A New Look at the Modeling of Secondary Breakup Nicolas Rimbert *1,2, Sébastian Castrillon-Escobar1,2,3, Renaud Meignen3, Michel Gradeck1,2 1LEMTA, Université de Lorraine, Nancy France 2CNRS, UMR 7563, Nancy, France 3IRSN, Service des accidents graves, Cadarache, France *Corresponding author: [email protected] Modélisation de l’atomisation secondaire Journée SFT Spray & gouttes 2014 1 Experimental studies • Since Eotvos – Drop tower • Hochwelder (1919) – Shock tube • Ranger & Nicholls (1968) • Faeth’s group in Michigan (90ies) – Wind Tunnel • Nowadays… – (Opfer et al. 2014, Kulkarni & Sojka 2014…etc.) » Easier… – And many more… Modélisation de l’atomisation secondaire Journée SFT Spray & gouttes 2014 2 First Classification (Pilch and Erdman, 1987) U 2 L inertia We surface tension 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Deformation We < 12 bag break-up: 12 < We < 50 umbrella break-up for 50 < We < 100 Multimode breakup Shear break-up for 100 < We < 350) Wavy Shear Breakup: 350 < We Piercing break-up Catastrophic break-up Modélisation de l’atomisation secondaire Journée SFT Spray & gouttes 2014 3 Second Classification (Faeth’s Group) Regime map for shock wave disturbance Univ. Ann Arbor Hsiang and Faeth Drop Deformation and breakup due to shock wave and steady disturbance IJMF, 21, 545-560, 1995 Oh Z We Re D Viscosity Inertia Surface Tension Modélisation de l’atomisation secondaire Journée SFT Spray & gouttes 2014 4 Droplet Deformation Models • Droplet deformation and breakup model – Oscillator-like Model • TAB Taylor Analogy Breakup (O’Rourke 1987) • DDB Droplet Deformation and Breakup (Ibrahim et al. 1993) – More recent • Elongational deformation (Villermaux & Bossa 2009, Kulkarni & Sojka 2014) • Potential flow around a disc (Opfer et al. 2014) • A new model – Without fitting parameters… Is it possible? Modélisation de l’atomisation secondaire Journée SFT Spray & gouttes 2014 5 Bag-Breakup, Qualititavely • In the literature 12(23) < We < 50 Udr RT • Six stages – – – – – – 6 Inception Deformation RT Wave Growth Bag Growth Bag breakup Rim Breakup y x 2RT N. Rimbert Instabilité, Films, Turbulence et Atomisation 02/10/2014 Quantitatively • Balance between: – Kinetic (deformation) energy: K – Surface energy: Es – Viscous Dissipation: D – Air Pressure Work: Wp dK dES WP D dt dt • Simple modelling – Imposes a 1-parameter deformation path Modélisation de l’atomisation secondaire Journée SFT Spray & gouttes 2014 7 Hypotheses • Chosen deformation path: Oblate Ellipsoid – Greater semi-axis: a – Lesser semi-axis: b 2R0 z 2a = 2yR0 2b r U U • Other hypotheses – Axisymetric potential outside flow – Viscous extensional flow inside – Volume conservation a 2b R03 Modélisation de l’atomisation secondaire Journée SFT Spray & gouttes 2014 8 Flow inside the spheroid • Viscous Extensional Flow y vr y r v 2 y z z y a y R0 Modélisation de l’atomisation secondaire Journée SFT Spray & gouttes 2014 9 Flow outside the spheroid • Axisymmetric potential flow – Batchelor An introduction to fluid dynamics 1 Uz r r 1 Ur r z 12 U a 2 b 2 e 1 e2 Sin 1 e Sinh Cosh 2 Cot 1 Sinh Sin 2 – Conformal transformation 1 2 U r , 2 z ir a 2 b2 Sinh i Modélisation de l’atomisation secondaire Journée SFT Spray & gouttes 2014 10 Not that bad approximation • Gerris Simulation (Azzara, 2014) Modélisation de l’atomisation secondaire Journée SFT Spray & gouttes 2014 11 Kinetic Energy Term • Can be computed 1 1 2 3 K L V d x L 2 V t 2 y y 2 r 2 2 z 2 2 rdrdz Ellipse ( yR0 , R0 / y 2 ) – Thanks to Mathematica! – And given the shape 2 1 K L KC y 2 – Where • y y Deformation y K c y 22.1797 - 36.5808 y 25.9328 y 2 - 8.2371y 3 1.5115 y 4 - 0.1425 y 5 0.0054 y 6 Modélisation de l’atomisation secondaire Journée SFT Spray & gouttes 2014 12 Surface Energy Term • Exact formula (oblate) b2 1 e S 2 a Log e 1 e 2 • One gets a2 e 1 2 b dES dE dy 1 dy S KS y dt dy dt y dt • Where KS can be approximated by K S y -39.682 41.523 y - 5.242 y 2 3.818 y 3 - 0.404 y 4 0.017 y 5 Modélisation de l’atomisation secondaire Journée SFT Spray & gouttes 2014 13 Viscous Dissipation Term • Cylindrical coordinates Vr 2 V Vr 2 Vz 2 V / r Vr 2 Vz V 2 Vr VZ 2 3 D L 2 r r z z r d x r r r z r r V • Can be computed exactly D L 12 S y 2 y 3 3 d x 16 R0 L y y y 2 – Schmehl et al. (ILASS 2002) Modélisation de l’atomisation secondaire Journée SFT Spray & gouttes 2014 14 Air Pressure Work • Air pressure work is given by W P V.n dS 2 U V.n 2 rdr • Which can be given by a P V 1 0 2 WP GU 2 R02 K P y 2 dy dt • Where Deformation y K P y -0.599 0.535 y - 0.178 y 2 4.026 y 3 - 0.00137 y 4 Modélisation de l’atomisation secondaire Journée SFT Spray & gouttes 2014 15 Final Equation • Using non dimensional numbers: K L G Oh L L 2 R0 • One gets: d * dt GU 2 2 R0 WeG G 2 R0 L U G L U 2 R0 Re L t* t 2 y 128 y 16 K y K y C y We S y Re G 2 Modélisation de l’atomisation secondaire Journée SFT Spray & gouttes 2014 y 8 K y P y y y 16 Steady State • Equating Air Pressure and Surface Tension 2KS y WeG KP y – Compare with experimental data (Liquid/liquid) 1 3 d max 1 d min Hsiang & Faeth (1995) Modélisation de l’atomisation secondaire Journée SFT Spray & gouttes 2014 17 Unsteady behavior • Linearisation = y -1 64 8 K C 1 2 4 2 0 Re We WeC • Discriminant 64 8 2 4 K 1 4 C 2 Re We 2 2 2 Non Oscillating 2 • Oscillating condition Oh2 4 KC 1 64 2 Oscillating 8 2 42We OhC Modélisation de l’atomisation secondaire Journée SFT Spray & gouttes 2014 32 KC 1 2 64 18 Decelerating (wind tunnel) drop • Non dimensionalisation U* • Momentum equation U U0 Deformation y – U0 initial velocity dU * 3 *2 *2 C y U d * dt 2 K 3 y3 + 4 24 .6305 Cd y, Re 1+0.1935Re Min 7 , 4 Re • Deformation equation d 2 * dt Vortices inside U = 14 m/s We = 11.3, Oh=0.006, K= 769 2 128 1 y 2 16 y 1 K y K y C S y Re U * y WeG U *2 y 8 K y P y 2 Modélisation de l’atomisation secondaire Vortices Journée SFT Spray & gouttes 2014 y y outside 19 Why Fitting parameters? « Model » « Reality » Flock et al. (2012) Modélisation de l’atomisation secondaire Journée SFT Spray & gouttes 2014 20 Deformation y Deformation y Comparison with experiments Time t* Time t* U= 32 m/s We = 103.5, Oh=0.0014, K= 770. R0= 2.8 mm Krzeczkowski (1980) U= 13.5 m/s We = 18.4, Oh=0.0014, K= 770. R0= 