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Mécanique
Résistance des matériaux (R.d.M)
La mécanique industrielle s'intéresse plus particulièrement au dimensionnement des systèmes
mécaniques, pour qu'ils soient en mesure de supporter les efforts qui leur sont appliqués pendant
leur service, dans les conditions requises de sécurité.
I Hypothèses générales :
En R.d.M. nous étudierons des corps allongés (poutres)
dont les sections ne varieront que très lentement.
On nomme ligne moyenne la succession des barycentres
de chaque section.
Les matériaux étudiés sont supposés homogènes (mêmes
caractéristiques en tous points) et isotropes (mêmes
caractéristiques dans toutes les directions).
Avant déformation
Ligne moyenne
Hypothèse de Navier-Bernoulli : pour des petites
déformations, Les sections planes et droites (normales
à la ligne moyenne) restent planes et droites après
déformation, ces sections sont supposées planes avant
et après déformation.
Après déformation
II Efforts de cohésion et sollicitations
a) Le torseur de cohésion.
y
Les actions mécaniques que le tronçon E2 exerce sur
le tronçon E1 à travers la section droite fictive S sont
intérieures à la poutre E.
E1
G
x
E2
z
Comme actions mécaniques nous pouvons les
modéliser par le torseur de cohésion :
r
R 
{Tcoh } =  r 
M G G
S
{
en G centre de gravité de la section droite.
}
L'équilibre du tronçon de gauche E1 se traduit par : TE →E + {Tcoh } = {0}
{Tcoh } = −{TE →E } ou = – la somme des actions mécaniques extérieures à gauche de la section.
L'équilibre de la poutre E se traduit par : {TE →E } = {0} avec {TE →E } = {TE →E }+ {TE →E }
donc
1
1
1
{Tcoh } = {TE →E
}
2
De même on déduit l’équilibre du tronçon de droite E2 qui se traduit alors par :
2
ou = + la somme des Actions Mécaniques Extérieures (AME) à droite de la section.
b) Comment calculer le torseur de cohésion dans une section droite ?
-
faire la coupure passant par la section droite souhaitée;
-
repérer la "partie gauche";
-
écrire les équations du torseur de cohésion;
-
rechercher s'il vaut mieux calculer
{T
E →E1
}
(AME à gauche) ou
{T
E →E 2
}
(AME à droite) sachant que :
toutes les actions doivent être connues;
suivant la partie considérée il peut y en avoir plus ou moins;
le calcul doit se faire en G;
-
exprimer alors le torseur de cohésion souhaité.
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c) Comment déterminer la ou les sollicitations dans une section droite?
- mettre en place le repère local des sollicitations
(L’axe x est la normale extérieure à la section droite – plus grande longueur) ;
y
r
R
r
T
r
N
G
x
r
MG
r
Mf
z
r
Mt
r
N
R 
{Tcoh } =  r  = Ty
M G G T
 z
Mt 

M fy 
M fz G
Dans le repère local des sollicitations, les éléments de réduction du torseur de cohésion sont représentés ci dessus:
Le torseur de cohésion doit être connu donc calculé ; on identifie alors :
r
- la composante sur x de la résultante R du torseur de cohésion est l'effort normal N;
La sollicitation engendrée est de la traction (si N > 0) ou de la compression (si N < 0) ;
r
- la
composante de la résultante R contenue dans le plan de section est l'effort tranchant T;
La sollicitation engendrée est du cisaillement ; composantes possibles sur y et z.
r
r
la composante sur x du moment résultant M G est le moment de torsion nommé M t ;
La sollicitation engendrée est de la torsion ;
- la composante du moment résultant contenue dans le plan de section est le moment de flexion
-
r
nommé M f ; la sollicitation engendrée est de la flexion.
Ce qui donne en synthèse le torseur des efforts de cohésion et les sollicitations associées :
r
N
R 
{Tcoh } =  r  = Ty
M G G T
 z
Mt 

M fy 
M fz G
Effort normal : N
Traction si N > 0
Compression si N < 0
Moment de torsion
Mt : Torsion
Efforts tranchants T
Cisaillement
Tr = ( Ty2 + Tz2)1/2
Moments fléchissants
Mf :Flexion
Mfr = ( Mfy2 + Mfz2)1/2
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III. Contraintes - Vecteur contrainte.
