金融世界覗き：確率微分方程式およびパワーオプション（Power Option

わかみず会第２９５回発表資料
金融世界覗き：確率微分方程式および
パワーオプション（Power Option）の価格計算
(その1)
黄文峰 (Dr.)
2012年2月1日（水）
株式会社アイヴィス東方システムズ
1
目次
1.
2.
3.
4.
5.
6.
金融デリバティブ、オプション取引
幾何ブラウン運動と金融工学
確率微分方程式、伊藤の補題
ブラック・ショールズモデルとノーベル経済学賞
パワーオプションの価格計算
検証手法：モンテ・カルロ法、その他
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1. 金融デリバティブ、オプション取引
ーデリバティブ（Derivative）
• 派生証券のこと。株式や債券などの原証券の値の変化に依存
してその値が変化する証券である。
例：
日経株価指数300オプション、日経株価指数300の価格を基本
的な変数として、これに依存してオプションの価格が決定される
デリバティブである。
サブプライム住宅債券
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1. 金融デリバティブ、オプション取引
ーオプション（Option）取引
• デリバティブの一種。
ある商品を、将来のある期日までに、その時の市場価格
に関係なくあらかじめ決められた特定の価格
（＝権利行使価格）で買う権利、又は売る権利を売買する。
• 売買種類：
Call（買う）
Put（売る）
• 目的：リスク回避（ヘッジ、Hedge）。
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1. 金融デリバティブ、オプション取引
ーオプション（Option）取引の例
１． Call:
株現在価格：100円。
6か月後、 130円で買う権利。権利金１円。
シナリオ１： 6か月後株価150円。
130円で買えるので、
1単位の利益：
150－130－1 ＝ 19円（19倍！）
シナリオ２： 6か月後株価70円。
130円で買うより、市場取引のほうが得策
権利放棄による1単位の損失：
1 円
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1. 金融デリバティブ、オプション取引
ーオプション（Option）取引の例
2． Put:
株現在価格：100円。
6か月後、 80円で売る権利。権利金１円。
シナリオ１： 6か月後株価50円。
80円で売れるので、
1単位の利益：
80－50－1 ＝ 29円（29倍！）
シナリオ２： 6か月後株価120円。
80円で売るより、市場での取引のほうが得策
権利放棄による1単位の損失：
1 円
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1. 金融デリバティブ、オプション取引
ーオプション（Option）取引の例
3．オプションによるリスク低減
株現在価格：100円。保有株数：20万単位。
総時価：
2,000万円
6か月後、 80円で売る権利（Putオプション）。
権利金１円×20万＝20万円。
6か月後株価50円。
80円で売れるので、
損失：
(100－80－1)×20万＝ 380万円
Putオプションがない場合の損失：
(100－50)×20万＝ 1000万円
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2. 幾何ブラウン運動と金融工学
ー株価の実例
• 野村ホールディングス（株）
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2. 幾何ブラウン運動と金融工学
ー株価変動の一般化: ブラウン運動
X(t)
6
5
4
3
2
1
0
-1
0
200
400
600
800
1000
直線：時間に安定して依存部分
25
20
15
10
5
0
-5 0
-10
-15
-20
-25
-30
200
400
600
800
1000
曲線：
時間によってランダムな変動部分
青＝ピンク（左）＋ピンク（右）
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2. 幾何ブラウン運動と金融工学
特徴：
動きが正規分布
変動の平均値 0
変動の分散は経過時間 t の倍数
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2. 幾何ブラウン運動と金融工学
ー標準ブラウン運動：
任意時点 t ：
１．正規分布
２．変動の期待値 μ = 0
３．変動の分散 σ2 = 経過時間 t
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2. 幾何ブラウン運動と金融工学
ーブラウン運動の数式化
X(t)
6
5
Xt = μ t + σ Wt
4
3
2
1
0
Wtは標準ブラウン運動
-1
0
200
400
600
800
1000
12
2. 幾何ブラウン運動と金融工学
ー幾何ブラウン運動
logXt = μt + σWt
または
Xt = exp(μt + σWt)
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2. 幾何ブラウン運動と金融工学
ーブラウン運動の鏡像原理
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3. 確率微分方程式、伊藤の補題
ーブラウン運動の微分方程式（形式上）
dXt = μdt + σdWt
Wtは標準ブラウン運動
ー幾何ブラウン運動の微分方程式（形式上）
d logXt = μdt + σdWt
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3. 確率微分方程式、伊藤の補題
ー確率微分方程式の注意点
d logXt = μdt + σdWt
dX t
 dt  dWt
X
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3. 確率微分方程式、伊藤の補題
ー幾何ブラウン運動の微分方程式（形式上）
d logXt = μdt + σdWt
dX t
 dt  dWt
X
×
原因：(dWt)2 = dt !
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3. 確率微分方程式、伊藤の補題
ーその理由
d logXt = μdt + σdWt
y = d logXt とする。
つまり、X = ey。
dy = μdt + σdWt
Xをティラー展開すると、
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3. 確率微分方程式、伊藤の補題
ーその理由（続き）
となる。
(dWt)2 = dt
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3. 確率微分方程式、伊藤の補題
ー伊藤の補題
確率過程X(t)が
dXt = μ(t)dt + σ(t)dWt
に従う場合、
X と t の関数である確率過程 Y (X, t) は
 Y
Y
1  2Y
Y
2
dY  



