.
Hiver 2011
Remarques :
1) Seulement les calculatrices avec l’auto-collant de la Faculté seront admises.
2) Pour chaque question on fournira le détail des calculs et du raisonnement. En l’absence de ces détails, une solution sera considérée comme nulle.
3) Déposez votre carte d’identité avec photo sur le coin de votre table.
Voici un extrait d’une table de noeuds et de poids des quadratures de Gauss.
n
2
3
4
5
Noeuds
−0.57735
0.57735
−0.77460
0
0.77460
−0.86114
−0.33998
0.33998
0.86114
−0.90618
−0.53847
0
0.53847
0.90618
1
Poids
1
1
0.55556
0.88889
0.55556
0.34785
0.65215
0.65215
0.34785
0.23693
0.47863
0.56889
0.47863
0.23693
Question 1. (2+4+6+6+7=25 points)
On considère l’équation différentielle d’ordre deux :
 00
 y (t) − 2y 0 (t) + y(t) = 0, t ∈ [0, 1]
y(0) = 0,
 0
y (0) = 1.
a) Verifier que la solution exacte est y(t) = tet .
y1 (t)
y(t)
b) Soit Y (t) =
=
. Montrer que l’on peut ramener l’équation
y2 (t)
y 0 (t)
différentielle au système
 0
AY (t),
 Y (t) = t ∈ [0, 1]
0
 Y (0) =
1
avec
A=
0 1
−1 2
c) Montrer que la méthode d’Euler modifiée appliquée au système précédent donne la
relation
h2
Yn+1 = (I + hA + A2 )Yn
2
1 0
avec I =
. En déduire la relation
0 1
1 − 21 h2
h + h2
Yn+1 =
Yn
−h − h2 1 + 2h + 32 h2
d) Avec h = 0.1, calculer la première itération Y1 .
e) À l’aide de cette méthode on a calculé des approximations de Y (t) au temps t = 1,
et on a obtenu :
2.7018
avec h = 0.1, Y10 =
;
5.41588
2.71396
avec h = 0.05, Y20 =
.
5.43115
Calculer les erreurs ||Y (1) − Y10 ||∞ et ||Y (1) − Y20 ||∞ respectivement (Rappel :
la norme ||.||∞ d’un vecteur désigne la plus grande des valeurs absolues de ses
composantes) et vérifier que l’ordre de la méthode proposée est deux.
2
Question 2. (5 + 5 + 10=20 points)
Soit les évaluations suivantes d’une fonction f (x) :
x
f (x)
1.00 1.01 1.02
1.27 1.32 1.38
a) Calculer le polynôme d’interpolation p2 (x) par la méthode de Newton, puis calculer
p002 (1.01)
b) Calculer l’approximation de f 00 (1.01) donnée par la formule centrée. Comparez cette
valeur avec celle de p002 (1.01).
c) Donner une formule de différentiation numérique d’un ordre meilleur que celui de
la formule centrée pour f 00 (x).
Question 3. (4 + 8 + 4 + 4=20 points)
a) Pourquoi la fonction S(x) = x2 ne peut pas être une spline cubique naturelle ?
Soit une spline cubique donnée par
S0 (x) = 1 + ax + bx3 , x ∈ [0, 1]
S1 (x) = c + d(x − 1)2 + e(x − 1)3 ,
x ∈ [1, 2]
Supposons de plus que S(x) verifie S 0 (0) = 1 et S 0 (2) = 5/2.
b) Déterminer les coefficients a, b, c, d, e.
c) La spline cubique S(x) est-elle naturelle ? Justifier.
d) Calculer S 00 (1.01).
Question 4. (10 + 10 + 10 + 5=35 points)
On veut calculer une approximation de
Z
I(f ) =
1
f (x) dx,
−1
par la formule de quadrature suivante :
Q(f ) = w0 f (−α) + w1 f (0) + w2 f (α).
a) Trouver les poids w0 , w1 , w2 en fonction de α de sorte que Q(p) soit exacte (c’est-àdire Q(p) = I(p)) pour tout polynôme p(x) de degré ≤ 2 .
Dans la suite on considère f (x) = cos(x).
3
b)
(i) Verifier que pour α = 1, la formule de quadrature Q(f ) n’est autre que la formule de Simpson 13 . Donner et calculer la borne supérieure de l’erreur commise.
(ii) Pour obtenir une bonne precision, on utilise la méthode de Simpson 31 composée.
Quel pas h doit-on prendre pour que l’erreur soit inférieure à 0.635 × 10−4 en
valeur absolue ? Justifier.
c) Si on considère maintenant α comme une inconnue, déterminer sa ou ses valeurs pour
que la formule de quadrature soit exacte pour des polynômes de degré strictement
supérieur à deux. Quel est le degré d’exactitude (ou de précision) de la ou des
formules obtenues ?
d) On veut une formule de même type sur l’intervalle [0, 1]. En utilisant un changement
de variable, déduire de ce qui précède le meilleur choix des points a, b et des poids
w
e0 , w
e1 et w
e2 pour que
1
e )=w
e2 f (b)
Q(f
e0 f (a) + w
e1 f ( ) + w
2
soit
Z 1 une formule de quadrature de plus haut degré de précision possible pour I(f ) =
f (x) dx.