Soit : dS un petit élément de surface de la section droite, M le centre de ce petit élément;
r
df l'action de cohésion dans cette petite surface.
r
df
Par définition le vecteur contrainte est
dS
r
df r r
nous noterons :
=σ+τ
dS
Si on répartit l'effort de cohésion dF appliqué
au point M d'une section (S) sur une surface dS
on peut écrire que : r
r
τ
M
r
df
dS
r
σ
σ
dS
M
⇔
df r r
=σ+τ
dS
r
r
où σ et τ sont des grandeurs équivalentes à
des pressions (en MPa).
dF
r
σ contrainte normale (tend à écarter ou à
approcher les sections et est portée par la
normale à la section),
r
τ contrainte tangentielle (tend à faire glisser les sections et est contenue dans la section.),
r
r
σ contrainte normale est ┴ à τ contrainte tangentielle (┴ perpendiculaire)
τ
Dans la suite nous procéderons à l’étude indépendante de chaque sollicitation.
IV Traction
a) Définition :
Effort normal : N
Traction si N > 0
Compression si N < 0
(S)
y
N
N
G
z
x
b) Contraintes :
(S)
y
x
N
G
σ
=N
S
σ
: contrainte normale en MPa
N : effort normal en N
S : section en mm²
Répartition uniforme
des contraintes
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Contrainte maximum σ MAX :
Lorsqu'il y a une variation brusque des sections de la poutre, la répartition de la contrainte à cet
endroit n'est plus uniforme, il y a concentration de contrainte. Dans ce cas, la valeur maximum de la
contrainte est la produit de la contrainte par un coefficient de concentration de contrainte k (la valeur
de k est donnée suivant la configuration de la poutre, par des abaques obtenus par expérimentation)
σ MAX = k . σ
x
Exemples de
variation brusque
de section
c) Déformation longitudinale:
x
σ contrainte en MPa
Rappel sur les caractéristiques de l'essai de traction :
Loi de Hooke : σ = E.εx
∆L
N . L0
avec ε x =
d'où ∆L =
L0
E.S
E : module d'Young (en MPa)
∆L, L0 : longueur (en mm)
N : effort en traction (en N)
S : section (en mm²)
Re
)
s
Rpe : Résistance pratique à la traction (en MPa)
Re : Résistance élastique à la traction (en MPa)
s : coefficient de sécurité
Condition de résistance : σ ≤ Rpe ( R pe =
Rm =
Fm
S0
Re =
Fe
S0
R pe =
Re
s
Zone de sécurité
0
εx
d) Déformation transversale :
allongement relatif en %
y
L1
ε x = ∆L = L 0 − L1
L0
L0
h1 x
h0
L0
et
ε y = h 0 − h1
h0
ε−=y
εy : contraction selon y
ν : coefficient de Poisson selon les matériaux :
0,1 ≤ ν ≤ 0,5 (pour les aciers ν = 0,3)
Poutre après
déformation
Valeur des caractéristiques mécaniques (pour informations – voir bibliothèque de matériaux,Ces4…)
Dénomination et symbole
Re min
E (MPa)
Dénomination et symbole
Re min
E (MPa)
Fonte EN-GJL-200 (FGL 200)
200
80 000
Acrylonitrile-butadiène-styrène(ABS)
17
700
Fonte EN-GJS-600-3 (FGS 600.3)
370
170 000 Polyamide type 6-6 (PA 6/6)
49
1830
Acier non allié S235 (E 24)
235
210 000 Polycarbonate (PC)
56
2450
Acier allié 25 Cr Mo 4 (25 CD 4
785
210 000 Polytétrafluoréthylène (PTFE)
11
400
Bronze CW453K (Cu Sn 8 P)
380
100 000 Polystyrène (PS)
35
2800
Cupro-aluminium CC333G
250
122 500 Polychlorure,de vinyle rigide (PVC U)
35
2450
Duralumin EN-AW-2017 (A U 4 G)
240
72 500
Phénoplaste (bakélite) PF 21
25
7000
Alpax A S 13
80
74 500
Epoxyde (araldite)
28
2450
(Cu Al 10 Ni 5 Fe 4)
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V Compression
a) Définition :
Effort normal : N
Traction si N > 0
Compression N < 0
(S)
y
N
N
G
z
x
b) Contraintes :
(S)
y
x
N
G
σ
σ
: contrainte normale en Mpa
N : effort normal en N
S : section en mm²
=N
S
Répartition uniforme
des contraintes
Pour des pièces longues :
Sous l'action de l'effort, la poutre fléchit, la
sollicitation de flambage remplace celle de
compression
Phénomène de flambage
Pour des pièces très courtes :
Si h devient très petite, on n'obtient plus de
déformation significative. La sollicitation de
compression est remplacée par du matage.