d
t

dWt

2
X
2 X
X
 t

に従う。
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3. 確率微分方程式、伊藤の補題
ー伊藤の補題（補足説明）
となる。
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3. 確率微分方程式、伊藤の補題
ー伊藤の補題（補足説明）
特に、先ほどの例で
d y = μdt + σdWt
y = d logXt とする。
つまり、X (y,t )= ey。
ここでのXは伊藤の補題のY、
yは伊藤の補題のXと読み替えて代
入すると、
となる。
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3. 確率微分方程式、伊藤の補題
ー伊藤の補題
数学者。
京都大学
プリンストン高等研究所
コーネル大学
オーフス大学
伊藤清（1915~2008）
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4. ブラック・ショールズモデル
とノーベル経済学賞
ーマイロン・ショールズ (Myron S. Scholes)
1941年7月1日 –
現在スタンフォード大学教授。
1997年にブラック-ショールズ方程式を理論面から
完成させたロバート・マートンとともに、ノーベル経
済学賞を受賞。
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4. ブラック・ショールズモデル
とノーベル経済学賞
ーブラック・ショールズモデル
株価の確率過程（Sは株価）
dS
 rdt  dW
S
Sに基づいた派生証券
f (S,t)
が満たすべき方程式？
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4. ブラック・ショールズモデル
とノーベル経済学賞
ーブラック・ショールズモデル
株購入の単位数：
f
S
派生証券売出の単位数：
1
f (S , t )
価値：
f
 S  1 f ( S , t )
S
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4. ブラック・ショールズモデル
とノーベル経済学賞
ーブラック・ショールズモデル
Δt 時間内の価値変動（伊藤の公式利用）：
 f 1  2 f
2 2
 
  S   t

2
 t 2 S

同値のものが Δt 時間経過後の無リスク金利：
 f

r 
 S  1 f ( S , t )  t
 S

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4. ブラック・ショールズモデル
とノーベル経済学賞
ーブラック・ショールズモデル
無裁定仮説： Δt 時間内の価値変動＝無リスク金利
 f 1  2 f
 f

2 2





S


t

r


S

f
(
S
,
t
)



  t
2
 t

 t 2 S

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4. ブラック・ショールズモデル
とノーベル経済学賞
ーブラック・ショールズ微分方程式
f 1  f 2 2
f
r  f (S , t )  

S

r


S
2
t 2 S
S
2
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4. ブラック・ショールズモデル
とノーベル経済学賞
ーショールズ本人の投資実績
・1997年にブラック-ショールズ、ロバート・マートン
ノーベル経済学賞を受賞。
・1998年、この2人が経営陣に名を連ねた巨大ヘッ
ジファンドLTCM（Long Term Capital Management）
倒産。
2008年、ショールズ自身が設立したヘッジファンド
が一年間に38％の損失を出し解約を停止、LTCM
に続く2度目のファンド運用失敗。
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5. パワーオプションの価格計算
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6. 検証手法：モンテカルロ法、その他
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ご清聴ありがとうございました。
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