0
4
Aide-mémoire
Interpolation
– Interpolation de Lagrange : étant donné (n+1) points ((xi , f (xi )) pour i = 0, 1, · · · , n) :
pn (x) =
n
X
f (xi )Li (x),
Li (x) =
i=0
(x − x0 ) · · · (x − xi−1 )(x − xi+1 ) · · · (x − xn )
(xi − x0 ) · · · (xi − xi−1 )(xi − xi+1 ) · · · (xi − xn )
– Différences divisées : f [xi ] = f (xi ),
f [xi , xi+1 ] =
f (xi+1 ) − f (xi )
,
xi+1 − xi
f [xi , xi+1 , xi+2 ] =
f [xi+1 , xi+2 ] − f [xi , xi+1 ]
, etc.
(xi+2 − xi )
– Interpolation de Newton :
pn (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )(x − x1 ) + · · · + an (x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xn−1 ),
où ai = f [x0 , x1 , x2 , · · · , xi ]
pour 0 ≤ i ≤ n
– Erreur d’interpolation :
En (x) =
f (n+1) (ξ(x))
(x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xn ) pour ξ(x) ∈]x0 , xn [
(n + 1)!
– Approximation de l’erreur d’interpolation :
En (x) ' f [x0 , x1 , · · · , xn , xn+1 ](x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xn )
– Splines cubiques : on pose hi = xi+1 − xi et dans l’intervalle [xi , xi+1 ] on a :
pi (x) = fi + fi0 (x − xi ) +
f 000
fi00
(x − xi )2 + i (x − xi )3
2!
3!
où
fi
= f (xi )
fi0
= f [xi , xi+1 ] −
f 00 − fi00
= i+1
hi
fi000
00
hi fi00 hi fi+1
−
3
6
et les fi00 sont solutions de :
hi+1
hi
00
fi00 + 2fi+1
+
f 00
= 6f [xi , xi+1 , xi+2 ], i = 0, 1, · · · , n − 2
(hi + hi+1 )
(hi + hi+1 ) i+2
5
Différentiation et intégration numériques
– Dérivées d’ordre 1 :
f 0 (x) =
f 0 (x) =
f 0 (x) =
f 0 (x) =
f 0 (x) =
f (x + h) − f (x)
+ O(h)
h
Différence avant d’ordre 1
f (x) − f (x − h)
+ O(h)
h
Différence arrière d’ordre 1
−f (x + 2h) + 4f (x + h) − 3f (x)
+ O(h2 )
2h
Différence avant d’ordre 2
f (x + h) − f (x − h)
+ O(h2 )
2h
Différence centrée d’ordre 2
3f (x) − 4f (x − h) + f (x − 2h)
+ O(h2 )
2h
Différence arrière d’ordre 2
– Dérivées d’ordre supérieur :
f 00 (x) =
f (x − 2h) − 2f (x − h) + f (x)
+ O(h)
h2
Différence arrière d’ordre 1
f (x + 2h) − 2f (x + h) + f (x)
+ O(h)
h2
Différence avant d’ordre 1
f (x + h) − 2f (x) + f (x − h)
f 00 (x) =
+ O(h2 )
2
h
Différence centrée d’ordre 2
f 00 (x) =
– Extrapolation de Richardson : Qexa =
2n Qapp ( h2 ) − Qapp (h)
+ O(hn+1 )
(2n − 1)
– Formule des trapèzes :
Z b
h
(b − a) 00
f (x)dx = (f (x0 ) + 2 [f (x1 ) + · · · + f (xn−1 )] + f (xn )) −
f (η)h2
2
12
a
– Formule de Simpson 1/3 :
6
Z
b
h
(f (x0 ) + 4f (x1 ) + 2f (x2 ) + 4f (x3 ) + 2f (x4 ) + · · ·
3
a
(b − a) 0000
+ 4f (x2n−3 ) + 2f (x2n−2 ) + 4f (x2n−1 ) + f (x2n )) −
f (η)h4
180
f (x)dx =
– Formule de Simpson 3/8 :
Z b
3h
f (x)dx =
(f (x0 ) + 3f (x1 ) + 3f (x2 ) + 2f (x3 ) + 3f (x4 ) + · · ·
8
a
(b − a)f 0000 (η) 4
h
+ 2f (x3n−3 ) + 3f (x3n−2 ) + 3f (x3n−1 ) + f (x3n )) −
80
– Intégration de Gauss (les wi et ti seront fournis si nécessaire) :
Z
Z
Z b
n
(b − a)t + (a + b)
(b − a) X
(b − a) 1
(b − a) 1
f
g(t)dt '
f (x)dx =
dt =
wi g(ti )
2
2
2
2
−1
−1
a
i=1
Équations différentielles : y 0 (t) = f (t, y), y(t0 ) = y0
– Euler (ordre 1) : yn+1 = yn + hf (tn , yn )
h2
– Taylor (ordre 2) : yn+1 = yn + hf (tn , yn ) +
2
– Euler modifiée (ordre 2) : yˆ = yn + hf (tn , yn )
yn+1 = yn +
∂f (tn , yn ) ∂f (tn , yn )
+
f (tn , yn )
∂t
∂y
h
(f (tn , yn ) + f (tn + h, yˆ))
2
– Point milieu (ordre 2) : k1 = hf (tn , yn )
h
k1
yn+1 = yn + h f (tn + , yn + )
2
2
– Runge-Kutta d’ordre 4 :
k1
k2
k3
k4
yn+1
= hf (tn , yn )
h
k1
= hf (tn + , yn + )
2
2
h
k2
= hf (tn + , yn + )
2
2
= hf (tn + h, yn + k3 )
1
= yn + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4 )
6
7

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