h
Matage
Les concentrations de contrainte sont peu dangereuses en compression, elles sont en général
négligées.
VI cisaillement
a) Définition :
T
∆x
y
y
T
G
G
x
x
∆x
S
S
T
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y
σ4
M4
σ3
σ1
σ2
Μ3
x
M1
M2
Efforts tranchants T
Cisaillement simple
Ty ou Tz
Cisaillement composé
Les 2 (Ty et Tz) : Tr
Tr = ( Ty2 + Tz2)1/2
S
z
b) Contraintes :
Approche simplifiée (la réalité pour le cisaillement est plus complexe – non abordée ici)
On définit une contrainte moyenne τMoy supposée uniformément répartie :
τ = TS
avec
τ en MPa ; T
en N ; S en mm²
c) Déformations :
On définit le glissement
∆y
relatif : γ =
∆x
τ
τ
Matériau
Plexiglass
verre
11 000
11 000
Valeur de G
T 
∆y
T
S  = G.
S
∆x
= G.γ 

Moy =
Moy
Alpax
Duralumin
28 000
∆y: glissement transversal (mm)
∆x: distance entre 2 sections (mm)
T : en N
S : aire de la section cisaillée mm²
G : module d'élasticité transversal
en MPa
Laiton
Fontes
Bronzes
Aciers
34 000
40 000
48 000
80 000
Acier à
ressort
84 000
d) Conditions de résistance :
Matériaux
Rpg =
Re g
s
τ ≤ Rpg
Attention:
acier doux (Re < 270 Mpa)
résistance pratique au glissement en Alliages d'aluminium
MPa
aciers mi-durs
Reg :
résistance élastique au glissement en (320 < Re < 500 MPa)
MPa
aciers durs (Re < 600 MPa)
s : coefficient de sécurité
fontes
Relation
Rpg :
Reg = 0.5 Re
Reg = 0.7 Re
Reg = 0.8 Re
• Articulation en porte-à-faux : 1 seule section cisaillée
• Articulation en chape: 2 sections cisaillées
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VII Torsion
Moment de torsion
Mt : Torsion
a) Définition : Couples de torsion antagonistes aux deux extrémités
(S)
y
Mt
Mt
G
z
x
b) Contraintes :
τ
M
y
où
τ M = Mt
I
0
ρ
θ : angle de torsion unitaire en rad/mm
M
ρ : rayon en mm
(par rapport à la fibre neutre)
ρ
z
= G.θ.ρ
τM : contrainte tangentielle en MPa
G : module d'élasticité transversal en MPa
τ Max
τM
Contrainte en M :
Mt : moment de torsion en N.mm
I0 : moment quadratique de la section par
rapport à Gx en mm4
Moments quadratiques particuliers :
s
π .D 4
4 4
- section pleine : I0 =
- section creuse : I0 = π.(D -d ) /32 - quelconque I Gx = ∫ .∫ y 2 +z 2 .ds
32
Moments quadratiques quelconques : (à déterminer par le calcul) ou
I0 ou Ixx : moment quadratique de la section par rapport à Gx en mm4
I0 ou Ixx peut pour des sections complexes être déterminé à partir de logiciel de CAO : avec la
fonctionnalité - propriétés de la section qui nous donne la matrice des moment quadratiques et
moments produits. ( CAO – modeleur volumique de Conception Assistée par Ordinateur)
Comment identifier alors Ixx ?