2.8 mm Krzeczkowski (1980) Deformation y U = 14 m/s We = 11.3, Oh=0.002, K= 769. R0= 1.6 mm Opfer et al. (2014) Modélisation de l’atomisation secondaire Journée SFT Spray & gouttes 2014 Time t* 21 Accelerating (freefall) drop • Non dimensionalisation Ul L G g 2 R0 4 K 1 R0 3 gCd • Momentum equation 1 2 3 K Sin 1 e e 1 e 2 Added Mass Time t* dU * 3 K 3/ 2 Eo *2 *2 Cd y U * dt K 1 WeG 2 K – Added mass effect e Sin e 1 e dU 1 1 y Deformation y Eo Liquid metal/liquid Ul=1.05 m/s, We = 26.88, Oh=0.00014, K= 8, R0 = 6mm * 3 K 3/ 2 Eo *2 *2 Cd y U * K 1 WeG dt 2 K Modélisation de l’atomisation secondaire Journée SFT Spray & gouttes 2014 22 WHAT HAPPENS WHEN SIZE DOUBLE? Modélisation de l’atomisation secondaire Journée SFT Spray & gouttes 2014 23 Rayleigh-Taylor Growth • Most amplified wavelength is given by RT ,max 2 3 f • Droplet deceleration is given by 3 G x 2 2 f C U d 8 L r 3 • Which turns to RT ,max r 8 r 2 2 x Cd GU r • Cd is equal to (Pilch et Erdman, 1987) – 1.7 (falling droplet) – 3.0 (shock tube) Modélisation de l’atomisation secondaire Journée SFT Spray & gouttes 2014 24 Critical Weber Number • By assuming the following two-waves breakup condition: x==2r, one gets: 4 1 x 4 2 2 16 64 CdWe r • Which turns to x 2RT 3RT 4 2 Wemin 23.2 Cd 4 2 Wemin 13 Cd – Free Fall – Shock tube • With three waves – Umbrella breakup 2 x 3RT 4 1 x 2 2 12 CdWe r Wemin 144 2 52 (chute libre) 16Cd Modélisation de l’atomisation secondaire Journée SFT Spray & gouttes 2014 25 Theoretical Diagram We Umbrella breakup 52 Bag breakup 23 Oh Modélisation de l’atomisation secondaire Journée SFT Spray & gouttes 2014 26 DAUGHTER DROPS PDF Modélisation de l’atomisation secondaire Journée SFT Spray & gouttes 2014 27 Bag Breakup Dispositif Experimental N. Rimbert and G. Castanet Evidences of turbulent cascading atomization in the bag-breakup regime Phys. Rev. E (2011) • Tuyère Lechler ref. 665-042, 8 bars – Montée verticalement – Oeil de chat, “Fan spray”, 80 L/minute a b • La lumière Laser est guidée optiquement dans une fibre • PDPA: mesure la taille et la vitesse des gouttes Modélisation de l’atomisation secondaire Journée SFT Spray & gouttes 2014 28 PDF à trois pics (Hochschwender, 1919?) Pic du sac SMDbag dinit Injecteur: 3.23 200 0.148 1350 Pic de l’anneau Modélisation de l’atomisation secondaire Journée SFT Spray & gouttes 2014 Pic initial 29 Log Lévy Stable PDF • Novikov and Dommermuth, Phys. Rev. E, 1997 • Rimbert and Séro-Guillaume, Phys. Rev. E, 2004 – Extension de résultats de Kolmogorov – Distribution volumique – Données exp. communiquées par Simmons and Hanratty • Ici, nos propres données – 50,000 gouttelettes – Distribution numérique – = 1.69 ln d 1.1 Modélisation de l’atomisation secondaire Journée SFT Spray & gouttes 2014 30 Spray characteristics from truncated Lévy statistics IXth ICLASS Sorrento 13-18 Jully 2003 Other representation of Log-Lévy PDF 1 1 x log x 1 Divergence toward small sizes Apparently two The distribution looksmodes « double peaked » Modélisation de l’atomisation secondaire Journée SFT Spray & gouttes 2014 31
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