Une autre approche des nombres premiers

Une autre approche des nombres premiers
Serge Pierlot, 23/12/2015
Le théorème des nombres premiers est ici abordé par le biais de la relation entre les nombres premiers et les
entiers naturels, traitée comme une transformation applicable à toute série numérique.
Preuve
Considérons une série croissante infinie de nombres pi supérieurs à 1, entiers ou non. La transformée est
définie par
∏
les exposants
prennant toutes les valeurs entières positives ou nulles. Pour les valeurs de
ou égales à n, le produit est limité aux de valeur inférieure ou égale à n.
inférieures
Désignons par π(n) le nombre de pi qui sont inférieurs ou égaux à n et par d(n) une fonction, que nous
appellerons densité, qui respecte pour toutes les valeurs de n les conditions1:
( )
∫
( ( ))
( )
( )
( )
Nous appelons, pour la série transformée, P(n) et D(n) les fonctions pendantes des fonctions π(n) et d(n) de
la série de départ.
Il faut trouver une équation liant asymptotiquement D(n) à d(n).
Si on remarque que la densité D(n) dépend fortement de la valeur précise des premiers termes de la série de
départ, on peut craindre que cette équation, si toutefois elle existe, soit difficile à trouver. Considérons par
exemple la série des nombres premiers. Si on retire de cette série le nombre premier "2", alors la série
transformée est la suite des nombres impairs. La densité de la série transformée reste constante, mais sa
valeur a été divisée par 2. On peut de même ignorer une quantité quelconque de nombres premiers et la série
transformée restera toujours de densité constante, mais d'une valeur d'autant plus petite que l'on retranche
d’avantage de nombres premiers de la série de départ. À l'inverse, on peut ajouter des nombres (fatalement
non premiers) à la série des nombres premiers, comme par exemple le nombre de Néper e=2,71828… et
π=3,14159… et la série transformée est alors une série de densité constante dont la valeur est (
)
(
).
Il demeure toutefois que le caractère croissant ou décroissant de la densité de la série transformée est
totalement indépendant de la valeur des premiers termes de la série de départ. Seul le comportement
asymptotique de la densité de la série de départ détermine le caractère asymptotique croissant ou
décroissant de la densité de la série transformée (démonstration laissée au lecteur).
Pour les
inférieurs ou égaux à n, on peut écrire successivement:
(∏
( )
∑
( )
)
∑ (∑
∑
)
( )
( )
∑
( )
Cette dernière somme est la somme pondérée des logarithmes népériens des nombres de la série de départ,
les facteurs de pondérations αi étant le nombre de fois que chacun de ces nombres intervient dans la
1 En utilisant la notation de Landau (voir https://fr.wikipedia.org/wiki/Comparaison_asymptotique).
construction de tous les termes égaux ou inférieurs à n de la série transformée. Ces facteurs de pondération
peuvent s'écrire
( )
(
)
(
)
(
)
∑ (
)
la sommation pouvant s’étendre jusqu’à l’infini en considérant que P(x) = 0 pour les valeurs de x inférieures à
p1.
Nous avons donc:
∑
( )
∑ (∑ (
))
( )
En remarquant que les premiers termes de la somme du membre de droite (relatifs aux petites valeurs de pi)
sont négligeables pour des valeurs asymptotiques de n, et en remarquant que pour des grandes valeurs de pi
nous pouvons nous limiter au premier terme de l’expression des , et en remplaçant les sommations par des
intégrales faisant intervenir les fonctions de densité, nous obtenons:
( )
∫
( )
(
∫
)
( )
( )
Par dérivation2, on obtient:
( )
( )
( )
( )
Soit, en considérant que
( )
(
∫
)
( )
( ) est grand par rapport à ( ) et que
( )
( ) est petit, nous obtenons l'équation qui
doit se vérifier asymptotiquement, mais qui, répétons-le, ne permet que de déterminer le caractère croissant
ou décroissant de ( ) et non pas son expression analytique exacte:
( )
( )
∫
(
)
( )
( )
On constate aisément que la série des nombres premiers de densité asymptotique ( )
( ), et la série
correspondante des entiers naturels de densité constante ( )
vérifient cette équation. Les séries de
densités « comparables » ( )
( ) conduisent au résultat ( )
( ).
Afin d'illustrer cette théorie, il convient de l'appliquer à diverses séries que l'on génère aisément en
choisissant arbitrairement une fonction de densité d(p) et une valeur pour . Les termes suivants s'obtiennent
par l’itération
( ). La série ainsi obtenue est assurément de densité d(p). La série transformée
s'obtient en calculant les produits des termes de la première série pris à toutes les puissances entières.
2 La fonction P(n) étant "en escalier" n'est pas strictement parlé dérivable. Mais on peut dans le raisonnement présent
approximer cette fonction par l’intégrale de la densité telle que définie plus haut pour obtenir le résultat.
Le graphique suivant compare les séries obtenues avec d(p) = 1/ln(p) et diverses valeurs de
afin d’illustrer
l'influence des premiers termes de la série sur la densité (ou sur la fonction P(n) utilisée ici par facilité dans
les graphiques).
Influence de la valeur initiale
2000
1800
1600
1400
1200
P(n) 1000
800
600
400
200
0
p1=2
p1=2,58
p1=3
p1=4
0
200
400
600
800
1000
n
Un second exemple est fourni en comparant les séries obtenues à partir des fonctions de densité 0,5/ln(p),
1/ln(p) et 2/ln(p) et en adoptant pour
des valeurs qui permettent de faire correspondre au mieux les
courbes. En toute logique, une forte densité pour la première série donne une densité croissante pour la
seconde (concavité de la courbe P(n) vers le haut) et inversement. La densité d(p) = 1/ln(p), comme déjà
indiqué plus haut, est la seule à produire une seconde série de densité constante (le graphique de P(n) est
linéaire).