Ixx se trouve sur la diagonale principale de la matrice et Ixx = Iyy + Izz
On pourra de même déterminer avec la CAO la distance ρ (rayon) par rapport à la fibre neutre.
c) Déformations :
La déformation se caractérise par une rotation α des sections en bout de poutre.Pour une poutre
de section et de moment de torsion constants sur une longueur l, la déformation α est
proportionnelle à la longueur de la poutre, soit : θ = α1
l
y
Génératrice avant déformation
α1
α
Mt
z
M
M0
M1
M'
G0
G
Mt
M'1
G1
S
x
θ = αl 1
θ : angle de torsion unitaire en (rad/mm)
α1 : angle de torsion de la section en rad
x
l
l : longueur séparant les sections en mm
Génératrice après déformation
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Equation de déformation :
Mt = G.θ.Ι0
τ
M
contrainte :
τ
M
=
= G.θ.ρ
Mt : moment de torsion en N.mm
Io : moment quadratique de la section par rapport à Gx
ρ : distance entre le point et la fibre neutre
Mt
I0
ρ
τMaxi pour ρ Maxi, distance la plus grande entre le
point le plus éloigné et la fibre neutre (R : rayon de la
poutre)
d) Conditions de résistance :
Géométrie parfaite
τ
≤ Rpg
Re g
Rpg =
s
Maxi
Rpg : résistance
glissement en MPa
pratique
Reg : résistance
glissement en MPa
élastique
au
Géométrie non parfaite
(variation brusque de section)
τ = k .τ
au
Maxi
k :coefficient de concentration de
contrainte
s : coefficient de sécurité
VIII Flexion simple
a) Définition
C
y
D
3/1
5/1
Plan P
A
2/1
B
3/1
x
z
G
A
B
1
2
(S)
ligne moyenne
3
Les actions extérieures sont modélisables par des résultantes dans le plan de symétrie P(x,y) et
perpendiculaire à la ligne moyenne.
La flexion est issue du moment fléchissant Mf
Moments fléchissants
Mf :Flexion simple
Mfy ou Mfz
Flexion composée (les 2)
Mfr = ( Mfy2 + Mfz2)1/2
Nota : la flexion s’accompagne de cisaillement : Ty = d(Mfz)/dx ou Tz = d(Mfy)/dx
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b) Contraintes
Contrainte en M :
le moment de flexion est porté par l’axe z
fibre neutre
y
Zone de
compression
y
σM
M
Gz
σ = Mf
IGz
x
Zone de
traction
y
ordonnée du point M
Ou
Gy
σ = Mf
IGy
si le moment de flexion est porté par l’axe y
z
σ
M : contrainte normale en M en MPa
Mfz : moment de flexion en N.mm
IGZ : moment quadratique de la section droite S par rapport à Gz en mm4
y : ordonnée du point M en mm
Moments quadratiques particuliers :
π .D 4
- section pleine : IGZ =
- section creuse : IGz = π.(D4-d4) /64
64
- section rectangulaire : IGZ =
b .h 3
12
y
z
G
h
b
( moyen mnémotechnique : b parallèle à z )
Moments quadratiques quelconques : (à déterminer par le calcul) :
s
I GZ = ∫ .∫ . y .ds
2
s
ou I GY = ∫ .∫ .z 2 .ds
IGz ou Izz : moment quadratique de la section par rapport à Gz en mm4
IGy ou Iyy : moment quadratique de la section par rapport à Gy en mm4
IGz ou IGy peuvent facilement pour des sections complexes êtres déterminés à partir de logiciel de
CAO : avec la fonctionnalité - propriétés de la section qui nous donne la matrice des moments
quadratiques et moments produits. ( CAO – modeleur volumique de Conception Assistée par Ordinateur)
La difficulté réside alors dans l’identification de y ou z.
Ixx , Iyy et Izz se trouvent sur la diagonale principale de la matrice et Ixx = Iyy + Izz
On pourra de même déterminer avec la CAO la distance y ou z du point le plus éloigné de la
section par rapport à la fibre neutre.
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y
c) Déformations-visualisation
section (S2) avant
déformation
ligne moyenne
après déformation
G1
section (S1) de
référence
G2
x
section (S2) après
déformation
∆x
∆ϕ
- Relation contrainte - déformation
σM : contrainte normale au point M en MPa
σ = − E.y.θ
E : module d'élasticité longitudinal ou d'Young en MPa
y : ordonnée du point M par rapport au plan de la fibre neutre en mm
cf. schéma ci-dessus
∆ϕ
θ : angle unitaire de flexion en rad/mm avec θ =
∆x
Re
- Condition de résistance : σM ≤ Rpe ( R pe =
) Rpe : Résistance pratique à la traction (en MPa)
s
Re : Résistance élastique à la traction (en MPa)
s : coeffiecient de sécurité
Pour une variation brusque des sections, on note la présence de concentrations de contrainte ; dans
ce cas la valeur maximum est égale à :
σMAX = k . σM
k : coefficient de concentration de contrainte
- Déformations :
I
∆ϕ
A
G1
A
B
R
∆x
S1
∆ϕ : angle de rotation de la section S1 par rapport
à la section S2 autour de (G1,z) en radian
∆x : distance entre S1 et S2 en mm
MfGz(x) : moment de flexion par rapport à (G1,z)
d’abscisse x en N.mm
E : module de Young en Mpa
IGz : moment quadratique de la section par
rapport à (G1,z) en mm4
G2
S2
F
Angle de rotation d’une
section S par rapport à S0,
sections distantes de l
l
ϕ (0, l ) = − 1 ∫ MfGZ ( x).dx
E.IGZ 0
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B
Rayon de courbure R
IG1 = IG2 = R
1
Mf GZ ( x )
=−
R
E . IGZ
Equation de la déformée
on appelle déformée la courbe
de la ligne moyenne après
déformation
E.IGZ . y" = − MfGZ
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- Synthèse flexion :
Poutre de longueur x
Cisaillement donc
Effort tranchant T :
x
suivant l’axe y
Ty
x
suivant l’axe z
Tz
l
l
Mfz avec Mfz = − ∫ Ty.dx
Moment de flexion induit :
Mfy avec Mfy = − ∫ Tz.dx
0
Equation de la déformée
0
déformée suivant l’axe y
déformée suivant l’axe z
E.IGZ . y" = − MfGZ
E.IGY .z" = − MfGY
l
l
y ' = ∫ y ' ' ( x).dx
Equation
de l’angle de rotation
z ' = ∫ z ' ' ( x).dx
0
ϕ ( 0, l ) = y ' = −
0
l
ϕ ( 0, l ) = z ' = −
1
MfGZ ( x).dx
E.IGZ ∫0
l
Equation de la déformation
l
1
MfGY ( x).dx
E.IGY ∫0
l
y = ∫ y ' ( x).dx
z = ∫ z ' ( x).dx
0
0
La déformation s’obtient alors par intégration successives. (méthode calculatoire)
Ou bien méthode par intégration graphique ( Formules de Bresse suivantes)
FLEXION Formules de BRESSE ( Intégration graphique )
- Formule 1 : Rotations ou angles
A

θ A − θB = − Aire Mfz
E .IGZ  B

avec θ A = y ' (A ) et θB = y ' (B ) en radian
- Formule 2 : Déformations
oment
YA − YB = θB [x (A ) − x (B )] − M
A




Mfz
Aire

A
E .IGZ  B 

avec Y A et YB déformations de la poutre en mm
- Répartition TRIANGLE position CDG : 1/3, 2/3
- Répartition PARABOLE - surfaces 1/3, 2/3
- position CDG surface1/3 : 1/4, 3/4
- position CDG surface2/3 : 3/8, 5/8
(voir exemples détails fiche cours ( Formules de Bresse.doc).
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