Influence de la densité
2000
1800
1600
1400
1200
P(n) 1000
800
600
400
200
0
d=0,5/ln(n); p1=1,39
d=1,0/ln(n); p1=2,00
d=2,0/ln(n); p1=3,95
0
200
400
600
n
800
1000
Le graphique repris ci-après représente les valeurs théoriques
( )
( )
( ) conduisant à
( )
Valeurs théoriques
2000
1500
d=0,5/ln(n)
d=1,0/ln(n)
d=2,0/ln(n)
P(n) 1000
500
0
0
500
1000
1500
2000
n
Nous terminons en évaluant les approximations faites pour le cas particulier de la série des nombres premiers
et de la série transformée des nombres entiers.
La somme des logarithmes des nombres entiers est comprise entre deux intégrales comme le montre le
graphique suivant :
( )
∑
( )
∫
( )
( )
∑
( )
∫
(
[
)
]
( )
[(
)
( )
(
)
]
(
)
(
)
( )
Soit, en utilisant la notation de Landau (voir https://fr.wikipedia.org/wiki/Comparaison_asymptotique):
( )
( ( )
)
( ( ))
Nous partons ensuite de la définition des nombres premiers qui implique que tout nombre entier k inférieur ou
égal à n peut s'exprimer sous la forme d'un produit de puissances entières des nombres premiers pi inférieurs
ou égaux à n:
( )
(∏
)
∑
( )
En remplaçant ln(k) dans S(n) par l'expression précédente et en permutant ensuite l'ordre des sommations,
on constate que S(n) peut s'écrire comme la somme pondérée des logarithmes népériens des nombres
premiers inférieurs ou égaux à n, les facteurs de pondérations αi étant le nombre de fois que chaque nombre
premier intervient dans la construction de tous les nombres entiers de 2 à n :
( )
∑ {∑
( )
}
( )
∑
Ces facteurs de pondération sont faciles à déterminer. Ainsi le nombre premier 2 intervient une première fois
dans la construction des nombres pairs, une seconde fois dans la construction des multiples de 4, une
troisième fois dans la construction des multiples de 8, et ainsi de suite pour toutes les puissances de 2
inférieures ou égales à n. Le nombre total de fois que le nombre premier 2 intervient dans la construction des
nombres entiers de 2 à n un est donc égal à
⌊ ⌋ ⌊ ⌋ ⌊ ⌋ … où ⌊ ⌋ désigne la partie entière de x. De
façon générale, le nombre total de fois que le nombre premier p est utilisé pour construire tous les nombres
entiers de 2 à n est donné par la somme
⌊ ⌋ ⌊ ⌋ ⌊ ⌋
sur toutes les puissances de p inférieures
ou égales à n.
Exemple numérique avec n=10:
k
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Intervention des nombres premiers
ln(2)
ln(3)
ln(5)
ln(7)
1
1
2
1
1
1
1
3
2
1
1
8
4
2
1
ln(k)
0,69314718
1,09861229
1,38629436
1,60943791
1,79175947
1,94591015
2,07944154
2,19722458
2,30258509
15,1044126
8 x ln(2) +
4 x ln(3) +
2 x ln(5) + 1 x ln(7)) = 15,1044126
En négligeant de prendre la partie entière des termes, l’erreur commise est de l’ordre de l’unité par terme et il
y a approximativement ln(n)/ln(p) termes. On peut ensuite étendre la somme jusqu'à l'infini sans introduire
d'erreur supplémentaire significative. On obtient alors:
(
( )
)
( )
Nous pouvons donc écrire la seconde évaluation de S(n) comme suit:
( )
∑{
(
( )
)}
( )
( )
( ( )
( ))
∑
( )
Et la confrontation des deux évaluations de S(n) donne:
( )
( ( ))
∫
( )
( )
( ( )
( ))
Cette équation devant se vérifier asymptotiquement, la solution est d(p) = 1/ln(p) et le nombre de nombres
premiers inférieurs ou égaux à n est donnée par:
( )
∫
( )
( ( ))
( )
( )
Les simulations ont été effectuées sur ordinateur avec le script Perl suivant:
$n = 1000;
$alpha = 1;
$p1 = 2.58;
$SerieFile = "Serie.txt";
$TransformFile = "Transform.txt";
$TransformDensityFile = "TransformDensity.txt";
$p = $p1;
open(OUT,">$SerieFile"); print OUT "i\tp\n";
do {$i++;
print OUT "$i\t$p\n";
push(@p, $p); push(@exp,0); $pi++; $p += 1/d($p);
} while ($p<=$n);
close(OUT);
open(TR,">$TransformFile"); print TR "k\tFormula\n";
do {
$exp[0]++; $i = 0;
while (calc()>$n) {$exp[$i++] = 0; $exp[$i]++;}
if ($i>=$pi) {
close(TR);
open(OUT,">$TransformDensityFile"); print OUT "n\tP(n)\n";
for($i=1;$i<=$n;$i++) {$P += $D[$i]; print OUT "$i\t$P\n";}
close(OUT); exit;}
else {prtall(); $D[int($x)]++;}
} while (1);
exit;
sub calc {
$x = 1;
for(my $i=0;$i<$pi;$i++) {$x *= ($p[$i] ** $exp[$i]);}
return $x;
}
sub prtall {
print TR "$x\t=";
$star = "";
for(my $i=0;$i<$pi;$i++) {
if ($exp[$i]>0) {print TR $star . "$p[$i]^$exp[$i]"; $star = " * ";}
}
print TR "\n";
}
sub d {
my $p = shift;
return $alpha/log($p);
}

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